2-La jota de la medida - es=Industriaeu=Industria
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<strong>La</strong> Jota <strong>de</strong> <strong>la</strong> Medida, no creas que lo <strong>la</strong>mento ...<br />
Manoli Alonso y otros<br />
LA JOTA DE LA MEDIDA:<br />
NO CREAS QUE LO LAMENTO,<br />
SI SUMAS, MULTIPLICAS O MIDIENDO,<br />
MÁS QUISIERA QUE SUPIERAS<br />
P´A QUE UTILIZAS LO QUE CUENTO,<br />
NI SUMO, NI CUENTO, NI RESTO<br />
SI NO TENGO UN CONTEXTO<br />
Manoli Alonso - Maribel Álvarez - Pili Intxauspe<br />
Marivi Fernán<strong>de</strong>z - Pili <strong>La</strong>ssalle - Lour<strong>de</strong>s Muñoz<br />
Begoña O<strong>la</strong>skoaga - Imanol Rojo - Carmen Ruiz<br />
INTRODUCCIÓN<br />
Somos un grupo <strong>de</strong> profesoras y un profesor <strong>de</strong> educación infantil y primaria <strong>de</strong> distintos centros<br />
esco<strong>la</strong>res. Durante varios cursos hemos tomado parte en <strong>la</strong> convocatoria que para los grupos<br />
<strong>de</strong> trabajo realizaba el Gobierno Vasco. Como consecuencia <strong>de</strong> ello, hemos producido<br />
algunos trabajos. Éstos nos han valido para reflexionar sobre <strong>la</strong> práctica docente y enriquecernos<br />
mutuamente como profesionales, contrastando nuestras i<strong>de</strong>as sobre los procesos <strong>de</strong><br />
enseñanza y aprendizaje, discutiéndo<strong>la</strong>s y profundizando en sus bases teóricas.<br />
Al reflexionar sobre <strong>la</strong> enseñanza <strong>de</strong> <strong>la</strong> matemática<br />
hemos constatado que hay aspectos que no<br />
trabajamos lo suficiente y por ello <strong>de</strong>cidimos,<br />
durante este curso, trabajar sobre uno <strong>de</strong> ellos: <strong>la</strong><br />
<strong>medida</strong>. ¿Por qué nos preocupa <strong>la</strong> <strong>medida</strong>? En<br />
parte porque nos sentimos bastante ignorantes en<br />
este tema. En <strong>la</strong> escue<strong>la</strong> nos dijeron: "el metro es<br />
una barra <strong>de</strong> p<strong>la</strong>tino-iridio que se encuentra en<br />
París". Y a continuación trabajamos el paso <strong>de</strong><br />
unas unida<strong>de</strong>s a otras (buscando trucos para acordarnos<br />
<strong>de</strong> si había que <strong>de</strong> poner o quitar ceros).<br />
Había que dar <strong>la</strong> <strong>medida</strong> <strong>de</strong>l campo <strong>de</strong> fútbol en<br />
milímetros, el grosor <strong>de</strong> un folio en kilómetros;<br />
por lo visto el objetivo <strong>de</strong> estos ejercicios era<br />
repasar lo aprendido. Aparte <strong>de</strong> esto, poco más.<br />
Nos gustaría que esto no les sucediera a nuestro<br />
alumnado. Aprovechando <strong>la</strong>s situaciones reales<br />
Por fin he encontrado el metro<br />
8<br />
SIGMA Nº 23 • zk. 23 SIGMA
Ni handia, zu txikia, gu luzea, zuek motzak, <strong>de</strong>nok ge<strong>la</strong>n zehatzak<br />
Manoli Alonso y otros<br />
NI HANDIA<br />
ZU TXIKIA<br />
GU LUZEA<br />
ZUEK MOTZAK<br />
DENOK GELAN ZEHATZAK<br />
Manoli Alonso - Maribel Álvarez - Pili Intxauspe<br />
Marivi Fernán<strong>de</strong>z - Pili <strong>La</strong>ssalle - Lour<strong>de</strong>s Muñoz<br />
Begoña O<strong>la</strong>skoaga - Imanol Rojo - Carmen Ruiz<br />
SARRERA<br />
Haur eta lehen hezkuntzako tal<strong>de</strong> bat gara, eta partai<strong>de</strong>ok ikastetxe ezberdinetan <strong>la</strong>n egiten<br />
dugu. Urte batzuk pasa dira <strong>la</strong>n-tal<strong>de</strong> beza<strong>la</strong> elkartzen hasi ginenetik. Eusko Jaur<strong>la</strong>ritzaren <strong>la</strong>ntal<strong>de</strong>entzako<br />
<strong>de</strong>ialdian parte hartu izan dugu, eta, horren ondorioz, <strong>la</strong>n batzuk ekoiztu ditugu.<br />
<strong>La</strong>n horiek baliagarriak izan zaizkigu praktikari buruz hausnartzeko eta elkar aberasteko: gure<br />
ikaskuntza-irakaskuntzari buruzko i<strong>de</strong>iak kontrastatuz, eztabaidatuz eta oinarri teorikoak bi<strong>la</strong>tuz.<br />
Matematikaren irakaskuntzaz hausnarketa egitean,<br />
zenbait atal gutxiegi <strong>la</strong>ntzen ditugu<strong>la</strong> iruditu zitzaigun,<br />
eta, horrexegatik, ikasturte honetan horietako<br />
bat jorratzea erabaki genuen: neurria.<br />
Zergatik kezkatzen gaitu neurriak? Gure ezjakintasunarengatik<br />
al<strong>de</strong>rdi horretan. Esko<strong>la</strong>n esan ziguten:<br />
"Metroa Parisen dagoen p<strong>la</strong>tino-iridiozko<br />
barra bat da" eta horren ondoren <strong>la</strong>n handiena izaten<br />
zen unitate batzuetatik besteetara pasatzea,<br />
erabili behar zen trukua modu egokian erabiltzea.<br />
Futbol ze<strong>la</strong>iaren neurria milimetrotan bi<strong>la</strong>tu behar<br />
izaten genuen, folio baten lodiera kilometrotan;<br />
nonbait ariketa hauen helburua ikasitakoa birpasatzea<br />
izaten zen. Eta hortik aurrera ezer gutxi.<br />
Gure ikasleei horre<strong>la</strong>korik ez gertatzea nahiko<br />
genuke. Ge<strong>la</strong>n ematen diren neurtzeko egoera<br />
Azkenean aurkitu dut metroa<br />
Noviembre 2003 • 2003ko Azaroa 9
<strong>La</strong> Jota <strong>de</strong> <strong>la</strong> Medida, no creas que lo <strong>la</strong>mento ...<br />
Manoli Alonso y otros<br />
<strong>de</strong> <strong>medida</strong> que se dan en el au<strong>la</strong> y proponiendo otras activida<strong>de</strong>s significativas creemos que<br />
podrán llegar a medir con más precisión, rapi<strong>de</strong>z y "seso" que nosotros.<br />
Como profesores nuestra mayor preocupación suele ser cómo enseñar: qué activida<strong>de</strong>s seleccionar<br />
y, especialmente, cómo llevar<strong>la</strong>s a cabo (cómo agrupar a los alumnos-as, qué materiales<br />
utilizar, el nivel <strong>de</strong> intervención <strong>de</strong>l profesorado, cómo aprovechar <strong>la</strong>s aportaciones <strong>de</strong> los<br />
alumnos-as...), teniendo en cuenta los contenidos, objetivos y orientaciones <strong>de</strong>l DCB. Si analizamos<br />
este documento veremos que <strong>la</strong> <strong>medida</strong> abarca todo un bloque: "<strong>La</strong> <strong>medida</strong>.<br />
Información cuantitativa sobre los objetos y el tiempo". En su introducción expone que el principal<br />
objetivo es realizar <strong>medida</strong>s en situaciones reales.<br />
Es indudable que <strong>la</strong> <strong>medida</strong> tiene una gran presencia en nuestras vidas: organizar el tiempo,<br />
hacer <strong>la</strong>s compras, preparar <strong>la</strong> comida, comprar <strong>la</strong> bombil<strong>la</strong> que necesitamos, <strong>de</strong>corar <strong>la</strong> casa,<br />
contro<strong>la</strong>r nuestro peso, comprar unos pantalones o unos zapatos... Para realizar estas acciones<br />
y muchas otras utilizamos <strong>la</strong> <strong>medida</strong>.<br />
Por ello proponemos utilizar en <strong>la</strong> escue<strong>la</strong> <strong>la</strong>s situaciones espontáneas <strong>de</strong>l au<strong>la</strong>, en <strong>la</strong>s que sea<br />
pertinente medir, y, a<strong>de</strong>más, p<strong>la</strong>nificar otras para trabajar distintos aspectos <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>medida</strong>.<br />
Siempre <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> un contexto que les dé sentido y funcionalidad: <strong>la</strong>s eda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> los niños-as<br />
y sus familiares; su altura y su peso; <strong>la</strong>s cantida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> azúcar, harina y leche que se necesitan<br />
para hacer un bizcocho; los días que faltan para una celebración (contados en un calendario<br />
<strong>de</strong> verdad que hay en el au<strong>la</strong>).<br />
Hay que resaltar que <strong>la</strong> <strong>medida</strong>, al igual que toda <strong>la</strong> matemática en general, tiene estrecha<br />
re<strong>la</strong>ción con otras áreas, en especial con el Conocimiento <strong>de</strong>l medio. En los distintos bloques<br />
<strong>de</strong> este área se hace mención directa a <strong>la</strong> <strong>medida</strong>. En el bloque <strong>de</strong> el Medio físico y <strong>la</strong> acción<br />
humana (medir el tiempo atmosférico, maquetas, croquis...) y en el bloque <strong>de</strong> los Cambios históricos<br />
y <strong>la</strong> vida cotidiana (especialmente en <strong>la</strong>s unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> <strong>medida</strong> <strong>de</strong>l tiempo), entre otros.<br />
NOSOTRAS Y NOSOTROS Y LA MEDIDA<br />
Algunos <strong>de</strong> los problemas que tenemos los adultos (ciertos adultos) con <strong>la</strong>s <strong>medida</strong>s tal vez,<br />
no los tendríamos, ¿o sí? <strong>de</strong> haber trabajado en <strong>la</strong> escue<strong>la</strong> <strong>de</strong> otra manera. Veamos esta serie<br />
<strong>de</strong> preguntas:<br />
• ¿Qué resulta más barato (más ecológico) bañarse o ducharse? ¿De qué <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>?<br />
- De <strong>la</strong>s dimensiones <strong>de</strong> nuestra bañera. ¿Cuántos litros <strong>de</strong> agua caben en una bañera <strong>de</strong><br />
<strong>la</strong>s gran<strong>de</strong>s? Cuando hemos preguntado esto a algunos profesores, han dado respuestas<br />
<strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> un intervalo <strong>de</strong> 100 a 2000 litros, está c<strong>la</strong>ro que no tenemos ni i<strong>de</strong>a <strong>de</strong> <strong>la</strong>s<br />
dimensiones <strong>de</strong> una bañera y nos cuesta <strong>de</strong> calcu<strong>la</strong>r<strong>la</strong>s rápidamente cuando nos <strong>la</strong>s<br />
preguntan).<br />
- De si únicamente se llena <strong>la</strong> bañera una vez o si se va vaciando y llenando según se<br />
enfría el agua.<br />
- De si <strong>de</strong>spués, para ac<strong>la</strong>rarte utilizas <strong>la</strong> ducha.<br />
- Si te duchas, <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong>l caudal <strong>de</strong> agua que salga <strong>de</strong> <strong>la</strong> ducha y <strong>de</strong>l tiempo que utilices<br />
para ducharte.<br />
• ¿Qué es mejor, que nos <strong>de</strong>scuenten el 25% o <strong>la</strong> oferta <strong>de</strong> "Llévese tres y pague dos"?<br />
• ¿Qué resulta más ventajoso, el precio más el IVA y <strong>de</strong>spués aplicar el <strong>de</strong>scuento, o el precio<br />
con <strong>de</strong>scuento y <strong>de</strong>spués agregar el IVA? (Algunos profesores empleamos <strong>de</strong>masiado<br />
tiempo en pensar <strong>la</strong> respuesta).<br />
10<br />
SIGMA Nº 23 • zk. 23 SIGMA
Ni handia, zu txikia, gu luzea, zuek motzak, <strong>de</strong>nok ge<strong>la</strong>n zehatzak<br />
Manoli Alonso y otros<br />
errea<strong>la</strong>k aprobetxatuz eta beste zenbait jarduera esanguratsuak garatuz, guk baino modu<br />
zehatzago eta zentzudunagoan neurtuko dute<strong>la</strong>koan gau<strong>de</strong>.<br />
Irakasle izaki no<strong>la</strong> irakatsi izaten da gure kezka nagusia: zer jarduerak aukeratu, eta, bereziki,<br />
no<strong>la</strong> burutu jarduera horiek (tal<strong>de</strong>katze mota, materia<strong>la</strong>, irakaslearen esku-hartze mai<strong>la</strong>, ikasleen<br />
ekarpenak no<strong>la</strong> aprobetxatu...); OCDaren helburu eduki eta orientabi<strong>de</strong>ak kontuan harturik.<br />
OCDa aztertzen badugu ikusiko dugu neurriak multzo oso bat hartzen due<strong>la</strong>: "Neurketa.<br />
Objektu eta <strong>de</strong>nborari buruzko informazio kuantitatiboa". Horren sarreran aipatzen da neurketa<br />
egoera errealetan gauzatzea <strong>de</strong><strong>la</strong> lehentasunezko helburua.<br />
Garbi dugu neurriak gure bizitzan presentzia handia due<strong>la</strong>: <strong>de</strong>nbora anto<strong>la</strong>tu, erosketak egin,<br />
janaria prestatu, behar dugun bonbi<strong>la</strong> erosi, etxea <strong>de</strong>koratu, norberaren pisua kontro<strong>la</strong>tu, galtzak<br />
edo zapatak erosi... Ohiko ekintza hauek guztiak eta beste asko burutu ahal izateko neurria<br />
erabiltzen dugu.<br />
Horregatik proposatzen dugu esko<strong>la</strong>ko egoera natura<strong>la</strong>k aprobetxatzea, ge<strong>la</strong>n sortzen direnak,<br />
beti ere neurtzea beharrezkoa <strong>de</strong>nean; eta horiez gain, beste batzuk p<strong>la</strong>nifikatzea, neurketaren<br />
al<strong>de</strong>rdi ezberdinak <strong>la</strong>ntzeko. Beti ere testuinguru batean, zentzua eta funtzionaltasuna<br />
emango diena: haurren adinak eta seni<strong>de</strong>enak; haurren altuera eta pisua; bizkotxo bat egiteko<br />
behar <strong>de</strong>n azukrea, irin eta esne kantitateak; ospakizun baterako falta diren egunak (ge<strong>la</strong>n<br />
dagoen benetako egutegian kontatuta).<br />
Aipatu behar da neurriak, matematika osoak beza<strong>la</strong>, beste arloekin duen lotura garrantzitsua,<br />
bereziki Inguruaren ezaguera arloarekin. Arlo horren multzo ezberdinetan aipamen zuzena<br />
egiten zaio neurketari. Besteak beste, Ingurune fisiko eta giza ekintza multzoan (eguraldia<br />
neurtzea, maketa, krokis e.a. egitea, mapak interpretatzea...), eta Aldaketa historikoak eta eguneroko<br />
bizitza multzoan (<strong>de</strong>nbora neurri-unitateak bereziki).<br />
HELDUOK ETA NEURRIAK<br />
Helduok (batzuek) neurriekin ditugun arazo batzuk, agian esko<strong>la</strong>n beste modu batez <strong>la</strong>nduz<br />
gero (eta ikasiz gero) ez genituzke izango, a<strong>la</strong> bai?. Hona hemen gal<strong>de</strong>ra zerrenda bat:<br />
• Zer da merkeago (ekologikoago) bainatzea a<strong>la</strong> dutxatzea? Zeren arabera da?<br />
- Gure bainu ontziaren neurrien arabera. Zenbat litro sartzen dira "handiak" diren horietan?<br />
Irakasleei gal<strong>de</strong>tu diegunean 100 eta 2000 litro artean egon dira erantzunak. (Garbi<br />
dago ez dugu<strong>la</strong> bainu ontzi baten neurrien i<strong>de</strong>iarik, eta, al<strong>de</strong>z aurretik, ez badugu inoiz<br />
horretan pentsatu, kalku<strong>la</strong>tzeko ahalmenik ez dugu<strong>la</strong>.<br />
- Bainu ontzia behin bakarrik betetzen bada, edo ura hozten <strong>de</strong>n neurrian husten eta<br />
betetzen bada.<br />
- Ondoren, xaboia guztiz kentzeko dutxa erabiltzen bada.<br />
- Dutxaren kasuan, dutxatik ateratzen <strong>de</strong>n ur kantitatearen arabera; eta, dudarik gabe,<br />
dutxapean pasatzen <strong>de</strong>n <strong>de</strong>nboraren arabera.<br />
• Zein da hobea %25eko <strong>de</strong>skontua a<strong>la</strong> "Hiru eraman eta bi ordaindu" eskaintza?<br />
• Zer da hobe salneurriari BEZa gehitu eta gero <strong>de</strong>skontua egitea, edo lehengo <strong>de</strong>skontua egin<br />
eta gero BEZa gehitzea? (irakasle batzuek <strong>de</strong>nbora gehiegi behar izaten dute erantzuteko)<br />
Noviembre 2003 • 2003ko Azaroa 11
<strong>La</strong> Jota <strong>de</strong> <strong>la</strong> Medida, no creas que lo <strong>la</strong>mento ...<br />
Manoli Alonso y otros<br />
• ¿Por qué no hay <strong>la</strong>vadoras que midan 1m x 1m x 1m?<br />
• ¿Cuánto tiempo necesitaríamos para contar hasta un millón? (<strong>La</strong> respuesta rápida <strong>de</strong> algunos<br />
es un millón <strong>de</strong> segundos).<br />
• ¿Cómo se ahorra más papel al envolver cajas? ¿Haciendo que los bor<strong>de</strong>s <strong>de</strong>l papel sean<br />
paralelos a <strong>la</strong>s aristas <strong>de</strong> <strong>la</strong> caja, o con el papel inclinado? (Según C<strong>la</strong>udi Alsina en el mundo<br />
occi<strong>de</strong>ntal se envuelven <strong>de</strong> <strong>la</strong> primera manera, en cambio, en el mundo oriental <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
segunda, con lo que ahorran hasta un 10% <strong>de</strong> papel).<br />
• ¿Qué resulta mejor para seis personas, una pizza gran<strong>de</strong> <strong>de</strong> 40cm <strong>de</strong> diámetro o dos medianas<br />
<strong>de</strong> 30cm? C<strong>la</strong>ramente suele salir más barata <strong>la</strong> gran<strong>de</strong>, pero ¿cuánto comemos?<br />
¿Compensa?<br />
• Cuando pido media copa <strong>de</strong> cava (en copa cónica) ¿hasta dón<strong>de</strong> nos tienen que llenar <strong>la</strong><br />
copa?<br />
• A <strong>la</strong> hora <strong>de</strong> comprar un piso ¿nos basta con una ojeada general para hacernos una i<strong>de</strong>a <strong>de</strong><br />
<strong>la</strong>s dimensiones <strong>de</strong>l piso?<br />
Queremos haceros una propuesta: haced un pequeño estudio entre vuestros alumnos y alumnas<br />
para saber qué piensan sobre algunos aspectos re<strong>la</strong>cionados con <strong>la</strong> <strong>medida</strong>. Por ejemplo:<br />
- <strong>La</strong> distancia <strong>de</strong> un sitio a otro: ¿Es <strong>la</strong> misma a <strong>la</strong> ida que a <strong>la</strong> vuelta?, ¿Es <strong>la</strong> misma si<br />
vas en coche que andando? (Consi<strong>de</strong>rando que vayas por el mismo sitio).<br />
- El peso: ¿Un kilo <strong>de</strong> paja pesa lo mismo que un kilo <strong>de</strong> hierro? Si pesamos una bo<strong>la</strong> <strong>de</strong><br />
p<strong>la</strong>stilina y luego hacemos un churro, y luego lo ap<strong>la</strong>stamos, ¿habrá <strong>la</strong> misma cantidad<br />
<strong>de</strong> p<strong>la</strong>stilina? ¿Pesará lo mismo?<br />
- Temperatura: ¿Un bloque <strong>de</strong> hielo gran<strong>de</strong> y un cubito pequeño tienen <strong>la</strong> misma temperatura?<br />
- Edad: Si una persona nació en 1954 y otra en 1960, ¿quién es mayor?<br />
En este artículo exponemos algunas situaciones y activida<strong>de</strong>s que han realizado<br />
nuestros alumnos y alumnas en torno a <strong>la</strong> <strong>medida</strong>; algunas se han dado a partir <strong>de</strong><br />
propuestas <strong>de</strong>l profesor-a, y otras, en cambio, son situaciones espontáneas <strong>de</strong>l au<strong>la</strong>.<br />
Reseñamos el contexto en el que han tenido lugar y, también, algunas conclusiones.<br />
ACTIVIDADES REALIZADAS EN NUESTRAS AULAS<br />
FECHA DE NACIMIENTO (Educ. Infantil-5 años) (Registro)<br />
Se quería trabajar <strong>la</strong> fecha <strong>de</strong> nacimiento. Para ello se p<strong>la</strong>nifica <strong>la</strong> siguiente actividad:<br />
ACTIVIDAD<br />
• Analizar <strong>la</strong>s fechas <strong>de</strong> nacimiento. ¿Qué datos aparecen? ¿Qué significan?<br />
• Comparar <strong>la</strong>s fechas <strong>de</strong> nacimiento <strong>de</strong> todos los <strong>de</strong> c<strong>la</strong>se: ¿Qué números son iguales? ¿Por qué?<br />
• Or<strong>de</strong>nar <strong>la</strong>s fechas <strong>de</strong> nacimiento: actividad oral.<br />
12<br />
SIGMA Nº 23 • zk. 23 SIGMA
Ni handia, zu txikia, gu luzea, zuek motzak, <strong>de</strong>nok ge<strong>la</strong>n zehatzak<br />
Manoli Alonso y otros<br />
• Zergatik ez dago 1m x 1m x 1m neurriko garbigailurik?<br />
• Zenbat <strong>de</strong>nbora beharko genuke milioi arte zenbatzeko? (batzuen bereha<strong>la</strong>ko erantzuna<br />
milioi bat segundo izaten da).<br />
• Kaxa bat paperez biltzeko, no<strong>la</strong> aurrezten dugu paper gehiago? Papera kaxaren ertzekiko<br />
paralelo jarriz, a<strong>la</strong> kaxarekiko okertuta jarriz? (C<strong>la</strong>udi Alsinak esaten du men<strong>de</strong>bal<strong>de</strong>an lehenengo<br />
moduan egiten dugu<strong>la</strong> eta ekial<strong>de</strong>an, berriz, bigarren moduan; horregatik paperaren<br />
%10a aurrezten dute).<br />
• Sei pertsonentzat zer da hobe? 40cm-ko diametroa duen pizza handi bat, edo bi ertainak<br />
(30 cm-koak)? Garbi dago handiena merkeago ateratzen <strong>de</strong><strong>la</strong>, baina zenbat jaten dugu?<br />
Merezi al du?<br />
• Kopa erdia txanpaina eskatzen badugu (kono-formako kopa batean) noraino bete behar<br />
digute kopa?<br />
• Etxe bat erosi behar badugu, nahikoa dugu begirada bat botatzea etxe horren neurriak jakiteko?<br />
Proposamen bat egin nahi dizuegu: ikerketa bat egitea haurrekin, neurriaren zenbait al<strong>de</strong>rdiei<br />
buruz zer pentsatzen duten jakiteko. Adibi<strong>de</strong>z:<br />
- Toki batetik besterako distantzia: joateko eta bueltatzeko distantzia berdina da?<br />
Berdina da kotxez eta oinez? (beti ere, bi<strong>de</strong> berdinetik bazatoz).<br />
- Pisua: <strong>La</strong>sto kilo batek eta burdin kilo batek berdin pisatzen dute? P<strong>la</strong>stilina bo<strong>la</strong> bat<br />
pisatu, ondoren txurro bat egin eta gero zapaldu. P<strong>la</strong>stilina kantitate bera izango dugu?<br />
Pisu bera izango du?<br />
- Tenperatura: Je<strong>la</strong> zati handi batek eta je<strong>la</strong>-koskor batek tenperatura berdina dute?<br />
- Adina: Pertsona bat 1954an jaio bazen eta beste bat 1960an, zein da zaharragoa?<br />
Artikulu honetan, neurriaz ikasteko ikasleek egin dituzten jardueretan gertatu diren<br />
zenbait egoera azaltzen dugu; egoera batzuk irakasleak aurretik p<strong>la</strong>nifikatuak dira,<br />
eta beste batzuk ge<strong>la</strong>ko dinamikan sortutakoak. Egoera horien testuingurua azaltzen<br />
dugu, baita zenbait ondorio ere.<br />
GURE GELETAN EGIN DITUGUN JARDUERAK<br />
JAIOTZA DATA (HH 5 urte) (Erregistroa)<br />
JARDUERA: Jaiotza datak aztertu. Zer datu azaltzen dira? Zer esan nahi dute?<br />
Tal<strong>de</strong>ki<strong>de</strong> guztion jaiotza datak al<strong>de</strong>ratu: errepikatzen diren zenbakiak, <strong>de</strong>sberdinak direnak,<br />
horren arrazoia...<br />
Ondoren jaiotza datak or<strong>de</strong>natu; ahoz.<br />
Noviembre 2003 • 2003ko Azaroa 13
<strong>La</strong> Jota <strong>de</strong> <strong>la</strong> Medida, no creas que lo <strong>la</strong>mento ...<br />
Manoli Alonso y otros<br />
SITUACIÓN<br />
En <strong>la</strong> lista <strong>de</strong> c<strong>la</strong>se aparecen los nombres y apellidos, <strong>la</strong>s fechas <strong>de</strong> nacimiento, el número <strong>de</strong><br />
hermanos, los que hacen uso <strong>de</strong>l comedor y autobús...<br />
En <strong>la</strong> sesión anterior llevé fotocopias <strong>de</strong> <strong>la</strong> lista y cada uno buscó y marcó su fecha <strong>de</strong> nacimiento<br />
con un rotu<strong>la</strong>dor fosforito.<br />
Les pido que cada uno me dicte su fecha <strong>de</strong> nacimiento y yo escribo <strong>la</strong> lista en <strong>la</strong> pizarra.<br />
Koldo: ¿Iguales!<br />
Todos son <strong>de</strong>l mismo año y se ha dado cuenta <strong>de</strong> ello.<br />
Continúo escribiendo <strong>la</strong> lista y al final pongo mi fecha <strong>de</strong> nacimiento.<br />
Koldo: <strong>La</strong> tuya es distinta.<br />
Manex: Nuestros primeros son iguales.<br />
Koldo: El <strong>de</strong> Lour<strong>de</strong>s no.<br />
Maestra: ¿Por qué será?<br />
Manex: Porque tú eres mayor y nosotros más pequeños.<br />
Todos: Sí.<br />
Koldo: (Seña<strong>la</strong> 11 y 11 en <strong>la</strong> columna <strong>de</strong> los meses en dos fechas distintas.) Mira,<br />
nacieron iguales.<br />
Maestra: ¿De quién son esas fechas?<br />
A<strong>la</strong>itz: <strong>La</strong> mía.<br />
Maestra: Y <strong>la</strong> otra es <strong>la</strong> mía. ¿Nacimos a <strong>la</strong> vez?<br />
Koldo: No, pero en el mismo día.<br />
Maestra: ¿Qué son los primeros números?<br />
Manex: Los nuestros son iguales(1989). ¡Ya sé! ¿Porque nacimos en el mismo mes?<br />
Maestra: ¿Qué es lo primero que escribimos al poner <strong>la</strong> fecha? (En euskera primero se<br />
pone el año).<br />
Irati: 1-9-9-5<br />
Maestra: ¿Cuántas cifras tiene?<br />
Irati: Cuatro.<br />
Maestra: ¿Y cuántas tienen los números <strong>de</strong> esta columna? (Señalo <strong>la</strong> <strong>de</strong> los años.)<br />
Nerea: Cuatro.<br />
Maestra: ¿Qué es 1995?<br />
Manex: El número <strong>de</strong>l mes.<br />
Nerea: Es que compramos un calendario nuevo.<br />
Maestra: ¿Por qué?<br />
Nerea: Porque se terminó.<br />
Maestra: ¿Trajimos un calendario nuevo cuando terminó febrero?<br />
Mai<strong>de</strong>r: Igual el calendario se termina cuando se termina ese número.<br />
Maestra: Cuando se acabe este calendario ¿Qué número tendrá el siguiente?<br />
Nerea: 1-9-9-6<br />
Koldo: Cuando se acabe el calendario nuestro cumpleaños tendrá otro número.<br />
Manex: El día que nacemos luego no se pue<strong>de</strong> cambiar.<br />
Maestra: ¿Por qué mi primer número es diferente?<br />
Todos: Porque naciste antes.<br />
Maestra: ¿Unos días o unos años antes?<br />
Manex: Años.<br />
Maestra: Entonces los primeros números, ¿qué son?<br />
14<br />
SIGMA Nº 23 • zk. 23 SIGMA
Ni handia, zu txikia, gu luzea, zuek motzak, <strong>de</strong>nok ge<strong>la</strong>n zehatzak<br />
Manoli Alonso y otros<br />
EGOERA<br />
Ge<strong>la</strong>ko zerrendan, izen-abizenak, jaiotza datak, seni<strong>de</strong> kopurua, jange<strong>la</strong> eta autobusekoak<br />
direnak azaltzen dira.<br />
Aurreko saioan zerrenda fotokopiatua eraman nuen ge<strong>la</strong>ra eta haur bakoitzak bere jaiotza data<br />
bi<strong>la</strong>tu eta errotu<strong>la</strong>gailu fosforitoz markatu zuen.<br />
Bakoitzak bere jaiotza data niri diktatu dit eta nik arbelean idatzi ditut.<br />
Koldo: Berdinak!<br />
Denak urte berekoak dira eta horretaz ohartu da.<br />
Zerrenda idazten jarraitu dut eta bukaeran nire jaiotza data idatzi dut.<br />
Koldo: Zurea <strong>de</strong>sberdina.<br />
Manex: Gure lehenengoak berdinak dira.<br />
Koldo: Lour<strong>de</strong>sena ez.<br />
Irakaslea: Zergatik izango da?<br />
Manex: Zu handiagoa zare<strong>la</strong>ko eta gu txikiagoak.<br />
Mai<strong>de</strong>r: Zu lehenago jaio zine<strong>la</strong>ko.<br />
Denak: Bai.<br />
Koldo: (Hi<strong>la</strong>beteen zutabean 11 eta 11 erakusten du, bi data <strong>de</strong>sberdinetan) Begira,<br />
berdinak jaio ziren.<br />
Irakaslea: Norenak dira data horiek?<br />
A<strong>la</strong>itze: Nerea.<br />
Irakaslea: Eta bestea nirea da. Batera jaio al ginen?<br />
Koldo: Ez, baino egun berdinean.<br />
Irakaslea: Lehenengo zenbakiak zer dira?<br />
Manex: Gureak berdinak dira (1989). Badakit! Hi<strong>la</strong>bete berdinean jaio gine<strong>la</strong>ko?<br />
Irakaslea: Data enbat zifra ditu?<br />
Irati: <strong>La</strong>u.<br />
Irakasleak: Eta zutabe honetakoak zenbat dituzte? (Urteen zutabea erakusten dut) 1995<br />
zer da?<br />
Manex: Hi<strong>la</strong>betearen zenbakia.<br />
Nerea: Egutegi berria erosi genuen eta...<br />
Irakaslea: Zergatik?<br />
Nerea: Bukatu ze<strong>la</strong>ko.<br />
Irakaslea: Otsai<strong>la</strong> bukatu zenean egutegi berria ekarri genuen?<br />
Mai<strong>de</strong>r: Agian egutegia bukatzen da zenbaki hori bukatzen <strong>de</strong>nean.<br />
Irakaslea: Egutegi hau bukatzean ze zenbaki edukiko du hurrengoak?<br />
Nerea: 1-9-9-6<br />
Koldo: Egutegia bukatzean gure urtemugak beste zenbaki bat izango du.<br />
Mai<strong>de</strong>r: Ez.<br />
Irakaslea: Zergatik?<br />
Manex: Gu jaiotzen garen egunean, gero ezin da aldatu.<br />
Irakaslea: Zergatik da <strong>de</strong>sberdina nire lehen zenbakia? (urtea).<br />
Denak: Lehenago jaio zine<strong>la</strong>ko.<br />
Irakaslea: Egun batzuk edo urte batzuk lehenago?<br />
Manex: Urteak.<br />
Irakaslea: Orduan lehenengo zenbakiak zer dira?<br />
Noviembre 2003 • 2003ko Azaroa 15
<strong>La</strong> Jota <strong>de</strong> <strong>la</strong> Medida, no creas que lo <strong>la</strong>mento ...<br />
Manoli Alonso y otros<br />
Manex: ¡Son años!<br />
Maestra: ¿Y los números que están <strong>de</strong>spués <strong>de</strong> <strong>la</strong> rayita?<br />
Manex: Uno será el año, otro el día <strong>de</strong> nacimiento y el otro no sé.<br />
Para que que<strong>de</strong> c<strong>la</strong>ro les digo lo que representa cada número.<br />
COMENTARIO<br />
- Intervenciones <strong>de</strong> <strong>la</strong> maestra: guiar <strong>la</strong> conversación, pedir razones, preguntar...<br />
- En esta secuencia los niños en<strong>la</strong>zan el concepto <strong>de</strong> tiempo con los números: diferente edad<br />
y diferente año <strong>de</strong> nacimiento, mayor edad y menor año <strong>de</strong> nacimiento...<br />
- Comparan diferentes modos <strong>de</strong> medir el tiempo: día, mes, año.<br />
LONGITUD (Educ. Infantil-5 años) (Registro)<br />
Anteriormente habíamos trabajado <strong>la</strong> longitud y este día <strong>la</strong> maestra ha realizado estas dos<br />
preguntas:<br />
• ¿Cuánto medirá <strong>de</strong> <strong>la</strong>rgo nuestra c<strong>la</strong>se?<br />
• ¿Qué instrumento utilizaremos para medir?<br />
Todos: ¡<strong>La</strong> <strong>medida</strong>!<br />
Maestra: ¿Qué <strong>medida</strong>?<br />
Todos: Gran<strong>de</strong>, gran<strong>de</strong>, que llegue hasta aquí.<br />
Miren: Con un metro (cinta métrica).<br />
Maestra: ¿Con algo más?<br />
Todos: Con una reg<strong>la</strong> gran<strong>de</strong>.<br />
Maestra: Y si no tuvierais ningún instrumento para medir, ¿cómo lo haríais utilizando<br />
vuestro cuerpo?<br />
Aitor: Con <strong>la</strong> mano.<br />
Maestra: ¿Cómo?<br />
Todos: Contando.<br />
Uxue: Así, poniendo una mano <strong>de</strong>trás <strong>de</strong> <strong>la</strong> otra.<br />
Miren: (Se tumba en el suelo) Si no, así, moviendo el cuerpo a lo <strong>la</strong>rgo.<br />
Miren: Y si no así, poniendo un pie <strong>de</strong><strong>la</strong>nte <strong>de</strong>l otro.<br />
Uxue: ¡¡No!!<br />
Maestra: ¿No puedo cambiar <strong>la</strong> <strong>medida</strong> cada vez? A veces utilizando <strong>la</strong> mano abierta,<br />
otras <strong>la</strong> mano cerrada...<br />
Todos: ¡¡¡No!!!<br />
María: <strong>La</strong> <strong>medida</strong> siempre tiene que ser <strong>la</strong> misma.<br />
Miren se pone a medir <strong>la</strong> c<strong>la</strong>se con sus pies y dice que mi<strong>de</strong> 20 veces sus pies. <strong>La</strong><br />
maestra hace lo mismo con los suyos y les pregunta si medirá más o menos.<br />
Todos: Menos. (Quieren <strong>de</strong>cir que <strong>la</strong> maestra tendrá que utilizar menos veces su pie).<br />
<strong>La</strong> maestra lo comprueba: 17 veces y un poco más. Sin embargo Miren necesita 20<br />
veces sus pies.<br />
Maestra: Pero, ¿es <strong>la</strong> misma distancia?<br />
Todos: Sí.<br />
Maestra: Si <strong>la</strong> distancia es <strong>la</strong> misma, ¿qué utilizaremos para que <strong>la</strong> <strong>medida</strong> sea <strong>la</strong> misma?<br />
16<br />
SIGMA Nº 23 • zk. 23 SIGMA
Ni handia, zu txikia, gu luzea, zuek motzak, <strong>de</strong>nok ge<strong>la</strong>n zehatzak<br />
Manoli Alonso y otros<br />
Manex: Urteak dira!<br />
Irakaslea: Eta marratxoaren ondoan dau<strong>de</strong>nak?<br />
Manex: Bat izango da urtea, bestea jaiotze-eguna eta bestea ez dakit.<br />
Bukatzeko datu bakoitza zer <strong>de</strong>n esan diet.<br />
KOMENTARIOAK<br />
Jarduera honekin, haurrek <strong>de</strong>nbora kontzeptu batzuk zenbakiekin uztartzea lortu nahi da.<br />
Esko<strong>la</strong>n erabiltzen <strong>de</strong>n testu batean, ikasleek zenbaki batzuen esanahia aztertzen dute. Materia<strong>la</strong><br />
mota hau erabiltzen dutenean, zenbakiak gizartean duten erabilpenaz ikasten dute haurrek.<br />
Bitartean zenbait aurkikuntza egin dituzte: adin <strong>de</strong>sberdinekoek jaiotza urte <strong>de</strong>sberdina dute,<br />
adin handiagoa duenak jaiotza urte txikiagoa...<br />
Irakaslearen eskuhartzea:gal<strong>de</strong>rak egin, ikasleek hipotesiaren bat egin <strong>de</strong>zaten; datuak al<strong>de</strong>ratzen<br />
<strong>la</strong>gundu.<br />
LUZERA (HH- 5 urte) (Erregistroa)<br />
Aurreko saioetan luzeraren neurria <strong>la</strong>nduta genuen, egun honetan an<strong>de</strong>reñoak gal<strong>de</strong>ra hau<br />
bota die:<br />
An<strong>de</strong>reño: Zenbat neurtuko du luzeran ge<strong>la</strong> honek? Zer erabili <strong>de</strong>zakegu neurtzeko.<br />
Haurra: Neurria!<br />
An<strong>de</strong>reñoa: Zer neurri?<br />
Miren: Metro batekin.<br />
An<strong>de</strong>reñoa: Zerbait gehiago?<br />
María: Neurriak beti berdina izaro behar du.<br />
Mirenek ge<strong>la</strong> neurtzen du: 20 aldiz beroanka. An<strong>de</strong>reñoak gal<strong>de</strong>tzen die ea bere hankarekin<br />
zenbat aldiz neurtuko duen, gehiago edo gutxiago.<br />
Haurra: Errege<strong>la</strong> handia.<br />
An<strong>de</strong>reñoa: Ge<strong>la</strong>n neurtzeko tresnarik ez balego, ¿zuen gorputzarekin no<strong>la</strong> neurtuko<br />
zenukete?<br />
Aitor: Eskuarekin.<br />
An<strong>de</strong>reñoa: No<strong>la</strong>?<br />
Haurra: Zenbatzen.<br />
Uxue: Hone<strong>la</strong> (Hanka bat, bestearen jarraian jarrita).<br />
Miren: Beste<strong>la</strong> hone<strong>la</strong> (Etzanda lurrean).<br />
Uxue: Ez!<br />
Maria: Neurria beti berdina izan behar du.<br />
Mirenek neurtzen du ge<strong>la</strong>: 20 aldiz bere hanka. An<strong>de</strong>reñoak gal<strong>de</strong>tzen die ea bere<br />
hankarekin zenbat aldiz neurtuko duen, gehiago edo gutxiago.<br />
Haurrak: Gutxiago (An<strong>de</strong>reñoren hankarekin neurtuta aldi gutxiagotan erabili behar <strong>de</strong><strong>la</strong>).<br />
An<strong>de</strong>reñoak konprobatu egiten du: 17 aldiz eta pixka bat. Mirenek berriz 20.<br />
An<strong>de</strong>reñoa: Distantzia berdina da?<br />
Haurrak: Bai.<br />
An<strong>de</strong>reñoa: Distantzia berdina bada, zer erabiliko dugu neurria berdina izateko?<br />
Noviembre 2003 • 2003ko Azaroa 17
<strong>La</strong> Jota <strong>de</strong> <strong>la</strong> Medida, no creas que lo <strong>la</strong>mento ...<br />
Manoli Alonso y otros<br />
Miren: Los mismos zapatos, <strong>la</strong> misma <strong>medida</strong> o el metro.<br />
COMENTARIO<br />
Tienen interiorizado el concepto <strong>de</strong> longitud. Para medir, saben que tienen que tener una<br />
<strong>medida</strong> referencial y que <strong>la</strong> unidad <strong>de</strong> <strong>medida</strong> tiene que ser <strong>la</strong> misma y a po<strong>de</strong>r ser convencional:<br />
m, Km,...<br />
MIDIENDO EL AULA (Educ. Primaria-1º curso) (Registro)<br />
En el au<strong>la</strong> están trabajando en grupos. En uno están dibujando; en otro están escribiendo en<br />
parejas sentados ante el or<strong>de</strong>nador, otro está en <strong>la</strong> biblioteca <strong>de</strong>l au<strong>la</strong>.<br />
Los <strong>de</strong>l último grupo están midiendo <strong>la</strong> c<strong>la</strong>se. Cada uno tiene en <strong>la</strong> mano <strong>la</strong> cinta métrica que<br />
ha traído <strong>de</strong> casa. En este momento están midiendo <strong>la</strong> anchura <strong>de</strong>l au<strong>la</strong>. Jone ha puesto en el<br />
suelo su cinta métrica <strong>de</strong> 2m <strong>de</strong> longitud, pero el au<strong>la</strong> es más ancha. Cuando me he acercado,<br />
me ha dicho:<br />
Jone: ...¡No llega!<br />
Maestra: ¿Por qué?<br />
Jone: ¡Mira! (Enseñando el espacio que queda más allá <strong>de</strong>l final <strong>de</strong> <strong>la</strong> cinta métrica).<br />
Maestra: ¿Qué podéis hacer?<br />
Jone: ¡No se pue<strong>de</strong>!<br />
Maestra: ¿Y si lo intentáis entre todos?<br />
Gorka coloca su metro a continuación <strong>de</strong>l anterior.<br />
Jone: Pero Lour<strong>de</strong>s, ¡mira! 2m y otra vez 1, 2, 3,...<br />
Ximon: Cogeremos el <strong>de</strong> 3m. (Lo prueban, pero no llega). Necesitaremos el <strong>de</strong> Irina.<br />
Jone: Necesitaremos un metro <strong>de</strong> 6, 7 ó 8 metros. Esto sí que es un problema matemático.<br />
Gorka: ¿Qué po<strong>de</strong>mos hacer?<br />
Ximon: El mío es "súper" <strong>la</strong>rgo.<br />
Maestra: Entonces, 2m hasta aquí y <strong>la</strong> otra cinta...<br />
Jone: ¡Ah! 2 más 1.<br />
COMENTARIO<br />
El trabajo <strong>de</strong> este grupo era el <strong>de</strong> medir <strong>la</strong> anchura <strong>de</strong> <strong>la</strong> c<strong>la</strong>se. Pensaban que lo único que<br />
tenían que hacer era poner <strong>la</strong> cinta métrica en el suelo y mirar lo que marcaba.<br />
No se les ha ocurrido poner los metros en el suelo uno a continuación <strong>de</strong> otro.<br />
Lo que intenta <strong>la</strong> maestra con su intervención es lo siguiente: que pongan los metros consecutivamente;<br />
aún así <strong>la</strong> anchura <strong>de</strong> <strong>la</strong> c<strong>la</strong>se sigue siendo mayor.<br />
El problema <strong>de</strong> los niños: <strong>La</strong> cinta métrica llega hasta 200 y al volver<strong>la</strong> a poner, o al añadir<br />
otra comienza otra vez <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el 1. En este punto comienzan a hacer estimaciones:<br />
"Necesitaremos el <strong>de</strong> Irina" "Necesitaremos un metro <strong>de</strong> 6, 7 ò 8 metros". Necesitan una cinta<br />
métrica <strong>la</strong>rga para po<strong>de</strong>r ver <strong>la</strong> serie numérica completa. No se dan cuenta <strong>de</strong> que pue<strong>de</strong>n<br />
continuar contando <strong>de</strong>s<strong>de</strong> 200 o hacer una suma. ("¡Mira! 2m y otra vez 1, 2, 3,...").<br />
<strong>La</strong> maestra podría haberles dicho como lo tenían que hacer ya que hubieran terminado antes,<br />
pero en nuestra opinión, cuando están intentando hacer algo, cuando buscan posibles soluciones<br />
a un problema, están aprendiendo <strong>de</strong> verdad.<br />
18<br />
SIGMA Nº 23 • zk. 23 SIGMA
Ni handia, zu txikia, gu luzea, zuek motzak, <strong>de</strong>nok ge<strong>la</strong>n zehatzak<br />
Manoli Alonso y otros<br />
Miren: Zapata berdinak, neurri berdina edo metroa.<br />
KOMENTARIOAK<br />
Luzeraren kontzeptuaz jabetu dira. Neurtzeko, neurri erreferentzia<strong>la</strong> izan daitezkee<strong>la</strong> argi dute.<br />
Neurriaren unitate berdina izan behar <strong>de</strong><strong>la</strong> oroitzen dira. Distantzia beti berdina da, horrez<br />
gero neurtzeko neurriak berdina izan behar du eta ahal bada neurri konbentziona<strong>la</strong>: m, km.<br />
GELA NEURTZEN (LH 1. mai<strong>la</strong>) i(Erregistroa)<br />
Ikasleak tal<strong>de</strong>ka ari dira <strong>la</strong>nean. Tal<strong>de</strong> bat marrazten ari da, beste tal<strong>de</strong> batekoak binaka jarrita<br />
or<strong>de</strong>nadorez idazten ari dira, beste tal<strong>de</strong> bat liburutegian dago eta azken tal<strong>de</strong>a ge<strong>la</strong> neurtzen<br />
ari da. Bakoitzak etxetik ekarritako zinta du eskuetan.<br />
Une honetan ge<strong>la</strong>ren zabalera neurtzen ari dira. Jonek bere 2metroko zinta lurrean jarrita<br />
dauka baina ge<strong>la</strong> askoz ere zaba<strong>la</strong>goa da. Ni inguratu naizenean hone<strong>la</strong> esan dit:<br />
Jone: ... Ez da iristen!<br />
Irakaslea: Zergatik?<br />
Jone: Begira! (zintatik areago dagoen espazioa erakusten dit)<br />
Irakasle: Zer egin <strong>de</strong>zakezue?<br />
Jone:...Ezin da!<br />
Irakasle: Eta elkarrekin saiatzen bazarete?<br />
Gorkak bere metroko zinta bestearen ondoren jarri du.<br />
Jone: Baino Lour<strong>de</strong>s, begira! 2 metro eta gero berriro 1, 2, 3,,,<br />
Ximon: 3 metrokoa hartuko dugu. (Probatu dute baina ez da iristen). Irinarena beharko<br />
dugu.<br />
Jone: 6, 7 edo 8 metrokoa beharko da. Hau da matematika problema bat!<br />
Gorka: Zer egingo dugu?<br />
Ximon: Nerea "super" luzea da.<br />
Irakasle: Orduan 2 metro honeraino eta beste zintakoa...<br />
Jone: Ah! Bi gehi bat!<br />
Gero zinta gehiago jarri dituzte lurrean, eta batuketak eginez jakin dute ge<strong>la</strong>ren zabalera 6,80<br />
metrokoa <strong>de</strong><strong>la</strong>.<br />
KOMENTARIOA<br />
Ge<strong>la</strong>ren zabalera neurtzean, ikasleen ustetan zinta metrikoa lurrean jarri, eta neurria begiratu<br />
besterik ez zuten egin behar.<br />
Ez zitzaien bururatu zinta bat bestearen jarraian jartzea edo behin baina gehiagotan lurrean jartzea.<br />
Irakaslearen eskuhartzeak eragin zuena, haurrak lurrean bi zinta metriko jarraian jartzea izan zen.<br />
Haurrek eduki zuten problema : zinta 200era iritsi eta berriro 1etik hasten ze<strong>la</strong>.<br />
Ez ziren konturatzen 200dik zenbatzen jarraitu edo gehiketa egin zezakete<strong>la</strong>. ("Begira! Berriro<br />
1,2, 3...).<br />
Une horretan estimazioak egiten hasi ziren. "Irinarena beharko dugu", "6, 7 edo 8 metrokoa<br />
beharko dugu".<br />
Zinta metriko luzeago baten beharra zuten, zenbaki seriea jarrian ikusteko.<br />
Noviembre 2003 • 2003ko Azaroa 19
<strong>La</strong> Jota <strong>de</strong> <strong>la</strong> Medida, no creas que lo <strong>la</strong>mento ...<br />
Manoli Alonso y otros<br />
Trabajando en grupo se superan los problemas en co<strong>la</strong>boración con los <strong>de</strong>más, se aportan<br />
i<strong>de</strong>as variadas.<br />
INVENTANDO PROBLEMAS (Educ. Primaria-1º curso) (Situación)<br />
Les pido que inventen y escriban un problema. Cada uno escribe el suyo.<br />
En <strong>la</strong>s siguientes sesiones cada alumno leerá su problema y lo analizaremos entre todos: si es<br />
o no un problema <strong>de</strong> matemáticas, qué tipo <strong>de</strong> problema es, si es una situación posible, si los<br />
datos son coherentes o suficientes, cómo resolverlo...<br />
El contenido <strong>de</strong> los problemas que han inventado los alumnos ha sido variado; los dos que<br />
siguen, tienen que ver con <strong>la</strong> <strong>medida</strong> <strong>de</strong>l tiempo.<br />
(De momento hemos analizado el <strong>de</strong> K<strong>la</strong>us).<br />
Problema <strong>de</strong> K<strong>la</strong>us: "¿Cuántos días tiene el calendario? Tiene 30".<br />
K<strong>la</strong>us lee su problema; por <strong>la</strong> respuesta está c<strong>la</strong>ro que quería <strong>de</strong>cir el mes.<br />
Algunos dicen que el calendario no tiene 30 dias. Les pregunto qué es lo que tiene 30.<br />
<strong>La</strong> mayoría dice que el mes.<br />
Voy pasando <strong>la</strong>s hojas <strong>de</strong>l calendario y les pregunto a los alumnos cuántos días creen<br />
ellos que tiene el calendario. Hacen estimaciones.<br />
Después he resuelto el problema en <strong>la</strong> pizarra con <strong>la</strong> ayuda <strong>de</strong> los niños.<br />
Problema <strong>de</strong> Irina: " Son <strong>la</strong>s 16 y media, y <strong>la</strong> aguja gran<strong>de</strong> se ha puesto a <strong>la</strong>s 8. ¿Qué<br />
hora es?"<br />
COMENTARIO<br />
En estos dos problemas los niños y <strong>la</strong>s niñas muestran lo que saben. Los datos que dan no son<br />
a<strong>de</strong>cuados, pero ya saben algo acerca <strong>de</strong>l tema.<br />
Al analizar problemas inventados por los alumnos, partimos <strong>de</strong> sus conocimientos previos, y<br />
así pue<strong>de</strong>n adquirir mejor nuevos conocimientos.<br />
Estas situaciones son apropiadas para hacer transformaciones al problema, y para inventar y<br />
resolver problemas <strong>de</strong>l mismo tipo.<br />
"LO QUE PUEDE EL OJO ANTE LA EVIDENCIA" ¿Todos los quinces son iguales?<br />
(Educ. Primaria-1ª curso) (Situación)<br />
En el periódico aparece <strong>la</strong> siguiente noticia: "Se ha encontrado muerta una ballena <strong>de</strong> 15<br />
metros en el puerto <strong>de</strong> Barcelona".<br />
Queremos ver cuánto son 15 metros. Cogemos varias cintas métricas (cada una <strong>de</strong> un metro)<br />
y empezamos a poner una <strong>de</strong>trás <strong>de</strong> otra <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> <strong>la</strong> c<strong>la</strong>se. Enseguida vemos que <strong>la</strong> c<strong>la</strong>se se<br />
nos queda pequeña y salimos al pasillo.<br />
Comienzan otra vez a poner <strong>la</strong>s cintas métricas en el suelo, una <strong>de</strong>trás <strong>de</strong> otra, mientras tanto<br />
otros niños van contando cuántas cintas ponen. Cuando se les terminan todas <strong>la</strong>s cintas van a<br />
c<strong>la</strong>se a coger más (tenemos unas 25). Ponen hasta 15 (ya saben que cada una mi<strong>de</strong> un metro)<br />
y vemos que 15 metros es casi, casi <strong>la</strong> longitud <strong>de</strong>l pasillo. Ése es el tamaño <strong>de</strong> <strong>la</strong> ballena.<br />
En el tercer trimestre <strong>de</strong>l curso vamos al Acuarium <strong>de</strong> San Sebastián. En el vestíbulo vemos el<br />
esqueleto <strong>de</strong> una ballena y <strong>la</strong> monitora nos dice que mi<strong>de</strong> más o menos 15 metros.<br />
20<br />
SIGMA Nº 23 • zk. 23 SIGMA
Ni handia, zu txikia, gu luzea, zuek motzak, <strong>de</strong>nok ge<strong>la</strong>n zehatzak<br />
Manoli Alonso y otros<br />
Irakasleak ikasleei esaten ba die no<strong>la</strong> neurtu behar <strong>de</strong>n, lehenago bukatzen dute eginkizuna,<br />
baina horre<strong>la</strong> ikasleek ez dute aukerarik edukiko problema ebazteko moduak bi<strong>la</strong>tzen saiatzeko.<br />
PROBLEMAK ASMATZEN<br />
(LH 1. mai<strong>la</strong>) (Egoera)<br />
Matematika problema bat asmatzea eta idaztea eskatu diet ikasleei. Bakoitzak berea paper<br />
batean idatzi du.<br />
Hurrengo saioetan bakoitzak bere problema irakurriko du, eta aldiro, <strong>de</strong>nen artean aztertuko<br />
dugu: ea matematika problema <strong>de</strong>n, ea benetan egoera hori gerta daitekeen, ematen dituen<br />
datuak koherenteak eta nahikoak diren, no<strong>la</strong> ebazten <strong>de</strong>n...<br />
Ikasleek asmatu dituzten problemen edukia ugaria izan da; ondorengo bi hauek <strong>de</strong>nboraren<br />
neurriaz dira.<br />
(Oraingoz K<strong>la</strong>usena aztertu dugu).<br />
K<strong>la</strong>usen problema: "Zenbat egun ditu egutegiak? 30 ditu."<br />
K<strong>la</strong>usek bere problema irakurtzen du; erantzunarengatik garbi dago hi<strong>la</strong>betea esan<br />
nahi zue<strong>la</strong>..<br />
Batzuk konturatu dira egutegiak ez ditue<strong>la</strong> 30 egun. Gal<strong>de</strong>tu diet ea zer <strong>de</strong>n 30<br />
dituena. Hi<strong>la</strong>betea <strong>de</strong><strong>la</strong> esan dute gehienek.<br />
Egutegiko orriak pasatuz, haurrei gal<strong>de</strong>tu diet ea haien ustetan zenbat egun edukiko<br />
dituen egutegiak. Estimazioak egin dituzte.<br />
Ondoren arbelean problema ebatzi dut ikasleen <strong>la</strong>guntzarekin.<br />
Irinaren problema: "16 eta erdiak dira eta orratza handia 8retan jarri da. ¿Zer ordu da?"<br />
KOMENTARIOA<br />
Bi problema hauetan, haurrek dakitena azaltzen dute. Ematen dituzten datuak ez dira egokiak,<br />
baina zerbait badakite.<br />
Ikasleek asmatutako problemak aztertzean, haien ezagupenetatik abiatzen gara, eta horre<strong>la</strong><br />
hobeto ikasi <strong>de</strong>zakete.<br />
Egoera hauek aproposak izan daitezke problemari aldaketak egiteko, antzeko beste problema<br />
batzuk asmatu eta ebazteko...<br />
BAIEZTATU ONDOREN, GURE BEGIRADAZ FIDATU? 15 guztiak berdinak al dira?<br />
(LH 1. mai<strong>la</strong>) (Egoera)<br />
Egunkarian albiste hau agertzen da: "Bartzelonako portuan 15 metroko bale bat agertu da hilik".<br />
Jakin nahi dugu zenbat <strong>de</strong>n 15 metro. Zinta metriko batzuk hartzen ditugu eta hasten gara 15<br />
metro hauek ge<strong>la</strong>ren barruan neurtzen baina ge<strong>la</strong> txikia gelditzen zaigu<strong>la</strong> konturatzen gara<br />
bereha<strong>la</strong> eta zintak hartu eta korridorera ateratzen gara.<br />
Zinta metrikoak bata bestearen atzean jartzen ditugu lurrean eta bitartean haur batzuk badoaz<br />
kontatzen zenbat zinta jartzen ari garen. Bukatzen zaizkigunean guztiak ge<strong>la</strong>ra goaz gehiago<br />
hartzera (25 inguru daukagu ge<strong>la</strong>n). Jartzen ditugu 15 arte eta ikusten dugu 15 metro ia ia<br />
beheko korridorearen luzera <strong>de</strong><strong>la</strong>. Hori da balearen tamaina.<br />
Hirugarren hiru hi<strong>la</strong>betean Donostiako Akuariumera joan ginen. Sarreran bale baten eskeletoa<br />
dago eta hango monitoreak esan zigun gutxi gora behera 15 metro luzera zue<strong>la</strong>.<br />
Noviembre 2003 • 2003ko Azaroa 21
<strong>La</strong> Jota <strong>de</strong> <strong>la</strong> Medida, no creas que lo <strong>la</strong>mento ...<br />
Manoli Alonso y otros<br />
Todos dicen que no, que no es posible, que nuestra ballena medía 15 metros y era mucho<br />
mayor que ésta. Yo me quedo cal<strong>la</strong>da pero pienso lo mismo: nuestros 15 metros y los <strong>de</strong>l<br />
Acuarium son diferentes.<br />
P<strong>la</strong>nificación:<br />
COMENTARIO<br />
El punto <strong>de</strong> partida es el interés suscitado por <strong>la</strong> lectura <strong>de</strong> <strong>la</strong> noticia. Ho<strong>de</strong>i trajo esta noticia<br />
porque estábamos trabajando el tema <strong>de</strong> los animales, concretamente su grupo se ocupaba <strong>de</strong><br />
los <strong>de</strong>lfines.<br />
• Uso <strong>de</strong> materiales reales (periódico). Facilita el conocimiento <strong>de</strong> <strong>la</strong> realidad y el interés<br />
por <strong>la</strong> misma.<br />
• Re<strong>la</strong>ciones que establecen los niños entre los distintos conocimientos: red conceptual<br />
cada vez más amplia. El profesor ayuda a re<strong>la</strong>cionar estos conocimientos (globalización,<br />
"pasa <strong>de</strong> un área a otra porque se necesitan ciertos contenidos"). Saben<br />
que 15 m es más que <strong>la</strong> longitud <strong>de</strong> <strong>la</strong> c<strong>la</strong>se (en otra ocasión se había medido para<br />
hacernos una i<strong>de</strong>a <strong>de</strong>l tamaño <strong>de</strong>l Gernika <strong>de</strong> Picasso) y por lo tanto inmediatamente<br />
salen al pasillo.<br />
Materiales:<br />
• Periódico (material <strong>de</strong> uso habitual y disponible en c<strong>la</strong>se), cintas métricas (muchas<br />
porque se utilizan <strong>de</strong> verdad muy a menudo para medir en muy diversas situaciones).<br />
Estrategias utilizadas:<br />
• Los niños ponen a prueba sus estrategias. Buscan soluciones por sí mismos. Su primera<br />
aproximación a <strong>la</strong> <strong>medida</strong> es estimativa (saben que 15 m es más que <strong>la</strong> longitud<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> pared <strong>de</strong>l au<strong>la</strong>).<br />
• Manipu<strong>la</strong>ción para comprobar que sus estimaciones son correctas. Necesitaron<br />
colocar todas <strong>la</strong>s cintas una tras otra. ¿Necesitan "reconstruir" el objeto? ¿Pier<strong>de</strong>n <strong>la</strong><br />
sensación <strong>de</strong> totalidad <strong>de</strong>l objeto si no ven toda <strong>la</strong> longitud?<br />
Estas estrategias no son “aprendidas”. El material pue<strong>de</strong> haber marcado <strong>la</strong> estrategia<br />
(si sólo hubiera un metro, hubieran hecho otro tipo <strong>de</strong> medición, hubieran<br />
buscado otro camino).<br />
"¿QUÉ PESA MÁS, UN KILO DE PAJA O...?" (Educ. Primaria: 1º curso) (Situación)<br />
En el proyecto sobre <strong>la</strong>s p<strong>la</strong>ntas estamos leyendo textos sobre diferentes árboles. Cada texto se<br />
encuentra en euskara y en castel<strong>la</strong>no.<br />
Texto a partir <strong>de</strong>l que surge <strong>la</strong> discusión: "<strong>La</strong> pa<strong>la</strong>, <strong>la</strong>rga o corta, "herramienta" típica <strong>de</strong> nuestros<br />
frontones, se fabrican con ma<strong>de</strong>ra <strong>de</strong> haya exclusivamente <strong>de</strong>bido a sus especiales características<br />
<strong>de</strong> <strong>de</strong>nsidad y dureza".<br />
Alba comenta que no entien<strong>de</strong> qué significa <strong>de</strong>nsidad.<br />
Para intentar acercarme a este concepto les hago <strong>la</strong> siguiente pregunta: "¿Qué pesa más un kilo<br />
<strong>de</strong> paja o un kilo <strong>de</strong> hierro?"<br />
22<br />
SIGMA Nº 23 • zk. 23 SIGMA
Ni handia, zu txikia, gu luzea, zuek motzak, <strong>de</strong>nok ge<strong>la</strong>n zehatzak<br />
Manoli Alonso y otros<br />
Denok esaten zuten ezetz, ez ze<strong>la</strong> posible, gure baleak 15 metro luzera zue<strong>la</strong> eta hori baino<br />
askoz handiagoa ze<strong>la</strong>. Ni isilik geratu nintzen baina gauza bera pentsatu nuen: gure 15 metro<br />
eta Akuariumenak <strong>de</strong>sberdinak zire<strong>la</strong>.<br />
P<strong>la</strong>nifikazioa:<br />
KOMENTARIOA<br />
Abiapuntua, berriaren irakurketak sortutako interesa izan da. Ho<strong>de</strong>ik ekarri zuen berria, ge<strong>la</strong>n<br />
animalien gaia <strong>la</strong>ntzen ari gine<strong>la</strong>ko, eta bere tal<strong>de</strong>ari izur<strong>de</strong>ak zegozkion, hain zuzen.<br />
• Erabilera sozialeko materialen erabilera (egunkaria). Errealitatearen ezagutza errazten<br />
du, baita horrekiko interesa ere.<br />
• Haurrek eraikitzen dituzten ezagupenen arteko loturak: gero eta kontzeptu-sarea zaba<strong>la</strong>goa.<br />
Irakasleak <strong>la</strong>guntzen du ezagupen horiek lotzen (globalizazioa, arlo batetik bestera<br />
pasatzen da zenbait eduki beharrezkoak dire<strong>la</strong>ko). Badakite 15 metro, ge<strong>la</strong>ko luzera<br />
baino gehiago dire<strong>la</strong> (aurreko jarduera batean neurtu behar izan zuten Picassoren<br />
Gernika koadroaren dimentsioak) eta horregatik pasilora irteten dira bereha<strong>la</strong>.<br />
Materia<strong>la</strong>k:<br />
• Egunkaria (ohiko materia<strong>la</strong>, eta ge<strong>la</strong>n dagoena), neurketa-zintak (asko, egoera <strong>de</strong>sberdinetan<br />
neurtzeko, askotan erabiltzen dire<strong>la</strong>ko).<br />
Erabilitako estrategiak:<br />
• Haurrek beren estrategiak probatzen dituzte. Erantzunak bi<strong>la</strong>tzen dituzte beren al<strong>de</strong>tik.<br />
Neurriari beren lehenengo hurbilpena, estimazioa da (badakite 15 metro ge<strong>la</strong>ko<br />
pareta baino gehiago <strong>de</strong><strong>la</strong>).<br />
• Manipu<strong>la</strong>zioa, egindako estimazioak onak dire<strong>la</strong> konprobatzeko. Zinta guztiak, bata<br />
bestearen atzetik jarri behar izan zituzten. (Zergatik? Galtzen dute benetako neurria?<br />
Ikusi behar dute luzera osoa zintarekin, objektua "berreraikitzeko?).<br />
Ez zaie bururatzen neurtzea bakarrik zinta metriko bat erabiliz (Zergatik? Galtzen dute benetako<br />
neurria? Ikusi behar dute luzera osoa zintarekin?...). Zinta bakar bat izatekotan erabilitako<br />
estrategia zein izango zen?<br />
Zein eragina duen espazioaren pertzepzio intuitiboak neurketaren estimazioan?<br />
Estrategia hauek ez dire “ikasiak”. Materia<strong>la</strong>k estrategia baldintzatu <strong>de</strong>zake<br />
(neurtzeko zinta bakar bat egon izan balitz, beste bi<strong>de</strong> bat bi<strong>la</strong>tuko lukete).<br />
"ZERK PISATZEN DU GEHIAGO, LASTO KILO BATEK EDO...?" (LH 1. mai<strong>la</strong>) (Egoera)<br />
<strong>La</strong>ndareen proiektuan testu <strong>de</strong>sberdinak irakurtzen ari gara zuhaitzei buruz. Testu bakoitza<br />
euskaraz nahiz gazteleraz dago.<br />
Eztabaida sortzen da zati honetatik: "Pa<strong>la</strong>, nahiz luze nahiz motz, gure pilota-lekuetako tresna<br />
jatorra, pago-zurez egin ohi da bakarrik, hauxe baita trinkotasun eta gogortasunez egokiena<br />
horretarako"<br />
Albak <strong>de</strong>ntsitatea zer <strong>de</strong>n ez dakie<strong>la</strong> esaten du.<br />
Kontzeptura hurbiltzen saiatzeko, gal<strong>de</strong>ra hau egiten diet: "Zerk du pisu gehiago kilo bat <strong>la</strong>sto,<br />
edo kilo bat burdin?"<br />
Noviembre 2003 • 2003ko Azaroa 23
<strong>La</strong> Jota <strong>de</strong> <strong>la</strong> Medida, no creas que lo <strong>la</strong>mento ...<br />
Manoli Alonso y otros<br />
Inmediatamente <strong>la</strong> mayoría respon<strong>de</strong> que el hierro. Otros se quedan cal<strong>la</strong>dos. Pero Richard<br />
dice que a él le parece que pesan igual porque he dicho un kilo, aunque el hierro siempre<br />
pesa más que <strong>la</strong> paja. Que un kilo siempre es un kilo, aunque el hierro pesa mucho.<br />
Richard se encuentra muy cercano al concepto <strong>de</strong> "conservación <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>medida</strong>" pero todavía<br />
tiene sus dudas provocadas por <strong>la</strong> percepción intuitiva.<br />
Vuelvo a preguntar: "¿Cuánto pue<strong>de</strong> ocupar un kilo <strong>de</strong> hierro?"<br />
Rápidamente respon<strong>de</strong>n que poco. Ho<strong>de</strong>i dice que en <strong>la</strong>s pelícu<strong>la</strong>s aparecen lingotes <strong>de</strong> oro<br />
que pesa un kilo y es un rectángulo pequeño y el hierro sería parecido.<br />
Me dirijo a Asier (porque vive en un caserío): "¿Has cogido alguna vez un fardo <strong>de</strong> paja?"<br />
Me dice que él no pero su madre sí y que aunque son muy gran<strong>de</strong>s no pesan <strong>de</strong>masiado.<br />
Poco a poco llegamos a <strong>la</strong> conclusión <strong>de</strong> que un kilo <strong>de</strong> diferentes materiales siempre pesan<br />
un kilo pero que su tamaño es el que es diferente.<br />
Ahora me pregunta Li<strong>de</strong>: "Y el agua y el hielo ¿qué ocupa más un kilo <strong>de</strong> agua o un kilo <strong>de</strong> hielo?"<br />
Deci<strong>de</strong>n que tenemos que probar echando agua en una botel<strong>la</strong> y poniendo una marca hasta<br />
don<strong>de</strong> llega; <strong>de</strong>spués metemos al conge<strong>la</strong>dor y vemos lo que pasa.<br />
Seguiremos en otra ocasión...<br />
COMENTARIO<br />
A los aspectos <strong>de</strong> análisis especificados en <strong>la</strong> anterior situación ("Lo que pue<strong>de</strong> el ojo ante <strong>la</strong><br />
evi<strong>de</strong>ncia") añadimos:<br />
Hipótesis <strong>de</strong> <strong>la</strong>s niñas y los niños y <strong>de</strong> ciertos adultos:<br />
Son parecidas, aunque los adultos tienen mayor conocimiento <strong>de</strong>l mundo (y mayor<br />
autocensura), por lo que tienen más recursos para llegar a conclusiones cercanas a lo<br />
real, o para disfrazar mejor su ignorancia sobre el tema.<br />
Intervenciones <strong>de</strong> <strong>la</strong> profesora:<br />
• Deja abierta <strong>la</strong> situación para po<strong>de</strong>r continuar en otra ocasión porque consi<strong>de</strong>ra muy<br />
importante el tema. Ningún tema se empieza y se termina en un momento concreto.<br />
• Interviene para provocar <strong>de</strong>bate y para hacer que participen niños que pue<strong>de</strong>n aportar<br />
una vivencia personal (Asier).<br />
• Intenta llegar al conocimiento científico: "llegamos a <strong>la</strong> conclusión..."<br />
AVENTURAS EN EL AULA<br />
(Educ. Infantil-3 años) (Registro)<br />
5 niños y niñas estaban discutiendo sentados alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> una mesa. Tema: quién tiene el<br />
lápiz más <strong>la</strong>rgo.<br />
Adriana: (Se da cuenta <strong>de</strong> que Janire tiene el más gran<strong>de</strong>) Pues mi abue<strong>la</strong> es más<br />
gran<strong>de</strong> que <strong>la</strong> tuya.<br />
Janire: ¡No es más gran<strong>de</strong>, es más gorda!<br />
Adriana: Sí, pero también es más gran<strong>de</strong> porque llega a <strong>la</strong> segunda balda.<br />
Janire: Pues mi abue<strong>la</strong> tiene más años que tú.<br />
Adriana: ¡Pero yo soy más alta que tú! ¡A que sí, Julen!<br />
Este último no siguió <strong>la</strong> conversación pero le dijo que sí.<br />
24<br />
SIGMA Nº 23 • zk. 23 SIGMA
Ni handia, zu txikia, gu luzea, zuek motzak, <strong>de</strong>nok ge<strong>la</strong>n zehatzak<br />
Manoli Alonso y otros<br />
Gehiengo batek bereha<strong>la</strong> erantzuten du burdinak gehiago pisatzen due<strong>la</strong>. Zenbait haur isilik<br />
geratzen dira. Richar<strong>de</strong>k esaten du bere ustez berdin pisatzen dute<strong>la</strong>, "kilo bat" esan duda<strong>la</strong>ko,<br />
nahiz eta burdinak gehiago pisatu beti. Baina kilo bat, beti kilo bat <strong>de</strong><strong>la</strong>, nahiz eta burdinak<br />
pisu handia izan.<br />
Richard, "neurriaren kontserbazioa"-tik gertu dago, baina intuizio - pertzepzioak za<strong>la</strong>ntzak<br />
probokatzen dizkio.<br />
Berriro gal<strong>de</strong>tzen dut: "Zenbat okupatzen du burdin kilo batek?"<br />
Oso azkar erantzuten dute "Gutxi". Ho<strong>de</strong>ik adierazten du pelikuletan urrezko lingoteak agertzen<br />
dire<strong>la</strong> eta errektangelu txiki bat dire<strong>la</strong>, eta burdinazkoak antzekoak izango liratekee<strong>la</strong>.<br />
Asier baserri batean bizi da, eta horregatik gal<strong>de</strong>tzen diot: "Noizbait hartu al duzu <strong>la</strong>sto-fardo<br />
bat?" Berak ezetz, baina bere amak baietz erantzuten du, eta nahiz eta handiak izan ez dute<strong>la</strong><br />
gehiegi pisatzen.<br />
Poliki-poliki ondorio batera iristen gara: material ezberdinen kilo batek beti kilo bat pisatzen<br />
du; baina tamaina <strong>de</strong>sberdina izan daiteke.<br />
Orain Li<strong>de</strong>k gal<strong>de</strong>tzen du: "Ura eta je<strong>la</strong>ren kasuan, zerk okupatzen du gehiago, je<strong>la</strong> kilo batek<br />
edo ur kilo batek?"<br />
Probatzea erabakitzen dute; horretarako, boti<strong>la</strong> batean ura sartuko dugu, ura iristen <strong>de</strong>n altueran<br />
marra bat eginez; gero izozgailuan sartu eta ikusiko dugu...<br />
Hurrengo batean jarraituko dugu.<br />
Haurren eta helduon hipotesiak:<br />
KOMENTARIOA<br />
Antzekoak izaten dira, baina helduok munduaren ezagutza handiagoa badugu (gure<br />
buruarekiko zentsura handiagoa ere bai), horregatik ondorio errea<strong>la</strong>goetara iristeko<br />
errekurtso gehiago ditugu, edo gaiari buruzko ezjakina ezkutatzeko.<br />
Irakaslearen interbentzioak:<br />
• Egoera irekita uzten du beste momentu batean jarraitzeko, gaia oso garrantzitsua<br />
<strong>de</strong><strong>la</strong>ko bere ustez. Gaiak ez dira momentu jakin batean hasten edo bukatzen.<br />
• Eztabaida probokatzen du, eta bizipen bereziak dituzten haurren partai<strong>de</strong>tza bultzatzen<br />
du (Asier).<br />
• Ezagutza "zientifikora" iristen saiatzen da: "Poliki-poliki ondorio batera iristen gara..."<br />
GELAKO ABENTURAK: GERTAERAK, GERTAKIZUNAK... (HH-3 urte) (Erregistroa)<br />
Mahai baten inguruan eserita bost haur eztabaidatzen ari ziren. Gaia: Nork dauka arkatzik<br />
handiena.<br />
Adriana (konturatzen da Janirek handiena due<strong>la</strong>): Ba nire amona zurea baino handiagoa<br />
da.<br />
Janire: ez da handiagoa, lodiagoa da!<br />
Adrianak: Bai, baina bigarren apaleraino iristen <strong>de</strong><strong>la</strong>ko ere da handiagoa.<br />
Janire: Ba nire amonak zuk baino urte gehiago ditu.<br />
Adriana: Baina ni, zu baino altuagoa naiz. Baietz, Julen!<br />
Noviembre 2003 • 2003ko Azaroa 25
<strong>La</strong> Jota <strong>de</strong> <strong>la</strong> Medida, no creas que lo <strong>la</strong>mento ...<br />
Manoli Alonso y otros<br />
Julen: Sí Janire. ¿No ves que Adriana tiene el pelo hacia arriba?<br />
Janire: También es más alta que tú.<br />
A Julen esto no le ha gustado nada y se pone <strong>de</strong> pie al <strong>la</strong>do <strong>de</strong> Adriana y eso que con<br />
ésta es muy diplomático.<br />
Julen: Mira, Janire, si le bajo el pelo yo soy mucho más gran<strong>de</strong> (a <strong>de</strong>cir verdad los tres<br />
son más o menos igual <strong>de</strong> altos). <strong>La</strong> que <strong>de</strong> verdad es más pequeña es Mª Carmen, ¿a<br />
qué sí Jonathan?<br />
Jonathan: C<strong>la</strong>ro que sí. A<strong>de</strong>más Mª Carmen casi no come nada, sólo un poco <strong>de</strong> puré.<br />
Lo dice su padre.<br />
Adriana: (Un poco aburrida) A<strong>de</strong>más <strong>la</strong> más gran<strong>de</strong> es <strong>la</strong> maestra. ¡A que sí Manoli!<br />
Luego se sube a una sil<strong>la</strong> y dice:<br />
Adriana: Si me pongo aquí yo soy <strong>la</strong> más alta.<br />
Todos: ¡Y yo! ¡Y yo! (también subidos en una sil<strong>la</strong>).<br />
Adriana: (Un poco enfadada) Pero, ¿no os dais<br />
cuenta <strong>de</strong> que así nos quedamos todos iguales?<br />
Julen: ¡Pero más arriba!<br />
Adriana: Sí, pero yo soy más alta que Janire.<br />
COMENTARIO<br />
Proporcionar espacio a este tipo <strong>de</strong> situaciones espontáneas,<br />
nos permite p<strong>la</strong>ntear también otras situaciones<br />
significativas.<br />
En este caso nos da <strong>la</strong> posibilidad <strong>de</strong> trabajar <strong>la</strong> altura,<br />
el peso y <strong>la</strong> edad <strong>de</strong> manera convencional y al mismo<br />
tiempo los alimentos, <strong>la</strong> familia y otros.<br />
Sin embargo, hay que mencionar que esto exige <strong>de</strong>terminado ambiente en el au<strong>la</strong>, es <strong>de</strong>cir,<br />
hay que <strong>de</strong>jarles hab<strong>la</strong>r, oírles y cuidar nuestra participación.<br />
MIDIENDO CULEBRAS DE PLASTILINA (Educ. Infantil-4 años) (Registro)<br />
Una <strong>de</strong> <strong>la</strong>s situaciones típicas que solemos <strong>de</strong>sperdiciar son los momentos <strong>de</strong> <strong>la</strong> "p<strong>la</strong>stilina",<br />
esos momentos <strong>de</strong> relleno, sin contenido en general, vacíos... para pasar el tiempo.<br />
Al final <strong>de</strong>l curso, Cristian sentado al <strong>la</strong>do <strong>de</strong> Jonathan. Hacen "culebras <strong>de</strong> p<strong>la</strong>sti" o gusanos,<br />
generalmente algo con vida, es <strong>de</strong>cir, aunque nosotros nos empeñemos en <strong>de</strong>cirles que son<br />
chorizos, ellos acabarán diciendo que son culebritas o gusanos.<br />
Cristian: ¡Qué culebras más gran<strong>de</strong>s haces, Jonathan!<br />
Jonathan: Es que me ha enseñando mi padre, que <strong>la</strong>s caza en el monte alguna vez,<br />
pero sé hacer<strong>la</strong>s mayores, porque si juntamos <strong>la</strong> "p<strong>la</strong>sti" salen mayores. ¿Le pedimos a<br />
<strong>la</strong> an<strong>de</strong>reño?<br />
Cristian: An<strong>de</strong>reño, necesitamos más p<strong>la</strong>stilina para hacer gusanos más gran<strong>de</strong>s.<br />
Les digo que cojan <strong>la</strong> que ellos crean conveniente. Vienen con dos bo<strong>la</strong>s cada uno. El<br />
resto <strong>de</strong> <strong>la</strong> c<strong>la</strong>se observa con atención, pues generalmente todo lo que empiezan estos<br />
dos tiene ciertas características socializantes innatas.<br />
26<br />
SIGMA Nº 23 • zk. 23 SIGMA
Ni handia, zu txikia, gu luzea, zuek motzak, <strong>de</strong>nok ge<strong>la</strong>n zehatzak<br />
Manoli Alonso y otros<br />
(Honek ez zuen jarraitu elkarrizketa, baina baietz esan zion).<br />
Julen: Bai, Janire. Ez al duzu ikusten Adrianak gorago ditue<strong>la</strong> ileak?<br />
Janire: Julen, zu baino altuagoa ere bada.<br />
(Juleni hau ez zitzaion gustatu eta zutik jarri zen Adrianaren ondoan eta honekiko oso<br />
diplomatikoki jokatzen zuen).<br />
Julene: Begira, Janire. Ilea jaisten badiot ni askoz handiagoa naiz (egia esan hirurak<br />
dira altuera berekoak). Benetan txikia <strong>de</strong>na MªCarmen da, baina oso, oso. Baietz,<br />
Jonathan.<br />
Jonathan: Noski baietz, baina MªCarmenek ez du ezer jaten, bakarrik pure pixka bat.<br />
Bere aitak esaten du.<br />
Adriana (aspertu samar): Gainera an<strong>de</strong>reñoa da handiena. Baietz, Manoli!<br />
Adriana (aulki batera igo zen): Ni hemen jartzen<br />
banaiz altuena naiz.<br />
Besteak (hauek ere aulkira igota): Eta ni! Eta ni!<br />
Adriana (haserre samar): Baina ez al duzue ikusten<br />
horre<strong>la</strong> <strong>de</strong>nok berdin gelditzen gare<strong>la</strong>?<br />
Julene: Baino gorago!<br />
Adriana: Bai, baina ni Janire baino altuagoa naiz.<br />
KOMENTARIOA<br />
Horre<strong>la</strong>ko egoerei tokia emateak egoera oso esanguratsuak<br />
p<strong>la</strong>nteatzeko aukera ematen digu.<br />
Honek altuera, pisua eta adina era konbentzionalez<br />
<strong>la</strong>ntzeko bi<strong>de</strong>a ematen du , eta aldi berean elikagaiak,<br />
familia eta beste gai batzuk.<br />
Ha<strong>la</strong> ere, esan behar da honek ge<strong>la</strong>ko giro bat eskatzen due<strong>la</strong>, hitz egiten utzi behar zaie, entzun<br />
eta gure partehartzeak zaindu.<br />
ZIZAREAK NEURTZEN (HH 4 urte) (Erregistroa)<br />
Ikasturtearen bukaeran: Bi mutil elkarren ondoan eserita zeu<strong>de</strong>n p<strong>la</strong>stilinazko zizareak<br />
egiten.<br />
Kristian: Zein zizare handiak egiten dituzun, Jonathan!<br />
Jonathan: Nire aitak erakutsi dit, berak batzuetan mendian harrapatzen ditu, baina<br />
handiagoak egiten badakit. P<strong>la</strong>stilina gehiago elkartzen badugu handiagoak ateratzen<br />
dira. An<strong>de</strong>reñoari eskatuko diogu?<br />
Kristian: An<strong>de</strong>reño, p<strong>la</strong>stilina gehiago behar dugu zizare erraldoiak egiteko!<br />
Nik esan nien behar zutena hartzeko. Bakoitzak bi bo<strong>la</strong> hartu zuen.<br />
Gainontzeko haurrek arretaz begiratzen zieten, gehienetan bi mutil horiek hasten<br />
zutena berezko ezaugarri sozializagarriak izaten zituzte<strong>la</strong>ko.<br />
Noviembre 2003 • 2003ko Azaroa 27
<strong>La</strong> Jota <strong>de</strong> <strong>la</strong> Medida, no creas que lo <strong>la</strong>mento ...<br />
Manoli Alonso y otros<br />
Jonathan: Mira, ¿ves? Si juntamos <strong>la</strong> tuya y <strong>la</strong> mía sale otra mayor que mi<strong>de</strong>... ¡dos<br />
culebras!<br />
Iker: (Está al <strong>la</strong>do, observando): Pues si pongo <strong>la</strong> mía, ya tenemos tres culebras.<br />
Pero casualmente llegan <strong>de</strong> un extremo a otro <strong>de</strong> <strong>la</strong> mesa.<br />
Janire: ¡Pero si tenéis 1 mesa! (<strong>la</strong> <strong>medida</strong> <strong>de</strong>l <strong>la</strong>rgo <strong>de</strong> <strong>la</strong> mesa).<br />
Jonathan: (Le fastidia no haber sido el <strong>de</strong>scubridor <strong>de</strong> semejante maravil<strong>la</strong>)¡Pues c<strong>la</strong>ro,<br />
y ahora vamos a hacer entre todos (cuenta <strong>la</strong>s oril<strong>la</strong>s) 10 mesas!<br />
Están ocupando 4 mesas cuadradas <strong>de</strong> 4x 4 cada una y todas juntas forman un rectángulo<br />
<strong>de</strong> 4 por 1 metro.<br />
Todo el grupo se anima y va sumando a <strong>la</strong> culebra <strong>de</strong> Jonathan todas <strong>la</strong>s <strong>de</strong>más, hasta<br />
que dan <strong>la</strong> vuelta a todas <strong>la</strong>s mesas.<br />
Jonathan: (Que compara y contro<strong>la</strong> <strong>la</strong> situación dice) No tenemos 10 mesas (todo el<br />
bor<strong>de</strong>).<br />
Cristian: No pue<strong>de</strong> ser. ¿Cómo se cuenta esto? (a <strong>la</strong> maestra).<br />
Maestra: Mañana traeré una cinta métrica.<br />
Iker: Yo tengo muchas <strong>de</strong> "Pizza Sprint".<br />
Maestra: Pues <strong>la</strong>s traes para medir <strong>la</strong> p<strong>la</strong>stilina.<br />
Al día siguiente trajo seis; una <strong>la</strong> colocamos en el bor<strong>de</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> mesa <strong>de</strong> <strong>la</strong> maestra y con el<br />
resto fuimos dando un mitin sobre <strong>la</strong> cinta métrica por otras au<strong>la</strong>s. Y cada maestra <strong>la</strong> colocó<br />
dón<strong>de</strong> le pareció más a<strong>de</strong>cuado: en <strong>la</strong> pizarra, en una <strong>de</strong> <strong>la</strong>s mesas pequeñas, en <strong>la</strong> pared...<br />
otras se <strong>de</strong>jaron para usar arbitrariamente en cualquier lugar y situación.<br />
En nuestra c<strong>la</strong>se se cogió el hábito <strong>de</strong> ir a medir el gusano a <strong>la</strong> mesa gran<strong>de</strong> don<strong>de</strong> estaba <strong>la</strong><br />
cinta métrica. Hubo un momento en que se quedó pequeña o <strong>la</strong> culebra era <strong>de</strong>masiado<br />
gran<strong>de</strong>, tanto que sobrepasaba <strong>la</strong> <strong>medida</strong> convencional <strong>de</strong> 1 metro. En ese momento le pi<strong>de</strong>n<br />
socorro a Cristian y este soluciona <strong>la</strong> situación como pue<strong>de</strong>: al trozo que sobrepasa el metro<br />
le va c<strong>la</strong>vando <strong>la</strong> uña y calcu<strong>la</strong>ndo lo que supone que es 1 cm. Y cuenta: ciento uno (marca<br />
con <strong>la</strong> uña una pequeña distancia) ciento dos, tres, cuatro... (<strong>de</strong>ja <strong>de</strong> <strong>de</strong>cir ciento...) y cuando<br />
acaba dice: "y 45... tienes ciento cuarenta y cinco... ¡Qué pasada!"<br />
COMENTARIO<br />
En esta situación, que se produce <strong>de</strong> manera espontánea, po<strong>de</strong>mos apreciar el valor <strong>de</strong> <strong>la</strong> interacción,<br />
así como el valor que le otorga <strong>la</strong> maestra: les ofrece el tiempo que necesitan, observa<br />
<strong>la</strong> situación, respon<strong>de</strong> a sus preguntas, les proporciona el material necesario, al día siguiente<br />
les ofrece <strong>la</strong> continuación...<br />
Lo mismo se observa en <strong>la</strong>s actitu<strong>de</strong>s <strong>de</strong> los niños y niñas: Kristian valora el trabajo <strong>de</strong><br />
Jonathan y éste lo que él mismo sabe y al mismo tiempo le explica al compañero cómo lo ha<br />
sabido. Continúan interactuando y se acercan más compañeras y compañeros que van realizando<br />
sucesivas aportaciones.. Es <strong>la</strong> socialización natural <strong>de</strong>l conocimiento.<br />
Durante <strong>la</strong> segunda sesión pi<strong>de</strong>n <strong>la</strong> ayuda <strong>de</strong> Kristian, ya que saben muy bien lo que cada<br />
compañero pue<strong>de</strong> aportar y este conocimiento sí que es <strong>de</strong> verdad importante.<br />
Expresan interés por <strong>la</strong> <strong>medida</strong>: "Es mayor..." " mi<strong>de</strong>... culebras" "3 culebras" "una mesa".<br />
Cuando lo que están haciendo les resulta interesante, no necesitan motivación externa.<br />
Saben que es necesario disponer <strong>de</strong> una unidad (en este caso"culebra") y cuando es más <strong>la</strong>rgo<br />
cambian <strong>la</strong> unidad ("una mesa").<br />
28<br />
SIGMA Nº 23 • zk. 23 SIGMA
Ni handia, zu txikia, gu luzea, zuek motzak, <strong>de</strong>nok ge<strong>la</strong>n zehatzak<br />
Manoli Alonso y otros<br />
Jonathan: Ikusten? Zurea eta nirea elkartzen baditugu handiago bat ateratzen zaigu eta<br />
neurtzen du ... bi zizare.<br />
Iker (ondoan begira zegoen): Ba, nirea jartzen badut hiru ditugu...<br />
(Baina, kasualitatez, mahaiaren ertzera iritsi ziren).<br />
Janire: Baina horre<strong>la</strong> mahai 1 daukazue! (mahaiaren luzeraren neurria).<br />
Jonathan (ez zitzaion gustatu berari ez bururatzea hori): Jakina! eta orain <strong>de</strong>non artean<br />
(eta kontatu zituen elkarturik zeu<strong>de</strong>n mahaien ertzak) ... hamar mahai!<br />
<strong>La</strong>u mahai okupatzen ari ziren. Denak elkarturik <strong>la</strong>uki zuzen bat osatzen zuten. Tal<strong>de</strong><br />
osoa animatu zen eta Jonathanen zizareari beraiek egindakoak lotu zizkioten. Mahai<br />
guztiak ertzetik inguratu zituzten arte.<br />
Adrian: Orain 4 mahaiak ditugu.<br />
Jonathan (egoera kontro<strong>la</strong>tu zuen): Ez dugu 10 mahai (hau da, ertza osoa).<br />
Kristian: Ezin du izan. An<strong>de</strong>reño, no<strong>la</strong> kontatzen da hau?<br />
An<strong>de</strong>reñoa: Bihar zinta metrikoa ekarriko dut.<br />
Iker: Nik Pizza Sprint-eko asko daukat etxean.<br />
An<strong>de</strong>reñoa: Ba ekarri p<strong>la</strong>stilina neurtzeko.<br />
Hurrengo egunean 6 zinta metriko ekarri zuen eta bat an<strong>de</strong>reñoaren mahaiaren ertzean jarri<br />
genuen. Zizarea neurtzera joateko ohitura hartu zuten. Baina momentu batean txikia gelditu<br />
zitzaien, edo zizarea handiegia, metro (neurri konbentziona<strong>la</strong>) bat baino gehiago neurtzen<br />
zue<strong>la</strong>ko. Orduan Kristiani eskatu zioten <strong>la</strong>guntza eta honek irtenbi<strong>de</strong> bat bi<strong>la</strong>tu zuen: metroa<br />
gainditzen duen zatian azkaza<strong>la</strong> sartzen dio, berak kalku<strong>la</strong>tzen duen zentimetro batera. Eta<br />
zenbatzen du: ehun eta bat (marka bat egiten du), ehun eta bi, hiru, <strong>la</strong>u... (ehun esateari uzten<br />
dio). Bukatzen duenean esaten du: eta berrogeita bost... ehun eta berrogeita bost daukazu...<br />
Zer pasada!!<br />
KOMENTARIOA<br />
Ki<strong>de</strong>en arteko elkareraginak ikasketan duen balioa somatu daiteke egoera honetan, eta baita ere,<br />
irakasleak horri ematen dion garrantzia: haurrei behar izan duten <strong>de</strong>nbora eskainiaz, egoera<br />
behatuz haurren eskaerei erantzunez, behar <strong>de</strong>n materia<strong>la</strong> ekarriaz, hurrengo egunean saio horri<br />
jarraipena emanez...<br />
Haurren jokaeran zera azaltzen da: Kristianek Jonathanen <strong>la</strong>na baloratzen du eta honek berak<br />
dakiena eta no<strong>la</strong> jakin duen azaltzen dio. Elkarrekin jarraitzen dute eta besteak inguratzen<br />
doaz eta bakoitzak bere ekarpena egiten du: ezagupenen sozializazio natura<strong>la</strong>.<br />
Bigarren saioan Kristianen <strong>la</strong>guntza eskatzen dute, haurrek ongi baitakite ki<strong>de</strong> bakoitzak zer<br />
ekar <strong>de</strong>zaken eta ezagupen hori benetan interesgarria da.<br />
Haurrek interesa azaltzen dute neurketan: Handiagoa da... neurtzen du 2 zizare, 3 zizare,<br />
mahai bat... Egiten ari direna interesgarria <strong>de</strong>nean ez dute kanpoko motibaziorik behar.<br />
Badakite neurri unitate bat behar <strong>de</strong><strong>la</strong> (Kasu honetan: zizarea) eta luzeagoa <strong>de</strong>nean unitatea<br />
aldatzen dute (3 zizare=mahai bat).<br />
Noviembre 2003 • 2003ko Azaroa 29
<strong>La</strong> Jota <strong>de</strong> <strong>la</strong> Medida, no creas que lo <strong>la</strong>mento ...<br />
Manoli Alonso y otros<br />
Si <strong>de</strong>s<strong>de</strong> muy pequeños les permitimos utilizar instrumentos <strong>de</strong> <strong>medida</strong>, mientras los están utilizando,<br />
están aprendiendo sobre <strong>la</strong> <strong>medida</strong>.<br />
En este caso utilizan el metro y Kristian es capaz, poco más o menos, <strong>de</strong> hacer <strong>la</strong> estimación<br />
<strong>de</strong> 1 cm.<br />
TEMPERATURA (Educ. Infantil-5 años) (Registro)<br />
Aprovechando que ha nevado, con el termómetro, hemos estado viendo cuantos grados hay<br />
fuera y <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> <strong>la</strong> c<strong>la</strong>se.<br />
Maestra: Dentro hace 12ºC y fuera 2ºC (lo escribe en <strong>la</strong> pizarra).<br />
Zuriñe: ¿Y cuando pone 0 y una rayita <strong>de</strong>bajo (º)?<br />
Maestra: (Escribe en <strong>la</strong> pizarra 12º ) Así se escribe para saber en qué lugar está. 0ºC<br />
mi<strong>de</strong>n los grados, si hace calor o frío y º quiere <strong>de</strong>cir en qué lugar está situado.<br />
Maestra: (Escribe en <strong>la</strong> pizarra) 12º, 12 cm, 12m, 12km. ¿Son <strong>la</strong> misma cosa? ¿Quieren<br />
<strong>de</strong>cir lo mismo?<br />
Todos: ¡¡¡No!!! 12º es para medir el calor o el frío y 12 cm es para medir <strong>la</strong> <strong>la</strong>rgura.<br />
Maestra: 12 cm y 12 m ¿es lo mismo?<br />
Todos: ¡¡¡No!!!<br />
Maestra: ¿Cuál es mayor?<br />
Unai: 12 m.<br />
Maestra: ¿Por qué?<br />
Unai no sabe respon<strong>de</strong>r, los <strong>de</strong>más tampoco. <strong>La</strong> maestra coge <strong>la</strong> cinta métrica y les enseña<br />
cuanto mi<strong>de</strong> 1m y 12 cm. Luego con <strong>la</strong> cinta métrica en <strong>la</strong> mano explica que 12 m es mayor<br />
que 12 cm, porque 12cm no llega a un metro y 12 m es 12 veces un metro.<br />
COMENTARIO<br />
<strong>La</strong>s niñas y los niños pequeños van aprendiendo <strong>de</strong> <strong>la</strong>s situaciones cotidianas y sacan sus propias<br />
conclusiones:<br />
• Hay diferentes magnitu<strong>de</strong>s: Temperatura, longitud, peso, capacidad, tiempo,...<br />
• Cuando medimos hay que utilizar los instrumentos que sirven para ello: cinta métrica,<br />
termómetro,...<br />
• <strong>La</strong> <strong>medida</strong> está unida a los números.<br />
• Cada magnitud tiene sus propias características.<br />
• <strong>La</strong> importancia <strong>de</strong> <strong>la</strong> unidad en cada magnitud.<br />
TIEMPO (Educ. Infantil-5 años) (Registro)<br />
Durante este año (2003), nuestro centro cumple 100 años. Por eso hemos estado viendo <strong>la</strong><br />
revista"OARSO", que se publica en nuestro pueblo todos los años. En el<strong>la</strong> aparecen muchos<br />
acontecimientos <strong>de</strong> los ocurridos durante los últimos cien años, que es lo que queremos trabajar.<br />
<strong>La</strong> maestra ha escrito en <strong>la</strong> pizarra:<br />
Revista OARSO 1982<br />
Revista OARSO 1984<br />
30<br />
SIGMA Nº 23 • zk. 23 SIGMA
Ni handia, zu txikia, gu luzea, zuek motzak, <strong>de</strong>nok ge<strong>la</strong>n zehatzak<br />
Manoli Alonso y otros<br />
Txikitatik ikasleen eskuetan neurtzeko tresnak jartzen baditugu, erabiltzen dituzten bitartean,<br />
neurriaz ikasten dute.<br />
Haur hauek metroa erabiltzen dute eta Kristian gai da, gutxi gora behera zentimetro baten estimazioa<br />
egiteko.<br />
TENPERATURA (HH- 5 urte) (Erregistroa)<br />
Aprobetxatuz elurra egin due<strong>la</strong>, barruan zenbat gradu egiten duen eta kanpoan zenbat egingo<br />
ote duen , termometroarekin ikusten aritu gara.<br />
An<strong>de</strong>reñoa: Barruan 12º C eta kanpoan 2º C dau<strong>de</strong>.<br />
Zurine: Eta jartzen duenean 0 eta marra bat (º).<br />
An<strong>de</strong>reñoa: 12º hone<strong>la</strong>? (arbelena idazten du). Hori zenbatgarren lekuan dagoen jartzeko<br />
da. ºC gradoak neurtzen dute (hotza edo beroa dagoen) eta º zenbatgarren<br />
lekuen kokatua dagoen.<br />
An<strong>de</strong>reñoa: 12º, 12 cm, 12m, 12 km gauza berdinak al dira?<br />
Haurrak: Ez, 12º beroa edo hotza neurtzeko eta 12cm luzera neurtzeko da.<br />
An<strong>de</strong>reñoa: 12cm eta 12m berdina da?<br />
Haurra: Ez.<br />
An<strong>de</strong>reñoa: Zein da handiena?<br />
Unai: 12m.<br />
An<strong>de</strong>reñoa: Zergatik?<br />
Unaiek ez daki esaten, ezta besteek ere. An<strong>de</strong>reñoak metroa hartu eta erakutsi die metro batek<br />
zenbat neurtzen duen eta 12 cm zenbat <strong>de</strong>n.<br />
An<strong>de</strong>reñoa: 12m handiagoa da 12 cm baino, 12 cm ez <strong>de</strong><strong>la</strong>ko iristen metro batera<br />
(neurria zinta metrika neurtuz) eta 12m, 12 bi<strong>de</strong>r metro bat da. (zinta metrikarekin 12<br />
bi<strong>de</strong>r neurtuz jarraian).<br />
KOMENTARIOA<br />
Haur txikiak, eguneroko bizitzan ematen diren hainbat egoeretatik ikasten joaten dira eta bere<br />
konklusioak ateratzen dituzte:<br />
• Konturatzen dira magnitu<strong>de</strong> <strong>de</strong>sberdinak dau<strong>de</strong><strong>la</strong>: tenperatura, luzera, pisua, <strong>de</strong>nbora,<br />
kapazitatea,...<br />
• Neurtzerakoan, zuzeneko instrumentuak erabili behar dire<strong>la</strong>: termometroa, zinta<br />
metrikoa,...<br />
• Neurria zenbakiekin lotuta dagoe<strong>la</strong>.<br />
• Magnitu<strong>de</strong> bakoitzak bere ezaugarriak ditue<strong>la</strong>.<br />
Neurriaren unitatearen garrantzia.<br />
DENBORA (HH- 5 urte) (Erregistroa)<br />
Aurten (2003) esko<strong>la</strong>k 100 urte betetzen ditu, hori <strong>de</strong><strong>la</strong> eta OARSO aldizkaria ikusten aritu gara:<br />
An<strong>de</strong>reñoak arbelean idatzi du:<br />
OARSO aldizkaria 1982<br />
OARSO aldizkaria 1984<br />
Noviembre 2003 • 2003ko Azaroa 31
<strong>La</strong> Jota <strong>de</strong> <strong>la</strong> Medida, no creas que lo <strong>la</strong>mento ...<br />
Manoli Alonso y otros<br />
Maestra: ¿Qué revista será más antigua, más vieja <strong>la</strong> <strong>de</strong> 1982 o <strong>la</strong> <strong>de</strong> 1984?<br />
Varios niños: 1984.<br />
Maestra: ¿Por qué?<br />
Los mismos: Porque es mayor.<br />
Maestra: Yo nací en el año 1957. <strong>La</strong> an<strong>de</strong>reño Maribel en el año 1962. Vosotros en<br />
1997. ¿Quién es <strong>la</strong> más vieja?<br />
Niños: <strong>La</strong> an<strong>de</strong>reño Pili.<br />
Maestra: ¿Y quién es más vieja Pili que nació en 1957 o Maribel que nación en 1962?<br />
Niños: Pili, porque tiene el 7.<br />
Debatimos entre todos y al final <strong>la</strong> maestra les dice que <strong>la</strong> más vieja es <strong>la</strong> que tiene el número<br />
más pequeño.<br />
COMENTARIO<br />
A los niños pequeños se les hace muy difícil interiorizar el concepto <strong>de</strong> tiempo. A <strong>la</strong> hora <strong>de</strong><br />
<strong>de</strong>cir quién es más viejo, es <strong>de</strong>cir quién tiene más años, se fijan en los números y dicen que<br />
el que termina con <strong>la</strong> cifra más alta es el que más años tiene, porque piensan que <strong>la</strong> <strong>medida</strong><br />
está en el número.<br />
Cuando <strong>la</strong> referencia personal es c<strong>la</strong>ra no tienen duda aunque <strong>la</strong>s cifras coincidan, esto es lo<br />
que ocurre con su año <strong>de</strong> nacimiento y el <strong>de</strong> su maestra (1957 y 1997).<br />
Sin embargo y aunque sea costoso, van dándose cuenta <strong>de</strong> todas estas cosas por medio <strong>de</strong><br />
diferentes procesos y a través <strong>de</strong> muchas ocasiones para reflexionar.<br />
PROPUESTAS DE TRABAJO<br />
El Tamaño <strong>de</strong> los Zapatos<br />
Con el cambio <strong>de</strong> estación a los niños y niñas <strong>de</strong> <strong>la</strong> c<strong>la</strong>se les compran zapatos nuevos. Le ha<br />
crecido el pie y cambia el tamaño <strong>de</strong>l zapato. Hemos hab<strong>la</strong>do <strong>de</strong> todo esto.<br />
• Miramos el número <strong>de</strong> los zapatos <strong>de</strong> cada uno.<br />
• Dos compañeros se encargan <strong>de</strong> recoger por escrito el número <strong>de</strong> los zapatos <strong>de</strong> todos.<br />
• Los examinamos y <strong>de</strong>cimos cuál es el más gran<strong>de</strong> y cuál es el más pequeño.<br />
Reflexionamos acerca <strong>de</strong> cuales serán los números <strong>de</strong> los zapatos <strong>de</strong> los padres y <strong>de</strong><br />
<strong>la</strong>s madres y <strong>de</strong>cidimos que para el día siguiente traerán los números <strong>de</strong> cada miembro<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> familia.<br />
• Al día siguiente leemos todos los datos recogidos y (36-sesenta y seis; 42-veintidós) al<br />
leerlos mal surge <strong>la</strong> discusión y hacemos algunas estimaciones.<br />
• Ponemos en <strong>la</strong> pared los números <strong>de</strong> los zapatos. Previamente hemos <strong>de</strong>cidido qué<br />
intervalos utilizaremos. Los que tienen familiares más pequeños, dan valores más<br />
pequeños. ¿Los números <strong>de</strong> los zapatos empiezan en 0?<br />
• Cada uno escribirá en el mural su número.<br />
• Ponemos sobre un papel el zapato <strong>de</strong> cada uno, lo dibujamos y lo recortamos.<br />
• Comparamos y or<strong>de</strong>namos <strong>la</strong>s siluetas recortadas.<br />
32<br />
SIGMA Nº 23 • zk. 23 SIGMA
Ni handia, zu txikia, gu luzea, zuek motzak, <strong>de</strong>nok ge<strong>la</strong>n zehatzak<br />
Manoli Alonso y otros<br />
An<strong>de</strong>reñoak: Zein da zaharragoa 1982 edo 1984?<br />
Haurrak: 1984, 4, 2 baino handiagoa <strong>de</strong><strong>la</strong>ko.<br />
An<strong>de</strong>reñoak: Ni 1957. urtean jaio nintzen. An<strong>de</strong>reño Maribel 1962. urtean. Zuek<br />
1997. urtean. Zein da zaharragoa ni edo zuek?<br />
Haurrak: Pili.<br />
An<strong>de</strong>reñoak: Zein da zaharragoa, ni edo Maribel?<br />
Haurrak: Pili. Zure urteak 7 bat dauka.<br />
Denon artean eztabaidan egon gara eta an<strong>de</strong>reñoak esan die zenbaki txikiagoa daukana zaharragoa<br />
<strong>de</strong><strong>la</strong>.<br />
KOMENTARIOA<br />
Haur txikiei <strong>de</strong>nboraren kontzeptuez jabetzea zai<strong>la</strong> egiten zaie. Adibi<strong>de</strong> hauetan ikusten <strong>de</strong>n<br />
moduan zenbakietan ohartzen dira, <strong>de</strong>nboraren kontzeptua ez dute menperatzen: Zein da<br />
zaharragoa 1984 edo 1982? Beraiek 1984 esaten dute neurria zenbakian dagoe<strong>la</strong>ko eta 4, 2<br />
baino handia <strong>de</strong><strong>la</strong>ko.<br />
Aipatzen <strong>de</strong>n beste adibi<strong>de</strong>an (nor <strong>de</strong>n zaharragoa Pili edo haurrak) aho batez erantzuten<br />
dute, baina ez dute zenbakiak edo adina aztertzen, erreferentzia pertsona<strong>la</strong> dute: Pili zaharragoa<br />
<strong>de</strong><strong>la</strong> badakite.<br />
Halere hainbat prozeduren bi<strong>de</strong>z ohartzeko gai dira.<br />
LAN PROPOSAMENAK<br />
Zapaten Neurriak<br />
Eguraldiaren aldaketarekin batera haurrei zapata berriak erosten dizkiete. Oina handitu zaie<br />
eta oinetakoen neurria aldatzen da. Honetaz hitz egiten dugu.<br />
• Bakoitzaren neurria begiratzen dugu.<br />
• Bi haur arduratzen dira guztien neurriak jasotzeaz paper batean.<br />
• Neurri handiena eta txikiena bi<strong>la</strong>tzen ditugu. Gurasoen neurrietaz hausnartzen dugu.<br />
Hurrengo egunerako etxekoen neurriak ekartzekotan gelditzen gara.<br />
• Bakoitzak ekarritakoa irakurtzen du (36 - hirurogeita sei; 42- hogeita <strong>la</strong>u) eta oker esaterakoan<br />
diskusioa sortzen da, estimazioak egiten ditugu.<br />
• Paretan neurriak jartzen ditugu, horretarako zein tartea erabiliko dugun erabakitzen<br />
dugu. Seni<strong>de</strong> txikiago dituztenek ematen dituzte balore txikienak. Oinetakoen neurriak<br />
0an hasten dira?<br />
• Bakoitzak dituen neurriak horma-irudian jarriko ditu.<br />
• Paper gainean zapata jarrita eredu marraztu eta moztu.<br />
• Egindako ereduak konparatu, or<strong>de</strong>natu...<br />
Noviembre 2003 • 2003ko Azaroa 33
<strong>La</strong> Jota <strong>de</strong> <strong>la</strong> Medida, no creas que lo <strong>la</strong>mento ...<br />
Manoli Alonso y otros<br />
Recetas<br />
• Buscar en una receta los números que aparecen y reflexionar sobre lo que expresan:<br />
peso, tiempo, capacidad, cantidad...<br />
• Comprobar si en otras recetas aparecen magnitu<strong>de</strong>s simi<strong>la</strong>res.<br />
• C<strong>la</strong>sificación <strong>de</strong> <strong>la</strong>s <strong>medida</strong>s encontradas en <strong>la</strong>s diferentes recetas.<br />
• Reflexionar acerca <strong>de</strong> cuales son los utensilios a utilizar para medir <strong>la</strong>s magnitu<strong>de</strong>s<br />
citadas.<br />
• Comparar los pesos.<br />
• Comparar <strong>la</strong>s capacida<strong>de</strong>s.<br />
• Comparar los tiempos.<br />
Elegir una receta para e<strong>la</strong>borar<strong>la</strong> en c<strong>la</strong>se.<br />
• Examinar <strong>la</strong>s cantida<strong>de</strong>s que aparecen en <strong>la</strong> lista <strong>de</strong> los ingredientes, analizando para<br />
cuántos comensales son y calcu<strong>la</strong>r que cantidad necesitaremos para todos los <strong>de</strong>l au<strong>la</strong>.<br />
• Elegir los utensilios <strong>de</strong> cocina necesarios.<br />
• Elegir los utensilios necesarios para medir <strong>la</strong>s cantida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> alimentos.<br />
• Elegir también los utensilios necesarios para medir el tiempo.<br />
• E<strong>la</strong>borar <strong>la</strong> receta.<br />
• Repartir y comer.<br />
Pavimentación<br />
• Se pi<strong>de</strong> a los niños y niñas que traigan dibujado el suelo <strong>de</strong> su cocina (se pi<strong>de</strong> co<strong>la</strong>boración<br />
a <strong>la</strong>s familias en <strong>la</strong> realización <strong>de</strong> este dibujo si los niños y niñas lo pi<strong>de</strong>n).<br />
• Analizamos los dibujos que han traído y reflexionamos sobre puntos diferentes:<br />
- Formas <strong>de</strong> <strong>la</strong>s baldosas.<br />
- Tamaños <strong>de</strong> <strong>la</strong>s baldosas.<br />
- Colores <strong>de</strong> <strong>la</strong>s baldosas.<br />
- Superficies cubiertas por sólo un tipo <strong>de</strong> baldosas.<br />
- Superficies cubiertas por combinación <strong>de</strong> más <strong>de</strong> un tipo <strong>de</strong> baldosas.<br />
- Combinación <strong>de</strong> formas, tamaños y colores.<br />
• Observamos <strong>la</strong>s baldosas <strong>de</strong> <strong>la</strong> c<strong>la</strong>se y <strong>la</strong>s contamos.<br />
• Se les pi<strong>de</strong> que cuenten <strong>la</strong>s <strong>de</strong> <strong>la</strong> cocina <strong>de</strong> casa.<br />
• ¿Sólo se cuentan <strong>la</strong>s que se ven?<br />
• ¿Debajo <strong>de</strong> los armarios, <strong>la</strong>vadora... hay baldosas? Si es así, ¿cómo se cuentan?<br />
• Contamos otra vez <strong>la</strong>s <strong>de</strong> c<strong>la</strong>se calcu<strong>la</strong>ndo también <strong>la</strong>s que están tapadas por armarios.<br />
• Estrategias diferentes para contar: <strong>de</strong> una en una, por fi<strong>la</strong>s, el ancho por el <strong>la</strong>rgo.<br />
• Analizamos <strong>la</strong>s dimensiones <strong>de</strong> una <strong>de</strong> <strong>la</strong>s baldosas. Calcu<strong>la</strong>mos su superficie.<br />
• Analizar qué tipo <strong>de</strong> polígonos han aparecido, compararlos...<br />
• Introducción a <strong>la</strong>s unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> superficie: centímetro y metro cuadrado.<br />
En un segundo momento, se p<strong>la</strong>ntea hacer un trabajo más dirigido a <strong>la</strong> geometría:<br />
34<br />
SIGMA Nº 23 • zk. 23 SIGMA
Ni handia, zu txikia, gu luzea, zuek motzak, <strong>de</strong>nok ge<strong>la</strong>n zehatzak<br />
Manoli Alonso y otros<br />
Errezetak<br />
• Errezeta batean zenbakiak bi<strong>la</strong>tu eta aztertu zer adierazten duten: pisua, <strong>de</strong>nbora, edukiera,<br />
kantitatea...<br />
• Begiratu beste errezetetan magnitu<strong>de</strong> berdinak azaltzen diren.<br />
• Errezetetan aurkitu ditugun neurriak sailkatu.<br />
• Magnitu<strong>de</strong> hauek neurtzeko tresnak bi<strong>la</strong>tu.<br />
• Pisuak konparatu.<br />
• Edukierak konparatu.<br />
• Denborak konparatu.<br />
Errezeta bat aukeratu ge<strong>la</strong>n egiteko:<br />
Zo<strong>la</strong>keta<br />
• Aztertu osagaien zerrenda, zenbatentzako <strong>de</strong>n, kalku<strong>la</strong>tu ge<strong>la</strong>ko guztientzat zein kantitateak<br />
beharko ditugun.<br />
• Behar ditugun sukal<strong>de</strong>ko tresnak aukeratu.<br />
• Osagaiak neurtzeko tresnak aukeratu eta prestatu.<br />
• Denbora neurtzeko tresna ere aukeratu.<br />
• Errezeta egin eta banatu jateko.<br />
• Haurrei eskatzen zaie beren etxeko sukal<strong>de</strong>ko zorua marraztuta ekartzeko (familiei<br />
<strong>la</strong>guntza emateko esaten zaie, haurrek eskatuko balute).<br />
• Ekarriko dituzten marrazkiak aztertuko ditugu, eta puntu <strong>de</strong>sberdinei buruz hausnartuko<br />
dugu:<br />
- Baldosen formak.<br />
- Baldosen tamaina.<br />
- Baldosen koloreak.<br />
- Baldosa mota bakar batez osaturiko zoruak.<br />
- Baldosa mota bat baino gehiagoko nahasketak osaturiko zoruak.<br />
- Forma, tamaina eta koloreen konbinazioa.<br />
• Ge<strong>la</strong>ko baldosak- behatu eta kontatu.<br />
• Sukal<strong>de</strong>ko baldosak kontatzeko eskatuko diegu.<br />
• Ikusten direnak kontatzen dira bakarrik?<br />
• Armairu, garbigailu...-aren behean, baldosak ba aldira? Horre<strong>la</strong> bada, no<strong>la</strong> kontatuko<br />
ditugu?<br />
• Berriro ge<strong>la</strong>ko baldosak kontatuko ditugu, armairuek estaliak ere bai.<br />
• Kontatzeko estrategia <strong>de</strong>sberdinak: banan banaka, lerroka, zabalera bi<strong>de</strong>r luzera...<br />
• Baldosa baten dimentsioak aztertuko ditugu. Horren azalera kalku<strong>la</strong>tu.<br />
• Azalerako unitateak sartu: zentimetro eta metro karratua.<br />
Bigarren momentu batean, geometria <strong>la</strong>ntzea proposatzen da:<br />
Noviembre 2003 • 2003ko Azaroa 35
<strong>La</strong> Jota <strong>de</strong> <strong>la</strong> Medida, no creas que lo <strong>la</strong>mento ...<br />
Manoli Alonso y otros<br />
• Hacer p<strong>la</strong>ntil<strong>la</strong>s en cartulina con <strong>la</strong>s formas básicas que han aparecido en <strong>la</strong>s baldosas<br />
y algunas otras figuras que no hayan aparecido (cuadrado, rectángulo, triángulos <strong>de</strong><br />
varios tipos, hexágonos, pentágonos... e ir viendo con cuáles puedo cubrir totalmente<br />
el p<strong>la</strong>no, o con <strong>la</strong> combinación <strong>de</strong> cuáles...<br />
• Analizar mosaicos y ver cómo están construidos (<strong>la</strong> repetición <strong>de</strong> qué figura es <strong>la</strong> base<br />
<strong>de</strong>l mosaico).<br />
• Construir mosaicos con <strong>la</strong>s figuras básicas, o con <strong>la</strong> combinación <strong>de</strong> algunas.<br />
Duración <strong>de</strong>l día y <strong>de</strong> <strong>la</strong> noche<br />
Dentro <strong>de</strong>l tema <strong>de</strong>l universo surge <strong>la</strong> influencia <strong>de</strong>l movimiento <strong>de</strong> rotación en <strong>la</strong> duración<br />
<strong>de</strong>l día y <strong>de</strong> <strong>la</strong> noche.<br />
Se propone a los alumnos <strong>la</strong> recogida <strong>de</strong> datos para confirmar o rechazar <strong>la</strong>s hipótesis <strong>de</strong> los<br />
alumnos.<br />
• Buscar a diario <strong>de</strong>terminados datos en el periódico: <strong>la</strong>s horas <strong>de</strong> salida y puesta <strong>de</strong> sol.<br />
• Apuntar esos datos en un cuadro <strong>de</strong> doble entrada. A <strong>la</strong> izquierda se ponen los días<br />
<strong>de</strong>l mes (1, 2, 3, 4...) y arriba <strong>la</strong> salida <strong>de</strong>l sol, <strong>la</strong> puesta, <strong>la</strong> duración <strong>de</strong>l día y <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
noche. Pue<strong>de</strong> quedar algo así:<br />
Día <strong>de</strong>l mes<br />
Hora <strong>de</strong> salida Hora <strong>de</strong> puesta Duración Duración<br />
<strong>de</strong>l sol <strong>de</strong>l sol <strong>de</strong>l día <strong>de</strong> <strong>la</strong> noche<br />
1 07:28 20:59 13:31 10:29<br />
2<br />
• Los cálculos <strong>de</strong> dicho cuadro los realizarán los niños y niñas (duración <strong>de</strong>l día y <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
noche), utilizando <strong>la</strong> estrategia que <strong>de</strong>seen.<br />
• Después <strong>de</strong> recoger datos durante unos días, pue<strong>de</strong>n empezar a realizar <strong>la</strong> gráfica. Es<br />
<strong>de</strong>cir, <strong>la</strong> recogida <strong>de</strong> datos y <strong>la</strong> realización <strong>de</strong> <strong>la</strong> gráfica pue<strong>de</strong>n ir paralelos (o <strong>de</strong>spués<br />
<strong>de</strong> recoger datos durante un <strong>la</strong>rgo periodo, por ejemplo, un mes, se pue<strong>de</strong> hacer <strong>la</strong> gráfica<br />
<strong>de</strong> ese periodo).<br />
• Diseño <strong>de</strong> <strong>la</strong> gráfica: <strong>de</strong>cidir con los alumnos y alumnas en qué eje hay que colocar<br />
los datos, qué datos sería necesario colocar, cómo representar el tiempo en el papel,<br />
qué tipo <strong>de</strong> gráfica utilizar....<br />
• Algunos problemas que pue<strong>de</strong>n surgir: cómo dividir el papel para representar <strong>la</strong>s horas<br />
y los minutos (una opción pue<strong>de</strong> ser tomar una distancia <strong>medida</strong> con reg<strong>la</strong> como <strong>la</strong><br />
unidad, por ejemplo, 6 cm representan una hora); el concepto <strong>de</strong> día (por una parte,<br />
día como contrapuesto a noche, y por otra día como unidad <strong>de</strong> tiempo); el día o <strong>la</strong><br />
noche (su representación en <strong>la</strong> gráfica) pue<strong>de</strong>n quedar cortados según el punto <strong>de</strong> inicio<br />
para contar (por ej: si <strong>de</strong>ci<strong>de</strong>n empezar a <strong>la</strong>s 0:00 h. siempre quedará cortada <strong>la</strong><br />
noche)...<br />
• Sería interesante que este trabajo coincidiera con un solsticio o un equinoccio, para<br />
comprobar si los datos que figuran en los libros son o no fiables.<br />
Nota importante: En este tipo <strong>de</strong> trabajo es especialmente importante dar a los niños opciones<br />
para tomar <strong>de</strong>cisiones: para elegir el tipo <strong>de</strong> gráfica, para <strong>de</strong>cidir los datos a incluir...<br />
36<br />
SIGMA Nº 23 • zk. 23 SIGMA
Ni handia, zu txikia, gu luzea, zuek motzak, <strong>de</strong>nok ge<strong>la</strong>n zehatzak<br />
Manoli Alonso y otros<br />
• Kartulinazko ereduak egin, baldosetan agertu diren oinarrizko formekin eta agertu ez<br />
diren beste zenbait irudi: karratua, <strong>la</strong>uki zuzena, mota anitzeko hirukiak, pentagonoak,<br />
hexagonoak... eta p<strong>la</strong>no (folio) bat emanda, konprobatzen joango dira zer formekin<br />
osatzen <strong>de</strong>n p<strong>la</strong>noa (edo zer irudi konbinatuz).<br />
• Mosaikoak aztertu: ikusi no<strong>la</strong> eraiki dituzten (zer irudi errepikatzen <strong>de</strong>n mosaikoa osatzeko).<br />
• Mosaikoak eraiki, irudi bat errepikatuz, edo bat baino gehiago konbinatuz.<br />
Eguna eta Gauaren Iraupena (LH-2. mai<strong>la</strong>)<br />
Unibertso gaiaren barruan sortzen da errotazioa mugimenduaren eragina eguna eta gauaren<br />
iraupenean.<br />
Datuen bilketa proposatzen da haurrek dituzten hipotesiak baieztatzeko edo errefusatzeko.<br />
• Egunkarian egunero zenbait datu bi<strong>la</strong>tu: eguzkiaren irteera eta sarrera.<br />
• Datu horiek apuntatzen doaz sarrera bikoitiko tau<strong>la</strong> batean. Ezker al<strong>de</strong>an hilearen egunak<br />
jartzen dira (1, 2, 3, 4...) eta goian eguzkiaren irteera, sarrera, egunaren iraupena<br />
eta gauaren iraupena. Hone<strong>la</strong> gera daiteke:<br />
Hi<strong>la</strong>betearen Eguzkiaren Eguzkiaren Egunaren Gauaren<br />
egunak irteeraren ordua sarreraren ordua iraupena iraupena<br />
1 07:28 20:59 13:31 10:29<br />
2<br />
• Tau<strong>la</strong> horren kalkuluak ikasleek egingo dituzte (eguna eta gauaren iraupena), nahi<br />
duten estrategia erabiliz.<br />
• Egun batzuen datuak jaso ondoren, has daiteke grafikoa egiten. Grafikoa egiteko<br />
aukera bat baino gehiago dago: datuak tau<strong>la</strong>n jaso aha<strong>la</strong>, grafikoa egiten hasi; edo<br />
datuak <strong>de</strong>nbora luzean jaso (adibez hi<strong>la</strong>bete batean) eta gero grafikoak egin, edo...<br />
• Grafikoaren diseinua haurrekin batera erabaki: zein ardatzetan jarri behar diren<br />
datuak, zer datu mota eta no<strong>la</strong> adierazi <strong>de</strong>nbora paperean, zer grafiko mota erabili...<br />
• Sortu daitezkeen zenbait arazo: papera no<strong>la</strong> banatu, minutu eta orduak adierazteko<br />
(aukera bat da errege<strong>la</strong> batekin, unitate bat hartu, adib. 6 cm ordu bat adierazteko);<br />
egunaren kontzeptua (gaua ez <strong>de</strong>na, al<strong>de</strong> batetik, eta <strong>de</strong>nbora neurtzeko unitatea<br />
<strong>de</strong>na), gaua edo eguna moztuta gera daitezkee<strong>la</strong> abiapuntuaren arabera...<br />
• <strong>La</strong>n hau, solztizio edo ekinozioa ematen <strong>de</strong>n garaian egitea interesgarria litzateke,<br />
liburuetan agertzen diren datuak zehatzak diren edo ez konprobatzeko.<br />
Ohar garrantzitsua: <strong>la</strong>n mota honetan ezinbestekoa da haurrek erabakiak hartzeko aukera izatea:<br />
grafiko mota aukeratzeko, sartuko diren datuak erabakitzeko...<br />
Noviembre 2003 • 2003ko Azaroa 37
<strong>La</strong> Jota <strong>de</strong> <strong>la</strong> Medida, no creas que lo <strong>la</strong>mento ...<br />
Manoli Alonso y otros<br />
CONCLUSIONES<br />
• ¿Con qué medir? Tenemos que analizar y utilizar los materiales e instrumentos <strong>de</strong> uso<br />
social, tal y como son y manejar <strong>la</strong>s <strong>medida</strong>s que aparecen (l, cl, Kg, g,...) utilizando<br />
en cada momento el léxico a<strong>de</strong>cuado. Algunos materiales: distintos mo<strong>de</strong>los <strong>de</strong> calendario,<br />
cintas métricas <strong>de</strong> varias <strong>medida</strong>s, diferentes pesos (ba<strong>la</strong>nza <strong>de</strong> cocina, <strong>de</strong> cuarto<br />
<strong>de</strong> baño, <strong>de</strong> brazos...), así como periódicos, libros, propaganda...<br />
• ¿Cómo medir? Debemos impulsar <strong>la</strong> manipu<strong>la</strong>ción <strong>de</strong> los instrumentos <strong>de</strong> <strong>medida</strong>.<br />
• ¿Qué, cuándo y para qué medir? Tenemos que p<strong>la</strong>nificar situaciones naturales que<br />
sean significativas, y, por ello precisamente motivadoras, que tengan re<strong>la</strong>ción con <strong>la</strong><br />
vida y que sirvan para resolver problemas auténticos.<br />
• Estrategias personales <strong>de</strong> los niños-as: Teniendo en cuenta que hay más <strong>de</strong> una forma<br />
<strong>de</strong> resolver los problemas, <strong>de</strong>bemos respetar y estimu<strong>la</strong>r sus propias estrategias. Los<br />
caminos que pue<strong>de</strong>n <strong>de</strong>scubrir los niños-as tienen mucho valor. "Durante mucho<br />
tiempo, los educadores han tratado <strong>de</strong> transmitir conocimientos a los niños <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el<br />
exterior. Lo que necesita <strong>la</strong> reforma es un punto <strong>de</strong> apoyo <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong>l niño para aumentar<br />
al máximo el proceso <strong>de</strong> construcción <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el interior" (Kamii, 1995, página 8).<br />
• Interacción: Es preciso hab<strong>la</strong>r entre todos-as <strong>de</strong> <strong>la</strong>s diferentes modos que p<strong>la</strong>ntean los<br />
alumnos-as. El intercambio <strong>de</strong> pareceres tiene gran importancia en <strong>la</strong> producción <strong>de</strong>l<br />
conocimiento. "Es posible estimu<strong>la</strong>r <strong>la</strong> construcción <strong>de</strong>l pensamiento lógico-matemático<br />
mediante el intercambio <strong>de</strong> puntos <strong>de</strong> vista. <strong>La</strong> historia <strong>de</strong> <strong>la</strong> ciencia atestigua <strong>la</strong><br />
importancia <strong>de</strong>l <strong>de</strong>bate en el avance <strong>de</strong>l conocimiento humano." (Kamii, 1994, página<br />
99).<br />
• Tipos <strong>de</strong> agrupamientos: Propondremos distintos agrupamientos; a menudo grupos<br />
pequeños, sobre todo por parejas (para realizar un único trabajo interactuando entre<br />
ellos, y potenciar <strong>la</strong> participación); otras veces en gran grupo (para poner en común <strong>la</strong>s<br />
aportaciones <strong>de</strong> los grupos y discutir<strong>la</strong>s, para conocer <strong>la</strong>s i<strong>de</strong>as <strong>de</strong> los alumnos-as,<br />
p<strong>la</strong>ntear nuevas tareas...); y, por supuesto, también trabajo individual.<br />
• Estimación: Debemos estimu<strong>la</strong>r a los alumnos para que hagan estimaciones, ya que en<br />
<strong>la</strong> vida real se utilizan tanto <strong>la</strong>s <strong>medida</strong>s exactas como <strong>la</strong>s estimadas (más o menos,<br />
entre x e y, casi x...).<br />
• <strong>La</strong> intervención <strong>de</strong>l profesor-a: Los profesores <strong>de</strong>bemos, con nuestras intervenciones<br />
fomentar entre los alumnos y alumnas "<strong>la</strong> argumentación, el <strong>de</strong>bate y <strong>la</strong> circu<strong>la</strong>ción <strong>de</strong><br />
informaciones" (C. Gallego, 2002) así como <strong>la</strong> producción <strong>de</strong>l pensamiento científico.<br />
No importa <strong>la</strong> edad <strong>de</strong> los alumnos y alumnas. Tengan 3, 13 o 33 años les pondremos<br />
en situación <strong>de</strong> apren<strong>de</strong>r los conocimientos tal como son y poniendo<br />
en sus manos los materiales convencionales <strong>de</strong> uso social.<br />
El aprendizaje pue<strong>de</strong> facilitarse, pero no imponerse.<br />
“metodología <strong>de</strong> <strong>la</strong> superficialidad”: No se pue<strong>de</strong> esperar que los individuos<br />
modifiquen en una o dos horas i<strong>de</strong>as que se han <strong>de</strong>sarrol<strong>la</strong>do a lo <strong>la</strong>rgo <strong>de</strong> su<br />
existencia.<br />
38<br />
SIGMA Nº 23 • zk. 23 SIGMA
Ni handia, zu txikia, gu luzea, zuek motzak, <strong>de</strong>nok ge<strong>la</strong>n zehatzak<br />
Manoli Alonso y otros<br />
ONDORIOAK<br />
• Zertaz neurtu? Inguruko materia<strong>la</strong>k, gizartearen ohiko materia<strong>la</strong>k eta tresnak, aztertu<br />
eta erabili behar ditugu, diren beza<strong>la</strong>, eta agertzen diren unitateak maneiatuko ditugu<br />
(l, cl, Kg, g, €...). Hau da, egoera bakoitzean behar <strong>de</strong>n lexikoa erabiliko dugu.<br />
Zenbait materia<strong>la</strong>: egutegi ezberdinak, neurri ezberdinetako zinta metrikoak, pisatzeko<br />
tresna ezberdinak (sukal<strong>de</strong>ko ba<strong>la</strong>ntza, bainu ge<strong>la</strong>koa, besoetakoa...), egunkariak, liburuak,<br />
propaganda...<br />
• No<strong>la</strong> neurtu? Neurtzeko tresnen manipu<strong>la</strong>zioa bultzatu behar dugu.<br />
• Zer, noiz eta zertarako neurtu? Egoera naturaletan, esanguratsuak eta, horrexegatik,<br />
motibagarriak direnak p<strong>la</strong>nifikatu behar ditugu, benetako bizitzarekin lotura dutenak<br />
eta benetako problemak ebazteko balio dutenak.<br />
• Haurren estrategia pertsona<strong>la</strong>k: Problemak ebazteko era bat baino gehiago dagoenez<br />
haurren estrategia pertsona<strong>la</strong>k errespetatu eta bultzatu behar ditugu. Garrantzi handia<br />
dute haurrek aurki ditzaketen bi<strong>de</strong>ek.<br />
• "Aspaldidanik, luzaroan hezitzaileak saiatu dira haurrei ezagutzak kanpotik transmititzen.<br />
Erreformak behar duena da haurrarengan euskarri puntu bat sortu, bere baitatik<br />
abiatuta, eraikitze-prozesua ahalik eta handiena izan dadin." (Kamii, 1995, 8. orr).<br />
• Elkar eragina: Haurrek p<strong>la</strong>nteatzen dituzten forma ezberdinetaz hitz egin behar da<br />
<strong>de</strong>nen artean. Ikuspuntu <strong>de</strong>sberdinen trukaketak garrantzi handia du ezagutzaren<br />
ekoizpenean. "Ikuspuntuak elkartrukatuz estimu<strong>la</strong>tu daiteke pentsaera logiko -matematikoaren<br />
eraiketa. Zientziaren historiak adierazten du eztabaidaren garrantzia giza -<br />
jakintzaren aurrerapenean" ( Kamii, 1994, 99. orr).<br />
• Tal<strong>de</strong>katze motak: Tal<strong>de</strong>katze mota ezberdinak proposatuko ditugu; askotan tal<strong>de</strong> txikiak,<br />
bikoteka bereziki (<strong>la</strong>na jorratzeko, <strong>la</strong>n bakar bat bien artean burutzeko elkar eraginez,<br />
eta partai<strong>de</strong>tza bultzatzeko); besteetan, tal<strong>de</strong> handia (tal<strong>de</strong>en ekarpenak ezagutzeko<br />
eta eztabaidatzeko; haurren i<strong>de</strong>iak ezagutzeko; <strong>la</strong>n berriak p<strong>la</strong>nteatzeko; edo...);<br />
eta, no<strong>la</strong> ez, bakarkako <strong>la</strong>na ere bai.<br />
• Estimazioa: Estimazioa bultzatu behar dugu, bizitza arruntean neurri zehatzak, nahiz<br />
neurri estimatuak, erabiltzen dire<strong>la</strong>ko (gutxi gora behera; x eta y-ren artean; ia x...).<br />
• Irakaslearen esku-hartzea: Irakasleok gure interbentzioekin "argudiatze, eztabaida eta<br />
informazioen zirku<strong>la</strong>zioa" (C. Gallego, 2002) bultzatu behar ditugu. Baita ezagupen<br />
"zientifikoaren" ekoizpena ere.<br />
Edozein adinean ezagupenak diren beza<strong>la</strong> ikasteko egoeretan jarriko ditugu<br />
ikasleak. Horretarako gizartean era konbentzonalean erabiltzen diren materia<strong>la</strong>z<br />
hornituko diegu.<br />
Aprendizaia erraztu daiteke, baina ezin da inposatu.<br />
“Azalkeriaren metodologia”. Bizitzan zehar garatu diren i<strong>de</strong>iak nekez aldatuko<br />
dira ordu betean.<br />
Noviembre 2003 • 2003ko Azaroa 39
<strong>La</strong> Jota <strong>de</strong> <strong>la</strong> Medida, no creas que lo <strong>la</strong>mento ...<br />
Manoli Alonso y otros<br />
ANEXO I<br />
<strong>La</strong> siguiente conversación pue<strong>de</strong> ser un ejemplo <strong>de</strong> <strong>la</strong>s dudas que se nos p<strong>la</strong>ntean a los adultos<br />
(a <strong>la</strong> mayoría):<br />
Un grupo <strong>de</strong> maestros y maestras está conversando sobre algunos sucesos <strong>de</strong> c<strong>la</strong>se:<br />
- ¿Sabéis qué me han preguntado los niños <strong>de</strong> mi c<strong>la</strong>se? A ver si sabéis contestar.<br />
- ¿Qué pregunta difícil te han hecho esta vez?<br />
- Esos niños no hacen nunca preguntas fáciles, suelen tener siempre <strong>la</strong> cabeza en ebullición.<br />
Estamos haciendo algunos trabajos sobre el agua. Uno <strong>de</strong> ellos es conge<strong>la</strong>r<br />
agua, y ver si el agua, cuando se hie<strong>la</strong>, ocupa más, menos o igual que antes. Han probado<br />
en casa, con vasos <strong>de</strong> plástico, y <strong>la</strong> mayoría ha comprobado que el vaso ha estal<strong>la</strong>do;<br />
o que el hielo ha superado <strong>la</strong> marca que habían hecho antes <strong>de</strong> conge<strong>la</strong>r.<br />
- ¿Y todos han hecho <strong>la</strong> comprobación?<br />
- Sí, tienen una gran curiosidad y <strong>la</strong>s familias, en <strong>la</strong> mayoría <strong>de</strong> los casos, ayudan mucho.<br />
- Pero ¿cuál es <strong>la</strong> pregunta?<br />
- Pues que dón<strong>de</strong> será más baja <strong>la</strong> temperatura, en el interior <strong>de</strong> un cubito <strong>de</strong> hielo o en<br />
el interior <strong>de</strong> un iceberg. Yo, <strong>la</strong> verdad, no lo sé. Vosotros, ¿qué creéis?... (todos quedamos<br />
pensativos.<br />
- Pues yo creo que son iguales una temperatura y otra. Cuando el agua se hie<strong>la</strong>, es igual<br />
que el trozo sea gran<strong>de</strong> o pequeño.<br />
- No estoy <strong>de</strong> acuerdo. ¿No ves que don<strong>de</strong> hay icebergs <strong>la</strong> temperatura ambiente es muy<br />
baja?<br />
- Pero estamos hab<strong>la</strong>ndo <strong>de</strong> <strong>la</strong> temperatura <strong>de</strong>l interior. <strong>La</strong> <strong>de</strong> fuera ya sabemos que es<br />
diferente, ¿pero <strong>la</strong> <strong>de</strong>l interior?<br />
- A mí me parece que <strong>la</strong> temperatura exterior tiene influencia en <strong>la</strong> <strong>de</strong>l interior. Al fin y<br />
al cabo no se <strong>de</strong>sconge<strong>la</strong> en el mismo tiempo <strong>la</strong> comida que ha estado en un conge<strong>la</strong>dor<br />
<strong>de</strong> cuatro estrel<strong>la</strong>s y <strong>la</strong> que ha estado en un conge<strong>la</strong>dor normal.<br />
- El hielo pue<strong>de</strong> estar a temperaturas diferentes.<br />
- Pue<strong>de</strong> que sea así. Pero yo no estoy muy convencida.<br />
- ¿Y cómo po<strong>de</strong>mos saberlo?<br />
- ...<br />
- <strong>La</strong> verdad es que mis hipótesis sobre ciertos aspectos <strong>de</strong> <strong>la</strong> ciencia son <strong>la</strong>s <strong>de</strong> un niño<br />
<strong>de</strong> Infantil.<br />
- Sí; yo sé muy poco, <strong>la</strong> verdad.<br />
- En un cursillo <strong>de</strong> Educación Infantil les p<strong>la</strong>ntearon cómo harían para hacer flotar un<br />
trozo <strong>de</strong> p<strong>la</strong>stilina.<br />
- Pues yo tendría que hacer pruebas. No creo que lo consiguiera a <strong>la</strong> primera.<br />
- A mí me han contado que en Marte hay un volcán <strong>de</strong> 24.000 metros <strong>de</strong> altura, y se me<br />
hace muy difícil imaginarlo...<br />
- Deberíamos organizar algo para apren<strong>de</strong>r nosotros-as.<br />
- Sí, estaría bien.<br />
40<br />
SIGMA Nº 23 • zk. 23 SIGMA
Ni handia, zu txikia, gu luzea, zuek motzak, <strong>de</strong>nok ge<strong>la</strong>n zehatzak<br />
Manoli Alonso y otros<br />
I. ERANSKINA<br />
Helduok (gehienok) ditugun za<strong>la</strong>ntzen adibi<strong>de</strong> izan daiteke ondorengo elkarrizketa:<br />
Maisu-maistra tal<strong>de</strong> bat ari da gelen gertakariei buruz hitz egiten:<br />
- Badakizue zer gal<strong>de</strong>ra egin didaten ge<strong>la</strong>ko haurrek? Ea zuek dakizuen erantzuna.<br />
- Zer gal<strong>de</strong>ra zai<strong>la</strong> egin dizute, ba?<br />
- Haur horiek ez dute gal<strong>de</strong>ra errazik egiten, burua beti pil-pilean izaten dute.Urarekin<br />
ari gara jarduera ezberdinak egiten. Horietako bat ura izoztu: ura je<strong>la</strong> bihurtzen<br />
<strong>de</strong>nean, ea berdin okupatzen duen, edo gehiago, edo gutxiago. Etxean egin dute proba<br />
p<strong>la</strong>stikozko edalontziekin, eta gehienek ikusi dute edalontzia lehertu egin zaie<strong>la</strong>; edo<br />
al<strong>de</strong>z aurretik egindako marka gainditu due<strong>la</strong> je<strong>la</strong>k.<br />
- Eta <strong>de</strong>nek egin dute saiakera?<br />
- Bai, kuriositate handia dute, eta familiek, kasu gehienetan, asko <strong>la</strong>guntzen dute.<br />
- Baina, gal<strong>de</strong>ra zein zen?<br />
- Ba, ea non dagoen tenperaturarik baxuena, je<strong>la</strong>-koskor baten barruan, edo izeberg<br />
baten erdian. Nik, egia esan, ez dakit. Zuek, zer uste duzue?... (<strong>de</strong>nak, pentsakor).<br />
- Ba nik uste dut berdinak dire<strong>la</strong> bata eta bestea. Ura je<strong>la</strong>tzen <strong>de</strong>nean, berdin da zati txikia<br />
edo handia izatea.<br />
- Ni ez nago ados. Ez al duzu ikusten izeberg dau<strong>de</strong>n tokietan oso tenperatura baxua<br />
dagoe<strong>la</strong>?<br />
- Baina izeberg erdiko tenperaturaz ari gara. Kanpokoa badakigu ezberdina izango <strong>de</strong><strong>la</strong>,<br />
baina erdikoa?<br />
- Nire ustez, kanpoko tenperaturak eragina du barrukoan. Azken finean ez da <strong>de</strong>nbora<br />
berean <strong>de</strong>sizozten <strong>la</strong>u izarretako izozgailu batean egondako janaria eta izozgailu normal<br />
batean egondakoa.<br />
- Izotza egon daiteke tenperatura ezberdinetan.<br />
- Baliteke horre<strong>la</strong> izatea. Baina ni ez nago oso konbentzituta.<br />
- Eta no<strong>la</strong> jakin <strong>de</strong>zakegu?<br />
- ...<br />
- Egia esan, nire hipotesiak, zientziaren zenbait al<strong>de</strong>rdietan, Haur Hezkuntzako haur<br />
batenak beza<strong>la</strong>koak dira.<br />
- Bai, nik, egia esan, ezer gutxi dakit.<br />
- Haur Hezkuntzarako ikastaro batean p<strong>la</strong>nteatu zieten no<strong>la</strong> egingo luketen p<strong>la</strong>stilina zati<br />
bat flotatu ahal izateko.<br />
- Ba nik probak egin beharko nituzke. Ez dut uste lehenengo saiakeran lortuko nuenik.<br />
- Niri kontatu didate Martitzen 24.000 metroko altuera duen sumendi bat dagoe<strong>la</strong> eta<br />
oso zai<strong>la</strong> egiten zait imajinatzea...<br />
- Zerbait anto<strong>la</strong>tu beharko genuke guk ikasteko.<br />
- Bai, ondo legoke.<br />
Noviembre 2003 • 2003ko Azaroa 41
<strong>La</strong> Jota <strong>de</strong> <strong>la</strong> Medida, no creas que lo <strong>la</strong>mento ...<br />
Manoli Alonso y otros<br />
ANEXO II<br />
LA JOTA DE LA MEDIDA:<br />
NO CREAS QUE LO LAMENTO,<br />
SI SUMAS, MULTIPLICAS O MIDIENDO,<br />
MÁS QUISIERA QUE SUPIERAS<br />
P´A QUE UTILIZAS LO QUE CUENTO,<br />
NI SUMO, NI CUENTO, NI RESTO<br />
SI NO TENGO UN CONTEXTO<br />
Este ha sido el título <strong>de</strong> nuestro articulo, pero se nos ocurrían algunos otros:<br />
LA MEDIDA:<br />
Una extensión infinita<br />
Una visión sin límites<br />
LA MEDIDA:<br />
Una estimación limitada<br />
<strong>La</strong> estimación <strong>de</strong>finida<br />
Los límites <strong>de</strong> <strong>la</strong> estimación<br />
Y otros más:<br />
TODO EN SU JUSTA MEDIDA: Aproximaciones <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el au<strong>la</strong><br />
Medid y se os dará... una barra <strong>de</strong> p<strong>la</strong>tino y un peso y un altímetro y un reloj y...<br />
¿CÓMO SE MIDE LA MASA? ¿CÓMO MIDE LA N.A.S.A.?<br />
Y MUCHAS PREGUNTAS MÁS<br />
¿QUÉ PASA CON EL PESO?<br />
Mi mamá me mi<strong>de</strong>, yo mido a mi mamá<br />
42<br />
SIGMA Nº 23 • zk. 23 SIGMA
Ni handia, zu txikia, gu luzea, zuek motzak, <strong>de</strong>nok ge<strong>la</strong>n zehatzak<br />
Manoli Alonso y otros<br />
II. ERANSKINA<br />
NI HANDIA<br />
ZU TXIKIA<br />
GU LUZEA<br />
ZUEK MOTZAK<br />
DENOK GELAN ZEHATZAK<br />
Hau da gure artikuluari jarri diogun izenburua, baina beste batzuk ere bururatu zaizkigu:<br />
NEURRIA:<br />
Una extensión infinita<br />
Una visión sin límites<br />
NEURRIA:<br />
Una estimación limitada<br />
<strong>La</strong> estimación <strong>de</strong>finida<br />
Los límites <strong>de</strong> <strong>la</strong> estimación<br />
Eta beste hauek ere:<br />
TODO EN SU JUSTA MEDIDA: Aproximaciones <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el au<strong>la</strong><br />
Medid y se os dará... una barra <strong>de</strong> p<strong>la</strong>tino y un peso y un altímetro y un reloj y...<br />
¿CÓMO SE MIDE LA MASA? ¿CÓMO MIDE LA N.A.S.A.?<br />
Y MUCHAS PREGUNTAS MÁS<br />
¿QUÉ PASA CON EL PESO?<br />
Mi mamá me mi<strong>de</strong>, yo mido a mi mamá<br />
Noviembre 2003 • 2003ko Azaroa 43
<strong>La</strong> Jota <strong>de</strong> <strong>la</strong> Medida, no creas que lo <strong>la</strong>mento ...<br />
Manoli Alonso y otros<br />
BIBLIOGRAFÍA<br />
ALSINA, C. y otros (1996). Enseñar matemáticas. Graó. Barcelona.<br />
CANALS, M. A. (2001). Vivir <strong>la</strong>s matemáticas. Octaedro-Rosa Sensat. Barcelona.<br />
CHAMORRO, C.; BELMONTE, J. M. (1988). El problema <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>medida</strong>. Didáctica <strong>de</strong> <strong>la</strong>s<br />
magnitu<strong>de</strong>s lineales. Síntesis. Madrid.<br />
EUSKO JAURLARITZA (1992). Oinarrizko Curriculun Diseinua. Lehen Hezkuntza II.<br />
Gasteiz. Eusko Jaur<strong>la</strong>ritzaren argitalpen zerbitzu nagusia.<br />
GALLEGO, C. “El au<strong>la</strong> como comunidad matemática <strong>de</strong> aprendizaje”. Apuntes tomados<br />
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KAMII, C. (1994). Reinventando <strong>la</strong> aritmética II. Visor. Madrid.<br />
KAMII, C. (1995). Reinventando <strong>la</strong> aritmética III. Implicaciones <strong>de</strong> <strong>la</strong> teoría <strong>de</strong> Piaget.<br />
Visor. Madrid.<br />
ROWAN, T .E.; BOURNE, B. (1999). Pensando como matemáticos. Manantial SRL.<br />
Buenos Aires.<br />
44<br />
SIGMA Nº 23 • zk. 23 SIGMA
Ni handia, zu txikia, gu luzea, zuek motzak, <strong>de</strong>nok ge<strong>la</strong>n zehatzak<br />
Manoli Alonso y otros<br />
Noviembre 2003 • 2003ko Azaroa<br />
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