Chapter 3 : XRD Theory - ภาควิชาฟิสิกส์

315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน
บทที่ 3 ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์
บทนี้จะน าเสนอทฤษฎีพื้นฐานของการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์โดยผลึก ประกอบด้วยหัวข้อส าคัญ
คือ ทฤษฎีการเลี้ยวเบนของเลาอี กฏของแบรกก์ และการค านวนแฟคเตอร์โครงสร้าง ซึ่งน าไปสู่กฏ
การคัดเลือกระนาบที่ให้การเลี้ยวเบน
3.1 ระยะระหว่างอะตอมในผลึกและความยาวคลื่นสีเอ็กซ์
3.1.1 ระยะระหว่างอะตอมในผลึก
โดยทั่วไปจะสมมุติอะตอมเป็นทรงกลม ซึ่งจะมีขนาดรัศมีระหว่าง 1-2 A เมื่ออะตอมมาจัด
กันอย่างเป็นระเบียบเพื่อเกิดเป็นโครงสร้างผลึก ระยะระหว่างอะตอมจะมีค่าในช่วง 2-4 A ขึ้นกับ
ลักษณะการจัดอะตอมในโครงสร้างผลึก ส าหรับค่าคงที่แลตทิซ หรือระยะห่างระหว่างระนาบใน
โครงสร้างผลึก โดยทั่วไปมีค่าในระดับขนาด 2-10 A
3.1.2 การก าเนิดและสมบัติของรังสีเอ็กซ์
3.1.2.1 ฟิสิกส์ของการเกิดรังสีเอ็กซ์
ถ้ายิงอิเล็กตรอนพลังงานสูงเข้าชนอะตอมซึ่งอยู่นิ่ง อาจท าให้เกิดปรากฏการณ์หลาย
อย่างรวมทั้ง 2 ปรากฏการณ์ต่อไปนี้
1) อิเล็กตรอนในอะตอมที่ระดับชั้นพลังงานลึกๆ (core electron) เช่น ชั้น K หรือ L ถูก
กระแทกให้หลุดจากอะตอม เกิดระดับพลังงานว่าง โดยธรรมชาติแล้วอิเล็กตรอนใน
ชั้นพลังงานที่สูงกว่าจะลดระดับพลังงานลงมายังระดับพลังงานที่ว่าง เกิดการ
ปลดปล่อยโฟตอนพลังงานในย่านรังสีเอ็กซ์ ซึ่งมีค่าเฉพาะส าหรับอะตอมนั้นๆ
เรียกว่า Characteristics X-ray รังสีเอ็กซ์เฉพาะที่เด่นๆของอะตอม และน ามาใช้ใน
การทดลองเลี้ยวเบน คือ K
และ K ซึ่งเกิดจากการย้ายระดับพลังงานจากชั้น L ไป
ยัง K และจากชั้น M ไปยัง K ตามล าดับ
2) อิเลคตรอนที่วิ่งเข้าชนถูกท าให้ช้าลงอย่างรวดเร็วเนื่องจากการผลักของสนามไฟฟ้า
ของอิเล็กตรอนในอะตอม โดยทฤษฎีคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า อิเล็กตรอนที่มีความหน่วงจะ
ปลดปล่อยคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าแบบพลังงานต่อเนื่อง ได้สเปคตรัมรังสีเอ็กซ์แบบ
ต่อเนื่อง เรียกว่า Bremsstrahlung x-rays
สเปคตรัมของรังสีเอ็กซ์ที่ได้จากอะตอมจะมีลักษณะดังตัวอย่างในรูปที่ 3-1
1

315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์
รูปที่ 3-1 สเปคตรัมรังสีเอ็กซ์จากอะตอมโมลิบดินัมที่พลังงานอิเล็กตรอนกระตุ้น 35 kV [Cullity
(1967) หน้า 8]
3.1.2.2 ความยาวคลื่นรังสีเอ็กซ์และอันตราย
พิจารณาสเปคตรัมของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าทั้งหมด ตามรูปที่ 3-2 จะเห็นได้ว่ารังสีเอ็กซ์เป็น
คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่มีความยาวคลื่นระหว่าง 0.01–10 A หรือมีพลังงานในย่านระหว่างรังสีอุลตรา
ไวโอเล็ตกับรังสีแกมมา จึงจัดได้ว่าเป็นรังสีอันตรายเนื่องจากมีพลังงานสูง ดังนั้นในการใช้งานรังสี
เอ็กซ์ควรเข้าใจและตระหนักอยู่เสมอถึงอันตรายที่อาจจะได้รับจากรังสี และรู้วิธีการป้องกัน
3.1.2.3 การผลิตรังสีเอ็กซ์
รังสีเอ็กซ์สามารถผลิตได้จากหลอดรังสีเอกซ์ (X-ray tube) มีหลักการ คือ ต้องท าให้อะตอม
จ านวนมากปล่อยรังสีเอ็กซ์ออกมาพร้อมๆกัน เพื่อที่จะได้รังสีเอ็กซ์ที่มีความเข้มสูงพอที่จะน าไปใช้งาน
ได้ โครงสร้างของหลอดรังสีเอ็กซ์แสดงดังรูปที่ 3-3 ประกอบด้วยหลอดแก้วผนึกติดกับฐานโลหะ
ทองแดง ภายในหลอดเป็นสุญญากาศ มีไส้ทังสเตน (Tungsten Filament) เป็นแหล่งก าเนิด
อิเล็กตรอน ซึ่งจะปล่อยอิเล็กตรอนเมื่อถูกเผาให้ร้อนด้วยไฟฟ้ากระแสสูง อิเล็กตรอนจ านวนมากที่
หลุดจากไส้ทังสเตนจะถูกเร่งด้วยความต่างศักย์สูงขนาด 30-50 kV ซึ่งป้อนระหว่าง ทังสเตนกับเป้า
(Target) โดยที่เป้าเป็นขั้วบวก เมื่อกระแสอิเล็กตรอนวิ่งเข้าชนเป้า จะเกิดการปลดปล่อยรังสีเอ็กซ์
เฉพาะจากอะตอมของเป้า พร้อมๆกับรังสีเอ็กซ์ Bremsstrahlung ที่เกิดเนื่องจากการที่อิเล็กตรอนมี
2

315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์
ความหน่วงขณะพุ่งชนเป้า รังสีเอ็กซ์ส่วนหนึ่งจะพุ่งออกทางหน้าต่างเบอริลเลียม (Beryllium
window) และจะถูกส่งต่อไปยังชุดกรองหรือแยกความยาวคลื่น (Filter) และอุปกรณ์จัดล ารังสี
(collimator) จนได้รังสีเอ็กซ์เฉพาะความยาวคลื่นเดียวที่จะน าไปใช้งานต่อไป ความยาวคลื่นรังสี
เอ็กซที่ได้ขึ้นกับชนิดของธาตุที่เป็นเป้า ส าหรับเป้าทองแดงจะให้ความยาวคลื่นรังสีเอ็กซ์เฉพาะ K
เฉลี่ยเท่ากับ 1.54178 A เนื่องจากพลังงานของอิเล็กตรอนส่วนใหญ่จะเปลี่ยนเป็นพลังงานความร้อน
ที่เป้า จึงต้องมีการระบายความร้อน
ออกจากเป้า ส่วนใหญ่เป็นวิธีใช้น้ า
ไหลเวียนในระบบปิดเพื่อดึงความ
ร้อนจากเป้าแล้วถ่ายเทออกไปผ่าน
ระบบท าความเย็น
รูปที่ 3-2 สมบัติของรังสีเอ็กซ์
[Cullity (1967) หน้า 2]
รูปที่ 3-3 โครงสร้างของหลอดรังสีเอ็กซ์ [Cullity (1967) หน้า 18]
3

315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์
3.2 สมมุติฐานและการทดลองของเลาอี
การเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์เป็นผลของอันตรกริยาระหว่างรังสีเอ็กซ์กับอะตอมในผลึก กุญแจ
ส าคัญของการเกิดการเลี้ยวเบน คือ ความยาวคลื่นของรังสีเอ็กซ์ต้องใกล้เคียงกับระยะระหว่างอะตอมใน
ผลึก จากข้อมูลที่กล่าวถึงข้างต้นพอจะสรุปได้ว่า
ความยาวคลื่นของรังสีเอ็กซ์ 1-2 A
ระยะระหว่างอะตอมในผลึก 2-5 A
ดังนั้นการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์โดยผลึกน่าจะเป็นไปได้ ซึ่ง von Laue นักฟิสิกส์ชาวเยอรมันได้ตั้ง
สมมุติฐานเมื่อปี 1912 ดังนี้ “ถ้าผลึกประกอบด้วยอะตอมที่เรียงกันอย่างเป็นระเบียบแล้ว อะตอม
เหล่านี้จะเป็นศูนย์กลางการกระเจิงของรังสีเอ็กซ์ และหากความยาวคลื่นรังสีเอ็กซ์มีค่าใกล้เคียงกับ
ระยะห่างระหว่างอะตอมในผลึกแล้ว ควรเกิดปรากฏการณ์เลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์โดยผลึก”
จากสมมุติฐานดังกล่าว เลาอีได้ทดลองยิงรังสีเอ็กซ์ความยาวคลื่นผสม (white x-ray) ให้ตก
กระทบแผ่นผลึกบางๆ ของ CuSO 4 ผลปรากฏว่าพบรังสีเอ็กซ์ทะลุผ่านด้านหลังผลึก (transmitted)
ในแนวซึ่งเบนออกจากแนวรังสีเอ็กซ์ตกกระทบ ดังรูปที่ 3-4 (ก) และเมื่อวางฟิล์มรับรังสีเอ็กซ์ทาง
ด้านหน้าของผลึกตัวอย่าง ก็จะพบร่องรอยรังสีเอ็กซ์ซึ่งพุ่งเข้าหาแผ่นฟิล์มในทิศย้อนหลังและเบนจาก
แนวรังสีเอ็กซ์ตกกระทบ ดังรูปที่ 3-4 (ข)
รูปที่ 3-4 การทดลองของเลาอี (ก) แบบทะลุผ่าน (ข) แบบย้อนกลับ [Cullity (1967) หน้า 90]
4

315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์
ผลการทดลองของเลาอีแสดงให้เห็นว่า
1) รังสีเอ็กซ์มีการเลี้ยวเบนเมื่อผ่านผลึก มุมการเลี้ยวเบนมีได้ระหว่าง 0 -180
2) ผลึกมีความเป็นระเบียบของการจัดเรียงอะตอม และ โฟตอน (รังสีเอ็กซ์ในที่นี้) มี
สมบัติความเป็นคลื่น
ค าถามชวนคิด:
o ท่านคิดว่าทิศทาง และความเข้มของรังสีเอ็กซ์ที่เลี้ยวเบนขึ้นกับตัวแปรอะไรบ้าง
3.3 การวิเคราะห์การเลี้ยวเบนของเลาอี
3.3.1 สมมุติฐานของเลาอี
เมื่อรังสีเอกซ์ความยาวคลื่นเดียวตกกระทบอะตอม สนามไฟฟ้าของรังสีเอ็กซ์จะท าให้
อิเล็กตรอนในอะตอมสั่นด้วยความถี่เท่ากับความถี่ของรังสีเอ็กซ์ อิเล็กตรอนจึงมีความเร่ง และปล่อย
คลื่นแม่เล็กไฟฟ้าที่มีความถี่เท่ากันกับรังสีเอ็กซ์ตกกระทบ ออกมาในทุกทิศทาง เรียกว่า รังสีเอ็กซ์
กระเจิง (Scattered X-ray) ในการวิเคราะห์การเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์เลาอีได้ตั้งสมมุติฐานเพื่ออธิบาย
ปรากฏการณ์นี้ ดังนี้
เมื่อมีรังสีเอ็กซ์ตกกระทบอะตอมในผลึก อิเล็กตรอนในแต่ละอะตอมจะปล่อย
รังสีเอ็กซ์กระเจิงออกมาในทุกทิศทาง
รังสีเอ็กซ์กระเจิงส่วนใหญ่จะมีเฟสต่างกัน และหักล้างกันไป
มีเฉพาะบางทิศทางเท่านั้นที่รังสีเอ็กซ์กระเจิง มีการรวมกันแบบเสริมกัน
แนวรังสีเอ็กซ์ตกกระทบ รังสีเลี้ยวเบน ไม่จ าเป็นต้องอยู่บนระนาบเดียวกัน
3.3.2 การเลี้ยวเบนจากผลึก 1 มิติ (1-dimensional crystal)
พิจารณารูปที่ 3-5 รังสีเอ็กซ์ตกกระทบผลึก 1 มิติ ซึ่งมีค่าคงที่ของผลึกเท่ากับ a ด้วยมุมตก
กระทบ 0 AB เป็นหน้าคลื่นตกกระทบ CD เป็นหน้าคลื่นเลียวเบนท ามุม กับแกนผลึก ในที่นี้
แนวรังสีเอ็กซ์ตกกระทบ รังสีเลี้ยวเบน และแนวแกนผลึก ไม่จ าเป็นต้องอยู่บนระนาบเดียวกัน คลื่นที่
กระเจิงจากอะตอมที่อยู่ติดกันจะมีการแทรกสอดแบบเสริมกัน และท าให้เราพบการเลี้ยวเบนได้ถ้า
Path _ difference
AC BD
p
3-1
เมื่อ p = 1, 2,3, ... จากรูปสามารถแสดงได้ว่า AC BD a cos
a cos0
ดังนั้นเขียนสมการ
3-1 ได้เป็น
a(cos
cos
) p
3-2
0
5

315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์
สมการ 3-2 เป็นเงื่อนไขของการเกิดการเลี้ยวเบนตามการวิเคราะห์ของเลาอี ซึ่งจะเห็นว่า
ถ้าก าหนด a , 0 , p , และ คงที่แล้ว ค่า ที่เป็นไปได้จะมีเพียงค่าเดียว นั่นคือ
การเลี้ยวเบนจะเกิดขึ้นในทิศเฉพาะเท่านั้น
เนื่องจากอะตอมกระเจิงรังสีเอ็กซ์ในทุกทิศทาง รังสีเอ็กซ์กระเจิงในแนวที่อยู่บนผิว
กรวยซึ่งมีมุมยอดเท่ากับ และมีแกน a เป็นแกนของกรวย ก็จะท าให้เงื่อนไขใน
สมการ 3-2 เป็นจริงได้เช่นกัน นั่นคือ รังสีเอ็กซ์เลี้ยวเบนจากอะตอม 1 มิติทั้งหมดจะ
ประกอบกันเป็นกรวยการเลี้ยวเบน
รูปที่ 3-5 การเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์โดยผลึก 1 มิติ [Dekker (1958) หน้า 12]
ก าหนดให้ S o เป็นเวคเตอร์หน่วยในทิศของรังสีเอ็กซ์ตกกระทบ
ทิศของรังสีเอ็กซ์เลี้ยวเบน และ a เป็นเวคเตอร์แลตทิซสามารถแสดงได้ว่า
a(cos cos0)
a ( S So)
ดังนั้นจึงเขียนเงื่อนไขการเลี้ยวเบนของเลาอีจากผลึก 1 มิติ ได้ในรูป
a ( S So ) p
S เป็นเวคเตอร์หน่วยใน
3-3
3.3.3 การเลี้ยวเบนจากผลึก 3 มิติ (3-dimensional crystal)
เมื่อขยายจากผลึก 1 มิติ เป็นผลึก 3 มิติ สามารถพิจารณาได้ว่ารังสีเอ็กซ์กระเจิงในทิศใดๆ จะ
ประกอบด้วย 3 ส่วน แต่ละส่วนได้จากการกระเจิงโดยอะตอมที่เรียงกันในแนวแกนผลึก a , b , c
ของเซลล์หน่วย ท าให้ได้เงื่อนไขของเลาอีที่ก าหนดการเลี้ยวเบนของรังสีเอ็กซ์จากผลึก 3 มิติ คือ
a(cos
cos0)
a ( S So)
p
b(cos cos 0)
b ( S So)
q
c(cos
cos
0)
c ( S So)
r
3-4
6

315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์
เมื่อ p, q, r เป็นจ านวนเต็ม
S o
, S เป็นเวคเตอร์หน่วยของทิศรังสีเอ็กซ์ตกกระทบและเลี้ยวเบนตามล าดับ
o, o,
o
เป็นมุมที่รังสีเอ็กซ์ตกกระทบ( S o
) กระท ากับ a , b , c ตามล าดับ
, ,
เป็นมุมที่รังสีเอ็กซ์เลี้ยวเบน ( S ) กระท ากับ a , b , c ตามล าดับ
วิเคราะห์สมการเลาอีจะเห็นว่า
การเลี้ยวเบนจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อ S o
และ S ต้องท าให้ชุดสมการ 3-4 เป็นจริงพร้อม
กัน นั่นคือ ส าหรับ S o
ที่ก าหนดให้ การเลี้ยวเบนจะเกิดขึ้นถ้ากรวยการเลี้ยวเบนบน
แกน a , b , c มาตัดกันแล้วได้เป็นเส้นตรงในทิศ S
ส าหรับ S o
ที่ก าหนดให้จะมีโอกาสน้อยที่สามารถหา S ที่ท าให้ชุดสมการ3-4 เป็น
จริงได้พร้อมกันได้ นั่นคือ ยิงรังสีเอ็กซ์ตกกระทบในทิศ S o
ส่วนใหญ่ไม่เกิดการ
เลี้ยวเบน แต่มี S o
, S เฉพาะบางทิศทางเท่านั้นที่จะท าให้เกิดการเลี้ยวเบนได้
3.4 กฏของแบรก์ (Bragg’s law)
ในปีเดียวกันที่ Laue ได้ท าการวัดการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์โดยผลึก W.L. Bragg ได้วิเคราะห์
การเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์ในเชิงเรขาคณิต และสามารถวิเคราะห์เงื่อนไขส าคัญของกระบวนการเลี้ยวเบน
รังสีเอ็กซ์จากผลึกได้ เรียกว่า กฏของแบรก์ และได้ศึกษาโครงสร้างผลึกด้วยเครื่อง X-ray
diffractometer สามารถวิเคราะห์ผลึก NaCl, KCl, KBr, และ KI พบว่า ทั้งหมดมีโครงสร้างผลึก
แบบ fcc
ในการวิเคราะห์การเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์ แบรกก์พิจารณาการเลี้ยวเบนของรังสีเอ็กซ์จาก
ระนาบของอะตอมที่ขนานกัน เหมือนกับกฏการสะท้อนแสง ดังนี้
ล ารังสีตกกระทบ ล ารังสีเลี้ยวเบน (สะท้อน) และเส้นปกติอยู่บนระนาบเดียวกัน
(ต่างจากการพิจารณาของเลาอี)
มุมที่ล ารังสีเลี้ยวเบน (สะท้อน) ท ากับระนาบของอะตอม จะเท่ากับมุมที่ล ารังสีตก
กระทบท ากับระนาบของอะตอม
นั่นคือ ภายใต้เงื่อนไขเฉพาะบางอย่าง จะมีรังสีเอ็กซ์เลี้ยวเบนในทิศทางที่ท ามุมกับระนาบ
เท่ากับมุมตกกระทบ
พิจารณาภาพภาคตัดขวางของผลึกขยายให้เห็นการเรียงกันของอะตอมบนชุดระนาบ (hkl)
ซึ่งมีระยะระหว่างระนาบเป็น d hkl ดังรูปที่ 3-6 ชุดระนาบ (hkl)
ประกอบด้วยระนาบจ านวนมาก
(ส าหรับผลึกที่มีขนาดใหญ่กว่า 1 m) แทนด้วย A, B, C, …. ซึ่งขนานกันและห่างกันเป็นระยะ d hkl
เท่ากัน สมมุติรังสีเอ็กซ์ขนานมีความยาวคลื่น ตกกระทบท ามุม กับชุดระนาบ (hkl)
นี้
7

315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์
โดยธรรมชาติรังสีเอ็กซ์จะสามารถทะลุทะลวงไปถึงอะตอมบนระนาบที่ลึกลงไปเป็นหลาย
ร้อยชั้นจากผิว หน้าของผลึก อะตอมเหล่านี้จะท าหน้าที่เป็นศูนย์กลางการกระเจิงรังสีเอ็กซ์ออกไปใน
ทุกทิศทาง
ในที่นี้เราต้องการทราบว่ารังสีเอ็กซ์ตกกระทบจะถูกเลี้ยวเบนโดยผลึกหรือไม่ (หรือกล่าวว่า
จะเกิดการเลี้ยวเบนหรือไม่) และถ้าเกิด จะเกิดภายใต้เงื่อนไขใด ส าหรับการเกิดการเลี้ยวเบนนั้น
หมายความว่า เราจะพบรังสีเอ็กซ์ซึ่งเลี้ยวเบนจากแนวรังสีตกกระทบ (โดยการตรวจวัดดัวยอุปกรณ์วัด
รังสีเอ็กซ์ เป็นต้น) ซึ่งล ารังสีเอ็กซ์เลี้ยวเบนนี้จะเป็นล ารังสีที่ประกอบด้วยรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงจาก
อะตอมจ านวนมากแล้วมารวมกันแบบเสริม
รูปที่ 3-6 การเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์โดยผลึก เมื่อมุมตกกระทบของรังสีเอ็กซ์เท่ากับ การเลี้ยวเบนจะเกิด
ที่มุมการเลี้ยวเบนเท่ากับ 2 ถ้าความยาวคลื่นรังสีเอ็กซ์และระยะระหว่างระนาบเข้ากับกฎ
ของแบรกก์ [หน้า Cullity (1967) หน้า 81]
จากรูปที่ 3-6 สามารถวิเคราะห์ได้ว่า
Path difference ของรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงจากอะตอมบนระนาบเดียวกันจะเท่ากับ 0
เช่น อะตอม H และ M ดังนั้นรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงจากอะตอมบนระนาบเดียวกันจะ
มีเฟสตรงกัน และสามารถรวมกันเแบบเสริม กลายเป็นส่วนหนึ่งของล ารังสีเอ็กซ์
เลี้ยวเบน
Path difference ของรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงจากอะตอมบนระนาบที่อยู่ติดกัน เช่น
'
รังสีกระเจิงจากอะตอม M บนระนาบ A (รังสี 1M 1 ) และจากอะตอม L บน
'
ระนาบ B (รังสี 2M 2 ) จะมีขนาดเท่ากับ
8

315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์
Path _ difference KL LJ
2d
hkl
sin
3-5
ซึ่งรังสีกระเจิงจากทั้งสองระนาบนี้จะมีเฟสตรงกัน จนเกิดการรวมกันแบบเสริม ก็
ต่อเมื่อ Path difference มีขนาดเป็นจ านวนเต็มเท่าของความยาวคลื่น นั่นคือ
จะได้ว่า
2
d hkl
sin n
3-6
เมื่อ n = 1, 2, 3,….
สมการ 3-6 คือ กฎของแบรกก์ ซึ่งแปลความหมายได้ว่า การเลี้ยวเบนจะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ
d hkl , , และ ท าให้สมการนี้เป็นจริง ส าหรับ n = 1, 2, 3…. มุม ที่เข้าเงื่อนไขการเลี้ยวเบน
เรียกว่า มุมแบรกก์ (Bragg angle) ค่า n เป็นล าดับการเลี้ยวเบน มุมแบรกก์ที่เล็กที่สุดส าหรับ d hkl
และ ที่ก าหนดให้ จะเป็นมุมที่ให้การเลี้ยวเบนล าดับที่ 1 ( n = 1)
สรุปปรากฏการณ์เลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์ของแบรกก์ได้ว่า เมื่อรังสีเอ็กซ์ขนาน ความยาวคลื่น
ตกกระทบระนาบ (hkl)
ด้วยมุมตกกระทบ เราจะพบรังสีเอ็กซ์เลี้ยวเบนที่มุม 2 (วัดความเข้มรังสี
เอ็กซ์ในทิศนี้ได้สูงมากเมื่อเทียบกับทิศทางอื่น) ก็ต่อเมื่อมุมตกกระทบ ความยาวคลื่น และ
ระยะห่างระหว่างระนาบ dhkl
เป็นไปตามเงื่อนไขในสมการของแบรกก์ โดย n = 1, 2, 3,…เป็นล าดับ
ที่ของการเลี้ยวเบน ถ้า d hkl และ มีค่าคงที่แล้ว การเลี้ยวเบนจะเกิดขึ้นเมื่อมุมตกกระทบเท่ากับ 1 ,
2 , 3 … ซึ่งสอดคล้องกับ n = 1, 2, 3,… ตามล าดับ กล่าวได้ว่า ถ้าก าหนดให้ dhkl
และ คงที่
แล้ว การเลี้ยวเบนจะเกิดขึ้นได้ที่มุมตกกระทบค่าเฉพาะเพียงบางค่าเท่านั้น
จากสมการแบรกก์แทนค่า sin 1 จะได้ว่า ความยาวคลื่นรังสีเอ็กซ์ยาวที่สุดที่ยังคงเกิด
n
2d
การเลี้ยวเบนได้ เป็นไปตามเงื่อนไข 1 หรือ
max 2d
3-7
ขอให้สังเกตุว่า แบรกก์พิจารณาเฉพาะรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงออกในทิศท ามุมกับระนาบการ
กระเจิงเท่ากับมุมตกกระทบเท่านั้น ซึ่งโดยธรรมชาติแล้วรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงโดยอะตอมแต่ละอะตอม
ในผลึก (จริงๆแล้วโดยอิเล็กตรอนในอะตอม) จะกระเจิงในทุกทิศทาง แต่เนื่องจากความป็นระเบียบ
ของผลึกท าให้มีเฉพาะบางทิศทางเท่านั้นที่จะพบการเลี้ยวเบน ซึ่งก็คือทิศทางที่เสนอโดยแบรกก์นั่นเอง
ดังจะเห็นในการวิเคราะห์ในหัวข้อต่อๆไป
9

315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์
3.5 เปรียบเทียบการเลี้ยวเบนกับการสะท้อน
แม้ว่าแบรกก์จะพิจารณาการเลี้ยวเบนของรังสีเอ็กซ์ตามกฎการสะท้อน จนท าให้มีการใช้ค าว่า
“การสะท้อน” หรือ “ระนาบการสะท้อน” ในการอธิบายการเลี้ยวเบนก็ตาม การเลี้ยวเบนและการ
สะท้อนเป็นปรากฏการณ์ทางฟิสิกส์ที่แตกต่างกัน ดังนี้ [Cullity (1967) หน้า 83]
การเลี้ยวเบนเป็น Volume interaction ส่วนการสะท้อนเป็น Surface interaction
การเลี้ยวเบนเกิดได้ที่มุมเฉพาะ (มุมแบรกก์) ส าหรับความยาวคลื่นค่าหนึ่ง ส่วนการ
สะท้อนเกิดขึ้นได้ทุกค่ามุมตกกระทบ และทุกความยาวคลื่น
ประสิทธิภาพการสะท้อนใกล้เคียง 100 % ส่วนการเลี้ยวเบนมีประสิทธิภาพต่ ามาก
(ระดับ < 1 %)
3.6 สมการแบรกก์เชิงปฏิบัติ
สมการแบรกก์ท านายการเกิดการเลี้ยวเบนของรังสีเอ็กซ์ความยาวคลื่น จากระนาบ (hkl)
ใดๆ เมื่อมุมตกกระทบเท่ากับมุมแบรกก์ 1 , 2 , 3 , … ส าหรับการเลี้ยวเบนล าดับที่ 1, 2, 3, …
ตามล าดับ อย่างไรก็ตาม เมื่อพิจารณาการเลี้ยวเบนล าดับที่ 2 ของระนาบ (hkl)
และการเลี้ยวเบน
ล าดับที่ 1 ของระนาบ ( 2h 2k2l)
ซึ่งระนาบ ( 2h 2k2l)
เป็นระนาบที่มีระยะระหว่างระนาบเท่ากับ
1
2
d hkl
เมื่อ d hkl เป็นระยะระหว่างระนาบของระนาบ (hkl)
ตาม
รูปที่ 3-7 จะเห็นว่ารังสีเลี้ยวเบนทั้ง สองจะซ้อนทับกันพอดี ซึ่งอธิบายได้ดังนี้
สมมุติ 2 เป็นมุมแบรกก์ส าหรับการเลี้ยวเบนล าดับที่ 2 จากระนาบ (hkl)
(ดูรูปที่ 3-7 (ก))
จากกฎของแบรกก์จะเขียนได้ว่า
ขณะเดียวกันมุมที่รังสีเอ็กซ์ตกกระทบกระท ากับชุดระนาบ ( 2h2k2l)
จะเท่ากับ 2 ด้วย (ดูรูปที่ 3-7
(ข)) โดย Path difference ของรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงชุดจากระนาบ ( 2h2k2l)
จะเป็น
แทนค่า
2d
sin 2 2
hkl
Path _ difference 2d
2d hkl sin 2 2
hkl
2h2k
2l
sin 2 2 sin
จากสมการ 3-8 ลงในสมการ 3-9 จะได้
d
2
2
3-8
3-9
Path _ difference
2
2d2h2k
2l
sin
3-10
ซึ่งเป็นสมการแบรกก์ส าหรับการเลี้ยวเบนล าดับที่ 1 จากระนาบ ( 2h 2k2l)
นั่นเอง ดังนั้น รังสีเอ็กซ์
เลี้ยวเบนล าดับที่ 2 จากระนาบ (hkl)
จะซ้อนทับกันกับรังสีเอ็กซ์เลี้ยวเบนล าดับที่ 1 จากระนาบ
( 2h
2k2l)
10

315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์
รูปที่ 3-7 (ก) การเลี้ยวเบนล าดับที่ 2 จากระนาบ (hkl)
ความแตกต่างระยะเดินทางของรังสี 11 และ
22 คือ path _ diff AB BC 2d hkl sin 2
(ข) การเลี้ยวเบนล าดับที่ 1 จากระนาบ
( 2h 2k2l)
ความแตกต่างทางเดินของรังสี 11 และ 33 คือ
path _ diff
DE EF 2
d hkl
sin
2
ท านองเดียวกัน สามารถแสดงได้ว่าการเลี้ยวเบนล าดับที่ n จากระนาบ (hkl)
ใดๆ จะ
ซ้อนทับกันกับการเลี้ยวเบนล าดับที่ 1 จาก ระนาบ (nh hk nl) ซึ่งเป็นระนาบที่มีระยะห่างระหว่าง
ระนาบเท่ากับ 1 ของระยะระหว่างระนาบ (hkl)
ระนาบ (nh hk nl) อาจเป็นระนาบที่มีอยู่จริง หรือ
n
เป็นระนาบสมมุติก็ได้ ดังนั้น ในทางปฏิบัติจึงพิจารณาการเลี้ยวเบนจากระนาบ (hkl)
ใดๆ เฉพาะการ
เลี้ยวเบนล าดับที่ 1 นั่นคือ กฏของแบรกก์จะอยู่ในรูป
2d
hkl sin
3-11
3.7 การค านวนมุมการเลี้ยวเบนจากค่าคงที่ผลึก
เราสามารถท านายมุมการเลี้ยวเบนที่เป็นไปได้ส าหรับระนาบ (hkl)
ใดๆ โดยใช้
ความสัมพันธ์ระหว่าง d-spacing กับดัชนีของของระนาบโดยใช้กฎของแบรกก์ ตัวอย่างเช่น
โครงสร้างผลึกแบบลูกบาศก์ จะมีความสัมพันธ์ระหว่าง d-spacing กับดัชนีมิลเลอร์ของระนาบ (hkl)
ตามสมการ
d hkl
a
2 2 2 1/ 2
( h k l )
11

315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์
จากกฎของแบรกก์ สมการการเลี้ยวเบนล าดับที่ 1 จากระนาบ (hkl)
คือ
2d
hkl
sin
2
2
4a
sin ( h
2a
2
2 2 2
จะได้ sin ( h k l )
2 2 2 1/ 2
หรือ k l )
ซึ่งเป็นสมการที่ใช้ท านายมุมการเลี้ยวเบนส าหรับระนาบ (hkl)
เมื่อรู้ค่าคงที่แลตทิซ a เช่น ส าหรับ
การเลี้ยวเบนจากระนาบ ( 110)
หาได้จาก
sin
3.8 ความสอดคล้องของสมการเลาอีกับกฏของแบรกก์
เป็นต้น
ความสอดคล้องกันระหว่างสมการเลาอีและกฎของแบรกก์ สามารถยกตัวอย่างให้เห็นโดยใช้
ผลึกลูกบาศก์ จากสมการเลาอี (สมการ 3-4 ) ให้ a b c ยกก าลังสองแล้วบวกกันจะหาได้ว่า
2a
2
(1 cos
cos0
cos cos 0
cos
cos
0 )
2
a
ถ้า เป็นมุมระหว่างรังสีเอ็กซ์ตกกระทบกับรังสีเอ็กซเลี้ยวเบน สามารถเขียนสมการ 3-12 ได้ในรูป
จากกฎของแบรกก์และความสัมพันธ์ระหว่าง d-spacing กับค่าคงที่แลตทิซ a และดัชนีมิลเลอร์ของ
ระนาบ (hkl)
สามารถแสดงได้ว่า
2
2a
เนื่องจาก ถ้าเปรียบเทียบสมการ 3-13 และ 3-14 โดยก าหนดให้ p nh, q nk,
r nl จะ
เห็นว่า การเลี้ยวเบนล าดับที่ n ของระนาบ (hkl)
ตามกฏของแบรกก์ จะเป็นการเลี้ยวเบนตามสมการ
ของเลาอีที่ก าหนดโดย p , q,
r นั่นเอง
3.9 การเลี้ยวเบนกับแลตทิซส่วนกลับ
2
(1 cos)
4sin
2
ความส าคัญประการหนึ่งของแลตทิซส่วนกลับคือ การน าไปใช้ส าหรับวิเคราะห์การ
เลี้ยวเบน ซึ่งจะช่วยให้การวิเคราะห์การเลี้ยวเบนสะดวกมากขึ้น
พิจารณาอะตอม O อยู่ที่จุดก าเนิดของ crystal lattice และอะตอมอื่นๆ A ซึ่งอยู่ที่ต าแหน่ง
pqr ใดๆ เทียบกับจุดก าเนิด โดย p, q, r เป็นจ านวนเต็ม ดังรูปที่ 3-8 เราจะวิเคราะห์ว่ารังสีเอ็กซ์ที่
กระเจิงจากอะตอม O ได้รับผลกระทบอย่างไรบ้างจากรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงจากอะตอม A
2a
( )
2
2
2
a
( p
2 2
2sin
[( nh)
( nk)
( nl)
a
2
2 1/ 2
]
q
2
2
( p
r
2
2
q
)
2
r
2
)
3-12
3-13
3-14
12

315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์
เวคเตอร์บอกต าแหน่งของอะตอม A เทียบกับอะตอมที่จุดก าเนิด O เขียนได้ในรูป
OA pa qb rc
3-15
2
1
O
N
U
pqr
A
S
S M
o
S
o
S
V
S S o
1
2
a b c
รูปที่ 3-8 การกระเจิงรังสีเอ็กซ์จากอะตอมที่จุดก าเนิด O และอะตอม A ในแลตทิซ [ปรับปรุงจาก
Cullity (1967) หน้า 496]
สมมุติให้รังสีเอ็กซ์ตกกระทบผลึกในทิศดังรูป แนว 1, 2 เป็นรังสีเอ็กซ์ที่ตกกระทบอะตอม
O และ A ตามล าดับ S o
เป็นเวคเตอร์หน่วยในทิศของรังสีเอ็กซ์ตกกระทบ OU เป็นหน้าคลื่นตก
กระทบ ซึ่งตั้งฉากกับ S o
พิจารณารังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงออกมาจากอะตอม O และ A ในทิศท ามุม
กับแนวรังสีตกกระทบ ให้ S เป็นเวคเตอร์หน่วยในทิศของรังสีเอ็กซ์กระเจิง S o
, S , และ OA
ต้อง
อยู่บนระนาบเดียวกัน
การจะหาเงื่อนไขที่จะท าให้เกิดการเลี้ยวเบน เราต้องวิเคราะห์ความต่างเฟสระหว่างรังสีเอ็กซ์
ที่กระเจิงจากอะตอม O และ A ซึ่งจากรูปจะเห็นได้ว่า ความแตกต่างทางเดินของรังสีตามเส้นทาง
1O1 และ 2A2 คือ
Path _ Difference UA
AV
OM ON
เมื่อพิจารณาจากรูปจะเห็นว่า
OM
ON
OA S o
OA( S)
13

315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์
ดังนั้นเขียนความแตกต่างทางเดินรังสีได้เป็น
Path _ Difference OA ( S S
o
)
3-16
Path difference จะสัมพันธ์กับความต่างเฟส ( ) ตามสมการ
2
Path _ difference
แทนค่า Path_difference จากสมการ 3-16 จะได้
เขียน
S
S o
ในรูปของเวคเตอร์ในแลตทิซส่วนกลับ คือ
*
เมื่อ h, k, l เป็นจ านวนใดๆ (จ านวนเต็ม หรือเศษส่วนก็ได้) a *
, b *
, และ c เป็น primitive
S S
translation vectors ของแลตทิซส่วนกลับ แทน o
จากสมการ 3-18 และ OA
จาก
สมการ3-15 ลงในสมการ 3-17 จะได้
S S
2
(
o ) OA
S So
* *
ha kb lc
*
3-17
3-18
2
( hp kq lr)
3-19
การเลี้ยวเบนจะเกิดขึ้นถ้ารังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงจากอะตอม O และ อะตอม A อื่นๆ มาแทรก
สอดแบบเสริมกัน นั่นคือ ความต่างเฟสของรังสีทั้งสองขบวนเป็นจ านวนเต็มเท่าของ 2 จากสมการ
เนื่องจาก p, q, r เป็นจ านวนเต็มใดๆ ความต่างเฟสจะเป็นจ านวนเต็มเท่าของ 2
ได้ก็ต่อเมื่อ h, k, l
เป็นจ านวนเต็มเท่านั้น เราจึงได้เงื่อนไขก าหนดการเกิดการเลี้ยวเบน คือ
เมื่อ h, k, l เป็นจ านวนเต็ม และ G hkl เป็นเวคเตอร์บอกต าแหน่งของจุดในแลตทิซส่วนกลับ สมการ (7)
แสดงว่า เงื่อนไขที่ท าให้เกิดการเลี้ยวเบนคือ เวคเตอร์
ส่วนกลับ
S
So *
*
ha kb lc
* G hkl
S
S o
3-20
ต้องมีจุดปลายตรงกับจุด hkl ในแลตทิซ
14

315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์
3.10 พิสูจน์สมการเลาอีและสมการแบรกก์
ทั้งสมการเลาอีและสมการแบรกก์ สามารถพิสูจน์ได้จากสมการ 3-20 ซึ่งนับเป็นการยืนยัน
ความสอดคล้องกันของสมการทั้งสอง
3.10.1 สมการเลาอี
จากสมการ 3-20
S
ha
kb
lc
So
* * *
G
ท า dot product สมการ (7) ด้วย primitive translation vectors a , b , c จะได้
หรือเขียนได้ว่า
ซึ่งก็คือ สมการเลาอี นั่นเอง
hkl
S So
* * *
a a (
ha kb lc ) h
S S
o
* * *
b b (
ha kb lc ) k
S So
* * *
c c (
ha kb lc ) l
a (
S So)
h
b (
S So)
k
c (
S S ) l
o
3.10.2 กฏของแบรกก์
จากรูปที่ 3-9 สมมุติว่า S So
เข้าเงื่อนไขการเลี้ยวเบนและท าให้เกิดการเลี้ยวเบนที่มุม
จะเห็นว่า S So
แบ่งครึ่งมุม 1O1 และถ้าลากแนว XY ให้ซ้อนกับเส้นแบ่งครึ่งมุมยอดของ
สามเหลี่ยม POQ จะเห็นว่ามุมที่รังสีตกกระทบ 1O และรังสีเลี้ยวเบน O1 กระท ากับแนว XY มีค่า
เท่ากันคือ / 2 เราจึงพิจารณาเสมือนว่า รังสีเลี้ยวเบนมาจากการสะท้อนจากระนาบที่ผ่านแนว XY
และตั้งฉากกับหน้ากระดาษ โดยมี S So
เป็นแนวของเส้นปกติ ตรงนี้คือสมมุติฐานของแบรกก์
จากสมบัติของแลตทิซส่วนกลับ เราทราบว่าเวคเตอร์ G hkl ตั้งฉากกับชุดระนาบ (hkl)
ขณะเดียวกันสมการ 3-20 แสดงว่าภายใต้เงื่อนไขการเกิดการเลี้ยวเบน เวคเตอร์ S So
จะขนานกับ
G
hkl ดังนั้นสรุปได้ว่า การเลี้ยวเบนเกิดขึ้นเมื่อเวคเตอร์ S So
ตั้งฉากกับชุดระนาบ (hkl) ซึ่งวางตัว
ผ่านแนว XY และ ตั้งฉากกับระนาบหน้ากระดาษ นั่นเอง
15

315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์
2
1
X
/ 2
S S o
S S o
Q
O / 2
/ 2
S S
o
P
S S o
Y
1
2
a b c
pqr
A
S
o
S
รูปที่ 3-9 เงื่อนไขการเลี้ยวเบนและกฎของแบรกก์
จากรูปที่ 3-9 จะเห็นว่า
แทนค่าในสมการ (7) จะได้
S
S o
2sin( )
2
ให้ / 2 และเราทราบว่า
ซึ่งคือกฏของแบรกก์
2sin( )
2 G hkl
1
Ghkl
d
hkl
2d
hkl
sin
ดังนั้นจะได้
3.11 เงื่อนไขการเลี้ยวเบนกับเวคเตอร์คลื่น
เวคเตอร์คลื่น k คือเวคเตอร์ที่แสดงทิศการเคลื่อนที่ของคลื่น มีขนาดนิยามตามสมการ
ก าหนดเวคเตอร์คลื่นของรังสีเอ็กซ์ตกกระทบคือ k I และเวคเตอร์คลื่นของรังสีเอ็กซ์เลี้ยวเบนคือ D
โดย
k
I
S
2
o
และ
k
D
k
D
k
I
2
k
S
2
D
* * *
2 ( ha kb lc ) 2G
เงื่อนไขการเลี้ยวเบนสามารถเขียนได้ในรูป
hkl
k
3-21
3-22
16

315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์
ซึ่งกล่าวได้ว่า “การเลี้ยวเบนจากระนาบ (hkl)
จะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ การเปลี่ยนแปลงเวคเตอร์คลื่นเท่ากับ
2 G hkl ”
* * *
ถ้าสร้างแลตทิซส่วนกลับให้เป็นมิติเดียวกันกับเวคเตอร์คลื่น กล่าวคือ นิยาม a , b , c ดัง
สมการ [Kittel (1996) หน้า 33]
* * *
เทอมคงที่ 2
จะถูกรวมใน a , b , c และสามารถเขียนเงื่อนไขการเลี้ยวเบนสามารถเขียนได้ในรูป
k
D
a
b
*
*
c
*
k
b c
2
a b c
c a
2
a b c
a b
2
a b c
I
ha
*
kb
lc
เมื่อ g hkl 2Ghkl
จึงกล่าวได้ว่า “การเลี้ยวเบนจากระนาบ (hkl)
จะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ การ
เปลี่ยนแปลงเวคเตอร์คลื่นเท่ากับ g
hkl ” [Williams, and Carter (1996) หน้า 195] หรือเขียนได้ว่า
k
g
การเปลี่ยนแปลงเวคเตอร์คลื่นตามสมการ 3-25 สามารถแสดงได้ดังแผนผังในรูปที่ 3-10
D
*
k
I
*
g
hkl
hkl
3-23
3-24
3-25
รูปที่ 3-10 การเปลี่ยนแปลงเวคเตอร์คลื่นในการเลี้ยวเบน
17

315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์
3.12 ทรงกลมเอวาลด์
เงื่อนไขการเกิดการเลี้ยวเบนสามารถแสดงได้ด้วยทรงกลมเอวาลด์ (Ewald Sphere) ซึ่งมี
วิธีการดังนี้ (ดูรูปที่ 3-11 ประกอบ)
1) สร้างเวคเตอร์
S o
ขนานกับรังสีตกกระทบ และให้จุดปลายของเวคเตอร์อยู่ที่จุดก าเนิด
ของแลตทิซส่วนกลับซึ่งสร้างในสเกลเดียวกันกับ
2) สร้างทรงกลมรัศมี S โดยมีจุดเริ่มต้นของ
ทรงกลมเอวาลด์
o
S o
S เป็นจุดศูนย์กลางทรงกลมที่ได้นี้ เรียกว่า
3) การเลี้ยวเบนจากระนาบ (hkl) จะเกิดขึ้นถ้า จุด hkl ในแลตทิซส่วนกลับสัมผัสกับผิว
ทรงกลมเอวาลด์
4) ทิศของรังสีเลี้ยวเบนคือแนวที่ชี้จากจุดศูนย์กลางทรงกลมเอวาลด์ไปยังจุด hkl ใน
แลตทิซ ส่วนกลับ
รูปที่ 3-11 ทรงกลมเอวาลด์
18

315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์
3.13 ความเข้มรังสีเอ็กซ์เลี้ยวเบน
ในการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์ กฏของแบรกก์จะท านายได้เฉพาะทิศทางหรือต าแหน่งของ Peak
การเลี้ยวเบน (มุม 2 ) เท่านั้น แต่ไม่สามารถใช้บอกระดับความเข้ม (พื้นที่ใต้กราฟของ peak) ของ
รังสีเอ็กซ์เลี้ยวเบนได้ ต่อไปนี้จะอธิบายให้เห็นว่า ปัจจัยส าคัญที่ก าหนดความเข้มของรังสีเอ็กซ์เลี้ยวเบน
คือ ต าแหน่งและชนิดของอะตอมในเซลล์หน่วย
เราจะกล่าวว่า เกิดการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์จากระนาบ (hkl)
ของผลึกสารตัวอย่างในทิศที่ท ามุม
2 hkl กับรังสีเอ็กซ์ตกกระทบ ถ้าเราวัดความเข้มของรังสีเอ็กซ์ในทิศนั้นได้ (ความเข้มมากกว่า 0) นั่น
คือ รังสีเอ็กซ์ทั้งหมดที่กระเจิงจากสารตัวอย่างในทิศ 2 hkl จะต้องมารวมกันแบบเสริม หรืออย่างน้อย
ต้องหักล้างกันแบบไม่สมบูรณ์ สภาพเช่นนี้จะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อ
1) เงื่อนไขของแบรกก์เป็นจริงส าหรับระนาบ (hkl)
ท าให้รังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงจาก
อะตอมบนระนาบ (hkl)
มารวมกันแบบเสริมกัน และ
2) รังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงในทิศ 2 hkl จากอะตอมอื่นๆที่ไม่อยู่บนระนาบ (hkl)
ไม่ไป
หักล้างรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงจากระนาบ (hkl)
โดยสมบูรณ์
เนื่องจากอะตอมในผลึกเรียงกันอย่างเป็นระเบียบ โดยมีเซลล์หน่วยซ้ าๆกันเป็นจ านวน
อนันต์ การวิเคราะห์การเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์จากเซลล์หน่วยของผลึก จึงสามารถน าไปใช้อธิบายการ
เลี้ยวเบนจากผลึกทั้งก้อนได้ กล่าวคือ ความเข้มของรังสีเอ็กซ์เลี้ยวเบนจากผลึกสารตัวอย่าง จะเป็น
ผลรวมของความเข้มรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงจากแต่ละเซลล์หน่วยของผลึก ดังนั้น การวิเคราะห์พฤติกรรม
การการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์จากโครงสร้างผลึกใดๆ สามารถพิจารณาโดยใช้เซลล์หน่วยก็เพียงพอ
รังสีเอ็กซ์เลี้ยวเบนในทิศที่เราสนใจเป็นผลรวมของคลื่นรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงจากแต่ละอะตอม
ในผลึก ซึ่งรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงจากแต่ละอะตอม จะเป็นผลรวมของคลื่นรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงจากแต่ละ
อิเล็กตรอนในอะตอมนั้น ดังนั้น การที่จะวิเคราะห์ความเข้มของรังสีเอ็กซ์เลี้ยวเบนจากผลึก เริ่มต้น
เราจะต้องรู้ว่าอิเล็กตรอนกระเจิงรังสีเอ็กซ์อย่างไร จากนั้นก็ต้องพิจารณาว่าอะตอมกระเจิงรังสีเอ็กซ์
อย่างไร และสุดท้ายเมื่อหาผลรวมคลื่นรังสีเอ็กซ์จากทุกๆอะตอมในผลึกได้ก็สามารถท านายความเข้ม
ของรังสีเอ็กซ์เลี้ยวเบนจากผลึกทั้งก้อนได้
3.13.1 การกระเจิงรังสีเอ็กซ์โดยอิเล็กตรอน
เมื่อรังสีเอ็กซ์ตกกระทบอิเล็กตรอน องค์ประกอบสนามไฟฟ้าของรังสีเอ็กซ์ท าให้อิเล็กตรอน
เคลื่อนที่แบบสั่น (oscillate) ลักษณะการเคลื่อนที่เช่นนี้ท าให้อิเล็กตรอนถูกเร่งและหน่วงสลับกันไป
ตลอดเวลา อิเล็กตรอนจึงแผ่คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าออกมา เรียกว่า รังสีเอ็กซ์กระเจิง ซึ่งจะมีความถี่
เดียวกันกับรังสีเอ็กซ์ตกกระทบ โดยที่ความเข้มของรังสีเอ็กซ์กระเจิงจากอิเล็กตรอนซึ่งมีประจุ e
มวล m
e
ที่ระยะ r จากอิเล็กตรอน จะมีค่าตามสมการ [Cullity (1967) หน้า 105]
19

315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์
เมื่อ I
o
เป็นความเข้มรังสีเอ็กซ์ตกกระทบ c เป็นความเร็วแสงในสุญญากาศ และ เป็นมุมระหว่าง
รังสีเอ็กซ์กระเจิงกับทิศของความเร่งของอิเล็กตรอน
พิจารณารังสีเอ็กซ์ที่ไม่โพลาไรซ์ ตกกระทบอิเล็กตรอนซึ่งอยู่ที่จุด O ของพิกัด x y z โดย
รังสีเอ็กซ์ตกกระทบอยู่ในทิศ x ดังรูปที่ 3-12
J.J. Thomson ได้แสดงให้เห็นว่า ความเข้มรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงจากอิเล็กตรอนในทิศ 2
จาก
แนวรังสีเอ็กซ์ตกกระทบ ไปยังจุด P ซึ่งอยู่บนระนาบ xz และห่างจาก O เป็นระยะทาง r มีค่าตาม
สมการ [Cullity (1967) หน้า 106]
ซึ่งเป็นสมการ Thomson ส าหรับการกระเจิงรังสีเอ็กซ์โดยอิเล็กตรอน 1 ตัว พิจารณาสมการนี้จะเห็น
ว่าประกอบด้วยเทอมค่าคงที่และเทอมซึ่งขึ้นกับมุม คือ
ผลต่อความเข้มสัมพัทธ์ ส่วนเทอม
I
I I
P
I
1
cos
2
2
2
1
cos
2
2
2
3-26
3-27
ส าหรับเทอมค่าคงที่จะไม่มี
จะขึ้นกับมุมแบรกก์ เรียกว่า Polarization factor
ซึ่งเป็นปัจจัยหนึ่งที่จะมีผลต่อความเข้มรังสีเอ็กซ์เลี้ยวเบนที่วัดได้ในทิศต่างๆกัน
o
o
r
r
2
2
e
m
e
m
4
2
4
c
2
e
c
4
4
sin
2
2
1
cos
(
2
2
)
รูปที่ 3-12 การกระเจิงรังสีเอ็กซ์โดย
อิเล็กตรอน 1 ตัว ซึ่งอยู่ที่ O
[Cullity (1967) หน้า 107]
3.13.2 การกระเจิงรังสีเอ็กซ์โดยอะตอม
เมื่อรังสีเอ็กซ์ตกกระทบอะตอม อิเล็กตรอนในอะตอมแต่ละตัวจะท าหน้าที่กระเจิงรังสีเอ็กซ์
ตามสมการ Thomson และเฉพาะอิเล็กตรอนเท่านั้นที่จะกระเจิงรังสีเอ็กซ์ ส่วนประจุในนิวเคลียสนั้น
หนักเกินไปที่จะได้รับผลกระทบจากรังสีเอ็กซ์
ความเข้มรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงออกจากอะตอมไปตามทิศใดๆที่เราสนใจ จะเป็นผลรวมเชิงคลื่น
ของรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงจากแต่ละอิเล็กตรอนในอะตอม ส าหรับมุมการกระเจิง 2 0 (กระเจิงไป
ข้างหน้า) รังสีเอ็กซ์กระเจิงจากทุกอิเล็กตรอนในอะตอมจะมีเฟสตรงกัน ท าให้เราได้ความเข้มรังสีเอ็กซ์
20

315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์
เลี้ยวเบนสูงที่สุดเนื่องจากการรวมกันแบบเสริม ส่วนที่มุมการกระเจิงในทิศอื่นๆซึ่ง 2
0 รังสีเอ็กซ์
ที่กระเจิงจากแต่ละอิเล็กตรอนส่วนมากมีความต่างเฟสกัน ท าให้รังสีเอ็กเหล่านี้รวมกันแบบหักล้าง ผล
ก็คือเราจะสังเกตุเห็นความเข้มรวมของรังสีเอ็กซ์เลี้ยวเบนลดลง
ประสิทธิภาพการกระเจิงรังสีเอ็กซ์จากอะตอมในทิศใดทิศหนึ่ง เรียกว่า “atomic
scattering factor, f ” นิยามโดย [Cullity (1967) หน้า 109]
เมื่อ I
A
, Ie
เป็นแอมปลิจูดของรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงจากอะตอม และจากอิเล็กตรอน 1 ตัว ตามล าดับ
จะเห็นได้ว่าส าหรับการกระเจิงในทิศไปข้างหน้า f จะเท่ากับเลขอะตอม Z
จากการวิเคราะห์การกระเจิงรังสีเอ็กซ์จากประจุที่กระจายรอบๆอะตอม สามารถแสดงได้ว่า
Atomic Scattering factor (f) หาได้ตามสมการ [Dekker (1958) หน้า 14-15)
4 sin
เมื่อ k และ (r)
เป็นฟังชันการกระจายอิเล็กตรอนรอบอะตอม
ระหว่าง f กับ
จะเห็นได้ว่า f เป็นฟังก์ชันกับ
0
sin
sin แสดงได้ดังรูปที่ 3-13
f
I
f
I
A
e
2 sin kr
4r
(
r)
dr
kr
ซึ่งมีค่าลดลงเมื่อ เพิ่มขึ้น ลักษณะความสัมพันธ์
3-28
3-29
รูปที่ 3-13 Atomic scattering factor f ของอะตอมทองแดง [Cullity (1967) หน้า 110]
21

315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์
3.13.3 การกระเจิงรังสีเอ็กซ์จากเซลล์หน่วยและแฟคเตอร์โครงสร้าง
ดังที่กล่าวไว้ข้างต้นว่าผลึกประกอบด้วยเซลล์หน่วยเรียงต่อกันเป็นระเบียบในสามมิติ การ
วิเคราะห์การกระเจิงรังสีเอ็กซ์จากเซลล์หน่วยจึงสามารถแทนพฤติกรรมการกระเจิงรังสีเอ็กซ์จากผลึก
ทั้งก้อนได้ ซึ่งจะพิจารณาต่อไปนี้
สมมุติรังสีเอ็กซ์ความยาวคลื่น ตกกระทบเซลล์หน่วยในทิศที่ท ามุมแบรกก์ hkl กับระนาบ
(hkl)
อันหนึ่ง จะได้ว่า 2 d hkl sin hkl เนื่องจากสมการแบรกก์เป็นจริง ดังนั้น เราคาดว่าจะ
เกิดการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์ในแนวท ามุม 2 hkl กับแนวรังสีตกกระทบเสมอ อย่างไรก็ตามต้องวิเคราะห์
ก่อนว่าความเข้มรวมของรังสีเอ็กซ์เลี้ยวเบนในทิศนี้เป็นเท่าไร
ถ้าความเข้ม = 0 ไม่เกิดการเลี้ยวเบน
ถ้าความเข้ม > 0 เกิดการเลี้ยวเบน
ความเข้มของรังสีเอ็กซ์เลี้ยวเบนจะขึ้นกับแอมปลิจูดของคลื่นรวมของรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงจาก
แต่ละอะตอมในเซลล์หน่วย พิจารณาคลื่นรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงจากอะตอม n ซึ่งอยู่ที่ต าแหน่ง
r
n
u a v b w c
ในเซลล์หน่วย สามารถเขียนได้ในรูป [Dekker (1958) หน้า 17-18]
n
n
n
f ( ,
)
e
n
n
i
n
3-30
เมื่อ f
n( ,
)
เป็น atomic scattering factor ของอะตอม n ที่มุมเลี้ยวเบนเท่ากับ 2 และความยาว
คลื่นรังสีเอ็กซ์ และ
n
เป็นเฟสของคลื่นรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงเทียบกับรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงจากอะตอม
ที่จุดก าเนิด (อะตอมหนึ่งบนระนาบ (hkl)
ที่ผ่านจุดก าเนิด)
เราสามารถแสดงหาได้ว่าความต่างเฟสระหว่างรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงจากอะตอมที่จุดก าเนิดกับ
รังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงจากอะตอมที่ต าแหน่ง r n (ดูสมการ 3-17) คือ
S So
S S
r u
o
n 2
( )
* * *
แทนค่า ha kb lc และ
n
n
r
n
a v b w c
จะได้
n
n
2
( hu kv lwn)
ดังนั้น สมการคลื่นรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงจากอะตอม n จะอยู่ในรูป
n
n
n
n
f
n
2i(
hu kv
lw
)
n n n
( ,
)
e
3-31
22

315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์
คลื่นรวมของรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงจากอะตอมทั้งหมดในเซลล์หน่วยในทิศ 2 hkl จากแนวรังสี
ตกกระทบ เรียกว่า แฟคเตอร์โครงสร้าง (Structure factor, F) ของระนาบ (hkl)
เขียนได้ในรูป
[Cullity (1967) หน้า 117]
N
F f ( ,
)
e
n
n1
2i(
hu kv
lw
)
n
n
n
3-32
เมื่อ N เป็นจ านวนอะตอมทั้งหมดในเซลล์หน่วย
โดยสมบัติของคลื่น ท าให้เราทราบว่า ความเข้มของรังสีเอ็กซ์รวม (I) ที่กระเจิงออกในทิศ
ท ามุม 2 กับแนวรังสีตกกระทบ จะแปรผันตรงกับขนาดของแอมปลิจูดคลื่นรวมยกก าลังสองคือ
hkl
I
F
2
ดังนั้น ส าหรับระนาบ (hkl)
ใดๆที่ก าลังพิจารณา ถ้าแฟคเตอร์โครงสร้างมีแอมปลิจูดเป็น 0 แล้ว ความ
เข้มรังสีเอ็กซ์รวมจะเป็น 0 ด้วย นั่นคือ จะไม่พบรังสีเอ็กซ์เลี้ยวเบนจากระนาบ (hkl)
นั้น แม้ว่ามุมตก
กระทบจะตรงตามเงื่อนไขของแบรกก์ก็ตาม
การค านวนแฟคเตอร์โครงสร้าง จะน าไปสู่กฎการคัดเลือก (Selection rule) ส าหรับท านาย
การเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์จากเซลล์หน่วยของโครงสร้างผลึกชนิดต่างๆได้
3.14 ตัวอย่างการค านวนแฟคเตอร์โครงสร้างและ Selection rule
3.14.1 โครงสร้างผลึก Simple cubic
เซลล์หน่วยของโครงสร้างผลึก Simple cubic ประกอบด้วยอะตอมชนิดเดียวที่ต าแหน่ง
000 จะมีแฟคเตอร์โครงสร้างเป็น
F
fe
2i
(0)
f
3-33
2 2
ท าให้ได้ว่า F f นั่นคือ แอมปลิจูดของคลื่นรวมไม่ขึ้นกับดัชนีระนาบ h , k,
l แสดงว่า ระนาบทุก
ระนาบในโครงสร้างผลึก Simple Cubic สามารถให้การเลี้ยวเบนได้
23

315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์
1 1 1
2 2 2
3.14.2 โครงสร้างผลึก Body center cubic (bcc)
เซลล์หน่วยแบบ bcc ประกอบด้วยอะตอมชนิดเดียวกัน 2 อะตอม ที่ต าแหน่ง 000 และ
สามารถเขียนแฟคเตอร์โครงสร้างได้เป็น
F
fe
h h k
2i(
)
2i(0)
2 2 2
i(
hkl)
fe
f (1 e
)
3-34
จากสมการ 3-34 สามารถวิเคราะห์ได้ว่า
2 2
หรือ F 4 f ถ้า h k l เป็นเลขคู่
F หรือ F 2 0 ถ้า h k l เป็นเลขคี่
F 2 f
0
ดังนั้น ส าหรับระนาบ (hkl)
ที่ให้ค่าผลรวมของตัวเลขดัชนีมิลเลอร์ h k l เป็นเลขคู่
จะเป็นระนาบที่ท าให้เกิดการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์ได้ ระนาบเหล่านี้ ได้แก่ ( 110)
( 200)
( 211)
เป็น
ต้น
ในทางตรงกันข้ามระนาบ (hkl)
ที่ให้ค่าผลรวมของตัวเลขดัชนีมิลเลอร์ h k l เป็นเลขคี่
ก็จะไม่เกิดการเลี้ยวเบน ได้แก่ ระนาบ ( 111)
( 210)
เป็นต้น
,
1
0
2
1
2
3.14.3 โครงสร้างผลึก Face center cubic (fcc)
1 1
2 2
เซลล์หน่วยแบบ fcc ประกอบด้วยอะตอมชนิดเดียวกัน 4 อะตอม ที่ต าแหน่ง 000 , 0
1
2
1
2
, และ 0 สมการแฟคเตอร์โครงสร้าง คือ
F
ซึ่งสามารถจัดให้อยู่ได้ในรูป
f
h k h l
k l
2i(
) 2i(
) 2i(
)
2i(
0)
2 2 2 2 2 2
( e e e e
F f (1 e
( hk)
i
( hl)
i
( kl)
i
e
e
)
3-35
พิจารณาสมการ 3-35 ข้างต้นจะเห็นว่า ถ้า h , k,
l เป็นเลขคู่ หรือเลขคี่ล้วน ผลบวก ( k)
( h l) และ k l จะเป็นเลขคู่ ท าให้ผลรวมของเทอมในวงเล็บ ( ) เท่ากับ 4 นั่นคือ
2 2
F 4 f หรือ 16 f
F เมื่อ h , k,
l ไม่เป็นตัวเลขผสม
h ,
ในกรณีที่ h , k,
l เป็นตัวเลขผสมระหว่างเลขคู่ เลขคี่ ผลรวมของเทอม exponential จะเป็น -
1 เสมอ ไม่ว่า h , k,
l จะเป็นเลขคู่ 1 ตัว เลขคี่ 2 ตัว หรือ เลขคู่ 2 ตัว เลขคี่ 1 ตัว ท าให้ผลรวมของ
เทอมในวงเล็บ ( ) เท่ากับ 0 นั่นคือ
24

315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์
F 0 หรือ F 2 0 เมื่อ h , k,
l เป็นเลขผสม
แสดงว่าส าหรับเซลล์หน่วยแบบ fcc การเลี้ยวเบนจะเกิดขึ้นจากระนาบ ที่มีดัชนีเป็นเลขคู่
หรือ เลขคี่ล้วน เช่น (111)
, (200)
, (220)
, และ (311)
แต่จะไม่พบการเลี้ยวเบนจากระนาบซึ่งมี
ดัชนีเป็นเลขผสม เช่น (100)
, (211)
, และ (320)
เป็นต้น
3.14.4 โครงสร้างผลึกแบบเพชร
เซลล์หน่วยของโครงสร้างผลึกแบบเพชรประกอบด้วยอะตอมของคาร์บอน 8 อะตอม ที่
ต าแหน่งต่างๆ ดังนี้
1 1 1
,
2 2 2
3 3 1
,
4 4 4
o ที่ 000 , 0
o ที่
1 1 1
,
4 4 4
1
0
2
3 1 3
4 4 4
1
2
1
2
13
44
, และ 0 ต าแหน่งละ 1 อะตอม
, และ
3
4
ต าแหน่งละ 1 อะตอม
สามารถหาได้ว่าแฟคเตอร์โครงสร้างของโครงสร้างผลึกแบบเพชร อยู่ในรูป
F F fcc [1 e
i(
hkl) / 2
]
3-36
เมื่อ Ffcc
เป็นแฟคเตอร์โครงสร้างส าหรับโครงสร้างผลึก fcc ซึ่งจากการวิเคราะห์ข้างต้นเราทราบแล้ว
ว่า
2 2
F fcc 16 f เมื่อ h , k,
l ไม่เป็นตัวเลขผสม
2
F 0 เมื่อ h , k,
l เป็นเลขผสม
h k l
2
h k l
2
fcc
i(
hkl) / 2
พิจารณาเทอม 1 e
i(
hkl) / 2
ในสมการ 3-36 จะเห็นว่า 1
e 0
เป็นเลขคี่ แสดงว่า ส าหรับระนาบ (hkl)
ที่ h , k,
l เป็นเลขคู่ หรือเลขคี่ล้วน และท าให้
เป็นเลขคี่ จะไม่เกิดการเลี้ยวเบน เนื่องจากมีแฟคเตอร์โครงสร้างเป็น 0 ดังนั้น ส าหรับ
โครงสร้างผลึกแบบเพชรแล้ว นอกจากระนาบ (hkl)
ที่มี h , k,
l เป็นเลขผสมแล้ว ยังมีระนาบ (hkl)
ซึ่ง h , k,
l เป็นเลขคู่ หรือเลขคี่ล้วน และท าให้
h k l
2
ถ้า
เป็นเลขคี่ ที่จะไม่ให้การเลี้ยวเบน ตัวอย่าง
เช่น ระนาบ ( 200)
( 222)
( 420)
เป็นต้น (ให้สังเกตุว่าระนาบดังกล่าวนี้จะให้การเลี้ยวเบน
ส าหรับโครงสร้างผลึกแบบ fcc)
สรุปได้ว่า ระนาบที่จะให้การเลี้ยวเบนจากโครงสร้างผลึกแบบเพชร คือ ระนาบ )
h k,
l
, เป็นเลขคู่ หรือเลขคี่ล้วน และ
( 220) 311)
( เป็นต้น
h k l
2
(hkl ซึ่ง
ไม่เป็นเลขคี่ ระนาบเหล่านี้ ได้แก่ ระนาบ ( 111)
25

315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์
3.14.5 กฎการคัดเลือก (Selection rule) ส าหรับการเลี้ยวเบน
จากการค ำนวนและวิเคราะห์แฟคเตอร์โครงสร้าง จะได้กฎการคัดเลือกของการเลี้ยวเบน
รังสีเอ็กซ์จากโครงสร้างผลึกต่างๆ ดังตารางตาราง 3-1 ซึ่งจะเห็นว่าพารามิเตอร์ส าคัญที่ก าหนดค่าของ
แฟคเตอร์โครงสร้างคือ เลขดัชนีระนาบ h , k,
l และ atomic scattering factor ( f ) ของอะตอมใน
โครงสร้างผลึก ในปัจจุบันสามารถหา f ได้จากฐานข้อมูลมาตรฐานที่มีผู้ค านวนไว้แล้ว เช่น Cullity
(1967) หน้า 474-476
ตาราง 3-1 ตัวอย่างกฎการคัดเลือกส าหรับการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์ [Williams, and Carter (1996)
หน้า 249]
ชนิดโครงสร้างผลึก ระนาบที่ให้การเลี้ยวเบน
Primitive:
- simple cubic,
- simple orthorhombic
Body centered cubic
Faced centered cubic
Diamond
Hexagonal close-packed
ทุก
แฟคเตอร์
โครงสร้าง
F
h , k,
l
f
( h k l)
2n
2 f
h , k,
l เป็นเลขคู่ทั้งหมด หรือเลขคี่
ทั้งหมด
เหมือนกับ fcc
ยกเว้นกรณีที่ h , k,
l เป็นเลขคู่ทั้งหมด
และ ( h k l) / 2 เป็นเลขคี่ จะไม่เกิด
การเลี้ยวเบน
h 2k 3n , และ l เป็นเลขคี่*
*
h 2k 3n , และ l เป็นเลขคู่
*
h 2k 3n 1, และ l เป็นเลขคี่
4 f
4 f
ตัวอย่างระนาบที่
ให้การเลี้ยวเบน
(100), (110),
(111), (200),
etc.
(110), (200),
(211), (220),
etc.
(111), (200),
(220), (311),
etc.
(111),
(220),(311),
(400), etc..
0 (001)
2 f
(002)
3 f (011)
h 2k 3n 1, และ l เป็นเลขคู่*
f (010)
*
n 0,1,2,3,...
3.15 สรุป
ประเด็นหลักของบทนี้
กฎของแบรกก์ใช้ท านายมุมหรือต าแหน่งของพีคการเลี้ยวเบนจากระนาบที่สนใจ
แฟคเตอร์โครงสร้างใช้ในการท านายว่าระนาบใดที่จะให้การเลี้ยวเบนได้
26

315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์
ค าถามและแบบฝึกหัด
3.1 ปรากฎการณ์การเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์โดยผลึกของแข็งเกิดขึ้นได้อย่างไร มีประโยชน์อย่างไร จง
อธิบาย
3.2 สมมุติยิงล ารังสีเอ็กซ์ขนาน ความยาวคลื่น ตกกระทบท ามุม กับระนาบ (hkl)
ของอะตอม
ในผลึกของแข็งใดๆ จงพิสูจน์ให้เห็นว่าเงื่อนไขของการเกิดการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์ เป็นไปตามกฎของ
แบรกก์ (Bragg Law) คือ 2d hkl sin เมื่อ d hkl เป็นระยะระหว่างระนาบของชุดระนาบ (hkl)
3.3 ค าถามความเข้าใจ:
ถ้ารังสีเอ็กซ์ตกกระทบระนาบด้วยมุมตกกระทบ ท าไมจึงพบการเลี้ยวเบนเฉพาะที่
มุม 2
ถ้าเริ่มต้นพบว่าเกิดการเลี้ยวเบนเมื่อมุมตกกระทบเป็น จากนั้นท าการเปลี่ยนมุม
ตกกระทบไปเรื่อยๆ เราจะพบการเลี้ยวเบนอีกหรือไม่
สมมุติมีระนาบสองชุดคือ (hkl)
กับระนาบ (mno)
วางท ามุมกัน
0
ยิงรังสีเอ็กซ์ ตก
กระทบระนาบ (hkl)
ด้วยมุม 1
โดย 1
เป็นมุมแบรกก์ส าหรับการเลี้ยวเบนล าดับที่
1 ของระนาบ (hkl)
เรามีโอกาสพบการเลี้ยวเบนที่มุมเลี้ยวเบน 2
1
ได้หรือไม่
3.4 จากการวิเคราะห์ความต่างเฟสของรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงจากอะตอมซึ่งอยู่ ณ จุดก าเนิด O และ
อะตอมที่อยู่ห่างออกไป ณ ต าแหน่ง A ซึ่งมีพิกัด pqr เทียบกับจุดก าเนิด (โดย p, q, r เป็นจ านวนเต็ม)
พบว่า เงื่อนไขของการเกิดการเลี้ยวเบนจะถูกก าหนดด้วยสมการ
s s
o
G
hkl
ha
*
kb
*
lc
เมื่อ s o และ s เป็นเวคเตอร์หน่วยในทิศของรังสีเอ็กซ์ตกกระทบและรังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงตามล าดับและ
* * *
G ha kb lc เป็นเวคเตอร์ในแลตทิซส่วนกลับ โดยที่ h , k,
l เป็นจ านวนเต็ม
จากสมการนี้
ก) จงอธิบายถึงความหมายทางฟิสิกส์ของเงื่อนไขการเกิดการเลี้ยวเบนที่ได้
ข) จงพิสูจน์สมการเลาอีและกฎของแบรกก์
ค) จงแสดงเงื่อนไขการเลี้ยวเบนโดยใช้ทรงกลมเอวาลด์
*
27

315 351 ฟิสิกส์สถานะของแข็ง
ดร. ธนูสิทธิ์ บุรินทร์ประโคน ทฤษฎีการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์
3.5 เหล็ก (Fe) มีโครงสร้างผลึกแบบ bcc มีค่าคงที่ของผลึกเท่ากับ 2.86 A จงค านวนต าแหน่ง
ของพีคการเลี้ยวเบนที่เป็นไปได้ 5 พีคแรกตาม Selection rule
3.6 ผลึก CsCl มีโครงสร้างผลึกเป็น Simple cubic ซึ่งมีอะตอม Cs และ Cl อย่างละ 1 อะตอม
ต่อเซลล์หน่วย โดยอะตอม Cs อยู่ที่ต าแหน่ง 000 และอะตอม Cl อยู่ที่ต าแหน่ง
1 1
2 2 2
1
จงค านวน
แฟคเตอร์โครงสร้าง (Structure Factor) ของเซลล์หน่วย CsCl และวิเคราะห์ Selection rule
ส าหรับการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์จากผลึก CsCl นี้
3.7 จงแสดงให้เห็นว่าแฟคเตอร์โครงสร้างของโครงสร้างผลึกแบบเพชร เป็นดังสมการ 3-36
3.8 ผลึก NaCl มีโครงสร้างผลึกเป็นแบบ fcc โดยมีอะตอม Na 4 อะตอม และ อะตอม Cl 4
อะตอมต่อเซลล์หน่วย
ก) จงแสดงว่า แฟคเตอร์โครงสร้าง (Structure factor) ของผลึก NaCl สามารถท าให้อยู่ในรูป
อย่างง่ายได้ตามสมการ
F [1 e
i( hk)
i(
hl)
i(
kl)
i(
hkl)
e e ][ f Na fcl
e
เมื่อ f Na และ f Cl เป็น Atomic scattering factor ของอะตอม Na และ Cl ตามล าดับ
ข) จงวิเคราะห์เพื่อหา Selection rule ส าหรับระนาบ (hkl) ที่จะเราจะไม่พบการเลี้ยวเบน และ
ระนาบ (hkl) ที่จะให้การเลี้ยวเบนจากผลึก NaCl
ค) ถ้าผลึก KCl มีโครงสร้างผลึกเป็นแบบ NaCl ท่านคิดว่าการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์จากผลึก
KCl จะเหมือนหรือแตกต่างกันอย่างไร เมื่อเทียบกับการเลี้ยวเบนรังสีเอ็กซ์จากผลึก NaCl
ให้อธิบายพร้อมยกตัวอย่างเปรียบเทียบต าแหน่งและความเข้มของพีคการเลี้ยวเบนพีคใดพีค
หนึ่งที่เป็นไปได้ตาม Selection rul
]
28