Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

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ε 33 = − ν (1 − ν) (ε 11 + ε 22 ) 5.9.5.2. Estado plano de deformación (ε i3 = 0): ⎡ σ = ⎣ ⎤ σ 11 σ 22 ⎦ = σ 12 ⎡ ε = ⎣ ⎤ ε 11 ε 22 ⎦ = 2ε 12 E (1 − ν) (1 + ν) (1 − 2ν) ⎡ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢ ⎣ ⎤ ∂ 0 ∂x 1 ∂ [ ] u1 0 ∂x 2 ⎥ u 2 ∂ ∂ ⎦ ∂x 2 ∂x 1 ν 1 (1 − ν) 1 ν (1 − ν) σ 33 = ν (σ 11 + σ 22 ) (1 − 2ν) 2 (1 − ν) ⎤ ⎡ ⎣ ⎥ ⎦ ⎤ ε 11 ε 22 ⎦ 2ε 12 5.9.5.3. Estado de deformación axilsimétrico: ⎡ σ = ⎢ ⎣ ⎤ σ 11 σ 22 σ 12 σ 33 ⎡ ε = ⎢ ⎣ ε 11 ε 22 2ε 12 ε 33 ⎥ ⎦ = E (1 − ν) (1 + ν) (1 − 2ν) ⎡ ⎢ ⎣ ⎡ ⎤ ⎥ ⎦ = ⎢ ⎣ 1 ν (1 − ν) ν (1 − ν) ∂ 0 ∂x 1 ∂ 0 ∂x 2 ∂ ∂ ∂x 2 ∂x 1 1 0 x 1 ν (1 − ν) 1 ν (1 − ν) ⎤ ⎥ ⎦ [ u1 u 2 ] (1 − 2ν) 2 (1 − ν) ν ⎤ (1 − ν) ⎡ ν (1 − ν) ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ 1 5.10. Flexión de Placas 5.10.1. Teoría clásica de placas (Love-Kirchhoff) En la teoría clásica de placas (delgadas) se asume en forma similar a la teoría clásica de vigas: 1. que la placa funciona en un estado plano de tensión (se desprecian los esfuerzos normales al plano de la placa) 2. la fibra que en la configuración indeformada, era normal al plano de la placa, en la configuración deformada: se mantiene recta ε 11 ε 22 2ε 12 ε 33 se mantiene normal a la superficie deformada, y en consecuencia el giro de la fibra (θ) coincide con el giro de la normal a la superficie media ( ∂u θ = −∇u = − , ∂u ) ∂x 1 ∂x 2 ⎤ ⎥ ⎦ 101
Figura 7 Teoría de placas clásica Estas hipótesis conducen a despreciar las deformaciones debidas al corte transversal γ, y a que todo el comportamiento flexional quede descripto por el desplazamiento transversal a la placa u. El plano medio se mantiene indeformado (membranalmente) y las deformaciones en puntos fuera del plano medio son proporcionales a su distancia al mismo (x 3 ) según una ley lineal en el espesor de la placa (h): ε ij = χ ij x 3 − h 2 ≤ x 3 ≤ h 2 ∂2 u χ ij = − i, j = 1, 2 ∂x i ∂u j Los momentos flectores se relacionan con las curvaturas del plano medio mediante las siguientes ecuaciones constitutivas M = ⎡ ⎣ M ⎤ 11 M 22 ⎦ = M 12 Eh 3 12 (1 − ν 2 ) ⎡ ⎢ ⎣ 1 ν ν 1 ⎤ ⎡ ⎥ ⎦ ⎣ χ ⎤ 11 χ 22 ⎦ = D χ 2χ 12 1 − ν 2 Al igual que en el caso de vigas sin deformación cortante, los esfuerzos de corte transversal Q = {Q 1 , Q 2 } no tienen ecuaciones constitutivas asociadas sino que estos se obtienen de las ecuaciones de equilibrio, en función de derivadas de los momentos. La ecuación de trabajos virtuales se escribe: ∫ Ω ∫ (M 11 δχ 11 + M 22 δχ 22 + 2M 12 δχ 12 ) dΩ = Ω ∫ p δu dΩ + ∂Ω ( ) ∂δu −M νν ∂n − M ∂δu νs ∂s + Q νδu d∂Ω Donde n es la normal al contorno y s es la tangente al mismo (ambas en el plano de la lámina). En la última integral podemos reescribir los últimos dos términos en la forma ∫ ( ) ∫ ( ) ∂δu −M νs ∂s + Q νδu dΩ = −M νs δu] s 0 + ∂Mνs + Q ν δu dΩ ∂s ∂Ω El término entre paréntesis en la integral del segundo miembro se conoce como corte efectivo o de Kirchhoff. El primer término del 2do. miembro se anula en el caso de contornos suaves y da lugar a valores puntuales en caso contrario. Notar que el problema de flexión de placas requiere poder evaluar derivadas segundas de la variable, y por lo tanto conduce a elementos de continuidad C 1 . A diferencia del caso de vigas, donde esta condición es relativamente sencilla de cumplir, en el caso de placas la continuidad C 1 trae muchos problemas. La mayoría de los elementos finitos 102 ∂Ω
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