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Pérez Herranz, Fernando-M.: «Lenguaje e intuición espacial»
poseen fuerza creativa. Nadie puede tener como ancestro ¡ay! a D. Quijote, a pesar del
premio Cervantes.
Tras la formación de las paradojas, podríamos preguntarnos: ¿De qué estamos
hablando? ¿Estamos especulando en y sobre la «nada»? Lo más sensato sería abandonar
aquí el recorrido, a no ser que estemos seguros de tener, como mínimo, un conjunto.
Utilizaremos una argucia debida al propio Frege. Sea un conjunto A y la propiedad
«falsa» x ≠ x. Por el axioma de abstracción, tenemos: A = (xl x / x). Este conjunto,
evidentemente, no tiene elementos y, por consiguiente, «existe un conjunto sin
elementos» que se denomina «conjunto vacío»: «0».
Axioma 1.3. (o del CONJUNTO VACÍO). Un conjunto que no posee elementos
se llama «conjunto vacío» y se simboliza por ∅. ∅=def. [x | x≠ x ]
La propiedad más importante es la de que todo «conjunto vacío» es un
subconjunto de todo conjunto (véase axioma 1.7). Se dice que ∅ es un subconjunto
trivial de todo conjunto. ∅ ⊆ A. Hasta aquí es notoriamente grande la pobreza de
nuestro lenguaje. Pero ahora vamos a comenzar a ampliar los conjuntos de tal manera
que dentro de muy poco nos toparemos con el mismísimo infinito. Dados dos conjuntos,
¿existirá un nuevo conjunto al que pertenezcan los dos? Sean dos conjuntos
cualesquiera A y B, podemos remitirnos a otro conjunto C, cuyos miembros sean A y B.
Imaginemos que A es el conjunto de antepasados míos y B el conjunto de antepasados
de mi mujer. C será el conjunto de antepasados de nuestros hijos.
Axioma 1.4. (o del PAR NO ORDENADO): Dados dos conjuntos cualesquiera,
existe un conjunto que los contiene como elementos, y sólo a ellos.
C = def ((x,y)| x ∈ A o bien x ∈ B)
Este axioma nos permite formar conjuntos singulares, cuyo único elemento sea
el elemento a. Así el conjunto ∅ y el conjunto {∅} son dos conjuntos diferentes. Es
importante distinguir entre un elemento a del conjunto y un elemento {a} (esto quiere
decir que a ≠ (a|), porque esta posibilidad abre la puerta a una cantidad enorme de
Eikasia. Revista de Filosofía, año VI, 35 (noviembre 2010). http://www.revistadefilosofia.com 131