tarea 1 - Facultad de Ingeniería

A P U N T E S D E Á L G E B R A L I N E A L
Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Ingeniería.
M.I. Luis Cesar Vázquez Segovia
Grupo:
Semestre: 2010-2

TEMA 1.- ESPACIOS VECTORIALES.
Definición.
Sea V un conjunto no vacío y sea (k, +, *) un campo. Se dice que V es un espacio vectorial
sobre k si están definidas dos leyes de composición, llamadas adición y multiplicación por
un escalar, tales que:
I) La adición asigna a cada pareja ordenada (ū, ) de elementos de V un único
elemento ū + V, llamado la suma de ū y .
II) ū, , V: ū+( + ) = (ū+ )+ .
III) ō V tal que ō + = , V.
IV) V – V tal que – + = ō
V) ū, α: u+ = + ū
VI)
La multiplicación por un escalar asigna a cada pareja ordenada (α,v) de
elementos de α k y V un único elemento α k llado el producto de α por
.
VII) α k; ū, V: α(ū+ ) = αū+ α
VIII) α,β k; V: (α+β) = α + β
IX) α,β k; V: α(β ) = (αβ)
X) Si 1 es la unidad de k 1 = , V
A los elementos de V se llama vectores y a los de k se les llama escalares.
Ejemplo.
R 3 ; F,f: R→R P n M 2x2
√ √ √ √ I
√ √ √ √ II
√ √ √ √ III
√ √ √ √ IV
√ √ √ √ V
√ √ √ √ VI
√ √ √ √ VII
√ √ √ √ VIII
√ √ √ √ IX
√ √ √ √ X
Ejemplo.
Sea el conjunto S = {ax 2 + ax + b )│a,b R} en R y las leyes de adición y multiplicación por
un escalar usuales. Determinar si S es un espacio vectorial.

i) CERRADURA
P 1 = a 1 x 2 + a 1 x + b 1 ; P 2 = a 2 x 2 + a 2 x + b 2
P 1 + P 2 = (a 1 +a 2 )x 2 + (a 1 +a 2 )x + (b 1 +b 2 ) se cumple S R
ii) ASOCIATIVIDAD
P 1 + (P 2 + P 3 ) = (P 1 + P 2 ) + P 3
P 1 + [(a 2 + a 3 )x 2 + (a 2 + a 3 )x + (b 2 + b 3 )] = [(a 1 + a 2 )x 2 + (a 1 + a 2 )x + (b 1 + b 2 )] + P 3
(a 1 +a 2 +a 3 )x 2 + (a 1 +a 2 +a 3 )x + (b 1 +b 2 + b 3 ) = (a 1 +a 2 +a 3 )x 2 + (a 1 +a 2 +a 3 )x + (b 1 +b 2 + b 3 )
Se cumple
iii) E ELEMENTO IDENTICO
ō + P 1 = P 1
(ex 2 + e 1 x + ei 1 ) + (ax 2 + ax + b) = ax 2 + ax + b
(e + a)x 2 + (e + a)x + (ei + b) = ax 2 + ax + b
e + a = a e = 0
e + a = a e = 0 (0)x = (0)x 2 +(0)x +0
ei + b = b ei = 0
iv) E ELEMENTO INVERSO
- + = 0 + p = 0
(Ix 2 + Ix + d) + (ax 2 + ax + b) = (0)x 2 +(0)x +0
(I + a)x 2 + (I + a)x + (d + b) = (0)x 2 +(0)x +0
I + a = 0 I = -a
I + a = 0 I = -a - = = ax 2 + ax + b
d+ b = 0 d = -b
v) CONMUTATIVIDAD
P 1 + P 2 = P 2 + P 1
(a 1 +a 2 )x 2 + (a 1 +a 2 )x + (b 1 +b 2 ) = (a 2 +a 1 )x 2 + (a 2 +a 1 )x + (b 2 +b 1 )
vi) MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR
αp = S
αp = αax 2 + αax + αb S Se cumple
vii) SUMA DE VECTORES POR UN ESCALAR
α(P 1 + P 2 ) = αP 1 + αP 2

α*(a 1 +a 2 )x 2 + (a 1 +a 2 )x + (b 1 +b 2 )+ = (αa 1 x 2 + αa 1 x + αb 1 ) + (αa 2 x 2 + αa 2 x + αb 2 )
(αa 1 + αa 2 )x 2 + (αa 1 + αa 2 )x + (αb 1 + αb 2 ) = (αa 1 + αa 2 )x 2 + (αa 1 + αa 2 )x + (αb 1 + αb 2 )
Se cumple
viii) SUMA DE ESCALARES POR UN VECTOR
(α + β)p = αp + βp
(α + β)a 1 x 2 + (α + β)a 1 x + (α + β)b 1 = (αa 1 x 2 + αa 1 x + αb 1 ) + (βa 1 x 2 + βa 1 x + βb 1 )
(αa 1 + βa 1 )x 2 + (αa 1 + βa 1 )x + (αb 1 + βb 1 ) = (αa 1 + βa 1 )x 2 + (αa 1 + βa 1 )x + (αb 1 + βb 1 )
Se cumple.
ix) α(βp) = (αβ)p
α (βax 2 + βax + βb) = αβax 2 + αβax + αβb
αβax 2 + αβax + αβb = αβax 2 + αβax + αβb
Se cumple
X) UNIDAD DEL CAMPO
1p = p
1ax 2 + 1ax + 1b = ax 2 + ax + b
Se cumple
S es un campo vectorial
-DEFINICIÓN DE SUBESPACIO.
Sea V un espacio vectorial en K y sea S un subconjunto de V.
S es un subespacio de V si es un espacio vectorial en K respecto a la adición y
multiplicación por un escalar definidas en V.
Teorema
Sea V un espacio vectorial en K y sea S un subconjunto de V.
S es un subespacio de V si y solo si .
1) ū + = S; Para todo ū, S
2) αū = S; Para todo α K, ū S
Demostración
V = E 3
S = Plano XY S = {(x, y, 0)│x, y R}
Determine si S es un subespacio.
Solución:
1) ū + = S; Para todo ū, S
(x 1 , y 1 , 0) + (x 2 , y 2 , 0) = (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ,0) S Se cumple

2) αū = S; Para todo α K, ū S
α(x 1 , y 1 , 0) = (αx 1 , αy 1 , 0) S Se cumple
S es un subespacio vectorial de V
Ejemplo
Sea п = ,(x, y, z)│ x + y -z = 2; x, y, z R}
Determinar si п es un espacio vectorial en R con las operaciones de adición de vectores y
multiplicación por un escalar usuales.
Solución:
x + y -z = 2 ; z = x + y –2
п = , (x, y, x + y -2)│x, y R}
I) 1 = (x 1 , y 1 , x 1 + y 1 -2) ; 2 = (x 2 ,y 2 , x 2 + y 2 -2)
1 + 2 = [x 1 + x 2, y 1 + y 2, (x 1 + x 2 ) + (y 1 + y 2 ) –4]
п no es un espacio vectorial.
Ejemplo.
Sea el conjunto D = { │a, b R} determine si D es un espacio vectorial con las
leyes de composición de adición de vectores y multiplicación por un escalar usuales.
Solución:
i) 1 =
a
1
0
0
b
1
2 =
a
2
0
0
b
2
1 + 2 =
a
1
0
a
2
b
1
0
b
2
D
Se cumple
ii) α 1 D
α D Se cumple

Espacios R n
D es un subespacio vectorial.
R 2 = [(a, b)│a, b R]
R 3 = [(a, b, c)│ a, b, c R]
R 4 = [(a 1 , a 2 , a 3 , a 4 )│ a 1 , a 2 , a 3 , a 4 R]
R n = [(a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n )│ a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n R]
R´= [a│a R]
COMBINACIÓN LINEAL.
α 1+ β 2 =
Definición.
Un vector w es una combinación lineal de los vectores 1+ 2 + 3 ,..., n si puede ser
expresado en la forma = α 1 1 + α 2 2 ,..., +α n n donde α 1 ,α 2,..., α n son escalares.
Ejemplo
Sea = (3, 4, -2)
[(1,2,0), (2,2,-2)]
= α 1 + β 2
= 1(1,2,0) + 1(2,2,1)
[(1,1,-1), (1,2,0)]
(3,4,-2) = α (1,1,-1) + β(1,2,0)
(3,4,-2) = (α,α,-α) + (β,2β,0)
(3,4,-2) = (α + β, α + 2β,-α)
α + β =3
α + 2β = 4 α = 2; β=1
-α = -2
Ejemplo.
Sea = (6,7,5)
Forma trinómica → = 6i + 7j +5k
= 6(1, 0, 0) + 7(0, 1, 0) + 5(0, 0, 1)
Ejemplo

Sea D = { │a, b R}
{ , } a + b =
Ejemplo
R 2 = [(a, b)│a, b R]
{(1,0), (1,1), (0,1)}
α(1,0), β(1,1), γ(0,1) = (a, b)
(α,0), (β, β), (0, γ) = (a, b)
(α + β, β + γ) = (a, b)
α + β = a
β + γ = b
Del 2° renglón
β + γ = b ; γ = b - β
Del 1° renglón
α + β = a ; α = a – β β = β
Solución
α = a - k
β = k
γ = b – k
k R
Definición.
Sea S = { 1, 2,...,
n } un conjunto de vectores
1) S es linealmente dependiente si existen escalares α 1 ,α 2,..., α n , no todos son iguales a
cero, tales que α 1 1 + α 2 2 +... + α n n = ō
2) S es linealmente independiente si la igualdad α 1 1 + α 2 2 +... + α n n = ō, solo se
satisface con α 1 = α 2 =,..., = α n = 0
Ecuación de dependencia lineal
α 1 1 + α 2 2 +... + α n n = ō
B = {
1
0
0
0
,
0
0
0
1
}
Para B

1 0
α 1
0 0
0 0 0 0
+ α 2
0 1 0 0
0
1
0
0
+
0
0
0
2
=
0 0
0 0
α 1 = 0; α 2 = 0
1
0
0 =
0 0
2
0 0
B es linealmente independiente
Bп 2 = {(1, 0, 1), (0, 1, 1)}
Teorema
Sea S = { 1 , 2,..., n } un conjunto no vacío de vectores de un espacio vectorial V.
El conjunto de todas las combinaciones lineales de vectores de S, denotado con L(S), es un
subespacio de S.
S = {(1, 2)} a(1, 2) = (a, 2a)
F = L(S) F = {(a, 2a) │a R }
Teorema
Todo conjunto que contiene al vector ō es linealmente dependiente.
Demostración
De la ecuación de dependencia lineal α 1 1 , α 2 2 ,..., α i i ,..., α n n = ō ; α i = R
El conjunto es linealmente dependiente.
Definición.
Sea V un espacio vectorial en R, y sea G = { 1, 2,..., n } un conjunto de vectores de V. Se
dice que G es un generador de V si para todo R existen escalares α 1 ,α 2 ,..., α n , tales que,
= α 1 1 + α 2 2 +... + α n n .
Definición.
Se llama base de un espacio vectorial V a un conjunto generador de V que es linealmente
independiente.
Teorema
Sea V un espacio vectorial en K. Si B = { 1, 2,...,
otra base de dicho está formada por n vectores.
n } es una base de V, entonces cualquier

Definición
Sea V un espacio vectorial en K. Si B = { 1, 2,...,
dimensión n, lo cual denotamos con dimV = n
n } es una base de V se dice que V es de
En particular, si V = { }; dimV = 0.
Ejemplo
R 2 = [(a, b)│a, b R]
B = {(0, 1), (1, 0)} = (-3, 2)
α(0, 1) + β(1, 0) = (-3, 2)
(0, α) + (β, 0) = (-3, 2)
(β, α) = (-3, 2) → por igualdad de vectores β = -3 y α = 2
Vector de coordenadas ( ) B = (α, β) = (2, -3)
Definición
Sea B = { 1, 2,..., n } una base de un espacio vectorial V en K, y sea V.
Si = α 1 1 + α 2 2 +... + α n n , los escalares α 1 ,α 2 ,..., α n se llaman coordenadas de en la
base B, y el vector Kn ( ) B = ( α 1 ,α 2 ,..., α n ) T se llama vector de coordenadas de en la
base B.
ESPACIOS ASOCIADOS A UNA MATRIZ.
A =
Espacio renglón asociado a A
G = {(1, 0),(4, 2),(-1, 7)}
L(G) = {a(1, 0), b(4, 2), c(-1, 7)│a, b, c R}
4R1
R2
R1
R3
R2(1/
2)
7R2
R3
B = {(1,0), (0,1) }
L(B) = {a(1,0) + b(0,1) } dim A R = 2
A R =L(B) = {(a, b)│a, b R }
Espacio columna

A = A T =
B 1 = G 1 = {(1, 4, -1), (0, 2, 7)}
Ac =L(G 1 ) = {a(1, 4, -1) + b(0, 2, 7)│a, b R }
Corolario
→ elemento genérico a(1, 4, -1) + b(0, 2, 7) = (a, 4a + 2b, -a + 7b)
Ac = {(a, 4a + 2b, -a + 7b)│a, b R }
Dim Ac = 1
dim A R = dim A c
Ejemplo
R 2 = [(a, b)│a, b R]
B 1 = {(1, 0), (0, 1)}; B 2 = {(0, 2), (2, 0)}
Obtener los valores de coordenadas del vector = (-2, 3)
G ={ , , }
Para G
β 1 + β 2 + β 3 =
1
0
0 0 + 2
0
0
2
+
0 0
0
3
=
0 0
0 0
1 2
0
0
2 3
=
0 0
0 0
1 2 = 0 1 2
2 3 = 0 3 2 2 = k; 1 3 k
G es linealmente dependiente.
B y G son conjuntos generadores
V; B genera V; linealmente independiente → Base

V; G genera V; linealmente dependiente → Generador
Algoritmo de obtención de bases
P 2 = {ax 2 + bx + c)│a, b, c R}
B = {x 2 , x, 1}
R 2 = [(a, b)│a, b R]
B = {(1, 0), (0, 1)}
M 2x1 = { │a, b R} B = { 1 0 , 0
1 }
Sea el espacio п = {(x, y, z)│x + y -z = 2; x, y, z R}
x + y -z = 0 п 2 = {(x, y, x + y)│ x, y, z R}
z = x + y
Matriz de transición
B
M 1 B 2
1= α 1 1 + α 2 2
2= β 1 1 + β 2 2
(1,0) = α 1 (0,2)+ α 2 (2,0)
(1,0) = (2α 2 , 2α 1 α 2 (2,0)
2α 2 = 1 → α 2 = ½ 2α 1 = 0 → α 1 = 0
1 = (1,0) = 0(0,2) + ½(2,0)
( 1 ) B2 = (0, ½) T
2 = (0,1) = β 1 (0,2) + β 2 (2,0) (0,1) = (2β 2 , 2β 1 )
2 β 2 = 0 → β 2 = 0 2β 1 = 0 → β 1 = ½
2 = (0,1) = ½(0,2) + 0(2,0)
( 2 ) B2 = (½, 0) T
1 = 0 1 + ½ 2
2 = ½ 1 + 0 2

M A B = ( ) A = ( ) B
( ) A = (M A B ) -1 ( ) B
(M A B ) = (M A B ) -1 ( ) A = M B A ( ) B
3. A =
A T =
B AC = {(1, 0, 0), (0 ,1 ,0), (0, 0, 1)}
a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1) = (a, b, c) → elemento genérico
A C = {(a, b, c)│a, b, c R}
Solución: los 3 R
Teorema
Los espacios que tienen la misma dimensión se llaman isomorfos.
R 3 = [(a, b, c)│a, b, c R]; dim R 3 = 3; B R 3 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}
P 2 = {ax 2 + ax + b)│a, b R} dim R 2 = 2; B R
2
= {(x 2 + x + 1)
F 1 (ax 2 + bx + c) = (a, b, c)
1.-
M = { │a, b, c R}; dim M =3; B M ={ , , }
F 2 = (a, b, c)
2.-
V = { │a, b R}
Solución:
B V ={ , } dim V = 2
A no es base; B no es base; C si es base
3.-

f = (0, 1, -1, 3)
f = (1, 0, 1, 0) Es linealmente independiente
ESPACIOS DE FUNCIONES F
Sea el conjunto H = {e x , e -x , e 2x }
L(H) = {ae x + be -x + ce 2x a, b, c R}
Determine si H es linealmente independiente
Wronskiano
W =
e
e
e
x
x
x
e
e
e
x
x
x
e
2x
2x
2 e =
4e
2x
x
e (-1) 2
e
e
x
x
2e
4e
2x
2x
+
x
e (-1) 3
e
e
x
x
2e
4e
2x
2x
+
x
e 2 (-
1) 4 x
e e
x x
e e
x
W = e x (-4e x -2e x ) –e -x (4e 3x -2e 3x ) + e 2x (e 0 + e 0 )
W = -6e 2x –2e 2x +2e 2x
W = -6e 2x W ≠ 0
H es linealmente independiente
Sea el conjunto de funciones reales de variable real {f 1 , f 2 , ..., f n }
De la ecuación de dependencia lineal α 1 f 1 + α 2 f 2 +... + α n f n = 0
Para x = x 1 α 1 f(x 1 ) + α 2 f(x 1 ) +... + α n f(x 1 ) = 0
Para x = x 2 β 1 f(x 2 ) + β 2 f(x 2 ) +... + β n f(x 2 ) = 0
Para x = x n λ 1 f(x n ) + λ 2 f(x n ) +... + λ n f(x n ) = 0
Teorema
Sea {f 1 , f 2 , ..., f n } un conjunto de n funciones de variable real, derivables al menos n-1
veces en el intervalo (a, b); y sea

W=
f
f
f
1
´
1
(n-1)
1
(x)
(x)
(x)
f
f
f
2
´
2
(n-1)
2
(x)
(x)
(x)
f
f
f
n
´
n
(n-1)
n
(x)
(x)
(x)
Si W(x 0 ) ≠ 0 para algún x 0 (a, b), entonces el conjunto de funciones es linealmente
independiente de dicho intervalo.
Si W(x) = 0 no decide.
Ejemplo
Investigar la dependencia lineal del siguiente conjunto.
F = {2sen 2 x, -cos 2 x, 3}
W(x) =
2
2sen
x
4senxcos
x
2
4sen
x
4cos
2
x
2cos xsenx
2cos
2
cos
x
2
x
sen
2
x
3
0
0
=
4senxcosx
4sen
2
x
4cos
2
x
2cosxsenx
2cos
2
x
sen
2
x
W(x) = 3[4senxcosx (2cos 2 x -2sen 2 x) – (-4sen 2 x + 4cos 2 x)( 2cosxsenx)]
W(x) = 3(0) = 0 → no decide.
F = {2sen 2 x, sen 2 x -1, 3}
α(2sen 2 x) + β(sen 2 x –1) + γ(3) = (0) 2sen 2 x + 0
(2α+ β)sen 2 x + (3γ –β) = (0) 2sen 2 x + 0
(2α+ β) = 0 → α = -β/2
(3γ –β) = 0 → γ = β/3 β = k
α = -k/2
β = k
γ = k/3
Es linealmente dependiente.
Nota: 1 regla de correspondencia y W = 0 es linealmente dependiente.
Ejemplo
Sea el conjunto de funciones, determine si es linealmente dependiente o independiente
en el intervalo indicado.
D = {h, f, g}

f(x) =
x 2 ; si x 0; ū≠
Ejemplo
Sea R 2 = [(a, b)│a, b R] y
a) f(ū│ ) = [(a 1 , b 1 )│(a 2 , b 2 )] = a 1 a 2 + b 1 b 2
b) h(ū│ ) = [(a 1 , b 1 )│(a 2 , b 2 )] = 2a 1 a 2 + b 1 b 2
Determine si f, h son productos internos.
3) (αū│ ) = α(ū│ )
*(αa 1 , αb 1 )│(a 2 , b 2 )+ = α(2a 1 a 2 + b 1 b 2 )
2αa 1 a 2 + αb 1 b 2 se cumple
4) (ū│ ) > 0
[(a 1 , b 1 )│(a 1 , b 1 )] = 2a 1 2 + b 1
2
> 0
se cumple
h es producto interno

Propiedades del producto interno.
Sea V un espacio vectorial en C y sea ( │ ) un producto interno en V, entonces ū, V y
α C.
1) (ū│α ) = (ū│ )
2) (ū│ū) = R +
3) ( │ū) = 0 = (ū│ )
4) (ū│ū) = 0 ↔ ū =
NORMA DE UN VECTOR
= ( │ ) 1/2 ; La norma es un número real.
Propiedades de una norma.
Sí V es un espacio vectorial con producto interno, entonces ū, V y α C.
1. > 0
2. = 0 ↔ =
3. = ; = =
4. +
Ejemplo
Sea un generador de R 3 ,el conjunto G = {(2, 0, 0), (0, 0, 4), (0, 1, 0), (1, 2, 3)}. Determine un
conjunto ortogonal a partir de G utilizando el producto escalar ordinario.
Gran Shmidt.
1 = 1 = (2, 0, 0)
2 = 2 -
v
w
2
1
w
w
1
1
2 = (0, 0, 4) -
(0,0,4) (2,0,0)
(2,0,0) (2,0,0)
= (0, 0, 4) - ( 4
0 )(2, 0, 0) = (0, 0, 4)
3 = 3 -
v
w
3
1
w
w
1
1
1 -
v
w
3
2
w
w
2
2
2
3 = (0, 1, 0) -
(0,1,0) (2,0,0)
4
(2, 0, 0) -
(0,1,0) (0,0,4)
(0,0,4) (0,0,4)
(0, 0, 4)

3 = (0, 1, 0) - (0, 0, 0) - ( 16
0 )(0, 0, 4) = (0, 1, 0)
4 = 4 -
v
w
4
1
w
w
1
1
1 -
v
w
4
2
w
w
2
2
2 -
v
w
4
3
w
w
3
3
3
4 = (1, 2, 3)
(1,2,3) (2,0,0)
4
(2, 0, 0) -
(1,2,3) (0,0,4)
16
(0, 0, 4) -
(1,2,3) (0,1,0)
(0,1,0) (0,1,0)
(0, 1, 0)
4 = (1, 2, 3) - (1, 0, 0) - (0, 0, 3) - (0, 2, 0) = (0, 0, 0)
G 0 = {(2, 0, 0), (0, 0, 4), (0, 1, 0), (0, 0, 0)}
B ORT = {(2, 0, 0), (0, 0, 4), (0, 1, 0)}
B ORTN = {(1, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0)}
Ejemplo
En el espacio vectorial de matrices simétricas de orden 2 se define el siguiente producto
a1 b1 a
2
b2
interno
= a 1 a 2 + 2b 1 b 2 + c 1 c 2 y el conjunto G = { , ,
b c b c
1 1 2 2
, . Determine un conjunto ortogonal a partir de G
B ORT = { , , , .
Ejemplo.
Para el espacio vectorial C 2 se define el producto interno (ū│ ) =
= (y 1 , y 2 ) C 2 donde i es el conjugado de yi.
2
i 1
xi yi = (x 1 , x 2 )
a) Determinar las normas de los vectores = (4+2i, 5 – 6i), = (3-2i, -2i), = (-2-2i, i)
=
1/2
= = = = 9

=
= =
=
= = 3
b) Obtener el ángulo entre y
1/2
1/2
= angcos
R( 4 10 i)
3 17
= angcos
4
3 17
= 108.86°
Propiedades de la distancia entre dos vectores.
Si V es un espacio vectorial con producto interno, entonces ū, V.
1. d(ū, ) 0
2. d(ū, ) = 0 y solo si ū =
3. d(ū, ) = d( , ū)
4. d(ū, ) d(ū, ) + d( , )
=
1/2
=
1/2
=
1/2
= = 8
Teorema de Pitágoras.
Sea V un espacio con producto interno y sean ū, V. Si ū y son ortogonales, entonces:
2 =
2 +
2
Teorema
Desigualdad de Cauchy-Schwarz
Sea V un espacio vectorial en C y sea ( │ ) un producto interno en V, entonces ū, V:
2 ≤ donde es el módulo de . Además, la igualdad se
cumple si y solo si son linealmente independientes.
Ejemplo
1.- Sea B = { 1 , 2} una base de un espacio vectorial.

Determine a partir de V una base ortogonal.
B ORT = { 1, 2} 1 = 1
Proy vect =
v v
2 1
v v
1 1
1
2 = 2 - Proy vect
2 = 2 -
v
w
2
1
w
w
1
1
1 B ORT =
w
w
w
1 2
,
w
1 2
w =
Bw = {(1, 1, 0), (0, 2, 1)}
Ortogonalizado
1 = 1 = (1, 1, 0)
2 = 2 -
v
w
2
1
w
w
1
1
= 1 = (0, 2, 1) -
(0,2,1) (1,1,0)
(1,1,0) (1,1,0)
(1, 1, 0)
= (0, 2, 1) - ( 2
2 )(1, 1, 0) = (-1, 1,1)
Bw ORT = {(1, 1, 0), (-1, 1, 1)}
Bw ORT = { }
w = = q ei ei
+ q e2 e2
1 1
1 1
= ( 0,2, 6) (1,1,0) (1,10)
+ ( 0,2, 6) ( 1,1,1) ( 1,1,1 )
2 2
3 3
1
2 6 1
= (0 + ) (1,10)
+ ( 0 ) ( 1,1,1 )
2
3 3 3

4
= (1, 1,0) - ( 1,1,1 )
3
7 1 4
= ( , , )
3 3 3
2.- Para el producto interno usual en R 3 , obtener el cumplimiento ortogonal S 1 de cada uno
de los subespacios siguientes de R 3 y dar una interpretación geométrica de dichos
complementos.
a) S 1 = {(0,0,z)│z R}
= (a, b, c) R 3 {(0, 0, z)│(a, b, c)} = 0
zc = 0
c = 0
a = k
b = t
S ´
1 = {(k, t, 0)│k, t R}
b) S 2 = {(x, x,0)│x R}
= (a, b, c) R 3 {(x, x, 0)│(a, b, c)} = 0
ax + bx = 0
x(a +b) = 0
a = -b ; a = -t
c = k
b = t
S ´2 = {(-t, t, k)│t, k R}

3.- Sea w = │a, b R} un subespacio de las matrices cuadradas de orden dos en
R con producto interno definido por (A│ B) = tr(AB T ).
Obtener la matriz perteneciente a W más próximo a M =
Bw = { , }
1 = 1 =
0
1
1
0
2 = 2 =
v
w
2
1
w
w
1
1
w 1 = -
1
1
0
0
0
1
2
0
1
0
0
2
0
2
0
2
│ = tr = tr
1
0
0
2
= 0
│ = = 5
2 = - 5
0
=
= { , }
Bw ORT = { , }
21α + 11β + 5γ = 0
α = - 11
21 k - 5 t; β = k; γ = t
21
w = {(- 11
21 k - 5 21 t )x2 +kx + t | k, t R }
b) = - ´
4.- Dado el producto interno en R 2 definido por = u 1 v 1 - u 1 v 2 - u 2 v 1 + 3u 2 v 2 donde
= (u 1 , u 2 , u 3 ) y = (v 1 , v 2 ).

a) Obtener el valor de K R tal que
la distancia entre los vectores = (1, 3) y = (k, 4) sea igual a .
b) Con el vector de k obtenido,
verificar que los vectores y del inciso anterior cumplan la desigualdad de Cauchy-
Schwarz.
a) d(ū, ) =
= (k-1, 1)
1/2 =
1/2
=
2
k 2k 1 k+1-k 1 3 1/2 =
2
k 4k 6 1/2
2 =
2
k 4k 6 ;
2
k 4k 4 = 0; ( k-2)( k-2) = 0; k = 2
b)
2 ≤
= 28 (28) 2 ≤ (22)(36)
= 22 784 ≤ 792
= 36 Es linealmente independiente.
5.- Obtener una base ortogonal del espacio vectorial F de los polinomios de grado menor
o igual a dos con coeficientes reales a partir de la base B = {1, 2t, 2 - 12t + 12t 2 }
considerando el producto interno = p, q F
1 = 1
2 = 2t -
2t 1
11
(1) = 2t -
(2t |1) = = t 2 1 = 1 0
(1 |1) = = t 1 = 1 0
1
1
(1) = 2t – 1
3 = 2 - 12t + 12t 2 -
2
2 12t 12t 1
11
(1) -
2
2 12t 12t 2t 1
2t 1 2t 1
(2t – 1)
3 = 2 - 12t + 12t 2 -0 -0 = 2 - 12t + 12t 2
(2 - 12t + 12t 2 |1) =
1
2
(2 12t 12t )dt = 2t - 6t 2 + 4t 3 1 = 2- 6 + 4 = 0
0
0

(2t -1|2t -1) =
(2 - 12t + 12t 2 |2t -1) =
=
1
2
(4t 4t 1)dt = 4 3 t3 - 2t 2 + t 1 = 4 0
3 - 2 + 1 = 1 3
0
4 3 2
6t 12t 8t 2t 1 0
= 6 -12 + 8 -2 = 0
1
1
2 3 2
(4t 2 24t 12t+24t 12t )dt =
0
0
3 2
(24t 36t 16t 2)dt
6.- Sea el sistema de ecuaciones lineales homogéneo y sea W el espacio solución de dicho
sistema para el producto interno usual en R 3 , determinar el complemento ortogonal w ,
de W y escribir el vector (9, 1, 4) como la suma de un vector de W mas otro de w .
-x + 3y -2z = 0
x= 3y – 2z x = 3k -2t
y = y y = k z = z; z = t
W = {(3k -2t, k, t) │k, t b R}
Bw ORT =
1
0
5
0
2
5
,
0
1
2
1
0
2
=
2
i 1
M ei ei
= M ei ei
+ M e2 e2
=
2
1
1
2
1
5
1
0
0
2
1
5
1
0
0
2
+
2
1
1
2
1
2
0
1
1
0
1
2
0
1
1
0
=
1
5
1
5
tr
2
1
1
2
1
0
0
2
1
0
0
2
+
1
5
1
5
tr
2
1
1
2
0
1
1
0
0
1
1
0
1 2
= tr 5 4
1
0
0
2
+
1 1 tr
2 1
0
1
1
0

=
2
5
1
1
4
5
+
0
1
0
1
=
2
5
1
1
4
5
(p│ ) =
2
i 0
p ( i)
q(
i)
p(x), q(x) P 2
W = {ax 2 + bx + c)│a, b, c R}
a) Obtener w
W = {ax 2 + ax + -a)│a R} P 2 = {αx 2 + βx + γ)│α, β, γ R}
x
2
x
ax
2
ax -a
= 0
= γ(-a) + (α + β + γ)(a) + (4α + 2β + γ)(5a)
= -γa + αa + βa + γa + 20αa + 10βa + 5γa
= a(4α + 2β + γ) = 0
R 3 = [(a, b, c)│ a, b, c R]
[(3k -2t, k, t) │(a, b, c)] = 0
3ak -2at + kbt + c = 0
k(3a +b) + t(-2a + c) = 0
3a +b = 0 ↔ b = -3a
-2a + c = 0 ↔ c = 2a
w = {a, -3a, 2a)│a R}
TRANSFORMACIONES LINEALES
T: R 3 →R 2
T(x, y, z) = (x, y)
Definición
Si V y W son espacios vectoriales, una función T: V→W recibe el nombre de
transformación, los espacios V y W se llaman, respectivamente dominio y codominio de la
transformación.
Ejemplo
T(x, y, z) = (x, y) T: R 3 →R 2
S(ax 2 + bx + c) =
S: P 2 →D

Definición.
Sea T: V→W una transformación
1) Se llama recorrido de T al
conjunto
T(v) = { T( )│ V }
2) Se llama núcleo de T al conjunto
N(T) = { │T( ) = w}
Ejemplo
T: R 3 →R 2 definida por T(x, y, z) = (x, y)
Dominio: R 3
Recorrido: R 2
Núcleo: w
T(x, y, z) = (0, 0) x = 0; y =0
(x, y) = (0, 0)
T(0, 0, z) = (0, 0) N(T) = {(0, 0, z)│z R }
Definición.
Sean V y W dos espacios vectoriales en K, una transformación T: V→W es lineal si 1, 2
V y α K
Superposición 1) T( 1 + 2) = T( 1 ) + T( 2 )
Homogeneidad 2) T( 1) = αT( 1 )
Ejemplo
Para las siguientes transformaciones determinar si son lineales o no.
1.- T: R 3 →R 2 definida por T(x, y, z) = (x, y)
Solución:
1) T( 1 + 2) = T( 1 ) + T( 2 )
T( 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2 ) = ( 1 , y 1 ) + (x 2 , y 2 )
( 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) = ( 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) Cumple
2) T( 1) = αT( 1 )

T(αx, αy, αz) = α( 1 , y 1 )
(αx, αy) = (α 1 , αy 1 )
Cumple
T es una transformación lineal.
2.- S: P 2 →D; S(ax 2 + bx + c) =
Solución:
a
0
0
c
1) S( 1 + 2) = S( 1 ) + S( 2 )
1 = a 1 x 2 + b 1 x + c 1 ; 2 = a 2 x 2 + b 2 x + c 2
S [(a 1 + a 2 )x 2 a1
+ (b 1 + b 2 )x + (c 1 + c 2 )] =
0
0
c
1
+
a
2
0
0
c
2
a
1
0
a
2
c
1
0
c
2
=
a
1
0
a
2
c
1
0
c
2
Cumple
2) S( 1) = αS( 1 )
S(αa 1 x 2 a1
0
+ αb 1 x + αc 1 ) =α
0 c
a
0
1
0
c
1
=
a
0
S es una transformación lineal.
3.- F: R 2 →R 2
1
0
c
1
1
Cumple
F(x, y) = (x 2 , y) 1 = ( 1 , y 1 ) 2 = (x 2 , y 2 )
1) F( 1 + 2) = F( 1 ) + F( 2 )
F( 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) = ( x , y 1 ) + ( x , y 2 )
[( 1 + x 2 ) 2 2
, y 1 + y 2 ] = [ x
1 + x 2 2 , y 1 + y 2 ]
F no es una transformación lineal
2
1
2
2
Teorema.

Si T: V→W es una transformación lineal entonces T( v) = w
Teorema.
Si T: V→W es una transformación lineal entonces
1) T(v) es un subespacio de W
2) N(T) es un subespacio de T
Ejemplo
T: R 3 →M definida por T(a, b, c) =
a
b
1
b
c
Teorema.
Si T: V→W una transformación lineal. Si B = , 1, 2,..., n} es una base de V, entonces el
conjunto T = {T( 1 ), T( 2 ),...,T( n )} es un generador de T(v)
Teorema.
Si V es un espacio de dimensión finita y T: V→W es una transformación lineal, entonces
dim V = dim T(v) + dimT(N)
Ejemplo
Sea la transformación lineal T: R 3 →R 3 definida por T(x, y, z) = (x + 2y -z, x + y, x + y -2z)
a) Obtener una base, la dimensión y el recorrido de T(v)
Solución:
a) Dominio R 3
B
R 3 = {(1, 0, 0),(0, 1, 0), (0, 0, 1)}
T(1, 0, 0) = (1, 0, 1)
T(0, 1, 0) = (2, 1, 1)
T(0, 0, 1) = (-1, 1, -2)
G
T(v) = {(1, 0, 1), (2, 1, 1), (-1, 1, -2)} Generador de T(v)
Espacio Renglón
1
2
1
0
1
1
1
1
2
2R1
R2
1R1
R3
1
0
0
0
1
1
1
1
1
B
T(v) = {(1, 0, 1), (0, 1, -1)}

Elemento genérico de T(v)
a(1, 0, 1) + b(0, 1, -1) = (a, b, a-b)
T(v) = {(a, b, a-b)│a, b V } dim T(v) = 2
b) Determinar la base y la
dimensión de N(T)
(x + 2y -z, x + y, x + y -2z) = (0, 0, 0)
x + 2y –z = 0
x + y = 0
x + y -2z = 0
1 2 1
0
1
1
1
1
2
1 2 1
0
1
1
R 1 R 3
0 1 1
R 2 R 3
1
0
0
2
1
0
1
0
1
→ x + 2y –z = 0 ….I
x + y = 0….II
De II y = -z;
De I x +2(-z) –z = 0; x = 3z
Solución general
x = 3t; y = -t; z = t
N(T) = {(3t, -t, t)│t R};
B
N(T) = {(3, -1, 1)}
dim N(T) = 1
dim R 3 = dim T(v) + dimN(T)
3 = 2 +1
A 2
H = { , , , }
A 2
P = {x 2 , x, 1}
T = x 2 + 1; [x 2 + 1] B = (1, 0, 1) T
T = - x 2 + x; [- x 2 + x] B = (-1, 1, 0) T

T = x 2 - x + 1; [x 2 - x + 1] B = (1, -1, 1) T
T = x -1; [x -1] B = (0, 1, -1) T
M(H) =
ÁLGEBRA DE FUNCIONES
Así como existen operadores con funciones, también se tienen operadores con
transformaciones. Por ejemplo se tienen entre otras las siguientes:
1.- Adición. Dada las transformaciones cuyo dominio es el mismo.
T: U→V y R : U→V Se define como resultado esta operación.
(T + R)( ) = T( ) +R( )
M(T + R) = M(T) +M(R)
2.- Multiplicación por un escalar. Dada la transformación T: U→V y α K, se define la
operación por medio de:
(αT)( ) = αT( )
M(αT) = αM(T)
3.- Composición. Dada las transformaciones T: U→V y R: V→W, se define la
transformación S: V→W como resultado de la composición entre las transformaciones de
T y R si y sólo si:
S( ) =(RoT)
S( ) = R[T( )]
En terminus de matrices
B
R 3 = {(1, 0, 0),(0, 1, 0), (0, 0, 1)}
M(T) = M(S) =
S*T(x, y, z) = M(S*T)(x, y, z)
M(S)M(T) = M(S*T)

=
M(S*T)(x, y, z) = = = (x +z, -y + z)
Propiedades de las operaciones con transformaciones.
1.- Conmutatividad para la adición.
T + S = S +T
M(T) + M(S) = M(T + S)
2.- Asociatividad para la adición.
(T + S) + R = T + (S + R)
[M(T) + M(S)] + M(R) = M(T) + [M(S) + M(R)]
3.- Homogeneidad para el producto por un escalar.
α(βT) = (αβ)T; α, β k
α*βM(T)+ = (αβ)M(T)
4.- Distributividad entre el producto por un escalar y la adición.
(α + β)T = αT + βT ; (α + β)MT = αMT + βMT
λ(T + S) = λT + λS ; λ[M(T) + M(S)] = λM(T) + λM(S)
[(-8 + 4x)] B = [-8, 4] T
[(4 - 12x)] B = [4, -12] T
M A B (T) =
-8 4
4 -12
( ) A = [a + bx] A
a + bx = α(-1 + x) + β(2 + 2x)
a + bx = (-α + 2β, αx + 2βx)
-α + 2β = a
αx + 2βx = b
4β = a + b -α + 2( ) = a
β = α =

[a + bx] A =
T
M A B (T)( ) A = [T( )] B
-8 4
4 -12
= B
T(a + bx) = ( ) –( )x
Ejemplo
Sea A =
3 1 1
2 2 1
2 2 0
, su polinomio característico – λ 3 + 5λ 2 - 8λ + 4
– A 3 + 5A 2 – 8A + 4I = 0
4I = A 3 - 5A 2 + 8A
4I = A(A 2 - 5A + 8I)
(A -1 )4I = (A -1 A)(A 2 - 5A + 8I)
4A -1 = A 2 - 5A + 8I
A -1 = (A 2 - 5A + 8I)( )
det(A - λI) =
a -
b
0 a -
= (a - )( a - ) = 0
(A - λI) B ( ) B = [T( )] B
λ = a de multiplicidad 2
a -
b
0 a -
x
y = 0
0
λ = a;
0 b
0 0
propio = {(k, 0)│k R, k ≠ 0}
E λ = {(k, 0)│k R}
del R 1 by = 0 → y = 0;
x = k
B = {(1, 0)}; P =
1
0
A no es diagonizable

T(-1 + x) = -8 + 4x
T(2 + 2x) = 4 - 12x
0 b
0 0
2R1 R
0 b
2
0 0
; es base
Otra base de P 1 B = {1, x}
Espacios característicos
E λ1 = {(k, 2k)│k R }; B
E 1 = {(1, 2)}
E λ1 = {(t, -3t)│t R }; B
E 2 = {(1, -3)}
Matriz diagonalizada
P =
1 1
2 3 ; D = P-1 AP
D → Matriz diagonal.
A → Matriz Asociada a la T.
P → Matriz diagonalizadora.
P -1 = -
-3 -1
-2 1
A = M(T) =
2 -1
6 1
D = -
-3 -1
-2 1
2 -1
6 1
1 1
2 3 = - -3 -1
-2 1
4 -1
8 3 = - -20 0
0 5 = 4 0
0 -1
M(H) ?
B M ={ , , , }
Vect. coord. = α + β + γ + δ

H = B = (1, 0, 0, 0) T
H = B = (0, 1, 0, 0) T
H = B = (0, 0, 1, 0) T
H = B = (0, 0, 0, 1) T
T( ) = λ( )
T(x, y)= λ(x, y)
(2x + y, 6x + y) = (λx, λy)
(2x + y - λx, 6x + y - λy) = (0, 0, 0)
Por igualdad de vectores
2x + y – λx = 0; (2 - λ)x +y = 0
6x + y – λy = 0; 6x + (1 - λ) = 0
2 1 x
6 1 y = 0
0
………. I Ecuación Cartesiana
det
2
6
1
1
= 0
( 2 )(1 ) – 6 = 0
λ 2 - 3λ - 4 = 0……… II Polinomio característico
(λ - 4)(λ - 1) = 0
λ 1 = 4;
λ 2 = -1 ………….III Valores característicos propios
Vectores propios.
Para λ 1 = 4; sustitución en I
2 4 1 x
6 1 4 y = 0
0

2 1 x
6 3 y = 0
0
Escalonando:
-2x + y = 0; y = 2x
Solución general: x = K; y = 2k;
λ1 = {(k, 2k)│k R, k ≠ 0}
Para λ 2 = -1; sustitución en I
2 ( 1) 1 x
6 1 ( 1) y = 0
0
3 1 x
6 2 y = 0
0
Escalonando: 3x + y = 0; y = -3x
Solución general: x = t; y = -3t; λ2 = {(t, -3t)│t R, t ≠ 0 }
M(H) = = A; det A = 1 = -1 ≠ 0 H no existe
A -1 = R
2
R3
H -1 (A) = A T