Chapter 3 : XRD Theory - ภาควิชาฟิสิกส์
Chapter 3 : XRD Theory - ภาควิชาฟิสิกส์
Chapter 3 : XRD Theory - ภาควิชาฟิสิกส์
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง<br />
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน<br />
บทที่ 3 ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์<br />
บทนี้จะน าเสนอทฤษฎีพื้นฐานของการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์โดยผลึก ประกอบด้วยหัวข้อส าคัญ<br />
คือ ทฤษฎีการเลี้ยวเบนของเลาอี กฏของแบรกก์ และการค านวนแฟคเตอร์โครงสร้าง ซึ่งน าไปสู่กฏ<br />
การคัดเลือกระนาบที่ให้การเลี้ยวเบน<br />
3.1 ระยะระหว่างอะตอมในผลึกและความยาวคลื่นสีเอ็กซ์<br />
3.1.1 ระยะระหว่างอะตอมในผลึก<br />
<br />
โดยทั่วไปจะสมมุติอะตอมเป็นทรงกลม ซึ่งจะมีขนาดรัศมีระหว่าง 1-2 A เมื่ออะตอมมาจัด<br />
<br />
กันอย่างเป็นระเบียบเพื่อเกิดเป็นโครงสร้างผลึก ระยะระหว่างอะตอมจะมีค่าในช่วง 2-4 A ขึ้นกับ<br />
ลักษณะการจัดอะตอมในโครงสร้างผลึก ส าหรับค่าคงที่แลตทิซ หรือระยะห่างระหว่างระนาบใน<br />
<br />
โครงสร้างผลึก โดยทั่วไปมีค่าในระดับขนาด 2-10 A<br />
3.1.2 การก าเนิดและสมบัติของรังสีเอ็กซ์<br />
3.1.2.1 ฟิสิกส์ของการเกิดรังสีเอ็กซ์<br />
ถ้ายิงอิเล็กตรอนพลังงานสูงเข้าชนอะตอมซึ่งอยู่นิ่ง อาจท าให้เกิดปรากฏการณ์หลาย<br />
อย่างรวมทั้ง 2 ปรากฏการณ์ต่อไปนี้<br />
1) อิเล็กตรอนในอะตอมที่ระดับชั้นพลังงานลึกๆ (core electron) เช่น ชั้น K หรือ L ถูก<br />
กระแทกให้หลุดจากอะตอม เกิดระดับพลังงานว่าง โดยธรรมชาติแล้วอิเล็กตรอนใน<br />
ชั้นพลังงานที่สูงกว่าจะลดระดับพลังงานลงมายังระดับพลังงานที่ว่าง เกิดการ<br />
ปลดปล่อยโฟตอนพลังงานในย่านรังสีเอ็กซ์ ซึ่งมีค่าเฉพาะส าหรับอะตอมนั้นๆ<br />
เรียกว่า Characteristics X-ray รังสีเอ็กซ์เฉพาะที่เด่นๆของอะตอม และน ามาใช้ใน<br />
การทดลองเลี้ยวเบน คือ K<br />
และ K ซึ่งเกิดจากการย้ายระดับพลังงานจากชั้น L ไป<br />
ยัง K และจากชั้น M ไปยัง K ตามล าดับ<br />
2) อิเลคตรอนที่วิ่งเข้าชนถูกท าให้ช้าลงอย่างรวดเร็วเนื่องจากการผลักของสนามไฟฟ้า<br />
ของอิเล็กตรอนในอะตอม โดยทฤษฎีคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า อิเล็กตรอนที่มีความหน่วงจะ<br />
ปลดปล่อยคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าแบบพลังงานต่อเนื่อง ได้สเปคตรัมรังสีเอ็กซ์แบบ<br />
ต่อเนื่อง เรียกว่า Bremsstrahlung x-rays<br />
สเปคตรัมของรังสีเอ็กซ์ที่ได้จากอะตอมจะมีลักษณะดังตัวอย่างในรูปที่ 3-1<br />
1
315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง<br />
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์<br />
รูปที่ 3-1 สเปคตรัมรังสีเอ็กซ์จากอะตอมโมลิบดินัมที่พลังงานอิเล็กตรอนกระตุ้น 35 kV [Cullity<br />
(1967) หน้า 8]<br />
3.1.2.2 ความยาวคลื่นรังสีเอ็กซ์และอันตราย<br />
พิจารณาสเปคตรัมของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าทั้งหมด ตามรูปที่ 3-2 จะเห็นได้ว่ารังสีเอ็กซ์เป็น<br />
<br />
คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่มีความยาวคลื่นระหว่าง 0.01–10 A หรือมีพลังงานในย่านระหว่างรังสีอุลตรา<br />
ไวโอเล็ตกับรังสีแกมมา จึงจัดได้ว่าเป็นรังสีอันตรายเนื่องจากมีพลังงานสูง ดังนั้นในการใช้งานรังสี<br />
เอ็กซ์ควรเข้าใจและตระหนักอยู่เสมอถึงอันตรายที่อาจจะได้รับจากรังสี และรู้วิธีการป้องกัน<br />
3.1.2.3 การผลิตรังสีเอ็กซ์<br />
รังสีเอ็กซ์สามารถผลิตได้จากหลอดรังสีเอกซ์ (X-ray tube) มีหลักการ คือ ต้องท าให้อะตอม<br />
จ านวนมากปล่อยรังสีเอ็กซ์ออกมาพร้อมๆกัน เพื่อที่จะได้รังสีเอ็กซ์ที่มีความเข้มสูงพอที่จะน าไปใช้งาน<br />
ได้ โครงสร้างของหลอดรังสีเอ็กซ์แสดงดังรูปที่ 3-3 ประกอบด้วยหลอดแก้วผนึกติดกับฐานโลหะ<br />
ทองแดง ภายในหลอดเป็นสุญญากาศ มีไส้ทังสเตน (Tungsten Filament) เป็นแหล่งก าเนิด<br />
อิเล็กตรอน ซึ่งจะปล่อยอิเล็กตรอนเมื่อถูกเผาให้ร้อนด้วยไฟฟ้ากระแสสูง อิเล็กตรอนจ านวนมากที่<br />
หลุดจากไส้ทังสเตนจะถูกเร่งด้วยความต่างศักย์สูงขนาด 30-50 kV ซึ่งป้อนระหว่าง ทังสเตนกับเป้า<br />
(Target) โดยที่เป้าเป็นขั้วบวก เมื่อกระแสอิเล็กตรอนวิ่งเข้าชนเป้า จะเกิดการปลดปล่อยรังสีเอ็กซ์<br />
เฉพาะจากอะตอมของเป้า พร้อมๆกับรังสีเอ็กซ์ Bremsstrahlung ที่เกิดเนื่องจากการที่อิเล็กตรอนมี<br />
2
315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง<br />
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์<br />
ความหน่วงขณะพุ่งชนเป้า รังสีเอ็กซ์ส่วนหนึ่งจะพุ่งออกทางหน้าต่างเบอริลเลียม (Beryllium<br />
window) และจะถูกส่งต่อไปยังชุดกรองหรือแยกความยาวคลื่น (Filter) และอุปกรณ์จัดล ารังสี<br />
(collimator) จนได้รังสีเอ็กซ์เฉพาะความยาวคลื่นเดียวที่จะน าไปใช้งานต่อไป ความยาวคลื่นรังสี<br />
เอ็กซที่ได้ขึ้นกับชนิดของธาตุที่เป็นเป้า ส าหรับเป้าทองแดงจะให้ความยาวคลื่นรังสีเอ็กซ์เฉพาะ K <br />
<br />
เฉลี่ยเท่ากับ 1.54178 A เนื่องจากพลังงานของอิเล็กตรอนส่วนใหญ่จะเปลี่ยนเป็นพลังงานความร้อน<br />
ที่เป้า จึงต้องมีการระบายความร้อน<br />
ออกจากเป้า ส่วนใหญ่เป็นวิธีใช้น้ า<br />
ไหลเวียนในระบบปิดเพื่อดึงความ<br />
ร้อนจากเป้าแล้วถ่ายเทออกไปผ่าน<br />
ระบบท าความเย็น<br />
รูปที่ 3-2 สมบัติของรังสีเอ็กซ์<br />
[Cullity (1967) หน้า 2]<br />
รูปที่ 3-3 โครงสร้างของหลอดรังสีเอ็กซ์ [Cullity (1967) หน้า 18]<br />
3
315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง<br />
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์<br />
3.2 สมมุติฐานและการทดลองของเลาอี<br />
การเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์เป็นผลของอันตรกริยาระหว่างรังสีเอ็กซ์กับอะตอมในผลึก กุญแจ<br />
ส าคัญของการเกิดการเลี้ยวเบน คือ ความยาวคลื่นของรังสีเอ็กซ์ต้องใกล้เคียงกับระยะระหว่างอะตอมใน<br />
ผลึก จากข้อมูลที่กล่าวถึงข้างต้นพอจะสรุปได้ว่า<br />
ความยาวคลื่นของรังสีเอ็กซ์ 1-2 A <br />
ระยะระหว่างอะตอมในผลึก 2-5 A <br />
ดังนั้นการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์โดยผลึกน่าจะเป็นไปได้ ซึ่ง von Laue นักฟิสิกส์ชาวเยอรมันได้ตั้ง<br />
สมมุติฐานเมื่อปี 1912 ดังนี้ “ถ้าผลึกประกอบด้วยอะตอมที่เรียงกันอย่างเป็นระเบียบแล้ว อะตอม<br />
เหล่านี้จะเป็นศูนย์กลางการกระเจิงของรังสีเอ็กซ์ และหากความยาวคลื่นรังสีเอ็กซ์มีค่าใกล้เคียงกับ<br />
ระยะห่างระหว่างอะตอมในผลึกแล้ว ควรเกิดปรากฏการณ์เลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์โดยผลึก”<br />
จากสมมุติฐานดังกล่าว เลาอีได้ทดลองยิงรังสีเอ็กซ์ความยาวคลื่นผสม (white x-ray) ให้ตก<br />
กระทบแผ่นผลึกบางๆ ของ CuSO 4 ผลปรากฏว่าพบรังสีเอ็กซ์ทะลุผ่านด้านหลังผลึก (transmitted)<br />
ในแนวซึ่งเบนออกจากแนวรังสีเอ็กซ์ตกกระทบ ดังรูปที่ 3-4 (ก) และเมื่อวางฟิล์มรับรังสีเอ็กซ์ทาง<br />
ด้านหน้าของผลึกตัวอย่าง ก็จะพบร่องรอยรังสีเอ็กซ์ซึ่งพุ่งเข้าหาแผ่นฟิล์มในทิศย้อนหลังและเบนจาก<br />
แนวรังสีเอ็กซ์ตกกระทบ ดังรูปที่ 3-4 (ข)<br />
รูปที่ 3-4 การทดลองของเลาอี (ก) แบบทะลุผ่าน (ข) แบบย้อนกลับ [Cullity (1967) หน้า 90]<br />
4
315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง<br />
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์<br />
ผลการทดลองของเลาอีแสดงให้เห็นว่า<br />
1) รังสีเอ็กซ์มีการเลี้ยวเบนเมื่อผ่านผลึก มุมการเลี้ยวเบนมีได้ระหว่าง 0 -180 <br />
2) ผลึกมีความเป็นระเบียบของการจัดเรียงอะตอม และ โฟตอน (รังสีเอ็กซ์ในที่นี้) มี<br />
สมบัติความเป็นคลื่น<br />
ค าถามชวนคิด:<br />
o ท่านคิดว่าทิศทาง และความเข้มของรังสีเอ็กซ์ที่เลี้ยวเบนขึ้นกับตัวแปรอะไรบ้าง<br />
3.3 การวิเคราะห์การเลี้ยวเบนของเลาอี<br />
3.3.1 สมมุติฐานของเลาอี<br />
เมื่อรังสีเอกซ์ความยาวคลื่นเดียวตกกระทบอะตอม สนามไฟฟ้าของรังสีเอ็กซ์จะท าให้<br />
อิเล็กตรอนในอะตอมสั่นด้วยความถี่เท่ากับความถี่ของรังสีเอ็กซ์ อิเล็กตรอนจึงมีความเร่ง และปล่อย<br />
คลื่นแม่เล็กไฟฟ้าที่มีความถี่เท่ากันกับรังสีเอ็กซ์ตกกระทบ ออกมาในทุกทิศทาง เรียกว่า รังสีเอ็กซ์<br />
กระเจิง (Scattered X-ray) ในการวิเคราะห์การเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์เลาอีได้ตั้งสมมุติฐานเพื่ออธิบาย<br />
ปรากฏการณ์นี้ ดังนี้<br />
เมื่อมีรังสีเอ็กซ์ตกกระทบอะตอมในผลึก อิเล็กตรอนในแต่ละอะตอมจะปล่อย<br />
รังสีเอ็กซ์กระเจิงออกมาในทุกทิศทาง<br />
รังสีเอ็กซ์กระเจิงส่วนใหญ่จะมีเฟสต่างกัน และหักล้างกันไป<br />
มีเฉพาะบางทิศทางเท่านั้นที่รังสีเอ็กซ์กระเจิง มีการรวมกันแบบเสริมกัน<br />
แนวรังสีเอ็กซ์ตกกระทบ รังสีเลี้ยวเบน ไม่จ าเป็นต้องอยู่บนระนาบเดียวกัน<br />
3.3.2 การเลี้ยวเบนจากผลึก 1 มิติ (1-dimensional crystal)<br />
พิจารณารูปที่ 3-5 รังสีเอ็กซ์ตกกระทบผลึก 1 มิติ ซึ่งมีค่าคงที่ของผลึกเท่ากับ a ด้วยมุมตก<br />
กระทบ 0 AB เป็นหน้าคลื่นตกกระทบ CD เป็นหน้าคลื่นเลียวเบนท ามุม กับแกนผลึก ในที่นี้<br />
แนวรังสีเอ็กซ์ตกกระทบ รังสีเลี้ยวเบน และแนวแกนผลึก ไม่จ าเป็นต้องอยู่บนระนาบเดียวกัน คลื่นที่<br />
กระเจิงจากอะตอมที่อยู่ติดกันจะมีการแทรกสอดแบบเสริมกัน และท าให้เราพบการเลี้ยวเบนได้ถ้า<br />
Path _ difference <br />
AC BD <br />
p<br />
3-1<br />
เมื่อ p = 1, 2,3, ... จากรูปสามารถแสดงได้ว่า AC BD a cos<br />
a cos0<br />
ดังนั้นเขียนสมการ<br />
3-1 ได้เป็น<br />
a(cos<br />
cos<br />
) p<br />
3-2<br />
0<br />
5
315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง<br />
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์<br />
สมการ 3-2 เป็นเงื่อนไขของการเกิดการเลี้ยวเบนตามการวิเคราะห์ของเลาอี ซึ่งจะเห็นว่า<br />
ถ้าก าหนด a , 0 , p , และ คงที่แล้ว ค่า ที่เป็นไปได้จะมีเพียงค่าเดียว นั่นคือ<br />
การเลี้ยวเบนจะเกิดขึ้นในทิศเฉพาะเท่านั้น<br />
เนื่องจากอะตอมกระเจิงรังสีเอ็กซ์ในทุกทิศทาง รังสีเอ็กซ์กระเจิงในแนวที่อยู่บนผิว<br />
กรวยซึ่งมีมุมยอดเท่ากับ และมีแกน a เป็นแกนของกรวย ก็จะท าให้เงื่อนไขใน<br />
สมการ 3-2 เป็นจริงได้เช่นกัน นั่นคือ รังสีเอ็กซ์เลี้ยวเบนจากอะตอม 1 มิติทั้งหมดจะ<br />
ประกอบกันเป็นกรวยการเลี้ยวเบน<br />
รูปที่ 3-5 การเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์โดยผลึก 1 มิติ [Dekker (1958) หน้า 12]<br />
ก าหนดให้ S o เป็นเวคเตอร์หน่วยในทิศของรังสีเอ็กซ์ตกกระทบ<br />
ทิศของรังสีเอ็กซ์เลี้ยวเบน และ a เป็นเวคเตอร์แลตทิซสามารถแสดงได้ว่า<br />
<br />
a(cos cos0)<br />
a ( S So)<br />
ดังนั้นจึงเขียนเงื่อนไขการเลี้ยวเบนของเลาอีจากผลึก 1 มิติ ได้ในรูป<br />
<br />
a ( S So ) p<br />
S เป็นเวคเตอร์หน่วยใน<br />
3-3<br />
3.3.3 การเลี้ยวเบนจากผลึก 3 มิติ (3-dimensional crystal)<br />
เมื่อขยายจากผลึก 1 มิติ เป็นผลึก 3 มิติ สามารถพิจารณาได้ว่ารังสีเอ็กซ์กระเจิงในทิศใดๆ จะ<br />
ประกอบด้วย 3 ส่วน แต่ละส่วนได้จากการกระเจิงโดยอะตอมที่เรียงกันในแนวแกนผลึก a , b , c <br />
ของเซลล์หน่วย ท าให้ได้เงื่อนไขของเลาอีที่ก าหนดการเลี้ยวเบนของรังสีเอ็กซ์จากผลึก 3 มิติ คือ<br />
<br />
a(cos<br />
cos0)<br />
a ( S So)<br />
p<br />
<br />
b(cos cos 0)<br />
b ( S So)<br />
q<br />
<br />
c(cos<br />
cos<br />
0)<br />
c ( S So)<br />
r<br />
3-4<br />
6
315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง<br />
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์<br />
เมื่อ p, q, r เป็นจ านวนเต็ม<br />
S o<br />
, S เป็นเวคเตอร์หน่วยของทิศรังสีเอ็กซ์ตกกระทบและเลี้ยวเบนตามล าดับ<br />
<br />
o, o,<br />
<br />
o<br />
เป็นมุมที่รังสีเอ็กซ์ตกกระทบ( S o<br />
) กระท ากับ a , b , c ตามล าดับ<br />
, ,<br />
เป็นมุมที่รังสีเอ็กซ์เลี้ยวเบน ( S ) กระท ากับ a , b , c ตามล าดับ<br />
วิเคราะห์สมการเลาอีจะเห็นว่า<br />
การเลี้ยวเบนจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อ S o<br />
และ S ต้องท าให้ชุดสมการ 3-4 เป็นจริงพร้อม<br />
กัน นั่นคือ ส าหรับ S o<br />
ที่ก าหนดให้ การเลี้ยวเบนจะเกิดขึ้นถ้ากรวยการเลี้ยวเบนบน<br />
แกน a , b , c มาตัดกันแล้วได้เป็นเส้นตรงในทิศ S <br />
ส าหรับ S o<br />
ที่ก าหนดให้จะมีโอกาสน้อยที่สามารถหา S ที่ท าให้ชุดสมการ3-4 เป็น<br />
จริงได้พร้อมกันได้ นั่นคือ ยิงรังสีเอ็กซ์ตกกระทบในทิศ S o<br />
ส่วนใหญ่ไม่เกิดการ<br />
เลี้ยวเบน แต่มี S o<br />
, S เฉพาะบางทิศทางเท่านั้นที่จะท าให้เกิดการเลี้ยวเบนได้<br />
3.4 กฏของแบรก์ (Bragg’s law)<br />
ในปีเดียวกันที่ Laue ได้ท าการวัดการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์โดยผลึก W.L. Bragg ได้วิเคราะห์<br />
การเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์ในเชิงเรขาคณิต และสามารถวิเคราะห์เงื่อนไขส าคัญของกระบวนการเลี้ยวเบน<br />
รังสีเอ็กซ์จากผลึกได้ เรียกว่า กฏของแบรก์ และได้ศึกษาโครงสร้างผลึกด้วยเครื่อง X-ray<br />
diffractometer สามารถวิเคราะห์ผลึก NaCl, KCl, KBr, และ KI พบว่า ทั้งหมดมีโครงสร้างผลึก<br />
แบบ fcc<br />
ในการวิเคราะห์การเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์ แบรกก์พิจารณาการเลี้ยวเบนของรังสีเอ็กซ์จาก<br />
ระนาบของอะตอมที่ขนานกัน เหมือนกับกฏการสะท้อนแสง ดังนี้<br />
ล ารังสีตกกระทบ ล ารังสีเลี้ยวเบน (สะท้อน) และเส้นปกติอยู่บนระนาบเดียวกัน<br />
(ต่างจากการพิจารณาของเลาอี)<br />
มุมที่ล ารังสีเลี้ยวเบน (สะท้อน) ท ากับระนาบของอะตอม จะเท่ากับมุมที่ล ารังสีตก<br />
กระทบท ากับระนาบของอะตอม<br />
นั่นคือ ภายใต้เงื่อนไขเฉพาะบางอย่าง จะมีรังสีเอ็กซ์เลี้ยวเบนในทิศทางที่ท ามุมกับระนาบ<br />
เท่ากับมุมตกกระทบ<br />
พิจารณาภาพภาคตัดขวางของผลึกขยายให้เห็นการเรียงกันของอะตอมบนชุดระนาบ (hkl)<br />
ซึ่งมีระยะระหว่างระนาบเป็น d hkl ดังรูปที่ 3-6 ชุดระนาบ (hkl)<br />
ประกอบด้วยระนาบจ านวนมาก<br />
(ส าหรับผลึกที่มีขนาดใหญ่กว่า 1 m) แทนด้วย A, B, C, …. ซึ่งขนานกันและห่างกันเป็นระยะ d hkl<br />
เท่ากัน สมมุติรังสีเอ็กซ์ขนานมีความยาวคลื่น ตกกระทบท ามุม กับชุดระนาบ (hkl)<br />
นี้<br />
7
315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง<br />
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์<br />
โดยธรรมชาติรังสีเอ็กซ์จะสามารถทะลุทะลวงไปถึงอะตอมบนระนาบที่ลึกลงไปเป็นหลาย<br />
ร้อยชั้นจากผิว หน้าของผลึก อะตอมเหล่านี้จะท าหน้าที่เป็นศูนย์กลางการกระเจิงรังสีเอ็กซ์ออกไปใน<br />
ทุกทิศทาง<br />
ในที่นี้เราต้องการทราบว่ารังสีเอ็กซ์ตกกระทบจะถูกเลี้ยวเบนโดยผลึกหรือไม่ (หรือกล่าวว่า<br />
จะเกิดการเลี้ยวเบนหรือไม่) และถ้าเกิด จะเกิดภายใต้เงื่อนไขใด ส าหรับการเกิดการเลี้ยวเบนนั้น<br />
หมายความว่า เราจะพบรังสีเอ็กซ์ซึ่งเลี้ยวเบนจากแนวรังสีตกกระทบ (โดยการตรวจวัดดัวยอุปกรณ์วัด<br />
รังสีเอ็กซ์ เป็นต้น) ซึ่งล ารังสีเอ็กซ์เลี้ยวเบนนี้จะเป็นล ารังสีที่ประกอบด้วยรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงจาก<br />
อะตอมจ านวนมากแล้วมารวมกันแบบเสริม<br />
รูปที่ 3-6 การเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์โดยผลึก เมื่อมุมตกกระทบของรังสีเอ็กซ์เท่ากับ การเลี้ยวเบนจะเกิด<br />
ที่มุมการเลี้ยวเบนเท่ากับ 2 ถ้าความยาวคลื่นรังสีเอ็กซ์และระยะระหว่างระนาบเข้ากับกฎ<br />
ของแบรกก์ [หน้า Cullity (1967) หน้า 81]<br />
จากรูปที่ 3-6 สามารถวิเคราะห์ได้ว่า<br />
Path difference ของรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงจากอะตอมบนระนาบเดียวกันจะเท่ากับ 0<br />
เช่น อะตอม H และ M ดังนั้นรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงจากอะตอมบนระนาบเดียวกันจะ<br />
มีเฟสตรงกัน และสามารถรวมกันเแบบเสริม กลายเป็นส่วนหนึ่งของล ารังสีเอ็กซ์<br />
เลี้ยวเบน<br />
Path difference ของรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงจากอะตอมบนระนาบที่อยู่ติดกัน เช่น<br />
'<br />
รังสีกระเจิงจากอะตอม M บนระนาบ A (รังสี 1M 1 ) และจากอะตอม L บน<br />
'<br />
ระนาบ B (รังสี 2M 2 ) จะมีขนาดเท่ากับ<br />
8
315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง<br />
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์<br />
Path _ difference KL LJ<br />
2d<br />
hkl<br />
sin <br />
3-5<br />
ซึ่งรังสีกระเจิงจากทั้งสองระนาบนี้จะมีเฟสตรงกัน จนเกิดการรวมกันแบบเสริม ก็<br />
ต่อเมื่อ Path difference มีขนาดเป็นจ านวนเต็มเท่าของความยาวคลื่น นั่นคือ<br />
จะได้ว่า<br />
2<br />
d hkl<br />
sin n<br />
3-6<br />
เมื่อ n = 1, 2, 3,….<br />
สมการ 3-6 คือ กฎของแบรกก์ ซึ่งแปลความหมายได้ว่า การเลี้ยวเบนจะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ<br />
d hkl , , และ ท าให้สมการนี้เป็นจริง ส าหรับ n = 1, 2, 3…. มุม ที่เข้าเงื่อนไขการเลี้ยวเบน<br />
เรียกว่า มุมแบรกก์ (Bragg angle) ค่า n เป็นล าดับการเลี้ยวเบน มุมแบรกก์ที่เล็กที่สุดส าหรับ d hkl<br />
และ ที่ก าหนดให้ จะเป็นมุมที่ให้การเลี้ยวเบนล าดับที่ 1 ( n = 1)<br />
สรุปปรากฏการณ์เลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์ของแบรกก์ได้ว่า เมื่อรังสีเอ็กซ์ขนาน ความยาวคลื่น <br />
ตกกระทบระนาบ (hkl)<br />
ด้วยมุมตกกระทบ เราจะพบรังสีเอ็กซ์เลี้ยวเบนที่มุม 2 (วัดความเข้มรังสี<br />
เอ็กซ์ในทิศนี้ได้สูงมากเมื่อเทียบกับทิศทางอื่น) ก็ต่อเมื่อมุมตกกระทบ ความยาวคลื่น และ<br />
ระยะห่างระหว่างระนาบ dhkl<br />
เป็นไปตามเงื่อนไขในสมการของแบรกก์ โดย n = 1, 2, 3,…เป็นล าดับ<br />
ที่ของการเลี้ยวเบน ถ้า d hkl และ มีค่าคงที่แล้ว การเลี้ยวเบนจะเกิดขึ้นเมื่อมุมตกกระทบเท่ากับ 1 ,<br />
2 , 3 … ซึ่งสอดคล้องกับ n = 1, 2, 3,… ตามล าดับ กล่าวได้ว่า ถ้าก าหนดให้ dhkl<br />
และ คงที่<br />
แล้ว การเลี้ยวเบนจะเกิดขึ้นได้ที่มุมตกกระทบค่าเฉพาะเพียงบางค่าเท่านั้น<br />
จากสมการแบรกก์แทนค่า sin 1 จะได้ว่า ความยาวคลื่นรังสีเอ็กซ์ยาวที่สุดที่ยังคงเกิด<br />
n<br />
2d<br />
<br />
การเลี้ยวเบนได้ เป็นไปตามเงื่อนไข 1 หรือ<br />
max 2d<br />
3-7<br />
ขอให้สังเกตุว่า แบรกก์พิจารณาเฉพาะรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงออกในทิศท ามุมกับระนาบการ<br />
กระเจิงเท่ากับมุมตกกระทบเท่านั้น ซึ่งโดยธรรมชาติแล้วรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงโดยอะตอมแต่ละอะตอม<br />
ในผลึก (จริงๆแล้วโดยอิเล็กตรอนในอะตอม) จะกระเจิงในทุกทิศทาง แต่เนื่องจากความป็นระเบียบ<br />
ของผลึกท าให้มีเฉพาะบางทิศทางเท่านั้นที่จะพบการเลี้ยวเบน ซึ่งก็คือทิศทางที่เสนอโดยแบรกก์นั่นเอง<br />
ดังจะเห็นในการวิเคราะห์ในหัวข้อต่อๆไป<br />
9
315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง<br />
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์<br />
3.5 เปรียบเทียบการเลี้ยวเบนกับการสะท้อน<br />
แม้ว่าแบรกก์จะพิจารณาการเลี้ยวเบนของรังสีเอ็กซ์ตามกฎการสะท้อน จนท าให้มีการใช้ค าว่า<br />
“การสะท้อน” หรือ “ระนาบการสะท้อน” ในการอธิบายการเลี้ยวเบนก็ตาม การเลี้ยวเบนและการ<br />
สะท้อนเป็นปรากฏการณ์ทางฟิสิกส์ที่แตกต่างกัน ดังนี้ [Cullity (1967) หน้า 83]<br />
การเลี้ยวเบนเป็น Volume interaction ส่วนการสะท้อนเป็น Surface interaction<br />
การเลี้ยวเบนเกิดได้ที่มุมเฉพาะ (มุมแบรกก์) ส าหรับความยาวคลื่นค่าหนึ่ง ส่วนการ<br />
สะท้อนเกิดขึ้นได้ทุกค่ามุมตกกระทบ และทุกความยาวคลื่น<br />
ประสิทธิภาพการสะท้อนใกล้เคียง 100 % ส่วนการเลี้ยวเบนมีประสิทธิภาพต่ ามาก<br />
(ระดับ < 1 %)<br />
3.6 สมการแบรกก์เชิงปฏิบัติ<br />
สมการแบรกก์ท านายการเกิดการเลี้ยวเบนของรังสีเอ็กซ์ความยาวคลื่น จากระนาบ (hkl)<br />
ใดๆ เมื่อมุมตกกระทบเท่ากับมุมแบรกก์ 1 , 2 , 3 , … ส าหรับการเลี้ยวเบนล าดับที่ 1, 2, 3, …<br />
ตามล าดับ อย่างไรก็ตาม เมื่อพิจารณาการเลี้ยวเบนล าดับที่ 2 ของระนาบ (hkl)<br />
และการเลี้ยวเบน<br />
ล าดับที่ 1 ของระนาบ ( 2h 2k2l)<br />
ซึ่งระนาบ ( 2h 2k2l)<br />
เป็นระนาบที่มีระยะระหว่างระนาบเท่ากับ<br />
1<br />
2<br />
d hkl<br />
เมื่อ d hkl เป็นระยะระหว่างระนาบของระนาบ (hkl)<br />
ตาม<br />
รูปที่ 3-7 จะเห็นว่ารังสีเลี้ยวเบนทั้ง สองจะซ้อนทับกันพอดี ซึ่งอธิบายได้ดังนี้<br />
สมมุติ 2 เป็นมุมแบรกก์ส าหรับการเลี้ยวเบนล าดับที่ 2 จากระนาบ (hkl)<br />
(ดูรูปที่ 3-7 (ก))<br />
จากกฎของแบรกก์จะเขียนได้ว่า<br />
ขณะเดียวกันมุมที่รังสีเอ็กซ์ตกกระทบกระท ากับชุดระนาบ ( 2h2k2l)<br />
จะเท่ากับ 2 ด้วย (ดูรูปที่ 3-7<br />
(ข)) โดย Path difference ของรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงชุดจากระนาบ ( 2h2k2l)<br />
จะเป็น<br />
แทนค่า<br />
2d<br />
sin 2 2<br />
hkl<br />
Path _ difference 2d<br />
2d hkl sin 2 2<br />
hkl<br />
2h2k<br />
2l<br />
sin 2 2 sin<br />
จากสมการ 3-8 ลงในสมการ 3-9 จะได้<br />
d<br />
2<br />
<br />
2<br />
3-8<br />
3-9<br />
Path _ difference<br />
2<br />
2d2h2k<br />
2l<br />
sin <br />
3-10<br />
ซึ่งเป็นสมการแบรกก์ส าหรับการเลี้ยวเบนล าดับที่ 1 จากระนาบ ( 2h 2k2l)<br />
นั่นเอง ดังนั้น รังสีเอ็กซ์<br />
เลี้ยวเบนล าดับที่ 2 จากระนาบ (hkl)<br />
จะซ้อนทับกันกับรังสีเอ็กซ์เลี้ยวเบนล าดับที่ 1 จากระนาบ<br />
( 2h<br />
2k2l)<br />
10
315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง<br />
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์<br />
รูปที่ 3-7 (ก) การเลี้ยวเบนล าดับที่ 2 จากระนาบ (hkl)<br />
ความแตกต่างระยะเดินทางของรังสี 11 และ<br />
22 คือ path _ diff AB BC 2d hkl sin 2<br />
(ข) การเลี้ยวเบนล าดับที่ 1 จากระนาบ<br />
( 2h 2k2l)<br />
ความแตกต่างทางเดินของรังสี 11 และ 33 คือ<br />
path _ diff<br />
DE EF 2<br />
d hkl<br />
sin <br />
2<br />
ท านองเดียวกัน สามารถแสดงได้ว่าการเลี้ยวเบนล าดับที่ n จากระนาบ (hkl)<br />
ใดๆ จะ<br />
ซ้อนทับกันกับการเลี้ยวเบนล าดับที่ 1 จาก ระนาบ (nh hk nl) ซึ่งเป็นระนาบที่มีระยะห่างระหว่าง<br />
ระนาบเท่ากับ 1 ของระยะระหว่างระนาบ (hkl)<br />
ระนาบ (nh hk nl) อาจเป็นระนาบที่มีอยู่จริง หรือ<br />
n<br />
เป็นระนาบสมมุติก็ได้ ดังนั้น ในทางปฏิบัติจึงพิจารณาการเลี้ยวเบนจากระนาบ (hkl)<br />
ใดๆ เฉพาะการ<br />
เลี้ยวเบนล าดับที่ 1 นั่นคือ กฏของแบรกก์จะอยู่ในรูป<br />
2d<br />
hkl sin <br />
3-11<br />
3.7 การค านวนมุมการเลี้ยวเบนจากค่าคงที่ผลึก<br />
เราสามารถท านายมุมการเลี้ยวเบนที่เป็นไปได้ส าหรับระนาบ (hkl)<br />
ใดๆ โดยใช้<br />
ความสัมพันธ์ระหว่าง d-spacing กับดัชนีของของระนาบโดยใช้กฎของแบรกก์ ตัวอย่างเช่น<br />
โครงสร้างผลึกแบบลูกบาศก์ จะมีความสัมพันธ์ระหว่าง d-spacing กับดัชนีมิลเลอร์ของระนาบ (hkl)<br />
ตามสมการ<br />
d hkl<br />
<br />
a<br />
2 2 2 1/ 2<br />
( h k l )<br />
11
315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง<br />
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์<br />
จากกฎของแบรกก์ สมการการเลี้ยวเบนล าดับที่ 1 จากระนาบ (hkl)<br />
คือ<br />
2d<br />
hkl<br />
sin <br />
2<br />
<br />
2<br />
4a<br />
sin ( h<br />
2a<br />
2<br />
2 2 2<br />
จะได้ sin ( h k l )<br />
2 2 2 1/ 2<br />
หรือ k l )<br />
ซึ่งเป็นสมการที่ใช้ท านายมุมการเลี้ยวเบนส าหรับระนาบ (hkl)<br />
เมื่อรู้ค่าคงที่แลตทิซ a เช่น ส าหรับ<br />
การเลี้ยวเบนจากระนาบ ( 110)<br />
หาได้จาก<br />
sin<br />
3.8 ความสอดคล้องของสมการเลาอีกับกฏของแบรกก์<br />
<br />
เป็นต้น<br />
ความสอดคล้องกันระหว่างสมการเลาอีและกฎของแบรกก์ สามารถยกตัวอย่างให้เห็นโดยใช้<br />
ผลึกลูกบาศก์ จากสมการเลาอี (สมการ 3-4 ) ให้ a b c ยกก าลังสองแล้วบวกกันจะหาได้ว่า<br />
2a<br />
2<br />
<br />
(1 cos<br />
cos0<br />
cos cos 0<br />
cos<br />
cos<br />
0 ) <br />
2<br />
a<br />
ถ้า เป็นมุมระหว่างรังสีเอ็กซ์ตกกระทบกับรังสีเอ็กซเลี้ยวเบน สามารถเขียนสมการ 3-12 ได้ในรูป<br />
จากกฎของแบรกก์และความสัมพันธ์ระหว่าง d-spacing กับค่าคงที่แลตทิซ a และดัชนีมิลเลอร์ของ<br />
ระนาบ (hkl)<br />
สามารถแสดงได้ว่า<br />
<br />
2<br />
2a<br />
เนื่องจาก ถ้าเปรียบเทียบสมการ 3-13 และ 3-14 โดยก าหนดให้ p nh, q nk,<br />
r nl จะ<br />
เห็นว่า การเลี้ยวเบนล าดับที่ n ของระนาบ (hkl)<br />
ตามกฏของแบรกก์ จะเป็นการเลี้ยวเบนตามสมการ<br />
ของเลาอีที่ก าหนดโดย p , q,<br />
r นั่นเอง<br />
3.9 การเลี้ยวเบนกับแลตทิซส่วนกลับ<br />
2<br />
(1 cos)<br />
4sin<br />
2<br />
ความส าคัญประการหนึ่งของแลตทิซส่วนกลับคือ การน าไปใช้ส าหรับวิเคราะห์การ<br />
เลี้ยวเบน ซึ่งจะช่วยให้การวิเคราะห์การเลี้ยวเบนสะดวกมากขึ้น<br />
พิจารณาอะตอม O อยู่ที่จุดก าเนิดของ crystal lattice และอะตอมอื่นๆ A ซึ่งอยู่ที่ต าแหน่ง<br />
pqr ใดๆ เทียบกับจุดก าเนิด โดย p, q, r เป็นจ านวนเต็ม ดังรูปที่ 3-8 เราจะวิเคราะห์ว่ารังสีเอ็กซ์ที่<br />
กระเจิงจากอะตอม O ได้รับผลกระทบอย่างไรบ้างจากรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงจากอะตอม A<br />
2a<br />
<br />
( )<br />
2<br />
2<br />
<br />
<br />
2<br />
a<br />
( p<br />
2 2<br />
2sin<br />
[( nh)<br />
( nk)<br />
( nl)<br />
a<br />
2<br />
2 1/ 2<br />
]<br />
q<br />
2<br />
2<br />
( p<br />
r<br />
2<br />
2<br />
q<br />
)<br />
2<br />
r<br />
2<br />
)<br />
3-12<br />
3-13<br />
3-14<br />
12
315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง<br />
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์<br />
เวคเตอร์บอกต าแหน่งของอะตอม A เทียบกับอะตอมที่จุดก าเนิด O เขียนได้ในรูป<br />
<br />
OA pa qb rc<br />
3-15<br />
2<br />
1<br />
O<br />
N<br />
U<br />
pqr<br />
A<br />
S <br />
S M<br />
o<br />
S <br />
o<br />
S <br />
V<br />
<br />
S S o<br />
<br />
<br />
1<br />
2<br />
a b c<br />
รูปที่ 3-8 การกระเจิงรังสีเอ็กซ์จากอะตอมที่จุดก าเนิด O และอะตอม A ในแลตทิซ [ปรับปรุงจาก<br />
Cullity (1967) หน้า 496]<br />
สมมุติให้รังสีเอ็กซ์ตกกระทบผลึกในทิศดังรูป แนว 1, 2 เป็นรังสีเอ็กซ์ที่ตกกระทบอะตอม<br />
O และ A ตามล าดับ S o<br />
เป็นเวคเตอร์หน่วยในทิศของรังสีเอ็กซ์ตกกระทบ OU เป็นหน้าคลื่นตก<br />
กระทบ ซึ่งตั้งฉากกับ S o<br />
พิจารณารังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงออกมาจากอะตอม O และ A ในทิศท ามุม <br />
กับแนวรังสีตกกระทบ ให้ S เป็นเวคเตอร์หน่วยในทิศของรังสีเอ็กซ์กระเจิง S o<br />
, S , และ OA<br />
ต้อง<br />
อยู่บนระนาบเดียวกัน<br />
การจะหาเงื่อนไขที่จะท าให้เกิดการเลี้ยวเบน เราต้องวิเคราะห์ความต่างเฟสระหว่างรังสีเอ็กซ์<br />
ที่กระเจิงจากอะตอม O และ A ซึ่งจากรูปจะเห็นได้ว่า ความแตกต่างทางเดินของรังสีตามเส้นทาง<br />
1O1 และ 2A2 คือ<br />
Path _ Difference UA<br />
AV<br />
OM ON<br />
เมื่อพิจารณาจากรูปจะเห็นว่า<br />
OM<br />
ON <br />
<br />
<br />
OA S o<br />
<br />
OA( S)<br />
13
315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง<br />
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์<br />
ดังนั้นเขียนความแตกต่างทางเดินรังสีได้เป็น<br />
<br />
Path _ Difference OA ( S S<br />
o<br />
)<br />
3-16<br />
Path difference จะสัมพันธ์กับความต่างเฟส ( ) ตามสมการ<br />
2<br />
Path _ difference<br />
<br />
แทนค่า Path_difference จากสมการ 3-16 จะได้<br />
เขียน<br />
<br />
S <br />
<br />
S o<br />
ในรูปของเวคเตอร์ในแลตทิซส่วนกลับ คือ<br />
*<br />
เมื่อ h, k, l เป็นจ านวนใดๆ (จ านวนเต็ม หรือเศษส่วนก็ได้) a *<br />
, b *<br />
, และ c เป็น primitive<br />
<br />
S S<br />
translation vectors ของแลตทิซส่วนกลับ แทน o<br />
จากสมการ 3-18 และ OA<br />
จาก<br />
สมการ3-15 ลงในสมการ 3-17 จะได้<br />
<br />
S S<br />
2<br />
(<br />
o ) OA<br />
<br />
<br />
S So <br />
* * <br />
ha kb lc<br />
<br />
<br />
*<br />
3-17<br />
3-18<br />
2<br />
( hp kq lr)<br />
3-19<br />
การเลี้ยวเบนจะเกิดขึ้นถ้ารังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงจากอะตอม O และ อะตอม A อื่นๆ มาแทรก<br />
สอดแบบเสริมกัน นั่นคือ ความต่างเฟสของรังสีทั้งสองขบวนเป็นจ านวนเต็มเท่าของ 2 จากสมการ<br />
เนื่องจาก p, q, r เป็นจ านวนเต็มใดๆ ความต่างเฟสจะเป็นจ านวนเต็มเท่าของ 2<br />
ได้ก็ต่อเมื่อ h, k, l<br />
เป็นจ านวนเต็มเท่านั้น เราจึงได้เงื่อนไขก าหนดการเกิดการเลี้ยวเบน คือ<br />
เมื่อ h, k, l เป็นจ านวนเต็ม และ G hkl เป็นเวคเตอร์บอกต าแหน่งของจุดในแลตทิซส่วนกลับ สมการ (7)<br />
แสดงว่า เงื่อนไขที่ท าให้เกิดการเลี้ยวเบนคือ เวคเตอร์<br />
ส่วนกลับ<br />
<br />
S<br />
<br />
So *<br />
* <br />
ha kb lc<br />
* G hkl<br />
<br />
<br />
S <br />
<br />
S o<br />
<br />
3-20<br />
ต้องมีจุดปลายตรงกับจุด hkl ในแลตทิซ<br />
14
315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง<br />
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์<br />
3.10 พิสูจน์สมการเลาอีและสมการแบรกก์<br />
ทั้งสมการเลาอีและสมการแบรกก์ สามารถพิสูจน์ได้จากสมการ 3-20 ซึ่งนับเป็นการยืนยัน<br />
ความสอดคล้องกันของสมการทั้งสอง<br />
3.10.1 สมการเลาอี<br />
จากสมการ 3-20<br />
<br />
S<br />
<br />
<br />
ha<br />
<br />
kb<br />
<br />
lc<br />
So<br />
* * *<br />
<br />
<br />
G<br />
ท า dot product สมการ (7) ด้วย primitive translation vectors a , b , c จะได้<br />
หรือเขียนได้ว่า<br />
ซึ่งก็คือ สมการเลาอี นั่นเอง<br />
hkl<br />
<br />
S So <br />
* * *<br />
a a (<br />
ha kb lc ) h<br />
<br />
<br />
<br />
S S <br />
o<br />
<br />
* * *<br />
b b (<br />
ha kb lc ) k<br />
<br />
<br />
<br />
S So <br />
* * *<br />
c c (<br />
ha kb lc ) l<br />
<br />
<br />
a (<br />
S So)<br />
h<br />
<br />
b (<br />
S So)<br />
k<br />
<br />
c (<br />
S S ) l<br />
o<br />
3.10.2 กฏของแบรกก์<br />
<br />
จากรูปที่ 3-9 สมมุติว่า S So<br />
เข้าเงื่อนไขการเลี้ยวเบนและท าให้เกิดการเลี้ยวเบนที่มุม <br />
<br />
จะเห็นว่า S So<br />
แบ่งครึ่งมุม 1O1 และถ้าลากแนว XY ให้ซ้อนกับเส้นแบ่งครึ่งมุมยอดของ<br />
สามเหลี่ยม POQ จะเห็นว่ามุมที่รังสีตกกระทบ 1O และรังสีเลี้ยวเบน O1 กระท ากับแนว XY มีค่า<br />
เท่ากันคือ / 2 เราจึงพิจารณาเสมือนว่า รังสีเลี้ยวเบนมาจากการสะท้อนจากระนาบที่ผ่านแนว XY<br />
<br />
และตั้งฉากกับหน้ากระดาษ โดยมี S So<br />
เป็นแนวของเส้นปกติ ตรงนี้คือสมมุติฐานของแบรกก์<br />
จากสมบัติของแลตทิซส่วนกลับ เราทราบว่าเวคเตอร์ G hkl ตั้งฉากกับชุดระนาบ (hkl)<br />
<br />
ขณะเดียวกันสมการ 3-20 แสดงว่าภายใต้เงื่อนไขการเกิดการเลี้ยวเบน เวคเตอร์ S So<br />
จะขนานกับ<br />
G <br />
hkl ดังนั้นสรุปได้ว่า การเลี้ยวเบนเกิดขึ้นเมื่อเวคเตอร์ S So<br />
ตั้งฉากกับชุดระนาบ (hkl) ซึ่งวางตัว<br />
ผ่านแนว XY และ ตั้งฉากกับระนาบหน้ากระดาษ นั่นเอง<br />
15
315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง<br />
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์<br />
2<br />
1<br />
X<br />
/ 2<br />
<br />
S S o<br />
<br />
<br />
S S o<br />
Q<br />
O / 2<br />
/ 2<br />
S S <br />
o<br />
P<br />
<br />
S S o<br />
<br />
Y<br />
1<br />
2<br />
a b c <br />
pqr<br />
A<br />
S <br />
o<br />
S <br />
<br />
รูปที่ 3-9 เงื่อนไขการเลี้ยวเบนและกฎของแบรกก์<br />
จากรูปที่ 3-9 จะเห็นว่า<br />
แทนค่าในสมการ (7) จะได้<br />
<br />
S<br />
<br />
S o<br />
<br />
2sin( )<br />
2<br />
ให้ / 2 และเราทราบว่า<br />
ซึ่งคือกฏของแบรกก์<br />
<br />
2sin( )<br />
2 G hkl<br />
<br />
1<br />
Ghkl<br />
<br />
d<br />
hkl<br />
2d<br />
hkl<br />
sin <br />
ดังนั้นจะได้<br />
3.11 เงื่อนไขการเลี้ยวเบนกับเวคเตอร์คลื่น<br />
เวคเตอร์คลื่น k คือเวคเตอร์ที่แสดงทิศการเคลื่อนที่ของคลื่น มีขนาดนิยามตามสมการ<br />
ก าหนดเวคเตอร์คลื่นของรังสีเอ็กซ์ตกกระทบคือ k I และเวคเตอร์คลื่นของรังสีเอ็กซ์เลี้ยวเบนคือ D<br />
โดย<br />
<br />
k<br />
I<br />
<br />
S<br />
2<br />
o<br />
<br />
และ<br />
<br />
k<br />
D<br />
<br />
k<br />
D<br />
<br />
k<br />
I<br />
2<br />
k <br />
<br />
<br />
S<br />
2<br />
D<br />
<br />
<br />
<br />
* * *<br />
2 ( ha kb lc ) 2G<br />
เงื่อนไขการเลี้ยวเบนสามารถเขียนได้ในรูป<br />
hkl<br />
k <br />
3-21<br />
3-22<br />
16
315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง<br />
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์<br />
ซึ่งกล่าวได้ว่า “การเลี้ยวเบนจากระนาบ (hkl)<br />
จะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ การเปลี่ยนแปลงเวคเตอร์คลื่นเท่ากับ<br />
2 G hkl ”<br />
* * *<br />
ถ้าสร้างแลตทิซส่วนกลับให้เป็นมิติเดียวกันกับเวคเตอร์คลื่น กล่าวคือ นิยาม a , b , c ดัง<br />
สมการ [Kittel (1996) หน้า 33]<br />
<br />
<br />
<br />
* * *<br />
เทอมคงที่ 2<br />
จะถูกรวมใน a , b , c และสามารถเขียนเงื่อนไขการเลี้ยวเบนสามารถเขียนได้ในรูป<br />
<br />
<br />
<br />
k<br />
D<br />
<br />
a<br />
<br />
b<br />
*<br />
*<br />
<br />
c<br />
*<br />
<br />
k<br />
<br />
b c<br />
2<br />
<br />
a b c<br />
<br />
c a<br />
2<br />
<br />
a b c<br />
<br />
a b<br />
2<br />
<br />
a b c<br />
I<br />
<br />
ha<br />
*<br />
<br />
kb<br />
<br />
lc<br />
เมื่อ g hkl 2Ghkl<br />
จึงกล่าวได้ว่า “การเลี้ยวเบนจากระนาบ (hkl)<br />
จะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ การ<br />
เปลี่ยนแปลงเวคเตอร์คลื่นเท่ากับ g <br />
hkl ” [Williams, and Carter (1996) หน้า 195] หรือเขียนได้ว่า<br />
<br />
k<br />
<br />
g<br />
การเปลี่ยนแปลงเวคเตอร์คลื่นตามสมการ 3-25 สามารถแสดงได้ดังแผนผังในรูปที่ 3-10<br />
D<br />
*<br />
<br />
k<br />
I<br />
*<br />
<br />
g<br />
hkl<br />
hkl<br />
<br />
<br />
<br />
3-23<br />
3-24<br />
3-25<br />
รูปที่ 3-10 การเปลี่ยนแปลงเวคเตอร์คลื่นในการเลี้ยวเบน<br />
17
315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง<br />
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์<br />
3.12 ทรงกลมเอวาลด์<br />
เงื่อนไขการเกิดการเลี้ยวเบนสามารถแสดงได้ด้วยทรงกลมเอวาลด์ (Ewald Sphere) ซึ่งมี<br />
วิธีการดังนี้ (ดูรูปที่ 3-11 ประกอบ)<br />
1) สร้างเวคเตอร์<br />
S o<br />
ขนานกับรังสีตกกระทบ และให้จุดปลายของเวคเตอร์อยู่ที่จุดก าเนิด<br />
<br />
ของแลตทิซส่วนกลับซึ่งสร้างในสเกลเดียวกันกับ<br />
2) สร้างทรงกลมรัศมี S โดยมีจุดเริ่มต้นของ<br />
ทรงกลมเอวาลด์<br />
o<br />
<br />
S o<br />
<br />
S เป็นจุดศูนย์กลางทรงกลมที่ได้นี้ เรียกว่า<br />
3) การเลี้ยวเบนจากระนาบ (hkl) จะเกิดขึ้นถ้า จุด hkl ในแลตทิซส่วนกลับสัมผัสกับผิว<br />
ทรงกลมเอวาลด์<br />
4) ทิศของรังสีเลี้ยวเบนคือแนวที่ชี้จากจุดศูนย์กลางทรงกลมเอวาลด์ไปยังจุด hkl ใน<br />
แลตทิซ ส่วนกลับ<br />
รูปที่ 3-11 ทรงกลมเอวาลด์<br />
18
315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง<br />
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์<br />
3.13 ความเข้มรังสีเอ็กซ์เลี้ยวเบน<br />
ในการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์ กฏของแบรกก์จะท านายได้เฉพาะทิศทางหรือต าแหน่งของ Peak<br />
การเลี้ยวเบน (มุม 2 ) เท่านั้น แต่ไม่สามารถใช้บอกระดับความเข้ม (พื้นที่ใต้กราฟของ peak) ของ<br />
รังสีเอ็กซ์เลี้ยวเบนได้ ต่อไปนี้จะอธิบายให้เห็นว่า ปัจจัยส าคัญที่ก าหนดความเข้มของรังสีเอ็กซ์เลี้ยวเบน<br />
คือ ต าแหน่งและชนิดของอะตอมในเซลล์หน่วย<br />
เราจะกล่าวว่า เกิดการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์จากระนาบ (hkl)<br />
ของผลึกสารตัวอย่างในทิศที่ท ามุม<br />
2 hkl กับรังสีเอ็กซ์ตกกระทบ ถ้าเราวัดความเข้มของรังสีเอ็กซ์ในทิศนั้นได้ (ความเข้มมากกว่า 0) นั่น<br />
คือ รังสีเอ็กซ์ทั้งหมดที่กระเจิงจากสารตัวอย่างในทิศ 2 hkl จะต้องมารวมกันแบบเสริม หรืออย่างน้อย<br />
ต้องหักล้างกันแบบไม่สมบูรณ์ สภาพเช่นนี้จะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อ<br />
1) เงื่อนไขของแบรกก์เป็นจริงส าหรับระนาบ (hkl)<br />
ท าให้รังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงจาก<br />
อะตอมบนระนาบ (hkl)<br />
มารวมกันแบบเสริมกัน และ<br />
2) รังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงในทิศ 2 hkl จากอะตอมอื่นๆที่ไม่อยู่บนระนาบ (hkl)<br />
ไม่ไป<br />
หักล้างรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงจากระนาบ (hkl)<br />
โดยสมบูรณ์<br />
เนื่องจากอะตอมในผลึกเรียงกันอย่างเป็นระเบียบ โดยมีเซลล์หน่วยซ้ าๆกันเป็นจ านวน<br />
อนันต์ การวิเคราะห์การเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์จากเซลล์หน่วยของผลึก จึงสามารถน าไปใช้อธิบายการ<br />
เลี้ยวเบนจากผลึกทั้งก้อนได้ กล่าวคือ ความเข้มของรังสีเอ็กซ์เลี้ยวเบนจากผลึกสารตัวอย่าง จะเป็น<br />
ผลรวมของความเข้มรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงจากแต่ละเซลล์หน่วยของผลึก ดังนั้น การวิเคราะห์พฤติกรรม<br />
การการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์จากโครงสร้างผลึกใดๆ สามารถพิจารณาโดยใช้เซลล์หน่วยก็เพียงพอ<br />
รังสีเอ็กซ์เลี้ยวเบนในทิศที่เราสนใจเป็นผลรวมของคลื่นรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงจากแต่ละอะตอม<br />
ในผลึก ซึ่งรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงจากแต่ละอะตอม จะเป็นผลรวมของคลื่นรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงจากแต่ละ<br />
อิเล็กตรอนในอะตอมนั้น ดังนั้น การที่จะวิเคราะห์ความเข้มของรังสีเอ็กซ์เลี้ยวเบนจากผลึก เริ่มต้น<br />
เราจะต้องรู้ว่าอิเล็กตรอนกระเจิงรังสีเอ็กซ์อย่างไร จากนั้นก็ต้องพิจารณาว่าอะตอมกระเจิงรังสีเอ็กซ์<br />
อย่างไร และสุดท้ายเมื่อหาผลรวมคลื่นรังสีเอ็กซ์จากทุกๆอะตอมในผลึกได้ก็สามารถท านายความเข้ม<br />
ของรังสีเอ็กซ์เลี้ยวเบนจากผลึกทั้งก้อนได้<br />
3.13.1 การกระเจิงรังสีเอ็กซ์โดยอิเล็กตรอน<br />
เมื่อรังสีเอ็กซ์ตกกระทบอิเล็กตรอน องค์ประกอบสนามไฟฟ้าของรังสีเอ็กซ์ท าให้อิเล็กตรอน<br />
เคลื่อนที่แบบสั่น (oscillate) ลักษณะการเคลื่อนที่เช่นนี้ท าให้อิเล็กตรอนถูกเร่งและหน่วงสลับกันไป<br />
ตลอดเวลา อิเล็กตรอนจึงแผ่คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าออกมา เรียกว่า รังสีเอ็กซ์กระเจิง ซึ่งจะมีความถี่<br />
เดียวกันกับรังสีเอ็กซ์ตกกระทบ โดยที่ความเข้มของรังสีเอ็กซ์กระเจิงจากอิเล็กตรอนซึ่งมีประจุ e<br />
มวล m<br />
e<br />
ที่ระยะ r จากอิเล็กตรอน จะมีค่าตามสมการ [Cullity (1967) หน้า 105]<br />
19
315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง<br />
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์<br />
เมื่อ I<br />
o<br />
เป็นความเข้มรังสีเอ็กซ์ตกกระทบ c เป็นความเร็วแสงในสุญญากาศ และ เป็นมุมระหว่าง<br />
รังสีเอ็กซ์กระเจิงกับทิศของความเร่งของอิเล็กตรอน<br />
พิจารณารังสีเอ็กซ์ที่ไม่โพลาไรซ์ ตกกระทบอิเล็กตรอนซึ่งอยู่ที่จุด O ของพิกัด x y z โดย<br />
รังสีเอ็กซ์ตกกระทบอยู่ในทิศ x ดังรูปที่ 3-12<br />
J.J. Thomson ได้แสดงให้เห็นว่า ความเข้มรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงจากอิเล็กตรอนในทิศ 2<br />
จาก<br />
แนวรังสีเอ็กซ์ตกกระทบ ไปยังจุด P ซึ่งอยู่บนระนาบ xz และห่างจาก O เป็นระยะทาง r มีค่าตาม<br />
สมการ [Cullity (1967) หน้า 106]<br />
ซึ่งเป็นสมการ Thomson ส าหรับการกระเจิงรังสีเอ็กซ์โดยอิเล็กตรอน 1 ตัว พิจารณาสมการนี้จะเห็น<br />
ว่าประกอบด้วยเทอมค่าคงที่และเทอมซึ่งขึ้นกับมุม คือ<br />
ผลต่อความเข้มสัมพัทธ์ ส่วนเทอม<br />
I<br />
I I<br />
P<br />
I<br />
1<br />
cos<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
cos<br />
2<br />
2<br />
2<br />
3-26<br />
3-27<br />
ส าหรับเทอมค่าคงที่จะไม่มี<br />
จะขึ้นกับมุมแบรกก์ เรียกว่า Polarization factor<br />
ซึ่งเป็นปัจจัยหนึ่งที่จะมีผลต่อความเข้มรังสีเอ็กซ์เลี้ยวเบนที่วัดได้ในทิศต่างๆกัน<br />
o<br />
o<br />
r<br />
r<br />
2<br />
2<br />
e<br />
m<br />
e<br />
m<br />
4<br />
2<br />
4<br />
c<br />
2<br />
e<br />
c<br />
4<br />
4<br />
sin<br />
2<br />
<br />
2<br />
1<br />
cos<br />
(<br />
2<br />
2<br />
)<br />
รูปที่ 3-12 การกระเจิงรังสีเอ็กซ์โดย<br />
อิเล็กตรอน 1 ตัว ซึ่งอยู่ที่ O<br />
[Cullity (1967) หน้า 107]<br />
3.13.2 การกระเจิงรังสีเอ็กซ์โดยอะตอม<br />
เมื่อรังสีเอ็กซ์ตกกระทบอะตอม อิเล็กตรอนในอะตอมแต่ละตัวจะท าหน้าที่กระเจิงรังสีเอ็กซ์<br />
ตามสมการ Thomson และเฉพาะอิเล็กตรอนเท่านั้นที่จะกระเจิงรังสีเอ็กซ์ ส่วนประจุในนิวเคลียสนั้น<br />
หนักเกินไปที่จะได้รับผลกระทบจากรังสีเอ็กซ์<br />
ความเข้มรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงออกจากอะตอมไปตามทิศใดๆที่เราสนใจ จะเป็นผลรวมเชิงคลื่น<br />
ของรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงจากแต่ละอิเล็กตรอนในอะตอม ส าหรับมุมการกระเจิง 2 0 (กระเจิงไป<br />
ข้างหน้า) รังสีเอ็กซ์กระเจิงจากทุกอิเล็กตรอนในอะตอมจะมีเฟสตรงกัน ท าให้เราได้ความเข้มรังสีเอ็กซ์<br />
20
315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง<br />
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์<br />
เลี้ยวเบนสูงที่สุดเนื่องจากการรวมกันแบบเสริม ส่วนที่มุมการกระเจิงในทิศอื่นๆซึ่ง 2<br />
0 รังสีเอ็กซ์<br />
ที่กระเจิงจากแต่ละอิเล็กตรอนส่วนมากมีความต่างเฟสกัน ท าให้รังสีเอ็กเหล่านี้รวมกันแบบหักล้าง ผล<br />
ก็คือเราจะสังเกตุเห็นความเข้มรวมของรังสีเอ็กซ์เลี้ยวเบนลดลง<br />
ประสิทธิภาพการกระเจิงรังสีเอ็กซ์จากอะตอมในทิศใดทิศหนึ่ง เรียกว่า “atomic<br />
scattering factor, f ” นิยามโดย [Cullity (1967) หน้า 109]<br />
เมื่อ I<br />
A<br />
, Ie<br />
เป็นแอมปลิจูดของรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงจากอะตอม และจากอิเล็กตรอน 1 ตัว ตามล าดับ<br />
จะเห็นได้ว่าส าหรับการกระเจิงในทิศไปข้างหน้า f จะเท่ากับเลขอะตอม Z<br />
จากการวิเคราะห์การกระเจิงรังสีเอ็กซ์จากประจุที่กระจายรอบๆอะตอม สามารถแสดงได้ว่า<br />
Atomic Scattering factor (f) หาได้ตามสมการ [Dekker (1958) หน้า 14-15)<br />
4 sin<br />
<br />
เมื่อ k และ (r)<br />
เป็นฟังชันการกระจายอิเล็กตรอนรอบอะตอม<br />
ระหว่าง f กับ<br />
จะเห็นได้ว่า f เป็นฟังก์ชันกับ<br />
<br />
<br />
0<br />
sin<br />
<br />
sin แสดงได้ดังรูปที่ 3-13<br />
f<br />
I<br />
f <br />
I<br />
A<br />
e<br />
2 sin kr<br />
4r<br />
(<br />
r)<br />
dr<br />
kr<br />
ซึ่งมีค่าลดลงเมื่อ เพิ่มขึ้น ลักษณะความสัมพันธ์<br />
3-28<br />
3-29<br />
รูปที่ 3-13 Atomic scattering factor f ของอะตอมทองแดง [Cullity (1967) หน้า 110]<br />
21
315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง<br />
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์<br />
3.13.3 การกระเจิงรังสีเอ็กซ์จากเซลล์หน่วยและแฟคเตอร์โครงสร้าง<br />
ดังที่กล่าวไว้ข้างต้นว่าผลึกประกอบด้วยเซลล์หน่วยเรียงต่อกันเป็นระเบียบในสามมิติ การ<br />
วิเคราะห์การกระเจิงรังสีเอ็กซ์จากเซลล์หน่วยจึงสามารถแทนพฤติกรรมการกระเจิงรังสีเอ็กซ์จากผลึก<br />
ทั้งก้อนได้ ซึ่งจะพิจารณาต่อไปนี้<br />
สมมุติรังสีเอ็กซ์ความยาวคลื่น ตกกระทบเซลล์หน่วยในทิศที่ท ามุมแบรกก์ hkl กับระนาบ<br />
(hkl)<br />
อันหนึ่ง จะได้ว่า 2 d hkl sin hkl เนื่องจากสมการแบรกก์เป็นจริง ดังนั้น เราคาดว่าจะ<br />
เกิดการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์ในแนวท ามุม 2 hkl กับแนวรังสีตกกระทบเสมอ อย่างไรก็ตามต้องวิเคราะห์<br />
ก่อนว่าความเข้มรวมของรังสีเอ็กซ์เลี้ยวเบนในทิศนี้เป็นเท่าไร<br />
ถ้าความเข้ม = 0 ไม่เกิดการเลี้ยวเบน<br />
ถ้าความเข้ม > 0 เกิดการเลี้ยวเบน<br />
ความเข้มของรังสีเอ็กซ์เลี้ยวเบนจะขึ้นกับแอมปลิจูดของคลื่นรวมของรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงจาก<br />
แต่ละอะตอมในเซลล์หน่วย พิจารณาคลื่นรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงจากอะตอม n ซึ่งอยู่ที่ต าแหน่ง<br />
<br />
r<br />
n<br />
<br />
u a v b w c<br />
ในเซลล์หน่วย สามารถเขียนได้ในรูป [Dekker (1958) หน้า 17-18]<br />
n<br />
n<br />
n<br />
f ( ,<br />
)<br />
e<br />
n<br />
n<br />
i<br />
n<br />
3-30<br />
เมื่อ f<br />
n( ,<br />
)<br />
เป็น atomic scattering factor ของอะตอม n ที่มุมเลี้ยวเบนเท่ากับ 2 และความยาว<br />
คลื่นรังสีเอ็กซ์ และ <br />
n<br />
เป็นเฟสของคลื่นรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงเทียบกับรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงจากอะตอม<br />
ที่จุดก าเนิด (อะตอมหนึ่งบนระนาบ (hkl)<br />
ที่ผ่านจุดก าเนิด)<br />
เราสามารถแสดงหาได้ว่าความต่างเฟสระหว่างรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงจากอะตอมที่จุดก าเนิดกับ<br />
รังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงจากอะตอมที่ต าแหน่ง r n (ดูสมการ 3-17) คือ<br />
<br />
<br />
S So <br />
<br />
<br />
S S<br />
<br />
<br />
r u<br />
o<br />
n 2<br />
( )<br />
* * *<br />
แทนค่า ha kb lc และ<br />
n<br />
n<br />
<br />
r<br />
n<br />
<br />
a v b w c<br />
จะได้<br />
n<br />
n<br />
2<br />
( hu kv lwn)<br />
ดังนั้น สมการคลื่นรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงจากอะตอม n จะอยู่ในรูป<br />
n<br />
n<br />
n<br />
<br />
n<br />
f<br />
n<br />
2i(<br />
hu kv<br />
lw<br />
)<br />
n n n<br />
( ,<br />
)<br />
e<br />
3-31<br />
22
315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง<br />
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์<br />
คลื่นรวมของรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงจากอะตอมทั้งหมดในเซลล์หน่วยในทิศ 2 hkl จากแนวรังสี<br />
ตกกระทบ เรียกว่า แฟคเตอร์โครงสร้าง (Structure factor, F) ของระนาบ (hkl)<br />
เขียนได้ในรูป<br />
[Cullity (1967) หน้า 117]<br />
N<br />
F f ( ,<br />
)<br />
e<br />
n<br />
n1<br />
2i(<br />
hu kv<br />
lw<br />
)<br />
n<br />
n<br />
n<br />
3-32<br />
เมื่อ N เป็นจ านวนอะตอมทั้งหมดในเซลล์หน่วย<br />
โดยสมบัติของคลื่น ท าให้เราทราบว่า ความเข้มของรังสีเอ็กซ์รวม (I) ที่กระเจิงออกในทิศ<br />
ท ามุม 2 กับแนวรังสีตกกระทบ จะแปรผันตรงกับขนาดของแอมปลิจูดคลื่นรวมยกก าลังสองคือ<br />
hkl<br />
I <br />
F<br />
2<br />
ดังนั้น ส าหรับระนาบ (hkl)<br />
ใดๆที่ก าลังพิจารณา ถ้าแฟคเตอร์โครงสร้างมีแอมปลิจูดเป็น 0 แล้ว ความ<br />
เข้มรังสีเอ็กซ์รวมจะเป็น 0 ด้วย นั่นคือ จะไม่พบรังสีเอ็กซ์เลี้ยวเบนจากระนาบ (hkl)<br />
นั้น แม้ว่ามุมตก<br />
กระทบจะตรงตามเงื่อนไขของแบรกก์ก็ตาม<br />
การค านวนแฟคเตอร์โครงสร้าง จะน าไปสู่กฎการคัดเลือก (Selection rule) ส าหรับท านาย<br />
การเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์จากเซลล์หน่วยของโครงสร้างผลึกชนิดต่างๆได้<br />
3.14 ตัวอย่างการค านวนแฟคเตอร์โครงสร้างและ Selection rule<br />
3.14.1 โครงสร้างผลึก Simple cubic<br />
เซลล์หน่วยของโครงสร้างผลึก Simple cubic ประกอบด้วยอะตอมชนิดเดียวที่ต าแหน่ง<br />
000 จะมีแฟคเตอร์โครงสร้างเป็น<br />
F <br />
fe<br />
2i<br />
(0)<br />
<br />
f<br />
3-33<br />
2 2<br />
ท าให้ได้ว่า F f นั่นคือ แอมปลิจูดของคลื่นรวมไม่ขึ้นกับดัชนีระนาบ h , k,<br />
l แสดงว่า ระนาบทุก<br />
ระนาบในโครงสร้างผลึก Simple Cubic สามารถให้การเลี้ยวเบนได้<br />
23
315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง<br />
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์<br />
1 1 1<br />
2 2 2<br />
3.14.2 โครงสร้างผลึก Body center cubic (bcc)<br />
เซลล์หน่วยแบบ bcc ประกอบด้วยอะตอมชนิดเดียวกัน 2 อะตอม ที่ต าแหน่ง 000 และ<br />
สามารถเขียนแฟคเตอร์โครงสร้างได้เป็น<br />
F <br />
fe<br />
h h k<br />
2i(<br />
)<br />
2i(0)<br />
2 2 2<br />
i(<br />
hkl)<br />
<br />
fe<br />
f (1 e<br />
)<br />
3-34<br />
จากสมการ 3-34 สามารถวิเคราะห์ได้ว่า<br />
<br />
2 2<br />
หรือ F 4 f ถ้า h k l เป็นเลขคู่<br />
F หรือ F 2 0 ถ้า h k l เป็นเลขคี่<br />
F 2 f<br />
0<br />
ดังนั้น ส าหรับระนาบ (hkl)<br />
ที่ให้ค่าผลรวมของตัวเลขดัชนีมิลเลอร์ h k l เป็นเลขคู่<br />
จะเป็นระนาบที่ท าให้เกิดการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์ได้ ระนาบเหล่านี้ ได้แก่ ( 110)<br />
( 200)<br />
( 211)<br />
เป็น<br />
ต้น<br />
ในทางตรงกันข้ามระนาบ (hkl)<br />
ที่ให้ค่าผลรวมของตัวเลขดัชนีมิลเลอร์ h k l เป็นเลขคี่<br />
ก็จะไม่เกิดการเลี้ยวเบน ได้แก่ ระนาบ ( 111)<br />
( 210)<br />
เป็นต้น<br />
,<br />
1<br />
0<br />
2<br />
1<br />
2<br />
3.14.3 โครงสร้างผลึก Face center cubic (fcc)<br />
1 1<br />
2 2<br />
เซลล์หน่วยแบบ fcc ประกอบด้วยอะตอมชนิดเดียวกัน 4 อะตอม ที่ต าแหน่ง 000 , 0<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
, และ 0 สมการแฟคเตอร์โครงสร้าง คือ<br />
F <br />
ซึ่งสามารถจัดให้อยู่ได้ในรูป<br />
f<br />
h k h l<br />
k l<br />
2i(<br />
) 2i(<br />
) 2i(<br />
)<br />
2i(<br />
0)<br />
2 2 2 2 2 2<br />
( e e e e<br />
F f (1 e<br />
( hk)<br />
i<br />
( hl)<br />
i<br />
( kl)<br />
i<br />
e<br />
e<br />
)<br />
3-35<br />
พิจารณาสมการ 3-35 ข้างต้นจะเห็นว่า ถ้า h , k,<br />
l เป็นเลขคู่ หรือเลขคี่ล้วน ผลบวก ( k)<br />
( h l) และ k l จะเป็นเลขคู่ ท าให้ผลรวมของเทอมในวงเล็บ ( ) เท่ากับ 4 นั่นคือ<br />
2 2<br />
F 4 f หรือ 16 f<br />
F เมื่อ h , k,<br />
l ไม่เป็นตัวเลขผสม<br />
h ,<br />
ในกรณีที่ h , k,<br />
l เป็นตัวเลขผสมระหว่างเลขคู่ เลขคี่ ผลรวมของเทอม exponential จะเป็น -<br />
1 เสมอ ไม่ว่า h , k,<br />
l จะเป็นเลขคู่ 1 ตัว เลขคี่ 2 ตัว หรือ เลขคู่ 2 ตัว เลขคี่ 1 ตัว ท าให้ผลรวมของ<br />
เทอมในวงเล็บ ( ) เท่ากับ 0 นั่นคือ<br />
24
315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง<br />
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์<br />
F 0 หรือ F 2 0 เมื่อ h , k,<br />
l เป็นเลขผสม<br />
แสดงว่าส าหรับเซลล์หน่วยแบบ fcc การเลี้ยวเบนจะเกิดขึ้นจากระนาบ ที่มีดัชนีเป็นเลขคู่<br />
หรือ เลขคี่ล้วน เช่น (111)<br />
, (200)<br />
, (220)<br />
, และ (311)<br />
แต่จะไม่พบการเลี้ยวเบนจากระนาบซึ่งมี<br />
ดัชนีเป็นเลขผสม เช่น (100)<br />
, (211)<br />
, และ (320)<br />
เป็นต้น<br />
3.14.4 โครงสร้างผลึกแบบเพชร<br />
เซลล์หน่วยของโครงสร้างผลึกแบบเพชรประกอบด้วยอะตอมของคาร์บอน 8 อะตอม ที่<br />
ต าแหน่งต่างๆ ดังนี้<br />
1 1 1<br />
,<br />
2 2 2<br />
3 3 1<br />
,<br />
4 4 4<br />
o ที่ 000 , 0<br />
o ที่<br />
1 1 1<br />
,<br />
4 4 4<br />
1<br />
0<br />
2<br />
3 1 3<br />
4 4 4<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
13<br />
44<br />
, และ 0 ต าแหน่งละ 1 อะตอม<br />
, และ<br />
3<br />
4<br />
ต าแหน่งละ 1 อะตอม<br />
สามารถหาได้ว่าแฟคเตอร์โครงสร้างของโครงสร้างผลึกแบบเพชร อยู่ในรูป<br />
F F fcc [1 e<br />
i(<br />
hkl) / 2<br />
]<br />
3-36<br />
เมื่อ Ffcc<br />
เป็นแฟคเตอร์โครงสร้างส าหรับโครงสร้างผลึก fcc ซึ่งจากการวิเคราะห์ข้างต้นเราทราบแล้ว<br />
ว่า<br />
2 2<br />
F fcc 16 f เมื่อ h , k,<br />
l ไม่เป็นตัวเลขผสม<br />
2<br />
F 0 เมื่อ h , k,<br />
l เป็นเลขผสม<br />
h k l<br />
2<br />
h k l<br />
2<br />
fcc<br />
i(<br />
hkl) / 2<br />
พิจารณาเทอม 1 e<br />
i(<br />
hkl) / 2<br />
ในสมการ 3-36 จะเห็นว่า 1<br />
e 0<br />
เป็นเลขคี่ แสดงว่า ส าหรับระนาบ (hkl)<br />
ที่ h , k,<br />
l เป็นเลขคู่ หรือเลขคี่ล้วน และท าให้<br />
เป็นเลขคี่ จะไม่เกิดการเลี้ยวเบน เนื่องจากมีแฟคเตอร์โครงสร้างเป็น 0 ดังนั้น ส าหรับ<br />
โครงสร้างผลึกแบบเพชรแล้ว นอกจากระนาบ (hkl)<br />
ที่มี h , k,<br />
l เป็นเลขผสมแล้ว ยังมีระนาบ (hkl)<br />
ซึ่ง h , k,<br />
l เป็นเลขคู่ หรือเลขคี่ล้วน และท าให้<br />
h k l<br />
2<br />
ถ้า<br />
เป็นเลขคี่ ที่จะไม่ให้การเลี้ยวเบน ตัวอย่าง<br />
เช่น ระนาบ ( 200)<br />
( 222)<br />
( 420)<br />
เป็นต้น (ให้สังเกตุว่าระนาบดังกล่าวนี้จะให้การเลี้ยวเบน<br />
ส าหรับโครงสร้างผลึกแบบ fcc)<br />
สรุปได้ว่า ระนาบที่จะให้การเลี้ยวเบนจากโครงสร้างผลึกแบบเพชร คือ ระนาบ )<br />
h k,<br />
l<br />
, เป็นเลขคู่ หรือเลขคี่ล้วน และ<br />
( 220) 311)<br />
( เป็นต้น<br />
h k l<br />
2<br />
(hkl ซึ่ง<br />
ไม่เป็นเลขคี่ ระนาบเหล่านี้ ได้แก่ ระนาบ ( 111)<br />
25
315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง<br />
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์<br />
3.14.5 กฎการคัดเลือก (Selection rule) ส าหรับการเลี้ยวเบน<br />
จากการค ำนวนและวิเคราะห์แฟคเตอร์โครงสร้าง จะได้กฎการคัดเลือกของการเลี้ยวเบน<br />
รังสีเอ็กซ์จากโครงสร้างผลึกต่างๆ ดังตารางตาราง 3-1 ซึ่งจะเห็นว่าพารามิเตอร์ส าคัญที่ก าหนดค่าของ<br />
แฟคเตอร์โครงสร้างคือ เลขดัชนีระนาบ h , k,<br />
l และ atomic scattering factor ( f ) ของอะตอมใน<br />
โครงสร้างผลึก ในปัจจุบันสามารถหา f ได้จากฐานข้อมูลมาตรฐานที่มีผู้ค านวนไว้แล้ว เช่น Cullity<br />
(1967) หน้า 474-476<br />
ตาราง 3-1 ตัวอย่างกฎการคัดเลือกส าหรับการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์ [Williams, and Carter (1996)<br />
หน้า 249]<br />
ชนิดโครงสร้างผลึก ระนาบที่ให้การเลี้ยวเบน<br />
Primitive:<br />
- simple cubic,<br />
- simple orthorhombic<br />
Body centered cubic<br />
Faced centered cubic<br />
Diamond<br />
Hexagonal close-packed<br />
ทุก<br />
แฟคเตอร์<br />
โครงสร้าง<br />
F<br />
h , k,<br />
l<br />
f<br />
( h k l)<br />
2n<br />
2 f<br />
h , k,<br />
l เป็นเลขคู่ทั้งหมด หรือเลขคี่<br />
ทั้งหมด<br />
เหมือนกับ fcc<br />
ยกเว้นกรณีที่ h , k,<br />
l เป็นเลขคู่ทั้งหมด<br />
และ ( h k l) / 2 เป็นเลขคี่ จะไม่เกิด<br />
การเลี้ยวเบน<br />
h 2k 3n , และ l เป็นเลขคี่*<br />
*<br />
h 2k 3n , และ l เป็นเลขคู่<br />
*<br />
h 2k 3n 1, และ l เป็นเลขคี่<br />
4 f<br />
4 f<br />
ตัวอย่างระนาบที่<br />
ให้การเลี้ยวเบน<br />
(100), (110),<br />
(111), (200),<br />
etc.<br />
(110), (200),<br />
(211), (220),<br />
etc.<br />
(111), (200),<br />
(220), (311),<br />
etc.<br />
(111),<br />
(220),(311),<br />
(400), etc..<br />
0 (001)<br />
2 f<br />
(002)<br />
3 f (011)<br />
h 2k 3n 1, และ l เป็นเลขคู่*<br />
f (010)<br />
*<br />
n 0,1,2,3,...<br />
3.15 สรุป<br />
ประเด็นหลักของบทนี้<br />
กฎของแบรกก์ใช้ท านายมุมหรือต าแหน่งของพีคการเลี้ยวเบนจากระนาบที่สนใจ<br />
แฟคเตอร์โครงสร้างใช้ในการท านายว่าระนาบใดที่จะให้การเลี้ยวเบนได้<br />
26
315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง<br />
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์<br />
ค าถามและแบบฝึกหัด<br />
3.1 ปรากฎการณ์การเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์โดยผลึกของแข็งเกิดขึ้นได้อย่างไร มีประโยชน์อย่างไร จง<br />
อธิบาย<br />
3.2 สมมุติยิงล ารังสีเอ็กซ์ขนาน ความยาวคลื่น ตกกระทบท ามุม กับระนาบ (hkl)<br />
ของอะตอม<br />
ในผลึกของแข็งใดๆ จงพิสูจน์ให้เห็นว่าเงื่อนไขของการเกิดการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์ เป็นไปตามกฎของ<br />
แบรกก์ (Bragg Law) คือ 2d hkl sin เมื่อ d hkl เป็นระยะระหว่างระนาบของชุดระนาบ (hkl)<br />
3.3 ค าถามความเข้าใจ:<br />
ถ้ารังสีเอ็กซ์ตกกระทบระนาบด้วยมุมตกกระทบ ท าไมจึงพบการเลี้ยวเบนเฉพาะที่<br />
มุม 2 <br />
ถ้าเริ่มต้นพบว่าเกิดการเลี้ยวเบนเมื่อมุมตกกระทบเป็น จากนั้นท าการเปลี่ยนมุม<br />
ตกกระทบไปเรื่อยๆ เราจะพบการเลี้ยวเบนอีกหรือไม่<br />
สมมุติมีระนาบสองชุดคือ (hkl)<br />
กับระนาบ (mno)<br />
วางท ามุมกัน <br />
0<br />
ยิงรังสีเอ็กซ์ ตก<br />
กระทบระนาบ (hkl)<br />
ด้วยมุม 1<br />
โดย 1<br />
เป็นมุมแบรกก์ส าหรับการเลี้ยวเบนล าดับที่<br />
1 ของระนาบ (hkl)<br />
เรามีโอกาสพบการเลี้ยวเบนที่มุมเลี้ยวเบน 2<br />
1<br />
ได้หรือไม่<br />
3.4 จากการวิเคราะห์ความต่างเฟสของรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงจากอะตอมซึ่งอยู่ ณ จุดก าเนิด O และ<br />
อะตอมที่อยู่ห่างออกไป ณ ต าแหน่ง A ซึ่งมีพิกัด pqr เทียบกับจุดก าเนิด (โดย p, q, r เป็นจ านวนเต็ม)<br />
พบว่า เงื่อนไขของการเกิดการเลี้ยวเบนจะถูกก าหนดด้วยสมการ<br />
<br />
s s<br />
<br />
o<br />
<br />
G<br />
hkl<br />
<br />
ha<br />
*<br />
<br />
kb<br />
*<br />
<br />
lc<br />
เมื่อ s o และ s เป็นเวคเตอร์หน่วยในทิศของรังสีเอ็กซ์ตกกระทบและรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงตามล าดับและ<br />
<br />
* * *<br />
G ha kb lc เป็นเวคเตอร์ในแลตทิซส่วนกลับ โดยที่ h , k,<br />
l เป็นจ านวนเต็ม<br />
จากสมการนี้<br />
ก) จงอธิบายถึงความหมายทางฟิสิกส์ของเงื่อนไขการเกิดการเลี้ยวเบนที่ได้<br />
ข) จงพิสูจน์สมการเลาอีและกฎของแบรกก์<br />
ค) จงแสดงเงื่อนไขการเลี้ยวเบนโดยใช้ทรงกลมเอวาลด์<br />
*<br />
27
315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง<br />
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์<br />
3.5 เหล็ก (Fe) มีโครงสร้างผลึกแบบ bcc มีค่าคงที่ของผลึกเท่ากับ 2.86 A จงค านวนต าแหน่ง<br />
ของพีคการเลี้ยวเบนที่เป็นไปได้ 5 พีคแรกตาม Selection rule<br />
3.6 ผลึก CsCl มีโครงสร้างผลึกเป็น Simple cubic ซึ่งมีอะตอม Cs และ Cl อย่างละ 1 อะตอม<br />
ต่อเซลล์หน่วย โดยอะตอม Cs อยู่ที่ต าแหน่ง 000 และอะตอม Cl อยู่ที่ต าแหน่ง<br />
1 1<br />
2 2 2<br />
1<br />
จงค านวน<br />
แฟคเตอร์โครงสร้าง (Structure Factor) ของเซลล์หน่วย CsCl และวิเคราะห์ Selection rule<br />
ส าหรับการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์จากผลึก CsCl นี้<br />
3.7 จงแสดงให้เห็นว่าแฟคเตอร์โครงสร้างของโครงสร้างผลึกแบบเพชร เป็นดังสมการ 3-36<br />
3.8 ผลึก NaCl มีโครงสร้างผลึกเป็นแบบ fcc โดยมีอะตอม Na 4 อะตอม และ อะตอม Cl 4<br />
อะตอมต่อเซลล์หน่วย<br />
ก) จงแสดงว่า แฟคเตอร์โครงสร้าง (Structure factor) ของผลึก NaCl สามารถท าให้อยู่ในรูป<br />
อย่างง่ายได้ตามสมการ<br />
F [1 e<br />
i( hk)<br />
i(<br />
hl)<br />
i(<br />
kl)<br />
i(<br />
hkl)<br />
e e ][ f Na fcl<br />
e<br />
เมื่อ f Na และ f Cl เป็น Atomic scattering factor ของอะตอม Na และ Cl ตามล าดับ<br />
ข) จงวิเคราะห์เพื่อหา Selection rule ส าหรับระนาบ (hkl) ที่จะเราจะไม่พบการเลี้ยวเบน และ<br />
ระนาบ (hkl) ที่จะให้การเลี้ยวเบนจากผลึก NaCl<br />
ค) ถ้าผลึก KCl มีโครงสร้างผลึกเป็นแบบ NaCl ท่านคิดว่าการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์จากผลึก<br />
KCl จะเหมือนหรือแตกต่างกันอย่างไร เมื่อเทียบกับการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์จากผลึก NaCl<br />
ให้อธิบายพร้อมยกตัวอย่างเปรียบเทียบต าแหน่งและความเข้มของพีคการเลี้ยวเบนพีคใดพีค<br />
หนึ่งที่เป็นไปได้ตาม Selection rul<br />
]<br />
28