Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...
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5.9.3. Formulación a partir del Principio de los Trabajos Virtuales Si bien el método de residuos ponderados representa una forma directa para la discretización numérica de la ecuaciones de equilibrio de un sólido elástico cuando se usa el método de elementos finitos, existen otras formas para obtener ecuaciones equivalentes. Estas otras formas presentan las ventajas de su más fácil interpretación mecánica. Aquí mostraremos como es posible obtener ecuaciones de equilibrio discretas (es decir en términos de un conjunto finito de parámetros) a partir del Principio de Trabajos Virtuales (P.T.V.). Básicamente el P.T.V. dice que para que un sólido elástico esté en equilibrio debe satisfacerse que para todo campo de desplazamientos virtuales δu (compatible con los vínculos) ∫ ∫ ∫ σ ij δε ij dΩ − ρb (x) δu dv − f δu d∂Ω σ = 0 (5.11) Ω Ω ∂Ω σ Si reemplazamos σ ij = 2µε ij + δ ij λε kk δε ij = 1 2 (δu i,j + δu j,i ) obtenemos ecuaciones similares al método de residuos ponderados donde podemos asimilar el desplazamiento virtual a la función de peso ya que las condiciones sobre ambas son las mismas. 5.9.4. Notación matricial de los tensores involucrados En este tipo de problemas resulta necesario manejar tensores de 4to. orden, desde el punto de vista computacional esto no es deseable, y si bien analíticamente y conceptualmente es conveniente y necesario trabajar con ellos, a veces es más visual manejarlos en la forma que se detalla a continuación. Los tensores de segundo orden se manejan como vectores y los tensores de 4to orden como matrices, así al tensor de deformaciones que tiene 9 componentes, pero sólo seis diferentes debido a su simetría, lo manejaremos como un arreglo (vector) de seis componentes ordenados de la forma ⎡ ε = ⎢ ⎣ ⎤ ε 11 ε 22 ε 33 2ε 12 ⎥ 2ε 23 ⎦ 2ε 13 la razón de por qué considerar dos veces las deformaciones de corte quedará claro más adelante. Este tensor que depende de tres componentes de desplazamiento puede escribirse como un operador lineal B sobre el vector u ⎡ ⎤ ∂ 0 0 ∂x 1 ⎡ ⎤ ∂ ε 11 0 0 ∂x ε 22 2 ∂ ⎡ ε = ε 33 0 0 ⎢ 2ε 12 = ∂x 3 ⎣ u ⎤ 1 ∂ ∂ u 2 ⎦ = B u (5.12) ⎥ ⎣ 2ε 23 ⎦ 0 ∂x 2 ∂x 1 u 3 2ε 13 ∂ ∂ 0 ⎢ ∂x ⎣ 3 ∂x 2 ⎥ ∂ ∂ ⎦ 0 ∂x 3 ∂x 1 Similarmente el tensor de tensiones lo podemos expresar como un vector de seis componentes ordenado de la siguiente forma 99
⎡ σ = ⎢ ⎣ ⎤ σ 11 σ 22 σ 33 σ 12 ⎥ σ 23 ⎦ σ 31 La relación que liga tensiones con deformaciones está definida por el tensor de elasticidad D, esta relación cuando se expresa en términos de los tensores de 2do orden expresados como arreglos de una dimensión conduce a la siguiente expresión: ⎡ σ = ⎢ ⎣ ⎤ σ 11 σ 22 σ 33 σ 12 ⎥ σ 23 ⎦ σ 31 = E 1 + ν ⎡ ⎢ ⎣ 1−ν 1−2ν ν 1−2ν ν 1−2ν ν 1−2ν 1−ν 1−2ν ν 1−2ν ν 1−2ν ν 1−2ν 1−ν 1−2ν σ = D B u 1 2 1 2 1 2 ⎤ ⎡ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ ⎤ ε 11 ε 22 ε 33 2ε 12 ⎥ 2ε 23 ⎦ 2ε 13 = Dε Dado que tratamos con deformaciones lineales, las deformaciones virtuales pueden escribirse de la misma forma que las reales ⎡ ⎤ δε 11 δε 22 δε = δε 33 ⎢ 2δε 12 = B δu (5.13) ⎥ ⎣ 2δε 23 ⎦ 2δε 13 Notar que en la expresión del trabajo virtual interno (primer término de la expresión 5.11) podemos escribir en lugar del producto interno de tensores de 2do. orden σ :δε ≡ σ·δε = σε, donde en el primer miembro de la equivalencia estamos considerando tensores y en el segundo miembro la notación vectorial. El segundo miembro de esta igualdad indica la forma estándar de expresar un producto interno de dos vectores columnas como una multiplicación de matrices. Si reemplazamos (5.12 y 5.13) este producto interno puede escribirse finalmente: σ T δε = u T B T D B δu 5.9.5. Elasticidad Plana Listamos a continuación las principales ecuaciones de la elasticidad plana, en la notación previa, correspondientes a los estados: 5.9.5.1. Estado plano de tensión (σ i3 = 0): 100 σ = ⎡ ε = ⎣ ⎡ ⎣ σ ⎤ 11 σ 22 σ 12 ⎦ = ⎤ ε 11 ε 22 ⎦ = 2ε 12 ⎡ E ⎣ 1 1 − ν 2 ⎡ ⎤ ∂ 0 ∂x 1 ∂ [ ] u1 0 ⎢ ∂x ⎣ 2 ⎥ u 2 ∂ ∂ ⎦ ∂x 2 ∂x 1 ν ⎤ ⎡ ν 1 ⎦ ⎣ ε ⎤ 11 ε 22 ⎦ 1 2 (1 − ν) 2ε 12
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⎡<br />
σ =<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎤<br />
σ 11<br />
σ 22<br />
σ 33<br />
σ 12<br />
⎥<br />
σ 23<br />
⎦<br />
σ 31<br />
La relación que liga tensiones con <strong>de</strong>formaciones está <strong>de</strong>finida por el tensor <strong>de</strong> elasticidad D, esta<br />
relación cuando se expresa en términos <strong>de</strong> los tensores <strong>de</strong> 2do or<strong>de</strong>n expresados como arreglos <strong>de</strong><br />
una dimensión conduce a la siguiente expresión:<br />
⎡<br />
σ =<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎤<br />
σ 11<br />
σ 22<br />
σ 33<br />
σ 12<br />
⎥<br />
σ 23<br />
⎦<br />
σ 31<br />
= E<br />
1 + ν<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
1−ν<br />
1−2ν<br />
ν<br />
1−2ν<br />
ν<br />
1−2ν<br />
ν<br />
1−2ν<br />
1−ν<br />
1−2ν<br />
ν<br />
1−2ν<br />
ν<br />
1−2ν<br />
ν<br />
1−2ν<br />
1−ν<br />
1−2ν<br />
σ = D B u<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
⎤ ⎡<br />
⎥ ⎢<br />
⎦ ⎣<br />
⎤<br />
ε 11<br />
ε 22<br />
ε 33<br />
2ε 12<br />
⎥<br />
2ε 23<br />
⎦<br />
2ε 13<br />
= Dε<br />
Dado que tratamos con <strong>de</strong>formaciones lineales, las <strong>de</strong>formaciones virtuales pue<strong>de</strong>n escribirse<br />
<strong>de</strong> la misma forma que las reales<br />
⎡ ⎤<br />
δε 11<br />
δε 22<br />
δε =<br />
δε 33<br />
⎢ 2δε 12<br />
= B δu (5.13)<br />
⎥<br />
⎣ 2δε 23<br />
⎦<br />
2δε 13<br />
Notar que en la expresión <strong>de</strong>l trabajo virtual interno (primer término <strong>de</strong> la expresión 5.11)<br />
po<strong>de</strong>mos escribir en lugar <strong>de</strong>l producto interno <strong>de</strong> tensores <strong>de</strong> 2do. or<strong>de</strong>n σ :δε ≡ σ·δε = σε,<br />
don<strong>de</strong> en el primer miembro <strong>de</strong> la equivalencia estamos consi<strong>de</strong>rando tensores y en el segundo<br />
miembro la notación vectorial. El segundo miembro <strong>de</strong> esta igualdad indica la forma estándar <strong>de</strong><br />
expresar un producto interno <strong>de</strong> dos vectores columnas como una multiplicación <strong>de</strong> matrices. Si<br />
reemplazamos (5.12 y 5.13) este producto interno pue<strong>de</strong> escribirse finalmente:<br />
σ T δε = u T B T D B δu<br />
5.9.5. Elasticidad Plana<br />
Listamos a continuación las principales ecuaciones <strong>de</strong> la elasticidad plana, en la notación previa,<br />
correspondientes a los estados:<br />
5.9.5.1. Estado plano <strong>de</strong> tensión (σ i3 = 0):<br />
100<br />
σ =<br />
⎡<br />
ε = ⎣<br />
⎡<br />
⎣ σ ⎤<br />
11<br />
σ 22<br />
σ 12<br />
⎦ =<br />
⎤<br />
ε 11<br />
ε 22<br />
⎦ =<br />
2ε 12<br />
⎡<br />
E ⎣ 1<br />
1 − ν 2<br />
⎡<br />
⎤<br />
∂<br />
0<br />
∂x 1 ∂<br />
[ ]<br />
u1<br />
0<br />
⎢ ∂x<br />
⎣<br />
2 ⎥ u 2<br />
∂ ∂ ⎦<br />
∂x 2 ∂x 1<br />
ν<br />
⎤ ⎡<br />
ν 1<br />
⎦ ⎣ ε ⎤<br />
11<br />
ε 22<br />
⎦<br />
1<br />
2 (1 − ν) 2ε 12
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