Año 19, t. 24, nº 91 (1914) - Publicaciones Periódicas del Uruguay

§4 Anales de la Universidad
Una de las raíces reales de la mencionada ecuación
^'« = lj ya vimos que es +1; la otra se deduce así
2m 2 m
^^ Tn 2 . 2
A= —
2
ij = eos
«¿
1- I sen
m
Si w es impar A =
y = cos7r + zsen7r= — 1 +0 = — 1.
no puede ser entero, puesto que
A = 1. Entonces no queda para // nada más que la raíz
que da _^ = cosO + z'senO= 1.
123. RAÍCES IMAGINARIAS CONJUGADAS. — Cuando m es un
número par, después de las raíces reales quedan aún m — ''¿
raíces imaginarias, y cuando impar, yn — 1 raíces imaginarias,
correspondientes á la ecuación binomia x'^ = ^.
Vamos á demostrar ahora aquí un teorema que, en otro
orden de consideraciones, se demuestra á su vez en el
Algebra superior: las raíces maginarias de una ecuación
binomia, superior al primer grado, son imaginarias conjugadas.
En efecto, si suponemos que el primer valor entero
de ^ es /, el superior será m — y, puesto que y-\-[m — y)
deben ser igual al número mayor m de valores que se
pueden dar á K. Tenemos entonces para y los valores
extremos que dan las siguientes ecuaciones:
2yn.2y7i
A = y w = eos f-1 sen ;
m m
__ 'i{m — y ) n , 2{m — y)7i
£, = m — y y— eos +1 sen •
m
m
Pero
2 (m — y) 71 ( 2 y Ji\ / 2yji\ 2yn
eos — = eos \2n = eos — = cos ,
m \ mi \ m I m
2 (m — y) 71 2y7t
sen =: — sen ; luego
m
m