Año 19, t. 24, nº 91 (1914) - Publicaciones Periódicas del Uruguay
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70 Anales de la Universidad = eos ú! eos ¿> — sen«sen¿' + sen«cos¿'l/"^ri-(-cos«sen¿'l/''^IT = eos {a-\-b)-\- sen {a-\-b) VZTi ^ y la primera parte del teorema queda demostrado. Para probar la segunda, multipliquemos cos(«-¿') + sen(«-Z>) KHI por cosí' + sen^'KIiri, y tendremos, en virtud de lo que acabamos de demostrar, de donde [eos {a — b)-\- sen {a — b) V'^Ti] (eos ¿ + sen b K"T) = eos a -f sen a KUl, cos¿z + sen« K31 ' ^ = Q,o^{a — b)-\-SQii{a—b) K— i. eos b + sen bv —1 Y el teorema queda completamente demostrado. OBSERVACIÓN. — En lo sucesivo representaremos Vl^i por /, según notación de Grauss, y que es como generalmente se usa. 116. TEOREMA."—Para elevar á una potencia m, ó para extraer la raís m de una expresión de la forma cos«+/senflf, se multiplica el arco por el exponente ó se divide por el índice. DEMOSTRACIÓN. — Sabemos que (eos a-\-i sen a) (cosb + isGub) = cos(a-\-b)-\-is,en(a-}-b); si hacemos b = a, se tiene (cosa + zsen«)^ =cos2« + z*sen2«; y también, después de multiplicar ambos miembros de la igualdad por (eos a-\-i sen a), (eos a-\-i sen a) ^=^ cos3a f/sen3«. En general, (Gosa + isena)'^=^ eos m a-\-i sen m a. (I) NOTA. — Se puede demostrar esta generalidad valiéndose del método indicado (111).
Anales de la Universidad 71 Lo que acabamos de demostrar patentiza esta igualdad: eos —|-1 sen— = eos a -f- zsen a. m m Extrayendo la raíz emésima de ambos mienbros é invirtiendo éstos, resulta: - a . a (eos a +1 sen a)'^ — eos — +1 sen — • m m El teorema queda demostrado. 117. FÓRMULA DE MoiVRE. — Esta fórmula es la señalada con la letra (I) en el teorema anterior: (eos¿3!-f/sen«)^^ = cos»/« + zsenw«. Vamos á demostrar ahora que esta formula es general. Tenemos: l.o V q (cosíí+zsen^)'"' =/(cos«-l-ísen«)^=^|/(cosa/? + /sena/^ J- P P =^ (eos ap -\- /sen ap)i = Ííi6) eos — a-{- /sen - a. q q 2.0 (cosrt+/senrtr)-'^ = (cos
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Anales de la Universidad 71<br />
Lo que acabamos de demostrar patentiza esta igualdad:<br />
eos —|-1 sen— = eos a -f- zsen a.<br />
m m<br />
Extrayendo la raíz emésima de ambos mienbros é invirtiendo<br />
éstos, resulta:<br />
- a . a<br />
(eos a +1 sen a)'^ — eos — +1 sen — •<br />
m m<br />
El teorema queda demostrado.<br />
117. FÓRMULA DE MoiVRE. — Esta fórmula es la señalada<br />
con la letra (I) en el teorema anterior: (eos¿3!-f/sen«)^^<br />
= cos»/« + zsenw«. Vamos á demostrar ahora que esta<br />
formula es general. Tenemos: l.o<br />
V<br />
q<br />
(cosíí+zsen^)'"' =/(cos«-l-ísen«)^=^|/(cosa/? + /sena/^<br />
J- P P<br />
=^ (eos ap -\- /sen ap)i = Ííi6) eos — a-{- /sen - a.<br />
q q<br />
2.0 (cosrt+/senrtr)-'^ = (cos
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