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Pérez Herranz, Fernando-M.: «Lenguaje e intuición espacial»
A 2 : LA SINGULARIDAD «PLIEGUE»
Es la singularidad más simple de todas. La constituyen funciones cuyo potencial
es del tipo V( a;x ), esto es, funciones de corrango 1 y de codimensión 1 (parámetro a).
i) La variedad estándar, potencial o catástrofe A 2 corresponde a la ecuación:
V( a;x ) = 1/3 x 3 + ax El espacio de fases es bidimensional, R 2 , y sus coordenadas
son: (x,a) [Fig. 4.8 V],
ii) La superficie de equilibrio, M, de los puntos críticos, es la variedad de R 2 ,
formada por todos los puntos críticos del potencial, que son aquellos cuya derivada se
anula:
M = 0 = d/dx V( a;x ) = x 2 + a. Los valores de V"( a;x ) en los puntos críticos, esto
es, en x 2 +a=0; serán, por tanto, x=lal 1/2
La parábola obtenida, M = {(x,a)Ix 2 + a}, se llama también variedad catástrofe.
Para representar M, simplemente se dibujan las coordenadas (x,a). Sobre el eje x se
representa el punto general de M, según la igualdad (X,a) = (x, -x 2 ), puesto que si x 2 + a
= 0, entonces a = -x 2 [Fig. 4.8 M].
iii) El conjunto de las singularidades ∑ es el subconjunto de la superficie de
equilibrio, /VI, se halla resolviendo la segunda derivada del potencial: ∑ = 0 = d 2 /dx 2
V( a;x) = 2x y, por tanto, el único punto singular es aquel donde se cumple x = 0.
iv) El conjunto de Bifurcación K es la proyección (difeomorfismo) de la
superficie ele equilibrio, /VI, sobre el espacio de control (x,a). Como éste sólo contiene
un parámetro, se representa por una línea recta a. Ahora bien, como la variedad de
catástrofe M = x 2 + a es una cuadrática, posee dos raíces reales con un coeficiente o
bien positivo o bien negativo: por tanto, K puede dibujarse como una recta dividida por
un punto: el punto pliegue [Fig. 4.8 K].
236 Eikasia. Revista de Filosofía, año VI, 36 (enero 2011). http://www.revistadefilosofia.com