FASÍCULO: ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

FASÍCULO:
ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO
Teorema.
Sea un espacio vectorial sobre y sea un producto interno en ; entonces,
:
i)
ii)
iii)
iv)
Ejemplo: Sean el espacio vectorial
con el producto interno definido por
, y los vectores
Si son los ángulos entre los vectores y y los vectores y respectivamente.
Obtener .
*Solución.

- Condición de Ortogonalidad.
Con un producto interno complejo:
*No es ortogonal a pesar de que el producto interno dio 0. Esto sucedió debido a que sólo fue
tomada la parte real. Para que sea ortogonal debe dar 0 en la parte real e imaginaria.
Ejemplo:

Sea un espacio con producto interno complejo y tales que y .
Determinar
Elevando al cuadrado:
Norma de un vector.
Definición.
Sea un espacio vectorial sobre y sea un producto interno en . Se llama norma
de , y se representa con , al número real no negativo definido por
- Propiedades (Teorema)
Si es un espacio vectorial con producto interno, entonces y :
i)
ii)
iii)
iv)
Distancia entre dos vectores.
Definición.
Sea un espacio vectorial con producto interno, y sean . Se llama distancia de a
, y se representa con al número real definido por

- Propiedades
(Teorema).
Si es un espacio vectorial con producto interno, entonces :
i)
ii)
iii)
iv)
Ángulo entre vectores.
Definición.
Sea un espacio vectorial con producto interno real, y sean dos vectores no nulos de
. Se llama ángulo entre y al número real , en el intervalo , tal que
Ortogonalidad.
Definición.
Sea un espacio vectorial con producto interno. Dos vectores son ortogonales si
.
Teorema de Pitágoras (Teorema).
Sea un espacio vectorial con producto interno y sean . Si son ortogonales
entonces:
Definición.
Sea un espacio con producto interno y sea un conjunto de vectores
de . Se dice que es un conjunto ortogonal cuando
Si además , el conjunto es ortonormal.

Definición.
Sea un espacio con producto interno y sea una base ortogonal.
Entonces
, donde
En particular, si B es una base ortonormal
Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt.
Proyección vectorial
Proyección vectorial
Proyección vectorial
Proyección vectorial

Base ortogonal
Proyección vectorial
- Ejemplo. Sea el conjunto de vectores un generador de
. Determinar a partir de G:
a) Una base ortogonal
b) Una base ortonormal
Solución.
a) Base ortogonal

) Base ortonormal.
- Proceso de ortogonalización de Gram (Teorema).
Sea un espacio con producto interno y sea un generador de . El
conjunto
donde
Es un generador ortogonal de
- Ejemplo. Sea el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual
a 2 con coeficientes reales. una base de y el producto interno en
definido por
a) A partir de B, determinar una base ortogonal de .
Solución.

Sea
el espacio vectorial real de polinomios de grado menor o igual a 2 con coeficientes
reales con producto interno definido por

Y sea un subespacio de que tiene como una de sus bases al conjunto
a) Determinar la proyección del vector sobre
b) Expresar al vector como una suma , donde y pertenece al
complemento ortogonal del espacio .
Teorema de Proyección.
Sea un espacio con producto interno y sea un subespacio de . Para cada vector
existe uno y sólo un vector tal que
Dicho vector es la proyección de sobre .
a)
Base ortogonal.

La base ya era ortogonal

Sea el producto interno en
definido por
Y sea . Determinar el vector cuya distancia al
vector
sea mínima.

Complemento ortogonal.
Para el producto interno usual en , obtenga el complemento ortogonal de cada uno
de los subespacios siguientes de y dar una interpretación geométrica de dichos
complementos.
a)
Solución.
b)
Solución.

Sea el espacio vectorial de las matrices de con elementos reales
por:
un subespacio de y el producto interno en definido
a) Determinar el complemento ortogonal de W
b) Expresar al vector como , donde y
PRODUCTO INTERNO USUAL
Espacios
Espacios

Espacios
Matrices M x n
t
Ejemplo.- Verificar si el siguiente es un producto interno de :
1.-
Solución:
Se cumple
2.-
Factorizando II:
Comparando I y II:
Se cumple
3.-
4.-
Se cumple
Ejemplo.- Sea el espacio vectorial
con el producto interno definido por:
Y los vectores
Si son los ángulos entre los vectores y y los vectores y respectivamente.
Obtener :

Ejemplo.- Sea V un espacio con producto interno complejo y
y , determinar:
Solución:
tal que:
Entonces:
Ejemplo.- Sea el conjunto
partir de G:
a) Una base ortogonal
un generador de E 2 . Determinar a
b) Una base ortonormal

Ejemplo.- Sea el espacio vectorial real de polinomios de grado menor ó igual a 2 con
caracteres reales, una base de y el producto interno en definido por:
Ejemplo.- Para el producto interno usual en , determinar el complemento ortogonal de
cada uno de los subespacios siguientes de :
a)
b)