Ingeniería, investigación y tecnología. - Facultad de Ingeniería ...

INGENIERÍA Investigación y Tecnología VII. 3. 139-150 2006
(artículo arbitrado)
Diseño óptimo evolutivo
F. Velázquez-Villegas y S.D. Santillán-Gutiérrez
Centro de Diseño y Manufactura, Facultad de Ingeniería, UNAM.
E-mails: fernvel2@gmail.con y saulsan@servidor.unam.mx
(Recibido: febrero de 2005; aceptado: noviembre de 2005)
Resumen
En este trabajo se presenta una herramienta CAD para la optimización del diseño de
armaduras planas, la cual fusiona Algoritmos Genéticos (GA) con el Análisis por
Elementos Finitos (FEA) y recibe el nombre de Diseño Óptimo Evolutivo (DOPE). DOPE
fue desarrollado en DELPHI (Object Pascal), y a pesar de la sencillez de su implementación,
mostró muy buen desempeño. Los resultados demostraron que la
herramienta es robusta, y al mismo tiempo, realiza la optimización con tiempo de
proceso razonable. El alcance en este trabajo se limita a la aplicación del diseño de
armaduras planas, no obstante, el concepto puede aplicarse a cualquier clase de
elemento, ya sea plano o tridi men sional. Tres casos de estudio son presentados para
demostrar la utilidad de DOPE aplicado a armaduras planas.
Descriptores: Algoritmo Genético (GA), Análisis por Elementos Finitos (FEA), optimización
estructural, armadura plana, diseño óptimo, computación evolutiva.
Abstract
This pa per re ports the merg ing of Ge netic Al go rithms (GA) with Fi nite El e ment Anal y sis (FEA)
as a tool of op ti mi za tion for de sign of trusses. The de vel op ment of an ex per i men tal CAD tool is re -
ported Evo lu tion ary Op ti mal De sign (DOPE). This CAD was done us ing DELPHI (Ob ject Pascal)
and showed very good re sults in spite of such ba sic con fig u ra tion. The re sults lead us to optimizate
within rea son able pro cess ing time, so a fast and ro bust op ti mi za tion method is ob tained. The re -
search ac tu ally em beds FEA within the GA, and the fit ness func tion is linked to FEA, in stead of
the ap proach of pro cess ing with GA’s, con firm ing and re di rect ing with FEA used in other re -
searches. Three cases of study are re ported for con firm ing the util ity of DOPE ap plied to trusses.
Key words: Ge netic Al go rithm (GA), Fi nite El e ment Anal y sis (FEA), struc tural op ti mi za tion,
plane truss, op ti mal de sign, evo lu tion ary com put ing.
Introducción
Las responsabilidades de un diseñador en el
proceso de toma de decisiones durante el diseño
son muchas, pero principalmente:
– Definir las especificaciones del problema.
– Elegir criterios de diseño adecuados.
– Modelar y evaluar.
– Realizar cálculos empleando técnicas
como FEA.
– Interpretar y evaluar los resultados
del FEA.
– Elegir la mejor de las soluciones e
incluso proponer mejoras (Figura1).

Diseño óptimo evolutivo
Figura 1. Etapas de diseño estructural
La última actividad en la lista, elegir la mejor
solución y mejorarla, depende fuertemente de la
experiencia del diseñador, por lo que no es simple.
Además, el diseñador no dispone de los parámetros
o la capacidad suficientes para asegurar
que la última propuesta de solución que obtenga
sea la óptima, ya que le es físicamente imposible
evaluar el espectro completo de posibles soluciones.
Entonces, resulta atractivo tener una
herramienta que permita obtener soluciones de un
problema de diseño lo más cercanas posibles a la
óptima, cuyo desempeño no dependa de la experiencia
del diseñador. La incorporación de GA a
la solución de problemas de diseño de armaduras
planas es una alternativa viable para desarrollar
herramientas evolutivas como la descrita arriba.
Antecedentes
Desde hace varias décadas, se han realizado
estudios en el campo de optimización estructural.
El desarrollo de metodologías eficientes para encontrar
estructuras óptimas es muy importante,
debido a que facilitaría resolver problemas complejos
en áreas como la arquitectura, la ingeniería
civil y mecánica.
El uso de las técnicas de la computación evolutiva,
tales como los GA, se han aplicado a la solución de
algunos problemas en el pasado. Goldberg (1989)
y Michalewicz (1996), aplicaron GA al diseño de
armaduras planas. Su objetivo fue disminuir la
sección transversal de los miembros de la estructura,
considerando la restricción de máximo
esfuerzo, obteniendo ambos resultados similares y
satisfactorios. Jenkis (1991) empleó GA a la optimización
geométrica y disminución de peso de
armaduras. En su estudio la topología era fija y los
parámetros geométricos fueron la longitud y orientación
de los miembros. Louis and Zhao (1995),
trabajaron en la optimización geométrica y topológica
aplicando GA.
Otro reporte en el área de optimización topológica
de armaduras, fue descrito por Cagan y
Mitchell (1993). En este caso, ellos aplicaron recocido
simulado (Simulated Annealing) obteniendo
buenos resultados.
Xie y Steven (1997) desarrollaron una técnica a
la que bautizaron Optimización Estructural Evolutiva
(Evolutionary Structural Optimization). Dicha
técnica se basa en la remoción lenta de material
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F. Velázquez-Villegas y S.D. Santillán-Gutiérrez
superfluo y ha sido aplicada a varios problemas,
entre ellos, el diseño de armaduras planas,
logrando buenos resultados.
Propuesta
En este trabajo se fusionan GA y FEA en un
algoritmo computacional para el diseño de armaduras
planas óptimas. La función objetivo a maximizar
está definida por el inverso de la energía de
deformación multiplicado por el volumen. La
intención es obtener estructuras que sean ligeras,
y a la vez, que la deformación de las mismas sea
mínima.
La figura 2 muestra el esquema de diseño
óptimo empleando GA (DOPE). La participación
del diseñador es reducida; sin embargo, es vital
dado que es él quién define las especificaciones,
selecciona los criterios de diseño y aplica las
restricciones. El proceso de búsqueda de soluciones
es desarrollado por el algoritmo que integra
GA con FEA. Estructuras no rígidas pueden surgir
durante el proceso, por lo que es necesario incluir
filtros que detecten y desechen tales estructuras.
Dichos filtros, calculan el grado de indeterminación
de las armaduras.
Aplicación de DOPE, la optimización
de armaduras planas
Las armaduras son estructuras rígidas constituidas
por barras conectadas por articulaciones libres de
fricción, por lo que dichas barras son sometidas
sólo a cargas de tracción o compresión.
La armadura a optimizar está contenida en un
dominio de diseño que se define por sus dimensiones
horizontal y vertical, así como el número de
divisiones en dichas direcciones. Dicho dominio
de diseño, al igual que las armaduras generadas, se
codifica como una cadena de números enteros
positivos (el signo positivo significa la existencia
de barra en la posición indicada). El algoritmo va
eliminando barras del dominio para generar soluciones.
Una barra eliminada se reflejará en la cadena
codificada con un signo negativo en la
posición eliminada (Figura 3).
Figura 2. Etapas DOPE
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Diseño óptimo evolutivo
Figura 3. (a) Armadura simple inicial compuesta por 8 barras y 5 nodos. La cadena codificada se muestra abajo.
(b) Se eliminan dos barras cambiando así la armadura y la cadena codificada
La función objetivo que maximiza el algoritmo es la
siguiente:
æ
- 1
U e Ve
fe
=
* ö÷
ç
èU
* V
o o ø÷
1
Ue = å Uj = å s je
Vj
2 j
Ve = å Vj =å A
j
1j
donde f es la función objetivo, U la energía de
deformación, V el volumen de una armadura, A el
área transversal de una barra, l la longitud de la
barra, σ es el esfuerzo y ε la deformación de una
barra. Los subíndices “e” y “o” corresponden a la
armadura generada y al dominio de diseño respectivamente,
j se refiere a la j_ésima barra en el
dominio de diseño.
Por otra parte, para mejorar el desempeño del
GA se le hicieron algunas modificaciones. El
algoritmo puede ser aplicado con crossover de
punto simple o doble y se incluye elitismo en la
selección. La razón para realizar estas modificaciones
al GA simple, es que tanto el crossover de
doble punto y el elitismo favorecen el desempeño
y la convergencia del mismo (De Jong, 1980) .
Se implementaron tres criterios de paro que
dieron como resultado evitar que el algoritmo realice
cálculos innecesarios una vez que un óptimo
ha sido encontrado:
a) Máximo número de generaciones
(MNG),
b) Pérdida de diversidad en la población
(PDP) y
c) Repetición del mejor individuo durante
10% del MNG establecido (RMI).
En las figuras 4 y 5, respectivamente, se
muestran el GA modificado y el algoritmo DOPE
implementados.
Caso de estudio 1
Para definir valores adecuados de los parámetros
evolutivos (probabilidad de crossover p c
y probabilidad de mutación p m ), se aplicó DOPE
al dominio de diseño, el cual se puede definir;
asimismo, consiste de 8 barras y 5 nodos (Figura
3a). Una carga vertical de 500 N aplicada en el
nodo central y nodos de la base totalmente
restringidos.
La sección transversal de las barras 0.0009
m 2 , módulo de Young de 210GPa y módulo de
Young de 386 MPa son las características de las
barras. Se probaron varias estrategias o valores
de los parámetros y se encuentran en la
tabla 1.
En la figura 6 se muestran algunos de los individuos
de la primera población. La armadura
óptima está formada por dos barras como se
indica en la figura 7(c). El volumen es 79.29% menor
que el del dominio de diseño. El esfuerzo
promedio aumentó de 132.243 kPa a 392.837 kPa,
lo cual implica un incremento del 297%.
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F. Velázquez-Villegas y S.D. Santillán-Gutiérrez
Figura 4. GA simple modificado
Figura 5. Diagrama del algoritmo computacional
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Diseño óptimo evolutivo
Tabla 1. Estrategias caso de estudio 1
Estrategia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tamaño de
población
(SP)
25 50 75 25 25 25 25 25 25 25
Generacio
nes (gen) 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000
p c 0.7 0.7 0.7 0.45 0.6 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75
p m 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.05 0.1 0.1 0.1
Elitismo Nulo Nulo Nulo Nulo Nulo Nulo Nulo Nulo Nulo 10%
Crossover Simple Simple Simple Simple Simple Simple Simple Simple Doble Doble
Óptimo
alcanzado
/
generación
Máxima
generación
no no no no no no Sí / 733 Sí / 224 Sí / 183 Sí /11
956 350 245 761 719 236 933 424 383 61
Paro RMI RMI RMI PDP RMI RMI RMI RMI RMI PDP
Figura 6. Diversidad de la población inicial, caso de estudio 1
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F. Velázquez-Villegas y S.D. Santillán-Gutiérrez
Figura 7. Etapas evolutivas, caso de estudio 1
De los resultados mostrados en la tabla 1 se
pueden concluir varias cosas: de las estrategias 7 y
8 el valor elevado en p c
(0.75) es recomendable y el
valor de p m debe oscilar necesariamente entre 0.05
y 0.1, de la 9, es clara la ventaja de crossover de
doble punto sobre el de punto sencillo. Finalmente,
en la estrategia 10 se demuestra la valía del
elitismo para acelerar el desempeño del algoritmo.
Caso de estudio 2
En la figura 8 se encuentran, tanto el dominio de
diseño como la armadura óptima para este caso.
Las dimensiones del dominio son 0.5 m de
longitud por 1 m de altura. Los nodos de la base
están totalmente restringidos y se aplica una carga
de 500N en el nodo 8. La sección transversal y el
material son considerados en el caso 1. Los parámetros
empleados son: tamaño de población
SP=20, máximo número de generaciones Gen=2000,
p c =0.7, p m =0.1, crossover de doble punto y elitismo
del 10%. El volumen del dominio es de
5.7×10–3m 3 y su esfuerzo promedio 137.3 kPa. La
armadura óptima representa sólo el 43%
(2.4x10–3m 3 ) en volumen del dominio, pero su
esfuer- zo promedio se incrementa 96.5%
(269.8kPa). Este resultado se dio después de 113
generaciones y el paro fue por PDP.
Figura 8. (a) Dominio de diseño. (b) Armadura óptima, caso de estudio 2
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Diseño óptimo evolutivo
Caso de estudio 3
Se determinó la armadura óptima para el dominio
de diseño de 0.75 m por 0.5m, mostrado en la
figura 9. Los nodos inferiores derecho e izquierdo
fueron restringidos totalmente y se aplicaron dos
cargas verticales de 1000N en los nodos 13 y 14.
Las condiciones de material y sección son las
mismas que en los casos anteriores. Los valores de
los parámetros SP= 0.75, Gen=1600, p c
=0.75,
p m =0.1, crossover de doble punto, y elitismo del
10%. El volumen del dominio de diseño es 7.6x10 -3
m 3 , mientras que el esfuerzo promedio es 286 kPa.
Algunos de los diferentes estados evolutivos en
este caso se muestran en la figura 10 y el
óptimo en la figura 11. Dicho óptimo muestra
un esfuerzo promedio sólo 5% mayor (300.3
kPa); sin embargo, la disminución de 42% de
volumen es importante. El criterio de paro
activado fue RMI EN LA GENERACIÓN 1219. La
figura 12 exhibe el comportamiento de la
aptitud relativa. Cada cambio de pendiente en
la curva refleja la mejora en el individuo idóneo
de la generación. La gran cantidad de cambios
de pendiente, indican que la búsqueda realizada
por el algoritmo fue amplia.
Figura 9. Dominio de diseño, caso de estudio 3
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F. Velázquez-Villegas y S.D. Santillán-Gutiérrez
Figura 10. Etapas evolutivas en el caso de estudio 3
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Diseño óptimo evolutivo
Figura 11. Armadura óptima, caso de estudio 3
Figura 12. Aptitud relativa vs Generación, caso de estudio 3
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F. Velázquez-Villegas y S.D. Santillán-Gutiérrez
Conclusiones
Para un diseñador es de suma importancia contar
con herramientas rápidas y eficientes que faciliten
su labor. La fusión de GA y FEA, además de
producir una herramienta con las virtudes enunciadas
anteriormente, sólo requiere que se le
alimenten algunos pocos datos para realizar su
trabajo. Los resultados obtenidos de los tres casos
de estudio demuestran que implementar GA con el
problema de diseño de armaduras planas es muy
útil y no complicado.
El buen desempeño del algoritmo depende de
los valores de los parámetros evolutivos. De
acuerdo con los resultados valores de p c alrededor
de 0.7 y de p m
entre 0.05 y 0.1 favorecen el desempeño
cuando el crossover de doble punto y
elitismo moderado son combinados. Valores elevados
de elitismo provocan pérdida de diversidad
perdiendo la riqueza del espacio de búsqueda.
Agradecimientos
Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología de
México (CONACYT) por el apoyo proporcionado
para la realización de este trabajo a través del proyecto
U-3503 “Optimización Estructural de Elementos
Mecánicos por Medio de Computación
Evolutiva”
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Loughborough, England.
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Diseño óptimo evolutivo
Semblanza de los autores
Fernando Velázquez-Villegas. Se tituló como ingeniero mecánico en la Facultad de Ingeniería de la UNAM en el 2001. Asimismo,
obtuvo el grado de maestro en ingeniería mecánica en 2003, ambos con mención honorífica; actualmente realiza estudios
de doctorado en el área de diseño mecánico. Desde los estudios de maestría su línea de investigación es el área de diseño
evolutivo y computación evolutiva. Otras áreas de su interés son el método de los elementos finitos, materiales para el
diseño, diseño óptimo y manufactura. Colabora como ayudante de profesor en el CDM desde el año 2002.
Saúl Daniel Santillán-Gutiérrez. Se graduó como ingeniero mecánico electricista en 1988 y posteriormente obtuvo el grado de
maestro en ingeniería mecánica en 1992 en la Facultad de Ingeniería de la UNAM. Realizó el doctorado en ingeniería de
diseño en 1998, en la Loughborough Univer sity of Tech nology en Inglaterra. Ha dirigido tesis de licenciatura en el área de
diseño mecánico, así como proyectos de investigación y desarrollo tecnológico. Es miembro de la Sociedad de Exalumnos
de la Facultad de Ingeniería de la UNAM (SEFI), de la Amer ican Society of Mechan ical Engi neers (ASME), de la Asociación
de Ingenieros Universitarios Mecánicos Electricistas (AIUME), así como miembro fundador de la Sociedad Mexicana de
Ingenieros Mecánicos. Actualmente imparte cursos en DEPFI y en la licenciatura, en el área de desarrollo de productos,
inteligencia arti fi cial y métodos de diseño.
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INGENIERÍA Investigación y Tecnología VII. 3. 151-164, 2006
(artículo arbitrado)
Comportamiento mecánico de concreto
fabricado con agregados reciclados
I.E. Martínez-Soto y C.J. Mendoza-Escobedo
Instituto de Ingeniería, UNAM
E-mails: irismartinezs@yahoo.com y cjm@pumas.iingen.unam.mx
(Recibido: mayo de 2005; aceptado: noviembre de 2005)
Resumen
El desperdicio producido por las plantas premezcladoras de concreto representa un
problema de residuos sólidos que necesita solución. Este concreto puede ser utilizado para
fabricar agregados. En este trabajo, se presenta el desempeño de concretos fabricados con
agregados reciclados obtenidos a partir de cilindros de concreto premezclado y diferentes
consumos de cemento. Los resultados experimentales mostraron que el comportamiento
del concreto con agregados reciclados es similar al del concreto con agregados naturales, lo
que sugiere que puede ser utilizado como un concreto clase dos, de acuerdo con el
Reglamento de Construcción del Distrito Federal (RCDF).
Descriptores: Agregado reciclado, concreto reciclado, propiedades mecánicas del
concreto.
Abstract
The solid wastes pro duced by the ready mixed con crete in dus try rep re sent a se ri ous prob lem that
need an im me di ately so lu tion. This con crete might be used to fab ri cate re cy cled con crete ag gre gate
(RCA). In this pa per the me chan i cal prop er ties of con crete fab ri cated with RCA and dif fer ent ce -
ment con tents are pre sented. The RCA were fab ri cated us ing old lab o ra tory spec i mens made of
ready mixed con crete. The re sults showed the prop er ties of the re cy cled con crete are sim i l ar to that
of nat u ral con crete. Ac cord ingly, the re cy cled con crete can likely be used as type two con crete in
agree ment with Mex ico City Build ing Code (RCDF).
Key words: Re cy cled con crete ag gre gate, re cy cled con crete, me chan i cal prop er ties of the con crete.
Introducción
Las plantas premezcladoras de concreto generan
un porcentaje importante de desperdicio (estimado
en un 10%) del concreto producido. Esto
representa una pérdida de las materias primas que
componen el concreto, principalmente del agregado
natural, ya que este insumo es un recurso
natural no renovable. Además, este desperdicio
también implica la necesidad de un sitio para su
disposición final, lo que a su vez, representa un
problema debido a la escasez de áreas disponibles
para ello. Por lo tanto, resulta imperativo dar una
solución al problema. En este trabajo se propone
el reciclaje del concreto premezclado para fabricar
agregados gruesos como una posible solución.
Para mostrar la factibilidad de la propuesta, en
esta investigación se evaluaron las propiedades
mecánicas de concretos elaborados con agregados
gruesos producto del reciclaje de especímenes
de concreto premezclado, y se compararon,
ante igualdad de condiciones de fabricación,
con las propiedades de concretos naturales
(hechos con agregados naturales). Las propiedades
mecánicas comparadas fueron el módulo de
elasticidad y las resistencias a la compresión,
tensión y flexión, todas obtenidas mediante
pruebas de laboratorio. Los resultados experimen-

Comportamiento mecánico de concreto fabricado con agregados reciclados
tales obtenidos mostraron que los agregados,
producto del reciclaje de concreto premezclado,
producen concretos reciclados que pueden utilizarse
como concretos clase dos, de acuerdo con el
Reglamento de Construcción del Distrito Federal
(RCDF, 2003). Estos resultados muestran la factibilidad
del reciclaje de concreto como una solución
al problema, reutilizando el concreto premezclado
y el obtenido de la demolición de estructuras
existentes.
Agregados
En este trabajo, los agregados gruesos naturales
utilizados fueron calizas, y a éstos se les llama
como tal (agregados naturales). Por otra parte, a
los agregados gruesos producto de la trituración
de concreto premezclado, se les llama agregados
reciclados. Estos agregados son también de
caliza, ya que se tuvo especial cuidado de que el
concreto premezclado utilizado para fabricarlos,
estuviera compuesto solamente de caliza natural.
Respecto del agregado fino, sólo se utilizó arena
andesítica natural.
Para los dos tipos de agregados gruesos, naturales
y reciclados, se consideró un tamaño máximo de
agregado (TMA) de 19 mm (3/4”). De acuerdo con
este TMA, se utilizó un intervalo granulométrico
correspondiente a un material bien graduado,
según la norma ASTM C 33.
Fabricación
La granulometría original de los agregados naturales
estaba fuera de los límites establecidos en
la norma ASTM C 33 para el TMA considerado,
por lo que fue necesario triturar el material para
recomponer sus tamaños y cumplir así con la
norma. Esta recomposición de tamaños se hizo
considerando una proporción del 35% de partículas
que pasan la malla de 9.5 mm (3/8”) y 65%
que pasan la malla de 19 mm (3/4"). Esta proporción
permitió cumplir con lo establecido en la
norma ASTM C 33.
El proceso de recomposición granulométrica
aplicado a los agregados naturales se muestra en
la figura 1.
Figura 1. Proceso de fabricación de agregados
152 INGENIERIA Investigación y Tecnología FI-UNAM

I.E. Martínez-Soto y C.J. Mendoza-Escobedo
El equipo de trituración utilizado fue la trituradora
eléctrica de muelas del laboratorio de materiales
del Instituto de Ingeniería, UNAM (IIUNAM), la cual
acepta un TMA de 75 mm (3”). Para el cribado del
material, se utilizó la criba eléctrica del laboratorio
de mecánica de rocas del IIUNAM. Este equipo
cuenta con las mallas de 19 mm (3/4”), la de 9.5
mm (3/8”), y la de 4.76 mm (#4). La criba entrega
por separado cuatro tipos de materiales: retenido
19 mm (R19), pasa la 19 mm (P19), pasa la 9.5 mm
(P9.5) y el que pasa la malla de 4.76 mm (P4.76).
Los tamaños utilizados para la recomposición
granulométrica fueron el P19 y el P9.5.
Respecto de los agregados reciclados, éstos se
fabricaron de acuerdo al mismo procedimiento de
trituración y cribado utilizado en los agregados
naturales (Figura 1), con la diferencia de que la
materia prima fue concreto premezclado. En este
caso se realizó una trituración primaria manual y
posteriormente se siguió con el proceso de
fabricación mostrado en la figura 1.
Propiedades físicas
Las propiedades físicas estudiadas para los agregados
gruesos fueron la granulometría, coeficiente
de forma, humedad, absorción, densidad relativa y
peso volumétrico compactado. Los resultados se
presentan en conjunto para los agregados naturales
y reciclados con fines de comparación.
Las propiedades físicas estudiadas para el
agregado fino fueron la granulometría, módulo de
finura, humedad, absorción, densidad relativa y
peso volumétrico compactado.
Granulometría
La granulometría de los agregados gruesos, naturales
y reciclados, se controló de acuerdo a la
norma ASTM C 33 para tener las mismas condiciones
y así tener una base de comparación. En la
figura 2 se muestran las curvas granulométricas de
los dos tipos de agregados gruesos.
En el caso del agregado fino, no se hizo una
corrección granulométrica, ya que se consideró
que su granulometría era aceptable para ser
utilizada en las mezclas de concreto. La figura 3
muestra la curva granulométrica de la arena.
El módulo de finura de la arena se obtuvo de
acuerdo con la norma ASTM C 125. El valor fue de
3.15, lo que indica que la arena es gruesa.
Figura 2. Granulometría de agregados gruesos
Vol.VII No.3 -julio-septiembre- 2006 153

Comportamiento mecánico de concreto fabricado con agregados reciclados
Figura 3. Granulometría de la arena
Coeficiente de forma
El cálculo del coeficiente de forma se hizo de
acuerdo con la norma francesa NFP 18-301. La tabla
1 presenta los resultados obtenidos. En esta
tabla se observa que el coeficiente de forma de los
agregados gruesos naturales y reciclados es similar,
lo cual era de esperarse debido a que ambos
materiales son producto de trituración. La forma
de las partículas de ambos agregados cumple los
límites establecidos por el RCDF.
Tabla 1. Coeficientes de forma de los agregados gruesos
(adimensional)
Agregado
Coeficiente de forma
Natural 0.20
Reciclado 0.24
Humedad
La humedad que todos los agregados (naturales,
reciclados y arena) tenían en el momento de los
experimentos se midió siguiendo el procedimiento
establecido en la norma ASTM C 566. Los
valores obtenidos se presentan en la tabla 2. Se
observa claramente que los agregados gruesos
reciclados tenían una humedad mayor que la de
los naturales. Estos valores de humedad se
utilizaron para realizar los proporcionamientos de
las mezclas de concreto, ya que se previnieron
variaciones en las mismas.
Tabla 2. Humedades de los agregados
Agregado Humedad (%)
Natural 0.04
Reciclado 3.33
Arena 6.93
Absorción
Esta propiedad se midió de acuerdo con la norma
ASTM C 127 y 128, para agregados gruesos y finos,
respectivamente. Los resultados se muestran en la
tabla 3. Es evidente que los agregados gruesos
reciclados son notablemente más absorbentes que
los naturales. Sin embargo, ambos están dentro de
los rangos normales, al igual que la arena.
Tabla 3. Absorción de los agregados
Agregado Absorción (%)
Natural 0.42
Reciclado 2.62
Arena 6.03
Densidad relativa
La densidad relativa de los agregados se midió de
acuerdo con las normas ASTM C 127 y 128, para
agregados gruesos y finos, respectivamente. En la
tabla 4 se presentan los resultados. Se aprecia que
154 INGENIERIA Investigación y Tecnología FI-UNAM

I.E. Martínez-Soto y C.J. Mendoza-Escobedo
la densidad de los agregados reciclados fue menor
que la de los naturales, lo cual podía esperarse, ya
que el contenido de pasta de cemento en el
material reciclado disminuye la densidad global del
agregado.
Tabla 4. Densidad relativa (adimensional)
Agregado
Densidad
Natural 2.71
Reciclado 2.36
Arena 2.31
El intervalo normal de densidad relativa para la
mayoría de los agregados naturales es de 2.40 –
2.90 (Kosmatka et al, 1992), por lo que el agregado
reciclado tiene una densidad relativa ligeramente
baja respecto a la de un agregado natural. Sin
embargo, el valor medido en el laboratorio (2.36)
es muy bueno para ser un agregado reciclado ya
que está muy próximo al rango de variación de los
agregados naturales.
Peso volumétrico compactado
Esta propiedad se midió de acuerdo con la norma
ASTM C 29. De acuerdo con Kosmatka (1992), el
peso volumétrico compactado de un agregado
usado para concreto de peso normal, varía de 1200
a 1760 kg/m 3 . Los valores obtenidos en el
laboratorio están dentro de este intervalo (Tabla 5).
Tabla 5. Peso volumétrico compactado
Agregado Peso Vol. (kg/m 3 )
Natural 1563
Reciclado 1309
Arena 1584
Elaboración de concretos
De aquí en adelante, a los concretos fabricados
con los agregados naturales se les llama “concretos
naturales”, y a los fabricados con agregados
reciclados se les llama “concretos reciclados”. En
ambos tipos de concreto se utilizó arena natural
de andesita con las propiedades físicas descritas
anteriormente.
Proporcionamientos
Para la elaboración de las mezclas de concreto se
utilizó un procedimiento modificado a partir del
método ACI 211 (Martínez-Soto, 2005).
El procedimiento seguido fue el siguiente: primero
se fijaron los consumos de cemento a utilizar
en cada mezcla, es decir, 200, 300 y 400 kg/m 3 para
los dos tipos de agregados, naturales y reciclados.
A partir del TMA considerado y el revenimiento
fijado para todas las mezclas en 10 cm, se encontró
un consumo de agua establecido por el
método ACI. Después se definieron los volúmenes
absolutos en porcentaje para agregados finos y
gruesos que se consideraron congruentes para
cada consumo de cemento, ya que el volumen de
agregado grueso que establece el método ACI,
era el mismo para todas las mezclas, pues
depende del módulo de finura de la arena. En la
figura 4 se muestra el procedimiento de dosificación
de las mezclas.
Las mezclas resultado de estas proporciones se
nombraron de la siguiente manera: las elaboradas
con agregado de caliza natural se etiquetaron
como CN200, CN300 y CN400, y las elaboradas
con agregado de caliza reciclada como CR200,
CR300 y CR400 para cada consumo de cemento de
200, 300 y 400 kg/m 3 , respectivamente.
En la tabla 6 se presentan las cantidades
correspondientes al agua de mezclado utilizada
y a la cantidad de cemento ajustadas al peso
volumétrico obtenido en el laboratorio, ya que el
rendimiento de la mezcla en muchos casos fue
ligeramente mayor que uno. Cuando se observa
la tabla 6, es posible notar que los porcentajes
de agregado que se muestran en la figura 4, no
corresponde directamente a los pesos de agregados
mostrados en la tabla, principalmente en
los naturales. Esto se debe a que los agregados
gruesos naturales tienen un peso específico mucho
mayor que la arena utilizada, mientras que
los agregados reciclados tanto finos como
gruesos, tienen pesos específicos muy semejantes,
además las cantidades presentadas están
afectadas por la humedad que el material
contenía en el momento que se hicieron los
proporcionamientos.
Vol.VII No.3 -julio-septiembre- 2006 155

Comportamiento mecánico de concreto fabricado con agregados reciclados
Figura 4. Criterio de dosificación de las mezclas de concreto
Tabla 6. Proporcionamientos de las mezclas de concreto
Mezcla Agua (kg/m 3 ) Cemento (kg/m 3 ) Grava (kg/m 3 ) Arena (kg/m 3 )
CN200 200.37 198.38 961.75 886.18
CN300 211.56 293.80 943.19 802.23
CN400 216.49 387.33 922.94 724.43
CR200 247.02 189.79 838.45 848.78
CR300 240.57 281.75 822.67 770.71
CR400 252.08 371.16 803.03 695.93
Ensayes de laboratorio
Los ensayes de laboratorio practicados a los
concretos elaborados, fueron en estado fresco: el
revenimiento, el peso volumétrico fresco y el
contenido de aire, y en estado endurecido: las
resistencias a compresión, a tensión y a flexión, así
como el módulo de elasticidad, según los procedimientos
establecidos en las normas ASTM
correspondientes.
Para el estudio de estas propiedades se fabricaron
cilindros y vigas de concreto estándar de
0.15 × 0.30 m y 0.15 × 0.15 × 0.60 m, respectivamente.
Las propiedades de resistencia a la compresión
se estudiaron a las edades de 7, 14 y 28 días,
mientras que el resto de los ensayes se estudiaron
para 28 días solamente.
Resultados y discusión
Propiedades en estado fresco
Revenimiento
Para obtener el revenimiento de las mezclas de
concreto se utilizó el procedimiento establecido
en la norma ASTM C 143. En la tabla 7 se presentan
los revenimientos obtenidos. Como se
puede apreciar la mayoría de los revenimientos se
encuentran dentro de los límites de tolerancia ( +
2.5 cm) que están establecidos en la fracción 6.1.2
de la norma ASTM C 94. Sólo la mezcla CR300
estuvo fuera de los límites.
Los resultados de otras investigaciones
similares muestran que la trabajabilidad de las
mezclas recicladas es menor que la de las mezclas
naturales (e.g., Sagoe, 2001). Los resultados
156 INGENIERIA Investigación y Tecnología FI-UNAM

I.E. Martínez-Soto y C.J. Mendoza-Escobedo
obtenidos en este trabajo concuerdan con esta
tendencia generalizada, según se observa en la
figura 5 donde se presentan los valores de
revenimiento para los concretos reciclados y
naturales.
Tabla 7. Revenimientos obtenidos
Mezcla
Revenimiento (cm)
CN200 8.87
CR200 8.10
CN300 10.00
CR300 6.93
CN400 9.17
CR400 8.65
Peso volumétrico fresco
Los pesos volumétricos frescos obtenidos de
acuerdo con el procedimiento establecido en la
norma ASTM C 138, se presentan en la tabla 8. En
ésta se observa que los pesos volumétricos de los
concretos reciclados fueron bajos en relación con
los que alcanzaron los naturales. Lo cual era de
esperarse. Otras investigaciones realizadas (Sagoe,
2001) con agregado reciclado de mayor peso
específico como el basalto, han reportado mezclas
recicladas de pesos volumétricos mayores a los
aquí obtenidos. Esto es congruente con los
resultados presentados en este trabajo donde se
utilizó agregado reciclado de caliza.
Tabla 8. Pesos volumétricos frescos
Mezcla Peso volumétrico fresco (kg/m 3 )
CN200 2246.68
CR200 2124.05
CN300 2250.78
CR300 2115.70
CN400 2251.20
CR400 2122.21
Por otra parte, según lo establecido en el RCDF,
este concreto reciclado se clasifica como concretos
clase dos, ya que tiene pesos volumétricos
frescos de 1,900 a 2,200 kg/m 3 , mientras que los
naturales están clasificados como concretos clase
uno por tener pesos volumétricos frescos mayores
a 2,200 kg/m 3 .
Contenido de aire
El contenido de aire de las mezclas de concreto se
obtuvo de acuerdo con el procedimiento que se
establece en la norma ASTM C 231. En la tabla 9 se
presentan los contenidos de aire obtenidos de las
seis mezclas elaboradas.
En esta tabla se observa que todas las mezclas
tuvieron contenidos de aire normales entre, el 1.5,
y 2.0 %, sólo la mezcla CR300 obtuvo un contenido
de aire ligeramente mayor.
Figura 5. Posicionamiento de revenimientos reciclados-naturales
Vol.VII No.3 -julio-septiembre- 2006 157

Comportamiento mecánico de concreto fabricado con agregados reciclados
Tabla 9. Contenidos de aire obtenidos
Mezcla Contenido de aire (%)
CN200 2.00
CR200 1.80
CN300 2.00
CR300 2.10
CN400 2.00
CR400 2.00
Propiedades en estado endurecido
Resistencia a la compresión
La resistencia a la compresión de las mezclas de
concreto se obtuvo siguiendo el procedimiento
establecido en la norma ASTM C 39. Las resistencias
a la compresión obtenidas se presentan en
la tabla 10.
Tabla 10. Resistencias a la compresión de los concretos
Mezcla
Relación
a/c
Resistencia a la compresión
(kg/cm 2 )
7d 14d 28d
CN200 1.01 116.70 145.08 188.20
CR200 1.30 103.52 140.48 185.53
CN300 0.72 218.20 252.25 306.86
CR300 0.85 209.97 266.99 300.73
CN400 0.56 286.85 330.78 385.61
CR400 0.68 256.43 281.63 360.36
Si se representan las relaciones agua-cemento
(a/c) y las resistencias a la compresión (fc) a 28 días
en una gráfica, se observa que los concretos
reciclados tienen mayores resistencias respecto de
los naturales para una misma relación a/c. Hay que
tomar en cuenta que los concretos reciclados
requieren de mayores consumos de agua que los
naturales para alcanzar revenimientos similares
(Figura 6). En general, en la literatura técnica
relacionada se han publicado valores de resistencia
a la compresión simple, menores a los aquí
obtenidos. Sin embargo, las referencias disponibles
hasta el momento (Sagoe, 2001; Katz, 2003)
no presentan los valores de sus concretos naturales
homólogos, por lo que no es posible saber
si la situación obtenida en esta investigación ha
sido obtenida por otros autores.
Ahora, si se relaciona el consumo de cemento
con la resistencia a la compresión obtenida, se
puede observar que cuando se tiene un consumo
de hasta 300 kg/m 3 de cemento, la eficiencia en los
concretos reciclados es mayor que en los naturales,
mientras que para consumos mayores a 300
kg/m 3 la eficiencia es mayor para los concretos
naturales como se observa en la figura 7, aunque
las diferencias son pequeñas.
Resistencia a la tensión
Para un concreto de peso normal, la resistencia a
la tensión se estima en 1.20 a 1.50 veces la raíz
cuadrada de la resistencia a la compresión, para
concretos clase dos y clase uno, respectivamente
(RCDF). Esta propiedad se obtuvo siguiendo el
Figura 6. Curvas fc-relación a/c
158 INGENIERIA Investigación y Tecnología FI-UNAM

I.E. Martínez-Soto y C.J. Mendoza-Escobedo
procedimiento establecido en la norma ASTM C
496. Las resistencias a la tensión que alcanzaron
las mezclas de concreto se presentan en la tabla
11. Como se puede observar en esta tabla, los
concretos reciclados alcanzaron valores de resistencia
a la tensión, ligeramente menores que los
concretos naturales: 96% para el CR200, 92% para
el CR300 y 84% para el CR400. Abdol et al., (2001)
obtuvo la misma tendencia en sus investigaciones
con concretos reciclados de caliza, lo cual respalda
los resultados obtenidos en esta investigación.
Al representar en una gráfica los valores obtenidos
y los establecidos en el reglamento como
tendencias centrales, se puede observar que los
concretos reciclados pueden considerarse dentro
de la clasificación para concretos clase dos,
mientras que los naturales como concretos clase
uno (Figura 8).
Resistencia a la flexión
La resistencia a la flexión o módulo de ruptura para
un concreto de peso normal se considera como 2 y
1.4 veces la raíz cuadrada de la resistencia a la
compresión para concretos clase uno y clase dos,
respectivamente. Para obtener los valores de resistencia
a la flexión que alcanzaron los concretos, se
siguió el procedimiento establecido en la norma
ASTM C 78.
Figura 7. Eficiencia en el consumo de cemento
Figura 8. Resistencias a la tensión alcanzadas
Vol.VII No.3 -julio-septiembre- 2006 159

Comportamiento mecánico de concreto fabricado con agregados reciclados
Tabla 11. Resistencias a la tensión de los concretos
Mezcla
Resistencia
a la tensión
(ft)
(kg/cm 2 )
Concreto
Concreto
1.5 × (fc) 1 2 1.2 × (fc) 1 2
clase 1 clase 2
CN200 17.23 20.58 16.46
CR200 16.55 20.43 16.34
CN300 26.30 26.28 21.02
CR300 24.23 26.01 20.81
CN400 28.04 29.46 23.57
CR400 23.63 28.47 22.78
En la tabla 12 se presentan las resistencias a la
flexión de los concretos estudiados.
Tabla 12. Resistencias a la flexión de los concretos
Mezcla
Resistencia
a la flexión
(MR)
(kg/cm 2 )
Concreto
Concreto
2.0 × (fc) 1 2 1.4 × (fc) 1 2
clase 1 clase 2
CN200 26.11 27.44 19.21
CR200 29.26 27.24 19.07
CN300 42.22 35.03 24.52
CR300 39.89 34.68 24.28
CN400 52.11 39.27 27.49
CR400 41.58 37.97 26.58
Como se observa en la tabla 12, nuevamente los
concretos reciclados presentaron valores menores
que los que alcanzaron los concretos naturales, a
excepción del CR200 que fue mayor que su homólogo
natural. Sin embargo, los valores que
alcanzaron todas las mezclas de concreto estudiadas
tienen líneas de tendencia que caben
dentro de la clasificación de concretos clase uno
en ambos tipos de concretos como se aprecia en
la figura 9.
Módulo de elasticidad
Para obtener el módulo de elasticidad de las
mezclas de concreto, se utilizó la norma ASTM C
469. De acuerdo con el RCDF el módulo de
elasticidad puede estimarse como 14,000 veces la
raíz cuadrada de fc para concretos clase uno y
como 8,000 veces la raíz cuadrada de fc para
concretos clase dos.
En la tabla 13 se presentan los valores
alcanzados de módulo de elasticidad para los
concretos estudiados.
En la misma, se observa que los concretos
reciclados como en todas las propiedades
mecánicas estudiadas, presentaron valores por
debajo de los alcanzados por los concretos
naturales.
Figura 9. Resistencias a la flexión de las mezclas de concreto
160 INGENIERIA Investigación y Tecnología FI-UNAM

I.E. Martínez-Soto y C.J. Mendoza-Escobedo
Tabla 13. Módulos de elasticidad de los concretos
Mezcla
Módulo de
elasticidad
(E) × 10 3
(kg/cm 2 )
Concreto
clase 1
14,000 × (fc) 1 2
E × 10 3
Concreto
clase 2
8,000 × (fc) 12
E × 10 3
CN200 227 192 110
CR200 170 191 109
CN300 263 245 140
CR300 214 243 139
CN400 264 275 157
CR400 188 266 152
Como se observa en la figura 10, los valores
alcanzados por los concretos reciclados tuvieron
módulos de elasticidad superiores a los correspondientes
a concretos de clase dos (RCDF),
mientras que los concretos naturales se clasificaron
dentro de los concretos clase 1.
Las deformaciones unitarias máximas que
alcanzaron los concretos reciclados fueron del
mismo orden que los naturales y se encontraron
en el intervalo de 0.0029 a 0.0036, como se
muestra en la figura 11. Los trabajos disponibles
en la literatura técnica hasta el momento, no
presentan resultados comparables a los obtenidos
en esta investigación, ya que las condiciones
de los ensayes de otros autores (e.g.,
Katz, 2003) no son las mismas que las de este
trabajo.
Figura 10. Módulos de elasticidad de las mezclas de concreto
Figura 11. Deformaciones máximas unitarias de las mezclas de concreto
Vol.VII No.3 -julio-septiembre- 2006 161

Comportamiento mecánico de concreto fabricado con agregados reciclados
Conclusiones
El reciclaje de concreto para fabricar agregado
grueso y sustituir al natural es una práctica que
debe empezar a realizarse a la brevedad posible, ya
que la disponibilidad de bancos de materiales
pétreos es cada día más escasa.
Este trabajo de investigación reveló que el
agregado reciclado con granulometría adecuada
produce mezclas de buena calidad y con un comportamiento
mecánico similar al de los concretos
naturales.
Los concretos reciclados pueden ser utilizados
como concretos clase dos, lo que lo convierte en
un concreto con una cantidad de aplicaciones
nada despreciables.
En las resistencias a la tensión y flexión, se
encontró que para consumos de cemento de 300
kg/m 3 y mayores, la relación ft/fc 1/2 y MR/fc 1/2 eran
menores para los concretos reciclados, lo que se
puede deber a que a bajas relaciones agua-cemento,
domina el comportamiento del agregado
grueso y a altas relaciones agua-cemento domina
el de la pasta. Lo que conlleva a pensar que el
agregado reciclado tiene su mejor aplicación en
consumos de cemento bajos hasta 300 kg/m 3 ,
debido a que para consumos mayores pueden
resultar mezclas antieconómicas.
Por último, esta investigación constituye el punto
de partida de investigaciones complementarias.
Agradecimientos
Este trabajo se realizó gracias a las facilidades
prestadas por el IIUNAM para la realización de los
experimentos en su laboratorio de estructuras y
materiales.
Asimismo, se agradece el apoyo moral y económico
que el Instituto brindó para la realización de
esta investigación.
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Semblanza de los autores
Iris Esmeralda Martínez-Soto. Obtuvo el título de ingeniera civil en la Escuela de Ingeniería y Arquitectura de la Universidad
Autónoma de Sinaloa en el año de 2001. Cursó sus estudios de maestría en ingeniería (construcción) en la Universidad
Nacional Autónoma de México, obteniendo el grado en el año 2005. A lo largo de tres años de carrera profesional como
ingeniero civil, ha participado en diversos proyectos de desarrollo de infraestructura, tanto en el sector privado como en el
público, en el área de construcción e ingeniería de costos. En la investigación, colaboró en el Instituto de Ingeniería de
octubre de 2003 a agosto de 2005, como becaria, en proyectos de investigación dentro del área de concreto, relacionados
con el distribuidor vial del Distrito Federal, la aplicación del concreto reciclado en edificacione s y sobre el aspecto térmico
del uso del mate rial para el ahorro de energía en edificios de concreto. También ha dictado conferencias en el ACI México
sobre el desarrollo de sus investigaciones. Asimismo, ha sido coautora en publicaciones del área de matemáticas aplicadas
a la construcción y autora en los boletines informativos del ACI México. Actualmente se desempeña como coordinadora de
precios unitarios en el Aeropuerto Internacional de la Ciudad de México.
Carlos Javier Mendoza-Escobedo. Es ingeniero civil por la Universidad Autónoma de Yucatán y maestro en ingeniería por la
Universidad Nacional Autónoma de México. Es investigador del Instituto de Ingeniería desde 1971. Es secretario del Comité
Asesor en Seguridad Estructural del Distrito Federal, pres i dente de la Comisión de Especialidad de Ingeniería Civil de la
Academia de Ingeniería, miembro de la Comisión evaluadora del PRIDE de la ENEP Acatlán, UNAM y miembro del Consejo
Técnico del Organismo Nacional de Normalización y Certificación de la Construcción. Sus campos de interés son la
tecnología y las estructuras de concreto, y sobre estos temas, ha publicado 146 trabajos técnicos, ha participado en la
elaboración de varias Normas Mexicanas y en la preparación de las nuevas Normas Técnicas Complementarias del
Reglamento de Construcciones del Gobierno del Distrito Federal.
164 INGENIERIA Investigación y Tecnología FI-UNAM

INGENIERÍA Investigación y Tecnología VII. 3. 165-173, 2006
(artículo arbitrado)
Estimación de emisiones a la atmósfera
provenientes de quemadores elevados de
instalaciones petroleras en la Sonda de
Campeche
A. Mendoza-Domínguez y M. Graniel-Peralta
Departamento de Ingeniería Química y Centro de Calidad Ambiental, ITESM Campus Monterrey
E-mails: mendoza.alberto@itesm.mx y mgranielp@pep.pemex.com
(Recibido: mayo del 2005; aceptado: noviembre de 2005)
Resumen
PEMEX Exploración y Producción (PEP), realiza venteos de gas asociado a través de
quemadores elevados tipo antorcha en sus instalaciones de producción de la Sonda de
Campeche, lo cual permite controlar las presiones en los separadores y líneas de
conducción de dichas instalaciones. Este estudio se centra en cuantificar las emisiones
atmosféricas provenientes de los quemadores pertenecientes a la Región Marina
Noreste de PEP. Para ello, se elaboró un inventario de emisiones para seis diferentes
episodios de estudio entre noviembre de 2000 y noviembre de 2001, a fin de
diagnosticar el comportamiento de las emisiones a través de diferentes condiciones
meteorológicas. El inventario presentado fue para CO, CO 2 , SO 2 , óxidos de nitrógeno,
partículas suspendidas totales e hidrocarburos no quemados. El inventario se construyó
empleando factores de emisión, en los cuales se factorizaron ineficiencias de
combustión teóricas, debidas a las condiciones meteorológicas imperantes en la zona.
Los resultados obtenidos, muestran emisiones considerables de H 2 S y compuestos
orgánicos no quemados por ineficiencias de combustión en los quemadores, estimadas
entre 22% y 44%.
Descriptores: Contaminación atmosférica, inventario de emisiones, combustión,
factores de emisión, plataformas marinas.
Abstract
PEMEX Ex plo ra tion and Pro duc tion (PEP) per forms vent ing of as so ci ated gas through high
torch-type burn ers in its pro duc tion fa cil i ties in the south ern most part of the Gulf of Mex ico
(Sonda de Campeche), al low ing con trol of op er a tion pres sures of sep a ra tors and pipe lines in
such fa cil i ties. This study fo cuses in es ti mat ing the amount of at mo spheric emis sions orig i nated
from burn ers in PEP’s North east Ma rine Re gion. Thus, an emis sion in ven tory for six dif fer e nt
study ep i sodes be tween No vem ber 2000 and No vem ber 2001 was elab o rated, with the ob jec tive
of di ag nos ing the emis sions’ be hav iors through out dif fer ent me te o ro log i cal con di tions. The in -
ven tory was gen er ated for CO, CO 2 , SO 2 , ni tro gen ox ides, to tal sus pended par ti cles and un -
burned hy dro car bons. The in ven tory was as sem bled us ing emis sion fac tors that ac count for the -
o ret i cal com bus tion in ef fi cien cies due to me te o ro log i cal con di tions. The re sults show con sid er -
able amounts of H 2 S and un burned or ganic com pounds due to com bus tion in ef fi cien cies that
ranged be tween 22% and 44%.
Key words: Air pol lu tion, emis sions in ven tory, com bus tion, emis sion fac tors, ma rine plat forms.

Estimación de emisiones a la atmósfera provenientes de quemadores elevados ...
Introducción
La industria petrolera es uno de los ramos industriales
más importantes para nuestro país. El
organismo responsable de la exploración y explotación
de los yacimientos de hidrocarburos del
país es PEMEX Exploración y Producción, siendo
las Regiones Marinas Noreste (RMNE) y Suroeste
(RMSO) las encargadas de realizar las actividades
de extracción y transporte de petróleo crudo y gas
natural en el Sur del Golfo de México, específicamente
en la Sonda de Campeche (Figura 1). De
esta zona se extrae más del 80% de la producción
nacional de petróleo crudo, del cual, el 85% le
corresponde a la RMNE, el 15% a la RMSO y el 33%
a la producción del gas natural, perteneciéndole el
60% a la RMNE y el 40% a la RMSO (PEMEX, 2004).
De los activos que conforman la RMNE, Cantarell
aporta más del 85% de la producción de petróleo
crudo de dicha Región, y más del 70% del gas
natural (PEMEX, 2004). El gas natural que se extrae
en esta zona viene asociado al petróleo crudo. La
mezcla de petróleo y gas extraída es separada en
las instalaciones de producción, para
posteriormente enviar el petróleo crudo a las Terminales
Marítimas, Cayo Arcas y Dos Bocas. Por su
parte, el gas natural asociado, conocido también
como gas amargo por contener sulfuro de hidrógeno
(H 2 S) y bióxido de carbono (CO 2 ), es comprimido
y enviado al Centro de Proceso y Transporte
de Gas en la Península de Atasta (CPTGA), en
Campeche.
Las instalaciones de producción cuentan con
sistemas de desfogue a la atmósfera de sus
corrientes gaseosas para evitar sobrepresionamientos
en el sistema de compresión, en caso de
alguna falla operativa o rechazo de gas en las
instalaciones procesadoras. Sin embargo, debido
al contenido de hidrocarburos explosivos y H 2 S de
la corriente gaseosa, ésta no se envía directamente
a la atmósfera, dado que esto constituiría un
riesgo para el personal que labora en las instalaciones.
Cabe mencionar que el H 2 S a concentraciones
mayores de 250 partes por millón en
volumen (ppmv) causa edema pulmonar y superiores
a 1,000 ppmv puede ser mortal por causar
parálisis respiratoria (US EPA, 1990). Para evitar
riesgos, el gas amargo rechazado es enviado a
quemadores elevados tipo “antorcha”. Como resultado
de la combustión del gas amargo, además
de CO 2 y agua, se emite bióxido de azufre (SO 2 ),
óxidos de nitrógeno (NO x ), partículas suspendidas
(PS), monóxido de carbono (CO), compuestos
orgánicos no quemados y H 2 S no oxidado. Estimados
recientes (Villasenor et al., 2003), indican
que cerca del 82% del total de contaminantes
emitidos a la atmósfera en las regiones marinas
proviene de estas operaciones de quemado de gas.
En la actualidad, existe información limitada
acerca de las emisiones de contaminantes
atmosféricos provenientes de los activos de la
RMNE, su destino y efectos que ocasionan al
medio. Algunos autores han estudiado los efectos
REPUBLICA MEXICANA
ÁREA DE E STUDIO
TERMINAL
CAYO ARCAS
AR EA DE
PLAT AFORM AS
ATASTA
TA
CD. DELC AR MEN
DOS B OCAS
Figura 1. Ubicación de la zona de explotación petrolera en el Sur del Golfo de México
166 INGENIERIA Investigación y Tecnología FI-UNAM

A. Mendoza-Domínguez y M. Graniel-Peralta
de la lluvia ácida en el Golfo de México (Parungo et
al., 1990; Bravo et al., 2000 y 2004), pero sin
relacionar directamente las fuentes de emisión con
los efectos ambientales. Gamboa-Rodríguez et al.
(2004) realizaron un estudio para relacionar niveles
de hidrocarburos aromáticos policíclicos en el aire
ambiente con actividades de la industria petrolera,
pero en zonas tierra adentro del Estado de
Tabasco. Recientemente, Villaseñor et al. (2003),
reportaron un inventario de emisiones integral de
las operaciones de exploración y producción en la
Sonda de Campeche. Sin embargo, el inventario
reportado no considera el efecto de las ineficiencias
de combustión en las emisiones de los
quemadores elevados, debidas a condiciones meteorológicas
locales. Así, en el presente artículo se
presentan estimaciones de las emisiones provenientes
de los quemadores elevados tipo antorcha
de gas operados por PEMEX en la RMNE derivadas
de la aplicación de una técnica para calcular la
eficiencia de los quemadores con base en las
condiciones meteorológicas imperantes, y así
corregir las estimaciones de las emisiones obtenidas
puramente por factores de emisión. Esta
información es relevante, ya que se puede emplear
como base para estudiar posteriormente el efecto
potencial de las emisiones a lo largo de la costa del
Golfo de México, tanto en la salud de los habitantes
en actividades como la agricultura y en los
bienes materiales (por ejemplo, lluvia ácida), como
en la calidad escénica (visibilidad) de la región.
Metodología
Fuentes de información
Debido a que la altura de los quemadores tipo
antorcha típicamente sobrepasa los 18 metros y
no se cuenta con tecnologías para la medición
rutinaria de estas emisiones, generalmente se
realiza una estimación de la emisión de los contaminantes
empleando factores de emisión reportados
en la literatura. En la figura 1 se muestra la
zona en donde están ubicadas las instalaciones
marinas de producción de la RMNE, las cuales
fueron sujeto de este estudio. Se utilizó información
correspondiente al período de noviembre
del 2000 a noviembre del 2001 con el fin de
observar las variaciones estacionales de las emisiones.
En particular, se seleccionaron los
períodos presentados en la tabla 1 como representativos
de las diferentes estaciones del año. Un
criterio fundamental para seleccionar estos períodos
fue que no existieran huecos de información
meteorológica necesaria para corregir las estimaciones
de emisiones derivadas de la aplicación de
los factores de emisión. En cuanto a los volúmenes
de hidrocarburos enviados a quemadores,
se utilizó la información de los Centros de proceso
marinos Akal–C, Akal–J, Akal–N, Nohoch–A, Ku–A
y Ku–H, así como la del CPTGA. Esta información
fue proveída en promedios horarios. Asimismo, se
utilizó información meteorológica horaria de cinco
estaciones, ubicadas dentro del área de estudio
para generar los campos meteorológicos requeridos
en la estimación de emisiones. Las estaciones
de donde provino la información fueron:
Terminal Marítima Cayo Arcas, Terminal Marítima
Dos Bocas, Plataforma de Telecomunicaciones
Ixtoc-A, Plataforma de Telecomunicaciones Eco–1
y Plataforma de Rebombeo.
Tabla 1. Períodos de estudio seleccionados
Período
Otoño 1
Otoño 2
Invierno 1
Invierno 2
Primavera
Verano
Fechas
01/Nov/2000 – 11/Nov/2000
05/Dic/2000 – 19/Dic/2000
21/Dic/2000 – 06/Ene/2001
11/Ene/2001 – 25/Ene/2001
25/Mar/2001 – 05/Abr/2001
17/Ago/2001 – 26/Ago/2001
Generación del inventario de emisiones
Se estimaron las emisiones horarias de SO 2 , H 2 S,
NO x , CO, CO 2 , PS, y compuestos orgánicos totales
(COT) provenientes de 16 quemadores elevados,
así como un quemador de fosa. Para la formulación
de los factores de emisión, se consideraron
métodos desarrollados para operaciones de producción
y de proceso de la industria petrolera (US
EPA, 1995; ERG, 1999). La estimación de emisiones
de H 2 S, SO 2 y CO 2 , considera la razón de
conversión como función de la eficiencia de la
combustión. Por ejemplo, el cálculo de la emisión
de H 2 S (masa emitida por unidad de tiempo) se
expresa como:
Vol.VII No.3 -julio-septiembre- 2006 167

Estimación de emisiones a la atmósfera provenientes de quemadores elevados ...
(1)
1
E = QŸ( y ) Ÿ Ê ( 1 M ) PM
è Á ö
C ø Ÿ - Ÿ
H 2S H 2S SO2 H2
S
donde E H2 S
es la emisión de H 2
S, Q es el flujo
volumétrico de gas quemado, y H2 S
es la fracción
molar de H 2 S en el gas quemado, C es el volumen
molar del gas ideal, M SO 2
es la razón de conversión
molar de H 2 S a SO 2 (basado en la estequiometría y
suponiendo una conversión dependiente de la
eficiencia de la combustión), y PM
H S2
es el peso
molecular del H 2 S . Formas similares a la ecuación
(1) fueron empleadas para estimar las emisiones
de SO 2
y CO 2
. Para las emisiones de CO y NO x
se
consideran estimaciones de acuerdo al poder
calorífico del gas quemado. Así, por ejemplo, para
el compuesto i (i = CO o NO x ) se tiene:
Ei = QŸFE iŸ PCGN
(2)
donde E i es la emisión del compuesto i, PC GN es
el poder calorífico del gas natural (1,532.165
BTU/ft 3 , según datos proporcionados por PEMEX),
y FE i es el factor de emisión (F CO es igual a 0.37
lb/10 6 BTU, y F NOx es igual a 0.068 lb/10 6 BTU).
Para el caso de las PS, se tomó un factor de
emisión promedio de 6.77 lb/10 6 ft 3 de gas
quemado, el cual corresponde a quemadores con
humeo medio. Finalmente, las emisiones de COT
no quemados fueron estimadas mediante un
balance de materia.
La información requerida para la estimación de
la eficiencia de los quemadores incluyó, entre
otros parámetros, dimensiones de cada uno de los
quemadores, volumen de gas quemado, temperatura
de la flama, temperatura ambiental y velocidad
del viento. Esta información fue recopilada y
usada para estimar las dimensiones de la flama, los
efectos que causa el viento sobre la combustión, y
posteriormente, la eficiencia de la combustión
(Leahey et al., 2001). La formulación usada para la
estimación de la eficiencia de combustión (E) se
basa en la relación de la cantidad estimada de
energía emitida por la flama (H f ) y la cantidad de
energía contenida en el gas (H):
H
f
E = 100 ( %)
(3)
H
La estimación de la energía emitida por la flama
(H f ), se calcula como sigue:
H S R
f
= + ' (4)
en donde S es el calor sensible ganado por el aire
al pasar a través de la flama, y R’ es el calor perdido
por la flama, debido a la radiación. R’ se
calcula como:
R'= A sT
4 (5)
donde A f es el área de la flama, σ es la constante
de Stefan-Boltzmann, y T f es la temperatura de la
flama. El valor de S (al igual que el de A f
) puede
ser estimado, suponiendo que la flama se comporta
como una flama difusiva, como:
f
f
( - )
Cpr
V T T
S=
t
f f f o
f
(6)
donde Cp es el calor específico a presión constante
del aire, ρ f es la densidad del aire evaluada a
T f , V f es el volumen ocupado por la flama, T o es la
temperatura ambiente, y t f es el tiempo necesario
para que el aire pase a través de la flama (t f =
x f /U, donde x f es la longitud horizontal de la flama
y U es la velocidad del viento). Las dimensiones
de la flama (A f , V f y x f ) se pueden calcular
empleando el modelo desarrollado por Leahey
et al. (1987), el cual no se presenta por brevedad.
Finalmente, la información meteorológica requerida
(temperatura ambiente y velocidad de
viento) para el cálculo de eficiencias de combustión,
se obtuvo de campos generados por interpolación
espacial. Esto fue necesario, ya que la
posición de las estaciones meteorológicas no
coincide con la posición de las plataformas de
producción donde se encuentran los quemadores
(Figura 2).
Así, los campos meteorológicos fueron obtenidos
mediante un modelo de diagnóstico (Goodin
et al., 1979) a partir de la información puntual de
las estaciones meteorológicas de la zona. El
modelo realiza una interpolación espacial con
pesos que varían con el inverso del cuadrado de la
distancia:
168 INGENIERIA Investigación y Tecnología FI-UNAM

A. Mendoza-Domínguez y M. Graniel-Peralta
V
int
=
Â
i
V
2
( 1 d )
m, i
/
Â
i
i
(7)
2
1 / d
donde V int
es el valor interpolado, V m,i
es el valor
medido en la estación i, y d i es la distancia de la
estación al punto en donde se está generando el
valor interpolado. El dominio seleccionado para
realizar la interpolación espacial contiene 42 celdas
en el eje horizontal y 56 celdas en el eje vertical, cada
una de 4×4 km 2 (Figura 2). La esquina inferior
izquierda del área establecida, se sitúa en la coordenada
UTM 480,000 (m) en el eje horizontal y
2,016,000 (m) en el eje vertical, de la zona geográfica
número 15. De esta forma, el modelo de diagnóstico
genera valores interpolados en el centro de cada
celda, los cuales son usados para el proceso de
estimación de emisiones.
Resultados
Las variaciones propias del proceso de extracción
de hidrocarburos del subsuelo, así como
i
el origen del mismo, traen como consecuencia
variaciones en la composición de los gases
venteados. Con el fin de simplificar el análisis, se
decidió tomar una composición promedio del gas
asociado quemado (Tabla 2). La eficiencia global
de combustión estimada de los quemadores
durante los períodos de estudio fue de 22%, lo
que resultó en emisiones considerables de hidrocarburos
no quemados y de H 2 S no convertido
a SO 2
. Los quemadores menos eficientes fueron
los ubicados más lejos de la zona costera, debido
principalmente a la velocidad de vientos encontrados
en estos sitios. Los quemadores del
CPTGA, registraron una eficiencia promedio del
44%. Estos resultados son consistentes con
estimaciones teóricas (Leahey et al., 2001) para
quemadores operando con metano, debiéndose
la alta ineficiencia a las flamas relativamente
cortas que se generan con la consecuente dificultad
de poder disipar eficientemente calor.
Estos resultados fueron obtenidos suponiendo
una temperatura de flama de 1200°K (Mendoza et
al., 2004).
Es tac io n es Me te oro ló gi cas
Qu ema dore s
Ac tivo Ku-Ma lo ob-Zaap
2 Qu em adore s
Ac tivo Cantare ll
1 1 Quem ad ore s
CPTG Atasta
3 Que ma dore s
Cd .d e l Carmen
Tabas c o
Ca mp ec h e
Figura 2. Detalle de la malla de interpolación y ubicación de los quemadores y
estaciones meteorológicas en el área de estudio
Vol.VII No.3 -julio-septiembre- 2006 169

Estimación de emisiones a la atmósfera provenientes de quemadores elevados ...
Tabla 2. Composición promedio del gas asociado venteado
Compuesto
% mol
N2 0.2868
CO 2 1.7925
H 2
S 1.3971
H 2 O 2.6186
C 1
64.6776
C2 12.7494
C 3 7.8023
i–C 4 1.2815
n–C 4 2.9755
i–C 5 1.1232
n–C 5 1.3903
C 6+
1.9052
La tabla 3 presenta un resumen del volumen de gas
enviado a quemadores y las emisiones estimadas
producto de su combustión. En el período Invierno
2, el volumen quemado fue considerablemente
mayor que en los demás períodos, por consiguiente,
la carga de contaminantes fue también
superior en ese mismo período. En la tabla 4 se
muestra con más detalle la carga total emitida por
cada quemador. En ella, se puede apreciar que los
quemadores con mayor cantidad de emisiones
son: AK–C2 (15%), NH–A1 (15%) y KU–A1 (19%) de
los Centros de Procesos Akal–C, Nohoch–A y
Ku–A, respectivamente. Los quemadores de la
única instalación terrestre, CPTGA (CB–101,
CB–102A y el CB–103B), sólo representan el 1.1%
del total de las emisiones.
Período
Tabla 3. Resumen de volumen quemado y emisiones generadas para cada período de estudio
Volumen de gas quemado
(Millones ft 3 ) a
Emisiones totales
(Toneladas métricas)
Promedio diario de emisiones por quemador
(Toneladas métricas)
Otoño 1 3,087 122,211 690
Otoño 2 1,626 65,042 271
Invierno 1 3,692 146,865 541
Invierno 2 6,205 240,409 1,000
Primavera 2,941 117,168 611
Verano 2,235 85,822 538
a Volumen medido a condiciones PEMEX
Tabla 4. Emisiones totales (toneladas métricas) por quemador
Quemador
Período
Otoño 1 Otoño 2 Invierno 1 Invierno 2 Primavera Verano
AK–C1 1,198 487 1,389 2,302 19,541 6,520
AK–C2 16,781 6,854 17,366 37,659 18,206 21,478
AK–C3 2,900 1,179 3,506 6,130 16,758 5,976
AK–C4 7,653 3,130 15,334 5,851 5,032 2,690
AK–J1 2,583 1,060 1,632 7,827 1,281 2,012
AK–J2 5,045 2,053 12,928 4,144 1,354 9,866
AK–J3 8,371 3,423 18,161 12,556 7,003 1,906
AK–J4 965 385 535 2,529 7,742 2,825
AK–N1 24,928 10,118 8,002 1,322 5,175 4,820
continúa...
170 INGENIERIA Investigación y Tecnología FI-UNAM

A. Mendoza-Domínguez y M. Graniel-Peralta
Tabla 4. Emisiones totales (toneladas métricas) por quemador (...continuación)
Período
Quemador
Otoño 1 Otoño 2 Invierno 1 Invierno 2 Primavera Verano
NH–A1 21,585 8,744 14,591 63,274 3,339 6,581
NH–A2 960 260 15,530 53,883 3,387 3,022
KU–A1 23,871 22,072 30,464 34,878 22,909 14,040
KU–H1 4,345 4,005 5,525 6,226 4,194 2,494
CB–101 191 279 383 325 237 326
CB–102A 470 583 956 1,006 568 752
CB–103B 365 409 565 497 441 514
Tabla 5. Emisión por contaminante (toneladas métricas) para cada período de estudio
Contaminante
Período
SO 2 H 2 S NO X CO PS CO 2 COT
Otoño 1 653 1,410 146 794 9 49,837 69,361
Otoño 2 357 736 77 418 5 27,263 36,185
Invierno 1 795 1,679 174 950 11 60,651 82,604
Invierno 2 1,209 2,889 293 1,597 19 92,236 142,166
Primavera 637 1,335 139 757 9 48,592 65,699
Verano 420 1,049 106 575 7 32,035 51,630
Finalmente, en la tabla 5 se muestra un desglose de
las emisiones de cada período por contaminante.
Como es de esperarse, las emisiones de CO 2
representan un porcentaje considerable del total
emitido. Debido a las ineficiencias estimadas en la
operación de los quemadores, las emisiones de H 2 S
son mayores a las de SO 2 , mientras que la emisión de
hidrocarburos no quemados es apreciable.
Discusión
El inventario de emisiones generado, refleja variabilidades
en las emisiones de gases enviados a la
atmósfera en los diferentes períodos de análisis. Esta
variabilidad es resultado de tres factores fundamentales.
En primer lugar, por variaciones a través del
año en los volúmenes de gas quemado, debidas
primordialmente a cuestiones operativas (sobrepresionamientos);
otra variable involucrada, es el origen
del gas, ya que éste viene asociado al petróleo crudo
que se extrae en el área marina, siendo diferente la
fracción de gas en cada campo de extracción, y por
ende, dependiendo de las tasas de extracción en cada
campo será la cantidad de gas producido. En tercer
lugar, se tiene que las variaciones meteorológicas
impactan las eficiencias de los quemadores. En este
último punto, resultados de otros autores (Leahey et
al., 2001) indican una gran sensibilidad de la eficiencia
de combustión a la velocidad del viento, más que
cualquier otra variable, de tal manera que velocidades
por encima de 4 m/s llegan a reducir la eficiencia por
debajo de un 40%. Las velocidades de viento reportadas
para el período de Noviembre de 2000 a 2001
(Figura 3) superan consistentemente los 4 m/s en la
zona marina (p. ej., estación Ico–1), mientras que en
la zona costera las intensidades se ven disminuidas
(estación Dos Bocas). Así, velocidades típicamente
altas en las zonas marinas conllevan bajas eficiencias
de combustión, tal como se presentó en este estudio.
Estos resultados indican que un análisis
posterior de los impactos de estas emisiones tiene
que considerar la variabilidad encontrada al momento
de generar los inventarios de emisiones en
quemadores elevados.
Vol.VII No.3 -julio-septiembre- 2006 171

Estimación de emisiones a la atmósfera provenientes de quemadores elevados ...
VE LOC IDAD DE LVIE NTO
met ro / s eg undo
>11.50
8.49 – 11.50
5.40 – 8.49
3.34 – 5.40
1.80 – 3.34
Do s Boca s
Ec o-1
0.51 – 1.80
Figura 3. Rosas de viento para las estaciones meteorológicas Dos bocas y ECO–1 para el período de noviembre de 2000 a
2001
Para apreciar aún más la relevancia de la eficiencia
de combustión en la estimación de las emisiones
de quemadores elevados, se comparan los resultados
presentados aquí con los obtenidos por
Villasenor et al. (2003). La relación másica de SO 2 a
H 2 S obtenida en nuestro estudio estuvo en el
rango de 0.40 a 0.49, mientras que el estudio que
no factoriza el efecto de las eficiencias de
combustión resulta en valores de 158, es decir, se
supone una eficiencia cercana al 100%.
Conclusiones
En este trabajo se desarrolló un inventario de
emisiones para quemadores elevados tipo antorcha
operados por PEP en la RMNE. El inventario
se construyó con base a información proporcionada
por PEP y factores de emisión corregidos
para tomar en cuenta la eficiencia de combustión
de los quemadores, debido principalmente, a las
condiciones meteorológicas locales. El inventario
de emisiones se realizó para seis episodios a lo
largo del período comprendido entre noviembre
del 2000 y noviembre del 2001, con el fin de
observar variaciones estacionales. En este aspecto,
se observó una gran variabilidad en cuanto
a las cantidades de emisiones atmosféricas de los
quemadores de la RMNE, debido principalmente a
que el volumen de gas quemado depende de
aspectos operacionales durante la extracción y el
transporte del gas natural, así como meteorológicos
que impactan la eficiencia de los
quemadores (principalmente velocidad del viento).
Las eficiencias de combustión estimadas para los
quemadores fueron bajas, por lo que se tienen
emisiones considerables de H 2 S y de hidrocarburos
no quemados a la atmósfera. Estos resultados
son consistentes, con lo que se puede
esperar de manera teórica de la combustión de
metano en quemadores tipo antorcha.
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172 INGENIERIA Investigación y Tecnología FI-UNAM

A. Mendoza-Domínguez y M. Graniel-Peralta
matic Hydro car bons in the Air of an Oil
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Industry. Atmos. Environ., Vol. 37, No. 26,
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Semblanza de los autores
Alberto Mendoza-Domínguez. Es profesor-investigador del Departamento de Ingeniería Química del ITESM Campus Monterrey y
director del Centro de Tecnología Limpia del Centro de Calidad Ambiental del mismo Instituto. Obtuvo su grado de doctor
en ingeniería ambiental del Georgia Insti tute of Tech nology. Sus áreas de investigación están relacionadas principalmente
con modelación y monitoreo calidad del aire.
Manuel Graniel-Peralta. Obtuvo la licenciatura en ingeniería indus trial en química en el Instituto Tecnológico de Mérida y el
grado de maestro en ciencias del ITESM Campus Monterrey. Actualmente labora en la Gerencia de Seguridad Indus trial y
Protección Ambiental de PEMEX Exploración y Producción, Región Marina Noreste.
Vol.VII No.3 -julio-septiembre- 2006 173

INGENIERÍA Investigación y Tecnología VII. 3. 175-184, 2006
(artículo arbitrado)
Criterios de energía específica mínima y
momentum mínimo en el cálculo del régimen
crítico en canales de sección compuesta
G. Sotelo-Ávila y A. Cafaggi-Félix
Departamento de Ingeniería Hidráulica.
División de Ingeniería Civil, Topográfica y Geódesica. Facultad de Ingeniería, UNAM
E-mails: soteloa@servidor.unam.mx y acafaggi@servidor.unam.mx
(Recibido: abril de 2005; aceptado: agosto de 2005)
Resumen
La selección del criterio de energía específica mínima o del momentum mínimo en el
cálculo del régimen crítico toma partic ular importancia en canales de sección transversal
compuesta, ya que una vez que el agua inunda las subsecciones laterales los
coeficientes α de corrección del flujo de energía cinética y β de corrección del de
cantidad de movimiento difieren de 1 y más entre ellos mismos, lo que aleja la
coincidencia de los criterios. Este artículo presenta una comparación de los resultados
obtenidos al calcular las condiciones críticas en canales de sección compuesta,
empleando los métodos propuestos por Blalock y Sturm (1981) con el criterio de la
energía específica mínima y por Chaudhry y Bhallamudi (1988) con el criterio del
momentum mínimo y orienta en la preferencia de uno respecto del otro.
Descriptores: Canal compuesto, tirantes críticos múltiples, régimen crítico en canales
de sección compuesta, energía específica mínima, momentum mínimo.
Abstract
The dis cus sion whether the con di tion of the crit i cal re gime must be cal cu lated from the min i mum spe cific
en ergy cri te rion or the min i mum mo men tum cri te rion, takes par tic u lar im por tance in the com pound
cross sec tion chan nels, as once the wa ter floods the lat eral sub sec tions, the co ef fi cients α of ki netic
en ergy flux cor rec tion and β of flux momentumm c orrection dif fer from 1. This ar ti cle shows a
com par i son be tween re sults ob tained af ter cal cu lat ing crit i cal con di tions in com pound cross sec tion
chan nel, ap ply ing the method pro posed by Blalock and Sturm (1981), with the min i mum spe cific
en ergy cri te rion, and the method pro posed by Chaudhry and Bhallamudi (1989), with the min i mum
mo men tum cri te rion.
Key words: Com pound cross sec tion chan nel, mul ti ple crit i cal dephs, crit i cal re gime in com pound cross
sec tion chan nels, min i mum spe cific en ergy, min i mum mo men tum.
Introducción
Un canal compuesto consiste de un canal principal
que conduce caudales base en la parte más profunda
de la sección y de canales laterales más
elevados que se inundan al desbordarse el primero,
para conducir en conjunto los caudales de
avenidas. La figura 1 muestra una sección compuesta,
donde las subsecciones laterales suelen
designarse como bermas que pueden ser simétricas
o asimétricas.
El cambio brusco en la geometría de la sección
compuesta cambia el flujo del canal principal a los
laterales y da lugar a tirantes críticos múltiples, lo
que dificulta ubicar la sección de control, así como

Criterios de energía específica mínima y momentum mínimo en el cálculo del régimen crítico ...
Figura 1. Sección compuesta
la interpretación y el cálculo de los perfiles de la
superficie del agua. En este tipo de canal, el
coeficiente α de corrección del flujo de energía
cinética y β de corrección de cantidad de movimiento
son diferentes, por lo que el tirante crítico
calculado con el concepto de energía específica
mínima no es el mismo que el que se obtiene con
el concepto de momentum mínimo, por lo cual, al
definir la condición de régimen crítico se debe
elegir sólo uno de estos criterios.
Blalock y Sturm (1981), propusieron el uso de
una nueva forma del número de Froude basada en
el concepto de la energía específica mínima y
establecieron un procedimiento de cálculo para
determinar los tirantes críticos múltiples en canales
de sección compuesta. Sturm y Sadiq (1996)
propusieron un método para identificar el intervalo
del gasto dentro del que existen tirantes críticos
múltiples. Sotelo (1998) presentó un algoritmo
sencillo para aplicar el método de Blalock, el cual
se puede aplicar a canales de pendiente grande y
toma en cuenta la variación del coeficiente n de
Manning con el tirante, propuesta por Sturm y
Sadiq (1996).
Chaudhry y Bhallamudi (1988), propusieron
otro método de cálculo basado en el concepto del
momentum mínimo, y que sólo se aplica a canales
compuestos simétricos.
En este artículo se presenta una comparación
de los resultados obtenidos al calcular los tirantes
críticos en canales de sección compuesta empleando
ambos métodos.
Principio de la energía específica
mínima. Método de Blalock y Sturm
(1981)
En este método se define un número de Froude F B
para la sección compuesta. Al obtener dE/dy, es
necesario considerar que α en toda la sección sea
también función del tirante, aunque se considera
que α i en cada subsección sea constante. Por
tanto, para el régimen crítico se obtiene
dE
Ø
2
2
Ê Q T Q d
ö ø
= -Á
a
a
1 -
cos q = 0 (1)
dy
Á
3
2
è g'
A 2 g'
A dy
œ
º Œ
ø ß
donde: E energía específica; y tirante; Q gasto; T
ancho de superficie libre; A área hidráulica; θ
ángulo que forma la plantilla de un canal de eje
recto con la horizontal; g'
= g cos q.
El coeficiente α se expresa en términos de las
variables de cada subsección i en que se subdivide
el canal, en la forma
donde
2
3
A aiKi
a =
3
K
 2
(2)
A
2 3
Ki = Ai Rhi ni
es el factor de conducción en la subsección i;
K
=Â
K i
i
Vol.VII No.2 -abril-junio- 2006 176

G. Sotelo-Ávila y A. Cafaggi-Félix
n i
coeficiente de Manning en la subsección i; P i
perímetro mojado en la subsección i; A i área
hidráulica en la subsección i; R hi radio hidráulico
en la subsección i.
Al tomar en cuenta el desarrollo de dα/dy, se
llega a que el número de Froude sea
Ø 2
Ê ö ø
F B
= Q
s2 s
2
3
- s 3
è
Á 1
º
Œ2 g'
K K ø
œ
(3)
ß
Para que se presente régimen crítico F B
= 1. Los
coeficientes s 1
, s 2
, y s 3
se calculan con las
siguientes expresiones:
s
1
Ø
3
Ê
= a ÁK
ö Ê
ö
i Á
i i i
3T - 2 R P ø
d A dn
-
 i
è
Á
ø
Á
i hi
Ai
è
dy
ni
dy
(4)
ø
º Œ
ß
œ
Ê
3
a
s2
= Á
K
ö
 Á
i i
2
(5)
è Ai
ø
Ø Ê
ö ø
K
i
s 3 = dP
i
Ai
dni
Á
5T
-2
R -
œ
 i hi
ŒA
œ
(6)
º
è
dy
n dy
i
i ø ß
Cuando la pared se comporta como hidráulicamente
rugosa, se puede incluir la variación de n
en cada subsección mediante la ecuación de
Nikuradse y la de equivalencia de n con el factor de
fricción f, esto es
n
i
=
a
N
1 6
Rhi
c R
8g
log
k
si
hi
1
(7)
en que k s
es la rugosidad equivalente en la pared del
canal; al derivar n con respecto al tirante se llega a
Ai
n
i
dn
i
dy
Ø
g n ø
i
= 1
-
Œ
T R
N
i
Œ
6 0 434294 8 Ø
. a
R œ -
1 6 Œ
hi
º
ߺ
Œ
hi
dP
ø
i
dy
ß
œ (8)
Sturm y Sadiq (1996), usaron los coeficientes
de Keulegan: a N
= 2 y c = 12.64 para aplicarlos en
el canal compuesto que utilizaron en sus experimentos
y encontraron que el valor de n para el
canal central se predice muy bien con la ecuación
(7) siempre que el tirante sea menor que el nivel de
desbordamiento; una vez rebasado este nivel, el
valor de n en dicho canal resultó 1.19 veces mayor
que el que resulta con dicha ecuación. El valor de n
en los canales laterales también se ajustó bien al
calculado con la ecuación (7).
El número de Froude F m del flujo cuando ocurre
sólo en la subsección más profunda, es decir, para
y=y m , (figura 1) se define en la forma convencional
mediante la expresión:
2
m m
F
Á
a Q T
m
Á
3
g'
Am
= Ê è
ö
ø
1
2
(9)
donde el subíndice m se refiere a las condiciones
de dicha subsección.
Para determinar el intervalo de gastos en el que
existen tirantes críticos múltiples, la ecuación (3)
se divide entre la (9) y se obtiene la relación
adimensional
F
F
Ø
3 2
B Am
= 1 Ês 2s3
Œ
-
3
m 2a
mT K Á K
m
º Œ
è
1
ö ø
œ2
s (10)
1
ø ß
œ
Al considerar que el tirante crítico ocurre
cuando F B
= 1 , existe un intervalo de valores 1/F m
y
por tanto, un intervalo de gastos dentro del cual
hay dos tirantes críticos, uno inferior en la
subsección más profunda, y c1 < y m1 y uno superior
y c2 > y m1 . El gasto límite superior Q U del intervalo,
ocurre cuando y c1 = y m1 . El gasto límite inferior Q L
del intervalo es el último para el cual ocurre el
tirante crítico y c2 = y m1 , es decir, F m

Criterios de energía específica mínima y momentum mínimo en el cálculo del régimen crítico ...
Para determinar los tirantes críticos múltiples, se
empleó en este trabajo el algoritmo de convergencia
propuesto por Sotelo (1998).
Principio del momentum mínimo
Método de Chaudhry y Bhallamudi
(1988)
Al calcular el mínimo de la función momentum
M y con la consideración que
2 2
( A / K ) ( biK i / Ai
)
b = Â
en toda la sección sea también función del tirante,
aunque en cada subsección se considera que β i
sea constante; con
se obtiene
2
Q T
3
gA
b' = db
/ dy
2
1 Ê Q
ö
= Á +
è
Á
cos q b' (13)
b gA ø
La ecuación (13) representa la condición general
de régimen crítico en canales de sección compuesta,
según el criterio de momentum mínimo.
En este método se incorpora una definición
general del número de Froude basada en las
ecuaciones de continuidad y momentum obtenidas
por Yen (1973). En un canal de pendiente
pequeña (cos θ =1), dicho número queda expresado
como sigue
bV
F Y
=
(14)
gA Ê A ö
2 2
b'
+ V
b - b +
T èÁ
T ø
donde los términos se refieren a toda la sección;
para que se presente régimen crítico el número de
Froude F Y debe ser igual a uno.
La sección compuesta en un canal simétrico se
divide en tres subsecciones: la central (1) y dos
laterales simétricas (2) como se muestra en las
figuras 2, 3 y 4. De esta manera, se pueden definir
las características geométricas de toda la sección
como sigue:
A = A1+2A 2; P = P 1+2P2; K = K1+2K2;
T
1
A
1
= d d y
; T A
2
2 = d dy
Figura 2. Canal 1
Figura 3. Canal 2
178 INGENIERIA Investigación y Tecnología FI-UNAM

G. Sotelo-Ávila y A. Cafaggi-Félix
Figura 4. Canal 3
Además, se establece el parámetro
(15)
por lo que
y
m = K =
K K
1 1
Ê
2
2
( + )
b =
Ám
1 m
ö
Á
+ 2 A
è
A 2 A
1
2 ø
K
+ 2 K
1 2
Ê ( )
ö
-
( )
b' =
Á
Ê -
ö
T
m 2
2
1 m
Á
+ + A Á
m 1 m dm
2 -
è A A ø è
Á
1
2
2
A1 2A2
ø dy -
en que
dm
dy
Ê ( )
A m 2
Ê ö
A T 1 - m
+
ÁÁ
1
è è
2 A
1 ø
2
2
T
2 2
ö
ø
(16)
(17)
Ø Ê
ö ø
d
m( m)
A T A T P
= - 5
1 1 -
Œ è
Á
ø + 2 1
2
1
œ
1
2
œœ
3
1
2
3 P2
dy
º
ß
(18)
Chaudhry (1988) propone en su artículo la
obtención de los tirantes críticos mediante un
procedimiento iterativo; otra manera de calcularlos
es proponiendo tirantes y calculando F Y
hasta que éste sea igual a 1. En este trabajo, la
solución se obtuvo de ambas maneras, pero se
observó que el método original propuesto por el
autor no converge rápidamente.
Chaudhry, a diferencia de Blalock, no propone
ningún factor para el coeficiente de Manning del
canal principal que tome en cuenta la interacción
entre la subsección más profunda y las llanuras de
inundación.
Comparación de ambos métodos
Comparación analítica
Al comparar las ecuaciones (1) y (13) se observa
que la única forma que estos dos criterios
proporcionen los mismos valores del tirante crítico
se da cuando α = β = 1 y constante para toda la
sección transversal; lo cual no es posible que
ocurra cuando se presentan diferentes rugosidades
en el canal central y los laterales, además se
requiere que dα / dy = dβ / dy = 0. Los estudios
realizados muestran que los valores de α y β son
distintos de uno en los canales de sección
compuesta y cambian con el tirante del flujo, por
lo que no es factible que ambos criterios coincidan
en la práctica.
Dado que la comparación analítica no presenta
evidencia suficiente, se presenta una
comparación de los resultados obtenidos para
tres canales simétricos diferentes, empleando
ambos métodos.
Comparación de resultados
La geometría de cada canal se muestra en las
figuras 2, 3, y 4 y los datos se resumen en la tabla
1. Por simplicidad y con fines de comparación
entre los dos métodos, se considera que α i =1,
que n i es constante en cada subsección, es decir,
dn i / dy = 0. También se consideró que el valor de n
es 1.19 veces mayor que el que se encuentra con la
ecuación (7), una vez que es rebasado el nivel de
desbordamiento.
Para cada canal se propusieron distintos
gastos y los resultados se muestran en las
tablas 2, 3, 4 y 5.
Vol.VII No.3 -julio-septiembre- 2006 179

Criterios de energía específica mínima y momentum mínimo en el cálculo del régimen crítico ...
Tabla 1. Datos de los tres canales
Canal b 1 (m) b 2 (m) k 1 k 2 n 1 n 2 y mi (m)
1 21.9 182.8 1 1 0.03 0.080 1.83
2 1 3 0 0 0.013 0.0144 1.0
3 3 12 1 1 0.02 0.040 1.7
Q
(m 3 /s)
y c1
(m)
Tabla 2. Resultados con el canal 1
Blalock
y c2
(m)
Chaudhry
Diferencia relativa
(%)
100.00 1.2607 - - -
117.279 1.3990 1.9176 - -
130.801 1.5021 2.0217 1.8733 7.34
141.58 1.5815 2.0645 1.9330 6.37
177.287 1.8300 2.1700 2.0258 6.65
200.00 - 2.2237 2.0714 6.85
Q
(m 3 /s)
y c1
(m)
Tabla 3. Resultados con el canal 2
Blalock
y c2 (m)
Chaudhry
Diferencia relativa
(%)
1.7 0.6654 - - -
2.0 0.7415 1.0850 1.0710 1.29
2.5 0.8605 1.1271 1.1128 1.27
3.0 0.9717 1.1593 1.1453 1.21
3.5 - 1.1871 1.1739 1.11
Q
(m 3 /s)
y c1
(m)
Tabla 4. Resultados con el canal 3
Blalock
y c2 (m)
Chaudhry
Diferencia relativa
(%)
23.0 1.5219 - - -
24.0 1.5592 1.8325 1.7825 2.73
25.0 1.5958 1.8659 1.8127 2.85
26.0 1.6316 1.8933 1.8364 3.01
27.0 1.6668 1.9175 1.8573 3.14
28.0 - 1.9397 1.8765 3.26
180 INGENIERIA Investigación y Tecnología FI-UNAM

G. Sotelo-Ávila y A. Cafaggi-Félix
Tabla 5. Comparación entre los canales estudiados
Canal n 1
/n 2
b 1
/b 2
y m1
/b 2 Diferencia promedio (%)
1 0.3750 0.1198 0.0100 6.80
2 0.9028 0.3333 0.3333 1.22
3 0.5000 0.2500 0.1467 3.00
En figura 5 se muestra la curva F B – y que
corresponde al caso de Q = 141.58 m 3 /s en el canal
1, donde se presenta que F B = 1 en tres puntos
diferentes; sin embargo, el tirante cerca del
nivel de berma no se considera como crítico, ya
que representa más bien un máximo de energía
específica. En la gráfica de la figura 6 se puede
apreciar la curva F Y – y, donde también se tiene
F Y
=1 en tres puntos diferentes. Chaudhry considera
válidos los tres tirantes, pero en este trabajo
no se considera el cercano al nivel de berma.
Debido a que los resultados presentados en la tabla
5 son limitados, se analizaron varios canales para
determinar la influencia de las relaciones n 1 /n 2 , b 1 /b 2
y y m1 /b 2 . Los tirantes críticos se obtuvieron para
cada sección con cinco gastos diferentes propuestos
dentro de los límites superior e inferior de
gastos, de acuerdo con el criterio de Chaudhry, dado
que el criterio de Blalock arroja un intervalo más
amplio. Se calculó el promedio de las diferencias
relativas para cada canal analizado. Los resultados
se presentan en las tablas 6a, b, c y d.
y
2.3
2.2
2.1
2.0
1.9
1.8
1.7
1.6
1.5
1.4
1.3
0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1 .3 1.4
y
2.3
2.2
2.1
2.0
1.9
1.8
1.7
1.6
1.5
1.4
1.3
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4
F B
F Y
Figura 5. Curva F B – y
Figura 6. Curva F Y – y
Tabla 6a. Diferencia relativa para b 1 /b 2 =1.00
n 1 /n 2
y m1
/b 2 1.00 0.50 0.33 0.25 0.10
1.00 0.88 1.58 1.71 2.07 1.19
0.50 1.19 1.87 1.89 2.12 0.84
0.25 1.38 2.15 2.11 2.01 0.59
0.10 0.88 1.58 1.71 2.07 1.24
Vol.VII No.3 -julio-septiembre- 2006 181

Criterios de energía específica mínima y momentum mínimo en el cálculo del régimen crítico ...
Tabla 6b. Diferencia relativa para b 1 /b 2 =0.50
n 1 /n 2
y m1 /b 2
1.00 0.50 0.33 0.25 0.10
1.00 0.54 1.66 2.59 3.27 4.80
0.50 1.02 2.44 3.50 4.20 4.98
0.25 1.49 3.93 4.26 4.96 4.49
0.10 0.55 1.71 2.59 3.27 4.80
Tabla 6c. Porcentaje de error para b 1
/b 2
=0.33
n 1 /n 2
y m1 /b 2 1.00 0.50 0.33 0.25 0.10
1.00 0.28 1.37 2.31 3.11 5.92
0.50 0.75 2.17 3.35 4.31 7.24
0.25 1.27 3.04 4.44 5.49 7.47
0.10 0.24 2.26 2.31 3.11 5.92
Tabla 6d. Porcentaje de error para b 1 /b 2 =0.10
n 1 /n 2
y m1 /b 2 1.00 0.50 0.33 0.25 0.10
1.00 0.17 1.08 1.95 2.73 5.97
0.50 0.55 1.85 2.99 3.99 7.58
0.25 1.07 2.76 4.17 5.35 8.81
0.10 0.17 1.08 1.95 2.73 13.09
Conclusiones
Con base en el análisis y los resultados mostrados
en las tablas 6a, b, c, y d, se concluye lo siguiente:
a) Las ecuaciones de la energía y de la
cantidad de movimiento no conducen a los
mismos resultados. La igualdad se logra sólo
cuando α=β=1, lo cual es una simplificación
inaceptable en un canal de sección compuesta.
b) El método de Blalock y Sturm es más
general y sencillo en su procedimiento que el
de Chaudhry y Bhallamudi.
c) El tirante crítico intermedio que proponen
Chaudhry y Bhallamudi siempre es
muy cercano al nivel de berma y más bien
corresponde a un valor máximo de la
energía específica; además, dicho valor se
determina cuando el nivel del agua es muy
bajo en la subsección lateral, para el cual no
puede considerarse un flujo unidimensional
plenamente formado. Por otra parte, para
esta magnitud del tirante no se puede
considerar flujo turbulento, y por lo tanto,
no se pueden emplear coeficientes de
fricción exclusivos de dicho flujo.
d) El algoritmo que presenta Chaudhry
para calcular el tirante crítico no converge
rápidamente. En este trabajo se modificó el
método de convergencia para programar el
cálculo o se determinó proponiendo tirantes
y calculando su respectivo número de Froude
182 INGENIERIA Investigación y Tecnología FI-UNAM

G. Sotelo-Ávila y A. Cafaggi-Félix
F Y hasta encontrar los valores para los
cuales se cumple que F Y = 1.
e) El algoritmo propuesto por Sotelo
(1998), para el cálculo de la condición crítica
con el método de la energía específica mínima
es de rápida convergencia.
f) El método de Chaudhry limita su
aplicación a canales simétricos, no así el de
Blalock.
g) El cálculo de los perfiles de flujo se
realiza con la ecuación de la energía, por lo
tanto, es recomendable que la condición
crítica se calcule a partir de esta ecuación.
h) El método de Blalock y Sturm, proporciona
valores del tirante crítico siempre
mayores que el de Chaudhry y Bhallamudi.
i) La diferencia entre los tirantes críticos
calculados con ambos criterios es aceptable
cuando la relación entre las rugosidades
del canal central y las bermas de
inundación, n 1
/n 2
, es cercana a uno. Para que
los resultados obtenidos con ambos criterios
no difieran considerablemente, es necesario
que la relación n 1
/n 2
esté entre 0.5 y 1.0,
independientemente de las dimensiones del
canal. Esto en la práctica es difícil que se
cumpla.
j) La diferencia de resultados también
aumenta cuando la relación y m1 /b 2 tiende a
cero, es decir, cuando el canal lateral es
ancho.
k) Cuando los anchos de plantilla del
canal prin cipal y las bermas son muy similares,
no importa el valor de las otras dos
relaciones consideradas y la diferencia es
despreciable.
l) No se puede establecer un intervalo
específico en el que la relación y m1 /b 2 asegure
resultados similares para ambos métodos.
Referencias
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Chaudhry M.H. and Bhallamudi S.M. (1988).
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Sotelo-Ávila G. (1998). Algoritmo del método de
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críticos múltiples en canales compuestos.
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Sturm, T.W. and A. Sadiq (1996). Water Surface
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Yen Ben Chie. (1973). Open Channel Flow Equa -
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Vol.VII No.3 -julio-septiembre- 2006 183

Criterios de energía específica mínima y momentum mínimo en el cálculo del régimen crítico ...
Semblanza de los autores
Gilberto Sotelo-Ávila. Es ingeniero civil, maestro en ingeniería, doctor en ingeniería con mención honorífica y Profesor Emérito de
la UNAM. Asimismo, investigador nacional del Sistema Nacional de Investigadores del CONACYT. Recibió el Premio
Universidad Nacional 1998, Docencia en Ciencias Exactas, en la UNAM, los Premios Nacionales Miguel A. Urquijo 1999 y
José A. Cuevas 2002 a los mejores artículos técnicos publicados, así como el Premio Nacional Mariano Hernández
Barrenechea a la Docencia del año 2003, los tres últimos, entregados por el Colegio de Ingenieros Civiles de México. El
Consejo Técnico de la Facultad de Ingeniería de la UNAM le otorgó las cátedras especiales: Javier Barros Sierra para 1999 y
Mariano Hernández Barrenechea para el 2000. La UNAM le entregó el reconocimiento Catedrático UNAM, nivel 2. Fue
designado miembro de la Comisión Dictaminadora del Instituto de Ingeniería, jurado del “Premio Universidad Nacional” y
“Distinción Universidad Nacional para Jóvenes Académicos”, Docencia en Ciencias Exactas, para los a ños del 2001 al 2004.
Fue también designado académico de honor de la actual Academia de Ingeniería. Es autor de los libros de texto, Hidráulica
General e Hidráulica de Canales y coautor en cuatro más de consulta. Ha publicado 82 artículos de investigación y 13 de
difusión, así como apuntes y notas de sus cursos. Es miembro de la Academia Mexicana de Ciencias, de la Sociedad de
Investigación Científica Sigma Xi, presidente de la División Regional Latinoamericana de la Asociación Internacional de
Investigaciones e Ingeniería Hidráulica, miembro del Colegio de Ingenieros Civiles de México, expresidente de la
Asociación Mexicana de Hidráulica y del Consejo Académico del CENEVAL.
Amalia Adriana Cafaggi-Félix. Es ingeniera civil y maestra en ingeniería hidráulica por la Facultad de Ingeniería, UNAM.
Actualmente es profesora de carrera en el Departamento de Ingeniería Hidráulica de la Facultad de Ingeniería y de cursos
extracurriculares en el Colegio de Ingenieros Civiles y en la División de Educación Continua de la UNAM. Fue jefa del
Laboratorio y del Departamento de Ingeniería Hidráulica. Ha participado y presentado ponencias en diversos congresos
nacionales e internacionales, ha publicado artículos en revistas nacionales y es autora de instructivos de prácticas para el
laboratorio de hidráulica. Es autora del Soft ware Educativo: “Hidráulica Básica: prototipo de soft ware interactivo de
hidrostática". Fue representante del Departamento de Hidráulica en la Primer Mesa Directiva de Colegio del Personal
Académico de Ingeniería Civil (1998-2001) y posteriormente presidenta de la segunda mesa Directiva de Colegio del
Personal Académico de Ingeniería Civil (2001-2003). Fue distinguida con la Cátedra Espe cial “Mariano Hernández
Barrenechea” en 1999 y en 2002, así como con el reconocimiento “Sor Juana Inés de la Cruz” en 2006.
184 INGENIERIA Investigación y Tecnología FI-UNAM

INGENIERÍA Investigación y Tecnología VII. 3. 185-190, 2006
(artículo arbitrado)
Ondeletas en ingeniería. Principios y aplicaciones
V. Saavedra-Gastélum 1) 2 ) , T. Fernández-Harmony 3 ) , T. Harmony-Baillet 4) y V.M. Castaño-Meneses 5)
Universidad Autónoma de Querétaro, División de estudios de Posgrado y Centro de Física Aplicada y Tecnología
Avanzada, UNAM, Campus Juriquilla, Querétaro 1) 2 ) , Instituto de Neurobiología, UNAM, Campus Juriquilla,
Querétaro 3) y 4 ) ,Centro de Física Aplicada y Tecnología Avanzada, UNAM, Campus Juriquilla, Querétaro 5 )
E-mails: verosaavedra@fata.unam.mx, thalia@servidor.unam.mx, castano@fata.unam.mx
(Recibido: abril de 2005; aceptado: diciembre de 2005)
Resumen
La transformada de ondeleta es una función matemática que permite seccionar los
datos en pequeños componentes en escala frecuencia-tiempo y analizarlos cada uno
por separado. Su mayor ventaja sobre la transformada de Fourier es que las ondeletas
permiten trabajar con datos que presentan discontinuidades o picos. El concepto de
ondeleta surgió de manera independiente en diversas áreas como la física cuántica,
matemáticas, ingeniería eléctrica, etc. Este artículo pretende dar a conocer al lector el
concepto básico de transformada de ondeleta, sus fundamentos, así como algunas de
sus aplicaciones.
Descriptores: Ondeletas, frecuencia-tiempo, FFT, espacio fase, no-estacionaria,
ondeleta madre
Abstract
Wave lets are math e mat i cal func tions that cut up data into dif fer ent fre quency com po nents,
and then study each com po nent with a res o lu tion matched to its scale. They have ad van tages
over tra di tional Fou rier meth ods in an a lyz ing phys i cal sit u a tions where the sig nal con tains
dis con ti nu ities and sharp spikes. Wave lets were de vel oped in de pend ently in the fields of
mathematics, quan tum phys ics, elec tri cal en gi neer ing, etc. This ar ti cle pre tends to give the
researcher an over view about ba sic wave lets con cepts, as well as, the fun da men tal the ory and
ap pli ca tion of wave lets
Key words: Wave lets, fre quency-time, FFT, phase space, nonstationary, main wave lets.
Introducción
A través de los tiempos, se ha buscado una
manera eficaz de representar distinto tipo de señales.
Hasta hace poco, para analizar señales
complejas se utilizaban principalmente métodos
de series de tiempo, en particular, análisis espectrales
de las potencias, como es el caso del conocido
análisis de Fourier. En general, todos los
análisis espectrales descomponen una forma de
onda compleja en una suma lineal de componentes
de onda más elementales; en el caso
particular del análisis de Fourier, las ondas elementales
son seno y coseno. Al aplicar la transformación
lineal, la señal que está en el dominio
del tiempo cambia a otra función en el dominio de
las frecuencias. Sin embargo, estos análisis se
basan en supuestos que muchas veces las señales
no satisfacen. La Transformada de Fourier presupone
que la señal tenga ciertas características,
entre ellas, la estacionalidad. Habitualmente, este
supuesto es violado, es decir, se aplica la transformación
de Fourier a señales que no son estacionarias,
de modo que el resultado pudiera no
representar la realidad. Problemas de este tipo son
los que han motivado la búsqueda de otras formas

Ondeletas en ingeniería. Principios y aplicaciones
de análisis de señales, como las llamadas ondeletas.
Las ondeletas son un descubrimiento relativamente
nuevo en las matemáticas aplicadas.
Deben su nombre a los trabajos de Morlet, Arens,
Fourgeau y Giard (1982), Morlet (1983), Grossman
y Morlet (1984), (Daubechies, 2004). El interés por
las ondeletas ha crecido en las últimas dos
décadas por diferentes razones. Por un lado, el
concepto de ondeletas puede verse como una
síntesis de ideas que se originaron en los últimos
treinta años en el área de la ingeniería, de la física y
de las matemáticas puras, por otro lado, las
ondeletas proveen una herramienta matemática
muy sencilla con una gran variedad de aplicaciones.
Por ejemplo, en el análisis de señales de
sonido e imagen se pueden encontrar en
(Daubechies, 2004) a Kronland-Martinet, Morlet y
Grossmann (1987), Mallat (1989); y en análisis
numérico a Beylkin, Coifman y Rokhlin (1991). La
transformada de ondeleta aparece, entonces,
como una necesidad de analizar funciones no
estacionarias en su escala de frecuencia-tiempo.
Las ondeletas se utilizan fundamentalmente
para analizar funciones, de acuerdo al método de
escalamiento. La transformada de ondeleta es una
función que satisface ciertos requerimientos matemáticos
que se utilizan para representar datos o
funciones.
En la transformada de ondeleta, la escala juega
un papel muy importante, dicho proceso analiza
los datos en diferentes escalas o resoluciones. Es
decir, si se toma una “ventana” de los datos,
notaríamos el mismo comportamiento que si se
toma una ventana más pequeña, y así sucesivamente.
La transformada de ondeleta provee una
representación en frecuencia-tiempo simultáneamente,
corta la señal de interés en varias partes y
analiza cada una de ellas por separado. Las frecuencias
altas o contraídas pueden ser mejor
localizadas en el tiempo y las frecuencias bajas o
dilatadas en la frecuencia.
La transformada de ondeleta, al igual que la
transformada de Fourier, es una transformación
reversible, que permite ir de la señal original a la
transformada y viceversa, cuando se requiera.
La transformada de ondeleta trabaja en el
espacio fase, lo que significa que se usa un espacio
conformado simultáneamente por coordenadas de
tiempo y frecuencia. Esto nos permite hacer
operaciones mediante desplazamientos en coordenadas,
en vez de trabajar con ecuaciones diferenciales
o ecuaciones algebraicas.
Antecedentes históricos
El concepto de ondeletas es relativamente nuevo,
de hace no más de 20 años; sin embargo, los
esfuerzos por analizar señales se remontan al año
de 1807, con los trabajos de Joseph Fourier acerca
del análisis de frecuencias, lo que dio origen a las
Series de Fourier. En 1930, diversos investigadores
enfocaron su esfuerzo a la representación de funciones
utilizando funciones básicas de escala
variable llamadas Funciones básicas de Haar.
La transformada de Fourier hizo posible la
descomposición de cualquier función periódica en
un conjunto de funciones bases ortonormales de
senos y cosenos, lo cual permite analizar la señal
en términos de su frecuencia.
En 1909, Alfred Haar descubrió otro sistema
ortonormal de funciones. La investigación de Haar
proporcionó la forma más simple de ondeletas
ortonormales que consistía en un conjunto de
funciones base rectangulares. El uso de las funciones
básicas de Haar quedaba limitado, debido a
su discontinuidad.
La teoría expuesta por Haar, fue enriquecida en
la década de los treinta por Levey quien utilizó las
bases de Schauder para examinar propiedades de
regularidad locales, las cuales eran imposibles de
estudiar a través de la transformada de Fourier. En
1946, Dennis Gabor introdujo las ondeletas Gabor.
Su idea principal era cortar una onda en segmentos
de onda (ondeletas) donde cada segmento
tuviera bien definida su banda de frecuencias y su
posición en el tiempo. La ondeleta de Gabor
presentaba un gran avance para descomponer una
señal continua; sin embargo, presentaba problemas
en la descomposición de señales discretas.
186 INGENIERIA Investigación y Tecnología FI-UNAM

V. Saavedra-Gastélum, T. Fernández-Harmony, T. Harmony-Baillet y V.M. Castaño-Meneses
Entre 1960 y 1980, los matemáticos Weiss Guido y
Coifman Ronald, estudiaron los elementos más
simples del espacio de función llamados átomos y
encontraron las reglas de ensamble, las cuales
permiten la reconstrucción de todos los elementos
de un espacio de función a partir de esos átomos.
Entre 1980 y 1990, Grossman y Morlet utilizaron
las ondeletas para analizar temblores y modelar el
proceso de las ondas del sonido viajando a través
de la corteza terrestre. Aplicaron por primera vez
las ondeletas para modelar funciones no estacionarias.
En 1985, Mallat Stephane impulsó el desarrollo
de las ondeletas a partir de su trabajo en el
procesamiento de señales digitales, ya que descubrió
relaciones entre los filtros de la cuadratura
del espejo, algoritmos piramidales y bases de
ondeletas ortonormales. Inspirándose en parte de
estos resultados, Yves Meyer construyó las primeras
ondeletas no triviales, las cuales son diferenciables;
sin embargo, no decaen rápidamente
a cero, lo que es necesario para la convergencia de
las series que se forman a partir de ellas. Años más
tarde, Daubechies Ingrid (2004), utilizó el trabajo
de Mallat y construyó un conjunto de funciones
base de ondeletas ortonormales que se
convirtieron en la piedra angular de la aplicación
de ondeletas en nuestros días.
Elementos básicos de transformadas
de ondeletas
La transformada de ondeleta, vista como un
proceso matemático, es una operación lineal que
descompone una señal compleja en bloques elementales
que aparecen en diferentes escalas o
resoluciones. Dichos bloques pueden ser generados
de una forma muy sencilla, lo cual simplifica
su análisis, permitiendo a su vez, limpiar la señal
de interferencia externa.
La selección de la mejor ondeleta depende de
las características propias de la señal de estudio;
entonces, el punto clave es encontrar la mejor
función base. A esta función se le conoce como
ondeleta madre.
La función base seleccionada contiene información
sustancial acerca de la señal. Si esta
función base describe bien a la señal en términos
de que está dada la eficiencia, entonces sólo serán
necesarios algunos términos en la expansión para
representar la señal completa. Es importante mencionar
que sólo aquellas funciones que satisfagan
las dos condiciones siguientes pueden ser consideradas
como ondeleta madre:
1. Ser oscilatorio (área total igual a cero)
2. Decaer a cero rápidamente
La transformada de ondeleta de una señal
continua está definida por:
y
*
CWT y x( a , b) = Wx( a , b ) = Ð x ( t) y a,b ( t)
dt (1)
¥
-¥
y t a t b
a , b
( ) = y
Ê - ö
-1 2
èÁ
a ø
(2)
donde la señal x(t) es transformada por la ondeleta
madre. La función ?(t) se dice que es una ondeleta
si y sólo si su transformada de Fourier $y(w)
satisface:
2
¥ y$( w )
Ð y
w
c < ¥ (3)
-¥
La condición de admisibilidad implica que
¥
Ð y( t ) dt =0
-¥
lo que significa que ?(t) es oscilatoria y su área
efectiva es cero. El factor:
a -12
es utilizado para normalizar la energía. El parámetro
a controla la dilatación o la contracción de
la función en la escala del tiempo y amplitud, y el
parámetro b controla la traslación de la función en
el tiempo.
El procedimiento consiste en adoptar la
función prototipo de ondeleta y por dilatación
descomponer la señal en escalas diferentes con
distintos niveles de resolución. Como la
transformación es alcanzada a partir de dilatar y
Vol.VII No.3 -julio-septiembre- 2006 187

Ondeletas en ingeniería. Principios y aplicaciones
trasladar la ondeleta madre continuamente sobre
los números reales, se genera información redundante.
Por lo tanto, para quitar dicha información,
la ondeleta madre puede ser dilatada y trasladada
de manera discreta haciendo a=a 0 m y b=nb 0
a 0 m ,
donde a 0
y b 0
son constantes fijas con a 0
>1,
b 0
>0, m, n ∈ Z (Z en el conjunto de enteros
positivos). Entonces, la ondeleta madre discreta y
su correspondiente transformada de ondeleta se
convierten en:
y
¥
*
DWT x( m , n) = x( t) y t dt
y Ð m n
( )
,
(4)
y
( t) = a
,
m n
-¥
Ê t -nb a
yÁ
m
è
Á a0
m
m
- 2 0 0
0
ö
ø
(5)
Sea x(t) una secuencia discreta, entonces la
ecuación (3) se convierte en
[ ]
-m
, = x[ k] [ a n - k]
m Â
0
k
DWT m n
1
a
0
y (6)
Aplicaciones: algunos ejemplos
Huellas dactilares en el FBI
Desde 1924 hasta nuestros días, el FBI ha
recolectado alrededor de 30 millones de huellas
dactilares. El archivo consiste principalmente en
impresiones de tinta sobre papel. Dichas impresiones
fueron distribuidas a través de faxes a
diversas agencias de la fuerza pública, pero la
calidad de la digitalización es muy baja. Algunas
jurisdicciones están experimentando tener un
almacenamiento digital de las huellas dactilares, lo
cual ha generado un problema de incompatibilidad
de formato en los datos. Debido a este problema,
la comunidad de justicia criminal está interesada
en estandarizar la digitalización y la compresión de
los datos.
En 1993, el FBI creó los procedimientos para
estandarizar la digitalización y compresión de
huellas dactilares en colaboración con el Instituto
Nacional de Tecnología y Estándares, el Laboratorio
Nacional de los Álamos, comerciantes y la
comunidad de justicia criminal.
El problema en perspectiva es el siguiente: las
imágenes de las huellas dactilares son digitalizadas
a una resolución de 500 píxeles por pulgada con
256 niveles de gris por píxel. Una sola huella
dactilar contiene 700,000 píxeles y necesita 0.6MB
de espacio en disco duro. Un par de manos para
cada persona requiere 6MB de espacio. Por lo
tanto, digitalizar el actual archivo del FBI
necesitaría 200 tetrabytes de espacio, lo cual
implicaría un costo de 200 millones de dólares.
Obviamente, el uso de la transformada de ondeletas
para la compresión de datos es necesario en
este caso.
Tonos Musi cales
Wickerhauser Victor, sugiere que las ondeletas
pueden ser útiles para la síntesis del sonido. Su
idea es que un generador de paquetes de onda
sencillo pueda reemplazar a un largo número de
oscilaciones. A través de la experimentación,
un músico puede determinar combinaciones de
paquetes de onda y producir sonidos interesantes.
Wickerhauser siente que la síntesis de sonidos
es una aplicación natural de las ondeletas.
Digamos que se desea simular los sonidos de los
instrumentos musicales, entonces una muestra de
notas producidas por un instrumento puede ser
descompuesta en su paquete de coeficientes de
ondeleta, de modo que, para simular una nota, se
requerirá recargar los coeficientes dentro del
paquete generador de ondeletas y reproducir el
resultado.
Algunas características de la música como las
variaciones en intensidad, de cómo empieza y
cómo termina un sonido, pueden ser controladas
de manera independiente. Se pueden utilizar paquetes
de onda larga y codificar estas propiedades
incluso para cada una de las notas. Cualquiera de
estos procesos puede ser controlado en tiempo
real utilizando, por ejemplo, un teclado. Nótese
que el instrumento musical puede ser incluso la
voz y las notas, palabras o fenómenos.
188 INGENIERIA Investigación y Tecnología FI-UNAM

V. Saavedra-Gastélum, T. Fernández-Harmony, T. Harmony-Baillet y V.M. Castaño-Meneses
Un sintetizador de música con un generador de
paquetes de ondeleta puede almacenar muchos
sonidos complejos eficientemente, debido a que:
– Los paquetes de coeficientes de ondeleta,
como los coeficientes de ondeleta,
son en su mayoría muy pequeños para
muestras digitales de señales suaves.
– Los coeficientes de desecho que salen
por debajo de una banda predeterminada
con anterioridad, introducen sólo pequeños
errores cuando se comprimen los datos de
señales suaves.
– Similarmente, un sintetizador de paquete
de onda puede utilizarse para reconstruir
señales muy comprimidas.
A pesar de que las descargas parciales sólo
envuelven pequeños montos de energía, pueden
llevar al deterioro progresivo de las propiedades
dieléctricas de materiales de aislamiento en transformadores,
generadores y motores. La medición
en el equipo actual es complicada, debido a la
disminución, resonancia y el fenómeno de onda.
Las descargas parciales ocurren en forma de
pulsaciones eléctricas individuales, las cuales
pueden ser detectadas como señales eléctricas en
un circuito externo conectado al objeto o aparato
probado.
Las descargas eléctricas pueden ocurrir en
cavidades o impurezas en materiales sólidos de
aislamiento, en burbujas de gas, en líquido de
aislamiento o entre caspas de aislamiento con
diferentes características dieléctricas.
Los propósitos de medir las señales de descargas
parciales son los siguientes:
1. Para verificar que el equipo probado
no presente descargas parciales mayores a
una magnitud especificada arbitrariamente
dado un cierto voltaje.
incrementarse el voltaje y cesa cuando el
voltaje disminuye.
3. Para determinar la magnitud de la cantidad
específica de descargas parciales en un
cierto voltaje específico.
La magnitud y el tiempo de ocurrencia de las
descargas parciales son almacenados en una
computadora por un determinado período de
tiempo, por lo tanto, se puede obtener la magnitud
vs el tiempo de ocurrencia y la fase vs la
distribución de ocurrencia. Sin embargo, todas las
metodologías actuales tienen que lidiar con el
problema del ruido.
En 1997, Ramírez-Niño, Rivera-Castañeda,
García-Colón y Castaño (1998), utilizaron el análisis
de transformada de ondeletas para reducir el
ruido y detectar el tiempo relativo en que ocurrían
las descargas parciales en señales eléctricas y
acústicas en materiales de aislamiento. Encontraron
que la aproximación mediante ondeletas
resulta ser poderosa en la reducción de ruido para
este tipo de señales.
Conclusiones y perspectivas
Como ya se ha visto, la transformada de ondeleta
resulta ser una herramienta matemática muy
poderosa para la resolución de problemas relacionados
con señales de todo tipo, desde mecánicas
hasta biológicas. Nos permite a su vez,
analizar fenómenos complicados “dividiéndolos”
en pequeños componentes que se pueden analizar
por partes, haciendo el trabajo mucho más
sencillo, además de dar una visión global de cómo
las interacciones de sus componentes conforman
a un sistema.
Existen diversas áreas de la ingeniería, no
exploradas aún, donde la transformada de ondeletas
puede aplicarse, tales como el análisis de
ondas cerebrales, las turbulencias, la predicción
de terremotos, etc. En pocas palabras, las
ondeletas seguirán “haciendo olas”.
2. Para determinar la amplitud del voltaje,
en donde las descargas parciales de
una magnitud específica baja comienza al
Vol.VII No.3 -julio-septiembre- 2006 189

Ondeletas en ingeniería. Principios y aplicaciones
Referencias
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Bibliografía sugerida
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Http://users.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/
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Semblanza de los autores
Verónica Saavedra-Gastélum. Obtuvo su licenciatura en actuaría por el ITAM, México en 1999. Posteriormente, su Master of Sciences in Statis -
tics por la Univer sity of Warwick, Inglaterra en 2001. Le fue otorgado el Diploma “Asesoría y Orientación Educativa” 2002, por el ITESM.
Es profesora de cátedra en el ITESM, Campus Querétaro, en la UNAM desde el año 2005, en la UAQ (2006) y en el ITESM, Campus
Monterrey (2001-2003). Es asesora independiente en estadística médica desde 2001. Actualmente cursa el segundo semestre del
doctorado en ingeniería en la Universidad Autónoma de Querétaro y su línea de investigación es EEG, ondeletas y Kernel.
Thalía Fernández-Harmony. Realizó sus estudios de Matemáticas en la Normal Supe rior (Instituto Pedagógico de La Habana, Cuba).
Obtuvo la licenciatura en matemáticas, la maestría en neurociencias y el doctorado en Ciencias Fisiológicas, por la Universidad
Nacional Autónoma de México. Asimismo, logró un posdoctorado en la Universidad de Cali fornia de San Diego. Ha publicado 55
artículos en revistas de difusión internacional y 10 de difusión nacional, participó en 8 capítulos de libros (4 nacionales y 4
internacionales). Ha sido tutora de 18 tesis, de las cuales 9 están en proceso. Ha recibido las distinciones de SNI (nivel 2), PRIDE
(categoría “D”), y la Medalla Alfonso Caso. Hasta hace 6 años trabajó en la caracterización electroencefalográfica y conductual
del electroencefalograma (EEG). Actualmente realiza investigación en Neurorretroalimentación.
Thalía Harmony-Baillet. Realizó su carrera como médico cirujano en la Facultad de Medicina de la UNAM, cuando todavía no
existían los posgrados. Durante su carrera, trabajó en el entonces Instituto de Estudios Médicos y Biológicos, ahora
Instituto de Ciencias Biomédicas. Realizó su doctorado en el Centro de la Investigación Científica de La Habana, Cuba. A su
regreso a México, fue profesor titular C en la entonces ENEP Iztacala, ahora FES Iztacala. Desde 1995, se trasladó al
Instituto de Neurobiología de la UNAM en Juriquilla, en donde ha realizado varias investigaciones en psicofisiología, y
recientemente en el estudio de los factores de riesgo de daño cere bral pre y perinatales.
Víctor Manuel Castaño-Meneses. Obtuvo la licenciatura en ingeniería física en la Universidad Iberoamericana y realizó sus estudios de
posgrado en la Facultad de Ciencias de la UNAM, lo cual le concedió el doctorado en ciencias (Física) en abril de 1985. Después de
una estancia posdoctoral de dos años en el IBM Thomas J. Watson Research Center en Nueva York, se reincorporó al Instituto de
Física de la UNAM, donde alcanzó el nombramiento de investigador titular C en enero de 1991, adscrito al Departamento de
Materia Condensada, en donde permaneció hasta abril de 2002, cuando se crea el Centro de Física Aplicada y Tecnología
Avanzada, dependencia a la que pertenece en la actualidad. Ha publicado 421 artículos en revistas listadas en índices
internacionales, 176 memorias de congresos nacionales e internacionales, 10 capítulos en libros y un libro de divulgación
científica, además de ser co-editor de 4 libros. De acuerdo con un estudio de la Office for Naval Research del gobierno
norteamericano, Víctor Castaño es uno de los cinco científicos latinoamericanos más productivos y citados en el campo de la
ciencia de los materiales. Sus trabajos tecnológicos y de investigación aplicada han sido reseñados en prácticamente todos los
periódicos y canales de TV nacionales y en varias instancias internacionales. Entre los reconocimientos nacionales e
internacionales que ha recibido, se cuentan el Premio de la Academia de la Investigación Científica (hoy Academia Mexicana de
Ciencias), el Premio de la Organización de Estados Americanos, la Distinción Universidad Nacional para Jóvenes Académicos, etc.
190 INGENIERIA Investigación y Tecnología FI-UNAM