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Pérez Herranz, Fernando-M.: «Lenguaje e intuición espacial»
¡i) En segundo lugar, Cantor se pregunta por la aplicación: f2: R -> R n (n≥2).
Introduce entonces un concepto llamado a jugar un papel básico en la nueva
matemática: la «potencia» o «cardinalidad» de un número. Todos los números que
tengan la potencia de los números naturales N (como los números enteros Z, los
números algebraicos...) se llaman «conjuntos enumerables», «contables» o
«numerables» y su cardinalidad es . Los conjuntos que tienen la potencia de los
números reales, R, se denominan «conjuntos no-enumerables» y su cardinalidad es c.
Cantor encuentra, por consiguiente, dos tipos de cardinalidad y demuestra el teorema
fundamental de la Teoría de Conjuntos:
Teorema 1.2. Un conjunto infinito M tiene un subconjunto finito enumerable.
Este teorema da paso a un importante corolario, que se utiliza a veces como un
axioma:
Axioma 1.10 (o del CONJUNTO INFINITO): "Un conjunto infinito M es
equivalente a un subconjunto propio suyo".
Este axioma no presupone, como en el caso anterior, la existencia de los
números naturales. La cuestión ontológica se hace ineludible: ¿Existen tales conjuntos
infinitos? Si no presuponemos N, no es necesario que existan conjuntos infinitos. Por
tanto, hay que garantizar su existencia y para ello hemos de suponer que existe N, que
es, a la vez, no-finito e infinito. Coincidentes ambos conceptos de infinitud, se hace
preciso introducir el axioma de elección. Éste establece que, dada una partición de un
conjunto, existe otro conjunto «selectivo» formado justamente por un único elemento de
cada una de las partes de la partición. Pero el axioma no dice cómo se eligen los
elementos. La importancia del axioma radica en que si no lo aceptamos entonces habrá
distintos tipos de infinitud y, consiguientemente, de finitud. Habrá conjuntos mayores
que cualquier conjunto finito, pero que no serán infinitos, pongamos por caso.
Axioma 1.11 (o de ELECCIÓN). Para todo conjunto A no vacío existe un
conjunto B tal que tiene justamente un elemento en común con cada miembro de A.
Eikasia. Revista de Filosofía, año VI, 35 (noviembre 2010). http://www.revistadefilosofia.com 145