Tema 3 Análisis de Sistemas en el Dominio del Tiempo ...

REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Tema 3
Análisis de Sistemas en el
Dominio del Tiempo
Gijón - Abril 2003 1
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Indice
• 3.1. Análisis de los sistemas
• 3.2. Respuesta impulsional
• 3.3. Respuesta a un escalón
• 3.4. Respuesta a una señal cualquiera
• 3.5. Estabilidad
• 3.6. Sistemas de primer orden
• 3.7. Sistemas de segundo orden
• 3.8. Sistemas de orden superior
• 3.9. Retardo puro
• 3.10. Criterio de estabilidad de Routh
Gijón - Abril 2003 2

REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Análisis de los Sistemas
• Conocido el modelo matemático del sistema se realiza el análisis de su
comportamiento dinámico.
X(s) G(s) Y(s)
x(t) g(t) y(t)
•Se utilizan señales de excitación sencillas y con transformada de Laplace.
u
0 (t)
f(t)
f(t)
(t)
1
1
1
t
t
1 t
1 t
• El análisis se puede realizar en el dominio del tiempo o en el dominio de
la frecuencia.
f(t)
M
/
2·/
t
-M
Gijón - Abril 2003 3
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Respuesta impulsional
X(s)
x(t)
G(s)
g(t)
Y(s)
y(t)
• Señal de excitación: Impulso de Dirac
(t)
t
x(
t)
( t)
X ( s)
1
0
y(t)
y(t)
Formas de respuesta
típicas ante un impulso
t
• Respuesta del sistema: g(t)
0 ty(t)
Y ( s)
X ( s)·
G(
s)
G(
s)
y(
t)
L
1
[ G(
s)]
g(
t)
y(t)
0 t
Gijón - Abril 2003 4

REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Respuesta a un escalón
X(s)
x(t)
G(s)
g(t)
Y(s)
y(t)
• Señal de excitación: Escalón unitario
u 0 (t)
1
t
x t)
u
(
0
1
X ( s)
s
( t)
0
y(t)
Formas de respuesta
típicas ante un escalón
t
• Respuesta del sistema: Integral de g(t)
G(
s)
Y ( s)
X ( s)·
G(
s)
s
1
G(
s)
y(
t)
L g(
t)
d
0
s
0
y(t)
t
Gijón - Abril 2003 5
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Respuesta a una señal cualquiera
X(s)
x(t)
G(s)
g(t)
Y(s)
y(t)
• Señal de excitación: x(t)
• Respuesta del sistema:
Y
( s)
X ( s)·
G(
s)
y(
t)
x(
t)*
g(
t)
t
0
x(
t
)· g(
)· d
t
0
g(
t
)· x(
)· d
1. Se calcula la Transformada de Laplace de la entrada: X(s)=L[x(t)]
2. Se obtiene la Función de Transferencia que sirve de modelo del sistema: G(s)
3. Se calcula la Transformada de Laplace de la salida: Y(s)=X(s)·G(s)
4. Se obtiene la Antitransformada de Laplace de Y(s): y(t)=L -1 [Y(s)]
Gijón - Abril 2003 6

REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Estabilidad (I)
Un sistema es estable si ante señales de entrada o perturbaciones
acotadas produce salidas acotadas y regresa a un estado de equilibrio.
Un sistema de control está en estado de equilibrio si, en ausencia de
cualquier perturbación o entrada, la salida permanece en el mismo estado.
(t)
t
G(s)
g(t)
Estable
y(t)
t
(t)
y(t)
t
G(s)
g(t)
Inestable
t
Gijón - Abril 2003 7
Gijón - Abril 2003 8

Estabilidad (II)
b0s
G(
s)
a s
0
m
n
b1
s
a s
m1
n1
1
... b
... a
m1
n1
s b
s a
m
n
K
Ejemplo de un Sistema de Primer Orden
1 L-1
· t
G(
s)
g(
t)
e · u0(
t)
s
La raíz es s p
un polo real
1
1
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
s
m
j1
n
i1
s z
j
n m
z , p C
j i
s p
i
-
-p 1
Im
z
son las raíces del numerador (ceros)
p son las raíces del denominador (polos)
Re
i
j
X(s)
x(t)
G(s)
g(t)
Y(s)
y(t)
-p 1
Im
-z 1 -p 3 -p 4
-z 2
polos
-p 2
ceros
-z 3
Re
Ejemplo de un Sistema de Segundo Orden con polos complejos
1
1 L-1
1
· t
G(
s)
g(
t)
e ·sen( · t)·
u0(
t)
2
2 2
s a·
s b ( s )
Las raíces son s p
·
j dos polos complejos conjugados
1,2
1,2
-p 1
-p 2
-
Im
Re
-
Gijón - Abril 2003 9
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Estabilidad (III)
-p 1
Im
ESTABLE
g(t)
Im
-
-
Re
-p 1 Re
-p
-
2
t
LIMITADAMENTE ESTABLE
Im
g(t)
-p
Im
1
g(t)
ESTABLE
t
MARGINALMENTE ESTABLE
g(t)
-p 2
-p 1 Re
Re
-p 1 Re
-
t
-
INESTABLE
g(t)
Im
Im
-
-p 1
t
Re
-
-p 2
g(t)
INESTABLE
t
t
Gijón - Abril 2003 10

g(t)
Im
-
Im g(t)
-p 1
-p 1
Re
t
-
t
g(t)
Re
Im
-p 2 -
-
Atenuación más rápida
-p 1 Re
-p 1
Im g(t)
t
Atenuación más rápida
Im
-
t
g(t)
-p 1
Re
-p
-
2
Re
t
-p 2 -
Im g(t)
Menor frecuencia
Im
-p 1
g(t)
Menor frecuencia
-
t
-p - Re
-p 1
2
-p 2 - Re
t
Estabilidad (IV)
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Gijón - Abril 2003 11
Estabilidad (V)
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
• Un sistema es estable si todos sus polos están situados en el semiplano complejo
negativo.
• Un sistema es inestable si algún polo está situado en el semiplano complejo positivo
o si existen polos múltiples en el eje imaginario o en el origen.
• Un sistema es limitadamente estable si existe un solo polo en el origen, estando los
demás situados en el semiplano negativo.
• Un sistema es marginalmente estable si existe una pareja simple (no múltiples) de
polos complejos conjugados sobre el eje imaginario, estando los restantes polos
situados en el semiplano negativo.
• Los polos situados en el semiplano negativo originan respuestas que se atenúan
tanto más rápidamente, cuanto más alejados estén del eje imaginario. Se denominan
en general “polos dominantes” aquellos que están más cerca del mencionado eje.
• Los polos complejos conjugados dan lugar a respuestas cuyas oscilaciones son de
frecuencia tanto más elevada cuanto mayor sea su distancia al eje real.
Gijón - Abril 2003 12

REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Sistemas de Primer Orden (I)
K
G(
s)
1
T·
s
X(s)
x(t)
G(s)
g(t)
K: ganancia estática o en régimen permanente
T: constante de tiempo
• Respuesta impulsional: X(s)=1
t
1
1
K
T
y t)
L [ Y ( s)]
L [ G(
s)]
e · u
T
• Respuesta a un escalón: X(s)=1/s
(
0
• Respuesta a una rampa: X(s)=1/s 2
( t)
Gijón - Abril 2003 13
Y(s)
y(t)
1
1
G(
s)
y( t)
L [ Y ( s)]
L K·(1
e )· u0(
t)
s
1
1G(
s)
y( t)
L [ Y ( s)]
L
[ K·(
t T
) K·
T·
e ]· u0(
t)
2
s
t
T
t
T
K/T
0,37·K/T
K
0,95·K
0,63·K
-K·T
y(t)
y(t)
y(t)
T
T
(pendiente K)
Tangente en el origen
(pendiente K/T)
T
3·T
T
t
t
t
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Sistemas de Primer Orden (II)
a) T N
>T
K·T N/T
y(t)
G(
s)
G(
s)
K·(1
T · s)
N
1
T·
s
K·(1
TN
· s)
1
T·
s
X(s)
x(t)
1
K
T
· s
T
G(s)
g(t)
N
K
· s·
1
T·
s
Y(s)
y(t)
Im
-1/T
-1/T N
Re
b) T>T N
>0
K
y(t)
t
• Respuesta a un escalón: X(s)=1/s
K/T
K
Tangente en el origen
(pendiente K/T)
Respuesta del
sistema sin el cero
Derivada de la otra curva
NOTA: Si el cero está próximo al origen
el factor |K·T N
/T| aumenta peligrosamente
t
Im
-1/T
-1/T N
Re
c) T N

REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Sistemas de Segundo Orden (I)
2
K
K
K
G ( ·
Si a,b>0, el sistema
n
s
s)
2
2
s 2· · n·
s
1 2·
n
2
· s · s 1
s
2 a·
s b es estable
2
n
n
K: ganancia estática
2
2
s 2· · n·
s n
0
T=2· / n
: constante de tiempo
Las raíces del polinomio (polos
>0: coeficiente de amortiguamiento
del sistema) son :
n
>0: frecuencia natural del sistema
2
s1,2
· n
n·
1
>0: constante de amortiguamiento o
factor de decrecimiento
Si ! 1 las raíces son complejas Si 1: dos raíces reales
s
s
2
1,2
2·
· · s
n
2
n
·
·
n
n
0
2
1
inf
=1
Im
1 >1 =inf
Re

REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Sistemas de Segundo Orden (III): respuesta impulsional
a) Si >1: sistema sobreamortiguado
G(
s)
s
2
b) Si =1: sistema críticamente amortiguado
2
2
n
K·
A
2· · · s
s s
· t
2
n
n
y( t)
K·
n
· t·
e · u0(
t)
n
s
# · $ 1 · t s
·
2· t
A e B e · u ( t )
y( t)
0
1
B
s s
2
A B
K·
n
2·
2 1
y(t) =0
=0.2
=1
=2
X(s)
x(t)
G(s)
g(t)
Y(s)
y(t)
c) Si 0< 1: sistema sobreamortiguado
s1·
t s2·
t
e e
y( t)
K·
n
1
· u0(
t)
y(t)
2
2· 1 s1
s2
b) Si =1: sistema críticamente amortiguado
· t
n
y( t)
K·[1
(1 n·
t)·
e ]· u0(
t)
c) Si 0<

REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Sistemas de Segundo Orden (V)
Sobreoscilación :
M
·
1
2
Tiempo de pico :
t
p
1
Tiempo de establecimiento :
t
s
Tiempo de retardo :
t
d
p
e
n
n
n
1
2
n
· 100[%]
2
e
Tiempo de subida :
"
"
tr
2
1
d
·
d
(aprox.)
(aprox.)
·
d
· 100[%]
e
A
0.9·A
·cotg"
B
0.5·A
0.1·A
B A
·100[%] ·100[%]
A
y(t)
t d
t r
t p
Gijón - Abril 2003 19
2·
d
X(s)
x(t)
Régimen
transitorio
3·
d
4·
d
G(s)
g(t)
0 ! !1
Pico de sobreoscilación
t s
Y(s)
y(t)
Ritmo de decrecimiento
Régimen
permanente
x
t)
M · u
M
X
( s)
s
A
K·
M
( 0
A5%
Entrada en régimen
permanente
t
( t)
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Sistemas de Segundo Orden (VI): respuesta a una rampa
X(s)
M
x(
t)
M · t·
u0 ( t)
X ( s)
%
2
s
x(t)
G(s)
g(t)
Y(s)
y(t)
2·
T
(pendiente K·M)
K·
M ·
n
2·
n
x(t)
y(t)
(pendiente M)
-K·M·T
T
t
Gijón - Abril 2003 20

REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Sistemas de Segundo Orden (VII): cero adicional a polos complejos
G(
s)
s
G(
s)
s
2
2
2
n
K·
(1 T
2·
· · s
2
K·
n
T
2· · · s
n
n
· s)
2
n
N
X(s)
x(t)
· s·
s
2
K·
G(s)
g(t)
2
n
2· · · s
• Respuesta a un escalón: X(s)=1/s
a)
Im
N
2
n
b)
Im
n
2
n
Y(s)
y(t)
y(t)
NOTA: Si el cero está próximo al origen
el factor T N aumenta peligrosamente y los
efectos del cero son más notables
T N >0: El sistema es más
rápido y menos amortiguado:
c) Mp, t p & y normalmente t s
a) Sistema sin cero
Re
Re
K
c)
-1/T N
Im
Re
d)
Im
-1/T N
Re
b) Derivada de a)
Gijón - Abril 2003 21
d)
T N 0: El sistema puede presentar un pico de
sobreoscilación tanto mayor cuanto mayor es T N
T N

REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Sistemas de Segundo Orden (IX): polo adicional
K·
n
G( s)
2
2
(1 T · s)(
s 2· · · s
)
d
Los efectos son opuestos a los que tendría un
cero en la misma posición. El sistema se hace
más lento y amortiguado.
• Respuesta a un escalón: X(s)=1/s
a)
Im
2
b)
n
n
Im
X(s)
x(t)
y(t)
1
1T d ·s
a)
b)
K·
2
n
2
s 2· · · s
n
2
n
Y(s)
y(t)
c)
-1/T d
Im
Re
Re
-1/T d
d)
-1/T d
Im
Re
Re
Gijón - Abril 2003 23
K
c)
d) Si el tercer polo está más cerca
del origen, pasa a tener un
efecto dominante sobre la
respuesta del sistema.
t
Gijón - Abril 2003 24

REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Sistemas de Orden Superior (I)
b0s
G(
s)
a s
0
m
n
b s
m1
1
n1
1
a s
... b
... a
m1
n1
s b
s a
• Ante una entrada escalón unitario: X(s)=1/s
– Respuesta en Régimen Permanente: Ganancia estática
bm
y( )
limt
y(
t)
lims
0s·
X ( s)·
G(
s)
lims
0G(
s)
K (siempre que N 0)
a
– Respuesta Transitoria:
Depende de qué polos y ceros tengan mayor efecto sobre la respuesta del sistema.
Los dominantes serán los más cercanos al eje imaginario.
Se tratará de conseguir un sistema que, siendo de un orden inferior, reproduzca sin
demasiado error la respuesta del sistema de partida
m
n
Gijón - Abril 2003 25
K·
s
N
P
(1 T
n
p
p1 q1
·
L
· s)·
(1 T · s)·
Q
R
l
l1 r1
2·
1
2·
1
q
nq
r
nr
,
* s
· s
+
nq
, s
· s *
+
nr
)
'
(
)
'
(
2
2
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Sistemas de Orden Superior (II)
• Criterios de Reducción
– Despreciar el efecto de aquellos polos y ceros que presenten una componente real ()
al menos seis veces superior a la componente real de los polos dominantes ( dom
).
– Despreciar el efecto de aquellos polos y ceros que cumplan que la distancia de
separación entre ellos medida sobre el eje real (| p
- z
|) sea inferior a 1/6 del valor de
la componente real de los polos dominantes ( dom
).
– Mantener la ganancia estática.
< dom /6
-6 dom
- dom
• Puntualización: Los criterios anteriores no siempre son válidos (sólo aplicable para
el análisis en el dominio del tiempo de sistemas estables). Se debe comparar la respuesta del
sistema de partida y del sistema de orden reducido para comprobar la fiabilidad de la
aproximación.
Gijón - Abril 2003 26

REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Retardo Puro (I)
x(t)
t
X(s)
x(t)
G(s)=e -T·s
Retardo T
Y(s)
y(t)
T = tiempo de retardo
y(t)=x(t-T)
T
t
X ( s)
L[ x(
t)]
% Y ( s)
L
T · s
# y(
t)
$ L# x(
t T ) $ e · X ( s)
Y(s)
G(
s)
e
X(s)
T
· s
No es una función racional, lo que imposibilita el estudio de la
estabilidad de sistemas que incluyan algún Retardo Puro por los
métodos vistos en este capítulo. En algunos casos se buscan Funciones
de Transferencia racionales como aproximación a su comportamiento y
que permitan facilitar su estudio.
Gijón - Abril 2003 27
REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Retardo Puro (II)
T
· s T·
s 1 , T·
s ) 1 , T·
s )
1
·*
' ·*
'
2
T
· s e 2 2! 2 3! 2
G( s)
e
+ ( + (
T · s
2
3
2 T·
s 1 , T·
s ) 1 , T·
s
e
)
1
·*
' ·*
'
2 2! + 2 ( 3! + 2 (
• Respuesta a un escalón:
a)
b)
c)
d)
G(
s)
e
T
· s
1
G(
s)
-
1
T·
s
1
( T / 2)· s
G(
s)
-
1
( T / 2)· s
1
( T / 2)· s ( T
G(
s)
-
1
( T / 2)· s ( T
2
2
/ 8)· s
/ 8)· s
2
2
2
b)
c)
d)
-2/T+j·2/T
-2/T-j·2/T
-1/T
3
...
...
Im
Im
-2/T 2/T
Im
Re
Re
U o (s)
u o (t)
2/T+j·2/T
Re
2/T-j·2/T
a)
b)
c)
d)
G(s)=e -T·s
Retardo T
y(t)
1
T
y(t)
1
T
y(t)
1
T
-1
y(t)
1
T
Y(s)=e -T·s ·U o (s)
y(t)=u o (t-T)
t
t
t
t
Gijón - Abril 2003 28

REGULACIÓN AUTOMÁTICA
Criterio de Estabilidad de Routh
Indica si existen raíces con parte real positiva en un polinomio:
n n1
n2
2
a s a · s a · s ... a · s a · s a 0
0· 1
2
n2
n1
n
1) .a i
, a i
>0 (es decir, todos con el mismo signo y sin nulos)
2) Se construye la siguiente tabla:
s
s
s
s
n1
n2
n3
...
s
s
s
n
2
1
0
a
a
b
c
0
1
1
1
...
u
v
1
1
w
1
a
a
b
c
2
3
2
2
...
u
2
a
a
b
c
4
5
3
3
...
a
a
b
c
6
7
4
4
...
...
...
...
a1·
a2
b
b
1
2
3
...
c
2
a1·
a
b1
· a
4
a1·
a6
b
5
a0·
a
a
a0·
a
a
a0·
a
a
b1
· a3
a1·
b2
c1
b
a1·
b
a
1
a
1
a
1
a
1
b
1
b
Gijón - Abril 2003 29
1
1
1
1
1
3
3
5
7
1
1
1
1
1
a
a
a
a
a
a
a
b
1
1
a
b
1
1
0
1
0
1
0
1
a
b
a
b
a
a
a
a
a
a
3
2
5
3
2
3
4
5
6
7
El sistema que tenga
como denominador ese
polinomio, será estable
si todos los a i
>0 y todos
los coeficientes de la
primera columna de la
tabla son también
estrictamente positivos.
El polinomio tiene
tantos polos con parte
real positiva como
cambios de signo se
producen en la primera
columna de la tabla