Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

Una viga de longitud 1 está simplemente apoyada (M = 0 en x = 0 y x = 1). Calcular la
distribución de momento flector, utilizando el método de Galerkin y mínimos cuadrados. Compare
los resultados con la solución exacta.
Nota: para plantear el problema por mínimos cuadrados, se hace necesario minimizar
∫
I (a 1 , a 2 , ..., M) =
Ω
R 2 Ω dΩ = ∫
Ω
[
L (ψ) +
haciendo ∂I/∂a l = 0, l = 1, 2...M, que conduce al sistema
∫
Ω
2
M∑
a m L (φ m ) + p]
dΩ (1.41)
m=1
R Ω
∂R Ω
∂a l
dΩ = 0 l = 1, 2...M (1.42)
que se puede enmarcar dentro de los métodos de Residuos Ponderados definiendo W l = ∂R Ω
∂a l
=
L (φ l ).
Ejercicio N ◦ 7: Un problema de transferencia de calor unidimensional estacionario, con una fuente
de calor distribuida, esta gobernado por la ecuación
Las condiciones de borde son
d 2 ϕ
dx 2 + ϕ + 1 = 0
ϕ = 0 en x = 0;
dϕ
dx
= −ϕ en x = 1
Buscar una solución utilizando el método de Galerkin y comparar los resultados con la solución
exacta.
Ejercicio N ◦ 8: La ecuación que gobierna el desplazamiento transversal de una viga sobre una
fundación elástica de rigidez k es
EI d4 u
dx 4 + k u = w (x)
donde EI es la rigidez flexional de la viga (constante) y w(x) la carga distribuida por unidad
de longitud. Si la viga (de longitud unitaria) está empotrada en ambos extremos (u = du/dx = 0
en x = 0 y x = 1), determinar el desplazamiento utilizando los métodos de colocación y Galerkin
para el caso en que w/EI = k/EI = 1. Comparar con la solución exacta.
Ejercicio N ◦ 9: Cierto problema bidimensional de conducción del calor (estacionario) tiene lugar
en un cuadrado. Las temperaturas en los lados x = ±1 varía con la ley 1 − y 2 ; en los lados y = ±1
con la ley 1 − x 2 . Obtener una aproximación a la distribución de temperatura en el cuadrado
utilizando el método de Galerkin.
Ejercicio N ◦ 10: La deflección normal u de una placa elástica delgada de rigidez flexional D
simplemente apoyada en los bordes y sujeta a carga transversal p (por unidad de superficie)
uniforme, está gobernada por la ecuación diferencial
∂ 4 u
∂x + 2
∂4 u
4 ∂x 2 ∂y + ∂4 u
2 ∂y = p 4 D
en Ω y las condiciones de borde u = ∂ 2 u/∂n 2 = 0 en Γ. Utilizar el método de colocación y Galerkin
para aproximar la deflección de la placa en el dominio Ω definido ( por ) |x| ( ≤ 3, ) |y| ≤ 2. Tomar
iπx jπy
p = 1 y utilizar como funciones de forma las generadas por cos y cos .
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4
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