Año 19, t. 24, nº 91 (1914) - Publicaciones Periódicas del Uruguay

Anales ele la Universidad 19
una circunferencia que encuentra en D el lado AB y en E el lado
B C. Se traza DE; esta recta encuentra el lado ^ C en un punto
M-, determinar la posición del punto M sobre el lado A C en función
de los elementos del triángulo dado.
38. Dado un círculo de radio i?, se traza un diámetro A B y dos
cuerdas A G^ A D que forman con A B un ángulo a \ demostrar que
el cuadrilátero AÜAD puede ser considerado como circunscrito á
un circulo. Calcular después, en función de i? y de a, el radio r
de ese círculo inscrito, y la distancia d de su centro al centro del
circulo dado. Establecer entre /?, r, d una relación independiente
del ángulo a.
39. Conociendo el ángulo a de los diagonales de un cuadrilátero
inscriptible y los dos segmentos a, b de uno de esas diagonales,
determinar los segmentos de la otra, de manera que los productos
de los lados opuestos del cuadrilátero sean iguales entre ellos.
40. En un cuadrilátero convexo A B CD se dan dos lados opuestos
AB = a, CD = b, los ángulos B y D rectos y el ángulo A que
se supone agudo; determinar los lados AD y BC y la superficie.
¿Qué es necesario para que el cuadrilátero sea compatible con los
datos?
41. Hallar la relación entre los volúmenes engendrados por un
paralelógramo girando sucesivamente alrededor de sus lados a y h.
42. En una esfera de radio li trazar un plano secante A i?, de
modo que: 1.", la superficie del casquete sea ig'ual á la superficie
lateral del cono AOB; 2.", el volumen del segmento igual al del
cono.
43. (Teorema de Menelao) — Demostrar que toda transversal situada
en el plano de un triángulo determina sobre los lados seis
segmentos tales, que el producto de tres de entre ellos que no
tengan extremidades comunes, es igual al producto de los otros tres.
44. Sea T T' la tangente en A al circulo O. Se traza el diámetro
BC y se bajan las perpendiculares B B^ y C C sobre la tangente
JTJ"; determinar la posición del diámetro B C, de manera
que la superficie total del tronco de cono engendrado por el trapecio
B CB' C", girando alrededor de la tangente, se halle en una
relación dada m con la superficie del círculo O.
45. ¿De todos los trapecios do igual altura h inscritos en un
circulo de radio dado i?, cuál es-el que tiene mayor superficie?
46. Si se designa por «, &, c las tres aristas de un tetraedro que
concurren al mismo vértice, y por a, /?, y los ángulos que estas
aristas hacen entre ellas, el volumen V del tetraedro vendrá dado
por la fórmula:
V= i/ü abcV^i — cosa a _ eos-/^ — cos^ y +2 eos a eos/S co& y-