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Pérez Herranz, Fernando-M.: «Lenguaje e intuición espacial» V (a,b; x) = 1/4 x 4 + 1/2 ax 2 + bx que es el potencial del sistema (1/4 y 1/2 se utilizan para facilitar los cálculos). El espacio de fases es tridimensional, R 3 , de coordenadas (x,a,b) [Fig. 4.9]. 12 ii) La superficie de equilibrio o variedad crítica, M, será aquella variedad (superficie regular) de R 3 , formada por todos los puntos críticos del potencial V, esto es, todos los puntos en los que M = 0: V(a,b;x) = d/dx (1/4 x 4 + ax 2 + bx) = x 3 + ax + b = 0 La superficie obtenida se define así: M = {(x, a, b)\ x 3 + ax + b] ¿Cómo podemos representar M en una gráfica? Realmente lo que se pretende es dibujar la ecuación x 3 +ax+b=0. Se fija un valor para a; entonces un punto (x,a,b) pertenecerá a la ecuación síi: x 3 + ax + b = 0, esto es, si b = - ax - x 3 En la figura 4.9 /VI se dibuja esta superficie, indicando las coordenadas. iii) Dada M, hemos de encontrar los puntos críticos degenerados del potencial, el subconjunto de M en el que se anula la segunda derivada: 0 = d 2 -/dx 2 V (a;x) = 3x 2 + 2a que es el conjunto de singularidades E; de donde x = ± -a /3, y hay dos puntos pliegues de equilibrio que forman una parábola. Para recuperar A4, se define el difeomorfismo, θ:∑ —> M, que va de la singularidad a la variedad [Fig. 4.9 I] 238 <strong>Eikasia</strong>. Revista de Filosofía, año VI, 36 (enero 2011). http://www.revistadefilosofia.com
Pérez Herranz, Fernando-M.: «Lenguaje e intuición espacial» iv) Queremos proyectar, ahora, el conjunto M sobre el espacio de control (a, ti) para obtener el conjunto de bifurcación, K, que, sin duda, es el punto más interesante del análisis geométrico. La variedad de catástrofe es M = x 3 + ax + b y el subconjunto de los puntos críticos es ∑ = 3x 2 + 2a. La forma más directa de relacionar los parámetros a y b, es eliminar la variable x del sistema {M,∑}: M = x 3 + ax + b = 0 <strong>Eikasia</strong>. Revista de Filosofía, año VI, 35 (noviembre 2010). http://www.revistadefilosofia.com 239
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