Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

Figura 3
Cuadrado Maestro, y rectángulo en el espacio coordenado
donde los nudos están en correspondencia con las siguientes coordenadas locales
Nudo ξ η
1 -1 -1
2 1 -1
3 1 1
4 -1 1
y x 0 son las coordenadas del centro del rectángulo y a y b son la las longitudes de sus lados en las
direcciones x 1 y x 2 respectivamente.
El elemento rectangular más sencillo resulta entonces el bilineal obtenido de multiplicar los
polinomios lineales en ambas direcciones
o englobando las cuatro en una única expresión
N 1 (ξ, η) = 1 (1 − ξ) (1 − η)
4
N 2 (ξ, η) = 1 (1 + ξ) (1 − η)
4
N 3 (ξ, η) = 1 (1 + ξ) (1 + η)
4
N 4 (ξ, η) = 1 (1 − ξ) (1 + η)
4
N I (ξ, η) = 1 4
(
1 + ξ I ξ ) ( 1 + η I η )
De la misma forma puede encontrarse el elemento cuadrático Lagrangeano de 9 nodos y el cúbico
de 16 nodos. Que las funciones propuestas cumplen con las condiciones expresadas inicialmente es
muy fácil de demostrar y se deja como ejercicio.
La utilización de las funciones de forma para rectángulo en términos de las coordenadas locales,
permite escribir las derivadas en términos de la regla de la cadena, es decir dado:
u (x) =
NN∑
I=1
N I (ξ, η) u I
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entonces
∂u
∂x 1
=
NN∑
I=1
[ ∂N
I
∂ξ (ξ, η) 2 a
]
u I