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Pérez Herranz, Fernando-M.: «Lenguaje e intuición espacial»
Definición 2.6. Un subconjunto M de R n se denomina «variedad k-dimensional»
si para cada punto x E M se cumple la condición:
Existe un conjunto abierto U que contiene x, otro conjunto abierto V ⊂ R n y un
difeomorfismo h:U -> V tal que U∩M es simplemente Rk * {0}. Por tanto, un punto en
R n
es una variedad cero-dimensional y el toro, una variedad bi-dimensional. Lo
interesante de las variedades es que son estructuras estrictamente locales. Local-mente,
una variedad es un difeomorfismo en R n , pero no tiene por qué serlo en general,
globalmente considerada. Decimos que una variedad es suave si es infinitamente
diferenciable (Le., que admite derivadas hasta el infinito), y difeomorfa si es
homeomorfa suave, con inversa suave. Para que dos funciones f y g sean difeomorfas
han de ser tales que permitan la simetría: «f y g son del mismo tipo diferencial» y «g y f
son del mismo tipo diferencial». Esto exige que sean inversibles, i. e., que existan
funciones f- 1 y g- 1 que satisfagan f- 1 O f = f O f- 1 = /R (siendo / = aplicación identidad).
De ahí la importancia del Teorema de la Función Inversa [Cap. 4], que permite realizar
un cambio de coordenadas en el que la información no es destruida. Los cambios son
suaves y reversibles, i.e., difeomorfos. Pero la inversa exige que la función tenga
derivadas de orden n. Esta última exigencia nos obliga a tratar con variedades denominadas
analíticas, que son indefinidamente diferenciables, es decir, que admiten
derivadas en todos los órdenes.
Topologías en el espacio funcional
Si la función es continua en V, se dice que f pertenece a la clase C°. Si todas las
derivadas primeras respecto de una base de E son continuas en V, se dice que pertenece
a la clase C 1 en V. Cn significa que las funciones admiten derivadas hasta el orden n y
Eikasia. Revista de Filosofía, año VI, 35 (noviembre 2010). http://www.revistadefilosofia.com 167