IDICSO Metodología de análisis de panel de variables categóricas

HÉCTOR MALETTA 35 de 41
Metodología de análisis de panel de variables categóricas.
SEGUNDA PARTE.
El producto Qh es el producto de un escalar (h) por cada elemento de la matriz
Q, de modo que Qh es una matriz cuyos elementos son hqij. El exponencial e Qh
equivale al límite de la serie infinita siguiente:
2 2 3 3 4 4
Q h Q h Q h
e Qh = 1+
Qh + + + + ... (Ec. 33)
2! 3! 4!
Si se dispusiera de la matriz Q de tasas de transición instantáneas, la ecuación
33 proveería la matríz e Qh que, con la ecuación 32, permitiría estimar el vector
Nt+h a partir del vector inicial Nt. Pero estas dos ecuaciones pueden también ser
usadas en sentido contrario, para estimar Q sobre la base de dos rondas del
panel que hayan suministrado una tabla de rotación, es decir, que haya
provisto estimaciones muestrales de los flujos de transición entre estados, Nij así
como sobre los contingentes en cada estado en la primera y la segunda ronda,
Nt y Nt+h. Consideremos para ello sólo una parte de la población del panel, a
saber, los
N individuos que en el momento t se encontraban en el estado i.
t
i
Cuando sólo esos sujetos son considerados, el vector Nt está compuesto de
ceros, excepto para el estado i donde figuran N individuos:
N =
t
[ 0 0 ... ... 0 0]
t
N i
Correlativamente, si siempre nos referimos a la población que estaba en i en el
momento inicial, el vector Nt+h contendrá sólo aquellos sujetos que en el
momento t se encontraban en el estado i, agrupados según el estado en que se
encontraban en t+h. En otras palabras, los elementos del vector Nt+h serán los
t h
contingentes que anteriormente hemos denominado
t,
, esto es, la cantidad
t
i
N +
eij
esperada de sujetos que, habiendo estado en i en el momento t, se encuentran
en el estado j en el momento t+h:
N
t + h
=
t h
t t h
t t h
[ ]
t , +
, +
, +
N ... N N
ei1 eij
...
eim
Cada elemento de este vector, según surge de las ecuaciones 32 y 33, es una
serie infinita cuyos primeros términos son:
2
3
⎡
⎤
t , t + h t
h
h
N
eij
= N
i ⎢δ ij
+ hqij
+ ∑ qiaqaj
+ ∑∑ qiaqabqbj
+ ... ⎥ (Ec. 34)
⎣ 2! a 3! a b
⎦
donde el símbolo äij es la delta de Kronecker, que vale 1 si es i=j y vale 0 si es ij.
Si la variable tiene m estados, habrá m series de este tipo para cada uno de los
m estados iniciales, es decir que habrá en total m 2 series que permiten estimar
otros tantos flujos del tipo
t t h
N +
eij
, . Si cada ecuación se divide por
N se obtiene
una formulación equivalente para las probabilidades de transición entre el
momento t y el momento t+h:
t
i
IDICSO – Área Empleo y Población
AEPHM1.2