Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...
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<strong>Capítulo</strong> 1 <strong>Métodos</strong> <strong>de</strong> <strong>residuos</strong> pon<strong>de</strong>rados<br />
<strong>Funciones</strong> <strong>de</strong> <strong>prueba</strong> continuas<br />
por A. Brewer<br />
1.1. Introducción<br />
Para establecer una <strong>de</strong>scripción cuantitativa <strong>de</strong> un problema físico es necesario, en primer<br />
lugar, plantear un sistema <strong>de</strong> ecuaciones diferenciales (ordinarias o en <strong>de</strong>rivadas parciales) válidas<br />
en cierta región (o dominio) y sujetas a <strong>de</strong>terminadas condiciones iniciales y <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>. En segundo<br />
lugar, se necesita resolver el sistema planteado. Las mayores dificulta<strong>de</strong>s surgen en esta instancia,<br />
ya que sólo las ecuaciones más simples pue<strong>de</strong>n ser resueltas en forma exacta. Las ecuaciones<br />
diferenciales ordinarias con coeficientes constantes son uno <strong>de</strong> los pocos casos para los cuales<br />
existen soluciones preestablecidas (aun en estos casos, la solución se complica consi<strong>de</strong>rablemente<br />
cuando aumenta el número <strong>de</strong> variables <strong>de</strong>pendientes).<br />
Con el propósito <strong>de</strong> salvar estas dificulta<strong>de</strong>s y aprovechar las enormes ventajas <strong>de</strong> la computadora<br />
digital, se hace necesario replantear el problema matemático dándole una forma puramente<br />
algebraica que involucre solamente las operaciones matemáticas básicas. Para lograr este objetivo,<br />
el problema continuo <strong>de</strong>be ser discretizado, entendiéndose como tal el procedimiento en el que se<br />
reemplazan los infinitos puntos en los que se necesita conocer la función incógnita por un número<br />
finito <strong>de</strong> ellos, dando lugar a un número finito <strong>de</strong> parámetros <strong>de</strong>sconocidos. Este proceso conlleva,<br />
en general, cierto grado <strong>de</strong> aproximación.<br />
Entre los distintos métodos utilizados para discretizar un problema nos referiremos a aquellos<br />
que emplean distintas funciones <strong>de</strong> <strong>prueba</strong> para materializar la aproximación y que se conocen<br />
como métodos <strong>de</strong> elementos finitos.<br />
Antes <strong>de</strong> continuar, nos <strong>de</strong>tendremos en algunos problemas que servirán como base para ejemplos<br />
posteriores. Es imposible tratar en <strong>de</strong>talle el amplio rango <strong>de</strong> los problemas físicos, por lo que<br />
se han elegido algunos pocos ejemplos para introducir los principios generales <strong>de</strong> la aproximación.<br />
1.2. Ejemplos <strong>de</strong> ecuaciones diferenciales<br />
1. Conducción <strong>de</strong>l calor en un medio continuo<br />
En la Fig. 1 se ha representado un problema <strong>de</strong> flujo <strong>de</strong> calor en un dominio bidimensional Ω.<br />
Si llamamos σ x y σ y el calor que fluye en las direcciones x e y por unidad <strong>de</strong> longitud y unidad <strong>de</strong><br />
tiempo, entonces la diferencia D entre el flujo que ingresa y egresa <strong>de</strong>l elemento <strong>de</strong> tamaño dx dy<br />
está dada por<br />
(<br />
D = dy σ x + ∂σ ) (<br />
x<br />
∂x dx − σ x + dx σ y + ∂σ )<br />
y<br />
∂y dy − σ y<br />
Por conservación <strong>de</strong>l calor, esta cantidad <strong>de</strong>be ser igual a la suma <strong>de</strong>l calor generado en el elemento<br />
en la unidad <strong>de</strong> tiempo, F dx dy, don<strong>de</strong> F pue<strong>de</strong> variar con la posición y el tiempo (t), y al calor<br />
absorbido en la unidad <strong>de</strong> tiempo <strong>de</strong>bido al cambio <strong>de</strong> temperatura, −ρc (∂u/∂t) dxdy, en la que c<br />
es el calor específico, ρ es la <strong>de</strong>nsidad y u(x, y, t) es la distribución <strong>de</strong> temperatura. Esta condición<br />
<strong>de</strong> igualdad conduce a la siguiente ecuación diferencial<br />
(1.1)<br />
∂σ x<br />
∂x + ∂σ y<br />
∂y − F + ρc∂u ∂t = 0 (1.2)<br />
que <strong>de</strong>be satisfacerse en todo el dominio, Ω, <strong>de</strong>l problema.<br />
1
Figura 1<br />
Problemas continuos. Conduccion <strong>de</strong>l calor en 2D<br />
Introduciendo una ley física que gobierne el flujo <strong>de</strong> calor en un medio isótropo, se pue<strong>de</strong> escribir<br />
para la componente <strong>de</strong>l flujo en la dirección n<br />
σ n = −k ∂u<br />
(1.3)<br />
∂n<br />
en la que k es una propiedad conocida como conductividad. Específicamente, la ec.(1.3) en las<br />
direcciones x e y conduce a las siguientes:<br />
σ x = −k ∂u<br />
∂x<br />
σ y = −k ∂u<br />
∂y<br />
(1.4)<br />
Las ecuaciones (1.2) y (1.4) <strong>de</strong>finen un sistema <strong>de</strong> ecuaciones diferenciales en las incógnitas σ x , σ y<br />
y u. Para resolver el problema <strong>de</strong>ben especificarse las condiciones iniciales para el tiempo t = t o<br />
(p.e., pue<strong>de</strong> especificarse la distribución <strong>de</strong> la temperatura en todo el dominio Ω) y las condiciones<br />
<strong>de</strong> bor<strong>de</strong> en la superficie o bor<strong>de</strong> Γ <strong>de</strong>l dominio. Existen dos clases <strong>de</strong> condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>. Una<br />
<strong>de</strong> ellas, aplicable al bor<strong>de</strong> Γ u , especifica los valores <strong>de</strong> la temperatura _ u(x, y, t), es <strong>de</strong>cir<br />
u − _ u = 0 en Γ u (1.5)<br />
Una condición <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> <strong>de</strong> este tipo se conoce como condición <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> <strong>de</strong> Dirichlet.<br />
El segundo tipo <strong>de</strong> condición <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>, aplicable al resto <strong>de</strong>l bor<strong>de</strong> Γ σ , fija los valores <strong>de</strong>l flujo<br />
<strong>de</strong> calor en el bor<strong>de</strong> en la dirección normal al mismo<br />
o alternativamente<br />
σ n − _ σ = 0 en Γ σ (1.6)<br />
−k ∂u<br />
∂n − _ σ = 0 en Γ σ (1.7)<br />
Este tipo <strong>de</strong> condición <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> se conoce como condición <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> <strong>de</strong> Neumann.<br />
El problema queda completamente <strong>de</strong>finido por las ecuaciones (1.2, 1.4, 1.5 y 1.7). Una forma<br />
alternativa se obtiene reemplazando la ec. (1.4) en la (1.2), con lo que resulta una única ecuación<br />
diferencial <strong>de</strong> mayor or<strong>de</strong>n y en una variable in<strong>de</strong>pendiente<br />
2
(<br />
∂<br />
k ∂u )<br />
+ ∂ (<br />
k ∂u )<br />
+ F − ρc ∂u<br />
∂x ∂x ∂y ∂y<br />
∂t = 0 (1.8)<br />
que también requiere la especificación <strong>de</strong> las condiciones iniciales y <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>. Las variables in<strong>de</strong>pendientes<br />
en la ec. (1.8) son x, y y t, correspondiendo las condiciones <strong>de</strong> contorno al dominio<br />
espacial (x, y) y las condiciones iniciales al dominio temporal (t). Si el problema entre manos pue<strong>de</strong><br />
ser consi<strong>de</strong>rado estacionario, (el problema es invariante con el tiempo y ∂ ( ) /∂t = 0) entonces la<br />
ec. (1.8) queda<br />
(<br />
∂<br />
k ∂u )<br />
+ ∂ (<br />
k ∂u )<br />
+ F = 0 (1.9)<br />
∂x ∂x ∂y ∂y<br />
y las condiciones <strong>de</strong> contorno necesarias son sólo las (1.5) y (1.7). Este tipo <strong>de</strong> problemas (estacionarios)<br />
serán el objeto <strong>de</strong> gran parte <strong>de</strong> este curso. Si el problema es unidimensional (es <strong>de</strong>cir<br />
que las condiciones no varían en una <strong>de</strong> las direcciones) la (1.9) se reduce a una ecuación diferencial<br />
ordinaria que pue<strong>de</strong> ser resuelta analíticamente, lo que nos permitirá comparar las soluciones<br />
aproximadas con la exacta. La ecuación (1.9) que <strong>de</strong>scribe el flujo <strong>de</strong> calor, aparece también en<br />
otras ramas <strong>de</strong> la física:<br />
2. Flujo <strong>de</strong> un fluido i<strong>de</strong>al irrotacional.<br />
Si hacemos k = 1 y F = 0 en la ec. (1.9), ésta se reduce a la ecuación <strong>de</strong> Laplace:<br />
∂ 2 u<br />
∂x 2 + ∂2 u<br />
∂y 2 = ∇2 u = 0 (1.10)<br />
que gobierna la distribución <strong>de</strong>l potencial durante el flujo <strong>de</strong> un fluido i<strong>de</strong>al irrotacional.<br />
3. Flujo <strong>de</strong> un fluido a través <strong>de</strong> un medio poroso.<br />
Si F = 0 e i<strong>de</strong>ntificando a k con la permeabilidad <strong>de</strong>l medio, la ec. (1.9) <strong>de</strong>scribe el comportamiento<br />
<strong>de</strong> la presión hidrostática u.<br />
4. Pequeñas <strong>de</strong>formaciones <strong>de</strong> una membrana bajo carga lateral.<br />
Si k = 1 y se asume que F es la relación <strong>de</strong> la carga lateral a la tensión interna en la membrana,<br />
entonces la ec. (1.9) <strong>de</strong>scribe la <strong>de</strong>flección u transversal <strong>de</strong> la membrana.<br />
5. Torsión sin restricción <strong>de</strong> alabeo <strong>de</strong> una pieza prismática.<br />
En este caso la ecuación que <strong>de</strong>be resolverse toma la forma<br />
∂ 2 ϕ<br />
∂x + ∂2 ϕ<br />
= −2αG con ϕ = 0 en Γ (1.11)<br />
2 ∂y2 en la que α y G representan el giro por unidad <strong>de</strong> longitud y el módulo <strong>de</strong> torsión respectivamente.<br />
A partir <strong>de</strong> <strong>de</strong>terminar los valores <strong>de</strong> la función ϕ (x, y) en Ω, es posible obtener los valores <strong>de</strong> la<br />
tensión <strong>de</strong> corte.<br />
Aunque el origen y <strong>de</strong>rivación <strong>de</strong> estas u otras ecuaciones que se presenten posteriormente<br />
puedan resultar un tanto oscuras al lector no familiarizado con las mismas, esperamos que los<br />
procedimientos matemáticos <strong>de</strong> discretización utilizados para resolverlas sean lo suficientemente<br />
claros.<br />
1.3. Aproximación <strong>de</strong> funciones<br />
Trataremos <strong>de</strong> mostrar que la clave <strong>de</strong> la solución <strong>de</strong> ecuaciones diferenciales utilizando métodos<br />
numéricos está en la capacidad para <strong>de</strong>sarrollar buenas funciones <strong>de</strong> aproximación.<br />
Supongamos que queremos aproximar una función u (conocida) en una región Ω encerrada<br />
por una curva Γ. Un primer intento <strong>de</strong> aproximación se basa en la condición <strong>de</strong> que la función<br />
propuesta satisfaga exactamente los valores en el bor<strong>de</strong> Γ. Si pue<strong>de</strong> encontrarse una función ψ (que<br />
llamaremos solución particular) tal que ψ| Γ<br />
= u| Γ<br />
y a<strong>de</strong>más se propone un conjunto <strong>de</strong> funciones<br />
<strong>de</strong> <strong>prueba</strong> (φ m , m = 1, 2, ...M) tales que φ m | Γ<br />
= 0 para todos los m, entonces, para todos los<br />
puntos <strong>de</strong> Ω, pue<strong>de</strong> aproximarse a u mediante la siguiente<br />
3
u ≃ û = ψ +<br />
M∑<br />
a m φ m (1.12)<br />
en la que û es la aproximación <strong>de</strong> u y a m (m = 1, 2, ...M) son algunos parámetros que <strong>de</strong>ben<br />
calcularse <strong>de</strong> modo <strong>de</strong> lograr un buen ”ajuste”. Estas funciones <strong>de</strong> <strong>prueba</strong> se conocen también<br />
como funciones <strong>de</strong> base o <strong>de</strong> forma y <strong>de</strong>ben elegirse con la condición <strong>de</strong> que a medida que<br />
se aumenta M se garantice una mejor aproximación en (1.12). Una condición para lograr esta<br />
convergencia es que las funciones utilizadas puedan representar cualquier variación <strong>de</strong> la función<br />
u en el dominio Ω, lo que conduce al concepto <strong>de</strong> completitud.<br />
1.3.1. Aproximaciones por <strong>residuos</strong> pon<strong>de</strong>rados<br />
A continuación se presenta un método general para <strong>de</strong>terminar las constantes a m en las aproximaciones<br />
<strong>de</strong> la forma (1.12). Se <strong>de</strong>fine el error o residuo R Ω <strong>de</strong> la aproximación (1.12) como<br />
m=1<br />
R Ω = u − û (1.13)<br />
De la <strong>de</strong>finición se observa que R Ω será función <strong>de</strong> la posición en Ω. Al intentar disminuir el residuo<br />
sobre el dominio Ω, surgen expresiones integrales <strong>de</strong>l error que pon<strong>de</strong>ran a R Ω <strong>de</strong> distintas maneras<br />
y cuya forma general es la siguiente<br />
∫<br />
Ω<br />
∫<br />
W l (u − û) dΩ ≡<br />
Ω<br />
W l R Ω dΩ = 0 l = 1, 2, ..., M (1.14)<br />
W l es un conjunto <strong>de</strong> funciones <strong>de</strong> peso in<strong>de</strong>pendientes. La condición general <strong>de</strong> convergencia<br />
enunciada anteriormente, es <strong>de</strong>cir, que û → u cuando M → ∞ pue<strong>de</strong> ser expresada alternativamente<br />
mediante la ec. (1.14) exigiendo que la misma se satisfaga para todo l para M → ∞. Esto<br />
sólo será cierto si R Ω → 0 en todos los puntos <strong>de</strong>l dominio como es lo <strong>de</strong>seable. Reemplazando la<br />
ec. (1.12) en la (1.14) resulta el siguiente sistema lineal <strong>de</strong> ecuaciones<br />
que permite <strong>de</strong>terminar los parámetros a m y don<strong>de</strong><br />
∫<br />
K lm =<br />
∫<br />
f l =<br />
Ω<br />
Ka = f (1.15)<br />
a T = (a 1 , a 2 , a 3 , ..., a M )<br />
Ω<br />
W l φ m dΩ,<br />
1 ≤ l, m ≤ M<br />
W l (u − ψ) dΩ, 1 ≤ l ≤ M (1.16)<br />
En la práctica pue<strong>de</strong>n utilizarse distintos tipos <strong>de</strong> funciones <strong>de</strong> peso y cada una dará lugar a un<br />
método <strong>de</strong> <strong>residuos</strong> pon<strong>de</strong>rados en particular. A continuación se presentan algunas <strong>de</strong> las opciones<br />
más comúnmente utilizadas en el contexto <strong>de</strong> sistemas unidimensionales.<br />
1.3.1.1. <strong>Métodos</strong> <strong>de</strong> colocación<br />
En este caso, las funciones <strong>de</strong> peso W l están dadas por<br />
W l = δ (x − x l ) (1.17)<br />
don<strong>de</strong> δ (x − x l ) es la función <strong>de</strong>lta <strong>de</strong> Dirac <strong>de</strong>finida por sus propieda<strong>de</strong>s<br />
4
δ (x − x l ) = 0 para x ≠ x l<br />
δ (x − x l ) = ∞ para x = x l<br />
∫ x>xl<br />
x x l+1<br />
por lo que las componentes <strong>de</strong> la matriz K y el vector f son<br />
1.3.1.3. El método <strong>de</strong> Galerkin<br />
K lm =<br />
f l =<br />
∫ xl+1<br />
∫ xl+1<br />
x l<br />
φ m dx<br />
x l<br />
(u − ψ) dx (1.21)<br />
En este, el más popular <strong>de</strong> los métodos <strong>de</strong> <strong>residuos</strong> pon<strong>de</strong>rados, se eligen como funciones <strong>de</strong><br />
peso a las mismas funciones utilizadas como funciones <strong>de</strong> <strong>prueba</strong><br />
La matriz K y el vector f tienen la siguiente forma<br />
∫<br />
K lm = φ l φ m dx<br />
∫<br />
f l =<br />
Ω<br />
W l = φ l (1.22)<br />
Ω<br />
φ l (u − ψ) dx (1.23)<br />
Se observa que una ventaja computacional <strong>de</strong> este método es que, en general, la matriz K resulta<br />
simétrica.<br />
1.3.1.4. Otras funciones <strong>de</strong> peso<br />
Existen muchas otras posibilida<strong>de</strong>s al momento <strong>de</strong> elegir funciones <strong>de</strong> peso. Citemos una <strong>de</strong><br />
ellas (que conduce al método <strong>de</strong> los momentos) que utiliza al conjunto <strong>de</strong> funciones W l = x l−1 , l =<br />
1, 2, .., M, que obligan a que el área bajo la curva <strong>de</strong> error y sus momentos respecto <strong>de</strong>l origen sean<br />
nulos.<br />
Observemos, por último, que el método <strong>de</strong> mínimos cuadrados pue<strong>de</strong> ser consi<strong>de</strong>rado como<br />
perteneciente al grupo <strong>de</strong> métodos basados en <strong>residuos</strong> pon<strong>de</strong>rados. La aproximación estándar<br />
trata <strong>de</strong> minimizar el cuadrado <strong>de</strong> la función <strong>de</strong> error en cada punto <strong>de</strong>l dominio Ω minimizando<br />
la expresión<br />
5
I(a 1 , a 2 , a 3 , ..., a M ) = 1 2<br />
es <strong>de</strong>cir, que se <strong>de</strong>ben satisfacer las siguientes igualda<strong>de</strong>s<br />
Cumpliéndose según la ec. (1.12) que<br />
la ec.(1.25) conduce a<br />
∫<br />
Ω<br />
(u − û) 2 dΩ (1.24)<br />
∂I<br />
∂a l<br />
= 0, l = 1, 2, ...M (1.25)<br />
∫<br />
Ω<br />
∂û<br />
∂a l<br />
= φ l (1.26)<br />
φ l (u − û) dΩ = 0 (1.27)<br />
que en este caso resulta idéntica a la que se obtiene mediante el método <strong>de</strong> Galerkin.<br />
1.3.2. Ejercicios:<br />
Ejercicio N ◦ 1: Dada la función<br />
u(x) = 0,05 − 1,5x + 4x 2 − 1,5x 3 − 0,7x 4 con 0 ≤ x ≤ 1<br />
se <strong>de</strong>sea aproximarla utilizando los siguientes conjuntos <strong>de</strong> funciones <strong>de</strong> aproximación:<br />
a) φ m = x m (1 − x); m = 1, 2, ...<br />
b) φ m =sin(mπx); m = 1, 2, ...<br />
En ambos casos, la solución particular ψ(x) queda <strong>de</strong>finida por la recta que une los extremos<br />
<strong>de</strong> u(x).<br />
Para minimizar el error utilice:<br />
1. El método <strong>de</strong> colocación con un punto (x = 0,5) y con dos puntos (x = 0,3 y x = 0,7).<br />
2. El método <strong>de</strong> Galerkin con uno y dos términos.<br />
Saque conclusiones comparado los resultados obtenidos al usar las distintas aproximaciones.<br />
Ejercicio N ◦ 2: Un problema unidimensional <strong>de</strong> calor produjo los siguientes resultados:<br />
Distancia 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0<br />
Temperatura 20 30 50 65 40 30<br />
Ajuste una curva suave a estos datos utilizando el método <strong>de</strong> Galerkin y un conjunto admisible<br />
<strong>de</strong> funciones <strong>de</strong> <strong>prueba</strong>.<br />
Ejercicio N ◦ 3: Resolver el ejercicio 1 utilizando el método <strong>de</strong> colocación en subdominios. Utilizar<br />
como funciones <strong>de</strong> peso W l dos subregiones ([0,0.5] y [0.5,1]) y como funciones <strong>de</strong> <strong>prueba</strong> las<br />
propuestas en 1.a).<br />
1.4. Aproximación a la solución <strong>de</strong> ecuaciones diferenciales<br />
1.4.1. Condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> satisfechas por elección <strong>de</strong> las funciones <strong>de</strong> <strong>prueba</strong><br />
Consi<strong>de</strong>remos la ecuación general<br />
A (u) = L (u) + p = 0 en Ω (1.28)<br />
en la que L es un operador diferencial lineal y p es in<strong>de</strong>pendiente <strong>de</strong> u. Por ejemplo, en el caso<br />
<strong>de</strong> la ecuación diferencial <strong>de</strong>l calor (1.9) que representa el flujo bidimensional se tiene<br />
L (u) = ∂ (<br />
k ∂u )<br />
+ ∂ (<br />
k ∂u )<br />
∂x ∂x ∂y ∂y<br />
6
p = F (1.29)<br />
en la que k y F no <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>n <strong>de</strong> u. A su vez, las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> se pue<strong>de</strong>n expresar como<br />
B (u) = M (u) + r = 0 en Γ (1.30)<br />
en la M es un operador lineal a<strong>de</strong>cuado y r es in<strong>de</strong>pendiente <strong>de</strong> u. Por ejemplo, las condiciones<br />
<strong>de</strong> bor<strong>de</strong> <strong>de</strong> Dirichlet y Neumann asociadas con la ecuación (1.9) se escriben como<br />
M (u) = u r = − _ u en Γ u<br />
M (u) = −k ∂u<br />
(1.31)<br />
r = − σ _ en Γ σ<br />
∂n<br />
Siguiendo las i<strong>de</strong>as anteriores, se propone una solución <strong>de</strong> la forma (1.12)<br />
u ≃ û = ψ +<br />
M∑<br />
a m φ m (1.32)<br />
m=1<br />
en la que la funciones ψ y φ m son tales que<br />
M (ψ) = −r<br />
M (φ m ) = 0<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭<br />
en Γ (1.33)<br />
y en consecuencia û satisface las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> <strong>de</strong> la ecuación (1.28) para todos los valores<br />
<strong>de</strong> a m . Entonces, asumiendo que las funciones son suficientemente continuas y diferenciables en<br />
todo Ω, po<strong>de</strong>mos escribir<br />
∂u<br />
∂x ≃ ∂û<br />
∂x = ∂ψ<br />
M<br />
∂x + ∑ ∂φ<br />
a m<br />
m<br />
∂x<br />
∂ 2 u<br />
∂x ≃ ∂2 û<br />
2 ∂x = ∂2 ψ<br />
2<br />
m=1<br />
∂x 2 + M<br />
∑<br />
m=1<br />
a m<br />
∂ 2 m φ<br />
∂x 2 (1.34)<br />
y asi sucesivamente.<br />
Las condiciones <strong>de</strong> que las funciones <strong>de</strong> <strong>prueba</strong> sean continuamente diferenciables será relajada<br />
más a<strong>de</strong>lante.<br />
En lo que sigue, <strong>de</strong>bemos asegurar que û satisfaga solamente a la ecuación diferencial (1.28) ya<br />
que la expansión û se construyó satisfaciendo las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> (1.30). Sustituyendo û en<br />
la ec.(1.28) resulta el siguiente residuo<br />
R Ω = A(û) = L (û) + p = L (ψ) +<br />
M∑<br />
a m L (φ m ) + p (1.35)<br />
Este residuo pue<strong>de</strong> minimizarse, utilizando el método <strong>de</strong> <strong>residuos</strong> pon<strong>de</strong>rados, a fin <strong>de</strong> lograr que<br />
R Ω ≃ 0 en todo punto <strong>de</strong> Ω<br />
∫<br />
∫<br />
]<br />
M∑<br />
W l R Ω dΩ ≡ W l<br />
[L (ψ) + a m L (φ m ) + p dΩ = 0 (1.36)<br />
Ω<br />
Ω<br />
Evaluando la integral (1.36) para l = 1, 2...M, se obtiene un sistema <strong>de</strong> M ecuaciones algebraicas<br />
lineales<br />
Ka = f (1.37)<br />
m=1<br />
m=1<br />
7
en la que<br />
∫<br />
K lm =<br />
Ω<br />
W l L (φ m ) dΩ,<br />
1 ≤ l, m ≤ M<br />
∫<br />
∫<br />
f l = − W l p dΩ − W l L (ψ) dΩ, 1 ≤ l ≤ M (1.38)<br />
Ω<br />
Ω<br />
Resuelto este sistema, se pue<strong>de</strong> completar la solución û propuesta. En general, la matriz K así<br />
obtenida será llena, sin mostrar una estructura ban<strong>de</strong>ada. Las funciones <strong>de</strong> peso, como ya se viera,<br />
pue<strong>de</strong>n ser elegidas <strong>de</strong> distintas formas.<br />
1.4.1.1. Ejemplos<br />
Ejemplo N ◦ 1: Resolver la ecuación<br />
sujeta a las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong><br />
d 2 u<br />
dx 2 − u = 0<br />
u = 0 en x = 0<br />
u = 1 en x = 1<br />
Estas condiciones pue<strong>de</strong>n expresarse en la forma <strong>de</strong> las ec.(1.30) tomando M (u) = u y r = 0 en<br />
x = 0 y r = −1 en x = 1.<br />
Entonces, según las ec. (1.33), las funciones <strong>de</strong> <strong>prueba</strong> φ m <strong>de</strong>ben satisfacer las condiciones<br />
ψ = φ m = 0 en x = 0; ψ = 1, φ m = 0 en x = 1<br />
Adoptamos ψ = x y φ m =sin(mπx), m = 1, 2...M <strong>de</strong> don<strong>de</strong> la solución aproximada<br />
será <strong>de</strong> la forma û = x + Σa m φ m . Po<strong>de</strong>mos utilizar los resultados obtenidos (1.38) i<strong>de</strong>ntificando<br />
como L (.) = d 2 (.) /dx 2 − (.) y p = 0. Tomaremos M = 2 y resolveremos utilizando el método <strong>de</strong><br />
colocación y Galerkin. El sistema a resolver queda<br />
[<br />
k11 k 21<br />
don<strong>de</strong> para l, m = 1, 2,<br />
k lm =<br />
k 21<br />
∫ 1<br />
0<br />
k 22<br />
] [<br />
a1<br />
a 2<br />
]<br />
=<br />
[<br />
f1<br />
f 2<br />
]<br />
W l<br />
[<br />
1 + (mπ)<br />
2 ] sin(mπx) dx<br />
f l = −<br />
∫ 1<br />
0<br />
W l x dx<br />
Para el método <strong>de</strong> colocación (con R Ω = 0 en x = 1/3, x = 2/3) resultan<br />
k 11 = (1 + π 2 ) sin π 3<br />
k 12 = (1 + 4π 2 ) sin 2π 3<br />
k 21 = (1 + π 2 ) sin 2π 3<br />
k 22 = (1 + 4π 2 ) sin 4π 3<br />
f 1 = − 1 3<br />
f 2 = − 2 3<br />
mientras que por Galerkin<br />
k 11 = 1 2 (1 + π2 ) k 12 = 0<br />
k 21 = 0 k 22 = 1 2 (1 + 4π2 )<br />
8<br />
f 1 = − 1 π<br />
f 2 = 1<br />
2π
La solución <strong>de</strong> los sistemas conduce a los siguientes resultados<br />
a 1 a 2<br />
Colocación −0,05312 0,004754<br />
Galerkin −0,05857 0,007864<br />
Ejemplo N ◦ 2: La aplicación <strong>de</strong> los métodos <strong>de</strong> <strong>residuos</strong> pon<strong>de</strong>rados a problemas en dos dimensiones<br />
será ejemplificada resolviendo un problema <strong>de</strong> torsión <strong>de</strong>finido por la ecuación<br />
∇ 2 ϕ = ∂2 ϕ<br />
∂x + ∂2 ϕ<br />
= −2αG con ϕ = 0 en Γ<br />
2 ∂y2 don<strong>de</strong> ϕ(x, y) es una función <strong>de</strong> tensión que permite encontrar las componentes <strong>de</strong> los esfuerzos<br />
<strong>de</strong> corte en la sección mediante las siguientes expresiones<br />
σ yz = − ∂ϕ<br />
∂x ,<br />
σ xz = ∂ϕ<br />
∂y<br />
α es el giro por unidad <strong>de</strong> longitud α = dθ/dz.<br />
G es el módulo <strong>de</strong> elasticidad transversal.<br />
Obtenida la solución, se pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>terminar el valor <strong>de</strong>l momento torsor T aplicado resolviendo<br />
la integral<br />
∫<br />
T = 2 ϕ (x, y) dx dy (1.39)<br />
Adoptemos como valor αG = 1 y como dominio, la región rectangular −3 ≤ x ≤ 3 y −2 ≤ y ≤<br />
2. La solución es simétrica respecto <strong>de</strong> los ejes x = 0 e y = 0, por lo que restringiremos la elección<br />
a las funciones <strong>de</strong> <strong>prueba</strong> pares que satisfacen esta condición:<br />
( πx<br />
)<br />
φ 1 = cos<br />
6<br />
( 3πx<br />
φ 2 = cos<br />
6<br />
)<br />
cos<br />
)<br />
cos<br />
( πy<br />
4<br />
( πy<br />
)<br />
4<br />
( πx<br />
) ( ) 3πy<br />
φ 3 = cos cos<br />
6 4<br />
con estas funciones, la aproximación ˆϕ = Σa m φ m , m = 1, 2, 3, automaticamente satisface las<br />
condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> requeridas. Nuevamente, el problema pue<strong>de</strong> escribirse en la forma (1.28)<br />
haciendo L (ϕ) = ∂2 ϕ<br />
∂x + ∂2 ϕ<br />
, y p = 2. Una vez elegidas las funciones <strong>de</strong> forma, se pue<strong>de</strong>n<br />
2 ∂y 2<br />
aplicar directamente las ecuaciones (1.38) para obtener un sistema <strong>de</strong> tres ecuaciones con las tres<br />
incógnitas a i . Si utilizamos el método <strong>de</strong> Galerkin, resultan las siguientes componentes para los<br />
elementos <strong>de</strong> la matriz K y el vector f<br />
∫ 3 ∫ 2<br />
( )<br />
∂ 2 φ<br />
K lm = − φ m<br />
l<br />
−3 −2 ∂x + ∂2 φ m<br />
dy dx<br />
2 ∂y 2<br />
f l =<br />
∫ 3 ∫ 2<br />
−3<br />
−2<br />
2 φ l dy dx (1.40)<br />
Debido a la ortogonalidad <strong>de</strong> las funciones <strong>de</strong> <strong>prueba</strong>, el sistema <strong>de</strong> ecuaciones resulta diagonal y<br />
la solución es inmediata<br />
a 1 = 4608<br />
13π 4 a 2 = − 4608<br />
135π 4 a 3 = − 4608<br />
255π 4 9
El momento torsor se obtiene aplicando la ec. (1.39)<br />
T = 2<br />
∫ 3 ∫ 2<br />
−3<br />
−2<br />
ˆϕ dy dx = 74,26<br />
que pue<strong>de</strong> compararse con el valor exacto T = 76,4. El valor <strong>de</strong> la tensión <strong>de</strong> corte máxima resulta<br />
en |τ| = 3,02, mientras que el valor exacto es |τ| = 2,96.<br />
De los ejemplos presentados <strong>de</strong>staquemos nuevamente que el método <strong>de</strong> Galerkin produce<br />
(generalmente) sistemas <strong>de</strong> ecuaciones simétricos, a diferencia <strong>de</strong>l método <strong>de</strong> colocación que da<br />
matrices no simétricas. Cuando hay que resolver gran<strong>de</strong>s sistemas este aspecto resulta <strong>de</strong> singular<br />
importancia.<br />
1.4.1.2. Ejercicios<br />
Ejercicio N ◦ 4: a partir <strong>de</strong>l Ejemplo N ◦ 1<br />
a) Obtener la solución exacta <strong>de</strong> la ecuación diferencial planteada.<br />
b) Completar los <strong>de</strong>talles en la obtención <strong>de</strong> las expresiones generales <strong>de</strong> k lm y f l . Verificar los<br />
valores para el método <strong>de</strong> colocación y Galerkin. Para este último caso resulta útil recordar que<br />
I lm =<br />
∫ L<br />
0<br />
sin<br />
( ) lπx<br />
L<br />
sin<br />
( mπx<br />
)<br />
L<br />
{ L<br />
dx = 2<br />
, l = m<br />
0 l ≠ m<br />
c) Obtener una aproximación utilizando M = 1.<br />
d) Graficar la solución exacta y las aproximaciones obtenidas para M = 1 y 2 y los dos métodos<br />
<strong>de</strong> <strong>residuos</strong> pon<strong>de</strong>rados utilizados.<br />
En una tabla comparar los valores <strong>de</strong> la solución exacta y las aproximaciones obtenidas (con<br />
M = 2) en los puntos x = 1/3 y x = 2/3.<br />
Ejercicio N ◦ 5: a partir <strong>de</strong>l Ejemplo N ◦ 2<br />
a) Verificar las expresiones <strong>de</strong> k lm y f l en las ec. (1.40).<br />
b) Las curvas ϕ = cte tienen un significado importante en el problema que se trata ya que en<br />
ellas el módulo <strong>de</strong> la tensión <strong>de</strong> corte<br />
τ =<br />
√<br />
σ 2 zx + σ 2 zy =<br />
√ (∂ϕ<br />
∂y<br />
) 2 (<br />
+ − ∂ϕ ) 2<br />
∂x<br />
se mantiene constante y la dirección <strong>de</strong>l vector resultante coinci<strong>de</strong> con la tangente a dicha curva.<br />
La tangente <strong>de</strong> la función ϕ = cte se obtiene <strong>de</strong> la <strong>de</strong>rivada total <strong>de</strong> ϕ respecto a x<br />
dϕ<br />
dx = ∂ϕ<br />
∂x + ∂ϕ<br />
∂y<br />
dy<br />
dx = 0<br />
Entonces<br />
1) graficar las curvas resultante ϕ = cte que pasan por los puntos <strong>de</strong> abcisas: x = 0,5, 1, 1,5, 2, 2,5, 3<br />
y or<strong>de</strong>nada y = 0.<br />
2) Verificar que el valor <strong>de</strong> la tangente a la curva ϕ =cte. obtenida a partir <strong>de</strong> la anterior,<br />
coinci<strong>de</strong> con la pendiente que se obtiene como relación <strong>de</strong> las componentes <strong>de</strong> la tensión <strong>de</strong> corte<br />
τ.<br />
3) Obtenga el valor <strong>de</strong> la tensión <strong>de</strong> corte máxima haciendo pasar una parábola y encontrando<br />
su máximo.<br />
Ejercicio ( N ◦ 6: La distribución <strong>de</strong>l momento flector M (x) en una viga cargada con w (x) =<br />
πx<br />
)<br />
sin por unidad <strong>de</strong> longitud, satisface la ecuación<br />
L<br />
10<br />
d 2 M<br />
dx 2<br />
= w(x)
Una viga <strong>de</strong> longitud 1 está simplemente apoyada (M = 0 en x = 0 y x = 1). Calcular la<br />
distribución <strong>de</strong> momento flector, utilizando el método <strong>de</strong> Galerkin y mínimos cuadrados. Compare<br />
los resultados con la solución exacta.<br />
Nota: para plantear el problema por mínimos cuadrados, se hace necesario minimizar<br />
∫<br />
I (a 1 , a 2 , ..., M) =<br />
Ω<br />
R 2 Ω dΩ = ∫<br />
Ω<br />
[<br />
L (ψ) +<br />
haciendo ∂I/∂a l = 0, l = 1, 2...M, que conduce al sistema<br />
∫<br />
Ω<br />
2<br />
M∑<br />
a m L (φ m ) + p]<br />
dΩ (1.41)<br />
m=1<br />
R Ω<br />
∂R Ω<br />
∂a l<br />
dΩ = 0 l = 1, 2...M (1.42)<br />
que se pue<strong>de</strong> enmarcar <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> los métodos <strong>de</strong> Residuos Pon<strong>de</strong>rados <strong>de</strong>finiendo W l = ∂R Ω<br />
∂a l<br />
=<br />
L (φ l ).<br />
Ejercicio N ◦ 7: Un problema <strong>de</strong> transferencia <strong>de</strong> calor unidimensional estacionario, con una fuente<br />
<strong>de</strong> calor distribuida, esta gobernado por la ecuación<br />
Las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> son<br />
d 2 ϕ<br />
dx 2 + ϕ + 1 = 0<br />
ϕ = 0 en x = 0;<br />
dϕ<br />
dx<br />
= −ϕ en x = 1<br />
Buscar una solución utilizando el método <strong>de</strong> Galerkin y comparar los resultados con la solución<br />
exacta.<br />
Ejercicio N ◦ 8: La ecuación que gobierna el <strong>de</strong>splazamiento transversal <strong>de</strong> una viga sobre una<br />
fundación elástica <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z k es<br />
EI d4 u<br />
dx 4 + k u = w (x)<br />
don<strong>de</strong> EI es la rigi<strong>de</strong>z flexional <strong>de</strong> la viga (constante) y w(x) la carga distribuida por unidad<br />
<strong>de</strong> longitud. Si la viga (<strong>de</strong> longitud unitaria) está empotrada en ambos extremos (u = du/dx = 0<br />
en x = 0 y x = 1), <strong>de</strong>terminar el <strong>de</strong>splazamiento utilizando los métodos <strong>de</strong> colocación y Galerkin<br />
para el caso en que w/EI = k/EI = 1. Comparar con la solución exacta.<br />
Ejercicio N ◦ 9: Cierto problema bidimensional <strong>de</strong> conducción <strong>de</strong>l calor (estacionario) tiene lugar<br />
en un cuadrado. Las temperaturas en los lados x = ±1 varía con la ley 1 − y 2 ; en los lados y = ±1<br />
con la ley 1 − x 2 . Obtener una aproximación a la distribución <strong>de</strong> temperatura en el cuadrado<br />
utilizando el método <strong>de</strong> Galerkin.<br />
Ejercicio N ◦ 10: La <strong>de</strong>flección normal u <strong>de</strong> una placa elástica <strong>de</strong>lgada <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z flexional D<br />
simplemente apoyada en los bor<strong>de</strong>s y sujeta a carga transversal p (por unidad <strong>de</strong> superficie)<br />
uniforme, está gobernada por la ecuación diferencial<br />
∂ 4 u<br />
∂x + 2<br />
∂4 u<br />
4 ∂x 2 ∂y + ∂4 u<br />
2 ∂y = p 4 D<br />
en Ω y las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> u = ∂ 2 u/∂n 2 = 0 en Γ. Utilizar el método <strong>de</strong> colocación y Galerkin<br />
para aproximar la <strong>de</strong>flección <strong>de</strong> la placa en el dominio Ω <strong>de</strong>finido ( por ) |x| ( ≤ 3, ) |y| ≤ 2. Tomar<br />
iπx jπy<br />
p = 1 y utilizar como funciones <strong>de</strong> forma las generadas por cos y cos .<br />
6<br />
4<br />
11
1.4.2. Aproximación simultánea <strong>de</strong> la ecuación diferencial y <strong>de</strong> las condiciones <strong>de</strong><br />
bor<strong>de</strong><br />
En esta sección se admitirá como función <strong>de</strong> <strong>prueba</strong> una aproximación que no satisfaga i<strong>de</strong>nticamente<br />
las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>, lo que permitirá ampliar el rango <strong>de</strong> funciones admisibles<br />
M∑<br />
u ≃ û = a m φ m (1.43)<br />
m=1<br />
La expansión (1.43) no satisface alguna o ninguna <strong>de</strong> las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>, por lo que el residuo<br />
en el dominio<br />
R Ω = A(û) = L (û) + p en Ω (1.44)<br />
<strong>de</strong>be complementarse con un residuo en el bor<strong>de</strong><br />
R Γ = B(û) = M (û) + r en Γ (1.45)<br />
A fin <strong>de</strong> reducir los <strong>residuos</strong> en el dominio y en el bor<strong>de</strong>, se propone el siguiente planteo en <strong>residuos</strong><br />
pon<strong>de</strong>rados<br />
∫<br />
∫<br />
__<br />
W l R Ω dΩ + W l R Γ dΓ = 0 (1.46)<br />
Ω<br />
en don<strong>de</strong> las funciones <strong>de</strong> peso, W l y __ W l , pue<strong>de</strong>n ser elegidas en forma in<strong>de</strong>pendiente. Resulta claro<br />
que a medida que aumenta el número <strong>de</strong> funciones para las cuales se satisface la expresión (1.46),<br />
mejor será la aproximación <strong>de</strong> û a u, asumiendo que la ec. (1.43) se ha elegido en forma a<strong>de</strong>cuada.<br />
Sustituyendo la aproximación (1.43) en la ec. (1.46) resulta un sistema idéntico a (1.37) en el<br />
que la matriz <strong>de</strong> coeficientes y el término in<strong>de</strong>pendiente resultan<br />
∫<br />
∫<br />
__<br />
K lm = W l L (φ m ) dΩ + W l M (φ m ) dΓ<br />
1.4.2.1. Ejemplos<br />
Ω<br />
∫<br />
f l = −<br />
Ω<br />
Γ<br />
Γ<br />
∫<br />
W l p dΩ −<br />
Γ<br />
__<br />
W l r dΓ (1.47)<br />
Ejemplo N ◦ 3: Resolveremos nuevamente el Ejemplo 1 pero en este caso no satisfaceremos las<br />
condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> con las funciones <strong>de</strong> <strong>prueba</strong>:<br />
M∑<br />
û = a m φ m ; φ m = x m−1 m = 1, 2...<br />
0<br />
m=1<br />
El bor<strong>de</strong> Γ son dos puntos (x = 0, x = 1) y la ec.(1.46) queda<br />
∫ 1<br />
[ __ ] [ __ ]<br />
W l R Ω dx + W l R Γ + W l R Γ<br />
Si tomamos W l<br />
x=0<br />
x=1<br />
= 0<br />
= φ l ; W __<br />
l = −φ l | Γ<br />
, la anterior queda<br />
∫ 1<br />
( ) d2û φ l<br />
dx − û dx − [φ 2 l û] x=0<br />
− [φ l (û − 1)] x=1<br />
= 0<br />
0<br />
Con tres términos, û = a 1 + a 2 x + a 3 x 2 , que conduce a un sistema Ka = f don<strong>de</strong><br />
⎡<br />
3<br />
3 − 2 ⎤<br />
⎡ ⎤<br />
2 3<br />
1<br />
K =<br />
3 4 1<br />
2 3 4<br />
; f =<br />
⎢ 1<br />
⎥<br />
⎣ ⎦<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎣<br />
4 5 8<br />
⎦<br />
1<br />
3 4 15<br />
12
Notar que K es no simétrica aun cuando se utilizó el método <strong>de</strong> Galerkin. La solución es<br />
a 1 = 0,068 a 2 = 0,632 a 3 = 0,226<br />
La convergencia en la aproximación a las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> en x = 0 y x = 1 se observa en la<br />
siguiente tabla con aproximaciones usando 1,2 o 3 términos<br />
N ◦ términos 1 2 3 exacto<br />
x=0 1/3 −0,095 0,068 0<br />
x=1 1/3 0,762 0,925 1<br />
Ejemplo N ◦ 4: resolveremos nuevamente el ejemplo 2 utilizando nuevamente funciones pares<br />
pero relajando la condición <strong>de</strong> que las funciones <strong>de</strong> <strong>prueba</strong> satisfagan las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>.<br />
Elegimos el conjunto <strong>de</strong> funciones<br />
φ 1 = 4 − y 2 ; φ 2 = x 2 φ 1 ; φ 3 = y 2 φ 1<br />
φ 4 = x 2 y 2 φ 1 ; φ 5 = x 4 φ 1 . . .<br />
que para una aproximación en 5 términos conduce a<br />
ˆϕ = ( 4 − y 2) ( a 1 + a 2 x + a 3 x 2 + a 4 x 3 + a 5 x 4)<br />
que satisface las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> en y = ±2 pero no en x = ±3. En consecuencia, esta<br />
condición <strong>de</strong>be incorporarse al problema a través <strong>de</strong>l enunciado <strong>de</strong> <strong>residuos</strong> pon<strong>de</strong>rados<br />
∫ 3 ∫ 2<br />
( )<br />
∂ 2 ϕ<br />
∂x + ∂2 ϕ<br />
2 ∂y + 2 W 2 l dydx+<br />
∫ 2<br />
−2<br />
−3<br />
−2<br />
[ ] ∫ 2<br />
¯Wlˆϕ dy − [ ¯Wl ˆϕ ] dy = 0<br />
x=3 x=−3<br />
Adoptando W l = φ l ; ¯W l = φ l | Γ<br />
, resulta<br />
⎡<br />
⎤ ⎡<br />
6,7 −44 43,7 80 813,6<br />
−12 −333,6 105,6 355,2 −5748,7<br />
K =<br />
⎢ 11,7 −16 159,1 389,5 −547,2<br />
⎥<br />
⎣ 9,6 −163,2 433,4 1971,6 −3932,4 ⎦ ; f = ⎢<br />
⎣<br />
−237,6 −3156,7 432 1473,7 −46239,4<br />
−2<br />
12<br />
36<br />
16<br />
48<br />
194,4<br />
A continuación se presentan la máxima tensión <strong>de</strong> corte τ y momento actuante T obtenidos con<br />
2 y 5 términos<br />
N ◦ términos 2 5 exacto<br />
T 58,94 73,6 76,40<br />
|τ| 3,52 3,33 2,96<br />
1.4.2.2. Ejercicios.<br />
Ejercicio N ◦ 11: graficar la solución obtenida en el ejemplo 3 conjuntamente con la exacta y las<br />
obtenidas en el ejemplo 1.<br />
Ejercicio N ◦ 12: con los datos <strong>de</strong>l ejemplo 4 verifique el valor <strong>de</strong>l momento T que figura en la<br />
tabla y obtenido con 5 términos.<br />
Ejercicio N ◦ 13: Utilizar el método <strong>de</strong> Galerkin para resolver el siguiente ejercicio y comparar<br />
con la solución exacta<br />
d 2 u<br />
dx 2 + u = 0 con { u = 1 en x = 0<br />
u = 0 en x = 1<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
13
Usar funciones <strong>de</strong> forma que satisfagan las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> y funciones que no.<br />
Ejercicio N ◦ 14:resolver el Ejercicio N ◦ 6 usando una aproximación que satisfaga la condición en<br />
x = 0 y no en x = 1. Usar funciones <strong>de</strong> peso ¯W l = α φ l | Γ<br />
, don<strong>de</strong> α es una constante, y comparar<br />
los resultados obtenidos con α = ±0,1, ±10, ±100. con los obtenidos en el Ej.N ◦ 6 en el que las<br />
aproximaciones satisfacían las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>.<br />
Ejercicio N ◦ 15: resolver el Ejercicio N ◦ 9 utilizando una aproximación que satisfaga solamente<br />
las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> en los lados x = ±1. Analice la convergencia <strong>de</strong> la aproximación a las<br />
condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> en los lados y = ±1.<br />
Ejercicio N ◦ 16: resolver el Ejercicio N ◦ 10 utilizando funciones <strong>de</strong> aproximación que satisfagan<br />
solamente la condición <strong>de</strong> <strong>de</strong>splazamiento nulo en los bor<strong>de</strong>s <strong>de</strong> la placa. Analice la mejora en la<br />
aproximación <strong>de</strong> las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> con el aumento <strong>de</strong> términos incluidos en la aproximación.<br />
1.4.3. Forma débil <strong>de</strong>l problema. Condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> naturales.<br />
Los ejemplos <strong>de</strong> la sección previa han mostrado que es posible evaluar los coeficientes <strong>de</strong><br />
la expansión (1.43), y por lo tanto obtener una solución aproximada, sin satisfacer a priori las<br />
condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>. Sin embargo, la formulación expresada en la ec. (1.46) pue<strong>de</strong> dificultarse<br />
cuando las integrales <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>, que pue<strong>de</strong>n contener <strong>de</strong>rivadas <strong>de</strong> û, <strong>de</strong>ban evaluarse en bor<strong>de</strong>s<br />
curvos o <strong>de</strong> forma complicada.<br />
En esta sección se verá cómo evitar este tipo <strong>de</strong> cálculos y proponer un tratamiento más general<br />
<strong>de</strong> las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>.<br />
Retomando el planteo en <strong>residuos</strong> pon<strong>de</strong>rados (1.46), se observa que el primer término <strong>de</strong> la<br />
primer integral<br />
∫<br />
∫<br />
W l R Ω dΩ = W l [L (û) + p] dΩ (1.48)<br />
pue<strong>de</strong> ser reescrito mediante una integración por partes como:<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
W l L (û) dΩ = [CW l ] [D (û)] dΩ +<br />
Ω<br />
Ω<br />
Ω<br />
Ω<br />
Γ<br />
W l E (û) dΓ (1.49)<br />
en la que C, D,y E son operadores diferenciales lineales <strong>de</strong> un or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> diferenciación menor que el<br />
correspondiente al operador L. La expresión obtenida se conoce como forma débil <strong>de</strong>l problema<br />
<strong>de</strong> <strong>residuos</strong> pon<strong>de</strong>rados.<br />
Entonces, al reemplazar la ec.(1.49) en la (1.46) es posible a<strong>de</strong>cuar el último término <strong>de</strong> la<br />
ec. (1.49) para que se cancele con parte <strong>de</strong>l último término <strong>de</strong> la ec. (1.46). Esto pue<strong>de</strong> realizarse<br />
eligiendo convenientemente la función <strong>de</strong> peso W __<br />
l , con lo que <strong>de</strong>saparecen las integrales <strong>de</strong> bor<strong>de</strong><br />
que involucran a û o sus <strong>de</strong>rivadas. Este procedimiento es aplicable sólo con algunas <strong>de</strong> las condiciones<br />
<strong>de</strong> bor<strong>de</strong> que llamaremos naturales. En general, las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> esenciales, que<br />
fijan los valores <strong>de</strong> la función en el bor<strong>de</strong>, no se benefician <strong>de</strong> este tratamiento.<br />
Una ventaja adicional, al hecho <strong>de</strong> que el or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> las funciones <strong>de</strong> aproximación es menor, es<br />
que el sistema <strong>de</strong> ecuaciones finales será, en general, simétrico.<br />
Ejemplo N ◦ 5: sea la ecuación diferencial<br />
{<br />
d 2 u<br />
u = 0 en x = 0<br />
dx − u = 0 con du<br />
2 = 20 en x = 1<br />
dx<br />
y la aproximación û = ψ + ∑ M<br />
m=1 a mφ m elegida <strong>de</strong> tal forma que la condición en x = 0 sea<br />
automaticamente satisfecha. Tomemos ψ = 0 y φ m = x m para m = 1, 2, ...M. Entonces, la<br />
minimización <strong>de</strong>l error por <strong>residuos</strong> pon<strong>de</strong>rados toma la forma:<br />
14<br />
∫ 1<br />
0<br />
W l<br />
( d2û<br />
dx 2 − û )<br />
dx +<br />
[ __<br />
( dû<br />
W l<br />
dx<br />
)]x=1<br />
− 20 = 0
integrando por partes el primer término<br />
∫ 1<br />
d 2 û<br />
W l<br />
dx dx = W dû<br />
2 l<br />
dx∣<br />
que reemplazada en la anterior<br />
0<br />
− ∫ 1<br />
0<br />
dW l<br />
dx<br />
dû<br />
dx dx − ∫ 1<br />
dû<br />
− W l dx∣ +<br />
x=0<br />
1<br />
0<br />
−<br />
∫ 1<br />
0<br />
dW l<br />
dx<br />
W dû<br />
0 lû dx + W l<br />
∣<br />
dx<br />
dû<br />
dx dx<br />
∣<br />
x=1<br />
[ __<br />
( dû<br />
W l<br />
dx<br />
)]x=1<br />
− 20 = 0<br />
como W l y W __<br />
l son funciones arbitrarias elegimos a W l <strong>de</strong> tal modo que W l | x=0<br />
= 0 y W __<br />
l = −W l<br />
en x = 1.<br />
∫ 1<br />
∫<br />
dW l dû<br />
1<br />
−<br />
0 dx dx dx − W l û dx + 20 W l | x=1<br />
= 0<br />
0<br />
que se pue<strong>de</strong> escribir como Ka = f con<br />
K lm =<br />
∫ 1<br />
0<br />
dW l<br />
dx<br />
∫<br />
dφ 1<br />
m<br />
dx dx + W l φ m dx ; f l = 20 W l | x=1<br />
0<br />
Utilizando Galerkin y usando dos términos, resultan a 1 = 11,75 y a 2 = 3,4582. Los valores <strong>de</strong> û<br />
en x = 1/2 y x = 1 se contrastan con los valores exactos<br />
N ◦ términos 2 exacto<br />
x = 1/2 6,7435 6,7540<br />
x = 1 15,2161 15,2319<br />
Las <strong>de</strong>rivadas dû/dx con 1 y 2 términos en x = 1 resultan<br />
N ◦ términos 1 2 exacto<br />
dû∣ x=1<br />
15 18,67 20<br />
dx<br />
1.4.4. Condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> naturales para la ecuación <strong>de</strong> conducción <strong>de</strong>l calor<br />
Consi<strong>de</strong>remos la ecuación <strong>de</strong>l calor<br />
(<br />
∂<br />
k ∂u )<br />
+ ∂ (<br />
k ∂u )<br />
+ F = 0 (1.50)<br />
∂x ∂x ∂y ∂y<br />
sujeta a las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> esenciales<br />
y naturales<br />
y<br />
u = _ u en Γ u (1.51)<br />
σ n = −k ∂u<br />
∂n = _ σ en Γ σ (1.52)<br />
σ n = −k ∂u<br />
∂n = p (u − u ∞) en Γ c (1.53)<br />
en don<strong>de</strong> el til<strong>de</strong> significa que la variable es conocida. La condición σ n = −k ∂u<br />
∂n = _ σ dice que el flujo<br />
en dirección <strong>de</strong> la normal a la curva Γ σ es conocido, mientras que la condición σ n = p (u − u ∞ )<br />
representa una condición <strong>de</strong> convección en la que p es una constante (dato) que <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong>l medio<br />
y <strong>de</strong> las condiciones en que tiene lugar la convección, u es el valor <strong>de</strong> la temperatura (incógnita)<br />
en el bor<strong>de</strong> Γ c y u ∞ es la temperatura <strong>de</strong>l medio próximo (dato).<br />
15
Se propone una aproximación <strong>de</strong> la forma<br />
u ≃ û = ψ +<br />
M∑<br />
a m φ m (1.54)<br />
en la que se han elegido a las funciones ψ y φ m para que se satisfagan las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong><br />
esenciales, es <strong>de</strong>cir, ψ = u _ y φ m = 0, (m = 1, 2...M) en Γ u . El problema <strong>de</strong> <strong>residuos</strong> pon<strong>de</strong>rados<br />
correspondiente resulta<br />
∫<br />
Ω W l<br />
[ ( ∂<br />
k ∂û )<br />
∂x ∂x<br />
+ ∂ (<br />
∂y<br />
k ∂û<br />
∂y<br />
m=1<br />
)]<br />
_dx dy + ∫ Ω W l F dx dy+<br />
+ ∫ (<br />
__<br />
Γ σ<br />
W l k ∂û )<br />
∂n + σ<br />
_ dΓ + ∫ (<br />
Γ c<br />
˜W l k ∂û<br />
)<br />
∂n + p (u − u ∞) dΓ = 0<br />
l = 1, 2...M<br />
(1.55)<br />
que para M → ∞ asegura la satisfacción <strong>de</strong> la ecuación diferencial en Ω y <strong>de</strong> las condiciones <strong>de</strong><br />
bor<strong>de</strong> naturales. La primer integral en la ec.(1.55) pue<strong>de</strong> ser ”<strong>de</strong>bilizada” utilizando el lema <strong>de</strong><br />
Green que establece las siguientes i<strong>de</strong>ntida<strong>de</strong>s para las funciones α y β<br />
∫<br />
α ∂β<br />
Ω ∂x<br />
∫Ω<br />
dx dy = − ∂α<br />
∂x<br />
∫Γ<br />
β dx dy + α β n x dΓ (1.56)<br />
∫<br />
Ω<br />
α ∂β<br />
∂y<br />
∫Ω<br />
dx dy = − ∂α<br />
∂y<br />
∫Γ<br />
β dx dy + α β n y dΓ (1.57)<br />
en la que n x y n y son los cosenos directores <strong>de</strong> la normal n (saliente) al contorno cerrado Γ que<br />
ro<strong>de</strong>a al dominio Ω en el plano x y. La integración sobre Γ se realiza en sentido antihorario.<br />
Utilizando estas i<strong>de</strong>ntida<strong>de</strong>s y notando que<br />
∂α<br />
∂n = ∂α<br />
∂x n x + ∂α<br />
∂y n y (1.58)<br />
la ec. (1.55) pue<strong>de</strong> reescribirse<br />
∫ ( ∂Wl<br />
−<br />
Ω ∂x k ∂û<br />
∂x + ∂W l<br />
∂y k ∂û ) ∫<br />
_dx dy + W l F dx dy+<br />
∂y<br />
Ω<br />
(<br />
+ W l k<br />
∫Γ ∂û )<br />
(<br />
__<br />
dΓ + W l k<br />
σ +Γ u +Γ c<br />
∂n<br />
∫Γ ∂û )<br />
σ<br />
∂n + σ<br />
_ dΓ+<br />
(<br />
+ ˜W l k<br />
∫Γ ∂û<br />
)<br />
c<br />
∂n + p (u − u ∞) dΓ = 0 (1.59)<br />
Limitando ahora la elección <strong>de</strong> las funciones <strong>de</strong> peso <strong>de</strong> tal modo que<br />
W l = 0 en Γ u ;<br />
__<br />
W l = −W l en Γ σ ; y ˜W l = −W l en Γ c (1.60)<br />
se observa que el término que contiene al gradiente <strong>de</strong> û <strong>de</strong>saparece y la ec.(1.59) queda<br />
∫ ( ∂Wl<br />
∂x k ∂û<br />
∂x + ∂W l<br />
∂y k ∂û ) ∫<br />
dx dy − W l F dx dy+<br />
∂y<br />
16<br />
Ω<br />
Ω<br />
∫<br />
_<br />
+ W l σdΓ + W l p (u − u ∞ ) dΓ = 0 (1.61)<br />
∫Γ σ Γ c
La sustitución <strong>de</strong> la aproximación (1.54) en la ec. (1.61) conduce al ya conocido sistema<br />
en el que<br />
∫<br />
K lm =<br />
∫<br />
+<br />
Ω<br />
Ka = f (1.62)<br />
( ∂Wl<br />
∂x k ∂φ m<br />
∂x + ∂W l<br />
∂y k ∂φ )<br />
m<br />
∂y<br />
dx dy+<br />
W l p φ m dΓ ; l, m = 1, 2, ...M<br />
Γ c<br />
∫<br />
∫ ( ∂Wl<br />
f l = W l F dx dy −<br />
Ω<br />
Ω ∂x k ∂ψ<br />
∂x + ∂W l<br />
∂y k ∂ψ )<br />
dx dy−<br />
∂y<br />
∫<br />
_<br />
− W l σdΓ − W l p (ψ − u ∞ ) dΓ ; l = 1, 2, ...M (1.63)<br />
∫Γ σ Γ c<br />
Es posible elegir como funciones las correspondientes a Galerkin W l = φ l ya que las condiciones<br />
(1.60) impuestas a las funciones <strong>de</strong> peso <strong>de</strong> anularse sobre Γ u ya son satisfechas por las φ l utilizadas<br />
en la expansión (1.54). Se observa que esta alternativa produce una matriz K que resulta simétrica<br />
ya que<br />
K lm = K ml (1.64)<br />
En conclusión, se ha mostrado cómo la condición <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> (1.52) es una condición natural para<br />
este problema ya que la formulación débil pudo eliminar la necesidad <strong>de</strong> evaluar la <strong>de</strong>rivada en<br />
el contorno. Por otro lado si σ _ = 0, entonces esta condición no aparece en forma explícita en la<br />
formulación.<br />
Ejemplo N ◦ 6: un material <strong>de</strong> conductividad k = 1 ocupa una región cuadrada <strong>de</strong>finida en<br />
−1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1. Los lados y = ±1 se mantienen a temperatura <strong>de</strong> 0 ◦ , mientras se<br />
suministra calor en la relación cos(πy/2) por unidad <strong>de</strong> longitud en los lados x = ±1. Se pi<strong>de</strong><br />
resolver la ecuación <strong>de</strong> calor estacionario<br />
sujeta a las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong><br />
∂<br />
∂x<br />
(<br />
k ∂u<br />
∂x<br />
)<br />
+ ∂ (<br />
∂y<br />
k ∂u<br />
∂y<br />
)<br />
+ F = 0<br />
u = 0 ( en Γ u <strong>de</strong>finido por y = ±1<br />
πy<br />
)<br />
¯σ = − cos en Γ σ <strong>de</strong>finido por x = ±1<br />
2<br />
Si adoptamos como funciones para aproximar la temperatura a<br />
φ 1 = 1 − y 2 ; φ 2 = x 2 φ 1 ; φ 3 = y 2 φ 1<br />
φ 4 = x 2 y 2 φ 1 ; φ 5 = x 4 φ 1 ; ψ = 0<br />
con lo cual û = Σa m φ m satisface las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> esenciales. Si adoptamos a W l = φ l ,<br />
entonces W l también satisface la condición necesaria para utilizar la formulación anterior. Las<br />
componentes <strong>de</strong> la matriz K y el vector f resultan<br />
K lm =<br />
∫ 1<br />
∫ 1<br />
−1<br />
−1<br />
( ∂φl ∂φ m<br />
∂x ∂x + ∂φ l<br />
∂y<br />
)<br />
∂φ m<br />
∂y<br />
dx dy ; l, m = 1, 2, ..,5<br />
∫ 1 ( πy<br />
)<br />
f l = 2 φ l | x=1<br />
cos<br />
−1<br />
2<br />
dy ; l = 1, 2, ..,5<br />
17
<strong>de</strong> don<strong>de</strong><br />
⎡<br />
K =<br />
⎢<br />
⎣<br />
16<br />
3<br />
16<br />
9<br />
176<br />
45<br />
Sim.<br />
16<br />
15<br />
16<br />
45<br />
176<br />
105<br />
16<br />
45<br />
976<br />
1575<br />
176<br />
315<br />
2224<br />
4725<br />
16<br />
15<br />
2192<br />
525<br />
16<br />
75<br />
16<br />
25<br />
5168<br />
945<br />
y los valores <strong>de</strong> a i obtenidos al resolver el sistema Ka = f son<br />
⎤<br />
⎡<br />
; f =<br />
⎥ ⎢<br />
⎦ ⎣<br />
64<br />
π 3<br />
64<br />
π 3<br />
320π 2 − 3072<br />
π 5<br />
320π 2 − 3072<br />
π 5<br />
[a] T = [ 0,276308, 0,339251, −0,05875, −0,09221, 0,077615 ]<br />
64<br />
π 3<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
1.4.4.1. Ejercicios<br />
Ejercicio N ◦ 17: a partir <strong>de</strong>l Ejemplo 6<br />
a) Graficar la distribución <strong>de</strong> la temperatura en la placa.<br />
b) Calcule la <strong>de</strong>rivada direccional ∂û/∂n en el contorno Γ σ y verifique la condición <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>.<br />
Ejercicio N ◦ 18: la ecuación que gobierna la variación <strong>de</strong> temperatura T <strong>de</strong> un fluido viscoso<br />
fluyendo entre dos placas paralelas (y = 0 e y = 2H) está dada por<br />
d 2 T<br />
dy = µ ( )<br />
2 −4u2 H − y<br />
2<br />
H 4 k<br />
don<strong>de</strong> µ, k, y u son la viscosidad, conductividad térmica y velocidad máxima <strong>de</strong>l fluido respectivamente.<br />
Si µ = 0,1, k = 0,08, H = 3,0 y u = 3,0, entonces<br />
a) Utilizando el método <strong>de</strong> Galerkin calcular la distribución <strong>de</strong> la temperatura cuando una<br />
placa se mantiene a una temperatura T = 0, mientras en la otra no hay flujo <strong>de</strong> calor (es <strong>de</strong>cir,<br />
dT/dy = 0)<br />
b) Comparar con la solución exacta <strong>de</strong>l problema.<br />
Ejercicio N ◦ 19: Sea el problema <strong>de</strong> flujo <strong>de</strong> calor unidimensional <strong>de</strong> una barra <strong>de</strong> longitud 10<br />
cm y diámetro 1 cm., uno <strong>de</strong> cuyos extremos se mantiene a 50 ◦ C mientras en el otro se introduce<br />
calor en la relación <strong>de</strong> 200W/cm 2 . Si k = 75W/cm ◦ C y si se genera calor en la proporción <strong>de</strong><br />
150T W/cm 2 por unidad <strong>de</strong> longitud, don<strong>de</strong> T es la temperatura,<br />
a) Utilizando el método <strong>de</strong> Galerkin, calcule la distribución <strong>de</strong> temperaturas en la barra.<br />
b) Compare con la solución exacta y muestre la convergencia <strong>de</strong> la solución a medida que se<br />
aumenta el número <strong>de</strong> términos en la aproximación.<br />
Ejercicio N ◦ 20: resolver el Ejercicio N ◦ 8 utilizando Galerkin con una formulación débil y una<br />
aproximación que no satisfaga automáticamente las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> naturales. Adoptar como<br />
condición <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> la <strong>de</strong> una viga simplemente apoyada, es <strong>de</strong>cir, u = d 2 u/dx 2 = 0 en ambos<br />
extremos.<br />
Ejercicio N ◦ 21: una barra larga <strong>de</strong> sección rectangular, con una conductividad térmica <strong>de</strong> k =<br />
1,5W/m ◦ C está sujeta a las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> que se muestran en la figura Fig. 1.2: dos lados<br />
opuestos se mantienen a temperatura uniforme <strong>de</strong> 180 ◦ C, un lado está aislado y el restante posee<br />
una condición <strong>de</strong> convección con T ∞ = 25 ◦ C y p = 50W/m 2 ◦ C. Determinar la distribución <strong>de</strong><br />
temperatura <strong>de</strong> la barra. Nota: en un mo<strong>de</strong>lo por E.F., la temperatura en los nodos 1, 2, y 3 fueron<br />
<strong>de</strong> 124,5, 34,0, y 45,4 ◦ C respectivamente.<br />
18
Figura 2<br />
Ejercicio 21. a) Problema b) Discretizacion por E.F.<br />
Ejercicio N ◦ 22: resolver la ecuación <strong>de</strong>l calor en una región cuadrada −1 ≤ x, y ≤ 1 si los<br />
lados y = ±1 se mantienen a 100 ◦ C mientras los lados x = ±1 están sujetos a la condición<br />
∂u/∂n = −1 − u.<br />
Ejercicio N ◦ 23: mostrar que en el problema <strong>de</strong>l Ejercicio N ◦ 10 la condición <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> ∂ 2 u/∂n 2 =<br />
0 en Γ es una condición <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> natural. Resolver el problema y comparar con la respuesta<br />
obtenida en el Ej. N ◦ 10.<br />
Ecuación diferencial ay ′′ + b y ′ + cy = 0<br />
Ecuación característica a m 2 + b m + c = 0<br />
Raíces <strong>de</strong> le ecuación característica Discriminante Solución Completa<br />
Reales y distintas m 1 ≠ m 2 b 2 − 4ac > 0 y = C 1 e m1x + C 2 e m 2x<br />
Reales e iguales m 1 = m 2 b 2 − 4ac = 0 y = C 1 e m1x + C 2 e m 2x<br />
Compl. Conjug. m 1−2 = p + i q b 2 − 4ac < 0 y = e px (A cos qx + B sin qx)<br />
Cuadro 1.1<br />
Solución para la ecuación homogénea<br />
Ecuación diferencial ay ′′ + b y ′ + cy = f(x)<br />
f(x) forma <strong>de</strong> la integral particular<br />
1. α A<br />
2. αx n A 0 x n + A 1 x n−1 + ... + A n−1 x 1 + A n<br />
(n entero positivo)<br />
3. αe rx A e rx<br />
(r real o complejo)<br />
4. α cos(kx) A cos(kx) + B sin(kx)<br />
5. α sin(kx)<br />
6. α x n e rx cos(kx) (A 0 x n + ... + A n−1 x 1 + A n ) e rx cos(kx)+<br />
7. α x n e rx sin(kx) (B 0 x n + ... + B n−1 x 1 + B n ) e rx sin(kx)<br />
Cuadro 1.2<br />
Solución para la ecuación no homogénea<br />
19
Cuando f (x) está formada por la suma <strong>de</strong> varios términos, la solución particular <strong>de</strong> la suma<br />
es las soluciones particulares correspondientes a cada uno <strong>de</strong> estos términos<br />
Siempre que un término en cualquiera <strong>de</strong> las soluciones particulares enumeradas esté contenida<br />
también en la solución <strong>de</strong> la homogénea, hay que multiplicar todos los términos <strong>de</strong><br />
esa solución particular por la menor potencia entera positiva <strong>de</strong> x que permita eliminar la<br />
duplicación.<br />
20
<strong>Capítulo</strong> 2 El método <strong>de</strong> elementos finitos<br />
<strong>Funciones</strong> <strong>de</strong> <strong>prueba</strong> por tramos<br />
por A. Brewer<br />
2.1. Introducción<br />
El método <strong>de</strong> Galerkin es una po<strong>de</strong>rosa herramienta para proponer soluciones aproximadas a<br />
problemas <strong>de</strong> contorno, pero presenta una seria limitación: el método no establece un procedimiento<br />
sistemático para la construcción <strong>de</strong> las funciones <strong>de</strong> <strong>prueba</strong> φ j necesarias para <strong>de</strong>terminar la forma<br />
<strong>de</strong> las aproximaciones û. Salvo los requerimientos <strong>de</strong> in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ncia, continuidad y <strong>de</strong>rivabilidad,<br />
estas funciones son arbitrarias por lo que el analista <strong>de</strong>be enfrentar el problema <strong>de</strong> elegir entre<br />
distintas posibilida<strong>de</strong>s alguna <strong>de</strong> las cuales pue<strong>de</strong>n resultar no tan claras. Lo que si está claro es<br />
que la calidad <strong>de</strong> la solución <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>rá fuertemente <strong>de</strong> las propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> las funciones elegidas.<br />
La situación empeora en problemas <strong>de</strong> dos (2D) y tres dimensiones (3D) en los que las φ j <strong>de</strong>ben<br />
diseñarse para satisfacer las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> en contornos que pue<strong>de</strong>n presentar geometrías<br />
complicadas. Por otro lado, una mala elección <strong>de</strong> las funciones φ j pue<strong>de</strong> producir matrices K mal<br />
condicionadas que hagan dificil o imposible la solución <strong>de</strong>l problema Ku = f <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> los límites<br />
<strong>de</strong> la precisión esperada.<br />
La alternativa es dividir el dominio Ω en subdominios o elementos Ω e no superpuestos y<br />
entonces construir una aproximación û por tramos sobre cada subdominio; e inclusive, se pue<strong>de</strong>n<br />
utilizar distintas expresiones en cada uno <strong>de</strong> los subdominios en que se ha particionado Ω. En<br />
este caso, las integrales <strong>de</strong>finidas sobre todo el dominio pue<strong>de</strong>n obtenerse como la suma <strong>de</strong> las<br />
contribuciones <strong>de</strong> cada uno <strong>de</strong> los elementos<br />
asumiendo, claro está, que<br />
∫<br />
∫<br />
Ω<br />
Γ<br />
W i R Ω _dΩ =<br />
__<br />
W i R Γ _dΓ =<br />
E∑<br />
Ω e = Ω,<br />
e=1<br />
E∑<br />
∫<br />
e=1<br />
E∑<br />
e=1<br />
Ω e W i R Ω _dΩ (2.1)<br />
∫Γ e __<br />
W i R Γ _dΓ (2.2)<br />
E∑<br />
Γ e = Γ (2.3)<br />
En estas expresiones E representa el número <strong>de</strong> subdivisiones <strong>de</strong> la región Ω y Γ e la parte <strong>de</strong>l<br />
contorno <strong>de</strong> Ω e que se solapa con Γ. De esta manera, pue<strong>de</strong>n mo<strong>de</strong>larse dominios cuyos contornos<br />
sean más o menos complicados.<br />
La <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> funciones <strong>de</strong> <strong>prueba</strong> por tramos pue<strong>de</strong> significar la aparición <strong>de</strong> discontinuida<strong>de</strong>s<br />
en la función o sus <strong>de</strong>rivadas. Algún grado <strong>de</strong> discontinuidad pue<strong>de</strong> ser admitido, pero esto<br />
condicionará el tipo <strong>de</strong> formulación utilizada.<br />
Por último notemos que si la evaluación <strong>de</strong> las integrales en las ec.(2.1) y (2.2) se realiza<br />
sobre los subdominios resultará muy ventajoso <strong>de</strong>finir las funciones <strong>de</strong> forma utilizando un soporte<br />
compacto <strong>de</strong> tal modo que su valor sea nulo en todas partes a excepción <strong>de</strong>l elemento en cuestión<br />
y <strong>de</strong> los adyacentes al mismo.<br />
e=1<br />
21
2.2. Aproximación mediante funciones <strong>de</strong> forma <strong>de</strong> soporte compacto<br />
En la Fig.1 se muestra la aproximación <strong>de</strong> una función arbitraria en un dominio unidimensional<br />
Ω = [0, L]. La división <strong>de</strong> Ω en E elementos (E = M − 1) se realiza eligiendo puntos x i<br />
(x i = 1, 2, ...M ) en Ω, con x 1 = 0 y x M = L y <strong>de</strong>finiendo el elemento Ω e como el intervalo<br />
x e ≤ x ≤ x e+1 .<br />
En la Fig.1.a se muestra como pue<strong>de</strong> aproximarse una función u utilizando el método <strong>de</strong><br />
colocación mediante el cual se construye la aproximación û que toma valores constantes en cada<br />
elemento. La función obtenida no es continua en los puntos <strong>de</strong> conexión <strong>de</strong> los elementos<br />
(x i ; i = 2, ...M − 1). Se han elegido como puntos <strong>de</strong> colocación los puntos medios <strong>de</strong> cada elemento;<br />
estos puntos reciben el nombre <strong>de</strong> nudos o nodos. En el método <strong>de</strong> elementos finitos se<br />
numeran los elementos y los nudos. En este caso la numeración es bastante obvia numerándose<br />
como nudo j el correspondiente al elemento j. La función û pue<strong>de</strong> escribirse en forma estándar<br />
como<br />
u ≃ û = ψ +<br />
que particularizada al presente caso resulta en<br />
u ≃ û =<br />
M−1<br />
∑<br />
j=1<br />
M−1<br />
∑<br />
j=1<br />
a j φ j en Ω (2.4)<br />
û j φ j en Ω (2.5)<br />
en la que se ha omitido la función ψ.; φ j representa una función <strong>de</strong> forma global discontinua<br />
<strong>de</strong>finida para tomar el valor 1 sobre el elemento j y cero sobre los otros elementos; y û j es el valor<br />
que toma la función u en el nodo j. Des<strong>de</strong> un punto <strong>de</strong> vista elemental, la aproximación resulta<br />
u ≃ û = û e N e = û e en el elemento e (2.6)<br />
La aproximación û no coincidirá en los extremos <strong>de</strong>l dominio (x = 0, x = L) con los valores que<br />
toma la función original u en los mismos, sin embargo, estos valores pue<strong>de</strong>n aproximarse tanto<br />
como se quiera reduciendo la longitud <strong>de</strong> los elementos para x = 0 y x = L.<br />
En la Fig.1.b se ha utilizado la misma subdivisión <strong>de</strong>l dominio pero se mejoró la discretización<br />
adoptando una variación lineal en cada elemento. En este caso los nudos se <strong>de</strong>finen coinci<strong>de</strong>ntes<br />
con los extremos <strong>de</strong>l elemento y se asocia una función <strong>de</strong> forma global φ i a cada nudo i con la<br />
propiedad <strong>de</strong> que φ i es no nula en los elementos conectados por este nudo, vale 1 sobre el nudo i<br />
y cero en los otros nudos. Entonces, <strong>de</strong>s<strong>de</strong> un punto <strong>de</strong> vista global se pue<strong>de</strong> escribir<br />
con<br />
φ j<br />
⎧⎪ ⎨<br />
⎪ ⎩<br />
u ≃ û =<br />
M∑<br />
û j φ j en Ω (2.7)<br />
j=1<br />
x − x j−1<br />
h j<br />
para x j−1 ≤ x ≤ x j<br />
x j+1 − x<br />
h j+1<br />
para x j ≤ x ≤ x j+1<br />
0 para x ≤ x j−1 y x ≥ x j+1<br />
(2.8)<br />
en la que û j es valor que toma u en el nodo j. En consecuencia, la aproximación (2.7) automáticamente<br />
coinci<strong>de</strong> en los extremos <strong>de</strong> Ω con los valores <strong>de</strong> u y no es necesario utilizar una función<br />
ψ. Si la aproximación se consi<strong>de</strong>ra <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el elemento entonces<br />
u ≃ û = u i N e i + u jN e j en el elemento e (2.9)<br />
en la que u i y u j son los valores <strong>de</strong> u en los nodos i y j y N e i y N e j las funciones <strong>de</strong> interpolación<br />
lineales <strong>de</strong>finidas como:<br />
22
Figura 1<br />
Aproximación <strong>de</strong> una función mediante:<br />
a) elementos constantes y<br />
b) elementos <strong>de</strong> variación lineal<br />
N e i = he − (x − x i )<br />
h e<br />
Nj e = x − x i<br />
(2.10)<br />
h e<br />
en la que h e = x j − x i .<br />
Las dos aproximaciones presentadas permiten aproximar la función propuesta tanto como se<br />
quiera en la medida en que se aumente el número <strong>de</strong> subdivisiones <strong>de</strong>l dominio.<br />
23
Finalmente, los coeficientes <strong>de</strong> la aproximación se obtienen minimizando el residuo,<br />
∫ L<br />
0<br />
φ i (u − û) dx = 0 (2.11)<br />
en don<strong>de</strong> se ha usado como función <strong>de</strong> peso las mismas funciones <strong>de</strong> <strong>prueba</strong> que las usadas en la<br />
aproximación (2.7). Los pasos restantes son idénticos a los ya utilizados en el capítulo anterior.<br />
2.3. Aproximación a la solución <strong>de</strong> ecuaciones diferenciales —<br />
condiciones <strong>de</strong> continuidad<br />
Las funciones <strong>de</strong> aproximación <strong>de</strong>finidas en la sección anterior, pue<strong>de</strong>n ser utilizadas en la<br />
solución <strong>de</strong> ecuaciones diferenciales. Recor<strong>de</strong>mos la forma general <strong>de</strong> una ecuación diferencial en<br />
una dimensión<br />
A (u) = L (u) + p = 0 en Ω (2.12)<br />
sujeta a las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong><br />
B (u) = M (u) + r = 0 en Γ (2.13)<br />
<strong>de</strong> la que po<strong>de</strong>mos obtener una forma discreta a partir <strong>de</strong>l método <strong>de</strong> <strong>residuos</strong> pon<strong>de</strong>rados<br />
∫<br />
∫<br />
__<br />
W i R Ω dΩ + W i R Γ dΓ = 0 (2.14)<br />
con<br />
Ω<br />
Γ<br />
R Ω = L (û) + p (2.15)<br />
R Γ = M (û) + r (2.16)<br />
En la sección anterior se aproximó, una función utilizando funciones discontinuas, y funciones<br />
continuas con <strong>de</strong>rivadas discontinuas. La pregunta es: ¿pue<strong>de</strong>n utilizarse estas funciones habida<br />
cuenta que la ecuación (2.14) contiene <strong>de</strong>rivadas <strong>de</strong> las funciones <strong>de</strong> aproximación? Para contestar<br />
esta pregunta, consi<strong>de</strong>remos el caso <strong>de</strong> tres tipos <strong>de</strong> funciones <strong>de</strong> aproximación φ cerca <strong>de</strong>l punto<br />
A <strong>de</strong> unión <strong>de</strong> dos elementos unidimensionales. La primera función es discontinua en el punto A,<br />
mientras que la segunda muestra una discontinuidad en la <strong>de</strong>rivada primera, en el mismo punto,<br />
y la tercera una discontinuidad en la <strong>de</strong>rivada segunda. En consecuencia, las funciones ilustradas<br />
darán valores infinitos para la primera, segunda, y tercera <strong>de</strong>rivada respectivamente en los puntos<br />
don<strong>de</strong> dicha discontinuidad ocurre.<br />
Si vamos a evaluar la integral <strong>de</strong> <strong>residuos</strong> pon<strong>de</strong>rados (2.14), es <strong>de</strong>seable que dichos valores<br />
infinitos sean evitados, ya que <strong>de</strong> otra forma la integral pue<strong>de</strong> quedar in<strong>de</strong>terminada. Entonces,<br />
si aparecen <strong>de</strong>rivadas <strong>de</strong> or<strong>de</strong>n s en las integrales (2.14) (es <strong>de</strong>cir, que los operadores L o M<br />
contienen dichas <strong>de</strong>rivadas), <strong>de</strong>bemos asegurar que las <strong>de</strong>rivadas <strong>de</strong> or<strong>de</strong>n s − 1 sean continuas<br />
en las funciones <strong>de</strong> <strong>prueba</strong> φ j utilizadas en la aproximación. En otras palabras, diremos que es<br />
necesario que las funciones utilizadas muestren continuidad C s−1 .<br />
Por ejemplo, si estamos aproximando una función y no hay operadores diferenciales entonces s =<br />
0 y podremos utilizar las funciones <strong>de</strong> forma <strong>de</strong> la Fig.2.a. Si en cambio aparecen <strong>de</strong>rivadas primeras<br />
en los operadores L o M, entonces s = 1, y necesitaremos continuidad C 0 como la mostrada en la<br />
Fig.2.b. Si aparecen <strong>de</strong>rivadas segundas, entonces s = 2, y será necesaria continuidad C 1 , como se<br />
muestra en 2.c.<br />
Las condiciones <strong>de</strong> continuidad impuestas a las funciones <strong>de</strong> <strong>prueba</strong> son aplicables también<br />
a las funciones <strong>de</strong> peso W i . Por lo que en el caso <strong>de</strong> la ec. (2.14), podrán tomarse como válidas<br />
funciones <strong>de</strong> peso discontinuas con discontinuida<strong>de</strong>s finitas. En rigor, hemos utilizado funciones <strong>de</strong><br />
Dirac cuando <strong>de</strong>finimos la aproximación por colocación. En este caso se ha violado claramente la<br />
regla recién enunciada, pero esta excepción es permisible en la medida que la integral <strong>de</strong>l residuo<br />
adopte un valor finito. En general, este tipo <strong>de</strong> funciones <strong>de</strong> peso especiales no se utiliza y las<br />
reglas expuestas son suficientes.<br />
24
Figura 2<br />
Comportamiento <strong>de</strong> tres funciones <strong>de</strong> forma y sus <strong>de</strong>rivadas<br />
en la unión A <strong>de</strong> dos elementos unidimensionales<br />
2.4. Cálculos básicos en el método <strong>de</strong> elementos finitos<br />
A fin <strong>de</strong> po<strong>de</strong>r exponer claramente los aspectos más relevantes <strong>de</strong>l método <strong>de</strong> elementos finitos,<br />
analizaremos un ejemplo sencillo. Sea resolver la siguiente ecuación diferencial, cuya formulación<br />
fuerte es encontrar la función u que satisfaga la siguiente ecuación diferencial y condiciones <strong>de</strong><br />
bor<strong>de</strong>:<br />
− d2 u(x)<br />
dx 2 + u(x) = f(x) para 0 ≤ x ≤ 1<br />
y f(x) = x, u(0) = 0, u(1) = 0<br />
La minimización <strong>de</strong>l residuo <strong>de</strong> esta ecuación conduce a la expresión<br />
∫ 1<br />
0<br />
⎫<br />
⎪⎬<br />
⎪⎭<br />
(2.17)<br />
W i<br />
(<br />
− d2 û<br />
dx 2 + û − f(x) )<br />
dx = 0 (2.18)<br />
25
cuya forma débil resulta <strong>de</strong> la integración por partes <strong>de</strong>l primer término<br />
∫ 1<br />
0<br />
dW i<br />
dx<br />
dû<br />
dx dx − W i<br />
dû<br />
dx∣<br />
1<br />
0<br />
+<br />
∫ 1<br />
0<br />
W i û dx =<br />
∫ 1<br />
0<br />
W i f(x) dx (2.19)<br />
Finalmente, si las funciones <strong>de</strong> peso se eligen <strong>de</strong> tal forma que W i (0) = W i (1) = 0, entonces resulta<br />
∫ 1<br />
0<br />
( dWi<br />
dx<br />
)<br />
dû<br />
dx + W i û<br />
dx =<br />
∫ 1<br />
0<br />
W i f(x) dx (2.20)<br />
En la Fig.3 se ha dividido el dominio en 4 elementos <strong>de</strong>notados Ω i = 1, 2, 3, 4. Tomemos como<br />
aproximación para la función incógnita la <strong>de</strong>finida en la ec. (2.7)<br />
û =<br />
3∑<br />
u j φ j (2.21)<br />
j=1<br />
y para la función <strong>de</strong> peso la siguiente<br />
W i = φ i i = 1, 2, 3 (2.22)<br />
en las que u j son los valores <strong>de</strong> u en los nudos y las φ j las funciones <strong>de</strong> interpolación globales<br />
<strong>de</strong>finidas en ec. (2.8) y representadas en la Fig.4. Reemplazando las ec. (2.21) y (2.22) en la (2.20)<br />
se obtiene<br />
⎡<br />
∫ (<br />
1<br />
3∑<br />
) ( 3∑<br />
) ⎤ ∫ 1<br />
⎣φ i,x u j φ j + φ i u j φ j<br />
⎦ dx = φ i f(x) dx ; i = 1, 2, 3 (2.23)<br />
0<br />
j=1<br />
,x<br />
j=1<br />
0<br />
don<strong>de</strong> (.) ,x = d (.) /dx. Esta expresión se pue<strong>de</strong> escribir como<br />
3∑<br />
[∫ 1<br />
j=1<br />
0<br />
(<br />
φi,x φ j,x + φ i φ j<br />
)<br />
dx<br />
]<br />
u j =<br />
∫ 1<br />
0<br />
φ i f(x) dx (2.24)<br />
o en forma compacta<br />
con<br />
3∑<br />
K ij u j = F i ; i = 1, 2, 3 (2.25)<br />
j=1<br />
K ij =<br />
∫ 1<br />
0<br />
F i =<br />
(<br />
φi,x φ j,x + φ i φ j<br />
)<br />
dx (2.26)<br />
∫ 1<br />
0<br />
f(x) φ i dx (2.27)<br />
Figura 3<br />
Discretización en 4 elementos<br />
26
2.4.1. Propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> la matriz K y <strong>de</strong>l vector F<br />
Examinemos algunas <strong>de</strong> las propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> la matriz K y <strong>de</strong>l vector F.<br />
a) Aditividad <strong>de</strong> la matriz K: esta es una <strong>de</strong> las propieda<strong>de</strong>s más importantes en el método<br />
<strong>de</strong> elementos finitos. Esta propiedad se <strong>de</strong>riva <strong>de</strong> la propiedad que poseen las integrales respecto a<br />
su dominio, es <strong>de</strong>cir<br />
K ij =<br />
∫ 1<br />
0<br />
(<br />
φi,x φ j,x + φ i φ j<br />
)<br />
dx =<br />
=<br />
∫ h<br />
0<br />
∫<br />
( ) 2h<br />
( )<br />
φi,x φ j,x + φ i φ j dx + φi,x φ j,x + φ i φ j dx+<br />
(2.28)<br />
∫ 3h<br />
∫<br />
( ) 1<br />
( )<br />
+ φi,x φ j,x + φ i φ j dx + φi,x φ j,x + φ i φ j dx =<br />
2h 3h<br />
= ∑ ∫<br />
4 ( ) ∑ 4<br />
φi,x φ j,x + φ i φ j dx =<br />
e=1<br />
Ω<br />
e=1 Ke ij<br />
e<br />
∫<br />
en la que <strong>de</strong>nota integración sobre el elemento Ω e . Pero en el interior <strong>de</strong>l elemento (ver ecs.2.8<br />
Ω e<br />
y 2.10) se satisfacen las igualda<strong>de</strong>s φ i = N i y φ j = N j . Entonces, po<strong>de</strong>mos escribir<br />
∫<br />
∫<br />
Kij e = ( )<br />
φi,x φ j,x + φ i φ j dx = (N i,x N j,x + N i N j ) dx (2.29)<br />
Ω e Ω e<br />
representa las componentes <strong>de</strong> la matriz <strong>de</strong> “rigi<strong>de</strong>z” elemental para el elemento Ω e , y en<br />
consecuencia<br />
4∑<br />
K ij = Kij e (2.30)<br />
En forma análoga,<br />
F i =<br />
4∑<br />
e=1<br />
F e<br />
i ,<br />
e=1<br />
h<br />
∫<br />
F i e = f(x) N i dx (2.31)<br />
Ω e<br />
en don<strong>de</strong> Fi<br />
e son las componentes <strong>de</strong>l vector <strong>de</strong> “cargas” para el elemento Ω e y N i son las funciones<br />
elementales <strong>de</strong>finidas en (2.10). Debido a esta propiedad, es posible generar K y F calculando<br />
solamente las matrices K e y F e para un elemento típico Ω e y sumar luego las contribuciones según<br />
las ec.(2.30) y (2.31). Este procedimiento se conoce como ensamble y será elaborado más a<strong>de</strong>lante.<br />
b) La matriz K es ban<strong>de</strong>ada: para el ejemplo planteado, y las funciones <strong>de</strong> interpolación <strong>de</strong><br />
la fig. 4 resulta que φ i y φ j ≠ 0 cuando i = j o cuando i ≠ j con la condición <strong>de</strong> que los elementos<br />
compartan un nudo. Lo mismo suce<strong>de</strong> con las <strong>de</strong>rivadas, por lo que cuando i, j no satisfacen las<br />
condiciones anteriores resulta K ij = 0, lo que origina una matriz que presentará elementos no nulos<br />
en y próximos a la diagonal, zona esta que se conoce como banda <strong>de</strong> la matriz. Fuera <strong>de</strong> la banda<br />
los elementos son nulos. En general, el ancho <strong>de</strong> banda <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> la numeración <strong>de</strong> los nodos<br />
por lo <strong>de</strong>be prestarse especial atención a este aspecto.<br />
c) Simetría <strong>de</strong> K: Intercambiando los índices i, j en las expresiones integrales que <strong>de</strong>finen<br />
la matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z (2.29) , se obtiene el mismo resultado por lo que K ij = K ji , es <strong>de</strong>cir que la<br />
matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z es simétrica.<br />
Las propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong>scriptas anteriormente son importantes a la hora <strong>de</strong>finir la estrategia <strong>de</strong><br />
cálculo y programación <strong>de</strong>l método.<br />
2.4.2. Descripción global y local <strong>de</strong>l elemento.<br />
Retomemos el problema <strong>de</strong> calcular la contribución <strong>de</strong> cada elemento a: la matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z K<br />
global <strong>de</strong>l sistema (2.30) y al vector <strong>de</strong> cargas F (2.31).<br />
27
Figura 4<br />
<strong>Funciones</strong> <strong>de</strong> base y sus <strong>de</strong>rivadas<br />
A partir <strong>de</strong> la propiedad <strong>de</strong> aditividad, se observa que los cálculos son esencialmente repetitivos<br />
para cada elemento, por lo que sólo necesitamos realizarlos sobre un elemento típico. A tal fin, es<br />
conveniente introducir un punto <strong>de</strong> vista local <strong>de</strong>l elemento, ver fig. 5 . Para resaltar las diferencias<br />
con el punto <strong>de</strong> vista global, enunciemos las propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong>l elemento <strong>de</strong>s<strong>de</strong> ambos enfoques:<br />
a) Descripción global <strong>de</strong>l elemento<br />
1. Dominio [x i , x j ]<br />
2. Nudos {i, j}<br />
3. Grados <strong>de</strong> libertad {u i , u j }<br />
4. <strong>Funciones</strong> <strong>de</strong> forma {Ni e(x), N j e (x)} <strong>de</strong>finidas en las ec. (2.10)<br />
5. Función <strong>de</strong> interpolación:<br />
û e (x) = N e i (x) u i + N e j (x) u j<br />
en don<strong>de</strong> u i , u j son los valores <strong>de</strong> la función u en los nudos i y j.<br />
Las cantida<strong>de</strong>s anteriores están en función <strong>de</strong> parámetros globales, y las cantida<strong>de</strong>s correspondientes<br />
en coor<strong>de</strong>nadas locales se escriben<br />
b) Descripción local <strong>de</strong>l elemento<br />
28<br />
1. Dominio [ξ 1 , ξ 2 ]<br />
2. Nudos {1, 2}<br />
3. Grados <strong>de</strong> libertad {u 1 , u 2 }<br />
4. <strong>Funciones</strong> <strong>de</strong> forma {N e 1 (ξ), N e 2 (ξ)}<br />
5. Función <strong>de</strong> interpolación: û e (ξ) = N e 1 (ξ) u 1 + N e 2 (ξ) u 2; en don<strong>de</strong> u 1 , u 2 son los valores<br />
<strong>de</strong> la función u en los nudos 1 y 2.
Figura 5<br />
Descripción local y global <strong>de</strong>l elemento<br />
Notar que en la <strong>de</strong>scripción local, los nudos se empiezan a numerar <strong>de</strong>s<strong>de</strong> 1.<br />
Para relacionar los dominios local y global, utilizaremos una transformación afín <strong>de</strong>finida como:<br />
ξ : [x i , x j ] → [ξ 1 , ξ 2 ] tal que ξ(x i ) = ξ 1 y ξ(x j ) = ξ 2 (2.32)<br />
Es corriente adoptar ξ 1 = −1 y ξ 2 = 1, y entonces ξ pue<strong>de</strong> escribirse como<br />
ξ(x) = c 1 + c 2 x (2.33)<br />
en la que c 1 y c 2<br />
se <strong>de</strong>terminan al resolver el siguiente sistema<br />
c 1 + c 2 x i = −1<br />
c 1 + c 2 x j = 1<br />
(2.34)<br />
que conduce a<br />
ξ(x) = 2 x − x i − x j<br />
h e (2.35)<br />
en la que h e = x j − x i . La función inversa <strong>de</strong> ξ(x) se obtiene resolviendo x <strong>de</strong> la anterior<br />
x(ξ) = he ξ + x i + x j<br />
2<br />
(2.36)<br />
Utilizando esta expresión es posible <strong>de</strong>finir las funciones <strong>de</strong> forma locales a partir <strong>de</strong> las correspondientes<br />
globales. Reemplazando la ec. (2.36) en las ec. (2.10) se obtienen<br />
N1 e (ξ) = 1 2 (1 − ξ) N 2 e (ξ) = 1 (1 + ξ)<br />
2<br />
(2.37)<br />
29
que permiten completar el punto <strong>de</strong> vista local <strong>de</strong>l elemento. Notemos que, usando estas funciones<br />
<strong>de</strong> interpolación, la ec. (2.36) se pue<strong>de</strong> reescribir como<br />
x(ξ) = N e 1 (ξ) x i + N e 2 (ξ) x j (2.38)<br />
lo que muestra que la interpolación utilizada en el dominio es idéntica a la utilizada en la interpolación<br />
<strong>de</strong> la función u.<br />
Calculemos para uso posterior las siguientes <strong>de</strong>rivadas<br />
N e 1,ξ(ξ) = − 1 2 ; N e 2,ξ(ξ) = 1 2<br />
(2.39)<br />
x ,ξ (ξ) = he<br />
2 ; ξ ,x(x) = 2 h e = [x ,ξ(ξ)] −1 (2.40)<br />
2.4.3. Cálculo explícito <strong>de</strong> la matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z y <strong>de</strong>l vector <strong>de</strong> fuerzas elementales<br />
Antes <strong>de</strong> entrar <strong>de</strong> lleno en el cálculo recor<strong>de</strong>mos algunos resultados preliminares<br />
Fórmula para el cambio <strong>de</strong> variables:<br />
Sea una función integrable f : [x 1 , x 2 ] → R y sea x : [ξ 1 , ξ 2 ] → [x 1 , x 2 ] una función<br />
continuamente diferenciable con x(ξ 1 ) = x 1 y x(ξ 2 ) = x 2 . Entonces<br />
∫ x2<br />
∫ ξ2<br />
f(x) dx = f(x(ξ)) x ,ξ (ξ) dξ (2.41)<br />
x 1 ξ 1<br />
Regla <strong>de</strong> la ca<strong>de</strong>na:<br />
Sean f y x las mismas funciones anteriores y asumamos que f es diferenciable. Entones<br />
d<br />
dξ f(x(ξ)) = f ,x(x(ξ)) x ,ξ (ξ) (2.42)<br />
2.4.3.1. Cálculo <strong>de</strong> la matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z elemental<br />
A partir <strong>de</strong> estos resultados po<strong>de</strong>mos resolver la matriz, ec. (2.29), <strong>de</strong>l elemento como sigue<br />
∫<br />
Kij e = [N i,x (x)N j,x (x) + N i (x)N j (x)] dx<br />
Ω e<br />
=<br />
∫ 1<br />
[N i,x (x(ξ))N j,x (x(ξ)) + N i (x(ξ)) N j (x(ξ))] x ,ξ (ξ)dξ<br />
−1<br />
(2.43)<br />
=<br />
∫ 1 ∫ 1<br />
N i,ξ (ξ) N j,ξ (ξ) [x ,ξ (ξ)] −1 dξ + N i (ξ) N j (ξ) x ,ξ (ξ) dξ<br />
−1<br />
−1<br />
obtenida por un cambio <strong>de</strong> variables, con x(ξ) <strong>de</strong>finida en la ec. (2.36), y el uso <strong>de</strong> la regla <strong>de</strong> la<br />
ca<strong>de</strong>na (2.42). Resolviendo estas integrales resulta la siguiente matriz elemental<br />
30<br />
⎡<br />
K e = ⎢<br />
⎣<br />
1<br />
h + he<br />
e 3<br />
− 1 h e + he<br />
6<br />
− 1 h e + he<br />
6<br />
1<br />
h + he<br />
e 3<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
(2.44)
2.4.3.2. Cálculo <strong>de</strong>l vector <strong>de</strong> cargas<br />
Para nuestro ejemplo el vector <strong>de</strong> cargas esta dado por la ec. (2.31)<br />
∫<br />
Fi e = f(x) N i (x) dx<br />
Ω e<br />
(2.45)<br />
en la que para nuestro caso f(x) = x. Antes <strong>de</strong> resolver esta integral es conveniente aproximar la<br />
función f(x) escribiéndola globalmente como<br />
f(x) =<br />
4∑<br />
f e (x) =<br />
e=1<br />
4∑<br />
[N i (x) f i + N j (x) f j ] (2.46)<br />
e=1<br />
en la que f i = f(x i ) y f j = f(x j ). Llevando la ec. (2.46) a la ec. (2.45) y haciendo el cambio <strong>de</strong><br />
variables globales a locales resulta<br />
∫ 1<br />
Fi e = N i (ξ) [N i (ξ) f i + N j (ξ) f j ] x ,ξ (ξ) dξ<br />
−1<br />
F e j =<br />
∫ 1<br />
−1<br />
N j (ξ) [N i (ξ) f i + N j (ξ) f j ] x ,ξ (ξ) dξ<br />
que integradas conducen al siguiente vector <strong>de</strong> fuerzas elemental<br />
⎡<br />
F e = ⎣<br />
F e<br />
i<br />
F e j<br />
⎤<br />
⎦ = he<br />
6<br />
⎡<br />
⎣ 2 f ⎤<br />
i + f j<br />
⎦ (2.47)<br />
f i + 2 f j<br />
Tomando h = 1/4, y utilizando los resultados obtenidos resultan las siguientes matrices elementales:<br />
Elemento Ω 1<br />
⎡<br />
⎤<br />
⎡ ⎤<br />
98 0 0<br />
2<br />
K 1 = [ K 1 ij<br />
]<br />
=<br />
1<br />
24<br />
⎢<br />
⎣<br />
0 0 0<br />
0 0 0<br />
⎥<br />
⎦ ; F1 = { Fi<br />
1<br />
}<br />
=<br />
1<br />
96<br />
⎢ 0<br />
⎥<br />
⎣ ⎦<br />
0<br />
Elemento Ω 2<br />
K 2 = [ ]<br />
Kij<br />
2 1 =<br />
24<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
98 −95 0<br />
−95 98 0<br />
0 0 0<br />
⎤<br />
⎡<br />
⎥<br />
⎦ ; F2 = { }<br />
Fi<br />
2 1<br />
= 96 ⎢<br />
⎣<br />
4<br />
5<br />
0<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
Elemento Ω 3<br />
K 3 = [ ]<br />
Kij<br />
3 1 =<br />
24<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
0 0 0<br />
0 98 −95<br />
0 −95 98<br />
⎤<br />
⎡<br />
⎥<br />
⎦ ; F3 = { }<br />
Fi<br />
3 1<br />
= 96 ⎢<br />
⎣<br />
0<br />
7<br />
8<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
31
Elemento Ω 4<br />
K 4 = [ ]<br />
Kij<br />
4 1 =<br />
24<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
0 0 0<br />
0 0 0<br />
0 0 98<br />
⎤<br />
⎡<br />
⎥<br />
⎦ ; F4 = { }<br />
Fi<br />
4 1<br />
= 96 ⎢<br />
⎣<br />
0<br />
0<br />
10<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
y <strong>de</strong> acuerdo a las ec. (2.30) y (2.31) resulta<br />
⎡<br />
196 −95 0<br />
K = [K ij ] = K 1 + K 2 + K 3 + K 4 = 1 24 ⎢ −95 196 −95<br />
⎣<br />
0 −95 196<br />
⎡ ⎤<br />
6<br />
F = {F i } = F 1 + F 2 + F 3 + F 4 = 1 96 ⎢ 12<br />
⎥<br />
⎣ ⎦<br />
18<br />
que conducen, luego <strong>de</strong> resolver el sistema, a los siguientes valores nodales<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
u = [0,0353, 0,0569, 0,0505] T<br />
que permite escribir la solución aproximada como<br />
û = 0,0353 φ 1 + 0,0569 φ 2 + 0,0505 φ 3 (2.48)<br />
Ejercicio N ◦ 24: Calcular el vector <strong>de</strong> cargas F y la matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z K para un mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong><br />
elementos finitos <strong>de</strong> 4 elementos igualmente espaciados con funciones <strong>de</strong> base lineales para el<br />
siguiente problema<br />
−u ,xx = 1 , con 0 ≤ x ≤ 1<br />
Graficar la solución exacta y la aproximada.<br />
u(0) = u(1) = 0<br />
2.5. Estimación <strong>de</strong>l error en el MEF<br />
La necesidad <strong>de</strong> estimar el error aparece en forma natural, ya que <strong>de</strong> partida estamos obteniendo<br />
soluciones aproximadas. A<strong>de</strong>más, <strong>de</strong>bemos establecer la forma en que dicho error se verá<br />
afectado a medida que el número <strong>de</strong> elementos se incremente. Se <strong>de</strong>fine el error, e (x), <strong>de</strong> una<br />
aproximación como la diferencia entre el valor exacto y el aproximado<br />
e(x) = u (x) − û (x) (2.49)<br />
Es obvio que el verda<strong>de</strong>ro error no podrá ser evaluado si no se conoce la solución exacta; sin embargo,<br />
aun cuando u (x) sea <strong>de</strong>sconocido, es posible construir estimaciones <strong>de</strong>l error y <strong>de</strong>terminar<br />
si éste <strong>de</strong>crece a medida que aumenta el número <strong>de</strong> elementos. Tener información al respecto es <strong>de</strong><br />
gran utilidad cuando se <strong>de</strong>be elegir entre varios elementos o cuando habiendo elegido elemento, se<br />
<strong>de</strong>sea conocer la influencia que tendrá en la solución el duplicar o triplicar su número. De hecho,<br />
un análisis <strong>de</strong>l error pue<strong>de</strong> mostrar la incapacidad <strong>de</strong> algún elemento para resolver el problema<br />
entre manos.<br />
De la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> error se observa que éste es una función, y en consecuencia, si vamos a<br />
hablar <strong>de</strong> la exactitud <strong>de</strong> nuestra solución, <strong>de</strong>bemos ser capaces <strong>de</strong> cuantificar o medir el tamaño<br />
32
<strong>de</strong> funciones. Una medida universalmente aceptada como la magnitud <strong>de</strong> una función g, es un<br />
número positivo que se conoce como norma <strong>de</strong> g y se escribe ‖g‖. Si g ≡ 0, entonces ‖g‖ = 0;<br />
recíprocamente, si ‖g‖ = 0, entonces se interpreta que g es cero. De esto surge que para po<strong>de</strong>r<br />
estimar el error <strong>de</strong>bemos elegir la norma con la que mediremos nuestra aproximación.<br />
Las normas comúnmente utilizadas en conjunción con el MEF son tres: la norma basada en la<br />
energía ‖e‖ E<br />
, la norma media cuadrática ‖e‖ 0<br />
y la norma infinita o máxima ‖e‖ ∞<br />
.<br />
a) La <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> la norma energética ‖e‖ E<br />
está asociada a la forma que toma la energía<br />
elástica <strong>de</strong>l problema entre manos. Tomemos por ejemplo el problema <strong>de</strong>finido en la sección anterior<br />
mediante la (2.17) y cuya solución esta dada en la expresión (2.48). Esta solución se pue<strong>de</strong> escribir<br />
en forma compacta como<br />
u (x) = φ u = u T φ T<br />
en don<strong>de</strong> φ = [φ 1 , φ 2 , φ 3 ] y u = [u 1 , u 2 , u 3 ] T contienen las funciones <strong>de</strong> forma y los <strong>de</strong>splazamientos<br />
nodales respectivamente. Mostremos que la energía <strong>de</strong> <strong>de</strong>formación aproximada es<br />
U = 1 2<br />
∫ 1<br />
[<br />
(û,x ) 2 + û 2] dx<br />
0<br />
= 1 2<br />
∫ 1<br />
[<br />
0 u T φ Ț x φ ,xu + u T φ T φ u ] dx<br />
= 1 { ∫ 1 [<br />
2 uT 0 φ<br />
T<br />
,x φ ,x + φ T φ ] }<br />
dx u<br />
= 1 2 uT K u<br />
Entonces, se <strong>de</strong>fine a la norma energética <strong>de</strong>l error como la raíz cuadrada <strong>de</strong>l doble <strong>de</strong> la energía<br />
<strong>de</strong> <strong>de</strong>formación producida por el error<br />
{∫ 1<br />
‖e‖ E<br />
=<br />
0<br />
[<br />
(e,x ) 2 + e 2] } 1/2<br />
dx<br />
(2.50)<br />
Esta norma es una <strong>de</strong> las formas mas naturales y significativas <strong>de</strong> cuantificar el error. Si la aproximación<br />
adoptada muestra un buen comportamiento respecto <strong>de</strong> esta norma a medida que se refina<br />
la malla, po<strong>de</strong>mos, en general, asegurar que tenemos un método <strong>de</strong> aproximación aceptable.<br />
b) La norma media cuadrática (L 2 o “L-dos”) mi<strong>de</strong> la raíz media cuadrática <strong>de</strong>l error <strong>de</strong><br />
una función en su dominio y se <strong>de</strong>fine por<br />
(∫ 1 1/2<br />
‖e‖ 0<br />
= e dx) 2 (2.51)<br />
0<br />
c) La norma infinita o máxima mi<strong>de</strong> el máximo valor absoluto <strong>de</strong> la función en su dominio<br />
‖e‖ ∞<br />
= max |e (x)| 0 ≤ x ≤ 1 (2.52)<br />
2.5.1. Estimaciones asintóticas <strong>de</strong>l error<br />
En las aplicaciones <strong>de</strong>l MEF es común buscar “estimaciones asintóticas” <strong>de</strong> las normas recién<br />
<strong>de</strong>finidas, es <strong>de</strong>cir, estimaciones <strong>de</strong> la forma<br />
‖e‖ ≤ Ch p (2.53)<br />
en las que h es la longitud <strong>de</strong> los elementos utilizados para discretizar el dominio, C es una<br />
constante que <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> los datos <strong>de</strong>l problema y p es un entero que <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> las funciones <strong>de</strong><br />
base adoptadas en los elementos. El exponente p es una medida <strong>de</strong> la velocidad <strong>de</strong> convergencia <strong>de</strong>l<br />
método respecto a una norma en particular. Es posible que existan situaciones en las que se obtiene<br />
33
convergencia respecto a una norma y no respecto a otra; <strong>de</strong> hecho la noción <strong>de</strong> convergencia es,<br />
sin dudas, <strong>de</strong>pendiente <strong>de</strong> la norma adoptada.<br />
Las estimaciones <strong>de</strong>l error que como la (2.53) no requieren información <strong>de</strong> la solución, se conocen<br />
como estimaciones a priori. En contraposición, las estimaciones que necesitan <strong>de</strong> la solución para<br />
ser evaluadas, se conocen como estimaciones a posteriori. Para el problema planteado, se pue<strong>de</strong><br />
<strong>de</strong>mostrar que las estimaciones a priori, para funciones <strong>de</strong> interpolación lineales, son<br />
‖e‖ E<br />
≤ C 1 h<br />
‖e‖ 0<br />
≤ C 2 h 2<br />
‖e‖ ∞<br />
≤ C 3 h 2 (2.54)<br />
Existen otras medidas <strong>de</strong>l error que pue<strong>de</strong>n ser <strong>de</strong> interés, como por ejemplo<br />
∣<br />
∣ ∣∣<br />
‖e ,x ‖ ∞<br />
= max ∣e (x) ,x 0 ≤ x ≤ 1<br />
o<br />
‖e ,xx ‖ ∞<br />
, ‖e ,x ‖ 0<br />
o ‖e ,xx ‖ 0<br />
Inclusive, se pue<strong>de</strong> evaluar el error puntualmente calculando |e (ξ)|, don<strong>de</strong> ξ es un punto <strong>de</strong>l<br />
dominio <strong>de</strong> la solución. Digamos que muchos elementos presentan puntos <strong>de</strong> superconvergencia,<br />
en los que se observa altas velocida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> convergencia (y en consecuencia elevada exactitud). De<br />
todos modos, las normas (2.54) son las más útiles cuando se utiliza el MEF.<br />
Volviendo a la expresión (2.53) <strong>de</strong>staquemos que una ecuación <strong>de</strong> la forma<br />
E (h) = C h p<br />
es una recta cuando se grafica en coor<strong>de</strong>nadas log-log esto es<br />
log E = p log h + log C<br />
<strong>de</strong> don<strong>de</strong> si graficamos log ‖e‖ versus logh obtendremos la velocidad <strong>de</strong> convergencia para la norma<br />
‖ ˙_‖ ya que ésta coinci<strong>de</strong> con la pendiente <strong>de</strong> la recta. En la Fig.6 se muestra el comportamiento<br />
<strong>de</strong>l error energético y medio cuadrático para el ejemplo consi<strong>de</strong>rado.<br />
Ejercicio N ◦ 25: Calcular la solución exacta y la solución con dos, cuatro y seis elementos para<br />
el problema <strong>de</strong> contorno <strong>de</strong>finido por<br />
−u ,xx = 1 − x 2 ; 0 ≤ x ≤ 1<br />
u (0) = 0 ; u (1) = 0<br />
a) Calcular las normas <strong>de</strong>l error ‖e‖ E<br />
y ‖e‖ 0<br />
para cada malla y graficar log ‖e‖ vs log h. Indique<br />
las velocida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> convergencia para cada norma.<br />
b) Calcule el error puntual en x = 1/8 para cada malla. Cual es la velocidad <strong>de</strong> convergencia en<br />
ese punto?<br />
c) I<strong>de</strong>m para el punto <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nada x = 1/2. Que encuentra <strong>de</strong> particular en este punto?<br />
Nota: este resultado no es habitual y no tipifica a las aproximaciones por EF.<br />
34
Figura 6<br />
Curvas <strong>de</strong>l error utilizando ejes log-log<br />
35
<strong>Capítulo</strong> 3 Formulación <strong>de</strong>l problema <strong>de</strong> segundo<br />
or<strong>de</strong>n con dos condiciones <strong>de</strong> contorno<br />
por A. Brewer<br />
3.1. Introducción<br />
Trataremos <strong>de</strong> establecer algunas resultados generales <strong>de</strong>l MEF utilizando un problema unidimensional<br />
caracterizado por la siguiente ecuación diferencial<br />
a 0 (x) d2 u(x)<br />
dx 2<br />
+ a 1 (x) du(x)<br />
dx + a 2(x) u(x) = f(x) (3.1)<br />
en la que u(x) es la función incógnita, a 0 , a 1 y a 2 son coeficientes que, como la función f, <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>n<br />
<strong>de</strong> la variable utilizada para <strong>de</strong>scribir el dominio. La ec. (3.1) es lineal <strong>de</strong>bido a que la incógnita<br />
u(x) y sus <strong>de</strong>rivadas aparecen linealmente en la ecuación. Como consecuencia inmediata <strong>de</strong> la<br />
linealidad, se pue<strong>de</strong> aplicar el principio <strong>de</strong> superposición: si u = u 1 es solución <strong>de</strong> la ec. (3.1) para<br />
<strong>de</strong>terminada función f = f 1 y u = u 2 es la solución obtenida para f = f 2 entonces para constantes<br />
arbitrarias α y β resulta que α u 1 + β u 2 es la solución <strong>de</strong>l problema cuando f = α f 1 + β f 2 . La<br />
ecuación se dice <strong>de</strong> segundo or<strong>de</strong>n por el máximo or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivación <strong>de</strong> la incógnita presente.<br />
Trataremos en seguida el caso en el cual la ecuación diferencial (3.1) se satisface solamente<br />
en los subdominios <strong>de</strong>l problema y <strong>de</strong>terminaremos las condiciones que <strong>de</strong>ben satisfacerse en las<br />
interfaces <strong>de</strong> estos subdominos.<br />
Es sabido que la integración <strong>de</strong> la ec. (3.1) en un subintervalo conducirá a una solución general<br />
que contiene dos constantes arbitrarias. Una especificación completa <strong>de</strong>l problema, <strong>de</strong>berá entonces<br />
incluir, a<strong>de</strong>más <strong>de</strong> la ecuación diferencial, información adicional que permita <strong>de</strong>terminar estas dos<br />
constantes. Esta información es lo que se conoce como condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> en el intervalo. En<br />
estas notas, se tratarán problemas <strong>de</strong> contorno elípticos en los que el coeficiente a 0 (x) nunca<br />
cambia <strong>de</strong> signo o se anula en el dominio y a<strong>de</strong>más, las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> se fijan una en cada<br />
extremo <strong>de</strong>l intervalo e involucran solamente los valores <strong>de</strong> la función y/o sus <strong>de</strong>rivadas primeras.<br />
En consecuencia, las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> más generales asociadas con la ec. (3.1), que satisfacen<br />
las imposiciones anteriores y que preservan la linealidad <strong>de</strong>l problema, pue<strong>de</strong>n escribirse como<br />
α 0<br />
du(0)<br />
dx + β 0 u(0) = γ 0<br />
α L<br />
du(L)<br />
dx + β L u(L) = γ L (3.2)<br />
en la que α 0 , β 0 , γ 0 , α L , β L , y γ L son constantes.<br />
3.2. Origen físico <strong>de</strong>l problema<br />
En la primera parte, se muestra cómo <strong>de</strong>be formularse un problema que posee algunas discontinuida<strong>de</strong>s<br />
y posteriormente se presenta la formulación débil, que incluirá en forma natural las<br />
discontinuida<strong>de</strong>s presentes.<br />
En general, la ec. (3.1) tiene su origen en la <strong>de</strong>scripción matemática <strong>de</strong> fenómenos físicos que no<br />
<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>n <strong>de</strong>l tiempo. A continuación haremos una <strong>de</strong>scripción en abstracto <strong>de</strong> dichos problemas (es<br />
<strong>de</strong>cir, sin una referencia específica a ninguno <strong>de</strong> ellos). Mostraremos cómo se obtienen la ecuación<br />
diferencial y las <strong>de</strong>más condiciones necesarias para la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong>l problema a partir <strong>de</strong> imponer<br />
una condición <strong>de</strong> “suavidad” sobre la solución que se busca, y <strong>de</strong> un principio físico al que nos<br />
37
eferiremos como ” ley <strong>de</strong> conservación”. Estos resultados serán <strong>de</strong> aplicación a un amplio rango <strong>de</strong><br />
problemas prácticos que serán i<strong>de</strong>ntificados asociando los coeficientes y funciones <strong>de</strong> la ec. (3.1) con<br />
las variables físicas apropiadas al problema entre manos. Muchos problemas se formulan utilizando<br />
dos variables: las variable <strong>de</strong> estado u y el flujo σ. Estas variables se relacionan entre si mediante<br />
una ecuación constitutiva, que contiene una <strong>de</strong>scripción <strong>de</strong>l material en el cual se <strong>de</strong>sarrolla el<br />
proceso en estudio.<br />
La ecuación constitutiva que <strong>de</strong>scribe el comportamiento para materiales lineales es <strong>de</strong> la forma<br />
σ(x) = −k(x) du(x)<br />
dx<br />
(3.3)<br />
en la que k(x) se conoce como módulo <strong>de</strong>l material y es un dato <strong>de</strong>l problema. Asumiremos que<br />
k(x) es siempre positivo o negativo.<br />
La ley <strong>de</strong> conservación es un enunciado que condiciona al flujo en el sentido <strong>de</strong> que para un<br />
<strong>de</strong>terminado subdominio el flujo neto que entra al subdominio es cero (es <strong>de</strong>cir, el flujo se conserva).<br />
El flujo pue<strong>de</strong> estar presente en el sistema <strong>de</strong> dos formas: una a través <strong>de</strong> una distribución interna<br />
<strong>de</strong> fuentes, <strong>de</strong>scriptas por la función f (x), y otra a través <strong>de</strong>l bor<strong>de</strong> <strong>de</strong> la región. En la tabla3.1 se<br />
muestran distintas interpretaciones <strong>de</strong> u, σ, k, y f para distintos problemas físicos.<br />
A parte <strong>de</strong> la ley <strong>de</strong> conservación y <strong>de</strong> la ecuación constitutiva, aparecen condiciones sobre<br />
la variable <strong>de</strong> estado u: en todos los problemas <strong>de</strong> interés se requiere que u(x) sea una función<br />
continua <strong>de</strong> x. A esta condición, se le pue<strong>de</strong> agregar que u(x) tome un valor <strong>de</strong>terminado en uno<br />
o ambos extremos. Esta condición se llama condición <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> esencial. Toda otra condición<br />
en problemas <strong>de</strong> contorno, son <strong>de</strong>rivables a partir <strong>de</strong>l principio <strong>de</strong> conservación.<br />
Para fijar i<strong>de</strong>as, consi<strong>de</strong>remos un problema unidimensional que sea representativo <strong>de</strong> las condiciones<br />
recién enunciadas. Sea por ejemplo una barra en el dominio [0, L] como se muestra en la<br />
Fig. 1. El cuerpo esta formado por dos materiales, uno en el intervalo [0, x 1 ] y otro en el intervalo<br />
[x 1 , L]. Si bien el módulo k sufre una discontinuidad en x 1 , se asume que es continuo en cada uno<br />
<strong>de</strong> los subdominios.<br />
Variable Módulo <strong>de</strong>l Ecuación<br />
Problema Principio <strong>de</strong> <strong>de</strong> estado Flujo material Fuente Constitutiva<br />
físico conservación u σ k f σ = −ku ′<br />
<strong>de</strong>formación<br />
<strong>de</strong> una<br />
barra<br />
elástica<br />
conducción<br />
<strong>de</strong>l calor en<br />
una barra<br />
flujo <strong>de</strong> un<br />
fluido<br />
equilibrio<br />
<strong>de</strong> fuerzas<br />
(conservación<br />
<strong>de</strong> la<br />
cantidad <strong>de</strong><br />
movimiento)<br />
conservación<br />
<strong>de</strong> la<br />
energía<br />
conservación<br />
<strong>de</strong> la<br />
cantidad <strong>de</strong><br />
movimiento<br />
electrostática conservación<br />
<strong>de</strong>l flujo<br />
eléctrico<br />
flujo en<br />
un medio<br />
poroso<br />
conservación<br />
<strong>de</strong> la masa<br />
Cuadro 3.1<br />
<strong>de</strong>splazamiento tensión<br />
temperatura<br />
velocidad<br />
potencial<br />
eléctrico<br />
carga<br />
hidráulica<br />
flujo <strong>de</strong><br />
calor<br />
tensión <strong>de</strong><br />
corte<br />
flujo<br />
eléctrico<br />
velocidad<br />
<strong>de</strong>l flujo<br />
módulo <strong>de</strong><br />
elasticidad<br />
<strong>de</strong> Young<br />
conductividad<br />
térmica<br />
viscosidad<br />
permisibidad<br />
dieléctrica<br />
fuerzas<br />
másicas<br />
fuentes <strong>de</strong><br />
calor<br />
fuerzas<br />
másicas<br />
carga<br />
permeabilidad fuente <strong>de</strong><br />
fluido<br />
Valor <strong>de</strong> las constantes para distintos problemas físicos<br />
ley <strong>de</strong> Hooke<br />
ley <strong>de</strong> Fourier<br />
ley <strong>de</strong> Stokes<br />
ley <strong>de</strong><br />
Coulomb<br />
ley <strong>de</strong> Darcy<br />
38
Figura 1<br />
a) Problema unidimensional dividido en cuatro subregiones;<br />
b) flujos en el interior <strong>de</strong> los elementos y<br />
c) flujo en el bor<strong>de</strong> <strong>de</strong> un elementos<br />
Por otro lado, se observa que la distribución f <strong>de</strong> las fuentes internas es continua en todos los<br />
puntos salvo en x = x 2 , don<strong>de</strong> se encuentra una fuente concentrada <strong>de</strong> intensidad ˆf, representada<br />
por una función δ <strong>de</strong> Dirac, y en el punto x = x 3 don<strong>de</strong> la función f presenta una discontinuidad<br />
simple. Entonces, los datos conducen naturalmente a la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> cuatro subdominios Ω i , i = 1,<br />
2, 3, 4, <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> los cuales los datos son suaves, y cinco puntos (incluidos los extremos) x i , i = 0,<br />
1, 2, 3, 4, en los cuales existen discontinuida<strong>de</strong>s en alguno <strong>de</strong> los datos. Diremos que cada uno <strong>de</strong><br />
los subdominios Ω i es un subdominio suave.<br />
A continuación formularemos una <strong>de</strong>scripción matemática clásica (formulación fuerte), utilizando<br />
solamente las condiciones esenciales <strong>de</strong> u, la ley <strong>de</strong> conservación, la ecuación constitutiva, y<br />
los datos <strong>de</strong>l problema unidimensional<br />
1. El flujo <strong>de</strong>be conservarse en todo punto. Consi<strong>de</strong>remos un punto _ x en el interior <strong>de</strong> un subdominio<br />
suave [a,b] como el indicado en la Fig. 1.b. El flujo está indicado por flechas en la figura. El<br />
elemento contiene a<strong>de</strong>más una fuente interna <strong>de</strong> intensidad f(x). Entonces, por conservación <strong>de</strong><br />
flujo resulta que<br />
σ(b) − σ(a) =<br />
∫ b<br />
a<br />
f(x) dx (3.4)<br />
2. Para <strong>de</strong>terminar la forma que adopta la ley <strong>de</strong> conservación en el punto, tomamos límites en<br />
39
ambos miembros haciendo ten<strong>de</strong>r el punto a <strong>de</strong>s<strong>de</strong> la izquierda <strong>de</strong> _ x y a b <strong>de</strong>s<strong>de</strong> la <strong>de</strong>recha. Debido<br />
a que f(x) es acotada, en el límite la integral <strong>de</strong>saparece y se obtiene<br />
o<br />
lím σ(b) − lím<br />
b→ _ +<br />
x a→ _ x<br />
−<br />
σ(a) = lím<br />
∫ b<br />
a→⃗x −<br />
a<br />
b→⃗x +<br />
f (x) dx = 0<br />
[ _ ]<br />
σ( x) = lím σ(b) − lím σ(a) = 0 (3.5)<br />
b→ _ +<br />
x a→ _ −<br />
x<br />
don<strong>de</strong> [ σ( x) _ ] es el salto <strong>de</strong> σ en _ x. En consecuencia, la ec. (3.5) establece que si no hay discontinuida<strong>de</strong>s,<br />
el flujo resulta continuo en todos los puntos <strong>de</strong> los subdominios suaves Ω i , i = 1, 2, 3, 4.<br />
3. A partir <strong>de</strong> que f(x) en la sec. (3.4) es continua, po<strong>de</strong>mos aplicar el teorema <strong>de</strong>l valor medio <strong>de</strong>l<br />
∫ b<br />
cálculo integral f(x) dx = (b − a) f(ζ) siendo ζ un punto que pertenece al intervalo a < ζ < b<br />
a<br />
y f(ζ) es el promedio <strong>de</strong> f(x) sobre este intervalo. Entonces<br />
σ(b) − σ(a) = (b − a) f(ζ)<br />
Dividiendo por b − a y tomando límite por izquierda y <strong>de</strong>recha obtenemos<br />
σ(b) − σ(a)<br />
lím<br />
a→⃗x − (b − a)<br />
b→⃗x +<br />
= lím<br />
a→⃗x −<br />
b→⃗x + f(ζ),<br />
a < ζ < b<br />
Debido a la continuidad <strong>de</strong> f(x) el límite <strong>de</strong>l segundo miembro existe y por en<strong>de</strong> el izquierdo y en<br />
consecuencia para todo punto interior <strong>de</strong> una región suave se cumple<br />
dσ<br />
dx<br />
= f(x) (3.6)<br />
La sustitución <strong>de</strong> la ecuación constitutiva (3.3) en la ec. (3.6) conduce una ecuación diferencial<br />
lineal <strong>de</strong> segundo or<strong>de</strong>n<br />
− d [<br />
k(x) du(x) ]<br />
= f(x) (3.7)<br />
dx dx<br />
que en los puntos en los cuales el módulo <strong>de</strong>l material k(x) es suave, (3.7) pue<strong>de</strong> expandirse como<br />
−k(x) d2 u(x)<br />
dx 2<br />
− dk(x) du(x)<br />
dx dx<br />
= f(x) (3.8)<br />
ecuación que tiene la misma forma que la ec. (3.1).<br />
4. Consi<strong>de</strong>remos ahora puntos, como x = x 3 , en los que algunos datos son discontinuos pero<br />
finitos. La discusión <strong>de</strong>l punto 2 es todavía válida, y el principio <strong>de</strong> conservación <strong>de</strong>l flujo conduce<br />
al resultado<br />
[σ(x 3 )] = 0<br />
que muestra que el flujo es continuo aunque f(x) no lo sea. La consecuencia <strong>de</strong> la discontinuidad<br />
<strong>de</strong> f(x) se refleja en el hecho <strong>de</strong> que el teorema <strong>de</strong>l valor medio no pue<strong>de</strong> ser aplicado en este<br />
caso; ku ′ (el flujo) es continuo pero (ku ′ ) ′ (que <strong>de</strong>finiría a f(x)) no existe por no existir el lí mite.<br />
En consecuencia en el punto x = x 3 no tenemos ecuación diferencial. En el punto x = x 1 don<strong>de</strong><br />
f(x) es continua pero k(x) es discontinuo, el principio <strong>de</strong> conservación conduce nuevamente a la<br />
condición (3.5), es <strong>de</strong>cir, [σ(x 1 )] = 0. También se verifica la ecuación diferencial (3.6) pero como<br />
k(x) no es continua, no posee <strong>de</strong>rivada, y no se pue<strong>de</strong> expandir la ec. (3.7) para obtener la (3.8)<br />
en este punto.<br />
40
5. En el punto x 2 don<strong>de</strong> aparece una fuente concentrada <strong>de</strong> valor f = ˆfδ(x − x 2 ) escribimos la<br />
ecuación <strong>de</strong> balance <strong>de</strong>l flujo en una región que contiene al punto x 2<br />
σ(b) − σ(a) =<br />
∫ b<br />
a<br />
¯f(x) dx +<br />
∫ b<br />
a<br />
ˆfδ(x − x 2 ) dx (3.9)<br />
en la que ¯f(x) es la parte suave <strong>de</strong> f(x). Tomando límites por izquierda y <strong>de</strong>recha <strong>de</strong>l punto x 2 se<br />
obtiene una condición <strong>de</strong> salto no homogénea<br />
[σ(x 2 )] = ˆf<br />
A su vez, <strong>de</strong>bido a que la última integral no <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> los límites a y b, no po<strong>de</strong>mos obtener una<br />
ecuación diferencial en el punto x = x 2 .<br />
6. Finalmente consi<strong>de</strong>remos los bor<strong>de</strong>s <strong>de</strong>l cuerpo, x = x 0 y x = x 4 . En todo problema físico existe<br />
una <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> originadas por la interacción que el sistema en estudio<br />
tiene con el medio que lo ro<strong>de</strong>a. Los efectos <strong>de</strong>l medio son incorporados al mo<strong>de</strong>lo matemático<br />
prescribiendo en los bor<strong>de</strong>s <strong>de</strong>l sistema ya sea la variable <strong>de</strong> estado o el valor <strong>de</strong>l flujo. Entonces,<br />
por lo general es necesario hacer una mo<strong>de</strong>lización <strong>de</strong>l medio adyacente para proveer una condición<br />
<strong>de</strong> bor<strong>de</strong>. La fig.1.c muestra el extremo izquierdo <strong>de</strong>l cuerpo. El flujo en el bor<strong>de</strong> se <strong>de</strong>nota como<br />
σ 0 . En este segmento el flujo se conserva, y en consecuencia<br />
σ(a) − σ(o) =<br />
∫ a<br />
f(x) dx<br />
Tomando límites cuando a → 0 resulta σ(0) = σ 0 constituyendo esta igualdad una condición <strong>de</strong><br />
bor<strong>de</strong>. Cuando se <strong>de</strong>fine el flujo en el bor<strong>de</strong>, <strong>de</strong>bemos reconocer que estamos asignando un sentido<br />
a la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> u en estos puntos para representar el hecho <strong>de</strong> que el flujo está entrando o saliendo<br />
<strong>de</strong>l cuerpo. Específicamente, si se fija el flujo σ = σ 0 y σ = σ L en los extremos x = 0 y x = L,<br />
tomaremos<br />
[ ]<br />
du (0)<br />
−k(0) − = σ 0<br />
dx<br />
⎫⎪ ⎬<br />
[ ] (3.10)<br />
du (L)<br />
−k(L) = σ L<br />
⎪ ⎭<br />
dx<br />
A través <strong>de</strong> la ecuación constitutiva se observa que estas condiciones están fijando el valor <strong>de</strong> la<br />
<strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> la variable <strong>de</strong> estado. Este tipo <strong>de</strong> condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> se <strong>de</strong>nominan naturales. En<br />
otras situaciones típicas (transferencia <strong>de</strong> calor por convección), el flujo se asume como proporcional<br />
a la diferencia entre el valor <strong>de</strong> la variable <strong>de</strong> estado en el bor<strong>de</strong> y su valor a alguna distancia en<br />
el interior <strong>de</strong>l medio. Por ejemplo, en x = 0 esta condición se escribe<br />
0<br />
σ 0 = p 0 [u(0) − u ∞ ] (3.11)<br />
en la que p 0 es una constante que <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong>l módulo <strong>de</strong>l material <strong>de</strong>l medio adyacente y u ∞ es<br />
un valor <strong>de</strong> referencia <strong>de</strong> la variable <strong>de</strong> estado en el medio. La sustitución <strong>de</strong> la condición (3.11)<br />
en la ecuación anterior conduce a<br />
k(0) du(0)<br />
dx = p 0[u(0) − u ∞ ] (3.12)<br />
Debido a que nuevamente aparece la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> u, la ec. (3.12) es también una condición <strong>de</strong> bor<strong>de</strong><br />
natural <strong>de</strong> la ec. (3.7). Es obvio que el tipo <strong>de</strong> condición <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> será propio <strong>de</strong>l problema físico<br />
que se esté abordando. Resumiendo digamos que las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> que consi<strong>de</strong>raremos son:<br />
41
1. Condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> esenciales, en las que se especifican los valores que adopta la variable <strong>de</strong><br />
estado u.<br />
2. Condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> naturales en las que:<br />
a) se especifica el valor <strong>de</strong>l flujo o<br />
b) se especifica una combinación lineal <strong>de</strong>l flujo y <strong>de</strong> la variable <strong>de</strong> estado.<br />
Por último notemos que en el caso <strong>de</strong> problemas en los cuales se especifiquen condiciones <strong>de</strong><br />
bor<strong>de</strong> naturales en ambos extremos, <strong>de</strong>berá satisfacerse una condición global <strong>de</strong> conservación que<br />
está dada por<br />
σ 0 + σ L =<br />
∫ L<br />
0<br />
f (x) _dx (3.13)<br />
3.3. Formulación variacional <strong>de</strong>l problema<br />
Resulta claro que el enunciado clásico <strong>de</strong>l problema <strong>de</strong> contorno (3.1) y (3.2) implica condiciones<br />
sobre la solución que pue<strong>de</strong>n resultar muy difíciles <strong>de</strong> satisfacer aun para situaciones en las que<br />
los datos resulten razonables. Lo que se preten<strong>de</strong> con una formulación variacional es obtener un<br />
enunciado propicio para po<strong>de</strong>r aplicar el método <strong>de</strong> elementos finitos. Es <strong>de</strong>seable a<strong>de</strong>más que<br />
la formulación posea simetría y preferiblemente que las funciones <strong>de</strong> <strong>prueba</strong> y <strong>de</strong> peso posean el<br />
mismo grado <strong>de</strong> suavidad, es <strong>de</strong>cir, que el or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivación, que presenten ambas funciones en<br />
el enunciado <strong>de</strong>l problema, sea el mismo. Reescribamos nuestro problema<br />
− d [<br />
k(x) du(x) ]<br />
+ c(x) du(x) + b(x)u(x) = f(x)<br />
dx dx dx<br />
α 0<br />
du(0)<br />
dx<br />
x ∈ Ω i , i = 1, 2, 3, 4<br />
[<br />
k(x) du(x) ]<br />
= 0 en x = x 1<br />
dx<br />
⎫⎪ ⎬<br />
[<br />
− k(x) du(x) ]<br />
(3.14)<br />
=<br />
dx<br />
ˆf en x = x 2<br />
[<br />
k(x) du(x) ]<br />
= 0 en x = x 3<br />
dx<br />
+ β du(L)<br />
0u(0) = γ 0 , α L<br />
dx + β ⎪<br />
Lu(L) = γ ⎭<br />
L<br />
en don<strong>de</strong> las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> son la expresión general <strong>de</strong> alguna <strong>de</strong> las siguientes situaciones<br />
• u (0) = ū 0 ; u (L) = ū L<br />
• k(0) du(0)<br />
dx<br />
= ¯σ 0 ; −k(L) du(L)<br />
dx<br />
= ¯σ L<br />
• k(0) du(0)<br />
dx<br />
= p 0 [u(0) − u ∞ ] ; −k(L) du(L)<br />
dx<br />
= p 0 [u(L) − u ∞ ]<br />
Recor<strong>de</strong>mos que el dominio Ω se ha dividido en cuatro subdominios como se indica en la fig.1.<br />
Como en cada subdominio la función incógnita <strong>de</strong>be ser suave, po<strong>de</strong>mos construir la función <strong>de</strong><br />
error para cada uno <strong>de</strong> ellos<br />
42<br />
R Ωi = − [k u ,x ] ,x<br />
+ c u ,x + b u − f
que pue<strong>de</strong> minimizarse utilizando una función <strong>de</strong> peso<br />
∫<br />
∫ {<br />
}<br />
W R Ωi dx = W − [k u ,x ] ,x<br />
+ c u ,x + b u − f dx<br />
Ω i Ω i<br />
que se pue<strong>de</strong> integrar por partes<br />
∫<br />
Ω i<br />
W R Ωi dx = − kW u ,x | x i<br />
x i−1<br />
+<br />
Si u es solución <strong>de</strong>l problema entonces<br />
∫<br />
∫<br />
(kW ,x u ,x + cW u ,x + bW u) dx − W fdx (3.15)<br />
Ω i Ω i<br />
∫<br />
W R Ωi dx = 0 y<br />
Ω i<br />
4∑<br />
∫<br />
i=1<br />
Ω i<br />
W R Ωi dx = 0 (3.16)<br />
La sustitución <strong>de</strong> (3.15) en la ec. (3.16) resulta en<br />
∫ L<br />
(kW ,x u ,x + cW u ,x + bW u) dx + k (0) W (0) u ,x (0) +<br />
0<br />
+ [k (x 1 ) u ,x (x 1 )] W (x 1 ) + [k (x 2 ) u ,x (x 2 )] W (x 2 ) +<br />
(3.17)<br />
+ [k (x 3 ) u ,x (x 3 )] W (x 3 ) − k (L) W (L) u ,x (L) =<br />
∫ L<br />
0<br />
W ¯fdx<br />
en don<strong>de</strong><br />
[k (x i ) u ,x (x i )] = lím<br />
x→x + i<br />
k (x i ) u ,x (x i ) − lím<br />
x→x − i<br />
k (x i ) u ,x (x i )<br />
La función ¯f que aparece en el segundo miembro es la parte suave (es <strong>de</strong>cir la parte integrable) <strong>de</strong><br />
la función f. A partir <strong>de</strong> las condiciones impuestas en los puntos <strong>de</strong> discontinuidad, ec. (3.14), la<br />
ec. (3.17) queda<br />
∫ L<br />
0<br />
(kW ,x u ,x + cW u ,x + bW u) dx =<br />
− k (0)<br />
α 0<br />
[γ 0 − β 0 u(0)] W (0) + k (L)<br />
α L<br />
∫ L<br />
0<br />
W ¯fdx + ˆfW (x 2 ) −<br />
[γ L − β L u(L)] W (L)<br />
(3.18)<br />
válida para toda función W admisible.<br />
La ec. (3.18) contiene la ecuación diferencial, las condiciones <strong>de</strong> salto y las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong><br />
especificadas en (3.14). El problema variacional (3.18) caracteriza a la solución como una función<br />
<strong>de</strong>finida sobre todo el dominio [0, L] a diferencia <strong>de</strong> la <strong>de</strong>finición por partes en (3.14). Algunas<br />
observaciones <strong>de</strong> la forma variacional (3.18) son<br />
1. Al integrar por partes se obtiene una integral que contiene <strong>de</strong>rivadas primeras <strong>de</strong> las funciones<br />
<strong>de</strong> peso y <strong>de</strong> forma. Esto significa que las funciones u y W <strong>de</strong>ben ser miembros <strong>de</strong> una clase <strong>de</strong><br />
funciones, <strong>de</strong>nominada H 1 , cuyas <strong>de</strong>rivadas primeras al cuadrado sean integrables sobre Ω, es <strong>de</strong>cir<br />
<strong>de</strong>ben satisfacer la condición<br />
L∫<br />
[<br />
(u,x ) 2 + u 2] dx < ∞ (3.19)<br />
0<br />
Por otro lado, si el problema posee condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> esenciales, entonces a parte <strong>de</strong> la condición<br />
anterior, <strong>de</strong>be exigirse a las funciones <strong>de</strong> peso que satisfagan las condiciones W (0) = W (L) = 0.<br />
43
2. Las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> no pue<strong>de</strong>n construirse en forma arbitraria, sino que <strong>de</strong>ben ser compatibles<br />
con la ecuación diferencial que gobierna el problema. En este sentido la formulación variacional<br />
posee la ventaja <strong>de</strong> que cualquier condición <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> que pueda incorporarse naturalmente al problema,<br />
como consecuencia <strong>de</strong> la integración por partes, será automaticamente compatible con la<br />
ecuación diferencial.<br />
3. Recor<strong>de</strong>mos que las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> entran en la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong>l problema variacional<br />
(3.18) en dos formas: las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> esenciales, que son la especificación <strong>de</strong>l valor <strong>de</strong> la<br />
solución, entran en el problema a partir <strong>de</strong> la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong>l espacio admisible <strong>de</strong> las funciones <strong>de</strong>l<br />
problema, mientras que las condiciones naturales, que conllevan la especificación <strong>de</strong> las <strong>de</strong>rivadas<br />
<strong>de</strong> la solución, <strong>de</strong>terminan la forma <strong>de</strong> la ecuación variacional.<br />
Ejemplos:<br />
i)<br />
−u(x), xx +u(x) = f(x)<br />
0 < x < L<br />
u(0) = 0, u(L) = 0<br />
ii)<br />
−u(x), xx +u(x) = f(x)<br />
0 < x < L<br />
u(0), x = γ 0 ,<br />
Los enunciados variacionales <strong>de</strong> estos problemas son<br />
u(L), x = γ L<br />
V-i) Encontrar u en H0 1<br />
tal que<br />
(es <strong>de</strong>cir que u satisface las condiciones (3.19) y a<strong>de</strong>más u(0) = u(L) = 0)<br />
L∫<br />
L∫<br />
(W ,x u ,x + W u) dx = W fdx, ∀ W ∈ H0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
V-ii) Encontrar u ∈ H 1 tal que<br />
L∫<br />
(W ,x u ,x + W u) dx =<br />
L∫<br />
W fdx − γ 0 W (0) + γ L W (L), ∀ W ∈ H 1<br />
0<br />
0<br />
Estos ejemplos muestran que las condiciones esenciales se introducen en V-i) a partir <strong>de</strong> la <strong>de</strong>finición<br />
<strong>de</strong> la clase <strong>de</strong> funciones admisibles para proponer las funciones <strong>de</strong> <strong>prueba</strong> y las naturales como<br />
datos en el segundo miembro <strong>de</strong> la ecuación en V-ii).<br />
4. Por último, en analogía con la energía U <strong>de</strong>finida anteriormente, po<strong>de</strong>mos escribir la norma<br />
energética para el problema (3.18) (con b(x) > 0)<br />
[∫ L<br />
‖e‖ E<br />
=<br />
También pue<strong>de</strong> utilizarse la norma H 1 equivalente<br />
0<br />
[∫ L<br />
‖e‖ 1<br />
=<br />
0<br />
(<br />
k e<br />
2<br />
,x + b e 2) ] 1/2<br />
dx<br />
(3.20)<br />
(<br />
e<br />
2<br />
,x + e 2) ] 1/2<br />
dx<br />
(3.21)<br />
Ejercicio N ◦ 26: Construir la forma débil indicando en cada caso el espacio <strong>de</strong> funciones <strong>de</strong> <strong>prueba</strong><br />
admisibles.<br />
44
a)<br />
b)<br />
c)<br />
− (k(x) u (x) , x ) , x +u(x), x +u (x) = 0<br />
en<br />
0 < x < 1; 1 < x < 2; 2 < x < 3; 3 < x < 4;<br />
con<br />
[k (1) u ,x (1)] = [k (2) u ,x (2)] = 0; [k (3) u ,x (3)] = 10<br />
y<br />
⎧<br />
⎨<br />
k(x)<br />
⎩<br />
1 0 ≤ x < 1<br />
2 1 ≤ x < 2<br />
1 2 < x < 4<br />
;<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
u (0) = 0<br />
u (4) , x = 3<br />
−u (x) ,xx<br />
+ u (x) = δ (x − 1) 0 < x < 2<br />
u (0) ,x<br />
= 2, u (2) ,x<br />
+ u (2) = 3<br />
u (x) ,xx<br />
+ u (x) = 0 0 < x < 1; 1 < x < 2<br />
[u ,x (1)] = 1; u (0) = u (2) = 0<br />
Ejercicio N ◦ 27: los problemas <strong>de</strong> valores <strong>de</strong> contorno siguientes están mal condicionados o no<br />
satisfacen las hipótesis <strong>de</strong>scriptas en las notas. ?‘Qué está mal en ellos?<br />
a)<br />
1<br />
(x − 1) u (x) ,xx<br />
+ u (x) = sen (x) 0 < x < 2<br />
b)<br />
c)<br />
d)<br />
y u (0) = u (2) = 0<br />
(1 − x 2 ) u (x) ,xx<br />
+ u (x) ,x<br />
= 3 0 < x < 2<br />
y u (0) = 0 ; u (2) ,x<br />
= 1<br />
u (x) ,xx<br />
+ x u (x) ,x<br />
= 3 0 < x < 1<br />
y u (0) ,xx<br />
= 0 ; u (1) = 0<br />
−u (x) ,xx<br />
+ u (x) ,x<br />
= x 0 < x < 1<br />
y<br />
1<br />
2 u (0) ,x + u (1) ,x = u (1) ; u (0) ,x + 2 u (1) ,x = u (0)<br />
3.4. <strong>Funciones</strong> <strong>de</strong> aproximación basadas en la interpolación <strong>de</strong><br />
Lagrange<br />
En esta sección exten<strong>de</strong>remos las i<strong>de</strong>as respecto a las funciones <strong>de</strong> interpolación elementales<br />
introduciendo una técnica que conduce a lo que se conoce como elementos finitos Lagrangeanos,<br />
nombre que <strong>de</strong>riva <strong>de</strong>l conceptos <strong>de</strong> interpolación utilizando polinomios <strong>de</strong> Lagrange:<br />
1. Consi<strong>de</strong>remos un elemento típico Ω e , aislado <strong>de</strong> la malla, y establezcamos un sistema local <strong>de</strong><br />
coor<strong>de</strong>nadas ξ, cuyo origen se ubica en el centro <strong>de</strong>l elemento, escalado <strong>de</strong> tal forma <strong>de</strong> satisfacer<br />
que ξ = −1 en el extremo izquierdo y ξ = 1 en el <strong>de</strong>recho, Fig.2.a. Esto se realiza mediante la<br />
transformación general que para el caso <strong>de</strong> un elemento <strong>de</strong> k + 1 nodos se escribe<br />
ξ(x) = 2 x − xe 1 − x e k+1<br />
h e (3.22)<br />
45
<strong>de</strong> tal modo que todo punto x en el intervalo x e 1 ≤ x ≤ x e k+1 se transforma en un punto ξ tal que<br />
−1 ≤ ξ ≤ 1. Los cálculos serán realizados sobre este elemento “maestro” y <strong>de</strong>notaremos N i (ξ) a<br />
sus funciones <strong>de</strong> interpolación. El grado <strong>de</strong> estas funciones será k, es <strong>de</strong>cir que cada función N i (ξ)<br />
<strong>de</strong>l elemento contiene monomios en ξ hasta el or<strong>de</strong>n ξ k , con k > 0.<br />
Figura 2<br />
(a) Elemento maestro con k+1 nodos;<br />
(b) funciones <strong>de</strong> forma lineales para k=1;<br />
(c) elemento <strong>de</strong> tres nodos con funciones cuadráticas (k=2).<br />
2. Para obtener funciones <strong>de</strong> forma <strong>de</strong> grado k, i<strong>de</strong>ntificamos k + 1 nodos (incluyendo los extremos)<br />
que divi<strong>de</strong>n al elemento en k segmentos iguales. Sea ξ i , i = 1, 2, ..., k + 1, la coor<strong>de</strong>nada ξ<br />
correspondiente a cada nodo. Para cada nodo ξ i formamos el producto <strong>de</strong> las k funciones lineales<br />
(<br />
ξ − ξj<br />
)<br />
, j = 1, 2, ...k + 1, j ≠ i. Notar que este producto es cero en todos los nodos excepto en el<br />
nodo i. Estas funciones son <strong>de</strong> la forma<br />
nodo 1: (ξ − ξ 2 ) (ξ − ξ 3 ) ... (ξ − ξ i ) ... ( ξ − ξ k+1<br />
)<br />
nodo 2: (ξ − ξ 1 ) (ξ − ξ 3 ) ... (ξ − ξ i ) ... ( ξ − ξ k+1<br />
)<br />
. .<br />
nodo i: (ξ − ξ 1 ) (ξ − ξ 2 ) ... ( ) ( ) ( )<br />
ξ − ξ i−1 ... ξ − ξi+1 ... ξ − ξk+1<br />
(3.23)<br />
3. Para cada nodo i se <strong>de</strong>be evaluar el correspondiente producto (3.23) en ξ = ξ i y dividir el<br />
producto <strong>de</strong> las funciones por este valor. De esta manera se obtiene el polinomio N i normalizado<br />
<strong>de</strong> tal modo que N i (ξ i ) = 1. La forma general resulta<br />
N i (ξ) = (ξ − ξ 1) (ξ − ξ 2 ) ... ( ξ − ξ i−1<br />
) ...<br />
( ξ − ξi+1<br />
) ...<br />
( ξ − ξk+1<br />
)<br />
(ξ i − ξ 1 ) (ξ i − ξ 2 ) ... ( ξ i − ξ i−1<br />
)<br />
...<br />
(<br />
ξi − ξ i+1<br />
)<br />
...<br />
(<br />
ξi − ξ k+1<br />
) (3.24)<br />
Estas funciones tienen la propiedad que<br />
46<br />
{<br />
( ) 1 si i = j<br />
N i ξj =<br />
0 si i ≠ j<br />
(3.25)
que muestra que las N i (ξ) son linealmente in<strong>de</strong>pendientes. Estas k + 1 funciones <strong>de</strong>finen una<br />
base completa para el conjunto <strong>de</strong> polinomios <strong>de</strong> grado k. Esto significa que cualquier polinomio<br />
<strong>de</strong> grado k o menor, pue<strong>de</strong> ser generado univocamente utilizando como base los polinomios <strong>de</strong><br />
Lagrange. A su vez, esta propiedad se traslada a las funciones globales φ i generadas a partir <strong>de</strong><br />
estos polinomios, es <strong>de</strong>cir, que todo polinomio <strong>de</strong> grado ≤ k pue<strong>de</strong> expresarse en una única forma<br />
como combinación lineal <strong>de</strong> las funciones φ i generadas por las funciones <strong>de</strong> forma (3.24).<br />
Figura 3<br />
a) Elemento <strong>de</strong> tres nodos con funciones cuadráticas<br />
b) malla con tres elementos<br />
c) funciones <strong>de</strong> base generadas por estos tres elementos<br />
Para k = 1 (funciones <strong>de</strong> forma lineal), el elemento presenta 2 nodos y las funciones <strong>de</strong> interpolación<br />
resultan las ya conocidas<br />
47
N 1 (ξ) = (ξ − ξ 2)<br />
(ξ 1 − ξ 2 ) = 1 (1 − ξ)<br />
2<br />
N 2 (ξ) = (ξ − ξ 1)<br />
(ξ 2 − ξ 1 ) = 1 2 (1 + ξ) ⎫⎪ ⎬<br />
⎪ ⎭<br />
(3.26)<br />
Para k = 2 (funciones <strong>de</strong> forma cuadráticas), el elemento presenta tres nodos y las funciones <strong>de</strong><br />
forma (ver Fig. 2.c) son<br />
N 1 (ξ) = 1 2 ξ (1 − ξ) , N 2(ξ) = ( 1 − ξ 2) , N 3 (ξ) = 1 ξ (1 + ξ) (3.27)<br />
2<br />
Las correspondientes funciones globales φ i se muestran en la Fig. 3.<br />
Ejemplo: sea interpolar la función g(x) = sen (x) en el intervalo 0 ≤ x ≤ 1, utilizando dos<br />
elementos cuadráticos como se muestra en la Fig. 4<br />
Figura 4<br />
Interpolación <strong>de</strong> g(x) usando 2 elementos cuadráticos.<br />
Los nodos están ubicados en x = 0, 0,25, 0,5, 0,75 y 1. Los valores <strong>de</strong> la función en estos<br />
puntos son 0, 0,707, 1,0, 0,707, 0, por lo que la función interpolante pue<strong>de</strong> escribirse<br />
ĝ (x) = 0,707φ 2 (x) + φ 3 (x) + 0,707φ 4 (x)<br />
en don<strong>de</strong> las funciones φ i están graficadas en la Fig. 3.<br />
Se pue<strong>de</strong> mostrar que el error e (x) = u (x)−û (x) entre una función exacta u y la aproximación<br />
û obtenida utilizando polinomios <strong>de</strong> Lagrange pue<strong>de</strong> estimarse como<br />
∣<br />
h2<br />
máx |e (x)| ≤<br />
0≤x≤L 8 máx ∣ ∣∣<br />
∣u (x)<br />
0≤x≤L ,xx (3.28)<br />
Para elementos que emplean polinomios completos <strong>de</strong> mayor or<strong>de</strong>n, el error asume la forma<br />
en la que C es in<strong>de</strong>pendiente <strong>de</strong> h.<br />
48<br />
‖e‖ ∞<br />
= máx<br />
0≤x≤L |e (x)| ≤ Chk+1 (3.29)
Es importante la completitud <strong>de</strong> los polinomios usados para interpolar: si, por ejemplo, las<br />
funciones <strong>de</strong> forma contienen términos proporcionales a x 0 (constantes), x 2 , x 3 , ..., x k , pero ninguno<br />
proporcional a x 1 , entonces el error será proporcional a h y no a h k+1 como indica la expresión<br />
(3.29). Si las constantes no están presentes en las funciones <strong>de</strong> interpolación, la aproximación pue<strong>de</strong><br />
no converger en absoluto. Observación: para <strong>de</strong>ducir (3.29) es necesario que u presente <strong>de</strong>rivadas<br />
continuas <strong>de</strong> or<strong>de</strong>n ≤ k. Si la función u sólo posee <strong>de</strong>rivadas <strong>de</strong> or<strong>de</strong>n s con 0 < s ≤ k, entonces<br />
no importa cuanto aumentemos el grado <strong>de</strong> k en la aproximación û ya que sólo sus primeros s<br />
términos serán efectivos al aproximar u. Entonces, en lugar <strong>de</strong> (3.29) tendremos<br />
‖e‖ ∞<br />
= máx<br />
0≤x≤L |e (x)| ≤ Chs (3.30)<br />
y en consecuencia no podremos mejorar la convergencia aumentando el or<strong>de</strong>n <strong>de</strong>l polinomio pero<br />
si disminuyendo el tamaño h <strong>de</strong>l elemento.<br />
Ejercicio N ◦ 28: si un conjunto <strong>de</strong> funciones <strong>de</strong> forma es completo hasta el or<strong>de</strong>n k, entonces<br />
pue<strong>de</strong> interpolarse exactamente cualquier polinomio <strong>de</strong> igual o menor grado que k.<br />
a) Mostrar porque (para k ≥ 1) todo conjunto completo <strong>de</strong> funciones <strong>de</strong> forma <strong>de</strong>be satisfacer<br />
∑k+1<br />
N i (ξ) = 1<br />
i=1<br />
y<br />
∑k+1<br />
i=1<br />
dN i (ξ)<br />
dξ<br />
= 0<br />
b) Para las siguientes funciones <strong>de</strong>terminar el grado <strong>de</strong>l polinomio completo contenido en el<br />
conjunto. Cada conjunto <strong>de</strong> funciones <strong>de</strong> forma tiene la propiedad que N i<br />
(<br />
ξj<br />
)<br />
= 1 si i = j y<br />
N i<br />
(<br />
ξj<br />
)<br />
= 0 si i ≠ j.<br />
1.<br />
2.<br />
N 1 (ξ) = 1 4 (1 − ξ)2 ; N 2 (ξ) = 1 (1 + ξ)2<br />
4<br />
ξ 1 = −1, ξ 2 = 1<br />
N 1 (ξ) = − 1 2 (1 − ξ) ξ ; N 2 (ξ) = ( 1 − ξ 2) 2<br />
; N3 (ξ) = 1 (1 + ξ) ξ<br />
2<br />
ξ 1 = −1, ξ 2 = 0, ξ 3 = 1<br />
Ejercicio N ◦ 29: utilizar una malla <strong>de</strong> 3 elementos y construir interpolaciones para las funciones<br />
f (x) = x + x 2 y g (x) = cos πx<br />
para 0 < x < 1<br />
usando (a) funciones lineales, (b) funciones <strong>de</strong> Lagrange cuadráticas.<br />
Ejercicio N ◦ 30: Derive las ecuaciones explícitas para las funciones <strong>de</strong> interpolación <strong>de</strong> Lagrange<br />
cúbicas y grafíquelas para un elemento típico. Ilustre la forma <strong>de</strong> las funciones <strong>de</strong> base φ i<br />
generadas por tales funciones para una malla consistente <strong>de</strong> tres elementos.<br />
Ejercicio N ◦ 31: Es posible representar una función g (x) sobre un elemento interpolando los<br />
valores que toma la función y sus <strong>de</strong>rivadas en los extremos.<br />
a) muestre que, a tal fin, resultan funciones <strong>de</strong> forma cúbicas.<br />
b) Grafique estas funciones para un elemento típico.<br />
Las funciones <strong>de</strong> aproximación que resultan <strong>de</strong> esta forma se llaman polinomios <strong>de</strong> Hermite.<br />
3.5. Aproximación por elementos finitos<br />
El dominio Ω se particiona en un número finito <strong>de</strong> elementos Ω e <strong>de</strong> longitud h ( ∑ h e = L).<br />
Por <strong>de</strong>finición, el problema presenta cuatro subdominios en los que la solución es suave. Pero en la<br />
unión <strong>de</strong> estos subdominios pue<strong>de</strong>n ocurrir discontinuida<strong>de</strong>s (p.ej. x = x 2 ) a las que las funciones<br />
<strong>de</strong> interpolación no podrán acomodarse. Por tal motivo, la malla siempre se construirá <strong>de</strong> tal<br />
49
modo <strong>de</strong> ubicar un nodo en todo punto en don<strong>de</strong> se produzca una discontinuidad en los datos. Los<br />
términos tales como ˆfW (x 2 ) que representan un salto, nunca entrarán en la <strong>de</strong>scripción local que<br />
caracteriza la aproximación elemental. Estos términos aparecerán cuando se sume la contribución<br />
<strong>de</strong> cada uno <strong>de</strong> los elementos.<br />
Para cada subdominio elemental Ω e <strong>de</strong> extremos s e 1 y s e 2 se pue<strong>de</strong> formular el siguiente enunciado<br />
variacional<br />
∫s e 2<br />
s e 1<br />
(<br />
kW<br />
e<br />
,x u e ,x + cW e u e ,x + bW e u e) dx =<br />
∫s e 2<br />
s e 1<br />
W e ¯fdx + σ (s<br />
e<br />
1 ) W (s e 1 ) − σ (se 2 ) W (se 2 ) (3.31)<br />
en el que σ (s e 1 ) y σ (se 2 ) representan los valores verda<strong>de</strong>ros <strong>de</strong>l flujo (y no aproximaciones) en los<br />
extremos <strong>de</strong>l elemento. Las cantida<strong>de</strong>s σ (s e i ) representan las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> naturales <strong>de</strong>l<br />
elemento Ω e . Este enunciado se hace in<strong>de</strong>pendientemente <strong>de</strong> las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> reales en<br />
x = 0 y x = L. Recor<strong>de</strong>mos que aunque estamos planteando el problema en el dominio elemental,<br />
los cálculos los realizaremos en el dominio mapeado como ya se viera anteriormente. Proponemos<br />
como función <strong>de</strong> aproximación elemental<br />
y para la función <strong>de</strong> peso<br />
∑N e<br />
u e (x) = u e j N j e (x) (3.32)<br />
j=1<br />
∑N e<br />
W e (x) = wi e N i e (x) (3.33)<br />
i=1<br />
en las que N e es la cantidad <strong>de</strong> nodos que tiene el elemento (dos si las funciones <strong>de</strong> interpolación<br />
son lineales, tres si son cuadráticas, etc.). Por otro lado, u e (x j ) = u e j y W e (x i ) = w e i . Finalmente,<br />
reemplazando (3.32) y (3.33) en (3.31) resulta el siguiente sistema <strong>de</strong> ecuaciones lineales<br />
con<br />
∑N e<br />
j=1<br />
k e ij u e j = f e i + σ (s e 1) N e i (s e 1) − σ (s e 2) N e i (s e 2) , i = 1, 2, ..., N e (3.34)<br />
∫s e 2<br />
kij e =<br />
( kN<br />
e<br />
i,x Nj,x e + cN i e Nj,x e + bN )<br />
i e Nj<br />
e dx (3.35)<br />
s e 1<br />
f e i =<br />
∫s e 2<br />
¯f(x) N e i dx i, j = 1, 2, ..., N e (3.36)<br />
s e 1<br />
en don<strong>de</strong> kij e son los elementos <strong>de</strong> la matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z elemental y fi<br />
e las componentes <strong>de</strong>l vector<br />
<strong>de</strong> cargas <strong>de</strong>l elemento Ω e . En la práctica, las integrales (3.35) y (3.36) raramente se evalúan en<br />
forma cerrada, siendo en cambio común el uso <strong>de</strong> reglas <strong>de</strong> integración numéricas suficientemente<br />
exactas. A<strong>de</strong>más, también es corriente la utilización <strong>de</strong> una interpolación para <strong>de</strong>finir la función<br />
¯f(x) en el elemento<br />
N e<br />
fh e = ∑<br />
¯f(x e j )N j e (x) (3.37)<br />
por lo que la ec. (3.36) se calcula como<br />
f e i =<br />
∫s e 2<br />
s e 1<br />
[ N<br />
e<br />
∑<br />
j=1<br />
j=1<br />
¯f(x e j)N e j (x)<br />
De esta forma, la carga se <strong>de</strong>fine mediante su valor en los puntos nodales.<br />
50<br />
]<br />
N e i (x) dx (3.38)
3.5.1. Ensamble <strong>de</strong> las matrices elementales<br />
Consi<strong>de</strong>remos el caso en que se hallan elegido funciones <strong>de</strong> interpolación lineales. En tal caso,<br />
las ec. (3.34) originan dos ecuaciones por elemento <strong>de</strong> la forma<br />
k e 11 u e 1 + k e 12 u e 2 = f e 1 + σ (s e 1)<br />
k e 21 u e 1 + k e 22 u e 2 = f e 2 − σ (s e 2)<br />
(3.39)<br />
en la que los subíndices 1 y 2 hacen referencia al nudo izquierdo y <strong>de</strong>recho <strong>de</strong>l elemento. Cuando<br />
se realiza el ensamble es necesario asignar a estos nudos una numeración que sea coinci<strong>de</strong>nte con<br />
la que le correspon<strong>de</strong> a los nudos <strong>de</strong>l elemento en el sistema global <strong>de</strong> referencia. Por ejemplo, si<br />
el elemento está ubicado entre los nodos 6 y 7 en la malla, entonces u e 1 es u 6 y u e 2 es u 7; σ (s e 1 ) es el<br />
valor <strong>de</strong> −ku ,x en el nudo 6 aproximándose <strong>de</strong>s<strong>de</strong> la <strong>de</strong>recha y σ (s e 2) el valor <strong>de</strong> −ku ,x en el nudo<br />
7 aproximándose <strong>de</strong>s<strong>de</strong> la izquierda.<br />
Consi<strong>de</strong>remos una malla con N nodos y N − 1 elementos. Esto significa que el ensamble <strong>de</strong><br />
los elementos originará un sistema <strong>de</strong> N ecuaciones con N incógnitas. En consecuencia, <strong>de</strong>berá<br />
preverse una matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z K = [K ij ] <strong>de</strong> N × N elementos. El ensamble consiste en recorrer la<br />
malla elemento por elemento, calcular los valores en ec. (3.39) y sumar la contribución <strong>de</strong> la matriz<br />
elemental k e y <strong>de</strong>l vector <strong>de</strong> cargas f e a la matriz global K y vector global F según la numeración<br />
<strong>de</strong> los nodos <strong>de</strong>l elemento en la malla (ver Fig. 5).<br />
Antes <strong>de</strong> iniciar el proceso <strong>de</strong> ensamble, <strong>de</strong>ben ponerse a cero la matriz K y el vector <strong>de</strong> cargas<br />
F haciendo K ij = 0 y F i = 0. Para el elemento Ω 1 , ubicado entre los nudos 1 y 2 la ec.(3.39)<br />
conduce a<br />
k11 1 u 1 1 + k12 1 u 1 2 = f1 1 + σ (0)<br />
k21 1 u1 1 + k1 22 u1 2 = f 2 1 − σ ( ) (3.40)<br />
x − 1<br />
don<strong>de</strong> σ (0) = σ (0 + ) es el flujo en el nudo 1 <strong>de</strong>s<strong>de</strong> la <strong>de</strong>recha y σ ( )<br />
x − 1 el flujo en el nudo 2 <strong>de</strong><br />
coor<strong>de</strong>nadas x 1 aproximándonos <strong>de</strong>s<strong>de</strong> la izquierda. Estas ecuaciones se suman en la primera y<br />
segunda fila <strong>de</strong>l sistema N × N que <strong>de</strong>scribe la malla completa.<br />
El elemento Ω 2 , cuyos extremos son los nudos 2 y 3 se suma en las filas 2 y 3. Habiéndose<br />
consi<strong>de</strong>rado dos elementos se tiene el sistema<br />
k11 1 u 1 + k12 1 u 2 + = f1 1 + σ (0)<br />
k21u 1 1 + (k22 1 + k11) 2 u 2 + k12u 2 3 = f2 1 + f1 2 − σ ( ) ( )<br />
x − 1 + σ x<br />
+<br />
1<br />
+ k21u 2 2 + k22u 2 3 = f2 2 − σ ( )<br />
x − 2<br />
Continuando este proceso para todos los elementos se obtiene<br />
k 1 11u 1 + k 1 12u 2 + = f 1 1 + σ (0)<br />
k 1 21u 1 + (k 1 22 + k 2 11) u 2 + k 2 12u 3 = f 1 2 + f 2 1 + [σ (x 1 )]<br />
+ k 2 21u 2 + (k 2 22 + k 3 11) u 3 + k 3 12u 4 = f 2 2 + f 3 1 + [σ (x 2 )]<br />
.<br />
k21 N−1 u N−1 + k22 N−1 u N = f2 N−1 − σ (L)<br />
(3.41)<br />
don<strong>de</strong> [σ (x j )] = σ ( ) ( )<br />
x + j − σ x<br />
−<br />
j es el salto <strong>de</strong> σ en el nudo j (j = 1, 2, ..., N − 1). Recor<strong>de</strong>mos<br />
que en todos los puntos interiores en los que el flujo es continuo, se cumple [σ] = 0. Si en cambio,<br />
existe una fuente puntual ˆf j δ (x − x j )en el nudo j <strong>de</strong>beremos hacer [σ (x j )] = ˆf j en (3.41). Estas<br />
ecuaciones pue<strong>de</strong>n reescribirse como<br />
Ku = F<br />
51
Figura 5<br />
Malla <strong>de</strong> N nudos y N-1 elementos y matriz <strong>de</strong> coeficientes en la que<br />
se ha representado la contribución <strong>de</strong> los elementos. Fuera <strong>de</strong> la banda<br />
los valores son cero.<br />
don<strong>de</strong> la matriz K es<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
k 1 11 k 1 12 0 . . . 0 0<br />
k 1 21 k 1 22 + k 2 11 k 2 12 . . . 0 0<br />
0 k 2 21 k 2 22 + k3 11 . . . 0 0<br />
0 0 k 3 21 . . . 0 0<br />
· · · · · ·<br />
0 0 0 . . . k22 N−2 + k11 N−1 k12<br />
N−1<br />
0 0 0 · · · k21 N−1 k22<br />
N−1<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
(3.42)<br />
y los vectores u y F resultan<br />
⎡<br />
u 1<br />
u 2<br />
u 3<br />
u =<br />
⎢<br />
.<br />
⎣ u N−1<br />
u N<br />
⎤ ⎡<br />
, F =<br />
⎥ ⎢<br />
⎦ ⎣<br />
F 1<br />
F 2<br />
F 3<br />
.<br />
F N−1<br />
F N<br />
⎤<br />
⎡<br />
=<br />
⎥ ⎢<br />
⎦ ⎣<br />
f 1 1 + σ (0)<br />
f 1 2 + f 2 1<br />
f 2 2 + f 3 1<br />
.<br />
f2 N−2 + f1<br />
N−1<br />
f2 N−1 − σ (L)<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
(3.43)<br />
El sistema Ku = F planteado no contiene las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>. Las modificaciones que <strong>de</strong>ben<br />
realizarse al mismo serán discutidas a continuación.<br />
3.5.2. Condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong><br />
Consi<strong>de</strong>remos los siguientes casos:<br />
1. Condiciones naturales generales: Estas condiciones correspon<strong>de</strong>n al caso general (3.2) en<br />
la que se prescriben u y u ,x . De estas condiciones resultan<br />
52<br />
u ,x (0) = γ 0 − β 0 u(0)<br />
α 0<br />
, u ,x (L) = γ L − β L u(L)<br />
α L<br />
(3.44)
en la que u(0) = u 1 y u(L) = u N . Recordando la relación constitutiva (3.3) resultan las siguientes<br />
[ ]<br />
[ ]<br />
γ0 − β<br />
σ(0) = −k(0)<br />
0 u(0)<br />
γL − β<br />
, σ(L) = −k(L)<br />
L u(L)<br />
α 0 α L<br />
que reemplazadas en (3.43) modifican a este vector y a la matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z (3.42) quedando<br />
⎡<br />
k11 1 − k(0)β ⎤<br />
0<br />
k12 1 0 . . . 0 0<br />
α 0 k21 1 k22 1 + k11 2 k12 2 . . . 0 0<br />
0 k21 2 k22 2 + k11 3 . . . 0 0<br />
0 0 k21 3 . . . 0 0<br />
· · · · · · ⎥<br />
⎢<br />
⎣<br />
0 0 0 . . . k22 N−2 + k11 N−1 k12<br />
N−1<br />
0 0 0 · · · k N−1<br />
21 k N−1<br />
22 + k(L)β L<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
u 1<br />
u 2<br />
u 3<br />
.<br />
u N−1<br />
u N<br />
⎡<br />
⎤<br />
=<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎢<br />
⎣<br />
f1 1 − k(0)γ 0<br />
α 0<br />
f2 1 + f1<br />
2<br />
f2 2 + f1<br />
3<br />
.<br />
f2 N−2 + f1<br />
N−1<br />
f N−1<br />
2 + k(L)γ L<br />
α L<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
α L<br />
⎥<br />
⎦<br />
× (3.45)<br />
(3.46)<br />
sistema que pue<strong>de</strong> resolverse para las N incógnitas u.<br />
2. Condiciones esenciales o <strong>de</strong> Dirichlet: en este caso se especifican los valores <strong>de</strong> la incógnita<br />
en los extremos<br />
u(0) = γ 0<br />
β 0<br />
,<br />
u(L) = γ L<br />
β L<br />
(3.47)<br />
En este caso el número <strong>de</strong> incógnitas se reduce en dos, ya que u(0) = u 1 y u(L) = u N , lo que<br />
permite reducir el sistema (3.42) en dos ecuaciones (la primera y la última). Los valores conocidos<br />
(3.47) se reemplazan en la ecuaciones restantes quedando el siguiente sistema<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
k22 1 + k11 2 k12 2 . . . 0<br />
k21 2 k22 2 + k3 11 . . . 0<br />
0 k21 3 . . . 0<br />
· · · ·<br />
0 0 . . . k22 N−2 + k11<br />
N−1<br />
⎡<br />
f<br />
u<br />
2 1 2<br />
+ f 1 2 − γ 0<br />
k1 21<br />
β 0<br />
u 3<br />
⎥<br />
. ⎦ = f2 2 + f 1<br />
3<br />
⎢<br />
.<br />
⎡ ⎤<br />
⎢<br />
⎣<br />
u N−1<br />
⎣<br />
f2 N−2 + f1 N−1 − k12<br />
N−1<br />
γ L<br />
β L<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ × (3.48)<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
(3.49)<br />
<strong>de</strong> don<strong>de</strong> surgen las N − 2 incógnitas. A partir <strong>de</strong> esta solución y <strong>de</strong> las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong><br />
(3.47) se pue<strong>de</strong>n <strong>de</strong>terminar los valores <strong>de</strong>l flujo en los extremos utilizando las ecuaciones 1 y N<br />
eliminadas al imponer las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong><br />
k N−1<br />
k11<br />
1 γ 0<br />
+ k12 1 β u 2 = f1 1 + σ (0)<br />
0<br />
γ L<br />
21 u N−1 + k22<br />
N−1 = f2 N−1 − σ (L)<br />
β L<br />
(3.50)<br />
53
3. Condiciones naturales <strong>de</strong> Neumann: bajo este nombre se encuentran las condiciones que<br />
fijan el valor <strong>de</strong> la <strong>de</strong>rivada en los extremos<br />
u ,x (0) = γ 0<br />
α 0<br />
,<br />
u ,x (L) = γ L<br />
α L<br />
(3.51)<br />
Este tipo <strong>de</strong> condiciones pue<strong>de</strong> requerir ciertas consi<strong>de</strong>raciones <strong>de</strong> acuerdo al tipo <strong>de</strong> ecuaciones<br />
que se este resolviendo. En particular, si el problema (3.14) es tal que c(x) = b(x) = 0, el problema<br />
se reduce a la ecuación diferencial<br />
− d [<br />
k(x) du(x) ]<br />
= f(x) (3.52)<br />
dx dx<br />
Entonces, si u es solución <strong>de</strong> la ec. (3.52) con las condiciones (3.51) entonces u + C 0 , con C 0 una<br />
constante arbitraria, también es solución <strong>de</strong>l mismo problema. Por la analogía con los sistemas<br />
mecánicos que representa este problema, se dice que C 0 está asociado con un movimiento <strong>de</strong><br />
cuerpo rígido. Como consecuencia <strong>de</strong> esto, la formulación <strong>de</strong> elementos finitos correspondiente<br />
tampoco dará lugar a una única solución, lo que significa que la matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z K es singular.<br />
La presencia <strong>de</strong> un movimiento <strong>de</strong> cuerpo rígido permite hacer otra consi<strong>de</strong>ración importante:<br />
las constantes que <strong>de</strong>finen las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> (3.51), γ 0 , α 0 , γ L , α L , no pue<strong>de</strong>n elegirse<br />
arbitrariamente, sino que <strong>de</strong>ben satisfacer una condición que se obtiene a partir <strong>de</strong> la formulación<br />
variacional <strong>de</strong>l problema (3.52) planteado. El enunciado variacional es: encontrar u ∈ H 1 tal que<br />
∫ L<br />
0<br />
(k W ,x u ,x ) dx =<br />
∫ L<br />
0<br />
W ¯f dx + ˆf W (¯x) − k (0) γ 0<br />
α 0<br />
W (0)<br />
+ k (L) γ L<br />
α L<br />
W (L)<br />
(3.53)<br />
para toda función W ∈ H 1 . Como u = C 0 es una solución <strong>de</strong>l problema (3.52), también lo será <strong>de</strong><br />
(3.53), para p.ej. W = 1, lo cual conduce a<br />
L∫<br />
0<br />
¯f dx + ˆf − k (0) γ 0<br />
α 0<br />
+ k (L) γ L<br />
α L<br />
= 0 (3.54)<br />
que es la condición que <strong>de</strong>ben satisfacer las constantes que <strong>de</strong>finen las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> <strong>de</strong>l<br />
problema. La condición (3.54) es una condición necesaria para la existencia <strong>de</strong> la solución <strong>de</strong><br />
(3.53). Des<strong>de</strong> un punto <strong>de</strong> vista físico, (3.54) representa una ley <strong>de</strong> conservación global que<br />
refleja la necesidad <strong>de</strong> que se conserve el flujo σ en todo el cuerpo Ω. Para el caso <strong>de</strong>scripto por la<br />
ec. (3.52), esta condición toma la forma (ver ec.(3.43))<br />
N∑<br />
F i = 0 (3.55)<br />
i=1<br />
Para eliminar el movimiento <strong>de</strong> cuerpo rígido se <strong>de</strong>be asignar un valor especifico a u j correspondiente<br />
a un nudo j arbitrario. Por ejemplo, si tomamos u 1 = c 0 , se obtiene el sistema<br />
⎡<br />
⎡<br />
k22 1 + ⎤ ⎡ ⎤<br />
k2 11 k12 2 f<br />
· 0 0 u<br />
2 1 2<br />
+ f 1 2 − k1 21 c ⎤<br />
0<br />
k21 2 k22 2 + k11 3 · 0 0<br />
u 3<br />
f2 2 ⎢<br />
·<br />
⎥ ⎢ ·<br />
⎥<br />
⎣ · · · · · ⎦ ⎣ · ⎦ = + f 3 1<br />
⎢ ·<br />
(3.56)<br />
⎣<br />
0 0 · k21 N−1 k22<br />
N−1 u N f2 N−1 + k(L)γ ⎥<br />
⎦<br />
L<br />
α L<br />
54
y la ecuación<br />
k 1 11c 0 + k 1 12u 2 = f 1 1 + σ (0) (3.57)<br />
Se observa que el valor <strong>de</strong> u 2 pue<strong>de</strong> obtenerse tanto <strong>de</strong>l sistema (3.56) como <strong>de</strong> la ec.(3.57), ya que<br />
la condición <strong>de</strong> compatibilidad (3.54), garantiza que ambos valores u 2 sean iguales.<br />
4. Condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> mixtas: cuando el problema presenta una condición <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> esencial<br />
en un extremo y una natural en el otro, se dice que las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> son mixtas. Por<br />
ejemplo:<br />
u(0) = γ 0<br />
β 0<br />
,<br />
α 0 u ,x (0) + β 0 u(0) = γ 0 ,<br />
u ,x (L) = γ L<br />
α L<br />
(3.58)<br />
β L u(L) = γ L<br />
β L<br />
(3.59)<br />
son dos condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> mixtas. Su tratamiento es similar a los ya expuestos por lo que no<br />
se entrará en mayores <strong>de</strong>talles.<br />
3.5.3. Estimaciones <strong>de</strong>l error<br />
Supongamos que la solución exacta u <strong>de</strong>l problema <strong>de</strong> contorno tenga la propiedad <strong>de</strong> que sus<br />
<strong>de</strong>rivadas <strong>de</strong> or<strong>de</strong>n s al cuadrado son integrables en Ω, pero que las <strong>de</strong> or<strong>de</strong>n s + 1 y superiores<br />
no lo son (s es un entero mayor que 1). A<strong>de</strong>más, supongamos que estamos utilizando funciones <strong>de</strong><br />
forma que contienen polinomios completos <strong>de</strong> grado ≤ k y una malla uniforme <strong>de</strong> elementos <strong>de</strong><br />
igual longitud h. Entonces, una aproximación <strong>de</strong>l error, medido en la norma H 1 <strong>de</strong>finida por la ec.<br />
(3.21) satisface la aproximación asintótica<br />
en don<strong>de</strong> C es una constante in<strong>de</strong>pendiente <strong>de</strong> h y µ es<br />
‖u − û‖ 1<br />
≤ Ch µ (3.60)<br />
µ = mín (k, s) (3.61)<br />
es <strong>de</strong>cir, que la velocidad <strong>de</strong> convergencia es k si k < s o s si s < k. El comportamiento respecto<br />
<strong>de</strong> la norma media cuadrática es un or<strong>de</strong>n mejor<br />
‖u − û‖ 0<br />
≤ C 1 h µ+1 (3.62)<br />
con C 1 una constante.<br />
Las estimaciones (3.60) y (3.62) indican que cuando la solución u es regular (es <strong>de</strong>cir, s > k),<br />
entonces se pue<strong>de</strong> mejorar la velocidad <strong>de</strong> convergencia aumentando el or<strong>de</strong>n k <strong>de</strong> los polinomios<br />
utilizados en la aproximación. Sin embargo, para s < k, la velocidad <strong>de</strong> convergencia es in<strong>de</strong>pendiente<br />
<strong>de</strong> k y no hay mejora al incrementar k.<br />
Ejercicio N ◦ 32: Consi<strong>de</strong>re el problema <strong>de</strong> contorno siguiente <strong>de</strong>finido por la ecuación diferencial<br />
−u (x) ,xx<br />
+ b 0 u (x) = 10δ(x − 1) ; 0 < x < 2<br />
con b 0 una constante, y los conjuntos <strong>de</strong> condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>:<br />
(i) u (0) = 1, u (2) = 3<br />
(ii) u (0) ,x<br />
= 2, u (2) ,x<br />
= g 0 (g 0 =constante)<br />
(iii) u (0) ,x<br />
+ u (0) = 1, u (2) = 1<br />
(a) Utilizando cuatro elementos <strong>de</strong> igual longitud y funciones <strong>de</strong> base lineales evaluar numéricamente<br />
la matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z global y el vector <strong>de</strong> cargas para esta clase <strong>de</strong> problemas tomando<br />
b 0 = 1 y b 0 = 0.<br />
(b) Desarrollar la forma reducida (no singular) <strong>de</strong> las ecuaciones para los problemas (i) y (iii).<br />
57
(c) Consi<strong>de</strong>re las condiciones (ii) y b 0 = 0. ?‘Qué valor <strong>de</strong>be tener la constante g 0 ?<br />
(d) Obtener la forma reducida <strong>de</strong> las ecuaciones para el caso (ii) con b 0 = 0 y el valor <strong>de</strong> g 0<br />
<strong>de</strong>terminado en la parte (c) <strong>de</strong>l enunciado.<br />
58
<strong>Capítulo</strong> 4<br />
Elementos unidimensionales<br />
por F. Flores<br />
4.1. Introducción<br />
En este capítulo se presentan elementos estructurales unidimensionales sencillos orientados al<br />
análisis <strong>de</strong> estructuras espaciales <strong>de</strong> barras articuladas, cables y vigas. Inicialmente se retoma el<br />
problema <strong>de</strong> la conducción <strong>de</strong>l calor a los fines <strong>de</strong> mostrar como imponer la continuidad interelemento<br />
<strong>de</strong> la primera <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> la variable. Luego se introducen problemas <strong>de</strong> continuidad C 1<br />
como paso previo a la introducción <strong>de</strong> los elementos estructurales. Las matrices <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z que se obtienen<br />
son idénticas a las obtenidas en los cursos <strong>de</strong> Análisis Matricial <strong>de</strong> Estructuras. Finalmente<br />
se muestra como <strong>de</strong>sarrollar elementos <strong>de</strong> viga que consi<strong>de</strong>ren las <strong>de</strong>formaciones transversales por<br />
corte.<br />
4.2. Grado <strong>de</strong> continuidad entre elementos<br />
Para el análisis <strong>de</strong>l problema <strong>de</strong> conducción <strong>de</strong>l calor en una dimensión hemos utilizado elementos<br />
<strong>de</strong> 2, 3 y 4 nudos (lineales, cuadráticos y cúbicos respectivamente) con <strong>de</strong>rivadas continuas<br />
en el interior <strong>de</strong>l elemento, pero que entre elementos sólo aseguran continuidad <strong>de</strong> la variable (u)<br />
pero no <strong>de</strong> su <strong>de</strong>rivada (du/ds). Esta última está ligada al flujo a través <strong>de</strong> la relación “constitutiva”<br />
σ = −k du/ds . Es <strong>de</strong>cir que no se asegura la continuidad <strong>de</strong>l flujo entre elementos y no<br />
necesariamente se cumple la condición <strong>de</strong> que el salto [|σ · ν|] entre elementos sea nulo.<br />
Una posibilidad para mejorar la aproximación anterior es utilizar como incógnitas nodales la<br />
variable u y su <strong>de</strong>rivada u′ s. Por ej. usando un elemento <strong>de</strong> dos nodos se tendrían las siguientes<br />
incógnitas:<br />
1<br />
u<br />
u ’s<br />
2<br />
u<br />
u ’s<br />
x 1 x 2<br />
ξ=−1 ξ=0 ξ=1<br />
Figura 1<br />
Elementos Hermíticos<br />
La aproximación a u <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong>l elemento <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>rá <strong>de</strong> cuatro parámetros (u 1 , u 1′ s , u2 , u 2′ s ) y<br />
resulta entonces una interpolación cúbica <strong>de</strong> la forma<br />
u(s) = φ 1 u 1 + ϕ 1 u 1′ s + φ2 u 2 + ϕ 2 u 2′ s<br />
59
los polinomios <strong>de</strong> interpolación indicados (φ 1 , ϕ 1 , φ 2 , ϕ 2 ) se conocen como polinomios <strong>de</strong> Hermite<br />
<strong>de</strong> 1er. or<strong>de</strong>n. Por ser cúbicos su forma general será<br />
f = a + bξ + cξ 2 + dξ 3 ξ = 2x − (x2 + x 1 )<br />
(x 2 − x 1 )<br />
don<strong>de</strong> (x 1 , x 2 ) son las coor<strong>de</strong>nadas <strong>de</strong> los nodos <strong>de</strong>l elemento (ξ ∈ [−1, 1]).<br />
Para obtener los coeficientes (a, b, c, d) recor<strong>de</strong>mos que para que las incógnitas tengan el significado<br />
físico <strong>de</strong>seado, exigíamos que las funciones <strong>de</strong> interpolación satisfagan:<br />
f I ( x J) = δ IJ<br />
{ u<br />
(<br />
x<br />
J ) = u j<br />
u′ s<br />
(<br />
x<br />
J ) = u j′ s<br />
En este caso al tener las <strong>de</strong>rivadas como incógnitas resultan necesarias condiciones similares. Para<br />
las funciones <strong>de</strong> forma asociadas al nudo 1, resultan las siguientes condiciones:<br />
φ 1 (x 1 ) = 1 φ 1′ s (x 1 ) = φ 1 (x 2 ) = φ 1′ s (x 2 ) = 0<br />
ϕ 1′ s (x1 ) = 1 ϕ 1 (x 1 ) = ϕ 1 (x 2 ) = ϕ 1′ s (x2 ) = 0<br />
y otras similares para las funciones asociadas al nudo 2. Luego los coeficientes <strong>de</strong> la función φ 1 se<br />
obtiene <strong>de</strong> resolver las siguientes ecuaciones (siendo φ 1′ s = ( b + 2cξ + 3dξ 2) 2/L)<br />
φ 1 (ξ = −1) :<br />
φ 1′ s (ξ = −1) :<br />
φ 1 (ξ = 1) :<br />
φ 1′ s (ξ = 1) :<br />
a − b + c − a = 1 a =<br />
2b<br />
⎫⎪ 1 2<br />
L − 4c<br />
L + 6d L = 0 ⎬ b = − 3 4<br />
a + b + c + d = 0 c = 0<br />
2b<br />
L + 4c<br />
L + 6d L = 0 ⎪ ⎭<br />
d = 1 4<br />
similarmente se obtienen los coeficientes <strong>de</strong>l resto <strong>de</strong> las funciones, que resultan<br />
(<br />
φ 1 = ) ( 1<br />
4 2 − 3ξ + ξ<br />
3<br />
φ 2 = )<br />
1 4 2 + 3ξ − ξ<br />
3<br />
ϕ 1 = 1 4<br />
(<br />
1 − ξ − ξ 2 + ξ 3) (<br />
L<br />
ϕ 2 = 1 2 4 −1 − ξ + ξ 2 + ξ 3) L<br />
2<br />
Notar sin embargo que la continuidad <strong>de</strong> la <strong>de</strong>rivada no siempre es una ventaja y presenta<br />
problemas precisamente en aquellos puntos don<strong>de</strong> esta es discontinua, por ej:<br />
Si hay un cambio en las características <strong>de</strong>l material (conductividad k), ya que en tal punto<br />
si la <strong>de</strong>rivada es continua el flujo no pue<strong>de</strong> ser continuo<br />
σ + = k + du<br />
ds<br />
≠ k−<br />
du<br />
ds = σ−<br />
Cuando hay una fuente puntual q que implica una discontinuidad en el flujo<br />
[<br />
σ + − σ −] = q<br />
4.2.1. Ejercicios<br />
1. Plantear las condiciones necesarias para obtener los polinomios <strong>de</strong> Hermite <strong>de</strong> 1er or<strong>de</strong>n y<br />
resolverlos. Graficar las funciones <strong>de</strong> interpolación.<br />
60<br />
2. Usando esta aproximación cúbica, calcular la matriz <strong>de</strong> coeficientes <strong>de</strong>l problema <strong>de</strong> conducción<br />
<strong>de</strong>l calor.
v (ξ) = φ 1 (ξ) v 1 + ϕ 1 (ξ) θ 1 + φ 2 (ξ) v 2 + ϕ 2 (ξ) θ 2 61<br />
4.3. Problemas <strong>de</strong> cuarto or<strong>de</strong>n<br />
Son problemas menos comunes pero muy importantes, surgen (entre otras posibilida<strong>de</strong>s) al<br />
consi<strong>de</strong>rar teorías clásicas <strong>de</strong> vigas y placas (y/o láminas). Recor<strong>de</strong>mos por ejemplo la ecuación<br />
diferencial que gobierna el comportamiento <strong>de</strong> una viga continua en flexión<br />
dQ<br />
dx + p (x) = 0<br />
dM<br />
dx + Q = 0<br />
( )<br />
M = EIχ = EI d2 u<br />
d 2<br />
EI d2 u<br />
= p (x)<br />
dx 2 dx 2 dx 2<br />
usando el método <strong>de</strong> <strong>residuos</strong> pon<strong>de</strong>rados (con v la función <strong>de</strong> pon<strong>de</strong>ración) e integrando dos veces<br />
por partes resulta la siguiente formulación débil:<br />
∫ [ ( ) ]<br />
d<br />
2<br />
∫ [ ]<br />
EI d2 u<br />
d 2 v<br />
− p (x) dx =<br />
dx 2 dx 2 dx EI d2 u<br />
2 Dx − v p (x) dx+<br />
2<br />
v<br />
L<br />
L<br />
+ v d ( )] L<br />
EI d2 u<br />
dx dx 2 0<br />
− dv<br />
dx EI d2 u<br />
dx 2 ] L<br />
0<br />
don<strong>de</strong> po<strong>de</strong>mos reconocer en los términos evaluados en los extremos al momento flector y al esfuerzo<br />
<strong>de</strong> corte:<br />
EI d2 u<br />
dx = M y − d ( )<br />
EI d2 u<br />
= − dM<br />
2 dx dx 2 dx = Q<br />
Luego la expresión <strong>de</strong>l residuo pue<strong>de</strong> escribirse como<br />
∫ [ ]<br />
d 2 ∫<br />
v<br />
dx EI d2 u<br />
dx = v p (x) dx + vQ] L 2 Dx 2 0 + dv ] L<br />
dx M 0<br />
L<br />
L<br />
Notemos que para po<strong>de</strong>r realizar la integral <strong>de</strong>l primer miembro es necesario que u ′′ (y v ′′ )<br />
exista, es <strong>de</strong>cir que u ′ (y v ′ ) <strong>de</strong>be ser por lo menos continua. Este tipo <strong>de</strong> problemas don<strong>de</strong> la<br />
formulación requiere que las <strong>de</strong>rivadas primeras <strong>de</strong> la variable sean continuas en todo el dominio<br />
(y por lo tanto entre elementos) se <strong>de</strong>nominan <strong>de</strong> continuidad C 1 . Aquellos don<strong>de</strong> sólo se requiere<br />
que la variable sea continua se <strong>de</strong>nominan <strong>de</strong> continuidad C 0 .<br />
Las condiciones <strong>de</strong> continuidad tienen siempre una fuerte interpretación física, en este caso la<br />
continuidad C 1 resulta <strong>de</strong> la hipótesis <strong>de</strong> conservación <strong>de</strong> las secciones planas y <strong>de</strong> que dicha sección<br />
se mantiene normal al eje <strong>de</strong>formado. Esta hipótesis expresa el campo <strong>de</strong> <strong>de</strong>splazamientos normales<br />
a la sección transversal <strong>de</strong> los puntos fuera <strong>de</strong>l eje baricéntrico proporcionales a la distancia al<br />
mismo y al giro <strong>de</strong> la sección. Si el giro no es continuo, los <strong>de</strong>splazamientos tampoco lo serán y se<br />
pier<strong>de</strong> la compatibilidad.<br />
Si utilizamos en el presente problema un elemento similar al <strong>de</strong>scripto en el punto anterior,<br />
usamos la aproximación <strong>de</strong> Galerkin para las funciones <strong>de</strong> <strong>prueba</strong> (es <strong>de</strong>cir la mismas funciones<br />
que para las variables) tendremos (que para EI constante en cada elemento):<br />
una aproximación cúbica para u que implica aproximación cuadrática para el giro, lineal<br />
para el momento y corte constante.<br />
El elemento pue<strong>de</strong> mo<strong>de</strong>lar en forma exacta una viga sin carga <strong>de</strong> tramo (ecuación homogénea).<br />
Veamos como evaluar la matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z <strong>de</strong>l elemento <strong>de</strong> viga, sea entonces<br />
u (ξ) = φ 1 (ξ) u 1 + ϕ 1 (ξ) β 1 + φ 2 (ξ) u 2 + ϕ 2 (ξ) β 2<br />
don<strong>de</strong> hemos <strong>de</strong>nominado β = du/dx al giro <strong>de</strong> la sección. Similarmente la función <strong>de</strong> <strong>prueba</strong> será<br />
= 0
La <strong>de</strong>rivada segunda <strong>de</strong> u respecto a x dos veces (curvatura <strong>de</strong>l eje medio) es<br />
⎡ ⎤<br />
u 1<br />
u ′′ = d2 u d 2 ξ<br />
dξ 2 dx = 4 [ ]<br />
φ<br />
1 2 L 2 ′ ξξ, ϕ 1′ ξξ, φ 2′ ξξ, ϕ 2′ ⎢ β 1<br />
⎥<br />
ξξ ⎣<br />
} {{ }<br />
u 2 ⎦ = B (ξ) u<br />
B(ξ)<br />
β 2<br />
} {{ }<br />
u<br />
similarmente para la función <strong>de</strong> peso<br />
La integral<br />
∫<br />
v ′′ = d2 v<br />
dξ 2 d 2 ξ<br />
L<br />
dx = 4 [<br />
φ<br />
1 2 L 2 ′ ξξ, ϕ 1′ ξξ, φ 2′ ξξ, ϕ 2′ ξξ<br />
} {{ }<br />
B(ξ)<br />
]<br />
⎡ ⎤<br />
v 1<br />
⎢ θ 1<br />
⎥<br />
⎣ v 2 ⎦<br />
θ 2<br />
} {{ }<br />
v<br />
= B (ξ) v<br />
d 2 v<br />
dx EI d2 u<br />
2 dx<br />
∫L<br />
dx = 2 vT B T (ξ) (EI) B (ξ) dx u = v T K u<br />
} {{ }<br />
K<br />
haciendo el cambio <strong>de</strong> variable en la integral (dx = L dξ e integrando entre -1 y 1) obtenemos K<br />
2<br />
⎡<br />
⎤<br />
12 6L −12 6L<br />
K = EI<br />
4L 2 −6L 2L 2<br />
L 3 ⎢ sim. 12 −6L<br />
⎥<br />
⎣<br />
⎦<br />
4L 2<br />
4.3.1. Condiciones <strong>de</strong> Dirichlet no-homogéneas<br />
Resulta importante notar como se tratan las condiciones <strong>de</strong> contorno esenciales no homogéneas<br />
(<strong>de</strong>splazamiento prescriptos), sea por ej. (β 1 = ¯β 1 ). Recor<strong>de</strong>mos que en el método <strong>de</strong> Galerkin las<br />
condiciones <strong>de</strong> contorno no homogéneas se satisfacían mediante una solución particular, en este<br />
caso la aproximación en el elemento resulta<br />
u (ξ) = φ 1 (ξ) u 1 + ϕ 1 (ξ) ¯β 1 + φ 2 (ξ) u 2 + ϕ 2 (ξ) β 2<br />
don<strong>de</strong> ϕ 1 (ξ) ¯β 1 es ahora nuestra solución particular y el elemento queda entonces con sólo tres<br />
parámetros in<strong>de</strong>pendientes. La matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z <strong>de</strong>l elemento queda ahora reducida a 3 × 3 y<br />
resulta <strong>de</strong><br />
[ v 1 , v 2 , θ 2] ∫ ( ) ⎡ ⎤<br />
⎡ ⎤<br />
φ<br />
16<br />
1′ ξξ<br />
⎣ φ 2′ ⎦<br />
L 4 ξξ (EJ) [ ]<br />
u 1<br />
φ 1′ ξξ, φ 2′ ξξ, ϕ 2′ ξξ dx ⎣ u 2 ⎦<br />
ϕ 2′ ξξ<br />
β 2<br />
que es equivalente a eliminar la 2 fila y la segunda columna <strong>de</strong> la matriz completa<br />
⎡<br />
⎤<br />
12 −12 6L<br />
K = EI<br />
L 3 ⎢ sim. 12 −6L<br />
⎥<br />
⎣<br />
⎦<br />
4L 2<br />
notar que para ello la función <strong>de</strong> peso se ha escrito ahora<br />
62<br />
v (ξ) = φ 1 (ξ) v 1 + φ 2 (ξ) v 2 + ϕ 2 (ξ) θ 2
pues <strong>de</strong>be satisfacer las condiciones homogéneas <strong>de</strong> contorno (θ = 0 don<strong>de</strong> β = ¯β ⇒ θ 1 = 0). La<br />
solución particular contribuye al término in<strong>de</strong>pendiente <strong>de</strong> la forma<br />
[<br />
v 1 , v 2 , θ 2] ∫ ( ) ⎡ ⎤<br />
φ 1′<br />
16<br />
ξξ<br />
⎣ φ 2′ ⎦<br />
L L 4 ξξ (EI) ϕ 1′ ξξ dx ¯β 1<br />
ϕ 2′ ξξ<br />
que no es otra cosa que la segunda columna <strong>de</strong> la matriz original multiplicada por el valor conocido<br />
¯β 1 .<br />
Ejercicio 1: Calcular los autovalores y autovectores <strong>de</strong> la matriz K<br />
Ejercicio 2: Calcular el término in<strong>de</strong>pendiente <strong>de</strong>bido a una carga uniforme<br />
4.3.2. Formulación débil a partir <strong>de</strong>l Principio <strong>de</strong> Trabajos Virtuales<br />
Si bien el método <strong>de</strong> <strong>residuos</strong> pon<strong>de</strong>rados se presenta como una técnica numéricas consistente<br />
para resolver una ecuación diferencial con valores en el contorno, resulta ilustrativo y muy conveniente<br />
asociarla con principios físicos conocidos, <strong>de</strong> tal forma <strong>de</strong> po<strong>de</strong>r dar una interpretación<br />
conceptual a distintos aspectos <strong>de</strong>l método.<br />
Recor<strong>de</strong>mos rápidamente el principio <strong>de</strong> trabajos virtuales, <strong>de</strong>finamos primero un sistema virtual<br />
<strong>de</strong> <strong>de</strong>splazamientos δu. Conceptualmente un <strong>de</strong>splazamiento virtual es un incremento posible<br />
<strong>de</strong> <strong>de</strong>splazamientos a partir <strong>de</strong> una posición dada. Posible <strong>de</strong> ocurrir significa en este caso dos<br />
cosas<br />
1. que satisfaga las ecuaciones <strong>de</strong> compatibilidad interna <strong>de</strong>l problema, para el problema en<br />
estudio esto significa que la <strong>de</strong>rivada segunda d2 u<br />
ds 2 exista (y sea finita).<br />
2. que satisfaga las condiciones esenciales homogéneas <strong>de</strong>l problema, es <strong>de</strong>cir que tomado como<br />
<strong>de</strong>splazamiento incremental a partir <strong>de</strong> un campo <strong>de</strong> <strong>de</strong>splazamientos que satisface las<br />
condiciones esenciales no-homogéneas, la suma también satisfaga estas últimas.<br />
δu = 0 don<strong>de</strong> u = ū<br />
El principio <strong>de</strong> trabajos virtuales (<strong>de</strong>splazamientos virtuales) dice que un sistema <strong>de</strong> fuerzas<br />
internas (momentos y esfuerzos <strong>de</strong> corte en este caso) está en equilibrio con un conjunto <strong>de</strong> acciones<br />
externas (cargas y momentos) si para cualquier (es <strong>de</strong>cir para todo) <strong>de</strong>splazamiento virtual se<br />
satisface que el trabajo virtual <strong>de</strong> las fuerzas internas es igual al <strong>de</strong> las fuerzas externas.<br />
Escribamos el principio <strong>de</strong> trabajos virtuales para el problema en estudio:<br />
∫<br />
T.V.I. =<br />
L<br />
( ) d 2 ∫<br />
δu<br />
M dx = δu q(x) dx +<br />
dx 2 L<br />
( ) dδu<br />
dx<br />
] L<br />
¯M<br />
0<br />
reemplazando la ecuación constitutiva en el primer miembro, el T.V.I. resulta<br />
∫ ( ) ( )<br />
d 2 δu d 2 u<br />
T.V.I. =<br />
(EI) dx<br />
dx 2 dx 2<br />
L<br />
+ δu ¯Q ] L<br />
0 = T.V.E.<br />
don<strong>de</strong> po<strong>de</strong>mos reconocer la misma forma que la formulación débil obtenida por <strong>residuos</strong> pon<strong>de</strong>rados<br />
con la diferencia que aquí v = δu. Si ahora comparamos las condiciones que impusimos a<br />
la función <strong>de</strong> peso v en <strong>residuos</strong> pon<strong>de</strong>rados con las condiciones impuestas a los <strong>de</strong>splazamientos<br />
virtuales δu vemos que no hay ninguna diferencia y ambos formulaciones conducen a las mismas<br />
ecuaciones.<br />
Notar que estamos hablando <strong>de</strong> las ecuaciones <strong>de</strong> trabajos virtuales en forma discreta, es <strong>de</strong>cir<br />
que buscamos la solución u <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> una familia discreta <strong>de</strong> funciones (<strong>de</strong>scripta por las funciones<br />
<strong>de</strong> forma utilizadas y sus parámetros asociados) y exigimos que se satisfaga la igualdad T.V.I. =<br />
T.V.E. para esa misma familia <strong>de</strong> funciones δu y no para cualquier función admisible.<br />
63
4.3.3. Formulación a partir <strong>de</strong>l Principio <strong>de</strong> Mínima Energía Potencial Total<br />
La ventaja <strong>de</strong> utilizar este principio resi<strong>de</strong> en la fuerte interpretación física <strong>de</strong> la formulación<br />
resultante. En este aspecto resulta idéntica al método <strong>de</strong> Rayleigh-Ritz. Por otro lado <strong>de</strong>s<strong>de</strong> un<br />
punto <strong>de</strong> vista más general tiene el inconveniente <strong>de</strong> que requiere que exista un potencial expresado<br />
en función <strong>de</strong> los <strong>de</strong>splazamientos. Este potencial no existe si hay disipación, por ejemplo cuando<br />
el material no es elástico (y en consecuencia no se pue<strong>de</strong> escribir la energía interna <strong>de</strong> <strong>de</strong>formación<br />
en términos exclusivamente <strong>de</strong> los <strong>de</strong>splazamientos y se requiere conocer otras variables) o cuando<br />
las cargas <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>n <strong>de</strong> la configuración (cargas seguidoras), vínculos unilaterales, problemas <strong>de</strong><br />
contacto con y sin fricción.<br />
En el presente problema la energía potencial total Π (u) se escribe para un material lineal<br />
elástico<br />
Π (u) = 1 2<br />
∫<br />
L<br />
EI<br />
Aplicando el principio <strong>de</strong> mínima tendremos:<br />
∫<br />
δΠ (u, δu) =<br />
L<br />
EI<br />
( ) d 2 2 ∫<br />
( L<br />
u<br />
dx − q(x)u dx −<br />
dx ¯M du<br />
2 L<br />
dx)]<br />
0<br />
( ) ( )<br />
d 2 u d 2 ∫<br />
( )] L<br />
δu<br />
dδu<br />
dx − q(x)δu dx − ¯M<br />
dx 2 dx 2 L<br />
dx<br />
0<br />
− ¯Qu ] L<br />
0<br />
− ¯Qδu ] L<br />
0 = 0<br />
Si comparamos esta expresión con el P.T.V. veremos que es la misma, la diferencia está en que<br />
aquí δu representa la 1ra variación <strong>de</strong> los <strong>de</strong>splazamientos, pero que formalmente <strong>de</strong>be satisfacer<br />
las mismas condiciones que un <strong>de</strong>splazamiento virtual, es <strong>de</strong>cir ser un <strong>de</strong>splazamiento incremental<br />
admisible.<br />
4.4. Elemento <strong>de</strong> barra articulada<br />
Los elementos estructurales <strong>de</strong> barras articuladas son los más sencillos. Son <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el punto <strong>de</strong><br />
vista espacial bi o tridimensionales. Sin embargo <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el punto <strong>de</strong> vista <strong>de</strong> la ecuación diferencial<br />
que gobierna su comportamiento son undimensionales, en el sentido <strong>de</strong> que <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>n <strong>de</strong> una única<br />
coor<strong>de</strong>nada espacial (la longitud <strong>de</strong> arco a lo largo <strong>de</strong> su eje).<br />
Por otro lado, muchas veces resulta más sencillo calcular las matrices elementales <strong>de</strong> coeficientes<br />
(matrices <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z) y los vectores elementales <strong>de</strong> términos in<strong>de</strong>pendientes respecto a un sistema<br />
coor<strong>de</strong>nado local o en función <strong>de</strong> un conjunto <strong>de</strong> variables locales. Posteriormente, el ensamble <strong>de</strong><br />
la matriz y vector elemental <strong>de</strong>ben llevarse a cabo sobre un sistema coor<strong>de</strong>nado común (global) a<br />
todos los elementos, lo que hace necesario referir matrices y vectores a este sistema global.<br />
Consi<strong>de</strong>remos entonces como <strong>de</strong>terminar la matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z <strong>de</strong> una barra <strong>de</strong> reticulado plano,<br />
para lo cual utilizaremos el principio <strong>de</strong> trabajos virtuales, en particular la matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z<br />
provendrá <strong>de</strong>l trabajo virtual interno, a<strong>de</strong>más como ejemplo mostraremos como ir introduciendo<br />
aquí la notación que se usa habitualmente en el método <strong>de</strong> elementos finitos al consi<strong>de</strong>rar elementos<br />
más complejos.<br />
Si se <strong>de</strong>fine un sistema local (¯x 1 , ¯x 2 ) (con una barra encima <strong>de</strong> la variable representaremos<br />
valores en el sistema local) en cada barra <strong>de</strong> forma que el eje <strong>de</strong> la barra coincida con la dirección<br />
¯x 1 , es posible calcular la longitud <strong>de</strong> la barra y su orientación respecto al sistema global en función<br />
<strong>de</strong> las coor<strong>de</strong>nadas <strong>de</strong> los nudos<br />
64<br />
L = [( x 2 − x 1) · (x 2 − x 1)] 1 2<br />
[ (x )<br />
2<br />
= 1 − x 1 2 ( ] 1<br />
1 + x<br />
2<br />
2 − x2) 1 2 2<br />
cos α = (x2 1 − x1 1 )<br />
L<br />
Los <strong>de</strong>splazamientos se interpolan en forma lineal<br />
sin α = (x2 2 − x1 2 )<br />
L
X 2<br />
1<br />
X 2<br />
X 1<br />
1<br />
X 2<br />
2<br />
X 1<br />
2<br />
X 2<br />
1 2 X 1<br />
X 2<br />
ξ<br />
1<br />
X 1<br />
2<br />
X 1<br />
-1 0 1<br />
L<br />
Figura 2<br />
barra <strong>de</strong> reticulado en coor<strong>de</strong>nadas locales<br />
ū = N 1 (ξ) ū 1 + N 2 (ξ) ū 2<br />
La única variable <strong>de</strong> <strong>de</strong>formación relevante en este caso es la <strong>de</strong>formación longitudinal en la<br />
dirección <strong>de</strong>l eje <strong>de</strong> la barra<br />
ε = dū 1<br />
d¯x 1<br />
= N 1<br />
′ 1 (ξ) ū 1 1 + N 2<br />
′ 1 (ξ) ū 2 1<br />
N I<br />
′ 1 = dN I (ξ)<br />
d¯x 1<br />
Para este caso <strong>de</strong> dos funciones lineales<br />
= dN I (ξ)<br />
dξ<br />
dξ<br />
= N I 2<br />
d¯x ′ ξ<br />
1 L<br />
N 1 (ξ) = 1 2<br />
N 2 (ξ) = 1 2<br />
(1 − ξ) N<br />
1<br />
′ ξ = −1 2<br />
(1 + ξ) N<br />
2<br />
′ ξ = +1 2<br />
N 1<br />
′ 1 = − 1 L<br />
N 2<br />
′ 1 = + 1 L<br />
(4.1)<br />
Si agrupamos los <strong>de</strong>splazamientos <strong>de</strong> los nudos en un vector <strong>de</strong> incógnitas elementales<br />
la <strong>de</strong>formación axial pue<strong>de</strong> escribirse<br />
ū e = [ ū 1 1 , ū1 2 , ū2 1 , ū2 2<br />
ε = [ N 1<br />
′ 1, 0, N 2<br />
′ 1, 0 ] ū e = 1 L [−1, 0, 1, 0] ūe = B ū e<br />
La variable <strong>de</strong> tensión asociada a esta <strong>de</strong>formación es la fuerza axial sobre la barra resultante <strong>de</strong><br />
integrar las tensiones normales sobre el área <strong>de</strong> la sección.<br />
∫<br />
S = σ 11 dA = (EA) ε = Dε<br />
A<br />
En forma similar, los <strong>de</strong>splazamientos virtuales conducen a una <strong>de</strong>formación virtual<br />
δε = [ N 1<br />
′ 1, 0, N 2<br />
′ 1, 0 ] δū e = 1 L [−1, 0, 1, 0] δūe = B δū e<br />
La matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z resulta entonces <strong>de</strong>l trabajo virtual interno<br />
T.V.I. =<br />
∫ L<br />
0<br />
δε S ds =<br />
∫ L<br />
0<br />
] T<br />
(B δū e ) T D B ū e ds<br />
∫ L<br />
= δū e B T D B ds ū e = δū e ¯K ū e<br />
0<br />
65
¯K<br />
= ∫ L<br />
0 BT D B d¯x 1 =<br />
¯K =<br />
∫ +1<br />
−1<br />
EA<br />
L<br />
B T D B L 2 dξ<br />
⎡<br />
1 0 −1 0<br />
⎢ 0 0 0 0<br />
⎣ −1 0 1 0<br />
0 0 0 0<br />
Recor<strong>de</strong>mos entonces que esta matriz representa el trabajo virtual interno a través <strong>de</strong> la expresión<br />
T.V.I. = (δū e ) T<br />
Para reescribir esta expresión en términos <strong>de</strong> <strong>de</strong>splazamientos respecto al sistema global <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas<br />
<strong>de</strong>bemos expresar los ū e y δū e en función <strong>de</strong> u e y δu e referidos al sistema global<br />
¯K ū e<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
X 2<br />
U 1<br />
X 2<br />
U 1<br />
U 2<br />
X 1<br />
U 2<br />
α<br />
X 1<br />
Figura 3<br />
barra <strong>de</strong> reticulado en coor<strong>de</strong>nadas globales<br />
similarmente<br />
ū e =<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
ū 1 1<br />
ū 1 2<br />
ū 2 1<br />
ū 2 2<br />
La matriz Λ tiene la forma<br />
⎤ ⎡<br />
⎥<br />
⎦ = ⎢<br />
⎣<br />
cos α sin α 0 0<br />
− sin α cos α 0 0<br />
0 0 cos α sin α<br />
0 0 − sin α cos α<br />
δū e = Λ δu e<br />
Λ =<br />
[ R 0<br />
0 R<br />
]<br />
⎤ ⎡<br />
⎥ ⎢<br />
⎦ ⎣<br />
u 1 1<br />
u 1 2<br />
u 2 1<br />
u 2 2<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ = Λ ue<br />
don<strong>de</strong> R es en este caso particular la matriz <strong>de</strong> rotación <strong>de</strong>l sistema global al local y se cumple<br />
que Λ −1 = Λ T (en un caso general las matrices <strong>de</strong> transformación no son sencillamente matrices<br />
<strong>de</strong> cambio <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas entre dos sistemas ortogonales). Luego el T.V.I. pue<strong>de</strong> escribirse<br />
T.V.I. = (δu e ) T Λ} T {{<br />
¯K Λ}<br />
u e = (δu e ) T<br />
K<br />
K u e<br />
notar entonces que para transformar la matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z la expresión correcta es con Λ T y no con<br />
Λ −1 , por ser la matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z un tensor y no una aplicación lineal<br />
Similarmente para el trabajo virtual externo notar que:<br />
66<br />
T.V.E. = (δū e ) T<br />
¯f = (δu e ) T Λ} {{ T ¯f } = (δu e ) T f<br />
f
Notar como es la matriz R, si <strong>de</strong>finimos por t 1 al versor orientado <strong>de</strong>l nudo 1 al nudo 2, y por<br />
t 2 al versor normal a t 1 <strong>de</strong> tal forma que t 3 = t 1 × t 2 , sea la normal saliente al plano, entonces es<br />
fácil ver que<br />
t 1 =<br />
[<br />
cos α<br />
sin α<br />
que son precisamente las columnas <strong>de</strong> R<br />
]<br />
R = [t 1 , t 2 ]<br />
t 2 =<br />
[<br />
− sin α<br />
cos α<br />
En forma completamente similar pue<strong>de</strong> obtenerse las matriz <strong>de</strong> un elemento <strong>de</strong> barra en 3<br />
dimensiones. Ahora hay 3 componentes <strong>de</strong> <strong>de</strong>splazamiento por nudo y la matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z en<br />
coor<strong>de</strong>nadas locales resulta<br />
¯K = EA<br />
L<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
1 0 0 −1 0 0<br />
0 0 0 0 0 0<br />
0 0 0 0 0 0<br />
−1 0 0 1 0 0<br />
0 0 0 0 0 0<br />
0 0 0 0 0 0<br />
Llamando nuevamente por t 1 al versor orientado <strong>de</strong>l nudo 1 al 2, y t 2 y t 3 a dos versores<br />
ortogonales a t 1 , tales que t 1 × t 2 = t 3 , entonces la matriz <strong>de</strong> rotación resulta<br />
R = [t 1 , t 2 , t 3 ]<br />
[ R 03×3<br />
Λ =<br />
0 3×3 R<br />
y finalmente la matriz <strong>de</strong> la barra en coor<strong>de</strong>nadas globales es<br />
]<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
]<br />
K = Λ T ¯K Λ (4.2)<br />
Los elementos <strong>de</strong> barra articulada, a<strong>de</strong>más <strong>de</strong> utilizarse para mo<strong>de</strong>los estructurales <strong>de</strong> enrejado,<br />
suelen utilizarse para mo<strong>de</strong>lar cables en general y tensores en particular. En estos casos <strong>de</strong>be notarse<br />
que los cables suelen presentar gran<strong>de</strong>s <strong>de</strong>splazamientos, por lo cual el problema es no lineal y la<br />
matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z <strong>de</strong>be actualizarse a la configuración <strong>de</strong>formada.<br />
4.4.1. Ejercicio<br />
Calcular la matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z <strong>de</strong> la barra articulada en coor<strong>de</strong>nadas globales usando (4.2),<br />
mostrar que sólo <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> t 1 , es <strong>de</strong>cir que no es necesario <strong>de</strong>finir las direcciones t 2 y t 3<br />
4.5. Elemento <strong>de</strong> viga en 3 dimensiones<br />
4.5.1. Hipótesis más significativas (teoría clásica)<br />
Las secciones se mantienen planas<br />
Los <strong>de</strong>splazamientos son pequeños<br />
La geometría inicial y final son indistinguibles<br />
Las secciones son in<strong>de</strong>formables<br />
Las únicas tensiones relevantes son las que actúan en el plano <strong>de</strong> la sección (σ 11 , σ 12 , σ 13 )<br />
Se <strong>de</strong>sprecian las <strong>de</strong>formaciones asociadas al corte transversal.<br />
67
Las cargas normales al eje <strong>de</strong> la viga actúan en el centro <strong>de</strong> corte, si no es necesario reemplazarla<br />
por una carga equivalente actuando en el centro <strong>de</strong> corte más un momento torsor<br />
distribuido.<br />
La pieza es prismática<br />
El eje <strong>de</strong> la viga es recto<br />
La sección es constante<br />
4.5.2. Definición <strong>de</strong>l sistema local <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas y el elemento maestro<br />
Debido a que toda la <strong>de</strong>scripción <strong>de</strong> la viga esta referida a su eje baricéntrico (t 1 ) y a sus dos<br />
ejes principales <strong>de</strong> inercia (t 2 y t 3 ), resulta conveniente <strong>de</strong>finir un sistema local <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas<br />
que coincida con dichos ejes. Esto permite trabajar con expresiones sencillas para las relaciones<br />
cinemáticas y constitutivas, y <strong>de</strong>sacoplar los diferentes comportamientos (flexión en dos planos<br />
ortogonales, torsión y fuerza axial)<br />
La coor<strong>de</strong>nada x 1 local coinci<strong>de</strong> entonces con el arco a lo largo <strong>de</strong>l eje <strong>de</strong> la viga, en tanto que<br />
las coor<strong>de</strong>nadas x 2 y x 3 se mi<strong>de</strong>n a partir <strong>de</strong>l baricentro <strong>de</strong> la sección en las direcciones principales<br />
<strong>de</strong> inercia. La coor<strong>de</strong>nada x 1 se encuentra en el intervalo [0, L], con L la longitud <strong>de</strong> la viga. Las<br />
coor<strong>de</strong>nadas x 2 y x 3 <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>n <strong>de</strong> la forma <strong>de</strong> la sección. La elección <strong>de</strong> cual <strong>de</strong> los ejes principales<br />
<strong>de</strong> inercia asociar a x 2 es arbitraria.<br />
X 2<br />
1<br />
L<br />
2<br />
X 1<br />
X 3<br />
0<br />
-1 1<br />
ξ<br />
Figura 4<br />
Coor<strong>de</strong>nadas locales en un elemento <strong>de</strong> viga<br />
Computacionalmente el eje t 1 se calcula a partir <strong>de</strong> las coor<strong>de</strong>nadas <strong>de</strong> los nudos extremos, en<br />
tanto que la orientación <strong>de</strong>l eje t 2 , queda (en la práctica) <strong>de</strong>finido por un nudo auxiliar, <strong>de</strong> tal<br />
forma que el plano <strong>de</strong>finido por (t 1 , t 2 ) sea paralelo al plano que contiene a los nudos extremos <strong>de</strong><br />
la viga y el nudo auxiliar. Finalmente t 3 = t 1 × t 2 .<br />
El elemento maestro es entonces unidimensional, y la variable local ξ está restringida al intervalo<br />
[−1, 1].<br />
El elemento <strong>de</strong> viga estándar está <strong>de</strong>finido por dos nudos extremos que llamaremos 1 y 2.<br />
Denominaremos con u i al <strong>de</strong>splazamiento en la dirección i local, y con θ i al giro alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l eje<br />
local i. Esto permite <strong>de</strong>sacoplar el comportamiento en 4 partes<br />
68<br />
1. -Esfuerzo normal N asociado a los <strong>de</strong>splazamiento u 1<br />
2. -Torsión M t asociado a los giros θ 1<br />
3. -Flexión en el plano x 1 − x 2 , Q 2 y M 3 asociado a u 2 y θ 3
4. -Flexión en el plano x 1 − x 3 , Q 3 y M 2 asociado a u 3 y θ 2<br />
4.5.3. Relaciones Cinemáticas y Constitutivas<br />
N = EAε = EA du 1<br />
dx 1<br />
M t = αGI p χ 1 = αGI p<br />
dθ 1<br />
dx 1<br />
M 3 = EI 3 χ 3 = EI 3<br />
( dθ3<br />
dx 1<br />
)<br />
= EI 3<br />
( d 2 u 2<br />
dx 2 1<br />
M 2 = EI 2 χ 2 = EI 2<br />
( dθ2<br />
dx 1<br />
)<br />
= EI 2<br />
(<br />
− d2 u 3<br />
dx 2 1<br />
Don<strong>de</strong> E es el módulo <strong>de</strong> elasticidad longitudinal (módulo <strong>de</strong> Young) y G es el módulo <strong>de</strong><br />
elasticidad transversal o <strong>de</strong> corte. A es el área transversal <strong>de</strong> la sección, I p , es el momento <strong>de</strong> inercia<br />
polar <strong>de</strong> la sección y I i es el momento <strong>de</strong> inercia <strong>de</strong> la sección respecto al eje i. El coeficiente α<br />
modifica la rigi<strong>de</strong>z torsional en función <strong>de</strong> la forma <strong>de</strong> la sección.<br />
Las variables <strong>de</strong> <strong>de</strong>formación generalizada son: ε es la <strong>de</strong>formación axial, χ 1 es el cambio <strong>de</strong><br />
ángulo <strong>de</strong> torsión por unidad <strong>de</strong> longitud y χ i son las curvaturas <strong>de</strong> flexión.<br />
Notar que la <strong>de</strong>nominación <strong>de</strong>l momento flector y su curvatura asociada está referida al eje<br />
normal al plano <strong>de</strong> flexión, y la convención <strong>de</strong> positivo/negativa a que coincida con la dirección<br />
positiva <strong>de</strong>l eje correspondiente.<br />
4.5.4. <strong>Funciones</strong> <strong>de</strong> Interpolación<br />
El análisis <strong>de</strong> las ecuaciones diferenciales que gobiernan el comportamiento indica que la función<br />
solución para el caso homogéneo (sin carga <strong>de</strong> tramo) <strong>de</strong>l comportamiento axial (esfuerzos axiales y<br />
torsión) es una recta. Por lo tanto basta con consi<strong>de</strong>rar una aproximación lineal para u 1 y para θ 1 .<br />
En tanto que para la flexión la correspondiente función solución (<strong>de</strong>l <strong>de</strong>splazamiento transversal)<br />
es un polinomio cúbico (sin carga <strong>de</strong> tramo), por lo que una aproximación cúbica es a<strong>de</strong>cuada.<br />
De la aproximación por <strong>residuos</strong> pon<strong>de</strong>rados tras la correspondiente integración por partes<br />
resulta que el problema es <strong>de</strong> continuidad C 0 para el problema axial y C 1 para la flexión. En<br />
<strong>de</strong>finitiva en los nudos <strong>de</strong>ben ser continuos, a<strong>de</strong>más <strong>de</strong> los <strong>de</strong>splazamientos, θ 1 , du 2<br />
= θ 3 y du 3<br />
=<br />
dx 1 dx 1<br />
−θ 2 . Es <strong>de</strong>cir que por lo menos <strong>de</strong>bemos tener 6 grados <strong>de</strong> libertad por nudo (las tres componentes<br />
<strong>de</strong> <strong>de</strong>splazamiento y las tres componentes <strong>de</strong>l giro).<br />
Denominaremos con u I i al <strong>de</strong>splazamiento <strong>de</strong>l nudo I en la dirección i local, y con θ I i al giro<br />
<strong>de</strong>l nudo I alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l eje local i. Luego:<br />
1. -Para los fuerzas axiales tenemos como grados <strong>de</strong> libertad u 1 1 y u 2 1 suficientes para <strong>de</strong>finir la<br />
recta solución <strong>de</strong> la ecuación homogénea<br />
2. -Para la torsión tenemos como grados <strong>de</strong> libertad θ 1 1 y θ 2 1 suficientes para <strong>de</strong>finir la recta<br />
solución <strong>de</strong> la ecuación homogénea<br />
3. -Para la flexión en el plano x 1 − x 2 , tenemos los grados <strong>de</strong> libertad u 1 2, θ 1 3, u 2 2 y θ 2 3 suficientes<br />
para <strong>de</strong>finir el polinomio cúbico solución <strong>de</strong> la ecuación homogénea<br />
4. -Para la flexión en el plano x 1 − x 3 , tenemos los grados <strong>de</strong> libertad u 1 3, θ 1 2, u 2 3 y θ 2 2 suficientes<br />
para <strong>de</strong>finir el polinomio cúbico solución <strong>de</strong> la ecuación homogénea<br />
Luego las funciones <strong>de</strong> interpolación propuestas son:<br />
)<br />
)<br />
1. u 1 (ξ) = 1 2 (1 − ξ) u1 1 + 1 2 (1 + ξ) u2 1 = N 1 (ξ) u 1 1 + N 2 (ξ) u 2 1 = ∑ 2<br />
I=1 N I (ξ) u I 1<br />
69
2. θ 1 (ξ) = ∑ 2<br />
I=1 N I (ξ) θ I 1<br />
3. u 2 (ξ) = φ 1 (ξ) u 1 2 + ϕ 1 (ξ) θ 1 3 + φ 2 (ξ) u 2 2 + ϕ 2 (ξ) θ 2 3<br />
4. u 3 (ξ) = φ 1 (ξ) u 1 3 − ϕ1 (ξ) θ 1 2 + φ2 (ξ) u 2 3 − ϕ2 (ξ) θ 2 2<br />
Don<strong>de</strong> pue<strong>de</strong> verse que hemos usado para el comportamiento axial los polinomios <strong>de</strong> Lagrange<br />
<strong>de</strong> grado 1 y para el comportamiento flexional los polinomios <strong>de</strong> Hermite <strong>de</strong> or<strong>de</strong>n 1.<br />
4.5.5. Desarrollo<br />
Recordando que<br />
d<br />
= d dξ<br />
= d 2<br />
dx 1 dξ dx 1 dξ L<br />
( ) −1<br />
dξ dx1<br />
=<br />
= J −1<br />
dx 1 dξ<br />
tenemos que las <strong>de</strong>formaciones generalizadas resultan<br />
ε = du 1<br />
= N I 2<br />
dx ′ ξ<br />
1 L uI 1 = ( )<br />
u 2 1 − u 1 1<br />
1<br />
L<br />
χ 1 = dθ 1<br />
= N I 2<br />
dx ′ ξ<br />
1 L θI 1 = ( θ 2 1 − ) 1<br />
θ1 1<br />
L<br />
χ 3 = d2 u 2<br />
dx 2 1<br />
=<br />
[ 6ξ<br />
L<br />
( )<br />
= d2 u 2 dξ 2<br />
dξ 2 = 4 [ ]<br />
φ<br />
1<br />
1<br />
dx 1 L 2 ′ ξξu 1 2 + ϕ 1′ ξξθ 1 3 + φ 2′ ξξu 2 2 + ϕ 2′ ξξθ 2 3<br />
⎡ ⎤<br />
−1 + 3ξ<br />
, , − 6ξ<br />
2<br />
L L , 1 + 3ξ ]<br />
u 1 2<br />
⎢ θ 1 3 ⎥<br />
2 L ⎣ u 2 ⎦<br />
2<br />
θ 2 3<br />
χ 2 = − d2 u 3<br />
dx 2 1<br />
[ 6ξ<br />
= −<br />
L<br />
( ) 2<br />
= − d2 u 3 dξ<br />
dξ 2 = − 4 [<br />
φ<br />
1<br />
1<br />
dx 1 L 2 ′ ξξ u1 3 − ϕ1′ ξξ θ1 2 + φ2′ ξξ u2 3 − ]<br />
ϕ2′ ξξ θ2 2<br />
⎡ ⎤<br />
+ 3ξ<br />
, −−1 , − 6ξ ]<br />
u 1 3<br />
+ 3ξ<br />
, −1 ⎢ θ 1 2 ⎥<br />
2<br />
L L2 L ⎣ u 2 ⎦<br />
3<br />
θ 2 2<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
Que pue<strong>de</strong> resumirse en la siguiente expresión matricial<br />
⎤<br />
ε<br />
χ 1<br />
χ 3<br />
χ 2<br />
⎥<br />
⎦ = 1 L<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
−1 +1<br />
−1 +1<br />
6ξ<br />
−1 + 3ξ − 6ξ<br />
L L<br />
−1 + 3ξ<br />
− 6ξ<br />
L<br />
6ξ<br />
L<br />
+1 + 3ξ<br />
+1 + 3ξ<br />
⎡<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎢<br />
⎣<br />
u 1 1<br />
u 1 2<br />
u 1 3<br />
θ 1 1<br />
θ 1 2<br />
θ 1 3<br />
u 2 1<br />
u 2 2<br />
u 2 3<br />
θ 2 1<br />
θ 2 2<br />
θ 2 3<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
70
}{{} ε =B (ξ)<br />
} {{ } }{{} a e<br />
4×1 4×12 12×1<br />
En tanto que la relaciones constitutivas pue<strong>de</strong>n escribirse matricialmente como<br />
⎡ ⎤ ⎡<br />
⎤ ⎡ ⎤<br />
N EA<br />
ε<br />
⎢ M t<br />
⎥<br />
⎣ M 3<br />
⎦ = ⎢ αGI p ⎥ ⎢ χ 1<br />
⎥<br />
⎣<br />
EI 3<br />
⎦ ⎣ χ 3<br />
⎦<br />
M 2 EI 2 χ 2<br />
σ }{{}<br />
4×1<br />
= D }{{}<br />
4×4<br />
ε }{{}<br />
4×1<br />
Finalmente la matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z (en el sistema local) resulta <strong>de</strong> integrar a lo largo <strong>de</strong> la viga<br />
K }{{} L =<br />
12×12<br />
∫ L<br />
0<br />
B T<br />
}{{}<br />
12×4<br />
D }{{}<br />
4×4<br />
}{{} B dx 1 =<br />
4×12<br />
∫ 1<br />
−1<br />
B (ξ) T<br />
D B (ξ) L 2 dξ<br />
Notar que como máximo en B(ξ) hay polinomios <strong>de</strong> or<strong>de</strong>n 1, luego en el producto B T D B<br />
hay como máximo polinomios <strong>de</strong> or<strong>de</strong>n 2 en ξ, por lo cual bastan dos puntos <strong>de</strong> integración si se<br />
va a realizar una integración numérica. La integral pue<strong>de</strong> hacerse en este caso en forma analítica<br />
sin ningún problema.<br />
La matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z (cuya obtención se <strong>de</strong>ja como ejercicio) es idéntica a la obtenida en<br />
los cursos <strong>de</strong> cálculo matricial <strong>de</strong> estructuras. Esto es así porque las funciones <strong>de</strong> interpolación<br />
utilizadas son capaces <strong>de</strong> reproducir la solución exacta <strong>de</strong> las ecuaciones diferenciales (homogéneas).<br />
4.5.6. Término in<strong>de</strong>pendiente (vector <strong>de</strong> cargas)<br />
Supongamos que las cargas están representadas localmente (es <strong>de</strong>cir respecto al sistema local)<br />
y varían en forma lineal <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong>l elemento<br />
⎡<br />
q (ξ) = ⎣ q ⎤<br />
1 2∑<br />
q 2<br />
⎦ = N I (ξ) q I<br />
q 3 I=1<br />
El trabajo virtual externo se pue<strong>de</strong> escribir como<br />
⎡<br />
∫ L<br />
∫ L<br />
T.V.E. = δu T q (ξ) dx 1 = [δu 1 , δu 2 , δu 3 ] ⎣ q ⎤<br />
1 (ξ)<br />
q 2 (ξ) ⎦ dx 1<br />
0<br />
0<br />
q 3 (ξ)<br />
⎡<br />
⎤<br />
∫ L N 1 N 2<br />
T<br />
= [δa e ] T ⎣ φ 1 ϕ 1 φ 2 ϕ 2 ⎦<br />
0<br />
φ 1 0 −ϕ 1 φ 2 0 −ϕ 2<br />
Don<strong>de</strong> F L<br />
×<br />
⎡<br />
= [δa e ] T<br />
} {{ }<br />
1×12<br />
⎣ N 1 N 2<br />
N 1 N 2<br />
N 1<br />
∫ L<br />
0<br />
Φ T (ξ)<br />
} {{ }<br />
12×3<br />
N (ξ)<br />
} {{ }<br />
3×6<br />
dx 1<br />
[ q<br />
1<br />
q 2 ]<br />
} {{ }<br />
6×1<br />
⎡<br />
⎤<br />
⎦ dx 1 N 2 ⎢<br />
⎣<br />
q 1 1<br />
q 1 2<br />
q 1 3<br />
q 2 1<br />
q 2 2<br />
q 2 3<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
= [δa e ] T F<br />
} {{ } }{{} L<br />
1×12<br />
12×1<br />
es el término in<strong>de</strong>pendiente referido al sistema <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas locales.<br />
(4.3)<br />
71
4.5.7. Cambio <strong>de</strong> base<br />
La expresión <strong>de</strong> la matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z en coor<strong>de</strong>nadas globales sigue el procedimiento general.<br />
Referida a un sistema coor<strong>de</strong>nado local la matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z que es <strong>de</strong> 12 × 12 tiene la forma<br />
[ ]<br />
k11 k<br />
K L =<br />
12<br />
k 21 k 22<br />
asociada con un vector <strong>de</strong> <strong>de</strong>splazamientos en coor<strong>de</strong>nada locales <strong>de</strong> forma<br />
⎡ ⎤<br />
u 1<br />
⎡ ⎤<br />
⎡<br />
a L = ⎢ θ 1<br />
u I<br />
⎥<br />
⎣ u 2 ⎦ u I L = 1<br />
θ I ⎤<br />
⎣ u I ⎦<br />
2<br />
θ I 1<br />
= ⎣ θ I ⎦<br />
θ 2 u I 2<br />
3<br />
θ I L<br />
3<br />
L<br />
L<br />
don<strong>de</strong> u I L son los <strong>de</strong>splazamientos <strong>de</strong>l nudo I referidos a la terna local y θI L es el vector <strong>de</strong><br />
giros (don<strong>de</strong> cada componente es la proyección <strong>de</strong>l vector rotación) referido a la terna local. Las<br />
submatrices k ij son <strong>de</strong> 6 × 6 y los únicos valores no nulos son los que se indican con una X<br />
⎡<br />
X<br />
k ij =<br />
⎢<br />
⎣<br />
X<br />
X<br />
Para realizar el cambio <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas resulta necesario observar (ver figura 4) que las relaciones<br />
que ligan ambos sistemas tienen para cada nodo la forma<br />
don<strong>de</strong> la matriz rotación R es<br />
X<br />
X<br />
X<br />
u I L = R uI<br />
θ I L = R θI<br />
X<br />
X<br />
R = [ t 1 t 2 t 3<br />
]<br />
La matriz <strong>de</strong> transformación Λ resulta entonces <strong>de</strong><br />
⎡ ⎤ ⎡<br />
u 1 R<br />
a e L = ⎢ θ 1<br />
⎥<br />
⎣ u 2 ⎦ = ⎢ R<br />
⎣ R<br />
θ 2<br />
L<br />
R<br />
⎤ ⎡<br />
⎥ ⎢<br />
⎦ ⎣<br />
X<br />
X<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
u 1<br />
θ 1<br />
u 2<br />
θ 2<br />
⎥<br />
⎦ = Λ ae<br />
las expresiones <strong>de</strong> cambio <strong>de</strong> la matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z y el vector <strong>de</strong> términos in<strong>de</strong>pendientes tienen la<br />
misma forma que antes, es <strong>de</strong>cir:<br />
K = Λ T K L Λ<br />
F = Λ T F L<br />
4.5.8. Matriz <strong>de</strong> masa<br />
Habitualmente se consi<strong>de</strong>ra la masa <strong>de</strong> la viga concentrada sobre el eje baricéntrico (es <strong>de</strong>cir se<br />
<strong>de</strong>sprecia la energía cinética asociada a la velocidad <strong>de</strong> rotación <strong>de</strong> la sección transversal). La matriz<br />
<strong>de</strong> masa aparece en problemas no estacionarios (<strong>de</strong>pendientes <strong>de</strong>l tiempo) y resulta consistentemente<br />
<strong>de</strong> aplicar <strong>residuos</strong> pon<strong>de</strong>rados sobre la ecuación <strong>de</strong> equilibrio dinámico (o alternativamente<br />
como expresión <strong>de</strong> la energía cinética).<br />
72
Suponiendo una interpolación para las velocida<strong>de</strong>s y aceleraciones <strong>de</strong>l eje baricéntrico, similar<br />
a los <strong>de</strong>splazamientos. La velocidad (y la aceleración) <strong>de</strong> un punto <strong>de</strong>l eje <strong>de</strong> la viga es (referido<br />
al sistema local):<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
˙u 1<br />
˙u 2<br />
⎦ =<br />
˙u 3<br />
<strong>de</strong> don<strong>de</strong> resulta<br />
⎡<br />
⎡<br />
⎤<br />
N 1 N 2<br />
⎣ φ 1 ϕ 1 φ 2 ϕ 2 ⎦<br />
⎢<br />
φ 1 0 −ϕ 1 φ 2 0 −ϕ 2 ⎣<br />
= Φ (ξ) ȧ e L<br />
M =<br />
∫ L<br />
0<br />
ρA Φ T Φ dx 1 = ρAL<br />
2<br />
∫ 1<br />
Que permite escribir la energía cinética <strong>de</strong> la viga como<br />
⎡<br />
T = 1 2<br />
−1<br />
[<br />
˙u 1 ˙θ 1 ˙u 2 ˙θ 2] L<br />
M<br />
⎤<br />
˙u 1<br />
˙θ 1<br />
˙u 2 ⎥<br />
⎦<br />
˙θ 2<br />
Φ T (ξ) Φ (ξ) dξ (4.4)<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎤<br />
˙u 1<br />
˙θ 1<br />
˙u 2 ⎥<br />
⎦<br />
˙θ 2<br />
4.5.9. Ejercicios<br />
1. Calcular los coeficientes <strong>de</strong> la matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z <strong>de</strong> la viga espacial en coor<strong>de</strong>nadas locales.<br />
2. Calcular la matriz <strong>de</strong> masa (expresión 4.4 ) para una viga continua en 2-D.<br />
3. Calcular el vector in<strong>de</strong>pendiente para un carga lineal arbitraria (expresión 4.3)<br />
4.6. Elementos con <strong>de</strong>formación <strong>de</strong> corte<br />
Los elementos con <strong>de</strong>formación <strong>de</strong> corte son aquellos basados en la teoría <strong>de</strong> vigas <strong>de</strong> Timoshenko<br />
y sus extensiones a problemas en 3-D. A<strong>de</strong>más <strong>de</strong> po<strong>de</strong>r consi<strong>de</strong>rar mo<strong>de</strong>los flexibles al<br />
corte su mayor ventaja radica en la facilidad <strong>de</strong> su extensión al rango no-lineal y en el tratamiento<br />
<strong>de</strong> geometrías curvas. Tienen la ventaja también <strong>de</strong> ser <strong>de</strong> continuidad C 0 , aunque esto no es<br />
importante en vigas en el campo lineal.<br />
Si consi<strong>de</strong>ramos el comportamiento <strong>de</strong> una viga en el plano x 1 -x 2 (con eje baricéntrico en<br />
correspon<strong>de</strong>ncia con el eje x 1 ) las relaciones cinemáticas son:<br />
γ 2 = du 2<br />
dx 1<br />
− θ 3<br />
χ 3 = dθ 3<br />
dx 1<br />
ε = du 1<br />
dx 1<br />
Supongamos un elemento <strong>de</strong> 3 nudos (1 en cada extremo y un nudo central). En cada nudo<br />
nuestras incógnitas serán los <strong>de</strong>splazamientos en las dos direcciones <strong>de</strong>l plano (u 1 , u 2 ) más el giro<br />
alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l eje normal al plano (θ 3 ). La aproximación resulta entonces cuadrática para las tres<br />
variables. Recordando entonces que<br />
L<br />
L<br />
N 1 = ξ 2 (ξ − 1) N 2 = 1 − ξ 2 N 3 = ξ (1 + ξ)<br />
2<br />
N 1<br />
′ x 1<br />
= 2ξ − 1 N 2<br />
L<br />
′ x 1<br />
= − 4ξ N 3<br />
L<br />
′ x 1<br />
= 2ξ + 1<br />
L<br />
73
Figura 5<br />
Viga con <strong>de</strong>formación <strong>de</strong> corte<br />
las <strong>de</strong>formaciones generalizadas resultan<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
ε<br />
χ 3<br />
⎦ =<br />
γ 2<br />
⎡<br />
⎣<br />
0 0 − 4ξ<br />
2ξ+1<br />
⎤<br />
0 0<br />
0 0<br />
L L L 2ξ−1<br />
0 0<br />
0 0 − 4ξ<br />
1+2ξ<br />
0 0<br />
⎦<br />
L L L<br />
2ξ−1 ξ<br />
4ξ<br />
0 (1 − ξ) 0 − ξ 2 2ξ+1<br />
− 1 0 − ξ L 2 L L 2 (1 + ξ) ⎢<br />
⎣<br />
2ξ−1<br />
ε = B (ξ) a e<br />
Las relaciones constitutivas para este caso son:<br />
⎡<br />
⎣ N ⎤ ⎡<br />
M 3<br />
⎦ = ⎣ EA<br />
EI<br />
Q 2<br />
σ = D ε<br />
⎤ ⎡<br />
⎦ ⎣ ε ⎤<br />
χ 3<br />
⎦<br />
GA 2 γ 2<br />
don<strong>de</strong> A 2 es el área <strong>de</strong> corte en la dirección 2, <strong>de</strong>finida convenientemente.<br />
En el caso <strong>de</strong> vigas <strong>de</strong> eje curvo, es necesario una interpolación a<strong>de</strong>cuada <strong>de</strong> la geometría (en el<br />
caso anterior asumíamos que el nudo central estaba ubicado exactamente en el punto medio entre<br />
los extremos). Una opción sencilla y conveniente es la interpolación isoparamétrica, luego el eje<br />
baricéntrico <strong>de</strong> la viga queda <strong>de</strong>scripto por<br />
x (ξ) =<br />
3∑<br />
N I (ξ) x I<br />
I=1<br />
Paralelamente resulta conveniente <strong>de</strong>finir un sistema coor<strong>de</strong>nado local. En la geometría in<strong>de</strong>formada<br />
(libre <strong>de</strong> tensiones) dicho sistema local tiene el vector t 1 coinci<strong>de</strong>nte con la tangente al<br />
eje baricéntrico, que forma un ángulo α con el eje x 1 global, en tanto que el vector t 2 es normal al<br />
anterior:<br />
[ ]<br />
cos α − sin α<br />
Λ (ξ) = [t 1 , t 2 ] (ξ) =<br />
sin α cos α<br />
74<br />
Las <strong>de</strong>formaciones generalizadas normal y <strong>de</strong> corte resultan ahora<br />
ε =<br />
γ 2 =<br />
d(x + u)<br />
· t 1<br />
ds<br />
d(x + u)<br />
· t 2<br />
ds<br />
⎡<br />
u 1 1<br />
u 1 2<br />
θ 1 3<br />
u 2 1<br />
u 2 2<br />
θ 2 3<br />
u 3 1<br />
u 3 2<br />
θ 3 3<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦
don<strong>de</strong> s es la longitud <strong>de</strong> arco medido sobre el eje baricéntrico <strong>de</strong> la viga.<br />
Debido a que la viga tiene ahora una curvatura inicial, <strong>de</strong>bemos hablar <strong>de</strong> cambio <strong>de</strong> curvatura.<br />
La curvatura original se mi<strong>de</strong> como<br />
κ (0)<br />
3 = dα<br />
ds<br />
y la curvatura <strong>de</strong>l eje <strong>de</strong>formado es<br />
luego el cambio <strong>de</strong> curvatura resulta<br />
κ 3 = d (α + θ 3)<br />
ds<br />
χ 3 = κ 3 − κ (0)<br />
3 = d (α + θ 3)<br />
− dα<br />
ds ds = dθ 3<br />
ds<br />
En problemas tridimensionales, la teoría que gobierna el problema es similar. Por supuesto<br />
ahora x y u tienen tres componentes. Por otro lado el sistema coor<strong>de</strong>nado local se escribe ahora<br />
Λ (s) = [t 1 , t 2 , t 3 ]<br />
don<strong>de</strong> t 1 coinci<strong>de</strong> con la tangente al eje baricéntrico, en tanto que t 2 y t 3 están dirigidos en<br />
las direcciones principales <strong>de</strong> inercia <strong>de</strong> la sección transversal. Las <strong>de</strong>formaciones generalizadas<br />
asociadas a los esfuerzos normal y <strong>de</strong> corte se escriben ahora<br />
ε =<br />
d(x + u)<br />
· t 1<br />
ds<br />
γ 2 =<br />
d(x + u)<br />
· t 2<br />
ds<br />
γ 3 =<br />
d(x + u)<br />
· t 3<br />
ds<br />
Las curvaturas <strong>de</strong>l eje baricéntrico resultan ahora <strong>de</strong> la siguiente expresión<br />
⎡<br />
⎤<br />
K = Λ T dΛ 0 −κ 3 κ 2<br />
ds = ⎣ κ 3 0 −κ 1<br />
⎦<br />
−κ 2 κ 1 0<br />
don<strong>de</strong> los κ i serán curvaturas iniciales si Λ es la original o serán las curvaturas <strong>de</strong>l eje <strong>de</strong>formado si<br />
Λ correspon<strong>de</strong> a la estructura <strong>de</strong>formada. La diferencia entre ambas permite calcular los cambios<br />
<strong>de</strong> curvatura, que incluye <strong>de</strong>formación <strong>de</strong> torsión (χ 1 ) y <strong>de</strong>formaciones <strong>de</strong> flexión (χ 2 y χ 3 ).<br />
⎡<br />
⎣ χ ⎤<br />
1<br />
χ 2<br />
χ 3<br />
⎦ =<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
κ 1 − κ (0)<br />
1<br />
κ 2 − κ (0)<br />
2<br />
κ 3 − κ (0)<br />
3<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ = κ − κ (0)<br />
Si mantenemos los giros en cada punto <strong>de</strong> la viga referidos al sistema local (recordando la<br />
relación que los liga con los globales)<br />
θ G = Λθ L<br />
θ L = Λ T θ G<br />
la linealización <strong>de</strong> la expresión anterior conduce a<br />
⎡<br />
ε = ⎣ ε ⎤<br />
⎡<br />
⎤<br />
γ 2<br />
⎦ = Λ T du<br />
t 1 · du<br />
ds + e ds<br />
1 × θ L = ⎣ t 2 · du<br />
ds − θ ⎦<br />
3<br />
γ 3 t 3 · du + θ ds 2<br />
⎡<br />
χ = ⎣ χ ⎤<br />
⎡ ⎤ ⎡<br />
1<br />
χ 2<br />
⎦ = dθ L<br />
ds + κ(0) × θ L = ⎣ ⎦ + ⎣ κ ⎤<br />
2θ 3 − κ 3 θ 2<br />
κ 3 θ 1 − κ 1 θ 3<br />
⎦<br />
χ 3 κ 1 θ 2 − κ 2 θ 1<br />
<strong>de</strong> don<strong>de</strong> pue<strong>de</strong>n particularizarse las expresiones para la viga en el plano obtenidas antes.<br />
dθ 1<br />
ds<br />
dθ 2<br />
ds<br />
dθ 3<br />
ds<br />
75
4.6.1. Matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z <strong>de</strong> una viga recta en 2-D<br />
Si nos restringimos al caso plano y una viga <strong>de</strong> eje recto. Usando una aproximación cuadrática<br />
(3 nudos), con el nudo interno en el centro <strong>de</strong>l elemento, la matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z en coor<strong>de</strong>nadas locales<br />
resulta <strong>de</strong> la integral<br />
∫<br />
K L =<br />
L<br />
B T (ξ) D B (ξ) ds =<br />
∫ 1<br />
−1<br />
L<br />
2 BT (ξ) D B (ξ) dξ<br />
∫ 1<br />
−1<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
EA<br />
2L<br />
( )<br />
N<br />
1 2 EA<br />
′ ξ<br />
( N<br />
1<br />
GA c<br />
2L<br />
Simétrica<br />
2L N 1<br />
′ ξ N 2<br />
′ ξ<br />
2 GA c<br />
′ ξ) N 1<br />
2( ′ ξ N 1 GAc N 1<br />
3L ′ ξ N 2<br />
′ ξ<br />
EI<br />
2L N<br />
1 2<br />
′ ξ)<br />
+<br />
GA c L<br />
)<br />
EA 2<br />
2L<br />
GA c<br />
(<br />
2L N<br />
2<br />
EI<br />
(N 1 ) 2 2 (<br />
N<br />
2<br />
′ ξ<br />
GA c<br />
2 N 1<br />
′ ξ N 2<br />
N 1<br />
2L ′ ξ N 2<br />
′ ξ +<br />
GA cL<br />
2<br />
N 1 N 2<br />
2 GA c<br />
′ ξ) N 2<br />
2( ′ ξ N 2<br />
EI<br />
2L N<br />
2<br />
2<br />
′ ξ)<br />
+<br />
GA c L<br />
(N 2 ) 2<br />
2<br />
EA<br />
2L N 1<br />
′ ξ N 3<br />
′ ξ<br />
EA<br />
2L N 2<br />
′ ξ N 3<br />
′ ξ<br />
EA<br />
2L<br />
( )<br />
N<br />
3 2<br />
′ ξ<br />
GA c<br />
2L<br />
GA s<br />
2L N 1<br />
′ ξ N 3<br />
′ ξ<br />
GA c<br />
2L N 2<br />
′ ξ N 3<br />
′ ξ<br />
( )<br />
N<br />
3 2<br />
′ ξ<br />
EI<br />
⎤<br />
GA c<br />
2 N 1<br />
′ ξ N 3<br />
EI<br />
N 1<br />
2L ′ ξ N 3<br />
′ ξ +<br />
GA c L<br />
N 1 N 3<br />
2 GA c<br />
N 2<br />
2 ′ ξ N 3<br />
EI<br />
2L N 2<br />
′ ξ N 3<br />
′ ξ +<br />
GA cLN 2 N 3<br />
2 ( 2L N<br />
3 2 ⎥<br />
′ ξ)<br />
+ ⎦<br />
GA cL<br />
(N 3 ) 2 2<br />
dξ<br />
Notar que todos los términos a integrar son polinomios en ξ, luego se pue<strong>de</strong>n integrar en forma<br />
analítica sin problemas. Notar a<strong>de</strong>más el or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> los polinomios a integrar:<br />
<strong>de</strong> 2do or<strong>de</strong>n para productos <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivadas entre si<br />
<strong>de</strong> 3er or<strong>de</strong>n para producto <strong>de</strong> función y <strong>de</strong>rivada<br />
<strong>de</strong> 4to or<strong>de</strong>n para productos <strong>de</strong> funciones entre sí<br />
Recordar que si se integra numéricamente con dos puntos <strong>de</strong> integración se pue<strong>de</strong> integrar<br />
exactamente un polinomio cúbico. De lo cual surge que si se integra con dos puntos <strong>de</strong> integración<br />
se integrará en forma exacta todos los términos salvo los asociados a productos <strong>de</strong> funciones<br />
nodales entre sí (términos que relacionan las rotaciones entre sí, asociados al corte transversal) .<br />
Por ejemplo la integral exacta <strong>de</strong> (N 1 ) 2 es 4<br />
15 e integrando con dos puntos es 2 , lo que es un 20 %<br />
9<br />
menos que la integral exacta.<br />
76
θ (x) = [ N 1 (ξ) θ 1 + N 2 (ξ) θ 2] 77<br />
Por otro lado, experimentos numéricos primero y <strong>de</strong>sarrollos teóricos posteriores mostraron<br />
que era conveniente una sub-integración <strong>de</strong> los términos asociados al corte a los fines <strong>de</strong> evitar el<br />
bloqueo numérico. El bloqueo numérico se produce <strong>de</strong>bido a una imposibilidad <strong>de</strong> las funciones <strong>de</strong><br />
forma <strong>de</strong> representar correctamente el comportamiento <strong>de</strong> todas las variables con el consiguiente<br />
aumento <strong>de</strong> la rigi<strong>de</strong>z asociado a un incremento espurio <strong>de</strong> la energía <strong>de</strong> <strong>de</strong>formación asociada al<br />
corte transversal.<br />
Usando integración numérica con dos puntos <strong>de</strong> integración se tiene<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
EA 14<br />
2L 3<br />
GA c<br />
2L<br />
14<br />
3<br />
( )<br />
EA<br />
2L −<br />
16<br />
3<br />
GA<br />
(−1) c<br />
2 3L<br />
GA c<br />
EI 14<br />
2L 3 +<br />
GA cL 2<br />
2 9<br />
EA 32<br />
2L 3<br />
GA c<br />
2L<br />
( )<br />
−<br />
16<br />
3<br />
32<br />
3<br />
( )<br />
−<br />
4<br />
)<br />
+<br />
GA c<br />
2( 3<br />
EI<br />
2L −<br />
16<br />
3<br />
GA cL 2<br />
2 9<br />
GA c<br />
2<br />
(0)<br />
EI 32<br />
+ 2L 3<br />
GA cL 8<br />
2 9<br />
EA<br />
2L<br />
EA<br />
2L<br />
( 2<br />
3)<br />
( )<br />
−<br />
16<br />
3<br />
EA 14<br />
2L 3<br />
GA s<br />
2L<br />
GA c<br />
2L<br />
GA c<br />
2L<br />
( 2<br />
3)<br />
( )<br />
−<br />
16<br />
3<br />
14<br />
3<br />
GA c<br />
2( EI 2<br />
2L 3<br />
GA cL<br />
2<br />
GA c<br />
2<br />
EI<br />
2L<br />
( 1<br />
) 3)<br />
( +<br />
)<br />
−<br />
1<br />
9<br />
( )<br />
−<br />
4<br />
( ) 3<br />
−<br />
16 +<br />
GA cL<br />
2<br />
3<br />
2<br />
9<br />
EI 14<br />
+ 2L 3<br />
GA cL 2<br />
2 9<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
Notar que la solución exacta <strong>de</strong> las ecuaciones homogéneas <strong>de</strong> la viga <strong>de</strong> Timoshenko, requiere<br />
una aproximación cúbica para el <strong>de</strong>splazamiento y cuadrática para el corte, por lo que el elemento<br />
<strong>de</strong>sarrollado no resuelve exactamente los problemas, por lo cual, si el objetivo es obtener la<br />
solución exacta, es necesario usar más <strong>de</strong> un elemento finito por tramo <strong>de</strong> viga (a diferencia <strong>de</strong> la<br />
teoría clásica). Una segunda posibilidad es utilizar una interpolación cúbica para el <strong>de</strong>splazamiento<br />
transversal (por ejemplo utilizando cuatro nudos para el <strong>de</strong>splazamiento y sólo 3 para el giro). Por<br />
otro lado dado que los nudos internos no se comparten con otros elementos, es posible previo al<br />
ensamble eliminar dichos grados <strong>de</strong> libertad usando “con<strong>de</strong>nsación”, con lo cual sólo permanecen<br />
como grados <strong>de</strong> libertad los <strong>de</strong> los nudos extremos, en tal caso la matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z resulta <strong>de</strong> 4 × 4<br />
(viga continua) y coinci<strong>de</strong> con la matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z (incluyendo <strong>de</strong>formaciones por corte) obtenida<br />
en los cursos <strong>de</strong> cálculo matricial <strong>de</strong> estructuras.<br />
4.6.2. Ejercicio:<br />
Calcular la matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z <strong>de</strong> un elemento <strong>de</strong> viga <strong>de</strong> dos nudos (sólo flexión, sin axial)<br />
utilizando un único punto <strong>de</strong> integración<br />
v (x) = [ N 1 (ξ) u 1 + N 2 (ξ) u 2]
Don<strong>de</strong> las funciones <strong>de</strong> forma son:<br />
N 1 (ξ) = 1 (1 − ξ)<br />
2<br />
N 2 (ξ) = 1 (ξ + 1)<br />
2<br />
y cuyas <strong>de</strong>rivadas (constantes) valen<br />
N 1<br />
′ ξ = − 1 2<br />
N 1<br />
′ x = − 1 L<br />
N 2<br />
′ ξ = +1 2<br />
N 2<br />
′ x = + 1 L<br />
La matriz B resulta (evaluada en ξ = 0)<br />
[ 0 −<br />
1<br />
B =<br />
− 1 + 1 L 2<br />
1<br />
0<br />
L L<br />
1 1<br />
L 2<br />
]<br />
En tanto que la matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z resulta <strong>de</strong>l producto<br />
⎡ ⎤<br />
0 − 1 L [ ] [ K = L ⎢ − 1 + 1 L 2 ⎥ EI 0 0 −<br />
1<br />
⎣ 1<br />
0 ⎦ 0 GA<br />
L<br />
c − 1 + 1 L 2<br />
=<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
1<br />
L<br />
GA c<br />
L<br />
− GAc<br />
2<br />
− GAc<br />
L<br />
1<br />
2<br />
GA c<br />
− EI<br />
2 L<br />
1<br />
0<br />
L L<br />
1 1<br />
L 2<br />
− GA 0c<br />
− GA c GA c<br />
2 L<br />
2<br />
EI<br />
+ GAcL GA c<br />
− EI + GAcL<br />
L 2 2 L 2<br />
GA c GA c GA c<br />
+<br />
2<br />
GA L<br />
2<br />
cL GA c EI<br />
2 2 L<br />
+ GA cL<br />
2<br />
4.7. Problemas <strong>de</strong> convección-difusión<br />
Consi<strong>de</strong>remos la siguiente ecuación diferencial (no autoadjunta)<br />
[<br />
d<br />
ρuφ − Γ dφ ]<br />
− q = 0 (4.5)<br />
dx dx<br />
con u la velocidad conocida, en este caso unidimensional u <strong>de</strong>be ser constante.<br />
Las condiciones <strong>de</strong> contorno (extremos <strong>de</strong>l dominio) admisibles son:<br />
φ = ¯φ o ρuφ − Γ dφ<br />
dx = ¯σ<br />
es <strong>de</strong>cir que en los extremos o se conoce φ o se conoce el flujo σ. Con el objetivo <strong>de</strong> ejemplificar el<br />
tratamiento <strong>de</strong> las condiciones <strong>de</strong> contorno en un dominio <strong>de</strong> longitud L , supondremos que φ es<br />
conocido en x = 0 y que σ es conocido en x = L.<br />
Si subdividimos el dominio en N segmentos y proponemos entonces una aproximación para la<br />
variable φ en el dominio en función <strong>de</strong> las variables nodales φ I (I = 0..N)<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
]<br />
φ (x) =<br />
N∑<br />
ϕ I (x) φ I (4.6)<br />
I=0<br />
78<br />
Reemplazando en la expresión 4.5, se obtiene<br />
N∑<br />
I=0<br />
[<br />
]<br />
d<br />
ρuϕ I (x) − Γ dϕI (x)<br />
φ I − q = r(x)<br />
dx<br />
dx
N∑<br />
[<br />
]<br />
ρu dϕI (x)<br />
− Γ d2 ϕ I (x)<br />
φ I − q = r(x) (4.7)<br />
dx dx 2<br />
I=0<br />
La última expresión es el “residuo” (r(x)), y es lo que el método numérico intentará minimizar<br />
para obtener una solución aproximada <strong>de</strong>l problema. Por otro lado no <strong>de</strong>ben olvidarse las condiciones<br />
<strong>de</strong> contorno, que pue<strong>de</strong>n escribirse<br />
I=0<br />
¯φ −<br />
N∑<br />
ϕ I (x)| x=L<br />
φ I = s 0 (4.8)<br />
I=0<br />
N∑<br />
[<br />
]<br />
¯σ − ρuϕ I (x) − Γ dϕI (x)<br />
dx<br />
x=L<br />
φ I = s L (4.9)<br />
Definido entonces el residuo, el objetivo <strong>de</strong> máxima sería lograr que dicho residuo se anulara<br />
en todo punto, esto normalmente no es posible, y lo que se busca es anularlo en promedio, es <strong>de</strong>cir<br />
en forma integral. El método <strong>de</strong> <strong>residuos</strong> pon<strong>de</strong>rados propone <strong>de</strong>finir una función <strong>de</strong> pon<strong>de</strong>ración<br />
w (x)<br />
N∑<br />
w (x) = W I (x) β I<br />
I=0<br />
don<strong>de</strong> W I (x) son funciones elegidas a<strong>de</strong>cuadamente y β I son parámetros arbitrarios. Definida esta<br />
función se propone que ∫<br />
r(x)w(x)dx + s 0 w 0 + s L w L = 0 (4.10)<br />
L<br />
para todo valor <strong>de</strong> los parámetro β I . Como se ve en la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> la función <strong>de</strong> peso, la cantidad <strong>de</strong><br />
parámetros arbitrarios es igual al número <strong>de</strong> incógnitas <strong>de</strong>l problema φ I . Entre las aproximaciones<br />
habituales se exige que la aproximación a φ satisfaga en forma exacta las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong><br />
sobre la propia variable (condiciones esenciales), en nuestro caso eso significa que la aproximación<br />
satisfaga exactamente la primera condición <strong>de</strong> contorno, lo que conduce a que<br />
Luego nuestra aproximación se pue<strong>de</strong> escribir<br />
φ 1 = ¯φ<br />
s 0 = 0<br />
φ(x) = ϕ 0 (x) ¯φ +<br />
N∑<br />
ϕ I (x) φ I (4.11)<br />
don<strong>de</strong> hemos separado el primer término <strong>de</strong> la sumatoria que ahora es conocido. Este primer<br />
término se conoce como solución particular y satisface en forma exacta las condiciones <strong>de</strong> contorno<br />
esenciales, el resto <strong>de</strong> la aproximación satisface las mismas condiciones <strong>de</strong> contorno pero en forma<br />
homogénea. Simétricamente en la función <strong>de</strong> pon<strong>de</strong>ración se elimina el primer sumando para<br />
mantener igual la cantidad <strong>de</strong> incógnitas φ I y la cantidad <strong>de</strong> parámetros arbitrarios β I .<br />
Reemplazando entonces la aproximación a φ y la función <strong>de</strong> pon<strong>de</strong>ración en la integral pon<strong>de</strong>rada,<br />
tenemos<br />
N∑<br />
{∫<br />
}<br />
β J W J r(x)dx + WL J s L = 0<br />
J=1<br />
L<br />
{<br />
N∑ ∫ [<br />
∑ N (<br />
) ] }<br />
β J W J ρu dϕI (x)<br />
− Γ d2 ϕ I (x)<br />
φ I − q dx + W J<br />
J=1 L<br />
dx dx 2 L s L = 0<br />
I=0<br />
Lo que se pi<strong>de</strong> es que lo encerrado entre llaves sea cero, es <strong>de</strong>cir que in<strong>de</strong>pendientemente <strong>de</strong>l valor<br />
<strong>de</strong> los parámetros arbitrarios β I , se satisfaga la igualdad. Esto implica entonces N condiciones<br />
I=1<br />
79
(una para cada W J ) en función <strong>de</strong> las N incógnitas φ I . Resulta entonces un sistema lineal <strong>de</strong><br />
ecuaciones<br />
A Φ + F = 0<br />
don<strong>de</strong> Φ es un vector <strong>de</strong> dimensión N que agrupa a las incógnitas φ I , la matriz <strong>de</strong> coeficientes A<br />
se calcula como<br />
∫ [<br />
] [<br />
]<br />
A JI = W J ρu dϕI (x)<br />
− Γ d2 ϕ I (x)<br />
dx + W J<br />
L dx dx 2 L −ρuϕ I (x) + Γ dϕI (x)<br />
(4.12)<br />
dx<br />
x=L<br />
∫ [(<br />
) ] [ (<br />
) ]<br />
F J = W J ρu dϕ0 (x)<br />
− Γ d2 ϕ 0 (x)<br />
¯φ − q dx + W J<br />
L<br />
dx dx 2 L ¯σ − ρuϕ 0 (x) − Γ dϕ0 (x)<br />
dx<br />
x=L<br />
(4.13)<br />
La elección <strong>de</strong> la función <strong>de</strong> pon<strong>de</strong>ración conduce a formulaciones diferentes. En principio las<br />
W I (x) sólo requieren como condición indispensable la <strong>de</strong> in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ncia lineal, sin embargo una<br />
a<strong>de</strong>cuada elección es crucial <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el punto <strong>de</strong> vista numérico.<br />
La aproximación <strong>de</strong> Galerkin (método <strong>de</strong> elementos finitos estándar) propone usar como función<br />
<strong>de</strong> peso una forma idéntica a la función <strong>de</strong> interpolación <strong>de</strong> la variable (4.11)<br />
w (x) =<br />
N∑<br />
ϕ I (x) β I<br />
I=1<br />
Don<strong>de</strong> N es aquí el número <strong>de</strong> puntos en la grilla, es <strong>de</strong>cir la expresión anterior es formal, no<br />
estamos utilizando un único elemento en toda la grilla.<br />
El término <strong>de</strong> la solución particular (como se explicara antes) por supuesto no aparece aquí.<br />
Utilizando una grilla con puntos igualmente espaciados (incluyendo los puntos extremos). Las<br />
ecuaciones podrían calcularse <strong>de</strong> evaluar consistentemente las expresiones 4.12 y 4.13. Sin embargo<br />
resulta más conveniente realizar previamente una integración por partes, en este caso esta integración<br />
por partes se restringe al término difusivo que es el que tiene la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> mayor or<strong>de</strong>n.<br />
El objetivo <strong>de</strong> esta integración por partes como ya hemos visto es disminuir el or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivación<br />
que aparecen en las ecuaciones discretas a resolver.<br />
{<br />
N∑ ∑ N<br />
β J<br />
J=1<br />
I=0<br />
[ ∫<br />
L<br />
{<br />
N∑ ∫ [<br />
∑ N (<br />
) ] }<br />
β J W J ρu dϕI (x)<br />
− Γ d2 ϕ I (x)<br />
φ I − q dx + W J<br />
J=1<br />
L<br />
dx dx 2 L s L<br />
I=0<br />
(W J ρu dϕI<br />
dx + dW )<br />
) J<br />
L<br />
] ∫<br />
}<br />
dx ΓdϕI dx −<br />
(W J Γ dϕI φ I − W J qdx + WL J s L<br />
dx<br />
dx<br />
0<br />
L<br />
= 0<br />
(4.14)<br />
Al integrar por partes hemos disminuido entonces el máximo or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivación <strong>de</strong> la variable<br />
φ, con lo que ahora alcanza con proponer una aproximación continua para φ, esto ha sido a costa<br />
<strong>de</strong> aumentar el or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivación <strong>de</strong> la función <strong>de</strong> peso (que ahora <strong>de</strong>berá ser <strong>de</strong>rivable, es <strong>de</strong>cir<br />
continua) y <strong>de</strong> la aparición <strong>de</strong> términos sobre el contorno.<br />
Para fijar i<strong>de</strong>as, supongamos la aproximación más sencilla que correspon<strong>de</strong> a una interpolación<br />
lineal entre nudos (4.1). En un intervalo cualquiera J la variable φ y la función <strong>de</strong> peso resultan<br />
φ (x) = (1 − ξ) φ J + ξφ J+1<br />
w (x) = (1 − ξ) β J + ξβ J+1<br />
= 0<br />
80<br />
Reemplazando en (4.14), y separando la integral sobre el segmento J tenemos<br />
{<br />
J∑<br />
J∑ ∫ x<br />
J (<br />
) ∫ }<br />
x<br />
β K ϕ K ρu dϕI<br />
x dx + dϕK<br />
I<br />
dx ΓdϕI dx φ I − ϕ K qdx = Int(J)<br />
dx<br />
J−1 x I−1<br />
K=J−1<br />
I=J−1
Llamando<br />
Don<strong>de</strong><br />
Luego<br />
Int(J) =<br />
J∑<br />
K=J−1<br />
β K {<br />
H KI = C KI + D KI<br />
q K =<br />
C KI =<br />
D KI =<br />
J∑<br />
I=J−1<br />
∫ x<br />
J<br />
∫ x<br />
I<br />
x I−1 ϕ K q dx<br />
ϕ K ρu dϕI dx (4.15)<br />
x dx J−1<br />
∫ x<br />
J<br />
dϕ K<br />
x dx ΓdϕI dx (4.16)<br />
dx J−1<br />
(C KI + D KI ) φ I − q K }<br />
= [ β J−1 β ] {[ ] [ ]<br />
J H J−1,J−1 H J−1,J φ<br />
J−1<br />
H J,J−1 H J,J φ J −<br />
El resto <strong>de</strong> los términos (integrales sobre el contorno resultan)<br />
Int (C) =<br />
{<br />
N∑ ∑ N ) L<br />
[<br />
β J −<br />
(ϕ J Γ dϕI φ I + ϕ J L ¯σ −<br />
dx<br />
0<br />
J=1<br />
I=N−1<br />
I=0<br />
N∑<br />
I=0<br />
[<br />
f<br />
J−1<br />
f J ]}<br />
(<br />
) ]}<br />
ρuϕ I (x) − Γ dϕI (x)<br />
φ I<br />
dx<br />
x=L<br />
Debe notarse aquí que w(x = 0) = 0, a<strong>de</strong>más todas las ϕ J (x = L) = 0, salvo ϕ N (x = L) = 1,<br />
luego { N<br />
}<br />
∑<br />
N∑<br />
β N −Γ dϕI<br />
dx φI + ¯σ − ρuφ N + Γ dϕI L<br />
dx φI = β {¯σ N − ρuφ N}<br />
I=N−1<br />
La integral <strong>de</strong> <strong>residuos</strong> pon<strong>de</strong>rados (4.14) pue<strong>de</strong> escribirse ahora<br />
N∑<br />
Int(J) + Int(C) = 0<br />
N∑ [<br />
β<br />
J−1<br />
J=1<br />
J=1<br />
β ] {[ ] [ ] [ ]}<br />
J H J−1,J−1 H J−1,J φ<br />
J−1 f<br />
J−1<br />
H J,J−1 H J,J φ J −<br />
f J + β {¯σ N − ρuφ N} = 0<br />
Esta expresión <strong>de</strong>be verse como un conjunto <strong>de</strong> N ecuaciones (una para cada β J ) con N<br />
incógnitas (las φ I ). La matriz <strong>de</strong> coeficientes resulta <strong>de</strong> ensamblar las matrices “elementales” H.<br />
A esta última contribuye también en la posición (N,N) el término <strong>de</strong>l contorno −ρu. El vector<br />
término in<strong>de</strong>pendiente resulta <strong>de</strong> ensamblar los vectores “elementales” f, también contribuyen aquí<br />
los términos asociados a la solución particular (la primera columna <strong>de</strong> la primera matriz elemental<br />
H, multiplicada por φ 0 = ¯φ).<br />
Esta aproximación correspon<strong>de</strong> a una <strong>de</strong> las posibilida<strong>de</strong>s <strong>de</strong>l método <strong>de</strong> Elementos Finitos.<br />
La matriz H elemental consta <strong>de</strong> dos partes, C <strong>de</strong>bida al término convectivo y es no-simétrica y D<br />
<strong>de</strong>bida al término difusivo que es simétrica. La aproximación <strong>de</strong> Galerkin es óptima para problemas<br />
difusivos puros (problemas espacialmente elípticos) asociado a operadores auto-adjuntos (matrices<br />
simétricas). Para problemas dominantemente convectivos se usan normalmente aproximaciones<br />
diferentes.<br />
Para la aproximación propuesta, la matriz elemental resulta<br />
H = ρu 2<br />
[ −1 1<br />
−1 1<br />
]<br />
+ Γ ∆x<br />
[ 1 −1<br />
−1 1<br />
]<br />
81
Ejercicio<br />
1-Sea el problema <strong>de</strong> convección difusión gobernado por la ecuación 4.5. Con una aproximación<br />
lineal para la variable (4.1) en cada intervalo<br />
φ (x) = (1 − ξ) φ I + ξφ I+1<br />
( ) ( )<br />
x − x<br />
I x − x<br />
I<br />
ξ =<br />
x I+1 − x = 0 ≤ ξ ≤ 1<br />
I ∆x<br />
Usar el método <strong>de</strong> <strong>residuos</strong> pon<strong>de</strong>rados con función <strong>de</strong> pon<strong>de</strong>ración<br />
w (x) = [(1 − ξ) + αξ (1 − ξ)] β J + [ξ − αξ (1 − ξ)] β J+1<br />
don<strong>de</strong> α es un parámetro fijo que pue<strong>de</strong> variar entre 0 y 1. Este permite dar más peso al residuo<br />
en la parte inicial <strong>de</strong>l intervalo (una forma <strong>de</strong> upwinding). De hecho para α = 0, se obtiene la<br />
aproximación habitual <strong>de</strong> Galerkin y para α = 1 se obtiene una aproximación conocida como<br />
Petrov-Galerkin.<br />
Graficar las funciones <strong>de</strong> peso asociadas a β J en el intervalo [ x J−1 , x J+1] para los valores<br />
α = 0, 1 2 , 1.<br />
Calcular la integral <strong>de</strong>l residuo en un intervalo genérico [ x I , x I+1] , expresado en la forma<br />
[<br />
β<br />
J−1<br />
β ] {[ ] [ ]} [ ]<br />
J H J−1,J−1 H J−1,J ĤJ−1,J−1 Ĥ<br />
+ α<br />
J−1,J φ<br />
J−1<br />
H J,J−1 H J,J Ĥ J,J−1 Ĥ J,J φ J<br />
Escribir la ecuación <strong>de</strong> balance asociada a un β J cualquiera para los 3 valores <strong>de</strong> α indicados<br />
arriba.<br />
82
4.8. Análisis <strong>de</strong> cables<br />
En general el análisis <strong>de</strong> estructuras <strong>de</strong> cables implica importantes <strong>de</strong>splazamientos y pretensiones,<br />
por lo cual es necesario plantear el equilibrio en la configuración <strong>de</strong>formada e incluir el efecto<br />
<strong>de</strong> las tensiones iniciales. En forma similar a una barra articulada los cables no tienen rigi<strong>de</strong>z flexional<br />
apreciable y sólo transmiten esfuerzos normales. Más aún, si no se consi<strong>de</strong>ra el peso propio<br />
es inmediato asimilar el comportamiento <strong>de</strong> un sector <strong>de</strong> cable al <strong>de</strong> una barra articulada, consi<strong>de</strong>rando<br />
cada tramo <strong>de</strong> cable entre dos cargas como una barra. Como una introducción al tema<br />
aquí se mostrará con un ejemplo sencillo los principales elementos a tener en cuenta. Supongamos<br />
entonces una estructura sencilla <strong>de</strong> un cable (ver figura) bajo tres cargas puntuales, geométricamente<br />
simétrica respecto al centro. Definamos la geometría inicial <strong>de</strong>l cable, puesto que el cable no<br />
tiene tensión inicial, cualquier configuración está en equilibrio y lo único importante es la longitud<br />
inicial <strong>de</strong>l cable. Definamos entonces la configuración inicial como formada por dos tramos rectos<br />
<strong>de</strong> la misma longitud (ver figura) y supongamos que las cargas aplicadas correspon<strong>de</strong>n a la mitad<br />
<strong>de</strong> cada tramo y a la unión <strong>de</strong> los dos tramos. De esta forma el cable ha sido discretizado por<br />
cuatro elementos <strong>de</strong> barra-cable <strong>de</strong> igual longitud inicial<br />
L o = [ 1 2 + 0,5 2] 1 2<br />
1<br />
4.0<br />
5<br />
2<br />
100 100<br />
3<br />
150<br />
+<br />
100<br />
4<br />
1.0<br />
Figura 6<br />
Estructura <strong>de</strong> cables<br />
Po<strong>de</strong>mos entonces <strong>de</strong>finir las coor<strong>de</strong>nadas iniciales o originales <strong>de</strong> los nudos<br />
Nudo 1 2 3 4 5<br />
X 1 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0<br />
X 2 0.0 -0.5 -1.0 -0.5 0.0<br />
Dado un estado <strong>de</strong> solicitaciones <strong>de</strong>finido por las cargas en los 3 nudos libres <strong>de</strong> <strong>de</strong>splazarse<br />
(dos componentes por nudo),<br />
f T = [ p 2 1 , p2 2 , p3 1 , p3 2 , p4 1 , ]<br />
p4 2<br />
Y dada una configuración <strong>de</strong>formada, <strong>de</strong>finida por los <strong>de</strong>splazamientos <strong>de</strong> los nudos a partir <strong>de</strong><br />
la configuración original<br />
u T = [ u 2 1 , u2 2 , u3 1 , u3 2 , u4 1 , ]<br />
u4 2<br />
83
o directamente las coor<strong>de</strong>nadas nodales actualizadas<br />
x I i = X I i + u I i (4.17)<br />
don<strong>de</strong> X I i es la coor<strong>de</strong>nada original <strong>de</strong>l nudo I en la dirección i y x I i es la coor<strong>de</strong>nada actual <strong>de</strong>l<br />
nudo I en la dirección i.<br />
Para saber si la configuración actualizada correspon<strong>de</strong> al equilibrio utilizamos el Principio <strong>de</strong><br />
Trabajos Virtuales, el cual pue<strong>de</strong> escribirse<br />
∑NB<br />
K=1<br />
T V I = T V E<br />
N K δε K L K 0 =<br />
∑NP<br />
2∑<br />
p N i δu N i (4.18)<br />
N=1 i=1<br />
don<strong>de</strong> N K , δε K , y L K 0 son respectivamente el esfuerzo axial, la <strong>de</strong>formación virtual y la longitud<br />
inicial <strong>de</strong> la tramo K, en tanto que NB es el número <strong>de</strong> tramos en que se ha dividido al cable.<br />
En el segundo miembro aparece el trabajo virtual <strong>de</strong> las fuerzas externas y NP es el número <strong>de</strong><br />
nudos don<strong>de</strong> se aplican cargas.<br />
Consi<strong>de</strong>remos un tramo cualquiera <strong>de</strong> cable, por ejemplo el 1-2, y evaluemos el trabajo virtual<br />
interno que allí se produce. Para ello tenemos que evaluar:<br />
La longitud actual:<br />
L = [( x 2 − x 1) · (x 2 − x 1)] 1 2<br />
(4.19)<br />
= [( X 2 − X 1 + u 2 − u 1) · (X 2 − X 1 + u 2 − u 1)] 1 2<br />
La <strong>de</strong>formación longitudinal<br />
ε = L L 0<br />
− 1 (4.20)<br />
El esfuerzo axial<br />
La <strong>de</strong>formación virtual<br />
∂L<br />
∂(u 2 − u 1 )<br />
N = EAε (4.21)<br />
δε = ∂ε<br />
∂u δu = 1 ( ∂L<br />
L 0 ∂u 2 δu2 + ∂L )<br />
∂u 1 δu1 = 1 ∂L<br />
L 0 ∂(u 2 − u 1 )<br />
(<br />
x 2 − x 1) = t (dirección actual <strong>de</strong>l tramo)<br />
(<br />
δu 2 − δu 1)<br />
= 1 L<br />
δε = 1 1 (<br />
x 2 − x 1) · (δu 2 − δu 1) = 1 t · (δu 2 − δu 1) (4.22)<br />
L 0 L<br />
L 0<br />
En consecuencia la contribución <strong>de</strong> una barra al trabajo virtual interno resulta<br />
T V I = N 1 L 0<br />
t · (δu 2 − δu 1) L 0 = ( δu 2 − δu 1) · t N (4.23)<br />
En el ejemplo consi<strong>de</strong>rado las contribuciones <strong>de</strong> las tres barras resultan (notar que δu 1 = δu 5 =<br />
0, pues u 1 = u 5 = 0)<br />
T V I = ( δu 2) · t 1 N 1 + ( δu 3 − δu 2) · t 2 N 2 + ( δu 4 − δu 3) · t 3 N 3 − δu 4 · t 4 N 4 (4.24)<br />
sacando factor los δu I , la expresión anterior pue<strong>de</strong> escribirse (notar que δu · t = δu T t )<br />
⎡<br />
T V I = [ δu 2T , δu 3T , δu ] 4T ⎣ N ⎤<br />
1 t 1 − N 2 t 2<br />
N 2 t 2 − N 3 t 3<br />
⎦ (4.25)<br />
N 3 t 3 − N 4 t 4<br />
84
a su vez el trabajo virtual externo pue<strong>de</strong> escribirse<br />
⎡<br />
T V E = [ δu 2T , δu 3T , δu ] 4T ⎣<br />
haciendo la diferencia entre la segunda y la primera e igualando a cero<br />
⎤<br />
p 2<br />
p 3 ⎦ (4.26)<br />
p 4<br />
⎧⎡<br />
⎤<br />
T V<br />
⎡<br />
E − T<br />
⎤<br />
V<br />
⎫<br />
I = 0<br />
[<br />
δu 2T , δu 3T , δu ] ⎨ N 2 t 2 − N 1 t 1 p 2 ⎬<br />
4T ⎣ N 3 t 3 − N 2 t 2<br />
⎦ + ⎣ p 3 ⎦<br />
⎩<br />
N 4 t 4 − N 3 t 3 p 4 ⎭ = 0 (4.27)<br />
Como los δu I son arbitrarios, para asegurar la igualdad, cada una <strong>de</strong> las ecuaciones entre llaves<br />
<strong>de</strong>be anularse. Pue<strong>de</strong> verse fácilmente que estas ecuaciones no son otra cosa que las ecuaciones <strong>de</strong><br />
equilibrio en cada nudo.<br />
Las ecuaciones planteadas son no-lineales en los <strong>de</strong>splazamientos, pues tanto N K como t K<br />
<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>n en forma no-lineal <strong>de</strong> los <strong>de</strong>splazamientos. Los problemas no lineales se resuelven habitualmente<br />
en forma incremental. Un forma común es escribir las acciones externas en función <strong>de</strong><br />
un escalar λ<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
p 2<br />
p 3 ⎦ = λ<br />
p 4<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
f 2<br />
f 3 ⎦ = λf (4.28)<br />
f 4<br />
y obtener la solución (u i ) para valores crecientes <strong>de</strong> λ i partiendo <strong>de</strong> la posición <strong>de</strong> equilibrio<br />
sin tensiones (u 0 = 0, λ 0 = 0). Supongamos entonces que se conoce una posición <strong>de</strong> equilibrio<br />
(u i , λ i ) y queremos conocer una nueva posición <strong>de</strong> equilibrio (u i+1 = u i + ∆u, λ i+1 = λ i + ∆λ),<br />
don<strong>de</strong> λ i+1 es dato e interesa <strong>de</strong>terminar u i+1 . Es <strong>de</strong>cir que se ha llegado a un punto i don<strong>de</strong> se<br />
satisface<br />
⎧⎡<br />
⎤ ⎡ ⎤⎫<br />
[<br />
δu 2T , δu 3T , δu ] ⎨ N 2 t 2 − N 1 t 1 f 2 ⎬<br />
4T ⎣ N 3 t<br />
⎩ 3 − N 2 t 2<br />
⎦ + λ i<br />
⎣ f 3 ⎦ ˜= 0 (4.29)<br />
N 4 t 4 − N 3 t 3 f 4 ⎭<br />
y se busca un nuevo u i+1 que satisfaga<br />
i<br />
[δu] T {g (u i ) + λ i f} ˜= 0<br />
[δu] T {g (u i+1 ) + λ i+1 f} ˜=0 (4.30)<br />
Para ello se utiliza un esquema predictor-corrector, es <strong>de</strong>cir se propone un valor inicial (predicción)<br />
<strong>de</strong> u i+1 y luego se corrige hasta convergencia. Uno <strong>de</strong> los esquemas predictor-corrector más<br />
utilizados es el <strong>de</strong> Newton-Raphson, el cual consiste en realizar la siguiente aproximación<br />
g (u i+1 ) = g (u i ) + ∂g<br />
∂u | i ∆u = g (u i ) − K i ∆u (4.31)<br />
don<strong>de</strong> se ha introducido a<br />
K = − ∂g<br />
(4.32)<br />
∂u<br />
que es el ‘Hessiano’ o <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong>l sistema <strong>de</strong> ecuaciones no-lineales o simplemente la matriz<br />
tangente. reemplazando en la anterior<br />
<strong>de</strong> don<strong>de</strong> la predicción resulta<br />
[δu] T {g (u i ) − K i ∆u + λ i+1 f} ˜=0<br />
∆u = [K i ] −1 [g (u i ) + λ i+1 f] = [K i ] −1 [r] (4.33)<br />
85
don<strong>de</strong> r es el residuo que se quiere anular<br />
Veamos como obtener la matriz tangente para un elemento <strong>de</strong> cable o barra articulada. Notar<br />
que hasta ahora hemos escrito<br />
T V I =<br />
∑NB<br />
K=1<br />
Para cada barra interesa calcular su contribución a<br />
Evaluemos entonces<br />
N K δε K L K 0 = − [δu] T g (u) (4.34)<br />
− [δu] T ∂g<br />
∂u | i ∆u = [δu] T ∂ (T V I)<br />
K i ∆u = ∆u (4.35)<br />
∂u<br />
[<br />
∂ (N δε)<br />
∂N<br />
L 0 ∆u = L 0<br />
∂u<br />
∂u<br />
La <strong>de</strong>rivada en el primer término es<br />
δε + N<br />
∂δε<br />
∂u<br />
= L 0 δε ∂N<br />
∂u ∆u + NL 0<br />
]<br />
∆u<br />
∂δε<br />
∂u<br />
∆u (4.36)<br />
∂N<br />
∂u = ∂EAε<br />
∂u<br />
= EA ∂ε<br />
∂u<br />
(4.37)<br />
a su vez la <strong>de</strong>rivada ∂ε<br />
∂ε<br />
∆u = ∆ε es formalmente idéntica a δε = δu (expresión 4.22) es <strong>de</strong>cir<br />
∂u ∂u<br />
Con lo cual una primera contribución a K<br />
∂ε<br />
∂u ∆u = 1 L 0<br />
t · (∆u 2 − ∆u 1)<br />
δu T K M ∆u = L 0 δε ∂N<br />
∂u ∆u = ( δu 2 − δu 1) · t EA<br />
L 0<br />
t · (∆u 2 − ∆u 1)<br />
= ( δu 1T , δu ) [ ] [ ]<br />
2T EA t t<br />
T<br />
−t t T ∆u<br />
1<br />
L 0 −t t T t t T ∆u 2<br />
(4.38)<br />
Notar que la matriz K M obtenida es formalmente idéntica a la matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z <strong>de</strong> la barra<br />
en un análisis lineal, la diferencia es que aquí t correspon<strong>de</strong> a la geometría actual y no a la inicial.<br />
Esta primera contribución se <strong>de</strong>nomina ‘Matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z material’ (K M ).<br />
La segunda contribución resulta <strong>de</strong><br />
δu T K G ∆u = NL 0<br />
∂δε<br />
∂u ∆u<br />
que será no nula sólo si existen esfuerzos N, esta componente K G se <strong>de</strong>nomina matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z ‘geométrica’,<br />
<strong>de</strong> ‘carga-geometría’ o <strong>de</strong>bida a los ‘esfuerzos iniciales’. Para evaluarla <strong>de</strong>bemos obtener<br />
[<br />
]<br />
1<br />
∂δε ∂<br />
∂u ∆u = L 0<br />
(δu 2 − δu 1 ) T t<br />
∆u = 1 (<br />
δu 2 − δu 1) T ∂t<br />
∆u (4.39)<br />
∂u<br />
L 0 ∂u<br />
A su vez<br />
con lo cual<br />
86<br />
(<br />
∂t ∂<br />
∂u ∆u =<br />
)<br />
x 2 −x 1<br />
L<br />
∂u<br />
L 0 N ∂δε<br />
∂u ∆u = ( δu 2 − δu 1) T<br />
∆u = 1 L<br />
[<br />
1 − t t<br />
T ] ∆u (4.40)<br />
N [ ] ( 1 − t t<br />
T<br />
∆u 2 − ∆u 1) (4.41)<br />
L
<strong>de</strong> don<strong>de</strong> las segunda contribución a la matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z resulta<br />
δu T K G ∆u = ( δu 1T , δu 2T ) N<br />
L<br />
{[<br />
1 − t t<br />
T<br />
−1 + t t T<br />
−1 + t t T 1 − t t T ]} [<br />
∆u<br />
1<br />
∆u 2 ]<br />
(4.42)<br />
A la suma <strong>de</strong> las matrices 1 − t t T se la <strong>de</strong>nomina matriz <strong>de</strong> proyección ortogonal, pues el<br />
producto <strong>de</strong> esta matriz por un vector v cualquiera conduce a la proyección <strong>de</strong>l vector v sobre<br />
el plano normal a t. Esto pue<strong>de</strong> verse como quitarle a v su componente en la dirección t. La<br />
operación <strong>de</strong> quitarle a un vector v su proyección v t sobre t, se hace habitualmente como<br />
v t = t · v = t T v<br />
v n = v − t v t = v − t ( t T v ) = v − tt T v = ( 1 − tt T ) v<br />
La aparición <strong>de</strong> esta matriz se <strong>de</strong>be a que en 4.40 se está <strong>de</strong>rivando un versor (vector unitario)<br />
y la dirección <strong>de</strong> esta <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong>be ser normal al versor, lo cual pue<strong>de</strong> verse fácilmente a partir<br />
<strong>de</strong> que<br />
∂ (t · t)<br />
∂u<br />
t · t = 1<br />
= 2 t · ∂t<br />
∂u = 0<br />
4.8.1. Ejemplo<br />
Supongamos que la sección <strong>de</strong>l cable es A = 1cm 2 y el módulo <strong>de</strong> elasticidad es E = 2 ×<br />
10 6 kg/cm 2 . El cable sometido al siguiente estado <strong>de</strong> cargas<br />
⎡<br />
f =<br />
⎢<br />
⎣<br />
p 2 1<br />
p 2 2<br />
p 3 1<br />
p 3 2<br />
p 4 1<br />
p 4 2<br />
⎤<br />
⎡<br />
=<br />
⎥ ⎢<br />
⎦ ⎣<br />
0<br />
−100<br />
0<br />
−150<br />
0<br />
−100<br />
está en equilibrio para los siguientes <strong>de</strong>splazamientos:<br />
⎡ ⎤ ⎡<br />
u 2 1 −0,073927<br />
u 2 2<br />
−0,12672<br />
u =<br />
u 3 1<br />
⎢ u 3 =<br />
0,00000<br />
2 ⎥ ⎢ 0,061802<br />
⎣ u 4 ⎦ ⎣<br />
1 0,073927<br />
u 4 2 −0,12672<br />
⎤<br />
[N]<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
[m]<br />
⎥<br />
⎦<br />
Si al sistema <strong>de</strong> cargas previos se le agregan en el punto central las siguientes<br />
[ ] [ ]<br />
p<br />
3<br />
∆ 1 100<br />
p 3 = [N]<br />
2 −100<br />
Las matrices tangentes elementales son<br />
⎡<br />
K 1−2 =<br />
K 2−3 =<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
1,2260 −0,8295 −1,2260 0,8295<br />
0,5616 0,8295 −0,5616<br />
1,2260 −0,8295<br />
0,5616<br />
1,6489 −0,4781 −1,6489 0,4781<br />
0,1389 0,4781 −0,1389<br />
1,6489 −0,4781<br />
0,1389<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ × 106<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ × 106 87
⎡<br />
K 3−4 = ⎢<br />
⎣<br />
K 4−5 =<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
1,6489 0,4781 −1,6489 −0,4781<br />
0,1389 −0,4781 −0,1389<br />
1,6489 0,4781<br />
0,1389<br />
1,2260 0,8295 −1,2260 −0,8295<br />
0,5616 −0,8295 −0,5616<br />
1,2260 0,8295<br />
0,5616<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ × 106<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ × 106<br />
La matriz global ensamblada es;<br />
⎡<br />
⎤<br />
2,8749 −1,3077 −1,6489 0,4781<br />
0,7005 0,4781 −0,1389<br />
K i =<br />
3,2978 0,0000 −1,6489 −0,4781<br />
⎢<br />
0,2778 −0,4781 −0,1389<br />
× 10 6<br />
⎥<br />
⎣<br />
2,8749 1,3077 ⎦<br />
0,7005<br />
en tanto que los <strong>de</strong>splazamientos y los esfuerzos en las barras, una vez alcanzada convergencia<br />
son<br />
⎡ ⎤ ⎡<br />
⎤<br />
u 2 1 −0,045848<br />
⎡ ⎤ ⎡ ⎤<br />
u 2 2<br />
−0,083259<br />
N 1−2 476,2<br />
u i+1 =<br />
u 3 1<br />
⎢ u 3 =<br />
0,004578<br />
2 ⎥ ⎢ 0,033147<br />
[m] ⎢ N 2−3<br />
⎥<br />
⎣<br />
⎥<br />
N 3−4 ⎦ = ⎢ 432,6<br />
⎥<br />
⎣ 322,7 ⎦ [N]<br />
⎣ u 4 ⎦ ⎣<br />
1 0,065921 ⎦<br />
N 4−5 366,7<br />
u 4 i+1<br />
2 −0,114780<br />
4.8.2. Ejercicio<br />
A partir <strong>de</strong> los <strong>de</strong>splazamientos indicados, calcular la configuración actual, los vectores t 2 y t 3<br />
y comprobar el equilibrio <strong>de</strong>l nudo 3<br />
81
<strong>Capítulo</strong> 5 Problemas <strong>de</strong> valores en el contorno<br />
en 2 y 3 dimensiones<br />
por F. Flores<br />
5.1. Introducción<br />
En el presente capítulo se presenta en forma resumida el conjunto <strong>de</strong> las ecuaciones <strong>de</strong> la<br />
mecánica que es <strong>de</strong> interés resolver en este curso. En general sólo se presentan las ecuaciones más<br />
relevantes y no se incluye su <strong>de</strong>ducción, pues no es el objeto <strong>de</strong>l curso y <strong>de</strong>mandaría mucho espacio,<br />
por lo cual aquellos interesados en su <strong>de</strong>ducción <strong>de</strong>ben dirigirse a textos específicos.<br />
Existen diferentes problemas en la mecánica cuyo comportamiento pue<strong>de</strong> representarse por la<br />
ecuación <strong>de</strong> Helmholtz, que en su forma más sencilla conduce a la ecuación <strong>de</strong> Laplace. Este tipo<br />
<strong>de</strong> problemas se expresa en función <strong>de</strong> una variable escalar, lo que permite una primera aplicación<br />
<strong>de</strong>l MEF, antes <strong>de</strong> abordar problemas don<strong>de</strong> la variable incógnita es vectorial.<br />
5.2. Transferencia <strong>de</strong> calor<br />
Recor<strong>de</strong>mos primero el problema <strong>de</strong> transferencia <strong>de</strong> calor en 2 dimensiones. Definamos previamente<br />
el operador ∇ (nabla)<br />
∇ = ∂<br />
∂x 1<br />
t 1 +<br />
∂<br />
∂x 2<br />
t 2 =<br />
aplicado sobre una función escalar u (la temperatura en nuestro caso) se obtiene el gradiente<br />
espacial <strong>de</strong> la misma<br />
⎡ ⎤<br />
∂u<br />
∇u = ∂u t 1 + ∂u ⎢<br />
t 2 = ⎣<br />
∂x 1<br />
⎥<br />
∂x 1 ∂x 2<br />
∂u ⎦<br />
∂x 2<br />
La <strong>de</strong>rivada direccional <strong>de</strong> u en una dirección cualquiera ν = (ν 1 , ν 2 ) que escribiremos ∂u se calcula<br />
∂ν<br />
como<br />
∂u<br />
∂ν = ∇u · ν = ∇T u ν = ∂u ν 1 + ∂u ν 2<br />
∂x 1 ∂x 2<br />
don<strong>de</strong> se ha escrito el producto punto entre dos vectores como el producto matricial <strong>de</strong> un vector<br />
fila (transpuesta <strong>de</strong>l primer vector) y el segundo vector. La utilización <strong>de</strong> productos matriciales es<br />
una forma muy conveniente para el <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong>l método <strong>de</strong> elementos finitos.<br />
Una segunda magnitud física <strong>de</strong> interés en nuestros problema <strong>de</strong> valores en el contorno es el<br />
flujo σ. El flujo es una función vectorial o un campo vectorial lo mismo que el gradiente.<br />
Sea Ω un dominio cerrado con un contorno suave ∂Ω con normal saliente n (s) en cada punto<br />
<strong>de</strong> dicho contorno. El flujo que atraviesa el contorno en cada punto es:<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
∂<br />
∂x 1<br />
∂<br />
∂x 2<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
σ n (s) = σ (s) · n (s) = σ T (s) n (s)<br />
si se <strong>de</strong>sea evaluar el flujo total (neto) que ingresa o egresa en un subdominio cualquiera ω ⊂ Ω<br />
basta integrar sobre el contorno <strong>de</strong>l subdominio ∂ω<br />
∫<br />
Σ ω = σ n d∂ω<br />
∂ω<br />
83
Figura 1<br />
Conducción <strong>de</strong>l calor en 2 dimensiones<br />
dividiendo por el área (volumen) A ω <strong>de</strong> ω y tomando límite para A ω que tien<strong>de</strong> a 0, se obtiene<br />
(usando el teorema <strong>de</strong>l valor medio <strong>de</strong>l cálculo integral) la fórmula <strong>de</strong> la divergencia <strong>de</strong>l campo<br />
vectorial σ en el punto x = (x 1 , x 2 )<br />
div (σ) = ∂σ 1<br />
∂x 1<br />
+ ∂σ 2<br />
∂x 2<br />
= ∇ · σ<br />
como la <strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong> flujo neto en el punto. El flujo total Σ Ω a través <strong>de</strong>l contorno <strong>de</strong> Ω se pue<strong>de</strong><br />
escribir<br />
∫<br />
∫<br />
Σ Ω = ∇ · σ dΩ = σ · n ds<br />
Ω<br />
En el caso general <strong>de</strong>l teorema <strong>de</strong> la divergencia σ pue<strong>de</strong> ser tanto un campo vectorial (tensor<br />
<strong>de</strong> 1er. or<strong>de</strong>n) como un campo tensorial (2do. or<strong>de</strong>n), en el segundo caso Σ es un vector.<br />
Los problemas físicos que nos interesa resolver están gobernados por relaciones “constitutivas”<br />
(en el sentido <strong>de</strong> que <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>n <strong>de</strong>l material que “constituye” el dominio) lineales <strong>de</strong> la forma<br />
σ (x) = −k (x) ∇u (x) k > 0 ∀x<br />
] [ ] [ ] [ ]<br />
u′ 1 k11 k<br />
= −k = −<br />
12 u′ 1<br />
σ 2 k 21 k 22<br />
[<br />
σ1<br />
u′ 2<br />
En la segunda expresión se ha generalizado la ley constitutiva al escribir el escalar k (conductividad<br />
o permeabilidad térmica) como un tensor <strong>de</strong> segundo or<strong>de</strong>n k. Esto permitiría tratar medios<br />
que tuvieran diferentes conductivida<strong>de</strong>s en diferentes direcciones <strong>de</strong>l espacio. El caso isótropo se<br />
recupera escribiendo<br />
[ 1 0<br />
k = k<br />
0 1<br />
]<br />
=<br />
∂Ω<br />
[ k 0<br />
0 k<br />
El principio <strong>de</strong> conservación (o ley <strong>de</strong> balance) establece que <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> cualquier porción <strong>de</strong>l<br />
dominio, el flujo neto a través <strong>de</strong>l contorno <strong>de</strong> dicho subdominio <strong>de</strong>be ser igual a la cantidad<br />
producida por las fuentes internas. Si f <strong>de</strong>nota la fuente por unidad <strong>de</strong> área (volumen) tenemos<br />
∫<br />
∫<br />
σ · n d∂ω = f dω<br />
usando el teorema <strong>de</strong> la divergencia<br />
En consecuencia la ley local <strong>de</strong> balance resulta<br />
∂ω<br />
∫<br />
ω<br />
ω<br />
(∇ · σ−f) dω = 0<br />
]<br />
u′ 2<br />
84<br />
∇ · σ (x) = f (x)
para cualquier subregión ω en Ω. Podríamos agregar (por completitud) fuentes internas <strong>de</strong> intensidad<br />
proporcional a u , en tal caso la ley <strong>de</strong> balance local es<br />
∇ · σ (x) + b (x) u (x) = f (x)<br />
La expresión matemática final <strong>de</strong> nuestro problema <strong>de</strong> valores en el contorno se obtiene eliminando<br />
σ y σ n usando la relación constitutiva. Los datos que <strong>de</strong>finen el problema son entonces:<br />
1. Los contornos ∂Ω u (don<strong>de</strong> u es conocido) y ∂Ω σ (don<strong>de</strong> σ es conocido)<br />
2. La distribución <strong>de</strong> fuentes f (x) en Ω<br />
3. Las características (conductividad térmica) <strong>de</strong>l material k (x)<br />
4. Los valores prescriptos en ∂Ω u u (s) = ū (x)<br />
5. En ∂Ω σ los valores prescriptos <strong>de</strong> ¯σ (s) o el coeficiente <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> p (s) y û (s)<br />
Dados los datos anteriores, el problema es entonces encontrar la función u (x) que satisface<br />
1. La ley <strong>de</strong> balance local<br />
−∇· [k (x) ∇u (x)] + b (x) u (x) = f (x)<br />
en Ω<br />
[ ] {[ ] [ ∂ ∂ k11 k<br />
,<br />
12 u′ 1<br />
∂x 1 ∂x 2 k 21 k 22 u′ 2<br />
2. La condición <strong>de</strong> salto en interfaces interiores<br />
[|k∇u · n|] = 0<br />
]}<br />
+ b (x) u (x) = f (x)<br />
3. Las condiciones esenciales <strong>de</strong> bor<strong>de</strong><br />
u (s) = ū (s)<br />
en ∂Ω u<br />
4. Las condiciones naturales <strong>de</strong> bor<strong>de</strong><br />
−k (s)<br />
o<br />
−k (s)<br />
∂u (s)<br />
∂n<br />
∂u (s)<br />
∂n<br />
= p (s) [u (s) − û (s)]<br />
= ¯σ (s)<br />
⎫<br />
⎪⎬<br />
⎪⎭<br />
en ∂Ω σ<br />
La forma diferencial <strong>de</strong>l problema en el caso isótropo y homogéneo, con b (x) = 0 , conduce a<br />
la ecuación <strong>de</strong> Laplace.<br />
[ ] { [ ∂ ∂ u′ 1<br />
, k<br />
∂x 1 ∂x 2 u′ 2<br />
]}<br />
{ ∂ 2 u<br />
= k<br />
∂x 2 1<br />
}<br />
+ ∂2 u<br />
= k∇ · ∇u = f (x)<br />
∂x 2 2<br />
85
5.3. Forma variacional <strong>de</strong>l problema <strong>de</strong> valores en el contorno<br />
La construcción <strong>de</strong> la forma variacional <strong>de</strong>l problema <strong>de</strong> valores en el contorno comienza<br />
<strong>de</strong>finiendo el residuo r<br />
r (x) = −∇· [k (x) ∇u (x)] + b (x) u (x) − f (x)<br />
multiplicando el residuo por una función <strong>de</strong> pon<strong>de</strong>ración o <strong>prueba</strong> v suficientemente suave, integrando<br />
en el dominio e igualando a cero dicha integral. En la integral <strong>de</strong>l residuo pon<strong>de</strong>rado es<br />
necesario realizar una integral por partes, para ello notemos que:<br />
y <strong>de</strong> aquí<br />
∇· (vk ∇u) = ∇u · (k∇v) + v∇· (k∇u)<br />
∇ T (vk ∇u) = ∇ T u k ∇v + v ∇ T (k∇u)<br />
v∇· (k∇u) = ∇· (v k ∇u) − ∇u · (k∇v)<br />
v ∇ T (k∇u) = ∇ T (vk ∇u) − ∇ T u k ∇v<br />
reemplazando el segundo miembro por el primero en la integral <strong>de</strong>l residuo conduce a:<br />
∫<br />
∫<br />
(∇u · (k∇v) + b u v − f v) dΩ − ∇· (v k ∇u) dΩ = 0<br />
Ω<br />
La segunda integral pue<strong>de</strong> ser transformada en una integral sobre el contorno usando el teorema<br />
<strong>de</strong> la divergencia<br />
∫<br />
∫<br />
− ∇· (v k ∇u) dΩ = − vk ∂u<br />
Ω<br />
∂Ω ∂n ds ∂u<br />
∂n = ∇u · n<br />
En forma consistente al realizar la integral por partes aparecen las condiciones <strong>de</strong> contorno que<br />
es posible fijar en el problema en estudio. A<strong>de</strong>más <strong>de</strong> la propia variable <strong>de</strong>l problema u , en la<br />
última expresión aparece en el contorno el término −k ∂u ∂n ν (que es la condición <strong>de</strong> contorno<br />
natural <strong>de</strong>l problema), multiplicando a la función <strong>de</strong> pon<strong>de</strong>ración v.<br />
Notar que el problema <strong>de</strong> transferencia <strong>de</strong> calor en 3 dimensiones se plantea en forma idéntica,<br />
es <strong>de</strong>cir:<br />
⎡<br />
∂<br />
⎤<br />
x = (x 1 , x 2 , x 3 ) y ∂x 1<br />
∂<br />
∇ =<br />
⎢ ∂x<br />
⎣ 2 ⎥<br />
∂ ⎦<br />
∂x 3<br />
La ecuación <strong>de</strong> campo es igual que antes<br />
y las condiciones <strong>de</strong> contorno<br />
−∇· [k (x) ∇u (x)] + b (x) u (x) = f (x)<br />
Ω<br />
86<br />
−k (A)<br />
o<br />
−k (A)<br />
∂u (A)<br />
∂n<br />
∂u (A)<br />
∂n<br />
u (A) = ū (A)<br />
en ∂Ω u<br />
= p (A) [u (A) − û (A)]<br />
= ¯σ (A)<br />
⎫<br />
⎪⎬<br />
⎪⎭<br />
en ∂Ω σ
Figura 2<br />
Membrana traccionada sometida a una presión lateral<br />
5.4. Membrana traccionada<br />
El comportamiento <strong>de</strong> una membrana plana traccionada sometida a una presión lateral uniforme<br />
respon<strong>de</strong> también a la ecuación <strong>de</strong> Helmholtz. Supongamos que el estado tensional <strong>de</strong> la<br />
membrana sea<br />
σ =<br />
[ ]<br />
σ11 σ 12<br />
σ 12 σ 22<br />
Este estado tensional es uniforme en toda la membrana y no hay cargas másicas actuando en<br />
el plano <strong>de</strong> la membrana, por lo cual se cumplen en forma trivial las ecuaciones <strong>de</strong> equilibrio en<br />
el plano <strong>de</strong> la membrana. Notar que es posible <strong>de</strong>terminar las direcciones principales (ν 1 , ν 2 ) <strong>de</strong>l<br />
tensor <strong>de</strong> tensiones σ , <strong>de</strong> tal forma que la expresión <strong>de</strong>l tensor <strong>de</strong> tensiones en dicho sistema sea<br />
diagonal. Esto simplifica un poco las expresiones que se presentan a continuación, sin embargo<br />
no iremos en esa dirección, para mostrar la facilidad que tiene el método para tratar este tipo <strong>de</strong><br />
problemas.<br />
Al aplicar una presión lateral p (uniforme) sobre la membrana, esta <strong>de</strong>be <strong>de</strong>splazarse lateralmente<br />
u (x) (<strong>de</strong>jando <strong>de</strong> ser plana) a los fines <strong>de</strong> restablecer el equilibrio. Como la membrana no<br />
pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>sarrollar momentos flectores (en forma análoga a un cable), es a través <strong>de</strong> sus esfuerzos<br />
en el plano como pue<strong>de</strong> equilibrar fuerzas normales. La ecuación <strong>de</strong> equilibrio transversal a la<br />
membrana, <strong>de</strong>bida a la presión lateral es:<br />
[ ( ) ( )]<br />
∂ ∂u ∂u<br />
σ 11 + σ 12 + ∂ [ ( ) ( )]<br />
∂u ∂u<br />
σ 21 + σ 22 + p ∂x 1 ∂x 1 ∂x 2 ∂x 2 ∂x 1 ∂x 2 e = 0<br />
Don<strong>de</strong> e es el espesor <strong>de</strong> la membrana. La expresión anterior pue<strong>de</strong> escribirse como<br />
{[ ] }<br />
σ11 σ<br />
∇·<br />
12<br />
∇u + p σ 21 σ 21 e = 0<br />
En este problema las condiciones <strong>de</strong> contorno son exclusivamente esenciales (Dirichlet). En<br />
todo el contorno u =cte. (o 0).<br />
Si la tensión sobre la membrana es igual en todas las direcciones <strong>de</strong>l plano (σ 11 = σ 22 = σ ,<br />
σ 12 = 0), llamando N = σe al esfuerzo membranal, entonces la ecuación <strong>de</strong> equilibrio se resume a<br />
la ecuación <strong>de</strong> Laplace (no-homogénea)<br />
∇ · ∇u = − p N<br />
La ecuación a resolver resulta muy sencilla y es completamente similar al caso anterior. Notar<br />
la similitud formal entre el tensor <strong>de</strong> tensiones σ <strong>de</strong> este caso con el tensor k que <strong>de</strong>fine la<br />
conductividad térmica en el caso anterior. La forma variacional se obtiene <strong>de</strong> la misma forma que<br />
en el caso anterior.<br />
87
5.5. Flujo en un medio poroso<br />
El flujo laminar a través <strong>de</strong> un medio poroso está gobernado por la ley <strong>de</strong> Darcy, la velocidad<br />
<strong>de</strong>l flujo (o caudal por unidad <strong>de</strong> área) es para un medio isótropo:<br />
[ ]<br />
σ1<br />
σ = = k∇u<br />
σ 2<br />
don<strong>de</strong> k es la permeabilidad <strong>de</strong>l medio y u es la carga hidraúlica. Reemplazando en la ecuación <strong>de</strong><br />
continuidad (divergencia <strong>de</strong> la velocidad igualada a 0 para un fluido incompresible)<br />
∇ · σ = 0<br />
resulta<br />
∇· (k∇u) = 0<br />
Figura 3<br />
Flujo en un medio poroso<br />
Si el material es homogéneo (k constante)se obtiene nuevamente la ecuación <strong>de</strong> Laplace<br />
k∇ · ∇u = 0<br />
En el caso <strong>de</strong> medios estratificados, la permeabilidad es diferente en las distintas direcciones,<br />
el material presenta características ortótropas. En tal caso es posible reemplazar la permeabilidad<br />
k por un tensor <strong>de</strong> permeabilidad k (simétrico) en la ley <strong>de</strong> Darcy<br />
[ ] [ ] [<br />
σ1 k11 k ∂u<br />
]<br />
=<br />
12 ∂x 1<br />
∂u<br />
σ 2 k 21 k 22 ∂x 2<br />
Por otro lado si existen fuentes o sumi<strong>de</strong>ros puntuales, es posible incluirlos en la ecuación<br />
diferencial.<br />
Las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> pue<strong>de</strong>n ser <strong>de</strong> dos tipos<br />
a) que se conozca el nivel <strong>de</strong> la carga hidraúlica u<br />
b) que se conozca el flujo normal al contorno (caudal). Es habitual en este tipo <strong>de</strong> problemas la<br />
existencia <strong>de</strong> pare<strong>de</strong>s impermeables como condición <strong>de</strong> contorno, allí se impone que el flujo<br />
normal a la pared sea nulo.<br />
5.6. Torsión <strong>de</strong> una viga prismática sin restricción <strong>de</strong> alabeo<br />
El estudio <strong>de</strong>l alabeo <strong>de</strong> una sección <strong>de</strong> una viga prismática sometida a un momento torsor, es<br />
un tema clásico <strong>de</strong> la mecánica. Las hipótesis cinemáticas son:<br />
88<br />
1. La sección no se <strong>de</strong>forma (en el plano <strong>de</strong> la sección) al aplicar el torsor
2. La sección gira alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> G (centro <strong>de</strong> corte) un valor θ que por unidad <strong>de</strong> longitud <strong>de</strong><br />
viga <strong>de</strong>nominaremos β, <strong>de</strong> tal forma que usando como referencia la sección en z = 0<br />
θ = βz<br />
en función ello los <strong>de</strong>splazamientos en el plano <strong>de</strong> la sección resultan<br />
u (x, y, z) = −θ (z) y = −βzy<br />
v (x, y, z) = θ (z) x = βzx<br />
3. La sección no tiene restricción al alabeo, lo cual conduce en general a que:<br />
luego veremos que w es sólo función <strong>de</strong> (x, y)<br />
w (x, y, z) ≠ 0<br />
Figura 4<br />
torsión <strong>de</strong> una pieza prismática<br />
5.6.1. Deformaciones<br />
ε xx = ∂u<br />
∂x = 0<br />
ε yy = ∂v<br />
∂y = 0<br />
ε zz = ∂w<br />
∂z = 0<br />
(la justificación es posterior)<br />
γ xy = 2ε xy = ∂u<br />
∂y + ∂v = −βz + βz = 0<br />
∂x<br />
γ xz = 2ε xz = ∂u<br />
∂z + ∂w<br />
∂x = −βy + w′ x<br />
γ yz = 2ε yz = ∂v<br />
∂z + ∂w<br />
∂y = βx + w′ y<br />
5.6.2. Tensiones<br />
Las tensiones resultan <strong>de</strong> las ecuaciones constitutivas, luego consi<strong>de</strong>rando un material elástico<br />
y lineal (isótropo u ortótropo, en este último caso supondremos que las direcciones principales <strong>de</strong><br />
89
ortotropía coinci<strong>de</strong>n con las direcciones coor<strong>de</strong>nadas).<br />
⎡ ⎤ ⎡<br />
⎤ ⎡<br />
σ xx C xx C xy C xz<br />
σ yy<br />
C xy C yy C yz<br />
σ zz<br />
⎢ τ xy<br />
=<br />
C xz C yz C zz ⎥ ⎢<br />
G xy ⎥ ⎢<br />
⎣ τ xz<br />
⎦ ⎣<br />
G xz<br />
⎦ ⎣<br />
τ yz<br />
G yz<br />
Al no haber restricción al alabeo, en los extremos se cumple que σ zz = 0, por otro lado si<br />
consi<strong>de</strong>ramos un estado tensional uniforme a lo largo <strong>de</strong> la pieza, entonces σ zz = 0 en toda la<br />
pieza, lo cual sumado a que ε xx = ε yy = 0, conduce<br />
σ zz = 0 = C zz ε zz<br />
<strong>de</strong> don<strong>de</strong> resulta ε zz = 0 que justifica lo dicho antes y conduce a que w = w (x, y) es <strong>de</strong>cir que w<br />
no <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> z. Consecuencia <strong>de</strong> lo anterior es que σ xx = σ yy = 0, resultando a<strong>de</strong>más τ xy = 0.<br />
Luego las únicas tensiones no nula son<br />
ε xx<br />
ε yy<br />
ε zz<br />
γ xy<br />
γ xz<br />
γ yz<br />
τ xz = G xz γ xz = G xz (−βy + w′ x) (5.1a)<br />
τ yz = G yz γ yz = G yz (βx + w′ y)<br />
5.6.3. Equilibrio<br />
Las únicas fuerzas actuantes son las aplicadas en las secciones extremas a los fines <strong>de</strong> imponer<br />
el momento torsor T . Este momento torsor se equilibra con el momento que producen las tensiones<br />
rasantes <strong>de</strong> corte respecto al centro <strong>de</strong> corte según la siguiente expresión (con r = (x, y) la posición<br />
<strong>de</strong> cada punto respecto al centro <strong>de</strong> corte y τ = (τ xz , τ yz ))<br />
∫<br />
∫<br />
T = r × τ dA = (−τ xz y + τ yz x) dA<br />
A<br />
Reemplazando τ en función <strong>de</strong> 5.1a<br />
∫<br />
T = [−G xz (−βy + w′ x) y + G yz (βx + w′ y) x] dA<br />
∫A<br />
[ (<br />
= β Gxz y 2 + G yz x 2) + (−G xz w′ xy + G yz w′ yx) ] dA<br />
A<br />
Notar que si particularizamos esta expresión para una material isótropo (G xz = G yz = G)<br />
∫<br />
[<br />
T = βG y 2 + x 2 + (w′ yx − w′ xy) ] dA<br />
A<br />
{ ∫<br />
}<br />
= G Jβ + (w′ yx − w′ xy) dA<br />
A<br />
Y para el caso <strong>de</strong> una sección circular que se sabe que no alabea w (x, y) = 0, se obtiene el<br />
resultado conocido T = GJβ.<br />
Las ecuaciones <strong>de</strong> equilibrio en el dominio se satisfacen en forma trivial para las direcciones x<br />
e y, pues ni β ni w <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>n <strong>de</strong> la coor<strong>de</strong>nada z.<br />
A<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
90<br />
∂σ xx<br />
+ ∂σ xy<br />
∂y<br />
∂x<br />
∂σ xy<br />
∂x + ∂σ yy<br />
∂y<br />
+ ∂σ xz<br />
∂z + F x = 0 + 0 + ∂ ∂z [G xz (−βy + w′ x)] + 0 = 0<br />
+ ∂σ yz<br />
∂z + F y = 0 + 0 + ∂ ∂z [G yz (βx + w′ y)] + 0 = 0
La ecuación <strong>de</strong> equilibrio en la dirección z es la que gobierna el alabeo<br />
∂σ xz<br />
∂x + ∂σ yz<br />
∂y<br />
+ ∂σ zz<br />
∂z + F z = ∂<br />
∂x [G xz (−βy + w′ x)] + ∂ ∂y [G yz (βx + w′ y)] = 0 (5.2)<br />
G ∂w′ x<br />
xz<br />
∂x + G ∂w′ y<br />
yz<br />
∂y<br />
∂ 2 w<br />
= G xz<br />
∂x + G ∂ 2 w<br />
2 yz<br />
∂y = 0 (5.3)<br />
2<br />
Don<strong>de</strong> en la segunda expresión se ha supuesto que el material es homogéneo<br />
Si el material a<strong>de</strong>más es isótropo G xz = G yz = G se obtiene la ecuación <strong>de</strong> Laplace<br />
5.6.4. Condiciones <strong>de</strong> contorno<br />
( )<br />
∂ 2 w<br />
G<br />
∂x + ∂2 w<br />
= G ∇ · ∇w = 0<br />
2 ∂y 2<br />
Figura 5<br />
Condición <strong>de</strong> contorno en la torsión<br />
Las condiciones <strong>de</strong> contorno son exclusivamente naturales (Neumann). La tensión <strong>de</strong> corte<br />
normal al contorno <strong>de</strong>be ser cero τ ν = 0. Denominando con α al ángulo que forma la normal al<br />
contorno ν con el eje x, tenemos que (llamando s a lo longitud <strong>de</strong> arco sobre el contorno<br />
ν x = cos α = dy<br />
ds<br />
ν y = sin α = − dx<br />
ds<br />
la tensión <strong>de</strong> corte normal es<br />
reemplazando las expresiones 5.1a<br />
Si el material es isótropo<br />
dy<br />
τ ν = τ · ν = τ xz<br />
ds − τ dx<br />
yz<br />
ds<br />
τ ν = [G xz (−βy + w′ x)] dy<br />
ds − [G yz (βx + w′ y)] dx<br />
[<br />
ds<br />
= −β G xz y dy<br />
ds + G yzx dx ]<br />
dy<br />
+ G xz<br />
ds<br />
w′ x<br />
ds − G dx<br />
yzw′ y<br />
ds<br />
[<br />
τ ν = −Gβ y dy ] (<br />
ds + xdx + G<br />
ds<br />
} {{ }<br />
1 dr 2<br />
2 ds<br />
w′ x<br />
)<br />
dy<br />
ds − dx<br />
w′ y<br />
ds<br />
(5.4)<br />
(5.5)<br />
91
5.6.5. Forma débil <strong>de</strong> la ecuación <strong>de</strong> alabeo<br />
Aplicando <strong>residuos</strong> pon<strong>de</strong>rados sobre la expresión 5.2, con v la función <strong>de</strong> pon<strong>de</strong>ración<br />
∫ { ∂<br />
v<br />
A ∂x [G xz (−βy + w′ x)] + ∂ }<br />
∂y [G yz (βx + w′ y)] dA = 0<br />
∫ [ ∂<br />
v<br />
∂x (Gxzw′ x) + ∂ ] [<br />
∂y (Gyzw′ y) + vβ − ∂<br />
∂x (G xzy) + ∂ ]<br />
∂y (G yzx) dA = 0<br />
A<br />
Notar que el segundo término es necesario sólo cuando el material no es homogéneo, es <strong>de</strong>cir<br />
cuando hay una variación <strong>de</strong> la matriz constitutiva <strong>de</strong>l material. Esta formulación permite entonces<br />
tratar el alabeo <strong>de</strong> secciones compuestas <strong>de</strong> distintos materiales. Notar a<strong>de</strong>más que el segundo<br />
término incluye sólo valores conocidos, por lo cual podríamos separar en dos miembros la ecuación,<br />
<strong>de</strong> tal forma que el segundo miembro es nulo para materiales homogéneos<br />
∫<br />
A<br />
v<br />
[ ∂<br />
∂x (G xzw′ x) + ∂ ∂y (G yzw′ y)<br />
] ∫<br />
dA =<br />
A<br />
vβ<br />
[ ∂<br />
∂x (G xzy) − ∂ ∂y (G yzx)<br />
]<br />
dA<br />
Integrando por partes ambos miembros<br />
∫ [ ∂<br />
v<br />
A ∂x (Gxzw′ x) + ∂ ] ∫<br />
∫<br />
∂y (Gyzw′ y) dA = v [G xz w′ xν x + G yz w′ yν y ] ds − [G xz w′ xv′ x + G yz w′ yv′ y] dA<br />
S<br />
A<br />
∫ [ ∂<br />
vβ<br />
∂x (G xzy) − ∂ ] ∫<br />
∫<br />
∂y (G yzx) dA = vβ [G xz yν x − G yz xν y ] ds − β [G xz yv′ x − G yz xv′ y] dA<br />
A<br />
S<br />
Reemplazando en la expresión anterior y notando que los términos en el contorno se anulan<br />
entre si (ver ecuación 5.5)<br />
∫<br />
∫<br />
v {G xz w′ xν x + G yz w′ yν y − β [G xz yν x − G yz xν y ]} ds = vτ ν ds = 0<br />
resulta<br />
∫<br />
S<br />
∫<br />
[G xz w′ xv′ x + G yz w′ yv′ y] dA =<br />
A<br />
[ ] [ ]<br />
Gxz w′ x<br />
[v′ x, v′ y]<br />
dA<br />
A<br />
G yz y<br />
=<br />
∫<br />
∫<br />
A<br />
A<br />
β [G xz yv′ x − G yz xv′ y] dA<br />
[ ] [<br />
Gxz y<br />
β [v′ x, v′ y]<br />
G yz −x<br />
s<br />
A<br />
]<br />
dA<br />
Notar que para la solución <strong>de</strong>l problema es necesario fijar en algún punto el valor <strong>de</strong> w, a<strong>de</strong>más<br />
habitualmente se resuelve el problema para un valor unitario <strong>de</strong> β. En secciones simétricas es<br />
suficiente con discretizar una <strong>de</strong> las porciones simétricas, en este caso <strong>de</strong>ben imponerse condiciones<br />
<strong>de</strong> contorno sobre w (esenciales), w = 0 en las líneas <strong>de</strong> simetría.<br />
La formulación presentada hasta aquí sigue los lineamientos <strong>de</strong>l método <strong>de</strong> los <strong>de</strong>splazamientos<br />
(o método <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z) consistente en resolver las ecuaciones <strong>de</strong> equilibrio <strong>de</strong>l problema expresadas<br />
en función <strong>de</strong> las incógnitas <strong>de</strong> <strong>de</strong>splazamiento. Una vez obtenida la solución <strong>de</strong>l problema la <strong>de</strong>terminación<br />
<strong>de</strong> <strong>de</strong>formaciones y tensiones es directa. A continuación veremos una solución alternativa,<br />
consistente en resolver ecuaciones <strong>de</strong> compatibilidad, lo que se asocia habitualmente con el método<br />
<strong>de</strong> las fuerzas, contraparte <strong>de</strong> esta formulación<br />
5.6.6. Función <strong>de</strong> tensión<br />
La formulación más renombrada para el análisis <strong>de</strong>l problema <strong>de</strong> alabeo está asociada a la<br />
solución <strong>de</strong> una ecuación <strong>de</strong> compatibilidad. Esto es así porque, como veremos, para materiales<br />
isótropos y homogéneos , resulta como ecuación <strong>de</strong> gobierno la ecuación <strong>de</strong> Laplace con condiciones<br />
<strong>de</strong> contorno sólo esenciales y homogéneas (secciones simplemente conexas). Esto permite hacer<br />
analogías con otros problemas mecánicos, como por ejemplo la membrana traccionada que se<br />
<strong>de</strong>scribió antes (“analogía <strong>de</strong> la membrana” <strong>de</strong>bida a Prandtl).<br />
92
Para resolver el problema se propone una función φ (función <strong>de</strong> tensión) que satisfaga en forma<br />
implícita las ecuaciones <strong>de</strong> equilibrio <strong>de</strong>l problema en el dominio. Habíamos visto que en este caso<br />
la única ecuación <strong>de</strong> equilibrio no trivial es<br />
Definiendo φ tal que<br />
∂σ xz<br />
∂x + ∂σ yz<br />
∂y = 0<br />
τ xz = ∂φ<br />
∂y<br />
τ yz = − ∂φ<br />
∂x<br />
reemplazado en la ecuación <strong>de</strong> equilibrio <strong>de</strong>l dominio la satisface en forma idéntica. A su vez si la<br />
reemplazamos en la ecuación <strong>de</strong> equilibrio en el contorno τ ν = 0 (5.4) resulta<br />
τ ν = ∂φ dy<br />
∂y<br />
ds + ∂φ<br />
∂x<br />
dx<br />
ds = dφ<br />
ds = 0<br />
La expresión anterior indica que φ (s) =cte. en el contorno. Para dominios simplemente conexos<br />
basta con fijar un valor constante arbitrario para la función incógnita sobre todo el contorno, valor<br />
que se elige igual 0 por comodidad.<br />
Si escribimos ahora las <strong>de</strong>formaciones en términos <strong>de</strong> la función <strong>de</strong> tensión, tenemos<br />
γ xz = τ xz<br />
G xz<br />
= 1<br />
G xz<br />
∂φ<br />
∂y = −βy + w′ x<br />
γ yz = τ yz<br />
G yz<br />
= − 1<br />
G yz<br />
∂φ<br />
∂x = βx + w′ y<br />
Derivando la primera respecto a y , la segunda respecto a x<br />
( )<br />
∂ 1 ∂φ<br />
= −β +<br />
∂y G xz ∂y<br />
w′ xy<br />
− ∂ ( ) 1 ∂φ<br />
= β +<br />
∂x G yz ∂x<br />
w′ yx<br />
y observando que <strong>de</strong>be cumplirse que para que la función <strong>de</strong> alabeo w sea compatible w′ xy = w′ yx,<br />
restando la segunda <strong>de</strong> la primera resulta<br />
( )<br />
∂ 1 ∂φ<br />
+ ∂ ( ) 1 ∂φ<br />
= −2β (5.6)<br />
∂x G yz ∂x ∂y G xz ∂y<br />
Que es una ecuación <strong>de</strong> compatibilidad (w′ xy = w′ yx) en función <strong>de</strong> φ. Si el material es homogéneo<br />
e isótropo resulta la ecuación <strong>de</strong> Laplace con condiciones <strong>de</strong> contorno homogéneas (dominios<br />
simplemente conexos)<br />
∇ · ∇φ = −2Gβ<br />
φ (s) = 0<br />
5.6.7. Forma débil <strong>de</strong> la ecuación <strong>de</strong> compatibilidad<br />
Para obtener la forma débil multiplicamos la ecuación 5.6 por una función <strong>de</strong> peso ψ e integramos<br />
por partes el primer miembro<br />
∫<br />
S<br />
∫<br />
A<br />
ψ<br />
[ ∂<br />
∂x<br />
( 1 ∂φ<br />
G yz ∂x<br />
)<br />
+ ∂ ( )] ∫<br />
1 ∂φ<br />
dA = −ψ2β dA (5.7)<br />
∂y G xz ∂y<br />
A<br />
[( ) ( ) ] ∫ [( ) ( )] ∫<br />
1 ∂φ 1 ∂φ<br />
1 ∂φ 1 ∂φ<br />
ψ<br />
ν x + ν y ds − ∇ψ ·<br />
,<br />
dA = −2β ψ dA<br />
G yz ∂x G xz ∂y<br />
A G xz ∂y G yz ∂x<br />
A<br />
(5.8)<br />
93
Como φ es conocida sobre el contorno (0) la función <strong>de</strong> peso ψ vale 0 sobre el contorno y la<br />
integral sobre el contorno se anula. En consecuencia la forma débil resulta<br />
∫<br />
A<br />
[ ∂ψ<br />
∂x , ∂ψ ] ⎡ 1<br />
⎢ G 0<br />
⎣ xz<br />
∂y<br />
1<br />
0<br />
G yz<br />
⎤ ⎡<br />
⎥ ⎢<br />
⎦ ⎣<br />
∂φ<br />
∂x<br />
∂φ<br />
∂y<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ dA = −2β<br />
∫<br />
A<br />
ψ dA (5.9)<br />
En el caso <strong>de</strong> dominios multiplemente conexos <strong>de</strong>be cumplirse que la función <strong>de</strong> tensión sea<br />
constante en cada contorno. Fijando el valor φ = 0, en el contorno exterior, en cada contorno<br />
interno S i la función valdrá ¯φ i . Estos valores <strong>de</strong> ¯φ i son ‘a priori’ <strong>de</strong>sconocidos y se obtienen <strong>de</strong> la<br />
solución numérica. Lo que <strong>de</strong>be imponerse es que en todos los puntos j <strong>de</strong> cada contorno interno<br />
i el valor <strong>de</strong> φ sea el mismo φ j = ¯φ i (∀j ∈ S i )<br />
5.7. Flujo potencial<br />
En el caso <strong>de</strong> flujos potenciales las condiciones que <strong>de</strong>be cumplir el campo <strong>de</strong> velocida<strong>de</strong>s son<br />
dos<br />
1. continuidad, asociado con que la divergencia <strong>de</strong>l campo <strong>de</strong> velocida<strong>de</strong>s u sea nula<br />
∇ · u = 0<br />
2. irrotacionalidad, asociado a que el rotor <strong>de</strong>l campo <strong>de</strong> velocida<strong>de</strong>s sea nulo<br />
∇ × u = 0<br />
Hay dos formas equivalentes <strong>de</strong> abordar el problema, con diferentes ventajas <strong>de</strong> acuerdo al<br />
problema que se intenta analizar. La variable fundamental <strong>de</strong>l problema no es el campo <strong>de</strong> velocida<strong>de</strong>s,<br />
sino que éste (como todos los flujos tratados hasta ahora) se <strong>de</strong>rivan <strong>de</strong> una variable<br />
(escalar).<br />
5.7.1. Función potencial<br />
Una primera posibilidad es utilizar como variable in<strong>de</strong>pendiente al potencial ϕ, <strong>de</strong> esta manera,<br />
el campo <strong>de</strong> velocida<strong>de</strong>s resulta<br />
u = −∇ϕ<br />
Naturalmente si el campo u se <strong>de</strong>riva <strong>de</strong> un potencial, entonces satisface en forma explícita la<br />
condición irrotacionalidad y lo único que resta imponer es que satisfaga continuidad, es <strong>de</strong>cir<br />
∇ · u = −∇ · ∇ϕ = 0<br />
con lo cual se obtiene la ecuación <strong>de</strong> Laplace.<br />
Las condiciones <strong>de</strong> contorno que pue<strong>de</strong>n imponerse en este caso son:<br />
1. esenciales, es posible fijar el valor <strong>de</strong> ϕ (potencial hidráulico)<br />
2. naturales, es posible fijar el valor <strong>de</strong> la velocidad normal al contorno u ν = ν · ∇ϕ<br />
5.7.2. Función líneas <strong>de</strong> corriente<br />
La segunda posibilidad es utilizar como variable in<strong>de</strong>pendiente la función línea <strong>de</strong> corriente ψ<br />
que es conjugada <strong>de</strong> la función potencial ϕ. El campo <strong>de</strong> velocida<strong>de</strong>s u queda ahora <strong>de</strong>finido por<br />
⎡ ⎤<br />
94<br />
u =<br />
[<br />
u1<br />
]<br />
=<br />
u 2<br />
⎢<br />
⎣<br />
∂ψ<br />
∂x 2<br />
− ∂ψ<br />
∂x 1<br />
⎥<br />
⎦
2. el valor <strong>de</strong>l flujo normal al contorno σ ν = [ρuφ − Γ∇φ] · ν en la parte <strong>de</strong>l contorno S σ<br />
95<br />
La <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> este campo <strong>de</strong> velocida<strong>de</strong>s hace que se cumpla explícitamente la condición <strong>de</strong><br />
continuidad, por lo cual ahora la condición a cumplir es que el campo u sea irrotacional<br />
∇ × u = ∇ ×<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
∂ψ<br />
∂x 2<br />
− ∂ψ<br />
∂x 1<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ =<br />
∂ −∂ψ<br />
− ∂ (<br />
∂ψ ∂ 2 ψ<br />
= −<br />
∂x 1 ∂x 1 ∂x 2 ∂x 2 ∂x 2 1<br />
)<br />
+ ∂2 ψ<br />
= 0<br />
∂x 2 2<br />
nuevamente obtenemos la ecuación <strong>de</strong> Laplace, cuyas condiciones <strong>de</strong> contorno pue<strong>de</strong>n ser<br />
1. esenciales, es posible fijar el valor <strong>de</strong> ψ (valor <strong>de</strong> la línea <strong>de</strong> corriente)<br />
2. naturales, es posible fijar el valor <strong>de</strong> la velocidad tangencial al contorno u t = ν · ∇ψ. Notar<br />
que<br />
[ ]<br />
[ ]<br />
−u2<br />
u1<br />
ν · ∇ψ = [ν 1 , ν 2 ] = [−ν<br />
u 2 , ν 1 ] = t · u = u<br />
1 u t<br />
2<br />
5.8. Ecuación <strong>de</strong> convección - difusión<br />
Las ecuaciones diferenciales tratadas hasta aquí conducen a la ecuación <strong>de</strong> Laplace, don<strong>de</strong> el<br />
or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivación <strong>de</strong> la variable incógnita es par en todos los casos. Esto ha conducido, al realizar<br />
la integral por partes, a una simetría <strong>de</strong>l operador respecto a la variable incógnita y a la función<br />
<strong>de</strong> pon<strong>de</strong>ración. Las ecuaciones diferenciales con estas características se <strong>de</strong>nominan auto-adjuntas.<br />
En este caso, nos interesa resolver la siguiente ecuación diferencial que aparece principalmente<br />
el área <strong>de</strong> mecánica <strong>de</strong> los fluidos<br />
∇ · [ρuφ − Γ∇φ] + q = 0<br />
don<strong>de</strong> u es el campo <strong>de</strong> velocida<strong>de</strong>s (conocido)<br />
[ ]<br />
u1<br />
u (x 1 , x 2 ) =<br />
u 2<br />
que satisface la ecuación <strong>de</strong> continuidad<br />
∇ · (ρu) = 0<br />
φ es la variable (incógnita) <strong>de</strong>l problema, es una variable escalar<br />
Γ es la difusividad, en general en un medio isótropo ésta es un escalar. En algunos problemas<br />
que interesa abordar, resulta necesario escribir a Γ como un tensor <strong>de</strong> segundo or<strong>de</strong>n (simétrico)<br />
[ ]<br />
Γ11 Γ<br />
Γ =<br />
12<br />
Γ 21 Γ 22<br />
q es un escalar y representa una fuente (o un sumi<strong>de</strong>ro) distribuido en el dominio.<br />
La diferencia fundamental entre esta ecuación diferencial y las que se han tratado hasta ahora<br />
es el término ∇ · [ρuφ] (término convectivo), si se omite este término se tiene nuevamente la<br />
ecuación <strong>de</strong> Laplace. En este término la variable incógnita aparece <strong>de</strong>rivada sólo una vez, por lo<br />
cual el operador ya no resulta autoadjunto y en las discretizaciones numéricas dará lugar a matrices<br />
no-simétricas (in<strong>de</strong>pendientemente <strong>de</strong> la función <strong>de</strong> pon<strong>de</strong>ración elegida).<br />
Las condiciones <strong>de</strong> contorno que pue<strong>de</strong>n imponerse son<br />
1. el valor <strong>de</strong> la variable φ en parte <strong>de</strong>l contorno S φ
La formulación débil que resulta para este problema se obtiene como siempre <strong>de</strong> aplicar <strong>residuos</strong><br />
pon<strong>de</strong>rados sobre la ecuación <strong>de</strong> balance en el dominio y sobre las condiciones <strong>de</strong> contorno.<br />
Multiplicando entonces por una función <strong>de</strong> peso arbitraria ϕ<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
ϕ {∇ · [ρuφ − Γ∇φ] + q} dA + ϕ [¯σ ν − (ρuφ − Γ∇φ) · ν] dS σ + ϕ (¯φ )<br />
− φ dSφ = 0<br />
A<br />
S σ S φ<br />
integrando por partes en el dominio el término difusivo y notando que (¯φ )<br />
− φ = 0, pues las<br />
aproximaciones satisfacen en forma exacta este tipo <strong>de</strong> condiciones<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
ϕ [¯σ ν − ρuφ · ν] dS σ + ϕ∇ · (ρuφ) dA + ∇ϕ · Γ∇φ dA + ϕqdA = 0<br />
S σ A<br />
A<br />
A<br />
Finalmente notando que el campo <strong>de</strong> velocida<strong>de</strong>s <strong>de</strong>be satisfacer la condición <strong>de</strong> incompresibilidad<br />
entonces<br />
∇ · (ρu) = 0<br />
∇ · (ρuφ) = φ∇ · (ρu) + (ρu) · ∇φ = (ρu) · ∇φ<br />
<strong>de</strong> don<strong>de</strong> la integral <strong>de</strong>l residuo resulta<br />
∫<br />
∫<br />
ϕ [¯σ ν − ρuφ · ν] dS σ + ϕ (ρu) · ∇φdA +<br />
S σ A<br />
∫<br />
A<br />
∫<br />
∇ϕ · Γ∇φ dA +<br />
A<br />
ϕqdA = 0<br />
5.9. Elasticidad lineal<br />
5.9.1. Ecuaciones básicas <strong>de</strong> la elasticidad lineal<br />
A continuación se <strong>de</strong>scriben las ecuaciones básicas <strong>de</strong> la elasticidad lineal con el objeto <strong>de</strong><br />
obtener una formulación débil que luego pueda discretizarse usando el método <strong>de</strong> elementos finitos.<br />
La ecuación <strong>de</strong> equilibrio (o ley <strong>de</strong> balance local) es <strong>de</strong> la forma<br />
[ ∂<br />
∂x 1<br />
,<br />
∇ · σ + ρ (x) [b (x) − a (x)] = 0 en Ω (5.10)<br />
] ⎡ ⎤ ⎡ ⎤<br />
σ<br />
∂ 11 σ 12 σ 13<br />
b 1 − a 1<br />
⎣ σ 21 σ 22 σ 23<br />
⎦ + ρ (x) ⎣ b 2 − a 2<br />
⎦ = 0<br />
∂x 3<br />
σ 31 σ 32 σ 33 b 3 − a 3<br />
∂<br />
∂x 2<br />
,<br />
don<strong>de</strong> σ es el tensor <strong>de</strong> tensiones <strong>de</strong> Cauchy que es simétrico, ρ es la <strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong> masa, b es la<br />
fuerza másica por unidad <strong>de</strong> masa (ρb = F es la fuerza másica por unidad <strong>de</strong> volumen) y a es la<br />
aceleración. Las condiciones <strong>de</strong> contorno <strong>de</strong>l problema son:<br />
σ n = f en ∂Ω σ<br />
u = ū en ∂Ω u<br />
don<strong>de</strong> n es la normal en el contorno, f es la fuerza aplicada sobre el contorno, ū son <strong>de</strong>splazamientos<br />
prescriptos y ∂Ω σ es la parte <strong>de</strong>l contorno don<strong>de</strong> se conocen las fuerzas externas, ∂Ω u es la parte<br />
<strong>de</strong>l contorno don<strong>de</strong> se conocen los <strong>de</strong>splazamientos, que cumplen que ∂Ω = ∂Ω σ + ∂Ω u y<br />
∂Ω σ ∩ ∂Ω u = ∅ . Las ecuaciones constitutivas y cinemáticas son<br />
σ = D : ε ε = ∇ s u = 1 (<br />
∇ T u + ∇u )<br />
2<br />
σ ij = D ijkl ε ij ∇ T u = (∇u) T<br />
don<strong>de</strong> ε es el tensor <strong>de</strong> pequeñas <strong>de</strong>formaciones, D es el tensor <strong>de</strong> elasticidad <strong>de</strong> cuarto or<strong>de</strong>n (liga<br />
dos tensores <strong>de</strong> 2do. or<strong>de</strong>n) y ∇ s u es la parte simétrica <strong>de</strong>l gradiente <strong>de</strong> <strong>de</strong>splazamientos.<br />
96
Figura 6<br />
Elasticidad tridimensional<br />
Las ecuaciones anteriores <strong>de</strong>sarrolladas para el problema tridimensional resultan:<br />
⎡<br />
∂σ 11<br />
+ ∂σ 12<br />
+ ∂σ ⎤<br />
13<br />
∂x 1 ∂x 2 ∂x 3<br />
∂σ 21<br />
∇ · σ =<br />
+ ∂σ 22<br />
+ ∂σ 23<br />
= ∂σ ij<br />
t i = ∂σ ji<br />
t i<br />
∂x 1 ∂x 2 ∂x 3<br />
∂x j ∂x j<br />
⎢<br />
⎣ ∂σ 31<br />
+ ∂σ 32<br />
+ ∂σ ⎥<br />
⎦<br />
33<br />
∂x 3 ∂x 2 ∂x 3<br />
⎡<br />
σ · n = σ T n =<br />
⎢<br />
⎣<br />
∂σ ij<br />
∂x j<br />
+ ρ (b i − a i ) = 0<br />
⎤<br />
σ 11 ν 1 + σ 12 ν 2 + σ 13 ν 3<br />
σ 21 ν 1 + σ 22 ν 2 + σ 23 ν 3<br />
⎥<br />
⎦ = σ ijν j t i = σ ij ν i t j<br />
σ 31 ν 1 + σ 32 ν 2 + σ 33 ν 3<br />
σ ij ν j = f i<br />
(∇u) ij<br />
= ∂u i<br />
∂x j<br />
ε ij = (∇ s u) ij<br />
= 1 2<br />
( ∂uj<br />
+ ∂u )<br />
i<br />
∂x i ∂x j<br />
Para un material isótropo, el tensor <strong>de</strong> elasticidad <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> sólo dos constantes y pue<strong>de</strong><br />
escribirse<br />
D =2µ I+λ 1 ⊗ 1<br />
D ijkl = µ (δ ik δ jl + δ il δ jk ) + λ δ ij δ kl<br />
E<br />
Eν<br />
µ =<br />
λ =<br />
2 (1 + ν) (1 + ν) (1 − 2ν)<br />
don<strong>de</strong> µ y λ son los parámetros <strong>de</strong> Lamé, E es el módulo <strong>de</strong> elasticidad <strong>de</strong> Young y ν es la relación<br />
<strong>de</strong> Poisson. I es el tensor i<strong>de</strong>ntidad <strong>de</strong> cuarto or<strong>de</strong>n, 1 es el tensor i<strong>de</strong>ntidad <strong>de</strong> segundo or<strong>de</strong>n y<br />
⊗ <strong>de</strong>nota el producto tensorial<br />
σ ij = D ijkl ε kl = [µ (δ ik δ jl + δ il δ jk ) + λ δ ij δ kl ] ε kl<br />
σ ij = 2µ ε ij + δ ij λ ε kk<br />
97
5.9.2. Formulación débil usando <strong>residuos</strong> pon<strong>de</strong>rados<br />
Apliquemos el método <strong>de</strong> <strong>residuos</strong> pon<strong>de</strong>rados a la ecuación <strong>de</strong> equilibrio (5.10) con una función<br />
<strong>de</strong> pon<strong>de</strong>ración w = (w 1 , w 2 , w 3 ) don<strong>de</strong> los w i son funciones in<strong>de</strong>pendientes una <strong>de</strong> otra y pon<strong>de</strong>ran<br />
cada componente <strong>de</strong> la ecuación <strong>de</strong> equilibrio<br />
∫<br />
Ω<br />
w· {∇ · σ + ρ (x) [b (x) − a (x)]} dΩ = 0<br />
∫<br />
∫<br />
w· (∇ · σ) dΩ = −<br />
Ω<br />
Integremos por partes el primer miembro, para lo cual recor<strong>de</strong>mos que:<br />
Ω<br />
ρ (x) w· [b (x) − a (x)] dΩ<br />
w · σ = w T σ = w i σ ij t j<br />
∇ · (w · σ) = ∂<br />
∂x j<br />
(w i σ ij )<br />
= ∂w i ∂σ ij<br />
σ ij + w i<br />
∂x j ∂x j<br />
= ∇w : σ + w· (∇ · σ)<br />
la última expresión permite escribir el primer miembro <strong>de</strong>l residuo como<br />
∫<br />
Ω<br />
∫<br />
w· (∇ · σ) dΩ =<br />
∂Ω<br />
∫<br />
w·(σ · n) d∂Ω − ∇w : σ dΩ<br />
} {{ }<br />
Ω<br />
f(s)<br />
don<strong>de</strong> el operador “:” es el producto punto entre tensores <strong>de</strong> segundo or<strong>de</strong>n, similar al <strong>de</strong> vectores<br />
(por ej.: σ : ε = σ ij ε ij = ∑ 3<br />
∑ 3<br />
i=1 j=1 σ ij ε ij ). Notando a<strong>de</strong>más que <strong>de</strong>bido a la simetría <strong>de</strong>l tensor<br />
<strong>de</strong> tensiones ∇w : σ = ∇ s w : σ la integral pon<strong>de</strong>rada <strong>de</strong>l residuo pue<strong>de</strong> escribirse:<br />
∫<br />
Ω<br />
∫<br />
∇ s w : σ dΩ =<br />
Reemplazando la ecuación constitutiva tenemos:<br />
∫<br />
Ω<br />
∫<br />
∇ s w : D : ∇ s u dΩ =<br />
Ω<br />
∫<br />
w·ρ (x) [b (x) − a (x)] dΩ +<br />
Ω<br />
∂Ω<br />
∫<br />
w·ρ (x) [b (x) − a (x)] dΩ +<br />
w · f (s) d∂Ω<br />
∂Ω<br />
w · f (s) d∂Ω<br />
Las condiciones sobre la solución u son: continuidad (compatibilidad), <strong>de</strong>rivabilidad (∇u <strong>de</strong>be<br />
existir y po<strong>de</strong>r ser calculado) y u = ū en ∂Ω u . Al usar Galerkin e integrar por partes, las condiciones<br />
sobre w resultan similares: continuidad y <strong>de</strong>rivabilidad (∇w <strong>de</strong>be existir y po<strong>de</strong>r ser calculado)<br />
y w = 0 en ∂Ω u . Esta última condición permite dividir la segunda integral <strong>de</strong>l segundo miembro<br />
en dos partes, dividiendo el contorno en dos partes (∂Ω σ y ∂Ω u ) en la segunda parte la integral<br />
resulta entonces i<strong>de</strong>nticamente nula. Finalmente si llamamos<br />
∫<br />
Ω<br />
∫<br />
¯ε ij D ijkl ε kl dΩ =<br />
Ω<br />
¯ε = ∇ s w<br />
∫<br />
w i ρ (x) [b i (x) − a i (x)] dΩ + w i f i (s) d∂Ω s<br />
∂Ω σ<br />
don<strong>de</strong> en el primer miembro se pue<strong>de</strong> reemplazar el tensor D<br />
98<br />
∫<br />
Ω<br />
∫<br />
¯ε ij D ijkl ε kl dΩ =<br />
Ω<br />
(2µ ¯ε ij ε ij + λ ¯ε kk ε ll ) dΩ
5.9.3. Formulación a partir <strong>de</strong>l Principio <strong>de</strong> los Trabajos Virtuales<br />
Si bien el método <strong>de</strong> <strong>residuos</strong> pon<strong>de</strong>rados representa una forma directa para la discretización<br />
numérica <strong>de</strong> la ecuaciones <strong>de</strong> equilibrio <strong>de</strong> un sólido elástico cuando se usa el método <strong>de</strong> elementos<br />
finitos, existen otras formas para obtener ecuaciones equivalentes. Estas otras formas presentan<br />
las ventajas <strong>de</strong> su más fácil interpretación mecánica. Aquí mostraremos como es posible obtener<br />
ecuaciones <strong>de</strong> equilibrio discretas (es <strong>de</strong>cir en términos <strong>de</strong> un conjunto finito <strong>de</strong> parámetros) a partir<br />
<strong>de</strong>l Principio <strong>de</strong> Trabajos Virtuales (P.T.V.). Básicamente el P.T.V. dice que para que un sólido<br />
elástico esté en equilibrio <strong>de</strong>be satisfacerse que para todo campo <strong>de</strong> <strong>de</strong>splazamientos virtuales δu<br />
(compatible con los vínculos)<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
σ ij δε ij dΩ − ρb (x) δu dv − f δu d∂Ω σ = 0 (5.11)<br />
Ω<br />
Ω<br />
∂Ω σ<br />
Si reemplazamos<br />
σ ij = 2µε ij + δ ij λε kk<br />
δε ij = 1 2 (δu i,j + δu j,i )<br />
obtenemos ecuaciones similares al método <strong>de</strong> <strong>residuos</strong> pon<strong>de</strong>rados don<strong>de</strong> po<strong>de</strong>mos asimilar el<br />
<strong>de</strong>splazamiento virtual a la función <strong>de</strong> peso ya que las condiciones sobre ambas son las mismas.<br />
5.9.4. Notación matricial <strong>de</strong> los tensores involucrados<br />
En este tipo <strong>de</strong> problemas resulta necesario manejar tensores <strong>de</strong> 4to. or<strong>de</strong>n, <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el punto <strong>de</strong><br />
vista computacional esto no es <strong>de</strong>seable, y si bien analíticamente y conceptualmente es conveniente<br />
y necesario trabajar con ellos, a veces es más visual manejarlos en la forma que se <strong>de</strong>talla a<br />
continuación. Los tensores <strong>de</strong> segundo or<strong>de</strong>n se manejan como vectores y los tensores <strong>de</strong> 4to or<strong>de</strong>n<br />
como matrices, así al tensor <strong>de</strong> <strong>de</strong>formaciones que tiene 9 componentes, pero sólo seis diferentes<br />
<strong>de</strong>bido a su simetría, lo manejaremos como un arreglo (vector) <strong>de</strong> seis componentes or<strong>de</strong>nados <strong>de</strong><br />
la forma<br />
⎡<br />
ε =<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎤<br />
ε 11<br />
ε 22<br />
ε 33<br />
2ε 12<br />
⎥<br />
2ε 23<br />
⎦<br />
2ε 13<br />
la razón <strong>de</strong> por qué consi<strong>de</strong>rar dos veces las <strong>de</strong>formaciones <strong>de</strong> corte quedará claro más a<strong>de</strong>lante.<br />
Este tensor que <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> tres componentes <strong>de</strong> <strong>de</strong>splazamiento pue<strong>de</strong> escribirse como un operador<br />
lineal B sobre el vector u<br />
⎡<br />
⎤<br />
∂<br />
0 0<br />
∂x 1 ⎡ ⎤<br />
∂<br />
ε 11<br />
0 0<br />
∂x ε 22<br />
2 ∂<br />
⎡<br />
ε =<br />
ε 33<br />
0 0<br />
⎢ 2ε 12<br />
=<br />
∂x 3<br />
⎣ u ⎤<br />
1<br />
∂ ∂<br />
u 2<br />
⎦ = B u (5.12)<br />
⎥<br />
⎣ 2ε 23<br />
⎦<br />
0<br />
∂x 2 ∂x 1 u 3<br />
2ε 13 ∂ ∂<br />
0<br />
⎢ ∂x<br />
⎣<br />
3 ∂x 2 ⎥<br />
∂ ∂ ⎦<br />
0<br />
∂x 3 ∂x 1<br />
Similarmente el tensor <strong>de</strong> tensiones lo po<strong>de</strong>mos expresar como un vector <strong>de</strong> seis componentes<br />
or<strong>de</strong>nado <strong>de</strong> la siguiente forma<br />
99
⎡<br />
σ =<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎤<br />
σ 11<br />
σ 22<br />
σ 33<br />
σ 12<br />
⎥<br />
σ 23<br />
⎦<br />
σ 31<br />
La relación que liga tensiones con <strong>de</strong>formaciones está <strong>de</strong>finida por el tensor <strong>de</strong> elasticidad D, esta<br />
relación cuando se expresa en términos <strong>de</strong> los tensores <strong>de</strong> 2do or<strong>de</strong>n expresados como arreglos <strong>de</strong><br />
una dimensión conduce a la siguiente expresión:<br />
⎡<br />
σ =<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎤<br />
σ 11<br />
σ 22<br />
σ 33<br />
σ 12<br />
⎥<br />
σ 23<br />
⎦<br />
σ 31<br />
= E<br />
1 + ν<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
1−ν<br />
1−2ν<br />
ν<br />
1−2ν<br />
ν<br />
1−2ν<br />
ν<br />
1−2ν<br />
1−ν<br />
1−2ν<br />
ν<br />
1−2ν<br />
ν<br />
1−2ν<br />
ν<br />
1−2ν<br />
1−ν<br />
1−2ν<br />
σ = D B u<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
⎤ ⎡<br />
⎥ ⎢<br />
⎦ ⎣<br />
⎤<br />
ε 11<br />
ε 22<br />
ε 33<br />
2ε 12<br />
⎥<br />
2ε 23<br />
⎦<br />
2ε 13<br />
= Dε<br />
Dado que tratamos con <strong>de</strong>formaciones lineales, las <strong>de</strong>formaciones virtuales pue<strong>de</strong>n escribirse<br />
<strong>de</strong> la misma forma que las reales<br />
⎡ ⎤<br />
δε 11<br />
δε 22<br />
δε =<br />
δε 33<br />
⎢ 2δε 12<br />
= B δu (5.13)<br />
⎥<br />
⎣ 2δε 23<br />
⎦<br />
2δε 13<br />
Notar que en la expresión <strong>de</strong>l trabajo virtual interno (primer término <strong>de</strong> la expresión 5.11)<br />
po<strong>de</strong>mos escribir en lugar <strong>de</strong>l producto interno <strong>de</strong> tensores <strong>de</strong> 2do. or<strong>de</strong>n σ :δε ≡ σ·δε = σε,<br />
don<strong>de</strong> en el primer miembro <strong>de</strong> la equivalencia estamos consi<strong>de</strong>rando tensores y en el segundo<br />
miembro la notación vectorial. El segundo miembro <strong>de</strong> esta igualdad indica la forma estándar <strong>de</strong><br />
expresar un producto interno <strong>de</strong> dos vectores columnas como una multiplicación <strong>de</strong> matrices. Si<br />
reemplazamos (5.12 y 5.13) este producto interno pue<strong>de</strong> escribirse finalmente:<br />
σ T δε = u T B T D B δu<br />
5.9.5. Elasticidad Plana<br />
Listamos a continuación las principales ecuaciones <strong>de</strong> la elasticidad plana, en la notación previa,<br />
correspondientes a los estados:<br />
5.9.5.1. Estado plano <strong>de</strong> tensión (σ i3 = 0):<br />
100<br />
σ =<br />
⎡<br />
ε = ⎣<br />
⎡<br />
⎣ σ ⎤<br />
11<br />
σ 22<br />
σ 12<br />
⎦ =<br />
⎤<br />
ε 11<br />
ε 22<br />
⎦ =<br />
2ε 12<br />
⎡<br />
E ⎣ 1<br />
1 − ν 2<br />
⎡<br />
⎤<br />
∂<br />
0<br />
∂x 1 ∂<br />
[ ]<br />
u1<br />
0<br />
⎢ ∂x<br />
⎣<br />
2 ⎥ u 2<br />
∂ ∂ ⎦<br />
∂x 2 ∂x 1<br />
ν<br />
⎤ ⎡<br />
ν 1<br />
⎦ ⎣ ε ⎤<br />
11<br />
ε 22<br />
⎦<br />
1<br />
2 (1 − ν) 2ε 12
ε 33 = −<br />
ν<br />
(1 − ν) (ε 11 + ε 22 )<br />
5.9.5.2. Estado plano <strong>de</strong> <strong>de</strong>formación (ε i3 = 0):<br />
⎡<br />
σ = ⎣<br />
⎤<br />
σ 11<br />
σ 22<br />
⎦ =<br />
σ 12<br />
⎡<br />
ε = ⎣<br />
⎤<br />
ε 11<br />
ε 22<br />
⎦ =<br />
2ε 12<br />
E (1 − ν)<br />
(1 + ν) (1 − 2ν)<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎤<br />
∂<br />
0<br />
∂x 1 ∂<br />
[ ]<br />
u1<br />
0<br />
∂x 2 ⎥ u 2<br />
∂ ∂ ⎦<br />
∂x 2 ∂x 1<br />
ν<br />
1<br />
(1 − ν)<br />
1<br />
ν<br />
(1 − ν)<br />
σ 33 = ν (σ 11 + σ 22 )<br />
(1 − 2ν)<br />
2 (1 − ν)<br />
⎤<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
ε 11<br />
ε 22<br />
⎦<br />
2ε 12<br />
5.9.5.3. Estado <strong>de</strong> <strong>de</strong>formación axilsimétrico:<br />
⎡<br />
σ = ⎢<br />
⎣<br />
⎤<br />
σ 11<br />
σ 22<br />
σ 12<br />
σ 33<br />
⎡<br />
ε = ⎢<br />
⎣<br />
ε 11<br />
ε 22<br />
2ε 12<br />
ε 33<br />
⎥<br />
⎦ = E (1 − ν)<br />
(1 + ν) (1 − 2ν)<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ = ⎢<br />
⎣<br />
1<br />
ν<br />
(1 − ν)<br />
ν<br />
(1 − ν)<br />
∂<br />
0<br />
∂x 1<br />
∂<br />
0<br />
∂x 2<br />
∂ ∂<br />
∂x 2 ∂x 1<br />
1<br />
0<br />
x 1<br />
ν<br />
(1 − ν)<br />
1<br />
ν<br />
(1 − ν)<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
[<br />
u1<br />
u 2<br />
]<br />
(1 − 2ν)<br />
2 (1 − ν)<br />
ν ⎤<br />
(1 − ν)<br />
⎡<br />
ν<br />
(1 − ν)<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎥<br />
⎦<br />
1<br />
5.10. Flexión <strong>de</strong> Placas<br />
5.10.1. Teoría clásica <strong>de</strong> placas (Love-Kirchhoff)<br />
En la teoría clásica <strong>de</strong> placas (<strong>de</strong>lgadas) se asume en forma similar a la teoría clásica <strong>de</strong> vigas:<br />
1. que la placa funciona en un estado plano <strong>de</strong> tensión (se <strong>de</strong>sprecian los esfuerzos normales al<br />
plano <strong>de</strong> la placa)<br />
2. la fibra que en la configuración in<strong>de</strong>formada, era normal al plano <strong>de</strong> la placa, en la configuración<br />
<strong>de</strong>formada:<br />
se mantiene recta<br />
ε 11<br />
ε 22<br />
2ε 12<br />
ε 33<br />
se mantiene normal a la superficie <strong>de</strong>formada, y en consecuencia el giro <strong>de</strong> la fibra (θ)<br />
coinci<strong>de</strong> con el giro <strong>de</strong> la normal a la superficie media<br />
( ∂u<br />
θ = −∇u = − , ∂u )<br />
∂x 1 ∂x 2<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
101
Figura 7<br />
Teoría <strong>de</strong> placas clásica<br />
Estas hipótesis conducen a <strong>de</strong>spreciar las <strong>de</strong>formaciones <strong>de</strong>bidas al corte transversal γ, y a que<br />
todo el comportamiento flexional que<strong>de</strong> <strong>de</strong>scripto por el <strong>de</strong>splazamiento transversal a la placa u.<br />
El plano medio se mantiene in<strong>de</strong>formado (membranalmente) y las <strong>de</strong>formaciones en puntos fuera<br />
<strong>de</strong>l plano medio son proporcionales a su distancia al mismo (x 3 ) según una ley lineal en el espesor<br />
<strong>de</strong> la placa (h):<br />
ε ij = χ ij x 3 − h 2 ≤ x 3 ≤ h 2<br />
∂2 u<br />
χ ij = −<br />
i, j = 1, 2<br />
∂x i ∂u j<br />
Los momentos flectores se relacionan con las curvaturas <strong>de</strong>l plano medio mediante las siguientes<br />
ecuaciones constitutivas<br />
M =<br />
⎡<br />
⎣ M ⎤<br />
11<br />
M 22<br />
⎦ =<br />
M 12<br />
Eh 3<br />
12 (1 − ν 2 )<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
1 ν<br />
ν 1<br />
⎤ ⎡<br />
⎥<br />
⎦ ⎣ χ ⎤<br />
11<br />
χ 22<br />
⎦ = D χ<br />
2χ 12<br />
1 − ν<br />
2<br />
Al igual que en el caso <strong>de</strong> vigas sin <strong>de</strong>formación cortante, los esfuerzos <strong>de</strong> corte transversal<br />
Q = {Q 1 , Q 2 } no tienen ecuaciones constitutivas asociadas sino que estos se obtienen <strong>de</strong> las ecuaciones<br />
<strong>de</strong> equilibrio, en función <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivadas <strong>de</strong> los momentos. La ecuación <strong>de</strong> trabajos virtuales<br />
se escribe:<br />
∫<br />
Ω<br />
∫<br />
(M 11 δχ 11 + M 22 δχ 22 + 2M 12 δχ 12 ) dΩ =<br />
Ω<br />
∫<br />
p δu dΩ +<br />
∂Ω<br />
(<br />
)<br />
∂δu<br />
−M νν<br />
∂n − M ∂δu<br />
νs<br />
∂s + Q νδu d∂Ω<br />
Don<strong>de</strong> n es la normal al contorno y s es la tangente al mismo (ambas en el plano <strong>de</strong> la lámina).<br />
En la última integral po<strong>de</strong>mos reescribir los últimos dos términos en la forma<br />
∫ (<br />
) ∫ ( )<br />
∂δu<br />
−M νs<br />
∂s + Q νδu dΩ = −M νs δu] s 0 + ∂Mνs<br />
+ Q ν δu dΩ<br />
∂s<br />
∂Ω<br />
El término entre paréntesis en la integral <strong>de</strong>l segundo miembro se conoce como corte efectivo<br />
o <strong>de</strong> Kirchhoff. El primer término <strong>de</strong>l 2do. miembro se anula en el caso <strong>de</strong> contornos suaves y da<br />
lugar a valores puntuales en caso contrario. Notar que el problema <strong>de</strong> flexión <strong>de</strong> placas requiere<br />
po<strong>de</strong>r evaluar <strong>de</strong>rivadas segundas <strong>de</strong> la variable, y por lo tanto conduce a elementos <strong>de</strong> continuidad<br />
C 1 . A diferencia <strong>de</strong>l caso <strong>de</strong> vigas, don<strong>de</strong> esta condición es relativamente sencilla <strong>de</strong> cumplir, en<br />
el caso <strong>de</strong> placas la continuidad C 1 trae muchos problemas. La mayoría <strong>de</strong> los elementos finitos<br />
102<br />
∂Ω
asados en esta teoría no satisfacen en forma completa la continuidad <strong>de</strong> las <strong>de</strong>rivadas primeras a<br />
lo largo <strong>de</strong> los contornos inter-elementos. Aquellos elementos que no satisfacen en forma completa<br />
los requisitos <strong>de</strong> continuidad se <strong>de</strong>nominan “no-conformes”<br />
5.10.2. Teoría <strong>de</strong> placas incluyendo <strong>de</strong>formaciones transversales <strong>de</strong> corte (Reissner-<br />
Mindlin)<br />
Figura 8<br />
Teoría <strong>de</strong> placas con <strong>de</strong>formaciones <strong>de</strong> corte<br />
Esta teoría se diferencia <strong>de</strong> la anterior en la segunda parte <strong>de</strong> la 2da hipótesis, en forma similar<br />
a la diferencia que existe entre la teoría <strong>de</strong> vigas clásicas y la que se conoce como teoría <strong>de</strong> vigas <strong>de</strong><br />
Timoshenko. En este caso entonces no se exige que la fibra normal a la superficie media in<strong>de</strong>formada<br />
se mantenga normal a la superficie media <strong>de</strong>formada. En consecuencia el giro <strong>de</strong> la fibra no resulta<br />
igual al gradiente <strong>de</strong> u, es <strong>de</strong>cir<br />
θ ≠ −∇u<br />
Aparecen ahora <strong>de</strong>formaciones asociadas al corte transversal relacionadas precisamente con la<br />
inequidad anterior, que se suponen constantes en el espesor.<br />
γ =<br />
[<br />
γ1<br />
γ 2<br />
]<br />
⎡<br />
⎢<br />
= ⎣<br />
θ 1 + ∂u<br />
∂x 1<br />
θ 2 + ∂u<br />
∂x 2<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ = θ + ∇u<br />
Al igual que antes el plano medio se mantiene in<strong>de</strong>formado (membranalmente) y las <strong>de</strong>formaciones<br />
en puntos fuera <strong>de</strong>l plano medio son proporcionales a su distancia al mismo (x 3 ) según una<br />
ley lineal en el espesor <strong>de</strong> la placa (h):<br />
pero ahora<br />
χ ij = 1 2<br />
ε ij = χ ij x 3 − h 2 ≤ x 3 ≤ h 2<br />
( ∂θi<br />
+ ∂θ )<br />
j<br />
= ∇ s θ i, j = 1, 2<br />
∂u j ∂u i<br />
Los momentos flectores se relacionan con las curvaturas <strong>de</strong>l plano medio mediante las mismas<br />
ecuaciones constitutivas que antes<br />
M =<br />
⎡<br />
⎣ M ⎤<br />
11<br />
M 22<br />
M 12<br />
⎦ =<br />
Eh 3<br />
12 (1 − ν 2 )<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
1 ν<br />
ν 1<br />
1 − ν<br />
2<br />
⎤ ⎡<br />
⎥<br />
⎦ ⎣ χ ⎤<br />
11<br />
χ 22<br />
⎦ = D χ<br />
2χ 12<br />
103
Los esfuerzos <strong>de</strong> corte transversal se relacionan con las <strong>de</strong>formaciones <strong>de</strong> corte transversal<br />
mediante<br />
[ ] [ ]<br />
Q1<br />
γ1<br />
Q = = Ghκ<br />
Q 2 γ 2<br />
Don<strong>de</strong> G es el módulo <strong>de</strong> corte y κ es un factor <strong>de</strong> forma que normalmente se toma κ = 5.<br />
6<br />
Notar que planteada así esta teoría no satisface las condiciones <strong>de</strong> tensiones <strong>de</strong> corte nulas en las<br />
caras <strong>de</strong> la placa. El equilibrio requiere una variación parabólica <strong>de</strong> las <strong>de</strong>formaciones y tensiones<br />
<strong>de</strong> corte, el coeficiente κ precisamente resulta <strong>de</strong> igualar la energía <strong>de</strong> <strong>de</strong>formación asociada a<br />
ambos casos. La ecuación <strong>de</strong> trabajos virtuales tiene ahora la forma<br />
∫<br />
(M 11 δχ 11 + M 22 δχ 22 + 2M 12 δχ 12 + Q 1 δγ 1 + Q 2 δγ 2 ) dΩ =<br />
Ω<br />
∫<br />
Ω<br />
∫<br />
p δu dΩ +<br />
∂Ω<br />
(M νν δθ ν + M νs δθ s + Q ν δu) d∂Ω<br />
Notar que el problema resulta ahora <strong>de</strong> continuidad C 0 .<br />
103
104
<strong>Capítulo</strong> 6<br />
Elementos finitos en dos dimensiones<br />
por F. Flores<br />
6.1. Introducción<br />
En el capítulo prece<strong>de</strong>nte se han <strong>de</strong>scripto en forma sucinta los principales problemas <strong>de</strong> interés<br />
que se preten<strong>de</strong> resolver usando la técnica <strong>de</strong> elementos finitos. Las ecuaciones diferenciales<br />
que gobiernan estos problemas son, a diferencia <strong>de</strong> las abordadas en el <strong>Capítulo</strong> 4, a <strong>de</strong>rivadas<br />
parciales. El dominio es bi o tridimensional y el contorno entre elementos resulta una curva (en<br />
dos dimensiones) o una superficie (en 3 dimensiones). Esto implica una diferencia substancial<br />
con los problemas unidimensionales, don<strong>de</strong> las fronteras entre elementos eran puntos, e incluso<br />
muchas veces era factible integrar en forma exacta la ecuación diferencial (ordinaria) que gobierna<br />
el problema. De esta forma el análisis <strong>de</strong> estructuras <strong>de</strong> barras articuladas y vigas conducía a la<br />
solución exacta (en el marco <strong>de</strong> la teoría lineal) <strong>de</strong> los problemas en estudio. En el caso <strong>de</strong> problemas<br />
a <strong>de</strong>rivadas parciales, no es posible resolver tales ecuaciones en forma exacta para un caso<br />
general, por lo cual las soluciones numéricas que se obtienen son aproximadas y <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>n <strong>de</strong> la<br />
discretización realizada.<br />
En el presente capítulo se verá como aplicar el método <strong>de</strong> elementos finitos a problemas bidimensional<br />
<strong>de</strong> clase C 0 . Los elementos posibles correspon<strong>de</strong>n a triángulos y cuadriláteros. Se comenzará<br />
con elementos con lados rectos, y luego se introducirán los <strong>de</strong> lados curvos que permiten tratar<br />
geometrías más generales, particularmente contornos. Luego se muestra su aplicación a la ecuación<br />
<strong>de</strong> Laplace, a problemas <strong>de</strong> elasticidad lineal y al problema <strong>de</strong> convección difusión. La extensión<br />
<strong>de</strong> las i<strong>de</strong>as a problemas tridimensionales es inmediata.<br />
6.2. Condiciones <strong>de</strong> las funciones <strong>de</strong> aproximación<br />
Recor<strong>de</strong>mos las condiciones que <strong>de</strong>ben cumplir las funciones <strong>de</strong> forma φ I (x) a los fines <strong>de</strong> que<br />
las incógnitas <strong>de</strong>l problema tengan el significado físico <strong>de</strong>seado y que se satisfagan las condiciones<br />
<strong>de</strong> continuidad entre elementos (continuidad C 0 ). Sea la variable u (vector) aproximada por:<br />
u (x) =<br />
NN∑<br />
I=1<br />
φ I (x) u I<br />
se <strong>de</strong>be satisfacer<br />
a)- φ I ( x J) = δ IJ<br />
b)- ∑ NN<br />
c)- ∑ NN<br />
I=1 φI ( x I) = 1<br />
I=1<br />
∂φ ( I x I)<br />
= 0 (consecuencia <strong>de</strong> (b))<br />
∂x ı<br />
Estas condiciones tienen el siguiente objetivo:<br />
La condición (a) asegura el significado físico <strong>de</strong> la variable, es <strong>de</strong>cir que el parámetro u I<br />
correspon<strong>de</strong> al valor <strong>de</strong> la variable en el nudo I. Por otro lado es necesario asegurar la<br />
continuidad <strong>de</strong> la variable no sólo en los nudos sino en todo el contorno entre elementos,<br />
es <strong>de</strong>cir que el valor <strong>de</strong> u a lo largo <strong>de</strong> una línea que limita dos elementos <strong>de</strong>be tener un<br />
único valor in<strong>de</strong>pendientemente <strong>de</strong> cual <strong>de</strong> los dos elementos se consi<strong>de</strong>re. Dado que dos<br />
105
Figura 1<br />
Triángulo Maestro, y triángulo en el espacio coor<strong>de</strong>nado físico<br />
elementos tendrán como parámetros comunes las variables asociadas a sus nodos comunes<br />
(los que <strong>de</strong>finen geométricamente su contorno común) es necesario que el valor <strong>de</strong> la variable<br />
u a lo largo <strong>de</strong> dicho contorno común sólo <strong>de</strong>penda <strong>de</strong> las variables asociadas a los nudos<br />
que lo <strong>de</strong>finen. En consecuencia la función <strong>de</strong> interpolación <strong>de</strong>be valer 0 no sólo en los otros<br />
nudos (condición (a)) sino también a lo largo <strong>de</strong> el(los) lado(s) que no lo incluyan.<br />
La condición (b) asegura que si el valor <strong>de</strong> la variable es constante en todo los nodos, entonces<br />
es constante en todo el elemento. La condición (c) consecuencia <strong>de</strong> la anterior dice que, en<br />
tal caso, el gradiente en todo el elemento será cero.<br />
A<strong>de</strong>más resulta conveniente que las funciones <strong>de</strong> aproximación sean capaces <strong>de</strong> representar<br />
un estado <strong>de</strong> gradiente constante, que es el límite que <strong>de</strong>be alcanzarse cuando <strong>de</strong> refina la<br />
discretización.<br />
6.3. Elementos triangulares<br />
Empecemos viendo el elemento más sencillo para problemas planos que es el triángulo lineal.<br />
Definamos inicialmente un elemento maestro, en forma similar a como hicimos en el problema<br />
unidimensional. En este caso el elemento maestro se <strong>de</strong>fine como un triángulo rectángulo con<br />
el ángulo recto en el origen <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas, lados paralelos a los ejes y <strong>de</strong> longitud unitaria.<br />
Numeremos a<strong>de</strong>más sus vértices en la forma indicada, 1 <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas (ξ = 1, η = 0), 2 <strong>de</strong><br />
coor<strong>de</strong>nadas (ξ = 0, η = 1), y 3 <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas (ξ = 0, η = 0)<br />
En el elemento así <strong>de</strong>finido llamemos ξ al eje horizontal y η al eje vertical. Observemos las<br />
siguientes funciones lineales <strong>de</strong>finidas sencillamente como:<br />
L 1 (ξ, η) = ξ<br />
L 2 (ξ, η) = η<br />
L 3 (ξ, η) = 1 − ξ − η<br />
Notemos que estas funciones satisfacen todas las condiciones pedidas anteriormente. La (a) resulta<br />
inmediata <strong>de</strong> evaluar en los nudos, en tanto que para la (b) basta ver la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> la 3ra.<br />
función. Observemos a<strong>de</strong>más que el gradiente <strong>de</strong> la variable es constante para cualquier valor que<br />
tomen las parámetros nodales.<br />
Trataremos ahora <strong>de</strong> darle un significado geométrico a las funciones <strong>de</strong> forma L I , tomemos<br />
un punto cualquiera “p” <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas (ξ, η) <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> elemento y unamos este punto con los 3<br />
vértices lo que nos <strong>de</strong>fine 3 triángulos. Si observamos el triángulo inferior <strong>de</strong>finido por el eje ξ y<br />
106
el punto p (ξ, η), y calculamos su área (llamemos a esta área A 2 por ser la <strong>de</strong>l triángulo opuesto<br />
al nudo 2) vemos fácilmente que vale la altura <strong>de</strong>l mismo dividido 2 pues el largo <strong>de</strong> la base vale<br />
1, que no es otra cosa que A 2 = η/2. Si hacemos lo mismo con el formado por el eje η y el punto<br />
p tendremos que el área (A 1 ) <strong>de</strong> este vale A 1 = ξ/2. Finalmente el triángulo restante tendrá por<br />
área el valor A 3 = (1 − ξ − η) /2 lo que resulta <strong>de</strong> que el área total <strong>de</strong>l triángulo (A) vale 1/2.<br />
Vemos entonces que es posible asociar las funciones <strong>de</strong> forma L I con el doble <strong>de</strong>l área <strong>de</strong>l triángulo<br />
<strong>de</strong>finido por el punto p (ξ, η) y el lado opuesto al nudo, o puesto <strong>de</strong> otra forma la función <strong>de</strong> forma<br />
L I <strong>de</strong>fine la relación entre el área <strong>de</strong>l triángulo opuesto al nudo A I y el área total <strong>de</strong>l triángulo A.<br />
L I = A I /A<br />
Si aplicamos esta misma i<strong>de</strong>a a un triángulo cualquiera en el plano (x 1 − x 2 ), <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas<br />
nodales x 1 , x 2 y x 3 , po<strong>de</strong>mos obtener el mismo resultado. Para ello recor<strong>de</strong>mos que el área <strong>de</strong> un<br />
triángulo pue<strong>de</strong> evaluarse como la mitad <strong>de</strong>l módulo <strong>de</strong>l vector obtenido como el producto vectorial<br />
<strong>de</strong> dos <strong>de</strong> sus lados. Por ejemplo para el área <strong>de</strong> todo el triángulo po<strong>de</strong>mos usar como vectores los<br />
<strong>de</strong>finidos por los lados 31 y 32:<br />
2A = 31 × 32 = ( x 1 − x 3) × ( x 2 − x 3) = ( ( ( ( )<br />
x 1 1 − x1) 3 x<br />
2<br />
2 − x2) 3 − x<br />
1<br />
2 − x2) 3 x<br />
2<br />
1 − x 3 1<br />
En tanto que para un punto genérico p (x), dos veces <strong>de</strong>l área <strong>de</strong>l triángulo 1 resulta entonces<br />
2A 1 = p2 × p3 = ( x 2 − x ) × ( x 3 − x ) = ( x 2 1 − x 1<br />
) ( x<br />
3<br />
2 − x 2<br />
) −<br />
( x<br />
2<br />
2 − x 2<br />
) ( x<br />
3<br />
1 − x 1<br />
)<br />
y dividiendo ambas expresiones tenemos<br />
L 1 = 1 [<br />
x<br />
2<br />
2A 1 x 3 2 − x 2 2x 3 1 + ( )<br />
x 2 2 − x 3 2 x1 + ( ]<br />
x 3 1 − x1) 2 x2<br />
que hemos escrito como una función lineal <strong>de</strong> las coor<strong>de</strong>nadas <strong>de</strong>l punto (x 1 , x 2 ). Similarmente (o<br />
por permutación <strong>de</strong> índices) se pue<strong>de</strong>n encontrar las expresiones para los otros dos nodos.<br />
L 2 = 1 [<br />
x<br />
3<br />
2A 1 x 1 2 − x3 2 x1 1 + ( x 3 2 − ) x1 2 x1 + ( x 1 1 − ]<br />
1) x3 x2<br />
L 3 = 1 [<br />
x<br />
1<br />
2A 1 x 2 2 − x1 2 x2 1 + ( x 1 2 − ) x2 2 x1 + ( x 2 1 − ]<br />
1) x1 x2<br />
Llamando a las constantes que aparecen en las funciones <strong>de</strong> forma<br />
a 1 = (x 3 1 − x2 1 ) b 1 = (x 2 2 − x3 2 ) c 1 = x 2 1 x3 2 − x2 2 x3 1<br />
a 2 = (x 1 1 − x3 1 ) b 2 = (x 3 2 − x1 2 ) c 2 = x 3 1 x1 2 − x3 2 x1 1<br />
a 3 = (x 2 1 − x 1 1) b 3 = (x 1 2 − x 2 2) c 3 = x 1 1x 2 2 − x 1 2x 2 1<br />
éstas se pue<strong>de</strong>n escribir como<br />
L I = 1<br />
2A [c I + b I x 1 + a I x 2 ]<br />
Otros elementos triangulares incluyendo polinomios <strong>de</strong> mayor grado en x 1 y x 2 pue<strong>de</strong>n construirse<br />
fácilmente. Primero mostremos en forma tabular los términos que aparecen en los polinomios<br />
<strong>de</strong> varios grados<br />
1 grado 0<br />
x 1 x 2 grado 1<br />
x 2 1 x 1 x 2 x 2 2 grado 2<br />
x 3 1 x 2 1 x 2 x 1 x 2 2 x 3 2 grado 3<br />
x 4 1 x 3 1x 2 x 2 1x 2 2 x 1 x 3 2 x 4 2 grado 4<br />
107
Este arreglo triangular se <strong>de</strong>nomina triángulo <strong>de</strong> Pascal. Notar que un polinomio completo <strong>de</strong><br />
grado k en x 1 y x 2 tendrá exactamente 1 (k + 1) (k + 2) términos. En consecuencia un polinomio <strong>de</strong><br />
2<br />
grado k, pue<strong>de</strong> ser unívocamente <strong>de</strong>terminado especificando los valores en 1 (k + 1) (k + 2) puntos<br />
2<br />
en el plano. A<strong>de</strong>más, las posiciones en el triángulo <strong>de</strong> Pascal sugieren una posición simétrica <strong>de</strong> los<br />
nudos en un elemento triangular que conducirá al número exacto <strong>de</strong> nodos necesarios para <strong>de</strong>finir<br />
el polinomio completo <strong>de</strong>l grado <strong>de</strong>seado. Por ejemplo, los seis términos <strong>de</strong>l polinomio cuadrático<br />
quedan <strong>de</strong>terminados si se especifican seis valores nodales, uno en cada vértice y uno a la mitad <strong>de</strong><br />
cada lado, precisamente las posiciones <strong>de</strong>finidas por el triángulo <strong>de</strong> Pascal cuadrático. La familia<br />
<strong>de</strong> elementos finitos generados <strong>de</strong> esta forma se ilustra en la figura.<br />
En función <strong>de</strong> las coor<strong>de</strong>nadas <strong>de</strong> área estos polinomios resultan<br />
Figura 2 (a) Uso <strong>de</strong>l triángulo <strong>de</strong> Pascal para generar varios elementos triangulares sobre los cuales<br />
se <strong>de</strong>finen polinomios completos <strong>de</strong> or<strong>de</strong>n k, (b) ilustración para el caso k = 2 que las funciones <strong>de</strong><br />
forma producidas por estos elementos son continuas en los bor<strong>de</strong>s inter elementos.<br />
108
Para el caso cuadrático<br />
(ξ, η) = (1, 0) N 1 (L ı ) = 2L ( )<br />
1 L 1 − 1 2<br />
(ξ, η) = (0, 1) N 2 (L ı ) = 2L ( )<br />
2 L 2 − 1 2<br />
(ξ, η) = (0, 0) N 3 (L ı ) = 2L ( )<br />
3 L 3 − 1 2<br />
(ξ, η) = ( 1<br />
, )<br />
1 N 4 (L ı ) = 4L 1 L 2<br />
2 2<br />
(ξ, η) = ( )<br />
0, 1 N 5 (L ı ) = 4L 2 L 3<br />
2<br />
(ξ, η) = ( 1<br />
, 0) N 6 (L ı ) = 4L 3 L 1<br />
2<br />
Para el elemento cúbico<br />
(ξ, η) = (1, 0) N 1 (L ı ) = ( ( )<br />
9<br />
2 L1 L 1 − 3) 1 L 1 − 2 3<br />
(ξ, η) = (0, 1) N 2 (L ı ) = ( ( )<br />
9<br />
2 L2 L 2 − 3) 1 L 2 − 2 3<br />
(ξ, η) = (0, 0) N 3 (L ı ) = ( ( )<br />
9<br />
2 L3 L 3 − 3) 1 L 3 − 2 3<br />
(ξ, η) = ( 2<br />
, )<br />
1 N 4 (L ı ) = 27 3 3<br />
2 L1 L ( )<br />
2 L 1 − 1 3<br />
(ξ, η) = ( 1<br />
, )<br />
2 N 5 (L ı ) = 27 3 3<br />
2 L1 L ( )<br />
2 L 2 − 1 3<br />
(ξ, η) = ( )<br />
0, 2 N 6 (L ı ) = 27 3<br />
2 L3 L ( )<br />
2 L 2 − 1 3<br />
(ξ, η) = ( )<br />
0, 1 N 7 (L ı ) = 27 3<br />
2 L3 L ( )<br />
2 L 2 − 2 3<br />
(ξ, η) = ( 1<br />
3 , 0) N 8 (L ı ) = 27 2 L1 L ( )<br />
3 L 1 − 2 3<br />
(ξ, η) = ( 2<br />
, 0) N 9 (L ı ) = 27 3 2 L1 L ( )<br />
3 L 1 − 1 3<br />
(ξ, η) = ( 1<br />
, )<br />
1 N 10 (L ı ) = 27L 1 L 2 L 3<br />
3 3<br />
La utilización <strong>de</strong> las funciones <strong>de</strong> forma para triángulos en términos <strong>de</strong> las coor<strong>de</strong>nadas triangulares,<br />
permite escribir las <strong>de</strong>rivadas en términos <strong>de</strong> la regla <strong>de</strong> la ca<strong>de</strong>na, es <strong>de</strong>cir dado:<br />
u (x) =<br />
NN∑<br />
I=1<br />
N I ( L J) u I<br />
entonces<br />
∂u<br />
NN∑<br />
=<br />
∂x 1<br />
I=1 J=1<br />
∂u<br />
NN∑<br />
=<br />
∂x 2<br />
I=1 J=1<br />
3∑<br />
[ ∂N<br />
I<br />
3∑<br />
[ ∂N<br />
I<br />
∂L J (<br />
L 1 , L 2 , L 3) b J<br />
2A<br />
∂L J (<br />
L 1 , L 2 , L 3) a J<br />
2A<br />
]<br />
u I<br />
]<br />
u I<br />
6.4. Elementos rectangulares<br />
Similarmente al caso unidimensional los elementos se <strong>de</strong>finen sobre un dominio normalizado,<br />
en este caso dicho dominio es equivalente al unidimensional pero extendido en ambas direcciones,<br />
es <strong>de</strong>cir un cuadrado <strong>de</strong> lado 2 centrado en el origen <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas locales (ξ, η).<br />
Si nos inclinamos por los elementos <strong>de</strong>l tipo Lagrangeano, es <strong>de</strong>cir aquellos obtenidos usando<br />
los polinomios <strong>de</strong> Lagrange, entonces las funciones <strong>de</strong> forma nodales se pue<strong>de</strong>n obtener realizando<br />
el producto tensorial <strong>de</strong> los correspondientes polinomios unidimensionales evaluados sobre las<br />
variables locales (ξ, η). Dados los vértices <strong>de</strong>l rectángulo,(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) las coor<strong>de</strong>nadas locales se<br />
<strong>de</strong>finen por<br />
ξ = 2x 1 − (x 3 1 + x4 1 )<br />
(x 3 1 − x 4 1)<br />
= 2x 1 − (x 2 1 + x1 1 )<br />
(x 2 1 − x 1 1)<br />
= 2x 1 − x 0 1<br />
a<br />
η = 2x 2 − (x 4 2 + x1 2 )<br />
(x 4 2 − x 1 2)<br />
= 2x 2 − (x 3 2 + x2 2 )<br />
(x 3 2 − x 2 2)<br />
= 2x 2 − x 0 2<br />
b<br />
109
Figura 3<br />
Cuadrado Maestro, y rectángulo en el espacio coor<strong>de</strong>nado<br />
don<strong>de</strong> los nudos están en correspon<strong>de</strong>ncia con las siguientes coor<strong>de</strong>nadas locales<br />
Nudo ξ η<br />
1 -1 -1<br />
2 1 -1<br />
3 1 1<br />
4 -1 1<br />
y x 0 son las coor<strong>de</strong>nadas <strong>de</strong>l centro <strong>de</strong>l rectángulo y a y b son la las longitu<strong>de</strong>s <strong>de</strong> sus lados en las<br />
direcciones x 1 y x 2 respectivamente.<br />
El elemento rectangular más sencillo resulta entonces el bilineal obtenido <strong>de</strong> multiplicar los<br />
polinomios lineales en ambas direcciones<br />
o englobando las cuatro en una única expresión<br />
N 1 (ξ, η) = 1 (1 − ξ) (1 − η)<br />
4<br />
N 2 (ξ, η) = 1 (1 + ξ) (1 − η)<br />
4<br />
N 3 (ξ, η) = 1 (1 + ξ) (1 + η)<br />
4<br />
N 4 (ξ, η) = 1 (1 − ξ) (1 + η)<br />
4<br />
N I (ξ, η) = 1 4<br />
(<br />
1 + ξ I ξ ) ( 1 + η I η )<br />
De la misma forma pue<strong>de</strong> encontrarse el elemento cuadrático Lagrangeano <strong>de</strong> 9 nodos y el cúbico<br />
<strong>de</strong> 16 nodos. Que las funciones propuestas cumplen con las condiciones expresadas inicialmente es<br />
muy fácil <strong>de</strong> <strong>de</strong>mostrar y se <strong>de</strong>ja como ejercicio.<br />
La utilización <strong>de</strong> las funciones <strong>de</strong> forma para rectángulo en términos <strong>de</strong> las coor<strong>de</strong>nadas locales,<br />
permite escribir las <strong>de</strong>rivadas en términos <strong>de</strong> la regla <strong>de</strong> la ca<strong>de</strong>na, es <strong>de</strong>cir dado:<br />
u (x) =<br />
NN∑<br />
I=1<br />
N I (ξ, η) u I<br />
110<br />
entonces<br />
∂u<br />
∂x 1<br />
=<br />
NN∑<br />
I=1<br />
[ ∂N<br />
I<br />
∂ξ (ξ, η) 2 a<br />
]<br />
u I
∂u<br />
∂x 2<br />
=<br />
NN∑<br />
I=1<br />
[ ∂N<br />
I<br />
∂η (ξ, η) 2 b<br />
Notemos que a diferencia <strong>de</strong>l triángulo, en don<strong>de</strong> cuando se genera un elemento (cuadrático<br />
por ejemplo) aparece la cantidad exacta <strong>de</strong> coeficientes necesarios para dicha aproximación (6 en<br />
el caso cuadrático), para los elementos rectangulares aparece una cantidad <strong>de</strong> coeficientes (9 en<br />
el caso cuadrático) mayor que el número indispensable, asociados con términos <strong>de</strong> or<strong>de</strong>n superior<br />
(x 2 1x 2 , x 2 1x 2 2, x 1 x 2 2). A<strong>de</strong>más dado que en la matriz global <strong>de</strong> coeficientes, los parámetros asociados<br />
a los nudos internos <strong>de</strong>l elemento sólo tienen contribución <strong>de</strong>l mismo elemento, muchas veces<br />
suelen eliminarse estos grados <strong>de</strong> libertad por “con<strong>de</strong>nsación”. Estos consi<strong>de</strong>randos han llevado a<br />
<strong>de</strong>sarrollar elementos cuadráticos <strong>de</strong> mayor or<strong>de</strong>n con sólo nudos en el contorno, estos elementos se<br />
conocen como “serendípitos” y se obtienen por inspección <strong>de</strong> las funciones <strong>de</strong> forma. Por ejemplo<br />
el elemento rectangular <strong>de</strong> 8 nodos en el que se ha eliminado el nudo central <strong>de</strong>l elemento <strong>de</strong> 9<br />
nodos y con él el término x 2 1x 2 2, <strong>de</strong> forma que <strong>de</strong>l triángulo <strong>de</strong> Pascal sobreviven los siguientes<br />
1<br />
x 1 x 2<br />
x 2 1 x 1 x 2 x 2 2<br />
x 2 1x 2 x 1 x 2 2<br />
]<br />
u I<br />
La forma estándar <strong>de</strong> encontrar estas funciones <strong>de</strong> forma es escribirlas <strong>de</strong> la forma<br />
N I (x 1 , x 2 ) = a 1 + a 2 x 1 + a 3 x 2 + a 4 x 2 1 + a 5x 1 x 2 + a 6 x 2 2 + a 7x 2 1 x 2 + a 8 x 1 x 2 2<br />
e imponer las condiciones correspondientes <strong>de</strong> que N ( I x J) = δ IJ que conduce a invertir un sistema<br />
<strong>de</strong> 8 × 8, que nos da simultáneamente los 8 coeficientes <strong>de</strong> cada una <strong>de</strong> las 8 funciones <strong>de</strong> forma.<br />
La otra forma es armarlas directamente inspeccionando la forma que <strong>de</strong>berían tener (<strong>de</strong> allí su<br />
nombre ‘serendipity’ en inglés). Estas funciones resultan <strong>de</strong> esta forma<br />
(<br />
N I (ξ, η) = 1 4 1 + ξ I ξ ) ( 1 + η I η ) ( ξ I ξ + η I η − 1 ) nudos esquina<br />
(<br />
N I (ξ, η) = 1 2 1 − ξ<br />
2<br />
1 + η I η ) nudos medios η = ±1<br />
(<br />
N I (ξ, η) = 1 2 1 + ξ I ξ ) (1 − η 2 ) nudos medios ξ = ±1<br />
6.5. Mapeamiento <strong>de</strong> la geometría<br />
Hasta ahora hemos consi<strong>de</strong>rado elementos con geometrías sencillas. En principio hemos <strong>de</strong>finido<br />
las funciones <strong>de</strong> forma a partir <strong>de</strong> elementos “maestros” <strong>de</strong>finidos sobre un dominio normalizado.<br />
En el caso <strong>de</strong>l triángulo ha sido posible pasar fácilmente a un elemento triangular general <strong>de</strong> lados<br />
rectos, en tanto que para el caso <strong>de</strong> elementos cuadriláteros nos hemos restringido a elementos<br />
rectangulares. Des<strong>de</strong> el punto <strong>de</strong> vista práctico el elemento rectangular resulta muy limitado para<br />
el mo<strong>de</strong>lado <strong>de</strong> geometrías reales, para lo cual si resulta conveniente el elemento triangular que<br />
es mucho más versátil en ese aspecto, sin embargo en ambos casos <strong>de</strong>be aproximarse el contorno<br />
mediante segmentos <strong>de</strong> recta.<br />
Los inconvenientes anteriores pue<strong>de</strong>n resolverse si se recurre a mapear al elemento “maestro”<br />
sobre el plano x 1 − x 2 en una forma más general que la usada hasta ahora. La i<strong>de</strong>a es interpolar la<br />
geometría <strong>de</strong>l elemento usando aproximaciones similares a las usadas para interpolar las variables<br />
nodales, es <strong>de</strong>cir si <strong>de</strong>scribimos la geometría <strong>de</strong>l elemento mediante<br />
x (ξ, η) =<br />
NN∑<br />
I=1<br />
N I (ξ, η) x I<br />
Haciendo uso <strong>de</strong>l concepto ya conocido <strong>de</strong> las funciones <strong>de</strong> forma resulta que:<br />
111
Un nudo <strong>de</strong>finido sobre el elemento maestro con coor<strong>de</strong>nadas ( ξ I , η I) se correspon<strong>de</strong>rá en el<br />
plano con el par coor<strong>de</strong>nado x I .<br />
Las coor<strong>de</strong>nadas <strong>de</strong>l contorno quedan <strong>de</strong>finidas exclusivamente por las coor<strong>de</strong>nadas <strong>de</strong> los<br />
nudos que forman el lado, lo que asegura continuidad <strong>de</strong> la geometría entre elementos sin<br />
solapamientos ni brechas<br />
Figura 4 Elemento finito Ω e en el plano (x, y) obtenido como la imagen <strong>de</strong>l mapeamiento T e <strong>de</strong>l<br />
correspondiente elemento maestro ¯Ω en el plano (ξ, η). También se indica el mapeamiento inverso Te<br />
−1<br />
<strong>de</strong> Ω e a ¯Ω.<br />
En el caso <strong>de</strong>l triángulo (lineal) <strong>de</strong> 3 nodos esto no representa ningún cambio práctico pero<br />
si <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el punto <strong>de</strong> vista formal, en tanto que para el cuadrilátero bilineal si hay un cambio<br />
substancial que permite utilizar ahora elementos cuadriláteros <strong>de</strong> forma arbitraria (aunque veremos<br />
más a<strong>de</strong>lante que los ángulos interiores no <strong>de</strong>ben superar los 180 o en ningún caso) y ya no<br />
exclusivamente rectangulares.<br />
Resulta entonces posible ahora utilizar elementos <strong>de</strong> lados curvos (en elementos con más <strong>de</strong><br />
dos nudos en cada lado), en particular esto resulta útil en los contornos exteriores <strong>de</strong> la geometría<br />
<strong>de</strong>l problema, ya que para la interface entre elementos es conveniente utilizar contornos rectos.<br />
Veamos como interviene esta parametrización <strong>de</strong> la geometría (el dominio) en la generación <strong>de</strong><br />
las ecuaciones <strong>de</strong>l problema. Para la obtención <strong>de</strong>l gradiente <strong>de</strong> la variable tendremos ahora que:<br />
( ∂u<br />
∇u = , ∂u )<br />
=<br />
∂x 1 ∂x 2<br />
( NN∑<br />
I=1<br />
don<strong>de</strong> la aplicación <strong>de</strong> la regla <strong>de</strong> la ca<strong>de</strong>na supone<br />
)<br />
∂N I (ξ, η)<br />
NN∑<br />
u I ∂N I (ξ, η)<br />
,<br />
u I<br />
∂x 1 ∂x<br />
I=1 2<br />
112<br />
∂N I (ξ, η)<br />
= ∂N I (ξ, η) ∂ξ<br />
+ ∂N I (ξ, η) ∂η<br />
∂x 1 ∂ξ ∂x 1 ∂η ∂x 1
Figura 5 Mapeamientos para funciones <strong>de</strong> forma cuadráticas sobre los elementos maestros triángulo<br />
y cuadrado. La curva cuadrática entre dos elementos en el plano (x, y) queda <strong>de</strong>finida unívocamente<br />
por el mapeamiento.<br />
∂N I (ξ, η)<br />
= ∂N I (ξ, η) ∂ξ<br />
+ ∂N I (ξ, η) ∂η<br />
∂x 2 ∂ξ ∂x 2 ∂η ∂x 2<br />
que escrito en forma matricial es<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
∂N I (ξ, η)<br />
∂x 1<br />
∂N I (ξ, η)<br />
∂x 2<br />
⎤ ⎡<br />
⎥<br />
⎦ = ⎢<br />
⎣<br />
∂ξ<br />
∂x 1<br />
∂ξ<br />
∂x 2<br />
∂η<br />
∂x 1<br />
∂η<br />
∂x 2<br />
⎤ ⎡<br />
⎥<br />
⎦ ⎢<br />
⎣<br />
∂N I (ξ, η)<br />
∂ξ<br />
∂N I (ξ, η)<br />
∂η<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
o en forma compacta<br />
⎡<br />
⎣ N I<br />
′ 1<br />
N I<br />
′ 2<br />
⎤ ⎡<br />
⎦ = J −1 ⎣<br />
N I<br />
′ ξ<br />
N I<br />
′ η<br />
⎤<br />
⎦<br />
don<strong>de</strong> J es la matriz jacobiana <strong>de</strong> la transformación T e<br />
⎡<br />
J = ⎢<br />
⎣<br />
∂x 1<br />
∂ξ<br />
∂x 1<br />
∂η<br />
∂x 2<br />
∂ξ<br />
∂x 2<br />
∂η<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
El cálculo <strong>de</strong> la matriz <strong>de</strong> coeficientes (rigi<strong>de</strong>z) en un problema gobernado por la ecuación <strong>de</strong><br />
113
Laplace resulta entonces<br />
K IJ =<br />
=<br />
∫<br />
∫<br />
Ω e [ N<br />
I<br />
′ 1<br />
N I<br />
′ 2<br />
Ω e [ N<br />
I<br />
′ ξ N I<br />
′ η<br />
] [ ] [<br />
k 11 k 12 N<br />
J<br />
′ 1<br />
k 21 k 22 N J<br />
′ 2<br />
[ ]<br />
] J<br />
−T k11 k 12<br />
k 21 k 22<br />
]<br />
dΩ e<br />
J −1<br />
[ N J<br />
′ ξ<br />
N J<br />
′ η<br />
]<br />
dΩ e<br />
don<strong>de</strong> hemos puesto <strong>de</strong> evi<strong>de</strong>ncia la <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ncia <strong>de</strong> la integral <strong>de</strong>l mapeamiento geométrico utilizado<br />
a través <strong>de</strong> la inversa <strong>de</strong> la matriz jacobiana. De esta forma es posible expresar todas las variables<br />
<strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> la integral en función <strong>de</strong> las variables locales (ξ, η), por lo cual resulta conveniente al<br />
momento <strong>de</strong> realizar la integral, modificar los límites y el diferencial dΩ e = |J| dξ dη. Respecto a<br />
esta última expresión (fórmula que escribiremos sin <strong>de</strong>mostración) relaciona el diferencial <strong>de</strong> área<br />
en el plano (x 1 , x 2 ) con el diferencial <strong>de</strong> área en el elemento maestro a través <strong>de</strong>l <strong>de</strong>terminante<br />
jacobiano. Claramente para que esta expresión tenga sentido físico resulta necesario que el <strong>de</strong>terminante<br />
jacobiano sea siempre positivo, en el caso <strong>de</strong> cuadriláteros esto impone la condición <strong>de</strong><br />
que los ángulos internos sean menores a 180 0 y para elementos cuadráticos es necesario que los<br />
nudos sobre los lados estén ubicados en el tercio central <strong>de</strong>l lado.<br />
Notar que la existencia <strong>de</strong> la inversa <strong>de</strong> la matriz jacobiana hace muy dificil (tal vez imposible)<br />
realizar la integral indicada en forma explícita y resulta en general necesario recurrir a técnicas <strong>de</strong><br />
integración numérica.<br />
La inversa <strong>de</strong> la matriz jacobiana pue<strong>de</strong> evaluarse en forma explícita en la medida en que<br />
esta sea constante en todo el elemento, así ocurre para triángulos <strong>de</strong> lados rectos (lineales) o<br />
paralelogramos.<br />
Las reglas <strong>de</strong> integración numérica en dominios bidimensionales son similares conceptualmente<br />
a las <strong>de</strong> dominios unidimensionales. Las reglas <strong>de</strong> cuadratura para elementos cuadriláteros se<br />
<strong>de</strong>rivan usualmente tratando la integración sobre el elemento maestro como una doble integral. Si<br />
escribimos<br />
∫<br />
G (ξ, η) dξ dη =<br />
ˆΩ<br />
∫ −1<br />
−1<br />
[∫ 1<br />
]<br />
G (ξ, η) dξ dη<br />
−1<br />
y aproximamos las integrales con respecto a ξ y con respecto a η usando una regla <strong>de</strong> integración<br />
unidimensional con N puntos como se discutiera antes, se tiene:<br />
∫<br />
[<br />
N∑ N<br />
]<br />
∑<br />
G (ξ, η) dξ dη = G (ξ n , η m ) w n w m<br />
ˆΩ<br />
m=1<br />
don<strong>de</strong> los ξ n y η m son las coor<strong>de</strong>nadas <strong>de</strong> los puntos <strong>de</strong> muestreo y las w n y w m los respectivos<br />
pesos. Estas reglas <strong>de</strong> integración, evalúan en forma exacta polinomios <strong>de</strong> grado (2N − 1) en cada<br />
dirección. Notar que el integrando G (ξ, η) incluye dos veces la inversa <strong>de</strong> la matriz jacobiana (una<br />
función racional en general) y no resulta obvio el grado <strong>de</strong>l polinomio involucrado. Los puntos <strong>de</strong><br />
muestreo y sus respectivos pesos se dan a continuación para una dimensión<br />
n=1<br />
Elemento ξ l w l<br />
Lineal 0,0 2,0<br />
Cuadrático −1/ √ 3 1,0<br />
1/ √ 3 1,0<br />
√<br />
3/5 5/9<br />
Cúbico 0,0 8/9<br />
√<br />
3/5 5/9<br />
Para elementos triangulares las reglas <strong>de</strong> integración no pue<strong>de</strong>n <strong>de</strong>ducirse <strong>de</strong> la regla unidimensional.<br />
Los puntos <strong>de</strong> muestreo y su respectivos pesos se dan a continuación en forma <strong>de</strong><br />
tabla.<br />
114
Elemento (L<br />
( 1 , L 2 , L 3 ) w l<br />
Lineal 1 , 1, 1 1<br />
( 3 3 3)<br />
2<br />
1 , 0, 1 1<br />
( 2 2)<br />
6<br />
Cuadrático 1 , 1, 0) 1<br />
( 2 2 6<br />
0,<br />
1<br />
, )<br />
1 1<br />
( 2 2 6<br />
1<br />
( 3 , 1 3 , 3)<br />
1 − 27<br />
96<br />
Cúbico 2<br />
15 , 2<br />
15 , )<br />
11 25<br />
( 15 96<br />
11<br />
15 , 2<br />
15 , )<br />
2 25<br />
( 15 96<br />
2<br />
15 , 11<br />
15 , )<br />
2 25<br />
15 96<br />
6.6. Aplicación a la ecuación <strong>de</strong> Laplace<br />
A continuación se presentan en forma más <strong>de</strong>tallada las expresiones necesarias para resolver la<br />
ecuación <strong>de</strong> Laplace en un dominio bidimensional. La forma débil <strong>de</strong> la ecuación <strong>de</strong> transferencia<br />
<strong>de</strong>l calor tiene la forma<br />
∫<br />
∫<br />
[∇v · (k∇u) + bvu − vf] dΩ −<br />
Ω<br />
La variable incógnita u se interpola como<br />
∂Ω<br />
v (k∇u) · ν d∂Ω = 0<br />
u=<br />
NN∑<br />
I=1<br />
φ I (ξ, η) u I<br />
don<strong>de</strong> NN es el número <strong>de</strong> nudos <strong>de</strong>l elemento consi<strong>de</strong>rado. u I es la temperatura <strong>de</strong> cada nodo<br />
y las φ I son las funciones <strong>de</strong> interpolación elegidas convenientemente. Para la función <strong>de</strong> peso<br />
proponemos una interpolación similar.<br />
v =<br />
NN∑<br />
I=1<br />
φ I (ξ, η) v I<br />
Ambas aproximaciones pue<strong>de</strong>n escribirse matricialmente como el producto entre dos vectores<br />
u (ξ, η) = [ φ 1 (ξ, η) , φ 2 (ξ, η) , ..., φ NN (ξ, η) ] ⎡<br />
v (ξ, η) = Φ (ξ, η) v e<br />
El gradiente <strong>de</strong> u resulta<br />
⎢<br />
⎣<br />
u 1<br />
u 2<br />
...<br />
u NN<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ = Φ (ξ, η) u e<br />
∇u (2×1) =<br />
[ ∂<br />
∂x 1<br />
∂ Φ (ξ, η) (1×NN)<br />
u e(1×NN) =<br />
∂x 2<br />
](2×1)<br />
[<br />
∂φ<br />
1<br />
∂φ 2<br />
∂x ∂φ 1 ∂φ 2<br />
∂x 2 ∂x 2<br />
∂x 1<br />
...<br />
∂φ NN<br />
∂x 1<br />
u<br />
∂φ NN<br />
e(1×NN)<br />
∂x 2<br />
](2×NN)<br />
Don<strong>de</strong> como se explicara antes, las <strong>de</strong>rivadas <strong>de</strong> las funciones <strong>de</strong> forma resultan<br />
⎡<br />
⎣ φI′ 1<br />
⎤ ⎡<br />
⎦ = J −1 ⎣<br />
φ I′ ξ<br />
⎤<br />
⎦<br />
φ I′ 2<br />
φ I′ η<br />
Notar las dimensiones <strong>de</strong> las matrices y vectores involucrados en la expresión <strong>de</strong>l gradiente. En<br />
forma completamente similar es posible expresar al gradiente <strong>de</strong> la función <strong>de</strong> pon<strong>de</strong>ración<br />
115
Reemplazando en la forma débil las expresiones anteriores para un elemento genérico,las integrales<br />
necesarias son<br />
⎡<br />
⎤<br />
∂φ<br />
⎡ ⎤<br />
v 1 T<br />
∫<br />
⎧⎪ 1 ∂φ 1<br />
∂x 1 ∂x ∂φ 2 ∂φ 2<br />
[ ] [ ]<br />
∂φ<br />
⎢<br />
∂x 1 ∂x 2<br />
k1 0<br />
1 ∂φ 2 ∂φ<br />
∂x<br />
⎥<br />
∂x 1<br />
...<br />
NN<br />
∂x 1<br />
u<br />
⎣ ... ... ⎦ 0 k ∂φ 1 ∂φ 2 ∂φ 2 ⎢ v 2<br />
⎨<br />
∂φ<br />
⎥<br />
NN ∂φ NN<br />
∂x 2 ∂x 2<br />
...<br />
NN e +<br />
∂x 2<br />
⎫⎪ ⎬<br />
∂x<br />
⎣ ... ⎦<br />
1 ⎡ ∂x 2 ⎤<br />
⎡ ⎤ dΩ e<br />
v NN<br />
Ω e φ 1<br />
φ 1<br />
b ⎢ φ 2<br />
[<br />
⎥<br />
⎪<br />
⎣ ... ⎦ φ 1 , φ 2 , ..., φ NN] u e − ⎢ φ 2<br />
⎥<br />
⎣ ... ⎦ f<br />
⎩ ⎪ ⎭<br />
φ NN<br />
φ NN<br />
Se ha sacado fuera <strong>de</strong> la integral al vector v e , cuyos valores no <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>n <strong>de</strong> la integral, <strong>de</strong> la<br />
misma forma pue<strong>de</strong> hacerse con el vector u e . En la integral aparecen tres términos<br />
1. Es el que resulta <strong>de</strong>l producto punto <strong>de</strong> los gradientes (a través <strong>de</strong> la matriz <strong>de</strong> conductividad<br />
k), que da lugar a una matriz cuadrada simétrica <strong>de</strong> or<strong>de</strong>n NN que multiplica al vector <strong>de</strong><br />
incógnitas <strong>de</strong>l elemento u e , es el término habitual que proviene <strong>de</strong>l Laplaciano.<br />
⎤<br />
∫<br />
K =<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
Ω e<br />
∂φ 1 ∂φ 1<br />
∂x 1 ∂x ∂φ 2 ∂φ 2<br />
∂x 1 ∂x 2<br />
... ...<br />
∂φ NN<br />
∂x 1<br />
∂φ NN<br />
∂x 2<br />
[ ] [ ∂φ k1 0<br />
1 ∂φ 2<br />
∂x<br />
⎥<br />
∂x 1<br />
...<br />
⎦ 0 k ∂φ 1 ∂φ 2<br />
2<br />
∂x 2 ∂x 2<br />
...<br />
∂φ NN<br />
]<br />
∂x 1<br />
∂x 2<br />
2. Es el que resulta <strong>de</strong>l producto bvu, este es un término “no estándar” en la ecuación <strong>de</strong><br />
Laplace. Da lugar también a una matriz cuadrada simétrica <strong>de</strong> or<strong>de</strong>n NN que multiplica a<br />
u e . Formalmente la expresión que tiene esta segunda matriz es igual a la matriz <strong>de</strong> masa que<br />
aparece en problemas <strong>de</strong>pendientes <strong>de</strong>l tiempo<br />
∫<br />
M =<br />
Ω e<br />
b<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
φ 1<br />
φ 2<br />
...<br />
φ NN<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
[<br />
φ 1 , φ 2 , ..., φ NN] dΩ e<br />
3. El último término no está asociado a las incógnitas u e , y forma parte <strong>de</strong>l segundo miembro<br />
(término in<strong>de</strong>pendiente) <strong>de</strong>l sistema <strong>de</strong> ecuaciones a resolver. Es un vector (columna) <strong>de</strong><br />
or<strong>de</strong>n NN.<br />
⎡<br />
∫<br />
φ 1 ⎤<br />
− ⎢ φ 2<br />
⎥<br />
⎣<br />
Ω e<br />
... ⎦ f dΩ e<br />
φ NN<br />
La integral sobre el contorno se realiza sólo sobre aquellos elementos que efectivamente tienen<br />
un lado sobre el contorno <strong>de</strong>l dominio. El contorno ∂Ω a su vez se ha dividido en una parte don<strong>de</strong><br />
u es conocido (∂Ω u ) y otra parte don<strong>de</strong> el flujo σ es conocido (∂Ω σ ). En la primera parte al ser<br />
conocido u, la función <strong>de</strong> peso v se anula, lo cual anula la integral en esta parte. En tanto que la<br />
segunda parte se reemplaza el valor <strong>de</strong>l flujo conocido, σ = − (k∇u)·ν <strong>de</strong> tal forma que la integral<br />
resulta<br />
∫<br />
∫<br />
− v (k∇u) · ν d∂Ω σ = v σ d∂Ω σ<br />
∂Ω σ ∂Ω σ<br />
En cada elemento que tenga una parte común con el contorno <strong>de</strong>l dominio resulta necesario<br />
realizar esta integral. Dado un elemento en estas condiciones la función <strong>de</strong> pon<strong>de</strong>ración v, resulta<br />
116<br />
∂φ NN<br />
dΩ e
ahora <strong>de</strong>pendiente sólo <strong>de</strong>l valor <strong>de</strong> los parámetros v I , <strong>de</strong> los nudos ubicados sobre dicho contorno.<br />
En el caso <strong>de</strong> elementos lineales (triángulos <strong>de</strong> 3 nudos o cuadriláteros <strong>de</strong> 4 nudos), la función <strong>de</strong><br />
peso se expresa en cada lado exclusivamente en función <strong>de</strong> las funciones <strong>de</strong> forma <strong>de</strong> los nudos<br />
extremos <strong>de</strong>l lado. De esta forma, <strong>de</strong>nominando con 1 y 2 a tales nudos, con s a la coor<strong>de</strong>nada a<br />
lo largo <strong>de</strong>l lado resulta<br />
v (s) = [ φ 1 (s) , φ 2 (s) ] [ v 1<br />
v 2 ]<br />
y la integral es<br />
∫<br />
∂Ω σ<br />
v σ d∂Ω σ = [ v 1 , v 2] ∫ S<br />
[ φ 1 (s)<br />
φ 2 (s)<br />
]<br />
σ (s) ds = [ v 1 , v 2] [ f 1<br />
f 2 ]<br />
De tal forma que los valores calculados f I sumarán al término in<strong>de</strong>pendiente en las ecuaciones<br />
asociadas a los v I correspondientes.<br />
6.7. Aplicación a problemas <strong>de</strong> elasticidad lineal<br />
Trataremos <strong>de</strong> fijar las i<strong>de</strong>as anteriores abordando el problema <strong>de</strong> elasticidad lineal en base<br />
al Principio <strong>de</strong> Trabajos Virtuales. Restrinjamos entonces nuestra atención a un subdominio (elemento).<br />
Supongamos que los campos <strong>de</strong> <strong>de</strong>splazamientos virtuales que vamos a consi<strong>de</strong>rar tienen<br />
la forma<br />
δu =<br />
NN∑<br />
I=1<br />
φ I δu I<br />
don<strong>de</strong> NN es el número <strong>de</strong> nudos <strong>de</strong>l elemento consi<strong>de</strong>rado. δu I son los <strong>de</strong>splazamientos virtuales<br />
<strong>de</strong>l nodo y las φ I son las funciones <strong>de</strong> interpolación elegidas convenientemente. Para el campo <strong>de</strong><br />
<strong>de</strong>splazamientos reales proponemos una interpolación similar.<br />
u =<br />
NN∑<br />
I=1<br />
φ I u I<br />
Notar que esta <strong>de</strong>finición <strong>de</strong>l campo <strong>de</strong> <strong>de</strong>splazamientos virtuales representa una restricción a las<br />
ecuaciones <strong>de</strong> T.V. ya que el P.T.V. exige que la igualdad se satisfaga para cualquier <strong>de</strong>splazamiento<br />
y aquí estamos proponiendo un campo <strong>de</strong> <strong>de</strong>splazamientos que <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> un número finito <strong>de</strong><br />
parámetros y por en<strong>de</strong> no pue<strong>de</strong> representar todos los campos <strong>de</strong> <strong>de</strong>splazamientos virtuales posibles.<br />
Esto, <strong>de</strong> hecho, es lo que ocurre en cualquier discretización numérica.<br />
Recor<strong>de</strong>mos que una <strong>de</strong> las condiciones pedidas a las funciones <strong>de</strong> interpolación era que <strong>de</strong>ben<br />
ser continuas y <strong>de</strong>rivables hasta por lo menos el or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivación en que aparecen en las<br />
ecuaciones a resolver. Por ejemplo en la ecuación <strong>de</strong> Trabajos virtuales aparece<br />
δε ιj = 1 2<br />
( ∂δuj<br />
∂x i<br />
+ ∂δu )<br />
i<br />
∂x j<br />
por lo que los δu <strong>de</strong>ben po<strong>de</strong>rse <strong>de</strong>rivar al menos una vez. A<strong>de</strong>más se les pedirá que el cuadrado<br />
<strong>de</strong> la <strong>de</strong>rivada integrado en el subdominio o elemento conduzca a un valor finito.<br />
Resulta importante hacer notar que si bien se han propuesto campo similares para la interpolación<br />
<strong>de</strong> los <strong>de</strong>splazamientos reales y virtuales, en los puntos don<strong>de</strong> los <strong>de</strong>splazamientos reales<br />
son conocidos (S d ) los <strong>de</strong>splazamientos virtuales son nulos (recordar <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> campo <strong>de</strong> <strong>de</strong>splazamientos<br />
virtuales). En consecuencia en dichos puntos ni el <strong>de</strong>splazamiento real es incógnita<br />
<strong>de</strong>l problema, ni el <strong>de</strong>splazamiento virtual tiene ecuación <strong>de</strong> equilibrio asociada.<br />
117
6.7.1. Deformaciones y tensiones, notación matricial<br />
Definido el campo <strong>de</strong> <strong>de</strong>splazamientos es posible encontrar las <strong>de</strong>formaciones asociadas<br />
ε ij = 1 2<br />
( ∂uj<br />
∂x i<br />
+ ∂u i<br />
∂x j<br />
)<br />
= 1 2<br />
NN∑<br />
I=1<br />
( ∂φ<br />
I<br />
)<br />
u I i<br />
∂x + ∂φI u I j<br />
j ∂x i<br />
Por razones <strong>de</strong> conveniencia escribiremos las <strong>de</strong>formaciones ε ij en forma <strong>de</strong> un arreglo unidimensional<br />
(vector)<br />
⎡ ⎤ ⎡<br />
⎤<br />
ε 11<br />
φ I′ 1<br />
ε 22<br />
ε =<br />
ε 33<br />
NN∑<br />
φ I′ ⎡ ⎤<br />
2<br />
⎢ 2ε 12<br />
=<br />
φ I′ u I 1<br />
3<br />
⎣<br />
⎥ I=1 ⎢ φ I′ 2 φ I′ u I ⎦<br />
2<br />
1 ⎥<br />
⎣ 2ε 23<br />
⎦ ⎣ φ I′ 3 φ I′ ⎦ u I 3<br />
2<br />
2ε 13 φ I′ 3 φ I′ 1<br />
ε =<br />
NN∑<br />
I=1<br />
B I u I = B u e<br />
don<strong>de</strong> hemos usado la notación φ I′ i = ∂φI<br />
∂x i<br />
y se han agrupado los <strong>de</strong>splazamientos nodales <strong>de</strong>l<br />
elemento en un vector u T e = [ u 1 , u 2 , ...., u NN] . La matriz B que relaciona <strong>de</strong>formaciones con<br />
<strong>de</strong>splazamientos se obtiene agrupando en forma similar las B I :<br />
B = [ B 1 , B 2 , ...., B NN]<br />
En cuanto a las <strong>de</strong>formaciones virtuales, dada la similitud <strong>de</strong> las <strong>de</strong>finiciones <strong>de</strong> δu y u resulta:<br />
δε = B δu e<br />
A continuación resulta necesario incluir las relaciones constitutivas <strong>de</strong>l problema. Aquí nos<br />
restringiremos a un material isótropo lineal elástico, sin embargo es posible utilizar cualquier<br />
relación elasto-plástica válida (es <strong>de</strong>cir que satisfaga las leyes <strong>de</strong> la termodinámica). Para el caso<br />
<strong>de</strong> que la relación constitutiva fuera no lineal, es necesario un proceso incremental iterativo. Al<br />
igual que con las <strong>de</strong>formaciones, agrupemos las componentes <strong>de</strong>l tensor <strong>de</strong> tensiones en un vector<br />
⎡<br />
σ =<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎤<br />
σ 11<br />
σ 22<br />
σ 33<br />
σ 12<br />
⎥<br />
σ 23<br />
⎦<br />
σ 31<br />
= E<br />
1 + ν<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
1−ν<br />
1−2ν<br />
ν<br />
1−2ν<br />
ν<br />
1−2ν<br />
ν<br />
1−2ν<br />
1−ν<br />
1−2ν<br />
ν<br />
1−2ν<br />
ν<br />
1−2ν<br />
ν<br />
1−2ν<br />
1−ν<br />
1−2ν<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
⎤ ⎡<br />
⎥ ⎢<br />
⎦ ⎣<br />
⎤<br />
ε 11<br />
ε 22<br />
ε 33<br />
2ε 12<br />
⎥<br />
2ε 23<br />
⎦<br />
2ε 13<br />
= Dε<br />
De esta forma se ha escrito la relación entre dos tensores <strong>de</strong> segundo or<strong>de</strong>n, que involucra al<br />
tensor constitutivo que es <strong>de</strong> cuarto or<strong>de</strong>n, como una relación entre vectores a través <strong>de</strong> una matriz.<br />
6.7.2. Matrices <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z elemental y global<br />
Veamos entonces como introducir estas <strong>de</strong>finiciones en la expresión <strong>de</strong>l T.V.Interno, recor<strong>de</strong>mos<br />
que el Trabajo Virtual Interno es<br />
∫<br />
∫<br />
σ ij δε ij dv = (σ 11 δε 11 + σ 22 δε 22 + σ 33 δε 33 + 2σ 12 δε 12 + 2σ 23 δε 23 + 2σ 13 δε 13 ) dv<br />
v<br />
v<br />
don<strong>de</strong> hemos hecho uso <strong>de</strong> la simetría <strong>de</strong> los tensores <strong>de</strong> tensión y <strong>de</strong>formación. Es fácil ver que a<br />
partir <strong>de</strong> la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> los vectores ε y σ en las ecuaciones prece<strong>de</strong>ntes po<strong>de</strong>mos escribir<br />
118
∫<br />
v<br />
∫<br />
σ ij δε ij dv =<br />
v<br />
δε T σ dv =<br />
∑NE<br />
e=1<br />
δu T e<br />
∫<br />
v e<br />
B T D B dv u e<br />
don<strong>de</strong> NE es el número <strong>de</strong> elementos en que se ha dividido el dominio. La integral indicada en<br />
el último miembro es una matriz simétrica (lo que surge <strong>de</strong> que D es simétrica), se la <strong>de</strong>nomina<br />
matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z elemental y se la <strong>de</strong>nota por:<br />
∫<br />
K e = B T D B dv<br />
v e<br />
El trabajo virtual interno <strong>de</strong>l sólido a partir <strong>de</strong> la suma <strong>de</strong> las contribuciones elementales resulta<br />
∫<br />
v<br />
δε T σ dv =<br />
∑NE<br />
e=1<br />
δu T e K e u e = δu T G K u G<br />
don<strong>de</strong> u G es un vector don<strong>de</strong> se han or<strong>de</strong>nado los <strong>de</strong>splazamientos <strong>de</strong> todos los nudos y K es<br />
la matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z global <strong>de</strong>l sólido, la cual se obtiene mediante un proceso <strong>de</strong> ensamble <strong>de</strong> las<br />
matrices elementales.<br />
6.7.3. Trabajo virtual externo, vector <strong>de</strong> cargas nodales<br />
La contribuciones al trabajo virtual externo (fuerzas másicas y <strong>de</strong> contorno) resultan:<br />
6.7.3.1. Fuerzas másicas<br />
∫<br />
v<br />
F δu dv =<br />
∑NE<br />
e=1<br />
∫<br />
v e<br />
F δu dv<br />
Supongamos para las fuerzas másicas una variación <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong>l elemento similar a la <strong>de</strong> los<br />
<strong>de</strong>splazamientos (normalmente las fuerzas másicas son uniformes, constantes, <strong>de</strong> valor igual al<br />
peso específico <strong>de</strong>l material y con la dirección <strong>de</strong>l campo gravitatorio), esto es:<br />
F =<br />
NN∑<br />
I=1<br />
φ I F I = Φ F e<br />
en forma <strong>de</strong>sarrollada<br />
F =<br />
⎡<br />
⎤<br />
φ 1 φ 2 φ NN<br />
⎣ φ 1 φ 2 ... ... ... φ NN ⎦<br />
φ 1 φ 2 φ NN } {{ }<br />
⎢<br />
⎣<br />
Φ<br />
⎡<br />
F 1 1<br />
F 1 2<br />
F 1 3<br />
...<br />
...<br />
F NN<br />
1<br />
F2<br />
NN<br />
F NN<br />
3<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
} {{ }<br />
F e<br />
don<strong>de</strong> las Fi<br />
I es el valor <strong>de</strong> la fuerza másica por unidad <strong>de</strong> volumen en la dirección i evaluada en<br />
las coor<strong>de</strong>nadas <strong>de</strong>l nudo I. De esta forma el trabajo virtual <strong>de</strong> las fuerzas másica resulta<br />
∫<br />
∫<br />
v e<br />
F δu dv = δu T e<br />
don<strong>de</strong> hemos introducido la matriz M = ∫ v e<br />
Φ T<br />
v e<br />
Φ T Φ dv F e = δu T e M F e = δu T e G e<br />
Φ dv<br />
119
6.7.3.2. Fuerzas <strong>de</strong> contorno<br />
El trabajo virtual <strong>de</strong> las fuerzas <strong>de</strong> contorno, sólo se consi<strong>de</strong>ra sobre aquellos elementos que<br />
tengan un lado o cara coinci<strong>de</strong>nte con el contorno don<strong>de</strong> se conocen las fuerzas exteriores. Sea<br />
entonces un elemento cualquiera sobre el contorno <strong>de</strong>l cuerpo que tiene cargas actuantes sobre una<br />
<strong>de</strong> sus caras. Dicha cara estará <strong>de</strong>finida por un subconjunto <strong>de</strong> los nudos <strong>de</strong>l elemento NC. Notar<br />
que <strong>de</strong>bido a las exigencias impuestas sobre las funciones <strong>de</strong> interpolación, los <strong>de</strong>splazamientos<br />
sobre una cara <strong>de</strong>l elemento <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>n sólo <strong>de</strong> los nudos sobre la cara es <strong>de</strong>cir sobre el subconjunto<br />
NC. Los <strong>de</strong>splazamientos virtuales pue<strong>de</strong>n entonces escribirse:<br />
∑NC<br />
δu =<br />
I=1<br />
φ I δu I<br />
De la misma forma es posible <strong>de</strong>scribir la carga externa<br />
∑NC<br />
f = φ I f I<br />
⎡<br />
⎤<br />
φ 1 φ 2 φ NC<br />
f = ⎣ φ 1 φ 2 ... ... ... φ NC ⎦<br />
φ 1 φ 2 φ NC } {{ }<br />
⎢<br />
⎣<br />
I=1<br />
¯Φ(ξ)<br />
⎡<br />
f 1 1<br />
f 1 2<br />
f 1 3<br />
...<br />
...<br />
f NC<br />
1<br />
f2<br />
NC<br />
f NC<br />
3<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
} {{ }<br />
f e<br />
Reemplazando en la expresión <strong>de</strong>l trabajo virtual <strong>de</strong> las fuerzas <strong>de</strong> contacto, tenemos que:<br />
∫<br />
∫<br />
S e<br />
f δu dS e = δu T e<br />
S e<br />
˜Φ T ˜Φ dS f e = δu T e<br />
˜M f e = δu T e<br />
g e<br />
Similarmente al caso <strong>de</strong> la matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z, se obtiene un vector global <strong>de</strong> cargas nodales<br />
equivalentes r ensamblando las contribuciones <strong>de</strong> las fuerzas másicas elementales y <strong>de</strong> las fuerzas<br />
<strong>de</strong> contacto. El trabajo virtual externo pue<strong>de</strong> escribirse en forma compacta como:<br />
∫<br />
∫<br />
− F δu dv − f δu dS σ = −δu T G r<br />
v<br />
S σ<br />
Sumando entonces trabajo virtual interno mas externo e igualando a 0.<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
σ ij δε ij dv − F δu dv − f δu dS σ<br />
∼ = δu<br />
T<br />
G K u G − δu T G r = 0<br />
v<br />
v<br />
S σ<br />
Finalmente la condición impuesta por el P.T.V. requiere que los δu G puedan tomar cualquier<br />
valor en forma in<strong>de</strong>pendiente lo que conduce al siguiente sistema <strong>de</strong> ecuaciones lineales algebraicas<br />
simultáneas<br />
K u G = r<br />
6.8. Elemento cuadrilátero <strong>de</strong> cuatro nodos<br />
Como ejemplo <strong>de</strong> un elemento sencillo obtendremos la matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z y el vector <strong>de</strong> cargas<br />
nodales equivalentes <strong>de</strong> un elemento cuadrilátero <strong>de</strong> 4 nodos para estados planos (problemas<br />
bidimensionales)<br />
120
6.8.1. <strong>Funciones</strong> <strong>de</strong> interpolación, geometría y <strong>de</strong>splazamientos<br />
Lo primero que haremos será recordar el elemento maestro <strong>de</strong>finido por un cuadrado <strong>de</strong> lado 2<br />
centrado en el origen, sobre el que se <strong>de</strong>finen dos coor<strong>de</strong>nadas locales (ξ, η). Sobre este cuadrado<br />
resulta sencillo <strong>de</strong>finir funciones <strong>de</strong> interpolación que satisfagan los requisitos pedidos. Para ello<br />
utilizaremos los polinomios <strong>de</strong> Lagrange <strong>de</strong> grado 1 (que tienen la característica <strong>de</strong> valer 1 en el<br />
punto al que esta asociado el polinomio y 0 en el resto <strong>de</strong> los puntos que lo <strong>de</strong>finen) que tienen la<br />
forma indicada en la figura<br />
L 1 = 1 (1 − ξ)<br />
2<br />
L2 = 1 (1 + ξ)<br />
2<br />
Como explicáramos antes el producto <strong>de</strong> los polinomios <strong>de</strong> Lagrange expresadas en ambas<br />
coor<strong>de</strong>nadas locales permite obtener las 4 funciones <strong>de</strong> interpolación<br />
φ 1 = 1 (1 − ξ)(1 − η)<br />
4<br />
φ 2 = 1 (1 + ξ)(1 − η)<br />
4<br />
φ 3 = 1 (1 + ξ)(1 + η)<br />
4<br />
φ 4 = 1 (1 − ξ)(1 + η)<br />
4<br />
Tales que se satisface que φ ( I ξ J , η J) = δ IJ , y a<strong>de</strong>más son continuas y lineales a lo largo <strong>de</strong>l<br />
contorno.<br />
Po<strong>de</strong>mos ahora <strong>de</strong>finir la geometría <strong>de</strong>l elemento a partir <strong>de</strong> las coor<strong>de</strong>nadas <strong>de</strong> los nodos. Esto<br />
es establecer una correspon<strong>de</strong>ncia entre las coor<strong>de</strong>nadas locales (ξ, η) y las coor<strong>de</strong>nadas físicas<br />
(x 1 , x 2 )<br />
4∑<br />
x (ξ, η) = φ I (ξ, η) x I<br />
I=1<br />
Existirá una relación biunívoca entre (x 1 , x 2 ) y (ξ, η) si y sólo si el <strong>de</strong>terminante <strong>de</strong> la matriz<br />
<strong>de</strong> la transformación (jacobiana) es positivo en todo punto.<br />
⎡<br />
⎢<br />
J = ⎣<br />
∂x 1<br />
∂ξ<br />
∂x 1<br />
∂x 2<br />
∂ξ<br />
∂x 2<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
∂η ∂η<br />
Si el <strong>de</strong>terminante <strong>de</strong> J es positivo en todo punto, lo que ocurrirá siempre que todos los ángulos<br />
internos <strong>de</strong>l cuadrilátero sean menores que π, es posible calcular la matriz inversa<br />
⎡<br />
J −1 ⎢<br />
= ⎣<br />
∂ξ<br />
∂x 1<br />
∂ξ<br />
∂η<br />
∂x 1<br />
∂η<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
∂x 2 ∂x 2<br />
Para los <strong>de</strong>splazamientos usaremos la misma aproximación, es <strong>de</strong>cir las mismas funciones <strong>de</strong><br />
interpolación<br />
4∑<br />
u (ξ, η) = φ I (ξ, η) u I<br />
I=1<br />
121
que en forma <strong>de</strong>sarrollada po<strong>de</strong>mos escribir<br />
[<br />
u1<br />
] [<br />
φ<br />
1<br />
=<br />
u 2<br />
]<br />
φ 2 φ 3 φ 4<br />
φ 1 φ 2 φ 3 φ 4 ⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
u 1 1<br />
u 1 2<br />
u 2 1<br />
u 2 2<br />
u 3 1<br />
u 3 2<br />
u 4 1<br />
u 4 2<br />
⎤<br />
= Φ u e<br />
⎥<br />
⎦<br />
En un estado plano <strong>de</strong> tensión o <strong>de</strong>formación las <strong>de</strong>formaciones que interesan son:<br />
⎡<br />
ε = ⎣<br />
⎤ ⎡<br />
ε 11<br />
ε 22<br />
⎦ = ⎣<br />
2ε 12<br />
∂u 1<br />
∂x 1<br />
∂u 2<br />
∂x 2<br />
∂u 1<br />
∂x 2<br />
+ ∂u 2<br />
∂x 1<br />
⎤<br />
⎦<br />
Notemos que<br />
∂ ( )<br />
= ∂ ( ) ∂ξ<br />
+ ∂ ( ) ∂η<br />
∂x 1 ∂ξ ∂x 1 ∂η ∂x 1<br />
luego [ ]<br />
∂( )<br />
∂x 1<br />
∂( )<br />
∂x 2<br />
En consecuencia si queremos calcular<br />
[ ∂( )<br />
= J −1 ∂ξ<br />
∂( )<br />
∂η<br />
]<br />
∂u i<br />
∂x j<br />
=<br />
4∑<br />
I=1<br />
∂φ I<br />
∂x j<br />
u I i<br />
para lo cual necesitamos las ∂φI<br />
∂x j<br />
[<br />
∂φ<br />
I<br />
]<br />
∂x 1<br />
∂φ I<br />
∂x 2<br />
que po<strong>de</strong>mos calcular mediante la regla <strong>de</strong> la ca<strong>de</strong>na<br />
[ ]<br />
∂φ I<br />
[ ]<br />
]<br />
= J −1 ∂ξ<br />
φ<br />
I<br />
′ 1<br />
≡<br />
∂φ I<br />
∂η<br />
φ I′ 2<br />
= J −1 [ φ<br />
I<br />
′ ξ<br />
φ I′ η<br />
6.8.2. Cálculo <strong>de</strong> la matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z elemental<br />
Reemplazando la anteúltima expresión en las <strong>de</strong>formaciones, estas se pue<strong>de</strong>n escribir<br />
ε =<br />
⎡<br />
⎣ ε ⎤<br />
11<br />
ε 22<br />
⎦ =<br />
2ε 12<br />
⎡<br />
⎣<br />
φ 1′ 1 φ 2′ 1 φ 3′ 1 φ 4′ 1<br />
φ 1′ 2 φ 2′ 2 φ 3′ 2 φ 4′ 2<br />
φ 1′ 2 φ 1′ 1 φ 2′ 2 φ 2′ 1 φ 3′ 2 φ 3′ 1 φ 4′ 2 φ 4′ 1<br />
} {{ }<br />
B(ξ,η)<br />
⎤<br />
⎦u e = B u e<br />
En un Estado <strong>de</strong> Tensión Plana las ecuaciones constitutivas lineales para un material elástico<br />
e isótropo son:<br />
⎡ ⎤ ⎡<br />
⎤ ⎡ ⎤<br />
σ 11<br />
σ = ⎣ σ 22<br />
⎦ =<br />
E 1 ν ε 11<br />
⎣ ν 1 ⎦ ⎣ ε 22<br />
⎦ = D ε<br />
1 + ν<br />
σ 12 2ε 12<br />
Siguiendo el procedimiento <strong>de</strong>scripto anteriormenete la matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z elemental se obtiene<br />
como la integral<br />
∫<br />
K e = B T (ξ, η) D B (ξ, η) dv<br />
122<br />
v<br />
1−v<br />
2
Siendo todas las variables constantes en el espesor h entonces<br />
∫<br />
∫<br />
( ) dv = h ( ) dA<br />
v<br />
La matriz B es función <strong>de</strong> (ξ, η) luego resulta necesario cambiar las variables <strong>de</strong> integración,<br />
para ello es necesario reconocer que dA = |J| dξ dη , reemplazando y cambiando los límites <strong>de</strong><br />
integración correspondientes resulta<br />
K e = h<br />
∫ 1 ∫ 1<br />
−1<br />
−1<br />
A<br />
B T (ξ, η) D B (ξ, η) |J| dξ dη<br />
En general la matriz J cambia <strong>de</strong> punto a punto (salvo que el cuadrilátero sea un paralelepípedo)<br />
por lo que el <strong>de</strong>terminante |J| y B serán variables. Esto hace imposible evaluar la integral en forma<br />
explícita por lo que es necesario recurrir a técnicas <strong>de</strong> integración numérica para el cálculo <strong>de</strong> K e ,<br />
en general para un elemento bilineal será necesario y suficiente usar una regla <strong>de</strong> integración <strong>de</strong><br />
2 × 2 puntos<br />
6.8.3. Cálculo <strong>de</strong> las fuerzas nodales equivalentes<br />
Supongamos un valor uniforme <strong>de</strong> la fuerza másica en la dirección −x 2 .<br />
[ ]<br />
0<br />
F =ρg<br />
−1<br />
∫<br />
v<br />
δu F dv = δu T e<br />
hρg<br />
∫ 1 ∫ 1<br />
−1<br />
−1<br />
Φ T [ 0<br />
−1<br />
Pue<strong>de</strong> verse que el vector <strong>de</strong> fuerzas másicas resulta<br />
]<br />
|J| dξ dη = δu T e<br />
G e<br />
∫ 1<br />
∫ 1<br />
[<br />
G e = −ρgh 0 φ<br />
1<br />
−1 −1<br />
0 φ 2 0 φ 3 0 φ 4 ] T<br />
|J| dξ dη<br />
6.9. Problemas <strong>de</strong> convección-difusión<br />
Analicemos ahora un problema con un operador diferencial que no es auto-adjunto. La aplicación<br />
<strong>de</strong>l método <strong>de</strong> <strong>residuos</strong> pon<strong>de</strong>rados sobre la ecuación diferencial <strong>de</strong> convección difusión<br />
conduce a<br />
∫<br />
∫<br />
ϕ [¯σ ν − ρuφ · ν] dS σ +<br />
S σ<br />
Utilizando una aproximación<br />
φ =<br />
ϕ =<br />
NN∑<br />
I=1<br />
NN∑<br />
I=1<br />
A<br />
∫<br />
ϕ (ρu) · ∇φdA +<br />
⎡<br />
N I (ξ, η) φ I = [ N 1 , ..., N NN] ⎣<br />
⎡<br />
W I (ξ, η) ϕ I = [ W 1 , ..., W NN] ⎣<br />
A<br />
∫<br />
∇ϕ · Γ∇φ dA +<br />
φ 1<br />
...<br />
φ NN<br />
ϕ1<br />
...<br />
ϕ NN<br />
⎤<br />
⎦ = NΦ<br />
⎤<br />
A<br />
⎦ = WΨ<br />
ϕqdA = 0<br />
Don<strong>de</strong> habitualmente en este tipo <strong>de</strong> problemas no se adopta la aproximación <strong>de</strong> Galerkin<br />
(N I = W I ). En el contorno S φ se ha impuesto como siempre que la solución propuesta satisface<br />
i<strong>de</strong>nticamente φ = ¯φ y consecuentemente allí ϕ = 0, <strong>de</strong> tal forma que la integral sobre el contorno<br />
sólo aparece la parte don<strong>de</strong> se conoce el flujo<br />
∫<br />
S σ<br />
ϕ [¯σ ν − ρuφ · ν] dS σ<br />
123
con<br />
El gradiente <strong>de</strong> la variable incógnita φ y <strong>de</strong> la función <strong>de</strong> pon<strong>de</strong>ración se escribe<br />
[ ] ⎡ ⎤<br />
N<br />
1<br />
′ 1<br />
... N<br />
∇φ =<br />
NN φ 1 [ ] [ ]<br />
′ 1 ⎣<br />
N 1<br />
′ 2 ... N NN ... ⎦<br />
N′ 1<br />
= Φ = J −1 N′ ξ<br />
Φ<br />
′ 2<br />
φ NN N′ 2<br />
N′ η<br />
∇ϕ =<br />
[ W<br />
1<br />
′ 1<br />
... W NN<br />
′ 1<br />
W 1<br />
′ 2 ... W NN<br />
′ 2<br />
] ⎡ ⎣<br />
W NN<br />
NN×1<br />
′ 1 W 1<br />
′ 2<br />
ϕ 1<br />
...<br />
ϕ NN<br />
⎤<br />
⎦ =<br />
[<br />
W′ 1<br />
W′ 2<br />
]<br />
Ψ = J −1 [<br />
W′ ξ<br />
Las integrales sobre el dominio <strong>de</strong> los términos convectivo y difusivo toman la forma<br />
⎡ ⎤<br />
⎡<br />
∫<br />
ρ [ ϕ 1 , ..., ϕ NN] W 1<br />
[ ]<br />
[ ]<br />
⎣ ... ⎦<br />
N<br />
1<br />
′ 1<br />
... N<br />
u1 u NN φ 1<br />
′ 1<br />
1×NN<br />
2<br />
⎣<br />
1×2<br />
A<br />
N 1<br />
′ 2 ... N NN<br />
...<br />
′ 2 2×NN φ NN<br />
∫<br />
[<br />
+ ϕ 1 , ..., ϕ NN] 1×NN<br />
A<br />
⎡<br />
W 1<br />
⎣ ... ...<br />
W NN<br />
′ 1 W NN<br />
′ 2<br />
⎤<br />
⎦<br />
NN×2<br />
[<br />
Γ11 Γ 12<br />
o en forma compacta<br />
∫<br />
{<br />
Ψ T ρW T u T + [ W T′ 1 , }<br />
2] [ Γ N′ 1<br />
WT′<br />
A<br />
C =<br />
D =<br />
∫<br />
∫<br />
A<br />
A<br />
Γ 21 Γ 22<br />
]2×2<br />
N′ 2<br />
ρW T u T [<br />
N′ 1<br />
N′ 2<br />
W′ η<br />
]<br />
Ψ<br />
[ N<br />
1<br />
′ 1<br />
... N NN<br />
′ 1<br />
N 1<br />
′ 2 ... N NN<br />
′ 2<br />
]<br />
dA Φ = Ψ T [C + D] Φ<br />
]<br />
dA<br />
[<br />
W<br />
T<br />
′ 1 , WT′ 2]<br />
Γ<br />
[<br />
N′ 1<br />
N′ 2<br />
]<br />
dA<br />
]<br />
⎤<br />
⎦<br />
2×NN<br />
NN×1<br />
Notar que aunque se utilice la aproximación <strong>de</strong> Galerkin, el término convectivo conduce a una<br />
matriz <strong>de</strong> coeficientes no simétrica. La asimetría si bien representa un mayor costo computacional,<br />
no es un problema importante, el mayor problema se da en los problemas fuertemente convectivos<br />
(C dominante) que presentan gran<strong>de</strong>s inestabilida<strong>de</strong>s numéricas.<br />
El término <strong>de</strong>bido a fuentes internas (q) admite múltiples aproximaciones, la más sencilla es<br />
suponer que <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> un elemento el valor es constante, en tal caso la integral resulta<br />
∫<br />
∫<br />
ϕqdA = Ψ T W T dA q<br />
A<br />
Una segunda posibilidad es interpolar el valor <strong>de</strong> q en la misma forma que φ, en tal caso<br />
⎡<br />
q = N ⎣<br />
q1<br />
...<br />
q NN<br />
⎤<br />
⎦<br />
don<strong>de</strong> q I es el valor <strong>de</strong> la fuente interna (distribuida) en el nudo I , luego<br />
⎡ ⎤<br />
∫<br />
∫<br />
ϕqdA = Ψ T W T N ⎣<br />
q1<br />
... ⎦ dA<br />
A<br />
A<br />
q NN<br />
Interpolaciones <strong>de</strong> mayor or<strong>de</strong>n para el término <strong>de</strong> fuente no tienen mucho sentido. Finalmente<br />
si lo que existe es una fuente puntual Q, lo más sencillo es hacer coincidir un nudo <strong>de</strong> la malla<br />
124<br />
A<br />
⎡<br />
⎣<br />
dA<br />
φ 1<br />
...<br />
φ NN<br />
⎤<br />
⎦<br />
NN×
(el I por ejemplo) con dicha fuente puntual, <strong>de</strong> tal forma que el término correspondiente resulta<br />
sencillamente<br />
ϕ I Q<br />
La integral sobre el contorno pue<strong>de</strong> dividirse en dos partes<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
ϕ [¯σ ν − ρuφ · ν] dS σ = ϕ¯σ ν dS σ − ϕρφ u · ν dS σ<br />
S σ S σ S σ<br />
Las aproximaciones sobre el contorno <strong>de</strong> φ, ϕ, u, resultan <strong>de</strong> particularizar las aproximaciones<br />
sobre el dominio <strong>de</strong> cada elemento al contorno correspondiente. Recordar que las funciones <strong>de</strong><br />
forma utilizadas conducen a que el valor <strong>de</strong> las variables <strong>de</strong>penda sólo <strong>de</strong> las variables sobre el<br />
contorno.<br />
En el primer término aparecen todos valores conocidos, <strong>de</strong>finido el flujo ¯σ ν su integral es inmediata<br />
y contribuye al término in<strong>de</strong>pendiente. El segundo término implica valores <strong>de</strong> la incógnita<br />
<strong>de</strong>l problema, por lo cual contribuye a la matriz <strong>de</strong> coeficientes <strong>de</strong>l problemas, este término resulta<br />
∫<br />
− ϕρφ u · ν dS σ = −Ψ<br />
∫S T (ρu · ν) W T N dS σ Φ<br />
σ S σ<br />
El término entre paréntesis no es otra cosa que el flujo <strong>de</strong> masa a través <strong>de</strong>l contorno.<br />
Particularizado para el caso <strong>de</strong> elementos lineales, don<strong>de</strong> cada contorno elemental está formado<br />
por una segmento <strong>de</strong> dos nudos, localmente los <strong>de</strong>signaremos con 1 y 2, <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas x 1 y x 2 ,<br />
en los cuales los valores <strong>de</strong>l flujo y la velocidad son respectivamente ¯σ 1 ν u 1 y ¯σ 2 ν u 2 . El or<strong>de</strong>n en<br />
que se <strong>de</strong>finen los nudos 1 y 2 supone que al moverse <strong>de</strong>l nudo 1 al 2 el dominio <strong>de</strong>l problema está<br />
a la izquierda, esto conduce a que<br />
l = ∥ ∥x 2 − x 1∥ ∥<br />
ν = x2 − x 1<br />
Las aproximaciones (lineales) sobre el contorno son (con ξ en [0,1])<br />
φ = (1 − ξ) φ 1 + ξφ 2<br />
u ν = (1 − ξ) ( u 1 · ν ) + ξ ( u 2 · ν )<br />
¯σ ν = (1 − ξ) ¯σ 1 ν + ξ¯σ2 ν<br />
ϕ = ¯W 1 (ξ) ϕ 1 + ¯W 2 (ξ) ϕ 2<br />
l<br />
Luego la integral <strong>de</strong>l primer término resulta<br />
ϕ¯σ ν dS σ =<br />
∫S [ ϕ 1 , ϕ 2] ∫ 1<br />
[ ]<br />
[ ¯W<br />
1<br />
¯σ<br />
1<br />
σ<br />
¯W 2 [(1 − ξ) , ξ] ν<br />
¯σ 2 ν<br />
0<br />
]<br />
l dξ<br />
y la <strong>de</strong>l segundo<br />
− ϕρφ u · ν dS σ = −<br />
∫S [ ϕ 1 , ϕ 2] ∫ 1<br />
ρ [ ] [ ] ¯W<br />
(1 − ξ) u 1 ν + ξu 2 1<br />
ν<br />
σ 0<br />
¯W 2 [(1 − ξ) , ξ] l dξ<br />
[ φ<br />
1<br />
φ 2 ]<br />
125
126
<strong>Capítulo</strong> 7 Aspectos generales asociados a la<br />
implementación<br />
por F. Flores<br />
7.1. Generación <strong>de</strong> mallas<br />
En la mo<strong>de</strong>lización por elementos finitos, la tarea que más tiempo consume y la más costosa,<br />
correspon<strong>de</strong> a la generación <strong>de</strong>l conjunto <strong>de</strong> datos necesarios para <strong>de</strong>scribir al mo<strong>de</strong>lo. Esto es así<br />
porque requiere <strong>de</strong>l tiempo <strong>de</strong>l analista que en general es caro frente al costo computacional, que<br />
ha bajado en forma vertiginosa en la última década dada la alta velocidad <strong>de</strong> proceso y el fácil<br />
acceso a la memoria central con que cuentan las computadoras actuales.<br />
En general la mayoría <strong>de</strong> los programas <strong>de</strong> elementos finitos (PEFs) han sido diseñados para<br />
leer los datos <strong>de</strong>l mo<strong>de</strong>lo en forma or<strong>de</strong>nada y con una estructura (sintaxis) no muy flexible <strong>de</strong>s<strong>de</strong><br />
un fichero ASCII. La mayoría <strong>de</strong> los PEFs no tienen opciones <strong>de</strong> generación <strong>de</strong> mallas, y cuando<br />
las tienen son muy limitadas y sencillas. En general para la <strong>de</strong>finición geométrica <strong>de</strong>l mo<strong>de</strong>lo<br />
se utilizan programas específicos para tal fin (similares a sistemas CAD en muchos aspectos) y<br />
luego esos mismos programas presentan un menú <strong>de</strong> opciones que permitan trasladar el mo<strong>de</strong>lo<br />
generado a un archivo ASCII que pueda ser leido por el PEF propiamente dicho. Muchos <strong>de</strong> estos<br />
programas <strong>de</strong> generación <strong>de</strong> datos tienen la suficiente flexibilidad como para que el usuario indique<br />
como <strong>de</strong>ben ser presentados estos datos para que puedan ser correctamente leidos por el PEF.<br />
Actualmente muchos PEFs presentan un ambiente <strong>de</strong> trabajo integrado para generar el mo<strong>de</strong>lo,<br />
para realizar el análisis por elementos finitos y visualizar los resultados, lo que se presenta como<br />
un único programa, sin embargo esto no es así internamente, en general las distintas partes <strong>de</strong> los<br />
paquetes están <strong>de</strong>sarrolladas por grupos diferentes.<br />
Dado el alto grado <strong>de</strong> avance que han logrado los PEFs para resolver problemas multifísica,<br />
ha resultado imprescindible el <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> interfaces suficientemente inteligentes que permitan a<br />
usuarios no muy calificados <strong>de</strong>sarrollar, <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> un ambiente amigable y con muchas facilida<strong>de</strong>s,<br />
el mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong>seado. De esta forma algunos PEFs <strong>de</strong>nominados <strong>de</strong> Propósito General, es <strong>de</strong>cir que<br />
pue<strong>de</strong>n resolver problemas muy variados (<strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> digamos el área <strong>de</strong> mecánica <strong>de</strong> sólidos),<br />
pue<strong>de</strong>n tener más <strong>de</strong> una interfaz <strong>de</strong> acuerdo al tipo <strong>de</strong> problema que se esté intentando mo<strong>de</strong>lar.<br />
La necesidad <strong>de</strong> la existencia <strong>de</strong> una interfaz suficientemente inteligente, está no sólo asociada a la<br />
generación <strong>de</strong> la malla, si no a presentar las mejores opciones <strong>de</strong> los parámetros que gobiernan el<br />
mo<strong>de</strong>lo numérico. Esto es particularmente cierto en procesos no-lineales u otros procesos complejos,<br />
que requieren el ajuste <strong>de</strong> un conjunto <strong>de</strong> valores, lo cual requeriría por parte <strong>de</strong>l usuario un<br />
conocimiento <strong>de</strong> los algoritmos y una especialización no muy comunes en un usuario medio.<br />
En problemas complejos suelen haber distintos “dominios” ligados entre sí, por ejemplo si<br />
interesa estudiar el comportamiento completo <strong>de</strong> la estructura <strong>de</strong> un edificio, esto pue<strong>de</strong> abarcar<br />
la combinación <strong>de</strong> diferentes medios, con diferentes mo<strong>de</strong>los <strong>de</strong> comportamiento. Así por ejemplo<br />
pue<strong>de</strong> ser necesario incluir el suelo, la estructura <strong>de</strong> hormigón, la cual pue<strong>de</strong> estar formada por<br />
elementos <strong>de</strong> viga y tabiques que pue<strong>de</strong> ser necesario mo<strong>de</strong>lar como láminas, los entrepisos, que<br />
pue<strong>de</strong>n consi<strong>de</strong>rarse como flexibles o rígidos, los cerramientos laterales en caso <strong>de</strong> que quiera<br />
estudiarse su influencia en el comportamiento, etc. El mo<strong>de</strong>lado requieren entonces dividir al objeto<br />
en estudio en sus distintas partes, <strong>de</strong>finir claramente cada una <strong>de</strong> ellas, <strong>de</strong>scribir su comportamiento<br />
material, discretizar (mallar) cada parte y luego unir coherentemente las mismas. Para cada parte,<br />
en general asociada a un único material constitutivo, se siguen en general las siguientes etapas:<br />
1. Descripción <strong>de</strong> la geometría. Esto es similar a cualquier sistema CAD.<br />
127
a) se empieza por la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> puntos,<br />
b) se sigue con la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> líneas y/o curvas para lo cual se utilizan como referencia los<br />
puntos previos<br />
c) luego se <strong>de</strong>finen planos y/o superficies cuyos contornos son las líneas o curvas <strong>de</strong>finidas<br />
previamente<br />
d) finalmente se <strong>de</strong>finen volúmenes <strong>de</strong>limitados por las superficies hasta entonces <strong>de</strong>scriptas.<br />
2. Para la imposición <strong>de</strong> condiciones <strong>de</strong> contorno, sean esenciales o naturales, se <strong>de</strong>finen puntos,<br />
líneas o superficies don<strong>de</strong> se vayan a imponer tales condiciones. También aquí es necesario<br />
consi<strong>de</strong>rar como cada parte se va a unir con otras partes <strong>de</strong>l mo<strong>de</strong>lo global, para satisfacer<br />
condiciones <strong>de</strong> compatibilidad.<br />
3. Se elige un tipo <strong>de</strong> elemento finito a<strong>de</strong>cuado (Por ejemplo en problemas 2-D, pue<strong>de</strong>n ser<br />
triángulos o cuadriláteros, lineales, cuadráticos, etc.)<br />
4. Se indica el tamaño <strong>de</strong> los elementos que se quiere utilizar. Este tamaño pue<strong>de</strong> ser uniforme<br />
o no, en general <strong>de</strong>ben usarse elementos más pequeños don<strong>de</strong> se esperan mayores gradientes,<br />
y pue<strong>de</strong>n usarse discretizaciones más gruesas don<strong>de</strong> los gradientes son menores. Esto por<br />
supuesto requiere por parte <strong>de</strong>l usuario un criterio basado en el conocimiento ‘a priori’ <strong>de</strong>l<br />
comportamiento <strong>de</strong> lo que se quiere mo<strong>de</strong>lar, <strong>de</strong> forma que pueda indicar en los distintos<br />
puntos valores razonables para el tamaño <strong>de</strong> los elementos<br />
5. Finalmente el generador <strong>de</strong> malla en función <strong>de</strong>l tipo <strong>de</strong> elemento y la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong>l tamaño<br />
<strong>de</strong> los elementos proce<strong>de</strong> a discretizar el dominio. Los procesos <strong>de</strong> mallado siguen la misma<br />
secuencia <strong>de</strong> la <strong>de</strong>finición geométrica, empiezan discretizando las curvas (respetando la posición<br />
<strong>de</strong> los puntos específicamente <strong>de</strong>scriptos), luego discretizan las superficies (para lo cual<br />
ya disponen <strong>de</strong> las discretizaciones <strong>de</strong> sus contornos) y finalmente discretizan los volúmenes<br />
encerrados por las superficies.<br />
El traspaso <strong>de</strong> los datos <strong>de</strong>l mallador al PEF implica básicamente tres aspectos asociados a la<br />
topología <strong>de</strong> la malla y las condiciones <strong>de</strong> contorno:<br />
128<br />
las coor<strong>de</strong>nadas <strong>de</strong> cada nudo necesario para la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong>l mo<strong>de</strong>lo, a cada nudo <strong>de</strong>be<br />
asignársele una etiqueta (un número)<br />
las conectivida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> los elementos, es <strong>de</strong>cir cuales son los nudos (sus etiquetas o números)<br />
que <strong>de</strong>finen cada elemento (el que a su vez también se etiqueta). El or<strong>de</strong>n en que dan estos<br />
nudos es importante, cada tipo <strong>de</strong> elemento requiere un or<strong>de</strong>n especial. Por ejemplo si se trata<br />
<strong>de</strong> un cuadrilátero, si tiene 4 nudos (sus vértices), estos <strong>de</strong>ben darse siguiendo el perímetro<br />
<strong>de</strong>l mismo en sentido antihorario. No tiene habitualmente importancia con cual se empieza<br />
, pero sí su or<strong>de</strong>n. Si el elemento fuese un cuadrilátero <strong>de</strong> 8 nudos (vértices y nudos sobre<br />
los lados), hay distintas posibilida<strong>de</strong>s (lo cual está <strong>de</strong>finido en el manual <strong>de</strong> usuario y <strong>de</strong>be<br />
consultarse este), podría ser que se dieran los 8 nudos en sentido antihorario en la forma que<br />
aparecen empezando por un vértice, o podría ser que primero <strong>de</strong>ban entrarse los vértices y<br />
luego los medios (empezando por el que está entre los primeros dos vértices)<br />
los puntos sobre los que se han impuesto condiciones <strong>de</strong> contorno esenciales (<strong>de</strong>splazamientos<br />
o velocida<strong>de</strong>s en problemas <strong>de</strong> mecánica <strong>de</strong> sólidos) indicando las condiciones asociadas. Los<br />
puntos, líneas o superficies con condiciones naturales (fuerzas puntuales, <strong>de</strong> línea o presiones<br />
respectivamente, en problemas <strong>de</strong> mecánica <strong>de</strong> sólidos)
7.2. Imposición <strong>de</strong> restricciones nodales<br />
En esta sección intentaremos mostrar como imponer condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> esenciales <strong>de</strong> una<br />
cierta generalidad. Si bien hablamos <strong>de</strong> “condiciones <strong>de</strong> contorno” las técnicas que se <strong>de</strong>scriben<br />
correspon<strong>de</strong>n al tratamiento <strong>de</strong> restricciones cinemáticas que pue<strong>de</strong>n tener interpretaciones más<br />
generales, y permiten imponer hasta hipótesis <strong>de</strong> comportamiento en el mo<strong>de</strong>lo. Supondremos que<br />
esta condición pue<strong>de</strong> escribirse <strong>de</strong> la siguiente forma:<br />
u k = ū k + ∑ i≠k<br />
a i u i (7.1)<br />
esta expresión dice que un grado <strong>de</strong> libertad genérico u k pue<strong>de</strong> escribirse como una constante ū k<br />
más una combinación lineal <strong>de</strong> otros grados <strong>de</strong> libertad (don<strong>de</strong> por supuesto no aparece el grado<br />
<strong>de</strong> libertad u k ) a través <strong>de</strong> coeficientes a i (que eventualmente pue<strong>de</strong>n ser 0 la mayoría o todos<br />
ellos). Este tipo <strong>de</strong> restricción pue<strong>de</strong> representar muchos casos prácticos entre ellos:<br />
Desplazamiento prescripto <strong>de</strong> valor ū k (a i = 0 en tal caso)<br />
Apoyos que no coinci<strong>de</strong>n con las direcciones <strong>de</strong>l sistema global <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas.<br />
Nudos maestros<br />
Mo<strong>de</strong>lado <strong>de</strong> dominios con simetría cíclica.<br />
Unión <strong>de</strong> elementos finitos con distintos grados <strong>de</strong> interpolación en el contorno o con diferentes<br />
grados <strong>de</strong> libertad.<br />
Articulaciones en pórticos<br />
Rigidizadores <strong>de</strong> láminas<br />
En la expresión que <strong>de</strong>fine la restricción (7.1) si introducimos un coeficiente a k = −1 la po<strong>de</strong>mos<br />
escribir<br />
ū k + ∑ a i u i = ū k + a · u = 0 (7.2)<br />
Existen diferentes formas <strong>de</strong> imponer este tipo <strong>de</strong> restricciones en el sistema <strong>de</strong> ecuaciones, con<br />
diferentes ventajas y <strong>de</strong>sventajas. Notemos antes que no es posible simplemente adicionar al sistema<br />
<strong>de</strong> ecuaciones existente esta nueva ecuación pues tendríamos más ecuaciones que incógnitas.<br />
7.2.1. Imposición exacta <strong>de</strong> la condición<br />
Dado que u k no resulta in<strong>de</strong>pendiente el problema pue<strong>de</strong> verse como <strong>de</strong> or<strong>de</strong>n n−1. De acuerdo<br />
a la formulación utilizada para obtener nuestro sistema <strong>de</strong> ecuaciones po<strong>de</strong>mos suponer que la<br />
función <strong>de</strong> pon<strong>de</strong>ración asociada, o el <strong>de</strong>splazamiento virtual, o la variación <strong>de</strong> <strong>de</strong>splazamiento<br />
tiene la misma <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ncia, es <strong>de</strong>cir<br />
v k = ∑ i≠k a iv i δu k = ∑ i≠k a iδu i<br />
a · v = 0 a · δu = 0<br />
El sistema <strong>de</strong> ecuaciones <strong>de</strong> que disponemos pue<strong>de</strong> escribirse<br />
v T K u − v T f = 0<br />
en forma <strong>de</strong>sarrollada<br />
⎧⎡<br />
⎤ ⎡ ⎤ ⎡<br />
k 11 ... k 1k ... k 1n u 1<br />
⎪⎨<br />
: :<br />
:<br />
[v 1 , ..., v k , ...v n ]<br />
⎢ k k1 ... k kk ... k kn<br />
⎥ ⎢ u k<br />
⎥<br />
⎣ : : ⎦ ⎣ : ⎦ − ⎢<br />
⎣<br />
⎪⎩<br />
k n1 ... k nk ... k nn u n<br />
⎤<br />
f 1<br />
:<br />
f k<br />
⎥<br />
: ⎦<br />
f n<br />
⎫<br />
⎪⎬<br />
= 0<br />
⎪⎭<br />
129
pero ahora v k y u k no son in<strong>de</strong>pendientes y po<strong>de</strong>mos reemplazarlos por su <strong>de</strong>finición anterior:<br />
⎧⎡<br />
⎤ ⎡<br />
⎤ ⎡ ⎤⎫<br />
k 11 ... k 1k ... k 1n<br />
u 1<br />
f 1<br />
[<br />
v 1 , ..., ∑ ] ⎪⎨<br />
: :<br />
:<br />
a i v i , ...v n ⎢ k k1 ... k kk ... k kn<br />
⎥ ⎢ ū k + ∑ i≠k a iu i<br />
⎥<br />
i≠k<br />
⎣ : : ⎦ ⎣ : ⎦ − :<br />
⎪⎬<br />
⎢ f k<br />
⎥ = 0<br />
⎣ : ⎦<br />
⎪⎩<br />
⎪⎭<br />
k n1 ... k nk ... k nn u n<br />
f n<br />
Si operamos sobre la expresión anterior, po<strong>de</strong>mos escribir<br />
⎧⎡<br />
⎤ ⎡<br />
¯k 11 ... ¯k1(k−1) ¯k1(k+1) ... ¯k1n<br />
⎪⎨<br />
: :<br />
[v 1 , ..., v k−1 , v k+1 , ...v n ]<br />
¯k (k−1)1 ... ¯k(k−1)(k−1) ¯k(k−1)(k+1) ¯k(k−1)n<br />
⎢<br />
¯k (k+1)1 ...<br />
¯k(k+1)(k−1)<br />
¯k(k+1)(k+1) ...<br />
¯k(k+1)n<br />
⎥ ⎢<br />
⎣ : : ⎦ ⎣<br />
⎪⎩<br />
k n1 ... ¯kn(k−1) ¯kn(k+1) ... k nn<br />
u 1<br />
:<br />
u k−1<br />
u k+1<br />
:<br />
u n<br />
⎤<br />
⎡<br />
−<br />
⎥ ⎢<br />
⎦ ⎣<br />
¯f 1<br />
:<br />
¯f k−1<br />
¯f k+1<br />
:<br />
¯f n<br />
⎤⎫<br />
⎪⎬<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎪⎭<br />
= 0<br />
que correspon<strong>de</strong> a un sistema <strong>de</strong> (n − 1) ecuaciones con (n − 1) incógnitas don<strong>de</strong> en forma explícita<br />
tenemos<br />
¯k ij = k ij + a i k kj + k ik a j + a i k kk a j<br />
¯f i = f i + a i f i − k ik ū k<br />
7.2.2. Técnica <strong>de</strong> penalización<br />
Esta técnica es muy utilizada porque requiere una lógica <strong>de</strong> programación más sencilla y si<br />
bien las restricciones no se imponen en forma exacta se pue<strong>de</strong> obtener resultados suficientemente<br />
buenos.<br />
Para darle una interpretación matemática sencilla, supongamos que nuestro sistema <strong>de</strong> ecuaciones<br />
resultó <strong>de</strong> la minimización <strong>de</strong>l siguiente funcional<br />
Π (u) = 1 2 uT K u − u T f<br />
Aumentemos este funcional con un término <strong>de</strong> la forma<br />
1<br />
2ǫ (ū k + a · u) 2<br />
que no es otra cosa que la restricción elevada al cuadrado. Don<strong>de</strong> ǫ es un valor constante suficientemente<br />
pequeño (coeficiente <strong>de</strong> penalización) <strong>de</strong> forma tal que si ahora escribimos un funcional<br />
aumentado<br />
ˆΠ (u) = 1 2 uT K u − u T f + 1 2ǫ (ū k + a · u) 2<br />
la minimización <strong>de</strong> este nuevo funcional conducirá a la solución <strong>de</strong> nuestro problema. El grado<br />
<strong>de</strong> cumplimiento <strong>de</strong> la restricción impuesta <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>rá <strong>de</strong>l valor <strong>de</strong> ǫ. Cuando este valor tien<strong>de</strong> a<br />
0, un mínimo incumplimiento <strong>de</strong> la restricción incrementa notoriamente el valor <strong>de</strong> ˆΠ, por lo que<br />
la condición <strong>de</strong> mínimo está gobernada por la primera parte <strong>de</strong>l funcional. Por otra parte valores<br />
muy pequeños <strong>de</strong> ǫ (y en consecuencia muy gran<strong>de</strong>s <strong>de</strong> su inversa) pue<strong>de</strong>n producir problemas<br />
numéricos <strong>de</strong>bido a la precisión <strong>de</strong> las computadoras. La condición <strong>de</strong> mínimo resulta ahora<br />
si el nuevo sistema se escribe<br />
130<br />
∂ ˆΠ (u)<br />
∂u i<br />
=<br />
n∑<br />
j=1<br />
k ij u j − f i + a i<br />
ǫ<br />
¯K u = ¯f<br />
[<br />
ū k +<br />
]<br />
n∑<br />
a j u j = 0<br />
j=1
entonces<br />
¯k ij = k ij + 1 ǫ a ia j<br />
¯f i = f i − a i<br />
ǫ ūk<br />
El caso sencillo <strong>de</strong> un <strong>de</strong>splazamiento prescripto u k = ū k conduce a los siguientes cambios<br />
¯k kk = k kk + 1 ǫ<br />
¯f k = f k + ūk<br />
ǫ<br />
Notar que en este caso el sistema <strong>de</strong> ecuaciones se mantiene <strong>de</strong> or<strong>de</strong>n n.<br />
7.2.3. Método <strong>de</strong> multiplicadores <strong>de</strong> Lagrange<br />
Una tercera posibilidad muy utilizada es la siguiente: agregar al sistema <strong>de</strong> ecuaciones inicial<br />
la ecuación <strong>de</strong> restricción e incluir una nueva variable <strong>de</strong> forma <strong>de</strong> igualar número <strong>de</strong> ecuaciones<br />
((n + 1) ahora) con el número <strong>de</strong> incógnitas. Para ello similarmente al caso anterior agreguemos<br />
al funcional Π (u) un término <strong>de</strong> la forma:<br />
luego el funcional aumentado es ahora<br />
λ (ū k + a · u)<br />
ˆΠ (u, λ) = 1 2 uT K u − u T f + λ (ū k + a · u)<br />
La nueva variable incorporada λ se conoce en la literatura como “multiplicador <strong>de</strong> Lagrange”<br />
ya que multiplica a la ecuación <strong>de</strong> restricción y muchas veces es posible asignarle una interpretación<br />
física (por ejemplo es la reacción en el caso <strong>de</strong> un <strong>de</strong>splazamiento prescripto). El nuevo sistema <strong>de</strong><br />
ecuaciones resulta ahora <strong>de</strong><br />
∂ ˆΠ (u, λ)<br />
∂u i<br />
=<br />
∂ ˆΠ (u, λ)<br />
∂λ<br />
n∑<br />
k ij u j − f i + λa i = 0<br />
j=1<br />
= ū k +<br />
n∑<br />
a j u j = 0<br />
La segunda ecuación no es otra cosa que la ecuación <strong>de</strong> restricción, por lo que la resolución <strong>de</strong>l<br />
sistema <strong>de</strong> ecuaciones la cumplirá en forma exacta. El sistema <strong>de</strong> ecuaciones sigue siendo simétrico,<br />
el costo adicional proviene <strong>de</strong> que hay una ecuación más y que esta tiene un cero en la diagonal, lo<br />
que pue<strong>de</strong> en algunos casos pue<strong>de</strong> traer problemas. El sistema resultante tiene entonces la siguiente<br />
forma<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
K<br />
a<br />
a T 0<br />
⎤ ⎡<br />
j=1<br />
⎥ ⎢<br />
⎦ ⎣ u λ<br />
⎤<br />
⎡<br />
⎥<br />
⎦ = ⎢<br />
⎣<br />
⎤<br />
f<br />
⎥<br />
⎦<br />
−ū k<br />
7.3. Una aplicación no-estándar<br />
En esta sección se mostrará como las i<strong>de</strong>as expresadas antes pue<strong>de</strong>n utilizarse con diferentes<br />
objetivos, obteniendo en forma consistente las modificaciones necesarias en la matriz <strong>de</strong> coeficientes<br />
y el término in<strong>de</strong>pendiente.<br />
131
Analicemos como pasar la matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z <strong>de</strong> una viga espacial <strong>de</strong> su sistema local al sistema<br />
global. Para realizar un cambio <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas entre dos sistemas es posible observar (ver figura)<br />
que las relaciones que ligan ambos sistemas tienen para cada nodo la forma<br />
ū i = R u i<br />
¯θ i = R θ i<br />
don<strong>de</strong> la matriz rotación R es<br />
R = [ t 1 t 3 t 3<br />
]<br />
Figura 1<br />
Cambio <strong>de</strong> sistema en una viga<br />
La matriz <strong>de</strong> transformación Λ resulta entonces <strong>de</strong><br />
⎡<br />
ū 1 ⎤ ⎡<br />
R<br />
ū e = ⎢<br />
¯θ 1<br />
⎥<br />
⎣ ū 2 ⎦ = ⎢ R<br />
⎣ R<br />
¯θ 2 R<br />
⎤ ⎡<br />
⎥ ⎢<br />
⎦ ⎣<br />
⎤<br />
u 1<br />
θ 1<br />
u 2<br />
θ 2<br />
⎥<br />
⎦ = Λ ue<br />
Las expresiones <strong>de</strong> cambio <strong>de</strong> la matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z y el vector <strong>de</strong> términos in<strong>de</strong>pendientes tienen<br />
la forma vista antes, es <strong>de</strong>cir:<br />
K = Λ T ¯K Λ f = Λ T ¯f<br />
Notar que la relación ū e = Λ u e pue<strong>de</strong> verse como doce relaciones <strong>de</strong> restricción <strong>de</strong> los grados<br />
<strong>de</strong> libertad en ū e en función <strong>de</strong> los grados <strong>de</strong> libertad en u e . La aplicación <strong>de</strong> la primera <strong>de</strong> las<br />
metodologías explicadas para tratar restricciones conduce a las mismas expresiones obtenidas aquí.<br />
Conceptualmente la misma i<strong>de</strong>a pue<strong>de</strong> aplicarse a otras condiciones o <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ncias. Veamos<br />
un ejemplo <strong>de</strong> características distintas. Sea la intersección ortogonal <strong>de</strong> un elemento <strong>de</strong> viga (horizontal)<br />
con otros dos verticales (columnas), <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> un pórtico plano<br />
La discretización habitual supone a los elementos unidos en la intersección <strong>de</strong> sus respectivos<br />
ejes baricéntricos. Obviamente esto no es así en la realidad. La utilización <strong>de</strong> la longitud <strong>de</strong> cada<br />
elemento como la distancia entre los nudos conduce a que<br />
1. se incluya más masa que la real al haber un solapamiento <strong>de</strong> los dominios (parte sombreada)<br />
2. la viga resulte más flexible <strong>de</strong>bido a que la longitud <strong>de</strong> cálculo L es mayor que la real.<br />
Supongamos que la rigi<strong>de</strong>z <strong>de</strong> las columnas es significativamente mayor que la <strong>de</strong> la viga, una<br />
mejora en la formulación consiste en evaluar las rigi<strong>de</strong>ces <strong>de</strong> las columnas usando la distancia<br />
entre nudos L y para las vigas usar como longitud <strong>de</strong> cálculo la distancia efectivamente libre<br />
132
Figura 2<br />
viga flexible entre columnas<br />
entre columna y columna. Llamemos como hasta ahora ¯K y ¯M las matrices <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z y masa<br />
<strong>de</strong>l elemento <strong>de</strong> viga usando la longitud efectiva L e , que estarán referidas a los <strong>de</strong>splazamientos<br />
(y giros) <strong>de</strong> los puntos ¯1 y ¯3 (ū 1 , ū 2 ). Des<strong>de</strong> el punto <strong>de</strong> vista operativo los nudos ¯1 y ¯3 son<br />
sólo auxiliares y no intervienen en el sistema <strong>de</strong> ecuaciones a resolver que sólo incluye los nodos<br />
ubicados en la intersección <strong>de</strong> los ejes <strong>de</strong> vigas y columnas. Resulta entonces necesario <strong>de</strong>terminar<br />
la relación que existe entre los <strong>de</strong>splazamientos <strong>de</strong> estos nudos ficticios y los <strong>de</strong> los nudos 1 y 2.<br />
Observemos en la siguiente figura como <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>n los <strong>de</strong>splazamientos <strong>de</strong>l nudo ¯1 <strong>de</strong> los <strong>de</strong>l<br />
nudo 1. Notar que por las hipótesis <strong>de</strong> Navier, la línea que une los nudos 1 y ¯1 se mantiene recta<br />
y normal a la curva <strong>de</strong>formada <strong>de</strong> la columna<br />
Figura 3<br />
relación entre grados <strong>de</strong> libertad<br />
En base a consi<strong>de</strong>raciones geométricas sencillas tenemos que<br />
ū 1 1 = u 1 1 + e1 ( cos β 1 − 1 )<br />
ū 1 2 = u 1 2 + e1 sin β 1<br />
en tanto que la hipótesis <strong>de</strong> pequeños <strong>de</strong>splazamientos y giros conduce a las siguientes relaciones<br />
lineales<br />
ū 1 1 = u 1 1<br />
ū 1 2 = u 1 2 + β1 e 1<br />
¯β 1 = β 1 133
En forma similar en el extremo opuesto tendremos las siguientes relaciones<br />
ū 2 1 = u 2 1<br />
ū 2 2 = u 2 2 − β2 e 2<br />
¯β 2 = β 2<br />
La matriz <strong>de</strong> transformación Λ resulta entonces<br />
⎡<br />
1<br />
1 e 1<br />
Λ =<br />
1<br />
⎢ 1<br />
⎣<br />
1 −e 2<br />
Notar que en este caso Λ no es ya una simple matriz <strong>de</strong> rotación y <strong>de</strong> hecho su inversa no es<br />
igual a su traspuesta.<br />
7.4. Solución <strong>de</strong>l sistema <strong>de</strong> ecuaciones<br />
La matriz <strong>de</strong> coeficientes K <strong>de</strong> los sistema <strong>de</strong> ecuaciones resultantes (K x = f) en el método<br />
<strong>de</strong> elementos finitos (en problemas autoadjuntos basados en la aproximación <strong>de</strong> Galerkin en el<br />
método <strong>de</strong> <strong>residuos</strong> pon<strong>de</strong>rados), normalmente goza <strong>de</strong> las siguientes propieda<strong>de</strong>s:<br />
1. Es simétrica k ij = k ji<br />
2. Está bien condicionada, por lo que no requiere <strong>de</strong> cuidados especiales en la resolución.<br />
3. Es <strong>de</strong>finida positiva x T K x > 0 ∀x ≠ 0<br />
4. Muchos <strong>de</strong> sus coeficientes son nulos, y los coeficientes no nulos forman una banda alre<strong>de</strong>dor<br />
<strong>de</strong> la diagonal<br />
La resolución <strong>de</strong> este sistema <strong>de</strong> ecuaciones pue<strong>de</strong> hacerse por métodos directos o iterativos<br />
(gradientes conjugados). Los directos están basados en el algoritmo <strong>de</strong> Gauss, consistente en convertir<br />
el sistema <strong>de</strong> ecuaciones a una forma triangular superior mediante operaciones <strong>de</strong> fila y una<br />
posterior substitución hacia atrás. Los métodos iterativos tienen mayor competencia en problemas<br />
tridimensionales con gran cantidad <strong>de</strong> coeficientes nulos (matrices ralas) y tienen la ventaja <strong>de</strong> que<br />
no requieren la construcción <strong>de</strong> la matriz, lo que pue<strong>de</strong> ser muy importante cuando no se dispone<br />
<strong>de</strong> suficiente memoria. Los métodos directos tienen la ventaja <strong>de</strong> que permiten resolver con el<br />
mismo esfuerzo computacional múltiples estados <strong>de</strong> carga y para el caso bidimensional resultan en<br />
general más económicos. En los métodos directos resulta <strong>de</strong> particular importancia la numeración<br />
<strong>de</strong> los grados <strong>de</strong> libertad <strong>de</strong>l problema, pues esto afecta a la <strong>de</strong>manda <strong>de</strong> memoria necesaria para<br />
almacenar la matriz K por un lado y por otro a la cantidad <strong>de</strong> operaciones necesaria para resolver<br />
el sistema. Esto es importante cuando se resuelven sistemas con gran cantidad <strong>de</strong> grados <strong>de</strong><br />
libertad o problemas no-lineales, por ello existen algoritmos que optimizan la numeración <strong>de</strong> las<br />
incógnitas a los fines <strong>de</strong> disminuir tanto la necesidad <strong>de</strong> almacenamiento como el tiempo necesario<br />
para resolver el sistema. Estos algoritmos <strong>de</strong> optimización están presentes en la mayoría <strong>de</strong> los<br />
códigos a este efecto y <strong>de</strong> tal forma que el usuario no tenga que preocuparse por como numerar<br />
los nudos.<br />
De los métodos directos el más utilizado es el <strong>de</strong> factorización que consiste en los siguiente:<br />
1. Descomponer la matriz K en factores<br />
K = L D U<br />
1<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
134<br />
don<strong>de</strong>
D Matriz diagonal (<strong>de</strong>finida positiva en este caso)<br />
{<br />
dii > 0<br />
d ij = 0 i ≠ j<br />
L Matriz triangular inferior {<br />
lii = 1<br />
l ij = 0 i < j<br />
U Matriz triangular superior {<br />
uii = 1<br />
u ij = 0 i > j<br />
que para el caso <strong>de</strong> K simétrica resulta U = L T<br />
2. Modificar el término in<strong>de</strong>pendiente mediante una substitución hacia a<strong>de</strong>lante<br />
(LDU) x = f<br />
(LD) (Ux) = f<br />
(LD) y = f<br />
en la última expresión el producto (LD) es una matriz triangular inferior y la obtención <strong>de</strong><br />
la variable intermedia y es inmediata mediante una substitución hacia a<strong>de</strong>lante.<br />
3. Resolver x mediante una substitución hacia atrás<br />
Ux = y<br />
En el caso que nos interesa ( U = L T ) el <strong>de</strong>talle <strong>de</strong> los pasos es el siguiente:<br />
1-Descomposición en factores<br />
k ij =<br />
n∑<br />
r=1<br />
l ir<br />
n∑<br />
d rs u sj =<br />
s=1<br />
i∑<br />
r=1<br />
l ir<br />
n∑<br />
d rs u sj<br />
los cambios en los límites <strong>de</strong> las sumatorias surgen <strong>de</strong> las características <strong>de</strong> L y U. Introduciendo<br />
ahora el hecho que D es diagonal y la simetría <strong>de</strong> la matriz u sj = l js , tenemos<br />
k ij =<br />
mín(i,j)<br />
∑<br />
r=1<br />
l ir d rr l jr<br />
Veamos como calcular los coeficientes l ir y d rr . Para ello tomemos la parte inferior <strong>de</strong> K es<br />
<strong>de</strong>cir i ≥ j , la expresión anterior pue<strong>de</strong> escribirse (l jj = 1)<br />
j−1<br />
∑<br />
k ij = l ij d jj + l ir d } {{ rr }<br />
r=1 g ir<br />
luego separando los casos en que los índices son iguales y cuando no lo son<br />
s=j<br />
l jr<br />
∑i−1<br />
i = j k ii = d ii + g ir l ir<br />
r=1<br />
j−1<br />
∑<br />
i > j k ij = l ij d jj + g ir l jr<br />
r=1<br />
135
Siguiendo ahora un or<strong>de</strong>n creciente para j primero (bucle externo <strong>de</strong> 1 a n) y para i <strong>de</strong>spués<br />
(interno <strong>de</strong> j a n) po<strong>de</strong>mos ir evaluando cada término <strong>de</strong> la factorización. Es <strong>de</strong>cir para la primera<br />
columna j = 1<br />
d 11 = k 11<br />
l i1 = k i1 /d 11<br />
para cada columna posterior j se conocen entonces todos los valores <strong>de</strong> d kk y l ik <strong>de</strong> las columnas<br />
anteriores (k < j). Po<strong>de</strong>mos escribir<br />
[<br />
]<br />
l ij = 1<br />
j−1<br />
∑<br />
k ij − g ik l jk<br />
d jj<br />
pero todavía no conocemos d jj por ello en vez <strong>de</strong> calcular l ij evaluemos primero para i <strong>de</strong> 1 a j − 1<br />
[<br />
]<br />
j−1<br />
∑<br />
g ij = l ij d jj = k ij − g ik l jk (1)<br />
y una vez obtenidos los valores <strong>de</strong> la columna completa po<strong>de</strong>mos ahora calcular<br />
k=1<br />
k=1<br />
j−1<br />
∑<br />
d jj = k jj − g jk l jk<br />
l ij = g ij /d jj<br />
y pasar a la siguiente columna hasta completar el cálculo <strong>de</strong> todos los coeficientes. Resulta muy<br />
importante notar en este algoritmo que en (1) g ij será nulo si inicialmente k ij y todos los términos<br />
previos <strong>de</strong> la fila k = 1, j − 1 son nulos, es <strong>de</strong>cir que la matriz K y L tendrán el mismo perfil.<br />
A<strong>de</strong>más una vez calculado el valor <strong>de</strong> l ij no resulta ya necesario mantener el correspondiente valor<br />
<strong>de</strong> k ij y por lo tanto pue<strong>de</strong> utilizarse las posiciones <strong>de</strong> memoria <strong>de</strong> K para guardar los <strong>de</strong> L.<br />
Finalmente los coeficientes <strong>de</strong> la matriz diagonal D pue<strong>de</strong>n guardarse en las posiciones diagonales<br />
<strong>de</strong> K ya que los elementos diagonales <strong>de</strong> L valen 1 y no requieren ser recordados.<br />
2-Substitución hacia a<strong>de</strong>lante para i <strong>de</strong> 1 a n<br />
k=1<br />
∑i−1<br />
y i = f i − l ik y k<br />
3-Substitución hacia atrás para i <strong>de</strong> n a 1<br />
k=1<br />
[<br />
]<br />
x i = 1 ∑i+1<br />
y i − l ki x k<br />
d ii<br />
Una <strong>de</strong>scripción más <strong>de</strong>tallada <strong>de</strong> la base teórica <strong>de</strong>l presente algoritmo y su programación en<br />
códigos <strong>de</strong> elementos finitos pue<strong>de</strong> verse en las referencias<br />
k=n<br />
K.J.Bathe y E.L.Wilson, Numerical methods in finite element analysis, Prentice-Hall, Englewood<br />
Cliffs, 1976.<br />
T.R.Chandrupatla y A.D.Belegundu, Introduction to finite element in engineering, Prentice-<br />
Hall, Englewood Cliffs, 1991.<br />
El presente algoritmo no está condicionado a que la matriz sea <strong>de</strong>finida positiva y sólo requiere<br />
que sea no-singular. También pue<strong>de</strong> adaptarse a matrices no simétrica sin ninguna dificultad.<br />
136
7.5. Suavizado <strong>de</strong> Variables<br />
En el método <strong>de</strong> elementos finitos se asegura continuidad <strong>de</strong> las variables principales <strong>de</strong>l problema<br />
(los <strong>de</strong>splazamientos en un problema <strong>de</strong> elasticidad), pero en general las variables <strong>de</strong>rivadas<br />
resultan discontinuas entre elementos. Resulta necesario, a los fines <strong>de</strong> visualizar las variables o<br />
estimar errores <strong>de</strong> la solución, un valor único y continuo <strong>de</strong> las variables <strong>de</strong>rivadas <strong>de</strong> la misma forma<br />
que uno conoce las variables principales. El flujo σ en los nodos pue<strong>de</strong> calcularse directamente<br />
<strong>de</strong> la relación<br />
σ ( x I) = σ I = DB ( x I) u e<br />
sin embargo es más común su evaluación a partir <strong>de</strong> extrapolaciones <strong>de</strong>s<strong>de</strong> los puntos <strong>de</strong> integración<br />
<strong>de</strong>bido a que son los puntos óptimos (en el sentido <strong>de</strong> que tienen el menor error) <strong>de</strong> evaluación <strong>de</strong><br />
las variables <strong>de</strong>rivadas.<br />
Sean σ G los valores <strong>de</strong> las variables que interesa suavizar evaluadas en los puntos <strong>de</strong> integración.<br />
Sea ˜σ (ξ) con valores <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> cada elemento, las variables extrapoladas a partir <strong>de</strong> los<br />
valores σ G<br />
∑NG<br />
˜σ (ξ) = Φ G (ξ) σ G<br />
G=1<br />
don<strong>de</strong> NG es el número <strong>de</strong> puntos <strong>de</strong> integración en el elemento y las Φ G son funciones <strong>de</strong><br />
forma <strong>de</strong>finidas similarmente a las funciones nodales pero ahora con la condición:<br />
Φ ( G ξ A) { 1 si A = G<br />
=<br />
0 si A ≠ G<br />
con A un punto <strong>de</strong> integración.<br />
Interesa obtener las variables <strong>de</strong>rivadas en los nudos en función <strong>de</strong> las variables en los puntos <strong>de</strong><br />
integración. Denominaremos con σ I a las variables suavizadas, (incógnitas por ahora) en los nudos.<br />
Dentro <strong>de</strong> un elemento cualquiera, el valor <strong>de</strong> estas variables se pue<strong>de</strong> interpolar en la forma:<br />
ˆσ (ξ) =<br />
NN∑<br />
G=1<br />
N I (ξ) σ I<br />
don<strong>de</strong> NN es el número <strong>de</strong> nudos <strong>de</strong>l elemento y las N I son las tí picos funciones <strong>de</strong> interpolación<br />
nodales.<br />
Debemos ahora fijar algún criterio que nos permita obtener las σ I a partir <strong>de</strong> las σ G . Dicho<br />
criterio pue<strong>de</strong> ser que resulte mínima la integral <strong>de</strong>l cuadrado <strong>de</strong> la diferencia entre las variables<br />
interpoladas a partir <strong>de</strong> los valores nodales y a partir <strong>de</strong> los valores en los puntos <strong>de</strong> integración,<br />
es <strong>de</strong>cir minimizar:<br />
R = 1 ∫<br />
(ˆσ − ˜σ) 2 dV<br />
2<br />
R = 1 2<br />
V<br />
∑NE<br />
∫<br />
E=1<br />
V E [ NN∑<br />
I=1<br />
]<br />
NG<br />
2<br />
∑<br />
N I σ I − Φ G σ G dV E<br />
don<strong>de</strong> NE es el número <strong>de</strong> elementos en la discretización. La condición <strong>de</strong> mínimo es:<br />
G=1<br />
∂R<br />
∂σ = 0 = ∑NE<br />
∫ [ NN∑<br />
]<br />
∑NG<br />
N I N J σ J − Φ G σ I G dV E<br />
E=1<br />
V E I=1<br />
G=1<br />
137
Por supuesto para cada valor nodal σ I la suma se realiza sobre los elementos don<strong>de</strong> sea no trivial,<br />
es <strong>de</strong>cir que incluyan al nodo I (proceso <strong>de</strong> ensamble habitual). La condición <strong>de</strong> mínimo pue<strong>de</strong><br />
escribirse una vez realizadas las integrales como:<br />
don<strong>de</strong><br />
∂R<br />
∂σ = ∑NE<br />
I<br />
E=1<br />
M IJ σ J − Q I<br />
M IJ =<br />
Q I =<br />
∫<br />
N I N J dV E<br />
V E<br />
∫<br />
˜σ dV E<br />
V E N I<br />
Integrando numéricamente las expresiones <strong>de</strong> M IJ y Q I notemos que si usamos la misma regla<br />
<strong>de</strong> integración que para la evaluación <strong>de</strong> las variables σ G resulta:<br />
∑NG<br />
Q I = N I (ξ A ) ˜σ (ξ A ) Jac A W A<br />
A=1<br />
y que siendo ˜σ (ξ A ) = σ A no resulta necesario conocer en forma explícita las funciones Φ G<br />
<strong>de</strong>finidas anteriormente, luego:<br />
∑NG<br />
Q I = N I (ξ A ) σ A Jac A W A<br />
A=1<br />
Por otro lado la evaluación consistente <strong>de</strong> M IJ conduce a un sistema <strong>de</strong> N (número <strong>de</strong> nudos<br />
en la discretización) ecuaciones con N incógnitas. Para evitar tanto cálculo, se suele aproximar la<br />
matriz M IJ como diagonal. Una forma muy usada <strong>de</strong> realizar esto es sumando sobre la diagonal<br />
todos los elementos <strong>de</strong> la fila (o columna), es <strong>de</strong>cir:<br />
D II =<br />
NN∑<br />
M IJ<br />
J=1<br />
∫<br />
=<br />
NN∑<br />
N I N J<br />
V E J=1<br />
} {{ }<br />
1<br />
dV E<br />
∑NG<br />
= N I (ξ A ) Jac A W A<br />
A=1<br />
<strong>de</strong> esta forma el sistema <strong>de</strong> ecuaciones a resolver es diagonal, resulta <strong>de</strong> un ensamble muy sencillo<br />
y su resolución es inmediata.<br />
137
138
<strong>Capítulo</strong> 8<br />
Elementos <strong>de</strong> placas y láminas<br />
por F. Flores<br />
8.1. Introducción<br />
El <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> elementos finitos eficientes y confiables para el análisis <strong>de</strong> láminas ha sido un<br />
tema <strong>de</strong> investigación constante <strong>de</strong>s<strong>de</strong> los comienzos <strong>de</strong>l método. Esto <strong>de</strong>bido a un conjunto <strong>de</strong><br />
problemas numéricos que surgen <strong>de</strong> la discretización <strong>de</strong> las ecuaciones <strong>de</strong> gobierno. A su vez las<br />
aplicaciones cada vez más complejas <strong>de</strong>mandan una mayor robustez en diferentes condiciones <strong>de</strong><br />
comportamiento. Elementos que muestra un buen comportamiento en ciertas condiciones, no lo<br />
hacen en otros. Así elementos confiables en régimen lineal, pue<strong>de</strong>n no ser fácilmente expandibles a<br />
comportamiento no-lineal (geométrico o material), o elementos que muestran buen comportamiento<br />
en mallas estructuradas con elementos con buena relación <strong>de</strong> aspecto, no lo hacen cuando las mallas<br />
presentan elementos distorsionados.<br />
En régimen lineal en general es posible distinguir elementos <strong>de</strong> placa (inicialmente planos, con<br />
sólo flexión) y elementos <strong>de</strong> lámina (en general <strong>de</strong> doble curvatura, con esfuerzos <strong>de</strong> flexión y<br />
esfuerzos membranales). En régimen no lineal (salvo no linealida<strong>de</strong>s muy bajas) un elemento <strong>de</strong><br />
placa se convierte en una lámina <strong>de</strong> doble curvatura y no es necesario hacer distinción alguna,<br />
sin embargo <strong>de</strong> acuerdo al tipo <strong>de</strong> formulación, el partir <strong>de</strong> una configuración original plana tiene<br />
algunas ventajas.<br />
Los diferentes aspectos que <strong>de</strong>ben consi<strong>de</strong>rarse en el <strong>de</strong>sarrollo (o en su elección para mo<strong>de</strong>lar)<br />
<strong>de</strong> un elemento <strong>de</strong> lámina están condicionados por los objetivos que se trate <strong>de</strong> cumplir, por<br />
ejemplo:<br />
Esbeltez <strong>de</strong> la lámina, asociado a la relación entre el espesor <strong>de</strong> la lámina y la menor dimensión<br />
en el plano h a o el menor radio <strong>de</strong> curvatura h<br />
R mín<br />
. De acuerdo a esto pue<strong>de</strong> ser necesario<br />
consi<strong>de</strong>rar la influencia <strong>de</strong> las <strong>de</strong>formaciones cortantes en caso <strong>de</strong> láminas gruesas. En general<br />
la influencia <strong>de</strong> las <strong>de</strong>formaciones cortantes es muy baja.<br />
No linealidad geométrica asociado a problemas con gran<strong>de</strong>s <strong>de</strong>splazamientos y giros. En estructuras<br />
esbeltas no pue<strong>de</strong> prescindirse <strong>de</strong> la no-linealidad, pues <strong>de</strong>be recordarse que las<br />
teorías lineales son válidas para <strong>de</strong>splazamientos menores que el espesor. El estudio <strong>de</strong> problemas<br />
<strong>de</strong> pan<strong>de</strong>o o inestabilidad requiere la utilización <strong>de</strong> elementos que sean capaces <strong>de</strong><br />
representar a<strong>de</strong>cuadamente gran<strong>de</strong>s <strong>de</strong>splazamientos y rotaciones sin que aparezcan <strong>de</strong>formaciones<br />
espurias.<br />
Nivel <strong>de</strong> <strong>de</strong>formaciones y no linealidad material. El mo<strong>de</strong>lado <strong>de</strong> embutición <strong>de</strong> láminas<br />
metálicas, por ejemplo, requiere po<strong>de</strong>r consi<strong>de</strong>rar niveles altos <strong>de</strong> <strong>de</strong>formación, o el estudio<br />
<strong>de</strong> estructuras inflables don<strong>de</strong> se utilizan elementos membranales que representan un caso<br />
particular <strong>de</strong> láminas.<br />
Capacidad para po<strong>de</strong>r combinar elementos <strong>de</strong> láminas con elementos estructurales <strong>de</strong> otras<br />
características. En estructuras laminares es muy común el uso <strong>de</strong> rigidizadores, que suelen<br />
mo<strong>de</strong>larse utilizando elementos <strong>de</strong> vigas, en tal caso <strong>de</strong>be ser posible compatibilizar los <strong>de</strong>splazamientos<br />
<strong>de</strong> ambos. También suele ser necesaria la existencia <strong>de</strong> elementos <strong>de</strong> transición<br />
<strong>de</strong>s<strong>de</strong> láminas <strong>de</strong>lgadas a elementos <strong>de</strong> sólidos, por ejemplo si se mo<strong>de</strong>la una cubierta <strong>de</strong><br />
hormigón para gran<strong>de</strong>s luces que se engrosa sustancialmente en la zona <strong>de</strong> apoyo.<br />
Quiebres, cambios <strong>de</strong> espesor u otras discontinuida<strong>de</strong>s en la superficie media.<br />
139
Difícilmente se pueda encontrar un elemento que pueda satisfacer todas las aplicaciones posibles,<br />
por ello algunos son a<strong>de</strong>cuados para algunos mo<strong>de</strong>los y otros no.<br />
8.2. Elementos <strong>de</strong> placa basados en la teoría <strong>de</strong> Kirchhoff<br />
Des<strong>de</strong> el punto <strong>de</strong> vista <strong>de</strong>l MEF, la teoría <strong>de</strong> placas clásica, esto es sin <strong>de</strong>formaciones transversales<br />
por corte, presenta el importante inconveniente <strong>de</strong> requerir continuidad C 1 . Por lo tanto<br />
requiere, no sólo que los <strong>de</strong>splazamientos transversales sean continuos, sino que a<strong>de</strong>más <strong>de</strong>ben<br />
ser continuas sus <strong>de</strong>rivadas (giros). Esto está asociado a la necesidad <strong>de</strong> mantener la continuidad<br />
estructural pues los <strong>de</strong>splazamientos en el plano <strong>de</strong> placa fuera <strong>de</strong> la superficie media <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>n <strong>de</strong><br />
los giros. Es <strong>de</strong>cir a lo largo <strong>de</strong> una fibra normal a la placa<br />
u (z) = β x z = − ∂w<br />
∂x z<br />
v (z) = β y z = − ∂w<br />
∂y z<br />
La continuidad C 1 aparece también en problemas <strong>de</strong> teoría clásica <strong>de</strong> vigas, sin embargo allí<br />
<strong>de</strong>bido a que las vigas <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>n <strong>de</strong> una única variable espacial y la unión entre elementos se realiza<br />
en puntos (nudos) y no a lo largo <strong>de</strong> una curva (lados), el problema es <strong>de</strong> solución sencilla. En tal<br />
caso es posible imponer la continuidad <strong>de</strong> los giros en los nudos fácilmente, colocando precisamente<br />
como variable nodal la <strong>de</strong>rivada o giro.<br />
En problemas <strong>de</strong> placas la continuidad C 1 implica dos cosas:<br />
1. <strong>de</strong>be satisfacerse a lo largo <strong>de</strong> los contornos inter-elementos, es <strong>de</strong>cir que <strong>de</strong>ben coincidir las<br />
interpolaciones a lo largo <strong>de</strong> una curva.<br />
2. <strong>de</strong>be satisfacerse para ambas direcciones <strong>de</strong>l plano. En el contorno esto a su vez pue<strong>de</strong><br />
expresarse localmente exigiendo la continuidad <strong>de</strong> la <strong>de</strong>rivada en la dirección al contorno y<br />
la <strong>de</strong>rivada normal al contorno.<br />
Para que se cumpla estas condiciones es necesario que a lo largo <strong>de</strong> cualquier lado <strong>de</strong>l elemento,<br />
el <strong>de</strong>splazamiento w y sus <strong>de</strong>rivadas <strong>de</strong>pendan exclusivamente <strong>de</strong> los parámetros nodales asociados<br />
a los nodos que conforman el lado. Esto trae en general consecuencias insalvables para elementos <strong>de</strong><br />
geometría arbitraria, en particular en lo que se refiere a la <strong>de</strong>rivada normal al contorno que involucra<br />
a la interpolación <strong>de</strong>l <strong>de</strong>splazamiento en el interior <strong>de</strong>l elemento, lo cual hace necesario utilizar<br />
como incógnitas nodales las <strong>de</strong>rivadas segundas (cruzadas) <strong>de</strong>l <strong>de</strong>splazamiento transversal. Esto<br />
último sólo resuelve el problema en mallas estructuradas (por ejemplo en elementos rectangulares),<br />
pero no en elementos con geometría arbitraria.<br />
Si bien es posible la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> elementos <strong>de</strong> placa “conforme”, es <strong>de</strong>cir que satisfagan todas<br />
las condiciones <strong>de</strong> continuidad C 1 , esto no asegura un buen comportamiento y pue<strong>de</strong> convertirlo<br />
en un elemento oneroso <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el punto <strong>de</strong> vista computacional. Esto ha llevado a la búsqueda <strong>de</strong><br />
otro tipo <strong>de</strong> soluciones, entre las que se encuentran: a) las aproximaciones “mixtas”, en el sentido<br />
<strong>de</strong> que no todas las incógnitas son <strong>de</strong>splazamientos, sino que aparecen <strong>de</strong>formaciones o tensiones<br />
como incógnitas; b) elementos “no conformes”, que no satisfacen en forma explícita todas las<br />
condiciones <strong>de</strong> continuidad. Por ejemplo pue<strong>de</strong>n satisfacer la continuidad <strong>de</strong>l <strong>de</strong>splazamiento w<br />
(y con ello implícitamente la <strong>de</strong>rivada en la dirección <strong>de</strong>l contorno) pero sólo satisfacen en forma<br />
discreta (digamos en los nudos y a la mitad <strong>de</strong>l lado) la condición <strong>de</strong> continuidad <strong>de</strong> la <strong>de</strong>rivada<br />
normal al contorno. Lo importante en estos casos es mostrar que al refinar la malla las soluciones<br />
obtenidas convergen a la solución correcta.<br />
Un análisis <strong>de</strong>tallado <strong>de</strong>l problema <strong>de</strong> continuidad C 1 y <strong>de</strong> las distintas soluciones propuestas<br />
escapa al objetivo <strong>de</strong> estas notas y pue<strong>de</strong> verse en distintos textos <strong>de</strong>l método, por ejemplo:<br />
140<br />
Oñate Eugenio, Cálculo <strong>de</strong> Estructuras por el Método <strong>de</strong> Elementos Finitos, CIMNE, Barcelona,<br />
1992.
Zienkiewics, O.C. y Taylor R.L., The Finite Element Method, 4ta edición, Vol II, Mc. Graw<br />
Hill, Londres, 1991.<br />
8.2.1. La <strong>prueba</strong> <strong>de</strong> la parcela (“patch test”)<br />
En problemas sencillos y con aproximaciones estándar como los vistos en los capítulos anteriores,<br />
los elementos finitos presentados cumplen con un conjunto <strong>de</strong> condiciones que aseguran su<br />
convergencia al refinar la malla. Cuando las ecuaciones que gobiernan el comportamiento son más<br />
complejas y particularmente cuando se proponen soluciones que no satisfacen en forma exacta los<br />
requisitos previos, es necesario <strong>de</strong>mostrar que el comportamiento <strong>de</strong>l elemento es satisfactorio y<br />
que converge a la solución correcta. Una <strong>de</strong> las <strong>prueba</strong>s más sencillas para evaluar esto se conoce<br />
como “<strong>prueba</strong> <strong>de</strong> la parcela”. En general cuando se aumenta la discretización para un problema<br />
dado, se espera que en el límite el estado <strong>de</strong> <strong>de</strong>formaciones (y tensiones) <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> un elemento sea<br />
constante. Por ello se impone como condición básica que todo elemento sea capaz <strong>de</strong> representar<br />
un estado <strong>de</strong> <strong>de</strong>formación constante y más aún, que un pequeño grupo (parcela) <strong>de</strong> elementos,<br />
sometido a fuerzas asociadas a un estado tensional uniforme, pueda hacerlo. Se toma entonces<br />
una problema muy sencillo (un dominio rectangular por ejemplo), con un estado <strong>de</strong> carga que<br />
conduzca a un estado tensional constante y se pi<strong>de</strong> que la parcela sea capaz <strong>de</strong> reproducirlo. Habitualmente<br />
se intenta mostrar que al distorsionar los elementos <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> dominio, no se <strong>de</strong>teriore<br />
el comportamiento.<br />
8.3. Elementos <strong>de</strong> placa basados en la teoría <strong>de</strong> Reissner<br />
A diferencia <strong>de</strong> la teoría <strong>de</strong> Kirchhoff, la teoría <strong>de</strong> Reissner-Mindlin conduce a problemas <strong>de</strong><br />
continuidad C 0 , por lo cual los problemas asociados a la continuidad <strong>de</strong> la <strong>de</strong>rivada mencionados<br />
anteriormente no aparecen y es posible satisfacer con facilidad las condiciones <strong>de</strong> continuidad<br />
inter-elementos. Esto <strong>de</strong>bido a que las variables in<strong>de</strong>pendientes <strong>de</strong>l problema son ahora no sólo<br />
el <strong>de</strong>splazamiento transversal w sino también los giros θ, que son in<strong>de</strong>pendientes entre sí. En<br />
consecuencia cualquiera <strong>de</strong> las aproximaciones utilizadas para problemas 2-D presentadas oportunamente<br />
pue<strong>de</strong>n ser utilizadas y pasan la <strong>prueba</strong> <strong>de</strong> la parcela pues es posible representar estados<br />
<strong>de</strong> <strong>de</strong>formación (curvatura) constante.<br />
Debe hacerse notar que al aproximar ahora tres variables (w, θ 1 y θ 2 ) en vez <strong>de</strong> una (w), la<br />
cantidad <strong>de</strong> parámetros necesarios para obtener una solución similar aumenta consi<strong>de</strong>rablemente.<br />
Por lo tanto para lograr aproximaciones similares resulta necesario utilizar mallas más <strong>de</strong>nsas.<br />
Por otro lado los elementos <strong>de</strong> continuidad C 1 , utilizan en general polinomios <strong>de</strong> mayor or<strong>de</strong>n lo<br />
que conduce naturalmente a una mejor aproximación con menor cantidad <strong>de</strong> elementos, es <strong>de</strong>cir<br />
convergen más rápidamente, por lo cual <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el punto <strong>de</strong> vista <strong>de</strong> la cantidad <strong>de</strong> grados <strong>de</strong> libertad,<br />
la utilización <strong>de</strong> elementos <strong>de</strong> tipo C 0 resulta doblemente inconveniente.<br />
La utilización <strong>de</strong> elementos basados en esta teoría presentan la ventaja <strong>de</strong> consi<strong>de</strong>rar la influencia<br />
<strong>de</strong> la <strong>de</strong>formación <strong>de</strong>l corte transversal. Esto es efectivamente una ventaja cuando esta<br />
influencia es realmente apreciable. Por el contrario cuando la influencia <strong>de</strong>l corte empieza a ser<br />
<strong>de</strong>spreciable (placas esbeltas y muy esbeltas) se convierte en una <strong>de</strong>sventaja que incluso conduce<br />
a hacer inservibles estos elementos <strong>de</strong>bido a que se produce un “bloqueo” numérico (hay formas<br />
<strong>de</strong> solucionar esto). Este bloqueo numérico se produce <strong>de</strong>bido a la imposibilidad <strong>de</strong> las funciones<br />
<strong>de</strong> forma <strong>de</strong> acomodar a<strong>de</strong>cuadamente la condición<br />
∇w − θ ∼ = 0<br />
lo que se traduce en un aumento espurio <strong>de</strong> la energía <strong>de</strong> <strong>de</strong>formación <strong>de</strong>bida al corte transversal.<br />
Esto pue<strong>de</strong> verse en los distintos términos que componen la energía interna <strong>de</strong> <strong>de</strong>formación <strong>de</strong> una<br />
placa, don<strong>de</strong> la rigi<strong>de</strong>z a la flexión está <strong>de</strong>finida por D =<br />
Eh2 en tanto que la rigi<strong>de</strong>z al corte<br />
12(1−ν 2 )<br />
es C = Gh. En función <strong>de</strong> la mínima dimensión <strong>de</strong> la placa L es posible <strong>de</strong>finir un coeficiente<br />
adimensional<br />
α = C D L2 = 12Gh ( ) L2 (1 − ν 2 2<br />
) L<br />
≈<br />
Eh 3 h<br />
141
que para el caso <strong>de</strong> placas esbeltas ( L<br />
h ≃ 100) , conduce a valores <strong>de</strong> α <strong>de</strong>l or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> 10.000.<br />
Este problema fue rápidamente <strong>de</strong>tectado y se propusieron distintas aproximaciones para solucionarlo<br />
Subvaluar el término asociado al corte. Esto se conoce como “integración reducida”. Habitualmente<br />
las matrices <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z <strong>de</strong> los elementos se obtienen por integración numérica,<br />
don<strong>de</strong> la cantidad <strong>de</strong> puntos <strong>de</strong> integración <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong>l or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> los polinomios a integrar<br />
y se elige <strong>de</strong> tal forma <strong>de</strong> integrarlos en forma lo más exacta posible, <strong>de</strong> tal forma <strong>de</strong> evitar<br />
modos <strong>de</strong> <strong>de</strong>formación espurios sin energía asociada. Integrar en forma reducida consiste en<br />
usar menor cantidad <strong>de</strong> puntos que los necesarios, lo que pue<strong>de</strong> verse como disminuir el valor<br />
<strong>de</strong> energía asociada o como permitir la existencia <strong>de</strong> modos <strong>de</strong> <strong>de</strong>formación con baja energía<br />
asociada. Esta “subintegración” se realiza exclusivamente sobre los términos asociados al<br />
corte pues <strong>de</strong> otra manera conduce a singularida<strong>de</strong>s (modos <strong>de</strong> cuerpo rígido) mayores que<br />
las necesarias. Esta técnica fue ampliamente utilizada (y lo sigue siendo en muchos casos)<br />
pero no funciona en todos los casos, resultando en elementos que no son robustos.<br />
Aproximaciones mixtas. Tienen una mejor fundamentación <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el punto <strong>de</strong> vista teórico,<br />
por lo cual permiten una mayor justicación. Los resultados obtenidos son en general muy<br />
buenos y han dado lugar a un avance significativo <strong>de</strong> este tipo <strong>de</strong> elementos, que en general<br />
se presentan como los <strong>de</strong> uso estándar a pesar <strong>de</strong> las <strong>de</strong>sventajas mencionadas.<br />
Finalmente se hace notar que en general los elementos que incluyen <strong>de</strong>formaciones transversales<br />
<strong>de</strong> corte, son más sencillo <strong>de</strong> llevar al rango no-lineal geométrico. Por otro lado los elementos más<br />
eficientes en el análisis <strong>de</strong> problemas elasto-plásticos son aquellos <strong>de</strong> bajo or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> interpolación.<br />
8.3.1. Elemento <strong>de</strong> placa con <strong>de</strong>formaciones por corte<br />
Debido a que la formulación resulta <strong>de</strong> continuidad C 0 su <strong>de</strong>sarrollo no presenta ninguna<br />
dificultad. Observemos como obtener las expresiones para un elemento isoparamétrico en general<br />
y para un cuadrilátero <strong>de</strong> cuatro nudos en particular.<br />
Para una aproximación isoparamétrica tendremos (con NN el número <strong>de</strong> nudos)<br />
⎡<br />
⎣ w ⎤<br />
⎡ ⎤<br />
NN∑<br />
w I<br />
θ x<br />
⎦ = N I (ξ, η) ⎣ θ I ⎦<br />
x<br />
θ y I=1<br />
θ I y<br />
[ ]<br />
x<br />
NN∑<br />
[ ]<br />
x<br />
= N<br />
y<br />
I I<br />
(ξ, η)<br />
y I<br />
La relación <strong>de</strong>formación-<strong>de</strong>splazamiento pue<strong>de</strong> escribirse como<br />
⎡ ⎤ ⎡<br />
⎤ ⎡<br />
⎤<br />
∂<br />
∂<br />
χ 11<br />
0 0<br />
0 0<br />
∂x χ 22<br />
∂<br />
0 0 ⎡<br />
∂y<br />
⎢ χ 12<br />
⎥<br />
⎣ γ 1<br />
⎦ = ∂ ∂<br />
0 ∂y ∂x<br />
⎣ w ⎤<br />
∂x ∂<br />
0 0 ∂y<br />
θ x<br />
⎦ ∂ ∂<br />
=<br />
0 ∂y ∂x<br />
⎢ ∂ ⎥ ⎢<br />
⎣ −1 0<br />
∂x<br />
⎦ θ<br />
∂ ⎥<br />
y ⎣ −1 0<br />
∂x<br />
⎦<br />
γ<br />
∂<br />
∂<br />
2<br />
0 −1<br />
0 −1<br />
∂y ∂y<br />
[ ]<br />
Bb<br />
= B u e = u<br />
B e<br />
s<br />
I=1<br />
NN∑<br />
I=1<br />
N I (ξ, η)<br />
don<strong>de</strong> el vector u e (3NN × 1) incluye las variables nodales incógnitas <strong>de</strong>l elemento y en la matriz<br />
B se han distinguido la parte asociada a la flexión (B b ) y la parte asociada al corte (B s ). Para el<br />
elemento <strong>de</strong> cuatro nudos estas matrices resultan<br />
142<br />
⎡<br />
[B b ] 3×12<br />
= ⎣<br />
0 N 1<br />
′ x 0 0 N 2<br />
′ x 0 0 N 3<br />
′ x 0 0 N 4<br />
′ x 0<br />
0 0 N 1<br />
′ y 0 0 N 2<br />
′ y 0 0 N 3<br />
′ y 0 0 N 4<br />
′ y<br />
0 N 1<br />
′ y<br />
N 1<br />
′ x<br />
0 N 2<br />
′ y<br />
N 2<br />
′ x<br />
0 N 3<br />
′ y<br />
N 3<br />
′ x<br />
0 N 4<br />
′ y<br />
N 4<br />
′ x<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
w I<br />
θ I x<br />
θ I y<br />
⎤<br />
⎦
[ ]<br />
N<br />
1<br />
′ x<br />
−N<br />
[B s ] 2×12<br />
=<br />
1 0 N 2<br />
′ x<br />
−N 2 0 N 3<br />
′ x<br />
−N 3 0 N 4<br />
′ x<br />
−N 4 0<br />
N 1<br />
′ y 0 −N 1 N 2<br />
′ y 0 −N 2 N 3<br />
′ y 0 −N 3 N 4<br />
′ y 0 −N 4<br />
La matriz que relaciona esfuerzos integrados en el espesor con las <strong>de</strong>formaciones generalizadas<br />
tiene la forma<br />
⎡ ⎤ ⎡ ⎡<br />
⎤<br />
⎤ ⎡ ⎤<br />
M xx<br />
1 ν 0<br />
χ 11<br />
[ ]<br />
M M yy<br />
Eh =<br />
Q ⎢ M xy<br />
⎥<br />
⎣ Q x<br />
⎦ = 3<br />
⎣ ν 1 0 ⎦ 0<br />
12(1−ν 2 )<br />
3×2<br />
χ 22<br />
⎢ 0 0 1−ν<br />
2 [ ] ⎥ ⎢ χ 12<br />
⎥<br />
⎣<br />
1 0 ⎦ ⎣ γ<br />
0<br />
Q 2×3 Ghκ<br />
1<br />
⎦<br />
y<br />
0 1 γ 2<br />
σ = D ε<br />
Finalmente la matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z resulta <strong>de</strong> la integral<br />
∫<br />
∫<br />
[ ] [ ] [ ]<br />
K = B T D B dA = B<br />
T<br />
b , B T D b 0 Bb<br />
s<br />
dA<br />
A<br />
A<br />
0 D s B s<br />
∫<br />
∫<br />
= B T b D b B b dA + B T s D s B s dA<br />
A<br />
= K b + K s<br />
A<br />
Don<strong>de</strong> pue<strong>de</strong>n distinguirse las distintas contribuciones <strong>de</strong> flexión y corte a la matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z.<br />
8.3.2. Técnica <strong>de</strong> <strong>de</strong>formaciones impuestas.<br />
Como se mencionó anteriormente el elemento <strong>de</strong>scripto presenta problemas <strong>de</strong> bloqueo numérico<br />
<strong>de</strong>bido al corte transversal para placas <strong>de</strong>lgadas. Una <strong>de</strong> las técnicas utilizadas para aliviar este<br />
problema se conoce como “Técnica <strong>de</strong> Deformaciones Impuestas”, que se <strong>de</strong>scribe sucintamente a<br />
continuación.<br />
El basamento teórico <strong>de</strong> este tipo <strong>de</strong> aproximaciones se encuentra en la utilización <strong>de</strong> funcionales<br />
<strong>de</strong> tres campos, conocidos como funcionales <strong>de</strong> Hu-Washizu. En el caso general <strong>de</strong> un sólido elástico<br />
es posible escribir a la energía potencial total como<br />
∫<br />
[<br />
Π (u, ε, σ) =<br />
{w (ε ij ) − σ ij ε ij − 1 ( ∂ui<br />
+ ∂u )]}<br />
j<br />
dV − V (u)<br />
V<br />
2 ∂x j ∂x i<br />
∫ { 1<br />
=<br />
2 εT D ε − σ [ T ε − ∇ S u ]} dV − V (u)<br />
V<br />
don<strong>de</strong> w es la energía interna <strong>de</strong> <strong>de</strong>formación por unidad <strong>de</strong> volumen y V (u) es el potencial <strong>de</strong><br />
fuerzas externas. Notar que el segundo término <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> la integral se anula si las <strong>de</strong>formaciones<br />
ε ij satisfacen las ecuaciones cinemáticas.<br />
La solución <strong>de</strong>l problema se obtiene como la condición <strong>de</strong> minimización <strong>de</strong>l funcional respecto<br />
a los distintos campos <strong>de</strong> variables involucrados (u, σ y ε), así resulta<br />
δ u Π =<br />
δ ε Π =<br />
δ σ Π =<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
V<br />
V<br />
V<br />
( ∂δui<br />
[ 1<br />
σ ij<br />
2 ∂x j<br />
[ ( )]<br />
∂w<br />
δε ij − σ ij<br />
∂ε ij<br />
δσ ij<br />
[<br />
ε ij − 1 2<br />
+ ∂δu j<br />
∂x i<br />
)]<br />
dV − δV (u) = 0<br />
dV = 0<br />
( ∂ui<br />
+ ∂u )]<br />
j<br />
dV = 0<br />
∂x j ∂x i<br />
Notar que la primera ecuación es sencillamente la condición <strong>de</strong> mínimo <strong>de</strong> la energía potencial<br />
total escrita en función <strong>de</strong> tensiones y <strong>de</strong>splazamientos. La segunda ecuación indica que para<br />
143
cualquier variación <strong>de</strong> <strong>de</strong>formaciones <strong>de</strong>be satisfacerse la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> las tensiones a partir <strong>de</strong><br />
la energía interna <strong>de</strong> <strong>de</strong>formación, esto es las ecuaciones constitutivas <strong>de</strong>l problema. En tanto<br />
que la tercera condición indica que para cualquier variación <strong>de</strong> tensiones <strong>de</strong>ben satisfacerse las<br />
ecuaciones cinemáticas. En <strong>de</strong>finitiva que para que un conjunto <strong>de</strong> valores (u, ε, σ) sean solución<br />
<strong>de</strong>l problema, <strong>de</strong>ben satisfacerse i<strong>de</strong>nticamente las condiciones <strong>de</strong> equilibrio, constitutivas y cinemáticas.<br />
Planteado así el problema establecido es formalmente idéntico al reemplazo habitual <strong>de</strong><br />
constitutivas y cinemáticas sobre la energía potencial total a los fines <strong>de</strong> que esta que<strong>de</strong> expresada<br />
sólo en función <strong>de</strong> los <strong>de</strong>splazamientos. Sin embargo el mantener en forma in<strong>de</strong>pendiente los tres<br />
campos <strong>de</strong> variables permite distintas aproximaciones numéricas a la solución <strong>de</strong>l problema.<br />
La técnica <strong>de</strong> <strong>de</strong>formaciones impuestas consiste en:<br />
1. Establecer una interpolación in<strong>de</strong>pendiente para el campo <strong>de</strong> <strong>de</strong>formaciones ε,<br />
2. Escribir al campo <strong>de</strong> tensiones en función <strong>de</strong> las constitutivas. En tal caso estas se cumplen<br />
en forma exacta y las tensiones no son una variable in<strong>de</strong>pendiente.<br />
3. Relacionar las <strong>de</strong>formaciones con los <strong>de</strong>splazamiento en un conjunto <strong>de</strong> puntos arbitrariamente<br />
elegidos. Esto permite eliminar a las <strong>de</strong>formaciones como variables globales, quedando<br />
el problema final exclusivamente en término <strong>de</strong> los <strong>de</strong>splazamientos.<br />
Mostraremos como ejemplo como aplicar la técnica bosquejada para el término <strong>de</strong> corte transversal<br />
en un elemento cuadrilátero <strong>de</strong> placa <strong>de</strong> cuatro nudos (bilineal).<br />
Consi<strong>de</strong>remos el elemento maestro correspondiente al cuadrilátero, es <strong>de</strong>cir un cuadrado <strong>de</strong> lado<br />
dos. En este elemento impondremos la siguiente interpolación para las <strong>de</strong>formaciones transversales<br />
<strong>de</strong> corte<br />
[ ]<br />
γξ<br />
= 1 [<br />
γ η 2<br />
0 1 − η 0 1 + η<br />
1 − ξ 0 1 + ξ 0<br />
⎡<br />
]<br />
⎢<br />
⎣<br />
γ A η<br />
γ B ξ<br />
γ C η<br />
γ D ξ<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ = P (ξ, η) ˆγ (8.1)<br />
don<strong>de</strong> las <strong>de</strong>formaciones <strong>de</strong> corte han sido <strong>de</strong>finidas en el sistema <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas locales (ξ,η)<br />
<strong>de</strong>l elemento maestro, en función <strong>de</strong> las <strong>de</strong>formaciones tangenciales al contorno en cuatro puntos<br />
indicados como A(ξ = −1, η = 0), B(ξ = 0, η = −1), C(ξ = 1, η = 0) y D(ξ = 0, η = 1) (ver Figura<br />
1). Según se ve cada componente <strong>de</strong> <strong>de</strong>formación se mantiene constante en una dirección y varía<br />
linealmente en la otra.<br />
Figura 1<br />
Puntos <strong>de</strong> evaluación <strong>de</strong>l corte transversal en cuadriláteros<br />
144
A continuación veremos como expresar estas <strong>de</strong>formaciones respecto al sistema coor<strong>de</strong>nado<br />
físico, observemos que la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> las <strong>de</strong>formaciones respecto al sistema natural son:<br />
[ ] [ ∂w<br />
γξ<br />
=<br />
− θ ]<br />
∂ξ ξ<br />
∂w<br />
γ η ∂η − θ = ∇ (ξ,η) w − θ ′ = γ ′<br />
η<br />
con el cambio local <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas<br />
[ ]<br />
θξ<br />
=<br />
θ η<br />
[<br />
∂x<br />
∂ξ<br />
∂x<br />
∂η<br />
∂y<br />
∂ξ<br />
∂y<br />
∂η<br />
] [ ]<br />
θx<br />
= Jθ = θ ′<br />
θ y<br />
en tanto que las <strong>de</strong>formaciones respecto al sistema cartesiano resultan:<br />
[<br />
γx<br />
]<br />
=<br />
γ y<br />
[ ∂ξ<br />
∂x<br />
∂ξ<br />
∂y<br />
∂η<br />
∂x<br />
∂η<br />
∂y<br />
] [<br />
γξ<br />
γ η<br />
]<br />
= J −1 [<br />
γξ<br />
γ η<br />
]<br />
= J −1 [ ∇ (ξ,η) w − θ ′] = J −1 ∇ (ξ,η) w − θ<br />
(8.2)<br />
Las <strong>de</strong>formaciones en el sistema natural en los puntos <strong>de</strong> muestreo (A,B,C y D) son<br />
⎡ ⎤ ⎡<br />
⎤<br />
γ A η<br />
w′ ⎢ γ B η (ξ = −1, η = 0) − θ η (ξ = −1, η = 0)<br />
ξ ⎥<br />
⎣ γ C ⎦ = ⎢<br />
w′ ξ (ξ = 0, η = −1) − θ ξ (ξ = 0, η = −1)<br />
⎥<br />
⎣<br />
η<br />
w′ η (ξ = 1, η = 0) − θ η (ξ = 1, η = 0) ⎦ (8.3)<br />
γ D ξ<br />
w′ ξ (ξ = 0, η = 1) − θ ξ (ξ = 0, η = 1)<br />
Evaluando en los puntos <strong>de</strong> muestreo resultan<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
γ A η<br />
γ B ξ<br />
γ C η<br />
γ D ξ<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ = 1 4<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
−1 x 4 − x 1 y 4 − y 1 0 0 0<br />
−1 x 2 − x 1 y 2 − y 1 1 x 2 − x 1 y 2 − y 1<br />
0 0 0 −1 x 3 − x 2 y 3 − y 2<br />
0 0 0 0 0 0<br />
⎤<br />
1 x 4 − x 1 y 4 − y 1 0 0 0<br />
0 0 0 0 0 0<br />
⎥<br />
0 0 0 1 x 3 − x 2 y 3 − y 2 ⎦<br />
1 x 3 − x 4 y 3 − y 4 −1 x 3 − x 4 y 3 − y 4 ⎢<br />
⎣<br />
ˆγ = ˆBu e (8.4)<br />
⎡<br />
w 1<br />
θ 1 x<br />
θ 1 y<br />
w 2<br />
θ 2 x<br />
θ 2 y<br />
w 3<br />
θ 3 x<br />
θ 3 y<br />
w 4<br />
θ 4 x<br />
θ 4 y<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
<strong>de</strong> esta forma, hasta ahora, hemos escrito las <strong>de</strong>formaciones (naturales) en los puntos <strong>de</strong> muestreo<br />
en función <strong>de</strong> las coor<strong>de</strong>nadas nodales y los <strong>de</strong>splazamientos nodales.<br />
Las <strong>de</strong>formaciones <strong>de</strong> corte transversales respecto al sistema cartesiano resultan <strong>de</strong> reemplazar<br />
las 8.4 en las 8.1 y estas en las 8.2<br />
γ (ξ, η) = J −1 P (ξ, η) ˆBu e = ¯B s (ξ, η) u e (8.5)<br />
145
don<strong>de</strong> se ha introducido la matriz B substituta o ¯B (B-barra)<br />
¯B s (ξ, η) = J −1 P (ξ, η) ˆB<br />
Los esfuerzos transversales <strong>de</strong> corte valen<br />
[ ] [<br />
Qx<br />
1 0<br />
Q = = Ghκ<br />
Q y 0 1<br />
Finalmente la energía interna <strong>de</strong> <strong>de</strong>formación resulta<br />
W s = 1 ∫<br />
u T<br />
2<br />
¯B e T s D s ¯Bu e dA<br />
A<br />
= 1 ∫<br />
[<br />
2 uT ˆB Ghκ 0<br />
e T P T (ξ, η) J −T 0 Ghκ<br />
A<br />
= 1 2 uT e K s u e<br />
] [ ]<br />
γx<br />
= D<br />
γ s ¯B s u e<br />
y<br />
]<br />
J −1 P (ξ, η) dA ˆBu e<br />
don<strong>de</strong> K s es la contribución <strong>de</strong>l corte transversal a la matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z, que se calcula usando<br />
integración numérica estándar como:<br />
∫<br />
[ ]<br />
Ghκ 0<br />
K s = ˆB T P T (ξ, η) J −T J<br />
0 Ghκ<br />
−1 P (ξ, η) dA ˆB<br />
A<br />
o si se escribe en función <strong>de</strong> la matriz substituta ¯B s directamente<br />
∫ [ ]<br />
Ghκ 0<br />
K s = ¯B T s (ξ, η) ¯B<br />
0 Ghκ s (ξ, η) dA<br />
A<br />
8.4. Elementos <strong>de</strong> lámina<br />
El <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> elementos <strong>de</strong> lámina presenta, por lo menos, los mismos problemas que el<br />
<strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> elementos <strong>de</strong> placa. Lo interesante es que habitualmente las soluciones son las mismas,<br />
por lo que en general lo que hay que solucionar son nuevos problemas si los hubiere. Una forma<br />
<strong>de</strong> generar elementos <strong>de</strong> lámina es precisamente tomar un buen elemento <strong>de</strong> placa y agregarle la<br />
contribución membranal. Esto es inmediato en elementos triangulares <strong>de</strong> 3 nodos, que son planos.<br />
Básicamente existen tres aproximaciones para el <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> elementos <strong>de</strong> láminas, dos asociados<br />
a las teorías vistas para placas planas y una tercera asociada a la imposición <strong>de</strong> restricciones<br />
cinemáticas en elementos <strong>de</strong> sólido. Tenemos entonces<br />
Elementos basados en la teoría <strong>de</strong> láminas clásica (Love-Kirchhoff)<br />
Elementos que incluyen <strong>de</strong>formaciones transversales <strong>de</strong> corte (Reissner-Mindlin)<br />
Elementos <strong>de</strong> sólido <strong>de</strong>generado, que resultan muy similares a los basados en la teoría <strong>de</strong><br />
Reissner-Mindlin<br />
Algunos características distintivas <strong>de</strong> los teorías <strong>de</strong> láminas respecto a las <strong>de</strong> placas planas es<br />
que:<br />
146<br />
1. Requieren la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> un sistema coor<strong>de</strong>nado curvilíneo. Habitualmente este sistema<br />
coor<strong>de</strong>nado se particulariza en un sistema cartesiano local (dos ejes sobre el plano tangente a<br />
la lámina y el tercero normal a la lámina) en los puntos <strong>de</strong> integración. Esto <strong>de</strong>be interpretarse<br />
cómo que el sistema coor<strong>de</strong>nado no queda <strong>de</strong>finido en forma explícita en todo el elemento<br />
sino sólo en los puntos <strong>de</strong> integración.
2. Los elementos tienen curvatura inicial, lo que traduce en dos aspectos: a)un acoplamiento<br />
<strong>de</strong>l comportamiento flexional y membranal y b)en la forma <strong>de</strong> medir las <strong>de</strong>formaciones como<br />
el cambio <strong>de</strong> curvatura.<br />
3. En elementos inicialmente curvos, es necesario que la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> los <strong>de</strong>splazamientos permita<br />
los movimientos <strong>de</strong> cuerpo rígido sin la aparición <strong>de</strong> energía. Esto es dificil <strong>de</strong> lograr si<br />
los <strong>de</strong>splazamientos se <strong>de</strong>finen en los sistemas <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas locales y aún cuando se <strong>de</strong>finan<br />
en sistemas globales es posible un aumento espurio <strong>de</strong> la energía <strong>de</strong> <strong>de</strong>formación membranal<br />
(“bloqueo membranal”) cuando no se pue<strong>de</strong>n mo<strong>de</strong>lar correctamente los movimientos <strong>de</strong><br />
cuerpo rígido. Este último problema aparece en elementos inicialmente curvos, no en elementos<br />
inicialmente planos.<br />
Dado el carácter introductorio <strong>de</strong> estas notas, no se avanzará más sobre el tema.<br />
147
148
<strong>Capítulo</strong> 9 Combinación <strong>de</strong> Elementos Finitos y<br />
Volúmenes Finitos<br />
por F. Flores<br />
A continuación <strong>de</strong> presenta una formulación para la solución numérica <strong>de</strong> un problema <strong>de</strong><br />
convección difusión, en la cual se utiliza la noción <strong>de</strong> volúmenes <strong>de</strong> control para establecer las<br />
ecuaciones <strong>de</strong> balance y se utiliza una malla <strong>de</strong> elementos finitos arbitraria a los fines <strong>de</strong> <strong>de</strong>finir<br />
los volúmenes <strong>de</strong> control y las contribuciones correspondiente. Esta técnica numérica pue<strong>de</strong> verse<br />
como una combinación <strong>de</strong> la técnica <strong>de</strong> volúmenes finitos, en la cual se discretiza el dominio<br />
en subdominios a los fines <strong>de</strong> que en tales subdominios se cumpla la ecuación <strong>de</strong> balance, y la<br />
técnica <strong>de</strong> elementos finitos, don<strong>de</strong> se discretiza el dominio, en subdominios a los fines <strong>de</strong> evaluar<br />
las contribuciones <strong>de</strong> equilibrio en cada nudo <strong>de</strong> la malla. Como se verá en este caso, no son<br />
los elementos finitos los volúmenes <strong>de</strong> control (podría plantearse <strong>de</strong> esa manera), si no que los<br />
volúmenes <strong>de</strong> control están asociados a los nudos <strong>de</strong>l la malla.<br />
Básicamente consiste en:<br />
1. Plantear una malla arbitraria <strong>de</strong> E.F., en general “no estructurada”<br />
2. En cada elemento <strong>de</strong>finir funciones <strong>de</strong> interpolación, las estándar <strong>de</strong>l MEF, a los fines <strong>de</strong><br />
aproximar la variable incógnita<br />
3. Alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> cada nudo <strong>de</strong> la malla <strong>de</strong>finir un Volumen Finito sobre el cual plantear la<br />
ecuación <strong>de</strong> balance<br />
4. Para la evaluación <strong>de</strong> las integrales que dan lugar a la ecuación <strong>de</strong> balance se utilizan las<br />
aproximaciones <strong>de</strong>l punto 2.<br />
Figura 1<br />
Definición <strong>de</strong> la celda elemental<br />
Normalmente se usan aproximaciones sencillas. En Problemas 2-D, la aproximación más sencilla<br />
y versátil es el triángulo lineal. Si <strong>de</strong>nominamos con φ a la incógnita (escalar) <strong>de</strong>l problema<br />
φ (x) =<br />
3∑<br />
L I φ I 149<br />
I=1
en tanto que las velocida<strong>de</strong>s (conocidas) pue<strong>de</strong>n escribirse<br />
u (x) =<br />
3∑<br />
L I u I<br />
I=1<br />
don<strong>de</strong><br />
φ I : son las incógnitas nodales<br />
L I : son las coor<strong>de</strong>nadas triangulares (ξ, η, ζ)<br />
u I : son las velocida<strong>de</strong>s en los nudos (conocidas), que satisfacen ∇u = 0<br />
Para cada elemento finito triangular hay que calcular las 3 contribuciones correspondientes a las<br />
celdas <strong>de</strong> volumen finito asociadas a cada nudo <strong>de</strong>l triángulo. Estas contribuciones correspon<strong>de</strong>n<br />
a las interfaces internas indicadas como 1, 2 y 3 en la Figura 2<br />
Figura 2<br />
Interfaces internas <strong>de</strong> cada triángulo<br />
A su vez cada una <strong>de</strong> esas contribuciones se sumará o restará en cada nudo según la <strong>de</strong>finición<br />
que se utilice <strong>de</strong> la normal a la interfaz.<br />
Denominando con x I al par coor<strong>de</strong>nado <strong>de</strong> cada nudo y orientando los lados <strong>de</strong>l triángulo en<br />
sentido antihorario<br />
l 1 = x 3 − x 2 l 2 = x 1 − x 3 l 3 = x 2 − x 1<br />
y llamando a I y b I a las proyecciones <strong>de</strong>l lado I según las direcciones coor<strong>de</strong>nadas<br />
a I = l I · t 1 b I = l I · t 2<br />
a 1 = x 3 1 − x2 1 b 1 = x 3 2 − x2 2<br />
a 2 = x 1 1 − x 3 1 b 2 = x 1 2 − x 3 2<br />
a 3 = x 2 1 − x 1 1 b 3 = x 2 2 − x 1 2<br />
En base a las <strong>de</strong>finiciones anteriores es fácil <strong>de</strong>mostrar que el duplo <strong>de</strong>l área <strong>de</strong>l triángulo vale<br />
2A = a 1 b 2 − a 2 b 1<br />
y a<strong>de</strong>más que para un punto genérico <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas (x 1 , x 2 ) las funciones <strong>de</strong> forma valen<br />
150<br />
L 1 = 1 [<br />
−b 1 x 1 + a 1 x 2 + b 1 x 2 1<br />
2A<br />
− ] a1 x 2 2 = ξ (x1 , x 2 )<br />
L 2 = 1<br />
2A<br />
L 2 = 1<br />
2A<br />
[<br />
−b 2 x 1 + a 2 x 2 + b 2 x 3 1 − ] a2 x 3 2 = η (x1 , x 2 )<br />
[ −b 3 x 1 + a 3 x 2 + b 3 x 1 1 − ] a3 x 1 2 = ζ (x1 , x 2 )
En la Figura 1 la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> la celda o volumen finito se ha hecho en función <strong>de</strong> las “medianas”<br />
<strong>de</strong> cada triángulo que parten <strong>de</strong> la mitad <strong>de</strong> cada lado y se cortan en el centro <strong>de</strong>l elemento. Esto<br />
hace que a lo largo <strong>de</strong> cada mediana dos <strong>de</strong> las coor<strong>de</strong>nadas triangulares (asociadas a los nudos<br />
extremos <strong>de</strong>l lado) tengan el mismo valor ( 1 sobre el lado y 1 en el centro <strong>de</strong>l elemento), en tanto<br />
2 3<br />
que la coor<strong>de</strong>nada triangular restante varíe entre 0 (sobre el lado) y 1 en el centro <strong>de</strong>l elemento.<br />
3<br />
Las coor<strong>de</strong>nadas <strong>de</strong>l centro <strong>de</strong>l triángulo son<br />
C x = 1 3<br />
(<br />
x 1 + x 2 + x 3)<br />
en tanto que las <strong>de</strong>l centro <strong>de</strong> cada lado son sencillamente (notar que con un supraíndice a la<br />
<strong>de</strong>recha se indican valores nodales, como se ha hecho habitualmente, y con supraíndice izquierdo<br />
se indican las coor<strong>de</strong>nadas <strong>de</strong>l centro <strong>de</strong>l lado, opuesto al nudo correspondiente)<br />
1 x = 1 (<br />
x 2 + x 3)<br />
2<br />
2 x = 1 (<br />
x 3 + x 1)<br />
2<br />
3 x = 1 (<br />
x 1 + x 2)<br />
2<br />
A partir <strong>de</strong> estas coor<strong>de</strong>nadas, cada interfaz queda <strong>de</strong>finida por el vector orientado <strong>de</strong>l centro<br />
<strong>de</strong>l triángulo al centro <strong>de</strong>l lado<br />
s 1 = 1 x− C x = − 1 3 x1 + 1 6 x2 + 1 6 x3<br />
s 2 = 2 x− C x = − 1 3 x2 + 1 6 x3 + 1 6 x1<br />
s 3 = 3 x− C x = − 1 3 x3 + 1 6 x1 + 1 6 x2<br />
A la longitud <strong>de</strong> cada interfaz la <strong>de</strong>nominarse como |s I | en tanto que el vector normal a la<br />
misma se expresa como<br />
n I = 1 ( ) (<br />
−s<br />
I<br />
|s I | 2 , s I 1 = n<br />
I<br />
1 , n2)<br />
I (9.1)<br />
<strong>de</strong> tal forma que el producto s I × n I sea saliente al plano.<br />
Figura 3<br />
η como función <strong>de</strong> ξ en cada interfaz interna<br />
Observando el elemento maestro y el elemento en el plano real resulta<br />
151
Interfaz 1 ξ en [ 1, 0] η en [ 1, 1] η = 1 (1 − ξ)<br />
3 3 2 2<br />
Interfaz 2 ξ en [ 1, 1] η en [ 1 , 0] η = 1 − 2ξ<br />
3 2 3<br />
Interfaz 3 ξ en [ 1, 1] η en [ 1, 1] η = ξ<br />
3 2 3 2<br />
Tenemos entonces <strong>de</strong>finidas las interfaces.<br />
La ecuación <strong>de</strong> balance en cada volumen finito o celda es:<br />
∫<br />
[ρφu − Γ ∇φ] · ν dS = 0<br />
S<br />
u y φ hemos visto que varían en forma lineal, en tanto que ∇φ es constante para cada elemento<br />
(pero tiene valores distintos <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> la celda)<br />
∇φ =<br />
Consi<strong>de</strong>remos la interfaz 1<br />
∫<br />
[<br />
φ′<br />
1<br />
φ′ 2<br />
s 1 [ρφu − Γ ∇φ] · n 1 dS =<br />
]<br />
= 1 [ ] ⎡ −b<br />
1<br />
−b 2 −b 3<br />
⎣<br />
2A a 1 a 2 a 3<br />
∫ 0<br />
1<br />
3<br />
⎤<br />
φ 1<br />
φ 2 ⎦<br />
φ 3<br />
[<br />
ρ 1 φ (1 u · n 1) − n 1 · Γ ∇φ ] 3|s 1 | dξ<br />
don<strong>de</strong> hemos realizado el cambio <strong>de</strong> variable <strong>de</strong> integración y hemos introducido las <strong>de</strong>finiciones<br />
1 φ (ξ) = ξφ 1 + 1 2 (1 − ξ) φ2 +<br />
[1 − ξ − 1 ]<br />
2 (1 − ξ) φ 3<br />
= ξφ 1 + 1 2 (1 − ξ) φ2 + 1 (1 − ξ) φ3<br />
2<br />
1 u (ξ) = ξu 1 + 1 2 (1 − ξ) u2 + 1 (1 − ξ) u3<br />
2<br />
correspondientes a los valores <strong>de</strong> φ y u a lo largo <strong>de</strong> la interfaz 1 (por ello el supraíndice izquierdo<br />
asociado)<br />
El primer término <strong>de</strong> la integral pue<strong>de</strong> expresarse<br />
ρ 1 φ (1 u · n 1) = ρ ( n 1 1, n 1 2) [ u 1 1 u 2 1 u 3 1<br />
u 1 2 u 2 2 u 3 2<br />
En tanto que el segundo término es<br />
] ⎡ ⎣<br />
ξ<br />
(1−ξ)<br />
2<br />
(1−ξ)<br />
2<br />
⎤<br />
⎦ [ ξ<br />
(1−ξ)<br />
2<br />
−n 1 · Γ ∇φ = − ( n 1 1 , ) [ ] [ ] ⎡ Γ 11 Γ 21 −b<br />
1<br />
−b 2 −b 3<br />
n1 ⎣<br />
2<br />
Γ 12 Γ 22 a 1 a 2 a 3<br />
(1−ξ)<br />
2<br />
] ⎡ ⎣<br />
⎤<br />
φ 1<br />
φ 2 ⎦<br />
φ 3<br />
En esta última integral todo es constante luego la integral vale sencillamente<br />
∫ 0<br />
1<br />
3<br />
−n 1 · Γ ∇φ 3|s 1 | dξ = |s1 | ( n<br />
1<br />
2A 1 , n2) [ ] [ ] 1 Γ 11 Γ 21 −b<br />
1<br />
−b 2 −b 3 φ 1<br />
Γ 12 Γ 22 a 1 a 2 a 3 φ 2<br />
⎤<br />
φ 1<br />
φ 2 ⎦<br />
φ 3<br />
Que contribuye al balance <strong>de</strong>l nudo 2 con el signo que está y al balance <strong>de</strong>l nudo 3 cambiándole el<br />
signo. Recordar a<strong>de</strong>más la relación entre las componentes <strong>de</strong>l vector normal y la interfaz (ecuación<br />
9.1).<br />
152<br />
φ 3
La integral <strong>de</strong>l primer término es más laboriosa pero sencilla. Pue<strong>de</strong> escribirse como<br />
⎡<br />
⎤<br />
] ∫ 1 ξ 2 (1−ξ)ξ (1−ξ)ξ ⎡<br />
3<br />
2 2<br />
Observando que<br />
ρ ( s 1 2, −s 1 1) [ u 1 1 u 2 1 u 3 1<br />
u 1 2 u 2 2 u 3 2<br />
∫ 1<br />
3<br />
0<br />
∫ 1<br />
3<br />
0<br />
∫ 1<br />
3<br />
0<br />
(1 − ξ) ξ<br />
2<br />
(1 − ξ) 2<br />
4<br />
0<br />
ξ 2 dξ =<br />
dξ =<br />
dξ =<br />
⎢<br />
⎣<br />
(1−ξ)ξ<br />
2<br />
(1−ξ)ξ<br />
2<br />
La integral <strong>de</strong>l primer término pue<strong>de</strong> escribirse ahora<br />
∫ 0<br />
1<br />
3<br />
] 1 3<br />
(1−ξ) 2<br />
4<br />
(1−ξ) 2<br />
4<br />
(1−ξ) 2<br />
4<br />
(1−ξ) 2<br />
4<br />
[ ξ<br />
3<br />
= 1 3<br />
0<br />
81<br />
[ ξ<br />
2<br />
] 1<br />
4 − ξ3 3<br />
= 7<br />
6<br />
0<br />
324<br />
] [ξ 1 − ξ 2 + ξ3 3<br />
= 19<br />
3 324<br />
[<br />
ρ 1 φ (1 u · n 1)] 3|s 1 | dξ = ρ ( ) [<br />
s 1 2, −s 1 u 1 1 u 2 1 u 3 1<br />
1<br />
u 1 2 u 2 2 u 3 2<br />
En forma similar, a lo largo <strong>de</strong> la interfaz 2 es posible <strong>de</strong>finir<br />
2 φ (ξ) = ξφ 1 + (1 − 2ξ) φ 2 + ξφ 3<br />
2 u (ξ) = ξu 1 + (1 − 2ξ) u 2 + ξu 3<br />
La forma <strong>de</strong> la parte difusiva es similar al caso anterior<br />
∫ 1<br />
2<br />
1<br />
3<br />
0<br />
⎥<br />
⎦ dξ<br />
⎣<br />
⎤<br />
φ 1<br />
φ 2 ⎦<br />
φ 3<br />
⎡<br />
] 1<br />
⎣ 4 7 7<br />
7 19 19<br />
108<br />
7 19 19<br />
−n 2 · Γ ∇φ 6|s 2 | dξ = 1 (<br />
−s<br />
2<br />
2A 2 , s1) [ ] [ ] ⎡<br />
2 Γ 11 Γ 21 −b<br />
1<br />
−b 2 −b 3<br />
⎣<br />
Γ 12 Γ 22 a 1 a 2 a 3<br />
⎤ ⎡<br />
⎦ ⎣<br />
⎤<br />
φ 1<br />
φ 2 ⎦<br />
φ 3<br />
⎤<br />
φ 1<br />
φ 2 ⎦<br />
φ 3<br />
que contribuye al nudo 3 y al nudo 1 (cambiada <strong>de</strong> signo). En tanto que la parte convectiva resulta<br />
<strong>de</strong><br />
ρ ( s 2 2 , 1) [ ⎡<br />
⎡<br />
] ∫<br />
u 1<br />
−s2 1 u 2 1 u 3 1<br />
2<br />
1<br />
u 1 2 u 2 2 u 3 6 ⎣<br />
⎣<br />
2<br />
1<br />
3<br />
Realizando las integrales tenemos<br />
ρ ( s 2 2, −s 2 1) [ u 1 1 u 2 1 u 3 1<br />
u 1 2 u 2 2 u 3 2<br />
ξ 2 ξ − 2ξ 2 ξ 2 ⎤<br />
ξ − 2ξ 2 (1 − 2ξ) 2 ξ − 2ξ 2 ⎦ dξ<br />
⎡<br />
] 1<br />
⎣<br />
108<br />
19 7 19<br />
7 4 7<br />
19 7 19<br />
⎤<br />
⎡<br />
⎦ dξ ⎣<br />
⎤<br />
φ 1<br />
φ 2 ⎦<br />
φ 3<br />
⎤<br />
φ 1<br />
φ 2 ⎦<br />
φ 3<br />
Finalmente en la interfaz 3 las partes difusiva y convectiva resultan respectivamente<br />
1 (<br />
−s<br />
3<br />
2A 2 , s1) [ ] [ ] 3 Γ 11 Γ 21 −b<br />
1<br />
−b 2 −b 3 φ 1<br />
Γ 12 Γ 22 a 1 a 2 a 3 φ 2<br />
ρ ( s 3 2 , −s3 1) [ u 1 1 u 2 1 u 3 1<br />
u 1 2 u 2 2 u 3 2<br />
⎡<br />
] 1<br />
⎣<br />
108<br />
19 19 7<br />
19 19 7<br />
7 7 4<br />
⎤ ⎡<br />
⎦ ⎣<br />
φ 3<br />
⎤<br />
φ 1<br />
φ 2 ⎦<br />
φ 3<br />
De esta forma, agrupando los resultados obtenidos para cada interfaz, las contribuciones resultan:<br />
153
Parte Difusiva<br />
⎡<br />
1<br />
⎣<br />
2A<br />
s 2 2 − s 3 2 s 3 1 − s 2 1<br />
s 3 2 − s 1 2 s 1 1 − s 3 1<br />
s 1 2 − s 2 2 s 2 1 − s 1 1<br />
Parte Convectiva: Definiendo<br />
⎤<br />
[ ] [ ]<br />
⎦ Γ11 Γ 21 −b<br />
1<br />
−b 2 −b 3 φ 1<br />
Γ 12 Γ 22 a 1 a 2 a 3 φ 2<br />
v 1I = ( s 3 2 − s2 2)<br />
u<br />
I<br />
1 + ( s 2 1 − s3 1)<br />
u<br />
I<br />
2<br />
v 2I = ( s 1 2 − s 3 2)<br />
u<br />
I<br />
1 + ( s 3 1 − s 1 1)<br />
u<br />
I<br />
2<br />
v 3I = ( s 2 2 − s 1 2)<br />
u<br />
I<br />
1 + ( s 1 1 − s 2 1)<br />
u<br />
I<br />
2<br />
φ 3 (9.2)<br />
don<strong>de</strong> los supraíndices en v IJ están asociados a I: interfaz, J: nudo. Tendremos<br />
⎧<br />
⎡ ⎤<br />
⎡ ⎤ ⎫<br />
[<br />
v<br />
11<br />
v<br />
ρ<br />
⎪⎨<br />
12 v ] 4 7 7<br />
13 ⎣ 7 19 19 ⎦ + [ v 21 v 22 v ] 19 7 19<br />
23 ⎣ 7 4 7 ⎦ + ⎡<br />
⎪⎬<br />
7 19 19<br />
⎡ ⎤<br />
19 7 19<br />
⎣<br />
108<br />
[ v<br />
31<br />
v ⎪⎩<br />
32 v ] 19 19 7<br />
33 ⎣ 19 19 7 ⎦<br />
⎪⎭<br />
7 7 4<br />
⎤<br />
φ 1<br />
φ 2 ⎦<br />
φ 3<br />
En la parte difusiva es posible incluir una “difusión <strong>de</strong> balance” Γ b para mejorar el comportamiento<br />
numérico. Esta pue<strong>de</strong> calcularse <strong>de</strong> la siguiente forma<br />
Γ b = β [n ⊗ n]<br />
don<strong>de</strong><br />
n = u<br />
|u|<br />
α = 1 |u|h<br />
2 Γ<br />
= Pe<br />
β = coth (α) − 1 α<br />
Como u es variable punto a punto, Γ b también lo será. Sin embargo utilizaremos un valor único<br />
en cada elemento. Razonablemente el valor a utilizar será el <strong>de</strong>l centro <strong>de</strong>l elemento<br />
ū = 1 (<br />
u 1 + u 2 + u 3)<br />
3<br />
|ū| = [ ū 2 1 + ū2 2<br />
¯n = ū<br />
|ū|<br />
El valor <strong>de</strong> h (dimensión <strong>de</strong>l elemento en la dirección ¯n pue<strong>de</strong> aproximarse por<br />
] 1<br />
2<br />
Finalmente notar que<br />
h = 1 2<br />
3∑<br />
|l I · ¯n|<br />
I=1<br />
s 3 − s 2 = − 1 3 x3 + 1 6 x1 + 1 6 x2 + 1 3 x2 − 1 6 x1 − 1 6 x3 = 1 (<br />
x 2 − x 3) = − l1<br />
2<br />
2 = −1 (<br />
b 1 , a 1)<br />
2<br />
s 1 − s 3 = − l2 2 = −1 ( b 2 , a 2)<br />
2<br />
s 2 − s 1 = − l3 2 = −1 ( b 3 , a 3)<br />
2<br />
154
<strong>de</strong> don<strong>de</strong><br />
⎡<br />
⎣<br />
s 2 2 − s 3 2 s 3 1 − s 2 1<br />
s 3 2 − s 1 2 s 1 1 − s 3 1<br />
s 1 2 − s 2 2 s 2 1 − s 1 1<br />
⎤ ⎡ ⎤<br />
⎦ = 1 −b 1 a 1<br />
⎣ −b 2 a 2 ⎦<br />
2<br />
−b 3 a 3<br />
Lo cual, reemplazado en 9.2 muestra la simetría <strong>de</strong> la parte difusiva<br />
Condiciones <strong>de</strong> contorno<br />
En los triángulos que están en contacto con el contorno <strong>de</strong>l dominio hay que consi<strong>de</strong>rar las<br />
condiciones <strong>de</strong> contorno <strong>de</strong>l problema que allí existan.<br />
Básicamente el contorno lo po<strong>de</strong>mos dividir en dos partes<br />
S φ don<strong>de</strong> se conoce el valor <strong>de</strong> la variable φ<br />
S σ don<strong>de</strong> el valor <strong>de</strong> la variables φ es incógnita. Esta parte pue<strong>de</strong> a su vez dividirse en dos<br />
partes<br />
- don<strong>de</strong> se conoce el valor <strong>de</strong>l flujo ¯σ ν (incluida aquella parte don<strong>de</strong> ¯σ ν = 0)<br />
¯σ ν = [ρuφ − Γ ∇φ] · ν<br />
- don<strong>de</strong> se conoce el valor <strong>de</strong> ∇φ · ν pero no φ misma. Habitualmente ∇φ · ν = 0 en el<br />
“campo lejano”<br />
En S φ se trabaja <strong>de</strong> la siguiente manera<br />
1. No es necesario plantear el balance en dicho punto. Luego no hay ecuación <strong>de</strong> balance asociado<br />
a los puntos don<strong>de</strong> φ es conocido.<br />
2. Un triángulo que esté asociado con un contorno así tendrá en general tres contribuciones (a<br />
cada uno <strong>de</strong> sus vértices) en la forma<br />
⎡<br />
⎣ Contr. 1<br />
Contr. 2<br />
Contr. 3<br />
⎤<br />
⎦ =<br />
⎡<br />
⎣ C ⎤ ⎡<br />
11 C 12 C 13<br />
C 21 C 22 C 23<br />
⎦ ⎣<br />
C 31 C 32 C 33<br />
⎤<br />
φ 1<br />
φ 2 ⎦<br />
φ 3<br />
Supongamos que φ 2 = ¯φ es conocido, entonces la segunda fila (la que contribuye alre<strong>de</strong>dor<br />
<strong>de</strong>l nudo 2) no es necesaria. Las contribuciones C 12¯φ (al nudo 1) y C32¯φ (al nudo 3) al ser<br />
valores conocidos pasan al término in<strong>de</strong>pendiente<br />
En S σ tenemos dos posibilida<strong>de</strong>s<br />
1. Conocemos σ ν : Interpolamos linealmente el valor <strong>de</strong> σ ν entre los nudos <strong>de</strong>l lado <strong>de</strong>l elemento.<br />
Llamando (ver figura 4) |l| = |x 2 − x 1 |, la contribución a cada celda o volumen es<br />
nudo 1 :<br />
nudo 2 :<br />
|l| ( 2σ<br />
1<br />
6 ν + σν)<br />
2<br />
|l| (<br />
σ<br />
1<br />
6 ν + 2σν)<br />
2<br />
que contribuye al término in<strong>de</strong>pendiente. El signo <strong>de</strong> σ ν <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> que el flujo conocido sea<br />
entrante o saliente.<br />
155
Figura 4<br />
Bor<strong>de</strong> don<strong>de</strong> el flujo σ ν es conocido<br />
2. El caso ∇φ · ν = 0 conduce a consi<strong>de</strong>rar sólo la influencia <strong>de</strong>l término convectivo. La contribución<br />
al nudo 1 resulta<br />
∫ 1<br />
2<br />
|l| ρ [ (1 − ξ) u 1 ν + [<br />
ν] ξu2 (1 − ξ) φ 1 + ξφ 2] dξ<br />
0<br />
|l|ρ [ ] ∫ [ 1<br />
u 1 ν, u 2 2 (1 − ξ)<br />
2<br />
ν<br />
0<br />
|l|ρ<br />
24<br />
]<br />
ξ (1 − ξ)<br />
ξ (1 − ξ) ξ 2<br />
[<br />
u<br />
1<br />
ν , u 2 ν] [ 7 2<br />
2 1<br />
similarmente la contribución al nudo 2 resulta<br />
|l|ρ<br />
24<br />
[<br />
u<br />
1<br />
ν , u 2 ν] [ 1 2<br />
2 7<br />
] [ φ<br />
1<br />
φ 2 ]<br />
] [ φ<br />
1<br />
φ 2 ]<br />
dξ<br />
[ φ<br />
1<br />
φ 2 ]<br />
Estas contribuciones son <strong>de</strong>pendientes <strong>de</strong> las incógnitas φ 1 y φ 2 y se suman sobre la matriz<br />
<strong>de</strong> coeficientes<br />
Ejemplo<br />
Con el objetivo <strong>de</strong> mostrar el comportamiento <strong>de</strong> la formulación presentada se consi<strong>de</strong>ra el<br />
transporte <strong>de</strong> una cantidad escalar en un campo <strong>de</strong> velocida<strong>de</strong>s conocido. Este último está dado<br />
por u x = x y u y = −y que representa el flujo cerca <strong>de</strong> un punto <strong>de</strong> estancamiento. Las líneas <strong>de</strong><br />
corriente son líneas <strong>de</strong> xy =cte. y cambian <strong>de</strong> dirección respecto a la grilla cartesiana. El dominio<br />
consi<strong>de</strong>rado es un cuadrado <strong>de</strong> lado unitario. Las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> a ser aplicadas son (ver<br />
figura 6<br />
156<br />
1. φ = 0 a lo largo <strong>de</strong>l bor<strong>de</strong> superior (entrada)<br />
2. variación lineal <strong>de</strong> φ <strong>de</strong>s<strong>de</strong> φ = 0 en y = 1 hasta φ = 1 en y = 0 a lo largo <strong>de</strong>l bor<strong>de</strong> izquierdo<br />
3. condición <strong>de</strong> simetría (gradiente nulo a través <strong>de</strong>l contorno) en el bor<strong>de</strong> inferior<br />
4. gradiente nulo en la dirección <strong>de</strong>l flujo en el bor<strong>de</strong> <strong>de</strong> salida (<strong>de</strong>recha)
Figura 5<br />
Bor<strong>de</strong> don<strong>de</strong> el gradiente es nulo<br />
Se ha discretizado el dominio con dos mallas uniforme <strong>de</strong> 800 elementos y 3200 elementos<br />
respectivamente. En las figuras 7 y 8 se muestran las curvas <strong>de</strong> igual concentración. Se observa<br />
un fuerte gradiente en la zona cercana a los ejes coor<strong>de</strong>nados, en tanto que lejos <strong>de</strong> ellos el valor<br />
<strong>de</strong> la variable es casi nulo. En base al conocimiento <strong>de</strong> la zona <strong>de</strong> mayores gradientes es posible<br />
<strong>de</strong>finir que la malla sea más <strong>de</strong>nsa don<strong>de</strong> los gradientes son importantes y que la malla sea más<br />
gruesa don<strong>de</strong> el gradiente es bajo. En la figura 9 se muestran las curvas <strong>de</strong> nivel para una malla<br />
no-uniforme <strong>de</strong> 832 elementos. El esfuerzo computacional en este caso es similar al <strong>de</strong> la primera<br />
malla uniforme y los resultados son mejores.<br />
159
φ=0<br />
grad φ=0<br />
φ=1<br />
simetría<br />
Figura 6<br />
Campo <strong>de</strong> velocida<strong>de</strong>s y condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong><br />
Figura 7<br />
Curvas <strong>de</strong> nivel <strong>de</strong> la concentración para la primera malla uniforme<br />
160
Figura 8<br />
Curvas <strong>de</strong> nivel <strong>de</strong> la concentración para la segunda malla uniforme<br />
Figura 9<br />
Curvas <strong>de</strong> nivel <strong>de</strong> la concentración para la malla no-uniforme<br />
161
162
APENDICE:<br />
Descripción <strong>de</strong>l programa GAMMA<br />
por F. Flores<br />
Introducción<br />
Los <strong>de</strong>sarrollos <strong>de</strong>l método <strong>de</strong> Elementos Finitos están íntimamente ligados con la forma <strong>de</strong><br />
programarlo (codificarlo), y no es posible una comprensión cabal <strong>de</strong>l método sin programarlo, o<br />
por lo menos enten<strong>de</strong>r claramente como se lo hace y cuales son las dificulta<strong>de</strong>s que surgen y la<br />
forma <strong>de</strong> solucionarlas.<br />
El lenguaje <strong>de</strong> programación que tradicionalmente se ha usado para el M.E.F. ha sido el FOR-<br />
TRAN (FORmula TRANslation), que es un lenguaje <strong>de</strong> alto nivel. El lenguaje ha ido progresando<br />
paulatinamente aunque más lentamente que otros lenguajes. Des<strong>de</strong> el original FORTRAN IV ( o<br />
66) pasando por el FORTRAN’77 que intenta ser ya un lenguaje estructurado, más fácil <strong>de</strong> <strong>de</strong>purar<br />
<strong>de</strong> errores, hasta el actual FORTRAN’90 que ha tomado muchos elementos <strong>de</strong> lenguajes más<br />
versátiles lo cual lo convierte actualmente en muy potente. La evolución <strong>de</strong>l lenguaje, y <strong>de</strong> la forma<br />
<strong>de</strong> programar, pue<strong>de</strong> verse en los distintos textos <strong>de</strong> elementos finitos, don<strong>de</strong> en general aparecen<br />
programas <strong>de</strong>mostrativos en lenguaje FORTRAN. En esos textos pue<strong>de</strong> también notarse una serie<br />
<strong>de</strong> falencias, en lo que a técnicas <strong>de</strong> programación se refiere, <strong>de</strong> quienes codificaron el método,<br />
muchas veces <strong>de</strong>bido a la limitaciones intrínsecas <strong>de</strong>l lenguaje, otras <strong>de</strong>bido a una tradición en la<br />
forma en que se venía haciendo y que no ha sido fácil modificar.<br />
Existen múltiples formas <strong>de</strong> programar el M.E.F., lo que <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> una serie <strong>de</strong> aspectos,<br />
entre ellos:<br />
1. El tipo <strong>de</strong> resolvedor <strong>de</strong> ecuaciones que se vaya a utilizar, que condiciona la forma <strong>de</strong> almacenar<br />
los elementos <strong>de</strong> la matriz <strong>de</strong> coeficientes que generalmente resulta muy voluminosa,<br />
a<strong>de</strong>más <strong>de</strong> ocupar en problemas significativos el mayor tiempo <strong>de</strong> C.P.U. en la solución <strong>de</strong>l<br />
problema.<br />
2. La variedad <strong>de</strong> elementos que se intente incluir, la factibilidad <strong>de</strong> usar mo<strong>de</strong>los mixtos.<br />
3. La generalidad <strong>de</strong> las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> esenciales y la posibilidad <strong>de</strong> combinar estados<br />
<strong>de</strong> solicitaciones.<br />
4. Posibilida<strong>de</strong>s futuras <strong>de</strong> ampliar el código a otro tipo <strong>de</strong> problemas.<br />
5. Grado <strong>de</strong> eficiencia requerida (en tiempo <strong>de</strong> C.P.U. o en requerimiento <strong>de</strong> memoria R.A.M.)<br />
6. Portabilidad <strong>de</strong>l código, in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ncia <strong>de</strong> sistemas operativos o extensiones locales <strong>de</strong> los<br />
lenguajes.<br />
GAMMA es un programa <strong>de</strong> elementos finitos orientado a resolver problemas bidimensionales<br />
(es <strong>de</strong>cir dominios planos) lineales (las coeficientes <strong>de</strong> la ecuación diferencial no <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>n <strong>de</strong>l valor<br />
<strong>de</strong> la variable). El programa GAMMA ha sido codificado en FORTRAN’90, el presente texto no<br />
intenta explicar el lenguaje, <strong>de</strong> manera que para un comprensión <strong>de</strong>l mismo <strong>de</strong>berán dirigirse a<br />
textos especializados o los manuales <strong>de</strong> referencia <strong>de</strong>l lenguaje.<br />
Se ha intentado mantener una cierta claridad <strong>de</strong> programación sin renunciar a la eficiencia <strong>de</strong> la<br />
misma. Se ha tratado <strong>de</strong> hacer eficiente sólo las partes más importantes (en este caso el resolvedor<br />
163
<strong>de</strong> ecuaciones), <strong>de</strong> tal forma <strong>de</strong> hacer más sencilla la comprensión <strong>de</strong> la mayor parte <strong>de</strong>l código<br />
para facilitar la ampliación por parte <strong>de</strong> usuarios no-expertos.<br />
El código que se presenta aquí está <strong>de</strong> alguna forma incompleto con el objetivo <strong>de</strong> que el estudiante<br />
genere las partes que pudieran faltar a manera <strong>de</strong> ejercicio. Esas partes faltantes correspon<strong>de</strong>n<br />
a:<br />
Generación automática <strong>de</strong> datos y verificaciones previas.<br />
Generación <strong>de</strong>l vector <strong>de</strong> términos in<strong>de</strong>pendiente <strong>de</strong>bido a condiciones <strong>de</strong> contorno naturales<br />
o <strong>de</strong>bido al término in<strong>de</strong>pendiente <strong>de</strong> la ecuación diferencial.<br />
Evaluación <strong>de</strong>l flujo o estado tensional en los puntos <strong>de</strong> integración una vez conocidas las<br />
variables nodales y evaluación <strong>de</strong> los valores nodales mediante suavizado.<br />
Evaluación <strong>de</strong>l error aproximado y con él los valores <strong>de</strong>l tamaño <strong>de</strong> la malla para generar<br />
una malla adaptable.<br />
Básicamente se han incluido la posibilidad <strong>de</strong> analizar los siguientes problemas físicos:<br />
Ecuación <strong>de</strong> Laplace, que representa una buena cantidad <strong>de</strong> problemas <strong>de</strong>pendiendo <strong>de</strong>l<br />
significado que se le <strong>de</strong>n a los coeficientes y a sus condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> (flujo irrotacional,<br />
flujo en un medio poroso, torsión sin restricción <strong>de</strong> alabeo ya sea usando la función <strong>de</strong> alabeo<br />
o la <strong>de</strong> tensión, transmisión <strong>de</strong>l calor, etc.)<br />
Elasticidad bidimensional, incluyendo típicamente los casos <strong>de</strong>:<br />
1. Tensión Plana<br />
2. Deformación Plana<br />
3. Sólidos Axilsimétricos<br />
Flexión <strong>de</strong> placas planas incluyendo <strong>de</strong>formaciones <strong>de</strong> corte transversales<br />
Base <strong>de</strong> datos<br />
De hecho una parte imprescindible para enten<strong>de</strong>r un programa es saber como están almacenados<br />
los datos. La presente versión <strong>de</strong>l programa incluye sólo dos elementos finitos, un triángulo <strong>de</strong><br />
seis nodos y un cuadrilátero <strong>de</strong> nueve nodos, ambos cuadráticos (en este caso el programa no está<br />
orientado a tener una variada biblioteca <strong>de</strong> elementos sino que se supone que sólo tendrá estos dos).<br />
En base a ello se <strong>de</strong>finen algunas variables escalares, las que pue<strong>de</strong>n ser parámetros in<strong>de</strong>pendientes<br />
<strong>de</strong>l tipo <strong>de</strong> problema, parámetros <strong>de</strong>pendientes <strong>de</strong>l tipo <strong>de</strong> problema, o variables <strong>de</strong>pendientes <strong>de</strong><br />
la características geométricas <strong>de</strong> la malla o <strong>de</strong> las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> y <strong>de</strong>l material constitutivo.<br />
Se <strong>de</strong>finen las siguientes:<br />
parámetros<br />
DIMEN indica la dimensión espacial <strong>de</strong>l problema, que en este caso está restringido a 2 (bidimensional),<br />
esta variable y otras, aunque no son imprescindibles, se <strong>de</strong>finen por una cuestión <strong>de</strong><br />
or<strong>de</strong>n y <strong>de</strong> claridad <strong>de</strong> lectura <strong>de</strong>l código.<br />
NODET es el número <strong>de</strong> nudos que tiene el triángulo que es 6.<br />
NODEQ es el número <strong>de</strong> nudos que tiene el cuadrilátero que es 9.<br />
TYPEP indica el tipo <strong>de</strong> problema físico que se intenta resolver<br />
164<br />
0 Ecuación <strong>de</strong> Laplace
1 Estado plano <strong>de</strong> tensión<br />
2 Estado plano <strong>de</strong> <strong>de</strong>formación<br />
3 Estado <strong>de</strong> <strong>de</strong>formación axilsimétrica<br />
4 Flexión <strong>de</strong> placas<br />
NDOFN es el número <strong>de</strong> grados <strong>de</strong> libertad que pue<strong>de</strong> haber en cada nudo, este valor <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong>l<br />
tipo <strong>de</strong> problema, en general para problemas <strong>de</strong> continuidad C 0 correspon<strong>de</strong> al número <strong>de</strong><br />
variables <strong>de</strong>l problema.<br />
1 Ecuación <strong>de</strong> Laplace<br />
2 Estado plano <strong>de</strong> tensión<br />
2 Estado plano <strong>de</strong> <strong>de</strong>formación<br />
2 Estado <strong>de</strong> <strong>de</strong>formación axilsimétrica<br />
3 Flexión <strong>de</strong> placas<br />
NSTRE es el número <strong>de</strong> variables que <strong>de</strong>finen el flujo en cada punto<br />
2 Ecuación <strong>de</strong> Laplace<br />
3 Estado plano <strong>de</strong> tensión<br />
3 Estado plano <strong>de</strong> <strong>de</strong>formación<br />
4 Estado <strong>de</strong> <strong>de</strong>formación axilsimétrica<br />
5 Flexión <strong>de</strong> placas<br />
NRENU ban<strong>de</strong>ra que indica si se <strong>de</strong>sea optimizar la numeración <strong>de</strong> las ecuaciones <strong>de</strong> forma <strong>de</strong><br />
disminuir el tamaño <strong>de</strong>l perfil <strong>de</strong>l sistema <strong>de</strong> ecuaciones<br />
Variables que <strong>de</strong>finen el problema, introducidas al programa<br />
NODES es el número <strong>de</strong> nudos total <strong>de</strong> nudos para el tratamiento <strong>de</strong>l problema, esto pue<strong>de</strong> incluir<br />
nudos auxiliares que no tengan variables asociadas pero que resulten útiles por alguna razón<br />
(por ejemplo al momento <strong>de</strong> generar la malla)<br />
NMATY es el número <strong>de</strong> materiales con características diferentes que van a <strong>de</strong>finirse<br />
NPROP es el número <strong>de</strong> características o propieda<strong>de</strong>s que tiene cada material<br />
NTRIA es el número <strong>de</strong> triángulos que hay en la malla<br />
NQUAD es el número <strong>de</strong> cuadriláteros que hay en la malla<br />
NGAUT es el número <strong>de</strong> puntos <strong>de</strong> integración que van a utilizarse en los triángulos<br />
NGAUQ es el número <strong>de</strong> puntos <strong>de</strong> integración que van a utilizarse en los cuadriláteros<br />
NKNOW es el número <strong>de</strong> nudos <strong>de</strong> la malla don<strong>de</strong> van a introducirse condiciones esenciales <strong>de</strong> bor<strong>de</strong><br />
165
3<br />
4<br />
7<br />
3<br />
6<br />
5<br />
8 9<br />
6<br />
1 4 2<br />
1 5 2<br />
Figura 10<br />
Or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> numeración (conectivida<strong>de</strong>s) <strong>de</strong> los nudos <strong>de</strong> triángulos y cuadriláteros<br />
Arreglos <strong>de</strong> datos<br />
Los arreglos que se <strong>de</strong>finen a continuación contienen la información que permite realizar el<br />
análisis. Previamente a guardar información en ellos es necesario reservar el espacio <strong>de</strong> memoria<br />
para ellos. Notar que este espacio <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong>l problema en estudio y por lo tanto se hace en forma<br />
“dinámica” es <strong>de</strong>cir una vez que se han leído los parámetros anteriores. Estos arreglos son:<br />
COORD(dimen,no<strong>de</strong>s) son las coor<strong>de</strong>nadas <strong>de</strong> los puntos que <strong>de</strong>finen la malla.<br />
CONTR(no<strong>de</strong>t,ntria) son las “conectivida<strong>de</strong>s” <strong>de</strong> los triángulos, es <strong>de</strong>cir los nudos que <strong>de</strong>finen a<br />
cada elemento. Estos nudos se <strong>de</strong>finen en un or<strong>de</strong>n prefijado, en este caso siguiendo un sentido<br />
antihorario y comenzando en cualquier nudo vértice van primero los tres nudos vértices y a<br />
continuación los tres nudos sobre los lados comenzando por el primer nudo consecutivo al<br />
primer vértice guardado.<br />
CONQD(no<strong>de</strong>q,nquad) son las “conectivida<strong>de</strong>s” <strong>de</strong> los cuadriláteros, es <strong>de</strong>cir los nudos que <strong>de</strong>finen<br />
a cada elemento. Estos nudos se <strong>de</strong>finen en un or<strong>de</strong>n prefijado, en este caso siguiendo un<br />
sentido antihorario y comenzando en cualquier nudo vértice van primero los cuatro nudos<br />
vértices y a continuación los cuatro nudos sobre los lados comenzando por el primer nudo<br />
consecutivo al primer vértice guardado. Finalmente va el nudo central.<br />
MATRI(ntria) indica para cada triángulo el material <strong>de</strong>l que está constituido.<br />
MATQD(nquad) indica para cada cuadrilátero el material <strong>de</strong>l que está constituido.<br />
PROPS(nprop,nmaty) almacena para cada tipo <strong>de</strong> material las características <strong>de</strong>l mismo<br />
KNOWN(ndofn*nknow) Guarda el valor conocido <strong>de</strong> cada grado <strong>de</strong> libertad don<strong>de</strong> se ha establecido<br />
una condición <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> esencial<br />
IDNOD(ndofn,no<strong>de</strong>s) relaciona cada grado <strong>de</strong> libertad <strong>de</strong> cada nodo con una ecuación global.<br />
MAXAV(neq+1) Debido a la forma <strong>de</strong> almacenamiento <strong>de</strong> la matriz <strong>de</strong> coeficientes, que en este caso<br />
consiste en guardar en forma secuencial (en un arreglo unidimensional) los coeficientes ubicados<br />
<strong>de</strong>bajo <strong>de</strong>l perfil <strong>de</strong> la matriz, este arreglo indica la posición que ocupan los elementos<br />
<strong>de</strong> la diagonal <strong>de</strong> la matriz <strong>de</strong> coeficientes en el vector don<strong>de</strong> está almacenada.<br />
De los últimos tres arreglos hablaremos más en <strong>de</strong>talle más a<strong>de</strong>lante. Finalmente digamos que<br />
la variable escalar NEQ indica el número <strong>de</strong> ecuaciones in<strong>de</strong>pendientes una vez introducidas las<br />
condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> (calculada automáticamente por el programa).<br />
166
Descripción global <strong>de</strong>l programa<br />
A continuación se <strong>de</strong>sarrolla una <strong>de</strong>scripción <strong>de</strong>l significado <strong>de</strong> cada rutina <strong>de</strong>l programa según<br />
el or<strong>de</strong>n en que van apareciendo. El flujo global <strong>de</strong>l programa se controla <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el programa<br />
principal don<strong>de</strong> se <strong>de</strong>finen la variables indicadas en la sección anterior.<br />
Rutina OPENFI<br />
Esta rutina aglutina los comandos necesarios para abrir los archivos a ser usados. Los archivos<br />
son <strong>de</strong> tipo ASCII, es <strong>de</strong>cir que pue<strong>de</strong>n verse y editarse con cualquier editor. Lee interactivamente<br />
los nombres <strong>de</strong> los mismos, verifica su sintaxis y les asigna las características a<strong>de</strong>cuadas. Los<br />
archivos que abre son los siguientes<br />
unit 3 Archivo <strong>de</strong> salida, el nombre <strong>de</strong> este archivo es ingresado por el usuario. Allí van a parar<br />
el eco <strong>de</strong> la entrada <strong>de</strong> datos, valores generados y resultados <strong>de</strong> las variables nodales. Posteriormente<br />
también se escriben allí las reacciones nodales, el valor <strong>de</strong>l flujo en los puntos <strong>de</strong><br />
integración y los valores suavizados en los nodos.<br />
unit 4 Archivo <strong>de</strong> salida don<strong>de</strong> se escriben algunos mensajes <strong>de</strong> advertencia o para escribir valores<br />
auxiliares en la fase <strong>de</strong> <strong>de</strong>puración <strong>de</strong>l programa.<br />
unit 5 Archivo <strong>de</strong> datos (ingresado por el usuario) primero verifica su existencia y concatena<br />
(agrupa) los archivos en que pue<strong>de</strong>n estar separados los datos en un único archivo GAMMA.DAT,<br />
a estos fines llama a las rutinas GENFIL, RANDWR<br />
unit 7-9 Archivos ASCII <strong>de</strong> salida orientados a ser usados como interfaces con programas <strong>de</strong><br />
visualización (Tecplot, GiD).<br />
unit NN Archivo auxiliar<br />
Rutina MATPRO<br />
Lee <strong>de</strong> la unidad 5 las características <strong>de</strong> los materiales y las almacena en la variable PROPS(nprop,nmaty<br />
Esta rutina (como otras) se controla según el caracter que aparece en la primera columna:<br />
si ese carácter es una “e” o “E” entien<strong>de</strong> que se ha terminado con los datos <strong>de</strong> materiales.<br />
si ese carácter es una “m” o “M” entien<strong>de</strong> que se empezarán a leer datos <strong>de</strong> un nuevo material,<br />
y lee el número <strong>de</strong>l material correspondiente.<br />
cualquier otro caracter hace que lea el valor <strong>de</strong> una característica (en forma consecutiva) <strong>de</strong>l<br />
material a partir <strong>de</strong> la columna 31, sirviendo las 30 primeras columnas como un espacio para<br />
comentario.<br />
Una vez terminada la lectura la rutina verifica que se hayan leído valores para todos los materiales<br />
(arreglo EXIST(nmaty)) y si no imprime una advertencia.<br />
Rutina COORDG<br />
Lee <strong>de</strong> la unidad 5 las coor<strong>de</strong>nadas <strong>de</strong> los nudos y las almacena en la variable COORD(dimen,no<strong>de</strong>s).<br />
Esta rutina se controla según el caracter que aparece en la primera columna:<br />
si ese caracter es una “e” o “E” entien<strong>de</strong> que se ha terminado con los datos <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas<br />
nodales.<br />
si ese caracter es un espacio en blanco entien<strong>de</strong> que se leerán datos <strong>de</strong> un nodo, y lee el<br />
número <strong>de</strong>l nodo y su DIMEN coor<strong>de</strong>nadas correspondientes.<br />
si el caracter no es alguno <strong>de</strong> los anteriores asume que la línea es un comentario y pasa a la<br />
siguiente.<br />
167
Esto esta así pensado para que luego puedan construirse alguna forma sencilla <strong>de</strong> generación <strong>de</strong><br />
coor<strong>de</strong>nada nodales estructuradas. Lo que se controlaría con alguna letra a<strong>de</strong>cuada. Por ejemplo se<br />
podría leer en la primera columna una “L” y a continuación hacer una interpolación lineal entre dos<br />
nudos previamente leídos, o una “C” e interpolar nudos sobre un arco <strong>de</strong> círculo, etc. Al respecto<br />
en la versión actual <strong>de</strong>l programa hay algunas opciones <strong>de</strong> generación sencillas.<br />
Finalmente la rutina va verificando <strong>de</strong> que nudos se ha leído o generado coor<strong>de</strong>nadas y en caso<br />
<strong>de</strong> haber coor<strong>de</strong>nadas faltantes (arreglo EXIST(no<strong>de</strong>s)) se imprime un mensaje <strong>de</strong> advertencia.<br />
Rutina ELMDAT<br />
Lee <strong>de</strong> la unidad 5 las conectivida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> los elementos y las almacena en la variable CNODS-<br />
(nno<strong>de</strong>,nelem). Don<strong>de</strong> NNODE es el número <strong>de</strong> nudos <strong>de</strong>l elemento y NELEM es la cantidad <strong>de</strong> elementos<br />
<strong>de</strong> este tipo. Lee también el tipo <strong>de</strong> material <strong>de</strong>l que está compuesto en NUMAT(nelem).Esta<br />
rutina se controla según el caracter que aparece en la primera columna:<br />
si ese caracter es una “e” o “E” entien<strong>de</strong> que se ha terminado con los datos <strong>de</strong> conectivida<strong>de</strong>s<br />
elementales.<br />
si ese caracter es un espacio en blanco entien<strong>de</strong> que se leerán datos <strong>de</strong> un elemento, y lee<br />
el número <strong>de</strong>l elemento, el material <strong>de</strong>l que está constituido y sus NNODE nodos en el or<strong>de</strong>n<br />
correspondiente.<br />
si el caracter no es alguno <strong>de</strong> los anteriores asume que la línea es un comentario y pasa a la<br />
siguiente.<br />
Esto esta así pensado para que luego puedan construirse alguna forma sencilla <strong>de</strong> generación<br />
<strong>de</strong> conectivida<strong>de</strong>s nodales estructuradas. Lo que se controlaría con alguna letra a<strong>de</strong>cuada.<br />
La rutina verifica que se hayan leído o generado las datos <strong>de</strong> todos los elementos (arreglo<br />
EXIST(nelem)) y si no fuese así <strong>de</strong>tiene la ejecución. En caso <strong>de</strong> que las coor<strong>de</strong>nadas <strong>de</strong> sus nudos<br />
medios falten se generan equidistantes <strong>de</strong> los vértices. Finalmente para cada nudo asociado a un<br />
elemento se dan <strong>de</strong> alta los NDOFN parámetros nodales como potenciales grados <strong>de</strong> libertad <strong>de</strong>l<br />
problema en el arreglo IDNOD(ndofn,no<strong>de</strong>s)(condición que luego podrá cambiar al introducir las<br />
condiciones esenciales <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>).<br />
Rutina KNOWNV<br />
Esta rutina lee los valores <strong>de</strong> la variable en aquellos puntos don<strong>de</strong> es conocida (condiciones<br />
esenciales <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>). Estos valores se van or<strong>de</strong>nando en forma secuencial y para cada valor conocido,<br />
el grado <strong>de</strong> libertad asociado se da <strong>de</strong> baja. El valor conocido (nulo o no) se guarda en el arreglo<br />
KNOWN y en la posición correspondiente <strong>de</strong>l arreglo IDNOD se guarda la posición en el arreglo anterior<br />
pero con signo cambiado. De esta forma en IDNOD tendremos hasta ahora:<br />
1 grados <strong>de</strong> libertad que no han sido dados <strong>de</strong> alta<br />
0 grados <strong>de</strong> libertad dados <strong>de</strong> alta (efectivos)<br />
-? grados <strong>de</strong> libertad con valores conocidos<br />
Notar que las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> aquí incluidas no son generales. Por ejemplo para problemas<br />
<strong>de</strong> elasticidad los grados <strong>de</strong> libertad que se pue<strong>de</strong>n imponer <strong>de</strong>ben coincidir con las direcciones <strong>de</strong>l<br />
sistema global <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas, es <strong>de</strong>cir no es factible en la presente implementación incluir apoyos<br />
inclinados respecto a dicho sistema. Tampoco es posible incluir restricciones conocidas como nodos<br />
“maestros” o restricciones don<strong>de</strong> un grado <strong>de</strong> libertad <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> otro(s) en forma lineal.<br />
168
Rutina SKYLIN<br />
Esta rutina evalúa el perfil “skyline” <strong>de</strong> la matriz <strong>de</strong> coeficientes. Para ello previamente (a)<br />
llama a la rutina RENUMN que optimiza la numeración <strong>de</strong> los nudos <strong>de</strong> la malla en función <strong>de</strong> las<br />
conectivida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> forma <strong>de</strong> minimizar la cantidad <strong>de</strong> elementos que existirán bajo el perfil, (b)<br />
numera los grados <strong>de</strong> libertad efectivos. Esta segunda tarea consiste en asociar a cada elemento <strong>de</strong><br />
IDNOD con valor 0 una ecuación. Una vez numerados los grados <strong>de</strong> libertad el perfil <strong>de</strong> la matriz <strong>de</strong><br />
coeficientes se <strong>de</strong>termina con la rutina UBICMX que <strong>de</strong>vuelve el número <strong>de</strong> elementos bajo el perfil<br />
MAXV y las posiciones que ocupan los elementos diagonales <strong>de</strong> la matriz <strong>de</strong> coeficientes en el vector<br />
don<strong>de</strong> se almacenan MAXAV(neq+1).<br />
Rutina SOLVES<br />
Esta rutina or<strong>de</strong>na los pasos necesarios para resolver el problema planteado. Calcula la matriz<br />
<strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z STIFF y el término in<strong>de</strong>pendiente asociado a los valores nodales conocidos (rutina<br />
STIFFG), lee las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> naturales (rutina PTLOAD), que en la presente versión sólo<br />
incluye valores puntuales <strong>de</strong> cargas o fuentes. Realiza la <strong>de</strong>scomposición en factores (LD L T ) <strong>de</strong><br />
la matriz (rutina COLSOL con índice 1), y la sustitución hacia atrás (rutina COLSOL con índice 2)<br />
que nos provee <strong>de</strong> los valores buscados <strong>de</strong> los grados <strong>de</strong> libertad efectivos. Finalmente en la rutina<br />
PRINTD se imprimen los valores <strong>de</strong> las variables nodales.<br />
Notar que en la presente versión “faltan” algunos elementos imprescindibles en un análisis por<br />
elementos finitos, que se proponen como ejercicio <strong>de</strong> <strong>de</strong>sarrollo y programación.<br />
Las siguientes variables se <strong>de</strong>finen localmente<br />
NDOFE número <strong>de</strong> grados <strong>de</strong> libertad <strong>de</strong>l elemento<br />
POSGT(dimen,ngaut) posición <strong>de</strong> los puntos <strong>de</strong> integración en el triángulo maestro.<br />
WEIGT(ngaut) peso <strong>de</strong> los puntos <strong>de</strong> integración para triángulos<br />
SHAPT(no<strong>de</strong>t,ngaut) funciones <strong>de</strong> forma <strong>de</strong>l triángulo evaluadas en los puntos <strong>de</strong> integración<br />
DERIT(no<strong>de</strong>t,dimen,ngaut) <strong>de</strong>rivadas <strong>de</strong> las funciones <strong>de</strong> forma <strong>de</strong>l triángulo respecto a las<br />
coor<strong>de</strong>nadas locales (ξ, η) evaluadas en los puntos <strong>de</strong> integración<br />
POSGQ(dimen,ngauq) posición <strong>de</strong> los puntos <strong>de</strong> integración en el cuadrado maestro.<br />
WEIGQ(ngauq) peso <strong>de</strong> los puntos <strong>de</strong> integración para cuadriláteros<br />
SHAPQ(no<strong>de</strong>q,ngaut) funciones <strong>de</strong> forma <strong>de</strong>l cuadrilátero evaluadas en los puntos <strong>de</strong> integración<br />
DERIQ(no<strong>de</strong>q,dimen,ngauq) <strong>de</strong>rivadas <strong>de</strong> las funciones <strong>de</strong> forma <strong>de</strong>l cuadrilátero respecto a las<br />
coor<strong>de</strong>nadas locales (ξ, η) evaluadas en los puntos <strong>de</strong> integración<br />
STIFF(maxv) matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z global almacenada como un vector.<br />
F(neq) vector global <strong>de</strong> términos in<strong>de</strong>pendientes<br />
R(nknow) vector global <strong>de</strong> reacciones (grados <strong>de</strong> libertad restringidos)<br />
Rutina STIFFG<br />
Esta rutina or<strong>de</strong>na la evaluación <strong>de</strong> las matrices <strong>de</strong> “rigi<strong>de</strong>z” elementales (rutina STIFFE), el<br />
ensamble sobre la matriz global y el ensamble sobre el término in<strong>de</strong>pendiente <strong>de</strong>bidos a condiciones<br />
esenciales <strong>de</strong> contorno. Para ello se <strong>de</strong>finen localmente las siguientes variables<br />
S(ndofe,ndofe) matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z elemental<br />
FL(ndofe) vector local <strong>de</strong> términos in<strong>de</strong>pendientes <strong>de</strong>bido a condiciones esenciales <strong>de</strong> contorno<br />
169
LM(ndofe) arreglo que relaciona cada grado <strong>de</strong> libertad local con las ecuación global correspondiente,<br />
si es un valor positivo correspon<strong>de</strong> a un grado <strong>de</strong> libertad efectivo y si es un valor<br />
negativo correspon<strong>de</strong> a un grado <strong>de</strong> libertad restringido asociado con el correspondiente valor<br />
en KNOWN.<br />
Rutina STIFFE<br />
Esta rutina calcula la matriz <strong>de</strong> rigi<strong>de</strong>z <strong>de</strong> un elemento por integración numérica usando la<br />
expresión<br />
K e =<br />
NGaus<br />
∑<br />
G=1<br />
Las variables <strong>de</strong>finidas localmente son:<br />
B T (ξ G , η G ) D B (ξ G , η G ) w G |J G |<br />
JAC <strong>de</strong>terminante jacobiano <strong>de</strong> la transformación, luego multiplicado por el peso <strong>de</strong>l punto <strong>de</strong><br />
integración.<br />
ELCOD(dimen,nno<strong>de</strong>) coor<strong>de</strong>nadas nodales <strong>de</strong>l elemento consi<strong>de</strong>rado<br />
D(nstre,nstre) matriz <strong>de</strong> elasticidad (o la correspondiente para problemas <strong>de</strong> campo) evaluada<br />
en la rutina DMATRX en función <strong>de</strong> las características <strong>de</strong>l material. Constante en cada elemento.<br />
B(ndofe,nstre) traspuesta <strong>de</strong> la matriz B en el punto <strong>de</strong> integración consi<strong>de</strong>rado, evaluada en<br />
la rutina BMATRX en función <strong>de</strong>l gradiente cartesiano <strong>de</strong> las funciones <strong>de</strong> forma (y <strong>de</strong>l tipo <strong>de</strong><br />
problema)<br />
Rutina BMATRX<br />
Esta rutina evalúa en cada punto <strong>de</strong> integración el operador B T que relaciona las variables<br />
nodales con las variables <strong>de</strong>rivadas asociadas al flujo mediante las ecuaciones constitutivas.<br />
Ecuación <strong>de</strong> Laplace<br />
[ N<br />
B I I<br />
′ 1<br />
=<br />
N I<br />
′ 2<br />
]<br />
Estado plano <strong>de</strong> tensiones y <strong>de</strong>formaciones<br />
⎡<br />
B I = ⎣ N ⎤<br />
I<br />
′ 1<br />
0<br />
0 N I ⎦<br />
′ 2<br />
N I<br />
′ 2 N I<br />
′ 1<br />
Estado <strong>de</strong> <strong>de</strong>formación axilsimétrica<br />
⎡<br />
B I =<br />
⎢<br />
⎣<br />
N I<br />
′ 1 0<br />
0 N I<br />
′ 2<br />
N I<br />
′ 2 N I<br />
′ 1<br />
N 1<br />
x 1<br />
0<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
Flexión <strong>de</strong> placas incluyendo el corte<br />
170<br />
⎡<br />
B I =<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎤<br />
0 N I<br />
′ 1<br />
0<br />
0 0 N I<br />
′ 2<br />
0 N I<br />
′ 2 N I<br />
′ 1 ⎥<br />
′ 1<br />
N I 0 ⎦<br />
′ 2 0 N I<br />
N I<br />
N I
Las variables que se <strong>de</strong>finen localmente son:<br />
XJ(dimen,dimen) matriz jacobiana <strong>de</strong> la transformación y luego su inversa<br />
XG(dimen) coor<strong>de</strong>nadas <strong>de</strong>l punto <strong>de</strong> integración (en el plano (x 1 , x 2 )<br />
CARTD(nno<strong>de</strong>,dimen) <strong>de</strong>rivadas <strong>de</strong> las funciones <strong>de</strong> forma respecto a las direcciones cartesianas<br />
en el plano (x 1 , x 2 ), N I<br />
′ i<br />
Rutina SHAPES<br />
Esta rutina calcula la posición <strong>de</strong> los puntos <strong>de</strong> integración para los elementos maestros y<br />
calcula las funciones <strong>de</strong> forma y sus <strong>de</strong>rivadas respecto a las coor<strong>de</strong>nadas locales. De acuerdo a<br />
que se trate <strong>de</strong> elementos triangulares o cuadriláteros llama respectivamente a las rutinas SHAPE6<br />
y SHAPE9.<br />
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