Tema 4 Análisis de Sistemas en el Dominio de la Frecuencia ...

REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Tema 4
Análisis de Sistemas en el
Dominio de la Frecuencia
Gijón - Julio 2003 1
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Indice
• 4.1. Respuesta en frecuencia
• 4.2. Representaciones de la respuesta frecuencial
– 4.2.1. Diagrama de Bode
– 4.2.2. Diagrama Magnitud-Fase
– 4.2.3. Diagrama Polar
• Apéndice I: Relación Análisis Temporal-Análisis Frecuencial
• Apéndice II: Aplicación del diagrama de Bode
Gijón - Julio 2003 2

REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Análisis en el Dominio de la Frecuencia
• Respuesta de los sistemas ante entradas de tipo senoidal.
• Entrada: Señales senoidales de distinta frecuencia f (o pulsación =2·f)
y, generalmente, de la misma amplitud M.
x( t)
M · sen(
·
t)·
u0(
t)
: 0
• Salida:
Régimen transitorio: La señal se va convirtiendo poco a poco en una senoide.
Régimen permanente: La señal es una senoide de igual frecuencia que la
entrada, pero con distinta amplitud y fase. La diferencia es función de
la frecuencia.
( t)
G(
j) · M · sen(
·
t G(
j))
y RP
Gijón - Julio 2003 3
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Respuesta a una Entrada Senoidal (I)
X(s)
Y(s)
x(t)
G(s)
y(t)
x ( ) M ·sen( · )· 0(
t )
M 1 5 [ rad / s]
G( s)
2
s
75
5s
15
4
Transitorio
Permanente
3
|G(j)|=N/M
N
|G(j)= t o· [rad]
y(t)
2
x(t)
t o

REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Respuesta a una Entrada Senoidal (II)
X(s)
Y(s)
x(t)
G(s)
y(t)
x ( t ) M ·sen( · t )· u 0(
t )
M 1 10 [ rad / s]
G( s)
2
s
75
5s
15
2
Transitorio
y(t)
1.5
x(t)
M = 1
N
0.5
Permanente
|G(j)|=N/M
|G(j)= t o· [rad]
t o

REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Diagrama de Bode (I)
• La relación de amplitudes en
decibelios [dB]:
A( )
20·log G(
j)
[ dB]
• El ángulo de fase en grados [º]:
180º
(
)
G(
j)
rad·
[º ]
rad
•La frecuencia f [Hz] o la pulsación
[rad/s] en escala logarítmica
•Multiplicar o dividir por 10 a
|G(j)| supone sumar o restar 20 dB
a A().
• Multiplicar por 10 la frecuencia
supone subir una década y por 2
una octava.
Gijón - Julio 2003 7
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Diagrama de Bode (II)
• Para trabajar con el diagrama de Bode se sustituye s=j en la función de
transferencia del sistema y se expresa con los términos independientes de
cada polinomio iguales a 1.
G(
s)
K·
s
P
(1 T
· s)·
Q
p
p1 q1
L
M
N
· (1 Tl
· s)·
l1 m1
2·
q
s
1
· s
nq
2· m
s
1
· s
nm
nq
nm
2
2
G(
j)
K·
j
P
(1 T
· j)·
Q
p
p1 q1
L
M
N
· (1 Tl
· j)·
l1 m1
2
2·
q
j
1
· j
nq
nq
2· m
j
1
· j
nm
nm
2
• Se puede estudiar la respuesta en frecuencia del sistema analizando por
separado la respuesta de cada uno de los elementos de la función de
transferencia. La suma de todos los resultados será la respuesta del conjunto.
K
; (1
2· j
T·
j)
; 1
· j
n
n
2
;
1
Gijón - Julio 2003 8
1
1
; ;
(1 T·
j)
2· j
1
· j
n
n
N
2
j

REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Respuesta de un término constante
G( s)
K G(
j)
K
A()=20·log|K| [dB]
Bode (Amplitudes)
Asintótico
Real
A ( )
20·log G(
j)
20·log
K
( )
0º si K 0
G(
j)
180º
si K 0
-90
-180
10 -1 10 0 (rad/s)
10 1
90
0
K>0
K

REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Respuesta de más de un cero o polo en el origen
# N
# N
G( s)
s G(
j)
j)(
Bode (Amplitudes)
Asintótico
Real
A(
)
20·log G(
j)
0
#N·20 dB/dec
20·log
# N
j
# N·20·log
( 1" A(1)
0 dB)
10 -1 10 0 (rad/s)
10 1
Bode (Fases)
(
)
G(
j)
( j)
# N
Asintótico
Real
# N·
j
# N·90º
#N·90º
10 -1 10 0 (rad/s)
10 1
Gijón - Julio 2003 11
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Respuesta de un polo real
A( )
20·log
1
( ·
T )
Bode (Amplitudes)
20
1/T
2
1
1
G(
s)
G(
j)
1
T·
s 1
T·
j
( )
arctg( ·
T )
(Ejemplo para T=1) Si 0 " (
)
0º
Si " (
)
90º
Bode (Fases)
0.1/T 10/T
90
Asintótico
Real
Asintótico
Real
0
Error max. 3 dB
0
-45º/dec
-20
-20 dB/dec
-90
-40
-180
-2
10
-1
10
0
10
(rad/s)
1
10
2
10
-2
10
-1
10
0
10
(rad/s)
1
10
2
10
Gijón - Julio 2003 12

REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Respuesta de un cero real
G ( s)
1
T·
s G(
j)
T·1
j
40
A( )
20·log 1
( ·
T )
Bode (Amplitudes)
1/T
2
( )
arctg( ·
T )
(Ejemplo para T=1) Si 0 " (
)
0º
Si " (
)
90º
Bode (Fases)
0.1/T 10/T
180
20
+20 dB/dec
90
0
Asintótico
Real
0
+45º/dec
Asintótico
Real
-20
-90
-2
10
-1
10
0
10
(rad/s)
1
10
2
10
-2
10
-1
10
0
10
(rad/s)
1
10
2
10
Gijón - Julio 2003 13
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Respuestas de otros ceros o polos reales
• Para N polos o ceros con la misma frecuencia de corte, las pendientes de los
trazados asintóticos de cada representación se multiplican por N. También se
multiplica por N el error de representación.
• Si los signos del los coeficientes del polinomio que representa al polo o cero
real cambian, la curva de relación de amplitudes no cambia, pero la de fases si.
Ceros 0 Polos 0
(1+T·j) 0º 90º 1/(1+T·j) 0º -90º
(1-T·j) 0º -90º 1/(1-T·j) 0º 90º
(-1+T·j) 180º 90º 1/(-1+T·j) -180º -90º
(-1-T·j) -180º -90º 1/(-1-T·j) 180º 90º
Gijón - Julio 2003 14

REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Respuesta de un par de polos complejos (I)
0 1
G(
s)
1
1
$ 2
2 2
G(
j)
2 2
2 2 A( )
20·log
1
/ 4·
2 · /
1
(2· / n)·
s (1/ n)
· s
1
(2· / n)·
j
(1/ n)
·( j)
n
n
1
! M r
2 % Pico de Resonancia
si 0 0.707
2· ·
1
!
2
r n·
1
2· % Frecuencia de Resonancia
·
2
20
Bode (Amplitudes)
0.1·
90
n Bode (Fases) 10· n
Pico de Resonancia
r
2· /
n
( )
arctg
Si
1
/ n
Si
Asintótico
Asintótico
(Ejemplo para n
=1, =0.1)
0 " (
)
0º
" (
)
180º
20·logMr
Real
0
Real
0
n
-90
-90º/dec
-20
-40·dB/dec
-180
-40
10 -2 10 -1 10 0 (rad/s)
10 1 10 2
-270
10 -2 10 -1 10 0 (rad/s)
10 1 10 2
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REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Respuesta de un par de polos complejos (II)
1
G(
s)
1
(2· / n )· s (1/ n )2· s
2
1
G(
j)
2
1
(2· / )· j
(1/ ) ·( j)
n
n
2
Comparación de la respuesta en
frecuencia cuando se modifica el
parámetro
Gijón - Julio 2003 16

REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Ejemplo de diagrama de Bode de un sistema (I)
32·( s 0.25)
G s)
2
s·(
s 0.1)·( s 2· s 4)
20·(1 4· s)
G(
s)
s·(1
10·
s)·(1
0.5· s 0.25· s
(
2
20·(1 4· j)
G( j)
2
j·(1
10·
j)·(1
0.5· j
0.25·( j)
)
Amplitud
)
Frecuencias de corte
A(
)
(
)
p 0.1 0.1· p 0.01 10· p 1
!
z
0.25 0.1·
z
0.025 10·
z
2.5
!
n
2 0.1· n
0.2 10· n
20
! n
2 M
r 1.15
" 1.24 dB
Pico de Resonancia "
! 0.5 r
1.41
rad / s
Fase
Gijón - Julio 2003 17
Ejemplo de diagrama de Bode de un sistema (II)
Elemento Frecuencia de corte Cambio de
pendiente
K=20 & 26 [dB] No tienen, frecuencia de corte. 0 dB/dec
Su representación es una recta
1/(j·) (=1 " 0 dB) de pendiente -20db/dec que
pasa por 26 dB para =1
Pendiente acumulada
-20 dB/dec -20 dB/dec
(pendiente inicial)
1/(1+10·j·) p =0.1 -20 dB/dec -40 dB/dec
(1+4·j·) z =0.25 +20 dB/dec -20 dB/dec
1/(1+0.5· j· +0.25·(j·) 2 ) n =2 -40 dB/dec -60 dB/dec
Elemento 0
K=20>0 0º 0º
1/(j·) -90º -90º
1/(1+10·j·) 0º -90º
(1+4·j·) 0º 90º
1/(1+0.5· j· +0.25·(j·) 2 ) 0º -180º
Total -90º -270º
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
• Tabla para el trazado asintótico de A()
• Tablas para el trazado asintótico de ()
Elemento Frecuencia de corte Cambio de
pendiente
Pendiente
acumulada
K=20>0 (0º) No tienen. Es una 0º/dec 0º/dec
1/(j·) (-90º) horizontal por -90º 0º/dec (inicial)
1/(1+10·j·) 0.1· p =0.01 -45º/dec -45º/dec
(1+4·j·) 0.1· z =0.025 +45º/dec 0º/dec
1/(1+0.5· j· +0.25·(j·) 2 ) 0.1· n =0.2 -90º/dec -90º/dec
1/(1+10·j·) 10· p =1 +45º/dec -45º/dec
(1+4·j·) 10· z =2.5 -45º/dec -90º/dec
1/(1+0.5· j· +0.25·(j·) 2 ) 10· n =20 +90º/dec 0º/dec
Gijón - Julio 2003 18

REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Ejemplo de diagrama de Bode de un sistema (III)
Gijón - Julio 2003 19
Gijón - Julio 2003 20

REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Diagrama Magnitud-Fase
Magnitud-Fase
32·( s 0.25)
G( s)
2
s·(
s 0.1)·( s 2· s 4)
Bode
A() [dB] A() [dB]
() [º]
40
40
0
A()
20
A( 1 )
20
()
A( 1 )
( 1 )
-90
0
0
-180
A( 2 )
A( 2 )
2
1
1 =1
( 2 )
-20
-20
-270
-270 ( 2 ) -180 ( 1 ) -90 0 10 -1 2 =4 10 1
() [º]
[rad/s]
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REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Diagrama Polar
2
G(
j)
(5· j
1)
( j
1)(0.4·
j
1)(0.2·
j
1)(0.1·
j
1)
1
1
G(j 1 )
( 1 )= G(j 1 )
=inf =0
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-1
G(j 2 )
( 2 )= G(j 2 )
-2
2
-3
Gijón - Julio 2003 22

REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Relación Análisis Temporal – Análisis Frecuencial
Amplitud 1
Frecuencia 1 Hz.
100
G(
s)
s 100
¿y(t)?
1. Descomposición de Fourier de la señal de excitación.
2. Obtención de la respuesta del sistema a cada una de las
senoidales.
3. Suma de las respuestas para obtener y(t) según el
principio de superposición.
Gijón - Julio 2003 23
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
1. Descomposición de Fourier de la señal de excitación
Gijón - Julio 2003 24

REGULACIÓN AUTOMÁTICA
2. Obtención de la respuesta del sistema cada una de las senoidales
y 1 (t)
100
G(
s)
s 100
y 2 (t)
y n (t)
Gijón - Julio 2003 25
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
3. Suma de las respuestas para obtener y(t)
100
G(
s)
s 100
y(t)=sum(y i (t))
Las respuestas temporal y
frecuencial de un sistema
pueden relacionarse a
partir del desarrollo enserie
de Fourier.
Gijón - Julio 2003 26

REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Ancho de Banda de un Sistema
X(s)
x(t)
1
G(
s)
T·
s 1
Y(s)
y(t)
Frecuencia en la cual la
ganancia está 3 dB por debajo
de su valor de frecuencia 0.
(Ganancia K = 1 para el ejemplo)
Frecuencia superiores al ancho de banda sufren una atenuación proporcional a su alejamiento de
tal frecuencia. Frecuencias inferiores pasan casi sin alteración.
y(
t)
1
e
t
T
T '" Sistema Lento
T (" Sistema Rápido
w
c
1/ T
w
c
w
c
(" Sistema Lento
' Sistema Rápido
Gijón - Julio 2003 27
Resonancia de un Sistema
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
X(s)
x(t)
G(
s)
s
(
2
n
n
n
n
2
2
n
2
s
n
2
n
Y(s)
y(t)
1
1
G s)
G(
j)
A(
w),
(
w)
2 2
2
1
(2· / )· s (1/ ) · s
1
(2· / )· j
(1/ ) ·( j)
si
!
0 0.707
M
!
r
2· ·
1
2
1
2
r
n·
1
2·
1
1
1
2
2·cos( ))·
1
cos ()
2·cos( ))·
sen(
)
2· sen(2)
Sobreoscilación :
· cotg*
M
p
e ·100[%]
Tiempo de pico :
M
r
'" M
2
1
2
!
t p
("
2
d
2
r
n
1
2
r
t
1 1
!
2
1
2
p
'
d
d
+ n
+ r
+ +
d
n
r
Gijón - Julio 2003 28

REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Ejemplo de aplicación del diagrama de Bode (I)
AMPLIFICADOR/ECUALIZADOR
SONIDO
SONIDO
MICROFONO
ALTAVOZ
Gijón - Julio 2003 29
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Ejemplo de aplicación del diagrama de Bode (II)
5
5
0
-5 0
0.01 0.02 -5 0
0
0.01 0.02
4
MICROFONO
4
0
-4
4
0
0
0.01 50 Hz 0.02 -4
4
0
0.01 50 Hz 0.02
0
-4
4
0
0
0.01 500 Hz 0.02 -4
4
0
0.01 500 Hz 0.02
0
-4
0
0
0.01 5000 Hz 0.02 -4 0
0.01 5000 Hz 0.02
Gijón - Julio 2003 30

REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Ejemplo de aplicación del diagrama de Bode (III)
5
5
0
-5 0
0
0.01 0.02
-5 0
0.01 0.02
4
4
0
0
-4 0
0.01 50 Hz
0.02
-4 0
0.01 50 Hz 0.02
4
4
0
-4
0
0
0.01 500 Hz 0.02
-4
4
0
0.01 500 Hz
0.02
0
-4
0
0.01 5000 Hz
-4 0
0.01 5000 Hz 0.02
Gijón - Julio 2003 31
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Ejemplo de aplicación del diagrama de Bode (IV)
5
5
0
-5
0
0
0.01 0.02
-5
0
0.01 0.02
4
ALTAVOZ
4
0
-4
4
0
0
0.01 50 Hz 0.02
-4
4
0
0.01 50 Hz
0.02
0
-4
0
0
0.01 500 Hz
0.02
-4
4
0
0.01 500 Hz 0.02
0
-4
0
0.01 5000 Hz 0.02 -4 0
0.01 5000 Hz 0.02
Gijón - Julio 2003 32