Fundamentales empresariales y económicos en ... - SciELO Colombia

CÉSAR ATTILIO FERRARI, ALEX AMALFI GONZÁLEZ
Anexo 1. Decisiones óptimas de los
agentes económicos. Derivación
matemática
Sean la función de utilidad del agente en forma
aditiva, separable, como la siguiente:
U( Co, C1 ) = µ ( Co
) + βµ ( C1
)
(1)
En dicha función el elemento β es un factor
de descuento intertemporal que convierte a
valor presente el consumo futuro del inversionista:
β
1
1 ρ
= +
(2)
La restricción del primer período está dada
por:
Co = Mo −PoTo − FoDo (3)
La restricción del segundo período, el de
disfrute, indica que durante éste se podrá
consumir el total del capital y el rendimiento
obtenido de las decisiones en el período
inicial:
C1 = To ( E[ P1] + E[ d1]
) + Do ( E[ F1] ( 1+ r)
) (4)
Aplicando el teorema de Lagrange para resolver
la función:
LC ( 0, C1, D0, T0, λφ , ) =
µ ( Co
) + βµ ( C1)
+ λ( M0 −PT 0 0
−F0D0 − C0)
+
(5)
φ To E[ P1] + E[ d1]
+ Do E F1 1+ r − C1
( ( ) ( [ ]( ))
)
Donde λ y φ son los multiplicadores del teorema
de Lagrange aplicados a las restricciones
presupuestarias de los períodos de
inversión y disfrute respectivamente. Luego,
derivando parcialmente e igualando a cero,
se obtienen las condiciones de primer orden:
∂µ
( C0
)
λ 0
∂ ∂ C
(6)
∂ L = − =
C
0 0
∂µ
( C1
)
β
φ 0
∂ ∂ C
(7)
∂ L = − =
C
1 1
∂ T
λ
0
φ( [ 1] [ 1]
) 0 (8)
∂ L =− P + E P + E d =
0
∂ D
λ
0
φ( [ 1]( 1 ))
0 (9)
∂ L =− F + E F + r =
0
∂ L
λ
= M −PT −F D − C =
∂
0 0 0 0 0 0
0 (10)
( [ 1] [ 1]
) ( [ 1]( 1 ))
1
0
∂ φ
(11)
∂ L = To E P + E d + Do E F + r − C =
De estas condiciones de primer orden se
pueden obtener las condiciones de Euler, del
ejercicio de optimización. Al incorporar (6)
y (7) en (8) y (9), se hallan las siguientes
dos condiciones:
∂µ
( C0
)
∂C
( E[ P1] + E[ d1]
0
)
=
∂µ
( C )
P
(12)
∂µ
∂µ
1 0
∂C1
( C )
0
( C )
∂C
=
( E[ F1
]( 1+
r)
)
0
1
F0
∂C1
(13)
Las condiciones (12) y (13) muestran las
tasas marginales de sustitución intertemporal
del consumo. Nótese que, según (12), el
inversionista cambiará consumo futuro por
consumo actual hasta que el beneficio de
hacerlo iguale a la rentabilidad de invertir en
acciones. La ecuación 13 indica que cambiará
consumo futuro por consumo actual
hasta cuando la tasa marginal de sustitución
iguale a la rentabilidad de invertir en divisas.
Dado que cuando se maximiza el beneficio
del inversionista ambas condiciones deben
cumplirse, el beneficio es óptimo cuando la
distribución de fondos permite que los be-
40 Cuad. Adm. Bogotá (Colombia), 20 (33): 11-48, enero-junio de 2007