Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

Capítulo 6
Elementos finitos en dos dimensiones
por F. Flores
6.1. Introducción
En el capítulo precedente se han descripto en forma sucinta los principales problemas de interés
que se pretende resolver usando la técnica de elementos finitos. Las ecuaciones diferenciales
que gobiernan estos problemas son, a diferencia de las abordadas en el Capítulo 4, a derivadas
parciales. El dominio es bi o tridimensional y el contorno entre elementos resulta una curva (en
dos dimensiones) o una superficie (en 3 dimensiones). Esto implica una diferencia substancial
con los problemas unidimensionales, donde las fronteras entre elementos eran puntos, e incluso
muchas veces era factible integrar en forma exacta la ecuación diferencial (ordinaria) que gobierna
el problema. De esta forma el análisis de estructuras de barras articuladas y vigas conducía a la
solución exacta (en el marco de la teoría lineal) de los problemas en estudio. En el caso de problemas
a derivadas parciales, no es posible resolver tales ecuaciones en forma exacta para un caso
general, por lo cual las soluciones numéricas que se obtienen son aproximadas y dependen de la
discretización realizada.
En el presente capítulo se verá como aplicar el método de elementos finitos a problemas bidimensional
de clase C 0 . Los elementos posibles corresponden a triángulos y cuadriláteros. Se comenzará
con elementos con lados rectos, y luego se introducirán los de lados curvos que permiten tratar
geometrías más generales, particularmente contornos. Luego se muestra su aplicación a la ecuación
de Laplace, a problemas de elasticidad lineal y al problema de convección difusión. La extensión
de las ideas a problemas tridimensionales es inmediata.
6.2. Condiciones de las funciones de aproximación
Recordemos las condiciones que deben cumplir las funciones de forma φ I (x) a los fines de que
las incógnitas del problema tengan el significado físico deseado y que se satisfagan las condiciones
de continuidad entre elementos (continuidad C 0 ). Sea la variable u (vector) aproximada por:
u (x) =
NN∑
I=1
φ I (x) u I
se debe satisfacer
a)- φ I ( x J) = δ IJ
b)- ∑ NN
c)- ∑ NN
I=1 φI ( x I) = 1
I=1
∂φ ( I x I)
= 0 (consecuencia de (b))
∂x ı
Estas condiciones tienen el siguiente objetivo:
La condición (a) asegura el significado físico de la variable, es decir que el parámetro u I
corresponde al valor de la variable en el nudo I. Por otro lado es necesario asegurar la
continuidad de la variable no sólo en los nudos sino en todo el contorno entre elementos,
es decir que el valor de u a lo largo de una línea que limita dos elementos debe tener un
único valor independientemente de cual de los dos elementos se considere. Dado que dos
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