Distancia entre dos sitios y diferencia de ángulos, cuando en ... - inaoe
Distancia entre dos sitios y diferencia de ángulos, cuando en ... - inaoe Distancia entre dos sitios y diferencia de ángulos, cuando en ... - inaoe
Distancia entre dos sitios (sobre un mismo meridiano) y diferencia de ángulos, cuando en ninguno de los sitios el Sol esta en el cenit. Y Comparación entre el cociente de ángulo/distancia y el cociente 360grados/C donde C es la circunferencia de la Tierra. Autor: Carlos Miguel García Rosas
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- Page 10: Solución • Usando la ecuación 1
<strong>Distancia</strong> <strong><strong>en</strong>tre</strong> <strong>dos</strong> <strong>sitios</strong> (sobre un<br />
mismo meridiano) y <strong>difer<strong>en</strong>cia</strong> <strong>de</strong><br />
ángulos, <strong>cuando</strong> <strong>en</strong> ninguno <strong>de</strong> los<br />
<strong>sitios</strong> el Sol esta <strong>en</strong> el c<strong>en</strong>it.<br />
Y<br />
Comparación <strong><strong>en</strong>tre</strong> el coci<strong>en</strong>te <strong>de</strong><br />
ángulo/distancia y el coci<strong>en</strong>te<br />
360gra<strong>dos</strong>/C don<strong>de</strong> C es la<br />
circunfer<strong>en</strong>cia <strong>de</strong> la Tierra.<br />
Autor: Carlos Miguel García Rosas
• Esta pres<strong>en</strong>tación te servirá para po<strong>de</strong>r calcular<br />
la distancia <strong><strong>en</strong>tre</strong> <strong>dos</strong> ciuda<strong>de</strong>s a difer<strong>en</strong>tes<br />
latitu<strong>de</strong>s, por medio <strong>de</strong> la comparación que<br />
existe <strong><strong>en</strong>tre</strong> el coci<strong>en</strong>te <strong>de</strong> ángulo/distancia y el<br />
coci<strong>en</strong>te 360 gra<strong>dos</strong>/C don<strong>de</strong> C es la<br />
circunfer<strong>en</strong>cia <strong>de</strong> la Tierra.
Demostración <strong>de</strong> la formula para la comparación<br />
<strong><strong>en</strong>tre</strong> el coci<strong>en</strong>te <strong>de</strong> ángulo/distancia y el coci<strong>en</strong>te<br />
360gra<strong>dos</strong>/C don<strong>de</strong> C es la circunfer<strong>en</strong>cia <strong>de</strong> la<br />
Tierra.<br />
L<br />
Supongamos que el círculo que repres<strong>en</strong>ta<br />
le perímetro <strong>de</strong> la Tierra. Entonces<br />
sabemos que aproximadam<strong>en</strong>te su<br />
perímetro es <strong>de</strong> 40000km.<br />
θ<br />
Sea ϕ1 la latitud la ciudad 1 y ϕ2<br />
la latitud <strong>de</strong> la ciudad 2. La<br />
<strong>difer<strong>en</strong>cia</strong> <strong>de</strong> latitu<strong>de</strong>s la po<strong>de</strong>mos<br />
escribir como: ϑ= ϕ1-ϕ2.
Pero antes t<strong>en</strong>emos que calcular el radio <strong>de</strong> la tierra.<br />
Perímetro <strong>de</strong> la circunfer<strong>en</strong>cia = 2πr<br />
40000km=2πr<br />
Despejando r nos queda<br />
r= 40000km/2π<br />
Entonces r= 20000km/π<br />
Ahora sabemos como esta <strong>de</strong>notado el radio <strong>de</strong> la tierra.<br />
La longitud <strong>de</strong> arco esta dado por la fórmula L= ϑ r ----- 1<br />
Don<strong>de</strong> ϑ es la <strong>difer<strong>en</strong>cia</strong> <strong>de</strong> latitu<strong>de</strong>s previam<strong>en</strong>te <strong>de</strong>finida.
Recuerda que ϑ esta medido <strong>en</strong> radianes y no <strong>en</strong> gra<strong>dos</strong> que es lo que<br />
queremos <strong>en</strong>tonces haremos la sigui<strong>en</strong>te conversión:<br />
ϑ= (ϕ1-ϕ2)π/180<br />
Ahora sustituimos el valor <strong>de</strong> ϑ ya <strong>en</strong> radianes y el valor <strong>de</strong>l radio <strong>en</strong> la<br />
ecuación 1, nos queda:<br />
L= (ϕ1-ϕ2)π . 20000km<br />
180 π<br />
Simplificando nos queda<br />
L= 1000(ϕ1-ϕ2)<br />
9<br />
Con esta fórmula resulta fácil calcular la distancia <strong>en</strong> la que se <strong>en</strong>cu<strong>en</strong>tran<br />
<strong>dos</strong> ciuda<strong>de</strong>s, siempre y <strong>cuando</strong> estén <strong>en</strong> la misma longitud geográfica.
•<br />
as<br />
t<strong>en</strong>emos <strong>dos</strong> <strong>sitios</strong> separa<strong>dos</strong> por una<br />
distancia <strong>de</strong> 100 km. ¿A qué ángulo<br />
correspon<strong>de</strong> dicha distancia?
• Para calcular el ángulo sólo t<strong>en</strong>emos que<br />
recordar que la circunfer<strong>en</strong>cia <strong>de</strong> la Tierra (a la<br />
que suponemos <strong>de</strong> 40000km para visualizar<br />
mejor el procedimi<strong>en</strong>to) es equival<strong>en</strong>te a<br />
360º. Entonces, la equival<strong>en</strong>cia <strong><strong>en</strong>tre</strong> un<br />
ángulo α y una distancia d la <strong>en</strong>contramos<br />
empleando la ecuación.<br />
θ/360º= d/40000 ----2<br />
• En nuestro caso necesitamos saber el ángulo,<br />
<strong>en</strong>tonces lo <strong>de</strong>spejamos <strong>en</strong> la ecuación<br />
anterior<br />
θ=(360º x d)/40000
• Sustituy<strong>en</strong>do d = 100 km t<strong>en</strong>emos que<br />
• θ = (360◦ ×<br />
100km)/40000km<br />
• lo cual es θ= 0,9◦ = 54′ es <strong>de</strong>cir, una distancia<br />
<strong>de</strong> 100 km repres<strong>en</strong>ta una <strong>difer<strong>en</strong>cia</strong> <strong>en</strong><br />
ángulos un poco m<strong>en</strong>or a un grado.<br />
• Con la ecuación <strong>dos</strong> también se pue<strong>de</strong> calcular<br />
la distancia <strong>en</strong> la que se <strong>en</strong>cu<strong>en</strong>tran <strong>dos</strong><br />
ciuda<strong>de</strong>s, siempre y <strong>cuando</strong> estén <strong>en</strong> la misma<br />
longitud geográfica
Ejemplo<br />
Las ciuda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> Mc All<strong>en</strong>, Texas (Esta<strong>dos</strong><br />
Uni<strong>dos</strong>) y Puebla (México) están ambas<br />
aproximadam<strong>en</strong>te <strong>en</strong> longitu<strong>de</strong>s geográficas <strong>de</strong><br />
98◦. Se sabe que la circunfer<strong>en</strong>cia <strong>de</strong> la Tierra es<br />
<strong>de</strong> aproximadam<strong>en</strong>te 40000 km y para hacer<br />
una estimación <strong>en</strong> este ejercicio vamos a usar<br />
Este valor. Si Mc All<strong>en</strong> está a una latitud <strong>de</strong> 26◦ y<br />
Puebla a una latitud <strong>de</strong> 19◦ ¿cuál es la distancia<br />
<strong><strong>en</strong>tre</strong> estas ciuda<strong>de</strong>s?
Solución<br />
• Usando la ecuación 1<br />
L= 1000(ϕ1-ϕ2)<br />
9<br />
• Sustituy<strong>en</strong>do ϕ1 por 26º y ϕ2 por 19º, nos<br />
queda:<br />
L= 1000(26º-19º)<br />
9<br />
L= 777.777km<br />
Lo cual nos indica que hay una distancia <strong>de</strong> 777.77<br />
km <strong><strong>en</strong>tre</strong> las <strong>dos</strong> ciuda<strong>de</strong>s.