Año 19, t. 24, nº 91 (1914) - Publicaciones Periódicas del Uruguay

Alíales de la Universidad 109
Y las raíces de esta ecuación serán las que resulten
dando á K los valores 1, 2, 4 y 7 en la expresión
2Kjt . 2KJI
X = eos h i sen —^p—, vale decir,
27r 4:71 SJI 14 jt
2 eos —, 2 eos —, 2 eos — y 2 eos ; etc., etc.
30' 30' 30 -^ 30 ' '
Ejercicios
1. Hágase una combinación entre algunos de estos valores y los
que se obtienen de las ecuaciones ?/^—1=0, ?/^ —1=0, hallados
en los números 134 y 135.
2. Demostrar que la suma de las potencias 2 n de las distancias
de un punto cualquiera del plano, á los vértices del polígono regular
de m lados, depende únicamente de la distancia de este punto
al centro del polígono.
3. Dado un polígono regular de m lados y w un número par
menor que m, demostrar que si de un punto cualquiera A del plano
se bajan perpendiculares á los lados del polígono, la suma de las
potencias n de estas perpendiculares depende solamente de las distancias
del punto A al centro del polígono,
4. Si se hace rodar sobre una recta un polígono regular de n
lados ¿cuál será el camino recorrido por cada vértice durante una
revolución completa del polígono? Calcular la suma de las áreas
de los sectores.
5. Dado un polígono regular de un número par 2 n de lados y
una circunferencia concéntrica con él, hallar una relación entre
las tangentes de los ángulos, bajo los cuales, desde un punto de
la circunferencia, se ven las diagonales que pasan por su centro.
6. Un polígono regular de 2 ?¿ lados se halla circunscrito á un
círculo de radio R dado; si desde uno de los puntos de contacto
se bajan perpendiculares sobre todos los lados; averiguar la suma
de los cuadrados de estas perpendiculares.
7. Habiendo sido dividido un polígono regular en triángulos por
diagonales que partan del mismo vértice: ¿cuál será la suma de
los radios de los círculos inscritos en todos esos triángulos, y
cuál la suma de las áreas de esos círculos?