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Pérez Herranz, Fernando-M.: «Lenguaje e intuición espacial»
i¡) Desde un punto de vista integral, la variedad M se divide en un conjunto de
curvas integrales que no pueden cortarse dos a dos y que llenan el espacio de fases
dado, de forma que en cada punto de la variedad hay una única curva integral que pasa
por ese punto y representa posibles movimientos del sistema [Fig. 2.14b].
Entonces ocurre que por cada punto de la variedad (x, y) pasa una sola curva...
excepto en algunos puntos. Fue Poincaré (1854-1912) quien inició el estudio
sistemático del número, carácter y posición
relativos a estos puntos, que llamaremos «singulares», como un apartado de la
teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales, la cual tiene por objeto la Topología del
campo de direcciones y el sistema de curvas integrales de la ecuación diferencial dada.
Demostró que solamente hay unos pocos tipos genéricos de puntos singulares. Sea el
sistema:
dx/dt = a1X + b1y
dy/dt = a2 X + b2y 1)
y busquemos sus puntos singulares. Entre los diversos criterios de clasificación
de los puntos singulares uno de ellos es el de buscar simplemente los distintos tipos de
raíces de la ecuación (1). Si las soluciones del sistema son:
x = Ae mt ; y = Be mt
sustituyendo en (1) se obtiene la ecuación característica:
m 2 - (a1+b2)m + (a1 b2 - a1 b1)=0
Se demuestra que las propiedades del punto crítico (0,0) del sistema (1) se
determina por los números m-) y m 2 de la ecuación. Entonces habrá que considerar la
naturaleza de las raíces: si son reales positivas o negativas, complejas o imaginarias. El
único caso des-cartable es el m = 0, pues entonces a1 b2 = a2 b1.
174 Eikasia. Revista de Filosofía, año VI, 36 (enero 2011). http://www.revistadefilosofia.com