Descargar número completo (5,95 MB) - Eikasia

Pérez Herranz, Fernando-M.: «Lenguaje e intuición espacial»
Axioma 1.2. (o de ABSTRACCIÓN): A todo conjunto Aya toda propiedad P(x)
corresponde un conjunto B, cuyos elementos son precisamente aquellos elementos x de
A para los cuales se cumple la propiedad P(x). B = def [x e A | P(x)]
Pero ¡cuidado! El uso de este axioma requiere tomar precauciones. Sólo vale
definir un subconjunto según qué propiedad elijamos. Imaginemos que alguien quisiera
formar un subconjunto del conjunto A a partir de la siguiente propiedad: «mi familia
reniega de sí misma», que viene a equivaler formalmente a «no es cierto que x pertenece
a x»: x g x. Entonces, si reemplazamos en el axioma 1.2 la propiedad P(x) por su valor,
obtenemos:
B = [x ∈ A | x ∉ x]
Supongamos un subconjunto de B, como y ∈ B. Entonces: y ∈ B = (y ∈ A | y ∈
A). La cuestión es: ¿realmente B pertenece a A? ¿O hay conjuntos como el B que no
pertenecen a A? Pero ocurre que la afirmación «B pertenece a A» es paradójica,
conduce a un círculo vicioso, a una situación sin salida. Pues, si B pertenece a A, puede
ocurrir:
el axioma 1.2.
O bien que B ∈ B, y entonces B ∉ B, puesto que: B G B = (B G A I B i B) según
O bien que B ∉ B, y entonces B ∈ B, puesto que es el conjunto B el que posee
la propiedad B ∉ B.
Hay que tener mucho cuidado con las propiedades que definen los subconjuntos
con el fin de no caer en paradojas. Frege (1848-1925), el padre de la lógica
contemporánea, quedó apenado el resto de su vida tras descubrir estas trampas en su
sistema, y Russell (1872-1970), su mejor mentor, se dedicó compulsivamente a tratar de
impedir que el sistema formal que estaba construyendo pudiera provocarlas. En cualquier
caso, el matemático y el no matemático aprenderán una excelente lección: que no
es posible obtener algo a partir de nada; que no es dado construir objetos pronunciando
palabras; que no cabe crear mágicamente un mundo de la nada; que los conjuros no
130 Eikasia. Revista de Filosofía, año VI, 36 (enero 2011). http://www.revistadefilosofia.com