Año 19, t. 24, nº 91 (1914) - Publicaciones Periódicas del Uruguay

70 Anales de la Universidad
= eos ú! eos ¿> — sen«sen¿' + sen«cos¿'l/"^ri-(-cos«sen¿'l/''^IT
= eos {a-\-b)-\- sen {a-\-b) VZTi ^
y la primera parte del teorema queda demostrado. Para
probar la segunda, multipliquemos cos(«-¿') + sen(«-Z>) KHI
por cosí' + sen^'KIiri, y tendremos, en virtud de lo que
acabamos de demostrar,
de donde
[eos {a — b)-\- sen {a — b) V'^Ti] (eos ¿ + sen b K"T)
= eos a -f sen a KUl,
cos¿z + sen« K31
' ^ = Q,o^{a — b)-\-SQii{a—b) K— i.
eos b + sen bv —1
Y el teorema queda completamente demostrado.
OBSERVACIÓN. — En lo sucesivo representaremos Vl^i
por /, según notación de Grauss, y que es como generalmente
se usa.
116. TEOREMA."—Para elevar á una potencia m, ó para
extraer la raís m de una expresión de la forma cos«+/senflf,
se multiplica el arco por el exponente ó se divide por el
índice.
DEMOSTRACIÓN. — Sabemos que (eos a-\-i sen a) (cosb
+ isGub) = cos(a-\-b)-\-is,en(a-}-b); si hacemos b = a, se
tiene (cosa + zsen«)^ =cos2« + z*sen2«; y también, después
de multiplicar ambos miembros de la igualdad por
(eos a-\-i sen a), (eos a-\-i sen a) ^=^ cos3a f/sen3«. En general,
(Gosa + isena)'^=^ eos m a-\-i sen m a.
(I)
NOTA. — Se puede demostrar esta generalidad valiéndose
del método indicado (111).