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Pérez Herranz, Fernando-M.: «Lenguaje e intuición espacial»
La involutividad tiene que ver con la «reversibilidad» de las operaciones en el
sentido de Piaget. Pero hay que destacar que no toda operación autoformante es
reversible, aunque sí toda reversibilidad sea una autoformación. Por otra parte, no toda
operación involutiva es una autoformación: para ello se requeriría que el todo fuera
distributivo. Por ejemplo, las funciones periódicas como seno, coseno, etc. producen el
mismo valor tras un período 6. Pero la totalidad que fundan es atributiva: la
acumulación de los arcos 0, π/2, π, 3 π/2, etc. Ahora bien, estos arcos no están
determinados por la operación, sino por la serie sobre la que se aplica la operación.
Las operaciones no-autoformantes se denominarán heterofor-mantes y
caracterizan el tipo de actividad matemática. Las operaciones matemáticas, desde una
perspectiva gnoseológica, se caracterizan por construir totalidades atributivas; por
ejemplo: a 3 = a x a x a; 15 -10 = 5,...
En este sentido decimos que un álgebra booleana es autoformante, así como
otras muchas estructuras que habitualmente consideramos como lógicas: tautologías y
contradicciones, lógica de las relaciones, deducción, cuantificación lógica, teorema de
Lovenheim, silogismo formal, verdades lógicas, funciones recursivas, etc.
Detengámonos un momento en este último punto. Una función recursiva primitiva
aparece en unos contextos como una operación autoformante, i.e., la regla se repite
indefinidamente de tal manera que cada resultado recibe una interpretación distributiva;
y en otros, como una operación heteroformante, puesto que envuelve la operación de
«sucesor de» en sentido acumulativo, teniendo en cuenta el resultado total de la
operación anterior; así, en las iteraciones y en las recurrencias.
En los procesos de inducción lógica y matemática puede ejemplificarse esta
distinción: la inducción matemática conforma un todo que es una serie. La propiedad de
la serie no es válida para «algunos» números, sino para el resultado final. Pero como la
propiedad de la inducción matemática se va distribuyendo paso a paso, se exige la
inducción lógica que recorra la serie resultado por resultado. Es lo que ocurre en
pedagogía cuando se le pide a un alumno que «demuestre» el resultado del problema.
Ese resultado puede acertarse por intuición, por casualidad (en general por intensión),
atributivamente, por contigüidad. Pero después se le pide que vaya paso por paso, i.e.,
Eikasia. Revista de Filosofía, año VI, 35 (noviembre 2010). http://www.revistadefilosofia.com 201