Año 19, t. 24, nº 91 (1914) - Publicaciones Periódicas del Uruguay

Anales de (a Universidad
21. Hallar el volumen del sólido engendrado por la rotación de
un trapecio en torno de su base mayor, conociendo los cuatro
lados; bases: « = 100 y 6== 35; lados: c = 40 y d=^AS.
22. Determinar el volumen de un paralelepipedo en el que se
dan las tres aristas y los tres ángulos que ellos entre si hacen.
23. Demostrar los siguientes teoremas: (de EulerJ En todo triángulo,
la distancia del centro del circulo circunscrito al centro
del circulo inscrito, es media proporcional entre el radio del primer
circulo y el exceso de este radio sobre el doble del otro; (de
rtolomeo) En el cuadrilátero de las cuerdas: 1.°, el producto de las
diagonales es igual á la suma de los productos de los lados opuestos;
2.0, las diagonales son entre si como la suma de los productos
de los lados terminantes en sus extremidades; (de Viviani) La
suma de las perpendiculares bajadas de un punto interior de un
polígono regular sobre los lados, es igual á n veces su apotema
{n es el número de lados); (de Pappus) El producto de las perpendiculares
bajadas de un punto cualquiera de una circunferencia
sobre dos lados opuestos de un cuadrilátero inscrito, es igual al
producto de las perpendiculares bajadas del mismo punto sobre los
otros dos lados. En todo triángulo, la distancia de un vértice al
punto de unión de las alturas, es doble de la distancia del lado
opuesto al centro del circulo circunscrito. La cuerda de un arco de
108° es igual á la suma de los lados del exágono y del decágono
regulares inscritos. Si se prolongan las bisectrices de los ángulos
interiores de un triángulo hasta encontrar al círculo circunscrito,
y sé unen los puntos obtenidos, el triángulo asi formado tendrá
por superficie ^¡^pR- Si los senos de los ángulos de un triángulo
se hallan en proporción armónica, lo mismo sucederá para las diferencias
1 —cos^, 1 — eos iJ y 1 —cosC. Si los tres lados de un
triángulo se hallan en progresión geométrica, el triángulo formado
con las tres alturas es un triángulo semejante. En todo trapecio,
la diferencia de los cuadrados de las diagonales, es á la diferencia
de los cuadrados de los lados no paralelos, como la suma de las
bases es á su diferencia. Estando un cuadrado inscrito en un circulo,
la suma de los cuadrados de las tangentes de los ángulos sobre los
cuales se ve, de un punto cualquiera de la circunferencia, las dos
diagiOnales del cuadrado, es constante é igual á 8. El producto de
loa radios vectores de un punto cualquiera de una elipse, multiplicado
por el cuadrado del coseno del ángulo que ia normal hace
en ese punto con uno de los radios vectores, es ignal al cuadrado
del semieje menor.
24. ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos M, tales que, si
se traza de cada uno de ellos la tangente M T h una circunferencia
que tenga por centro el punto O, el ángulo O M T sea igual
á 30»?