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Pérez Herranz, Fernando-M.: «Lenguaje e intuición espacial»
Cantor encuentra un método para comparar los tamaños de los números
cardinales y demuestra que < c. La pregunta que podía hacerse a continuación era:
¿Existirán números mayores que c?
iii) Pero Cantor va más lejos y estudia la aplicación f3: π -» R. ¿Puede pensarse siquiera
en la relación entre un plano (b/'-dimensio-nal) y la recta (un/'-dimensional)? Así que la
posibilidad de una respuesta afirmativa era ya tremebunda: ¡la dimensión del espacio no
está delimitada por el número de coordenadas! Nada de extraño tiene que alguno de
aquellos matemáticos (Krónecker (1823-1891), por ejemplo) se resistiese a entrar en
este «paraíso». (Dedekind vio que esta correspondencia, si bien es biunívoca, no es
continua). Nos podemos preguntar ahora por la relación que hay entre los conjuntos
infinitos y sus subconjuntos. Dado un conjunto finito, si queremos hallar sus subconjuntos
podemos utilizar el axioma del Conjunto-potencia. La cuestión que habrá de
discutirse es si esta propiedad permanece para conjuntos infinitos.
Teorema 1.3. El conjunto-potencia de un conjunto dado cualquiera (el conjunto
formado por tocios sus subconjuntos) tiene mayor potencia que el mismo conjunto de
partida:
A < P(A).
Para un conjunto infinito de cardinalidad , SU conjunto potencia P( ) tiene
como cardinalidad 2 . Por el teorema 1.3, 2 > . El cardinal de P( ) denotado
por c, es el conjunto de los conjuntos de los números naturales, que pueden escribirse en
un sistema de base 2, como secuencias infinitas de 1s y Os. Cantor demuestra que el
número mayor que podemos obtener será 2 , que tiene precisamente la potencia del
continuo. Pero, ¿c sigue inmediatamente a la potencia del conjunto N? Parece, en un
primer acercamiento, que ambos conjuntos, los numerables, , y los no-numerables (el
continuo), c, se relacionan a través de la ecuación: 2 = c.
¿Puede existir en un segmento rectilíneo algún conjunto infinito de puntos que
no sea equivalente al segmento entero y tampoco al conjunto de los números naturales?
Cantor había demostrado que Ng era el primer número cardinal de todos los conjuntos
posibles con cardinal finito; que 2 era el conjunto de todos lo números reales o, dicho
146 Eikasia. Revista de Filosofía, año VI, 36 (enero 2011). http://www.revistadefilosofia.com