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Pérez Herranz, Fernando-M.: «Lenguaje e intuición espacial»
de otro modo, tenía el cardinal del continuo; que existía una sucesión de alefs tal que:
, 1, 2,…, N. ¿Dónde se acomoda 2 ? Según el teorema 1.3 de Cantor, 2 es el
conjunto potencia de , luego ha de ser mayor que él. La conjetura -que Cantor no
pudo demostrar- de que no hay ningún conjunto intermedio es la Hipótesis del
Continuo: en el conjunto R de los números reales, cualquier subconjunto infinito es o
bien numerable o equipotente con R. Esto puede formalizarse así: 2 =X 1
O dicho de otro modo: ¿Debe cualquier subconjunto infinito de números reales
ser numerable (equipotentes a N) o continuo (equipolentes a R)? ¿Existe algún conjunto
intermedio? ¿Coincide c con 2, 2,…, N?
1.4. LA HIPÓTESIS DEL CONTINUO
Fue el programa formalista el que permitió vislumbrar la solución, que se
produjo al darse la mano los Lenguajes Formales (nos remitimos a cualquier libro de
Lógica simbólica o Análisis Formal) y la teoría cantoriana del Infinito: "En primer
lugar -comenta De Lorenzo- la introducción de la teoría de conjuntos en la matemática
y de la teoría de funciones proposicionales en la lógica, puso de nuevo estos dos temas
en estrecho contacto. Para Frege y para Russell la conexión entre ellos era tan
estrecha que se adhirieron a la teoría, llamada «logi-cismo», de que la matemática
(para Frege solamente la aritmética) era una rama de la lógica y que, por tanto, a la
teoría de conjuntos transfinita se le podría dar una fundamentación rigurosa,
completamente aceptable matemáticamente".
Desde un punto de vista formal, lo importante era que el sistema no encubriese
contradicción alguna. Y esto sólo podía garantizarlo, para conjuntos infinitos, un
sistema perfectamente definido y controlable. Si se acepta que los axiomas de la teoría
de los conjuntos, los medios lógicos de deducción y una teoría de modelos agotan de
hecho el aparato demostrativo de las matemáticas actuales, se puede decir que el
problema del continuo representa en sí un ejemplo de un problema absolutamente
indecidible. El canon de este tipo de problemas es el Teorema de Gódel, que, no
obstante, permite la decibilidad con tal de colocarse en un sistema superior. La
¡ndecibilidad de la hipótesis del continuo, sin embargo, no se deja solucionar tan fácil-
Eikasia. Revista de Filosofía, año VI, 35 (noviembre 2010). http://www.revistadefilosofia.com 147