Año 19, t. 24, nº 91 (1914) - Publicaciones Periódicas del Uruguay
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40 Anales de la Universidad Ahora, suponiendo unido A con D, el ángulo ADE es recto, en virtud del teorema de las tres perpendiculares, y AE es la hipotenusa de ese triángulo; por lo tanto ED ED ED ^AEeosAED y eosAED=-—, ó bien eos a = ——- . AE A E EC Uniendo después A con C, se obtiene eos /? = AE -— ; y por EG ultimo, eos X = AE De manera que ED^ eos ^ a = AE' eos 'f^ AE'- E~G' eos Kx-- ~~A~E'' Sumando ~ED^^-EJ)'' + EG'' TE'' ^ eos ^ a + cios ^ B -\- eos ^ x = z:_^= = = 1 . AE^ AE' Y de aquí también este teorema empleado algunas veces en la Geometría Analítica: la suma de los cuadrados de los cosenos de los ángulos que forma una recta con tres ejes rectangulares, es igual á 1. De nuestro principio resulta: eos ^v = 1 — eos 2 a — eos ^ /3 = sen ^ a — eos ^ /? = (sena + eos /5) (sen a — eos ^). Sustituyendo /5' = 90°—/5 por /5, tendremos:
Anales de Id Universidad 41 eos ^ .r = (sen a + sen ft') (sen a — sen ^'). -2senV2(« + /5')cosV,(a-^')X2cosV2(a+/S')senV2(«-/^'), y, según lo expuesto (2,9, fórm. 18): cos^^=sen(a + /5')sen(a —^'), cosa'= \ sen(a + /^')cos(a —;5'). 101. PKOBLEMA. — Conociendo el lado k de un cono recto i) circular ¡j el ángulo a que forma dicho lado con el ejCj hallar el volumen del cono. Volumen del cono igual á ^¡^nB'^A, hay que hallar B j A, 6 sea el radio de la base y la altura. Construida la figura, fácilmente se obtiene: ^= A sen a, y R^ = 'i^^QYÍ^ a, A = k eos a; luego, Vol. cono = '^¡.¿7x1'^ sen ^ a eos a = Vfi ^^'^ sen 2 a sen a. Ejercicios 1. En un circulo O, la cuerda ^1 Z? es igual á 3275, la cuerda A C que subtiende un arco doble del arco A B^ es igual á 4^120: bailar el radio del circulo. 2. Dado el radio de un círculo /? = 2548'"365 y el largo de una cuerda ^ Z? = 2609^019: hallar el ángulo formado por las dos tangentes trazadas por los extremos de dicha cuerda. 3. Hallar los ángulos de un rombo, conociendo su perímetro = 864"36 y su área = 32548"'^ 4. Hallar el área de un rombo circunscrito á un circulo de 68 de radio, sabiendo que uno de sus ángulos es igual á 43° 24'37". 5. Inscribir un polígono de nueve lados en un circulo de 345 de radio. 6. Hallar el lado de un polígono regular de 20 lados inscrito en un circulo de 15462'n de radio. 7. Un polígono regular de 264 lados se halla inscrito en un
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Ahora, suponiendo unido A con D, el ángulo ADE es<br />
recto, en virtud <strong>del</strong> teorema de las tres perpendiculares,<br />
y AE es la hipotenusa de ese triángulo; por lo tanto ED<br />
ED<br />
ED<br />
^AEeosAED y eosAED=-—, ó bien eos a = ——- .<br />
AE<br />
A E<br />
EC<br />
Uniendo después A con C, se obtiene eos /? = AE -— ; y por<br />
EG<br />
ultimo, eos X = AE<br />
De manera que<br />
ED^<br />
eos ^ a =<br />
AE'<br />
eos<br />
'f^<br />
AE'-<br />
E~G'<br />
eos Kx--<br />
~~A~E''<br />
Sumando<br />
~ED^^-EJ)'' + EG'' TE'' ^<br />
eos ^ a + cios ^ B -\- eos ^ x = z:_^= = = 1 .<br />
AE^<br />
AE'<br />
Y de aquí también este teorema empleado algunas veces<br />
en la Geometría Analítica: la suma de los cuadrados<br />
de los cosenos de los ángulos que forma una recta con tres<br />
ejes rectangulares, es igual á 1.<br />
De nuestro principio resulta:<br />
eos ^v = 1 — eos 2 a — eos ^ /3<br />
= sen ^ a — eos ^ /?<br />
= (sena + eos /5) (sen a — eos ^).<br />
Sustituyendo /5' = 90°—/5 por /5, tendremos:
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