Tesis - Área de Ingeniería de Sistemas y Automática - Universidad ...

UNIVERSIDAD DE OVIEDO
Departamento de Ingeniería Eléctrica, Electrónica,
de Computadores y Sistemas
TESIS DOCTORAL
Control y diagnóstico de máquinas de
alterna mediante el rastreo de asimetrías
espaciales
Pablo García Fernández
Junio de 2006

UNIVERSIDAD DE OVIEDO
Departamento de Ingeniería Eléctrica, Electrónica,
de Computadores y Sistemas
TESIS DOCTORAL
Control y diagnóstico de máquinas de
alterna mediante el rastreo de asimetrías
espaciales
Memoria presentada para la obtención
del grado de Doctor por la Universidad de Oviedo
Pablo García Fernández
Director: Fernando Briz del Blanco. Profesor Titular del
Departamento de Ingeniería Eléctrica, Electrónica, de Computadores
y Sistemas de la Universidad de Oviedo
Gijón, Junio de 2006

A mis padres. . .

Agradecimientos
Este trabajo se ha podido realizar gracias al Ministerio de Educación
y Ciencia, anteriormente Ministerio de Ciencia y Tecnología, a través del
proyecto DPI2001-3815 adscrito a la beca FP-2001-0874 del Programa de
Becas Predoctorales de Formación de Investigadores.
Quisiera comenzar reconociendo la labor de mi director de Tesis, Fernando
Briz del Blanco. Su capacidad intelectual, de trabajo e infinita paciencia
han hecho de estos últimos años los más enriquecedores de mi corta carrera.
También quisiera agradecer a Alberto B. Diez González y Guillermo Ojea
Merín por su labor al frente de Área de Ingeniería de Sistemas y Automática,
sin la cual muchas cosas simplemente no funcionarían.
Gracias también a toda la gente que forma y ha formado parte del Área
de Ingeniería de Sistemas y Automática. Dudo, no sin cierta inquietud, que
vaya a encontrar un lugar mejor de trabajo en el mundo real. A Juan Carlos
Álvarez, por darme la oportunidad de hacer lo que quería y por sus conversaciones
de café. A Diego Álvarez Prieto por acogerme cuando un día caí por
el laboratorio de robótica y comencé a quemar cosas —creo que sobra el resaltado
pues realmente alguna ardió—. Además, quiero agradecerle su larga
explicación acerca de la equivalencia entre grados y radianes. A Trasgu, ese
ser al que no le molesta —o al menos se queja poco— ser golpeado y decorado
con rayas de pintura. A Abel A. Cuadrado Vega, por dejarme trabajar
con él en el cosido de la malla de Mithril, por aguantar mis rabietas y por
no reclamar, todavía, el wah–wah que me dejó hace un tiempo. A Juan Manuel
Guerrero. No sé por donde empezar. Le puedo devolver la dedicatoria,
y darle las gracias por salir conmigo de noche —especialmente el día del
concierto de Sexy Sadie—. Pero puedo ir más allá. Le tengo que agradecer
su perspicacia a la hora de identificar sitios en los que está prohibido
aparcar, pero, sobre todo, sus conversaciones, sin las cuales todo esto sería
mucho más aburrido. Gracias a toda la gente que trabaja o ha trabajado directamente
conmigo; Alberto Pintado, Eva Janeiro, David Reigosa (muchas
gracias por las simulaciones), Jorge Mata, David Bragado —gracias por ir
al Soho—, (acabarás sabiendo de motores, tranquilo) y Marcos Cuadrado.
—A este último quiero agradecerle especialmente su dedicación y las veces
que me ha sacado las castañas del fuego—.

vi
Gracias al profesor Robert D. Lorenz por darme la oportunidad de participar
como visiting scholar en el WEMPEC (Wisconsin Electric Machines
and Power Electronics) de la Universidad de Wisconsin-Madison. A toda
la gente del CAST Lab, especialmente a Dejan Raca y Michael Harke, y a
todos los profesores, alumnos y demás visitantes con los que coincidí. Su
contribución a esta tesis ha sido fundamental. También gracias a la gente
de Madison. Paco, por acogerme en tu casa y ser mi apoyo allí. Rodolfo, el
chileno loco. Manuel, por ser tan buena persona como grande es. Carlos, por
instruirme como grumete y Valentín, por esas comidas que compartimos.
También me gustaría dar las gracias a la gente de la empresa privada que
trabaja en proyectos con nosotros. Son de inestimable ayuda para que esto
se sostenga. En especial quisiera agradecer a Paulo Villamil, de HC-Energía,
por todo lo que ha tirado del carro en estos últimos años.
Por descontado, gracias a los amigos que me han acompañado desde el
momento en que comencé los estudios (no podía imaginarme que durarían
tanto), o incluso desde antes. A Pachi, por todo lo que fuiste. A Javi, que me
acompañó en mi idea de construir una nave espacial allá en los lejanos 80. A
Alejandro, un buen amigo. A Miguel, por crecer (tú más que yo) juntos. A
Jose Rafa, ahora reencarnado en House. A Cachán, Sara y lo que viene (lo
siento pero ya os nombro como familia). A Ramón, para que no me recuerde
más que no lo saludé en la escuela. A Gustavo, por esos grandes momentos
en el bajo. A Tebi, por los tiempos de cervezas, chicas (de esto más bien
nada) y rockabilly. Al resto gracias también. A Scrambled Eggs, por esos
grandes momentos en el escenario y fuera de él.
Gracias a mi familia. Me han apoyado en todo lo que han podido. Han
luchado lo impensable por sacarnos adelante a mi y mis hermanos y, muchas
veces, no he sabido recompensar ese esfuerzo. De verdad, esto no sería posible
sin todo lo que habéis hecho.
Por último quiero retomar los agradecimientos a Fernando Briz y Trasgu,
que supongo que se estarán preguntando —sobre todo el primero— por
qué salen otra vez en esta página. Él fue el responsable, sin saberlo, de que
conociese a Leo en una práctica en la que yo intentaba aparentar que sabía
todo lo que se podía saber sobre robótica. Creo que no engañé a muchos. A
Leo tengo que agradecerle muchas cosas, pero comenzaré diciéndole que no se
imagina lo que bajó mi rendimiento en los tiempos de la célula de fabricación.
Quiero agradecerle, en primer lugar y sin duda alguna, su espera cuando
me fui a 6000 km de distancia para lograr encauzar lo que hoy termino.
También que me aguantase cuando medio ocupé su casa y porque hoy en
día me siga demostrando que todo este camino ha valido la pena. Gracias
también por hacerme el desayuno aquella vez, pero, sobre todo, gracias por
hacer especiales todos y cada uno de los días que paso a tu lado.

Resumen
El desarrollo de los accionamientos eléctricos ha extendido los campos
de aplicación de las máquinas eléctricas de alterna trifásicas, abriendo numerosas
líneas de investigación. El aumento de las prestaciones, tanto en
términos de eficiencia como en posibilidades de control, la reducción de los
costes, y el incremento de la fiabilidad son aspectos claves en el diseño de
nuevos accionadores.
Para equiparar las prestaciones dinámicas de los motores de alterna a
los de continua se suele recurrir a técnicas de control vectorial, y, entre ellas,
se emplea con asiduidad el control en campo orientado. Esta estrategia de
control requiere determinar la posición del flujo de rotor. Existen dos alternativas
para lograr este cometido: estimar la posición del flujo del rotor de
manera directa, utilizando un modelo de la máquina, o realizar la estimación
a partir de la posición mecánica del rotor y un observador de flujo. La
posición del rotor se suele determinar empleando un encóder incremental.
Este tipo de sensor presenta varios inconvenientes. Por un lado, el precio es
relativamente elevado, pudiendo llegar a superar el del motor para el caso de
motores de pequeña potencia. Por otro, son dispositivos que pueden presentar
problemas adicionales de robustez, mantenimiento, montaje y cableado
en determinadas aplicaciones o ambientes industriales.
Durante los últimos años, se ha dedicado un notable esfuerzo de investigación
al desarrollo de técnicas de estimación de velocidad/posición con el
objetivo final de eliminar el sensor. Con este propósito, existen dos enfoques.
El primero emplea la excitación fundamental de la máquina, utilizando la
fuerza contra-electromotriz, para determinar la posición del rotor. El segundo
grupo rastrea las asimetrías dependientes de la posición del rotor para
estimar su posición.
Esta tesis se enmarca en el segundo grupo de técnicas. A lo largo de su
desarrollo se estudiarán los principios, tanto electromagnéticos como mecánicos,
que intervienen en la generación de asimetrías. Se desarrollará un modelo
matemático para describir las asimetrías comúnmente presentes en los
diferentes tipos de máquina. El acoplamiento de dichas asimetrías con variables
eléctricas terminales —accesibles— de estátor permite extraer la in-

viii
formación mediante técnicas de procesado digital de la señal. Se analizarán
diferentes tipos de variables eléctricas que pueden utilizarse, y se establecerán
métricas apropiadas para cuantificar la calidad de estas señales y las
prestaciones finales del sistema de control. Se introducirán nuevos métodos
de procesamiento de la señal basados en redes neuronales que mejoran las
técnicas actuales.
La fiabilidad de las máquinas viene determinada por la frecuencia de aparición
de fallos que afecten a su funcionamiento. Una vez que se ha producido
un fallo, se puede redefinir la fiabilidad como la capacidad para reaccionar
ante los efectos producidos por dicho fallo, evitando dañar elementos anexos
a la máquina dañada. Para ello, es necesaria una detección temprana de los
fallos, determinar el tipo de problema y estimar la evolución del mismo.
En esta tesis se propone una estrategia de detección que utiliza únicamente
variables eléctricas terminales para realizar el diagnóstico de la
máquina. Se mostrarán las diferentes técnicas existentes, partiendo de la/s
variable/s eléctricas seleccionadas hasta llegar al procesamiento digital necesario
para realizar el diagnóstico. Se proponen nuevas técnicas basadas en el
rastreo de asimetrías, válidas tanto para máquinas accionadas desde inversor
como conectadas a red. Se introducen nuevas formas de procesamiento
de la señal basadas en redes neuronales de variable compleja.

Nomenclatura
x Variable compleja.
x qds Variable compleja de estátor.
x qdr Variable compleja de rotor.
x s Variable compleja referida al estátor.
x r Variable compleja referida al rotor.
vqds
s Tensión de estátor en coordenadas de estátor.
i s qds
Vorriente de estátor en coordenadas de estátor.
λ s qds Enlace de flujo de estátor en coordenadas de estátor.
λ s qdr Enlace de flujo de rotor en coordenadas de estátor.
L m Inductancia magnetizante.
L ls Indutancia de dispersión.
L s Inductancia propia de estátor.
L r Inductancia propia de rotor.
L σs Inductancia transitoria de estátor.
r s
′ Resistencia transitoria de estátor.
ω br Variable compleja de velocidad.
L ABC Matriz de inductancias de estátor en coordenadas abc.
R ABC Matriz de resistencias de estátor en coordenadas abc.
v xn Tensión fase x–neutro.
i x Corriente de fase x.
r x Resistencia de fase x.
L x Inductancia propia de fase x.
L xy Inductancia mutua entre las fases x, y.
L s qd0
Matriz de inductancias de estátor en coordenadas qd0.
h Orden armónico.
λ pm Flujo inducido por el material magnético.
p Operador derivada respecto al tiempo, número de pares de polos.
P Número de polos.
h sp Orden del armónico espacial de la saliencia respecto a 360 ◦ mecánicos.
s Deslizamiento.
f 1 Frecuencia de alimentación
f 2 Frecuencia de las corrientes en el rotor.
Componente fasorial —tensión o corriente— de secuencia positiva.
˜X sp

x
˜X sn
˜X s0
Ṽ sp
Ṽ sn
Ṽ s0
Ĩ sp
Ĩ sn
Ĩ s0
Z
Componente fasorial —tensión o corriente— de secuencia negativa.
Componente fasorial —tensión o corriente— de secuencia cero.
Fasor de tensión de secuencia positiva.
Fasor de tensión de secuencia negativa.
Fasor de corriente de secuencia cero.
Fasor de corriente de secuencia positiva.
Fasor de corriente de secuencia negativa.
Fasor de corrienten de secuencia cero.
Matriz de impedancias.

Índice general
1. Introducción 1
1.1. Ámbito de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Objetivos de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Estructura de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2. Asimetrías espaciales en máquinas de alterna 9
2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2. Asimetrías espaciales en el motor de inducción . . . . . . . . 12
2.2.1. Saliencias inducidas por saturación . . . . . . . . . . . 12
2.2.2. Saliencias por ranurado del rotor y estátor en motores
de inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.3. Saliencia creada por modulación espacial de las ranuras
del rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.4. Saliencia creada por la variación de la resistencia del
rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.5. Saliencias inducidas por intermodulación . . . . . . . . 18
2.3. Asimetrías espaciales en el motor de imanes permanentes . . 20
2.3.1. Saliencias dependientes de la posición del rotor . . . . 20
2.3.2. Saliencias inducidas por saturación . . . . . . . . . . . 21
2.3.3. Saliencias inducidas por intermodulación . . . . . . . . 22
2.4. Asimetrías causadas por fallos en el motor . . . . . . . . . . . 22
2.4.1. Saliencias debidas a cortocircuitos entre espiras de
estátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.2. Saliencias debidas a excentricidades . . . . . . . . . . 24
2.4.3. Saliencia causada por rotura en barras de rotor del
motor de inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

xii
ÍNDICE GENERAL
3. Modelo teórico general de máquinas con saliencias espaciales
29
3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2. Modelo matemático del motor de inducción . . . . . . . . . . 30
3.3. Modelo de alta frecuencia del motor de inducción . . . . . . . 33
3.4. Modelo matemático del motor de imanes permanentes . . . . 37
3.5. Métodos de excitación de alta frecuencia . . . . . . . . . . . . 39
3.6. Excitación con un vector giratorio de alta frecuencia . . . . . 43
3.6.1. Conexión en estrella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.6.2. Conexión en triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.7. Excitación con una modulación en amplitud . . . . . . . . . . 52
3.7.1. Conexión en estrella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.7.2. Conexión en triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.8. Rastreo de saliencias utilizando los armónicos de conmutación
del inversor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.9. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4. Control sensorless mediante inyección de una señal portadora
de alta frecuencia 61
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2. Criterios generales para la selección de la señal portadora . . 62
4.3. Implementación utilizando la corriente portadora de secuencia
negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.3.1. Adquisición de señales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.4. Implementación utilizando la tensión portadora de secuencia
cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.4.1. Selección de la señal portadora y adquisición de señales 70
4.5. Implementación utilizando la corriente de secuencia cero . . . 77
4.5.1. Selección de la señal portadora y adquisición de señales 77
4.6. Compensación de saliencias inducidas por saturación . . . . . 80
4.7. Compensación de saliencias inducidas por intermodulación . . 87
4.8. Control sensorless de posición . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.8.1. Precisión del sistema de control: Análisis cuantitativo
de la calidad de la señal portadora . . . . . . . . . . . 90
4.8.2. Estimación de la posición del rotor . . . . . . . . . . . 97

ÍNDICE GENERAL
xiii
4.9. Estimación de la posición del flujo en el rotor . . . . . . . . . 106
4.10. Diagnóstico de máquinas accionadas desde inversores utilizando
una señal portadora de alta frecuencia . . . . . . . . . 108
4.10.1. Detección de fallos en el estátor . . . . . . . . . . . . . 108
4.10.2. Detección de fallos en el rotor . . . . . . . . . . . . . . 109
4.11. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5. Procesamiento de la señal portadora de alta frecuencia mediante
redes neuronales 113
5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.2. Fundamentos de redes neuronales . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.2.1. Modelo biológico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.2.2. Modelos de neuronas artificiales . . . . . . . . . . . . . 116
5.2.3. Redes neuronales artificiales . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.2.4. Algoritmos de entrenamiento . . . . . . . . . . . . . . 119
5.3. Redes neuronales estructuradas . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.3.1. Fundamentos teóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.3.2. Incorporación del conocimiento apriorístico . . . . . . 124
5.3.3. Algoritmos de entrenamiento . . . . . . . . . . . . . . 125
5.3.4. Desacoplo de saliencias secundarias mediante redes
neuronales estructuradas . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.4. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.4.1. Entrenamiento de la red . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.4.2. Estimación de la posición . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6. Diagnóstico de motores de inducción sin excitación de alta
frecuencia 149
6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.2. Diagnóstico de máquinas de alterna utilizando variables eléctricas
terminales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.2.1. Diagnóstico de máquinas de alterna utilizando las corrientes
de estátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.2.2. Diagnóstico de máquinas de alterna utilizando variables
derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

xiv
ÍNDICE GENERAL
6.2.3. Diagnóstico de máquinas de alterna utilizando componentes
de secuencia cero . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.3. Detección de fallos de aislamiento en el estátor . . . . . . . . 154
6.3.1. Detección de fallos en el estátor utilizando MCSA . . 155
6.3.2. Detección de fallos en el estátor utilizando componentes
de secuencia negativa . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.3.3. Análisis utilizando componentes de secuencia cero . . 162
6.3.4. Validación experimental: Fallos en el estátor . . . . . . 165
6.4. Detección de barras de rotor dañadas . . . . . . . . . . . . . . 167
6.4.1. Detección de barras rotas con metodología MCSA . . 168
6.4.2. Extensión de MCSA a variables complejas . . . . . . . 169
6.4.3. Detección de barras rotas mediante componentes de
secuencia cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.4.4. Validación experimental: Fallos en el rotor . . . . . . . 171
6.5. Diagnóstico de máquinas de alterna conectadas a red mediante
redes neuronales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.5.1. Back-Propagation complejo . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.5.2. Aplicación al diagnóstico de máquinas de alterna . . . 174
6.6. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7. Conclusiones y Trabajo futuro 181
7.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
7.2. Contribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7.3. Trabajo Futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
A. Implementación práctica 209
A.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
A.2. Métodos de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
A.3. Diagnóstico de máquinas de alterna . . . . . . . . . . . . . . . 213
B. Publicaciones 215
B.1. Comparison of Saliency-Based Sensorless Control Techniques
for AC Machines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
B.2. Rotor Position Estimation of AC Machines Using the Zero-
Sequence Carrier-Signal Voltage . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

ÍNDICE GENERAL
xv
B.3. Rotor and Flux Position Estimation in Delta-Connected AC
Machines Using the Zero-Sequence Carrier-Signal Current . . 237
B.4. Saliency tracking-based, sensorless control of AC machines
using structured neural networks . . . . . . . . . . . . . . . . 247
B.5. Diagnostics of Induction Machines Using the Zero Sequence
Voltage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
B.6. Induction Machine Diagnostics Using Zero Sequence Components
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

Capítulo 1
Introducción
1.1. Ámbito de la tesis
Las máquinas eléctricas de alterna representan, en los países desarrollados,
un porcentaje mayoritario de la potencia eléctrica total instalada. Las
prestaciones que proporcionan los modernos accionadores eléctricos, unido
a las ventajas intrínsecas de las máquinas de alterna frente a las de continua,
en términos de eficiencia, tamaño y mantenimiento, no han hecho sino
acentuar este hecho. El uso masivo de accionadores eléctricos de alterna en
aplicaciones hasta hace unos pocos años restringidas a motores de continua,
ha abierto nuevas líneas de investigación. La mejora de prestaciones, tanto
en términos de eficiencia como en posibilidades de control, la reducción de
los costes, y el incremento de la fiabilidad son aspectos claves en el diseño
de nuevos accionadores.
Para poder alcanzar unas prestaciones en el control similares a las de los
motores de continua, es habitual usar en las máquinas de alterna técnicas
de control vectorial, siendo probablemente el control en campo orientado
la opción más utilizada. Para la implementación de este tipo de control es
preciso conocer la posición del flujo de rotor. Aunque se han desarrollado
numerosos métodos para estimar el flujo de rotor, los métodos utilizados en
aplicaciones que requieren el funcionamiento continuado a muy baja velocidad,
velocidad cero, o control de posición, precisan el conocimiento de la
posición del rotor. La medida de la velocidad/posición es además necesaria,
y con una precisión mucho más elevada, para poder implementar sistemas
de control de movimiento –control de velocidad/posición–. El sensor más
utilizado en la actualidad para medir la velocidad/posición del rotor es el
encóder incremental. Este tipo de sensor presenta varios inconvenientes. Por
un lado, el precio es relativamente elevado, pudiendo llegar a superar el
del motor para el caso de motores de pequeña potencia. Por otro lado, son

2 Introducción
dispositivos que pueden presentar problemas adicionales de robustez, mantenimiento,
montaje y cableado en determinadas aplicaciones o ambientes
industriales.
Durante los últimos años, se ha dedicado un notable esfuerzo de investigación
al desarrollo de técnicas de estimación de velocidad/posición con
el objetivo final de eliminar el sensor. Las técnicas propuestas se pueden
separar en dos grandes grupos: 1) estimación mediante el uso de la fuerza
contra-electromotriz y 2) rastreo de saliencias 1 (asimetrías) espaciales. El
primer grupo tiene como principales limitaciones la pérdida de precisión a
velocidades bajas, lo que imposibilita su uso a muy baja velocidad o velocidad
cero, y en control de posición. Además, estas técnicas se basan en
modelos de la máquina, por lo que van a depender de la precisión en la estimación
de parámetros eléctricos que, asimismo, pueden variar con el punto
de trabajo de la misma (niveles de flujo y par), y verse afectados por otros
factores externos, como es la temperatura.
El empleo de técnicas basadas en el rastreo de saliencias espaciales en el
motor, y en particular aquéllas que utilizan una señal de excitación de alta
frecuencia superpuesta a la excitación fundamental, soluciona los problemas
de los métodos basados en la fuerza contra-electromotriz. Por un lado, al
utilizar una excitación persistente de alta frecuencia, se consigue hacer el
método independiente de la excitación fundamental, y extender su funcionamiento
hasta la zona de muy baja velocidad o velocidad cero. Por otro,
las saliencias rastreadas están asociadas, en principio, a características constructivas
del motor, no dependiendo de parámetros eléctricos adicionales.
El diagnóstico es otra de las líneas de investigación relevantes en el campo
de los accionamientos eléctricos. Las estrategias de mantenimiento han
evolucionado desde un estadio inicial, en el cual se empleaba el mantenimiento
correctivo para solventar el fallo tras su aparición, hacia métodos de
mantenimiento predictivo, para predecir el fallo. Los inconvenientes asociados
al mantenimiento correctivo —parada incontrolada del proceso y daños
causados en los equipos— resultan a menudo inadmisibles en las estrategias
de producción actuales. Con el desarrollo de técnicas estadísticas para
la estimación de la vida útil de un equipo, se introdujo el mantenimiento
preventivo. Esta estrategia presenta el inconveniente de operar con un
margen de seguridad que hace que se reemplacen componentes en máquinas
que no presentan ningún indicio de fallo. En los últimos años, el desarrollo
1 El término saliencia proviene del inglés saliency, no existiendo una traducción literal
al castellano.

1.1 Ámbito de la tesis 3
de métodos que permiten monitorizar el estado de las máquinas basándose
en medidas, realizadas ya sea de manera on-line 2 u off-line, ha hecho
evolucionar las técnicas de diagnóstico hacia el mantenimiento predictivo.
La necesidad de detectar fallos en las máquinas en sus etapas incipientes,
evitando de esta manera daños más serios o irreparables en la máquina y
paradas incontroladas en el proceso asociado, hacen especialmente atractivos
los métodos de diagnóstico on-line, frente a métodos off-line [148]. Por lo
tanto, el esquema de diagnóstico deseado en las máquinas eléctricas se puede
definir como mantenimiento predictivo en línea.
A la hora de clasificar los métodos de diagnóstico de máquinas eléctricas,
se pueden diferenciar dos enfoques básicos. Aquellos basados en la medida
de desequilibrios eléctricos en la máquina, utilizando para ello únicamente
variables eléctricas terminales (tensiones y corrientes), y aquellos que precisan
de sensores adicionales, como son acelerómetros [124], sensores de flujo
axial [131, 132], ensayo de respuesta transitoria 3 [134]. . . etc.
Los métodos que utilizan variables terminales de la máquina presentan
la ventaja de que las medidas son relativamente fáciles de realizar, y a menudo
los sensores necesarios ya están instalados, bien sea para el control o
bien para la protección de la máquina. Entre estos métodos, han recibido
especial atención los basados en la medida de componentes de secuencia inversa.
Estas técnicas presentan, sin embargo, diversos problemas, como son
la dificultad para aislar las componentes debidas al fallo de las debidas a
otro tipo de desequilibrios, como los inducidos por un sistema de alimentación
desequilibrado, o aquellas asimetrías inherentes al diseño de la propia
máquina o debidas a imperfecciones del proceso constructivo. Otro de los
problemas a los que se enfrentan este tipo de técnicas es la dependencia de
la estimación con el punto de funcionamiento de la máquina (niveles de flujo
y de par). Para solventar estos inconvenientes, se han propuesto y explorado
soluciones en tres direcciones: 1) el procesamiento de señal, empleando
técnicas de inteligencia artificial [159], 2) el uso de variables eléctricas derivadas,
como la impedancia efectiva de secuencia negativa [136], el error de
tensión [136] o la impedancia cruzada [145], y 3) la utilización de señales de
2 Los conceptos on-line y off-line están a menudo ligados a otro concepto importante,
tiempo real. Aunque existe cierta disparidad en la utilización de estos términos en la
literatura, el término on-line se refiere habitualmente a métodos que no interfieren con el
funcionamiento normal de la máquina, y que proporcionan una estimación de su estado
en un tiempo breve, es decir, en tiempo real. Métodos off-line son aquellos que necesitan
condiciones especiales de funcionamiento de la máquina y, a menudo, no en su ubicación
habitual sino en una bancada de ensayos.
3 del inglés surge test.

4 Introducción
excitación adicionales en el caso de máquinas accionadas desde variadores
de frecuencia [127].
El nexo común entre las técnicas de estimación de velocidad/posición basadas
en el rastreo de saliencias, y el diagnóstico de máquinas basado en la
medida de componentes de secuencia inversa, es que ambas se fundamentan
en el rastreo de asimetrías espaciales. En el primer caso, asimetrías constructivas
deterministas, intrínsecas al diseño de la máquina; en el segundo,
asimetrías derivadas de un fallo en la máquina. Desde esta perspectiva, esta
tesis analiza y trata de explotar las similitudes entre ambas líneas, desarrollando
modelos y proponiendo métodos de procesamiento de señal que
permitan detectar y rastrear asimetrías, aplicados tanto a la estimación de
velocidad/posición para el control de la máquina como a su diagnóstico.
1.2. Objetivos de la tesis
Los objetivos concretos de esta tesis son:
1. Análisis comparativo de las técnicas sensorless basadas en el rastreo
de saliencias espaciales mediante inyección de una señal de excitación
de alta frecuencia.
Este estudio abordará tanto los fundamentos físicos de cada técnica
como los aspectos más relevantes para su implementación, incluyendo:
Características de la señal de alta frecuencia inyectada.
Número y tipo de sensores (corriente/tensión) necesarios.
Influencia sobre la técnica de distintos aspectos prácticos, como
el comportamiento no ideal del inversor, el desacoplo de saliencias
inducidas por saturación, y el de otras saliencias secundarias.
Ancho de banda y precisión en la medida esperables.
Complejidad de implementación.
2. Métodos para la compensación de las saliencias inducidas por saturación,
de las debidas a intermodulación, así como de los efectos causados
por el comportamiento no ideal del inversor.
Este estudio aborda tanto métodos tradicionales, basados en el uso de
tablas de desacoplo, 4 como técnicas basadas en redes neuronales.
3. Empleo de diferentes topologías de redes neuronales en la implementación
de técnicas sensorless basadas en el rastreo de saliencias espaciales.
4 Traducción del término look-up table.

1.2 Objetivos de la tesis 5
Un aspecto esencial de este punto será el desarrollo de redes neuronales
estructuradas. Dichas redes permiten incorporar el conocimiento
apriorístico de las caracerísticas físicas del sistema a la estructura de
la red, mejorando la eficiencia, tanto en términos de precisión como de
complejidad de implementación, con respecto a las redes convencionales.
Los objetivos de dichas redes incluyen:
Compensación de saliencias inducidas por saturación, de saliencias
inducidas por intermodulación, y de los efectos causados por
el comportamiento no ideal del inversor mencionados en el punto
anterior.
Procesamiento de la señal portadora para la estimación de la
posición del flujo de rotor.
Procesamiento de la señal portadora para la estimación la posición
del rotor.
Mejora de las técnicas clásicas de entrenamiento de redes neuronales,
basándose en la simplicidad y en el conocimiento de la
topología de la red.
4. Detección de fallos mediante el estudio de asimetrías electromagnéticas.
Cortocircuitos entre espiras en el estátor, o barras agrietadas o rotas
en el rotor de motores de inducción, dan lugar a asimetrías electromagnéticas,
que es posible detectar aplicando métodos similares a los
utilizados en las técnicas sensorless descritas anteriormente. En este
caso, tiene especial importancia la detección de dichas asimetrías a
partir de la respuesta de la máquina a la excitación fundamental (es
decir, sin inyectar una señal portadora de alta frecuencia), ya que,
entonces, las técnicas serían aplicables a máquinas conectadas a red.
Se incluye el desarrollo de un modelo simplificado de la máquina, que
permite identificar las componentes espectrales de las variables eléctricas
que contienen información de la asimetría, así como la discusión
de criterios para elegir las variables eléctricas más apropiadas, y el
procesamiento de la señal necesario para extraer dicha información.
5. Aplicación de las redes neuronales a la detección y diagnóstico de fallos
en el motor.
En este punto, se estudiará la viabilidad de las redes neuronales aplicadas
en técnicas sensorless a la detección de fallos en el motor. Particularmente,
se mostrará el uso de redes neuronales de variable compleja
aplicadas a la detección de fallos.

6 Introducción
1.3. Estructura de la tesis
Esta tesis se divide en siete capítulos, según la siguiente estructura:
En el capítulo 1 se ha realizado una introducción de la misma, delimitando
las líneas de investigación a seguir. Asimismo, se han planteado los objetivos
a desarrollar en la tesis.
En el capítulo 2 se introducen las características, tanto mecánicas como
eléctricas, que determinan la existencia de asimetrías en una máquina. Estas
asimetrías pueden ser empleadas tanto para control como para diagnóstico,
o pueden ser asimetrías no deseadas, que interfieren con las anteriores, y que,
por tanto, es necesario compensar. Se hace una primera distinción entre los
motores de inducción y los de imanes permanentes. Se modelan las diferentes
saliencias, incidiendo sobre las diferencias entre ambas máquinas.
En el capítulo 3 se presentan las expresiones matemáticas de los modelos
de las máquinas de inducción e imanes permanentes, tanto en baja como en
alta frecuencia. Para el caso del motor de inducción se plantea inicialmente
el modelo teórico en variables complejas, utilizado para describir la máquina
equilibrada. A continuación se desarrolla el modelo de inductancias, que
incluye las posibles asimetrías. Partiendo de estos modelos, y para el caso
de excitación de alta frecuencia, se obtienen las expresiones de los acoplamientos
con las diferentes variables terminales consideradas —corriente de
secuencia negativa y componentes de secuencia cero—, para máquinas conectadas
tanto en estrella como en triángulo. Se resuelven las expresiones
para excitación con un vector giratorio de alta frecuencia y para modulación
en amplitud. El análisis realizado incluye las condiciones que deben de
cumplir las asimetrías para acoplarse con las variables eléctricas terminales,
así como la influencia de parámetros de la excitación de alta frecuencia, como
la frecuencia de la excitación, sobre dichas variables. Se realiza un recorrido
descriptivo sobre las diferentes alternativas existentes en la bibliografía
para extraer la información contenida en las saliencias. Finalmente, y como
ampliación del punto anterior, se realiza un estudio del conjunto de técnicas
basadas en los armónicos inyectados por el inversor para realizar el rastreo
de las asimetrías.
El capítulo 4 analiza el problema de la estimación de la velocidad/posición
mediante la inyección de una señal portadora de alta frecuencia. En primer
lugar se analizan los aspectos relativos a la selección tanto de la señal
portadora como de las variables a medir para la estimación de la velocidad/posición.
En los sucesivos subapartados se desarrollan los aspectos que

1.3 Estructura de la tesis 7
intervienen en la estimación de la posición del flujo de la máquina, la compensación
de las perturbaciones que afectan a las medidas y, finalmente, en
la estimación de la posición del rotor, y se muestran los resultados experimentales
obtenidos. En el último punto se incluye el estudio de las técnicas
de diagnóstico que hacen uso de una señal de excitación de alta frecuencia.
En el capítulo 5 se introducen técnicas avanzadas de procesamiento de
señal basadas en redes neuronales. Dichas técnicas se aplican a la compensación
de saliencias secundarias en los métodos sensorless que utilizan una
señal de excitación de alta frecuencia. En primer lugar, se analizan las características
de las saliencias secundarias que hacen recomendable el empleo de
redes neuronales. Se realiza una breve introducción a la nomenclatura utilizada
en la bibliografía. Se describen diferentes topologías de redes neuronales,
empleadas por diversos autores en métodos de control sensorless. Se analizan
los inconvenientes introducidos por la aplicación de redes neuronales
a problemas de control. A continuación, se introducen las redes neuronales
estructuradas como alternativa a las topologías convencionales. Centrándose
en la tensión de secuencia cero, se analiza el modelo que describe las saliencias
inducidas por saturación e intermodulación para su incorporación a la
estructura de la red. Se desarrollan diferentes topologías para el desacoplo
de saliencias inducidas por saturación, intermodulación y rastreo de la posición.
Se muestran las ventajas de este tipo de redes sobre otros métodos de
desacoplo y, finalmente, los resultados de su aplicación al control sensorless
de un motor de inducción.
El capítulo 6 está dedicado al diagnóstico de motores de inducción sin
inyección de una señal de excitación de alta frecuencia. Se estudian técnicas
de detección de dos de los fallos más comunes en máquinas eléctricas de
alterna: cortocircuitos entre espiras de estátor y barras dañadas o rotas en
el rotor. Se recogen los diferentes métodos de diagnóstico existentes en la bibliografía.
Se analiza el empleo de técnicas de análisis espectral, basadas en
componentes de secuencia negativa y empleando componentes de secuencia
cero. Se prestará especial atención a las técnicas de diagnóstico que utilizan
las componentes de secuencia cero para la detección de fallos tanto en
el estátor como en el rotor. Finalmente, se describe la aplicación de redes
neuronales de variable compleja al diagnóstico de fallos en el estátor.
En el capítulo 7 se resume el trabajo realizado en esta tesis. Se detallan las
conclusiones alcanzadas, las contribuciones realizadas, y las posibles líneas
de investigación que se derivan del presente trabajo.

8 Introducción

Capítulo 2
Asimetrías espaciales en
máquinas de alterna
2.1. Introducción
Las saliencias (asimetrías) espaciales presentes en cualquier tipo de máquina
eléctrica pueden proporcionar información útil tanto para su control sensorless
como para su diagnóstico. Las máquinas síncronas de polos salientes,
las de reluctancia síncrona, las de imanes permanentes enterrados y las de
reluctancia conmutada contienen saliencias como parte esencial de su diseño,
es decir, éstas desempeñan una función esencial en el funcionamiento
normal de la máquina [?]. Las máquinas síncronas de imanes permanentes
superficiales y las máquinas de inducción, por el contrario, tienen un diseño
esencialmente simétrico. Aún así, incorporan cierto grado de asimetría
que puede ser utilizado para implementar el control sin sensor de velocidad/posición.
La interacción de las asimetrías con los devanados del estátor,
va a permitir extraer información relativa a su magnitud y orientación espacial
a partir de las variables eléctricas terminales (tensiones y corrientes)
de la máquina.
La metodología a seguir en el rastreo de saliencias, independientemente
de que el objetivo sea control o diagnóstico, se puede dividir en dos puntos:
1) determinar las características físicas de las saliencias, y 2) determinar su
acoplamiento con las variables eléctricas medibles de la máquina. El primer
punto estudia los diferentes tipos de saliencias (intrínsecas al principio de
funcionamiento de la máquina, derivadas de características constructivas, resultantes
de imperfecciones del proceso de fabricación, o debidas a algún tipo
de fallo), analiza los aspectos físicos que intervienen en su generación (características
geométricas y características electromagnéticas de la máquina)

10 Asimetrías espaciales en máquinas de alterna
y obtiene un modelo matemático válido para su análisis. El segundo punto
analiza los efectos provocados por estas saliencias en las variables eléctricas
terminales del motor, lo que a su vez determinará el número y tipo de sensores
a utilizar y algunos aspectos importantes del procesamiento de señal
necesario.
En este capítulo se estudian los aspectos electromagnéticos y mecánicos
que van a dar lugar a la aparición de saliencias en las máquinas eléctricas.
El acoplamiento de estas saliencias con las variables eléctricas terminales se
mostrará en el capítulo 3. Los efectos de dicho acoplamiento serán empleados
en los esquemas de control presentados en el capítulo 4 y en las técnicas
de diagnóstico descritas en el capítulo 6. El capítulo analiza, tanto de forma
cualitativa como cuantitativa, los tipos de asimetrías que pueden existir en
una máquina. El desarrollo se centrará en dos tipo de máquinas trifásicas
de alterna: la máquina de inducción y la máquina síncrona de imanes permanentes.
Se explica el origen físico de las saliencias y se determinan las
condiciones que deben cumplir para que den lugar a efectos medibles en las
variables eléctricas terminales.
El modelo de saliencias usado a lo largo del capítulo se basa en el desarrollado
en [3] por Degner. Dicho modelo contempla la existencia de múltiples
saliencias en una máquina, analizando las interacciones que se producen
entre ellas. El modelado de una saliencia se puede realizar en base a tres
características: 1) el orden de armónico espacial, 2) la velocidad de giro, y
3) la magnitud. El efecto de una asimetría en la permeancia del entrehierro
puede describirse según la expresión (2.1)
(
)
∆P airg(θsm,t) = f s cos h sp (θ sm + ϕ sal(t) )
(2.1)
donde
∆P airg
f s
h sp
θ sm
ϕ sal
: variación de la permeancia, evaluada a lo largo del entrehierro,
debida a la saliencia.
: magnitud de la saliencia.
: orden del armónico espacial de la saliencia respecto a 360 ◦
mecánicos.
: posición angular de un punto del entrehierro. θ sm ∈ [0, 360 ◦ ] en
unidades mecánicas.
: posición de la saliencia respecto al origen de ángulos del estátor.
El orden armónico espacial —h sp — se define como la inversa del periodo
de la asimetría, medido respecto a 360 ◦ mecánicos. Es decir, una saliencia
cuyo efecto se repita cada n grados mecánicos, tendrá un orden de armónico
espacial,
h sp = 360
(2.2)
n

2.1 Introducción 11
La magnitud de la saliencia —f s — permite cuantificar el nivel de la asimetría.
Es importante notar que la amplitud de la componente diferencial
de la permeancia en el entrehierro —∆P airg — es referida normalmente respecto
al valor medio de dicha permeancia, ya que es la relación entre ambas
el parámetro que realmente va a determinar los efectos que la saliencia va a
tener sobre las variables terminales del motor.
La ecuación (2.1), puede derivarse respecto al tiempo para obtener la
expresión de la variación en la permeancia del entrehierro cuando se produce
un giro en la saliencia, obteniéndose
∂∆P airg
∂t
= −f s h sp
dϕ sal
dt
sin (h sp (θ sm + ϕ sal )) (2.3)
El efecto debido al giro de una saliencia puede ser un subarmónico del origen
físico de dicha saliencia. Un ejemplo son las saliencias debidas al ranurado
del rotor y del estátor. Según se explica en [3], la saliencia por ranurado
está provocada por el giro del rotor. Sin embargo, la velocidad de giro de la
saliencia es un subarmónico de dicha velocidad, según la relación
ω msal =
R
R − S ω r (2.4)
Para reflejar este comportamiento, la variación de la posición de la saliencia
respecto al tiempo —ω msal — se representará como una constante —k sal —
que multiplica la velocidad de giro del origen físico de la saliencia —ω ssal —.
Se define
y
dϕ sal
dt
= ω msal = k sal ω ssal (2.5)
h = h sp k sal (2.6)
∂∆P airg
∂t
= −f s hω ssal sin (h sp (θ sm + ϕ sal ))
aplicando
cos(θ + π/2) = − sin(θ)
donde
ω msal
ω ssal
∂∆P airg
∂t
= ω airg = hω ssal ∆P airg (θ sm + π/2) (2.7)
: velocidad de giro de la saliencia en unidades mecánicas.
: velocidad de giro del origen físico de la saliencia.

12 Asimetrías espaciales en máquinas de alterna
La ecuación (2.5) establece que la velocidad de giro de la variación de
la permeancia en el entrehierro —ω airg — es proporcional a la velocidad de
giro del origen físico de la saliencia —ω ssal —. En (2.6) se define el orden
armónico de la variación en la permeancia —h—. Finalmente, la variación
de la permeancia debida al giro de la asimetría se muestra en la ecuación
(2.7). De esta expresión se desprende que la variación respecto del tiempo en
un punto concreto del entrehierro (θ sm = cte) es proporcional a hω ssal . Esta
relación es de vital importancia, pues indica que para provocar una variación
temporal en la distribución de la permeancia es necesario que se produzca
un giro en la saliencia. Es decir, si la saliencia que induce la variación en la
permeancia no varía con el tiempo, dos posiciones diferentes de la saliencia
inducirán el efecto único de una modulación en la fase de la permeancia, que
dependerá de la posición espacial de la saliencia.
A lo largo del capítulo se describirán las diferentes saliencias que pueden
existir en un motor, y que quedarán definidas por el orden del armónico
espacial —h sp — y la velocidad de giro —ω msal —.
2.2. Asimetrías espaciales en el motor de inducción
Aun siendo sustancialmente simétrica desde el punto de vista electromagnético,
la máquina de inducción presenta algunas irregularidades que
impiden que esta simetría sea perfecta; estas imperfecciones originan la aparición
de saliencias. Normalmente son las características constructivas las
que rompen la total simetría de la máquina. Estas saliencias crean armónicos
adicionales en el flujo magnetizante, además de la componente fundamental,
haciendo que el motor se vea afectado de diferentes maneras: producen
armónicos en el flujo de entrehierro, lo cual origina pérdidas, rizado en la tensión
y en el par, vibraciones y aumento del ruido electromagnético, etc [55].
Pero las saliencias pueden utilizarse también para obtener información de
distintos estados de la máquina, como pueden ser la magnitud o posición
espacial del flujo de rotor, de estátor o de entrehierro de la máquina, la velocidad
del rotor, su posición, el estado de saturación del motor [11], o para
diagnosticar fallos, ya sea en su bobinado [130], o en las barras del rotor en
el caso de motores de jaula de ardilla [127].
2.2.1. Saliencias inducidas por saturación
El comportamiento de las saliencias inducidas por la saturación de los
caminos magnéticos de la máquina ha sido objeto de estudio por varios autores
con el fin de utilizarlas para la orientación de campo en accionadores con

2.2 Asimetrías espaciales en el motor de inducción 13
control vectorial [90,56,85,53,55,54,71,72,86,87,84], o bien para desacoplar
su efecto y evitar que interfieran con otras saliencias [99, 100, 57, 58, 65].
La presencia de excitación fundamental, y del flujo que ésta crea en la
máquina, provoca saturaciones localizadas en determinadas zonas de la misma
y, por tanto, variaciones de inductancia en esas zonas. Esto hace que la
inductancia sea asimétrica. Las zonas saturadas, y con ellas las saliencias
asociadas, irán desplazándose de acuerdo al movimiento del flujo que las
crea. Por medio de diversas técnicas es posible determinar la posición de
estas saliencias; pero para que esta información sea útil, debe establecerse
la relación real entre la posición de la saliencia y la posición de la variable
que la origina, en este caso alguno de los posibles vectores de flujo presentes
en la máquina, puesto que la posición de este vector es el objeto de interés.
El uso de saliencias espaciales para el control sin sensor de velocidad/posición
de accionamientos de alterna puede tener, en principio, dos objetivos:
1) La estimación de la posición del rotor o 2) la estimación de alguno de los
flujos de la máquina.
En el primer caso, la posición del rotor se estima rastreando saliencias
dependientes de la posición del rotor, ya sean debidas al efecto de ranurado
o provocadas deliberadamente. La posición estimada puede luego utilizarse
tanto para el control de velocidad/posición, como para la estimación de la
posición del flujo de rotor, utilizando un observador de flujo adecuado —para
el funcionamiento a baja velocidad o en control de posición, normalmente
basado en el modelo de corriente del motor—. Cuando el objetivo es rastrear
las saliencias asociadas al rotor, las saliencias inducidas por saturación y las
saliencias de intermodulación actúan como perturbaciones que van a afectar
a la precisión en la estimación de la posición del rotor. La capacidad de eliminar
dichas perturbaciones determinará la precisión e incluso la estabilidad
de la estimación, y con ello, las prestaciones finales del control.
En el segundo caso, el objetivo es estimar un flujo de la máquina, normalmente
el flujo de rotor si se trata de implementar el control del motor en
campo orientado. El flujo de rotor se estima rastreando las saliencias inducidas
por saturación. Sin embargo, estas saliencias no van a estar asociadas
únicamente al flujo de rotor, sino que van a verse afectadas en general por
el resto de flujos presentes en la máquina [162, 57, 58]. Esto se manifiesta
habitualmente como una dependencia del comportamiento de las saliencias
inducidas por saturación con el nivel de carga del motor, y con el nivel de
flujo en caso de que este no se mantenga constante. A menos que no se
compense de forma adecuada, esta dependencia puede dar lugar a errores

14 Asimetrías espaciales en máquinas de alterna
importantes en la estimación de la posición del flujo de rotor. En este caso,
pueden existir además perturbaciones adicionales debidas a las saliencias
dependientes de la posición del rotor, si estas existiesen, y las debidas a
intermodulación, que necesitarían también ser compensadas.
El modelo más simple para describir el comportamiento de las saliencias
inducidas por saturación, se obtiene suponiendo una distribución espacial
sinusoidal de la saliencia. Se define el orden espacial de la saliencia —h sp —
como el número de ciclos de ésta por 360 ◦ mecánicos. Para una máquina
con p pares de polos, h sp = 2p. Las saliencias inducidas por saturación
van a girar a la velocidad del flujo de la máquina, es decir, a ω e rad/s. La
variación de la permeancia en el entrehierro girará a una velocidad mecánica
de ω airg = ω e /p. Utilizando la expresión (2.6) se obtiene que h = h sp /p = 2.
En el caso más general de que las saliencias inducidas por saturación no
tengan una distribución espacial sinusoidal se pueden descomponer en series
de armónicos. La expresión general del orden de las saliencias resultante
sería h sp = np, y, por lo tanto, h = 2, 4, 6, . . . El hecho de que el orden sea
siempre un múltiplo entero de 2 se debe a que cualquiera que sea el efecto
de la saturación, éste será igual en el polo norte y en el polo sur de cada par
de polos. El flujo causante de la saturación provocará una disminución de la
inductancia en la región del entrehierro que cruza. Por lo tanto, la magnitud
de la saliencia dependerá de la diferencia del valor de las inductancias en
la zona más saturada y en la que la saturación es menor. Es decir, cuanto
mayor sea la saturación de la máquina mayor será la magnitud de la saliencia
inducida por saturación. Particularizando la expresión (2.1) para el caso de
saliencias inducidas por saturación se obtiene (2.8)
∆P sat = ∆L cos (hp(θ sm + ϕ e )) (2.8)
donde
∆P sat
∆L
h
p
ϕ e
: variación inducida por saturación en la permeancia en el entrehierro.
: variación del valor de las inductancias.
: orden armónico de la variación de la permeancia en el entrehierro.
Es decir, h = hsp
p .
: número de pares de polos.
: posición de la saliencia inducida por saturación.
2.2.2. Saliencias por ranurado del rotor y estátor en motores
de inducción
Las ranuras de los bobinados, tanto del rotor como del estátor, causan
una variación en la permeancia del entrehierro de periodo igual al paso de

2.2 Asimetrías espaciales en el motor de inducción 15
la ranura. Como las máquinas se diseñan de forma que tengan múltiples
ranuras de rotor y estátor por paso polar, la variación de permeancia del
entrehierro debido al ranurado del rotor o del estátor por separado, tiene
normalmente un periodo pequeño, o un número armónico alto, relativo al
paso polar de la máquina, por lo que dicha variación resulta insignificante.
Sin embargo, las variaciones de permeancia provocadas por el ranurado del
rotor y el estátor cobran importancia cuando ambas están presentes en la
máquina [3].
Si estando el rotor en una posición determinada comienza a moverse, la
distribución espacial de la permeancia del entrehierro se modifica. Cuando
el rotor se ha desplazado un ángulo igual al de separación entre dos ranuras
consecutivas del rotor (paso de ranura), la permeancia volverá a tener la
misma distribución espacial que en la posición inicial. La variación de la
permeancia del entrehierro gira, por tanto, a una velocidad que es múltiplo
de la velocidad del rotor [3, 75], y que viene dada por (2.9).
ω agp =
R
R − S ω rm (2.9)
donde
ω agp
ω rm
R
S
: velocidad de la variación de la permeancia del entrehierro.
: velocidad mecánica del rotor.
: número de ranuras de rotor.
: número de ranuras de estátor.
De la expresión en (2.9) se deduce que la permeancia del entrehierro
girará en el sentido de giro del rotor si el número de ranuras de rotor es
superior al de ranuras de estátor, y en sentido contrario si el número de
ranuras de estátor es superior. En [3] se analiza el caso en que el número de
ambas es igual. El resultado de su análisis es que, en este caso, la variación
de permeancia del entrehierro tiene un periodo igual al paso de ranura de
rotor y estátor. Esto hace que varíe la permeancia media cuando el rotor gira
y, por tanto, la inductancia media. En cualquier caso, los diseños con igual
número de ranuras de rotor y estátor se intentan evitar por llevar aparejado
el cosido magnético de la máquina.
La relación entre numero de ranuras de rotor, ranuras de estátor y polos
que debe existir para que se presente esta saliencia se muestra en (2.10) [76].
donde
uP = |nR − mS| (2.10)

16 Asimetrías espaciales en máquinas de alterna
P
u
n
m
: número de polos.
: número armónico de la distribución del bobinado de estátor.
: número armónico de la variación de permeancia del ranurado
de rotor.
: número armónico de la variación de permeancia del ranurado
de estátor.
La magnitud de la saliencia de ranurado depende de parámetros constructivos
del motor. Ranuras abiertas y disminución de la inclinación de las
barras del rotor aumentan el valor del armónico por ranurado, mientras que
ranuras cerradas y aumento de la inclinación tienen el efecto contrario. Particularizando
(2.10) para los valores u = n = m = 1, los cuales producen la
mayor variación dependiente de la posición del rotor [76], y sustituyendo en
la expresión (2.1) para el caso de saliencias de ranurado se obtiene (2.11)
∆P hr = ∆G cos (|R − S|(θ sm + ϕ m )) (2.11)
donde
∆P hr
∆G
ϕ m
: variación en la permeancia en el entrehierro inducida por la
saliencia de ranurado.
: magnitud de la asimetría de origen constructivo.
: posición de la saliencia en unidades mecánicas.
2.2.3. Saliencia creada por modulación espacial de las ranuras
del rotor
Es posible crear una saliencia dependiente de la posición del rotor mediante
la alteración determinista de la apertura en las ranuras del rotor,
según se muestra en la figura 2.1. De esta manera, cualquier motor, independientemente
de la combinación entre el número de ranuras de estátor y
de barras de rotor, puede ser empleado en un esquema sensorless.
Modificando la apertura de las ranuras, de manera que presenten una
modulación espacial aproximadamente senoidal, se obtiene una variación
espacial senoidal en la inductancia de dispersión del rotor y, con ello, una
modulación de la inductancia transitoria de estátor (Figura 2.2). La modificación
en la apertura de las ranuras de estátor suele realizarse con un periodo
igual al paso polar de la máquina. El orden de la saliencia resultante es en
este caso h = 2, ya que va a dar lugar al mismo efecto en el polo norte y en
el polo sur de cada par de polos. En la práctica, la modulación en la apertura
no va a ser exactamente senoidal, por lo que pueden aparecer armónicos
adicionales de orden superior. La amplitud de la saliencia dependerá de la
diferencia entre la apertura máxima y mínima introducida en la modulación
espacial. La expresión (2.1), particularizada para las saliencias creadas por

2.2 Asimetrías espaciales en el motor de inducción 17
(a) Foto de prototipo de laboratorio
con la apertura de las ranuras
del rotor moduladas.
(b) Visión esquemática de la apertura
introducida (corte transversal).
Figura 2.1: Motor con apertura modulada de las ranuras del rotor.
ancho del corte (mm)
2
1.5
1
0.5
0
0 5 10 15 20 25 30
número de ranura
Figura 2.2: Anchura del corte en cada ranura. Cortes de 0.25, 0.5, 0.8, 1.0, 1.6 y
2mm.
la modulación espacial de las ranuras del rotor, es análoga a la obtenida
para el caso de las saliencias inducidas por saturación. Sin embargo, en este
caso, la posición de la saliencia depende de la posición del rotor en lugar de
la del flujo. La expresión se muestra en (2.12)
∆P hm = ∆W cos (hp(θ sm + ϕ r )) (2.12)
donde
∆P hm
∆W
: variación en la permeancia en el entrehierro inducida por la
modulación de la apertura.
: variación en la amplitud de la apertura.

18 Asimetrías espaciales en máquinas de alterna
2.2.4. Saliencia creada por la variación de la resistencia del
rotor
En [57], Briz y otros hacen un análisis del efecto de las saliencias inducidas
por saturación, las cuales dependen, generalmente, del nivel de carga
del motor, sobre las saliencias dependientes de la posición del rotor. Con
el objetivo de obtener una asimetría dependiente de la posición del rotor e
independiente de los niveles de flujo y par del motor, en [67] Cilia y otros
plantean la modulación deliberada de la resistencia de rotor. Para ello se
modifica la zona exterior de la jaula del rotor, bien variando la amplitud del
puente, en motores de una jaula, o modificando la sección del conductor de
cobre en el ranurado externo de un motor de doble jaula. Esta modulación
se realiza de tal manera que su periodo coincida con el paso polar de la
máquina.
Superponiendo una excitación de alta frecuencia a la excitación fundamental,
y dado que la reactancia de la sección interior frente a las componentes
de alta frecuencia es mayor que la de la zona exterior, se inducen en esta
zona externa las corrientes debidas a la excitación del alta frecuencia. Dichas
corrientes se verán afectadas por la variación de la resistencia, e inducirán
a su vez componentes de alta frecuencia en las corrientes de estátor que
contendrán información de la posición espacial de la asimetría.
La técnica descrita tiene como principales inconvenientes la necesidad de
modificar el rotor de la máquina para provocar la saliencia. Adicionalmente,
y con objeto de aumentar la relación frente a las saliencias inducidas por
saturación, es necesario que el rotor tenga las ranuras abiertas, aunque este
requisito existe también para los otros métodos de generación de saliencias
en el rotor (ranurado de rotor-estátor, y modulación de la apertura de las
ranuras de rotor). Para obtener prestaciones similares a los métodos basados
en la modulación en la apertura de las ranuras del rotor [89] es necesario
aumentar el grado de la asimetría, incrementando la diferencia entre la resistencia
máxima y la mínima. La disminución del valor mínimo por debajo del
nominal provoca, según describen los autores, problemas de rizado de baja
frecuencia en el par. Por ello, precisan incrementar el valor de la resistencia
máxima de la jaula externa hasta 5 veces por encima de su valor nominal.
2.2.5. Saliencias inducidas por intermodulación
La presencia de múltiples saliencias en una máquina, y en particular aquellas
con un origen físico distinto (mecánico y magnético), van a provocar en
general efectos secundarios indeseados [75]. La interacción entre las saliencias
de origen magnético (saturación) con las de origen mecánico (ranurado,

2.2 Asimetrías espaciales en el motor de inducción 19
modulación de apertura de los puentes del rotor,. . . ) va a dar lugar a saliencias
que se suelen denominar de intermodulación. Estas saliencias se pueden
describir en función de las que las originan, según el modelo de múltiples
saliencias presentado en [3]. En dicho modelo, se descomponen las asimetrías
en series de Fourier. Las saliencias por intermodulación pueden calcularse
a partir de la suma de las componentes de origen mecánico y las de origen
magnético. Según esto, las saliencias inducidas por intermodulación tendrán
la forma (2.13)
∑ ∑
cos(h r θ rm + h e θ em + ϕ hehr ) (2.13)
h e
donde
h r
h e
θ rm
θ em
ϕ hehr
h r
: orden del armónico de la asimetría de origen mecánico relativo
a 360 ◦ mecánicos.
: orden del armónico de la asimetría de origen magnético relativo
a 360 ◦ mecánicos.
: posición de la saliencia mecánica en unidades mecánicas.
: posición de la saliencia magnética en unidades mecánicas.
: desfase inicial en las componente inducida por intermodulación.
En la anterior expresión se observa que la velocidad de rotación de las
saliencias por intermodulación depende de la frecuencia de la excitación
eléctrica y de la velocidad de giro mecánica. Por lo tanto, este tipo de saliencias
girarán a una velocidad función del deslizamiento de la máquina.
El orden espacial de los armónicos de intermodulación, relativo a 360 ◦
mecánicos, se calcula como la suma de los órdenes de las saliencias que los
originan. Es decir,
h sp = h m sp + h e sp (2.14)
La expresiones (2.13) y (2.14) se pueden particularizar para considerar
únicamente las componente inducidas por saturación y las debidas a la saliencia
por ranurado de rotor/estátor. Para dicho caso se obtiene la expresión
(2.15), para la velocidad de giro de los armónicos, y (2.16) para el orden de
armónico.
θ hehr = cos
(Rθ rm + n P )
2 θ em + ϕ hehr (2.15)
h sp = |R − S| + P (2.16)
donde
R
S
n
P
: número de barras de rotor.
: número de ranuras de estátor.
: orden del armónico de la excitación fundamental.
: número de polos de la máquina.

20 Asimetrías espaciales en máquinas de alterna
2.3. Asimetrías espaciales en el motor de imanes
permanentes
Los motores trifásicos de imanes permanentes se suelen clasificar [163]
en:
motores sin escobilla de excitación continua (brushless d.c. motors)
motores síncronos de excitación alterna (synchronous a.c. motors)
La diferencia esencial entre ambos tipos de motores se encuentra en el sistema
de alimentación. En los motores de excitación continua se emplean
formas de onda trapezoidales, conduciendo sólo dos fases al mismo tiempo.
Este tipo de excitación se conoce como conmutación electrónica y es
funcionalmente equivalente a la conmutación mecánica en los motores de
continua. En los motores de alterna se emplea un sistema polifásico senoidal
equilibrado, al igual que en las máquinas de alterna tradicionales. El rastreo
de saliencias espaciales realizado en esta tesis se restringe a los motores
síncronos con excitación de alterna.
Otra posible clasificación, atendiendo a la disposición de los imanes, establece:
motores de imanes permanentes enterrados (interior permanent magnet
motors), entre los que se distingue:
- distribución tangencial
- distribución radial
motores de imanes permanentes superficiales (surface permanent magnet
motors)
En las figuras 2.3 y 2.4 se muestran diferentes representaciones esquemáticas
de motores de imanes permanentes: Imanes permanentes enterrados,
distribución tangencial —2.3(a)—, distribución radial —2.3(b)—; imanes
superficiales —2.4—.
2.3.1. Saliencias dependientes de la posición del rotor
Al ser las máquinas de imanes permanentes síncronas, las saliencias asociadas
al diseño del rotor girarán a la velocidad de sincronismo. Las variaciones
en la permeancia de la máquina debidas a la presencia del imán van a
ser iguales en el polo norte y en el sur, por lo que el orden de armónico asociado
va a ser igual a 2. Adicionalmente, va a existir una saliencia asociada
al material magnético del imán del rotor. La determinación de la polaridad
del imán mediante el rastreo de esta saliencia va a ser imprescindible para
implementar el control del motor.

2.3 Asimetrías espaciales en el motor de imanes permanentes 21
d
S
N
S
N
q
S
N
d
N
S
N
q
S
N
S
N
S
S
N
(a) Motor de imanes permanentes enterrados
con geometría tangencial.
(b) Motor de imanes permanentes
enterrados con geometría radial.
Figura 2.3: Geometrías de motores de imanes permanentes enterrados, 2.3(a) distribución
tangencial, 2.3(b) distribución radial.
En [7], se propone la detección de la polaridad mediante la inyección
de corriente en el eje d del rotor. Si el sentido de la corriente inyectada
coincide con el del flujo creado por el material magnético, el flujo total
se verá aumentado, el material ferromagnético del estátor aumentará su
saturación y la inductancia del eje d disminuirá su valor. En el caso contrario,
ocurrirá el efecto opuesto y la inductancia aumentará su valor.
2.3.2. Saliencias inducidas por saturación
El efecto de la saturación en los motores de imanes permanentes enterrados
afecta de manera desigual a las inductancias en los ejes d y q. La
inductancia en el eje d —L d — está determinada mayoritariamente por el
flujo creado por el material magnético, permaneciendo más o menos constante
e independiente del nivel de carga de la máquina. La inductancia en
el eje q —L q — disminuye su valor con el aumento de la corriente. Dado
que el camino que recorre el flujo en este eje está compuesto por material
ferromagnético, el aumento de la corriente conlleva un aumento de la saturación,
y con ello una disminución de la inductancia. Como en el diseño de
las máquinas de imanes permanentes enterrados se cumple que L d < L q , el
efecto de la saturación hace disminuir la inductancia diferencial, es decir, el
grado de asimetría de la máquina.

22 Asimetrías espaciales en máquinas de alterna
S
N
q
S
N
d
N
S
N
S
Figura 2.4: Motor de imanes permanentes superficiales.
En los motores de imanes permanentes superficiales, el efecto de la saturación
en el estátor debida al flujo del material magnético, hace que la
máquina se comporte de manera asimétrica. El efecto de la saturación sobre
las inductancias se puede modelar exactamente igual que para el caso de
imanes enterrados, según lo mostrado en el punto anterior.
2.3.3. Saliencias inducidas por intermodulación
Las saliencias inducidas por intermodulación, para el caso de los motores
de imanes permanentes, se pueden definir como el efecto producido por la
interacción entre las asimetrías dependientes de la posición del rotor y las
causadas por la saturación. Para este tipo de motores, tanto las saliencias
dependientes de la posición del rotor —debidas a la variación en las inductancias
en los ejes d y q por la presencia del imán—, como las inducidas por
saturación, rotan a la misma velocidad. Por lo tanto las saliencias inducidas
por intermodulación rotarán a velocidades múltiplos de la velocidad de giro
del rotor.
2.4. Asimetrías causadas por fallos en el motor
Algunos de los fallos que se pueden producir en una máquina eléctrica
pueden modificar su comportamiento electromagnético. Entre estos fallos
cabe citar especialmente tres: 1) fallos de aislamiento en los devanados del
estátos, 2) deterioro o rotura de las barras de rotor, o del paquete magnético,
y 3) excentricidades del rotor, tanto estáticas como dinámicas. Si los
efectos de estos fallos se acoplan con las variables eléctricas del estátor, es
posible utilizar estas variables para la detección del fallo. En caso de que el

2.4 Asimetrías causadas por fallos en el motor 23
fallo se produzca en el estátor, este acoplamiento es directo, al afectar a las
impedancias del circuito de estátor. En el caso en el que el fallo se localice
en el rotor, es necesario que éste modifique la distribución de flujos de la
máquina, de manera que se produzca un acoplamiento con el estátor y la
información se traslade a terminales accesibles de la máquina.
Dado que los fallos pueden ser vistos como saliencias, es posible estudiarlos
aplicando los mismos razonamientos utilizados para los diferentes tipos
de asimetrías mostradas hasta el momento. Según esto, y tomando un sistema
de referencia solidario con en el estátor de la máquina, los fallos en el
estátor constituirán una asimetría espacial fija en el espacio y, por lo tanto,
las componentes que contengan información sobre ellos se encontrarán a
una frecuencia proporcional a la eléctrica. En el caso de fallos que afecten
al rotor de la máquina, la asimetría girará a la velocidad del rotor, y las
variables eléctricas mostrarán componentes a una frecuencia proporcional al
deslizamiento de la máquina.
2.4.1. Saliencias debidas a cortocircuitos entre espiras de
estátor
Los cortocircuitos entre espiras de estátor provocan una asimetría estacionaria
en el circuito del estátor. La asimetría se puede modelar haciendo
invariante respecto del tiempo la fase de la saliencia en la expresión general
(2.1). La magnitud de la variación dependerá de la severidad del fallo.
Por lo tanto, la variación de la permeancia del entrehierro sólo dependería
de la posición espacial, estando su fase determinada por la posición de la
asimetría.
∆P sc(θsm) = ∆ sc cos (h sp (θ sm + ϕ sc )) (2.17)
Dado que la saliencia es estacionaria, la velocidad de giro de la permeancia
será cero, y por lo tanto h = 0 y ϕ sc = cte. El posterior acoplamiento
con variables eléctricas no inducirá componentes frecuenciales adicionales,
afectando únicamente a la amplitud y la fase de las componentes que se
acoplen con la asimetría.
En la figura 2.5(a) se muestra una foto de un prototipo de laboratorio
que ha sido modificado para dejar accesibles terminales que permitan cortocircuitar
diferentes números de espiras en una de las fases. En 2.5(b) se
muestra un esquema eléctrico de la modificación realizada. En la figura 2.6
se muestra el espectro de la tensión de secuencia cero de un motor con 4

24 Asimetrías espaciales en máquinas de alterna
15 − 21 16 − 22
fase v
3 − 9 4 − 10
2 − 8 1 − 7 fase u
5 − 11
6 − 12
14 − 20
fase w
17 − 23 18 − 24
13 − 19
(a) Foto de prototipo de laboratorio
con espiras de estátor accesibles.
(b) Visión esquemática del prototipo
con espiras accesibles. Es posible
introducir cortocircuitos de 2, 4
y 6 espiras en una de las fases.
PSfrag replacements
Figura 2.5: Motor con espiras de estátor accesibles.
8
(V)
4
0
0 50 100 150
frecuencia (Hz)
Figura 2.6: Tensión de secuencia cero para una máquina con 4 espiras cortocircuitadas.
La máquina se encuentra a plena carga, 400V (rms), 50Hz.
espiras cortocircuitadas. La componente situada a la frecuencia de la excitación
fundamental —50Hz— aumenta respecto al caso de un motor sano.
Del mismo modo, las asimetrías constructivas en el devanado del estátor
constituyen una saliencia estacionaria. Puesto que tanto las asimetrías constructivas
como los fallos en el estátor van a dar lugar a un mismo efecto en
las variables eléctricas de los terminales de estátor, la presencia de asimetrías
constructivas es una fuente de error en la detección de fallos en el estátor de
la máquina.

2.4 Asimetrías causadas por fallos en el motor 25
r s
+
+
r r
+
r s
+
r r
+
+
+
+
centro de rotación
(a) Asimetría estática. El rotor gira
sobre su centro geométrico.
centro de rotación
(b) Asimetría dinámica. El rotor
gira sobre el centro geométrico del
estátor.
Figura 2.7: Tipos de excentricidades del rotor.
2.4.2. Saliencias debidas a excentricidades
Las excentricidades en el rotor van a dar lugar también a saliencias. Una
excentricidad en el rotor provoca variaciones en la permeancia del entrehierro.
Este tipo de saliencias pueden ser el resultado de defectos constructivos
o de montaje, desgaste de cojinetes, desequilibrios en los esfuerzos del campo
magnético, etc. Aunque se ha llegado a proponer el uso de excentricidades
para detectar la posición del rotor, [77, 78, 79, 80], existen objeciones muy
serias a este método, dado el carácter no determinista de este tipo de saliencias.
Pueden distinguirse dos tipos de excentricidades en el rotor. La primera se
produce cuando existe cierto desplazamiento entre los centros geométricos
del rotor y del estátor, y el rotor gira alrededor de su centro geométrico,
como se ve en la figura 2.7(a). A este tipo se le conoce como excentricidad
estática [162], porque la posición de la excentricidad no varía con la posición
del rotor. El segundo tipo de excentricidad lo causa la existencia de un
desplazamiento de ambos centros geométricos y el rotor girando sobre el
centro geométrico del estátor, figura 2.7(b). En este caso la excentricidad se
conoce como dinámica [162], pues varía con la posición del rotor.
En la figura 2.7 puede verse como una excentricidad estática crea una
variación de la permeancia del entrehierro independiente de la rotación del
rotor y, consecuentemente, no creará ninguna variación en la inductancia del
bobinado dependiente de la posición del rotor. Una excentricidad dinámica,
por el contrario, creará una variación de la permeancia que gira con el rotor,
y a su misma velocidad.

26 Asimetrías espaciales en máquinas de alterna
Lo más probable es encontrarse ambos tipos de excentricidades en un solo
motor, y no solamente una de ellas. Esta situación se produciría cuando
el centro de rotación no coincide con el centro geométrico del rotor ni del
estátor. En [3], se analiza el caso en el que se presentan a la vez excentricidad
en el rotor y el efecto del ranurado. Demuestra que por la combinación
de ambos efectos aparece un nuevo subarmónico de la posición del rotor.
Este subarmónico aparece tanto en el caso de excentricidad dinámica como
estática, incluso cuando esta última por sí misma no da lugar a ningún
armónico.
2.4.3. Saliencia causada por rotura en barras de rotor del
motor de inducción
La variación introducida en la permeancia en el entrehierro por la rotura
de barras en el rotor se puede expresar según (2.18)
∆P brb = ∆ brb cos (h brb (θ sm + ϕ brb )) (2.18)
El orden del armónico espacial —h brb — viene dado por
h brb = 360
2
(2.19)
En la anterior expresión se supone que la rotura de varias barras, en caso
de producirse, ocurrirá en elementos contiguos. De esta manera, no se incrementará
el orden del armónico espacial con la rotura de nuevos elementos.
Esta suposición no es cierta en el caso de producirse el fallo en barras separadas
una distancia mayor, situación que es menos probable que se produzca.
La magnitud de la saliencia —∆ brb — vendrá determinada por el grado de
agrietamiento/rotura.
El efecto de la rotura de barras en el rotor es el desequilibrio en el vector
de corriente de rotor. Este desequilibrio tiene su reflejo en las impedancias
del circuito de estátor, apareciendo componentes espectrales adicionales en
las variables terminales. En la figura 2.8 se muestra un motor modificado
en el laboratorio para permitir simular los efectos de una barra rota. En la
figura 2.9 se muestra el espectro de la tensión de secuencia cero para el caso
de un motor con una barra rota. Las componentes situadas en torno a la
mayoritaria, inducida por saturación, están asociadas al efecto causado por
la rotura de una barra de rotor.
El hecho de que la saliencia provocada por la rotura —de una o más
barras— se deba de acoplar con la corriente del rotor para provocar un
efecto medible en las variables de estátor hace que la detección de este tipo
de fallos, cuando la máquina está descargada, sea imposible mediante estas

2.5 Conclusiones 27
PSfrag replacements
Figura 2.8: Motor modificado en el laboratorio para simular los efectos de la rotura
de una barra de rotor.
(V)
10
5
4
2
0
130 140 150 160
0
0 50 100 150 200
frecuencia (Hz)
Figura 2.9: Espectro de la tensión de secuencia cero para el caso de una máquina
con 4 espiras cortocircuitadas y una barra rota. El motor está a plena carga y
alimentado desde la red, 400V (rms), 50Hz.
técnicas. Sin embargo, esto no supone un gran inconveniente, puesto que las
máquinas trabajan en carga durante periodos de tiempo suficientes como
para posibilitar la detección del fallo.
2.5. Conclusiones
En este capítulo se han definido las saliencias mediante el análisis de
los efectos provocados en la permeancia en el entrehierro. Las asimetrías
inducen una modulación espacial en el valor de la permeancia, que de otra
forma sería constante. Esta modulación tiene el mismo contenido armónico
independientemente de la posición de la saliencia, variando únicamente su
fase al cambiar de posición la asimetría. De esta forma, cuando la asimetría
varía en el tiempo, la fase instantánea cambia en función de la posición
de la saliencia. Este cambio en la fase provoca que la forma de onda de
la permeancia se desplace en el entrehierro. La velocidad de la variación
será proporcional al orden del armónico espacial inducido por la saliencia
—h sp — multiplicado por una constante —k sal —.

28 Asimetrías espaciales en máquinas de alterna
El análisis general se ha particularizado para los diferentes tipos de saliencias
presentes en las máquinas de alterna, tanto de origen electromagnético
como mecánico. El análisis realizado muestra como las diferentes saliencias
inducen variaciones diferentes en el valor de la permeancia. Para el caso de
las saliencias inducidas por saturación, la saliencia provoca una forma de
onda desplazándose al doble de velocidad de la frecuencia de la excitación
fundamental. En el caso de la saliencia de ranurado, la velocidad de desplazamiento
de la permeancia es un submúltiplo de la velocidad mecánica
del rotor, dependiente de la relación entre el número de barras de rotor y
ranuras de estátor. En el caso de las saliencias inducidas por intermodulación,
la velocidad de desplazamiento es proporcional al deslizamiento de la
máquina.
Se ha planteado el análisis de fallos mediante la detección de las asimetrías
inducidas por estos. Para el caso de fallos en el estátor, se produce una saliencia
estacionaria, modulada en fase por la posición del mismo. Los fallos
en el rotor provocan una asimetría rotando a la velocidad de éste. El acoplamiento
con las variables eléctricas de estátor requiere el desarrollo del
modelo de la máquina y se detallará en el capítulo 6.

Capítulo 3
Modelo teórico general de
máquinas con saliencias
espaciales
3.1. Introducción
En el capítulo 2 se expusieron los principios físicos que van a determinar
la existencia de las saliencias espaciales en máquinas trifásicas de alterna. En
este capítulo se desarrollan las expresiones teóricas que ligan las saliencias espaciales
con las variables eléctricas de la máquina. Se trata de explicar como
las saliencias espaciales modulan las variables eléctricas, con dos objetivos
fundamentales: 1) determinar que variables eléctricas pueden ser utilizadas
para rastrear las saliencias espaciales, y 2) proporcionar criterios que permitan
la selección de las variables eléctricas más adecuadas para implementar
un estimador de la posición de la asimetría.
En primer lugar, se desarrollará un modelo teórico general, obtenido a
partir de la simplificación del modelo real de la máquina de inducción. En
un segundo paso, se particularizará este modelo para el caso de una excitación
de alta frecuencia, dadas las ventajas de este tipo de excitación en
la implementación de técnicas de control sin sensor de velocidad/posición
basadas en el rastreo de saliencias espaciales. Posteriormente, se obtendrá la
solución de este modelo para el caso particular de una excitación mediante
un vector giratorio de alta frecuencia, es decir, la modulación que la saliencia
produce en las variables eléctricas de la máquina con este tipo de
excitación. A la hora de seleccionar una variable concreta para rastrear las
saliencias espaciales va a ser necesario tener en cuenta aspectos prácticos
de implementación como son: la frecuencia de la señal portadora, el cone-

30 Modelo teórico general de máquinas con saliencias espaciales
xionado de la máquina (estrella ó triángulo), la accesibilidad a la caja de
bornas de la máquina, el número de sensores necesarios, características de
los cables empleados (longitud, apantallamiento, ...), los efectos causados
por el comportamiento no ideal del inversor, la relación señal-ruido; y con
ellos la resolución de la estimación de la posición de la saliencia, y el ancho
de banda de la estimación. Todos estos aspectos serán claves en la práctica,
puesto que determinarán las prestaciones finales del sistema de control.
3.2. Modelo matemático del motor de inducción
El modelo matemático del motor de inducción, utilizando notación vectorial
compleja [169], y parámetros concentrados, se puede representar mediante
el siguiente sistema de ecuaciones (3.1)-(3.4).
v s qds = r si s qds + pλs qds Tensión de estátor (3.1)
v s qdr = 0 = r ri s qdr + (p − jω r) λ s qdr Tensión de rotor (3.2)
λ s qds = L si s qds + L mi s qdr Enlace de flujo de estátor (3.3)
λ s qdr = L mi s qds + L ri s qdr Enlace de flujo de rotor (3.4)
donde
p : Operador diferencial. Equivalente a la variable s de Laplace.
r s , r r : Resistencia de estátor y de rotor, respectivamente.
L s , L r , L m : Inductancia de estátor, rotor y mutua, respectivamente.
ω r : Velocidad angular del rotor.
vqds s ,vs qdr
: Vector tensión de estátor y de rotor, respectivamente, en coordenadas
estacionarias.
i s qds , is qdr
: Vectores de corriente de estátor y rotor, respectivamente, en
coordenadas estacionarias.
λ s qds , λs qdr : Vectores de enlace de flujo de estátor y rotor, respectivamente,
en coordenadas estacionarias.
Estas ecuaciones pueden reescribirse como ecuaciones de estado eligiendo
los vectores de corriente de estátor y de flujo del rotor como estados internos
del sistema (3.5),(3.6).
pi s qds = 1 (
vqds s L − r′ si s qds + L )
m
ω br λ s qdr
σs L r
(3.5)
pλ s qdr = L m
L r
r r i s qds − ω brλ s qdr (3.6)

3.2 Modelo matemático del motor de inducción 31
donde
L σs = L s − L m 2
Inductancia transitoria de estátor (3.7)
L r
( ) 2
r s ′ Lm
= r s − r r Resistencia transitoria de estátor (3.8)
L r
ω br = r r
L r
− jω r Variable compleja de velocidad (3.9)
El uso de notación vectorial compleja implica que la máquina es simétrica.
Para modelar el motor cuando existen asimetrías, se pueden desarrollar las
ecuaciones en un sistema de coordenadas abc, incluir los efectos causados
por las saliencias y posteriormente realizar la transformación a un sistema
de ejes qd0.
Aunque sería posible construir un modelo en coordenadas abc equivalente
a (3.5), (3.6), e introducir en él las asimetrías, es complicado llegar a
una solución analítica de este modelo que muestre el efecto que provocan
las asimetrías en la máquina sobre las variables eléctricas. Para simplificar
este problema, el modelo en coordenadas abc va considerar únicamente las
impedancias de fase del estátor. Esta simplificación implica que las corrientes
circulantes por el rotor son nulas, es decir, que la máquina se encuentra
descargada. Este modelo simplificado va a permitir, sin embargo, estudiar
el efecto que tendrían asimetrías asociadas al rotor, y se mostrará además
como la existencia de corrientes en el rotor daría lugar a variaciones en las
amplitudes de los armónicos presentes en las variables eléctricas, pero sin
añadir nuevas componentes espectrales.
La expresión (3.10) muestra la relación entre las tensiones fase-neutro y
las corrientes de fase del motor teniendo en cuenta la simplificación anterior,
donde R ABC es la matriz de resistencias por fase de estátor, cuyas
componentes son (3.11), y L ABC la matriz de inductancias de estátor, matricialmente
(3.12).
[ ] T [ ] T d [ ] ) T van v bn v cn = RABC ia i b i c +
(L ABC ia i b i c
dt
(3.10)
⎡ ⎤
r a 0 0
R ABC = ⎣ 0 r b 0 ⎦
0 0 r c
(3.11)
⎡
⎤
L a L ab L ac
L ABC = ⎣L ba L b L bc
⎦
L ca L cb L c
(3.12)

32 Modelo teórico general de máquinas con saliencias espaciales
Si la máquina es excitada a frecuencia de red, la matriz de resistencias,
R ABC , se puede despreciar frente a la matriz de inductancias. En el caso de
que existan asimetrías en la máquina, la matriz de inductancias de estátor se
puede descomponer en dos términos. El primero de ellos modela la componente
equilibrada de las impedancias de estátor y explica el comportamiento
de una máquina simétrica. El segundo modela la parte desequilibrada de
las impedancias y representa, por lo tanto, las asimetrías presentes en la
máquina. La expresión (3.13) desglosa la matriz de inductancias según estas
consideraciones, donde L m constant y L m varying representan las componentes
constante y variable de las inductancias mutuas, mientras que L l constant y
L l varying representan las componentes constante y variante de las inductancias
de dispersión. 1
L ABC =L m constant + L m varying + L l constant + L l varying (3.13)
Agrupando los términos constantes y los variables, la expresión matricial
resultante es (3.14). La primera matriz representa la parte invariante de la
matriz de inductancias. Cada término de la diagonal está formado por dos
componentes, la inductancia de dispersión, L ls y la inductancia magnetizante,
L m . La inductancia de dispersión agrupa los flujos de dispersión de
estátor, de entrehierro y de borde [169]. Los términos fuera de la diagonal
representan las inductancias mutuas entre fases, por lo que sólo el término
relativo a la inductancia magnetizante aparece reflejado. La segunda matriz
representa la parte variante, debida a las asimetrías presentes en la máquina.
Esta segunda expresión asume que las asimetrías, si existen, tienen una
distribución espacial senoidal, y que el efecto de una asimetría, si esta gira,
como sería el caso de una asimetría ligada al rotor, se repite en las tres fases
de la máquina, con un desfase de 2π/3 radianes eléctricos.
⎡
⎤
L ls + L ms − Lms
2
− Lms
2
L ABC = ⎣ − Lms
2
L ls + L ms − Lms ⎦
2
− Lms
2
− Lms
2
L ls + L ms
⎡
⎤
∆L 1 cos ϕ 0 −∆L 2 cos ϕ 2 −∆L 2 cos ϕ 1
+ ⎣−∆L 2 cos ϕ 2 ∆L 1 cos ϕ 1 −∆L 2 cos ϕ 0
⎦ donde, (3.14)
−∆L 2 cos ϕ 1 −∆L 2 cos ϕ 0 ∆L 1 cos ϕ 2
ϕ 0 = hθ e , ϕ 1 = h(θ e − 2π/3) y ϕ 2 = h(θ e + 2π/3); siendo h el orden
de la asimetría respecto a la excitación fundamental y θ e la posición de la
asimetría en radianes eléctricos. ∆L 1 y ∆L 2 representan la máxima variación
producida por la asimetría en los términos de la diagonal y fuera de la
diagonal respectivamente.
1 Los nombres de las variables se han mantenido en su nomenclatura inglesa por coherencia
con los artículos publicados por el autor de esta tesis.

3.3 Modelo de alta frecuencia del motor de inducción 33
Para resolver la ecuación diferencial del modelo, es necesario añadir las
ecuaciones del circuito eléctrico de la máquina. Dichas ecuaciones dependerán
del conexionado en bornas del motor —estrella o triángulo—. En el
caso de conexión en estrella, asumiendo que el neutro está aislado y por
tanto no existe corriente de secuencia cero, se añade (3.15) al conjunto de
ecuaciones. En el caso de conexión en triángulo, se define la corriente de
secuencia cero como (3.16)
i a + i b + i c = 0 (3.15)
i 0 = 1 3 (i ab + i bc + i cb ) (3.16)
La ecuación diferencial planteada es una ecuación matricial, no lineal,
de coeficientes no constantes y paramétrica. Dado que la solución de este
tipo de ecuaciones [171, 168] es habitualmente una serie de potencias, se
consideró que los resultados experimentales se explicaban de forma mucho
más sencilla mediante soluciones particulares, no llegándose a resolver el
modelo general.
3.3. Modelo de alta frecuencia del motor de inducción
En el caso de utilizar algún tipo de excitación de alta frecuencia, el comportamiento
del motor, visto desde los terminales de estátor —y el modelo
matemático que lo representa—, va a ser presentar diferencias importantes
con respecto a su comportamiento con componentes fundamentales (responsables
de la transformación electromecánica realizada por el motor). Estas
simplificaciones se derivan de dos aspectos fundamentales: 1) los flujos generados
cuando la máquina se excita en alta frecuencia prácticamente no
penetran en el paquete magnético del rotor, no encerrando por tanto las
barras del rotor y siendo básicamente flujos de dispersión. Este punto se
puede visualizar con la ayuda de elementos finitos. En la figura 3.1 se muestran
las líneas de flujo de un motor de ranuras abiertas con excitación de
baja frecuencia, mientras que en 3.2 se muestran las líneas de flujo para el
caso de excitación de alta frecuencia. 2) Al ser la frecuencia de excitación
muy superior a la frecuencia mecánica, el deslizamiento es casi igual a uno.
Teniendo en cuenta estas consideraciones, se pueden realizar las siguientes
simplificaciones en el modelo del motor de inducción:
- Los términos resistivos de la matriz de impedancias pueden ser despreciados
frente a los inductivos.

34 Modelo teórico general de máquinas con saliencias espaciales
Figura 3.1: Líneas de flujo en un motor de ranuras abiertas sin carga bajo una
excitación de baja frecuencia. Simulación mediante elementos finitos. ω e = 1Hz,
ω r = 1Hz.
- La variación de las inductancias en el tiempo, ya sea debido al movimiento
de saliencias asociadas al rotor, o de saliencias inducidas por
saturación por la excitación fundamental, es mucho más lenta que la
de las corrientes inducidas por la excitación de alta frecuencia. Esta
condición permite considerar los términos inductivos como constantes.
- La dinámica del sistema está dominada por la inductancia transitoria
de estátor, pudiendo la inductancia magnetizante ser despreciada.
Bajo estas consideraciones, la ecuación (3.10) se simplifica. Teniendo en
cuenta que los términos resistivos pueden ser despreciados, se obtiene la
expresión (3.17). Añadiendo la condición de que las inductancias pueden ser
consideradas constantes, se llega a (3.18) —conexión en estrella— y (3.19)
—conexión en triángulo—. La matriz L ABC también se simplifica. Al estar
dominada la dinámica del sistema por la inductancia transitoria de estátor,
los términos de la diagonal se pueden aproximar por ésta, mientras que
los términos fuera de la diagonal principal pueden considerarse nulos. La
expresión simplificada se muestra en (3.20).
[ ] T d [ ] ) T van v bn v cn =
(L ABC ia i b i c
dt
[ ] T d
( [ia ] ) T van v bn v cn = LABC i b i c
dt
[ ] T d
( [iab ] ) T vab v bc v ca = LABC i bc i ca
dt
(3.17)
(3.18)
(3.19)

3.3 Modelo de alta frecuencia del motor de inducción 35
Figura 3.2: Líneas de flujo en un motor de ranuras abiertas bajo una excitación de
alta frecuencia. Simulación mediante elementos finitos. ω c = 500Hz.
L ABC =
⎡
⎤
f (L σs , cos ϕ 0 ) 0 0
⎣ 0 f (L σs , cos ϕ 1 ) 0 ⎦ (3.20)
0 0 f (L σs , cos ϕ 2 )
Bajo estas consideraciones, las expresiones de los términos de la matriz
L ABC son las mostradas en (3.21a) - (3.21c).
L ABC (1,1) = ΣL σs + 2∆L σs cos (hθ e )
( (
L ABC (2,2) = ΣL σs + 2∆L σs cos h θ e − 2π 3
))
(3.21a)
(3.21b)
( (
L ABC (3,3) = ΣL σs + 2∆L σs cos h θ e − 4π 3
))
(3.21c)
donde
ΣL σs ,
∆L σs
h
θ e
: inductancias transitorias media y diferencial, siendo equivalentes
a L l constant y L l varying
2
respectivamente. La constante 2, que
aparece multiplicando a la expresión de la inductancia diferencial,
se ha introducido para mantener la transformación a un
sistema de dos fases concordante con la nomenclatura usada en
la literatura [89, 3].
: orden del armónico de la saliencia relativo a unidades eléctricas.
: posición angular de la saliencia en radianes eléctricos.

36 Modelo teórico general de máquinas con saliencias espaciales
c
f s d
f qd
q
f s q
q s , a
b
d
d s
Figura 3.3: Relaciones entre los diferentes sistemas de coordenadas. qd, sistema
síncrono con el giro de la saliencia. qds, sistema estacionario; equivalente a αβ en
otras nomenclaturas. abc, sistema trifásico.
Se observa que la ecuación diferencial que describe una máquina saliente
pasa a ser una ecuación diferencial matricial o sistema de ecuaciones, no
lineal y de parámetros constantes.
La matriz de inductancias, L ABC , se puede expresar en un sistema de
ejes qd0 fijo en el estátor. La transformación se realiza mediante el cambio
de coordenadas definido por (3.22). En la figura 3.3 se muestra de manera
gráfica dicha transformación. Resolviendo para valores particulares del
orden de armónico de la saliencia, h, se obtiene el conjunto de expresiones
planteados en (3.23a) - (3.23c).
L s qd0 = A−1 L ABC A , siendo
⎡
⎤
1 0 1
√
⎢
A = ⎣ − 3 ⎥
⎦ (3.22)
− 1 2
− 1 2
2
1
√
3
2
1

3.4 Modelo matemático del motor de imanes permanentes 37
1. Para h = 1, 4, 7, . . . ; h = 3k − 2
⎡ ⎤ ⎡
⎤
1 0 0
cos(hθ e ) sen(hθ e ) 2 cos(hθ e )
L s σ qd0s
= ΣL σs
⎣0 1 0⎦ + ∆L σs
⎣sen(hθ e ) − cos(hθ e ) −2 sen(hθ e ) ⎦
0 0 1
cos(hθ e ) − sen(hθ e ) 0
(3.23a)
2. Para h = 2, 5, 8, . . . ; h = 3k − 1
⎡ ⎤ ⎡
⎤
1 0 0
cos(hθ e ) − sen(hθ e ) 2 cos(hθ e )
L s σ qd0s
= ΣL σs
⎣0 1 0⎦ + ∆L σs
⎣− sen(hθ e ) − cos(hθ e ) 2 sen(hθ e ) ⎦
0 0 1
cos(hθ e ) sen(hθ e ) 0
3. Para h = 3, 6, 9, . . . ; h = 3k
⎡ ⎤
⎡ ⎤
1 0 0
1 0 0
L s σ qd0s
= ΣL σs
⎣0 1 0⎦ + 2∆L σs cos(hθ e ) ⎣0 1 0⎦
0 0 1
0 0 1
(3.23b)
(3.23c)
Examinando las soluciones para valores particulares de h se pueden extraer
algunas conclusiones:
1. Para los valores h = 1, 4, 7, . . . ; h = 3k −2, la variación producida en
la inductancia girará en el sentido contrario al que lo hace la saliencia.
2. Para los valores h = 2, 5, 8, . . . ; h = 3k − 1, la variación producida
en la inductancia girará en el mismo sentido que la saliencia.
3. Para los valores h = 3, 6, 9, . . . ; h = 3k, el giro de la saliencia induce
una modulación en amplitud en la inductancia.
3.4. Modelo matemático del motor de imanes permanentes
Los motores de imanes permanentes enterrados, a diferencia de los de inducción
y los de imanes superficiales, presentan asimetrías electromagnéticas
debidas a su principio de funcionamiento, responsable del par de reluctancia.
Tomando un sistema de referencia solidario con el rotor de la máquina
el modelo dinámico del motor de imanes permanentes enterrados se puede
expresar como (3.24) [163, 7]
[ ] [ ] [ ] [ ]
v
r
ds
rs + pL
vqs
r =
ds −ω r L qs i
r
ds
0
ω r L ds r s + pL qs i r +
(3.24)
qs ω r λ pm
donde

38 Modelo teórico general de máquinas con saliencias espaciales
L ds : inductancia total de estátor en el eje d.
L qs : inductancia total de estátor en el eje q.
r s : resistencia de estátor.
ω r : velocidad de rotación del rotor en rad/s.
: flujo inducido por el material magnético.
λ pm
Expresando el modelo en coordenadas estacionarias, se obtiene la expresión
(3.25) [7]
[ ] [ ] [ ]
v
s
ds
rs + p (ΣL
vqs
s =
s − ∆L s cos 2θ r ) −p∆L s sin 2θ r i
s
ds
p∆L s sin 2θ r r s + p (ΣL s + ∆L s cos 2θ r ) i s qs
[ ] − sin θr
+ ω r λ pm (3.25)
cos θ r
donde
p
: operador diferencial. Equivalente a la variable s
de Laplace.
θ r
: posición del rotor en unidades eléctricas.
ΣL s = L ds+L qs
2
: inductancia media.
∆L s = L ds−L qs
2
: inductancia diferencial.
En la expresión en coordenadas estacionarias se observa como existen
dos componentes dependientes de la posición. La primera de ellas depende
de la saliencia espacial y provoca un armónico de segundo orden respecto a
la posición del rotor. La segunda depende de la fuerza contra-electromotriz,
e induce un armónico de primer orden respecto a la posición del rotor.
Los motores de imanes permanentes superficiales son esencialmente simétricos,
y por lo tanto su factor de saliencia (relación entre las inductancias en
el eje q y d) es nulo o muy pequeño. Sin embargo, debido a la saturación
producida en el hierro del estátor por el flujo del material magnético del
rotor, existe una asimetría espacial dependiente de la posición del rotor. El
modelo de este tipo de máquinas se realiza de la misma forma al mostrado
para las de imanes enterrados, obteniéndose igualmente las expresiones
(3.24) y (3.25) [7].
En [7] se obtiene la expresión de las saliencias en un motor de imanes
permanentes enterrados para el caso de superponer una excitación de alta
frecuencia. Aplicando el desarrollo de Taylor para el caso de una alimentación
de alta frecuencia mediante un vector giratorio, se obtiene la expresión
(3.26), que muestra el efecto provocado en el vector de corriente por la interacción
de la alimentación y las saliencias.
i s dqsc = I cp1e j(ωct−π/2) + I cp2 e j(2ωct−θr+φ p2)
+ I cn1 e j(−ωct+2θr+φ n1) + I cn2 e j(−2ωct+3θr+φ n2)
(3.26)

3.5 Métodos de excitación de alta frecuencia 39
Según la expresión (3.26) existen varias componentes que contienen información
acerca de la posición de la asimetría:
I cp2
I cn1
I cn2
: segundo armónico de la componente de secuencia positiva.
Está modulada en fase por la posición de la saliencia. El orden
de armónico espacial es impar, y por lo tanto tendrá un
efecto diferente en el polo norte que en el polo sur de cada
par de polos. Puede ser utilizado para detectar la polaridad. El
armónico se origina por la saliencia inducida por la saturación
del eje d.
: primer armónico de la componente de secuencia negativa. Modulada
en fase por la posición de la saliencia. El orden del
armónico espacial es 2, y por lo tanto su efecto será el mismo
en el polo norte y en el polo sur. Este armónico está causado
por la interacción entre la señal de alta frecuencia y la saliencia
inducida por el imán.
: segundo armónico de la componente de secuencia negativa. Al
igual que el segundo armónico de la componente de secuencia
positiva, puede utilizarse para detectar la polaridad. Su origen
es igualmente debido a la saturación en el eje d.
En el desarrollo presentado en [7], no se incluyen los términos generales
del desarrollo de Taylor. Dado que este desarrollo genera infinitos términos,
se pueden obtener las expresiones generales de las componentes de secuencia
positiva y negativa en coordenadas estacionarias. Dichas expresiones vienen
dadas por (3.27) y (3.28) respectivamente.
∞
i s dqscp = ∑
Icpe n j(nωct+(n−1)(−1)n−1 θ r+φ pn)
(3.27)
n=1
∞
i s dqscn = ∑
Icne n −j(nωct+(n+1)(−1)n−1 θ r−φ nn)
(3.28)
n=1
3.5. Métodos de excitación de alta frecuencia
Se han propuesto varias alternativas para inyectar una señal de excitación
de alta frecuencia —superpuesta a la excitación fundamental— para
rastrear las saliencias espaciales presentes en una máquina. Atendiendo al
tipo de alimentación, esta señal de alta frecuencia puede ser introducida en
forma de vector de tensión o vector de corriente. La señal de excitación puede
ser discontinua o persistente. En el primer caso la señal se inyecta sólo
durante ciertos intervalos de tiempo. En el segundo, se inyecta de manera
continua. Dentro del primer tipo de excitación se puede emplear una frecuencia
portadora [108], o utilizar armónicos derivados de la conmutación
PWM [48,52]. En los métodos con excitación persistente, la señal puede ser

40 Modelo teórico general de máquinas con saliencias espaciales
modulada en amplitud [85,74]; utilizando los transitorios provocados por la
conmutación PWM [41, 42, 40, 61, 30, 48, 52]; o utilizando un vector giratorio
[89, 76, 61, 71, 61, 91, 94]. Esta clasificación se puede ver de forma más
clara en el esquema 3.1. En dicho esquema, los diferentes niveles de clasificación
atienden a: 1 o ) excitación persistente o discontinua, 2 o ) tipo de señal
inyectada, 3 o ) inyección en corriente o en tensión y 4 o ) variable terminal
utilizada para realizar la estimación.
Los métodos que utilizan una excitación discontinua pueden clasificarse,
según se muestra en el esquema 3.1, dependiendo de si añaden o no una
señal adicional de alta frecuencia.
En [48], Schroedl y otros proponen un método basado en la variación del
patrón de disparo del inversor para crear una señal de medida. Este método
es conocido como INFORM. 2 La señal de medida se crea interrumpiendo la
excitación fundamental y haciendo conmutar al inversor con un patrón especial
durante un cierto tiempo. La estimación de la posición de la saliencia
se realiza mediante la fase de las derivadas temporales de las corrientes de
estátor. La fase de la saliencia se extrae mediante una operación de arco
tangente. Dado que el método INFORM sólo proporciona estimaciones discretas
de la posición de la saliencia, es necesario emplear un observador o un
filtro de Kalman para obtener la estimación entre ciclos. El método presenta
dos grandes inconvenientes. Por un lado, la interrupción de la excitación
fundamental supone una pérdida de potencia y un deterioro del control. Este
efecto es más plausible a velocidades altas, donde los ciclos de medida
suponen un porcentaje apreciable del periodo de la excitación fundamental.
Otro inconveniente se deriva de la naturaleza discreta de las estimaciones, lo
cual provoca que el ancho de banda sea menor que en los métodos basados
en una excitación continua.
Otra posibilidad para implementar técnicas basadas en una excitación
discontinua, consiste en inyectar una señal discontinua de alta frecuencia.
En [108], Staines y otros proponen una técnica denominada PBI 3 que superpone
una tensión de alta frecuencia sobre las componentes q, d en coordenadas
estacionarias de la tensión de alimentación. La inyección se realiza
cada medio ciclo, según se muestra en la figura 3.4, coincidiendo con los valores
máximo y mínimo de la excitación fundamental y durante un periodo
de tiempo, γ. La razón de realizar la inyección en estos puntos concretos
es para evitar los efectos de las saliencias inducidas por saturación. Los inconvenientes
de este método son el reducido ancho de banda, al actualizar
la estimación sólo cada cuarto de ciclo, y las perturbaciones inducidas por
otro tipo de saliencias. En los resultados mostrados en [108] es especialmente
2 de INdirect Flux detection by Online Reactance Measurement.
3 de Periodic Burst Injection.

(p.u.)
,v ds
s s
v qs
1.5
0.75
0
s
v ds
s
v qs
-0.75
γ
-1.5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Tiempo (s)
Figura 3.4: Inyección de una señal de alta frecuencia cada 90 o eléctricos (Periodic
Burst Injection) en el método de Staines.
perjudicial la saliencia de ranurado.
Esta tesis se centra en los métodos de excitación persistentes, particularmente
en aquellos que utilizan un vector giratorio [89,76,61,71,61,91,94]. Las
técnicas basadas en una excitación persistente poseen propiedades favorables
para la implementación de un control de velocidad/posición sensorless.
Se pueden destacar los siguientes puntos:
1. La estimación de la variable rastreada es actualizada de manera ininterrumpida.
Esto proporciona un ancho de banda elevado, apto para
implementar el método de control.
2. La señal de alta frecuencia superpuesta es de pequeña magnitud y
frecuencia lo suficientemente elevada. De esta manera no se reducen
de manera significativa las prestaciones del accionador y tampoco se
inducen efectos secundarios apreciables, como rizado en el par o ruido
acústico.
3. El procesamiento de la señal es relativamente sencillo, apto para su implementación
en procesadores utilizados normalmente en accionadores
comerciales.

42 Modelo teórico general de máquinas con saliencias espaciales
Tensión
⎧⎪ ⎨
Vector giratorio
⎧⎪ ⎨
⎧⎪ ⎨ Frecuencia portadora
Excitación persistente
⎪ ⎩ Corriente
⎧⎪ ⎨
⎪ ⎩
⎪ ⎩
⎪ ⎩
Corriente portadora
⎧⎪ ⎨ de secuencia negativa [89, 76, 61]
⎪ ⎩
Tensión portadora
de secuencia cero [71, 61]
Corriente portadora de secuencia cero [91]
{
Tensión portadora
de secuencia negativa [94]
{ {
Armónicos PWM Tensión
{
⎧⎪ ⎨
Tensión
Vector modulado en amplitud
⎪ ⎩
Corriente
Tensión de secuencia cero [41, 42, 40, 61]
Corriente de secuencia cero [30]
Impedancias ejes dq [85, 74]
{
No existen referencias
{ {
⎧⎪ ⎨
Frecuencia portadora Tensión Corriente portadora de secuencia negativa [48, 108]
Excitación discontinua
{ {
Armónicos PWM Tensión Impedancias ejes dq [52]
Cuadro 3.1: Esquema resumen de los métodos de rastreo de saliencias espaciales basados en la inyección de una señal de alta frecuencia.

3.6 Excitación con un vector giratorio de alta frecuencia 43
3.6. Excitación con un vector giratorio de alta frecuencia
Las bases del método de seguimiento de saliencias mediante la inyección
de un vector giratorio fueron presentadas por Jansen y Lorenz en [89].
El método permite obtener la velocidad y la posición del rotor en máquinas
síncronas, de inducción y de reluctancia síncrona, accionadas por un
inversor PWM, siendo capaz de proporcionar una estimación precisa, e independiente
del punto de funcionamiento de la máquina, y con un ancho
de banda elevado. La técnica es aplicada inicialmente a una máquina de
inducción en la que se introduce una modulación aproximadamente senoidal
en la apertura de las barras de rotor (ver sección 2.2.3). En la figura 3.5 se
representa esquemáticamente el proceso de inyección de una señal portadora
de alta frecuencia en tensión, vqds s∗
c
y la extracción, por medio de filtrado,
de las componentes fundamental y de alta frecuencia. La técnica se aplica
posteriormente a motores síncronos de imanes permanentes (IPMSSM) [88]
y al rastreo de saliencias inducidas por saturación [90] con el objetivo de
determinar la posición y la magnitud del flujo de rotor.
La misma técnica de inyección es utilizada por Cilia y otros en [67],
aplicándola en este caso a motores de doble jaula o de barras de rotor profundas
(ver sección 2.2.4). En [76], Degner y Lorenz emplean la técnica para
el rastreo de la saliencia de ranurado (ver sección 2.2.2). Estos mismos autores
extienden las posibilidades de aplicación al estimar la posición del rotor
cuando la máquina presenta múltiples saliencias [75].
Dado que es posible inyectar la señal de alta frecuencia en tensión o en
corriente, en [94,93] Ribeiro y otros analizan las diferencias. La conclusión es
que la inyección en tensión proporciona un mayor ancho de banda, dado que
la inyección en corriente se ve afectada por el ancho de banda del regulador
de corriente.
A partir de este punto se realiza el análisis para el caso de inyección de
un vector giratorio de tensión (3.29). Las tensiones de fase correspondientes
son (3.30a) - (3.30c). La relación entre la fase del vector, θ c y su pulsación
ω c viene dada por (3.31).
v s qds c
= V c e jθc (3.29)
v a = V c cos (ω c t)
(
v b = V c cos ω c t − 2π )
3
(
v c = V c cos ω c t − 4π )
3
(3.30a)
(3.30b)
(3.30c)

44 Modelo teórico general de máquinas con saliencias espaciales
v
s∗
qds _ c
i
s∗
qds
−
s
i qds _ c
Regulador
de corriente
LPF
BPF
v
s∗
qds _ f
v
s∗
qds
s
i qds
PWM
VSI
Máquina de
corriente alterna
asimétrica
s
v qds
θ , ω
r
r
Figura 3.5: Esquema básico del método de estimación basado en la inyección de
una señal portadora giratoria de alta frecuencia.
ω c = dθ c
dt
(3.31)
La interacción entre la excitación de alta frecuencia y las asimetrías presentes
en la máquina va a producir una modulación tanto en las corrientes como en
las tensiones fase–neutro del estátor. Esta modulación, contiene información
relativa tanto a la magnitud como a la posición espacial de la asimetría. La
información contenida en la señal modulada se puede extraer a partir de dos
tipos de variables: 1) la corriente de secuencia negativa y 2) las componentes
de secuencia cero. Las expresiones analíticas que describen la modulación de
estas variables se pueden obtener resolviendo el modelo de alta frecuencia
presentado en la sección 3.3. En los siguientes puntos se desarrollan las
expresiones para las conexiones en estrella y triángulo.
3.6.1. Conexión en estrella
En la figura 3.6 se muestra el esquema de la conexión en estrella. Las
variables que aparecen en el circuito son:
v x
v xn
: tensión de la fase x respecto al punto medio del inversor.
: tensión de la fase x respecto al neutro de la conexión.
i x : corriente de fase x.
L x : inductancia de la fase x.
Se define la tensión de secuencia cero como el valor medio de las tensiones
fase-neutro (3.32).
v s 0s = 1 3 (v an + v bn + v cn ) (3.32)
Desarrollando la expresión (3.18), se llega al sistema de ecuaciones del sistema
trifásico mostrado en (3.33a) - (3.33c). Para completar el sistema de

3.6 Excitación con un vector giratorio de alta frecuencia 45
i s∗
qds
−
regulador
corriente
v s∗
qdsc
+
v s∗
qds
Inversor
(PWM)
v a
v b
v c
v anvbnvcn
Motor inducción
L a
L b v n
L c
vector
complejo
corriente
i b
i a
Figura 3.6: Esquema de la conexión del motor en estrella.
ecuaciones, se añade la condición, al estar aislado el neutro de la estrella, de
que la corriente de secuencia cero es nula (3.34) y, consecuentemente, (3.35).
v an = (ΣL σs + 2∆L σs cos (hθ e )) di a
dt
v bn =
v cn =
(
( (
ΣL σs + 2∆L σs cos h θ e − 2π 3
(
( (
ΣL σs + 2∆L σs cos h θ e − 4π 3
))) dib
dt
))) dic
dt
(3.33a)
(3.33b)
(3.33c)
i a + i b + i c = 0 (3.34)
di a
dt + di b
dt + di c
dt = 0 (3.35)
Resolviendo el sistema de ecuaciones (3.33a) - (3.35), se obtiene la expresión
de la tensión de secuencia cero (3.36), donde los términos L a , L b y L c se
refieren a los valores de las inductancias en las ecuaciones (3.33a) - (3.33c).
v s 0s = v aL b L c + v b L a L c + v c L a L b
L b L c + L a L c + L a L b
(3.36)
La resolución de la ecuación anterior para el caso particular de una excitación
con un vector giratorio de alta frecuencia (3.30a)-(3.30c), proporciona la
expresión general de la tensión de secuencia cero mostrada en (3.37) 4 . Se
4 Al nombre de la variable de la tensión de secuencia cero v s osc, se le ha añadido el
subíndice c para indicar que la alimentación es un vector giratorio de alta frecuencia. El
carácter c se deriva del vocablo anglosajón carrier.

46 Modelo teórico general de máquinas con saliencias espaciales
observa que la solución general de la tensión de secuencia cero (3.37) es
función del orden de la saliencia h.
⎛ ( ( ) ) 2
cos
⎜
3 hπ − 1 cos(θ c ) ( 2∆L σs sen 2 (hθ e ) + ΣL σs cos(hθ e ) )
⎝
− (ΣL σs + 2∆ σs cos(hθ e )) √ ( ) 2
3 sen(θ c ) sen(hθ e ) sen
v0sc s 3 hπ = V c ⎛
) ⎞
3ΣL 2 σs + 4ΣL σs ∆L σs cos(hθ e )
⎜
⎝
+4∆L 2 σs
(
2 cos
( ( ) ) 2
(cos(hθ e ) 2 2 cos
3 hπ + 1 − sen
( ) 2
3 hπ + 1
( ) )
2
2
3 hπ
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
(3.37)
Aunque se podría desarrollar una expresión similar para el vector de corriente,
estas expresiones no tienen demasiado interés, puesto que no muestran
de forma explícita la modulación producida por las saliencias en las
variables terminales de la máquina. Mucho más interesante es obtener la
solución de estas ecuaciones para valores particulares de h. Una forma de
hacer esto es transformando el modelo en coordenadas abc a coordenadas
qd0, llegándose a un modelo de la forma (3.38).
[
v
s
qs vds s v0s] s T
= L
s d
( [i )
s
σqd0s
dt qs i s ds
i s T
0s]
(3.38)
Las expresiones del vector de corriente y de la tensión de secuencia cero, en
función del orden de armónico de la saliencia h, son las mostradas en (3.39a)

3.6 Excitación con un vector giratorio de alta frecuencia 47
- (3.39f)
1. Para h = 1, 4, 7, . . .; h = 3k − 2
i s qds c = −jI cpe jωct − jI cn e j(−ωct−hθe)
(3.39a)
v s 0sc = V 0ch cos(ω c t − hθ e ) − V 0c2h cos(ω c t + 2hθ e )
(3.39b)
2. Para h = 2, 5, 8, . . .; h = 3k − 1
i s qds c = −jI cpe jωct − jI cn e j(−ωct+hθe)
(3.39c)
v s 0sc = V 0ch cos(ω c t + hθ e ) − V 0c2h cos(ω c t − 2hθ e )
(3.39d)
3. Para h = 3, 6, 9, . . .; h = 3k
i s qds c = −j V c
ω c
1
ΣL σs + 2∆L σs cos(hθ e ) ejωct
(3.39e)
v s 0sc = 0
(3.39f)
Analizando las expresiones anteriores se observa que el vector de corriente
consta de dos componentes, una rotando en el sentido de la señal portadora
—secuencia positiva— y otra en sentido contrario —secuencia negativa—.
La amplitud de cada una de las componentes viene dada por las expresiones
(3.40) y (3.41).
I cp = V c
ω c
I cn = V c
ω c
ΣL σs ∆L σs
ΣL 2 σs − ∆L 2 σs
∆L 2 σs
ΣL 2 σs − ∆L 2 σs
(3.40)
(3.41)
Un aspecto muy relevante de las expresiones anteriores es que, mientras
que el vector de corriente es una magnitud compleja, la tensión de secuencia
cero es un escalar. Del análisis de estas expresiones se extraen algunas
conclusiones interesantes:
- Para valores de h que no sean múltiplos enteros de tres, el vector
de corriente presenta dos componentes. La componente de secuencia
positiva no tiene información sobre la asimetría y, por lo tanto, no es
útil para rastrear su posición. La componente de secuencia negativa,
está modulada en fase por la saliencia. Esta componente va a permitir,
por tanto, rastrear la posición de la saliencia.

48 Modelo teórico general de máquinas con saliencias espaciales
- La magnitud de la componente de secuencia negativa es siempre menor
que la de secuencia positiva. Esto se deriva de que la magnitud de
la componente diferencial de la inductancia transitoria de estátor es
significativamente menor que la de la inductancia media (∆L σs ≪
ΣL σs ), en máquinas diseñadas como no salientes.
- La magnitud de ambas componentes es inversamente proporcional a
la frecuencia de la tensión portadora. Este punto es de gran importancia,
puesto que puede imponer restricciones en la práctica sobre la
frecuencia máxima de la portadora.
- Para valores de h = 3, 6, 9, . . . ; h = 3k, la corriente portadora tiene
una única componente de secuencia positiva, modulada en amplitud,
no existiendo componente de secuencia negativa. Saliencias con un
orden de armónico que sea un entero múltiplo de tres no pueden ser
rastreadas y, por tanto, no son útiles para la estimación de la posición
del rotor.
Las expresiones de la tensión de secuencia cero presentan dos componentes.
Al tratarse de un valor escalar no existen componentes de secuencia positiva
y negativa. Al igual que en el caso anterior estas dos componentes se encuentran
moduladas en amplitud, con unos valores de pico que vienen dados por
(3.42) y (3.43).
ΣL σs ∆L σs
V 0ch = V c
ΣL 2 σs − ∆L 2 (3.42)
σs
∆L 2 σs
V 0c2h = V c
ΣL 2 σs − ∆L 2 σs
(3.43)
Del análisis de las expresiones anteriores se extraen las siguientes conclusiones:
- Para valores de h que no sean múltiplos de tres, la tensión de secuencia
cero consta de dos componentes. Dichas componentes son moduladas
en amplitud y fase a unos valores de hθ e y −2hθ e . Por lo tanto, ambas
componentes contienen información de la magnitud y posición espacial
de la saliencia.
- La magnitud de la segunda componente, V 0c2h , es normalmente despreciable
frente a la primera cuando ∆L σs ≪ ΣL σs . Este es el caso
habitual en máquinas de construcción inherentemente simétricas, como
es el caso del motor de inducción.
- Las magnitudes de ambas componentes son independientes de la frecuencia
de la portadora. Este punto, derivado de que la máquina se
comporta como un divisor de tensión inductivo, constituye una gran

3.6 Excitación con un vector giratorio de alta frecuencia 49
ventaja frente a la corriente portadora de secuencia negativa. Al poder
incrementar la frecuencia de la portadora, sin disminuir con esto
el valor de las componentes de la tensión de secuencia cero, se obtienen
mejorías importantes. Se logra una mayor separación espectral
con las componentes fundamentales. De esta manera, el posterior filtrado
necesario para extraer la posición de la saliencia es más sencillo
y robusto. Se reduce además la magnitud de la corriente portadora
de secuencia positiva, responsable del ruido, vibraciones —pulsaciones
de par a la frecuencia de la portadora—, y pérdidas adicionales en el
inversor y en la máquina.
- Para la serie de valores h = 3, 6, 9, . . . ; h = 3k no se produce tensión
portadora de secuencia cero, por lo que saliencias con este orden de
armónico no pueden ser rastreadas.
3.6.2. Conexión en triángulo
En el caso de que la máquina esté conectada en triángulo, el sistema de
ecuaciones que la describe vienen dado por (3.44a) - (3.44c). Un esquema
de la conexión se muestra en la figura 3.7.
v ab = (ΣL σs + 2∆L σs cos (hθ e )) di ab
dt
v bc =
v ca =
(
( (
ΣL σs + 2∆L σs cos h θ e − 2π 3
(
( (
ΣL σs + 2∆L σs cos h θ e − 4π 3
)))
dibc
dt
)))
dica
dt
(3.44a)
(3.44b)
(3.44c)
Definiendo las corrientes de línea como: i a = i ab − i ca , i b = i bc − i ab , i c =
i ca − i bc ; y la corriente de secuencia cero como
i s os = i ab + i bc + i ca (3.45)
se puede obtener una solución general para las corrientes de línea y la corriente
de secuencia cero cuando la máquina es excitada con un vector giratorio
de tensión de alta frecuencia (3.29). Al igual que para el caso de la conexión
en estrella, mucho más interesantes que la solución general, (3.46) 5 , son las
5 Al igual que para el caso de la tensión de secuencia cero, el subíndice c hace referencia
a la excitación de alta frecuencia.

50 Modelo teórico general de máquinas con saliencias espaciales
i s∗
qds
−
regulador
corriente
v s∗
qdsc
+
v s∗
qds
vector
complejo
corriente
Inversor
(PWM)
Motor inducción
i ab
i bc
i ca
v a
L a
v b
L b
v c
L c
i b
i a
Figura 3.7: Esquema de la conexión del motor en triángulo.
soluciones para valores particulares de h.
⎛
∆L σs ΣL σs cos(ω c t ± hθ e ) − ∆L 2 ⎞
σs sen(ω c t ± 2hθ e )
i s osc = 3 √ 3 V ΣL σs (ΣL 2 σs − 3∆L 2 σs) − 2ΣL 3 σs sen(3hθ e )
c
w c ⎜
⎟
⎝
∆L σs cos(2hθ e ) + ΣL σs sen(hθ e ) ⎠
−
ΣL σs (ΣL 2 σs − 3∆L 2 σs) − 2ΣL 3 σs sen(3hθ e )
(3.46)
La ecuación general de la corriente de secuencia cero contiene dos grupos
de términos fácilmente distinguibles. El primero de ellos está constituido por
componentes en la región de la señal portadora, moduladas en fase por la
saliencia. Estas serán las componentes que se utilizarán en el método de
control. El segundo término contiene componentes, también moduladas en
fase por la saliencia, pero que están a frecuencias próximas a la excitación
fundamental. Por lo tanto, estos términos no ofrecen separación espectral
suficiente para aislarlos de los derivados de la excitación fundamental, y no
es posible utilizarlos para implementar un control capaz de funcionar a baja
velocidad o en control de posición. Las expresiones siguientes, obtenidas
para valores particulares del orden de armónico h, sólo son evaluadas para
los términos que se utilizarán en el control sensorless.
El vector portador de corriente en coordenadas de estátor —i s qdsc — se
puede obtener bien a partir de las corrientes de fase (3.47) o bien a partir de
las corrientes de línea (3.48). La única diferencia entre ambos es un factor
de escala 1/ √ 3 para el caso de las corrientes de fase. Los accionadores incorporan
comúnmente sensores de corriente en el cableado de alimentación
hacia el motor, por lo que en caso de realizar la estimación a partir de las
corrientes de línea no se requiere ningún cableado adicional. Por el contrario,
si se seleccionan como variables de medida las corrientes de fase, es necesario
añadir, al menos, un sensor de corriente adicional, su correspondiente conexionado
y el acceso a los terminales del motor. Dadas las claras ventajas que

3.6 Excitación con un vector giratorio de alta frecuencia 51
supone el utilizar las corrientes de línea, la opción alternativa se descarta en
todo el trabajo sucesivo [59].
i s qds∆c = 2 (
)
i ab + i bc e j 2π 3 + ica e j 4π 3
3
i s qdsc = 2 (
)
i a + i b e j 2π 3 + ic e j 4π 3
3
(3.47)
(3.48)
Resolviendo para valores particulares de h se obtienen las expresiones (3.49a)
- (3.49f)
1. Para h = 1, 4, 7, . . .; h = 3k − 2
i s qdsc = −jI cpe jωct − jI cnh e j(−ωct−hθe) − jI cn2h e j(−ωct+2hθe)
(3.49a)
i s 0sc = I 0ch cos(ω c t − hθ e ) + I 0c2h cos(ω c t + 2hθ e )
(3.49b)
2. Para h = 2, 5, 8, . . .; h = 3k − 1
i s qdsc = −jI cpe jωct − jI cnh e j(−ωct+hθe) − jI cn2h e j(−ωct−2hθe)
(3.49c)
i s 0sc = I 0ch cos(ω c t + hθ e ) + I 0c2h cos(ω c t − 2hθ e )
(3.49d)
3. Para h = 3, 6, 9, . . .; h = 3k
i s qdsc = −j V c
ω c
1
ΣL σs + 2∆L σs cos(hθ e ) ejωct
(3.49e)
i s 0sc = 0
(3.49f)
Analizando las expresiones anteriores se observa que la expresión del vector
de corriente consta de una componente de secuencia positiva —rotando en
el mismo sentido que la tensión portadora—, de magnitud (3.50), y que no
contiene información sobre la posición de la asimetría y de dos componentes
de secuencia negativa de magnitudes (3.51) y (3.52). Estas dos componentes
están moduladas en fase por la saliencia y son, por lo tanto, los términos
susceptibles de ser usados para el rastreo de la misma. Sin embargo, cuando
se cumple que ∆L σs ≪ ΣL σs el valor de I cn2h es mucho menor que el de

52 Modelo teórico general de máquinas con saliencias espaciales
I cnh y la componente rotando a 2h puede ser despreciada.
I cp = V c
ω c
I cnh = 3 V c
ω c
ΣL σs
ΣL 2 σs − 3∆L 2 σs
∆L σs
ΣL 2 σs − 3∆L 2 σs
(3.50)
(3.51)
I cn2h = I cnh
∆L σs
ΣL σs
(3.52)
Al igual que en el caso de conexión en estrella, las componentes del vector
de corriente portadora tienen una amplitud inversamente proporcional a la
frecuencia de la señal portadora, lo que puede condicionar la selección —
magnitud mínima y frecuencia máxima— del vector de tensión portadora.
La corriente de secuencia cero está compuesta de dos componentes, ambas
moduladas en fase, que contienen información de la posición de la saliencia.
La amplitud de las dos componentes se muestra en (3.53) y (3.54). Al igual
que en el caso del vector de corriente, cuando ∆L σs ≪ ΣL σs , se cumple que
I 0c2h ≪ I 0ch .
I 0ch = 3 √ 3 V c
w c
∆L σs
ΣL 2 σs − 3∆L 2 σs
(3.53)
I 0c2h = I 0ch
∆L σs
ΣL σs
(3.54)
Al contrario que ocurre con la tensión portadora de secuencia cero en el caso
de la conexión en estrella, la amplitud de la corriente portadora de secuencia
cero disminuye con la frecuencia de la portadora.
3.7. Excitación con una modulación en amplitud
Una alternativa a la excitación con un vector giratorio de alta frecuencia
para rastrear saliencias espaciales, es la inyección de una señal portadora
modulada en amplitud. Este método tiene algunas ventajas respecto a la
inyección de un vector giratorio, como menor rizado en el par, menores
vibraciones y disminución del ruido audible.
Es frecuente inyectar este tipo de excitación sobre el eje d (eje del flujo de
rotor) en coordenadas de flujo del rotor. Las variaciones que esta señal va a
producir en el flujo de rotor van a estar filtradas por la constante de tiempo
del rotor, que es relativamente grande, por lo que van a ser muy pequeñas.
Así, se reducen de forma notable las pulsaciones de alta frecuencia en el par.
La excitación superimpuesta de alta frecuencia empleando modulación en
amplitud se puede definir, en coordenadas de flujo de rotor, utilizando la

3.7 Excitación con una modulación en amplitud 53
expresión compleja (3.55). Aunque la expresión mostrada corresponde a la
inyección de una tensión, es posible inyectar una corriente. La señal de alta
frecuencia adopta entonces la forma (3.56).
v rf
qds c
= −jV c sin ω c t (3.55)
i rf
qds c
= −jI c sin ω c t (3.56)
La extracción del ángulo estimado se realiza midiendo algún efecto provocado
por la estimación incorrecta del ángulo del flujo en el rotor. En [104]
Yong y otros miden la magnitud de las pulsaciones en el par, inyectando
una corriente fluctuante (3.56). Dichas pulsaciones dependerán del ángulo
de desviación respecto al eje d. La estimación la realizan utilizando el modelo
de la máquina y, por tanto, es sensible a los parámetros de ésta. Otra
limitación es que el método permite alcanzar velocidades bajas, en torno al
1 % de la velocidad nominal, pero no permite funcionar a velocidad cero.
En [85] Ha y Sul inyectan una señal de tensión o de corriente y miden
las corrientes o las tensiones, respectivamente, en un sistema de referencia
desfasado π/4 respecto al eje de inyección, como se muestra en la figura 3.8.
En alta frecuencia las impedancias en los ejes d y q son diferentes, según
se muestra en las ecuaciones (3.57). Por lo tanto, el error de estimación
será proporcional a la diferencia de los cuadrados de las magnitudes medidas
en los ejes d y q. Dependiendo de si la señal inyectada es una tensión o
una corriente se obtiene (3.58) y (3.59) respectivamente. Para determinar el
ángulo de inyección de la señal de alta frecuencia se utiliza un PLL.
vqs rf
c ≈ (r s + jω c L σs ) i rf
qs c ≡ Z q c i rf
qs c
(
v rf
ds c ≈ L 2 )
m
r s + r r
L 2 + jω c L σs i rf
ds c ≡ Z d ci rf
ds c
r
(3.57a)
(3.57b)
|i m ds c |2 − ∣ ∣i m ∣ 2 qs c = Y err (θ e − ˆθ e ) (3.58)
|v m ds c |2 − ∣ ∣ v
m
qs c
∣ ∣
2 = Zerr (θ e − ˆθ e ) (3.59)
Para obtener las expresiones de las componentes de secuencia negativa y
componentes de secuencia cero, de manera que puedan compararse con las
obtenidas para el caso de inyección de un vector giratorio, es necesario transformar
la señal inyectada a coordenadas estacionarias. Por simplificación se
hace el desarrollo para las componentes de secuencia negativa utilizando la
inyección de una tensión. Las expresiones obtenidas serían completamente
análogas en el caso de inyectar una corriente. La expresión de la tensión
fluctuante en coordenadas estacionarias es (3.60), siendo θ e la posición del
flujo de rotor. Sus componentes se representan en (3.61a) - (3.61c).
v s qds c
= − V c
2
(
e j(ω rf +ω c)t − e j(ω rf −ω c)t ) (3.60)

54 Modelo teórico general de máquinas con saliencias espaciales
q ˆrf
rf
q
m
q
d
ˆrf
π
4
π
4
θ err
rf
d
m
d
Figura 3.8: Eje de inyección y de medidas en el método de Ha y Sul.
v a = − V c
2 (cos ((ω rf + ω c ) t) − cos ((ω rf − ω c ) t)) (3.61a)
v b = − V ( (
c
cos (ω rf + ω c ) t − 2π ) (
− cos (ω rf − ω c ) t − 2π ))
(3.61b)
2
3
3
v c = − V ( (
c
cos (ω rf + ω c ) t − 4π ) (
− cos (ω rf − ω c ) t − 4π ))
(3.61c)
2
3
3
3.7.1. Conexión en estrella
Empleando el mismo conexionado que el mostrado para el caso de excitación
con un vector giratorio de alta frecuencia (Figura 3.6), las expresiones
del vector de corriente y de la tensión de secuencia cero, planteadas igualmente
para valores particulares de h, son las mostradas en (3.62a) - (3.62f).

3.7 Excitación con una modulación en amplitud 55
1. Para h = 1, 4, 7, . . .; h = 3k − 2
(
)
i s qds c = jI cp e j(ωct+θ rf ) − e j(ωct−θ rf )
(
)
+ jI cn e j(−ωct−θ rf −hθ e) − e j(−ωct+θ rf −hθ e)
(3.62a)
v s 0sc = V 0ch (cos (hθ e − θ rf − ω c t) − cos (hθ e − θ rf + ω c t))
+ V 0c2h (cos (2hθ e + θ rf − ω c t) − cos (2hθ e + θ rf + ω c t))
2. Para h = 2, 5, 8, . . .; h = 3k − 1
(
)
i s qds c = jI cp e j(ωct+θ rf
− e j(ωct−θ rf )
(
)
+ jI cn e j(−ωct−θ rf +hθ e) − e j(−ωct+θ rf +hθ e)
(3.62b)
(3.62c)
3. Para h = 3, 6, 9, . . .; h = 3k
v s 0sc = V 0ch (cos (hθ e + θ rf + ω c t) − cos (hθ e + θ rf − ω c t))
+ V 0c2h (cos (2hθ e − θ rf + ω c t) − cos (2hθ e − θ rf − ω c t))
i s qds c = j V c
2ω c
1
ΣL σs + 2∆L σs cos(hθ e )
(3.62d)
(e j(ωct+θ rf ) − e j(ωct−θ rf ) )
(3.62e)
v s 0sc = 0
(3.62f)
I cp = V c ΣL σs ∆L σs
2ω c ΣL 2 σs − ∆L 2 σs
I cn = V c
2ω c
V 0ch = V c
2
V 0c2h = V c
2
∆L 2 σs
ΣL 2 σs − ∆L 2 σs
ΣL σs ∆L σs
ΣL 2 σs − ∆L 2 σs
∆L 2 σs
ΣL 2 σs − ∆L 2 σs
(3.63)
(3.64)
(3.65)
(3.66)
3.7.2. Conexión en triángulo
Del mismo modo que para la conexión en estrella, empleando el mismo
conexionado que el mostrado para el caso de excitación con un vector giratorio
de alta frecuencia (Figura 3.7), las expresiones del vector de corriente

56 Modelo teórico general de máquinas con saliencias espaciales
y de la corriente de secuencia cero son las mostradas en (3.67a) - (3.67f).
1. Para h = 1, 4, 7, . . .; h = 3k − 2
(
)
i s qds c = jI cp e j(ωct+θ rf ) − e j(ωct−θ rf )
(
)
+ jI cn e j(−ωct−θ rf −hθ e) − e j(−ωct+θ rf −hθ e)
(
)
+ jI cn e j(−ωct−θ rf +2hθ e) − e j(−ωct+θ rf +2hθ e)
(3.67a)
i s 0sc = V 0ch (cos (hθ e − θ rf − ω c t) − cos (hθ e − θ rf + ω c t))
+ V 0c2h (cos (2hθ e + θ rf − ω c t) − cos (2hθ e + θ rf + ω c t))
(3.67b)
2. Para h = 2, 5, 8, . . .; h = 3k − 1
(
)
i s qds c = jI cp e j(ωct+θ rf
− e j(ωct−θ rf )
(3.67c)
(
)
+ jI cn e j(−ωct−θ rf +hθ e) − e j(−ωct+θ rf +hθ e)
(
)
+ jI cn e j(−ωct−θ rf −2hθ e) − e j(−ωct+θ rf −2hθ e)
3. Para h = 3, 6, 9, . . .; h = 3k
i s 0sc = V 0ch (cos (hθ e + θ rf + ω c t) − cos (hθ e + θ rf − ω c t))
+ V 0c2h (cos (2hθ e − θ rf + ω c t) − cos (2hθ e − θ rf − ω c t))
i s qds c = j V c
2ω c
1
ΣL σs + 2∆L σs cos(hθ e )
(3.67d)
(e j(ωct+θ rf ) − e j(ωct−θ rf ) )
(3.67e)
i s 0sc = 0
(3.67f)
La discusión en cuanto a la información contenida en la corriente de
secuencia negativa y en las componentes de secuencia cero es idéntica a la
realizada para el caso de excitación con un vector giratorio de alta frecuencia,
por lo que es omitida en este punto.
3.8. Rastreo de saliencias utilizando los armónicos
de conmutación del inversor
Una alternativa a la inyección de una señal portadora de alta frecuencia
—ya sea un vector giratorio o una señal modulada en amplitud— para

3.8 Rastreo de saliencias utilizando la conmutación del inversor 57
rastrear las saliencias espaciales de la máquina, es utilizar los armónicos de
conmutación del inversor. Este tipo de métodos utilizan la respuesta quasiinstantánea
en las variables eléctricas de la máquina tras la conmutación de
los interruptores de potencia del inversor [48, 52, 39, 41, 42, 40, 30]. Para la
implementación de estos métodos, a menudo es necesario modificar el esquema
de modulación del inversor. En la técnica propuesta en [41] por Holtz
y Pan, se mide la tensión instantánea línea-neutro (3.68) tras aplicar dos
estados de conmutación adyacentes y sustituir, durante un corto intervalo
de tiempo, el estado 0 subsiguiente por dos estados activos. La medida de la
tensión de secuencia cero asociada a cada estado de conmutación del inversor
permite componer el vector complejo mostrado en (3.69), el cual contiene
información sobre la magnitud y posición de la saliencia.
v qdσ = 2 3
v σ = 1 3 (v an + v bn + v cn ) (3.68)
(
v σa + v σb e j2π/3 + v σc e j4π/3) (3.69)
Dado que esta técnica se basa en la medida de componentes de secuencia
cero, sus principios físicos, y por tanto su comportamiento básico, son similares
a los de las técnicas de secuencia cero descritas anteriormente para
los métodos basados en una excitación mediante un vector giratorio o con
una portadora modulada en amplitud. Sin embargo, existen diferencias muy
importantes en la implementación de ambos métodos.
Aunque en [41] se afirma que la única condición que se debe cumplir para
que exista acoplamiento entre la posición de la saliencia y el vector complejo
definido en (3.69) es que el número de barras de rotor no sea múltiplo de 3,
independientemente del número de ranuras de estátor, en [61] se demuestra
que esta afirmación es un caso particular del caso general, mostrado en el
punto 2.2.2.
Las ventajas de los métodos sensorless basados en la modificación de la
conmutación del inversor se enumeran en [41]. Entre ellas, se destaca el no
precisar de una excitación de alta frecuencia superpuesta a la fundamental.
Sin embargo, la modificación en el patrón de conmutación del inversor
necesaria para la implementación de la técnica, implica el reemplazar parcialmente
vectores nulos del inversor por dos vectores activos. Estos vectores
activos, opuestos en signo, fuerzan a realizar una conmutación simultánea de
todos los interruptores del inversor, incrementando las pérdidas en el mismo.
Una segunda ventaja enunciada por los autores [41], es la reducción de
las corrientes de alta frecuencia y, en consecuencia, del rizado en el par.

58 Modelo teórico general de máquinas con saliencias espaciales
Sin embargo, este efecto puede ser mitigado en las técnicas basadas en la
inyección de una señal de alta frecuencia, incrementando la frecuencia y disminuyendo
la magnitud de la señal portadora. En el siguiente capítulo se
demostrará que esto es viable en los métodos que utilizan componentes de
secuencia cero, pero mucho más problemático en los metodos que emplean
la corriente portadora de secuencia negativa. Analizando el desarrollo realizado
en la sección 3.6, se observa como son particularmente notables las
diferencias entre la tensión de secuencia cero y las componentes de secuencia
negativa y corriente de secuencia cero. Mientras que para la tensión de
secuencia cero, la magnitud de las componentes dependientes de la posición
es independiente de la frecuencia de la señal portadora. Para las componentes
basadas en algún vector de corriente, la magnitud decrece de manera
proporcional con la frecuencia de la señal portadora.
En [40], Holtz y Juliet proponen un método para la estimación de la
posición utilizando los armónicos de conmutación del inversor, independientemente
del conexionado de la máquina —estrella o triángulo— . La técnica
se basa en la medida de la variación de las corrientes de línea tras efectuar
una conmutación en el inversor. Definen el vector de posición (3.70), donde
los términos son de la forma (3.71) para el caso de conexión en estrella y
(3.72) para la conexión en triángulo.
donde
k = 1, 2.
u d : tensión de bus.
p r = 2 3
(
pa + ap b + a 2 p c
)
= pα + jp β (3.70)
( ) ) 2
3ΣL σs
(1 − ∆Lσs
2ΣL σs
p x = ±
p x = ± ΣL σs
u d
u d
di x
dt ± k (3.71)
di x
dt ± k (3.72)
Para eliminar el offset en las fases de las componentes del vector de
posición (factor k en las expresiones (3.71) y (3.72)), introducen una modificación
en la conmutación del inversor. Mediante el patrón modificado, se
determinan las componentes p α y p β del vector de posición utilizando las
variaciones en las corrientes de línea introducidas por dos conmutaciones
separadas 120 ◦ .
Para la implementación práctica, necesitan incorporar sensores adicionales
para medir las variables di x /dt. Los sensores, diseñados especialmente para

3.9 Conclusiones 59
el propósito, son transformadores de núcleo de aire. Estos transductores obtienen
a su salida una tensión proporcional a la variación de la corriente. Sin
embargo, la medida contiene componentes oscilatorias superpuestas, tanto
de baja como de alta frecuencia. Los autores afirman que las oscilaciones
de baja frecuencia se deben a las reflexiones en los cables de alimentación
al motor y las de alta a las que se producen en los devanados de estátor.
Para mitigar los efectos de las oscilaciones sobre la medida final, proponen
una solución dual. Las oscilaciones de alta frecuencia son eliminadas
muestreando la corriente un lapso de tiempo tras la conmutación. Para las
de baja frecuencia realizan una serie de operaciones matemáticas con las
señales muestreadas. Finalmente, los autores concluyen que el error de posición
obtenido, tras realizar todas las compensaciones necesarias, es menor
de 0.5 ◦ mecánicos.
Aunque en [40] se indica que la técnica es insensible a la variación de
parámetros tales como la tensión del bus de continua o el valor medio de la
inductancia transitoria, parece que los mayores inconvenientes se derivan de
los mecanismos de compensación que hay que introducir para eliminar las
componentes oscilatorias en las señales medidas. Estas componentes, causadas
por reflexiones tanto en los cables de alimentación como en los devanados
del motor, dependen tanto del motor como de la longitud de los cables de
alimentación. De esta manera, los mecanismos de rechazo de perturbaciones
deben de ser corregidos para cada montaje particular. Una explicación
mucho más detallada de las distorsiones provocadas por los cables de alimentación
y los devanados del motor, así como de los mecanismos de corrección
implementados, se muestra en [42].
3.9. Conclusiones
En este capítulo se ha presentado un modelo general de la máquina
de inducción que incluye asimetrías espaciales. Partiendo de una expresión
general, válida para para el caso de una excitación en baja frecuencia, se
han simplificado las ecuaciones que describen el comportamiento electromagnético
de la máquina para el caso de una excitación de alta frecuencia.
Finalmente se han obtenido las soluciones de estas ecuaciones para los casos
particulares de la excitación con un vector giratorio de tensión de alta
frecuencia y excitación con un vector de tensión modulado en amplitud.
Adicionalmente, se han mostrado los métodos basados en la utilización de
los armónicos de conmutación del inversor. Se han planteado las ecuaciones
y obtenido las soluciones tanto para el caso de conexión en triángulo como
conexión en estrella. Se ha demostrado que tanto la corriente de secuencia
negativa, como las componentes de secuencia cero —tensión de secuencia

60 Modelo teórico general de máquinas con saliencias espaciales
cero en el caso de máquinas conectadas en estrella, corriente de secuencia
cero en el caso de máquinas conectadas en triángulo— contienen información
sobre la magnitud y posición de las saliencias espaciales, y pueden ser
por tanto utilizadas para su rastreo. Se han analizado las diferencias entre
las diferentes variables terminales. De este modo, se ha demostrado que la
tensión de secuencia cero tiene una magnitud independiente de la frecuencia
de la señal portadora. Sin embargo, tanto en la corriente de secuencia negativa
como en la corriente de secuencia cero, la magnitud de las componentes
que contienen información sobre la posición de la saliencia es inversamente
proporcional a la frecuencia de la señal portadora. A partir de este punto, el
desarrollo de la tesis se centra únicamente en la excitación mediante un vector
giratorio de alta frecuencia. En los capítulos siguientes se desarrollará el
procesamiento de la señal necesario para extraer la información contenida
en las saliencias.

Capítulo 4
Control sensorless mediante
inyección de una señal
portadora de alta frecuencia
4.1. Introducción
En el capítulo 2 se analizó el origen de las asimetrías electromagnéticas
presentes en las máquinas de alterna. El efecto de estas asimetrías sobre
variables eléctricas terminales —tensiones y corrientes— se analizó en el
capítulo 3. En ese mismo capítulo, se obtuvieron las expresiones de las componentes
de secuencia negativa y componentes de secuencia cero cuando la
máquina se alimentaba superponiendo una señal de alta frecuencia a la excitación
fundamental. Estas expresiones se particularizaron para tres tipos de
excitación persistente: 1) Vector giratorio, 2) Vector modulado en amplitud
y 3) Señales de conmutación del inversor.
En este capítulo se desarrollan los aspectos prácticos para la implementación
de un control sensorless mediante la inyección de un vector giratorio de
tensión de alta frecuencia. El capítulo se organiza como sigue. Primeramente,
se establecerán los criterios de selección de la señal de alta frecuencia y
se analizarán aspectos relativos a la adquisición de señales. Se realizará un
análisis cuantitativo atendiendo a: 1) Parámetros de la señal inyectada —
frecuencia y amplitud—. 2) Tipo de señales usadas para la estimación de la
posición —componentes de secuencia negativa o componentes de secuencia
cero—. Se estudiarán además aspectos relativos a la medida de estas señales,
incluyendo la elección de sensores, el filtrado analógico de las señales, y la
resolución en los conversores Analógico/Digitales (A/D).

62 Control sensorless mediante inyección de una señal portadora
Se describirá además, en cada caso, el procesamiento digital de la señal
portadora basado en la transformación a un sistema de ejes síncrono. Esta
transformación es algebraicamente sencilla, y aunque estrictamente no
es necesaria, se considera adecuada por dos motivos: 1) Facilita la programación
de los algoritmos. 2) El resultado de esta transformación va a ser,
independientemente de la señal física que se esté midiendo —corriente portadora
de secuencia negativa o componentes de secuencia cero—, un vector
complejo con la información relativa a la posición de la saliencia modulada
en su fase. Como consecuencia de esto, el procesamiento posterior de este
vector complejo —desacoplo de saliencias secundarias, rastreo del ángulo de
la saliencia principal. . . —, necesario para extraer la posición del rotor, va a
ser común para todos los métodos, simplificando notablemente el análisis.
A continuación se analizan y desarrollan métodos para la estimación de
la posición del rotor. Un punto fundamental será el desacoplo de saliencias
secundarias presentes en la máquina, especialmente las saliencias inducidas
por saturación y las debidas a intermodulación. Una vez desacopladas las
saliencias secundarias, se presentan las diferentes técnicas existentes para
extraer la posición del rotor, indicando las prestaciones y limitaciones de
cada una de ellas. Finalmente, se muestran los resultados experimentales
obtenidos en el laboratorio.
En el último apartado del capítulo, se estudia el diagnóstico de máquinas
de alterna utilizando una señal portadora de alta frecuencia. Este método de
diagnóstico tiene unas propiedades muy atractivas, como su precisión y su
independencia del punto de funcionamiento del motor [130, 127]. Dado que
los principios físicos en los que se basa son los mismos que los empleados en
el control sin sensor de velocidad/posición, este apartado sirve como nexo
de unión entre los métodos de control y de diagnóstico analizados en esta
tesis.
4.2. Criterios generales para la selección de la señal
portadora
La selección de la señal portadora es una de las primeras decisiones que
hay que tomar a la hora de implementar un control sensorless. Aunque
idealmente las prestaciones finales del sistema de control deberían de ser
independientes del tipo de excitación de alta frecuencia utilizada, algunos
aspectos de implementación práctica pueden dar lugar a diferencias notables
en los resultados obtenidos. Limitando el estudio a las señales de excitación
persistentes, la señal portadora de alta frecuencia puede ser:

4.2 Criterios generales para la selección de la señal portadora 63
1. vector giratorio
2. vector modulado en amplitud
Según el tipo de señal inyectada, podemos distinguir entre:
1. inyección de una tensión portadora
2. inyección de una corriente portadora
Aunque la inyección de una tensión portadora y la inyección de una
corriente portadora son muy similares desde un punto de vista teórico, en la
práctica se prefiere la inyección de una tensión portadora, ya que el motor
es alimentado habitualmente desde una fuente de tensión. La inyección de
una corriente portadora requeriría la inclusión de un regulador de corriente
portadora [94], lo cual complica la implementación del método, no aportando
por otra parte ninguna ventaja importante. Por esta razón, todo el análisis
presentado en este capítulo se centra exclusivamente en la inyección de un
vector giratorio de tensión portadora.
Como norma general, a la hora de seleccionar las características —magnitud
y frecuencia— de la señal portadora, interesan frecuencias altas y amplitudes
pequeñas. Aspectos clave a tener en cuenta son:
1. Frecuencias de portadora elevadas posibilitan mayores anchos de banda
en la estimación de la posición de la saliencia.
2. Frecuencias de portadora elevadas incrementan la separación espectral
con respecto a la excitación fundamental, facilitando el filtrado.
3. Frecuencias de portadora elevadas reducen los efectos adversos de inyectar
la señal portadora —ruido, vibraciones, pérdidas adicionales—,
al reducirse la corriente portadora de secuencia positiva, debido al
comportamiento inductivo del motor. Sin embargo, esta reducción va
a afectar también a la corriente portadora de secuencia negativa y a
la corriente de secuencia cero en máquinas conectadas en triángulo,
las cuales contienen la información sobre la posición de la saliencia.
Esto puede deteriorar la relación señal ruido de estas señales y restar
resolución al sistema de adquisición.
4. Menores magnitudes de la señal portadora inyectada reducen los efectos
adversos de inyectar la señal de alta frecuencia, pero reducen también
la magnitud de las señales a rastrear y, por lo tanto, pueden
deteriorar la relación señal ruido y restar precisión a la estimación.

64 Control sensorless mediante inyección de una señal portadora
4.3. Implementación utilizando la corriente portadora
de secuencia negativa
Como ya se vio, la inyección de una tensión portadora en una máquina
con saliencias espaciales va a dar lugar a una corriente portadora de secuencia
negativa, que contiene información sobre la magnitud y posición de la
saliencia. Aunque existen pequeñas diferencias, la implementación y las prestaciones
de este método son esencialmente las mismas tanto para máquinas
conectadas en estrella, como para máquinas conectadas en triángulo.
4.3.1. Adquisición de señales
Un aspecto importante en la implementación de técnicas sensorless utilizando
la corriente portadora de secuencia negativa, va a ser la resolución
del sistema de adquisición, el cual incluye: sensores, filtros analógicos, y
conversores A/D.
Sensores
Los sensores habitualmente utilizados para medir las corrientes son sondas
de efecto Hall. Estos sensores proporcionan un ancho de banda adecuado
y aislamiento galvánico. En motores con el neutro aislado, es suficiente con
medir dos corrientes de fase. Dado que las corrientes de alimentación al motor
son medidas habitualmente para la implementación de los métodos de
control en campo orientado, la medida de la corriente portadora de secuencia
negativa no necesita sensores ni cableado adicional. El hecho de que los mismos
sensores sean utilizados para medir tanto la corriente fundamental como
la corriente portadora de secuencia negativa puede dar lugar sin embargo
a problemas de escalado. El fondo de escala de los sensores debe ajustarse
para medir la corriente fundamental. Puesto que el orden de magnitud entre
la corriente de excitación fundamental y la corriente portadora de secuencia
negativa puede situarse, a modo indicativo, en torno a 1000/1, la precisión
de los sensores puede verse afectada a la hora de medir la corriente portadora
de secuencia negativa.
Filtrado analógico
Fijada la frecuencia de muestreo, las componentes de alta frecuencia de
las señales —componentes por encima de la frecuencia de Nyquist— deben
de ser eliminadas. Estas componentes de alta frecuencia están relacionadas
normalmente con la conmutación del inversor. Las dos opciones más habituales
de filtrado son: 1) realizar el muestreo de las corrientes de forma

4.3 Implementación utilizando la corriente portadora de secuencia neg. . . 65
síncrona con la conmutación del inversor. De esta manera se eliminan de la
señal muestreada la mayor parte los transitorios provocados por la conmutación.
El muestreo sincronizado va a requerir que la modulación del inversor
sea simétrica. Esto no es en realidad un inconveniente, ya que la modulación
simétrica es habitual, tanto en métodos que utilizan una portadora
triangular como en métodos basados en la modulación del vector espacial
(SVM) [?,?]. 2) Eliminarlas mediante filtros antialiasing antes de realizar la
conversión A/D. El diseño de filtros antialiasing cuando se inyecta una señal
portadora del alta frecuencia puede ser sin embargo problemático, debido
a la proximidad espectral entre la frecuencia portadora y la frecuencia de
conmutación. En ese caso, puede ocurrir que el desfase provocado por el
filtro antialiasing a la frecuencia portadora de lugar a errores importantes
en la estimación de la posición de la saliencia, haciendo necesario el uso de
mecanismos de compensación de este desfase. Este efecto se puede mitigar
utilizando una combinación de filtro de rechazo de banda y filtro paso-bajo.
El filtro paso-bajo se diseña para eliminar armónicos situados por encima
de la frecuencia de conmutación, mientras que el filtro paso de banda se
diseña para eliminar los armónicos situados exactamente a la frecuencia de
conmutación. En la Figura 4.2 se muestra la respuesta en frecuencia de este
tipo de filtros. Para el caso particular representado, el filtro paso-bajo es
un Butterworth de 4 ◦ orden. La frecuencia de corte del filtro paso-bajo se
ha fijado en 5 kHz. El filtro rechazo-banda es un Butterworth de 2 ◦ orden.
La frecuencia de este segundo filtro es igual a la frecuencia de conmutación,
siendo en el caso del ejemplo de 10 kHz. El desfase de este filtro es lineal
en la zona de la portadora, según se ve en la Figura 4.3. De esta manera, la
compensación de la fase, si fuese necesaria, es muy sencilla.
Conversión analógico/digital
El parámetro clave al seleccionar los conversores analógico-digitales es el
número de bits. Al igual que ocurría con los sensores, los conversores A/D
están escalados de acuerdo a la magnitud de la corriente fundamental. Un
número de bits elegido para muestrear la corriente fundamental con una
precisión adecuada, puede resultar insuficiente para capturar la corriente
portadora de secuencia negativa. El error cometido —diferencia entre el
valor real y el discreto— al convertir una señal continua, idealmente con
precisión infinita, en una discreta, se conoce como error de cuantizado. El
tipo de cuantizado comúnmente usado en control discreto es el cuantizado
uniforme. Este modo de cuantizado admite dos variaciones, conocidas como

66 Control sensorless mediante inyección de una señal portadora
PSfrag replacements
Magnitud (dB)
0
−50
−100
−150
−200
1 10 100
200
Fase (deg)
100
0
−100
−200
1 10 100
(kHz)
Figura 4.1: Respuesta en frecuencia filtro Butterworth paso-banda de segundo orden,
bw = 100Hz.
Midrise, (4.1) y Midtread, (4.2).
Q(x) = ⌊2M−1 x⌋ + 0.5
2 M−1 (4.1)
donde
x
⌊x⌋
M
Q(x) = ⌊2M−1 x + 0.5⌋
2 M−1 , (4.2)
: Variable real a discretizar.
: función redondeo hacia abajo (floor).
: Número de bits.
El valor 2 M−1 se conoce como el paso del cuantizado. La relación señal/ruido
se puede aproximar utilizando la expresión (4.3).
S
N q
≈ 20 log 10 (2 M ) = 6.0206MdB (4.3)
La distorsión armónica introducida por el proceso de cuantizado podría ser
mitigada mediante técnicas de ruido aditivo, conocidas como dithering 1 ,
aunque este campo permanece aun sin explorar.
1 Del término anglosajón didderen (agitar involuntariamente).

4.3 Implementación utilizando la corriente portadora de secuencia neg. . . 67
PSfrag replacements
Magnitud (dB)
0
−50
−100
−150
−200
−250
1 10 100
0
Fase (deg)
−200
−400
−600
−800
1 10 100
(kHz)
Figura 4.2: Respuesta en frecuencia de filtro Butterworth de cuarto orden, fc = 5
kHz, y filtro de rechazo de banda de segundo orden, bw = 1kHz, fc = 10KHz.
En [62,64] Briz y otros presentan un observador de corriente que, además
de eliminar parte de los efectos producidos durante los transitorios de la
corriente fundamental sobre la corriente portadora de secuencia negativa,
permite incrementar la resolución de los conversores A/D. Para ello, implementan
un modelo simplificado de alta frecuencia del motor. La estimación
de la corriente fundamental proporcionada por este modelo, se convierte
al dominio continuo mediante conversores digitales/analógicos (D/A) y se
resta de la corriente medida. La señal resultante, en condiciones ideales,
sólo contendrá corriente de alta frecuencia inyectada por la señal portadora,
siendo por tanto su magnitud muy reducida. Esto permite amplificarla antes
de realizar su conversión analógico-digital, mejorando la resolución del
conversor A/D.
Filtrado digital
El objetivo primordial del procesamiento digital de la corriente portadora
de secuencia negativa, es separar la parte de señal cuyas componentes están
moduladas en fase por la posición de la asimetría del resto de componentes
del espectro. El espectro de la corriente se puede separar en tres bandas
claramente diferenciadas:

68 Control sensorless mediante inyección de una señal portadora
PSfrag replacements
−70
−75
Fase (deg)
−80
−85
−90
2300 2400 2500 2600 2700
(Hz)
Figura 4.3: Fase del filtro en la zona de la señal portadora.
Entorno de la excitación fundamental de la máquina.
Corriente portadora de secuencia positiva: Componentes inyectadas
por la excitación de alta frecuencia.
Corriente portadora de secuencia negativa: Componentes inducidas
por las asimetrías de la máquina.
La corriente portadora de secuencia positiva se puede considerar como
una perturbación, siendo relativamente fácil de eliminar. Una vez eliminada
esta componente, es necesario separar la secuencia negativa de la excitación
fundamental. La información de secuencia negativa será utilizada para
rastrear la posición de las saliencias espaciales, mientras que la excitación
fundamental cierra el bucle de control en corriente. El proceso de filtrado
se muestra esquemáticamente en la figura 4.4. La implementación de estos
filtros se suele realizar en coordenadas síncronas con la componente a filtrar.
Una vez aislada la corriente portadora de secuencia negativa (Figura 4.5),
es habitual realizar una transformación a coordenadas de secuencia negativa
—frecuencia −ω c — utilizando la expresión (4.4). La corriente portadora de
secuencia negativa pasa así de estar modulada alrededor de −ω c a estar modulada
en torno a una componente de continua. Aunque esta transformación
no es estrictamente necesaria, simplifica en la práctica la programación de
los algoritmos.
i cn
qds = is qds ejωct (4.4)
Para aislar las componentes que contienen información relevante del resto
de componentes presentes en el espectro de la corriente, se implementa un
filtro paso-bajo sobre la señal rotada. Este filtro es equivalente a un filtro
paso de banda en coordenadas estacionarias. Las principales componentes a
eliminar son la corriente fundamental y la corriente portadora de secuencia

4.4 Implementación utilizando la tensión portadora de secuencia cero 69
s
iqds
FRB
secuencia
positiva
FRB
secuencia
negativa
s
i qds _ f
Regulador
de
corriente
FRB
fundamental
i
s
qds _ cn
Observador
de
rastreo
θˆr
Figura 4.4: Proceso de filtrado para extraer las corrientes fundamental y portadora
de secuencia negativa a partir de la corriente total.
positiva. El filtrado de la corriente portadora de secuencia positiva no es
en general problemático, ya que su magnitud es relativamente pequeña —
del orden de 10 a 20 veces la corriente portadora de secuencia negativa—,
la separación espectral es de 2ω c , siendo además una señal estática —su
magnitud y su frecuencia se pueden considerar constantes—.
El filtrado de la corriente fundamental es en general mucho más problemático.
Esto es debido en primer lugar a su mayor magnitud —del orden
de 1000 veces la de la corriente portadora de secuencia negativa— y su
menor separación espectral —entorno de ω c —. Además, la corriente fundamental
no es una señal estacionaria, sino que puede presentar variaciones
muy rápidas, resultado de introducir señales tipo escalón en el par de referencia
(o en la velocidad de referencia) al motor. En este caso, los filtros
convencionales presentan serias limitaciones, pudiendo ser necesarios filtros
más avanzados [64].
4.4. Implementación utilizando la tensión portadora
de secuencia cero
En el caso de máquinas conectadas en estrella, la inyección de una tensión
portadora en una máquina con saliencias espaciales se vio que daba lugar
a una tensión portadora de secuencia cero, la cual contiene información
sobre la magnitud y posición de la saliencia. Es posible por tanto estimar
la posición del rotor a partir del procesamiento de la tensión portadora de
secuencia cero.

0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
70 Control sensorless mediante inyección de una señal portadora
1.2
w c = 2500Hz, v c = 20V, Estrella, w e = 4Hz, w r = 2Hz, |i qdsref | = 4.66A
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
)| (mA)
|F F T (i s qds
1
0.8
0.6
0.4
0.2
2ωe 14ω r
-ω e
-4ω e
-2ω e − 14ω r
0
−2600 −2550 −2500 −2450 −2400
frecuencia (Hz)
Figura 4.5: Espectro del vector de corriente en coordenadas estacionarias centrado
en la zona de secuencia negativa. Se distinguen las componentes inducidas por
saturación —2ω e , −4ω e —, por intermodulación —−2ω e − 14ω r —, por el inversor
—−ω e — y por ranurado —14ω r —. La frecuencia de la señal portadora es de ω c =
2500Hz.
4.4.1. Selección de la señal portadora y adquisición de señales
El mecanismo de generación de la tensión portadora de secuencia cero
en máquinas con saliencias espaciales se puede modelar de forma muy simple
a partir de un divisor inductivo. Puesto que el comportamiento de un
divisor no depende de la frecuencia, la magnitud de la tensión portadora
de secuencia cero no va a depender de la frecuencia de la señal portadora.
Esto va a permitir utilizar señales portadoras de alta frecuencia —cercanas
a la frecuencia de Nyquist— y pequeña magnitud, sin que esto reduzca —y
por tanto deteriore— de forma apreciable la tensión portadora de secuencia
cero.
Sensores
La medida de la tensión portadora de secuencia cero va a implicar el acceso
a los terminales de estátor de la máquina. Existen diversas alternativas
para medir la tensión portadora de secuencia cero:
1. Empleando tres sensores de tensión, uno por fase, y midiendo las ten-

4.4 Implementación utilizando la tensión portadora de secuencia cero 71
v s∗
qdsc
Motor inducción
i s∗
qds
−
regulador
corriente
+
v s∗
qds
Inversor
(PWM)
v avb
vc
v anvbn
vcn
v n
vector
complejo
corriente
i b
i a
Figura 4.6: Medida de la tensión portadora de secuencia cero utilizando tres sensores
de tensión entre cada una de las fases y el neutro de la máquina. La secuencia cero
se calcula como la media de las salidas de todos los sensores.
v s∗
qdsc
Inversor
(PWM)
Motor inducción
i s∗
qds
−
regulador
corriente
+
v s∗
qds
0
V d /2
Vd /2
v avb
vc
v n
v n0
vector
complejo
corriente
i b
i a
Figura 4.7: Medida de la tensión portadora de secuencia cero respecto al punto
medio del inversor.
siones referidas al neutro de la máquina —v an , v bn , v cn —. La secuencia
cero se calcula como la media de las salidas de todos los sensores. (Figura
4.6).
2. Midiendo la tensión entre el punto neutro del motor y el punto medio
del inversor. (Figura 4.7). Sólo se precisa un sensor para medir la
tensión v n0 .
3. Midiendo la diferencia de tensión entre el neutro del motor y el punto
medio de una carga equilibrada conectada en paralelo a la máquina
—v nnR —, empleando una sonda de tensión. (Figura 4.8).
El hecho de emplear sensores específicos para la medida de la señal de secuencia
cero, va a permitir escalar el conjunto sensor/conversor analógico-digital
de acuerdo a la magnitud de esta señal, evitando de esa forma problemas de
resolución en la medida. De los tres métodos anteriores, el primero de ellos
tiene como principal ventaja el desacoplo automático de las componentes de
secuencia cero inyectadas por el sistema de alimentación. Sin embargo, tiene

72 Control sensorless mediante inyección de una señal portadora
v s∗
qdsc
Motor inducción
i s∗
qds
−
regulador
corriente
+
v s∗
qds
Inversor
(PWM)
v avbvc
v n
v n−nR
sonda
tensión
(aislamiento
galvánico)
vector
complejo
corriente
v nR
i b
i a
R
R
R
Red resistencias equilibradas
Figura 4.8: Plataforma utilizada para la medida de la tensión portadora de secuencia
cero. Se utiliza una red de resistencias conectada en paralelo con el motor. La medida
de la tensión portadora de secuencia cero se realiza entre el punto neutro del motor
y el punto medio de la red de resistencias.
el inconveniente de que son necesarios tres sensores adicionales. Los otros
dos métodos utilizan un único sensor. Las diferencias entre ambos métodos
se deducen fácilmente al analizar los circuitos resultantes. Las tensiones de
fase, medidas respecto al punto medio del inversor, v x0 , se pueden expresar
en función de las tensiones medidas respecto al neutro del motor, v xn , más
la diferencia de tensión entre ambos puntos, v n0 .
v an = v a0 − v n0
v bn = v b0 − v n0
v cn = v c0 − v n0 (4.5)
y sustituyendo en la expresión de la tensión portadora de secuencia cero se
obtiene (4.6). Las componentes de secuencia cero inyectadas por el inversor
se definen como (4.7).
Sustituyendo en (4.6) se tiene (4.8).
v n0 = 1 3 (v a0 + v b0 + v c0 ) − v s 0 (4.6)
v s 0abc = 1 3 (v a0 + v b0 + v c0 ) (4.7)
v n0 = v 0abc − v s 0 (4.8)
Por lo tanto, la medida de la secuencia cero mediante un único sensor de
tensión, situado entre el punto neutro de la máquina y el punto medio del in-

4.4 Implementación utilizando la tensión portadora de secuencia cero 73
versor, tiene como principal inconveniente que las componentes de secuencia
cero inyectadas por el inversor no son desacopladas [60].
Para el caso de una carga equilibrada conectada en paralelo con la máquina,
definiendo v nb como la tensión de dicho punto, se obtienen las expresiones
(4.9).
v an = v anb − v n−nb
v bn = v bnb − v n−nb
v cn = v cnb − v n−nb (4.9)
Utilizando (4.9), y la definición de tensión portadora de secuencia cero, se
obtiene (4.10).
v n−nb = 1 3 (v anb + v bnb + v cnb ) − v s 0 (4.10)
Para el caso de una carga equilibrada, se cumplirá (4.11) y, por lo tanto,
(4.12)
v s 0pl = 1 3 (v anb + v bnb + v cnb ) = 0 (4.11)
v n−nb = −v s 0 (4.12)
La medida de la secuencia cero utilizando un único sensor de tensión entre el
punto neutro del motor y el punto medio de una carga paralela equilibrada,
desacopla por tanto las componentes de secuencia cero inyectadas por el
inversor. Aunque esta técnica tiene como inconveniente respecto a la anterior
la necesidad de un componente adicional en el sistema de control, esto no se
considera muy relevante. La carga equilibrada utilizada puede ser una red
trifásica de resistencias, cuyo coste es muy reducido. Por otra parte, estas
resistencias pueden elegirse con valores muy elevados (decenas de kΩ), por
lo que la potencia que disipan es despreciable.
En las figuras 4.9(a) y 4.9(b), se muestra el efecto que las componentes de
secuencia cero inyectadas por el inversor tienen sobre la tensión portadora
de secuencia cero medida por los dos métodos descritos. Se observa una atenuación,
para el caso de utilizar una carga equilibrada conectada en paralelo
con la máquina, de prácticamente un orden de magnitud para las componentes
situadas a la frecuencia de conmutación —ω s — y para las inducidas
por intermodulación entre la conmutación y la señal portadora de alta frecuencia
—ω s ± ω c —. También se reducen los armónicos triples debidos a
saturación —3ω e —. En todos los experimentos llevados a cabo durante la
presente tesis, la medida de la tensión portadora de secuencia cero utilizando
un red trifásica de resistencias proporcionó unos resultados muy buenos,
por lo que es el método utilizado en todos los resultados presentados.

74 Control sensorless mediante inyección de una señal portadora
100
PSfrag replacements
ω s − ω c
ω s
ω s + ω c
10
3ω e
ω c
(V)
1
0.1
0.01
0 10 20 30 40
frecuencia (kHz)
(a) Espectro de la tensión de secuencia cero medida respecto al punto
medio del inversor.
100
PSfrag replacements
10
3ω e
ω c
ω s
(V)
1
0.1
0.01
0 10 20 30 40
frecuencia (kHz)
(b) Espectro de la tensión de secuencia cero medida respecto al punto
medio de una carga equilibrada conectada en paralelo con la máquina.
Figura 4.9: Comparación espectral de la tensión de secuencia cero para los dos
métodos de medida descritos.

4.4 Implementación utilizando la tensión portadora de secuencia cero 75
Filtrado analógico
El filtrado analógico de la tensión de secuencia cero tiene, en principio,
unas características muy diferentes al de la corriente portadora de secuencia
negativa. Al utilizarse un sensor dedicado exclusivamente a la medida de
tensión portadora de secuencia cero, todos los aspectos relativos a la adquisición
de señales, incluyendo el filtrado, tienen como único objetivo preservar
la información contenida en la región del espectro alrededor de la frecuencia
portadora. Se han propuesto básicamente dos métodos de filtrado analógico:
- Filtro paso de banda a la frecuencia portadora. Este filtro logra el doble
efecto de eliminar las componentes de alta frecuencia (armónicos
de conmutación del inversor) y de baja frecuencia (relacionadas con la
excitación fundamental, debido sobre todo a la saturación de la máquina).
Un inconveniente de los filtros paso de banda es que presentan la
máxima variación de su fase en la zona pasa-banda. Esto va a dar lugar
a una deformación de la fase de la tensión portadora de secuencia cero,
y puede requerir algún tipo de corrección de la distorsión. En la Figura
4.1, se muestra la respuesta en frecuencia de un filtro de Butterworth
resonante de segundo orden. Para el ejemplo mostrado la frecuencia
de la portadora es de 2500 Hz. El ancho de banda del filtro (bw) se
ha seleccionado en 100 Hz. Como se puede observar en la respuesta de
la fase, en la zona de la portadora se produce la máxima variación, y,
por lo tanto, la distorsión introducida en las fases de las componentes
dependientes de la posición será elevada.
- Una alternativa al uso de filtros paso de banda es utilizar una combinación
de filtro de rechazo de banda y filtro paso-bajo. Este filtro
sería muy similar al descrito en el filtrado de la corriente en la sección
anterior. El filtro paso-bajo, cuya frecuencia de corte es menor que la
del rechazo de banda, contribuye a disminuir los armónicos situados
a la frecuencia de conmutación, incluyendo además un rechazo a las
frecuencias situadas por encima de ésta. En la Figura 4.2 se muestra
la respuesta en frecuencia de este tipo de filtro. Para el caso particular
representado, el filtro paso-bajo es un Butterworth de 4 ◦ orden.
La frecuencia de corte del filtro paso-bajo se ha fijado en 5 kHz. El
filtro rechazo-banda es un Butterworth de 2 ◦ orden. La frecuencia de
este segundo filtro es igual a la frecuencia de conmutación, siendo en
el caso del ejemplo de 10 kHz. El desfase de este filtro es lineal en la
zona de la portadora, según se ve en la Figura 4.3. De esta manera la
compensación, si es necesaria, es mucho más sencilla de implementar
que para el caso del filtro paso-banda. Este es el esquema de filtrado
utilizado en todos los experimentos basados en la tensión portadora
de secuencia cero.

76 Control sensorless mediante inyección de una señal portadora
Conversión analógico/digital
La conversión analógico/digital para el caso de la tensión de secuencia
cero presenta dos ventajas principales con respecto al caso de la corriente
portadora de secuencia negativa:
1. La magnitud de las componentes de secuencia cero es bastante independiente
de la excitación fundamental. Por lo tanto, el rango del
conversor puede ajustarse al valor de las componentes utilizadas para
el rastreo de la posición del rotor.
2. Mejor relación señal/ruido (S/R). Según la discusión realizada en 4.3.1,
la selección del número de bits era tanto más importante cuanto menor
fuese la relación S/R. Por lo tanto, este parámetro no es tan crítico,
permitiendo su implementación en sistemas con conversores A/D de
menor precisión.
Filtrado digital
El filtrado digital para el caso de la tensión de secuencia cero, si bien es
similar en su forma al de la corriente portadora de secuencia negativa, presenta
una diferencia fundamental en su objetivo. Dado que las componentes
situadas a frecuencias triples de la excitación fundamental no se utilizan,
en el esquema propuesto en esta tesis, para realimentar el bucle de control,
constituyen una perturbación. En la región de excitación fundamental existen
armónicos triples debidos a saturación [?,?] que hay que eliminar antes
de extraer la información de las saliencia dependientes de la posición. La
implementación del filtro se realiza, de la misma forma que para el caso de
la corriente portadora de secuencia negativa, mediante un filtro paso alto en
coordenadas estacionarias.
Una vez filtrada la región de excitación fundamental, el procesamiento
sobre las componentes moduladas en fase por la posición de la saliencia es
similar al realizado para el caso de la corriente portadora de secuencia negativa
(Ver 4.3.1). En el caso de la tensión portadora de secuencia cero, el
sistema síncrono rota a +ω c (ver Figura 4.10). El uso de un sistema síncrono
adquiere sentido físico cuando las variables representadas son complejas.
En este caso, las componentes con una frecuencia menor que la frecuencia
de referencia serán vectores rotando en sentido negativo —componentes de
secuencia negativa en dicha referencia—. Las que tengan una frecuencia mayor
lo harán en sentido positivo —componentes de secuencia positiva en la
referencia síncrona—. Si la variable es real, las componentes de secuencia
negativa carecen de sentido físico. Por lo tanto, para aplicar técnicas basadas

4.5 Implementación utilizando la corriente de secuencia cero 77
en el cambio de sistemas de referencia es necesario convertir dichas variables
en vectores complejos. La transformación se realiza de manera sencilla
utilizando (4.13)
v c oqd = vs ose −jωct (4.13)
La tensión de secuencia cero adquirida por el conversor A/D, tras haber
realizado el filtrado analógico para eliminar las componentes inyectadas por
el inversor, contiene, como se ha indicado anteriormente, componentes debidas
a armónicos triples, asociadas a efectos de saturación causados por la
excitación fundamental. La expresión de la secuencia cero tras la adquisición
responde a una expresión general de la forma (4.14).
v 0 = V 0ch sin(ω c t + hθ r ) + V 03ωe sin(3ω e t + θ e ) (4.14)
Tras aplicar la rotación (4.13) se obtiene el vector complejo (4.15)
v0qd c = −j V 0ch
(e hθr − e −j(hθr+2ωct))
2
− j V 03ω e
2
(
e j((−ωc+3ωe)t+θe) − e −j((ωc+3ωe)t+θe)) (4.15)
La expresión anterior está compuesta de cuatro términos. Todos ellos, excepto
el primero, se encuentran en torno a múltiplos de la frecuencia portadora.
Por lo tanto, realizando un filtrado paso-bajo es posible eliminar
dichas componentes, obteniéndose el vector de tensión cero en coordenadas
de frecuencia portadora (4.16)
v c 0qdc = −jV 0he jhωr (4.16)
4.5. Implementación utilizando la corriente de secuencia
cero
La inyección de una tensión portadora en una máquina conectada en
triángulo que presente saliencias espaciales va a dar lugar a una corriente de
secuencia cero que contiene información sobre la magnitud y posición de la
saliencia.
4.5.1. Selección de la señal portadora y adquisición de señales
Debido al comportamiento inductivo del motor, todo lo dicho para el caso
de la corriente portadora de secuencia negativa es válido para la corriente
de secuencia cero. Así, se tiene:

0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
78 Control sensorless mediante inyección de una señal portadora
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
|F F T (vnnR)| (V)
0.5
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
w c = 2500Hz, v c = 20V, Estrella, w e = 4Hz, w r = 2Hz, |i qdsref | = 4.66A
2ω e
14ω r
0.1
0.05
-2ω e − 14ω r
-4ω e
0
2400 2450 2500 2550 2600
frecuencia (Hz)
Figura 4.10: Espectro de la tensión de secuencia cero medida utilizando una red
equilibrada de resistencias. Frecuencia de la señal portadora ω c = 2500Hz, V c =
20V.
1. La magnitud de la corriente portadora de secuencia cero se reduce de
forma proporcional a la frecuencia portadora. Esta es una diferencia
importante con respecto a la tensión portadora de secuencia cero en
máquinas conectadas en estrella.
2. Mayores frecuencias posibilitan mayores anchos de banda en la posterior
estimación.
3. Mayores frecuencias facilitan el filtrado de la corriente fundamental,
al incrementar la separación espectral respecto a ésta.
Sensores
La corriente de secuencia cero puede medirse utilizando dos métodos:
1. Empleando tres sensores de corrientes en cada una de las fases del
motor. La señal de estos tres sensores se puede utilizar también para
regular las corrientes del motor. La conexión a estos sensores requiere
el acceso a los terminales del motor. (Figura 4.11).

4.5 Implementación utilizando la corriente de secuencia cero 79
v s∗
qds
−
regulador
corriente
v s∗
qdsc
+
v s∗
qds
vector
complejo
corriente
Inversor
(PWM)
Motor inducción
i ab
i bc
i ca
v a
L a
v b
L b
v c
L c
i a
i b
i c
i s 0s
Figura 4.11: Medida de la corriente portadora de secuencia cero utilizando tres
sensores colocados en los cables de alimentación hacia el motor.
v s∗
qds
−
regulador
corriente
v s∗
qdsc
+
v s∗
qds
vector
complejo
corriente
Inversor
(PWM)
Motor inducción
i ab
i bc
i ca
v a
L a
v b
L b
v c
L c
i b
i a
i s 0s
Figura 4.12: Medida de la corriente portadora de secuencia cero utilizando un único
sensor. El sensor utilizado es de efecto Hall.
2. Utilizar un único sensor de corriente para medir de manera conjunta las
tres corrientes de fase. En este caso se mantendrían los dos sensores
habituales para medir las corrientes, utilizados en la regulación de
corriente del motor, por lo que el número total de sensores sigue siendo
tres. (Figura 4.12).
La diferencia fundamental entre ambos métodos es que, mientras que en el
primero, todos los sensores han de estar escalados de acuerdo a la magnitud
de la corriente fundamental, en el segundo, el sensor adicional está escalado
de acuerdo a la magnitud de la corriente de secuencia cero. Esto proporciona
ventajas muy relevantes en la precisión tanto de los sensores como de los
conversores A/D. En todos los resultados que se presentan en la tesis se ha
utilizado el segundo método.

80 Control sensorless mediante inyección de una señal portadora
Filtrado analógico, conversión analógico/digital, filtrado digital
Todos los aspectos relacionados con el filtrado, adquisición y procesamiento
de la tensión de secuencia cero son totalmente válidos para el caso
de la corriente de secuencia cero, por lo que no se reproducen aquí.
4.6. Compensación de saliencias inducidas por saturación
Como se comentó en el capítulo 2, las saliencias inducidas por saturación
van a dar lugar a componentes adicionales en las señales eléctricas utilizadas
para estimar la posición del rotor. La compensación de estas componentes va
a ser necesaria, no sólo para obtener una precisión adecuada en la estimación
de la posición del rotor, sino a menudo para garantizar la estabilidad del
sistema. Las componentes inducidas por saturación van a estar presentes
tanto en las componentes de secuencia negativa como en las componentes
de secuencia cero.
En la sección 2.2.1 del capítulo 2, se mostró que las saliencias inducidas
por saturación tenían un orden de armónico espacial h sp = 2, 4, 6 . . ., y su
velocidad de giro era ω e , siendo ω e la frecuencia de la excitación fundamental
en rad/s. Particularizando las expresiones obtenidas en el capítulo 3 para
los valores de h = 2, 5, 8 . . ., y para el caso de una excitación de alta frecuencia
mediante un vector giratorio, se obtienen la expresiones para el vector
de corriente de estátor en coordenadas estacionarias: (4.17) para conexión
en estrella, y (4.18) para conexión en triángulo. Para las componentes de
secuencia cero: (4.19) para conexión en estrella y (4.20) para conexión en
triángulo.
i s qdsc = is qdscp + is qdscn
= −jI cp e jωct − jI cnh e (−jωct+hθe) (4.17)
i s qdsc = is qdscp + is qdscn
= −jI cp e jωct − jI cnh e (−jωct+hθe) − jI cn2h e (−jωct−2hθe) (4.18)
donde
v s 0sc = V 0ch cos(ω c t + hθ e ) − V 0c2h cos(ω c t − 2hθ e ) (4.19)
i s 0sc = I 0ch cos(ω c t + hθ e ) + I 0c2h cos(ω c t − 2hθ e ) (4.20)

4.6 Compensación de saliencias inducidas por saturación 81
I cp = V c ΣL σs
ω c ΣL 2 σ s
− ∆L 2 ,
σ s
magnitud de la corriente de secuencia positiva
(conexión en estrella y triángulo)
I cnh = V c ∆L σs
ω c ΣL 2 σ s
− ∆L 2 ,
σ s
magnitud de la componente h de secuencia negativa
(conexión en estrella)
I cnh = 3 V c ∆L σs
ω c ΣL 2 σ s
− 3∆L 2 ,
σ s
magnitud de la componente h de secuencia negativa
(conexión en triángulo)
I cn2h = I cnh
∆L σs
ΣL σs
,
magnitud de la componente 2h de secuencia negativa
(conexión en triángulo)
ΣL σs ∆L σs
V 0ch = V c
ΣL 2 σ s
− ∆L 2 ,
σ s
magnitud de la componente h de secuencia cero
(conexión en estrella)
∆L 2 σ
V 02h = V s
c
ΣL 2 σ s
− ∆L 2 ,
σ s
magnitud de la componente 2h de secuencia cero
(conexión en estrella)
I 0ch = 3 √ 3 V c ∆L σs
ω c ΣL 2 σ s
− 3∆L 2 ,
σ s
magnitud de la componente h de secuencia cero
(conexión en triángulo)
I 02h = I 0ch
∆L σs
ΣL σs
,
magnitud de la componente 2h de secuencia cero
(conexión en triángulo)
V c
ω c
: amplitud de la tensión portadora.
: frecuencia de la tensión portadora (rad/s).
Las expresiones anteriores muestra algunas diferencias relevantes, que se
resumen a continuación:
- Las componentes de secuencia negativa son variables vectoriales (complejas),
mientras que las componentes de secuencia cero son escalares.

82 Control sensorless mediante inyección de una señal portadora
- En el caso de máquinas conectadas en estrella, una saliencia inducida
por saturación con un único armónico —una distribución espacial
senoidal—, va a dar lugar a una única componente en la corriente de
secuencia negativa.
- En el caso de máquinas conectadas en triángulo, una saliencia inducida
por saturación con un único armónico, va a dar lugar a dos componentes
en la corriente de secuencia negativa.
- Independientemente de que la conexión sea en triángulo o en estrella,
una saliencia inducida por saturación con un único armónico va a dar
lugar a dos armónicos en las componentes de secuencia cero.
- Teniendo en cuenta que ∆L σs ≪ ΣL σs , el valor de las componentes 2h
es, por lo general, despreciable frente al valor de las componentes h.
- Todas las componentes, a excepción de las inducidas en la tensión de
secuencia cero, tienen una magnitud inversamente proporcional a la
frecuencia de la señal portadora.
Las componentes más significativas debidas a la saturación de la máquina
son las situadas a 2ω e y −4ω e , según se ve en la figura 4.13. Para compensar
su efecto se suelen utilizar tablas de desacoplo. Estas tablas se construyen
habitualmente en un proceso previo de sintonizado, en el cual dichas componentes
se miden y almacenan en función del punto de funcionamiento del
motor —niveles de par y flujo—. Posteriormente, durante el funcionamiento
en línea, se usan los valores almacenados para realizar la compensación.

0.9
1
4.6 Compensación de saliencias inducidas por saturación 83
PSfrag replacements
0
0.1
0.2
0.3
0.4 0
0.5 0.1
0.6 0.2
0.7 0.3
0.8 0.4
0.9 0.5
0.6 1
0.7
0.8
0.9
1
|F F T (i s qds )|(mA)
|F F T (vnnR)|(V )
w c = 2500Hz, v c = 20V, Estrella, w e = 4Hz, w r = 4Hz, |i qdsref | = 3.6A
2
2ω e
1.5
1
0.5
-4ω e
0
−2540 −2530 −2520 −2510 −2500 −2490 −2480 −2470 −2460
0.4
0.3
2ω e
-4ω e
0.2
0.1
0
2460 2470 2480 2490 2500 2510 2520 2530 2540
frecuencia (Hz)
(a) Espectros de secuencia negativa y tensión de secuencia
cero en coordenadas estacionarias. Se etiquetan los armónicos
principales inducidos por saturación —2ω e y −4ω e— en
ambos casos. Motor en vacío, flujo nominal ω c = 2500Hz.
2
w c = 2500Hz, v c = 20V, Estrella, w e = 4Hz, w r = 2Hz, |i qdsref | = 4.66A
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
|F F T (i s qds )|(mA)
|F F T (vnnR)|(V )
1.5
1
0.5
-4ω e
2ω e
0
−2540 −2530 −2520 −2510 −2500 −2490 −2480 −2470 −2460
0.4
2ω e
0.3
0.2
0.1
-4ω e
0
2460 2470 2480 2490 2500 2510 2520 2530 2540
frecuencia (Hz)
(b) Espectros de secuencia negativa y tensión de secuencia
cero en coordenadas estacionarias. Se etiquetan los armónicos
principales inducidos por saturación —2ω e y −4ω e—
en ambos casos. Motor a media carga, flujo nominal. ω c =
2500Hz.
Figura 4.13: Componentes inducidas por saturación, intermodulación y ranurado
en el vector de secuencia negativa y en la tensión de secuencia cero. Se representa
el motor en vacío y a media carga para una frecuencia de portadora ω c = 2500Hz.

84 Control sensorless mediante inyección de una señal portadora
i s qds
(t = 0.1s) ω e
ϕ e (t)
θ hωe (t)
i s qds (t = 0)
v c qdhω e
(t = 0.1s)
θ 0hωe
hω e
v c qdhω e
(t = 0)
Figura 4.14: Representación gráfica de la medida de los ángulos de las componentes
a desacoplar. Se toma como referencia el paso por cero del vector de corriente
fundamental.
El proceso de medida de las componentes inducidas por saturación requiere
procesar, de manera off-line, las variables utilizadas en el esquema
de control —ya sean componentes de secuencia negativa o componentes de
secuencia cero—, aislar las componentes que se quiere compensar y almacenar
tanto su magnitud como su fase. Dado que las componentes inducidas
por saturación giran a una velocidad distinta a la variable que las causa (la
corriente fundamental), no es posible medir la fase entre ambas de manera
absoluta, sino que se miden respecto al ángulo de la corriente fundamental
cuando el ángulo de ésta vale cero. Durante el funcionamiento on-line, el
ángulo de desacoplo se obtiene añadiendo el ángulo almacenado al ángulo
instantáneo del vector de corriente de estátor multiplicado por el orden
armónico de la saliencia. En la figura 4.14 se muestra de manera gráfica la
posición de los diferentes vectores, particularizados para el caso de utilizar la
tensión de secuencia cero como variable de control. La fase utilizada durante
el funcionamiento on-line para realizar la compensación será la indicada en
(4.21)
θ hωe (t) = hϕ e (t) + θ 0hωe , donde (4.21)
h : orden del armónico, (h = 2, −4, 8 · · · ).
ϕ e (t) : posición en el instante t del vector de corriente de estátor.
: posición en el instante t = 0 de la componente a compensar.
θ 0hωe
El vector complejo obtenido para la componente que se desea compensar,
en coordenadas síncronas, es el indicado en (4.22) para el caso de componen-

4.6 Compensación de saliencias inducidas por saturación 85
tes de secuencia cero 2 y (4.23) para las componentes de secuencia negativa.
v c qdhω e
= V hωe e jθ hωe (t) (4.22)
i c qdhω e
= I hωe e −jθ hωe (t) , donde (4.23)
I hωe
V hωe
hω e
: magnitud de la componente del vector de corriente a compensar.
: magnitud de la componente del vector portador de secuencia
cero a compensar.
: orden armónico de la componente a compensar.
Los valores almacenados en la tabla de compensación, tanto en magnitud
como en fase, para las dos principales componentes inducidas por saturación
en la tensión de secuencia cero se muestran en las figuras 4.15(a) – 4.15(d).
Sobre las figuras 4.15(a) y 4.15(b) se superpone la trayectoria de flujo nominal.
Del análisis de estas figuras es posible extraer algunas conclusiones:
- Tanto la magnitud como la fase siguen funciones suaves. Adicionalmente
se observa un alto grado de simetría entre los modos de operación
como motor y como generador.
- La fase de ambas componentes muestra una gran dependencia con el
deslizamiento y se ve poco afectada por la magnitud de la corriente
de estátor. Este comportamiento es explicado en [57] asociando la
localización espacial de la saliencia con el flujo principal de la máquina.
- La magnitud de la componente de 2ω e es practicamente constante con
la máquina funcionando bajo flujo constante. Aumenta de manera inversa
al deslizamiento y en relación directa con la magnitud del vector
de corriente.
El esquema completo para la compensación de saliencias inducidas por saturación
utilizando tablas de compensación se muestra en la figura 4.16.
2 Se indica la expresión sólo para la tensión de secuencia cero por simplicidad.

86 Control sensorless mediante inyección de una señal portadora
PSfrag replacements
PSfrag replacements
(V)
PSfrag replacements
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−1 −0.5
0
0.5
deslizamiento (p.u.)
1
(a) Magnitud componente 2ω e.
(deg.)
200
100
3.6
−100
3.2
−200
2.8
−1 −0.5
0
2.4 |i qds | (A)
0.5
deslizamiento (p.u.)
1
PSfrag replacements
0
(b) Fase componente 2ω e.
3.6
3.2
2.8
2.4 |i qds | (A)
(V)
0.3
0.2
0.1
0
−1 −0.5
0
0.5
deslizamiento (p.u.)
1
3.6
3.2
2.8
2.4 |i qds | (A)
(deg.)
400
200
0
−200
−400
−1 −0.5
0
0.5
deslizamiento (p.u.)
1
3.6
3.2
2.8
2.4 |i qds | (A)
(c) Magnitud componente −4ω e.
(d) Fase componente −4ω e.
Figura 4.15: Tablas de desacoplo de saliencias inducidas por saturación para el caso
de la tensión de secuencia cero. Señal portadora V c = 20V , ω c = 2500Hz. Valores de
magnitud y fase de las componentes 2ω e y −4ω e . Se superpone sobre la componente
de 2ω e la trayectoria de flujo nominal.

4.7 Compensación de saliencias inducidas por intermodulación 87
LPF
v 0
v0qds
c v0qdc
c +
e −jω ct
−
i e qs
Tabla de desacoplo
e
interpolación
v c 0qd2we
v c 0qd4we
+
+
Figura 4.16: Diagrama esquemático para la compensación de saliencias inducidas
por saturación. El ejemplo se muestra para el caso de utilizar la tensión de secuencia
cero como variable terminal. En el resto de los casos —corriente portadora de
secuencia negativa y corriente de secuencia cero— , se obtiene un sistema similar.
4.7. Compensación de saliencias inducidas por intermodulación
La mayoría de los métodos de compensación de saliencias secundarias
propuestos no consideran las saliencias inducidas por intermodulación [60],
debido por una parte a la complejidad relativa de su desacoplo y, por otra,
a que su magnitud es habitualmente pequeña. Estas saliencias pueden, sin
embargo, tener un efecto apreciable en la precisión final en la estimación
de la posición del rotor, especialmente en el caso de utilizar motores sin
inclinación en las barras de rotor donde estos armónicos tienen una mayor
magnitud.
Para la compensación de las saliencias inducidas por intermodulación,
se puede seguir una metodología similar a la utilizada para el caso de las
saliencias inducidas por saturación, basada en una tabla de desacoplo. Esta
tabla incluirá tantas componentes como se desee desacoplar, almacenándose
tanto el valor de la magnitud como de la fase. Para determinar la fase se usa
un sistema similar al empleado para el caso de las saliencias inducidas por
saturación. Se determinan las fases en el momento que el vector de corriente
en el estátor se encuentra alineado con el eje q (0 ◦ ). La construcción del
vector de desacoplo se muestra en (4.24).
θ ωer (t) = h e ϕ e (t) + h r ˆϕ r (t) + θ 0ωer , donde (4.24)

0.9
1
88 Control sensorless mediante inyección de una señal portadora
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
|icn| (mA)
2
1.5
1
0.5
0
2w e (r), −4w e (b), −2w e − 14w r (m)
400
fase(icn)(deg.)
300
200
100
0
−2 0 2
−2 0 2
deslizamiento (Hz)
-w e (r), 14w r (r)
1
|icn| (mA)
0.8
0.6
0.4
0.2
−2 0 2
deslizamiento (Hz)
Figura 4.17: Valores de fase y magnitud de las componentes inducidas por saturación
—2ω e , −4ω e —, inducidas por intermodulación —−2ω e − 14ω r —, componente
−ω e , y ranurado —14ω r — para la corriente portadora de secuencia negativa. Señal
portadora, V c = 20V , ω c = 2500Hz.
h e : orden del armónico debido a la excitación fundamental.
h r : orden del armónico debido a la saliencia dependiente de la posición.
ϕ e (t) : posición en el instante t del vector de corriente de estátor.
ˆϕ r (t) : posición estimada del rotor en el instante t.
θ 0ωer : posición en el instante t = 0 de la componente a compensar.
La magnitud y frecuencia de las componentes debidas a intermodulación
dependerá de parámetros constructivos del motor. Para el caso de la máquina
de inducción, la inclinación de las barras de rotor hace disminuir la magnitud
de estas saliencias. La frecuencia depende de la relación entre el número de
barras de rotor y ranuras de estátor, es decir, del orden espacial del armónico
de ranurado. Las posibles frecuencias de dichas componentes vienen determinadas
por la expresión (4.25), para el caso de las componentes de secuencia

PSfrag replacements
4.7 Compensación de saliencias inducidas por intermodulación 89
0.4
2w e (r), −4w e (b), −2w e − 14w r (m)
300
|vnnR| (V)
0.3
0.2
0.1
fase(vnnR)(deg.)
200
100
0
0
−2 0 2
14w r (r)
−100
−2 0 2
deslizamiento (Hz)
0.44
|vnnR| (V)
0.42
0.4
0.38
0.36
−2 0 2
deslizamiento (Hz)
Figura 4.18: Valores de fase y magnitud de las componentes inducidas por saturación
—2ω e , −4ω e —, inducidas por intermodulación —−2ω e − 14ω r —, componente
−ω e y ranurado —14ω r — para la tensión portadora de secuencia cero. Señal portadora,
V c = 20V , ω c = 2500Hz.
negativa y por (4.26), para el caso de las componentes de secuencia cero [58].
ω s erc = −ω c − 2(ω r + ω e (1 ± 3k)), con k = 0, 1, 2, . . . (4.25)
ω s erc = ω c − 2(ω r + ω e (1 ± 3k)), con k = 0, 1, 2, . . . (4.26)
En las figuras 4.17 y 4.18 se muestran los valores de magnitud y fase de la
componente mayoritaria inducida por intermodulación, conjuntamente con
la componente mayoritaria inducida por saturación y la componente de ranurado,
para el Motor#1 de la tabla A.1. Se representan dichos valores tanto
para la tensión de secuencia cero como para la corriente de secuencia negativa.
En el caso particular de este motor, con barras inclinadas, la componente
de intermodulación para el caso de la corriente de secuencia negativa tiene
un valor prácticamente despreciable. Por lo tanto, su compensanción no es
un requisito indispensable. En la gráfica indicada se omite la representación
de la fase.

90 Control sensorless mediante inyección de una señal portadora
LPF
v 0
v0qds
c v0qdc
c +
e −jω ct
−
i e qs
̂θ r
Tabla de desacoplo
e
interpolación
v0qd2we
c
v0qd4we
c
v0qdwewr
c
+
+
+
Figura 4.19: Diagrama esquemático para la compensación de saliencias inducidas
por saturación e intermodulación. El ejemplo se muestra para el caso de utilizar
la tensión de secuencia cero como variable terminal. Para el resto de los casos
—corriente portadora de secuencia negativa y corriente de secuencia cero— , se
obtiene un sistema análogo.
Para desacoplar las componentes inducidas por intermodulación es necesario
utilizar la estimación de la posición del rotor, conjuntamente con el
valor del vector de corriente, para extraer el valor complejo —magnitud y
fase— de la tabla de desacoplo. En la figura 4.19 se muestra un diagrama
con el esquema mencionado.
4.8. Control sensorless de posición
Una vez que las componentes no deseadas —componentes inducidas por
saturación y componentes de intermodulación— han sido eliminadas de la
señal portadora, el siguiente paso es la extracción de la posición del rotor. Se
han propuesto diferentes métodos para realizar esta función. A pesar de las
diferencias entre estos métodos, un aspecto clave en todos ellos es la calidad
de la señal portadora. Es por tanto interesante desarrollar una métrica que
cuantifique la calidad de la señal portadora, así como ligar esta métrica con
la precisión esperable en el sistema de control.
4.8.1. Precisión del sistema de control: Análisis cuantitativo
de la calidad de la señal portadora
La precisión final en la estimación de la posición del rotor va a estar directamente
relacionada con la calidad de la señal portadora utilizada, es decir,
la relación entre la información útil de esta señal —componente relacionada
con la posición del rotor— y el ruido. La relación señal ruido va a estar ligada
a tres puntos clave: 1) la magnitud de la señal portadora que contiene

4.8 Control sensorless de posición 91
ω
ω ω ω
ω ω
ω
ω
ω ω
ω
ω
ω ω
ω ω
ω
ω
ω ω
ω ω
Figura 4.20: Comparación entre los espectros en coordenadas estacionarias de la
corriente de secuencia negativa y la corriente de secuencia cero. Se observa el efecto
de la frecuencia de la portadora sobre la corriente de secuencia negativa.
la información de las saliencias (corriente portadora de secuencia negativa
o componentes de secuencia cero), 2) la calidad del sistema de adquisición
de la señal (errores de precisión en los sensores, errores de cuantificación
en los conversores,. . . ), y 3) la precisión en el desacoplo de perturbaciones
(saliencias secundarias).
Un ejemplo de esto se puede observar en la figura 4.20. En esta figura
se muestran los espectros de corriente de secuencia negativa (columna izquierda)
y corriente de secuencia cero (columna derecha), en una máquina
conectada en triágulo, en coordenadas estacionarias, para dos frecuencias
de señal portadora diferentes. La primera fila corresponde a la máquina sin
excitación fundamental, observándose claramente la saliencia debida al ranurado
(señal). En los casos restantes el motor se encuentra a plena carga.
Las componentes adicionales que se observan en el espectro (ruido) van a
distorsionar la señal, reduciendo de forma notable la precisión de la estimación.
Se observa además como estas componentes adicionales incluyen tanto
armónicos deterministas —−ω c − ω e — como ruido de fondo adicional.
Con objeto de obtener una métrica de la calidad de la señal portadora
se define la distorsión armónica total 3 como (4.27), para el caso de la corriente
portadora de secuencia negativa y como (4.28) para el caso de las
3 Total Harmonic Distortion (THD).

92 Control sensorless mediante inyección de una señal portadora
componentes de secuencia cero 4 .
T HD(i s qdscn ) = √ ∑ i 2 cn − i cn (−ω c + h r ω r )
∑ i 2 cn
(4.27)
T HD(v s 0sc) =
√ ∑ v
2
c0 − v c0 (ω c + h r ω r )
∑ v
2
c0
(4.28)
Se definen los términos de las anteriores expresiones como
∑
i
2
cn =
∑
v
2
c0 =
−ω∑
c+bw
i=−ω c−bw
ω∑
c+bw
i=ω c−bw
i cn (i) 2
v c0 (i) 2 (4.29)
El valor de THD obtenido mediante las expresiones anteriores representa
la relación señal–ruido entre las componentes dependientes de la posición
del rotor —i cn (−ω c + h r ω r ), v c0 (ω c + h r ω r )— y el resto de componentes
espectralmente próximas a ésta. El intervalo en el que se consideran las
componentes que contribuyen a incrementar el ruido en la señal, viene determinado
por el ancho de banda —bw— de los filtros paso–banda utilizados
para aislar la componente asociada a la posición del rotor.
Utilizando la distorsión armónica total, se puede determinar la influencia
del número de bits del conversor A/D en la calidad de la señal. En la
figura 4.21 se muestra la distorsión armónica de la corriente portadora de
secuencia negativa y la tensión de secuencia cero. Del análisis de estos datos
se desprenden las siguientes conclusiones:
- El valor de la distorsión armónica total es mayor para la corriente
portadora de secuencia negativa que para la tensión de secuencia cero,
independientemente de la frecuencia de la señal portadora.
- La disminución del número de bits incrementa el valor del THD. Este
efecto, es más plausible en el caso de la corriente de secuencia negativa,
al ser menor su relación S/R. Es reseñable el salto que se produce en el
valor de la distorsión armónica para la corriente de secuencia negativa
cuando se utilizan sólo 8 bits. Esto demuestra la importancia que adquiere
el error de cuantizado para el caso de la corriente de secuencia
negativa. Por el contrario, para el caso de la tensión de secuencia cero,
el valor de la distorsión es mucho más insensible a variaciones en el
4 En todas las expresiones subsiguientes se detallan sólo las expresiones para la tensión
de secuencia cero por simplicidad. Para la corriente de secuencia cero serían completamente
análogas.

4.8 Control sensorless de posición 93
V c = 30V, 16bits(o), 10bits(s), 8bits(v)
PSfrag replacements
THD icn(blanco), T HDvnnR(gris)
0.8
0.6
0.4
0.2
500 750 1000 1500 2500 3750 5000
ω c (Hz)
Figura 4.21: Comparación del valor de THD para la corriente de secuencia negativa
y la tensión de secuencia cero en función del número de bits del conversor A/D y de
la frecuencia de la señal portadora. Se evalúa la distorsión armónica para los valores
de frecuencia de la señal portadora 500, 750, 1000, 1500, 2500, 3750 y 5000Hz; y
para tres conversores de 16,10 y 8 bits. El ancho de banda considerado es de 100Hz
para ambos casos.
número de bits. Este efecto se deriva de utilizar un sensor dedicado
exclusivamente a la medida de esta variable.
- El valor de distorsión armónica se incrementa con la frecuencia para el
caso de la corriente portadora de secuencia negativa. Para la tensión
de secuencia cero ocurre el efecto contrario, hasta una frecuencia determinada
—3750 Hz en los casos representados—. Para el caso de la
corriente portadora de secuencia negativa, el comportamiento mayoritariamente
inductivo del motor a las frecuencias representadas, hace
que la magnitud de la corriente portadora, y con ella las componentes
de secuencia negativa, decrezcan con el valor de la frecuencia. Este
efecto se puede ver de manera gráfica en la figura 4.22, donde se representa
la relación entre la corriente portadora y la corriente nominal
en función de la frecuencia de la señal portadora. Por el contrario, la
tensión de secuencia cero se basa en el comportamiento como divisor

94 Control sensorless mediante inyección de una señal portadora
inductivo. La respuesta de este modelo es prácticamente independiente
de la frecuencia, como se demuestra en la gráfica. Una posible explicación
a la existencia de una frecuencia umbral, 3750 Hz en este caso
particular, en la que se invierte la tendencia, se puede buscar en el
comportamiento no ideal del inversor. Idealmente, la señal de alta frecuencia
inyectada por el inversor consiste en una sola componente de
secuencia positiva a la frecuencia de la señal portadora. Sin embargo,
esto no es generalmente cierto debido a fenómenos como el tiempo
muerto [82, 92], generándose componentes de secuencia negativa que
contribuyen a aumentar la distorsión armónica. Este efecto se hace
más acusado por encima de cierta frecuencia de portadora. En la figura
4.23 se puede comprobar este comportamiento, donde se pone de
manifiesto el incremento de la distorsión al aumentar la frecuencia.
El comportamiento no ideal del inversor va provocar una distorsión de la
tensión portadora inyectada, la cual puede incluir componentes no deseadas
de secuencia negativa. Se puede definir la distorsión armónica de la tensión
portadora inyectada como la relación entre las componentes de secuencia
negativa —no deseadas— inyectadas por el inversor, y la componente de
secuencia positiva. En la figura 4.23 se muestra dicho efecto para tres magnitudes
diferentes de señal portadora. Como se ha comentado previamente,
debido a las no linealidades del inversor se produce una distorsión en la
señal inyectada, dependiente de la frecuencia. En la figura referenciada se
muestra el valor del THD para dos casos: 1) considerando todos los armónicos
inyectados en un ancho de banda de 100Hz y 2) desacoplando el efecto
del armónico −ω e , el mayoritario en dicho ancho de banda, y realizando
el cálculo en el mismo intervalo de frecuencias. Del análisis de la figura se
desprende que la presencia de la componente a −ω e inhabilita portadoras
por encima de una determinada frecuencia, 2500Hz para el caso particular
representado.
La misma métrica se puede utilizar para comparar el efecto del desacoplo
de las diferentes saliencias secundarias. En (4.30) se redefinen los sumatorios
utilizados para calcular la potencia de ruido (4.29) restando las componentes
inducidas por saturación. En (4.31) se redefinen las mismas variables
incluyendo el desacoplo de las saliencias inducidas por intermodulación.
′∑
i
2
cn =
′∑
v
2
c0 =
−ω∑
c+bw
i=−ω c−bw
ω∑
c+bw
i=ω c−bw
i cn (i) 2 − i cn (−ω c + 2ω e ) 2 − i cn (−ω c − 4ω e ) 2
v c0 (i) 2 − v c0 (ω c + 2ω e ) 2 − v c0 (ω c − 4ω e ) 2 (4.30)

4.8 Control sensorless de posición 95
20
V c = 10V (o), V c = 20V (s), V c = 40V (v).
10
PSfrag replacements
Icp/|iqdsrated|(%)
5
2
1
0.5
500 750 1000 1500 2500 3750 5000
ω c (Hz)
Figura 4.22: Relación entre la corriente portadora de secuencia positiva y el valor
nominal de corriente fundamental para tres magnitudes diferentes de señal portadora
y representados en función de la frecuencia de la misma. Se observa el
comportamiento inductivo del motor.
∑′′
i
2
cn =
∑′′
v
2
c0 =
′∑
i
2
cn −
′∑
v
2
c0 −
n∑
i cn (−ω c + ωer) i 2
i=1
n∑
v c0 (ω c + ωer) i 2 (4.31)
Representando conjuntamente los valores de THD calculados utilizando todas
las componentes contenidas en el ancho de banda seleccionado (4.29), y
los obtenidos utilizando las expresiones (4.30) y (4.31) se puede comparar la
efectividad del desacoplo de las componentes secundarias. Valores cercanos a
la unidad en el valor de THD indican que la mayor parte de la señal proviene
de componentes debidas a ruido. El límite inferior es cero, que corresponde
al caso en el que sólo la componente dependiente de la posición estuviera
presente.
i=1
En las figuras 4.24, 4.25 y 4.26, se representan los valores de distorsión
armónica total para la corriente de secuencia negativa, la tensión de secuen-

96 Control sensorless mediante inyección de una señal portadora
V c = 10V (o), V c = 20V (s), V c = 40V (v), nocomp. − w e (blanco), compw e (gris)
0.04
PSfrag replacements
THD Vc
0.02
0
500 750 1000 1500 2500 3750 5000
ω c (Hz)
Figura 4.23: Valor de THD para el vector de tensión de alta frecuencia en función
de la frecuencia de dicho vector. Se representan dos casos, considerando todas
las componentes en un ancho de banda de 100Hz y desacoplando el efecto de la
componente −ω e .
cia cero y la corriente de secuencia cero, respectivamente. Los valores se
representan para tres magnitudes de la señal portadora —10, 20 ,30 V— y
para diferentes frecuencias —500, 750, 1000, 1500, 2500, 3750 y 5000Hz—.
Se muestra el THD antes de desacoplar ninguna saliencia secundaria, y tras
desacoplar las componentes mayoritarias de las saliencias inducidas por saturación,
situadas a 2ω e y −4ω e . Los valores representados se han calculado
para un ancho de banda de 100Hz. Analizando los datos presentados se
pueden establecer las siguientes conclusiones:
- La distorsión armónica total disminuye al desacoplar las saliencias inducidas
por saturación. Si bien este punto es obvio, observando la
magnitud relativa antes y después de compensar dichas saliencias se
puede evaluar la importancia del desacoplo.
- Con frecuencias de portadora bajas —hasta 1500Hz— el comportamiento
de todas las variables analizadas es similar, si bien la magnitud
de la tensión portadora inyectada tiene un efecto más acusado sobre
la corriente de secuencia negativa.

4.8 Control sensorless de posición 97
V c = 10V (o), V c = 20V (s), V c = 40V (v).nocomp.SIH(blanco), comp.SI(gris)
0.8
PSfrag replacements
THD icn
0.6
0.4
0.2
500 750 1000 1500 2500 3750 5000
ω c (Hz)
Figura 4.24: Distorsión armónica total en la corriente de secuencia negativa antes
y después de compensar las saliencias inducidas por saturación —2ω e y −4ω e .
- Por encima de los 1500Hz, y hasta una frecuencia umbral —2500Hz
en los casos representados— la magnitud de la distorsión armónica no
sufre variaciones importantes. Se puede observar una tendencia ascendente
en el caso de la corriente de secuencia negativa y descendente
para el caso de las componentes de secuencia cero.
- Por encima de los 2500Hz, y hasta la frecuencia más alta incluida en
los experimentos —5000Hz—, se produce un cambio en las pendientes
de las curvas representadas. La corriente de secuencia negativa experimenta
un fuerte crecimiento de su distorsión armónica, provocado en
gran medida por la disminución de la relación S/R. Las componentes
de secuencia cero alcanzan un valor mínimo de distorsión armónica
total.
4.8.2. Estimación de la posición del rotor
Se han propuesto diversos métodos para obtener, a partir de la señal
portadora, la posición del rotor, se describen a continuación.

98 Control sensorless mediante inyección de una señal portadora
V c = 10V (o), V c = 20V (s), V c = 40V (v).nocomp.SIH(blanco), comp.SI(gris)
0.8
PSfrag replacements
THD vnnR
0.6
0.4
0.2
500 750 1000 1500 2500 3750 5000
ω c (Hz)
Figura 4.25: Distorsión armónica total en la tensión de secuencia cero antes y después
de compensar las saliencias inducidas por saturación —2ω e y −4ω e .
Estimación mediante arco tangente
Utilizando el vector de corriente portadora de secuencia negativa o el
vector asociado a las componentes de secuencia cero se obtiene una variable
compleja, cuya fase depende de la posición del rotor. Transformando las
componentes de secuencia negativa a un sistema síncrono con la frecuencia
negativa de la excitación de alta frecuencia (−ω c ), se obtiene (4.32). Definiendo
un sistema síncrono con la frecuencia positiva de la excitación de
alta frecuencia, (ω c ), y representando las componentes de secuencia cero en
dicho sistema de referencia, se llega a (4.33).
i cn
qdscn = icn qscn − ji cn
dscn
= −jI cn e jhθr (4.32)
vqds0 cn = vcn qs0 − jvds0
cn
= −jV 0 e jhθr (4.33)
Dado que las expresiones obtenidas tanto para las componentes de secuencia
negativa (sólo se muestra el resultado para la corriente portadora
de secuencia negativa por simplicidad), como para los vectores de las componentes
de secuencia cero (sólo mostrado el caso de la tensión de secuencia

4.8 Control sensorless de posición 99
V c = 7.5V (o), V c = 15V (s), V c = 30V (v).nocomp.SIH(blanco), comp.SI(gris)
0.8
PSfrag replacements
THD i0
0.6
0.4
0.2
500 750 1000 1500 2500 3750 5000
ω c (Hz)
Figura 4.26: Distorsión armónica total en la corriente de secuencia cero antes y
después de compensar las saliencias inducidas por saturación —2ω e y −4ω e .
cero), son idénticas en cuanto a su forma, se reduce el análisis siguiente al
caso de la corriente portadora de secuencia negativa.
Descomponiendo las expresiones vectoriales en sus componentes, se obtienen
las funciones (4.34)
i cn
qscn = I cn sin(hθ r )
i cn
dscn = I cn cos(hθ r ) (4.34)
La fase se obtiene aislando el término hθ r en (4.34). Por lo tanto, la
estimación de la posición del rotor en función de las componentes del vector
complejo utilizado para su estimación vendrá determinada por (4.35)
( i
h ˆθ
cn
r = arctan
qscn
i cn
dscn
)
(4.35)
La expresión anterior no contiene ninguna dinámica, por lo tanto la extracción
de la fase es instantánea, y, en condiciones ideales —ausencia de
ruido—, se cumplirá que ˆθ r = θ r . Cabe recordar que, debido a los filtros implementados
para aislar la componente de secuencia negativa o de secuencia
cero, la relación anterior no se cumplirá nunca, aun en ausencia de ruido.

100 Control sensorless mediante inyección de una señal portadora
1
i n qds
estimación atan (b), posición real (m)
200
1
i n ds (mA)
3
2
1
0
−1
−2
−3
−1 0 1
i n qs (mA)
error (grados mecánicos)
(grados mecánicos)
100
0
−100
−200
0 0.2 0.4 0.6 0.8
4
2
0
−2
−4
0 0.2 0.4 0.6 0.8
tiempo (s)
Figura 4.27: Trayectoria del vector de corriente en coordenadas de secuencia negativa,
estimación mediante arco tangente y error de estimación. ω e = 4Hz, ω r = 4Hz,
V c = 20V, ω c = 2500Hz. Se han desacoplado las componentes inducidas por saturación
—2ω e , −4ω e —; inducidas por intermodulación —−2ω e − 14ω r —; e inyectadas
por el inversor —−ω e —.
En el caso de una implementación real, las señales i cn
qscn y i cn
dscn contienen
ruido adicional debido a múltiples causas: 1) offsets de continua, 2) desequilibrios
en los sensores de corriente y con ello en las variables realimentadas,
3) componentes adicionales debido a saliencias no desacopladas y 4) componentes
inyectadas por el inversor. Esto va a dar lugar a una distorsión en el
ángulo estimado ˆθ r .
En la figura 4.27 se muestra la trayectoria del vector de corriente en
coordenadas de secuencia negativa, el rastreo de la posición del rotor mediante
una operación de arco tangente y el error de estimación para un motor
girando a 4Hz.
Estimación mediante PLL vectorial
La estimación de la posición se puede realizar mediante un PLL 5 vectorial.
La estructura del PLL puede verse en la figura 4.28. Los bloques
5 acrónimo anglosajón para Phase Locked Loop (Bucle de Enganche de Fase).

4.8 Control sensorless de posición 101
i
cn
qds _ cn
ε
∆φ
ε
Hs ()
Filtro
1
s
θˆr
cos
sen
Detector
de fase
h
Armónico
de la saliencia
Figura 4.28: Diagrama de bloques de un PLL vectorial.
individuales consisten en: un detector de fase ∆φ, que genera la señal de
error. Un filtro H(s), generalmente paso–bajo, que recorta el ancho de banda
de la señal. Un integrador que obtiene la posición como suma del error
acumulado. Para realizar la realimentación que cierra el bucle, es necesario
introducir el orden de la saliencia, h.
El elemento más interesante en cuanto a su estructura es el detector de
fase. Para generar el error, se realiza el producto vectorial entre el vector de
entrada y el vector estimado (4.36)
ε = i cn
qscn · cos( θ ˆ rh ) − i cn
dscn · sin( θ ˆ rh )
= I cn sin(θ rh − θ ˆ rh )
≃ I cn (θ rh − θ ˆ rh ), (4.36)
donde θ rh =hθ r .
El comportamiento del detector de fase se estudia analizando las propiedades
del producto vectorial. Cuando el PLL está sincronizado —diferencia
de fase pequeña—, la aproximación realizada en (4.36) del seno por el ángulo
es correcta. Por lo tanto, la entrada al filtro H(s) será el error entre el
ángulo real y el estimado multiplicado por una ganancia (la magnitud de la
corriente de secuencia negativa en el ejemplo explicado). En caso de que la
diferencia sea mayor de ±90 ◦ , el PLL no está sincronizado, y será incapaz
de rastrear la posición de la saliencia.
En la figura 4.29 se muestra la trayectoria del vector de corriente en coordenadas
de secuencia negativa, el rastreo de la posición del rotor mediante
un PLL y el error de estimación para un motor girando a 4Hz.

102 Control sensorless mediante inyección de una señal portadora
1
i n qds
estimación PLL (b), posición real (m)
200
1
i n ds (mA)
3
2
1
0
−1
−2
−3
−1 0 1
i n qs (mA)
error (grados mecánicos)
(grados mecánicos)
100
0
−100
−200
0 0.2 0.4 0.6 0.8
4
2
0
−2
−4
0 0.2 0.4 0.6 0.8
tiempo (s)
Figura 4.29: Trayectoria del vector de corriente en coordenadas de secuencia negativa,
estimación mediante PLL y error de estimación. ω e = 4Hz, ω r = 4Hz,
V c = 20V, ω c = 2500Hz. Se han desacoplado las componentes inducidas por saturación
—2ω e , −4ω e —; inducidas por intermodulación —−2ω e − 14ω r —; e inyectadas
por el inversor —−ω e —.
Estimación mediante RLS
La estimación mediante RLS 6 se puede considerar un caso particular del
filtro de Kalman, y por lo tanto se explica en el punto dedicado a este filtro.
Estimación mediante PLL vectorial incluyendo modelo mecánico
En [89] se propone un observador tipo Luemberger que soluciona los
problemas del PLL durante las aceleraciones y solventa sus problemas de
estabilidad. En la figura 4.30 se muestra el observador utilizando notación
vectorial. La diferencia sustancial con el PLL es la sustitución del filtro H(s)
por un regulador PID y la inclusión de un modelo del sistema mecánico. La
inclusión del modelo mecánico permite mejorar la dinámica del sistema. Para
ello se efectúa una prealimentación del par eléctrico estimado, ̂Te . De esta
manera se reduce el error de aceleración.
6 de Recursive Least Square (Algoritmo Recursivo de Regresión Lineal).

4.8 Control sensorless de posición 103
s
i qds _ cn
Producto
vectorial
ε
Controlador
1
K i
s
K p
K d
Ĵ
+ +
+ +
Modelo del sistema mecánico
Tˆe
1
Js ̂
+ +
ωˆr
1
s
θˆr
jh ( θˆ
r−ωct)
e
Modelo de
la saliencia
Figura 4.30: Estimación de la posición del rotor utilizando la señal portadora de
secuencia negativa y un PLL vectorial con modelo del sistema mecánico.
Los problemas subyacentes a este observador son la dependencia paramétrica
de la inercia de la máquina, que debe de ser estimada para incluirla en el
modelo mecánico y el par de carga, T L , que es desconocido y puede provocar
errores en la estimación de la aceleración de la máquina. Aun teniendo
en cuenta estos inconvenientes, el observador mejora de forma apreciable el
error de aceleración del PLL.
Estimación mediante el Filtro Extendido de Kalman
El filtro de Kalman [121] es un estimador para sistemas discretos con
dinámica lineal en presencia de ruido blanco aditivo. Se basa en un método
recursivo que proporciona una solución eficiente al problema de mínimos
cuadrados. Su aplicación en sistemas discretos no lineales requiere una nueva
formulación, conocida como EKF 7 . El uso del EKF se ha usado como método
de estimación del flujo del rotor y su velocidad en métodos basados en la
excitación fundamental, sin inyección de portadora [120, 122]. Aquí se estudia
su posible aplicación para extraer la fase del vector de posición obtenido
mediante la inyección de una portadora de alta frecuencia.
La formulación general del filtro de Kalman se muestra en las ecuaciones
(4.37)–(4.41). El filtrado se realiza en dos etapas. En la primera, Predicción
de estado, se calcula el estado predicho por el filtro usando sólo la información
de los estados anteriores y la entrada actual. En la segunda, Corrección
7 EKF en nomenclatura anglosajona de Extended Kalman Filter.

104 Control sensorless mediante inyección de una señal portadora
de estado, se añade la información de las variables medidas en el instante
actual.
Predicción de estado:
Corrección de estado:
̂x k − = A · ̂x k−1 + B · u k (4.37)
P k − = A · P k−1 · A T + W k · Q k−1 · W T k (4.38)
K k = P k − · H T · (H · P k − · H T + V k · R k · V T k )−1
(4.39)
̂x k = ̂x k − + K k · (z k − ẑ k −) (4.40)
P k = (I − K k · H) · P k − (4.41)
donde
k : instante actual
u k : vector de entradas en el instante k.
x k : vector de estado en el instante k.
z k : vector de medida en el instante k.
̂x k − : vector de estado aproximado.
̂x k − = f(̂x k−1 , u k , 0)
ẑ k − : vector de medida aproximado.
ẑ k − = h(̂x k −, 0)
̂x k : estado estimado tras el filtrado.
w k : ruido de proceso según la distribución normal p(w) ∼ N(0, Q).
v k : ruido de medida según la distribución normal p(v) ∼ N(0, R).
A : Jacobiano de f respecto a x (Matriz de propagación).
A k (i, j) = ∂f k(i)
∂x k (j) · (̂x k, u k , 0)
B : matriz de control.
W : Jacobiano de f respecto a w.
W k (i, j) = ∂f k(i)
∂w k (j) · (̂x k, u k , 0)
H : Jacobiano de h respecto a x (Matriz de medida).
H k (i, j) = ∂h k(i)
∂x k (j) · (˜x k, 0)
V : Jacobiano de h respecto a v.
V k (i, j) = ∂h k(i)
∂v k (j) · (˜x k, 0)
P : matriz de covarianzas.
K : matriz de ganancias.
La aplicación del filtro extendido de Kalman a la estimación de la fase
es inmediata a partir de la expresión de la corriente portadora de secuencia
negativa en coordenadas de señal portadora de secuencia negativa (4.42).
Eligiendo las variables de estado:
i cn
qdscn = I cn sin(hθ r ) − jI cn cos(hθ r ) (4.42)
x = {I cn , hθ r } (4.43)

4.8 Control sensorless de posición 105
se particularizan las matrices generales, obteniendo las siguientes expresiones
(4.44)
[ ] 1 0
A =
0 1
B =
[ ] 0 0
0 0
H =
[
−Icn sin(hθ r )
]
0
I cn cos(hθ r ) 0
(4.44)
En las anteriores expresiones, la componente I cn se ha supuesto constante
por simplicidad, siendo una aproximación válida, ya que las perturbaciones
introducidas en la amplitud de la señal no afectan a la determinación de la
fase.
La elección de la distribución estadística tanto del ruido de proceso como
del ruido de medida es uno de los factores claves a la hora de sintonizar el
filtro. La formulación del EKF asume que la distribución de ambos ruidos
es conocida, siguiendo una normal de media 0 y desviación típica Q y R,
respectivamente. Por lo general, la distribución de ruido para la estimación
de la posición, no sigue una normal. Como se ha visto en puntos anteriores,
a la hora de establecer el índice de distorsión armónica, el ruido presente
es coloreado, con origen en múltiples causas. Sin embargo, cuanto mejor
sea el desacoplo previo de perturbaciones, más nos aproximaremos a esta
condición de ruido blanco.
Las dos grandes limitaciones indicadas en la literatura para la aplicación
del filtro extendido de Kalman son, por una parte, el orden computacional
del filtro. En la aplicación mostrada el número de operaciones es muy reducido
debido a que la matriz de control, B, es nula y a la restricción impuesta
a la amplitud de la componente de secuencia negativa. La segunda limitación
es el ancho de banda variable que tiene el filtro de Kalman extendido
debido a la ganancia variable, recalculada en cada iteración. El valor de dicha
ganancia, y con ella del ancho de banda, dependerá de, además de la
variable medida, de los valores para el ruido del sistema y del proceso. Por
lo tanto, la elección de estos valores debe de escogerse de forma cuidadosa
para asegurar un ancho de banda adecuado a nuestras necesidades.
En la figura 4.31 se muestra la trayectoria del vector de corriente en coordenadas
de secuencia negativa, el rastreo de la posición del rotor mediante el
filtro extendido de Kalman y el error de estimación para un motor girando

PSfrag replacements
106 Control sensorless mediante inyección de una señal portadora
1
i n qds
estimación EKF (b), posición real (m)
200
1
i n ds (mA)
3
2
1
0
−1
−2
−3
−1 0 1
i n qs (mA)
(grados mecánicos)
error (grados mecánicos)
100
0
−100
−200
0 0.2 0.4 0.6 0.8
0.05
0
−0.05
0 0.2 0.4 0.6 0.8
tiempo (s)
Figura 4.31: Trayectoria del vector de corriente en coordenadas de secuencia negativa,
estimación mediante filtro extendido de Kalman y error de estimación. ω e = 4Hz,
ω r = 4Hz, V c = 20V, ω c = 2500Hz. Se han desacoplado las componentes inducidas
por saturación —2ω e , −4ω e —; inducidas por intermodulación —−2ω e − 14ω r —; e
inyectadas por el inversor —−ω e —.
a 4Hz. El valor inicial de la matriz de covarianzas, el ruido de proceso y el
ruido de medida se han fijado según las siguientes expresiones:
[ ] [ ] [ ]
0.1 0.1 0.01 0
0.3 0
P (1,1) = , Q =
, R =
(4.45)
0.1 0.1 0 0.0001 0 0.5
Como se puede observar en la figura 4.31, los resultados obtenidos con el
filtro extendido de Kalman proporcionan el menor error de estimación de todos
los estimadores vistos hasta el momento. Sus principales inconvenientes,
como se ha indicado anteriormente, son el ajuste de las diversas matrices
que intervienen en el proceso y el efecto de la ganancia variable sobre la
dinámica del sistema.
4.9. Estimación de la posición del flujo en el rotor
Los métodos de control indirecto en campo orientado, obtienen la posición
estimada del flujo en el rotor a partir de la posición estimada del rotor.

4.9 Estimación de la posición del flujo en el rotor 107
s
iqds
Lˆm
−
rˆ
L
ˆr
r
1
p
ˆ s λ qdr
ω r
Lˆ
r
j ω ˆ
rλ
r ˆ
r
s
qdr
Figura 4.32: Diagrama de bloques no lineal del estimador de flujo de rotor basado
en el modelo de corriente. Se muestra de forma explícita su dependencia de la
velocidad del rotor.
Para ello, se basan en el empleo de algún observador el cual, empleando
las ecuaciones dinámicas de la máquina en alguna de sus formas, estima la
posición del flujo. Aunque existen diversas topologías para la estimación del
flujo, todas ellas derivan de alguno de los estimadores básicos en cadena
abierta: 1) estimador basado en el modelo de corriente, 2) estimador basado
en el método de cancelación, 3) estimador basado en el modelo de tensión y
4) estimador de orden completo [5]. Para la implementación de esta tesis se
ha utilizado el estimador basado en el modelo de corriente. Su expresión en
coordenadas estacionarias se muestra en la ecuación (4.46) y su diagrama de
bloques en la figura 4.32, donde queda patente la dependencia del estimador
con la velocidad. Su expresión en un sistema de referencia síncrono con la
posición del rotor se muestra en (4.47), mientras que el diagrama de bloques
de esta representación se muestra en 4.33. Esta es la implementación más
habitual [114,39] y la escogida para la implementación del control en campo
orientado realizado en esta tesis.
(
)
pˆλ s qdr = ˆr r ˆL m î
ˆL s qds − ˆλ s ˆLr
qdr + jω r
ˆλ s qdr
r
ˆr r
(4.46)
pˆλ r qdr = ˆr r
(ˆLm i
ˆL r qds − ˆλ r )
qdr
r
(4.47)

108 Control sensorless mediante inyección de una señal portadora
s
iqds
j r
e − θ
r
iqds
Lˆm
−
rˆ
L
ˆr
r
1
p
ˆ r λ qdr
e
+ jθ
r
ˆ s λ qdr
θ r
Figura 4.33: Estimador de flujo del rotor basado en modelo de corriente en un
sistema de referencia síncrono con la posición del rotor.
4.10. Diagnóstico de máquinas accionadas desde
inversores utilizando una señal portadora de
alta frecuencia
El uso de una señal de alta frecuencia para diagnosticar el estado tanto
de los devanados del estátor como de las barras del rotor en máquinas de
inducción accionadas desde inversores se propone en [130, 127].
Utilizando el modelo de una máquina con asimetrías para el caso de una
excitación en tensión de alta frecuencia, se obtiene la expresión (4.48) para
el vector de corriente en coordenadas estacionarias.
I cp
I cn
θ e
h
ω c
i s qds c
= i s qds cp
+ i s qds cn
= −jI cp e jωct − jI cn e (−jωct+hθe) , donde (4.48)
: magnitud de la corriente portadora de secuencia positiva.
: magnitud de la corriente portadora de secuencia negativa.
: posición de la saliencia en radianes eléctricos.
: orden del armónico de la saliencia.
: frecuencia de la señal portadora en rad/s.
Analizando la ecuación (4.48) se determina que en caso de que exista una
asimetría debida a fallo que se acople con la excitación de alta frecuencia,
se obtendrá una corriente portadora de secuencia negativa proporcional al
valor de dicha asimetría.
4.10.1. Detección de fallos en el estátor
Los desequilibrios en el devanado del estátor provocan una variación en
las inductancias por fase y, por lo tanto, un desequilibrio en las inductancias
transitorias q y d en coordenadas estacionarias. Dado que el fallo se
produce en un devanado del estátor, cuya posición no varía con el tiempo,
la saliencia debida al fallo estará fija en el espacio. Utilizando un sistema

4.10 Diagnóstico utilizando una señal portadora de alta frecuencia 109
i cn
dscn (mA)
6
3
0
−3
−6
4 espiras
0 espiras
−6−3 0 3 6
i cn
qscn (mA)
magnitud (mA)
4
dc
2ω e
2
-4ω e
-10ω e 8ω e
0
−15−10 −5 0 5 10 15
frecuencia (Hz)
Figura 4.34: Trayectoria y espectro del vector de corriente en coordenadas de portadora
de secuencia negativa. Se muestran los casos de 0 y 4 espiras cortocircuitadas.
de coordenadas síncrono con la frecuencia negativa de la señal portadora,
−ω c , la asimetría provocará una variación en la componente estacionaria
del espectro del vector de corriente. En [130] se explica como la detección
de fallo puede incluir, además de su magnitud, su localización, utilizando
la información contenida en la fase del armónico de continua del vector de
corriente en coordenadas de secuencia negativa. La fase de dicho armónico
dependerá de la localización del fallo y, al encontrarse éste fijo en el estátor,
se relaciona de manera unívoca con la fase afectada de la máquina.
En la figura 4.34 se muestra el vector de corriente y su espectro en
coordenadas de portadora de secuencia negativa para los casos de 0 y 4
espiras cortocircuitadas. Se observa como el fallo induce una componente de
continua que desplaza la trayectoria del vector de corriente.
4.10.2. Detección de fallos en el rotor
Empleando el mismo razonamiento que el usado en el caso de control
sensorless, las asimetrías en el rotor pueden acoplarse con variables terminales
en el estátor, propiciando la existencia de alguna magnitud medible
indicativa de la asimetría. En [127], Briz y otros proponen el uso de un vector
giratorio de alta frecuencia para la detección de barras dañadas o rotas
en el rotor. Las conclusiones que extraen los autores se resumen en:
- En el caso de motores de ranuras semi-abiertas o abiertas, una barra
rota provoca un incremento en la magnitud de la componente 2ω r , en
coordenadas de secuencia negativa.
- Existen diversos factores adicionales que afectan a la magnitud de este
armónico, entre los que cabe destacar la inclinación de las barras del
rotor, el número de polos, las corrientes interlaminares. . .

110 Control sensorless mediante inyección de una señal portadora
- La presencia de armónicos de saturación, debidos a la excitación fundamental,
tienen una magnitud elevada y están espectralmente cercanos
a la componente del fallo.
De los anteriores puntos se extrae que la detección de fallos en el rotor, si
bien es posible, requiere que se cumplan ciertas condiciones. Por un lado,
en el caso de que el motor presente ranuras cerradas, el diagnóstico es más
difícil al ser la magnitud de la componente 2ω r mucho menor. Las causas
de este comportamiento son exactamente las mismas a las encontradas en
los métodos de control sin sensor de posición/velocidad. Por otro lado, la
presencia de las componentes debidas a saturación dificultan el aislar el fallo,
siendo tanto más complicado cuanto menor sea la carga de la máquina. En
el límite, con el motor funcionando sin carga, la detección es imposible.
Esto no se considera una restricción importante, puesto que la mayoría de
los motores no trabajan sin carga durante periodos demasiado largos de
tiempo, y la evolución de fallos en el rotor, al contrario que en el estátor,
suele ser lenta.
4.11. Conclusiones
En este capítulo se ha presentado el control sensorless mediante la inyección
de una señal portadora de alta frecuencia. La discusión se ha realizado
centrándose en el caso de inyección de un vector giratorio de tensión. Se han
determinado los aspectos clave para la selección de la señal portadora de
alta frecuencia:
- frecuencias de portadora elevadas permiten un mayor ancho de banda
en la estimación de la posición de la saliencia, facilitan el filtrado con
respecto a la excitación fundamental y reducen los efectos negativos de
la inyección de una señal de alta frecuencia, como ruidos y vibraciones.
Sin embargo, en el caso de utilizar la corriente de secuencia negativa
o la corriente de secuencia cero como variable de estimación, la magnitud
de las componentes que contienen información de la posición de
la saliencia también se ve disminuida. Este aspecto es especialmente
nocivo en el caso de la señal portadora de secuencia negativa, dado
que esta señal tiene una menor relación señal/ruido.
- Menores magnitudes de la señal portadora reducen los efectos adversos
inducidos en la máquina, pero también reducen la magnitud de las
variables a estimar y, por tanto, la relación señal/ruido.
Particularizando para cada posible variable terminal —componentes de secuencia
negativa, tensión de secuencia cero, corriente de secuencia cero— se
han discutido los siguientes aspectos de la implementación:

4.11 Conclusiones 111
1. Los sensores. La corriente de secuencia negativa requiere un mínimo
de dos sensores de corriente, colocados en los cables de alimentación
hacia el motor. Dado que estos sensores son utilizados de forma habitual
para implementar el control en campo orientado, no es necesario
incorporar ningún sensor ni cableado adicional. Sin embargo, el
hecho de utilizar los mismos sensores para sensar tanto la corriente
fundamental como la señal de alta frecuencia da lugar a problemas
de escalado. Por otro lado, las componentes de secuencia cero pueden
medirse utilizando diversos esquemas. Los empleados en el desarrollo
de esta tesis incluyen un único sensor, específico para estas variables.
Estableciendo una comparación con el caso de la corriente portadora
de secuencia negativa, las componentes de secuencia cero requieren
un sensor adicional y el acceso a la caja de terminales del motor. Sin
embargo, presentan una ventaja fundamental. Dado que emplean un
sensor dedicado, su escalado puede ajustarse a las componentes de alta
frecuencia, independientemente de la excitación fundamental.
2. El filtrado analógico. Antes de realizar la conversión A/D es necesaria
una etapa de filtrado para eliminar las componentes que puedan provocar
aliasing. El filtrado analógico presenta importantes diferencias
dependiendo del tipo de variable utilizada, más concretamente de la
disponibilidad de un sensor dedicado para la medida de las componentes
asociadas a la posición. Para el caso de la corriente portadora
de secuencia negativa, donde se utilizan los mismos sensores para la
medida de la corriente fundamental y de alta frecuencia, el filtrado
analógico presenta dos alternativas: 1) Realizar el muestreo síncrono
con la conmutación del inversor, de manera que se elimine la mayor
parte de los armónicos de conmutación. Este filtrado requiere que la
modulación sea simétrica. 2) filtro antialiasing realizado combinando
un filtro paso-bajo y un filtro de rechazo de banda centrado en
la frecuencia de conmutación. Para el caso de las componentes de secuencia
cero, donde se dispone de un sensor dedicado, el único objetivo
del filtrado es preservar la zona del espectro donde se encuentran las
componentes que contienen información de la posición. Se han presentado
dos alternativas: 1) filtro paso de banda centrado en la frecuencia
de la señal portadora. Esta opción tiene el inconveniente de la fuerte
variación de fase que introduce la respuesta del filtro en la zona
paso-banda. 2) combinación filtro paso bajo más rechazo de banda, de
manera análoga al caso de la corriente portadora de secuencia negativa.
Esta ha sido la opción elegida para la implementación desarrollada
en la tesis.
3. La conversión analógico/digital. La conversión A/D introduce errores
de cuantización. Estos errores adquirirán tanta más importancia cuan-

112 Control sensorless mediante inyección de una señal portadora
to menor sea la relación señal/ruido. Dado que el valor de esta relación
es menor para el caso de la corriente portadora de secuencia negativa,
al no utilizar sensores dedicados, es necesario disponer de un número
de bits mayor para este caso.
4. El filtrado digital. El filtrado digital se puede dividir, para todos los
casos estudiados, en dos etapas. En una primera se realiza un filtrado
en coordenadas síncronas con la señal portadora. Para ello, se realiza
una rotación, situando a la señal en coordenadas síncronas con la
frecuencia de la portadora —ω c para el caso de las componentes de
secuencia cero y −ω c para el caso de las componentes de secuencia
negativa—. Una vez realizada la rotación se implementa un filtro paso
bajo para aislar las componentes cuya fase se encuentra modulada por
la saliencia dependiente de la posición.
La segunda etapa consiste en el desacoplo de las saliencias secundarias,
tanto inducidas por saturación como por intermodulación. Este
proceso es independiente de la variable utilizada. En este capítulo se
ha descrito la compensación de saliencias secundarias utilizando tablas
de desacoplo. Estas tablas almacenan información sobre la magnitud y
fase de las componentes que se desea desacoplar en un proceso previo a
la puesta en marcha del control. En funcionamiento normal se utilizan
los valores almacenados para realizar la compensación. Tras aislar la
zona donde se encuentran dichas componentes y realizar el desacoplo
de las saliencias secundarias, es posible realizar la estimación de la
posición.
Los puntos anteriores, dependientes del esquema utilizado para implementar
el control, confluyen en el punto de entrada al bloque de estimación de la
posición. Como paso previo, se ha propuesto el uso de la distorsión armónica
total (THD) como una métrica para realizar un análisis cuantitativo de la
calidad de la señal portadora. Los resultados presentados en este capítulo
analizan la dependencia del valor de THD en función de la frecuencia de la
señal portadora, y para las diferentes variables terminales.
Se han mostrado los diferentes observadores de rastreo que pueden utilizarse
para extraer la posición del rotor.
Finalmente, y como aplicación adicional de la inyección de una señal portadora
de alta frecuencia, se han demostrado las posibilidades de aplicación
para el diagnóstico de máquinas de alterna alimentadas desde un inversor.
Se muestran las capacidades de diagnóstico, tanto de fallos en el estátor
como en el rotor.

Capítulo 5
Procesamiento de la señal
portadora de alta frecuencia
mediante redes neuronales
5.1. Introducción
En el capitulo 4 se mostraron técnicas de procesamiento de la corriente
portadora de secuencia negativa y de las componentes de secuencia cero
para extraer la posición del rotor. Un aspecto clave en la implementación
de estas técnicas es la compensación de las saliencias secundarias presentes
en la máquina. Entre ellas, cabe destacar las inducidas por saturación,
así como las debidas a efectos de intermodulación. La compensación de estas
asimetrías mediante tablas de desacoplo de mostró en los puntos 4.6 y
4.7. Tal y como se enunció entonces, los problemas asociados con el uso de
tablas de desacoplo se deben tanto a su diseño —determinar cuantos elementos
son necesarios—, como a su construcción —determinar el valor de
cada elemento—. Además, dichas tablas son específicas para cada máquina,
siendo difícilmente adaptables, y en general inutilizables, en máquinas con
diseños distintos.
Se pueden utilizar métodos alternativos a las tablas de interpolación. En
el caso de que se disponga de un modelo de las saliencias que se desea desacoplar,
se puede utilizar dicho modelo para construir un estimador y realizar la
compensación. Esta solución, si bien es factible, plantea grandes dificultades
asociadas a la complejidad de un modelo que describa el comportamiento de
las asimetrías, el cual se ha verificado experimentalmente que es altamente
no lineal [54,57,58]. Precisamente esta característica sugiere el uso de redes
neuronales para aproximar el sistema. El uso de redes neuronales aplicado a

114 Procesamiento de la señal portadora mediante redes neuronales
técnicas sensorless basadas en la inyección de una señal portadora se propone
en [51]. El empleo de este tipo de técnicas no se encuentra muy extendido
por las siguientes razones:
1. La complejidad asociada a una red neuronal.
2. La selección no determinista de la estructura de la red, —número de
capas y neuronas—.
3. Los requisitos computacionales para su implementación en tiempo real.
Todos estos inconvenientes se derivan de no incorporar el conocimiento
apriorísitico del sistema físico en la estructura de la red neuronal.
En este capítulo se propone el uso de un tipo de redes, desarrolladas por
Seidl, Lorenz y Dölen [9,4], y denominadas redes neuronales estructuradas 1 .
Su principal característica es la incorporación del conocimiento apriorístico
del sistema en la estructura de la red. Es decir, el número de capas, neuronas
y conexiones entre ellas viene determinado por el modelo del sistema. Esta
aproximación tiene importantes ventajas:
1. Se reduce la complejidad de la red.
2. Se introduce una estructura que admite modificaciones posteriores en
partes de la misma sin afectar al resto.
3. Reducción en los tiempos de entrenamiento.
El capítulo comienza con una clasificación de los tipos de redes neuronales
existentes. Se analiza la posibilidad de utilizarlas en el procesamiento de la
señal portadora de alta frecuencia. Centrándose en las redes feed-forward,
se muestran las limitaciones de las estructuras tradicionales, y se introduce
una alternativa basada en el empleo de redes neuronales estructuradas. Este
tipo de redes permite incorporar a la estructura de la red la información
del modelo de alta frecuencia de la máquina. El desarrollo de la topología
de la red, derivada del modelo presentado en el capítulo 2, es una de las
contribuciones de esta tesis. Finalmente se presentan los resultados obtenidos
mediante el procesamiento basado en redes neuronales, estableciendo una
comparación con los métodos presentados en el capítulo anterior.
1 SNN en inglés de Structured Neural Networks.

5.2 Fundamentos de redes neuronales 115
5.2. Fundamentos de redes neuronales
En la bibliografía sobre redes neuronales existen numerosos libros de
referencia que realizan exhaustivos estudios sobre las clases de redes neuronales,
sus propiedades, algoritmos de entrenamiento. . . [161,167,166]. También
es posible encontrar textos más específicos, en los que se resume el
estado del arte del uso de técnicas de inteligencia artificial en general, y de
las redes neuronales en particular, en el control y diagnóstico de máquinas
eléctricas [173]. Esta sección revisa a grandes rasgos las propiedades más
destacables de las redes neuronales, como paso previo a su uso en métodos
de control sin sensor de velocidad/posición.
5.2.1. Modelo biológico
Las redes neuronales artificiales 2 se basan en su equivalente biológico. Es
útil introducir la nomenclatura en términos biológicos, puesto que muchos
autores utilizan esta misma nomenclatura en sus trabajos. Las partes de una
neurona se denominan:
1. Dendritas. Son las entradas a la neurona. Reciben la información proveniente
de otras neuronas.
2. Soma. Cuerpo de la neurona. Su función es recolectar la información
de todas las entradas, combinarla y transformarla para ser procesada
por otras neuronas.
3. Axón. Salida de la neurona. Transmite la información hacia las neuronas
conectadas a ella.
4. Sinapsis. Punto de unión entre un axón y una dentrita.
El procesamiento que ocurre dentro de una neurona se puede resumir en:
El soma procesa la información proveniente de las dendritas mediante
una suma ponderada de las señales que recibe. Si este
valor es mayor que el nivel de activación de la neurona, la señal
ponderada se convierte en un tren de impulsos mediante una función
no lineal —función de activación somática—. Estos trenes
de impulsos son transmitidos a otras neuronas mediante el axón.
Este modelo biológico es la base del desarrollo de técnicas de inteligencia
artificial basadas en redes neuronales artificiales, y punto de partida para el
desarrollo de los siguientes puntos.
2 Del término anglosajón Artificial Neural Networks (ANN).

116 Procesamiento de la señal portadora mediante redes neuronales
5.2.2. Modelos de neuronas artificiales
Las neuronas artificiales, basadas en sus homólogas biológicas, se organizan
en estructuras paralelas denominadas redes neuronales artificiales. Las
conexiones entre los elementos individuales, o neuronas, se realiza mediante
pesos adaptativos. El mecanismo de adaptación de dichos pesos se conoce
como proceso de aprendizaje. Por lo tanto, las redes neuronales artificiales
se pueden definir como estimadores adaptativos de funciones, con una
estructura similar al equivalente biológico.
Atendiendo a la estructura de las neuronas, éstas se pueden clasificar en:
1) neuronas artificiales estáticas y 2) neuronas artificiales dinámicas. Un
posible modelo de las primeras se divide en cuatro partes:
1. entrada(s).
2. un sumador ponderado.
3. una función no dinámica, denominada generalmente función de activación.
4. salida(s).
Las neuronas estáticas no incorporan ninguna dinámica. Por el contrario, las
neuronas artificiales dinámicas incorporan los cuatro puntos anteriores más
un bloque adicional, encargado de introducir un comportamiento dinámico.
Este bloque puede implementarse incluyendo un retardo a la salida de la
función de activación.
El modelo de neurona artificial presentado se puede expresar en términos
matemáticos según la relación (5.1)
⎛
⎞
n∑
y i (t) = f i
⎝ w ij x j (t) + b i
⎠ (5.1)
donde
y i
f i
w ij
x j (t)
b i
j=1
: salida de la neurona i − ésima.
: función de activación.
: peso en la conexión entre el elemento j del vector de entradas
y la neurona i.
: componente j − ésima del vector de entradas,
x = [x 1 (t), x 2 (t), · · · , x n (t)] T
: constante conocida como bias.
La representación esquemática de la neurona artificial se muestra en la
figura 5.1

5.2 Fundamentos de redes neuronales 117
Sinapsis
Soma
entradas
bias
x 1
x 2
x n
1
w l1
w l2
w ln
Dendrita
b i
∑ n
j=1
S i
Función de activación
f i (S i )
y i
Figura 5.1: Representación esquemática del modelo matemático de una neurona
artificial.
5.2.3. Redes neuronales artificiales
Empleando como elemento básico la neurona artificial descrita en el apartado
anterior, las redes neuronales se construyen agrupando varias de éstas,
conformando el siguiente nivel de organización jerárquica dentro de una red
neuronal. Esta estructura se conoce como capa. Se pueden construir capas
con cualquier número de neuronas, siendo el mínimo una. Aplicando notación
vectorial, se puede definir la salida de una capa como (5.2)
y m = F m (w m x + B m )
⎡ ⎤ ⎡
⎤ ⎛⎡
⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎞
y 1 f 1 0 · · · 0 w 11 w 12 · · · w 1n x 1 b 1
y 2
⎢ ⎥
⎣ . ⎦ = 0 f 2 · · · 0
w 21 w 22 · · · w 2n
x 2
⎢
⎣
.
. . ..
⎥ ⎜⎢
. ⎦ ⎝⎣
.
. . ..
⎥ ⎢ ⎥
. ⎦ ⎣ . ⎦ + b 2 ⎢ ⎥⎟
⎣ . ⎦⎠
y k 0 0 0 f k w k1 w k2 · · · w kn x n b k
donde
y m : vector de salidas de la capa m.
F m : matriz de funciones de activación de la capa m.
w m : matriz de pesos de la capa m.
x : vector de entradas.
: vector de bias.
B m
(5.2)
Una vez definida la estructura de una capa, la estructura final de una
red neuronal se logra mediante la unión de sucesivas capas. Dependiendo del
tipo de uniones entre las diferentes capas se obtienen diferentes modelos de
redes neuronales. Se definen las redes neuronales feed-forward como redes
formadas por un número indefinido de capas, conectadas entre si de forma
que todas las salidas de una capa se conectan a todas las entradas de la siguiente,
sin permitirse conexiones entre elementos de la misma capa. Por lo

118 Procesamiento de la señal portadora mediante redes neuronales
x 1
∑
∑
∑
y 1
x 2
∑
∑
∑
y 2
x 3
∑
∑
∑
y 3
x n
∑
∑
∑
y m
Figura 5.2: Estructura feed-forward. El vector de entradas, x se conecta a la capa de
entrada. La información se transmite sólo hacia la salida mediante las conexiones
entre capas sucesivas. La capa de salida aglutina el resultado de la red en el vector
de salidas, y.
tanto, la salida en cada instante de tiempo dependerá, exclusivamente, de la
entrada en el instante actual. La literatura adopta generalmente el criterio
de que el número de capas que conforman una red incluye sólo aquellas que
realizan algún tipo de procesamiento. Por lo tanto, la capa de entrada, cuya
única función es conectar las entradas a la primera capa de procesamiento,
se excluye del recuento. En la figura 5.2 se muestra gráficamente la estructura
de este tipo de redes. La expresión de la salida de la red, en su forma
vectorial, se muestra en (5.3)
y 1 = F 1 (w 1 x + B 1 ) = F 1 (S 1 )
y 2 = F 2 (w 2 y 1 + B 2 ) = F 2 (S 2 )
.
y m = F m (w m y m−1 + B m ) = F m (S m )
(5.3)
En caso de que la estructura de la red incorpore conexiones desde capas
posteriores hacia capas anteriores, introduciendo de esta manera una dependencia
entre la salida en el instante actual y la salida en periodos anteriores,
el tipo de red se conoce como recurrente [167].

5.2 Fundamentos de redes neuronales 119
5.2.4. Algoritmos de entrenamiento
El proceso de adaptación de los pesos de una red neuronal se conoce como
entrenamiento. Atendiendo al tipo de entrenamiento, las redes neuronales se
pueden agrupar en: 1) supervisadas y 2) no supervisadas. En las primeras,
el proceso de entrenamiento se realiza presentando de manera simultánea un
conjunto de pares de elementos de entrada y la salida deseada. El entrenamiento
de la red tiene como objetivo inferir la función que relaciona dichos
pares. Las segundas sólo emplean los datos de entrada, adaptando sus pesos
para clasificar los datos siguiendo algún criterio, normalmente algún tipo de
distancia entre determinadas características de los datos [166].
El proceso de entrenamiento se caracteriza por la función de coste. La
función de coste es la métrica utilizada durante el entrenamiento para cuantificar
la distancia en cada paso del proceso a la solución óptima del problema.
Redes supervisadas
El entrenamiento en las redes supervisadas se realiza mediante la minimización
de alguna función del error. Los métodos más conocidos tratan
de minimizar el error entre la salida deseada y la actual. El proceso de entrenamiento
supervisado, requiere introducir un conjunto de entradas a la
red para obtener los estados inferidos en los puntos en los que se evalúa la
función de error.
Back-Propagation Dentro de los algoritmos aplicados a redes supervisadas,
probablemente el más conocido sea el back-propagation. Este algoritmo
se emplea en redes de tipo feed-forward o en redes recurrentes cuyas conexiones
realimentadas no sean adaptables.
El algoritmo de innovación, mediante el cual se varían los pesos de las
diferentes neuronas, es una generalización de la regla delta 3 para funciones de
activación no lineales y redes multicapa. La generalización consiste en definir
3 El algoritmo delta es un método de aprendizaje basado en mínimos cuadrados. Su
funcionamiento se basa en minimizar el error cuadrático medio que se produce en la
estimación de la red, tomando como función de coste E = P p=n
P
p=1 Ep = 1 p=n
2 p=1 (dp − y p ) 2 ,
donde d p es la salida deseada para el subconjunto de entrada p e y p es la salida real
para el mismo subconjunto. Aplicando un método conocido como gradiente descendente,
la innovación de los pesos es calculada según ∆ p = −γ ∂Ep
∂ω j
, es decir se incrementa los
pesos en la dirección que hace disminuir el error. Aplicando ∂Ep
∂ω j
en cuenta ∂yp
∂w j
= x j y ∂Ep = −(d p − y p ) se obtiene ∆
∂y p
p = γδ p x j
= ∂Ep
∂y p
∂y p
∂w j
, y teniendo

120 Procesamiento de la señal portadora mediante redes neuronales
el operador δ como el gradiente negativo del error respecto a la entrada
agregada a la función de activación en cada neurona,
donde
δ p k = −∂Ep ∂s p ,
k
s p k = ∑ n
p=1 w kpx p (t) + b k : suma ponderada en la neurona k.
quedando la expresión del término de innovación de los pesos con la misma
estructura que en la regla delta definida anteriormente. Para obtener la
relación de la expresión anterior con la función de activación —F — de cada
neurona, se aplica la regla de la cadena a la anterior expresión, obteniendo
δ p k = −∂Ep ∂y p k
∂y p k
∂s p k
,
∂y p k
∂s p k
= F ′ (s p k )
Particularizando la anterior expresión para neuronas situadas en la capa
de salida o en una capa oculta se obtienen las expresiones (5.4) y (5.5),
respectivamente.
∂E p
∂y p o
∂E p
∂y p h
= − (d p o − yo), p capa de salida (5.4)
∑N o
= − δoω p ho , capas ocultas (5.5)
o=1
donde los subíndices o se refieren a las neuronas de la capa de salida 4 y los h
a las de las capas ocultas 5 . De esta manera se obtiene un proceso recursivo
para calcular los pesos en todas las neuronas que conforman la red, partiendo
del error obtenido a la salida y realizando una propagación de éste hacia las
capas más interiores. Aunque el ejemplo se ha simplificado utilizando sólo
una capa oculta, la generalización para una topología con mayor número de
capas es inmediata. La expresión de la actualización de los pesos según este
algoritmo queda
∆ω p k = γδp k yp (5.6)
Existen algunas variaciones en el algoritmo de entrenamiento, las cuales
añaden velocidad y estabilidad en la convergencia. Entre ellas, cabe destacar
la variación del ratio de aprendizaje γ, haciendo disminuir su valor en cada
iteración para asegurar la convergencia; o de la dirección en la cual varían
los pesos, realizándose ya no en la dirección del gradiente negativo del error
4 de output.
5 de hidden.

5.2 Fundamentos de redes neuronales 121
sino en una combinación entre ésta y el valor actual. Este variación, conocida
como momentum, se rige según la ecuación (5.7)
donde
γ
α
∆ω jk (t + 1) = γδ p k yp j + α∆ω jk(t) (5.7)
: ponderación del aprendizaje en la dirección del gradiente negativo
de la función de error en el instante actual.
: ponderación del aprendizaje en la dirección del gradiente en el
instante anterior.
La aplicación del momentum hace disminuir la sensibilidad de la red a
los detalles de la superficie que conforman las variables. De esta manera se
ayuda a evitar el riesgo de caer en mínimos locales, los cuales provocan un
resultado erróneo en el entrenamiento [161].
Levenberg - Marquardt. El algoritmo back-propagation no es muy efectivo
para actualizar los pesos de las neuronas situadas en las capas ocultas
[166]. En [18] se propone el uso del algoritmo de Levenberg-Marquardt
[19, 20] como método de entrenamiento de redes perceptrón multicapa. Entre
sus ventajas destaca una mayor velocidad de convergencia [12]. En contrapartida,
los recursos de memoria requeridos son mayores. Sus requisitos
de almacenamiento y de cálculos son de orden O(N 2 ), siendo O(N) para
back-propagation; donde N es el número total de pesos adaptables. Este algoritmo,
logra unos tiempos menores de entrenamiento mediante el empleo
de un un coeficiente de entrenamiento adaptativo, el cual trata de mantener
su valor lo más alto posible conservando al mismo tiempo la estabilidad del
proceso. Los ajustes de los pesos se realizan según la expresión, (5.8)
donde
J : Jacobiano de la matriz de pesos.
I : Matriz identidad.
µ : escalar no negativo.
ɛ : vector de error.
∆ω = (J T · J + µI) −1 · J T · ɛ (5.8)
El elemento que modifica el comportamiento de este algoritmo es el
parámetro µ. A medida que µ → ∞, el ajuste de los pesos se convierte
en la técnica del gradiente descendiente; mientras que haciendo decrecer su
valor se comporta igual que la técnica Gauss-Newton tradicional. Este último
algoritmo tiene un comportamiento más preciso y más rápido en las
cercanías de un mínimo de la función de error. Por lo tanto, el modo de
proceder general del algoritmo Levenberg-Marquardt será hacer decrecer el
valor de µ en cada paso, incrementándolo sólo en el caso de que se haya
producido un incremento en la función de error.

122 Procesamiento de la señal portadora mediante redes neuronales
Redes no supervisadas
En esta tesis se han empleado exclusivamente redes de tipo supervisado,
tanto en su aplicación al control sensorless como al diagnóstico. A modo
de referencia, en [173] se muestran tipos de redes no supervisadas aplicadas
a técnicas de control y diagnóstico. Particularmente, se detallan las características
y métodos de entrenamiento de los mapas autoasociativos SOM 6 .
En [2] se hace un repaso a la topología y métodos de entrenamiento de varios
tipos de redes no supervisadas, como las redes VQ 7 , SOM, KR-SOM 8 ;
y redes que emplean métodos de entrenamiento supervisado y no supervisado
de manera combinada, como el caso de las redes RBF 9 . Su aplicación
a métodos de supervisión de procesos complejos, y en particular su uso en
el campo del diagnóstico de máquinas eléctricas demuestra la potencia de
estas topologías.
5.3. Redes neuronales estructuradas
El uso de redes neuronales perceptrón 10 multicapa, o alguna de sus variaciones,
aplicadas a técnicas de control sensorless ha sido propuesto por
diferentes autores [38,45,37,28,32,47,49,33,50,29,34,51]. Si bien ninguna de
estas referencias, exceptuando [51], se basa en la inyección de una señal portadora,
sirven para hacerse una idea del volumen de investigación dedicado
a este área. Todas los métodos basados en estas técnicas presentan alguno
de los inconvenientes enumerados a continuación:
- Complejidad de la red. Por lo general, el proceso que se requiere aproximar
es complejo. La aproximación mediante un modelo basado en
redes neuronales se logra mediante la unión de capas y neuronas. El
número de capas, neuronas y conexiones será tanto más alto cuanto
más complejo sea el problema a resolver.
- Indeterminación de la estructura. El número de capas, neuronas e interconexiones
se determina por métodos de prueba y error. Esto hace
que el determinar la estructura óptima, o al menos una que se le aproxime,
sea una labor tediosa y difícil de sistematizar.
- Requerimientos computacionales. El hecho de obtener una estructura
compleja hace que los cálculos a realizar para obtener la salida de la
6 de Self-Organizing Map.
7 Vector Quantization.
8 Kernel Regression Self-Organizing Maps.
9 Radial Basis Functions.
10 Esta definición no es estrictamente correcta, refiriéndose al subconjunto de redes feddforward
cuya función de activación es de tipo limitador (hard-limit).

5.3 Redes neuronales estructuradas 123
red sean elevados. Además, el periodo de entrenamiento será largo y
costoso, al tener que determinar todas las uniones entre las diferentes
neuronas que conforman la estructura de la red.
Para solventar estos inconvenientes, se propone el uso de modelos de redes
con una topología determinista, que permitan la incorporación del conocimiento
apriorístico y con unos requisitos computacionales reducidos. Las redes
neuronales estructuradas cumplen todas estas características, haciéndolas
atractivas para su empleo en técnicas sensorless y de diagnóstico. Este
tipo de redes fueron propuestas por primera vez en [9] por Seidl y Lorenz.
Sus propiedades se pueden sumarizar en:
- Adoptan una estructura que permite incorporar la información física
del proceso real.
- Tienen una estructura más sencilla que las redes neuronales tradicionales.
Tanto el número de capas como el de neuronas vienen determinadas
por el modelo matemático subyacente. No es necesaria una
etapa de prueba y error para determinar una estructura apropiada de
la red.
- Reducción en el tiempo de entrenamiento. Cada conexión tiene un
significado físico. Los pesos pueden ser inicializados con unos valores
relativamente cercanos al final.
- La variación de los pesos durante el proceso de entrenamiento puede
acotarse, en caso de que se disponga de la información del proceso.
Esto puede evitar la aparición de mínimos locales en la función de
error, mejorando la convergencia.
- Las funciones de activación adoptan expresiones que retienen información
del proceso. De esta manera se evita el describir un comportamiento
no lineal como combinación de varias series de funciones no
lineales. Este es el enfoque usado tradicionalmente en las diferentes
topologías de redes neuronales.
5.3.1. Fundamentos teóricos
Las redes neuronales estructuradas desarrolladas para esta tesis se basan
en redes recurrentes modificadas. Las modificaciones realizadas se pueden
desglosar en cuatro puntos:
- Tipos de neuronas. Al contrario que las redes clásicas, se utilizan
tanto neuronas Sigma (Σ) —computan su salida como el valor de la
función de activación de la suma ponderada de las entradas—, como

124 Procesamiento de la señal portadora mediante redes neuronales
neuronas Pi (Π) —su salida es el valor de la función de activación del
producto ponderado de las entradas—. De esta manera se incluye en
la estructura de la red la posibilidad de especificar las relaciones entre
las diferentes entradas.
- Modificación Topológica. Se modifican las uniones entre las neuronas,
de manera que sólo se realizan las interconexiones derivadas del
modelo teórico.
- Funciones de activación. Las funciones de activación adquieren importancia
desde un punto de vista físico, al representar funciones no
lineales especificadas en el desarrollo teórico.
- Dinámica del proceso. La dinámica del proceso se incorpora a dos
niveles. A nivel de neurona, se usan retardos en las conexiones de
las entradas. A nivel topológico, se usan conexiones desde la salida
hacia la entrada para modelar la dinámica del modelo. Si bien las
redes recurrentes ya incorporan conexiones de este tipo de manera
generalista, la propuesta realizada aquí incluye que esta conexión sea
realizada de acuerdo a las ecuaciones del modelo del sistema físico.
5.3.2. Incorporación del conocimiento apriorístico
El conocimiento del modelo físico se incorpora en la red a dos niveles:
1) nivel de neurona y 2) nivel de conexiones. Al igual que en el caso de las
redes no estructuradas, las redes neuronales estructuradas se conforman a
partir de los elementos básicos, o neuronas. La principal diferencia es que
para el caso de las redes neuronales estructuradas, cada neurona individual
se diseña para desempeñar una función particular. El análisis que hay que
realizar para diseñar cada neurona se puede diferenciar en:
1. Relaciones entre las entradas a cada neurona. El soma de la neurona
agrega la información de las diferentes entradas. Las redes neuronales
feed-forward multicapa emplean únicamente un sumador como sistema
agregador. En el caso de las redes estructuradas propuestas, la función
de agregación podrá ser también un multiplicador. Estas relaciones se
derivan del modelo físico.
2. Relación entre la salida y las entradas. La salida de la neurona se
computa aplicando la función de activación al resultado previo de la
agregación de los datos de entrada. El conocimiento del proceso físico
se incorpora a esta relación mediante una función específicamente
diseñada.

5.3 Redes neuronales estructuradas 125
En cuanto al diseño de las conexiones, el modelo físico impondrá una serie
de relaciones entre los diferentes elementos de la red estructurada. Estas
relaciones podrán ser fijas —invariantes en el proceso de entrenamiento—
, o adaptativas —establecen su valor final durante el entrenamiento—. El
hecho de emplear tanto conexiones completamente especificadas como conexiones
variables permite conjugar la información conocida del proceso con
la desconocida.
5.3.3. Algoritmos de entrenamiento
Aunque el uso de redes neuronales estructuradas permite implementar
algoritmos de entrenamiento específicos y altamente optimizados [27], considerando
para ello todas las restricciones impuestas por el modelo, en el
caso particular que nos ocupa, la sencillez de la red propuesta hace válidos
muchos de los algoritmos más generalistas, manteniendo un tiempo de entrenamiento
reducido. Para la estructura propuesta se ha utilizado el algoritmo
de Levenberg-Marquardt.
5.3.4. Desacoplo de saliencias secundarias mediante redes
neuronales estructuradas
Como se apuntó en la introducción del capítulo, el desacoplo de saliencias
secundarias mediante tablas de desacoplo tiene el gran inconveniente de
la construcción de dichas tablas. Otra posibilidad consiste en realizar un
modelo de las saliencias y construir un estimador utilizando dicho modelo.
Debido a que éstas tienen una dependencia altamente no lineal con el punto
de funcionamiento de la máquina, la construcción de un modelo exacto de
las saliencias inducidas por saturación y por intermodulación es una tarea
ardua. Otra alternativa se basa en el empleo de redes neuronales, confiando
en su capacidad para modelar sistemas no lineales. El principal problema
entonces es definir la estructura de la red, lo cual se realiza de manera ad
hoc para cada caso en particular.
Uniendo las ventajas de las dos alternativas, en este punto se propone
el uso de una red neuronal estructurada para el desacoplo de saliencias secundarias
—saliencias inducidas por saturación y saliencias inducidas por
intermodulación— en un control sensorless de posición basado en la inyección
de una señal portadora. Para restringir el estudio siguiente se ha
seleccionado como variable terminal la tensión de secuencia cero. La decisión
se justifica por ser una de las técnicas propuestas por el autor de esta
tesis en capítulos anteriores. Su aplicación en el caso de disponer de otra
variable terminal requiere ligeras modificaciones en la topología de la red,
siendo válidos todos los conceptos presentados a partir de este punto.

126 Procesamiento de la señal portadora mediante redes neuronales
La estructura de la red se divide en capas y subredes, cada una de ellas
diseñada para modelar saliencias específicas. Se ha desarrollado las subredes
para: 1) desacoplo de saliencias inducidas por saturación, 2) desacoplo de
saliencias por intermodulación, 3) observador de rastreo.
Desacoplo de saliencias inducidas por saturación mediante redes
neuronales estructuradas
El objetivo de esta red es estimar las componentes de secuencia cero
provocadas por las saliencias inducidas por saturación, basándose para ello
en el modelo de estas saliencias. Partiendo de las ecuaciones en coordenadas
abc del modelo en alta frecuencia, (5.9a)–(5.9c)
v an = (ΣL σs + 2∆L σs cos (hθ e )) di a
dt
v bn =
v cn =
(
( (
ΣL σs + 2∆L σs cos h θ e − 2π 3
(
( (
ΣL σs + 2∆L σs cos h θ e − 4π 3
))) dib
dt
))) dic
dt
(5.9a)
(5.9b)
(5.9c)
donde
ΣL σs
∆L σs
h
θ e
: valor medio de la inductancia transitoria de estátor.
: inductancia diferencial transitoria de estátor.
: orden de armónico referido a radianes eléctricos.
: posición angular de la saliencia en radianes eléctricos.
Se obtiene el modelo equivalente en coordenadas estacionarias —qd0 s —,
(5.10).
[
v
s
q vd s T d ( [
0] vs = L
s
dt qd0 i
s
q i s d is 0] T ]) (5.10)
La matriz de inductancias, L qd0 viene determinada por (5.11)
⎡
ΣL σs + 2 3
L s qd0 = ⎢
1(2 + α 1 ) √3 2
4
∆L 2 α 2 3 ∆L ⎤
1(1 − α 1 )
2
⎣
√
3
∆L 2 α 2 ΣL σs + 2∆L 1 (α 1 ) − √ 4
3
∆L 2 α
⎥
2 ⎦
2
3 ∆L 1(1 − α 1 ) − √ 2
3
∆L 2 (α 2 ) ΣL σs + 2 3 ∆L 1(1 + 2α 1 )
(5.11)

5.3 Redes neuronales estructuradas 127
donde,
∆L 1 = ∆L σs cos(hθ e )
∆L 2 = ∆L σs sin(hθ e )
( ) 2π
α 1 = cos
3 h ( ) 2π
α 2 = sin
3 h
Resolviendo las ecuaciones (5.10) y (5.11) discretizadas mediante la aproximación
bilineal, se obtiene la expresión discreta de la tensión de secuencia
cero (5.12)
v s 0[k] = ( 2L s qd0 [k] − Ls qd0 [k − 1]) (3,1) is q[k]
+ ( 2L s qd0 [k] − Ls qd0 [k − 1]) (3,2) is d [k]
− L s qd0 [k] (3,1)i s q[k − 1] − L s qd0 [k] (3,2)i s d [k − 1], donde (5.12)
(i, j)
k
: elemento de la fila i − ésima, columna j − ésima de la matriz
de inductancias (5.11).
: instante de muestreo actual.
Las componentes de secuencia cero provocadas por las saliencias inducidas
por saturación pueden modelarse partiendo del modelo abc. En dicho
modelo, θ e es la posición del flujo que causa la saturación. Atribuyendo la
saturación al flujo principal de la máquina [54,57] el armónico más relevante
se obtiene para un valor del orden de armónico h = 2. Por lo tanto, se
considera que el efecto de la saturación es el mismo en el polo norte y en el
polo sur de cada fase.
La expresión (5.12) sugiere que las componentes de secuencia cero debidas
a saliencias inducidas por saturación pueden modelarse como función de i s d ,
i s q y θ e , todas ellas evaluadas en el periodo actual y el anterior, [k, k − 1].
El valor del orden de armónico se hace h = 2 para la componente principal.
El efecto de componentes adicionales debidas a saturación se puede analizar
variando dicho orden. Partiendo del modelo discreto propuesto, se ha
desarrollado una red neuronal capaz de estimar los armónicos inducidos por
saturación. La estructura propuesta se muestra en la figura 5.3. Los valores
de los pesos mostrados en el esquema 5.3, y fijados por el modelo, vienen

128 Procesamiento de la señal portadora mediante redes neuronales
dados por (5.13) y (5.14).
w (3,1) = 2 3 cos(hθ e)[k]
(1 − cos( 2π )
3 h)
= ω 31 cos(hθ e )[k]
= Ls qd0 [k] (3,1)
(5.13)
∆L σs
w (3,2) = 2 3 sin(hθe )[k]
(sin(
3√ 2π )
3 h)
= ω 32 sin(hθ e )[k]
= Ls qd0 [k] (3,2)
∆L σs
(5.14)
Los diferentes elementos que componen esta subred se definen a continuación:
Capa de entrada. Como se ha indicado en la expresión (5.12), las componentes
de secuencia cero inducidas por saturación son función de
la posición angular de las saliencias provocadas por la saturación de
los caminos magnéticos, las cuales están a su vez ligadas a las componentes
d, q de la corriente fundamental del motor. Por lo tanto, la
red dedicada a la extracción de dichas componentes recibe estas tres
variables como entradas. De estas tres entradas, i s d , is q son variables
medidas, mientras que ̂θ e es una variable estimada.
Capas ocultas. Existen dos capas internas, deducidas directamente del
modelo presentado y que, a priori, tiene todos los pesos de la red fijados
por las ecuaciones de dicho modelo. Las capas se describen como:
- Capa de inductancias. Calcula los términos inductivos en función
de la posición estimada del flujo, ̂θ e . Analizando la expresión discreta
del modelo, (5.12), se contabilizan cuatro términos diferentes
dependientes de la matriz de inductancias. Los términos se
construyen mediante un proceso de dos etapas. La primera etapa
obtiene los elementos individuales que intervienen en los términos
indicados (2L s qd0 (3, 1), 2Ls qd0 (3, 2), −Ls qd0 (3, 1), −Ls qd0
(3, 2))
a partir de las variables w (3,1) y w (3,2) de las expresiones (5.13)
y (5.14). Estos términos se obtienen mediante 6 neuronas tipo
Π que reciben como entrada el cos ̂θ e y el sin ̂θ e en los instantes
[k, k − 1]. En una segunda etapa se combinan los elementos
individuales utilizando 2 neuronas tipo Σ. La salida se obtiene
utilizando funciones de activación lineales.
- Capa de acoplamiento. Implementa los productos especificados
en el modelo entre las salidas de la capa de inductancias y las

5.3 Redes neuronales estructuradas 129
componentes del vector de corriente. Se realiza mediante 4 neuronas
tipo Π con función de activación lineal.
Capa de salida. Denominada en el esquema Capa de saliencia. Formada
por una neurona tipo Σ con 4 entradas con pesos adaptativos. El
valor final de todos ellos, tras el proceso de entrenamiento, debe de
ser el mismo e igual a la inductancia diferencial, ∆L σs . La salida es el
valor instantáneo de la tensión de secuencia cero debido a las saliencias
inducidas por saturación, denominada en el esquema ̂v 0sat .
En el anterior esquema llama la atención el hecho de que los valores de
los pesos que modelan la matriz de inductancias —w (3,1) y w (3,2) — estén
divididos por el valor de la inductancia diferencial. Esta implementación
se realiza con la intención de mover los pesos adaptativos hacia la capa
de salida, la cual es lineal. Esto permite realizar el entrenamiento de la
estructura mediante técnicas de mínimos cuadrados, aumentando de esta
manera la velocidad de convergencia del proceso.
Con objeto de introducir grados de libertad adicionales, se permite variar
los valores de los pesos situados en las entradas de la capa de acoplamiento.
De esta manera se consigue simular acoplamiento entre las variables i s q e
i s d
. Estos pesos aparecen en el esquema de la figura 5.4 con las etiquetas
ω cc1 − ω cc2 .
La implementación final de la subred dedicada a la estimación de las
saliencias inducidas por saturación incluye algunas modificaciones. La topología
propuesta se muestra en la figura 5.4:
- El número de capas se reduce en uno. Esto redunda en menos requisitos
computaciones en la implementación en tiempo real.
- Se introducen pesos adaptativos en la conexión entre las capas de inductancias
y de acoplamiento. Estos nuevos parámetros se añaden a
los pesos fijos incluidos en el modelo —ω 31 , ω 32 —. Para permitir ambos
tipos de conexiones es necesario desplazar los pesos del modelo,
situándolos en la entrada de las funciones trigonométricas. Como es
obvio, esto introduce un error respecto a la ecuación (5.12). Sin embargo,
dado que los pesos fijos toman unos valores ±1 y ±2, el pequeño
error cometido es absorbido por las nuevas conexiones adaptativas.
- La estructura final propuesta tiene 47 conexiones, de las cuales sólo 10
son adaptativas. De ellas, las correspondientes a los pesos adaptativos
de la capa de saliencia, son idénticamente iguales.
La implementación se ha realizado inicialmente utilizando la toolbox de redes
neuronales incluida en MatlabR. Han sido necesarias modificaciones para incorporar
algunas funcionalidades utilizadas en la topología desarrollada. Se

130 Procesamiento de la señal portadora mediante redes neuronales
han incorporado funciones de activación trigonométricas y se han introducido
las neuronas tipo Π. El diseño realizado permite incorporar de manera
sencilla nuevas capas, en caso de que sea necesario considerar saliencias adicionales.

5.3 Redes neuronales estructuradas 131
−
−
∆
∆
∆
∆
θ
−
−
−
−
Figura 5.3: Estructura propuesta para el desacoplo de saliencias inducidas por saturación.

132 Procesamiento de la señal portadora mediante redes neuronales
−
−
∆
∆
∆
∆
θ
−
−
−
−
−
Figura 5.4: Estructura real implementada para el desacoplo de saliencias inducidas por saturación.

5.3 Redes neuronales estructuradas 133
Desacoplo de saliencias inducidas por intermodulación mediante
redes neuronales estructuradas
Las saliencias inducidas por intermodulación se deben, según se explicó
en el capítulo 2, a la interacción entre las saliencias debidas a saturación
y las inducidas por el efecto combinado del ranurado de estátor y de rotor
de la máquina. Esta interacción se puede modelar como un producto en
el dominio del tiempo de las componentes inducidas por saturación y las
introducidas por el ranurado. Para ello, se conecta la salida de la subred
dedicada a la estimación de las saliencias inducidas por saturación a la entrada
de la subred diseñada para el desacoplo de las saliencias inducidas por
intermodulación.
La estructura de esta subred se muestra en la figura 5.5. La estructura
utilizada incluye las siguientes capas:
Capa de entrada. La estimación de las componentes de secuencia cero
debidas a saturación, ̂v 0sat y la posición estimada del rotor, ̂θ r . Los
pesos de las entradas son fijos. Para el caso de la posición estimada del
rotor, este peso se hace igual al orden del armónico de ranurado —R—
. Las componentes de secuencia cero debidas a saturación se acoplan
mediante un peso unitario.
Capas ocultas. Una única capa interna estima las componentes inducidas
por intermodulación. Se compone de dos neuronas ortogonales tipo
Π con pesos adaptativos. La definición previa de neuronas ortogonales
hace referencia a la idea de neuronas que representan la componentes
real e imaginaria de las componentes estimadas. Mediante la adaptación
de los parámetros adaptativos denominados ω ph1 y ω ph2 se puede
obtener la fase de dichas componentes. El comportamiento planteado
es muy similar al de un análisis de Fourier, existiendo referencias a
estructuras similares en la literatura de redes neuronales [24, 14, 9].
Capa de salida. La capa de salida está formada por una única neurona
tipo Σ con pesos adaptativos. Dicha capa se conecta por un lado a
la salida de la capa interna y por otro a de la subred que estima las
componentes inducidas por saturación. Los pesos modelan un ajuste
final en la relación de los armónicos inducidos por saturación y los
inducidos por intermodulación.

134 Procesamiento de la señal portadora mediante redes neuronales
θ
θ
Σ Σ
Figura 5.5: Estructura propuesta para el desacoplo de saliencias inducidas por intermodulación.

5.3 Redes neuronales estructuradas 135
La estructura propuesta es una aproximación del proceso que da lugar a las
saliencias inducidas por intermodulación. Dado que su entrada es directamente
la salida de la subred dedicada a las saliencias inducidas por saturación
—en lugar de cada armónico de esta subred—, la amplitud de todas las
componentes estimadas de intermodulación es la misma. Esto no merma de
manera apreciable el resultado de la estimación, al tener los armónicos inducidos
por intermodulación, comparados con los de saturación, por lo general
una magnitud pequeña. En el caso de que alguna máquina en particular
presente armónicos de intermodulación de una magnitud más relevante, es
posible incluir una modificación a la estructura de la red. Añadiendo como
entrada la posición estimada del flujo en el rotor —̂θ e — a cada neurona de
la subred, y combinando los valores de la posición estimada del rotor y la
del flujo según las expresiones
ĥθ r + ̂θ e
ĥθ r − ̂θ e
, donde h representa el orden del armónico dependiente de la posición del
rotor, es posible variar de manera independiente la magnitud de los diferentes
armónicos.
De esta manera es posible variar la amplitud de las diferentes componentes.
Dado que los resultados experimentales han demostrado que el error
cometido con la versión simplificada no es relevante en las prestaciones finales,
se ha mantenido esta estructura.
Observador de rastreo utilizando redes neuronales estructuradas
El entrenamiento de la red precisa medir las componentes inducidas por
saturación e intermodulación. Durante el entrenamiento, se utiliza el vector
de corriente y la posición del flujo como entradas a la red, mientras que la
salida es la suma de las componentes que se desean compensar.
Una alternativa es incorporar el observador de rastreo a la estructura de
la red. La estructura propuesta, según se observa en la figura 5.6, se basa
en un PLL vectorial. La red propuesta replica la respuesta de un filtro de
estado tradicional. Dado que todas las conexiones entre las neuronas son
invariantes, el tiempo de entrenamiento no se ve incrementado. Mediante
esta nueva capa, es posible realizar el entrenamiento utilizando tan solo
la posición del rotor, obtenida mediante un encóder. Durante la operación
normal del motor, la salida de este estimador será directamente la posición
estimada del rotor.
Este método de entrenamiento tiene unas propiedas más atractivas en el
caso de aplicar la técnica para la estimación de la posición en una máquina
de imanes permanentes. Como se ha mostrado en el capítulo 2, las asimetrías

136 Procesamiento de la señal portadora mediante redes neuronales
dependientes de la posición del rotor y las inducidas por saturación rotan a
la misma velocidad. Por lo tanto, no existe separación espectral entre ambos
tipos de saliencias, lo que dificulta la compensación de saliencias secundarias
mediante métodos que precisen la medida de dichas componentes.
El esquema de utilización del conjunto de todas las redes propuestas en
este capítulo se detalla en la figura 5.7.

5.3 Redes neuronales estructuradas 137
θ
θ
Figura 5.6: Estructura propuesta para el observador de rastreo. R es el orden de armónico, para el caso del rastreo de la saliencia
de ranurado. Durante el proceso de entrenamiento se suministra la información de la posición del rotor —θr— mediante un encóder
incremental. Durante el funcionamiento normal de la máquina la posición del rotor es la salida del estimador.

138 Procesamiento de la señal portadora mediante redes neuronales
#
# #
#
− ω
" θ
−
" θ
θ "
− θ
"
θ
!
" θ
" θ
Figura 5.7: Incorporación de la red neuronal en el control de posición. La funcionalidad y taxonomía del esquema es idéntica a la
implementada utilizando tablas de desacoplo. Se reemplazan las tablas por la red estructurada y el observador de rastreo, en este caso
un heterodino más filtro, se incorpora a la estructura de la red.

5.4 Resultados 139
5.4. Resultados
En esta sección se presentan los resultados obtenidos en la aplicación
de la topología de red neuronal propuesta en este capítulo. Primeramente,
se incluyen resultados del proceso de entrenamiento. Se muestra el valor
estimado en los pesos adaptativos de la capa de saliencia y se establece una
representación que permite identificar de manera gráfica si el entrenamiento
proporciona una estimación adecuada de los datos.
A continuación se muestra el resultado de la estimación de la posición
del rotor. Se muestran los resultados de la estimación de las saliencias secundarias,
la posición estimada y el error cometido.
5.4.1. Entrenamiento de la red
La red se ha entrenado utilizando el algoritmo de Levenberg-Marquardt.
El resultado del entrenamiento se puede comprobar observando el valor de
los pesos adaptativos de la capa de saliencia. Según el modelo teórico, estos
pesos deben de converger al mismo valor, independientemente de su valor
inicial. En las figuras 5.8(a) y 5.8(b) se muestra la evolución de los pesos ∆ Lq
y ∆ Ld durante el proceso de entrenamiento. El experimento se ha repetido
10 veces. En la representación se puede ver como ambos pesos convergen al
mismo valor en todos los experimentos menos en uno de ellos. La razón de
este comportamiento se debe a las modificaciones incluidas en la topología de
la red respecto a la teórica. Dado que se han introducido pesos adaptativos
adicionales, es posible que el proceso de adaptación introduzca mínimos
adicionales en la función de error. De esta manera, se alcanza un mínimo
que no se corresponde al objetivo de igualar el valor de los pesos de la
capa de saliencia. En la figura 5.8(c) se muestra el proceso de entrenamiento
para un caso en particular, facilitando la visualización de la velocidad de
convergencia. Se observa que tras 5 iteraciones se llega al objetivo.
Una técnica útil a la hora de determinar si el entrenamiento de la red
ha sido correcto, es representar una regresión lineal entre la salida estimada
y la salida real. En caso de que la red aproxime de forma correcta la salida
deseada, el resultado de la regresión será la unidad. Es decir, la pendiente
de la recta que mejor aproxima el conjunto de pares de puntos formado por
el resultado de la estimación y la salida real es de 45 ◦ . En la figura 5.9 se
muestra la gráfica de un entrenamiento correcto.
5.4.2. Estimación de la posición
La precisión en la estimación de las componentes inducidas por saturación
e intermodulación determina el error cometido al estimar la posición

140 Procesamiento de la señal portadora mediante redes neuronales
del rotor. La estimación debe de ser correcta en todos los puntos de funcionamiento
de la máquina. En este apartado se muestran de manera gráfica
los resultados obtenidos mediante la red propuesta.
En la figura 5.10 se representa el resultado de la estimación cuando la
máquina está trabajando con flujo nominal y sin carga. Se muestra el resultado
de la estimación tanto de la componente q como de la componente
d. En la gráfica superior correspondiente a cada componente se representa
la estimación objetivo, la salida de la red tras estimar las componentes
por saturación y la salida cuando se incluyen las saliencias inducidas por
intermodulación. En la fila central se muestra el error de estimación tras estimar
las componentes inducidas por saturación. En la inferior el error tras
identificar las componentes inducidas por intermodulación. Según se desprende
de las gráficas anteriores, el error de estimación se reduce tras incluir
la compensación de las saliencias inducidas por intermodulación, aunque
existen componentes residuales que no son correctamente estimadas. Estas
componentes se han identificado anteriormente como derivadas de las simplificaciones
introducidas en la capa de intermodulación.
La figura 5.11 realiza una comparación entre el espectro de las componentes
objetivo y las estimadas por la red neuronal. El punto de trabajo
representado corresponde a las condiciones de flujo nominal y motor en
vacío. Como se puede observar, tanto las frecuencias como las magnitudes
son muy similares.
Una vez que la salida de la red estima las componentes deseadas, es
necesario comprobar la capacidad de seguimiento de la posición del rotor.
Para ello, se utiliza el resultado de la compensación como entrada a un PLL.
En la figura 5.12 se muestra la posición real y la posición estimada junto
con el error de posición en grados mecánicos. Como se observa en la figura,
el error cometido es menor de 2 ◦ mecánicos.
Para determinar la capacidad de generalización de la red, se repiten los
mismos experimentos en otro punto de funcionamiento de la máquina. En
las figuras 5.13, 5.14 y 5.15 se representan las componentes estimadas, su
espectro y el rastreo de la posición del rotor para el caso de flujo nominal y
80 % de carga. Si bien el error cometido es en este caso ligeramente mayor
que el incurrido en el caso de estar la máquina en vacío, la aproximación sigue
siendo correcta. Por lo tanto, queda patente la capacidad de funcionamiento
en diferentes puntos de trabajo.

PSfrag replacements
5.4 Resultados PSfrag replacements
141
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
PSfrag replacements
∆Li q
0
0.2
0.5
0.4
0
0.6
0.8
−0.5
1
−1
0 2 4 6 8
iteraciones 10
0
5
10
experimentos
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
0
∆Li d
−1
0 2 4
6 8
iteraciones
10
0
5
10
experimentos
(a) Evolución del peso ∆ Lq durante
el entrenamiento de la red. Se
repite el proceso 10 veces.
(b) Evolución del peso ∆ Ld durante
el entrenamiento de la red. Se
repite el proceso 10 veces.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
|∆L|
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
1 2 3 4 5 6 7 8 9
iteraciones
(c) Evolución de los pesos de la capa
de saliencia durante el entrenamiento.
Tras 5 iteraciones se alcanza
el valor final.
Figura 5.8: Proceso de entrenamiento de la red estructurada.

142 Procesamiento de la señal portadora mediante redes neuronales
PSfrag replacements
Mejor Aproximación lineal: A = (0.993) T + (1.2e-005)
0.2
R = 0.997
0.15
0.1
0.05
0
A
−0.05
−0.1
−0.15
−0.2
−0.25
−0.25 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2
T
Figura 5.9: Mejor aproximación lineal entre la salida real y la salida estimada. Un
entrenamiento sin errores para una determinada salida se representa por una recta
con una pendiente de 45 ◦ .
0.5
componentes q
0.5
componentes d
(V)
0
(V)
0
(V)
(V)
−0.5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
error: SIH desacopladas
0.04
0.02
0
−0.02
−0.04
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
error: SIH y IIH desacopladas
0.04
0.02
0
−0.02
−0.04
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
tiempo (s)
(V)
(V)
−0.5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
error: SIH desacopladas
0.04
0.02
0
−0.02
−0.04
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
error: SIH y IIH desacopladas
0.04
0.02
0
−0.02
−0.04
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
tiempo (s)
Figura 5.10: Componentes q y d estimadas por la red. La máquina está trabajando
con flujo nominal y sin carga —ω e = 4Hz., ω r = 4Hz.—. Se muestra el error en
la estimación de las componentes cuando sólo se compensan las salidas inducidas
por saturación (SIH de Saturation Induced Saliencies) y tras incorporar la compensación
de las saliencias inducidas por intermodulación (IIH de Intermodulation
Induced Saliencies).

5.4 Resultados 143
0.2
fft medidas, w e = 4Hz, w r = 4Hz
150
|vqdca| (V)
0.15
0.1
0.05
fase (deg)
100
50
0
−50
0
−40 −20 0 20 40
−100
−40 −20 0 20 40
0.2
fft estimadas
150
|vqdca| (V)
0.15
0.1
0.05
fase (deg)
100
50
0
−50
0
−40 −20 0 20 40
frecuencia (Hz.)
−100
−40 −20 0 20 40
frecuencia (Hz.)
Figura 5.11: Magnitud del espectro de las saliencias estimadas. En la parte superior
se muestra el espectro de las componentes reales, en la parte inferior las componentes
estimadas. La máquina está trabajando con flujo nominal sin carga. ω e = 4Hz.,
ω r = 4Hz.

0
0.1
0.2
0.3
0.4
144 Procesamiento de la señal portadora mediante redes neuronales
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
200
posición estimada
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
grados mecánicos
error en grados mecánicos
100
0
−100
−200
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
tiempo (s)
Figura 5.12: Posición estimada del rotor y error de estimación en grados mecánicos.
Flujo nominal, sin carga. ω e = 4Hz., ω r = 4Hz.

5.4 Resultados 145
0.5
componentes q
0.5
componentes d
(V)
0
(V)
0
(V)
(V)
−0.5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
error: SIH desacopladas
0.04
0.02
0
−0.02
−0.04
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
error: SIH y IIH desacopladas
0.04
0.02
0
−0.02
−0.04
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
tiempo (s)
(V)
(V)
−0.5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
error: SIH desacopladas
0.04
0.02
0
−0.02
−0.04
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
error: SIH y IIH desacopladas
0.04
0.02
0
−0.02
−0.04
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
tiempo (s)
Figura 5.13: Componentes q y d estimadas por la red. La máquina está trabajando
con flujo nominal y 80 % de carga —ω e = 4Hz., ω r = 2Hz.—. Se muestra el error
en la estimación de las componentes cuando sólo se compensan las salidas inducidas
por saturación (SIH de Saturation Induced Saliencies.) y tras incorporar la compensación
de las saliencias inducidas por intermodulación (IIH de Intermodulation
Induced Saliencies.)

PSfrag replacements
146 Procesamiento de la señal portadora mediante redes neuronales
0.2
fft medidas, w e = 4Hz, w r = 2Hz
200
|vqdca| (V)
0.15
0.1
0.05
fase (deg)
150
100
50
0
−40 −20 0 20 40
0
−40 −20 0 20 40
0.2
fft estimadas
200
|vqdca| (V)
0.15
0.1
0.05
fase (deg)
150
100
50
0
−40 −20 0 20 40
frecuencia (Hz.)
0
−40 −20 0 20 40
frecuencia (Hz.)
Figura 5.14: Magnitud del espectro de las saliencias estimadas. En la parte superior
se muestra el espectro de las componentes reales, en la parte inferior las componentes
estimadas. La máquina está trabajando con flujo nominal y 80 % de carga.
ω e = 4Hz., ω r = 2Hz.

PSfrag replacements
0
0.1
0.2
5.4 Resultados 147
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
200
posición estimada
grados mecánicos
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
error en grados mecánicos
100
0
−100
−200
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
2
1
0
−1
−2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
tiempo (s)
Figura 5.15: Posición estimada del rotor y error de estimación en grados mecánicos.
Flujo nominal, 80 % de la carga. ω e = 4Hz., ω r = 2Hz.

148 Procesamiento de la señal portadora mediante redes neuronales
5.5. Conclusiones
En este capítulo se ha propuesto el uso de redes neuronales estructuradas
para el desacoplo de saliencias secundarias inducidas por saturación e
intermodulación. Se ha aplicado la técnica a un control sensorless mediante
inyección de una señal portadora. La variable terminal utilizada ha sido la
tensión de secuencia cero.
El método propuesto iguala las prestaciones obtenidas mediante los métodos
basados en tablas de desacoplo, presentados en el capítulo 4. Sin embargo,
presenta ventajas frente a estos, como el simplificar el proceso previo
necesario para realizar el desacoplo. Además, la estructura propuesta se puede
extender de manera sencilla para desacoplar componentes adicionales.
Comparando la estructura aquí propuesta con otras implementaciones
basadas en redes neuronales presentadas por otros autores, se optimiza en
gran medida el proceso de entrenamiento. Esto es consecuencia directa de
la incorporación del modelo físico a la estructura de la red.
Aunque la implementación realizada se ha centrado en la tensión portadora
de secuencia cero, el método se puede extender de manera sencilla
a prácticamente todas las técnicas basadas en el rastreo de saliencias. Así,
el uso de la corriente de secuencia cero, y con ello la aplicación a máquinas
conectadas en triángulo, requiere un simple reemplazo de la expresión de la
tensión de secuencia cero por la correspondiente de la corriente. Para ello se
puede utilizar el modelo teórico desarrollado en el capítulo 3. De la misma
forma, su aplicación a métodos basados en la corriente portadora de secuencia
negativa es prácticamente directa. Este punto es evidente analizando las
similitudes en el procesamiento digital de la señal para ambos tipos de variables
en los métodos de compensación basados en tablas de desacoplo. Dichas
técnicas, desarrolladas en el capítulo 4, presentan como única diferencia notable
la componente sobre la que se modulan los efectos de las saliencias.
Sin embargo, los esquemas de desacoplo se mantienen idénticos.

Capítulo 6
Diagnóstico de motores de
inducción sin excitación de
alta frecuencia
6.1. Introducción
En el capítulo 2 se estudió la relación entre los posibles fallos en una
máquina y las saliencias derivadas de ellos. En el capítulo 3 se analizó como
estas saliencias se acoplaban con las variables eléctricas terminales de la
máquina (variables del estátor), con el objetivo final de desarrollar métodos
de diagnóstico basados exclusivamente en la medida de variables eléctricas.
Se vio también como las saliencias podían detectarse tanto mediante el análisis
de las corrientes de estátor —a partir de las componentes de secuencia
negativa—, como de las componentes de secuencia cero —tensión de secuencia
cero, corriente de secuencia cero—. Utilizando los desarrollos previos, en
el capítulo 4, se describió un método de diagnóstico basado en el rastreo de
las saliencias asociadas a los fallos en el motor mediante la superposición de
una señal portadora de alta frecuencia sobre la excitación fundamental de
la máquina. Aunque esta técnica puede resultar muy atractiva para máquinas
accionadas desde variadores de frecuencia, no es válida para máquinas
conectadas a la red.
Dado que actualmente el número de máquinas alimentadas desde la red
representa un porcentaje elevado del total de máquinas del alterna instaladas,
es interesante explorar hasta que punto estas técnicas son extensibles
al diagnóstico de máquinas con este tipo de alimentación. Es decir, hasta
que punto la interacción de la excitación fundamental con las saliencias de
la máquina va a dar lugar a patrones de comportamiento en las variables

150 Diagnóstico de motores de inducción sin excitación de alta frecuencia
eléctricas terminales de la máquina, y más específicamente en la corriente
de secuencia negativa y en las componentes de secuencia cero, similares a
los observados para el caso de una señal de excitación de alta frecuencia.
Asumiendo que la máquina no contiene defectos de fabricación, la aparición
de fallos en un motor de inducción va a ser en general el resultado
de una combinación de esfuerzos [125]. Así, para el caso del estátor, se pueden
distinguir esfuerzos de origen: a) térmico, b) eléctrico, c) mecánico y
d) ambientales. Para el caso del rotor, se identifican esfuerzos: a) térmicos,
b) electromagnéticos, c) fuerzas residuales, d) dinámicos, e) mecánicos y f)
ambientales. En [137] se indican los porcentajes de fallos según su clase, los
cuales se distribuyen de la siguiente manera:
1. Fallos en el estátor, 38 %.
2. Fallos en el rotor, 10 %.
3. Fallos en los rodamientos, 40 %.
4. Otros, 12 %.
En este capítulo se muestran métodos de diagnóstico basados en la detección
de asimetrías espaciales, y su aplicación a la detección de dos tipos
de fallos en máquinas de alterna: fallos de aislamiento en los devanados del
estátor, y barras de rotor dañadas o rotas.
El capítulo está organizado de la siguiente forma:
En primer lugar se describen los métodos de diagnóstico de máquinas
de alterna basados en la monitorización de las corrientes de estátor. Estos
métodos, cuyo uso se encuentra muy extendido hoy en día, se basan en
el análisis de componentes espectrales de la corriente indicativas de fallo.
Existen dos enfoques principales: 1) métodos basados en la búsqueda de
patrones en el espectro en frecuencia de la corriente de estátor, conocidos
como MCSA 1 y 2) métodos basados en el análisis de la componente de
secuencia negativa.
Seguidamente, se muestran un conjunto de técnicas basados en la medida
de desequilibrios utilizando las componentes de la matriz de impedancias.
Este tipo de métodos solucionan algunos de los inconvenientes que presenta
la utilización de la corriente de secuencia negativa, como es la influencia de
1 acrónimo anglosajón para Motor Current Signature Analisys (Análisis de la Huella de
Corriente del Motor).

6.2 Diagnóstico de máquinas de alterna utilizando variables eléctricas 151
los desequilibrios en la tensión de alimentación. En contraposición, precisan
la medida tanto de las corrientes de estátor como de las tensiones de
alimentación.
Posteriormente, y como aportación realizada en esta tesis, se muestra el
uso de las componentes de secuencia cero para el diagnóstico de máquinas
conectadas directamente a la red. La diferencia esencial de estas técnicas
con respecto a su aplicación en los métodos de control sensorless analizados
en esta tesis, estriba en que en este caso no se inyecta una señal portadora
de alta frecuencia.
Para el desarrollo de estos métodos se va a utilizar el modelo teórico
general desarrollado en 3.2, en lugar de la simplificación desarrollada para
el caso de una señal de excitación de alta frecuencia. Las técnicas analizadas
se particularizarán a continuación para la detección: 1) fallo entre espiras de
estátor y 2) barras de rotor dañadas o rotas.
Finalmente, con objetivo de obtener un estimador del nivel de fallo de la
máquina, capaz de desacoplar las perturbaciones debidas a desequilibrios no
relacionados con el fallo, se desarrollará un método de procesamiento basado
en el empleo de redes neuronales de variable compleja, el cual utilizará tanto
las corrientes como las tensiones de fase.
6.2. Diagnóstico de máquinas de alterna utilizando
variables eléctricas terminales
El diagnóstico de máquinas de alterna basado en la monitorización de
variables eléctricas terminales, fácilmente accesibles y con equipos de bajo
coste, supone una ventaja frente a aquellos métodos que precisan de sensores
adicionales y específicos para el diagnóstico de la máquina [124,131,132]. Las
corrientes de línea y las tensiones de fase son las magnitudes más fáciles de
medir. La medida de las corrientes de fase y de la corriente de secuencia
cero —suma (o media) de las corrientes de fase— en motores conectados en
triángulo, así como la tensión de secuencia cero —media de las tensiones de
fase-neutro— en motores conectados en estrella, presenta sin embargo más
problemas, no por el tipo de sensores a utilizar, sino porque implica acceder
a la caja de conexiones del motor.
Elegir el tipo de variables a medir, para obtener un diagnóstico del estado
del motor, implica, por tanto, dos tipos de consideraciones: 1) facilidad/dificultad
para medir esas variables y 2) sensibilidad/fiabilidad de los
resultados obtenidos.

152 Diagnóstico de motores de inducción sin excitación de alta frecuencia
6.2.1. Diagnóstico de máquinas de alterna utilizando las corrientes
de estátor
Durante las dos últimas décadas se han desarrollado métodos basados
en la monitorización de la corriente de estátor. Estas técnicas, denominadas
MCSA, se basan en la medida de las componentes espectrales inducidas
en las máquinas trifásicas de alterna al producirse diferentes tipos de fallos
(cortocircuitos entre espiras de estátor, rotura de barras en el rotor, excentricidades
en el entrehierro, etc. . . ) Estas componentes constituyen una huella
reconocible del estado de la máquina, de manera que mediante su análisis
se puede llegar a determinar la presencia de fallos, su origen, y su magnitud.
Uno de los principales atractivos de estas técnicas es que los sensores
de corriente son en general baratos, fáciles de colocar, y están ya instalados
en muchas aplicaciones, bien con fines de protección, bien para aspectos
relacionados con la monitorización de potencia.
Los métodos MCSA miden y procesan habitualmente una sola corriente
de fase. Las limitaciones de los métodos de diagnóstico basados en MCSA,
se pueden concretar en los siguientes puntos:
- Al realizar el análisis espectral de una única corriente de fase, se pierde
información del estado de la máquina contenida en las otras fases.
- Para realizar la estimación es necesario, para todos los tipos de fallos,
determinar el punto de funcionamiento de la máquina. En el caso
de máquinas alimentadas a frecuencia y tensión constante, se necesitaría
conocer el nivel de carga. Sin embargo, aunque la frecuencia de
alimentación es habitualmente conocida y muy estable, la magnitud
de la tensión de alimentación puede sufrir variaciones relativamente
importantes, que es necesario tener en cuenta. La dependencia de las
componentes espectrales indicativas del fallo con el punto de funcionamiento
de la máquina va a dificultar su localización, haciendo más
difícil la evaluación del estado de la máquina a partir de su magnitud.
- Los desequilibrios en la tensión de alimentación pueden afectar también
a la medida.
- A menudo, las componentes espectrales relevantes se obtienen ad-hoc.
No se parte del modelo electromagnético de la máquina que incorpore
la causa del fallo, sino que se intenta localizar aquellas componentes
que han sido observadas con anterioridad en máquinas con fallos.
Otra aproximación al diagnóstico utilizando las corrientes de estátor se basa
en la monitorización de la corriente de secuencia negativa. El vector de
corriente formado por las tres corrientes de fase contiene información acerca

6.2 Diagnóstico de máquinas de alterna utilizando variables eléctricas 153
del estado de la máquina. Si la máquina se encuentra equilibrada, dicho
vector sigue una trayectoria esencialmente circular, girando en el sentido de
la excitación fundamental, y a una frecuencia igual a esta. En el caso de
que exista algún desequilibrio, la trayectoria deja de ser circular, lo que en
un análisis espectral se manifiesta en forma de componentes que rotarán
en el sentido contrario a la excitación fundamental. La magnitud de dichas
componentes será proporcional al grado de asimetría, y, por lo tanto, a la
severidad del fallo. Los mayores inconvenientes de esta técnica se resumen
en:
- La necesidad de utilizar un sensor de corriente por cada fase.
- Los potenciales desequilibrios introducidos por un sistema de alimentación
no equilibrado provocan componentes espurias de secuencia negativa.
La contribución de este desequilibrio a la magnitud final de la
corriente de secuencia negativa es difícil de evaluar, y, por tanto, de
desacoplar. Para ello se utiliza un paso previo, en el cual se capturan
las señales con el motor sano. Es posible de esta forma comparar las
medidas actuales con el estado de referencia y detectar variaciones.
- Las componentes de secuencia negativa tienen una alta dependencia
del punto de funcionamiento de la máquina, específicamente del nivel
de carga del motor.
6.2.2. Diagnóstico de máquinas de alterna utilizando variables
derivadas
Una alternativa a las técnicas de diagnóstico basadas en el análisis de las
corrientes de estátor, es el uso de impedancias. La matriz de impedancias se
obtiene a partir de las relaciones entre las componentes de secuencia positiva
(secuencia directa), secuencia negativa (secuencia inversa) y secuencia cero
de las corrientes y de las tensiones de estátor. Tal y como se vio en los
capítulos 2 y 3, el análisis de las componentes de secuencia negativa asume
un sistema de excitación equilibrado, lo cual a menudo no es cierto en la
práctica. El uso de las impedancias subsana algunas de las deficiencias de
los métodos MCSA, en cuanto a que se basan en el modelo de la máquina,
compensando, al menos en parte, los efectos debidos a desequilibrios en la
alimentación.
6.2.3. Diagnóstico de máquinas de alterna utilizando componentes
de secuencia cero
Los métodos basados en las componentes de secuencia cero, presentados
como aportaciones de esta tesis, resuelven algunas de las limitaciones exhi-

154 Diagnóstico de motores de inducción sin excitación de alta frecuencia
bidas por aquellos basados en las componentes de secuencia negativa o en
el MCSA. El uso de las componentes de secuencia cero, presenta algunos
inconvenientes:
- Es necesario acceder a la caja de terminales del motor para realizar la
medida de estas componentes.
- El modelo teórico se basa en la máquina sin carga. Para el caso de
fallos en el rotor, el acoplamiento se debe precisamente a las corrientes
circulantes por el mismo. Aunque los resultados experimentales
obtenidos concuerdan con el modelo, la justificación teórica requiere
trabajo futuro.
sin embargo, se obtienen una serie de ventajas:
- La influencia de los desequilibrios en la alimentación es muy reducida.
- La medida del nivel de desequilibrio —fallo— en la máquina es muy
estable frente a variaciones en la carga de la máquina.
- Es posible medir las componentes de secuencia cero empleando un
único sensor.
6.3. Detección de fallos de aislamiento en el estátor
Los fallos en el aislamiento entre conductores del estátor, una vez iniciados,
se desarrollan en general de forma muy rápida. A causa de esto, si
no son detectados en una etapa incipiente, a menudo dan lugar a un daño
irreversible en el estátor y a la parada intempestiva de la máquina. La rápida
evolución de los fallos asociados al estátor es una característica que los
distingue de otros tipos de fallos, como son los fallos en el rotor. Los fallos
en el estátor son, además, uno de los más frecuente en los motores de
alterna [137].
En máquinas de media o alta tensión (por encima de los 4kV ), se han
empleado desde hace décadas los métodos basados en descargas parciales.
La aplicación de estas técnicas ha dado buen resultado para este tipo de
máquinas, existiendo procedimientos normalizados para su realización [?].
Las descargas parciales son pequeños arcos voltaicos, producidos debido a
una alta diferencia de potencial en el seno de un gas presente en el interior
de un sistema aislante. Dado que las vibraciones, el sobrecalentamiento y
la polución provocan la degradación del aislante y la aparición de bolsas de
aire entre las espiras del estátor, la medida de estas descargas proporciona
una evaluación cuantitativa de esta degradación.

6.3 Detección de fallos de aislamiento en el estátor 155
fase v
vuelta-vuelta
fase-fase
circucito abierto
fase u
fase w
fase-tierra
bobina-bobina
Figura 6.1: Tipos de fallos en el estátor.
La imposibilidad de extender el método de las descargas parciales a máquinas
de menor tensión nominal, dadas las condiciones que deben producirse
para causar descargas parciales medibles (diferencia de potencial mayor de
3kV/mm [151]), ha propiciado el desarrollo de diversas técnicas de diagnóstico
basadas en principios físicos independientes de la tensión nominal de la
máquina.
Los fallos de aislamiento en el estátor se pueden clasificar en:
Cortocircuito vuelta-vuelta. El motor puede continuar funcionando durante
un tiempo —que es necesario determinar—.
Cortocircuito bobina-bobina de la misma fase. El motor puede continuar
funcionado durante un tiempo —que es necesario determinar—.
Cortocircuito fase-fase. Se produce un fallo inmediato y, en caso de
haberlo, el equipo de protección desconecta la alimentación.
Cortocircuito fase-tierra. Se produce un fallo inmediato y, en caso de
haberlo, el equipo de protección desconecta la alimentación.
Circuito abierto en una fase. El motor puede continuar funcionando
dependiendo de la carga y, si existe, del equipo de protección.
En la figura 6.1 se muestran los tipos de fallos enumerados anteriormente
de manera esquemática.
6.3.1. Detección de fallos en el estátor utilizando MCSA
La metodología MCSA se basa en la búsqueda de componentes espectrales
en la corriente que contengan información acerca de los fallos en el
devanado del estátor [137]. Estos métodos pueden considerarse como una
alternativa a aquellos basados en las componentes de secuencia negativa.
Su principal ventaja es la sencillez, tanto en términos de implementación

156 Diagnóstico de motores de inducción sin excitación de alta frecuencia
—requieren un único sensor de corriente para efectuar la medida— como de
visualización de situaciones anómalas —se basan en la búsqueda de patrones
espectrales bien conocidos—. Por contra, y debido a esta sencillez, se
muestran como métodos poco deterministas, en los cuales la aparición de
componentes espectrales adicionales depende de características particulares
de cada motor y cuyos resultados son difíciles de interpretar, al tener en ocasiones
las frecuencias indicativas de los fallos múltiples orígenes —eléctricos,
mecánicos, transmitidos por otras máquinas. . . — Las componentes en frecuencia
en el espectro de la corriente de estátor, indicativas de fallos en el
estátor vienen dadas por (6.1)
f sw = f 1
( n
p (1 − s) ± k )
, donde (6.1)
f sw : componentes que contienen información del fallo.
f 1 : frecuencia de alimentación.
n : 1, 2, 3, · · · .
k : 1, 3, 5, · · · .
p : pares de polos.
s : deslizamiento.
De la expresión (6.1) se deduce que las componentes frecuenciales que
contienen información del fallo varían con el deslizamiento de la máquina y
con la frecuencia de alimentación. Pueden existir además un número indefinido
de componentes que contengan información del fallo.
Si bien las técnicas MCSA se han presentado hasta aquí como resultado
del análisis de variables escalares —una única corriente de fase— es posible
extender su aplicación para utilizarlas con variables vectoriales —vector
de corriente—. Las expresiones desarrolladas para el caso escalar continúan
siendo válidas al considerar variables vectoriales, si bien son necesarios algunos
matices. Al tratarse de vectores complejos, las frecuencias que contienen
información del fallo pueden ser tanto positivas como negativas. En la expresión
(6.1), los valores del cociente n p
y de la constante k adoptarán un
signo u otro dependiendo del signo de la componente.
6.3.2. Detección de fallos en el estátor utilizando componentes
de secuencia negativa
Para el análisis de fallos en el estátor, es útil descomponer el comportamiento
del motor en componentes de secuencia positiva (directa), negativa
(inversa) y cero. Esta descomposición se muestra de manera matricial en
(6.2).
⎡ ⎤ ⎡
⎤ ⎡ ⎤
V sp z pp z pn z p0 I sp
⎣V sn
⎦ = ⎣z np z nn z n0
⎦ ⎣I sn
⎦ , donde (6.2)
V s0 z 0p z 0n z 00 I s0

6.3 Detección de fallos de aislamiento en el estátor 157
X sp
X sn
X s0
: componente —tensión o corriente— de secuencia positiva.
: componente —tensión o corriente— de secuencia negativa.
: componente —tensión o corriente— de secuencia cero.
Estas expresiones se pueden derivar de la formulación en régimen permanente
en coordenadas qd0 estacionarias, incorporando asimetrías presentes
en el estátor. La ecuación (6.2) tiene en cuenta, además, la posible existencia
de desequilibrios en las tensiones de alimentación. Partiendo de un
sistema de tensiones trifásico no equilibrado en magnitud (el desfase entre
las tensiones se mantiene en 2π/3) se tiene
v a = V a cos(ω e t)
v b = V b cos(ω e t + 2π 3 )
v c = V c cos(ω e t + 4π 3 ),
tal que
V a ≠ V b ≠ V c
Aplicando la relación de Euler (6.4), y definiendo los fasores (6.5), se
llega a las componente de secuencia positiva (6.6a), negativa (6.6b) y cero
(6.6c) de la alimentación. La misma transformación se puede utilizar con
las corrientes, planteando las expresiones para la secuencia positiva (6.7a),
negativa (6.7b) y cero (6.7c).
V x cos(ω e t + φ) = V x
2
(
e j(ωet+φ) + e −j(ωet+φ)) (6.4)
Ṽ x = V x e jφ ,
Ṽ ∗
x = V x e −jφ (6.5)
Ṽ sp = 1 3
(Ṽas + aṼbs + a 2 Ṽ cs
)
Ṽ sn = 1 (Ṽas + a 2 Ṽ bs + aṼcs
3
Ṽ s0 = 1 )
(Ṽas +
3 Ṽbs + Ṽcs
vqds s = Ṽspe jωe + Ṽsne −jωe + Ṽs0
Ĩ sp = 1 3
(Ĩas + aĨbs + a 2 Ĩ cs
)
Ĩ sn = 1 (Ĩas + a 2 Ĩ bs + aĨcs
3
Ĩ s0 = 1 )
(Ĩas +
3 Ĩbs + Ĩcs
I s qds = Ĩspe jωe + Ĩsne −jωe + Ĩs0
)
)
(6.6a)
(6.6b)
(6.6c)
(6.6d)
(6.7a)
(6.7b)
(6.7c)
(6.7d)

158 Diagnóstico de motores de inducción sin excitación de alta frecuencia
El acoplamiento entre las diferentes componentes de las tensiones y las corrientes
se realizará a través de una matriz de impedancias. En el caso de un
motor sin ningún desequilibrio, no existirá acoplamiento entre las diferentes
componentes, y, consecuentemente, la matriz de impedancias será de la forma
(6.8), donde los términos fuera de la diagonal principal son todos nulos.
El término z 00 será también nulo en el caso de motores con el neutro aislado,
debido a que aunque desde la alimentación se inyecte tensión de secuencia
cero, no puede circular corriente de secuencia cero. Considerando las impedancias
por fase del motor desequilibradas a causa del fallo, la matriz de
impedancias mostrará los acoplamientos entre las diferentes componentes,
(6.9), donde los términos situados fuera de la diagonal principal representan
dichos acoplamientos.
⎡
⎤
z pp 0 0
Z = ⎣ 0 z nn 0 ⎦ (6.8)
0 0 z 00
⎡
⎤
z pp z pn z p0
Z = ⎣z np z nn z n0
⎦ (6.9)
z 0p z 0n z 00
Analizando las relaciones obtenidas detenidamente se pueden extraer las
siguientes conclusiones:
- Los desequilibrios en la alimentación provocan componentes de secuencia
negativa en la corriente, a través de la impedancia de secuencia
negativa, aunque no existan fallos en la máquina.
- Del anterior punto se desprende que ni la corriente de secuencia negativa
—I sn — ni la impedancia de secuencia negativa —Z nn — son
elementos válidos para la detección de fallos, sin usar ningún método
de desacoplo.
- Los fallos inducen acoplamientos entre las diferentes componentes. Por
lo tanto, la información relativa a los fallos estará en los términos de
la matriz de impedancias situados fuera de la diagonal principal.
Existen diferentes enfoques para la detección de fallos en el estátor, todos
ellos basados en la medida del desequilibrio provocado por el fallo en
la máquina. Utilizando la expresión (6.2) se pueden seleccionar distintos
estimadores. En los siguientes apartados se realiza un análisis de todos ellos.

6.3 Detección de fallos de aislamiento en el estátor 159
Corriente de secuencia negativa
Propuesta inicialmente por Kohler y otros en [144], la corriente de secuencia
negativa —I sn — es el método más sencillo para la detección de fallos
en el estátor. Dado que un fallo producido por un cortocircuito en el estátor
produce una asimetría, se inducirá una componente de secuencia negativa, a
una frecuencia −w e , en la corriente de estátor. Uno de los principales inconvenientes
a la hora de utilizar esta variable, es su dependencia de diversos
factores no relacionados con el fallo. Analizando la expresión (6.2) se observa
que la corriente de secuencia negativa depende de: 1) desequilibrios en la
tensión y 2) asimetrías inherentes de la máquina. Además, y como el valor
de la impedancia de secuencia positiva depende del punto de funcionamiento
de la máquina, existe una dependencia de la carga. Todos estos factores
condicionan de forma importante el uso de la corriente de secuencia negativa
como única variable para la detección de fallos en el estátor.
En [142], Kliman y otros implementan un sistema de detección basado
en la corriente de secuencia negativa que corrige alguna de sus deficiencias.
Para ello, precisan de una primera etapa en la que se calcula el valor de la
corriente residual de secuencia negativa. Esta variable representa la corriente
negativa debida a asimetrías existentes en la máquina y en los sensores.
Variando la carga del motor sano, obtienen la corriente negativa en función
del deslizamiento. Posteriormente, durante el funcionamiento en línea, realizan
la corrección basándose en la expresión previamente calculada. Aunque
sus resultados son remarcablemente mejores que los obtenidos sin introducir
ningún mecanismo de compensación, no presentan resultados ante variaciones
en la tensión de alimentación, y el proceso de sintonizado es tedioso y
difícil de realizar, sobremanera una vez que el motor se encuentra instalado.
Impedancia efectiva de secuencia negativa
Se define la impedancia efectiva de secuencia negativa, para un motor
simétrico, como la relación (6.10)
z sneff = V sn
I sn
(6.10)
Esta variable, propuesta en [136] por Sottile y otros, palia en cierta medida
algunas de las deficiencias de la corriente de secuencia negativa. Es bastante
insensible al punto de funcionamiento del motor y muestra una sensibilidad
alta ante fallos incipientes. Sin embargo, al plantearse para un motor
simétrico, no tiene en cuenta el efecto en los términos cruzados en la matriz
de impedancias. Dado que los fallos en el estátor provocan precisamente un
cambio en estos valores, la información contenida en estos términos no es

160 Diagnóstico de motores de inducción sin excitación de alta frecuencia
utilizada. Incluso es mencionado por los autores que el cambio producido
en el valor de la impedancia de secuencia negativa en presencia de un fallo
puede presentar un comportamiento impredecible. Además, los efectos debidos
tanto a asimetrías inherentes —constructivas— del motor, como las
causadas por desequilibrios en los sensores y en la tensión de alimentación
no son desacoplados, transmitiéndose directamente al valor de la impedancia
efectiva de secuencia negativa.
Error de tensión
Este método, propuesto en [136] por Sottile y otros, se basa en la variación
introducida en las componentes de las tensiones en presencia de un
fallo. Se define el error de tensión de secuencia positiva —V spm — y el error de
tensión de secuencia negativa —V snm — en (6.11) y (6.12), respectivamente.
V spm = V sp − (z pp I sp + z pn I sn ) (6.11)
V snm = V sn − (z np I sp + z nn I sn ) (6.12)
En las expresiones anteriores, el subíndice m se refiere a missmatch 2 . El
método se basa en obtener, en un proceso previo, los valores de las impedancias
z pp , z pn , z np y z nn con el motor sano. Para ello, es necesario realizar
dos ensayos independientes para cada valor de velocidad del motor. Posteriormente,
durante el funcionamiento normal de la máquina, se monitorizan
las corrientes y las tensiones. Utilizando las expresiones (6.11) y (6.12), la
diferencia entre el valor de tensión medido y el obtenido a partir de las
impedancias y las corrientes, proporciona dos estimadores de fallo. Una característica
del estimador basado en el error de tensión, es el desacoplo de
los errores introducidos en la corriente de secuencia negativa debidos a desequilibrios
en el sistema de alimentación y a imperfecciones constructivas.
Dado que los desequilibrios afectarán en igual medida a las tensiones medidas
que a la tensión obtenida a partir del producto de las impedancias
por las corrientes medidas, el error es compensado automáticamente. Sin
embargo, no se menciona el efecto que tiene la carga del motor en la estimación.
Como la impedancia de secuencia positiva y los términos cruzados
en los que ésta aparece reflejada dependen del deslizamiento, variaciones en
la carga del motor provocarán un error en la estimación de la condición
—nivel de fallo— del motor. Otro de los inconvenientes del método, es la
necesidad de construir una tabla con los valores de las impedancias para
diferentes niveles de desequilibrios en la tensión. Se necesitan dos valores
diferentes de desequilibrio por cada valor de velocidad para determinar todos
los valores de la matriz de impedancias. Dado que en necesario medir la
tensión de secuencia positiva y la de secuencia negativa, los autores realizan
2 error.

6.3 Detección de fallos de aislamiento en el estátor 161
estas medidas aplicando la transformada rápida de Fourier y seleccionando
únicamente las componentes a la frecuencia fundamental. Por lo tanto, no
explota la información contenida en otras componentes del espectro.
Valor de la impedancia cruzada
Este método, propuesto en [145] por Rangarajan y otros, tiene las mismas
limitaciones que el error de tensión. Se basa en la medida del acoplamiento
entre los circuitos de secuencia positiva y negativa en presencia de un fallo.
Para ello, se monitoriza la variable z np , definiendo su estimador como (6.13)
∆z np = z np − z np0 , donde (6.13)
z np0
: valor del acoplamiento con el motor sano.
Como se ha visto en los puntos anteriores, todos los métodos basados en
alguna variable de secuencia negativa necesitan conocer el valor de dichas
variables cuando el motor está sano. Para caracterizar al motor sano existen
dos aproximaciones. La primera precisa el realizar una serie de medidas,
diferentes para cada método, con el motor sano y determinar los valores de
las variables utilizadas como estimador en estas condiciones. Estos valores
serán los utilizados posteriormente durante el funcionamiento en línea como
valor de referencia. Inconvenientes de esta aproximación son: 1) determinar
cuando un motor está sano —lo cual no es siempre obvio en el caso de
motores ya instalados—, 2) la necesidad de realizar una serie de medidas,
las cuales necesitan unas condiciones específicas de funcionamiento del motor
y 3) la dependencia de parámetros adicionales que pueden no ser tenidos en
cuenta, como es el caso de la carga para los métodos basados en el error de
tensión.
La segunda aproximación implementa un modelo del motor, de modo
que el número de experimentos previos a la puesta en marcha del sistema se
reduzca. El principal inconveniente de este tipo de métodos es la dependencia
paramétrica del modelo [141, 139].
En la figura 6.2 se muestra el valor de la impedancia cruzada, calculada
según la expresión (6.14).
z np = V sn2I sn1 − V sn1 I sn2
I sp2 I sn1 − I sp1 I sn2
(6.14)
donde los subíndices 1 y 2 determinan dos puntos diferentes de funcionamiento.
Se representa el valor de la impedancia para el motor funcionando
con 4 niveles de carga diferentes y para cada nivel de carga 4 condiciones
de fallo. Las condiciones de fallo se codifican mediante colores. Los dos puntos
de funcionamiento necesarios para el cálculo de (6.14) se codifican por

162 Diagnóstico de motores de inducción sin excitación de alta frecuencia
ws0
ws1
10
0
z spn (2, 1)
−10
−10 0 10
z spn (3, 1)
10
z spn (1, 2) z spn (1, 3) z spn (1, 4)
0
0
−2 024
−4
−5
−10
−10 0 10 −4 −2 0 2 −6−4−2 0 2
z spn (2, 3) z spn (2, 4)
5
0
−2 024
−4
−5
−4 −2 0 2 −6−4−2 0 2
z spn (3, 2) z spn (3, 4)
5
ws2
−2 024
−4
−4 −2 0 2
z spn (4, 1)
−2 024
−4
−4 −2 0 2
z spn (4, 2)
z spn (4, 3)
2
0
−2
−2 0 2
ws3
5
0
−5
−6−4−2 0 2
sc0
5
0
−5
−6−4−2 0 2
sc1
2
0
−2
−2 0 2
sc2
sc3
Figura 6.2: Valor de la impedancia cruzada calculada para diferentes niveles de
carga —desde vacío hasta deslizamiento nominal— y bajo diferentes condiciones
de fallo —0, 2, 4 y 6 espiras cortocircuitadas—. Los diferentes colores codifican las
condiciones de fallo —azul, magenta, amarillo y rojo—.
la posición de cada gráfico. La posición en las filas viene dada por el nivel
de carga, mientras que la columna está determinada por el nivel de fallo.
Por ejemplo, el gráfico en la posición (1, 3) es calculado utilizando el motor
descargado sin fallo y con 2 espiras cortocircuitadas. Es importante notar
la simetría respecto a la diagonal principal. Los elementos situados en la
diagonal no pueden ser representados, al estar asociados al mismo punto de
funcionamiento. La figura muestra como el valor de la impedancia cruzada
puede utilizarse como estimador de fallo, aunque para ello es necesario
realizar al menos dos medidas para cada nivel de carga.
6.3.3. Análisis utilizando componentes de secuencia cero
Como se mostró en el capítulo 2, los cortocircuitos entre espiras de
estátor provocan una saliencia estática en las inductancias de estátor. Dicha
asimetría puede ser detectada utilizando las componentes de secuencia
cero. Dependiendo del tipo de conexionado en bornas del motor, se usará la
tensión de secuencia cero (6.15) para máquinas conectadas en estrella y la

6.3 Detección de fallos de aislamiento en el estátor 163
corriente de secuencia cero (6.16) para máquinas conectadas en triángulo.
Estas expresiones, obtenidas en el capítulo 3 y repetidas aquí por comodidad,
están particularizadas para un orden de armónico h = 2. Es decir, se
considera que las asimetrías provocadas por un fallo en el estátor tienen el
mismo efecto en el polo norte que en el sur de cada fase.
v 0 = 1 3 (v an + v bn + v cn )
v 0 = V 0h cos(ω e t + hθ f ) − V 02h cos(ω e t − 2hθ f ) (6.15)
i 0 = 1 3 (i ab + i bc + i ca ) ó i 0 = i ab + i bc + i ca
i 0 = I 0h cos(ω e t + hθ f ) − I 02h cos(ω e t − 2hθ f ) (6.16)
Teniendo en cuenta que los fallos en el estátor se encuentran fijos en el
espacio, y por lo tanto θ f tiene un valor constante, se obtienen las expresiones
v 0 = V 0 cos(ω e t + φ f1 ) (6.17)
i 0 = I 0 cos(ω e t + φ f2 ) (6.18)
Según (6.17) y (6.18), la asimetría debida al fallo induce un armónico en la
variable monitorizada. En dichas expresiones, V 0 y φ f1 son función de V 0h ,
V 02h y θ f , mientras que I 0 es función de I 0h , I 02h y θ f . El valor en amplitud de
dichos armónicos dependerá del nivel de la asimetría y, en consecuencia, de la
severidad del fallo. Las simplificaciones asumidas con el modelo presentado
se resumen en los siguientes puntos:
- La máquina se encuentra descargada.
- Los valores de las resistencias son despreciables frente a los de las
inductancias.
- La asimetría se modela como una variación senoidal de la inductancia
por fase de estátor.
- No se modelan las corrientes inducidas en las espiras en las que se
produce el cortocircuito. Este punto constituye una diferencia fundamental
con otras alternativas propuestas por otros autores [140, 141].
Para constatar la viabilidad de emplear las componentes de secuencia cero
como mecanismo de detección, es interesante determinar la magnitud de dichas
componentes en máquinas sanas. Si esta magnitud es apreciable, es necesario
desacoplar su efecto para que no afecten al resultado del diagnóstico.
Entre las causas potenciales de componentes de secuencia cero en máquinas

164 Diagnóstico de motores de inducción sin excitación de alta frecuencia
sanas, están las asimetrías existentes en el devanado de la máquina, las debidas
a la saturación y las provocadas por el ranurado. Las asimetrías en
los devanados de la máquina se pueden modelar mediante (6.19), para el
caso de conexión en estrella y utilizando (6.20), para el caso de conexión en
triángulo.
v 0 = V 0h cos(ω e t + θ f1 ) − V 02h cos(ω e t + θ f2 ) (6.19)
i 0 = I 0h cos(ω e t + θ f1 ) − I 02h cos(ω e t + θ f2 ) (6.20)
Comparando las expresiones (6.19) y (6.20), debidas a las asimetrías en los
devanados, con (6.15) y (6.16), provocadas por el fallo, se observa que la frecuencia
de las dos componentes en ambos casos es la misma, diferenciándose
únicamente en la fase. Por lo tanto, la presencia de desequilibrios en los devanados
es un factor potencial de errores en la estimación del nivel de fallo.
Sin embargo, es de esperar que la magnitud de dicha componente sea menor
para el caso de la máquina sana que en presencia de un cortocircuito.
La saturación de la máquina va a dar lugar a asimetrías que giran a velocidades
múltiplos de la de excitación (Ver sección 2.2.1). Las componentes
de secuencia cero inducidas por las saliencias de saturación se muestran en
(6.21) y (6.22) para los casos de conexión en estrella y conexión en triángulo
respectivamente.
v 0 = V 0h cos(3ω e t + θ f1 ) − V 02h cos(3ω e t + θ f2 ) (6.21)
i 0 = I 0h cos(3ω e t + θ f1 ) − I 02h cos(3ω e t + θ f2 ) (6.22)
A diferencia de las saliencias debidas a asimetrías en los devanados de
estátor, las saliencias inducidas por saturación tienen una magnitud elevada.
Estas componentes, como se verá al analizar los fallos en el rotor, se
encuentran espectralmente cercanas a las componentes que contienen información
en el caso de barras dañadas o rotas y, por lo tanto, tendrán mayor
influencia en el diagnóstico de este tipo de fallos.
Las componentes introducidas por el ranurado de la máquina, debidas
a la interacción entre las ranuras de estátor y rotor, introducen contenido
armónico adicional en la señal analizada. Su presencia depende sobre todo
del número de ranuras de estátor, del número de barras de rotor, y del
número de polos (Ver apartado 2.2.2). Las componentes inducidas por este
tipo de saliencias giran a una velocidad proporcional al producto de la velocidad
del rotor por el número de ranuras de rotor. Teniendo en cuenta que
el número de ranuras es relativamente elevado, en régimen permanente va
a existir una separación espectral suficiente con las componentes que contienen
la información relacionada con el fallo, evitando que supongan una
perturbación relevante.

6.3 Detección de fallos de aislamiento en el estátor 165
Las componentes de secuencia cero inducidas en el motor como consecuencia
del fallo, no se ven afectadas por componentes de secuencia cero
inyectadas por la alimentación [149]. Esto se puede demostrar de manera
sencilla utilizando la definición de la tensión de secuencia cero (6.15). Utilizando
las relaciones (6.23)
v as = v an + v ns
v bs = v bn + v ns
v cs = v cn + v ns
(6.23a)
(6.23b)
(6.23c)
donde
v xs
: tensión de fase aplicada al motor respecto al neutro de la alimentación,
y sustituyendo en la expresión de la tensión de secuencia cero se obtiene
(6.24). Como los desequilibrios en la alimentación se reflejan en la tensión
v ns , la compensación se realiza de manera implícita.
v 0 = 1 3 (v as + v bs + v cs ) − v ns (6.24)
Las componentes de secuencia cero indicativas de fallo, van a verse también
afectadas por cambios en la tensión de alimentación al motor. Si esta
variación afecta por igual a las tres fases, no se registrarán variaciones en
la tensión v ns . Sin embargo, la magnitud de las componentes que contienen
información del fallo variará, propiciando errores en la estimación. Para
compensar este efecto es suficiente con normalizar las tensiones de secuencia
cero respecto a la tensión de alimentación [128].
6.3.4. Validación experimental: Fallos en el estátor
Para verificar el análisis teórico, se ha dispuesto de una máquina especialmente
modificada para realizar cortocircuitos entre vueltas adyacentes. En
la figura 6.3 se representa un esquema de la misma. Para realizar las medidas
se han utilizado los mismos esquemas empleados en el control sensorless,
descritos en el capítulo 4. Más concretamente, la medida de la tensión de
secuencia cero se ha realizado mediante la red equilibrada de resistencias
conectada en paralelo con el motor, mientras que la corriente de secuencia
cero se ha medido utilizando un único sensor.
En esta sección se muestran los resultados obtenidos utilizando la tensión
de secuencia cero. En el caso de que la máquina estuviese conectada
en triángulo, la corriente de secuencia cero proporcionaría resultados muy
similares [128]. Los datos referentes al motor utilizado se muestran en la
tabla A.3 del apéndice A.

166 Diagnóstico de motores de inducción sin excitación de alta frecuencia
15 − 21 16 − 22
fase b
3 − 9 4 − 10
2 − 8 1 − 7 fase a
5 − 11
6 − 12
14 − 20
fase c
17 − 23 18 − 24
13 − 19
Figura 6.3: Esquema de la máquina modificada para provocar cortocircuitos en el
estátor.
15
PSfrag replacements
(V)
0
−15
0 50 100
tiempo (ms)
Figura 6.4: Tensión de secuencia cero de una máquina sana. Plena carga, 400V
(rms), 50Hz.
En la figura 6.4 se muestra la tensión de secuencia cero de una máquina
conectada a la red. Los espectros en frecuencia de la tensión de secuencia
cero, para el caso de una máquina sana y otra con 4 espiras cortocircuitadas
se representa en la figura 6.5. Como se había indicado en el desarrollo teórico,
el fallo induce un aumento en la magnitud de la componente situada a la
frecuencia de la excitación, en este caso 50Hz.
En los puntos anteriores se ha comentado que una de las claves a la hora
de implementar un sistema de diagnóstico en línea es obtener una estimación
del estado de la máquina, independiente de las condiciones de trabajo. En
la figura 6.6 se representan los resultados para el caso de una máquina
sana, con 2 y 4 espiras cortocircuitadas, en función del deslizamiento. Se
observa la escasa variación en la magnitud de la componente que contiene
la información del fallo —50Hz.— respecto al deslizamiento.
La técnica es igualmente válida para aquellas máquinas alimentadas desde
un inversor. La medida de la tensión de secuencia cero se realiza de la
misma manera que en el control sensorless, utilizando un sensor de efecto
Hall para medir la tensión entre el punto medio de la red de resistencias y
el neutro del motor. La figura 6.7 muestra la magnitud de la componente de
la tensión de secuencia cero situada a la frecuencia fundamental en función

6.4 Detección de barras de rotor dañadas 167
PSfrag replacements
PSfrag replacements
8
8
(V)
4
(V)
4
0
0 50 100 150
frecuencia (Hz)
0
0 50 100 150
frecuencia (Hz)
(a) Máquina sana.
(b) Máquina con 4 espiras cortocircuitadas.
Figura 6.5: Comparación de la tensión de secuencia cero para una máquina sana y
otra con 4 espiras cortocircuitadas. La máquina se encuentra a plena carga, 400V
(rms), 50Hz.
PSfrag replacements
2
(V)
1
deslizamiento nominal
0
0 1 2 3
frecuencia deslizamiento (Hz)
Figura 6.6: Magnitud de la componente de 50Hz de la tensión de secuencia cero
para los casos de una máquina sana(□), 2(◦) y 4(△) espiras cortocircuitadas. El
motor está alimentado a 400V (rms), 50Hz.
de la frecuencia de alimentación. De nuevo, la técnica permite distinguir los
casos de máquina sana y cortocircuitada. Se observa una variación lineal
proporcional a la frecuencia de alimentación. Este comportamiento se debe
a la variación en la magnitud de la tensión de alimentación, proporcional a
la frecuencia.
6.4. Detección de barras de rotor dañadas
Los fallos asociados al agrietamiento o rotura de barras del rotor se desarrollan,
en general, de manera lenta, por lo que no van a provocar una
parada inmediata del motor. Sin embargo, si no son detectados y corregidos
a tiempo, pueden dar lugar daños adicionales en otros puntos de la máquina.

168 Diagnóstico de motores de inducción sin excitación de alta frecuencia
PSfrag replacements
4
(V)
2
0
10 20 30 40 50
ω e (Hz)
Figura 6.7: Magnitud de la componente fundamental —ω e — de la tensión de secuencia
cero para los casos de máquina sana(□) y 4 espiras cortocircuitadas(△). El
motor se encuentra trabajando con flujo y carga nominal.
Los elementos rotos, al desprenderse a gran velocidad, pueden golpear contra
las cabezas de bobina, dañando el aislamiento y propiciando la aparición
de cortocircuitos. La rotura de barras del rotor puede deberse a múltiples
causas: 1) esfuerzos mecánicos y térmicos en el arranque, 2) cargas mecánicas
variables o pulsantes durante el ciclo normal de funcionamiento y 3)
imperfecciones en el proceso de fabricación de la jaula del rotor [137].
6.4.1. Detección de barras rotas con metodología MCSA
El análisis teórico para establecer un mecanismo de detección basado en
MCSA, se basa en el efecto que una asimetría provoca en el campo magnético
creado por la corriente fundamental de rotor. Para desarrollar las expresiones
utilizadas en esta metodología se define la siguiente nomenclatura:
s
f 1
f 2 = sf 1
: deslizamiento (p.u.)
: frecuencia de alimentación (Hz.)
: frecuencia de las corrientes en el rotor (Hz.)
Las corrientes inducidas en el rotor crean un campo magnético giratorio
que gira a una velocidad f 2 respecto al rotor. Cuando el rotor es simétrico,
sólo va a existir este campo magnético, girando en su mismo sentido. Si el
rotor presenta alguna asimetría que afecte a las corrientes que circulan por
él, se crean dos campos. El primero de ellos girará en el sentido del rotor, a
la velocidad de deslizamiento. El segundo, debido a la asimetría, girará en
sentido contrario. El efecto en el bobinado del estátor, es la inducción de
una componente adicional en la corriente, con la frecuencia indicada por
(6.25). Esta componente provoca pulsaciones en el par de la máquina a una
frecuencia 2sf 1 y, con ello, oscilaciones en su velocidad de rotación. Esta
oscilación en la velocidad puede afectar a la magnitud de la componente
f 1 (1−2s) de la corriente. Sin embargo, se induce una componente adicional,

6.4 Detección de barras de rotor dañadas 169
(6.26), debida a las oscilaciones introducidas en el rotor que, además, es
aumentada por el tercer armónico del flujo [137].
f inf
brb = f 1(1 − 2s) (6.25)
f sup
brb = f 1(1 + 2s) (6.26)
La expresión final de las componentes adicionales introducidas en el espectro
de corriente del estátor es la mostrada en (6.27). Esta expresión
determina las frecuencias conocidas como bandas laterales, representativas
de los fallos en el rotor. Como se desprende de la expresión obtenida, para
determinar las frecuencias de las bandas laterales es necesario determinar
la frecuencia de la excitación fundamental y velocidad del motor (o en su
caso el deslizamiento). Además de localizar las frecuencias características
indicativas de fallo, es deseable que la interpretación del espectro informe
de la severidad del fallo. Otro atributo deseable es la capacidad para distinguir
un fallo debido a la rotura de barras de rotor, de otros tipos de fallos
que también dan lugar a bandas laterales, como fallos en los rodamientos,
excentricidad en el entrehierro o asimetrías mecánicas en la carga o en el
acoplamiento motor-carga, como pueden ser engranajes.
f brb = f 1 (1 ± 2s) (6.27)
El procedimiento más habitual en las técnicas MCSA es medir una corriente
de fase, procesado de la señal utilizando la FFT y visualización del espectro
resultante. La magnitud de las bandas laterales a frecuencias dependientes
del deslizamiento se considera directamente relacionada con la severidad del
fallo. El análisis de la magnitud en las bandas laterales se ve en ocasiones
dificultado por la proximidad de bandas adicionales provocadas por otros
tipos de fallos. Este problema es especialmente importante en el caso de
existir acoplamientos reductores conectados al eje del motor. En este caso,
las componentes espectrales inyectadas por las frecuencias características de
los engranajes pueden coincidir con las inducidas por fallos en el rotor [137].
6.4.2. Extensión de MCSA a variables complejas
Como ya se ha comentado para el caso de detección de fallos en el estátor,
es posible generalizar los métodos MCSA para trabajar con el vector de corriente
de estátor, en lugar de con una única corriente de fase. La metodología
a utilizar con variables complejas es similar a la utilizada con variables
reales. Para realizar esta generalización, es necesario corregir las expresiones
que proporcionan los armónicos del espectro de corriente, teniendo en cuenta
que las variables complejas van a incluir tanto frecuencias positivas como

170 Diagnóstico de motores de inducción sin excitación de alta frecuencia
negativas. La expresión (6.27) se mantiene en su forma, pero se consideran
bandas laterales adicionales y se establecen restricciones en el valor de las
constantes que intervienen en la expresión. La ecuación se muestra en (6.28)
(
f brb = f 1 k 1 − s )
− s
(6.28)
p
donde
p : número de pares de polos.
k
p
: 1, −5, 7, −11, 13 . . .
En cuanto a las técnicas de procesado de la señal, la herramienta fundamental
continua siendo la FFT.
6.4.3. Detección de barras rotas mediante componentes de
secuencia cero
En el capítulo 2, se determinó el modelo para el caso de rotura de barras
en motores de inducción. Una barra rota provoca una asimetría que gira a
la velocidad del rotor. En el caso de que esta asimetría se acople con alguna
variable eléctrica del estátor, puede ser considerada como una variación en
las impedancias de estátor. Dependiendo del tipo de conexión, se obtendrán
componentes adicionales en la tensión de secuencia cero, para el caso de
conexión en estrella y componentes en la corriente de secuencia cero, para
el caso de conexión en triángulo.
Considerando que el efecto provocado por barras de rotor dañadas es
simétrico en el polo norte y el polo sur de cada fase, la asimetría tiene un
periodo de 180 ◦ eléctricos. Este periodo corresponde a un orden de armónico
h = 2 en la matriz de inductancias. Particularizando por tanto para este
valor, se obtienen las expresiones (6.29) y (6.30) para la tensión de secuencia
cero y la corriente de secuencia cero respectivamente.
v 0 = V 0h cos((ω e + 2ω r )t) − V 02h cos((ω e − 4ω r )t) (6.29)
i 0 = I 0h cos((ω e + 2ω r )t) − I 02h cos((ω e − 4ω r )t) (6.30)
Como se indicó en el caso de detección de fallos en el estátor utilizando
componentes de secuencia cero, la saliencias inducidas por saturación introducen
una componente en las variables de secuencia cero a una frecuencia
de 3ω e . Por lo tanto, si el motor se encuentra descargado, tenemos que las
componentes inducidas por el fallo se sitúan a las frecuencias (6.31)
cos((ω e + 2ω r )t) ≃ cos(3ω e t)
cos((ω e − 4ω r )t) ≃ cos(−3ω e t) = cos(3ω e t) (6.31)

6.5 Diagnóstico de máquinas de alterna mediante redes neuronales 171
Es decir, la frecuencia debida al fallo coincide con la inducida por la saliencia
por saturación. En estas condiciones, la detección de fallos en el rotor no es
posible. Sin embargo, esto no se considera una restricción significante, ya que
los daños en el rotor suelen progresar de una manera lenta y las máquinas no
se encuentran trabajando sin carga durante periodos prolongados de tiempo.
6.4.4. Validación experimental: Fallos en el rotor
Para verificar que el método propuesto es capaz de detectar barras dañadas,
se ha dispuesto de un motor cuyo rotor se ha modificado taladrando el anillo
de cierre, tal y como se muestra en la figura 2.8 del capítulo 2. Los experimentos
mostrados en esta sección se han realizado utilizando la tensión de
secuencia cero. Para el caso de máquinas conectadas en triángulo, los resultados
obtenidos utilizando la corriente de secuencia cero son completamente
análogos [128].
En la figura 6.8 se muestra el espectro de la tensión de secuencia cero para
un motor conectado a red con una barra rota. Se superpone, aumentada, la
zona donde se registran las componentes inducidas por el fallo. En el caso
representado, la máquina se encuentra trabajando a plena carga, siendo
ω e = 50Hz y ω r = 47Hz. Para este caso, y según determinan las expresiones
(6.29) y (6.30), las frecuencias del fallo se encuentran a 144 y 138 Hz.
La figura 6.9 muestra la magnitud de las componentes ω e +2ω r y ω e −4ω r
en función del deslizamiento. En la figura no se han representado los valores
correspondientes a deslizamiento 0, dado que, para este valor, se encuentran
a 150Hz, coincidiendo con el armónico inducido por saturación.
Al igual que para el caso de detección de fallos en el estátor, el método
es válido para máquinas alimentadas desde inversor. En la figura 6.10
se representan las componentes ω e + 2ω r y ω e − 4ω r en función de la frecuencia
fundamental. La variación de la magnitud de ambas componentes es
prácticamente proporcional con la variación de la frecuencia. Para frecuencias
bajas, la reducida magnitud de ambos armónicos, y el hecho de que
todas las componentes que contienen información acerca de los fallos —ya
sean en el rotor o en el estátor— convergen a la misma frecuencia, hacen
inviable la detección de cualquier tipo de fallo en estas condiciones.
6.5. Diagnóstico de máquinas de alterna conectadas
a red mediante redes neuronales
Las variables eléctricas que intervienen en el diagnóstico de máquinas de
alterna —vector de tensión, vector de corriente— suelen expresarse en un
sistema de coordenadas qd0, generalmente en forma compleja. Esta forma

PSfrag replacements
172 Diagnóstico de motores de inducción sin excitación de alta frecuencia
(V)
10
5
4
2
0
130 140 150 160
0
0 50 100 150 200
frecuencia (Hz)
Figura 6.8: Espectro de la tensión de secuencia cero para el caso de una máquina
con 4 espiras cortocircuitadas y una barra rota. El motor está a plena carga y
alimentado desde la red, 400V (rms), 50Hz.
PSfrag replacements
2
(V)
1
0
deslizamiento nominal
0 1 2 3
frecuencia deslizamiento (Hz)
Figura 6.9: Magnitud de las componentes ω e + 2ω r (□) y ω e − 4ω r (◦) en función del
deslizamiento. El motor está alimentado a 400V (rms), 50Hz.
de representación tiene grandes ventajas en cuanto a comodidad de manejo
y procesamiento [169]. Con el objetivo de plantear un método de diagnóstico
basado en redes neuronales, que sea capaz de trabajar directamente con estas
expresiones complejas sin necesidad de descomponer cada variable en sus
componentes reales, se propone el uso de las redes neuronales feed-forward
extendidas al campo complejo.
La ampliación al campo de los complejos, realizada de manera independiente
por diferentes autores a comienzos de los 90 [164], presenta algunos
problemas matemáticos y un comportamiento dependiente del tipo de datos
de entrada con el que se trabaja. Sin embargo, introduce algunas ventajas,
como pueden ser la aproximación de funciones complejas de una manera más
precisa que la obtenida empleando redes de variable real, captura automática
de características propias de los complejos, como la rotación, simplificación
en la topología de la red y un mantenimiento de la naturaleza compleja del
proceso.
6.5.1. Back-Propagation complejo
En procesos de naturaleza compleja como el que aquí se trata, la aproximación
del modelo mediante redes de parámetros reales puede conllevar

6.5 Diagnóstico de máquinas de alterna mediante redes neuronales 173
PSfrag replacements
2
(V)
1
0
10 20 30 40 50
ω e (Hz)
Figura 6.10: Magnitud de las componentes ω e + 2ω r (□) y ω e − 4ω r (◦) en función
de la frecuencia fundamental. Motor a plena carga y flujo nominal.
una serie de problemas. Aunque el modelo se puede separar en su parte real
e imaginaria, la relación subyacente entre las dos componentes se pierde en
esta disgregación. 3 Por este motivo, la extensión al campo complejo puede
introducir grandes mejoras en el proceso de entrenamiento.
El algoritmo back-propagation complejo fue propuesto por Kim y Guest
[16], Nitta y Furuya [23,21,22], Benvenuto y Piazza [13] y Georgiou y Koutsogeras
[15] de manera independiente. Este algoritmo puede ser aplicado a
redes multicapa cuyas entradas, salidas, pesos y funciones de activación son
todos valores complejos.
La extensión al campo complejo requiere tener en cuenta ciertas restricciones
en las funciones definidas en este campo. En particular, la no
existencia de funciones de activación no lineales que sean analíticas y acotadas
al mismo tiempo para todo punto del plano complejo. Esta afirmación
se desprende del teorema de Liouville
Teorema 1 Una función acotada y analítica para todo punto de C, debe de
ser una constante en C.
3 Sirva de ejemplo las diferentes expresiones del operador derivada en ambos campos.
En el campo complejo, la expresión de la derivada del error respecto a los pesos es:
∂E
= ∂E „ «
∂un ∂x n
+ ∂un ∂y n
+ ∂E „ «
∂vn ∂x n
+ ∂vn ∂y n
∂Wnk
R ∂u n ∂x n ∂Wnk
R ∂y n ∂Wnk
R ∂v n ∂x n ∂Wnk
R ∂y n ∂Wnk
R
∂E
= ∂E „ «
∂un ∂x n
+ ∂un ∂y n
+ ∂E „ «
∂vn ∂x n
+ ∂vn ∂y n
∂u n ∂x n ∂y n
∂v n ∂x n ∂y n
∂W I nk
∂W I nk
∂W I nk
mientras que para el caso de una estructura real se obtiene
∂E
∂W R nk
∂E
∂W I nk
= ∂E
∂u n
= ∂E
∂v n
∂x n
∂W R nk
∂y n
∂W I nk
, desapareciendo la relación cruzada entre variables.
∂W I nk
∂W I nk

174 Diagnóstico de motores de inducción sin excitación de alta frecuencia
Dado que las funciones de activación no pueden ser constantes, es necesario
sortear este inconveniente. La manera de abordar el compromiso entre derivabilidad,
asegurando la convergencia con probabilidad 1, y manteniendo
los valores acotados; es definir una serie de funciones que sean derivables en
todo C y no acotadas sólo en un subconjunto finito de puntos.
En [17], se propone una relajación de las condiciones que debe de cumplir
una función de activación, estableciéndose que:
Teorema 2 En un dominio acotado del plano complejo C, una función de
activación compleja, f(z) debe de ser analítica y acotada.
Tras realizar esta simplificación, y siguiendo el desarrollo de [17], se obtiene
la expresión del algoritmo Back-Propagation en su variante compleja según
(6.32)
∆ω p k = γXp kF ′ (s p k )δp k
(6.32)
donde
∆ω p k
: variación del peso de la neurona k ante la entrada x p .
γ : coeficiente de aprendizaje (complejo o real).
X p k : conjugada de la derivada de la entrada x p respecto al peso de
la neurona k.
F ′ (s p k ) : conjugada de la derivada de la función de activación de la neurona
k ante la entrada x p .
δ p k
: derivada negativa del error respecto a la entrada x p . En el caso
de back-propagation real agruparía el término del caso complejo
y la derivada de la función de activación.
La expresión (6.32) es una conjugada compleja de la obtenida para el
caso real (5.6), manteniendo de esta manera la simplicidad.
En las figuras 6.11 y 6.12 se representan dos funciones de activación
que cumplen el teorema 2. Se representan la magnitud y la fase de ambas
funciones.
6.5.2. Aplicación al diagnóstico de máquinas de alterna
Para la implementación del diagnóstico se emplea un esquema similar
al descrito en [160, 159]. Tal y como se propone en los trabajos citados,
las variables seleccionadas son los vectores de tensión de secuencia positiva
—v p qds —, tensión de secuencia negativa —vn qds
— y corriente de secuencia
positiva —i p qds
—, todos ellos referidos a un sistema de ejes estacionario.
Durante el periodo de entrenamiento se suministra a la red la corriente
de secuencia negativa —i n qds
— debida a las diferentes asimetrías presentes
en la máquina —sistema de alimentación, sensores, internas. . . — Durante

6.5 Diagnóstico de máquinas de alterna mediante redes neuronales 175
Módulo función de activación
Fase función de activación
1
4
0.9
3
0.8
2
0.7
1
0.6
0.5
0.4
0
−1
0.3
−2
0.2
−3
0.1
50
−4
50
40
50
40
30
40
30
20
30
20
20
10
10
10
0
Imaginaria 0
0
Imaginaria
0
Real
10
20
Real
30
40
50
Figura 6.11: Función de activación Hirose.
Módulo función de activación
Fase función de activación
3
4
2.5
3
2
2
1
1.5
0
1
−1
−2
0.5
−3
0
50
−4
50
40
50
40
30
40
30
20
30
20
20
10
10
10
0
Imaginaria 0
0
Imaginaria
0
Real
10
20
Real
30
40
50
Figura 6.12: Función de activación asinh.
el uso en linea, la red estimará una corriente de secuencia negativa debida a
la acción conjunta de todas las asimetrías. Sin embargo, cuando se produzca
un fallo, se producirá un error de estimación por ser ésta una condición bajo
la cual no se ha entrenado la red. Este error de estimación será proporcional
a la severidad del fallo. En la figura 6.13 se muestra esquemáticamente el
método utilizado.
A diferencia de esquemas ya propuestos anteriormente, el error de estimación
no se introduce a ningún clasificador —SOM —, sino que, mediante
el análisis de la estructura del error, se separan los diferentes orígenes de la
corriente de secuencia negativa. De esta manera se evitan los cálculos adicionales
que se proponen en [160]. Esta metodología se ha estudiado empleando
tanto redes de variable real como de variable compleja, utilizando además,
en el primero de los casos, diferentes algoritmos de entrenamiento.
El error de estimación representado se ha calculado según la expresión
(6.33). Este error puede admitir una normalización, obteniendo una expresión
independiente de la corriente nominal de la máquina (6.34). El paráme-

176 Diagnóstico de motores de inducción sin excitación de alta frecuencia
i n qdsm
v p qds
v n qds
i n qdse
-
+
i p qds
residuo
Figura 6.13: Esquema propuesto para el análisis mediante red neuronal. La salida de
la red, i n qdse , estimada en condiciones de fallo, menos la salida real, in qdsm
, da información
de la severidad del fallo actual. Este comportamiento se consigue realizando
el entrenamiento de la red sólo con características extraídas bajo funcionamiento
normal.
tro N se refiere al número de muestras, e I n a la corriente nominal del
motor.
La red compleja está formada por 3 neuronas en la capa de entrada, 5 en
la capa oculta y 1 de salida. La función de activación compleja en las neuronas
de la capa oculta es asinh, representada en 6.12. Los residuos en el plano
complejo se muestran en la figura 6.14. La forma de los residuos es claramente
diferente para los casos presentados, aumentando su valor en función
del nivel de asimetría. El resultado de la estimación, utilizando (6.33), para
2, 4 y 6 espiras cortocircuitadas se muestra en 6.15. El análisis del residuo
puede contener información valiosa acerca de la condición de fallo. Una posibilidad,
apuntada como línea futura, consiste en analizar el espectro del
mismo. De esta manera es posible distinguir diferentes condiciones de fallo,
ya sean del motor o del sistema de alimentación.
E est =
√ (
Re[i n qdse ] − Re[in qdsm ] ) 2
+
(
Im[i n qdse ] − Im[in qdsm ] ) 2
(6.33)
donde
i n qds e
i n qds m
E est =
√ (
Re[i n qdse ] − Re[in qdsm ] ) 2
+
(
Im[i n qdse ] − Im[in qdsm ] ) 2
: corriente estimada de secuencia negativa.
: corriente medida de secuencia negativa.
NI n
(6.34)
6.6. Conclusiones
En este capítulo se ha presentado el diagnóstico de motores de inducción
sin excitación de alta frecuencia. El capítulo se centra en los métodos de

PSfrag replacements
6.6 Conclusiones 177
sc0, ws3
sc2, ws3
0.05
0.05
0
0
−0.05
−0.05
−0.05 0 0.05
sc4, ws3
−0.05 0 0.05 0.1
sc6, ws3
0.05
0.05
0
0
−0.05
−0.05
−0.05 0 0.05 0.1
−0.05 0 0.05 0.1
Figura 6.14: Estimación obtenida mediante la red compleja con función de activación
asinh. Se muestra la estimación ante situación normal y fallos de 2, 4 y 6 espiras
en primer plano, mientras que en segundo plano se ve el residuo.
diagnóstico on-line empleando sólo variables eléctricas terminales. Dentro
de estos, se han estudiado métodos basados en la monitorización de las
corrientes de fase, corriente de secuencia negativa, matriz de impedancias,
tensión de secuencia cero y corriente de secuencia cero.
Los métodos basados en la monitorización de una o más corrientes de
fase, denominados MCSA, utilizan la huella característica de cada tipo de
fallo en el espectro de corriente. Las ventajas que presentan son: 1) sencillez
de implementación al necesitar sólo un sensor, 2) facilidad de visualización de
situaciones anómalas. Por el contrario, presentan una serie de inconvenientes:
1) son poco deterministas, siendo las componentes en el espectro específicas
para cada motor y 2) presentan dificultad de interpretación de los datos
debido a los múltiples orígenes de las componentes espectrales rastreadas.
Los métodos basados en la corriente de secuencia negativa necesitan de
un mínimo de dos sensores —en el caso de máquinas con el neutro aislado—
para su medida. Se basan en el rastreo de la componente situada a −ω e ,
la cual es inducida por las asimetrías de la máquina. Aunque se trata de
un método sencillo, tiene grandes problemas debido a las múltiples causas
que provocan la componente de secuencia negativa (asimetrías en el sistema
de alimentación, asimetrías inherentes a la máquina. . . ). Aunque se han
investigado modificaciones para hacer más robusta la estimación [142], su
implementación es costosa, más aun cuando la máquina está instalada.

PSfrag replacements
0
0.2
0.4
178 Diagnóstico 0.6 de motores de inducción sin excitación de alta frecuencia
0.8
1
Error absoluto
65
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
60
55
50
45
0 2 4 6
espiras cortocircuitadas
Figura 6.15: Error de estimación de la red compleja con función de activación asinh
ante situación normal y fallos de 2, 4 y 6 espiras. El motor se encuentra en todos
los casos girando en vacío con deslizamiento nominal.
Para corregir los defectos de la corriente de secuencia negativa, se han
desarrollado diferentes métodos para la monitorización de variables obtenidas
a partir de la matriz de impedancias [136, 145]. Todas las técnicas
desarrolladas presentan inconvenientes, como la dependencia del punto de
funcionamiento del motor, errores en la estimación provocados por desequilibrios
en la alimentación, proceso de sintonizado tedioso y dependencia
paramétrica del modelo del motor.
El uso de las variables de secuencia cero (tensión de secuencia cero y
corriente de secuencia cero) permite subsanar algunas de las limitaciones
de los métodos anteriores. Ambos métodos necesitan un único sensor para
realizar la medida, si bien precisan acceso a la caja de terminales del motor.
Basándose en el modelo de asimetrías presentado en el capítulo 2, se han
mostrado las expresiones que identifican las componentes inducidas tanto
por fallos en el estátor como por la rotura o agrietamiento de barras de
rotor. El método propuesto se muestra altamente estable frente a variaciones
en: 1) punto de funcionamiento del motor, 2) variaciones en la tensión de
alimentación. El sistema es altamente sensible ante una condición de fallo
y es viable tanto en máquinas conectadas a red como alimentadas desde un
inversor.
Finalmente, se ha propuesto el uso de redes neuronales de variable compleja
para estimar fallos en el devanado del estátor. Utilizando un esquema

6.6 Conclusiones 179
similar al propuesto en [160], se mide tanto el vector de tensión como el
vector de corriente de estátor —v qds e i qds — respectivamente. Se propone
un detector basado en el rastreo del residuo de estimación. Entrenando a la
red en condiciones normales, ésta aprende las relaciones entre el vector de
tensión y de corriente, es decir, sintetiza la información contenida en la matriz
de impedancias. Cuando se produce alguna situación anómala —fallo—
el residuo de estimación incrementa su valor, informando de la condición.
El sistema utiliza el rastreo de diversas componentes espectrales, se muestra
insensible ante variaciones en el sistema de alimentación y la condición de
funcionamiento del motor y no precisa el acceso a la caja de conexiones del
motor.

180 Diagnóstico de motores de inducción sin excitación de alta frecuencia

Capítulo 7
Conclusiones y Trabajo
futuro
7.1. Conclusiones
En esta tesis se han mostrado los puntos clave para el rastreo de asimetrías
electromagnéticas en máquinas del alterna trifásicas. Partiendo de
una descripción inicial, en la que se detallaban las saliencias que pueden
estar presentes en una máquina, se ha pretendido modelar el efecto de las
saliencias sobre variables eléctricas medibles. La información contenida en
las asimetrías se ha utilizado tanto para métodos de control sin sensor de
velocidad/posición, como para métodos de diagnóstico.
En los métodos de control sensorless basados en el rastreo de saliencias
espaciales utilizando una excitación de alta frecuencia, la extracción de la
información contenida en las saliencias puede realizarse mediante: 1) la inyección
de una señal portadora de alta frecuencia. Dicha señal puede ser
persistente o discontinua. Dentro de las primeras puede inyectarse un vector
giratorio o una señal modulada en amplitud; 2) utilizando los armónicos
de conmutación del inversor. En el capítulo 3 se realizó un estudio de los
diferentes tipos de excitación de alta frecuencia. El empleo de armónicos
de conmutación presenta varios inconvenientes. Por un lado, es necesario
utilizar sensores y sistemas de adquisición de señales específicos, además de
modificar los patrones de conmutación del inversor. Por otro, las medidas
van a depender de parámetros como la longitud o apantallamiento de los
cables de alimentación, y de características de la máquina, siendo necesario
ajustar el sistema para cada caso particular. Las excitación discontinua tiene
como principal inconveniente un menor ancho de banda en relación a los
métodos basados en una excitación persistente. En esta tesis, continuando
la línea establecida en el grupo de trabajo, se ha utilizado una excitación
persistente basada en un vector de tensión giratorio.

182 Conclusiones y Trabajo futuro
Los métodos basados en las componentes de secuencia cero se han mostrado
como una alternativa a las componentes de secuencia negativa para la
detección de la posición del rotor. Dichos métodos, presentan propiedades
muy atractivas, como una alta relación señal-ruido y una elevada insensibilidad
a los efectos introducidos por el comportamiento no ideal del inversor.
Como inconveniente principal cabe destacar la necesidad de incorporar un
sensor adicional para su medida, y el acceso a la caja de terminales del
motor.
Para desacoplar el efecto de las saliencias secundarias en las componentes
de secuencia cero, se ha planteado el uso de redes neuronales estructuradas.
Esta técnica proporciona unos resultados muy similares a los obtenidos
mediante tablas de desacoplo, introduciendo algunas ventajas como la capacidad
de generalización, permitiendo considerar asimetrías adicionales, y
un proceso de sintonizado menos tedioso.
Se ha estudiado el uso de las asimetrías espaciales para la detección de
fallos, considerando las diferentes variables eléctricas que pueden ser empleadas
en el diagnóstico de máquinas eléctricas de alterna. Se ha establecido
una distinción entre métodos basados en el análisis de la huella de corriente
y métodos basados, o derivados, del análisis de la corriente de secuencia negativa.
Los primeros, muy extendidos en aplicaciones comerciales, adolecen
de una serie de defectos, como su naturaleza no determinista. Los segundos,
tienen como principal defecto la dependencia de las condiciones de funcionamiento
del motor. Para evitar esta dependencia se ha seguido una doble
línea. En primer lugar, utilizando las componentes de secuencia cero, se ha
mostrado un método de diagnóstico válido tanto para máquinas conectadas
a red como alimentadas desde inversor que presenta una baja dependencia
del punto de funcionamiento del motor. En segundo, se han introducido
las redes neuronales de variable compleja para mejorar el resultado de la
estimación de los métodos basados en la corriente de secuencia negativa.
7.2. Contribuciones
La selección de las variables eléctricas terminales utilizadas para rastrear
la posición de saliencias espaciales determina en gran medida aspectos clave
del rastreo. Independientemente de emplear las saliencias para implementar
un control de velocidad/posición o para realizar un diagnóstico de la máquina,
es necesario modelar matemáticamente su acoplamiento con las variables
medibles.
La primera aportación de esta tesis se centra en la obtención de las
expresiones matemáticas que permitan determinar el acoplamiento entre las
diferentes asimetrías presentes en una máquina y las variables eléctricas
terminales. Así, en el capítulo 3, se han determinado los siguientes puntos:

7.2 Contribuciones 183
Modelo en baja frecuencia del motor de inducción.
Modelo en alta frecuencia de la máquina de inducción. Partiendo de
las ecuaciones en coordenadas abc, se desarrolla un modelo del motor
de inducción que incluye las saliencias.
Tensión de secuencia cero. Partiendo del modelo en alta frecuencia con
asimetrías, se obtiene la expresión general de la tensión de secuencia
cero. Esta expresión general se particulariza posteriormente en función
del orden de armónico —h—. Se deducen las componentes de la
tensión de secuencia cero para las saliencias inducidas por saturación,
inducidas por intermodulación y de ranurado.
Corriente de secuencia cero. Para el caso de conexión en triángulo de
la máquina, se desarrollan las expresiones de la corriente de secuencia
cero. Al igual que para el caso de la tensión de secuencia cero, se
obtiene la expresión general y, posteriormente, se particulariza para
diferentes valores de h. Aunque en un principio pueda parecer que las
expresiones obtenidas son duales a las de la tensión de secuencia cero,
existen dos diferencias importantes: 1) la magnitud de las componentes
moduladas por los fallos depende de manera inversa de la frecuencia
de la portadora. Este comportamiento se explica por la naturaleza
inductiva del motor. 2) existen componentes frecuenciales adicionales
moduladas por las saliencias.
Otros aspectos clave para implementar un mecanismo de control sin sensor
de velocidad/posición basado en la inyección de una señal de alta frecuencia,
se derivan de la elección de la señal portadora. Tanto la magnitud como la
frecuencia deben de ser seleccionadas teniendo en cuenta la variable terminal
utilizada para implementar el rastreo de la posición. De esta manera, en el
capítulo 4, se han analizado diversos puntos, incluyendo:
Influencia de la magnitud de la señal portadora. Cuanto menor sea
la magnitud de la señal portadora, menores serán los efectos adversos
provocados al inyectarla. Sin embargo, esta reducción afecta igualmente
a la magnitud de las componentes utilizadas para el rastreo de las
saliencias. En el caso de utilizar componentes de secuencia negativa,
donde la relación señal–ruido es menor que para el caso de componentes
de secuencia cero, esta reducción puede acarrear problemas de
imprecisión e incluso de inestabilidad en la detección de la posición.
Las componentes de secuencia cero permiten una menor magnitud de
la señal portadora.
Relación entre la frecuencia y la magnitud de las variables eléctricas
utilizadas en el rastreo. El comportamiento diferirá dependiendo

184 Conclusiones y Trabajo futuro
de las variables terminales utilizadas para la estimación. En caso de
emplear corrientes —corriente de secuencia negativa, corriente de secuencia
cero—, la magnitud de las componentes será inversamente proporcional
a la frecuencia de la señal portadora. Por tanto, existirá un
umbral por encima del cual no será posible aumentar la frecuencia de
la señal portadora sin provocar inestabilidad en la detección de la posición.
En el caso de utilizar la tensión de secuencia cero como variable
terminal, no existe esta dependencia. Es decir, la frecuencia de la señal
portadora puede ser aumentada de manera ilimitada sin peligro de reducir
la amplitud de las componentes utilizadas para el rastreo. La
limitación en la frecuencia utilizada vendrá impuesta por la frecuencia
de conmutación del inversor.
El desacoplo de saliencias adicionales presentes en la máquina es una condición
ineludible para poder implementar un control de velocidad/posición
sensorless. La necesidad de desarrollar una métrica que permita establecer,
de manera cuantitativa, las prestaciones en el control se ha analizado en el
capítulo 4. Según lo allí expuesto se determina:
La distorsión armónica total —T HD— de las señales portadoras permite
estimar la precisión final del sistema de control. Ésta dependerá
de la relación señal/ruido, la cual a su vez depende de dos factores
clave. Por un lado, de la calidad del sistema de adquisición de la señal
(errores de precisión en los sensores, errores de cuantificación en los
conversores,. . . ) y por otro, de la precisión en el desacoplo de saliencias
secundarias. La distorsión armónica total se define ligada al ancho de
banda de los filtros paso–banda utilizados para aislar la componente
asociada a la posición del rotor.
Los métodos de desacoplo de las saliencias adicionales presentes en la máquina
se introdujeron en el capítulo 4. Estos métodos, basados en tablas de
desacoplo, presentan varias limitaciones:
Diseño de la tabla de desacoplo. El número de elementos de la tabla
determinará la precisión en el desacoplo. Cuantos más elementos se
utilicen, reduciendo el paso de interpolación, mayor precisión se alcanzará.
En contrapartida, los requisitos de memoria aumentarán y el
proceso de calibración será más engorroso.
Determinar el valor de cada componente. Los valores almacenados en
la tabla de desacoplo se obtienen mediante el proceso descrito en el
capítulo 4.
Método específico para cada máquina. El método depende de cada
máquina en particular. Las tablas de desacoplo deben de ser reconstruidas,
repitiendo todo el proceso descrito anteriormente.

7.2 Contribuciones 185
Para solucionar dichos inconvenientes, en el capítulo 5 se propone el uso de
redes neuronales aplicadas al desacoplo de saliencias secundarias. En lugar
de utilizar cualquiera de las topologías convencionales de redes neuronales
se recurre a las redes neuronales estructuradas. Estas redes tienen como
característica principal la incorporación del conocimiento apriorístico a la
estructura de la red. Los principales resultados alcanzados son:
Incorporación de los modelos de alta frecuencia de la máquina de inducción,
desarrollados en el capítulo 3, a la estructura de la red. Las
neuronas, interconexiones y capas representan parámetros físicos del
sistema.
Desacoplo de saliencias inducidas por saturación.
Desacoplo de saliencias inducidas por intermodulación.
Observador de rastreo. Se ha incorporado el observador de rastreo a
la estructura de la red. Esto permite implementar el entrenamiento
empleando únicamente la señal de un encóder incremental.
En la tesis se han estudiado métodos de diagnóstico que utilizan únicamente
variables eléctricas terminales. En el capítulo 6 se desarrollaron dichas
técnicas para la detección tanto de fallos en el rotor como en el estátor mediante
el rastreo de saliencias. Se propusieron las componentes de secuencia
cero para la detección de ambos tipos de fallos en régimen permanente. Las
mejoras respecto a otro tipo de variables se resumen en:
Independencia del punto de funcionamiento de la máquina.
Independencia de asimetrías en la alimentación al motor.
Como punto final, se detalló el uso de redes neuronales de variable compleja
para la detección de fallos en el estátor. Este tipo de fallos son especialmente
difíciles de aislar, al verse afectados por múltiples factores. Se resumen las
aportaciones en este campo en:
Mejora de los resultados presentados por otros autores utilizando la
corriente de secuencia negativa como variable terminal.
Se evita acceder al neutro del motor, y con ello a la caja de conexiones
del mismo, al contrario que con los métodos basados en las componentes
de secuencia cero.
Detección de fallos en el estátor con una alta independencia del punto
de funcionamiento del motor. En particular de la carga, variaciones en
la tensión de alimentación y, adicionalmente, de las asimetrías inherentes
a la máquina.

186 Conclusiones y Trabajo futuro
7.3. Trabajo Futuro
A partir del trabajo presentado en esta tesis surgen varias líneas de
investigación. En el campo del control sensorless:
La inyección de la señal portadora se realiza mediante un vector giratorio
de alta frecuencia. Estudiar alternativas a este tipo de inyección
que puedan mejorar la relación señal-ruido de las componentes dependientes
de la posición frente a las saliencias secundarias es una de las
líneas propuestas.
El procesamiento mediante redes neuronales estructuradas se ha realizado
exclusivamente utilizando la tensión de secuencia cero. Dado que
esta variable presenta el inconveniente de necesitar el acceso a los terminales
del motor, añadiendo un nuevo sensor, es interesante extender
el procesamiento propuesto a variables de secuencia negativa.
Enlazando con el anterior punto, la unión de las redes neuronales estructuradas
y las redes neuronales de variable compleja es otra de las
líneas que surgen al finalizar esta tesis. Dada la naturaleza compleja de
las señales empleadas en el control sensorless, la unión de ambas topologías
puede mejorar el entrenamiento de la red, además de permitir
extraer características ocultas al utilizar redes de variable real.
Aplicación de los métodos desarrollados a las máquinas síncronas de
imanes permanentes enterrados (IPMSM ). Estos motores ofrecen mejoras
en términos de eficiencia y comportamiento dinámico en comparación
con los de inducción. Si bien son salientes debido a su diseño, la
saliencia dependiente de la posición del rotor gira a la misma velocidad
que el flujo de rotor. El desacoplo de ambas saliencias es un requisito
fundamental. Para el desacoplo se propone, de nuevo, el uso de redes
neuronales estructuradas. Utilizando como método de entrenamiento
el observador diseñado, puede ser factible desacoplar ambos efectos.
En cuanto a los métodos de diagnóstico se plantean las siguientes líneas:
Uso de técnicas de procesamiento de la señal que permitan el análisis de
fallos durante los transitorios de la máquina. En régimen permanente,
la herramienta fundamental usada es la FFT. Sin embargo, durante los
transitorios de la máquina no es posible emplearla directamente. Una
modificación obvia es utilizar la STFT 1 para el análisis del transitorio.
El principal inconveniente de esta herramienta es la imposibilidad de
determinar con exactitud, al mismo tiempo, la frecuencia de una señal
1 de Short Time Fourier Transform.

7.3 Trabajo Futuro 187
con su localización temporal. Para solucionar este inconveniente es
posible, como ya han propuesto otros autores, utilizar wavelets [135].
Esta herramienta permite, a través del escalado y desplazamiento de
sus funciones de núcleo, localizar con precisión la frecuencia y origen
temporal de las diversas componentes que contiene una señal.
Rescatar la corriente de secuencia negativa, o alguno de sus métodos
derivados, como técnica de diagnóstico. Mediante procesado de la
señal, tal y como se ha demostrado con el empleo de las redes neuronales
de variable compleja, es posible mejorar en gran medida los resultados
de la estimación de fallos. Avanzar en esta dirección, al mismo
tiempo que se introducen nuevos mecanismos para la detección de diferentes
tipos de fallos —barras rotas, desequilibrios mecánicos. . . —,
es otra de las líneas propuestas.

188 Conclusiones y Trabajo futuro

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Apéndice A
Implementación práctica
A.1.
Introducción
En este apéndice se detallan aspectos de la implementación práctica de
los puntos principales desarrollados en esta tesis. Se describe la plataforma
utilizada tanto para los métodos de control como para el diagnóstico de
máquinas de alterna.
A.2.
Métodos de control
Durante el desarrollo de esta tesis se han implementado mecanismos de
control sensorless utilizando las componentes de secuencia cero. En [61] se
realiza una comparación de diferentes técnicas, entre las que se incluye la
tensión portadora de secuencia cero. En [60], se detalla el uso de la tensión
portadora de secuencia cero. En [59] se extiende el uso de las componentes de
secuencia cero a máquinas conectadas en triángulo. En este caso la variable
terminal utilizada es la corriente de secuencia cero. En [81] se propone el uso
de redes neuronales estructuradas para el desacoplo de saliencias inducidas
por saturación y por intermodulación.
Para los experimentos realizados en el laboratorio se ha dispuesto de los
motores descritos en la tabla A.1.
El control se ha implementado utilizando un equipo de TechnosoftR.
Este equipo integra el inversor, sensores de corriente, conversores A/D y
la etapa de control. Ésta última, utiliza un DSP TMS32F2812 de Texas
InstrumentsR. El DSP es de 32 bits y coma fija. Especificaciones acerca del
equipo de Technosoft se detallan en la tabla A.2. En la figura A.1 se muestra
una foto del inversor utilizado.

210 Implementación práctica
Motor#1 Motor#2 Motor#3 Motor#4
Slots estátor 36 36 36 24
Ranuras rotor 28 26 28 30
Tipo de ranuras
de rotor 1
semi cerradadas
semi cerradadas
semi cerradadas
semi cerradadas
Potencia (kW.) 1.1 0.75 1.1 0.9
Cuadro A.1: Motores utilizados en los métodos de control.
Etapa de potencia
Potencia 750W.
Interruptores de potencia 3 IGBT, frecuencia de conmutación hasta
24kHz.
Bus de Continua 400V .
Consumo
nominal 3.5A, pico 6A (durante un minuto)
Tensión al motor 90–240 V AC monofásico, 60–120 V AC
trifásico
Sensores de corriente 2 sensores efecto Hall
Módulo de control
DSP TMS32F2812 de Texas InstrumentsR, 32
bits coma fija
PWM
modulación simétrica/asimétrica
Cuadro A.2: Detalles de la plataforma utilizada en la implementación práctica.
Para la medida de la tensión de secuencia cero se ha utilizado una red de
resistencias conectadas en paralelo con la máquina, según se muestra en
la figura A.2. Para la corriente de secuencia cero un sensor de efecto Hall
(Figura A.3) Los sistemas de adquisición A/D, utilizados para el análisis
de datos off-line, son un osciloscopio YokogawaR; DL1540CL, de 8 bits,
200MS/s, 150MHz., mostrado en la figura A.4(a); y una tarjeta USB de
DatatranslationR, DT9836, 16bits, 200Khz por canal, 12 canales, mostrada
en la figura A.4(b)

A.2 Métodos de control 211
Figura A.1: Plataforma de Technosoft.
Figura A.2: Red de resistencias para la medida de la tensión de secuencia cero.

212 Implementación práctica
Figura A.3: Sensor efecto Hall para le medida de la corriente de secuencia cero.
(a) Osciloscopio YokogawaR. (b) Tarjeta USB DatatranslationR.
Figura A.4: Sistemas de adquisición de señales.

A.3 Diagnóstico de máquinas de alterna 213
A.3.
Diagnóstico de máquinas de alterna
Los métodos de diagnóstico publicados por el autor durante la realización
de esta tesis, proponen el uso de técnicas de secuencia cero para la detección
de fallos en el estátor y en el rotor en máquinas de alterna. En [133], se propone
el uso de la tensión de secuencia cero tanto para máquinas conectadas
a red como alimentadas desde un inversor. En [128] se extiende la técnica
para su funcionamiento en todo tipo de máquinas, independientemente de
la conexión en sus bornas —triángulo o estrella—.
Para los experimentos realizados en el laboratorio se ha dispuesto de los
motores descritos en la tabla A.3 .
Motor#5
Número de polos 4
Slots estátor 24
Ranuras rotor 30
Tipo de ranuras de rotor inclinadas, semi abiertas
Potencia (kW.) 0.9
Cuadro A.3: Motores utilizados en diagnóstico.
Para el caso de detección de fallos en el estátor se utilizó un motor con las
mismas características pero con el bobinado de estátor accesible, de manera
que se pudieran provocar cortocircuitos entre espiras adyacentes. Para la
detección de fallos en el rotor se dispusieron de dos rotores con una barra
rota. Uno de ellos con ranuras semi abiertas y otro con ranuras cerradas.

214 Implementación práctica

Apéndice B
Publicaciones
B.1.
Comparison of Saliency-Based Sensorless Control
Techniques for AC Machines [61]

216 Publicaciones
IEEE TRANSACTIONS ON INDUSTRY APPLICATIONS, VOL. 40, NO. 4, JULY/AUGUST 2004 1107
Comparison of Saliency-Based Sensorless Control
Techniques for AC Machines
Fernando Briz, Member, IEEE, Michael W. Degner, Member, IEEE, Pablo García, Student Member, IEEE, and
Robert D. Lorenz, Fellow, IEEE
Abstract—This paper analyzes saliency-based sensorless control
methods for ac machines. The paper focuses on three different
methods, which utilize the following signals: negative-sequence
carrier-signal current, zero-sequence carrier-signal voltage,
and pulesewidth-modulation-switching zero-sequence voltage.
Applicability of these methods for both rotor position estimation
(tracking of rotor-position-dependent saliencies) and flux position
estimation (tracking of flux-dependent saliencies) is studied for
each method, as well as aspects of their implementation.
Index Terms—Flux angle estimation, rotor position estimation,
saliency-based sensorless control.
I. INTRODUCTION
ENSORLESS control techniques for ac machines that
S rely on the fundamental excitation have been shown to be
capable of providing high-performance field-oriented control
in the medium- to high-speed range [1]–[3]. Such techniques,
however, fail in the low-speed range or for dc excitation. To
overcome this limitation, sensorless control methods based on
tracking the position of saliencies in the electric machines have
been proposed. Such methods have the capability of providing
accurate, high bandwidth, position, speed, and disturbance
torque estimates and/or flux estimates over a wide speed
range, including zero speed and frequency [4]–[18]. These
techniques measure the response of the machine when a persistent,
high-frequency excitation, distinct from the fundamental
excitation, is applied via the inverter. The major differences
between the methods are the type of high-frequency excitation
and the signal processing used to estimate the rotor or flux
position. The types of persistent excitation that have been
proposed can be classified into two main categories.
Paper IPCSD-04-028, presented at the 2003 Industry Applications Society
Annual Meeting, Salt Lake City, UT, October 12–16, and approved for publication
in the IEEE TRANSACTIONS ON INDUSTRY APPLICATIONS by the Industrial
Drives Committee of the IEEE Industry Applications Society. Manuscript
submitted for review October 1, 2003 and released for publication April
6, 2004. This work was supported in part by the Research, Technological Development
and Innovation Programs of the Principado of Asturias-ERDF, under
Grant PB-EXP01-24 and Grant PB02-055, and by the Spanish Ministry of Science
and Technology-ERDF under Grant DPI2001-3815.
F. Briz and P. García are with the Department of Electrical, Computer and
Systems Engineering, University of Oviedo, E-33204 Gijón, Spain (e-mail: fernando@isa.uniovi.es;
pgarcia@isa.uniovi.es).
M. W. Degner is with Sustainable Mobility Technologies, Ford Motor Company,
Dearborn, MI 48121-2053 USA (e-mail: mdegner@ford.com).
R. D. Lorenz is with the Departments of Mechanical Engineering and Electrical
and Computer Engineering, University of Wisconsin, Madison, WI 53706
USA (e-mail: lorenz@engr.wisc.edu).
Digital Object Identifier 10.1109/TIA.2004.830768
0093-9994/04$20.00 © 2004 IEEE
1) One is the injection of a carrier signal (usually in the
range of several hundred hertz) superimposed on the
fundamental excitation and generally distinct from the
pulsewidth-modulation (PWM) switching excitation
created by the inverter [4]–[15]. This type of excitation
usually takes one of two forms: 1) a constant amplitude
voltage [4]–[9], [13]–[15] (current [10]) vector rotating
in the stationary frame at the carrier frequency or 2) an
amplitude-modulated, at the carrier frequency, voltage
(current) vector(s) rotating in a frame synchronous to the
estimated quantity [11], [12].
2) The other is excitation created by the PWM switching of
the inverter, commonly using modified forms of PWM
[3], [16] or applying specific switching states during the
measurement period [17], [18].
With regard to the number and type of signals measured, techniques
using two phase currents, three phase currents, phase
voltages and/or the neutral voltage have been reported, with a
variety of alternatives in the signal processing used to extract
the desired information [4]–[18].
The primary goal of this paper is the analysis and comparison
of saliency-based sensorless control methods for the estimation
of rotor position and/or flux angle in ac machines. The
paper begins by modeling saliencies, as well as the measurable
effects that they produce, when a high-frequency excitation
signal is applied to a machine. The paper then focuses on
three different sensorless control methods: 1) negative-sequence
carrier-signal-current-based methods [4]–[9]; 2) zero-sequence
carrier-signal-voltage-based methods [13], [15]; and 3) PWMswitching
zero-sequence-voltage-based methods [3], [16]. Differences
in the generation, acquisition, and processing of the
signal needed for estimating the desired rotor position or flux
angle are also analyzed.
II. CARRIER-SIGNAL-EXCITATION-BASED
SENSORLESS METHODS
Carrier-signal-based sensorless methods inject a high-frequency
excitation (voltage [4]–[9], [11]–[15] or current [10]),
whose interaction with the machine saliencies produces specific
frequency components in measurable electrical variables
(phase/zero-sequence currents [4]–[9], [11], [12], [14] and
voltages [10], [13], [15]), which are used to estimate the
position of the saliency. One of the most common forms of
high-frequency carrier-signal excitation is the use of a single
rotating vector [4]–[9] and is the basis for the analysis provided

B.1 Comparison of Saliency-Based Sensorless Control Techniques for. . . 217
1108 IEEE TRANSACTIONS ON INDUSTRY APPLICATIONS, VOL. 40, NO. 4, JULY/AUGUST 2004
TABLE I
INDUCTION MOTORS PARAMETERS (ALL HAVE FOUR POLES)
in (1) can be ignored), the machine model can be simplified to
(3)–(5) (see Fig. 2)
in this paper on carrier-signal-excitation-based methods.
Included in this analysis are methods that utilize the resulting
negative-sequence carrier-signal current [4]–[9] and zero-sequence
carrier-signal voltage [13], [15]. Although other forms
of carrier-signal excitation, such as the amplitude-modulated
methods [11], [12] and carrier-signal-current methods [10],
are not included in the analysis provided in this paper, due to
space restrictions, their similarity to the analyzed methods is
expected to result in similar behavior and conclusions.
A. Modeling and Behavior of Salient Machines
At frequencies near the carrier signal the general model for
the induction machine can be simplified to one consisting of
only the machine inductances (1), where is a 3 3 matrix
and can be modeled as consisting of four submatrices (2)
where the following apply.
• and are the average and differential stator
transient inductances, being equal to
and
in (2), respectively. The definition of the
differential inductance in (3)–(5) (note the constant
2) was chosen as a matter of convenience to keep
the results obtained when transforming the three-phase
system to an equivalent two-phase system consistent with
the nomenclature widely used in the literature [4], [5].
• is the harmonic order of the saliency relative to electrical
angular units.
• is the angular position of the saliency in electrical radians.
The zero-sequence voltage (6) can be calculated directly using
(3)–(5) and (7), with the result shown in (8). Note the inductances
, , and in (8) stand for the inductance terms in
(3)–(5), respectively
(3)
(4)
(5)
and
model the constant and varying
portions of the phase mutual inductances (diagonal terms are
zero).
and model the constant and varying
portions of the phase self-inductances, respectively (off-diagonal
terms are equal to zero).
While the general solution for the behavior of the machine
can be obtained from (1) and (2), some further simplifications
are possible based on the values for these inductances in relation
to the machine design and carrier-signal frequency. To asses
the contribution of each term in (2) to the overall inductance,
tests were conducted on motor #1 in Table I. The following
values for each entry in these inductance submatrices was determined
for a carrier frequency of Hz:
mH, mH mH,
and
mH.
From these values it can be seen that the mutual inductances
between the phases are relatively small in comparison to the
self-inductances. Based on this, the model shown in (2) can be
simplified by only considering the self-inductance terms, which
at the carrier frequency are approximately equal to the stator
transient inductance. With this assumption, a further assumption
that the varying inductances consist of a single harmonic
component, and the fact that for the operating speeds of interest
the carrier-signal frequency is significantly larger than the fundamental
frequency (the time rate of change of the inductance
(1)
(2)
By transforming (3)–(5) to an equivalent
be obtained
(6)
(7)
(8)
model, (9) can
(9)
While a general solution for the currents and the zero-sequence
voltage can be obtained from (9), much simpler solutions
are obtained by solving (9) for particular values of using
the following equations for the inductances (10)–(12) [5]:
1) for
2) for
(10)
(11)

218 Publicaciones
BRIZ et al.: COMPARISON OF SALIENCY-BASED SENSORLESS CONTROL TECHNIQUES FOR AC MACHINES 1109
3) for
(12)
Using (8)–(12) and applying a balanced, three-phase carriersignal
voltage, (13)–(15), to the machine, the resulting carriersignal
current and zero-sequence carrier-signal voltage for particular
values of can be calculated as (16)–(21) as follows:
(13)
(14)
Fig. 1.
Schematic representation of the experimental setup.
(15)
1) for
2) for
3) for
(16)
(17)
(18)
(19)
Fig. 2.
Signal acquisition for the experimental setup.
memory was used to measure the negative-sequence carrier-signal
current and the zero-sequence carrier-signal voltage,
(see Fig. 2). For the negative-sequence carrier-signal-current
methods the three phase currents were measured and for the
zero-sequence-voltage methods the three inverter output phase
voltages and the neutral voltage were measured. These signals
were then processed offline.
The inverter was operated at a switching frequency of 15 kHz,
(20) with a dead time of 2 s, and a dc-bus voltage of 350 V. A
carrier-signal voltage of Hz and V was used
(21) throughout the paper unless stated otherwise.
where
is C. Methods Based on the Negative-Sequence Carrier-Signal
the magnitude of the positive-sequence carrier-signal Current
current,
is
the magnitude of the negative-sequence carrier-signal
Methods based on the negative-sequence carrier-signal current
usually use filtering to separate the negative-sequence car-
current,
is the magnitude of the component of the
rier-signal current, which contains the saliency position information
in its phase, from the stator current [4]–[9]. This can be
zero-sequence carrier-signal voltage, and
is the magnitude of the
simply done by transforming the stator current to a negative-sequence
carrier-signal-current reference frame and low-pass fil-
component of the zero-sequence carrier-signal
voltage.
tering. The output has the form of (22)
From (20) and (21) it can be seen that for the case of
no zero-sequence carrier-signal voltage exists
and the carrier-signal current is an amplitude-modulated positive-sequence
component. It is also noted that, although (17)
and (19) predict the presence of a secondary component of the
(22)
The spatial position of the saliency can then be obtained using
either a tracking observer, which are zero lag filters, [4], [5], [9]
or an arctangent function with lagging filters [6], [7].
zero-sequence carrier voltage, its magnitude is negligible Fig. 3 shows the negative-sequence carrier-signal current and
when compared to for , which is typically the corresponding frequency spectrum for motor #1 in Table I,
the case.
operated at rated flux, rated load. From the figure it can be seen
that the machine exhibits a rotor–stator slotting saliency, with
B. Experimental Setup
the harmonic order being equal to the number of rotor slots per
Fig. 1 shows the experimental setup used for the experiments
presented in this paper. It consists of a current-regulated induction
pole pair, in addition to fundamental-frequency-dependent components.
Most of the fundamental-frequency-dependent compo-
machine, with the carrier-signal voltage superimposed on nents, and specifically the one at , are believed to be caused
the fundamental voltage. The rotor speed and, consequently, the
slip and the load level of the machine, was set using a load dynamometer.
A four-channel digital oscilloscope with extended
by saturation [5]–[9]. Nonideal behavior of the inverter has also
been reported to cause similar components in the negative-sequence
carrier-signal current [7].

B.1 Comparison of Saliency-Based Sensorless Control Techniques for. . . 219
1110 IEEE TRANSACTIONS ON INDUSTRY APPLICATIONS, VOL. 40, NO. 4, JULY/AUGUST 2004
Fig. 3. (a) Experimentally measured real and imaginary parts of the
negative-sequence carrier-signal current. (b) Corresponding frequency
spectrum for motor #1 in Table I. The motor was operated at rated flux, rated
load, ! =1Hz, ! =4Hz.
In [13], a time-based measurement technique was used to extract
the saliency position information from the zero-sequence
carrier-signal voltage. A different approach, similar to the one
proposed in [14], is used in this paper, the goal being to allow the
use of filtering techniques developed for the negative-sequence
carrier-signal current. The zero-sequence carrier-signal voltage
in (17) (and similarly for (19)) can be converted to a carrier-synchronous
zero-sequence voltage vector using (24). Then, by applying
similar synchronous reference frame filtering as used for
the negative-sequence carrier-signal current, a single complex
vector with the form (25) (multiplied by 2 for convenience) can
be isolated from (24) with its phase a function of the saliency
position
(24)
(25)
This can then be further processed to obtain the saliency position
information using the same methods used for the negative-sequence
carrier-signal current (22) [4]–[9].
Fig. 4(c) and (d) shows the resulting zero-sequence
carrier-signal voltage components and the corresponding
frequency spectrum of the zero-sequence carrier-signal voltage
shown in Fig. 4(a). It is noted that while the frequency spectrum
in Fig. 4(b) corresponds to a scalar signal, the one in Fig. 4(d)
corresponds to a complex voltage vector.
Fig. 4. (a) Experimentally measured zero-sequence carrier-signal voltage.
(b) Corresponding frequency spectrum. (c) Real and imaginary parts of the
zero-sequence carrier voltage vector. (d) Corresponding frequency spectrum.
Motor #1 was used, operated at rated flux, rated load, ! =1Hz, ! =4Hz.
D. Methods Based on the Zero-Sequence Carrier-Signal
Voltage
Fig. 4(a) shows the zero-sequence carrier-signal voltage of
motor #1 operated at rated flux, rated load. The motor was
star-connected, with the zero-sequence voltage obtained from
the measured phase and neutral voltages using (6) (see Fig. 2).
The zero-sequence carrier-signal voltage was then isolated
using fast-Fourier-transform (FFT)-based signal processing.
Alternatively to (6), the neutral voltage can also be measured
(23) provided that the inverter does not inject zero-sequence
components at frequencies near the carrier frequency
(23)
Fig. 4(b) shows the frequency spectrum of the zero-sequence
carrier-signal voltage. From that figure it can be seen that
the major fundamental-frequency-dependent component of
the spectrum is located at , which corresponds to
a saturation-induced saliency, with a harmonic order .
It is also observed that, analogous to the negative-sequence
carrier-signal current, the zero-sequence carrier-signal voltage
also shows content from a rotor–stator slotting saliency located
at , i.e., with the harmonic order equal to the
number of rotor bars per pole.
III. COMPARISON OF METHODS BASED ON THE
NEGATIVE-SEQUENCE CARRIER-SIGNAL CURRENT
AND ZERO-SEQUENCE CARRIER-SIGNAL VOLTAGE
While the results in Figs. 3 and 4 suggest that the negativesequence
carrier-signal current and the zero-sequence carriersignal
voltage contain similar information, some noticeable differences
still exist. Comparison of both signals is presented in
this section.
A. Rotor-Position-Dependent Saliencies
Rotor position estimation using high-frequency signal excitation
requires a rotor-position-dependent saliency that couples
with the stator windings to produce a measurable signal.
Although rotor-position-dependent saliencies are sometimes
present in standard machine designs due to the combined
effect of stator and rotor slotting [5], [7], [9], [16], they can
also be specifically created in several ways [4]–[6]. Using
rotor–stator slotting saliencies for rotor position estimation has
the advantage of allowing machines with open or semi-closed
rotor slots to be suitable for sensorless operation without the
need for any further modification or special design. However,
not all combinations of rotor–stator slots in open or semi-closed
rotor slot machines couple with the stator windings to produce
measurable effects.
It was demonstrated in [5] and [9] that, independently of how
a saliency is created, in order for it to couple with the stator
windings and produce a negative-sequence carrier-signal current
(26) needs to be satisfied, assuming the machine has an integer
number of slots per pole per phase, where is the number

220 Publicaciones
BRIZ et al.: COMPARISON OF SALIENCY-BASED SENSORLESS CONTROL TECHNIQUES FOR AC MACHINES 1111
Fig. 5. Experimentally measured frequency spectrum of the
negative-sequence carrier-signal current (left) and of the zero-sequence carrier
voltage complex vector (right) for two different motors. Both motors were
operated at rated rated flux, rated load.
of poles and is the saliency harmonic order relative to 360
mechanical degrees
(26)
Saliencies caused by the combination of rotor and stator slotting
produce a permeance waveform that has a fundamental spatial
harmonic given by (27), with and being equal to the
number of stator and rotor slots, respectively. The fundamental
of this permeance waveform rotates at the mechanical speed
shown in (28) [5], [9]
(27)
(28)
The previous analysis, though originally developed for the
negative-sequence carrier current, has been found to be valid
for the case of zero-sequence carrier-signal voltage. Fig. 5(a)
and (b) shows the negative-sequence carrier-signal current frequency
spectrum and the zero-sequence carrier-signal voltage
vector frequency spectrum for the cases of motor #2 and motor
#4 using engineered rotor #3 in Table I. Comparing Figs. 3(b)
and 5(b) with Fig. 5(a), it can be seen that in contrast to motors
#1 and #4, motor #2 does not show a rotor slotting saliency either
in the negative-sequence carrier-signal current or the zerosequence
carrier voltage, as predicted by (26) and (27). It can
also be seen in Fig. 5(b) that both the negative-sequence carrier-signal
current and the zero-sequence carrier-signal voltage
have components at , which are caused by the engineered
saliency.
B. Saturation-Induced Saliencies
Saturation-induced saliencies, i.e., asymmetries caused by
the saturation of the flux paths, have been observed to exist
whenever fundamental excitation is present. These saliencies
produce components in both the negative-sequence carrier-signal
current as well as in the zero-sequence carrier-signal
voltage. While saturation-induced harmonics, especially the
Fig. 6. Experimentally measured magnitude and phase (relative to the
fundamental current) of the 2! harmonic of the negative-sequence
carrier-signal current, as a function of the slip frequency and the fundamental
current level, for motor #4 in Table I with (a) semi-closed rotor slots and (b)
closed rotor slots. A constant fundamental excitation frequency ! =4 Hz
was used, with the rotor speed varied according to the slip shown in the figure.
one at , can be useful for flux angle estimation, they are a
disturbance when rotor position estimation is the goal. Unless
properly decoupled, they can result in noticeable estimation
errors or even stability problems.
Negative-Sequence Carrier-Signal Current: Saturation-induced
saliencies and their effects on the negative-sequence
carrier-signal current are strongly influenced by the machine
design, with one of the most relevant aspects being the rotor
slot design [5], [8]. Fig. 6(a) and (b) shows the magnitude and
phase angle of the saturation-induced harmonic of the
negative-sequence carrier-signal current, as a function of the
slip frequency and the fundamental current level, for the cases
of motor #4 in Table I with semi-closed rotor slots and closed
rotor slots, respectively. From the figure it can be seen that the
phase of the harmonic of the negative-sequence carrier
current signal for the case of closed rotor slots, relative to the
stator current angle, exhibits only relatively minor variations
with slip, suggesting that it is mostly influenced by the stator
leakage flux [8]. Larger variations are observed for the case
of semi-closed slots, especially for low slips, suggesting that
other fluxes in the machine play an important role for closed
rotor slot machines. In addition to the rotor slot design, a
large set of other design characteristics seem to influence the
behavior of saturation-induced saliencies, as demonstrated in
[8] where noticeable differences were observed for machines
with relatively similar designs and sizes.
Zero-Sequence Carrier-Signal Voltage: The study
of saturation-induced saliencies for zero-sequence carrier-signal-voltage-based
methods has not received as much
attention as the negative-sequence carrier-signal-current-based
methods [13], [15].
Fig. 7(a) shows the magnitude and phase (using the fundamental
current angle as the reference angle) of the
frequency component of the zero-sequence carrier-signal

B.1 Comparison of Saliency-Based Sensorless Control Techniques for. . . 221
1112 IEEE TRANSACTIONS ON INDUSTRY APPLICATIONS, VOL. 40, NO. 4, JULY/AUGUST 2004
Fig. 7. Experimentally measured magnitude and phase (relative to the stator
current vector), of the 2! component of the zero-sequence carrier-signal
voltage, for the following motors in Table I. (a) Motor #1 () and #2 ( ) with
semi-closed rotor slots. (b) Motor #3 (4) and #4 (5) with closed rotor slots.
The estimated angle 2 for motors #1 and #2 in the left column, and for
motor #3 in the right column, are marked with (). The motors were operated
at rated flux, the load being varied according to the slip.
voltage (8) as a function of the slip, for two different motors
with semi-open rotor slots, while Fig. 7(b) shows it for two
motors with closed rotor slots. The machines were current
regulated, operating under indirect field orientation at rated
flux (see Fig. 1).
To better understand the behavior of the angles seen in Fig. 7,
the theoretical angle of the rotor flux, , with respect to the
stator current vector was obtained. If the saturation giving rise to
the component of the zero-sequence carrier-signal voltage
were caused by the rotor flux, it would have an angle . This
angle is also shown in Fig. 7. Using the rotor flux angle as a
comparison for the experimental results was a matter of convenience
due to the simplicity of its estimation, as it depends only
on the slip and the rotor time constant.
Two interesting facts can be observed from Fig. 7. First, a
very good agreement can be seen between the measured and estimated
angles for the two different machines with semi-open
rotor slots [Fig. 7(a)]. This strongly supports the theory that the
component of the zero-sequence carrier-signal voltage is
caused by the rotor flux. Second, significant differences are observed
between the estimated and measured angles for no-load
operation of closed-rotor-slot machines. It is also seen that while
the magnitude of the component of the negative-sequence
carrier-signal voltage remains relatively constant for the case of
open rotor slot machines, it noticeably decreases at no load for
closed-rotor-slot machines.
A potential explanation for the behavior observed in closedrotor-slot
machines is the following. Fig. 8(a) schematically
shows the currents and rotor flux position for a two-pole machine
operated at rated flux, no-load condition. Under these conditions,
all of the fluxes in the machine have the same phase
angle but travel through different portions of the iron. The rotor
flux would be expected to cause saturation of the stator teeth
and rotor teeth, as marked in the figure. However, because of the
narrow rotor slot bridges, stator leakage flux crossing the air gap
and returning along the top of rotor (i.e., a form of zigzag flux)
could cause saturation of the rotor slot bridges. If that occurs,
Fig. 8. Schematic representation of the relative position between the fluxes
and the stator current for the case of rated-flux, no-load, and rated-flux-loaded
two-pole machine, shown in a rotor flux reference frame.
two different regions of the machine, separated 90 from each
other, would be saturated, as seen if Fig. 8(a). This sort of saturation
would appear from the stator winding to be a relatively
homogenous saturation of the machine and, as a consequence,
the magnitude of the component of the zero-sequence carrier-signal
voltage would be small in magnitude. In addition,
the phase of the component would depend on the combined
effect of the two phenomena described above and would
not, therefore, be aligned with any specific flux in the machine.
As the load increases, the rotor leakage flux will strongly saturate
the rotor slot bridges, spatially coinciding with the rotor
flux [Fig. 8(b)]. This additional saturation dominates the saturation-induced
saliency and, therefore, the component of
the zero-sequence carrier-signal voltage.
On the other hand, for the case of semi-open or
open-rotor-slot machines, saturation of the stator/rotor teeth
caused by the rotor flux is the dominant effect under no-load
operation. This effect is only boosted by the rotor leakage flux
when the machine is loaded, with the phase angle of the
component of the zero-sequence carrier-signal voltage almost
coinciding with the rotor flux.
IV. PWM-SWITCHING-EXCITATION ZERO-SEQUENCE-VOLTAGE
MEASUREMENT-BASED SENSORLESS METHODS
Switching harmonics, due to the PWM operation of the inverter,
have also been shown to be useful for saliency position
estimation [3], [15]–[18]. In the technique proposed in [16], the
instantaneous line-to-neutral voltage (29) (see Fig. 2) is measured
after applying two adjacent switching states and forcing
the commutation of switches in the third phase by substituting
the zero state with two active states for a short period of time.
A complex voltage vector
three measurements
(30) is then obtained from the
(29)
(30)

222 Publicaciones
BRIZ et al.: COMPARISON OF SALIENCY-BASED SENSORLESS CONTROL TECHNIQUES FOR AC MACHINES 1113
Fig. 9. (a) Experimentally measured real and imaginary parts of the complex
vector v . (b) Corresponding frequency spectrum for motor #1 in Table I. The
motor was operated at rated flux, rated load.
Fig. 10. (a) Experimentally measured real and imaginary parts of the complex
vector v . (b) Corresponding frequency spectrum for motor #2 in Table I. The
motor was operated at rated flux, rated load.
As this technique relies on the measurement of the zero-sequence
voltage, similar to the carrier-signal method described
above, they are expected to behave similarly. Fig. 9 shows the
complex voltage vector defined by (30) and its frequency spectrum
for the case of motor #1 in Table I. The results shown are
very similar to those presented earlier in Fig. 4 for the zero-sequence
carrier-signal voltage vector.
V. COMPARISON OF PWM-SWITCHING-BASED AND
CARRIER-VOLTAGE-BASED ZERO-SEQUENCE-VOLTAGE
METHODS
Although both zero-sequence-voltage-based methods are expected
to exhibit similar behaviors, some major differences exist
in their practical implementation. Some similarities and differences
between both methods are analyzed in this section.
Fig. 11. Experimentally measured magnitude and phase, relative to the stator
current vector, of the 2! component of the complex voltage vector v for
(a) semi-closed rotor slots and (b) closed rotor slots. The motors were operated
at rated flux, the load being varied according to the slip.
A. Rotor-Position-Dependent Saliencies
to obtain reliable and accurate rotor position estimation was
Results reported in [3] and [16], as well as those shown in demonstrated in [16].
Fig. 9, were obtained using machines with open rotor slots. Fig. 11 shows the magnitude and phase of the frequency
It was previously shown in Section III-A that both the negative-sequence
carrier-signal current and the zero-sequence carferent
machines, with open and semi-closed rotor slots. Com-
component of the complex voltage vector for the two difrier-signal
voltage had similar restrictions for the coupling of a paring Figs. 11 and 7, the similarities between the behavior of
rotor–stator saliency with the stator windings.
saturation-induced saliencies for the case of the zero-sequence
In [16], it was concluded that in order for rotor slotting saliencies
to create a measurable complex voltage vector (30) the signal voltage vector are evident. This strongly supports the idea
PWM switching voltage vector and the zero-sequence carrier-
number of rotor bars per pole pair could not be a multiple of that both techniques share the same physical principles regardless
of the differences in their implementation.
three, with the number of stator slots not having any influence.
This criteria differs from the one established by (26)–(28), and It is finally noted that the similarities between the results
can be shown to be a particular case. Fig. 10 shows the complex shown in Figs. 7 and 11 suggest that the commissioning process
voltage vector defined by (30) and its frequency spectrum for for the compensation of saturation-induced saliencies described
the case of motor #2 in Table I. It is noted that motor #2 is from in [16] would be valid for the case of zero-sequence carriersignal
voltage methods.
the same manufacturer and with a similar design as motor #1.
From Fig. 10 it is observed that the voltage vector does not show
a component due to the rotor slotting saliency. While this result C. Influence of the Carrier Frequency
does not follow the rule stated in [16], it is consistent with the
All the results using the zero-sequence carrier voltage
results predicted by (26)–(28).
presented so far used a carrier frequency of
Hz.
Experiments using different carrier frequencies were also
B. Saturation-Induced Saliencies and Flux Angle Estimation
performed. Fig. 12 shows the magnitudes of the rotor–stator
As was the case for the negative-sequence carrier-signal slotting saliency and of the saturation-induced component
current and zero-sequence carrier-signal voltage, saturation-induced
saliencies also influence the complex voltage vector (30)
[3], [16]. While saturation-induced harmonics can potentially
be useful for flux angle estimation, they are a disturbance
when rotor position estimation is the goal. Their compensation
for various carrier frequencies. From Fig. 12 it is observed that
the magnitude of the resulting rotor-position-dependent component
of the zero-sequence carrier voltage is almost constant,
independent of the carrier frequency. In addition, the saturation-induced
component of the zero-sequence carrier-signal

B.1 Comparison of Saliency-Based Sensorless Control Techniques for. . . 223
1114 IEEE TRANSACTIONS ON INDUSTRY APPLICATIONS, VOL. 40, NO. 4, JULY/AUGUST 2004
Fig. 12. Experimentally measured magnitude of the 2! and 14!
components of the zero-sequence carrier-signal voltage as a function of the
carrier frequency for motor #1 in Table I. The motor was operated at rated flux,
rated load. A carrier voltage of peak value of 20 V was used.
voltage is seen to decrease as increases. This suggests
that higher values of would improve the robustness for
decoupling saturation-induced saliencies since their magnitude
relative to the rotor position dependent component is decreased.
It is also interesting to notice that for the case of Hz
(one-third of the switching frequency), the ratio between both
components of the zero-sequence carrier voltage is similar to
the observed for the case of the complex voltage vector in
Fig. 9. This would be expected, since as increases the results
should be closer to the quasiinstantaneous response measured
by the complex voltage vector .
D. Test Voltage Injection
One of the advantages of PWM-switching-based methods
with respect to carrier-signal-injection-based methods, according
to [16], was that no high-frequency carrier-signal
voltage has to be injected. However, this advantage does not
come without some penalties. To obtain the complex voltage
vector (30), the regular switching pattern has to be modified, a
zero-voltage-switching state vector being replaced for a short
period of time by two opposite active switching state vectors.
The modification of the regular switching pattern forces all
six power devices of the inverter to switch simultaneously,
increasing inverter losses.
A second advantage cited for PWM-switching-based
methods with respect to carrier-signal-injection-based methods
is the reduction of the resulting high-frequency currents and,
as a consequence, the associated torque ripple. However, this
effect can be mitigated for the case of carrier-signal-injection-based
methods by increasing the carrier frequency. As
the carrier frequency increases (keeping the carrier voltage
magnitude constant), the carrier-signal current and, consequently,
the associated torque ripple, will decrease. In addition,
as seen in Fig. 12, increasing the carrier frequency was found
to increase the ratio of the rotor-position-dependent saliency
with respect to the saturation-induced saliencies.
VI. CONCLUSION
Three different saliency-based sensorless methods for ac
machines have been analyzed in this paper: negative-sequence
carrier-signal-current-based methods, zero-sequence
carrier-signal-voltage-based methods, and zero-sequence
PWM-switching-voltage-based methods. From the analysis,
the following conclusions are reached.
• All the methods can be used for rotor position estimation
and field orientation, since rotor-position-dependent
saliencies, as well as saturation-induced saliencies, produce
measurable effects.
• The same restrictions have been observed for all of the
methods that result in rotor-position-dependent saliencies,
and specifically rotor–stator slotting saliencies, coupling
with the stator windings and producing measurable effects.
• Saturation-inducedsalienciesinthezero-sequence-voltage
methods, independent of whether they are carrier-signal
basedorPWM-switchingbased,havebeenshowntodepend
on the main flux for the case of open and semi-closed rotor
slot machines. This suggests that they could be useful for
flux angle estimation. Flux angle estimation seems much
more difficult for the case of closed-rotor-slot machines, as
the experiments presented in this paper show that saturation-induced
saliencies for those machines are influenced
by leakage fluxes.
• Zero-sequence-voltage carrier-based methods and
PWM-switching zero-sequence-voltage-based methods
have been shown to share the same physical principles and
to provide similar results. The differences between them
would be mostly related to implementation aspects and it is
not obvious that either method can be viewed as superior.
• The nonideal behavior of the inverter, as well as other secondary
effects like high-frequency phenomena caused by
long cables lengths, shielding, and grounding practices,
has been observed to influence the methods in different
ways. These effects might give rise to relevant differences
in the implementation, robustness, and accuracy of the various
methods studied. However, research on these issues
is still ongoing and definite conclusions cannot be drawn
at this time.
• There are a number of relevant machine-oriented issues
that are the focus of ongoing research, such as the effect
of motor design on attainable accuracy and resolution, and
the number of harmonics needed to achieve a specified accuracy.
These issues also affect the simplicity/complexity
of the relative implementation. The ongoing research in
this area is expected to produce further improvements in
the relative robustness, performance, and cost effectiveness
of the methods and may lead to design evolution of
existing machines to make them more competitive when
using such methods.
ACKNOWLEDGMENT
The authors wish to acknowledge the support and motivation
provided by the University of Oviedo, Gijón, Spain, Ford
Motor Company, and the Wisconsin Electric Machines and
Power Electronics Consortium (WEMPEC) of the University
of Wisconsin, Madison.
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obtain spatial information of AC machines without mechanical sensors,”
in Proc. IEEE APEC’02, Dallas, TX, Mar. 2002, CD-ROM.
Fernando Briz (A’96–M’99) received the M.S. and
Ph.D. degrees from the University of Oviedo, Gijón,
Spain, in 1990 and 1996, respectively.
From June 1996 to March 1997, he was a Visiting
Researcher at the University of Wisconsin, Madison.
He is currently an Associate Professor in the
Electrical Engineering Department, University of
Oviedo. His topics of interest include control systems,
high-performance ac drives control, sensorless
control, and digital signal processing.
Michael W. Degner (S’95–A’98–M’99) received the
B.S., M.S., and Ph.D. degrees in mechanical engineering
from the University of Wisconsin, Madison,
in 1991, 1993, and 1998, respectively, with a focus
on electric machines, power electronics, and control
systems.
In 1998, he joined the Ford Research Laboratory
of Ford Motor Company, Dearborn, MI, where his research
focused on the use of power electronics in automotive
applications. He is currently Project Leader
of the Power Electronics and Electric Drives group
in the Sustainable Mobility Technologies Laboratory of Ford Research and Advanced
Engineering. His interests include control systems, electric machines
and drives, power electronics, and mechatronics.
Pablo García (S’02) was born in Spain in 1975. He
received the M.E. degree in industrial engineering in
2001 from the University of Oviedo, Gijón, Spain,
where he is currently working toward the Ph.D. degree
in electrical engineering.
His research interests include sensorless control
and diagnosis of induction motors, neural networks,
and digital signal processing.
Mr. García was awarded a fellowship of the Personnel
Research Training Programme funded by the
Spanish Ministry of Science and Technology in 2001
Robert D. Lorenz (S’83–M’84–SM’91–F’98)
received the B.S., M.S., and Ph.D. degrees from the
University of Wisconsin, Madison, and the M.B.A.
degree from the University of Rochester, Rochester,
NY.
Since 1984, he has been a member of the faculty
of the University of Wisconsin, Madison, where he
is the Mead Witter Foundation Consolidated Papers
Professor of Controls Engineering in both the Department
of Mechanical Engineering and the Department
of Electrical and Computer Engineering. He is
Co-Director of the Wisconsin Electric Machines and Power Electronics Consortium,
which celebrated its 20th anniversary in 2001. It is the largest industrial
research consortium on motor drives in the world. He is also the thrust leader
for control and sensor integration in the Center for Power Electronic Systems,
an NSF Engineering Research Center (ERC) which is a joint ERC with Virgina
Polytechnic Institute and State University, Rensselaer Polytechnic Institute,
University of Puerto Rico-Mayaguez, and North Carolina A&T. From 1972 to
1982, he was a member of the research staff at the Gleason Works, Rochester,
NY, working principally on high-performance drives and synchronized motion
control. He was a Visiting Research Professor in the Electrical Drives Group,
Catholic University of Leuven, Leuven, Belgium, in the summer of 1989 and
in the Power Electronics and Electrical Drives Institute, Technical University
of Aachen, Aachen, Germany, in the summers of 1987, 1991, 1995, 1997, and
1999, where he also was the SEW Eurodrive Guest Professor from September
1, 2000 until July 7, 2001. In 1969–1970, he conducted Master thesis research
in adaptive control of machine tools at the Technical University of Aachen.
His current research interests include sensorless electromagnetic motor/actuator
technologies, real-time signal processing and estimation techniques, precision
multiaxis motion control, and ac/dc drive and high-precision machine control
technologies. He has authored more than 160 published technical papers and is
the holder of 16 patents, with two more pending.
Dr. Lorenz was the IEEE Industry Applications Society (IAS) President for
2001, a Distinguished Lecturer of the IAS for 2000/2001, immediate past Chair
of the IAS Awards Department, and past Chairman of the IAS Industrial Drives
Committee, and is a member of the IAS Industrial Drives, Electric Machines,
Industrial Power Converter, and Industrial Automation and Control Committees.
He is also the current Chair of the Periodicals Committee for the IEEE Technical
Activities Board. He is a member of the IEEE Sensor Council AdCom. He was
awarded the 2003 IEEE IAS Outstanding Achievement award, which honors his
outstanding contributions and technological developments in the application of
electricity to industry. He has won 15 prize paper awards. He is a Member of the
American Society of Mechanical Enginees, Instrument Society of America, and
The International Society for Optical Engineers. He is a Registered Professional
Engineer in the States of New York and Wisconsin.

B.2 Rotor Position Estimation of AC Machines Using the. . . 225
B.2.
Rotor Position Estimation of AC Machines
Using the Zero-Sequence Carrier-Signal Voltage
[60]

226 Publicaciones
IEEE TRANSACTIONS ON INDUSTRY APPLICATIONS, VOL. 41, NO. 6, NOVEMBER/DECEMBER 2005 1637
Rotor Position Estimation of AC Machines Using
the Zero-Sequence Carrier-Signal Voltage
Fernando Briz, Member, IEEE, Michael W. Degner, Senior Member, IEEE, Pablo García, Student Member, IEEE,
and Juan Manuel Guerrero, Member, IEEE
Abstract—This paper analyzes the sensorless control of ac
machines based on the zero-sequence voltage generated by the injection
of a carrier-signal voltage. The analysis focuses on rotor position
estimation (tracking of rotor-position-dependent saliencies),
but the methods discussed apply equally to flux position estimation
(tracking of flux-dependent saliencies). Analyses of relevant
aspects like selection of the carrier-signal frequency, measurement
of the zero-sequence carrier-signal voltage, and decoupling of
saturation-induced saliencies are included.
Index Terms—Rotor position estimation, saliency-based sensorless
control, zero-sequence voltage.
I. INTRODUCTION
UMEROUS sensorless methods, based on machine models
and measured electrical variables (currents and volt-
N
ages), for estimating the rotor velocity of ac machines have
been proposed [1], [2]. While such methods provide adequate
performance in the medium- and high-speed range, they suffer
from increased parameter sensitivity in the low-speed range.
In addition, for dc excitation, they are incapable of providing
estimates due to the unobservable nature of rotor quantities for
that type of excitation.
To overcome these limitations, saliency (asymmetry)
tracking-based methods have recently been developed [3]–[8].
Since the spatial saliencies tracked by these methods are
intrinsic to the magnetic/mechanical design of the machine,
their location (phase angle) does not change significantly with
respect to their source (flux, rotor/stator structure) as a function
of operating point. Estimating the position of these saliencies,
and hence the rotor position or flux angle, is made possible
at low and zero speeds by the addition of a high-frequency
excitation superimposed on the fundamental excitation. The
major differences between these saliency-based methods are
the type of high-frequency excitation and the signal processing
used for estimating the rotor position.
This paper analyzes the use of zero-sequence carrier-signal
voltage for rotor position estimation in induction machines
when a balanced and symmetric high-frequency carrier-signal
voltage (positive sequence) is applied to the stator windings.
zero-sequence carrier-signal voltage techniques were initially
proposed for flux angle estimation [9] and only recently have
been proposed for rotor position estimation [10]. A difficulty
in using the zero-sequence carrier-signal voltage is its measurement,
which may make it less appealing than methods
utilizing current sensors already present in the drive [3]–[6].
However, there are two major advantages to the use of zerosequence
carrier-signal voltage. First, as observed in [10], the
magnitude of the zero-sequence carrier-signal voltage does not
depend on the frequency of the carrier-signal. This enables the
use of higher carrier-signal frequencies, reducing the resulting
carrier-signal current, the associated torque ripple, and acoustic
noise. Second, harmonics in the carrier-signal voltage due to the
nonideal behavior of the inverter [4], [11] are easier to decouple
from the zero-sequence carrier-signal voltage, increasing the
robustness and accuracy of position estimation.
This paper includes analysis of the physical principles and
mathematical modeling of the proposed method. It also discusses
implementation issues, including the selection of carriersignal
frequency, the effects caused by the nonideal behavior
of the inverter, measurement methods for the zero-sequence
carrier-signal voltage, and decoupling of saturation-induced
saliencies.
Paper IPCSD-05-055, presented at the 2004 Industry Applications Society
Annual Meeting, Seattle, WA, October 3–7, and approved for publication in the
IEEE TRANSACTIONS ON INDUSTRY APPLICATIONS by the Industrial Drives
Committee of the IEEE Industry Applications Society. Manuscript submitted
for review February 14, 2005 and released for publication August 8, 2005.
This work was supported in part by the Research, Technological Development,
and Innovation Programs of the Principado of Asturias-ERDF under Grant
PB02-055 and by the Spanish Ministry of Science and Technology-ERDF under
Grant DPI2001-3815.
F. Briz, P. García, and J. M. Guerrero are with the Department of Electrical,
Computer, and Systems Engineering, University of Oviedo, Gijón 33204,
Spain (e-mail: fernando@isa.uniovi.es; pgarcia@isa.uniovi.es; guerrero@isa.
uniovi.es).
M. W. Degner is with the Electric Machine Drive Systems Department, Sustainable
Mobility Technologies, Ford Motor Company, Dearborn, MI 48121-
2053 USA (e-mail: mdegner@ford.com).
Digital Object Identifier 10.1109/TIA.2005.857469
0093-9994/$20.00 © 2005 IEEE
II. SALIENCY-TRACKING-BASED SENSORLESS
TECHNIQUES USING THE ZERO-SEQUENCE
CARRIER-SIGNAL VOLTAGE
Carrier-signal based sensorless methods inject a highfrequency
excitation signal (current or voltage) that interacts
with the machine saliencies to produce components in measurable
electrical variables. These components are then used to
estimate the position of the saliency. When a machine is excited
with a high-frequency signal, its response can be modeled
using the stator transient inductance provided that the excitation
frequency is substantially faster than the stator transient time
constant [3], [7], [10]. When the machine is salient, assuming
the saliency varies sinusoidally, the stator transient inductance

B.2 Rotor Position Estimation of AC Machines Using the. . . 227
1638 IEEE TRANSACTIONS ON INDUSTRY APPLICATIONS, VOL. 41, NO. 6, NOVEMBER/DECEMBER 2005
Fig. 1.
Injection of the carrier-signal voltage.
can be modeled as consisting of a constant term and a varying
saliency-position-dependent term (1)–(3) [10]
v an =(ΣL σs+2∆L σs cos(h θ e)) dia
dt
(
( (
v bn = ΣL σs+2∆L σs cos h θ 2π e−
3
(
( (
v cn = ΣL σs+2∆L σs cos h θ 4π e−
3
))) dib
dt
))) dic
dt
where ΣL σs and ∆L σs are the average and differential stator
transient inductances, h is the harmonic order of the saliency
relative to electrical angular units, and θ e is the angular position
of the saliency in electrical radians.
While (1)–(3) are valid for any form of high-frequency excitation,
this paper focuses on the particular case of a balanced
and symmetric high-frequency voltage excitation (Fig. 1)
vqds_c s = V ce jθc ω c = dθc
dt . (4)
The resulting zero-sequence voltage
v0s s = 1 (van + vbn + vcn) (5)
3
can be used to extract the saliency position information.
Using (1)–(3) and provided that no zero-sequence currents
exist (6), the zero-sequence voltage can be calculated as a
function of the phase voltages v a, v b, and v c, and phase inductances
(7), i.e.,
(1)
(2)
(3)
di a
dt + dib
dt + dic =0
dt
(6)
v0s s vaLbLc + vbLaLc + vcLaLb
= − .
L bL c + L aL c + L aL b
(7)
Note that the inductances L a, L b, and L c in (7) stand for the
inductance terms in (1)–(3), respectively.
Using (4) to calculate the resulting phase voltages
v a = V c cos(ω ct) (8)
(
v b = V c cos ω ct − 2π )
(9)
3
(
v c = V c cos ω ct − 4π )
(10)
3
substituting these as well as the inductance terms L a, L b,
and L c from (1)–(3) into (7) allows an analytical solution for
the zero-sequence carrier-signal voltage to be obtained as that
shown in (11) at the bottom of the page.
While (11) is the general solution of the zero-sequence
carrier-signal voltage, it does not provide much insight about
its nature. Much simpler and more insightful solutions of (11)
are obtained by considering specific values for h:
1) for h = 1, 4, 7, ...
v0sc s =V 0ch cos(ω ct−hθ e)−V 0c2h cos(ω ct+2hθ e) (12)
2) for h = 2, 5, 8, ...
v0sc s =V 0ch cos(ω ct+hθ e)−V 0c2h cos(ω ct−2hθ e) (13)
3) for h = 3, 6, 9, ...
v0sc s = 0 (14)
where V 0ch =(V cΣL σs∆L σs)/(ΣL 2 σs − ∆L 2 σs) is the
magnitude of the hθ e component of the zero-sequence
carrier-signal voltage and V 0c2h =(V c∆L 2 σs)/(ΣL 2 σs −
∆L 2 σs) is the magnitude of the −2hθ e component of the
zero-sequence carrier-signal voltage.
Some interesting conclusions can be obtained from the
analysis of (12)–(14).
1) For values of h that are not integer multiples of three,
the zero-sequence voltage is seen to consist of two phasemodulated
components at hθ e and −2hθ e, respectively.
2) The magnitude of the second component V 0c2h is negligible
when compared to the magnitude of the first
component V 0ch when ∆L σs ≪ ΣL σs, which is typically
the case.
3) The magnitudes of the two components are independent
of the carrier-signal frequency assuming that the
magnitudes of the average and differential stator transient
inductances are not a function of the carrier-signal
frequency.
4) For h = 3, 6, ... (triplen harmonics), no zero-sequence
carrier-signal voltage is produced.
v s 0sc
( (cos ( 2
3 hπ) −1 ) cos(θ ( c) 2∆L σs sin 2 (hθ e)+ΣL σs cos(hθ ) e) −(ΣL σs+2∆L σs cos(hθ √ e)) 3 sin(θ ( 2
c)sin(hθ e)sin 3 hπ))
= V c (
3ΣL 2 σs+4ΣL σs∆L σs cos(hθ ( e) 2 cos ( 2
3 hπ) +1 ) (
+4∆L 2 σs cos(hθ ( e) 2 2 cos ( 2
3 hπ) +1 ) − sin ( )) 2
3 hπ) 2
(11)

228 Publicaciones
BRIZ et al.: ROTOR POSITION ESTIMATION OF AC MACHINES USING ZERO-SEQUENCE CARRIER-SIGNAL VOLTAGE 1639
A. Carrier-Signal Current
Injection of the carrier-signal voltage produces a carriersignal
current. Its analytical form
i s qds_c = −jI cpe jωct − jI cne j(± hθe−ωct) (15)
where I cp =(V c/ω c)(ΣL σs/(ΣL 2 σs − ∆L 2 σs)) and I cn =
(V c/ω c)(∆L σs/(ΣL 2 σs − ∆L 2 σs)), can be determined from the
same set of equations used to obtain the zero-sequence carriersignal
voltage [10].
The use of the negative sequence carrier-signal current for
saliency position estimation has been widely studied [3]–[5]
and is not covered in this paper. Since the sensorless method
analyzed in this paper only uses the zero-sequence voltage, the
presence of the carrier-signal current is an unwanted effect as it
produces noise, vibration, and additional losses. One interesting
fact that can be observed from (15) is that the magnitude of
the carrier-signal current is inversely proportional to the carriersignal
frequency. This implies that increasing the carrier-signal
frequency, for a constant carrier-signal voltage, reduces the
carrier-signal current and its adverse effects.
B. Rotor Position Estimation Using the Zero-Sequence
Carrier-Signal Voltage
Using high-frequency excitation for rotor position estimation
requires a rotor position-dependent saliency that couples with
the stator windings to produce a measurable signal. Although
rotor position-dependent saliencies are sometimes present in
standard machine designs due to the combined effect of rotor
and stator slotting [4], [5], [7], [10], they can also be specifically
created in several ways [3], [6]. In all cases, rotor designs with
open or semi-open slots are needed.
Independent of how a saliency is created, in order for it to
couple with the stator windings and produce a zero-sequence
carrier-signal voltage, the expression
h sp = n · p, n = 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, ... (16)
needs to be satisfied, assuming the machine has an integer
number of slots per pole per phase, where p is the number of
poles and h sp is the saliency harmonic order relative to 360
mechanical degrees.
Saliencies caused by the combination of rotor and stator
slotting produce a permeance waveform that has a fundamental
spatial harmonic given by
h sp = |R − S| (17)
where S and R are equal to the number of stator and rotor slots,
respectively. The fundamental of this permeance waveform
rotates at the mechanical speed shown in [5], [10]
R
ω p = ωrm. (18)
(R − S)
Fig. 2 shows the frequency spectrum of the zero-sequence
carrier-signal voltage (5) in a test machine, for both no fundamental
excitation and rated flux, rated load. The parameters
Fig. 2. Frequency spectrum of the zero-sequence carrier-signal voltage
ωc = 500 Hz, Vc = 20 V (peak). (a) No fundamental current, ωr = 1Hz.
(b) Rated flux-rated load, ωe = 4Hz,ωr = 1Hz.
TABLE I
INDUCTION MOTOR PARAMETERS
of this machine are shown in Table I. There are two important
observations that can be seen in Fig. 2. First, rotor–stator
slotting produces a rotor-position-dependent modulation of the
zero-sequence carrier-signal voltage of the form
v s 0sc = V 0ch cos(ω ct + hθ r) (19)
with h being the number of rotor slots per pole pair (14 for
this case).
Second, when fundamental current exists, saturation-induced
saliencies are also created [harmonics in Fig. 2(b) that are
functions of the fundamental excitation frequency ω e]. While
those saliencies may be useful for flux angle estimation, they
are a disturbance to rotor position estimation and need to be
decoupled or otherwise compensated for in order to minimize
the estimation error.
In addition to the rotor–stator slotting saliency and
saturation-induced saliencies, some level of asymmetry in the
stator windings due to the manufacturing process usually exists.
This produces a stationary saliency, which can give rise to
a measurable component of the zero-sequence carrier-signal
voltage. However, such a component would be expected to
be similar from machine-to-machine with the same design,
being relatively easy to decouple. Additional asymmetries, e.g.,
eccentricities in the rotor, have not been observed to cause
any measurable effect in healthy machines. Other potential
sources of saliencies would be those caused by faults in the
machine, including turn-to-turn faults in the stator windings,
and damaged rotor bars. The actual impact of such saliencies
on the zero-sequence carrier-signal voltage, and therefore on
the estimated position, would strongly depend on the level
of fault.
III. SELECTION OF THE CARRIER-SIGNAL FREQUENCY
Selection of the carrier-signal frequency involves several
tradeoffs. Increasing the carrier-signal frequency has two major
advantages: 1) the carrier-signal current magnitude is reduced

B.2 Rotor Position Estimation of AC Machines Using the. . . 229
1640 IEEE TRANSACTIONS ON INDUSTRY APPLICATIONS, VOL. 41, NO. 6, NOVEMBER/DECEMBER 2005
Fig. 3. Experimentally measured magnitude of the 2ωe and 14ωr components
of the zero-sequence carrier-signal voltage as a function of the carrier-signal
frequency for the motor in Table I. The motor was operated at rated flux, rated
load. A carrier-signal voltage of 20 V (peak) was used.
Fig. 4.
network.
Zero-sequence voltage measurement using a balanced resistor
A. Zero-Sequence Voltage Measurement Using
Phase-to-Neutral Voltages
and 2) the spectral separation with respect to the fundamental
excitation is increased, which reduces the interaction between
the fundamental excitation and the carrier-signal excitation
[12]. However, increasing the carrier-signal frequency has some
detrimental effects, most of them related to the nonideal behavior
of the inverter. These effects are analyzed in the following
section.
The theoretical model developed in Section II was based
on the high-frequency behavior of the machine. One of the
more interesting conclusions reached from this model was
that the zero-sequence carrier-signal voltage is independent
of the carrier-signal frequency. This conclusion is only valid
if the average and differential stator transient inductances are
not functions of the carrier-signal frequency. Fig. 3 shows
the magnitudes of the rotor–stator slotting and the saturationinduced
components of the zero-sequence carrier-signal voltage
for several carrier-signal frequencies. From Fig. 3, it can be
seen that the rotor-position-dependent component’s magnitude
is almost constant, independent of the carrier-signal frequency,
while the saturation-induced component’s magnitude decreases
as ω c increases. This suggests that increased carrier-signal
frequencies would result in a slight reduction in the sensitivity
to the presence of saturation-induced components for detecting
rotor-position-dependent components.
Unless otherwise stated, all the experimental results presented
in this paper used a carrier-signal frequency of ω c =
2500 Hz and a carrier-signal voltage magnitude of V c = 20 V
(peak). This resulted in a carrier-signal current (15) with
a magnitude of 48 mA (peak), which corresponds to 1.2%
of the rated current. The inverter switching frequency was
ω s = 15 kHz, with a dead time of 2 µs. No compensation of
the dead time was implemented.
IV. IMPLEMENTATION ISSUES AFFECTING THE
CARRIER-SIGNAL VOLTAGE EXCITATION AND
MEASUREMENT OF THE ZERO-SEQUENCE
CARRIER-SIGNAL VOLTAGE
The injection of the carrier-signal voltage and the measurement
of the resulting zero-sequence carrier-signal voltage are
simple in principle (Fig. 1). There are, however, a number of
implementation issues that can strongly influence the results.
These issues are analyzed in this section.
Calculating the zero-sequence voltage using (5) implies measuring
the three phase-to-neutral voltages. One advantage of
measuring the phase-to-neutral voltages is that zero-sequence
components present in the phase voltages v a, v b, and v c are
automatically decoupled, with the measured zero-sequence
voltage only consisting of the components induced by the
interaction between the carrier-signal excitation and the asymmetries
in the machine. This requires the use of three voltage
sensors, which increases the cost of the system. Methods that
use a single voltage sensor are analyzed next.
B. Zero-Sequence Voltage Measurement Using the Neutral
Voltage and the Midpoint of the DC Bus
An alternative to measuring the phase-to-neutral voltages
directly is to measure the neutral voltage of the electric machine
with respect to the midpoint of the dc bus v n0 (Fig. 4). This
requires only a single voltage sensor. With the phase voltages
v a, v b, and v c referred to the midpoint of the dc-bus voltage, (5)
can be rewritten as
v n0 = 1 3 (va + vb + vc) − vs 0s. (20)
It can be observed from (20) that the zero-sequence voltage
measured with respect to the midpoint of the dc bus contains
not only the components induced by the interaction of the
carrier-signal voltage with the saliency (5) but also components
injected by the inverter
v0abc s = 1 (va + vb + vc). (21)
3
Although these inverter-generated components make the task
more difficult, it does not mean that v n0 cannot still provide
useful information. Since the proposed technique is based on
the tracking of specific components, i.e., those around the
carrier-signal frequency, the zero-sequence voltage v n0 can be
used instead of (5) provided that the zero-sequence voltage
injected from the inverter (21) is spectrally separated from the
carrier-signal frequency.
Fig. 5 shows the spectrum of the zero-sequence voltage v n0.
The frequencies corresponding to the most relevant components
are labeled. The components at 3ω e and near ω c are induced

230 Publicaciones
BRIZ et al.: ROTOR POSITION ESTIMATION OF AC MACHINES USING ZERO-SEQUENCE CARRIER-SIGNAL VOLTAGE 1641
Fig. 5. Experimentally measured spectrum of the zero-sequence voltage vn0.
The motor was operated at rated flux, rated load.
by saliencies. The first is caused by the interaction of the
fundamental excitation and saturation. The second is caused
by interaction between the carrier-signal voltage and either
rotor–stator slotting or saturation-induced saliencies. Most of
the remaining components are produced by the inverter. Although
not seen in the figure due to the limited frequency scale,
additional high-frequency zero-sequence voltage components
exist, including higher-order harmonics of the switching frequency
and components caused by the combined effect of fast
switching transients at the inverter output and parasitics in the
motor windings and inverter to motor cabling.
Separating the saliency position information carrying components
in v n0 from the other components injected by the
inverter can be done using filters. Analog anti-aliasing filters
are necessary to filter-off frequencies above the Nyquist frequency,
i.e., half of the sampling frequency (typically equal to
the switching frequency). The components eliminated by this
filtering would include components at the switching frequency,
components at ω s ± ω c, and components at higher frequencies
not shown in the figure. Components at lower frequencies that
have a large spectral separation from the carrier-signal frequency
are also easy to filter. This is the case for the component
at 3ω e.
The filtering of zero-sequence voltage components with reduced
spectral separation from the desired carrier-signal components
can present more problems. This is analyzed next.
Components Near the Carrier-Signal Frequency Caused by
Intermodulation: The injection of the carrier-signal voltage
using pulsewidth modulation produces a group of intermodulation
components in the zero-sequence voltage at frequencies
that are a combination of the fundamental excitation frequency
and the carrier-signal frequency. Several implementation issues
have been observed to influence these components at frequencies
near the carrier-signal frequency. Examples of this are
observed in Fig. 6. In Fig. 6 (left column), the spectra of
the zero-sequence voltage v n0 for two different modulation
methods (sine triangle and space vector modulation) and two
different carrier-signal frequencies are shown. From Fig. 6,
several conclusions can be reached.
1) For relatively low carrier-signal frequencies with sinetriangle
modulation, the intermodulation components of
the zero-sequence voltage near the carrier-signal frequency
were found to be relatively minor [Fig. 6(a)].
Other implementation issues like the dead time of the
inverter were found to influence these components, so this
conclusion may not be general in nature.
Fig. 6. Frequency spectrum of the zero-sequence carrier-signal voltage measured
in the neutral connection of the motor (left) and zero-sequence carriersignal
voltage (right) for different modulation techniques and carrier-signal
frequencies. A carrier-signal voltage of 20 V (peak) was used, and the motor
was operated at rated flux, rated load ωe = 4 Hz, ωr = 1 Hz. (a) Sinetriangle
modulation ωc = 500 Hz. (b) Space-vector modulation, ωc = 500 Hz.
(c) Sine-triangle modulation, ωc = 500 Hz.
2) Standard space-vector modulation produces large
amounts of zero-sequence components near the carriersignal
frequency that cause a tremendous distortion
in the neutral voltage v n0 [Fig. 6(b)]. This effect is
caused by the intermodulation of the zero-sequence
components from standard space vector modulation with
carrier-signal excitation.
3) A zero-sequence voltage component at ω c−ω e was found
for the case of very high carrier-signal frequencies. An
example of this can be observed in Fig. 6(c).
The intermodulation components that are near the carriersignal
frequency are very difficult to compensate due to the
lack of spectral separation from the signals of interest. Although
this does not preclude using the voltage v n0 instead of the three
phase-to-neutral voltages for measuring the zero-sequence
carrier-signal voltage, it does mean that its use should be carefully
verified for each particular implementation. An alternative
method for the measurement of the zero-sequence voltage,
which requires a single voltage sensor and eliminates most of
the problems detailed up to this point in this section, is presented
in the following section.
C. Zero-Sequence Voltage Measurement Using an Auxiliary
Resistor Network
A method of mitigating the effects created by invertergenerated
zero-sequence voltages is to measure them directly
and then decouple them. The measurement of these voltages
can be made by connecting a balanced three-phase load in
parallel with the motor, as shown in Fig. 4 for the case of a
balanced resistor network [13]. In this case, it can be shown that

B.2 Rotor Position Estimation of AC Machines Using the. . . 231
1642 IEEE TRANSACTIONS ON INDUSTRY APPLICATIONS, VOL. 41, NO. 6, NOVEMBER/DECEMBER 2005
Fig. 7. Experimentally measured spectrum of the zero-sequence voltage
vn_nR. The motor was operated at rated flux, rated load.
the resistor network’s common terminal voltage, referred to the
midpoint of the dc bus, is equal to the zero-sequence voltage
produced by the inverter, i.e.,
v nR = v 0abc. (22)
This assumes that the parasitic components of the resistor network
are negligible in the frequency range of interest (< 5kHz).
In practice, this was found to be a good assumption.
From (20)–(22), the machine’s zero-sequence voltage can
then be measured as the difference of the voltage at the machine’s
neutral point and the resistor network’s neutral point
(see Fig. 4), i.e.,
v n_nR = v nR − v n. (23)
Fig. 7 shows the frequency spectrum of the zero-sequence
voltage measured using (23). By comparison with Fig. 5, it can
be observed that a significant portion of the zero-sequence voltage
generated by the inverter has been effectively decoupled.
The advantages of using the auxiliary resistor network with
respect to components generated by the inverter can be seen
in Fig. 6 (right column). Resistors of 15 kΩ were used. From
this figure, it can be observed that the resistor network removed
the inverter-generated components, with the resulting frequency
spectra being almost identical, independent of the modulation
method or carrier-signal frequency.
The use of the auxiliary resistor network has proven to be
effective in support of the experiments carried out as part of
this work. Due to this, all measurements of the zero-sequence
voltage presented hereafter were obtained using it. A hall effect
voltage sensor was used, the measured signal being sampled
using a 10-bit A/D converter. The experiments carried out to
verify its effectiveness included using different cable lengths,
ranging from 2 to 50 m, both shielded and unshielded.
V. F ILTERING OF THE ZERO-SEQUENCE
CARRIER-SIGNAL VOLTAGE
The zero-sequence voltage measured using (23) still contains
several components unrelated to the desired saliency position,
including triplen harmonics of the fundamental excitation and
inverter switching-related harmonics (see Fig. 7). There are
several options for implementing filters to separate the zerosequence
carrier-signal voltage from the voltage v n_nR. Ideally,
these filters should cause minimal distortion, especially in the
phase of the zero-sequence carrier-signal voltage since it contains
the desired saliency position information. Otherwise,
compensation of the phase distortion is required.
The separation of specific components from the zero-sequence
voltage can be accomplished using an analog bandpass
filter. The design of this filter needs to cutoff high-frequency
components that could cause aliasing, mostly switching related,
and to reject the low-frequency components, mainly triplen
harmonics of the fundamental excitation. A resonant filter is
one option to achieve these goals. This type of filter has
the disadvantage, however, that its maximum phase slew rate
(phase versus frequency variation) occurs in its pass frequency.
This makes the compensation of the phase very sensitive to
errors in the signal frequency.
These drawbacks can be overcome by using serially connected
notch and low-pass filters. The block diagram for this
form of filtering is shown in Fig. 8(a). The notch filter was
tuned to reject the components at the switching frequency while
the low-pass filter was tuned to reject higher frequencies. The
low-pass filter cutoff frequency was chosen to be high enough
that an almost linear phase and a reduced phase slew rate
existed near the carrier-signal frequency. This allows the phase
shift caused by the filter to be easily compensated. The Bode
diagram of the filter is shown in Fig. 8(b).
The zero-sequence voltage sampled by the analog-to-digital
converter shown in Fig. 8(a) mainly contains components near
the carrier-signal frequency and triplen harmonics of the fundamental
excitation. These have the form
v 0 = V 0ch sin(ω ct + hθ r)+V 03ωe sin(3ω et + θ e) (24)
that is consistent with the content seen in Fig. 7 after the analog
filtering from Fig. 8(a).
Prior to extraction of the rotor position information from
the zero-sequence voltage, the sampled zero-sequence voltage
is converted into a carrier-signal synchronous complex voltage
vector
v c 0qd = v 0e −jωct . (25)
The resulting complex voltage vector is given by [10], [12]
v0qd c = −j
(e V0c jhθr − e −j(hθr+2ωct))
2
− j V03ωe
2
(
e j((ωc+3ωe)t+θe) − e −j(−ωc+3ωe)t+θe)) . (26)
Low-pass filtering this signal produces the zero-sequence
carrier-signal voltage vector
v c 0qd_c = −jV 0che jhθr (27)
that has its phase angle modulated by the saliency position.

232 Publicaciones
BRIZ et al.: ROTOR POSITION ESTIMATION OF AC MACHINES USING ZERO-SEQUENCE CARRIER-SIGNAL VOLTAGE 1643
Fig. 8. Block diagram and frequency response of the filtering implemented to isolate the zero-sequence carrier-signal voltage. The fourth-order low-pass
Butterworth filter was designed for a cutoff frequency of 6 kHz, and the second-order 15-kHz notch filter was designed for a bandwidth of 1 kHz. (a) Signal
processing block diagram. (b) Bode diagram of the analog filtering (carrier-signal frequency of 2500 Hz, the phase around the carrier-signal frequency is zoomed).
While not strictly necessary, this transformation was found to
be convenient as it enables the use of filtering methods specific
to complex vectors to obtain the saliency position.
VI. MODELING AND DECOUPLING OF
SATURATION-INDUCED SALIENCIES
In addition to the components shown in (24)–(27), saturationinduced
saliencies often produce additional components in the
zero-sequence carrier-signal voltage vector [Fig. 2(b)]. This can
be seen in Fig. 9(b). In this figure, the zero-sequence carriersignal
voltage vector contains a rotor-dependent component
rotating at 14ω r and saturation-induced components, the most
significant at 2ω e and −4ω e.
Accurate rotor position estimation requires that these
saturation-induced components be compensated for or decoupled.
One method of doing this is to first measure and store
the saturation-induced components as a function of operating
condition during an offline commissioning process. The stored
values can then be used for online decoupling during the regular
sensorless operation of the drive.
Fig. 9(c) shows the 2ω e component of the zero-sequence
carrier-signal voltage vector from Fig. 9(b), isolated using
off-line digital signal processing. To analyze the influence of
saturation, the magnitudes and phase angles, relative to the
stator current [Fig. 9(a)], of the 2ω e and −4ω e components of
the zero-sequence carrier-signal voltage vector (V 02ωe , V 04ωe ,
θ 0_2ωe , and θ0_4ωe, respectively) were measured for different
operating conditions (levels of flux and load). Since saturationinduced
components of the zero-sequence carrier-signal voltage
vector do not rotate at the same frequency as the stator current,
the measured phase angles θ 0_2ωe and θ0_4ωe correspond to the
instant when the angle of the stator current vector was equal to
zero. This is illustrated in Fig. 10, where the complex vector
representation of the stator current in Fig. 9(a) and of the 2ω e
component of the zero-sequence carrier-signal voltage vector in
Fig. 9(c) are shown.
Fig. 11 shows the magnitude and phase, relative to the stator
current angle, of the 2ω e component of the zero-sequence
carrier-signal voltage as a function of the slip frequency and
fundamental current level. The estimated trajectory of the stator
current magnitude as a function of the slip frequency, when the
machine is operated under field oriented control and constant
rotor flux, is marked on top of the plots. From that figure, some
interesting conclusions can be reached.
1) Both magnitude and phase are smooth functions. In addition,
a noticeable symmetry is observed between motoring
and generating operation modes.
2) The phase depends strongly on the slip frequency and
is barely affected by the stator current magnitude. This
suggests that it is mostly related to the main flux of the
machine [10].
3) The magnitude is almost constant when the machine is
operated with constant rotor flux. It also decreases for
large slips and small current magnitudes, which correspond
to the machine working with reduced levels of flux.
While data similar to that shown in Fig. 11 would be necessary
when a machine is operated with arbitrary levels of rotor

B.2 Rotor Position Estimation of AC Machines Using the. . . 233
1644 IEEE TRANSACTIONS ON INDUSTRY APPLICATIONS, VOL. 41, NO. 6, NOVEMBER/DECEMBER 2005
Fig. 9. Measurement and compensation of saturation-induced harmonics of
the zero-sequence carrier-signal voltage vector. (a) i s qs, i s ds .(b)vc 0q_c , vc 0d_c .
(c) v c , 0q_2ωe vc 0d_2ωe .(d)vc , 0q_14ωr vc .
0d_14ωr
Fig. 11. Magnitude and phase of the 2ωe harmonics of the zero-sequence
carrier-signal voltage vector as a function of slip and fundamental current level.
(a) V02ωe .(b)θ0_2ωe.
Fig. 10. Stator current complex vector and 2ωe component of the zerosequence
carrier-signal voltage vector from Fig. 9(a) and (c), respectively.
Measurement of the compensating angle θ0_2ωe of the component at 2ωe of
the zero-sequence carrier-signal voltage vector is made when the stator current
angle is 0 (t = 0 in the figure).
flux, simplifications can be made when it is operated with a
constant rotor flux (field weakening above rated speed is not
considered since the proposed method is intended to be used
only at low or zero speeds). In this case, the slip frequency
and stator current have a defined relationship (constant rotor
flux curves shown in Fig. 11). Fig. 12 shows the magnitude
and phase of the 2ω e and −4ω e saturation-induced components
of the zero-sequence carrier-signal voltage vector when the
machine is operated with constant rotor flux. These values
were stored in look-up tables during a commissioning process,
and later accessed, according to the q-axis (torque producing)
current, during the sensorless operation of the drive, as shown in
Fig. 13. Linear interpolation was used when the q-axis current
did not exactly correspond to an entry in the table.
Fig. 12. Magnitude and phase of the 2ωe and −4ωe harmonics of the
zero-sequence carrier-signal voltage vector as a function of the slip when
the machine is operated with constant rotor flux. (a) V02ωe (◦), V04ωe(□).
(b) θ0_2ωe (◦), θ0_4ωe(□).
Fig. 9(d) shows the resulting zero-sequence carrier-signal
voltage vector obtained from the signal shown in Fig. 9(b) using
the data from Fig. 12 and the decoupling shown in Fig. 13. The
estimated phase angle of the 2ω e saturation-induced component
is calculated using (see Fig. 10)
θ 2ωe
=2ϕ e + θ 0_2ωe . (28)

234 Publicaciones
BRIZ et al.: ROTOR POSITION ESTIMATION OF AC MACHINES USING ZERO-SEQUENCE CARRIER-SIGNAL VOLTAGE 1645
Fig. 13. Decoupling of saturation-induced components of the zero-sequence
carrier-signal voltage vector and rotor position and velocity estimation using a
tracking observer.
Fig. 15. Sensorless position control when a position step from 0 ◦ to 90 ◦
is commanded. The machine was operated at rated flux and 80% rated load.
(a) ˆθr. (b)θr − ˆθr.(c)ˆθrf.
Fig. 16.
Estimated rotor position error at rated flux, rated load.
Fig. 14. Sensorless velocity control when rated load is applied to the machine.
The machine was operated at rated flux. (a) i e qs. (b)ˆθr. (c)ˆωr.
The resulting compensating 2ω e zero-sequence complex voltage
vector is calculated using
v c 0qd_2ωe = V02ωeejθ 2ω t e . (29)
A similar procedure and equations were used for the −4ω e
component.
In Fig. 12, only 13 entries per parameter were used in the
look-up table (52 total). This means that both memory and
computational requirements for its on-line implementation are
minimal.
VII. SENSORLESS VELOCITY AND POSITION CONTROL
Sensorless field orientation, velocity, and position control
were implemented using the proposed method. The motor was
operated at rated flux, and saturation-induced saliencies were
decoupled using the scheme shown in Fig. 13. The rotor angle
and velocity were estimated using a tracking observer [3], [5].
Fig. 14 shows the transient response during velocity control
when rated load is applied and then removed. The speed reference
was held constant at 30 r/min. It is observed from Fig. 14
that the speed briefly reverses after the torque step is applied.
This response depends, in addition to the performance of the
sensorless method, on issues like the mechanical inertia, and
the bandwidth of the current and speed regulators. The same
was obtained when the machine was operated with sensored
control using the same bandwidth controllers.
Fig. 15 shows the estimated rotor position, the estimation
error, and the estimated rotor flux angle when the machine is
operated in sensorless position control and a position step is
commanded. A constant load torque of 80% of its rated value
was applied. Stable operation and good dynamic response are
observed during both speed and position sensorless control.
Fig. 16 shows the estimated rotor position error when the
machine is operated at standstill in sensorless position control
at rated flux, rated load.
VIII. CONCLUSION
The use of the zero-sequence carrier-signal voltage for rotor
position estimation of induction machines has been analyzed
in this paper. While sharing some properties with negativesequence
carrier-signal current-based techniques, it provides
two major advantages: 1) the magnitude of the zero-sequence
voltage does not depend on the carrier-signal frequency and

B.2 Rotor Position Estimation of AC Machines Using the. . . 235
1646 IEEE TRANSACTIONS ON INDUSTRY APPLICATIONS, VOL. 41, NO. 6, NOVEMBER/DECEMBER 2005
2) the distortion that the inverter has on the injected carriersignal
voltage can be readily compensated.
Implementation issues that affect the performance of the
method were discussed, including selection of the carriersignal
frequency, measurement of the zero-sequence carriersignal
voltage, and decoupling of saturation-induced saliencies.
Experimental results that confirm the capability of the method
to provide accurate high-bandwidth position estimates at low
and zero speed at rated flux and rated load were presented.
ACKNOWLEDGMENT
The authors wish to acknowledge the support and motivation
provided by the University of Oviedo, Spain, and the Ford
Motor Company.
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speed by offset compensation of stator voltage in sensorless vector controlled
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for vector controlled induction motor drives using an asymmetric outersection
cage,” in Conf. Rec. IEEE-IAS Annu. Meeting, San Diego, CA,
Oct. 1996, pp. 286–292.
[7] J. Holtz and H. Pan, “Elimination of saturation effects in sensorless position
controlled induction motors,” IEEE Trans. Ind. Appl., vol. 40, no. 2,
pp. 623–631, Mar./Apr. 2004.
[8] M. Schroedl, “Sensorless control of AC machines at low speed and standstill
based on the inform method,” in Conf. Rec. IEEE-IAS Annu. Meeting,
Chicago, IL, Sep./Oct. 2001, CD-ROM.
[9] A. Consoli, G. Scarcella, and A. Testa, “A new zero-frequency fluxposition
detection approach for direct-field-oriented-control drives,” IEEE
Trans. Ind. Appl., vol. 36, no. 3, pp. 797–804, May/Jun. 2000.
[10] F. Briz, M. W. Degner, P. García, and R. D. Lorenz, “Comparison of
saliency-based sensorless control techniques for AC machines,” IEEE
Trans. Ind. Appl., vol. 40, no. 4, pp. 1153–1161, Jul./Aug. 2004.
[11] J. M. Guerrero, M. Leetmaa, F. Briz, A. Zamarron, and R. D. Lorenz,
“Inverter nonlinearity effects in high frequency signal injection-based,
sensorless control methods,” IEEE Trans. Ind. Appl., vol. 41, no. 2,
pp. 618–626, Mar./Apr. 2005.
[12] F. Briz, M. W. Degner, P. García, and A. Diez, “Transient operation
of carrier-signal injection based sensorless techniques,” in Proc. IEEE
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[13] J. X. Shen, Z. Q. Zhu, and D. Howe, “Sensorless flux-weakening control
of permanent brushless machines using third-harmonic back-EMF,” in
Proc. IEEE Int. Electric Machines and Drives Conf. (IEMDC), Madison,
WI, Jun. 2003, CD-ROM.
Fernando Briz (A’96–M’99) received the M.S. and
Ph.D. degrees from the University of Oviedo, Gijón,
Spain, in 1990 and 1996, respectively.
From June 1996 to March 1997, he was a Visiting
Researcher at the University of Wisconsin, Madison.
He is currently an Associate Professor in the
Department of Electrical, Computer and Systems
Engineering, University of Oviedo. His topics of
interest include control systems, high-performance
ac drives control, sensorless control, diagnostics, and
digital signal processing.
Dr. Briz received the 2005 IEEE TRANSACTIONS ON INDUSTRY
APPLICATIONS Third Place Prize Paper Award and was the recipient of two
IEEE Industry Applications Society Conference prize paper awards in 1997
and 2004, respectively.
Michael W. Degner (S’95–A’98–M’99–SM’05) received
the B.S., M.S., and Ph.D. degrees in mechanical
engineering from the University of Wisconsin,
Madison, in 1991, 1993, and 1998, respectively, with
focus on electric machines, power electronics, and
control systems. His Ph.D. dissertation was on the
estimation of rotor position and flux angle in electric
machine drives.
In 1998, he joined the Ford Research Laboratory,
Dearborn, MI, working on the application of electric
machines and power electronics in the automotive
industry. He is currently the Manager of the Electric Machine Drive Systems
Department of the Sustainable Mobility Technologies and Hybrid Programs
Group, Ford Motor Company, where he is responsible for the development of
all electric machines and their control systems for hybrid and fuel cell vehicle
applications. His interests include control systems, machine drives, electric
machines, power electronics, and mechatronics.
Dr. Degner received the 2005 IEEE TRANSACTIONS ON INDUSTRY
APPLICATIONS Third Place Prize Paper Award and has been the recipient of
several IEEE Industry Applications Society Conference paper awards.
Pablo García (S’02) was born in Spain in 1975. He
received the M.E. degree in industrial engineering
from the University of Oviedo, Gijón, Spain, in 2001,
and is currently working toward the Ph.D. degree in
electrical engineering at the same university.
His research interests include sensorless control
and diagnosis of induction motors, neural networks,
and digital signal processing.
Mr. García was awarded a Fellowship of the Personnel
Research Training Programme funded by the
Spanish Ministry of Science and Technology in 2001.
Juan Manuel Guerrero (S’00–A’03–M’04) was
born in Gijón, Spain, in 1973. He received the M.E.
degree in industrial engineering and the Ph.D. degree
in electrical and electronic engineering from the University
of Oviedo, Gijón, Spain, in 1998 and 2003,
respectively.
Since 1999, he has been a Teaching Assistant in
the Department of Electrical, Computer and Systems
Engineering, University of Oviedo. From February
to October 2002, he was a Visitor Scholar at the University
of Wisconsin, Madison. His research interests
include parallel-connected motors fed by one inverter, sensorless control of
induction motors, control systems, and digital signal processing.
Dr. Guerrero received an award from the College of Industrial Engineers of
Asturias and León, Spain, for his M.E. thesis in 1999.

B.3 Rotor and Flux Position Estimation in Delta-Connected. . . 237
B.3.
Rotor and Flux Position Estimation in Delta-
Connected AC Machines Using the Zero-Sequence
Carrier-Signal Current [59]

238 Publicaciones
IEEE TRANSACTIONS ON INDUSTRY APPLICATIONS, VOL. 42, NO. 2, MARCH/APRIL 2006 495
Rotor and Flux Position Estimation
in Delta-Connected AC Machines Using
the Zero-Sequence Carrier-Signal Current
Fernando Briz, Member, IEEE, Michael W. Degner, Senior Member, IEEE,
Pablo García Fernández, Student Member, IEEE, and Alberto B. Diez, Member, IEEE
Abstract—This paper analyzes carrier-signal voltage injection
zero-sequence current-based sensorless control techniques for
delta-connected three-phase ac machines. The analysis will focus
on rotor position estimation (tracking of rotor-position-dependent
saliencies), but the method applies equally well to flux position
estimation (tracking of flux-dependent saliencies). The paper first
develops a theoretical model and then provides analysis of relevant
implementation aspects, such as selection of carrier-signal
frequency and voltage magnitude, measurement of the zerosequence
carrier-signal current, measurement and compensation
of saturation-induced saliencies, and the signal processing needed
for position/flux angle estimation. A similar implementation to
that proposed in this paper, and with practically the same performance
in terms of accuracy and estimation bandwidth, can
be obtained for the case of wye-connected machines using the
zero-sequence carrier-signal voltage, as shown in IEEE Trans. Ind.
Appl., vol. 41, no. 6 pp. 1637–1646, Nov./Dec. 2005.
Index Terms—Rotor position estimation, sensorless control,
zero-sequence current.
I. INTRODUCTION
ENSORLESS control techniques for ac machines that rely
S on the fundamental excitation have been shown to be capable
of providing high-performance field-oriented control in the
medium-speed to high-speed range [1], [2]. Such techniques,
however, fail in the low-speed range or for dc excitation due
to the lack of observability for rotor quantities. To overcome
this limitation, sensorless control methods based on tracking
the spatial position of saliencies in electric machines have been
proposed [3]–[15].
Carrier-signal-based sensorless methods inject a highfrequency
excitation signal (voltage [3]–[10] or current [11])
Paper IPCSD-05-105, presented at the 2005 Industry Applications Society
Annual Meeting, Hong Kong, October 2–6, and approved for publication in the
IEEE TRANSACTIONS ON INDUSTRY APPLICATIONS by the Industrial Drives
Committee of the IEEE Industry Applications Society. Manuscript submitted
for review October 15, 2005 and released for publication December 19, 2005.
This work was supported in part by the Research, Technological Development
and Innovation Programs of the Principado of Asturias-ERDF under Grant
PB02-055 and in part by the Spanish Ministry of Science and Education-ERDF
under Grant MEC-04-DPI2004-00527.
F. Briz, P. García Fernández, and A. B. Diez are with the Department
of Electrical, Computer, and Systems Engineering, University of Oviedo,
Gijón E-33204, Spain (e-mail: fernando@isa.uniovi.es; pgarcia@isa.uniovi.es;
alberto@isa.uniovi.es).
M. W. Degner is with the Electric Machine Drive Systems Department,
Sustainable Mobility Technologies, Ford Motor Company, Dearborn, MI
48121-2053 USA (e-mail: mdegner@ford.com).
Digital Object Identifier 10.1109/TIA.2006.870046
Fig. 1.
Injection of the carrier-signal voltage.
that interacts with the machine saliencies to produce components
in measurable electrical variables. When a carriersignal
voltage is injected into a three-phase delta-connected
ac machine (see Fig. 1), saliency-related information can be
obtained from the measured line currents, phase currents, and
zero-sequence current. While all of these signals are governed
by the same physical principles and can potentially be used
for saliency position estimation, choosing one option over
the others depends on the application and involves tradeoffs
between practical issues like the number of sensors, the amount
of cabling needed, the effects caused by the nonideal behavior
of the inverter, measurement resolution, estimation bandwidth,
and signal-to-noise ratio.
This paper analyzes the use of carrier-signal injection for
rotor and flux position estimation in delta-connected threephase
ac machines. The paper includes analysis of the physical
principles of the method as well as mathematical modeling. Advantages
and disadvantages of using the zero-sequence carriersignal
current with respect to using line or phase currents are
discussed. Implementation issues covered include the selection
of the frequency and magnitude of the carrier-signal voltage,
measurement of the zero-sequence carrier-signal current, and
decoupling of saturation-induced saliencies.
II. SALIENCY-TRACKING-BASED SENSORLESS CONTROL
IN DELTA-CONNECTED MACHINES
When a three-phase delta-connected ac machine is excited
with a high-frequency signal, its response can be modeled using
a simplified model based on stator transient inductance provided
that the excitation frequency is substantially faster than
the stator transient time constant [3], [7]. When the machine
is salient, assuming that saliency varies sinusoidally, the stator
transient inductance can be modeled as consisting of a constant
0093-9994/$20.00 © 2006 IEEE

B.3 Rotor and Flux Position Estimation in Delta-Connected. . . 239
496 IEEE TRANSACTIONS ON INDUSTRY APPLICATIONS, VOL. 42, NO. 2, MARCH/APRIL 2006
Fig. 2.
Zero-sequence current measurement in a delta-connected machine.
term and a sinusoidally varying saliency-position-dependent
term [7]
v ab =(ΣL σs+2∆L σs cos(hθ e)) diab
(1)
dt
(
( (
v bc = ΣL σs+2∆L σs cos h θ 2π ))) dibc
e− (2)
3 dt
(
( (
v ca = ΣL σs+2∆L σs cos h θ 4π e−
3
))) dica
dt
where ΣL σs and ∆L σs are the average and differential stator
transient inductances, h is the harmonic order of the saliency
relative to electrical angular units, and θ e is the angular position
of the saliency in electrical radians.
While the model shown in (1)–(3) is valid for any form
of high-frequency excitation, it can be solved for the particular
case of injecting a rotating high-frequency carrier-signal
voltage (4) into the machine. For that case, the carrier-signal
current vector formed by the phase currents (5), the carriersignal
current vector formed by the line currents (6), and
the zero-sequence carrier-signal current (7) (see Fig. 2) all
contain saliency-position-related information and can be used
for sensorless purposes, i.e.,
vqds_c s = V ce jωct (4)
)
(i ab + i bce j2π
3 + i cae j4π
3 (5)
with
i s qds∆_c = 2 3
i s qds_c = 2 3
)
(i a + i be j2π
3 + i ce j4π
3
i a = i ab − i ca
i b = i bc − i ab
i c = i ca − i bc
i s 0sc = i ab + i bc + i ca. (7)
The carrier-signal current vector formed by the phase currents
(5) and by the line currents (6) can mathematically be
shown to be the same, with the only difference being the
addition of a 1/ √ 3 scaling factor for the phase current. Use of
the carrier-signal current formed by the line currents (6) has the
advantage that drives typically incorporate line current sensors
and, therefore, no additional sensors or cabling is needed.
Conversely, use of the phase currents (5) has the disadvantage
(3)
(6)
of requiring at least one additional current sensor, with the corresponding
additional cabling and access to the motor terminal
box. Due to this, this option will not be discussed further.
A general solution for the line (6) and the zero-sequence
(7) carrier-signal currents can be obtained from (1)–(7). These
solutions are a function of the saliency harmonic order h and
have the form
i s 0sc =3 √ 3 Vc
ω c
× ∆LσsΣLσs cos (ωct ± hθe) − ∆L σs2 sin (ωct ± 2hθe)
ΣL σs (ΣL σs 2 − 3∆L σs 2) − 2∆L σs 3 sin (3hθ e)
(8)
for the zero-sequence carrier-signal current.
The third order term ∆L σs 3 in the denominator can be
neglected when ∆L σs ≪ ΣL σs, which is typically the case.
After this simplification, and by considering specific values for
h, simple and insightful solutions of the zero-sequence and line
carrier-signal currents can be obtained as follows.
For h =1, 4, 7,...,
i s qds_c = i s qds_cp + i s qds_cn
= − jI cpe jωct − jI cnhe j(−hθe−ωct)
− jI cn2he j(2hθe−ωct) (9)
i s 0sc = I 0chcos (ω ct − hθ e)+ I 0c2h cos (ω ct+2hθ e)). (10)
For h =2, 5, 8,...,
i s qds_c = i s qds_cp + i s qds_cn
= − jI cpe jωct − jI cnhe j(hθe−ωct)
− jI cn2he j(−2hθe−ωct) (11)
i s 0sc = I 0ch cos (ω ct + hθ e)+I 0c2h cos (ω ct − 2hθ e))
(12)
where
I cp =(V c/ω c)(ΣL σs/(ΣL σs 2 − 3∆L σs 2)), magnitude
of the positive-sequence carrier-signal current;
I cnh =3(V c/ω c)(∆L σs/(ΣL σs 2 − 3∆L σs 2)), magnitude
of the hθ e component of the negative-sequence
carrier-signal current;
I cn2h = I cnh(∆L σs/ΣL σs), magnitude of the −2hθ e
component of the negative-sequence carrier-signal
current;
I 0ch =3 √ 3(V c/ω c)(∆L σs/(ΣL σs 2 − 3∆L σs 2)), magnitude
of the hθ e component of the zero-sequence
carrier-signal current;
I 0c2h = I 0ch(∆L σs/ΣL σs), magnitude of the −2hθ e component
of the zero-sequence carrier signal current.
From (9) and (11), it can be observed that the carrier-signal
line current consists of a positive-sequence component that
does not contain saliency position information and two

240 Publicaciones
BRIZ et al.: ROTOR AND FLUX POSITION ESTIMATION IN DELTA-CONNECTED AC MACHINES 497
TABLE I
INDUCTION MOTOR PARAMETERS
negative-sequence phase-modulated components of magnitude
I cnh and I cn2h. From (10) and (12), the zero-sequence
carrier-signal current is seen to consist of two phase-modulated
components of magnitude I 0ch and I 0c2h. When ∆L σs ≪
ΣL σs, which is typically the case, then I cn2h ≪ I cnh and
I 0c2h ≪ I 0ch.
Finally, it can be shown that for h =3, 6,..., no
zero-sequence carrier-signal current is produced and the
carrier-signal current contains just a magnitude-modulated
positive-sequence component.
Rotor position estimation using carrier-signal excitation requires
a rotor-position-dependent saliency that couples with the
stator windings to produce a measurable signal. The saliency
due to the combined effect of stator and rotor slotting was used
in this paper [5], [8].
Saliencies caused by the combination of rotor and stator
slotting produce a permeance waveform that has a fundamental
spatial harmonic given by
h sp = |R − S| (13)
where h sp is the saliency harmonic order relative to 360 mechanical
degrees, and S and R are equal to the number of
stator and rotor slots, respectively. In order for it to couple with
the stator windings and produce a zero-sequence carrier-signal
current, the expression
h sp = n × p, n =1, 2, 4, 5, 7, 8, 10,... (14)
needs to be satisfied, assuming the machine has an integer
number of slots per pole per phase, where p is the number
of poles.
The fundamental of this permeance waveform rotates at the
mechanical speed [5], [10]
R
ω p = ωrm. (15)
(R − S)
Fig. 3(a)–(c) shows the frequency spectrum of the negativesequence
carrier-signal current (a complex vector signal) and
of the zero-sequence carrier-signal current (a scalar signal)
from the test machine. Its parameters are shown in Table I. With
the machine operated at constant rotor speed, the rotor–stator
Fig. 3. Frequency spectrum of the zero-sequence carrier-signal current and slotting produces a modulation of both signals at a frequency
the negative-sequence carrier-signal current under different working conditions
equal to R × ω
and carrier-signal frequencies. A carrier-signal voltage Vc =15 V (peak)
rm with respect to the carrier-signal frequency,
was used, ωe =4Hz, ωr =1Hz. (a) ωc = 500 Hz, no fundamental current.
with ω rm being the rotor speed in mechanical units. This
(b) ωc = 500 Hz, rated-flux, rated load. (c) ωc = 3750 Hz rated-flux,
rated load.
phase modulation of both the negative-sequence carrier-signal
current and the zero-sequence carrier-signal current by the rotor
position is used for rotor position estimation.
III. ZERO-SEQUENCE CARRIER-SIGNAL CURRENT VERSUS
NEGATIVE-SEQUENCE CARRIER-SIGNAL CURRENT
According to the previous analysis, the negative-sequence
carrier-signal current and the zero-sequence carrier-signal
current exhibit similar content relative to saliency position.
Deciding which to use depends on the analysis of some key
implementation issues. Using the zero-sequence carrier-signal
current has the penalty of requiring one additional sensor,
additional cabling, and access to the motor terminal box. While
these make this option less appealing, it provides some interesting
advantages that make it attractive for certain applications.
The most relevant are analyzed in this section.
A. Current Sensors Scaling and A/D Converter Resolution
Fig. 4(a) shows the zero-sequence current, and Fig. 4(b) the
corresponding frequency spectrum, for the case of the machine
in Table I operated at rated flux, rated load when a carriersignal
voltage is injected. It can be observed from the figure
that the magnitude of the zero-sequence current is relatively
small (in the range of 5%) compared to the magnitude of
the phase current. The current sensor used to measure the
zero-sequence current (see Fig. 2) can be scaled for this relatively
small current. This improves the signal-to-noise ratio
and allows for higher resolution in the A/D converter sampling
the zero-sequence current, resulting in increased accuracy for
extracting the carrier signal portion of that current. Opposite
this, the line current sensors and their associated A/D converters
need to be scaled to accommodate the fundamental current
magnitude, which results in a reduced sensitivity for measuring
the negative-sequence carrier-signal current.

B.3 Rotor and Flux Position Estimation in Delta-Connected. . . 241
498 IEEE TRANSACTIONS ON INDUSTRY APPLICATIONS, VOL. 42, NO. 2, MARCH/APRIL 2006
Fig. 4. (a) Zero-sequence current (zoomed to show the component caused
by the carrier voltage injection) and (b) frequency spectrum (zoomed to better
show the components around the carrier frequency). A carrier-signal voltage of
ωc = 500 Hz and Vc =20V (peak) was used, and the motor was operated at
rated flux, rated load (ωe =4Hz, ωr =1Hz).
B. Selection of the Carrier-Signal Frequency
and Voltage Magnitude
There are several issues when selecting the carrier-signal
frequency that favors a higher frequency: 1) it reduces the
resulting carrier-signal current; 2) it allows for an increased
estimation bandwidth; and 3) it increases the spectral separation
with respect to the fundamental excitation, making filtering
easier [7].
Because of the inductive behavior of the machine at frequencies
of interest, the magnitudes of the carrier-signal currents,
including positive-sequence I cp, negative-sequence I cnih, and
zero-sequence I 0cih components, decrease proportionally with
increasing carrier-signal frequency. Reduction of I cp is always
desirable, as it does not contain useful information, but is
responsible for a major portion of the noise, losses, and vibration
caused by the injection of the carrier-signal voltage, since
usually I cp ≫ I cnih. Fig. 5 shows the measured magnitude of
I cp relative to rated current as a function of the carrier-signal
frequency and voltage magnitude. Benefits of selecting a highfrequency
small-magnitude carrier-signal voltage are evident
from this figure. However, high-frequency small-magnitude
carrier-signal voltages also result in reduced magnitudes for
the negative-sequence and zero-sequence carrier-signal currents.
This may have adverse effects, like a smaller signal-tonoise
ratio in the measured signals, or increased sensitivity
to the distortion of the injected carrier-signal voltage caused
by the nonideal behavior of the inverter. The influence of the
carrier-signal voltage magnitude and frequency on the negativesequence
and zero-sequence carrier-signal currents is analyzed
in the following two sections.
Negative-Sequence Carrier-Signal Current: The components
of the negative-sequence carrier-signal current for two
different carrier-signal frequencies are shown in the frequency
spectrums in Fig. 3(b) and (c) (left column). In addition to
the rotor–stator slotting component at −ω c +14ω r, which con-
Fig. 5. Experimentally measured magnitude of the positive-sequence carriersignal
current Icp relative to the rated current as a function of the carrier-signal
frequency for the cases of a carrier-signal voltage magnitude equal to Vc =
30 V (peak) (∇), 15V(□), and 7.5 V (○), respectively. The motor was
operated at rated flux, rated load.
tains rotor position information, the fundamental excitationfrequency-dependent
components of relatively large magnitude
are also present, the most relevant being at −ω c +2ω e. Saturation
of the magnetic paths and additional components of the
injected carrier-signal voltage (4) due to the nonideal behavior
of the inverter have been reported to cause these additional components
in the negative-sequence carrier-signal current [4], [7].
Significant differences, both in the frequencies present and in
their relative magnitude, are seen between Fig. 3(b) and (c).
A deterioration in the quality of the negative-sequence carriersignal
current for the case of ω c = 3750 Hz is apparent. The
deterioration seen can be grouped into two categories: 1) the
reduced magnitude of the negative-sequence carrier-signal current,
which has an adverse impact on the signal-to-noise ratio,
and 2) the additional components in the injected carrier-signal
voltage caused by the inverter.
A key parameter determining the accuracy and robustness of
the sensorless method is the magnitude of the rotor positiondependent
component (signal) relative to the other components
in the negative-sequence carrier-signal current (noise). The total
harmonic distortion (THD) caused by the undesired “noise”
was found to be an insightful metric for quantifying this relationship.
To obtain the THD, the frequency spectrum of the
negative-sequence carrier-signal current, denoted as ι cn, isfirst
calculated using
with
ι cn = FFT ( i s )
qds_cn
Σι cn 2 =
−ωc+bw ∑
i=−ωc−bw
(16)
ι cn(i) 2 (17)
being the power associated with the negative-sequence carriersignal
current.
It is noted that (17) includes a range of frequencies +/ − bw
of the negative-sequence carrier-signal frequency. While this
range of frequencies would ideally be +/− infinity, which
would include all of the content in the negative-sequence
carrier-signal current spectrum, it is limited in practice in order
to maintain reasonable signal processing. The limit chosen
corresponds to the bandwidth of the bandpass filter (BPF) used
to separate the negative-sequence current from the overall stator
current, as schematically represented in Fig. 6(a). Selection of

242 Publicaciones
BRIZ et al.: ROTOR AND FLUX POSITION ESTIMATION IN DELTA-CONNECTED AC MACHINES 499
Fig. 6. Schematic representation of the BPFs used to separate (a) negativesequence
and (b) zero-sequence carrier-signal currents.
this limit was based on the dynamic content in the negativesequence
carrier-signal current and is ultimately determined
by the desired position estimation bandwidth. The choice of
+/ − bw in (17) implies that an ideal, i.e., square shaped
magnitude, BPF is used, which is not possible in practice. Even
so, the nonideal behavior of the filter did not have a significant
influence on the results presented in this paper.
Assuming steady-state operation, the THD of ι cn(−ωc+14ωr),
the component of the negative-sequence carrier-signal current
containing the rotor position information, can be defined as [16]
THD ( i s )
√Σι cn 2 − ι cn(−ωc+14ωr)
qds_cn = 2
. (18)
Σι cn 2
Fig. 7(a) (white symbols) shows the THD of the negativesequence
carrier-signal current as a function of the carriersignal
frequency and voltage magnitude. A value of THD close
to unity means that a majority of the power in the negativesequence
carrier-signal current corresponds to nonuseful
content (noise). This was an expected result due to the large Fig. 7. Experimentally measured THD of (a) negative-sequence carrier-signal
current and (b) zero-sequence carrier-signal current as a function of the carrier
magnitude of the fundamental excitation-dependent components
present in Fig. 3(b) and (c). Since decoupling for the (○), 15V(□), and 30 V (∇), respectively. The motor was operated at rated
frequency for the case of a carrier-signal voltage magnitude Vc =7.5 V (peak)
more significant of these components is usually needed in flux, rated load. A bandwidth bw = 100 Hz was used.
practice to obtain reliable position estimation, it is interesting to
recalculate the THD with the fundamental excitation-dependent
components removed. An example of this is shown in Fig. 7(a)
sequence components, and their relative magnitude, are barely
(gray symbols), where the −ω c +2ω e and −ω c − 4ω e components
of the negative-sequence carrier-signal current have been
affected by the carrier-signal frequency. One explanation for
this is that inverter distortion of the injected carrier-signal
removed and
voltage does not have a significant influence on the zerosequence
carrier-signal current. The zero-sequence carriersignal
current was systematically studied for this paper (i.e., for
multiple carrier-signal frequencies and working conditions) and
was found to have significantly fewer fundamental frequencydependent
components compared with the negative-sequence
carrier-signal current. Those present were found to be easier to
model and, therefore, to decouple.
As was done for the negative-sequence carrier-signal current,
THD was used to quantify the magnitude of the rotor
position-dependent component (signal) of the zero-sequence
carrier-signal current relative to the rest of components (noise)
[see Fig. 6(b)]. Fig. 7(b) (white symbols) shows the THD
calculated using
−ωc+bw ∑
Σι cn 2 = ι cn(i) 2 − ι cn(−ωc+2ωe) 2 − ι cn(−ωc−4ωe) 2
i=−ωc−bw
(19)
instead of (17) was used for the calculation of the THD (18).
It can be seen from Fig. 7(a) that compensation of fundamental
excitation-dependent components reduces the THD.
Larger carrier-signal voltage magnitudes are also observed to
decrease the THD. According to Fig. 7(a), carrier signals in the
range of 1000–1500 Hz and 30 V in magnitude would provide
the lowest THD (for the voltage levels shown in the figure).
However, from Fig. 5, it can be observed that such carrier-signal
magnitudes produce positive-sequence carrier currents in the
range of 5%–10% of rated current, causing noticeable levels
of noise, vibration, and additional losses.
Zero-Sequence Carrier-Signal Current: Fig. 3(b) and (c)
(right column) shows the frequency spectrum of the zerosequence
carrier-signal current for two different carriersignal
frequencies. A significant difference with respect to
the negative-sequence carrier-signal current is that the zero-
ι c0 = FFT (i s 0sc) (20)
Σι c0 2 =
ωc+bw ∑
ι c0(i) 2 (21)
i=ωc−bw
√
THD (i s Σι c0 2 − ι c0(ωc+14ωr)
0sc) =
2
. (22)
Σι c0 2

B.3 Rotor and Flux Position Estimation in Delta-Connected. . . 243
500 IEEE TRANSACTIONS ON INDUSTRY APPLICATIONS, VOL. 42, NO. 2, MARCH/APRIL 2006
Fig. 8. Experimentally measured ratio of the ωc +14ωr and ωc +2ωe
components of the zero-sequence carrier-signal current as a function of the
carrier frequency. The motor was operated at rated flux, rated load (Vc =15V).
Although some differences are observed comparing this THD
with the case of the negative-sequence carrier-signal current,
more interesting are the results when the ω c +2ω e and ω c −
4ω e components of the fundamental excitation frequency are
removed. Fig. 7(b) (gray symbols) shows the THD (22) being
calculated using
Σι c0 2 =
ωc+bw ∑
i=ωc−bw
ι c0(i) 2 − ι c0(ωc+2ωe) 2 − ι c0(ωc−4ωe) 2 (23)
instead of (21).
Comparing Fig. 7(a) and (b) (gray symbols), the benefits
of using the zero-sequence carrier-signal current instead of
the negative-sequence carrier-signal current become evident.
First, the THD of the zero-sequence carrier-signal current is
always significantly smaller than the THD of the negativesequence
carrier-signal current. Second, increasing the carriersignal
frequency is observed to have practically no influence
on the THD of the zero-sequence carrier-signal current, even
for small carrier-signal voltages. This allows the use of a
higher frequency small-magnitude carrier-signal voltage, with
the resulting losses, vibration, and noise caused by the carrier
current being reduced. In addition, high carrier-signal frequencies
allow for higher bandwidth position estimation.
An additional advantage of using large carrier-signal frequencies
can be observed from Fig. 8. The figure shows the
magnitude of the rotor–stator slotting component normalized
by the magnitude of the ω c +2ω e component of the zerosequence
carrier-signal current for several carrier-signal frequencies.
From Fig. 8, it can be seen that this ratio increases
with carrier-signal frequency. This suggests that increased
carrier-signal frequencies will result in a reduction in the sensitivity
to the presence of fundamental excitation-dependent components
for detecting rotor position-dependent components.
Unless otherwise stated, all the experimental results presented
in this paper used a carrier-signal frequency of ω c =
3750 Hz and a carrier-signal voltage magnitude of V c =15V
(peak). From Fig. 5, it is observed that this results in a carriersignal
current of about 1% of the rated current. The switching
frequency was ω s =15kHz.
IV. FILTERING OF THE ZERO-SEQUENCE CURRENT
To estimate the rotor position from the zero-sequence carrier
signal current, first the carrier signal portion of the
zero-sequence current needs to be separated from the overall
Fig. 9. Block diagram and frequency response of the filtering implemented
to isolate the zero-sequence carrier-signal current. The fourth-order low-pass
Butterworth filter was designed for a cutoff frequency of 6 kHz, and the secondorder
15-kHz notch filter was designed for a bandwidth of 1 kHz. (a) Signal
processing block diagram. (b) Bode diagram of the analog filtering (carrier
frequency of 3750 Hz; the phase around the carrier frequency is zoomed).
zero-sequence current. The signal processing used is almost
identical to that reported in [8] for the case of the zero-sequence
carrier-signal voltage. It is accomplished using a combination
of a band-stop (notch) filter to reject harmonics at the switching
frequency and a low-pass filter to remove higher harmonics
that could cause aliasing. The block diagram for this form of
filtering is shown in Fig. 9(a) [8]. The low-pass filter cutoff
frequency was chosen to be high enough that an almost linear
phase and a reduced phase slew rate existed near the carrier
frequency. This allows the phase shift caused by the filter to be
easily compensated. The Bode diagram of the combined filters
is shown in Fig. 9(b).
Prior to extraction of the rotor position information from
the zero-sequence carrier-signal current, the sampled zerosequence
current is converted into a carrier signal synchronous
complex current vector [7], [8]
i c 0qd = i ′ 0e −jωc . (24)
The resulting complex current vector (24) is then low-pass
filtered [see Fig. 9(a)]. It is noted that the digital low-pass filter
in Fig. 9(a) corresponds to the BPF shown in Fig. 6(b), and is
a fourth-order Butterworth filter, tuned for a bandwidth bw =
100 Hz.
Fig. 10(a) shows the zero-sequence carrier signal complex
current vector obtained after filtering, and Fig. 10(b) show its
frequency spectrum. In addition to the rotor position-dependent
component 14ω r, saturation-induced saliencies produce components,
the most relevant being at 2ω e and −4ω e. An intermodulation
component at a frequency of −2ω e − 14ω r can

244 Publicaciones
BRIZ et al.: ROTOR AND FLUX POSITION ESTIMATION IN DELTA-CONNECTED AC MACHINES 501
Fig. 10. (a) Experimentally measured real and imaginary parts of the zerosequence
carrier-signal current vector. (b) Frequency spectrum. The motor was
operated at rated flux, rated load (ωr =1Hz, ωe =4Hz).
also be observed. A model of the zero-sequence carrier signal
complex vector can be written as
i c 0qd_c = I 014ωr e j14θrt + I 02ωe e j(2θet+θ0_2ωe)
+ I 04ωe e −j(4θet+θ0_4ωe) + I 0ωre e −j(2θet+14θrt+θ0_ωre) . (25)
Fig. 11. (a) Magnitude and (b) phase, relative to the stator current vector, of
the saturation and intermodulation components of the zero-sequence carriersignal
current vector [see (25)]. The motor was operated at rated flux, the load
varied with the slip. A carrier-signal voltage of ωc = 3750 Hz and Vc =15V
(peak) were used.
V. M EASUREMENT AND DECOUPLING OF
SATURATION-INDUCED SALIENCIES
Accurate rotor position estimation requires that saturationinduced
saliency components of the zero-sequence carriersignal
current be compensated for or decoupled. One method
of doing this is to first measure and store the saturation-induced
saliency components as a function of the operating condition
during an offline commissioning process. The stored values can
then be used for online decoupling during the regular sensorless
operation of the drive.
Determining the number of components of the zero-sequence
carrier-signal current vector to be decoupled involves a tradeoff
between the desired accuracy of the estimated rotor position
and computational requirements. Decoupling −2ω e is required
for most machine designs since the magnitude of the −2ω e
component is usually comparable to the magnitude of the rotor
position related saliencies. Without decoupling, inadmissible
estimation errors and even stability problems can exist. The
remaining undesired components of the zero-sequence carriersignal
current vector (components at −4ω e and −2ω e − 14ω r
in Fig. 11) are typically relatively small in magnitude and do not
compromise the stability of the method. However, their compensation
can increase the accuracy of the estimated position.
To analyze the behavior of saturation and intermodulation
saliencies, the magnitudes and phase angles, relative to the
stator current, of the 2ω e, −4ω e and −2ω e − 14ω r components
in the zero-sequence carrier-signal current vector (25) were
measured for different working conditions. Since saturationinduced
components of the zero-sequence carrier-signal voltage
vector do not rotate at the same frequency as the stator current,
the phase angles θ 0_2ωe , θ0_4ωe, and θ0_ωre [see (25)] correspond
to the instant when the angle of the stator current vector
was equal to zero. Fig. 11 shows the measured magnitudes and
phases of the 2 ωe, −4ω e, and −2ω e − 14ω r components of the
zero-sequence carrier-signal current vector when the machine
is operated with constant rotor flux. From Fig. 11, it can be
observed that the magnitudes and phases of saturation-induced
Fig. 12. Decoupling of saturation-induced components of the zero-sequence
carrier-signal current vector and rotor position and velocity estimation using a
tracking observer.
components are smooth functions, allowing a reduced number
of operating points to be stored while maintaining an accurate
model of the behavior. These values can be stored in lookup
tables during a commissioning process and later accessed,
according to the q-axis (torque producing) current, during the
sensorless operation of the drive, as shown in Fig. 12. This
commissioning process would be done once during the initial
commissioning of each inverter–motor configuration.
Linear interpolation was used when the q-axis current did not
exactly correspond to an entry in the table. It is noted that the
phase angle of the intermodulation component θ 0_ωre depends
both on the fundamental current angle and on the rotor angle. Its
decoupling, therefore, requires feedback of the estimated rotor
position, as shown in Fig. 12.
Fig. 13 shows the result of the saturation-induced harmonics
decoupling process. Fig. 13(a) shows the q-axis and d-axis components
of the stator current, and Fig. 13(b) shows the measured
zero-sequence carrier signal complex vector after the filtering
shown in Fig. 9(a). Fig. 13(c) shows the estimated 2ω e component
of the zero-sequence carrier-signal current complex vector,
obtained from the stored data shown in Fig. 11. Fig. 13(d)
shows the resulting zero-sequence carrier signal complex vector
once the 2ω e, −4ω e, and −2ω e − 14ω r components have been
decoupled as shown in Fig. 12.

B.3 Rotor and Flux Position Estimation in Delta-Connected. . . 245
502 IEEE TRANSACTIONS ON INDUSTRY APPLICATIONS, VOL. 42, NO. 2, MARCH/APRIL 2006
Fig. 13. Measurement and compensation of saturation-induced harmonics
in the zero-sequence carrier-signal current. (a) i s qs,i s ds , (b) ic 0q_c ,ic 0d_c ,
(c) i c 0q_2ωe ,ic 0d_2ωe ,and(d)ic 0q_14ωr ,ic 0d_14ωr .
VI. SENSORLESS CONTROL
Sensorless field orientation and position control were implemented
using the proposed method. The motor was operated
at rated flux and saturation-induced saliencies were decoupled
using the scheme shown in Fig. 12. Rotor angle and velocity
were estimated using a tracking observer [3].
Fig. 14(a)–(c) shows sensorless position control when a step
is commanded. Stable operation and good dynamic response
can be observed. The influence that the number of components
decoupled from the zero-sequence carrier current vector has on
the estimated rotor position error can be observed comparing
Fig. 14(c) and (d). In Fig. 14(c), only the component at 2ω e was
decoupled, while in Fig. 14(d), the −4ω e and −2ω e − 14ω r
components were also decoupled, a slight decrease of the
estimation error is seen with respect to Fig. 14(c). The standard
deviation of the error was 0.66 ◦ for the case shown in Fig. 14(c)
and 0.47 ◦ for the case shown in Fig. 14(d).
Fig. 15 shows the transient response during velocity control
when a step is commanded, with the machine being operated
at constant load. Stable and accurate control is observed from
the figure.
VII. CONCLUSION
The use of the zero-sequence carrier-signal current has been
shown to be a viable option for rotor position estimation in
delta-connected three-phase ac machines. While sharing some
properties with negative-sequence carrier-signal current based
techniques, its major drawback is the need for an additional
sensor, additional cabling, and access to the machine terminal
box. In spite of these inconveniences, it provides two major
advantages: 1) it is barely affected by the distortion of the
Fig. 14. Sensorless position control when a position step from 0 ◦ to 180 ◦
is commanded. (a) Estimated rotor flux angle. (b) Estimated rotor position.
Estimation error (c) when only the 2ωe component, and (d) when the 2ωe,
−4ωe, and−2ωe − 14ωr components, of the zero-sequence carrier-signal
current vector are decoupled. The machine was operated at rated flux and 80%
rated load.
Fig. 15. Sensorless velocity control. The machine was operated at rated flux
and 80% rated load. (a) ̂ωr, (b)ωr − ̂ωr.
injected carrier-signal voltage due to the nonideal behavior of
the inverter, and 2) it allows better scaling of the current sensor
and A/D converter. As a result of this, a low-magnitude highfrequency
carrier-signal voltage can be used. This results in
accurate high-bandwidth robust position estimation and reduces
the adverse effects (vibration, noise, and losses) caused by the
carrier-signal current.
ACKNOWLEDGMENT
The authors wish to acknowledge the support and motivation
provided by the University of Oviedo (Spain) and Ford Motor
Company.
REFERENCES
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speed by offset compensation of stator voltage in sensorless vector

246 Publicaciones
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vol. 20, no. 1, pp. 525–528, Jan. 2005.
Michael W. Degner (S’95–A’98–M’99–SM’05) received
the B.S., M.S., and Ph.D. degrees in mechanical
engineering from the University of Wisconsin,
Madison, in 1991, 1993, and 1998, respectively, with
focus on electric machines, power electronics, and
control systems. His Ph.D. dissertation was on the
estimation of rotor position and flux angle in electric
machine drives.
In 1998, he was with Ford Research Laboratory,
Dearborn, MI, working on the application of electric
machines and power electronics in the automotive
industry. He is currently the Manager of the Electric Machine Drive Systems
Department, Sustainable Mobility Technologies and Hybrid Programs Group,
Ford Motor Company, where he is responsible for the development of all
electric machines and their control systems for hybrid and fuel cell vehicle
applications. His interests include control systems, machine drives, electric
machines, power electronics, and mechatronics.
Dr. Degner was the recipient of several IEEE Industry Applications Society
Conference Paper Awards and received the 2005 IEEE TRANSACTIONS ON
INDUSTRY APPLICATIONS Third Place Prize Paper Award.
Pablo García Fernández (S’02) was born in Spain
in 1975. He received the M.E. degree in industrial
engineering in 2001 from the University of Oviedo,
Gijón, Spain, where he is currently working toward
the Ph.D. degree in electrical engineering.
Since 2001, he had been awarded with a fellowship
by the Personnel Research Training Program
funded by the Spanish Ministry of Science and Technology.
In 2004, he was a Visitor Scholar at the
Wisconsin Electric Machines and Power Electronics
Consortium, University of Wisconsin, Madison. His
research interests include sensorless control and diagnosis of induction motors,
neural networks, and digital signal processing.
Fernando Briz (A’96–M’99) received the M.S. and
Ph.D. degrees in electrical engineering and control
from the University of Oviedo, Gijón, Spain, in 1990
and 1996, respectively.
From June 1996 to March 1997, he was a Visiting
Researcher at the University of Wisconsin, Madison.
He is currently an Associate Professor in the
Department of Electrical, Computer and Systems
Engineering, University of Oviedo. His topics of
interest include control systems, high-performance
ac drives control, sensorless control, diagnostics, and
digital signal processing.
Dr. Briz received the IEEE Industry Applications Society Conference Prize
Paper Award in 1997 and 2004, and the 2005 IEEE TRANSACTIONS ON
INDUSTRY APPLICATIONS Third Place Prize Paper Award.
Alberto B. Diez (M’99) received the M.S. and Ph.D.
degrees in electrical engineering from the University
of Oviedo, Gijón, Spain, in 1983 and 1988, respectively.
He was a member of the Executive Committee
D2 “Rolling-Flat Products” of the European Commission
for six years (1998–2004). He is currently
an Associate Professor in the Electrical Engineering
Department, University of Oviedo. His topics of interest
include control systems, high-performance ac
drives control, and industrial supervision and control
processes.

B.4 Saliency tracking-based, sensorless control of AC machines using. . . 247
B.4.
Saliency tracking-based, sensorless control of
AC machines using structured neural networks
[81]

248 Publicaciones
Saliency Tracking-Based, Sensorless Control of AC Machines
using Structured Neural Networks
Pablo García, Fernando Briz, Dejan Raca†, Robert D. Lorenz†
University of Oviedo, Dept. of Elec., Computer
& Systems Engineering
Gijón, 33204, Spain
T: 34 985-182289,
Email: fernando@isa.uniovi.es,
pgarcia@isa.uniovi.es
Abstract – The focus of this paper is the use of structured neural
networks for sensorless control of AC machines using carrier
signal injection. Structured neural networks allow effective
compensation of saturation-induced saliencies as well as other
secondary saliencies. In comparison with classical compensation
methods, such as lookup tables, this technique has advantages
such as a physics-based structure, general scalability, reduced
size and complexity, and correspondingly reduced
commissioning time. When compared with traditional neural
networks, structured neural networks are simpler, physically
insightful, less computationally intensive and easier to train. All
make the proposed method an improved implementation for
sensorless drives.
I. INTRODUCTION
Saliency tracking-based sensorless control methods have
acquired significant importance during the last years in
applications where sustained sensorless operation in the low
and zero speed range, and/or position control are needed, as
they overcome the limitations of methods based on the
fundamental excitation (back emf). Different implementations
of saliency tracking-based methods have been proposed [1-12].
While all of them share the same physical principles, significant
differences between methods exist. The differences are related
to the high frequency excitation used, to the electric signals that
are measured to obtain information on the saliency position,
and to the methods used to track the saliency image.
Carrier signal-based methods use the inverter to inject a
high frequency carrier signal into the machine, which in the
most common implementation, consists of a rotating voltage
vector [1]. Interaction between the carrier signal and the
saliencies present in the machine gives rise to specific
frequency components in the resulting electric variables
(currents and voltages). Rotor position estimation is feasible
when a spatial saliency in the rotor couples with the stator
windings producing measurable components in the stator
terminals [1]. Unfortunately, other saliencies can also be
present in the machine during its regular operation, most
importantly those caused by the saturation of the magnetic
paths [4,6,8,11,18,20]. These saliencies cause additional
components in the measured signals, which add to those
caused by the rotor position-dependent saliency being
his work was supported in part by the Research, Technological Development
and Innovation Programs of the Principado of AsturiasERDF, under grant
PB02055, and of the Spanish Ministry of Science and EducationERDF
under grant MEC04DPI200400527 respectively as well as the Wisconsin
Electric Machines and Power Electronics Consortium (WEMPEC) of the
University of Wisconsin-Madison.
†University of Wisconsin-Madison
Wisconsin Electric Machines and Power
Electronics Consortium (WEMPEC),
Depts. Of Mech. Engr. and Elect. & Comp. Engr
1415 Engineering Drive, Madison, WI, 53706
Email: lorenz@engr.wisc.edu
tracked. If these additional components are not properly
decoupled, they can result in serious degradation, including
reduced estimation accuracy, reduced estimation bandwidth,
and potential stability problems. Compensation of saturationinduced
saliencies has usually been approached by means of
lookup tables, which can be implemented in different ways
[4,6,8]. In all of them, the table is built during an off-line
commissioning process for different operating points of the
machine. The lookup table is then accessed during the
regular sensorless operation of the drive, and its information
used for on-line decoupling of the saturation-induced
components of the measured signals.
Using a lookup table for decoupling of saturation-induced
components has some limitations. It is not obvious how to
determine either the range of operating conditions needed to
build the lookup table, or the amount of information that
needs to be stored for each of them, often resulting in an ad
hoc decision. In addition, building the look-up tables is a
tedious process, and usually needs to be repeated for each
new machine design and inverter configuration [8].
Another approach is to use a classical random neural
network to learn and then decouple unwanted saliencies [11].
Major drawbacks of this option are the size and complexity of
a suitable random network, the lack of a clear criterion for the
number of layers and neurons, and the computational
requirements for its implementation. These drawbacks result
from the fact that prior knowledge of the physical structure of
the system is ignored [13].
The use of structured neural networks [13] to decouple
saturation-induced saliencies is proposed in this paper. When
compared with traditional neural networks, structured neural
networks will be shown to be a feasible alternative for the
decoupling of saturation-induced saliencies. In addition, they
have appealing properties for practical implementation in
standard drives, like a relatively simple and insightful
structure, and reduced commissioning time and computational
requirements. Furthermore, structured neural networks
overcome limitations of classical neural networks, such as
relatively slow convergence, inefficient neuron use, and
unpredictable and un-insightful structure, as they fully
incorporate all prior knowledge of the system being modeled
into the network structure [13-16]. This technique can also
be used to decouple other secondary saliencies in addition to
saturation-induced saliencies. In this work, intermodulation
saliencies are chosen as secondary saliencies to be decoupled.

B.4 Saliency tracking-based, sensorless control of AC machines using. . . 249
The analysis and experimental results presented in this
paper will focus on the case of a high frequency carrier
rotating voltage vector injection, whereby the resulting zero
sequence carrier signal voltage is measured [4]. However, the
method and the most relevant conclusions reached, are valid,
and can be applied with minor modifications, to other
saliency tracking-based sensorless control techniques,
including negative sequence carrier signal current based
methods [1], methods that use different forms of carrier signal
excitation [10], and those which use the PWM excitation [7].
s
v * qds_c
s
iqds *
+
current vqds
s *
reg.
Voltage
v n_nR
probe
(galvanic
isolation)
v nR
Inverter
(PWM)
current
complex
vector
R
R
R
v a
v b
v c
Induction motor
i a i b
Balanced resistor network
Fig. 1. Injection of the carrier signal voltage and measurement of the zero
sequence voltage.
II. SALIENCY TRACKING-BASED SENSORLESS TECHNIQUES
USING THE ZERO SEQUENCE CARRIER SIGNAL VOLTAGE
The carrier frequency model of a salient, three-phase
machine can be written as (1)-(3). In this model, high
frequency (transient) inductances are modeled as consisting
of a spatial “h” harmonic component [3].
van = (Ls + 2Ls cos(h e)) d i a
(1)
dt
vbn = (Ls + 2Ls cos(h ( e 2 3 ))) d i b
(2)
dt
vcn = (Ls + 2Ls cos(h ( e 4 3 ))) d i c
(3)
dt
where Ls and Ls are the average and differential stator
transient inductances, h is the harmonic order of the saliency
relative to electrical angular units and e is the angular
position of the saliency in electrical radians.
When the machine is fed by a carrier voltage vector (4)
(Fig. 1), the resulting zero sequence carrier signal voltage (5)
can be analytically obtained from (1)-(5), being of the form
(6) [3]:
v s qds_c = V c e j c , c = d c
(4)
dt
v s 0s = 1 3 (v an + vbn + vcn) (5)
v s 0sc = V 0ch cos(ct+h e) V 0c2h cos(ct 2h e) (6)
From (6), saliencies in the machine are seen to modulate
the phase of the zero sequence carrier signal voltage, which
v n
can be used for saliency position estimation. It is also
observed that the zero sequence carrier signal voltage consists
of two components. However, if Ls

250 Publicaciones
the frequency spectrum of the zero sequence carrier signal
voltage when the induction machine was operated at rated
flux and rated load, and a rotating carrier voltage (4) of
magnitude Vc=20 V and frequency c=2500 Hz was
superimposed on the fundamental. The parameters of the
machine are shown in Table I. The inverter switching
frequency was 10 kHz. The zero sequence carrier signal
voltage was measured using an auxiliary resistor network as
shown in Fig. 1 [4]. The most relevant components of the
zero sequence carrier signal voltage observed in Fig. 2
include: a rotor-stator slotting component at a frequency
c+14r; saturation induced components at frequencies
c+2e and c4e; an intermodulation component at a
frequency c2e14r.
TABLE I: INDUCTION MOTOR PARAMETERS
Power Rating
1.1 kW
Poles 4
Rotor slots type
Skewed, semi-open
# Stator Slots / #Rotor Slots 36 / 28
V rated / I rated (star connected) 380 V (rms) / 2.7 A (rms)
Rated speed
1410 rpm
R’ s / Ls 8.3 / 0.03 H
(V)
0.4
c+2e
0.2 c2e 14
c4e
0
2450 2475 2500 2525 2550
frequency (Hz)
c+14
Fig. 2. Frequency spectrum of the zero sequence carrier signal voltage. The
machine was operated at rated-flux, no-load, e = r = 4 Hz. A carrier
voltage of magnitude V c =20 V and frequency c =2500 Hz was used.
III. STRUCTURED VS. UNSTRUCTURED NEURAL NETWORKS
Structured neural networks were first proposed in [13].
The structure of these neural networks is based on existing
knowledge of the physics of the modeled system. Thus, they
provide a powerful tool for modeling nonlinear systems and
maintaining all the benefits of neural networks, while
significantly reducing computational complexity. Fig. 3 and
Fig. 4 show an unstructured and a structured neural network
respectively. Compared to traditional unstructured neural
networks, the structured neural network has several appealing
properties, such as:
Providing insight about the physical representation of the
process being learned.
Having a simpler structure than traditional neural
networks. The number of layers and neurons are
determined based on the physical model, no trial and error
process is necessary to adjust the network topology.
Significantly reducing training time. Weights can be
initialized with previously estimated values letting them
vary within a specific range and avoiding local minimums
in the training process.
Input layer
N11
N12
N13
N1m1
Layer 1
Nn1
Nn2
Nn3
Nnmn
Fig. 3. Schematic representation of a classical, random (unstructured)
feedforward neural network whereby all interconnections are automatically
included.
Input layer
N11
N12
N1m1
Layer 1
N21
N22
N2m2
Fig. 4. Schematic representation of a structured neural network whereby
interconnections between neurons are determined by the physical model and
neuron basis functions are selected based on physical models.
Activation functions and adaptive weights having physical
meaning.
The basic elements for building a structured or traditional
neural network are neurons. The major difference is that in
the case of structured neural networks the neurons are
designed to perform a specific operation. Basic types include
summation and multiplication. Summation is realized with a
Sigma neuron, while PI neuron is used for multiplication.
Both types of neurons, as they appear in traditional neural
networks, are depicted in Fig. 5. Neurons of a structured
neural network would be much simpler as they would have
only synapses that are actually used. In addition, structured
neural networks use custom basis (activation) functions
instead of generic sigmoidal functions in order to be consistent
with the physics of the particular application. Thus, sinusoidal
and cosinusoidal basis functions are used in this application.
Layer 2
Layer n
N31
IV. SALIENCY DECOUPLING AND ROTOR POSITION
ESTIMATION USING STRUCTURED NEURAL NETWORKS
A structured neural network was built to decouple both
saturation-induced and intermodulation components of the
zero sequence carrier signal voltage. The structure of the
network is divided into layers and sub-networks, each
designed to model specific saliencies. The first sub-network
estimates zero sequence carrier signal voltage components
due to saturation-induced saliencies. To devise this structure,
effects of saturation-induced saliencies on the zero sequence
Output layer
No1
Output layer

B.4 Saliency tracking-based, sensorless control of AC machines using. . . 251
carrier signal voltage were modeled by transforming the abc
model given by (1)-(3) to a dq0 equivalent model (11), with
LQD0 being of the form (12).
Inputs Synaptic Weights or Functions Activation Sum Activation Function Neuron Output
x1
w1
x2
w2
x3
w3
y = f(u)
-
xn
wn
bias b
a) Sigma neuron
Inputs Synaptic weights or Functions Activation Sum Activation Function Neuron Output
p1
x
w1
p2
x
w2
p3
x
w3
x
p4
w4
y = f(u)
p5
x
w5
p6
x
w6
p7
x
w7
p8
x
w8
x1 x2 x3 xn 1
b) PI neuron
Fig. 5. Sigma and PI neurons.
i s 1
ds
Z
Coupling Layer
i s qs
-1
Z
wcc1 wcc2 wcc3 wcc4
L Layer
lin
X
L
lin
X
L
c
lin
V 0sat
lin
X
L
lin
X
L
cos
he
sin
1
-w31 2w31 -w32 2w32
- 1
Z
- 1
Z
X
X
X
X
X
X
lin
lin
lin
lin
Inductances Layer
Fig. 6. Proposed structure of saturation saliency sub-network. The L
weights correspond to ULs in (12).
[ vq vd v T d 0 ] =
LQD0 =
dt
( LQD0 [ iq id i T 0 ] )
VL+ 2 3 UL 1(2+ 1 )
(11)
23 UL 2 2
4
3 UL 1(1 1 )
23 UL 2 2 VL+2UL 1 1
4
3 UL 2 2
2
3 UL 1(1 1 )
2
3 UL 2 2 VL+ 2 3 UL 1(1+2 1 )
(12)
Where, UL 1 = ULs cos(h e), UL 2 = ULs sin(h e),
1 = cos
2 3 h
, 2 = sin
2 3 h
.
By solving (11)(12) in the discrete time, (13) is obtained
for the zero sequence voltage:
v 0[k] = ( 2L qd0 [k] L qd0 [k-1])
(3,1) i q [k]
+( 2L qd0 [k] L qd0 [k-1])
(3,2) i d [k]
L qd0 [k] (3,1) i q [k-1] L qd0 [k] (3,2) i d [k-1] (13)
where the numeric sub-indexes (i,j) of the inductances in (13)
stand for the corresponding position in the inductance matrix
(12). These terms suggest that components of the zero
sequence carrier signal voltage caused by saturation-induced
saliencies can be modeled as function of iq, id and e,
evaluated at two consecutive sampling periods k and k1 of
the discrete time control. By changing values of h, different
saturation-induced components can be analyzed. A three
layer sub-network structure is suggested by (11)(13):
The first layer calculates the inductance terms as function
of e. To perform this calculation, PI neurons are used.
The basis functions for the neurons are cosinusoidal and
sinusoidal functions. All the weights in this layer are fixed
by the physical model.
The second layer performs multiplications between the
current components and the outputs of the impedances
layer; using PI neurons as well.
The third layer consists of a Sigma neuron and has
adjustable weights which are trained to estimate the value
of the differential inductance (ULs).
This structure is shown in Fig. 6, where the weights are
determined by (14) and (15). It is developed for decoupling
of a single component. If more harmonics need to be
decoupled, the structure can be repeated as many times as
needed. In this layer, the only adaptive weight is the one that
models the differential transient inductance (ULs), as
indicated by the model. This parameter appears four times in
the structured neural network. It can be treated as four
independent weights in the training process. However, the
four independently learned weights should converge to a
single value if the training has converged correctly.
w (3,1) = 2 3 cos(h e)[k] (1cos( 2W
3 h)) = w 31 cos(h e)[k] (14)
w (3,2) = 2 3
3 sin(h e)[k] sin( 2W
3 h) = w 32 sin(h e)[k] (15)
Better results are obtained if cross coupling between iq
and id is also considered. For this purpose, additional
adaptive terms are added in the coupling layer, as depicted
using dashed blocks in Fig. 6.
Once saturation-induced saliencies are computed, another
set of layers estimate intermodulation saliencies as shown in
Fig. 7. These can be modeled as a multiplication in the time
domain (convolution in the frequency domain) of the

252 Publicaciones
saturation-induced components and the rotor-stator slotting
component. Although the phase of these harmonics is related
to the phase of the rotor-stator slotting-induced and
saturation-induced components, there is an unknown offset
angle which needs to be estimated by the network. The
structure proposed is comprised of two orthogonal neurons,
cos(N r r ) and sin(N r r ), which allows calculation of the
phase of the harmonics by learning the proper weights. This
structure is quite similar to the Discrete Fourier Transform
with the adaptive weights being the Fourier coefficients
computed by the training process. If a single saturationinduced
component is modeled (h=2), estimated
intermodulation saliencies are at frequencies: c -2 e + R
rm , c + 4 e R rm, c - 4 e +R rm and c + 2 e R
rm. The intermodulation layer structure would remain the
same if additional saturation saliencies were taken into
account.
While not strictly necessary, this transformation was found
to be helpful as it enables the use of tracking methods specific
to complex vectors to obtain the saliency position.
i s ds
i s qs
Inductances Layer
he
-1
Z
-1
Z
-1
Z
2w31
-w31
-w32
2w32
-w31
cos
sin
cos
Coupling Layer
wcc1
wcc2
wcc3
X
X
X
X
lin
lin
lin
lin
L
L
L
L
L Layer
lin
c
V 0sat
-w32
sin
wcc4
Fig. 9. Modified (simplified) structure of the sub-network for the
decoupling of saturation-induced saliencies for real time implementation.
The L weights correspond to ULs in (12).
a)
Fig. 7. Proposed structured neural network to decouple saturation-induced
and inter-modulation induced components.
0.8
0.6
(V)
0.4
0.2
0
-1
-0.5
0
0.5
slip (p.u.)
1
3.6
3.2
2.8
2.4 |i qds | (A)
b)
Fig. 8. Decoupling of saturation-induced and intermodulation-induced
components of the zero sequence carrier signal voltage, and rotor position
estimation using a tracking observer.
Finally, all the harmonics to be decoupled (both saturationinduced
and intermodulation components) are added in the
output layer, which is implemented by a Sigma neuron and
linear basis function as shown in Fig. 7. Once the network is
trained, this output is subtracted from the measured zero
sequence carrier signal voltage to get the signal used for
tracking the rotor position as shown in Fig. 8. For the
implementation of the method, the sampled zero sequence
voltage was converted into a carrier frame complex voltage
vector (16) [3,4], and low-pass filtered (see Fig. 8). The
resulting zero sequence carrier frame voltage vector (17) has its
phase angle modulated by the saliency position.
v c 0qd = v 0 ej c
(16)
v c 0qd_c = j V 0ch e jh r
(17)
(deg.)
200
0
-200
-1
-0.5
0
0.5
slip (p.u.)
1
2.4
2.8
3.2
3.6
|i qds | (A)
Fig. 10. a) Magnitude and b) phase of the 2 e harmonics of the zero
sequence carrier signal voltage vector, as a function of slip and fundamental
current level, used to build a look-up table for saturation-induced saliency
decoupling.
V. REAL TIME IMPLEMENTATION ISSUES
The proposed system of Fig. 8 was constructed for
decoupling of saturation-induced and intermodulation
components in order to improve the position and velocity
estimation on the induction machine drive of Fig. 1. Relevant
issues for its implementation are analyzed in this section.
a) Layer structure.
The complete structured neural network has only forty-

B.4 Saliency tracking-based, sensorless control of AC machines using. . . 253
seven connections of which ten are adaptive, with four equal
to each other (L weights). The initial topology of the
network was built using Matlab® neural networks toolbox.
Some modifications were made to allow custom basis
(activation) functions (sin and cos functions) and
implementation of PI neurons needed for this application. It
is easy to add more layers or features to the neural network if
additional secondary components need to be decoupled.
A
Best Linear Fit: A = (0.993) T + (1.2e-005)
0.2
R = 0.997
0.1
0
-0.1
structure allows for training in less than 10 seconds in the
worst case, but in general, less than 2 seconds.
To train the network, the machine was operated under
various working conditions. The d- and q-axis currents in the
stationary reference frame were used as inputs to the network,
and saturation and intermodulation components of the
measured zero sequence carrier signal voltage as the target
output. Saturation and intermodulation components of the
measured zero sequence carrier signal voltage were obtained
in a similar fashion to that used to build multi-dimensional
look-up tables, an example of which is depicted in Fig. 10. It
is noted that this measurement process could be significantly
simplified if additional layers to estimate the rotor position
were added to the network. This issue is briefly discussed in
Section IVc.
-0.2
-0.3
-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2
T
a) The network has been correctly trained to the tested operating point
Best Linear Fit: A = (0.762) T + (-8.81e-006)
0.2
R = 0.94
0.1
A
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2
T
b) The network has not been correctly trained to the tested operating point
Fig 11. Test results for the network performance evaluation. Target (x-axis)
vs. network output (y-axis) for two different training processes.
To simplify the structure of the saturation-induced
saliencies sub-network (Fig. 6), the modified structure shown
in Fig. 9 is used in the real-time implementation. This
topology has two advantages over the original structure: first,
the number of layers is decreased by one, resulting in reduced
real time computational requirements. Second, the subnetwork
is more flexible due to the adaptive weights
w cc1w cc4 that are introduced in the interconnection between
the inductances layer and the coupling layer, which
compensates for discrepancies between the physical model
and the implemented structure. They are added in addition to
fixed gains, labeled w 31w32, which have values of ±2, ±1
Even though the additional adaptive gains are added, training
time remains virtually the same.
b) Training process.
The structured neural network of Fig. 7 was trained using
the Levenberg-Marquardt back-propagation algorithm. This
L iq
L id
0.5
0
-0.5
-1
5
0
2
4
experiments
6
8
10 0
iterations
a) Evolution of UL of inputs iq[k] and iq[k-1].
1
0
-1
5
0
2
4
experiments
6
8
10 0
iterations
b) Evolution of UL of inputs id[k] and id[k-1].
Fig 12. Variation of UL weights as a function of the number of iterations of
training process and the number of trainings performed.
The performance of the trained network was then assessed
by operating the machine in working conditions different
from those used for its training. Accurate estimation during
this evaluation process will validate the training.
Fig. 11 shows results for two cases of training. Target
values are plotted on the x-axis and actual network outputs on
the y-axis. Linear regression analysis was performed between
the network response and corresponding targets. The case
shown in Fig. 11a is very close to a perfect match (T=A, R=1,
R being the regression coefficient of correlation), meaning
that the network is properly trained. By comparison, results
shown in Fig. 11 b reflect incorrect training.
10
10

254 Publicaciones
The training was also validated by plotting the evolution
of adaptive parameter L, shown in Fig. 12. Different initial
values of L are used in different experiments, but the final
estimates uniformly converged to virtually identical values.
The only exception is experiment number 6 in which the
network converged to a local minimum. However, this has no
influence on overall performance of the network as all
adaptive gains varied in the same way.
L
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0 2 4 6 8 10
iterations
Fig 13. Analysis of convergence of |UL| weights.
Fig 14. Implementation of a tracking observer using structured neural networks
whereby the rotor angle r for training process was measured using an encoder.
Fig. 13 shows that all four values of L converge to the
same value by the end of training process. In this figure, the
L values are paired depending on the current component (qor
d-axis) associated with them.
c) Further improvements of the training process.
Training could be simplified by implementing a structured
neural network tracking state filter as shown in Fig 14. With
this new sub-network, it would be unnecessary to measure
saturation and intermodulation components during the
training process; instead the actual rotor position could be
used. The proposed tracking state filter would have fixed
weights, so the training time would remain the same. The
rotor position could be measured using an encoder, as shown
in Fig. 13. This training method would be appealing in
applications where spectral separation between different
components of the zero sequence carrier signal voltage is non
existent. This is the case for PM synchronous machines, in
which rotor position-dependent and flux position-dependent
saliencies rotate in synchronism. Ongoing research is
exploring this topic.
d) Real time implementation.
Once the network has been trained, the values of the adaptive
weights are fixed and a set of difference expressions are
automatically generated by the Matlab® code, which makes it
easy to test different structures and training strategies. These
expressions capture the behavior of each layer, reducing the
number of operations that need to be processed in real time.
All the algorithms were implemented in a fixed point DSP
TMS320F2812 from Texas Instruments®. Time required for
the computation of the structured neural network was less
than 5% of overall computational load.
VI. EXPERIMENTAL RESULTS
The actual and estimated zero sequence carrier signal
voltage vector due to saturation and intermodulation saliencies,
i.e. disturbing components that need to be decoupled, are shown
in Fig. 15 and Fig. 16 for two different working conditions.
The spectrum of the estimated zero sequence carrier signal
voltage vector for the loaded case is shown in Fig. 17. The
spectrum of the estimated voltage shows the same major
harmonics as the actual voltage. The decreased accuracy of the
loaded case is attributed to errors due to intermodulation
harmonics that were not completely compensated by the
network, especially when the machine is heavily loaded. These
errors could be reduced by adding flux position estimation to
the layer inputs and by modifying these inputs to be R r k- e
and R r k+ e ., at a price of a slight increase in the network
complexity.
Rotor position estimation results for operating conditions
different from those used to train the network are shown in
Fig. 18.
a) 0.5
(V)
(V)
(V)
0
-0.5
b) 0.04
0.02
0
-0.02
-0.04
c) 0.04
0.02
0
-0.02
-0.04
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
time (s)
Fig 15. a) Estimated and actual components of the zero sequence carrier
signal voltage vector due to saturation and intermodulation saliencies, b) q-
axis component estimation error before intermodulation components are
decoupled, and c) q –axis component estimation error after intermodulation
components are decoupled. The machine was operated at rated-flux, no-load.

B.4 Saliency tracking-based, sensorless control of AC machines using. . . 255
a)
(V)
0.5
0
-0.5
b) 0.04
0.02
0
-0.02
-0.04
c) 0.04
0.02
0
-0.02
-0.04
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
time (s)
Fig 16. The same as for Fig. 15 with the machine being operated at ratedflux,
80% of rated load.
0.4
2e 14r 2e
0.2
-4e
0
-40 -20 0 20 40
frequency (Hz)
(V)
(V)
(V)
Fig. 17. Estimated frequency spectrum of the zero sequence carrier signal
voltage vector due to saturation and intermodulation saliencies. The
machine was operated at rated-flux, 80% rated-load, e = 4 Hz, r = 2 Hz.
^r
(mech. deg)
200
0
-200
4
2
^r r
0
-2
-4
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
(mech. deg)
time (s)
a) Rated-flux, no-load, e = r = 4 Hz.
200
^r
(mech. deg)
0
-200
4
2
^r r
0
-2
-4
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
(mech. deg)
time (s)
b) Rated-flux, 80% rated-load, e = 4 Hz, r = 2 Hz.
Fig. 18. Estimated rotor position and estimation error in mechanical degrees
for two different working conditions. A carrier signal voltage of frequency
fc=2500 Hz and magnitude Vc=20 V (peak) was used.
VII. CONCLUSIONS
Decoupling of saturation-induced saliencies and
intermodulation saliencies using structured neural networks
has been shown to be a viable method to improve saliency
tracking-based sensorless methods. Advantages with respect
to using lookup tables include a simpler commissioning
process and the ability to extend the decoupling network to as
many harmonics as needed. Preliminary results shown in this
paper demonstrate similar precision in decoupling saturationinduced
saliencies to that obtained via previously published
look-up table-based methods.
While the zero sequence carrier signal voltage has been
used for the analysis and experiments presented in this paper,
the method is easily extendable to practically all saliency
tracking-based sensorless methods.
ACKNOWLEDGMENTS
The authors wish to acknowledge the support and
motivation provided by the University of Oviedo (Spain) and
the Wisconsin Electric Machines and Power Electronics
Consortium (WEMPEC) of the University of Wisconsin-
Madison.
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Diagnostics of Induction Machines Using the Zero Sequence Voltage
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University of Oviedo, Dept. of Elec., Computer
& Systems Engineering
Gijón, 33204, Spain
T: 34 985-182289, E: fernando@isa.uniovi.es
†Sustainable Mobility Technologies
Ford Motor Company
Dearborn, MI 48121-2053
T: 313-322-6499, E: mdegner@ford.com
Abstract – Diagnostics of induction machines using the zero
sequence voltage is presented in this paper. Both stator-winding
fault and broken rotor bar detection are covered. Faults in the
stator windings or damaged rotor bar cause asymmetries in the
phase impedances of the machine, which give rise to zero
sequence voltage components. The measured zero sequence
voltage is shown to contain reliable information on the condition
of the machine, with little influence from the operating point or
imbalances in the phase voltages. The method will be shown to be
valid both for line-connected machines and inverter-fed machines.
I. INTRODUCTION
Diagnostic techniques for electric machines have been the
focus of intense research for many years [1-9]. The ultimate
goal for many of these methods is to prevent unexpected
equipment downtime or severe equipment damage. The key
to achieving this goal is the ability to detect faults/failures at
their incipient stage. Since complete failure can occur rapidly
after an initial fault develops, on-line methods for detecting
faults are preferred over off-line processing of data [3-9].
Some of these on-line method require additional sensors, e.g.
to measure the axial flux [7] or vibrations [8]. Methods that
rely on the detection of an unbalance in the machine from
terminal measurements, i.e., voltages or currents, are
especially attractive [3-6,9]. Within these methods, several
have been proposed and investigated recently that use the
negative sequence current caused by the fundamental
excitation, or alternatively the negative sequence impedance
[3-5,9]. These methods exploit the fact that when an
unbalanced machine is fed with a balanced three-phase
voltage, the resulting current consists of both positive and
negative sequence components. The magnitude of the
negative sequence current depends on the level of asymmetry.
Independent of their attractive properties, these methods
have some drawbacks [3-5]. First, the line voltages feeding
the machine often contain negative sequence components,
which produce spurious negative sequence current
components caused not by imbalances in the machine but by
the voltage feeding it. Although it is possible to measure the
level of imbalance in the line voltages, it is not easy to
accurately estimate their contribution to the overall negative
sequence current, since it depends on the machine’s
parameters and operating point. A second limitation of these
techniques is the dependence of the fault related, negative
This work was supported in part by the Research, Technological Development
and Innovation Programs of the Principado of Asturias-ERDF, under grant
PB02-055, and of the Spanish Ministry of Science and Technology-ERDF
under grants DPI2001-3815 and DPI2002-1599 respectively.
sequence current components on the operating point of the
machine, and specifically, on the load level or slip.
To overcome some of these limitations, the use of the zero
sequence voltage for diagnostic purposes is proposed and
analyzed in this paper. Both stator-winding fault and broken
rotor bar detection is covered. Faults in the stator windings or
rotor bars cause asymmetries in the phase inductances of the
machine, which give rise to zero sequence voltage components.
The measured zero sequence voltage is shown to contain
reliable information on the condition of the machine, with little
influence from its operating point. In addition, zero sequence
voltage components that might corrupt the measurement are
shown to be easily removed, making the technique very robust
against imbalances in the voltage supply.
The paper is organized as follows. First the physical
principles of the proposed technique are introduced. Then the
application of the method to line-connected machines,
including both stator and rotor fault detection, is presented.
This analysis is then extended to inverter-fed machines.
Finally, digital signal processing related issues are discussed
and analyzed.
II. DETECTION OF ASYMMETRIES USING THE ZERO SEQUENCE
VOLTAGE
Faults in either the stator windings or in the rotor produce
imbalances in the phase resistances and inductances as seen
from the stator windings. Such imbalances, or asymmetries, are
fixed in space when the fault occurs in the stator windings but
rotate at the rotor speed when they are in the rotor. For the
purposes of this paper, a simplified mathematical model of the
machine was developed for the theoretical analysis of the
effects that these asymmetries in the phase impedances have on
the stator zero sequence voltage. In the development of this
simplified model it was assumed that the resistive terms of the
machine model are negligible and that the faults could be
modeled as a sinusoidal spatial variation in the inductances. If
it is also assumed that the machine is unloaded, (1) can be
written. When the machine is asymmetric, the inductance
matrix in (1) can be separated into two components (2): the first
term (3) models the balanced portion of the stator inductance
matrix, which would correspond to that of a balanced machine;
and the second term (4) models the asymmetric portion of the
stator inductance matrix caused by the faults.
[ ]
van vbn vcn T = d T
dt
( LABC [ ia ib ic]
)
(1)
LABC LCONSTANT LVARYING (2)

B.5 Diagnostics of Induction Machines Using the Zero Sequence Voltage 259
LsLms Lms2 Lms2
LCONSTANT
Lms2
LsLms Lms2
Lms2 Lms2 LsLms
LVARYING
(3)
L1cos( 0) L2cos() L2cos( 1)
L2cos(
2) L1cos( 1) L2cos( 0) (4)
L2cos( 1) L2cos( 0) L1cos(2)
Where 0hf, 1 h(f23) and, 2 h(f23), f is the
location of the asymmetry, h is the speed of rotation of the
asymmetry relative to the rotor speed or fundamental excitation,
and L1 and L2 are the maximum variation produced by the
asymmetry in the diagonal and off-diagonal terms, respectively.
While a general solution of the zero sequence voltage for
any value of h could be obtained, much simpler solutions are
reached for specific values of h. Especially interesting is the
solution for h2, which corresponds to a asymmetry that rotates
twice as fast as the rotor or the fundamental excitation. Using
the model represented by (1), and with the further assumption
that there is no zero sequence current (5), an analytical solution
for the zero sequence voltage (6) can be obtained for the case
when the machine is excited with a balanced set of sinusoidal
voltages at a frequency of e (7).
d ia
dt
+ d i b
dt
+ d i c
= 0 (5)
dt
v 0 1 3 (v an vbn vcn) (6)
v 0 V 0h cos(ethf )V 02h cos(et2hf ) (7)
Rewriting (7) in terms of f (8) rather than its angular
position, f, an alternative representation of (7) can be
obtained (9).
f = d f
(8)
dt
v 0 V 0h cos((ehf )t+f1)V 02h cos((e2hf)t+f2)(9)
According to (9), an asymmetry in the machine produces
two different components in the resulting zero sequence
voltage. The magnitudes of these components depend on the
level of asymmetry in the phase inductances, i.e., the severity
of the fault. It can be demonstrated that V 0h >V 02h .
The model presented in this section was obtained for the
case of an unloaded machine and did not place any restrictions
on the magnitude that the asymmetries cause in the self-terms,
L1, and mutual-terms, L2, of the inductance matrix (4). The
only restriction was that if the asymmetry rotates, it produces
the same effect in all three phases, shifted by 23 from each
other. For the case of a loaded machine, and assuming that the
same restriction applies, it can be demonstrated that,
independent of the actual values of L1 and L2, the resulting
zero sequence voltage has the form shown by (9).
III. ZERO SEQUENCE VOLTAGE IN HEALTHY MACHINES
Although they are typically modeled as being symmetric,
induction machines almost always have some imbalance.
Asymmetries in the windings of the machine, the combined
effect of rotor-stator slotting, and saturation of the magnetic
paths of the machine are some of the potential sources for this
imbalance. Understanding the effects that such asymmetries
have on the zero sequence voltage is important since they
could interfere with the fault-related components of interest.
These effects are briefly analyzed in this section.
Imbalances in the stator windings: These imbalances, which
are intrinsic to the manufacturing process, can be modeled
using (4) as an asymmetry with a constant angle, f. The
resulting zero sequence voltage, obtained using (9), has the
form (10), which is seen to consist of a single component at e.
v 0 V 0h cos(et+f1)V 02h cos(et+f2) (10)
Imbalances in the stator windings are very similar to turn-toturn
faults and could potentially cause errors in detecting such
faults. However, the magnitude of such imbalances should be
relatively small. In addition, if necessary, they could be
measured and stored when the machine is known to be healthy
and then used to compare with measurements made periodically
on the machine to determine if its condition has changed.
Imbalances caused by slotting: The combined effect of rotor
and stator slotting can also cause an inductance imbalance as
seen from the stator windings. The magnitude of this imbalance
depends on machine design parameters like the number of
stator and rotor slots, the number of poles, the skew angle,
airgap length, and whether the machine has open or closed rotor
slots. It can be demonstrated that if this type of imbalance
exists, it produces components of the zero sequence voltage at
frequencies that are multiples of the rotor speed and the number
of rotor slots per pole pair [10]. Since the number of rotor slots
per pole pair is relatively large, these components typically
have a significant spectral separation from the fault-related
components of interest and will be neglected hereafter.
Imbalances caused by saturation: Saturation can also cause
asymmetries in the stator inductances. Such asymmetries
rotate at multiples of the excitation frequency. In this case,
the resulting zero sequence voltage (11) consists of a single
component at 3 e (obtained from (9) with h =2 and fe).
v 0 V 0h cos(3et+f1)V 02h cos(3et+f2) (11)
It should be noted that (11) assumes a single harmonic due
to saturation. Additional harmonics may produce additional
components in the zero sequence voltage. However, (11) was
found to be in good agreement with the experimental results
obtained for this work.
IV. MEASUREMENT OF THE ZERO SEQUENCE VOLTAGE
Although the measurement of the zero sequence voltage
using (6) is relatively simple, it requires the measurement of
three voltages, and consequently the use of three voltage
sensors. A simpler method for measuring the zero sequence
voltage is shown in Fig. 1. The zero sequence voltage
injected from the source, defined as (12), can be measured by

260 Publicaciones
v a
v b
v c
R
R
Induction Machine
v n Voltage
probe
v nR (galvanic
isolation)
v n _nR
R Balanced resistor network
Fig. 1. Zero sequence voltage measurement using a balanced resistor network.
a) b) v
v nR
a RRa
v a
0.06
v b
RRb v nR
0.02
v c
RRc
0.0 0.02 0.04 0.06 0.08 R
Resistor network
R
Fig. 2. Effects of imbalances in the resistor network on the zero sequence
voltage.
connecting a balanced, auxiliary resistor network (wye
connected) in parallel to the machine. The voltage at the
common terminal of this resistive network is (13).
v 0abc 1 3 (v a vb vc) (12)
vnR v 0abc (13)
Rearranging (6) as (14), it can be observed that the zero
sequence voltage can be measured as the voltage difference
between the machine’s neutral point and the resistor
network’s neutral point vn_nR (15) (Fig. 1).
v 0 1 3 (v a vb vc)v n (14)
v 0 vn_nR v nR v n (15)
where v n is the voltage at the neutral point of the machine.
If the phase voltages feeding the machine do not contain any
zero sequence voltage, then (12) and (13) are equal to zero and
the neutral voltage of the machine equals the desired zero
sequence voltage. When the phase voltages do contain zero
sequence voltages, the auxiliary resistor network effectively
allows them to be decoupled from the neutral voltage of the
machine, leaving just the components due to asymmetry in the
machine. An additional advantage of using (15) instead of (6)
is that the analog to digital converters can be scaled according
to the zero sequence voltage magnitude due to fault conditions;
while if (6) is used, they need to be scaled according to the
phase-to-neutral voltage magnitude, causing a decrease in the
resolution of the measured voltage.
The effectiveness of the auxiliary resistor network to
decouple the zero sequence voltage in the supply voltage can
be reduced if the resistors are not balanced. Imbalances in the
resistor network produce, even for the case of balanced
excitation, a zero sequence voltage, v nR , at the fundamental
excitation frequency. If this voltage exists it will be reflected
in the zero sequence voltage, v 0 , (6) and can cause errors in
the diagnostics. If R is the nominal value of the resistor and
R the maximum error of each resistor with respect to its
TABLE I: INDUCTION MOTOR PARAMETERS
Power Rating
0.9 kW
Poles 4
Rotor slots type
Skewed, semi-open
# Stator Slots / #Rotor Slots 24 / 30
# Series turns per pole 168 (84 per slot)
V rated / I rated (star connected) 400 V (rms) / 2.3 A (rms)
Rated speed
1425 rpm
(V)
15
0
-15
0 50 100 150 200
time (ms)
Fig. 3. Experimentally measured zero sequence voltage vn_nR for the case of
a healthy machine, operated at rated load, 400 V (rms), 50 Hz.
(V)
10
5
0
0
0 50 100 150 0 50 100 150
frequency (Hz)
frequency (Hz)
a) Healthy machine b) Four-turn fault
Fig. 4. Comparison of experimentally measured zero sequence voltage v n_ nR
frequency spectrums for a healthy and unhealthy machine. The machine was
operated at rated load, 400 V (rms), 50 Hz.
nominal value, i.e., RRa, Rb and Rc)R (see Fig.
2a), it can be demonstrated that the magnitude of the resulting
zero sequence voltage, v nR , relative to the magnitude of the
phase voltage, will be limited by (16). This function is shown
in Fig. 2b.
vnR
va 2 R
3 R R
(V)
10
5
(16)
For the experiments presented in this paper, tolerances in the
resistor network within a range of 1% were found to be
adequate. Methods to calibrate the resistor network and reduce
the sensitivity of the technique are at this moment under research.
Fig. 3 shows the measured zero sequence voltage in a
healthy machine (Table I), operated at rated load, using the
method shown in Fig. 1, with Fig. 4a showing its corresponding
frequency spectrum. Two relevant components are observed in
the frequency spectrum, at 50 and 150 Hz. The component at
50 Hz is most likely caused by the asymmetries in the stator
windings and the auxiliary resistor network, having the form
(10). The component at 150 Hz is most likely caused by
saturation, having the form (11).
IV. STATOR-WINDING FAULT DETECTION USING THE ZERO
SEQUENCE VOLTAGE IN LINE-CONNECTED MACHINES
As discussed previously, a fault in the stator windings
produces a stationary imbalance in the stator inductances,
resulting in a zero sequence voltage of the form (10). To

B.5 Diagnostics of Induction Machines Using the Zero Sequence Voltage 261
phase v
#3
#15
#410
#16
#28
#17
phase u
#6
#14
#511
#17
#18
#1319
Fig. 7. Rotor modified to break a rotor bar by drilling the end-ring.
phase w
Fig. 5. Schematic diagram of the experimental machine used for statorwinding
fault detection.
4
(V)
2
0
rated slip
0 1 2 3
slip frequency (Hz)
Fig. 6. Experimentally measured magnitude of the 50 Hz component of the
zero sequence voltage v n_ nR for the case of a healthy machine (), two-turn
fault () and four-turn fault () respectively, as a function of the slip
frequency. The motor was fed at 400 V (rms), 50 Hz.
verify this behavior, a specially prepared machine with the
ability to short adjacent turns was used for testing. The
parameters of this machine are shown in Table I. Fig. 5
shows the stator winding design schematically, including how
the turn-to-turn faults, ranging from 1 to 11 turns, were
created. Fig. 4b shows the zero sequence voltage frequency
spectrum for a four-turn fault in the stator winding, with the
machine operated at its rated condition. Comparing Fig. 4b
with 4a, a noticeable increase in the magnitude of the
component near 50 Hz can be seen. This change in
magnitude can be used to detect the presence of the fault in
the stator winding. Fig. 6 plots the magnitude of this
component as a function of slip frequency for different levels
of turn-to-turn faults. From the figure it can be observed that
the magnitude increases as the fault level increases and is
barely affected by the load level of the machine.
V. ROTOR FAULT DETECTION USING THE ZERO SEQUENCE
VOLTAGE IN LINE-CONNECTED MACHINES
A broken rotor bar causes an asymmetry in the machine that
rotates at the rotor speed. If this asymmetry produces a
variation in the impedances seen from the stator terminals, a
zero sequence voltage will result. The effects caused by
damaged rotor bars on the phase impedances repeat every 180
electrical degrees, since it indistinguishable from the north and
the south pole of each phase, i.e., it is a second-order harmonic,
h 2. The zero sequence voltage caused by a damaged rotor
bar, using (9) has the form (17). It is seen to consist of two
(V)
10
5
4
2
0
130 140 150 160
0
0 50 100 150 200
frequency (Hz)
Fig. 8. Experimentally measured frequency spectrum of the zero sequence
voltage vn_nR for the case of a machine with a four-turn fault and a broken
rotor bar, operated at no-load, 400 V (rms), 50 Hz.
(V)
2
1
0
rated slip
0 1 2 3
slip frequency (Hz)
Fig. 9. Experimentally measured magnitude of the components at e 2 r
() and e 4 r () of the zero sequence voltage v n_ nR for the case of a
machine with a broken rotor as a function of the slip. The motor was
operated at 400 V (rms), 50 Hz.
components at e2r and e4r, respectively.
v 0 V 0h cos((e2r) t+f1)V 02h cos((e4r) t+f2)(17)
To test the ability of detecting a broken rotor bar, a rotor
was modified to emulate a broken rotor bar by drilling the end
ring, as shown in Fig. 7. The continuity of the end-ring was
maintained and the rotor laminations were not affected. Fig.
8 shows the frequency spectrum of the zero sequence voltage
when the machine was operated at rated voltage and rated
load condition, with e50 Hz and r47 Hz. For that case,
the components predicted by (17) are at 144 Hz and 138 Hz,
respectively. Both components can be seen in Fig. 8 (zoomed
area). Fig. 9 shows the magnitude of the e2r and e4r
components as a function of the slip frequency. The values
for the case of no-load (slip frequency equal to zero) have not
been prepresented, since, as deduced from (17), they are at
150 Hz, which exactly coincides with the zero sequence
component caused by the saturation. Because of this, detection
of damaged rotor bar under this working condition (no-load) is
difficult. However, this is not considered a significant
restriction in practice, since rotor related faults usually develop
slowly, and in general, electric motors do not work at no-load

262 Publicaciones
V dc /2
0
V dc /2
Inverter
v n0
v a
v b
v c
R
R
Induction Machine
v n Voltage
probe v n _nR
v nR (galvanic
isolation)
R
Balanced resistor network
Fig. 10. Zero sequence voltage measurement using a balanced resistor
network in inverter-fed machines.
v
a)
a v b v c
V dc /2
Space vector modulation
Discontinuous modulation
(30º phase angle)
1
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
a) phase voltages
1
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
b) zero sequence voltages (calculated using (3))
V dc /2
0.3
0.2
0.3
0.2
b) V dc /2
V dc /3
V dc /3
V dc /2
zero active active zero active active zero
Swtiching period
Fig. 11. a) Example of inverter output phase voltages and b) resulting zero
sequence voltage produced during a complete inverter-switching interval.
for extended periods of time. From Fig. 9 it is observed that as
the slip frequency increases, the fault-related components
increase, making fault detection more reliable. In addition,
spectral separation is gained with respect to the 150 Hz
component, which in practice increases the robustness of the
measurement as it reduces the risk for spectral leakage from the
150 Hz component corrupting the fault-related components.
VI. DIAGNOSTICS OF INVERTER FED MACHINES USING THE
ZERO SEQUENCE VOLTAGE
Though the analysis presented so far has focused on lineconnected
machines, the same physical principles are also
valid for the case of inverter-fed machines. However, two
major differences exist: 1) the presence of additional,
inverter generated zero sequence voltages, and 2) the fact that
the fundamental excitation frequency is variable, which
influences both the magnitude and the frequency of the faultrelated
components of the zero sequence voltage. Those
issues are analyzed in this section. For the experiments
presented in this section the inverter had a dc bus voltage of
565 V and a switching frequency of 4 kHz.
a) Zero sequence voltage produced by pulse-width
modulation in inverter-fed machines
It is common practice in the analysis of inverter-fed
machines to refer the voltages to the mid-point of the dc bus.
The neutral voltage of the machine using that reference is
denoted v n0 (see Fig. 10). PWM operated inverters inject
zero sequence voltages in the machine, which influence v n0,
and could cause problems if v n0 instead of v 0 (6) is used for
diagnostics purposes.
The zero sequence voltage injected by the inverter can be
separated into three different categories for convenience in
3 e
9 e
15 e
0.1
0.1
3 e
9 e
0
0
c) frequency spectrum of the zero sequence voltage
Fig. 12. Zero sequence voltage produced by different forms of modulation.
discussion: 1) components that are intrinsic to PWM,
independent of the modulation method; 2) components that
depend on the modulation method; and 3) components caused
by switching transients.
Modulation method independent components come from
the fact that the phase voltage from two level inverters can only
be two different values, relative to the mid-point of the dc bus,
Vdc/2 or Vdc/2. As PWM techniques typically use a
succession of zero and active voltage vectors during each
switching period of the inverter, the resulting zero sequence
voltage due to inverter-switching follows a sequence that
repeats each switching period and has a peak-to-peak value
equal to the dc bus voltage, as shown in Fig. 11. This results in
a inverter generated zero sequence voltage of relatively large
magnitude, with frequency content greater than or equal to the
inverter switching frequency, and therefore, far from the faultrelated
frequencies of interest. Due to this spectral separation,
these components are not expected to cause direct interference
in the diagnostics of the machine. However, they could cause
aliasing problems if not correctly compensated or filtered.
A second mechanism through which the inverter produces
zero sequence voltage is through the modulation strategy. In
the case of sine-triangle modulation, the phase voltages
commanded to the inverter are balanced, i.e., they do not
contain a zero sequence component. Other modulation methods,
like space vector or discontinuous modulation, command a zero
sequence voltage, with the goals of increasing the maximum
voltage that can be generated or minimizing the inverter losses.
Fig. 12a shows the phase voltages commanded to the inverter
for space vector modulation and a discontinuous modulation
method, Fig. 12b shows the commanded zero sequence voltage
(12), and Fig. 12c shows the resulting frequency spectrum.
From Fig. 12c it can be observed that these methods inject zero
sequence components at frequencies that are triplen harmonics
of the fundamental frequency. This is important since the

B.5 Diagnostics of Induction Machines Using the Zero Sequence Voltage 263
v n0
400
200
0
-200
-400
0 2 4
time (ms)
a) Measured zero sequence voltage
(V)
vn_nR
100
50
0
-50
-100
0 2 4
time (ms)
v n _nR
4 th order, LPF Spectral analysis
v n _nR _lpf
A/D
A/D
Fig. 14. Filtering of the zero sequence voltage measured using a balanced
resistor network for inverter-fed machines.
10
10
(V)
40
20
0
150 Hz
0 1 2 3 4
0 2 4
frequency (kHz)
frequency (kHz)
b) Frequency spectrum magnitude
Fig. 13. Experimentally measured zero sequence voltage: with respect to the
mid-point of the dc bus voltage v n0 (left), with respect to the neutral point of
the auxiliary resistor network vn_nR (right). The machine was fed from an
inverter and operated at no-load, 50 Hz. The machine did not have any faults.
harmonic at 3e will be spectrally close to the rotor faultrelated
components (see Fig. 8) and can cause noticeable
interference if it is not properly compensated.
Fig. 13a shows the zero sequence voltage measured with
respect to the mid-point of the dc bus voltage for the case of
an inverter operated using space vector modulation and Fig.
13b shows the corresponding frequency spectrum. Triplen
harmonics of the fundamental frequency, due to the
modulation strategy, as well as harmonics at the switching
frequency, are present.
The zero sequence components produced by the inverter
modulation method, both triplen harmonics and switching
frequency harmonics, can be almost completely removed
from the voltage by using the auxiliary resistor network
shown in Fig. 10. The zero sequence voltage, vn_nR,
measured using the auxiliary resistor network and the
corresponding frequency spectrum are shown in Fig. 13
(right). The advantages of using the auxiliary resistor
network can be seen by comparing vn_nR and v n0 in Fig. 13.
A significant reduction in both the triplen harmonics as well
as those at the switching frequency can be observed.
In addition to the modulation strategy related zero
sequence voltage components, zero sequence voltages can
also be produced in the motor through the combined effect of
fast voltage variation at the inverter output and parasitic
capacitances in the motor windings and inverter to motor
cabling. Since these components are mostly related to the
high frequency behavior of the motor, noticeable differences
exist between the voltages measured at the neutrals of the
motor and of the auxiliary resistor network. As a
consequence, the auxiliary resistor network shown in Fig. 10
loses its effectiveness in decoupling these high frequency
components. These can be seen in the voltage vn_nR in Fig.
13. Since these components are typically at frequencies above
100 kHz, they can be easily removed using a low-pass filter on
the measured zero sequence voltage, as shown in Fig. 14.
40
20
0
150 Hz
0
5
-10
0
0 25 50 75
0 50 100 150
time (ms)
frequency (Hz)
a) Measured zero sequence voltage b) Frequency spectrum magnitude
Fig. 15. Experimentally measured and low-pass filtered zero sequence
voltage v n_ nR_lpf . A fourth-order, Butterworth low-pass filter with a cut-off
frequency of 500 Hz was used. The machine had a healthy stator, one
broken rotor bar, and was operated at rated load, 50 Hz.
(V)
(V)
4
2
0
0
10 20 30 40 50
10 20 30 40 50
e (Hz)
e (Hz)
a) b)
Fig. 16. a) Magnitude of the e component of the zero sequence voltage
v n_ nR for the case of a healthy machine (), and four-turn fault ()
respectively. b) magnitude of the components at e 2 r () and
e 4 r () of the zero sequence voltage for the case of a machine with a
broken rotor, as a function of the fundamental excitation frequency. The
motor was always operated at rated-flux, rated-load.
Fig. 15a shows the zero sequence voltage, vn_nR_lpf, obtained
after passing the signal shown in Fig. 13b through this analog
low-pass filter, with its frequency spectrum shown in Fig. 15b.
b) Influence of the fundamental excitation frequency
All the results presented to this point, for both lineconnected
as well as for inverter-fed machines, were for a
fundamental excitation of 50 Hz. In inverter-fed machines
this fundamental excitation frequency can and often varies.
The physical principles presented in section II do not
impose any restriction on the excitation frequency. For a
given load level (torque), varying the fundamental excitation
frequency in inverter-fed machines typically results in the
fundamental voltage magnitude varying almost
proportionally. This behavior is true for both simple control
strategies like Volts per Hz and for field oriented control with
a constant flux level. Given this situation, the magnitude of
the zero sequence voltage would be expected to vary
proportional to fundamental excitation voltage magnitude,
and consequently, to the fundamental excitation frequency.
This can be seen in Fig. 16. Fig. 16a shows the magnitude of
the e component of the zero sequence voltage for stator
winding faults, while Fig. 16b shows the magnitude of the
e2r and e4r components of the zero sequence
voltage for broken rotor bar faults, as a function of the
(V)
(V)
2
1

264 Publicaciones
fundamental excitation frequency. In all cases the zero
sequence voltage is seen to vary almost proportionally to the
fundamental excitation frequency. For low excitation
frequencies, the reduced zero sequence voltage magnitude,
and the fact that the components of interest begin to converge
to the same frequency, make reliable fault detection difficult,
if not impossible.
VII. DIGITAL SIGNAL PROCESSING
The digital signal processing used to separate the faultrelated
components of the zero sequence voltage can take many
different forms. The FFT was the basic tool used for the
analysis presented in this paper. A restriction on the use of this
method is that the machine must be working in a steady-state
condition during the diagnostic period. This is not considered a
serious restriction in most of applications, though, since the
collection of the necessary data takes just a few seconds and
such periods of steady-state operation can easily be identified.
Selecting the most suitable implementation of the FFT
algorithm requires consideration of the machine’s source of
excitation (line-fed or inverter-fed) and working condition (is
the excitation and rotor frequency known by the algorithm?), as
well as assessing the reliability and accuracy of the results that
can be obtained and the complexity of the algorithm. The goal
of this section is to analyze these issues in more detail and to
introduce digital signal processing methods that address them.
Three parameters, the number of samples N, the sampling
period T, and the windowing function, determine two important
characteristic of the frequency spectrum obtained from FFT
algorithms: the Nyquist frequency and the frequency resolution.
The filtering shown in Fig. 14, combined with the use of the
auxiliary resistor network shown in Figs. 1 and 10, has been
shown to effectively remove high frequency components of the
zero sequence voltage. This allows the use of moderate
sampling rates without the risk of aliasing. For a fixed
sampling period T, the frequency resolution f, in Hz, is given by
(18). The frequencies, fk, in Hz, contained in the resulting
spectrum are given by (19).
f 1
(18)
N·T
fk k·f k = 0,1,2, ... , N2 (19)
Selection of the number of samples, N, is done to achieve
two goals: 1) preventing spectral leakage and 2) providing
adequate spectral resolution. The first goal is important when
accuracy in the measurement of specific components is desired.
This is the case for the component at e, which reflects faults in
the stator windings. This goal is achieved by optimizing the
number of samples N as a function of e. The second goal is
necessary for adequate separation between the rotor faultrelated
components and the 3e component created by
saturation. This goal is in general accomplished by increasing
the number of samples N.
a) Digital signal processing with known excitation frequency
When the excitation frequency is known, choosing the
(V)
8
4
0
25 50 75 100 125
a) Frequency spectrum magnitude with N20000, T0.1 ms
(V)
2
1
0
40 40.1 40.2 40.3 40.4
b) Frequency spectrum around the frequency of interest
(V)
8
4
0
25 50 75 100 125
frequency (Hz)
c) Frequency spectrum magnitude with N19880, T0.1 ms
Fig. 17. Optimization of the number of samples to prevent spectral leakage.
number of samples for a fixed sampling period to prevent
spectral leakage of the desired zero sequence components (e
and 3e) can be determined directly from (20), with k1 being
an integer number.
N round 1
T·e · k 1 (20)
Choosing a particular value of k1, and consequently the
number of samples, is made according to the frequency
resolution required (18). The accuracy needed to detect the
rotor fault-related components as a function of load is the
main determinant of this resolution. Although a larger
number of samples implies a better frequency resolution, it also
has adverse consequences. First, it usually results in an
increased computational load. Second, it increases the
duration of the sampled time, N·T. This places a further
restriction on the minimum duration of steady-state operation
required to complete the diagnostic operation. Frequency
resolutions in the range of 0.5 Hz to 0.2 Hz, i.e., sampled
times ranging from 2 to 5 seconds, were found to be suitable.
b) Digital signal processing with unknown excitation frequency
Application of the method when the fundamental
excitation frequency is not precisely known introduces
additional requirements. Lack of knowledge of the
fundamental excitation frequency can occur when used to
post-process data collected in inverter-fed machines or with
line-connected machines when the supply frequency varies.
An example will be used to illustrate the reasons why this is
significant. Fig. 17a shows the frequency spectrum of the zero
sequence voltage for the case of an inverter-fed machine, where
the fundamental excitation frequency was unknown. From the

B.5 Diagnostics of Induction Machines Using the Zero Sequence Voltage 265
figure, the fundamental excitation dependent harmonics at e
and 3e can be seen to be at about 40 and 120 Hz, respectively.
Two harmonics around 110 Hz can also be observed. The
presence of these harmonics is indicative of damaged rotor
bars. It can also be seen that the component near 120 Hz
exhibits spectral leakage, but not large enough to mask the
rotor dependent harmonics. It would be more difficult to
diagnose the presence of a stator-winding fault from the
data in this figure, due to the fact that the e component
also exhibits spectral leakage. Because of this, its actual
magnitude is difficult to accurately measure. It was
previously shown in section IV that the diagnosis of the stator
winding’s condition required a relatively accurate
measurement of the e component’s magnitude. For the
results shown in Fig. 17a, values of T0.1 ms and N20000
were chosen. This results in a spectral resolution of 0.5 Hz.
In order to gain more accuracy for the components of interest,
the number of samples N can be optimized.
The first step in this process is to determine the unknown
frequency, which corresponds to e. A first estimate of this
frequency can be determined by finding the maximum from the
FFT with a sub-optimal number of samples. This estimate can
be further refined by calculating the frequency spectrum of the
zero sequence voltage, not for a range of frequencies equallyspaced
between dc and the Nyquist frequency, as the FFT does,
but at frequencies near the fundamental excitation frequency.
This can be done using the Chirp z-Transform [11]. Fig. 17b
shows the resulting spectrum for frequencies ranging from 39.9
to 40.5 Hz. From this figure, the frequency can be determined
by detecting where the waveform reaches its maximum value.
In this example, that occurs at 40.24 Hz. The optimal number
of samples for the FFT algorithm can now be calculated so that
40.24 Hz exactly corresponds (or nearly so) to one of the
frequencies present in the spectrum calculated, (19). For a
sampling period of 0.1 ms and k1 , a value of N19880 is
obtained, (20). The value of k1 was chosen to be the largest
possible that results in N being less than 20000. Fig. 17c shows
the spectrum of the zero sequence voltage using this optimized
number of samples, with the components at e and at 3e now
being easily observed.
It is noted that the process described above can be
performed with standard digital signal processing software
(Matlab was used for this case) and the successive stages
easily automated, the whole process taking just a few seconds.
It is also noted that although other options exist to reduce the
spectral leakage related effects, like the use of windowing
functions [11], they are expected to have lower accuracy than
the method described in this section based on the dynamic
adaptation of the number of samples.
c) On-line diagnosis in inverter-fed machines
For the case of inverter fed machines, if the digital signal
processing were implemented in the same digital signal
processor controlling the drive, the fundamental excitation
frequency would be known. This allows the number of
samples to be easily adapted as a function of the fundamental
excitation frequency. In this case, optimized algorithms that
do not calculate all the frequencies of the spectrum (like the
FFT does) but only a few frequencies of interest, like the
Goertzel algorithm, can be used, enormously reducing the
computing effort.
VIII. CONCLUSIONS
The use of the zero sequence voltage for fault detection in
induction machines, both line-fed and inverter-fed, has been
discussed in this paper. Faults in the stator windings, as well
as broken rotor bars, cause asymmetries in the machine
impedances, which produce zero sequence voltage
components. The measured zero sequence voltage has been
shown to contain reliable information on the condition of the
machine, with little influence from the operating or
imbalances in the supply voltages.
The digital signal processing necessary for diagnostics
was shown to be relatively simple, taking just a few seconds
(

B.6 Induction Machine Diagnostics Using Zero Sequence Components 267
B.6.
Induction Machine Diagnostics Using Zero
Sequence Components [128]

268 Publicaciones
Induction Machine Diagnostics Using Zero Sequence Components
Fernando Briz, Michael W. Degner†, Pablo García, Alberto B. Diez
University of Oviedo, Dept. of Elec., Computer
& Systems Engineering
Gijón, 33204, Spain
T: 34 985-182289, E: fernando@isa.uniovi.es
Abstract – Induction machine diagnostics using zero sequence
components is presented in this paper. Electrical faults cause
asymmetries in the phase impedances, producing a zero sequence
voltage in wye-connected machines and a zero sequence current
in delta-connected machines. The proposed measurement
method identifies these well defined components in the zero
sequence voltage/current and uses them to provide reliable
information on the condition of the machine, with low sensitivity
to the load level of the machine or variations in the phase
voltage. The method can be used for the diagnosis of stator
winding faults and broken rotor bars, and is valid both for lineconnected
and inverter-fed machines.
I. INTRODUCTION
The development of diagnostic techniques for induction
machines has been receiving continuously increasing
attention, with the goal of preventing unexpected equipment
downtime or severe equipment damage [1-10]. Classification
of existing diagnosis methods can be made according to
various criteria. These include: 1) types of faults that are
detectable, 2) types of sensors used, 3) whether they can be
conducted on-line, i.e., do not interfere with the regular
operation of the machine, or off-line, 4) whether they work
with line-fed and/or inverter-fed machines, and 5) whether the
detection occurs in real-time or requires post-processing of
collected data that delays determination of the failure.
Especially attractive are the on-line methods that rely on the
detection of an imbalance in the machine using terminal
measurements, i.e., voltages or currents [1-8]. Within these,
methods that use the negative sequence current, or
alternatively the negative sequence impedance, have been
proposed and investigated [3-5]. These methods exploit the
fact that when an imbalanced machine is fed with a balanced
three-phase voltage, the resulting current consists of both
positive and negative sequence components, with the
magnitude of the negative sequence current depending on the
level of asymmetry.
Even though they have significant attractive properties,
these methods still have some drawbacks [3-5]. First, the line
voltages feeding the machine often contain negative sequence
components, which produce spurious negative sequence
current components, i.e., negative sequence current
components not caused by imbalances in the machine but by
the voltages feeding it. Although it is possible to measure the
Τhis work was supported in part by the Research, Technological
Development and Innovation Programs of the Principado of Asturias−ERDF,
under grant PB02−055, and of the Spanish Ministry of Science and
Education−ERDF under grant MEC−04−DPI2004−00527 respectively.
† Ford Motor Company
Sustainable Mobility Technologies and Hybrid Vehicles
P.O. Box 2053, MD 1170/SRL, Dearborn, MI 48121-2053
T: 313-322-6499
E: mdegner@ford.com
level of imbalance in the line voltages, it is not easy to
accurately estimate their contribution to the overall negative
sequence current, since it depends on machine parameters and
on its working condition [3-5]. A second limitation of these
techniques is the dependence of the fault related negative
sequence current components on the working condition of the
machine, and specifically, on the load level (or slip) for the
case of line-connected machines [3-5].
To overcome some of the limitations of negative sequence
current based diagnosis techniques, the use of zero sequence
components for diagnostic purposes is proposed and analyzed
in this paper. Detection of both stator winding faults and
broken rotor bars are covered. Faults in the stator windings or
rotor bars cause asymmetries in the machine’s phase
inductances, which produce zero sequence components [7,8].
The measured zero sequence components is shown to contain
reliable information on the condition of the machine, with little
influence from its load level. The method is valid both for lineconnected
as well as for inverter-fed machines.
Machine diagnostics using the zero sequence voltage were
previously studied in [7]. Some of the analysis and results
presented in that work are reproduced in this paper for the
reader’s convenience. The major contributions of this paper
are the generalization of the results presented in [7] to both
wye- and delta-connected machines, as well as sensitivity
analysis of the method.
II. DETECTION OF ASYMMETRIES USING ZERO SEQUENCE
COMPONENTS
Imbalances in the stator phase resistances and inductances
can be generated by faults in either the stator windings or
rotor. Since the stator windings are stationary, stator faults
produce imbalances in the phase impedances that are
stationary and do not rotate in space. Conversely, the motion
of the rotor causes rotor faults to produce imbalances that
rotate as a function of the rotor speed. A model for the effect
that imbalances in the stator phase inductance has on the
stator zero sequence components was developed assuming
that the resistive terms are negligible and that the faults
produce a sinusoidal variation in the stator inductances.
Using these assumptions for the case of an unloaded machine,
(1) can be written for the case of a wye-connection [7], and
(2) for the case of a delta-connection. The inductance matrix
in (1) and (2) can be separated into two components (3) when
the machine is asymmetric (faults exist): the first sub-matrix
models the balanced portion of the stator inductance, which is
0-7803-9208-6/05/$20.00 (C) 2005 IEEE

B.6 Induction Machine Diagnostics Using Zero Sequence Components 269
equivalent to a healthy machine; and the second sub-matrix
models the asymmetric portion of the stator inductance, [7].
[ van vbn vcn]
T = d dt
( LABC [ ] )
ia ib ic T (1)
[ vab vbc vca]
T = d dt
( LABC [ ] )
iab ibc ica T (2)
⎡Lσs+Lms −Lms/2 −Lms/2 ⎤
LABC = LCONSTANT+LVARYING = ⎢ −Lms/2 ⎥
Lσs+Lms −Lms/2
⎢
⎥
⎣ −Lms/2 −Lms/2 Lσs+Lms⎦
⎡ ∆L1cos(ϕ0) −∆L2cos(ϕ2) −∆L2cos(ϕ1) ⎤
+ ⎢ −∆L2cos(ϕ2) ∆L1cos(ϕ1) −∆L2cos(ϕ0) ⎥
(3)
⎢
⎥
⎣ −∆L2cos(ϕ1) −∆L2cos(ϕ0) ∆L1cos(ϕ2) ⎦
where ϕ0 = h θf, ϕ1 = h (θf−2π/3) and, ϕ2 = h (θf+2π/3), θf is
the location of the asymmetry, h is the order harmonic of the
asymmetry, and ∆L1 and ∆L2 are the maximum variation
produced by the asymmetry in the diagonal and off-diagonal
terms, respectively. The definition of ϕ0, ϕ1 and ϕ2 implies
that if the asymmetry rotates, it produces the same effect in all
three phases, shifted by 2π/3 from each other. Asymmetries
that have the same effect on the north and the south pole of
each phase have a harmonic order, h=2. This is the case of
stator windings faults, rotor faults, and asymmetries caused by
saturation of the magnetic paths.
For the case of wye-connected machines excited with a
balanced set of sinusoidal voltages at a frequency of ωe, the
solution of the zero sequence voltage (4) (see Fig. 1a) can be
obtained using (1) and (3) [7]. For h=2, the zero sequence
voltage can be shown to be equal to (5).
v 0 = 1 3 (v an + vbn + vcn) (4)
v 0 = V 0h cos(ωet + hθf ) − V 02h cos(ωet − 2hθf ) (5)
Analogously, when using a delta-connected machine the
zero sequence current (6) (see Fig. 1b) for h=2 can be can be
shown to be equal to (7) when the machine is excited with a
balanced set of sinusoidal voltages at a frequency of ωe.
i 0 = iab + ibc + ica (6)
i 0 = I 0h cos(ωet + hθf ) − I 02h cos(ωet − 2hθf ) (7)
According to (5) and (7), an asymmetry in the machine
produces two components in the frequency spectrum of the
zero sequence components, with their magnitude depending
on the level of asymmetry, i.e., ∆L1 and ∆L2 in the phase
inductances, and consequently on the level of fault.
It is noted that several simplifying assumptions have been
used in the development of (5) and (7). Effects like the
induced current in the short-circuited turns of the stator
windings and the distortion of the rotor current for the case of
damaged rotor bars have not been considered. Even so, the
results predicted by this model were found to be in good
agreement with experimental data.
i a
i a
i b
v an
i b
i c
i c
v bn
v cn
v n
i 0
a) Wye-connected
b) Delta-connected
Fig. 1. Measurement of variables in a) wye-connected and b) deltaconnected
machines.
v a
Induction Machine
v b
v c
v n Voltage
probe
v nR (galvanic
v n _nR
R
isolation)
R
R
Balanced resistor network
Fig. 2. Zero sequence voltage measurement using a balanced resistor
network.
III. MEASUREMENT OF THE ZERO SEQUENCE COMPONENTS
The measurement of the zero sequence current was
implemented as shown in Fig. 1b, a hall effect current sensor
was used. The zero sequence voltage was measured as shown
in Fig. 2 [7]. The balanced resistor network measures the
zero sequence voltage injected by the source, defined as (8).
vnR = 1 3 (v a + vb + vc) (8)
Rearranging (4) into (9), the desired zero sequence
voltage can be measured as the voltage difference between
the machine’s neutral point, vn, and the resistor network’s
neutral point, vnR, (10) (Fig. 1), a hall effect voltage sensor
was used.
v 0 = 1 3 (v a + vb + vc) − v n (9)
v 0 = vn_nR = v nR − v n (10)
When the phase voltages do contain zero sequence
voltages, the balanced resistor network effectively decouples
them from the neutral voltage of the machine, leaving just the
components due to asymmetry in the machine.
IV. ZERO SEQUENCE COMPONENTS IN HEALTHY MACHINES
Although they are typically modeled as being symmetric,
induction machines almost always have some imbalance.
Such asymmetries can cause zero sequence components,
which can interfere with the fault-related components of
interest. This is the case of asymmetries in the windings of
the healthy machine and asymmetries caused by saturation of
the magnetic paths of the machine.
Asymmetries in the windings of a healthy machine, which
are intrinsic to the manufacturing process, can be modeled

270 Publicaciones
using (4) as an asymmetry with a constant angle, θf. The
resulting zero sequence components, obtained using (5) and
(7), has the form (11) and (12), respectively. They are seen to
consist of a single component at ωe.
v 0 = V 0h cos(ωe t+ θ f1) − V 02h cos(ωe t+ θ f2) (11)
i 0 = I 0h cos(ωe t+ θ f1) − I 02h cos(ωe t+ θ f2) (12)
Imbalances in the stator windings are very similar to turn-toturn
faults and could potentially cause errors in detecting such
faults. However, the magnitude of such imbalances in a healthy
machine should be relatively small. In addition, if necessary,
they could be measured and stored when the machine is known
to be healthy and then used to compare with measurements
made periodically on the machine to determine if its condition
has changed.
Saturation can also cause asymmetries in the stator
inductances. Such asymmetries rotate at multiples of the
excitation frequency. In this case, the resulting zero sequence
components are of the form (13) [7,11] and (14), and consist
of a single component at 3ωe.
v 0 = V 0h cos(3ωe t+ θ f1)−V 02h cos(−3ωe t+ θ f2) (13)
i 0 = I 0h cos(3ωe t+ θ f1)−I 02h cos(−3ωe t+ θ f2) (14)
Saturation-induced zero sequence components can have a
relatively large magnitude, and will be shown to be spectrally
close to rotor fault induced zero sequence components.
Special attention is required in the measurement process to
prevent saturation-induced components from interfering with
rotor fault detection.
The combined effect of rotor and stator slotting can also
cause a stator inductance imbalance. However, it can be
demonstrated that if this type of imbalance exists, it produces
zero sequence components at frequencies that are multiples of
the rotor speed and the number of rotor slots per pole pair [7].
Since the number of rotor slots per pole pair is relatively
large, these components typically have a significant spectral
separation from the fault-related components of interest and do
not interfere with the measurement of these components.
Fig. 3 shows the zero sequence components during the
regular operation of a healthy machine for both wye- and
delta-connections. The machine’s parameters are shown in
Table I. Figs. 4a and 5a show the corresponding frequency
spectrums, which contain two relevant components, at ωe and
3ωe. The first is caused by asymmetries in the windings of the
machine; the second by saturation-induced asymmetries [7].
TABLE I: INDUCTION MOTOR PARAMETERS (fe = 50 Hz)
Power Rating
0.9 kW
Poles 4
Rotor slots type (two designs) Skewed, semi-open/closed
# Stator Slots / #Rotor Slots 24 / 30
# Series turns per pole 168 (84 per slot)
V rated (wye/delta)
400 / 230 V (rms)
I rated (wye/delta)
2.3 / 4 A (rms)
Rated speed
1425 rpm
(V)
15
0
(A)
-15
-1
0 50 100
0 50 100
time (ms)
time (ms)
a) v 0 b) i 0
Fig. 3. Experimentally measured a) zero sequence voltage in a wyeconnected
machine and b) zero sequence current in a delta-connected
machine. The machines were operated at rated-voltage and rated-load.
(V)
8
4
0
0
0 50 100 150 0 50 100 150
frequency (Hz)
frequency (Hz)
a) Healthy machine b) Four-turn fault
Fig. 4. Experimentally measured zero sequence voltage spectrums for wyeconnected
a) healthy and b) unhealthy machines. The machines were
operated at rated-voltage and rated-load.
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
0 50 100 150 0 50 100 150
frequency (Hz)
frequency (Hz)
a) Healthy machine b) Four-turn fault
Fig. 5. Experimentally measured zero sequence current spectrums for deltaconnected
a) healthy and b) unhealthy machines. The machines were
operated at rated-voltage and rated-load.
(A)
V. DIAGNOSIS OF STATOR WINDING FAULTS USING ZERO
SEQUENCE COMPONENTS
Since the stator windings are fixed in space, an imbalance in
them produces an asymmetry that is also fixed in space, i.e., θf
in (5) and (7) is constant. The resulting zero sequence voltage
(15) and zero sequence current (16), are obtained using (5)
and (7) for wye- and delta-connected machines, respectively.
They both consist of a single component at ωe, with the
magnitude V 0 and phase φf1 in (15) being functions of V 0h ,
V 02h and θf, while I 0 and φf2 in (16) are functions of I 0h ,
I 02h and θf.
v 0 = V 0 cos(ωet + φf1) (15)
i 0 = I 0 cos(ωet + φf2) (16)
To verify this behavior, a specially prepared machine with
the ability to short adjacent turns was used for testing. Fig. 6
shows the stator winding design for the wye-connected case
schematically, including how the turn-to-turn faults were
created.
Fig. 4b shows the zero sequence voltage spectrum of a
wye-connected stator with a four-turn fault and the machine
operated at the same working condition as in Fig. 4a.
Similarly, Fig. 5b shows the zero sequence current spectrum
8
4
1
0

B.6 Induction Machine Diagnostics Using Zero Sequence Components 271
phase v
#15−21
#16−22
#3−9
#4−10
#2−8
#1−7
phase u
(V)
#5−11
#6−12
#17−23
#18−24
(A)
#14−20
#13−19
Fig. 8. Rotor with semi-open rotor slots modified to break a rotor bar by
phase w
drilling the end-ring.
Fig. 6. Schematic diagram of the experimental machine used for statorwinding
fault detection (wye-connection).
4 10
a) v 0
2
2
0.4
0 5
130 140 150 160
1
0.2
rated slip
rated slip
0
0
0
0.2
0 3
0 3
1 2
slip frequency (Hz)
1 2
slip frequency (Hz)
b) i 0
0.6
0.1
a) v 0 b) i
0.4
0
0
Fig. 7. Experimentally measured magnitude of the 50 Hz (ω e ) component of
0.2 130 140 150
a) zero sequence voltage in a wye-connected machine and b) zero sequence
current in a delta-connected machine, for the cases of a healthy machine (),
0
two-turn fault (Ο) and four-turn fault (), respectively, as a function of the
0 50 100 150 200
slip frequency. The machines were fed rated-voltage.
frequency (Hz)
Fig. 9. Experimentally measured frequency spectrum of the a) zero sequence
of a delta-connected stator with a four-turn fault. In both voltage in a wye-connected machine and b) zero sequence current in a deltaconnected
cases there is a noticeable increase in the magnitude of the
machine, with a broken rotor bar. The machine was operated at
zero sequence components near 50 Hz, i.e., ωe. Fig. 7a rated-voltage and rated-load.
shows the magnitude of the zero sequence voltage (wyeconnection)
2
and Fig. 7b shows the zero sequence current
0.1
(delta-connection) components at ωe as a function of different 1
0.05
turn-to-turn fault levels and the load (slip). From the figure it
rated slip
rated slip
0
0
can be observed that the magnitudes of the zero sequence
0 1 2 3
0 1 2 3
components at ωe increase as the fault level increases and are
slip frequency (Hz)
slip frequency (Hz)
not significantly affected by the load level of the machine.
a) v 0 b) i 0
Fig. 10. Experimentally measured magnitude of the components at ω e + 2ω r
VI. ROTOR FAULT DIAGNOSIS USING THE ZERO SEQUENCE () and ω e − 4ω r (Ο) of a) zero sequence voltage in a wye-connected
machine and b) zero sequence current in a delta-connected machine, with a
COMPONENTS
broken rotor as a function of the slip. The machines were fed rated voltage.
A broken rotor bar causes an asymmetry that rotates at the
rotor speed. If this asymmetry results in a variation of the v 0 = V 0h cos((ωe + 2ωr) t ) − V 0c2h cos((ωe− 4ωr) t ) (17)
impedance as seen from the stator terminals, it will produce
components in the zero sequence voltage (wye-connection)
i 0 = I 0h cos((ωe + 2ωr) t ) − I 0c2h cos((ωe− 4ωr) t ) (18)
and zero sequence current (delta-connection). The effect To verify the method’s ability to detect a broken rotor bar,
caused by damaged rotor bars on the phase impedances a rotor was modified by drilling the end ring, as shown in Fig.
repeats every 180 electrical degrees, which corresponds to a 8. This had the effect of disconnecting (breaking) this rotor
second order harmonic, h=2, in the inductance matrix (3). In bar from the rotor circuit while maintaining the continuity of
this case, the zero sequence voltage for a wye-connected the end-ring. Fig. 9a and 9b show the frequency spectrum of
machine can be shown to have the form (17) using (5) and the the zero sequence voltage (wye-connection) and zero
zero sequence current for a delta-connected machine can be sequence current (delta-connection), respectively, when the
shown to have the form (18) using (7). In both cases the zero machines were operated at rated-load, with ωe=50 Hz and
sequence components are seen to consist of two components ωr=47.5 Hz. For that case, the components predicted by (17)
at ωe+2ωr and ωe−4ωr, respectively.
and (18) are at 145 Hz and 140 Hz and can be seen in the
(V)
(V)
(A)
(A)

272 Publicaciones
figures (zoomed area). Fig. 10 shows the magnitude of the
zero sequence components at ωe+2ωr and ωe−4ωr for both
wye- and delta-connections as a function of the slip. For noload,
rotor fault related components are at 3ωe, exactly
coinciding with the zero sequence component caused by
saturation. In this situation, reliable rotor fault detection is
not possible. However, this is not considered a significant
restriction in practice, since rotor related faults usually
develop slowly and electric machines do not work at no-load
for extended periods of time. From Fig. 10 it can be observed
that as the slip increases, the fault related components
increase, and spectral separation is gained with respect to the
3ωe component, making fault detection more reliable.
VII. DIAGNOSTICS OF INVERTER FED MACHINES USING ZERO
SEQUENCE COMPONENTS
The same physical principles that were presented for the
case of line-connected machines can also be applied to
inverter-fed machines. However, two major differences exist:
1) additional components are present in the applied voltages,
which produce additional positive, negative, and zero
sequence voltage components, and 2) the fundamental
excitation frequency is variable, which affects both the
magnitude and the frequency of the fault-related, zero
sequence components.
a) Zero sequence voltage in inverter-fed machines
The PWM operation of an inverter produces zero
sequence voltages than can interfere with the fault-related,
zero sequence voltage measurement. These include
components that are intrinsic to PWM, independent of the
modulation method, and components that depend on the
modulation method. Modulation method independent
components come from the fact that the instantaneous phase
voltage from two level inverters can only be two different
values, relative to the mid-point of the dc bus, Vdc/2 or −Vdc/2,
which is a relatively large magnitude and has a frequency
content greater than or equal to the inverter switching
frequency [7]. Modulation methods, like space vector or
discontinuous modulation, inject a zero sequence voltage that
contain triplen harmonics of the fundamental frequency to
increase the maximum voltage that can be produced or to
minimize the inverter losses. These components are important
since the harmonic at 3ωe is spectrally close to the rotor faultrelated
components (see Fig. 9) and can cause noticeable
interference if it is not properly compensated [7].
The zero sequence components produced by the inverter,
both triplen harmonics and switching frequency harmonics,
can be almost completely removed from the measured zero
sequence voltage by using the balanced resistor network
shown in Fig. 2. Fig. 11a shows the measured zero sequence
voltage and Fig. 11b its spectrum. The inverter had a dc bus
voltage of 565 V and a switching frequency of 4 kHz. From
Fig. 11b it can be observed that components produced by the
inverter around the switching frequency have been reduced to
100
50
10
0
150 Hz
5
-50
-100
0
0 2 4
0 1 2 3 4
time (ms)
frequency (kHz)
a) b)
Fig. 11. a) Experimentally measured signal and b) frequency spectrum of the
zero sequence voltage measured with respect to the neutral point of the
(V)
auxiliary resistor network v n_ nR . The machine was operated at rated load,
50 Hz.
Zero
sequence
signal
(V)
4 th order, LPF Spectral analysis
A/D
A/D
Fig. 12. Filtering of the zero sequence voltage measured using a balanced
resistor network for inverter-fed machines.
(A)
1
0
-1
(A)
0.5
150 Hz
0
0 1 2 3 4
0 2 4
time (ms)
frequency (kHz)
a) b)
Fig. 13. a) Experimentally measured signal and frequency spectrum of the
zero sequence current. The machine was operated at rated load, 50 Hz.
a few volts, and can be easily filtered off using a low pass
filter prior to sampling of the zero sequence voltage, as shown
in Fig. 12. The high frequency components observed in the
voltage, vn_nR, in Fig. 11a are produced in the motor through
the combined effect of fast voltage variation at the inverter
output and parasitic capacitances in the motor windings and
inverter to motor cabling. Since these components are
typically at frequencies above 100 kHz, they can be removed
using the low-pass filter shown in Fig. 12 [7].
b) Zero sequence current in inverter-fed machines
Inverter generated voltages can also produce additional
components in the zero sequence current. Fig. 13a shows the
zero sequence current and Fig. 13b the corresponding
frequency spectrum for the case of a delta-connected,
inverter-fed machine. Ripple at the switching frequency can
be observed in the figure. However, due to its small
magnitude and the fact that it is spectrally separated from the
frequencies of interest, the low-pass filter shown in Fig. 12
easily removes it. A fourth-order, Butterworth low-pass filter
with a cut-off frequency of 500 Hz was used for all the
experiments presented in this section.
c) Influence of the fundamental excitation frequency on the
zero sequence components
The physical principles presented in section II do not
impose any restriction on the excitation frequency. Inverter
control strategies intended to work with a constant flux level
keep an almost linear relationship between the fundamental
excitation frequency and the fundamental voltage magnitude.

B.6 Induction Machine Diagnostics Using Zero Sequence Components 273
(V)
4
2
(V)
2
1
(V)
2
1
(%)
0.5
|v qds | / rated voltage (%)
0
0
0
0
f e (Hz)
f e (Hz)
|v qds | / rated voltage (%)
10 20 30 40 50
10 20 30 40 50
80 85 90 95 100
80 85 90 95 100
a) Stator fault: healthy machine (), b) Broken rotor bar: ω e +2ω r (),
a) b)
four−turn fault ()
ω e −4ω r (Ο)
Fig. 16. Magnitude of the ω e component of the zero sequence voltage, a)
Fig. 14. a) Magnitude of the fault related components of the zero sequence absolute and b) relative to the fundamental excitation magnitude, as a
voltage v n_ nR of an inverter−fed machine as a function of the fundamental function of the fundamental excitation magnitude, for the case of a healthy
excitation frequency. The machine was operated at rated-flux, rated-load. machine (), two-turn fault (Ο), and four-turn fault (), respectively. The
machine was operated at ω e =50 Hz, ω r = 47.5 Hz.
0.2
0.4
10
2
0.1
0.2
(A)
0
0
10 20 30 40 50
10 20 30 40 50
f e (Hz)
f e (Hz)
a) Stator fault: healthy machine (), b) Broken rotor bar: ω e +2ω r (),
four−turn fault ()
ω e −4ω r (Ο)
Fig. 15. a) Magnitude of the fault related components of the zero sequence
current of an inverter−fed machine as a function of the fundamental
excitation frequency. The machine was operated at rated-flux, rated-load.
The magnitude of the zero sequence components vary
proportionally with the fundamental excitation voltage
magnitude, and consequently, with the fundamental excitation
frequency. This can be seen in Fig. 14 and 15. Fig. 14a
shows the magnitude of the ωe component of the zero
sequence voltage for stator winding faults and Fig. 14b the
magnitude of the ωe+2ωr and ωe−4ωr components of the zero
sequence voltage for broken rotor bar faults, as a function of
the fundamental excitation frequency. Similarly, Fig. 15a
shows the magnitude of the ωe component of the zero
sequence current for stator winding faults and Fig. 15b the
magnitude of the ωe+2ωr and ωe−4ωr components of the zero
sequence current for broken rotor bar faults, as a function of
the fundamental excitation frequency.
It is finally observed that for low excitation frequencies,
the reduced zero sequence components magnitudes, and the
fact that the components of interest begin to converge to the
same frequency, make reliable fault detection difficult, if not
impossible.
VIII. SENSITIVITY ANALYSIS
Although the results presented so far prove the
effectiveness of the zero sequence components in indicating
the machine’s condition, there are several issues that could
influence the measurements and reduce the accuracy of the
method. The analysis of these issues is the focus of this section.
a) Influence of variations in the line voltage
The analysis presented in the previous sections for lineconnected
machines used a constant line voltage. Relatively
large variations in the line voltage from the utility can exist in
practice. The sources of these variations include the power
plant, distribution system, and interference from other loads.
(A)
(V)
1
0
(V)
0
0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100
|v qds | / rated voltage (%) |v qds | / rated voltage (%)
a) b)
Fig. 17. a) Magnitude of the component at ω e + 2ω r () and ω e −4ω r (Ο),
and b) magnitude of the component at 3ω e of the zero sequence voltage as a
function of the fundamental excitation magnitude, for the case of a machine
with a broken rotor bar. The machine was operated at ω e =50 Hz, ω r = 47.5
Hz.
Voltage drops caused by long cables feeding the machine can
also be present but such effects should remain constant for
successive measurements. The effect that variations in the
voltage feeding the machine have on the zero sequence
components is analyzed in the following section.
Zero sequence voltage: The inductance-based model
introduced in Section II predicts a linear relationship between
the stator voltage and the magnitude of the fault related
components of the zero sequence voltage. This behavior can
be observed in Fig. 16a. The ωe component of the zero
sequence voltage, measured for different levels of turn-to-turn
faults in the stator windings, is seen to change almost
proportionally with the line voltage. The reduction in the
accuracy of the method caused by the dependence of the zero
sequence voltage on the stator voltage can be compensated, at
least partially, if the value of the zero sequence voltage
relative to the line voltage, instead of its absolute value, is
used. This representation is shown in Fig. 16b. The zero
sequence voltage magnitude is now seen to be almost
invariant of the line voltage. It is noted that calculating the
relative zero sequence voltage does not significantly affect the
measurement process, since the line voltage can be readily
measured using a conventional voltmeter.
Rotor fault related components are also influenced by
variations in the line voltage feeding the machine. Fig 17a
shows the magnitude of the ωe+2ωr and ωe−4ωr components
of the zero sequence voltage as a function of the line voltage.
While a linear relationship is observed for the case of reduced
line voltages (up to approximately 60% of the rated value), a
non-linear relationship is observed for line voltages near the
rated value. Several facts contribute to the behavior observed
5

274 Publicaciones
(A)
0.4
0.2
(A)
0
0
80 85 90 95 100
80 85 90 95 100
|v qds | / rated voltage (%) |v qds | / rated voltage (%)
a) Stator fault: healthy machine (), b) Broken rotor bar: ω e +2ω r (),
four−turn fault ()
ω e −4ω r (Ο)
Fig. 18. Magnitudes of the a) ω e component of the zero sequence current
and b) the rotor fault related zero sequence current components as functions
of the fundamental excitation magnitude, for the case of a machine with a
broken rotor bar. The machines were operated at ω e =50 Hz, ω r = 47 Hz.
a) v 0
b) i 0
(V)
(A)
2
1
0
0.4
0.2
0
Stator fault:
healthy machine ()
two−turn fault (Ο)
four−turn fault ()
25 80
0.15
0.1
0.05
(V)
2
1
0
Broken rotor bar:
ω e +2ω r ()
ω e −4ω r (Ο)
25 80
temperature (ºC)
temperature (ºC)
Fig. 19. Magnitudes of the fault related components of a) the zero sequence
voltage and b) the zero sequence current for two different temperatures. The
machines were operated at rated-voltage and rated-load.
(V)
10
5
0
0 50 100 150 200
frequency (Hz)
Fig. 20. Experimentally measured frequency spectrum of zero sequence
voltage in a wye-connected machine with closed rotor slots and a broken
rotor bar. The machine was operated at rated voltage and rated-load.
in Fig. 17a, including saturation of the magnetic paths and the
distortion that a damaged rotor bar causes in the rotor current.
Evidence of the influence that saturation has can be observed
when the results shown in Fig. 17a are correlated with the
magnitude of the 3ωe component of the zero sequence
voltage, which is shown in Fig. 17b. The 3ωe component has
previously been shown to be a good measure of saturation in
electric machines [11]. Comparing Fig. 17a and 17b it can be
observed that a linear relationship between the rotor fault
related components and the stator voltage only exists when
the machine is unsaturated.
Zero sequence current: Variations in the line voltages have
similar effects on the zero sequence current in deltaconnected
machines as those described for the zero sequence
voltage in wye-connected machines. Fig. 18a shows the
magnitude of the ωe component of the zero sequence current,
(A)
4
2
0
130 140 150 160
0.1
0.05
0
as a function of the stator voltage, for different levels of turnto-turn
faults in the stator winding. An almost linear
relationship can be observed. This linear dependence can be
decoupled by taking the relative magnitude of the zero
sequence current with respect to the line voltage.
Fig. 18b shows the magnitude of the rotor fault related
components at ωe+2ωr and ωe−4ωr of the zero sequence
current as a function of the line voltage. As was the case for
the zero sequence voltage, the rotor fault related components
of the zero sequence current do not show a linear relationship
with respect to the stator voltage. The same considerations
presented in the previous sub-section about the influence of
saturation and the distortion of the rotor current caused by the
damaged rotor bars on the measurement are valid here.
b) Influence of temperature
The temperature of the stator windings has been reported
to influence the negative sequence impedance for the case of
line-connected machines [10]. To verify its influence on the
fault related zero sequence components, measurements were
taken with the machine right after connection (cold),
nominally 25ºC, and after sustained loaded operation (hot),
with the temperature in the stator frame being 80ºC. These
measurements are shown in Fig. 19. It can be observed from
Fig. 19 (left-column) that the temperature has little influence
on the stator fault related components. A reduction of the
rotor fault related components with temperature can be
observed (right-column). That reduction, however, does not
prevent these components from being readily detected in the
zero sequence frequency spectrums.
c) Influence of rotor design
All the results presented so far were from a rotor with
semi-closed slots. Fig. 20 shows the frequency spectrum of
the zero sequence voltage for the case of a rotor with closed
rotor slots and a broken rotor bar, operated in the same
working condition as in Fig. 9a. Comparing Fig. 20 with Fig.
9a, it is observed that the method works equally well for
closed and open rotor slots designs.
IX. IMPLEMENTATION OF THE METHOD
The measurement and further digital signal processing used
to separate the fault-related components of the zero sequence
components can take many different forms. Some
considerations on this issue are discussed in this section.
a) Continuous vs. periodic diagnosis
The proposed diagnostic method can work on-line, since it
does not affect the regular operation of the machine. Deciding
whether the diagnostics is done continuously or periodically can
involve many different considerations. Continuous monitoring
means higher costs, since separate sensors and cabling are
needed for each machine. This could be largely compensated
for in certain applications by the cost of unexpected equipment
downtime or severe equipment damage. The type of fault
expected can also influence the decision, e.g., stator windings

B.6 Induction Machine Diagnostics Using Zero Sequence Components 275
faults usually develop faster than rotor faults, and might
require more frequent or even continuous monitoring.
b) Placement of the sensors
For the case of wye-connected machines, the balanced
resistor network used to measure the zero sequence voltage can
be easily connected. It is noted that the current consumed by
the resistors can be designed to be in the range of the mA.
Measurement of the zero sequence current in deltaconnected
machines requires the three cables connecting stator
windings to pass through the current sensor, as shown in Fig. 1.
This usually requires the external connections of the machine to
be rewired. All of the experiments presented in this paper have
used a hall-effect current sensor for these purposes. However,
other current sensors might provide advantages. For example,
Rogowski coils are flexible and are easy to connect and
disconnect. It would then be possible, if relatively minor
modifications are made to the terminal box, to connect and
disconnect the sensor from the working machine.
c) Digital signal processing
The FFT was the basic tool used for the digital signal
processing presented in this paper. A restriction on the use of
this method is that the machine must be working in a steadystate
condition during the diagnostic period. This is not
considered a serious restriction in most of applications,
though, since the collection of the necessary data takes just a
few seconds and such periods of steady-state operation can
easily be identified.
The first priority in the signal processing is to prevent
spectral leakage. This is important when accuracy in the
measurement of specific components is desired, as is the case
for the component at ωe, which reflects faults in the stator
windings. There are several options for reducing the amount of
spectral leakage. One is the use of windowing functions.
Another, which was used in this paper, is to optimize the
number of samples, N, as a function of the fundamental
excitation frequency. With this method, the fundamental
frequency is first determined. The Chirp z-Transform was used
for these purposes in this paper [11]. The optimal number of
samples to prevent spectral leakage in the FFT algorithm is then
calculated. It is noted that this process can be used for both
line-connected machines as well as for inverter-fed machines,
even if the fundamental excitation frequency is unknown. All
of the algorithms can be performed with standard digital
signal processing software (Matlab was used for this paper)
and the successive stages easily automated. A detailed
explanation of the method can be found in [7].
The second priority in the signal processing is the selection
of the number of samples to provide adequate spectral
resolution. This is needed for the separation of the rotor faultrelated
components and the 3ωe component created by
saturation. Number of samples in the range a few thousands
were found to be adequate for all the experiments performed
during this research. Note, the spectral leakage condition,
which was the first priority in determining the number of
samples, has an infinite number of solutions. The second
condition of providing adequate spectral resolution is selected
from this set of solutions.
X. CONCLUSIONS
This paper has analyzed and discussed the use of the zero
sequence components for fault detection in induction
machines. Faults in the stator windings, as well as broken
rotor bars, cause asymmetries in the machine impedances,
which produce zero sequence components. The measured
zero sequence voltage in wye-connected machines and zero
sequence current in delta-connected machines have been
shown to contain reliable information on the condition of the
machine, with little influence from the load level of the
machine or variations in the line voltage. The method is valid
both for line-fed and inverter-fed machines.
ACKNOWLEDGMENTS
The authors wish to acknowledge the support and
motivation provided by the University of Oviedo (Spain) and
the Ford Motor Company.
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