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Pérez Herranz, Fernando-M.: «Lenguaje e intuición espacial»
P" n (x) = 2C 2 + 3C 3 (x-a) + ... + n(n-1)C n (x-a) n - 2
P n n(x) =
n!C n
Si sustituimos el valor de x por el valor de a, se obtiene:
i) por una parte, a-a=0;
¡i) y según (2.1) f(x) por P(x), entonces el valor de las derivadas se deduce de:
f'n(x) = C1, f'´´n(x) = 2C2, ... f 2 n(x)=- n!C n , resultando que:
C 0 = f(a), C 1 =f'(a), C 2 = (1/2!) f'"(a),
C 3 =1/(3!) f'"(a), C n = (1/n!)f"(a).
Así se obtiene el polinomio buscado:
Pn(x) = f(a)+ f(a){x-a) + f"(a)(x-a)7l -2 + ... + f n (a)(x-a) 3 /n!
La figura 2.12 muestra con un ejemplo la aproximación a una función por el
polinomio de Taylor.
Polinomios truncados o JET orden k
Tradicionalmente, el polinomio de Taylor se ha utilizado para tratar series que
convergen en alguna vecindad de un punto. Entonces se dice que la función es analítica
en ese punto xg. Estas series pueden ser diferenciables término a término en una
vecindad y cada coeficiente -C 0 , Q...C,.- viene dado por la derivada résima de la función
dividida por r! Pero la función no tiene por qué ser analítica. La analiticidad no es
condición suficiente, ni necesaria, para que las aproximaciones a un punto sean válidas.
Por ejemplo: la serie de Taylor para la función f(x) = e -1 / x2 cerca del origen tiene la serie
de Taylor: 0 + Ox + Ox 2 + Ox 3 + ... Aunque no es convergente, sin embargo es una
Eikasia. Revista de Filosofía, año VI, 35 (noviembre 2010). http://www.revistadefilosofia.com 171