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Pérez Herranz, Fernando-M.: «Lenguaje e intuición espacial»
¿Todas las trayectorias de esa vecindad -podemos preguntarnos- son equivalentes o
alguna no lo es? En este último caso, ¿puede hacerse equivalente, mediante algún
cambio de coordenadas, de tal manera que se estabilice y no perturbe al estado de la
familia en ese punto? ¿Puede, por consiguiente, una función inestable ser estabilizada?
El lenguaje de la topología, al desvincular los objetos genéricos de la métrica,
permite asignar a cada punto u de un conjunto U un sistema de entornos. Como los
puntos varían según parámetros, es fundamental conocer su comportamiento cualitativo
de esos puntos. Sea un conjunto abierto U -cuyos puntos poseen un entorno- y el
cerrado U -su complementario- e interesémonos por los puntos frontera. Para
encontrarlos se buscan conjuntos abiertos que además sean densos, esto es, aquellos
cuyo complemento contenga un entorno que intersecte con él. Thom demuestra que la
propiedad de Estabilidad Estructural es genérica, esto es, abierta y densa a la vez en el
espacio de las aplicaciones cliferenciables propias de una variedad en otra. Por ser
abierta, si se perturba ligeramente uno de sus elementos se obtiene un elemento del
espacio en el que se trabaja. Por ser densa, todo elemento de ese espacio está
arbitrariamente próximo a otro elemento de ese espacio. Esto significa que toda
inestabilidad es eliminable por peque-
ñas deformaciones. Es en este lenguaje topológico donde se ha demostrado el
denominado Teorema de Thom u :
Teorema 2.2: Sea M una variedad compacta y X una subvariedad cerrada del
espacio de los jets j-(M,R); entonces, el conjunto f eFtal que jkf sea transversal a J, es
un abierto denso de F.
Los elementos transversales a la estratificación de N forman un abierto, denso.
V. gr., sea una superficie S en un toro T en R 3 . Definimos una relación de equivalencia,
R, [cap. 1] sobre aplicaciones f: R 2 -> R 3 , y la representamos por xRy si existe un
difeomorfismo de x _1 (S) sobre y" 1 . Se demuestra que si x∈U es transversal a S en todo
punto de R 2 es estructuralmente estable en U para la relación de equivalencia R. Las x
estructuralmente estables forman un abierto denso en U. La inestabilidad se produce por
falta de transversalidad.
Eikasia. Revista de Filosofía, año VI, 35 (noviembre 2010). http://www.revistadefilosofia.com 183