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Pérez Herranz, Fernando-M.: «Lenguaje e intuición espacial»
Aplicaciones continuas
Una consecuencia de la propiedad de compacidad es que si los subespacios X de
R m que son compactos en R m , para cualquier aplicación continua f: X -> R m , el conjunto
imagen es cerrado y acotado. La conjunción de ambos teoremas nos conduce a un
tercero que expresa la propiedad fundamental de la topología, los homeomorfismos:
Teorema 2.1: Un conjunto U⊂ R m y otro conjunto V ⊂ R m son topológicamente
equivalentes u homeomorfos, si existe una función uno a uno h:U -> V tal que h y h -1 :
V-> U son continuas. La función h se denomina «homeomorfismo».
Esto significa, pues, que los puntos vecinos, tras la transformación, permanecen
vecinos y, por ende,.que dos figuras son topológicamente equivalentes si existe un
movimiento no-rígido que hace coincidir una de las figuras en la otra. V. gr., una esfera,
un esferoide y un cubo son homeomorfos [Fig. 2.7].
Si el homeomorfismo se puede llevar a cabo sin producir pliegues o alisarlos, la
función h se llamará difeomorfismo. Sean aplicaciones del tipo f:U H> R m , donde U es
un abierto en R n . Para hacer esto trabajamos localmente. Supongamos además que
f(U)=V. Entonces la aplicación f será un difeomorfismo, siempre que: i) f sea suave, ¡i)
f tenga una función inversa tal que g:V -> R n y tal que f*g=1 v y g*f=1 u . iii) g sea
suave. Así por ejemplo, f=x 2 sería difeomorfa sólo para R + ,pero no para R", puesto que
su inversa, g=
x no tiene valores para R". O bien f= x 3 no es difeomorfa porque su
inversa, g= 3 no es suave. V. gr , una esfera y un esferoide son difeomorfos, pero no lo
son a un cubo. Intuitivamente el homeomorfismo nos ha de permitir transformaciones
como las de la figura 2.8.
Eikasia. Revista de Filosofía, año VI, 35 (noviembre 2010). http://www.revistadefilosofia.com 165