Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

La formulación débil que resulta para este problema se obtiene como siempre de aplicar residuos
ponderados sobre la ecuación de balance en el dominio y sobre las condiciones de contorno.
Multiplicando entonces por una función de peso arbitraria ϕ
∫
∫
∫
ϕ {∇ · [ρuφ − Γ∇φ] + q} dA + ϕ [¯σ ν − (ρuφ − Γ∇φ) · ν] dS σ + ϕ (¯φ )
− φ dSφ = 0
A
S σ S φ
integrando por partes en el dominio el término difusivo y notando que (¯φ )
− φ = 0, pues las
aproximaciones satisfacen en forma exacta este tipo de condiciones
∫
∫
∫
∫
ϕ [¯σ ν − ρuφ · ν] dS σ + ϕ∇ · (ρuφ) dA + ∇ϕ · Γ∇φ dA + ϕqdA = 0
S σ A
A
A
Finalmente notando que el campo de velocidades debe satisfacer la condición de incompresibilidad
entonces
∇ · (ρu) = 0
∇ · (ρuφ) = φ∇ · (ρu) + (ρu) · ∇φ = (ρu) · ∇φ
de donde la integral del residuo resulta
∫
∫
ϕ [¯σ ν − ρuφ · ν] dS σ + ϕ (ρu) · ∇φdA +
S σ A
∫
A
∫
∇ϕ · Γ∇φ dA +
A
ϕqdA = 0
5.9. Elasticidad lineal
5.9.1. Ecuaciones básicas de la elasticidad lineal
A continuación se describen las ecuaciones básicas de la elasticidad lineal con el objeto de
obtener una formulación débil que luego pueda discretizarse usando el método de elementos finitos.
La ecuación de equilibrio (o ley de balance local) es de la forma
[ ∂
∂x 1
,
∇ · σ + ρ (x) [b (x) − a (x)] = 0 en Ω (5.10)
] ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
σ
∂ 11 σ 12 σ 13
b 1 − a 1
⎣ σ 21 σ 22 σ 23
⎦ + ρ (x) ⎣ b 2 − a 2
⎦ = 0
∂x 3
σ 31 σ 32 σ 33 b 3 − a 3
∂
∂x 2
,
donde σ es el tensor de tensiones de Cauchy que es simétrico, ρ es la densidad de masa, b es la
fuerza másica por unidad de masa (ρb = F es la fuerza másica por unidad de volumen) y a es la
aceleración. Las condiciones de contorno del problema son:
σ n = f en ∂Ω σ
u = ū en ∂Ω u
donde n es la normal en el contorno, f es la fuerza aplicada sobre el contorno, ū son desplazamientos
prescriptos y ∂Ω σ es la parte del contorno donde se conocen las fuerzas externas, ∂Ω u es la parte
del contorno donde se conocen los desplazamientos, que cumplen que ∂Ω = ∂Ω σ + ∂Ω u y
∂Ω σ ∩ ∂Ω u = ∅ . Las ecuaciones constitutivas y cinemáticas son
σ = D : ε ε = ∇ s u = 1 (
∇ T u + ∇u )
2
σ ij = D ijkl ε ij ∇ T u = (∇u) T
donde ε es el tensor de pequeñas deformaciones, D es el tensor de elasticidad de cuarto orden (liga
dos tensores de 2do. orden) y ∇ s u es la parte simétrica del gradiente de desplazamientos.
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