Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

5.9.3. Formulación a partir del Principio de los Trabajos Virtuales
Si bien el método de residuos ponderados representa una forma directa para la discretización
numérica de la ecuaciones de equilibrio de un sólido elástico cuando se usa el método de elementos
finitos, existen otras formas para obtener ecuaciones equivalentes. Estas otras formas presentan
las ventajas de su más fácil interpretación mecánica. Aquí mostraremos como es posible obtener
ecuaciones de equilibrio discretas (es decir en términos de un conjunto finito de parámetros) a partir
del Principio de Trabajos Virtuales (P.T.V.). Básicamente el P.T.V. dice que para que un sólido
elástico esté en equilibrio debe satisfacerse que para todo campo de desplazamientos virtuales δu
(compatible con los vínculos)
∫
∫
∫
σ ij δε ij dΩ − ρb (x) δu dv − f δu d∂Ω σ = 0 (5.11)
Ω
Ω
∂Ω σ
Si reemplazamos
σ ij = 2µε ij + δ ij λε kk
δε ij = 1 2 (δu i,j + δu j,i )
obtenemos ecuaciones similares al método de residuos ponderados donde podemos asimilar el
desplazamiento virtual a la función de peso ya que las condiciones sobre ambas son las mismas.
5.9.4. Notación matricial de los tensores involucrados
En este tipo de problemas resulta necesario manejar tensores de 4to. orden, desde el punto de
vista computacional esto no es deseable, y si bien analíticamente y conceptualmente es conveniente
y necesario trabajar con ellos, a veces es más visual manejarlos en la forma que se detalla a
continuación. Los tensores de segundo orden se manejan como vectores y los tensores de 4to orden
como matrices, así al tensor de deformaciones que tiene 9 componentes, pero sólo seis diferentes
debido a su simetría, lo manejaremos como un arreglo (vector) de seis componentes ordenados de
la forma
⎡
ε =
⎢
⎣
⎤
ε 11
ε 22
ε 33
2ε 12
⎥
2ε 23
⎦
2ε 13
la razón de por qué considerar dos veces las deformaciones de corte quedará claro más adelante.
Este tensor que depende de tres componentes de desplazamiento puede escribirse como un operador
lineal B sobre el vector u
⎡
⎤
∂
0 0
∂x 1 ⎡ ⎤
∂
ε 11
0 0
∂x ε 22
2 ∂
⎡
ε =
ε 33
0 0
⎢ 2ε 12
=
∂x 3
⎣ u ⎤
1
∂ ∂
u 2
⎦ = B u (5.12)
⎥
⎣ 2ε 23
⎦
0
∂x 2 ∂x 1 u 3
2ε 13 ∂ ∂
0
⎢ ∂x
⎣
3 ∂x 2 ⎥
∂ ∂ ⎦
0
∂x 3 ∂x 1
Similarmente el tensor de tensiones lo podemos expresar como un vector de seis componentes
ordenado de la siguiente forma
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