Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

2. el valor del flujo normal al contorno σ ν = [ρuφ − Γ∇φ] · ν en la parte del contorno S σ
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La definición de este campo de velocidades hace que se cumpla explícitamente la condición de
continuidad, por lo cual ahora la condición a cumplir es que el campo u sea irrotacional
∇ × u = ∇ ×
⎡
⎢
⎣
∂ψ
∂x 2
− ∂ψ
∂x 1
⎤
⎥
⎦ =
∂ −∂ψ
− ∂ (
∂ψ ∂ 2 ψ
= −
∂x 1 ∂x 1 ∂x 2 ∂x 2 ∂x 2 1
)
+ ∂2 ψ
= 0
∂x 2 2
nuevamente obtenemos la ecuación de Laplace, cuyas condiciones de contorno pueden ser
1. esenciales, es posible fijar el valor de ψ (valor de la línea de corriente)
2. naturales, es posible fijar el valor de la velocidad tangencial al contorno u t = ν · ∇ψ. Notar
que
[ ]
[ ]
−u2
u1
ν · ∇ψ = [ν 1 , ν 2 ] = [−ν
u 2 , ν 1 ] = t · u = u
1 u t
2
5.8. Ecuación de convección - difusión
Las ecuaciones diferenciales tratadas hasta aquí conducen a la ecuación de Laplace, donde el
orden de derivación de la variable incógnita es par en todos los casos. Esto ha conducido, al realizar
la integral por partes, a una simetría del operador respecto a la variable incógnita y a la función
de ponderación. Las ecuaciones diferenciales con estas características se denominan auto-adjuntas.
En este caso, nos interesa resolver la siguiente ecuación diferencial que aparece principalmente
el área de mecánica de los fluidos
∇ · [ρuφ − Γ∇φ] + q = 0
donde u es el campo de velocidades (conocido)
[ ]
u1
u (x 1 , x 2 ) =
u 2
que satisface la ecuación de continuidad
∇ · (ρu) = 0
φ es la variable (incógnita) del problema, es una variable escalar
Γ es la difusividad, en general en un medio isótropo ésta es un escalar. En algunos problemas
que interesa abordar, resulta necesario escribir a Γ como un tensor de segundo orden (simétrico)
[ ]
Γ11 Γ
Γ =
12
Γ 21 Γ 22
q es un escalar y representa una fuente (o un sumidero) distribuido en el dominio.
La diferencia fundamental entre esta ecuación diferencial y las que se han tratado hasta ahora
es el término ∇ · [ρuφ] (término convectivo), si se omite este término se tiene nuevamente la
ecuación de Laplace. En este término la variable incógnita aparece derivada sólo una vez, por lo
cual el operador ya no resulta autoadjunto y en las discretizaciones numéricas dará lugar a matrices
no-simétricas (independientemente de la función de ponderación elegida).
Las condiciones de contorno que pueden imponerse son
1. el valor de la variable φ en parte del contorno S φ