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Pérez Herranz, Fernando-M.: «Lenguaje e intuición espacial»
Como con un único conjunto poco podría hacerse, podemos definir varios
conjuntos y compararlos entre sí. Por ejemplo, cabría construir los conjuntos de los
antepasados de un individuo x y de un individuo y. Si estos conjuntos tienen los mismos
elementos, diremos que son «iguales», lo cual puede significar que tienen los mismos
derechos sucesorios, que son herederos de una misma familia, y muchas otras cosas
más. Formalicémoslo:
Axioma 1.1. (o de EXTENSIONALIDAD): Dos conjuntos son «iguales» cuando
tienen los mismos elementos. Se escribe A = B. Si no tienen los mismos elementos,
escribiremos A≠B. [A = B] = def. (x | x ∈ A si y sólo si (síi) x ∈ B] 2
Mas, ¿qué ocurre si dos conjuntos no son «iguales»? Supongamos, por ahora,
que todos los elementos de uno de los conjuntos de antepasados, A, son iguales a los de
otro conjunto, B, pero que éste posee, además, elementos que no pertenecen al primer
conjunto. Diremos entonces que A es un Subconjunto propio de B y lo simbolizaremos
así: A ⊂ B. Si, además, suponemos que esos conjuntos poseen las propiedades P y Q,
respectivamente, entonces todo elemento que posea la propiedad P posee la propiedad
Q, o, lo que es lo mismo, es suficiente que un elemento posea la propiedad P para
asegurar que se cumple la propiedad Q; y, al contrario, es necesario que se cumpla la
propiedad Q para que se cumpla la propiedad P. Si el conjunto A tiene la propiedad «ser
conde», entonces es suficiente para saber que el conjunto B ha de poseer la propiedad
«ser aristócrata». Pero es necesario que el conjunto B posea la propiedad «ser
aristócrata» para que el conjunto A posea la propiedad «ser conde».
No se trata solamente de comparar conjuntos, sino de formar otros nuevos a
partir de conjuntos dados. Por ejemplo, podemos atribuir propiedades diferentes a los
distintos elementos del conjunto y hablar del «(sub)conjunto de hombres y del
(sub)conjunto de mujeres de los antepasados», pero también del «(sub)conjunto de los
retratados por un pintor de cámara», el «(sub)conjunto de los que padecieron enfermedades
venéreas», y tantos y tantos otros. Esta idea la formaliza el siguiente axioma:
2 .- El signo “= def.” puede leerse: “igual por definición”.
Eikasia. Revista de Filosofía, año VI, 35 (noviembre 2010). http://www.revistadefilosofia.com 129