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Pérez Herranz, Fernando-M.: «Lenguaje e intuición espacial»
Curioso ¿no? El número cardinal es el mismo, pero el número ordinal no. Cantor
se encuentra con las manos libres para exponer el siguiente axioma:
Axioma 1.9 (o del CONJUNTO FINITO): Si coinciden el cardinal y el ordinal,
entonces es un número finito.
Pero si un conjunto como el de los números naturales es infinito, ¿contiene todos
los elementos que se esperan de él? La manera de averiguarlo puede ser poniendo en
correspondencia determinados conjuntos. Tal es el famoso método de la diagonal de
Cantor. Intuitivamente, el método diagonal significa que dado un conjunto, éste no
contiene todos los elementos que se esperan de él. Tomemos como base este mismo
libro en el que escribimos. Si cada línea contuviese una frase, podríamos escribir un
libro distinto tomando una letra de cada línea, en forma diagonal, de tal modo que se
diferenciase del primero en la primera palabra, del segundo en la segunda, del tercero en
la tercera y así sucesivamente. Podemos añadir este libro a la lista, pero, inmediatamente,
podríamos escribir otro libro que se diferenciase de este último en la última
palabra. Por tanto, nunca podríamos obtener el conjunto de todos los libros escritos.
Cantor demuestra el siguiente teorema:
Teorema 1.1. El conjunto R de todos los números reales no puede ponerse en
correspondencia biunívoca con el conjunto N de todos los números naturales, i.e., el
conjunto R de todos los números reales no es numerable".
No todos los conjuntos tienen la misma cardinal ¡dad. El continuo, asociado a la
recta real, no es numerable, ya que existen conjuntos más numerosos que N, conjuntos
que no pueden ser numerados, y habremos de suponer un conjunto complementario -i N
para llenar R. La cuestión que queda abierta es: ¿Existe un conjunto infinito intermedio
entre los conjuntos del tipo N y los conjuntos infinitos del tipo R, o son sucesivos?
Hemos de advertir, en todo caso, que el camino que nos conduce a la definición de
conjunto infinito parte de la existencia de los números naturales. Se necesita de ellos
para establecer la correspondencia de partida, f: N -> R.
144 Eikasia. Revista de Filosofía, año VI, 36 (enero 2011). http://www.revistadefilosofia.com