CapÂ´Ä±tulo 6 IntroducciÃ³n al diseËno de filtros digitales

Capítulo 6 

Introducción al diseño de filtros 

digitales 

6.1 Causalidad y sus implicaciones 

Sea h(n) la respuesta impulsional de un filtro paso bajo ideal con respuesta en frecuencia 

{ 

1 |ω| ≤ ωC 

H(ω) = 

0 ω C < ω < π 

◦−→• 

⎧ 

ω C ⎪⎨ 

h(n) = 

π 

ω C ⎪⎩ 

π 

sen(ω C n) 

ω C n 

n = 0 

en otro caso 

que obviamente no es causal y por tanto no realizable. Pero ¿cómo debe ser H(ω) para 

que h(n) sea causal? Esta pregunta la responde el Teorema de Paley-Wiener que afirma: 

si h(n) tiene energía finita y es causal (h(n) = 0, n < 0) entonces 

∫ π 

−π 

| ln |H(ω)| | dω < ∞ 

Si esta ecuación se cumple para |H(ω)| entonces puede buscarse una respuesta de fase 

asociada Θ(ω) tal que H(ω) = |H(ω)|e jΘ(ω) represente una señal causal. 

Nótese que de acuerdo a este teorema la función |H(ω)| puede ser cero en frecuencias 

puntuales aisladas, pero no en una banda finita, puesto que la integral se haría infinita. 

Por lo tanto, ningún filtro ideal es causal. 

209

6 Introducción al diseño de filtros digitales 

Puesto que h(n) se puede separar en componentes par e impar: 

h(n) = h e (n) + h o (n) 

h e (n) = 1 [h(n) + h(−n)] 

2 

h o (n) = 1 [h(n) − h(−n)] 

2 

si h(n) es causal entonces se tiene además 

h(n) =2h e (n)u(n) − h e (0)δ(n) = 2h o (n)u(n) + h(0)δ(n) 

h e (n) =h o (n), n > 0 

y si h(n) es absolutamente sumable (estable BIBO) entonces 

y puesto que h(n) es causal y real entonces 

H(ω) = H R (ω) + jH I (ω) 

h e (n) ◦−→• H R (ω) 

h o (n) ◦−→• H I (ω) 

con lo que se deduce que H R (ω) es suficiente para establecer H(ω). En otras palabras 

H R (ω) y H I (ω) son interdependientes y no se pueden especificar libremente para sistemas 

causales. 

Para establecer la relación entre las partes real e imaginaria de la respuesta en frecuencia 

se plantea utilizando el teorema del enventanado 

que con 

H(ω) = H R (ω) + jH I (ω) = F {2h e (n)u(n) − h e (0)δ(n)} 

= 2 [H R (ω) ∗ U(ω)] − h e (0) 

= 1 π 

u(n) ◦−→• U(ω) = πδ(ω) + 

∫ π 

−π 

1 

1 − e −jω 

H R (λ)U(ω − λ) dλ − h e (0) 

= πδ(ω) + 1 2 − j 1 2 cot ω 2 , −π < ω < π 

es equivalente a 

∫ π 

H(ω) = 1 H R (λ)πδ(ω − λ) dλ + 1 H R (λ) 1 π −π 

π −π 2 dλ 

} {{ } } {{ } 

+ 1 π 

∫ π 

−π 

H R (ω) 

H R (λ) j 2 cot ( ω − λ 

2 

∫ π 

h e(0) 

) 

dλ − h e (0) 

210 c○2005-2007 — P. Alvarado Uso exclusivo ITCR

6.1 Causalidad y sus implicaciones 

y puesto que 

H R (ω) + jH I (ω) = H R (ω) − j ∫ π 

( ) ω − λ 

H R (λ) cot dλ 

2π −π 

2 

H I (ω) = − 1 ∫ π 

( ) ω − λ 

H R (λ) cot dλ 

2π −π 

2 

denominada Transformada de Hilbert discreta de H R (ω). 

La causalidad además tiene otras consecuencias aquí no demostradas, como por ejemplo 

que |H(ω)| no puede ser constante en ningún rango finito de frecuencias y la transición 

de la banda de paso a la banda de rechazo no puede ser infinitamente abrupta. Por estas 

razones, las respuestas en magnitud de filtros reales solo pueden ser aproximaciones de 

las versiones ideales, tal y como lo muestra la figura 6.1. La frecuencia angular ω P define 

1 + δ 1 

1 

|H(ω)| 

Rizado de Banda de Paso 

1 − δ 1 

Rizado de Banda de Rechazo 

δ 2 

Banda de Paso Banda 

ω P 

ω S 

π 

ω 

de 

Transición 

Banda de Rechazo 

Figura 6.1: Respuesta real de filtro pasa bajas. 

el límite superior de la banda de paso y así el ancho de banda del filtro. La frecuencia 

c○2005-2007 — P. Alvarado Uso exclusivo ITCR 211


angular ω S indica el inicio de la banda de rechazo. El ancho de banda de transición es 

entonces ω S −ω P . Los rizados de las bandas de paso y rechazo son δ 1 y δ 2 respectivamente. 

En aplicaciones reales se debe especificar entonces antes de diseñar el filtro 

1. Máximo rizado permitido en la banda de paso δ 1 

2. Máximo rizado permitido en la banda de rechazo δ 2 

3. Frecuencia de corte de la banda de paso ω P 

4. Frecuencia de corte de la banda de rechazo ω S . 

donde las dos últimas se escogen usualmente en términos de potencia mitad. 

El grado en que H(ω) acata las especificaciones depende en parte de los criterios utilizados 

para seleccionar {a k } y {b k }, así como del número de polos y ceros utilizados. 

Generalmente el diseño de filtros se concentra en el tipo pasa bajos, para lo que existen 

gran variedad de técnicas. Algunas de ellas se muestran en la figura 6.2 y se ilustran con 

más detalle en [13]. Existen métodos para transformar los filtros pasa bajos a otros tipos 

como paso altos o paso banda. 

6.2 Filtros de respuesta de impulso finita 

Para un filtro FIR de longitud M la relación de entrada salida está dada por la convolución 

y es 

y(n) = 

M−1 

∑ 

k=0 

y la función de transferencia es 

H(z) = 

b k x(n − k) = 

M−1 

∑ 

k=0 

M−1 

∑ 

k=0 

h(k)z −k = 1 

h(k)x(n − k) = h(n) ∗ x(n) 

∑ 

M−1 

h(k)z M−1−k 

z M−1 k=0 

cuyas raíces son los ceros del filtro. Este filtro tiene fase lineal si su respuesta impulsional 

satisface las simetrías: 

h(n) = ±h(M − 1 − n), n = 0, 1, . . . , M − 1 

que para la transformada z de h(n), H(z) implica los siguientes casos. 



Diseño de 

Filtros Digitales 

FIR 

IIR 

Ventanas 

Muestreo 

en frecuencia 

Óptimos Analógicos Directos 

Aproximación 

de derivadas 

Aproximación 

de Padè 

Invarianza 

impulsional 

Mínimos 

cuadrados 

Transformación 

bilineal 

Dominio de 

frecuencia 

Transformada z 

adaptada 

Figura 6.2: Taxonomía de métodos para el diseño de filtros. 

• Para M par 

M 

∑2 −1 

H(z) = z −(M−1)/2 h(k) [ z (M−1−2k)/2 ± z −(M−1−2k)/2] 

k=0 

y con z = e jω y asumiendo simetría circular par h(n) = h(M − 1 − n) entonces 

M 

∑2 −1 

H(ω) = e −jω(M−1)/2 h(k) [ e jω(M−1−2k)/2 + e −jω(M−1−2k)/2] 2 

2 

k=0 

M 

2 −1 

∑ 

= e −jω(M−1)/2 2 

k=0 

= e −jω(M−1)/2 H r (ω) 

( ω 

) 

h(k) cos 

2 (M − 1 − 2k) 

donde H r (ω) es una función real por corresponder a una suma ponderada con coeficientes 

reales h(k) y términos cosenoidales con argumentos reales. De forma equic○2005-2007 

— P. Alvarado Uso exclusivo ITCR 213


valente, para el caso antisimétrico circular h(n) = −h(M − 1 − n): 

• Para M impar: 

M−1 

−jω 

H(ω) = e 2 

M 

2 −1 

∑ 

k=0 

M 

M−1 

∑ 

−j(ω − 

= e π 2 2 ) 2 

h(k) [ e jω(M−1−2k)/2 − e −jω(M−1−2k)/2] 2j 

2j 

2 −1 

k=0 

M−1 

−j(ω − 

= e π 2 2 ) Hr (ω) 

( ω 

) 

h(k) sen 

2 (M − 1 − 2k) 

⎧ 

M−3 

⎨ ( ) M − 1 

2∑ [ 

] ⎫ ⎬ 

H(z) = z −(M−1)/2 ⎩ h + h(k) z M−1−2k 

2 ± z − M−1−2k 

2 

2 

⎭ 

k=0 

Con simetría circular par h(n) = h(M − 1 − n) lo anterior, en el domino de la 

frecuencia, conduce a 

⎡ 

M−3 

( ) M − 1 

2∑ 

( 

H(ω) = e −jω(M−1)/2 ⎣h + 2 h(k) cos ω M − 1 − 2k ) ⎤ ⎦ 

2 

2 

= e −jω(M−1)/2 H r (ω) 

y con antisimetría circular h(n) = −h(M −1−n), que además implica h ( M−1 

2 

Nótese que se cumple además 

M−3 

M−1 

2∑ 

−j(ω − 

H(ω) = e π 2 2 ) 2 

k=0 

M−1 

−j(ω − 

= e π 2 2 ) Hr (ω) 

k=0 

z −(M−1) H(z −1 ) = ±H(z) 

( 

h(k) sen ω M − 1 − 2k ) 

2 

) 

= 0: 

lo que implica que si z k es un cero, entonces z k , 1/z k y 1/z k también lo son (figura 6.3). 

La tabla 6.1 resume las posibilidades brindadas por las diferentes simetrías para filtros 

FIR de fase lineal. 

6.2.1 Diseño de filtros FIR por el método de ventanas 

Sea H d (ω) la respuesta en frecuencia deseada, que usualmente sigue la forma de un filtro 

ideal. En general, la respuesta impulsional correspondiente h d (n) es infinita y dada por 



1 

z 3 

j 

1 

z 3 z 1 

z 1 

−1 

z 2 1 

z 1 

1 −j 

z 3 

1 

z 2 

z 3 

1 

z 1 

Figura 6.3: Posición de los ceros en un filtro FIR de fase lineal. 

Tabla 6.1: Simetrías en filtros FIR de fase lineal 

Simetría Simétrica h(n) = h(M − 1 − n) Antisimétrica h(n) = −h(M − 1 − n) 

M 

2 −1 

∑ 

M par H r (0) = 2 h(k) H r (0) = 0 

M impar 

k=0 

( ) M − 1 

H r (0) = h + 2 

2 

M−3 

2∑ 

k=0 

no apto como filtro paso bajos 

h(k) H r (0) = H r (π) = 0 

no apto como filtro paso bajos o altos 

la transformada inversa de Fourier 

h d (n) = 1 

2π 

∫ π 

−π 

H d (ω)e jωn dω 

El filtro FIR se obtiene truncando h d (n) por medio de una ventana 

es decir, 

w(n) = 

h(n) = h d (n)w(n) = 

{ 

1 n = 0, 1, . . . , M − 1 

0 en otro caso 

{ 

hd (n) n = 0, 1, . . . , M − 1 

0 en otro caso 

En el dominio de la frecuencia H(ω) = H d (ω) ∗ W (ω). Puesto que W (ω) tiene generalmente 

un lóbulo central y lóbulos laterales, el efecto de la convolución es suavizar la 



respuesta H d (ω). Para reducir el efecto de dichos lóbulos laterales se utilizan ventanas 

diferentes a la rectangular, caracterizadas por no tener cambios abruptos en el dominio 

del tiempo, lo que conduce a lóbulos menores en el dominio de la frecuencia. Algunas 

ventanas típicas y sus características se presentan en la tabla 6.2. 

Tabla 6.2: Funciones utilizadas como ventanas. 

Ventana h(n), 0 ≤ n ≤ M − 1 Ancho Pico lóbulo 

lobular lateral [dB] 

Rectangular 1 4π/M −13 

Bartlett (triangular) 1 − 2 ∣ ∣n − M−1 ∣ 

2 

8π/M −27 

M − 1 

2πn 

Hamming 

0,54 − 0,46 cos 8π/M −32 

( M −) 

1 

1 2πn 

Hanning 

1 − cos 

8π/M −43 

2 M − 1 

Ejemplo 6.1 

Diseñe un filtro pasa bajos de longitud M que aproxime 

H d (ω) = 

{ 

e 

jω(M−1)/2 

0 ≤ |ω| ≤ ω C 

0 en el resto 

Se obtiene con la transformada inversa de Fourier 

h d (n) = 1 ∫ ωC 

( ) 

M−1 

jω(n− 

e 2 ) sen ω C n − 

M−1 

dω = 

2 

2π −ω C 

π ( ) 

n − M−1 

2 

Para el filtro FIR se toman solo M muestras: 

h(n) = sen ω ( ) 

C n − 

M−1 

2 

π ( ) , 0 ≤ n ≤ M − 1 

n − M−1 

2 

El truncamiento de h d (n) conduce a un comportamiento oscilatorio cerca del límite de 

la banda de paso denominado fenómeno de Gibbs. Nótese que este método no permite 

mucho control sobre el valor de los parámetros δ 1 , δ 2 , ω S y ω P resultantes. 

6.1 



Diseño de filtros FIR de fase lineal por el método de muestreo de frecuencia 

En este método se muestrea la respuesta en frecuencia deseada en ⌊ ⌋ 

M 

2 puntos equiespaciados 

ω k = 2π 

M 

(k + α) k = 0, 1, . . . , 

M − 1 

2 

k = 0, 1, . . . , M 2 − 1 

M impar 

M par 

α = 0 ó 1 2 

y se calcula la respuesta impulsional h(n) correspondiente, donde para reducir los lóbulos 

laterales se utilizan métodos numéricos de optimización que sitúan las muestras en la 

banda de transición. 

Puesto que 

H(k + α) = H 

( ) M−1 

2π 

M (k + α) ∑ 

= h(n)e −j2π(k+α)n/M , k = 0, 1, . . . , M − 1 

n=0 

y haciendo uso de la ortogonalidad de la exponencial compleja se cumple además 

h(n) = 1 M 

M−1 

∑ 

k=0 

H(k + α)e j2π(k+α)n/M , n = 0, 1, . . . , M − 1 

Con α = 0 estas ecuaciones equivalen a la DFT e IDFT respectivamente. Si h(n) es real, 

entonces 

H(k + α) = H(M − k − α) 

⌋ 

muestras en vez de M. Utilizando la simetría se 

lo que justifica la utilización de ⌊ M 

2 

obtiene 

( ) 

2π 

H(k + α) = H r 

M (k + α) e j[βπ/2−2π(k+α)(M+1)/2M] 

donde β = 0 si h(n) es simétrica y β = 1 si h(n) es antisimétrica. Con 

( ) 

2π 

G(k + α) = (−1) k H r 

M (k + α) k = 0, 1, . . . , M − 1 

se obtiene 

H(k + α) = G(k + α)e jπk e j[βπ/2−2π(k+α)(M+1)/2M] 

Respuesta impulsional h(n) = ±h(M − 1 − n) 

Simetría circular par 



a = 0: 

⎧ 

H(k) = G(k)e jπk/M k = 0, 1, . . . , M − 1 

( ) 2πk 

⎪⎨ G(k) = (−1) k H r G(k) = −G(M − k) 

M 

⎧ 

h(n) = 1 ⎪⎨ ⌊ M−1 

2 ⌋ 

⎪⎩ M ⎪⎩ G(0) + 2 ∑ 

( ( 2πk 

G(k) cos n + 1 )) ⎫ ⎪ ⎬ 

M 2 ⎪ ⎭ 

( 

H k + 

⎧⎪ 1 ) 

2 

( 

a = 1 ⎨ 

2 : G k + 1 ) 

= G 

2 

⎪ ⎩ 

( 

= G 

h(n) = 2 M 

k=1 

k + 1 2 

( 

M − k − 1 2 

⌊ M−1 

2 ⌋ 

∑ 

k=0 

) 

e −j π 2 e 

jπ(2k+1)/2M 

) 

( 

G k + 1 ) 

sen 2π ( 

k + 1 ) ( 

n + 1 ) 

2 M 2 2 

Simetría circular impar 

⎧ 

H(k) = G(k)e jπ/2 e jπk/M k = 0, 1, . . . , M − 1 

( ) 2πk 

G(k) = (−1) k H r G(k) = G(M − k) 

M 

⎪⎨ 

M−1 

a = 0: h(n) = − 2 2∑ 

( ( 2πk 

G(k) sen n + 1 )) 

M impar 

M 

M 2 

k=1 

⎧ 

M 

h(n) = 1 ⎨ 

∑2 −1 ( ( 2πk 

⎪⎩ M ⎩ (−1)n+1 G(M/2) − 2 G(k) sen n + 1 )) ⎫ ⎬ 

M 2 ⎭ 

( 

H k + 

⎧⎪ 1 ) ( 

= G k + 1 ) 

e jπ(2k+1)/2M 

2 

2 

( 

G k + 1 ) 

( ( 2π 

= (−1) k H r k + 1 )) 

a = 1 ⎨ 2 

M 2 

2 : ( 

G k + 1 ) ( 

= −G M − k − 1 ) 

; G(M/2) = 0 para M impar 

2 

2 

⎪ ⎩ 

k=1 

M par 

h(n) = 2 M 

⌊ M 2 −1⌋ 

∑ 

k=0 

( 

G k + 1 ) 

cos 2π ( 

k + 1 ) ( 

n + 1 ) 

2 M 2 2 



Ejemplo 6.2 Diseñe un filtro de longitud M = 15 con respuesta impulsional h(n) 

simétrica y respuesta en frecuencia condicionada a 

⎧ 

( ) 2πk 

⎪⎨ 1 k = 0, 1, 2, 3 

H r = 0,4 k = 4 

15 ⎪⎩ 

0 k = 5, 6, 7 

Solución: h(n) es simétrica y en este caso α = 0. 

0, 1, . . . , 7 y las ecuaciones anteriores se obtiene 

( 

Con G(k) = (−1) k H 2πk 

) 

r 15 , k = 

h(0) = h(14) = −0,014112893 

h(1) = h(13) = −0,001945309 

h(2) = h(12) = 0,04000004 

h(3) = h(11) = 0,01223454 

h(4) = h(10) = −0,09138802 

h(5) = h(9) = −0,1808986 

h(6) = h(8) = 0,3133176 

h(7) = 0,52 

6.2 

6.2.2 Diseño de filtros óptimos 

El diseño de filtros se denomina óptimo si el error de aproximación entre la respuesta en 

frecuencia deseada y la actual se distribuye equitativamente a lo largo de las bandas de 

paso y rechazo. 

Dadas las frecuencias de corte para las bandas de paso y rechazo ω P y ω S respectivamente, 

el filtro debe satisfacer además 

1 − δ 1 ≤H r (ω) ≤ 1 + δ 1 |ω| ≤ ω P 

−δ 2 ≤H r (ω) ≤ δ 2 

|ω| > ω S 

por lo que δ 1 representa el rizado de la banda de paso y δ 2 la atenuación o rizado en la 

banda de rechazo. 

Utilizando los filtros simétricos y antisimétricos de fase lineal puede demostrarse que 

con Q(ω) y P (ω) dados en la tabla 6.3. 

H r (ω) = Q(ω)P (ω) 



Tabla 6.3: Descomposición de filtros FIR en P (ω) y Q(ω). 

Simétrico Antisimétrico 

h(n) = h(M − 1 − n) h(n) = −h(M − 1 − n) 

M Impar Caso 1 Caso 3 

Q(ω) = sen(ω) 

Q(ω) = 1 

P (ω) = 

a(k) = 

(M−1)/2 

∑ 

k=0 

{ ( 

h 

M−1 

) 

2 

2h ( M−1 

a(k) cos ωk 

k = 0 

− k ) k = 1, 2, . . . , M−1 

2 2 

P (ω) = 

M Par Caso 2 Caso 4 

Q(ω) = cos 

( ω 

2 

) 

(M−3)/2 

∑ 

k=0 

( ) M − 3 

˜c = 2h(0) 

2 

( ) M − 5 

˜c = 4h(1) 

2 

˜c(k) cos ωk 

( ) 

M − 1 

˜c(k − 1) − ˜c(k + 1) = 4h − k , 2 ≤ k ≤ M − 5 

2 

2 

˜c(0) + 1 ( ) M − 3 

2˜c(2) = 2h 2 

Q(ω) = sen 

( ω 

2 

) 

P (ω) = 

M 

∑ 

2 −1 

˜b(k) cos(ωk) 

k=0 

( ) M 

˜b(0) = h 

2 − 1 

P (ω) = 

M 

∑ 

2 −1 

˜d(k) cos(ωk) 

k=0 

( ) M 

˜d 

2 − 1 = 4h(0) 

˜b(k) = 4h 

( M 

2 − k ) 

− ˜b(k − 1), 1 ≤ k ≤ M 2 − 2 

˜b 

( M 

2 − 1 ) 

= 4h(0) 

˜d(k − 1) − ˜d(k) = 4h 

( M 

2 − k ) 

, 2 ≤ k ≤ M 2 − 1 

˜d(0) − 

1 

2 ˜d(1) = 2h 

( M 

2 − 1 ) 



El error de aproximación se define entonces como 

E(ω) = W (ω)[H dr (ω) − H r (ω)] 

= W (ω)[H dr (ω) − Q(ω)P (ω)] 

[ ] 

Hdr (ω) 

= W (ω)Q(ω) 

Q(ω) − P (ω) 

donde W (ω) es una función de ponderación de error que usualmente se define como 

W (ω) = 

{ 

δ1 

δ 2 

ω en la banda de paso 

1 ω en la banda de rechazo 

y H dr (ω) la respuesta ideal del filtro deseada que es 1 en la banda de paso y cero en la de 

rechazo. Con 

el error se puede reescribir como 

Ŵ (ω) = W (ω)Q(ω) 

Ĥ dr (ω) = H dr(ω) 

Q(ω) 

] 

E(ω) = 

[Ĥdr Ŵ (ω) (ω) − P (ω) . 

El diseño del filtro consiste entonces en buscar los parámetros {α(k)} = {a(k)}, {b(k)}, {c(k)} 

ó {d(k)} que conducen al menor valor máximo de |E(ω)|. 

[ ] 

[ 

arg min max |E(ω)| = arg min 

{α(k)} ω∈S {α(k)} 

max 

ω∈S 

[ 

∣ 

∣Ŵ (ω) Ĥ dr − 

]∣] 

L∑ 

∣∣∣∣ 

α(k) cos ωk 

donde S representa el conjunto (disjunto) de bandas sobre las que se realiza la optimización. 

Este problema de optimización requiere también métodos numéricos de optimización 

(por ejemplo el algoritmo de intercambio de Remez) basados en el teorema de la 

alterternancia, que establece que la función de error E(ω) debe exhibir al menos L+2 frecuencias 

extremas en S, es decir, deben existir al menos L + 2 frecuencias {ω i } en S tales 

que ω 1 < ω 2 < . . . < ω L+2 , E(ω i ) = −E(ω i−1 ) y |E(ω i )| = max |E(ω)|, i = 1, 2, . . . , L + 2 

ω∈S 

para que P (ω) = ∑ L 

k=0 

α(k) cos ωk sea la mejor y única aproximación ponderada de 

Ĥ dr (ω). 

El nombre del teorema se debe a la alternancia de signo entre dos extremos consecutivos. 

k=0 



6.3 Diseño de filtros de respuesta impulsional infinita 

a partir de filtros analógicos 

Puesto que el diseño de filtros analógicos es un campo maduro y bien desarrollado, puede 

hacerse uso de sus resultados transformando filtros analógicos, descritos en el dominio de 

frecuencia compleja s = σ + jΩ como 

H a (s) = B(s) 

A(s) = ∑ M 

k=0 β ks k 

∑ N 

k=0 α ks k (6.1) 

a filtros digitales utilizando algún mapeo adecuado entre las variables s y z. La función 

de transferencia H a (s) se relaciona con la respuesta impulsional h(t) a través de la Transformada 

de Laplace 

H a (s) = 

∫ ∞ 

−∞ 

h(t)e −st dt 

que teniendo una forma racional como en (6.1) está relacionada con la ecuación diferencial 

N∑ 

k=0 

α k 

d k y(t) 

dt k = 

M∑ 

k=0 

donde x(t) representa la entrada del filtro y y(t) su salida. 

β k 

d k x(t) 

dt k (6.2) 

Puesto que el sistema descrito por H a (s) es estable si sus polos se encuentran al lado 

izquierdo del eje σ = 0 entonces el mapeo de s a z debe 

1. Transformar s = jΩ en la circunferencia unitaria en el plano z. 

2. El semiplano izquierdo (LHP) de s debe corresponder con el interior de la circunferencia 

unitaria. 

En la sección anterior se mencionó que un filtro tiene fase lineal si 

H(z) = ±z −N H(z −1 ) . 

Con filtros FIR esto se utiliza para ubicar los ceros, pero con filtros IIR esto implica que 

cada polo dentro de la circunferencia unitaria en z tiene otro polo correspondiente fuera 

de ella, lo que implica que el filtro será inestable. En otras palabras, si se requiere un 

filtro de fase lineal, debe utilizarse un filtro FIR como los tratados en la sección anterior. 

Con filtros IIR usualmente se enfoca el diseño a la respuesta en magnitud, dejando que 

las interrelaciones existentes entre fase y magnitud determinen la fase, según corresponda 

con la metodología de diseño utilizada. 


6.3 Diseño de filtros de respuesta impulsional infinita a partir de filtros analógicos 

6.3.1 Diseño por aproximación de derivadas 

Si se cuenta con la ecuación diferencial del filtro (6.2), se pueden aproximar las derivadas 

haciendo uso de 

dy(t) 

y(nT ) − y(nT − T ) y(n) − y(n − 1) 

dt ∣ ≈ = 

t=nT 

T 

T 

con el intervalo de muestreo T . Transformando al dominio s y z se tiene 

s = 1 − z−1 

T 

Puede deducirse de forma similar que la k-ésima derivada resulta en la relación 

( ) 1 − z 

s k −1 k 

= 

T 

por lo que la aproximación para el filtro IIR digital es 

H(z) = H a (s)| s= 

1−z −1 

T 

La equivalencia entre s y z se puede derivar de 

mapeo que se ilustra en la figura 6.4. 

z = 

1 

1 − sT 

. 

Im{z} 

2 

jΩ 

1 

0 

-2 -1 0 1 2 

Re{z} 

σ 

-1 

-2 

Figura 6.4: Mapeo entre el plano s y el plano z para la aproximación de derivadas. 

Nótese que los polos del filtro digital solo se ubicarán en frecuencias pequeñas, lo que 

restringe la utilidad de este método a solo filtros paso bajo y paso banda con frecuencias 

resonantes relativamente bajas. 



6.3.2 Diseño por invarianza impulsional 

Este método consiste en buscar una respuesta impulsional del filtro digital que corresponda 

a la respuesta impulsional muestreada del filtro analógico: 

h(n) = h(t)| t=nT 

, n = 0, 1, . . . 

En capítulos anteriores se analizó el hecho de que el muestreo en el tiempo conduce a una 

extensión periódica que consiste en la superposición del espectro analógico desplazado por 

múltiplos de la frecuencia de muestreo F s = 1/T . 

H(ω) = F s 

∞ 

∑ 

k=−∞ 

H a (ωF s − 2πF s k) 

El aliasing que ocurre a altas frecuencias hace este método inapropiado para el diseño de 

filtros paso alto. 

En este caso puede demostrarse que la equivalencia entre los dos dominios es z = e sT = 

e σ+jΩ T = e σT e jΩT = re jω con r = e σT y ω = ΩT , lo que implica que el semiplano izquierdo 

(LHP) corresponde al interior de la circunferencia unitaria (r < 1). Nótese que todos los 

intervalos de frecuencia (2k − 1) π ≤ Ω ≤ (2k + 1) π se proyectan en la circunferencia, lo 

T T 

que hace de esta correspondencia una relación inyectiva que proviene del efecto de aliasing 

debido al muestreo (ver sección 1.2.2). 

Im{z} 3 

jΩ 

2 

1 

0 

-3 -2 -1 0 1 2 3 

Re{z} 

σ 

-1 

-2 

-3 

Figura 6.5: Mapeo entre el plano s y el plano z para la invarianza impulsional. 

Puede demostrarse que el filtro analógico 

M∑ c k 

M∑ c k 

H a (s) = 

equivale a H(z) = 

s − p k 1 − e p kT 

z −1 

k=1 

y aunque los polos siguen la relación z k = e p kT , esto no se satisface para los ceros. 

k=1 


6.4 Transformación de Frecuencia 

6.3.3 La transformada z adaptada 

De forma similar al diseño por invarianza impulsional, se utiliza aquí el mapeo z = e sT , 

pero tanto para polos como para ceros. Así, transformación z adaptada se le denomina a 

la equivalencia entre (s − a) y (1 − e aT z −1 ). De esta forma 

M∏ 

(s − z k ) 

M∏ ( 

1 − e 

z k T z −1) 

H(s) = 

k=1 

N∏ 

(s − p k ) 

es equivalente a H(z) = 

k=1 

N∏ ( 

1 − e 

p k T z −1) 

k=1 

k=1 

Con este método debe seleccionarse T lo suficientemente pequeño para evitar el aliasing. 

6.3.4 Diseño por transformación bilineal 

En este método se utiliza la relación 

s = 2 T 

( 1 − z 

−1 

1 + z −1 ) 

denominada relación bilineal y derivada de la fórmula trapezoidal para integración numérica. 

Este método es apto para transformar filtros paso alto y paso banda por tener una representación 

biyectiva entre ω y Ω. Con 

z = − T s + 2 

T s − 2 

se obtiene el mapeo mostrado en la figura 6.6. 

6.3.5 Filtros Analógicos 

Estas transformaciones pueden aplicarse para derivar filtros digitales, por ejemplo, filtros 

Butterworth, filtros Chebyshev (tipos I y II), filtros elípticos y filtros Bessel (tabla 6.4). 


Hay dos maneras de obtener un filtro digital paso bajo, paso alto, paso banda o supresor 

de banda a partir de un filtro paso bajo analógico: 



Tabla 6.4: Características de Filtros Paso Bajo Analógicos 

Filtro Función de Transferencia Características 

Butterworth 

(todo-polos) 

Chebyshev, 

Tipo I (todopolos) 

Chebyshev, 

Tipo II (polos 

y ceros) 

Elíptico ó 

Cauer (polos y 

ceros) 

(todo- 

Bessel 

polos) 

|H(Ω)| 2 = 

1 

1 + (Ω/Ω C ) 2N 

Ω C : frecuencia de corte 

|H(Ω)| 2 = 

1 

1 + ɛ 2 T 2 N 

( 

) 

Ω 

Ω P 

T N : polinomio de Chebyshev 

T 0 (x) = 1 

T 1 (x) = x 

T N+1 (x) = 2xT N (x) − T N−1 (x) 

|H(Ω)| 2 = 

1 

1 + ɛ 2 [ 

“ ” 

TN 2 ΩS 

Ω 

“ P ” 

TN 

2 ΩSΩ 

T N : polinomio de Chebyshev 

|H(Ω)| 2 = 

1 

( ) 

1 + ɛ 2 Ω 

U N Ω P 

U N : función elíptica Jacobiana 

de orden N 

H(s) = 1 

B N (s) 

B N (s): funciones de Bessel 

B 0 (s) = 1 

B 1 (s) = s + 1 

B N (s) = (2N − 1)B N−1 (s) + s 2 B N−2 (s) 

] 

|H(Ω)| monótona en las bandas de paso 

y rechazo. 

Rizado constante en la banda de paso y 

característica monótona en la banda de 

rechazo. 

Rizado constante en la banda de rechazo 

y característica monótona en la 

banda de paso. 

Rizado constante tanto en la banda de 

paso como en la de rechazo. 

Respuesta de fase lineal en la banda 

de paso (aunque se destruye en la conversión 

a digital). 



Im{z} 

2 

jΩ 

1 

0 

-2 -1 0 1 2 

Re{z} 

σ 

-1 

-2 

Figura 6.6: Mapeo bilineal entre el plano s y el plano z. 

1. Transformar en el dominio analógico al filtro deseado, y luego usar uno de los mapeos 

de s a z presentados anteriormente para transformarlo al dominio digital. 

2. Transformar el filtro paso bajo a un equivalente paso bajo digital, para luego hacer 

la transformación al filtro deseado en el dominido digital. 

Para el primer caso se utilizan las transformaciones mostradas en la tabla 6.5. Para el 

segundo se presentan las modificaciones en la tabla 6.6. 

Tabla 6.5: Transformaciones de frecuencia para filtros analógicos. 

Tipo de filtro Transformación Nuevas 

deseado 

frecuencias 

de corte 

Paso bajo 

s → Ω P 

s 

Ω ′ P 

Ω ′ P 

Paso alto s → Ω P Ω ′ P 

Ω ′ P 

s 

s 2 + Ω l Ω u 

Paso banda s → Ω P Ω u , Ω l 

s(Ω u − Ω l ) 

s(Ω u − Ω l ) 

Supresor de banda s → Ω P 

s 2 + Ω l Ω u 

Ω u , Ω l 

Ω P : frecuencia de corte del prototipo 

Ω l : frecuencia de corte inferior 

Ω u : frecuencia de corte superior 



Tabla 6.6: Transformaciones de frecuencia para filtros digitales. 

Tipo de filtro Transformación Constantes Nuevas 

deseado 

frecuencias 

de corte 

Paso bajo 

„ 

z −1 → z−1 − a 

a = sen ωP −ω ′ « 

P 

2 

1 − az −1 « ω P 

′ 

Paso alto 

sen„ ωP +ω ′ P 

2 

„ 

z −1 → z−1 + a 

a = cos ωP +ω 

P 

′ 

2 

1 + az −1 

Paso banda z −1 → z−2 − a 1 z −1 + a 2 

a 2 z −2 − a 1 z −1 + 1 

Supresor z −1 → z−2 − a 1 z −1 + a 2 

a 2 z −2 − a 1 z −1 + 1 

de banda 

ω P : 

ω l : 

ω u : 

cos„ ωP −ω ′ P 

2 

« 

« ω ′ P 

a 1 = −2α K 

K+1 

ω u , ω l 

a 2 = K−1 

K+1 

α = cos( ωu+ω l 

2 ) 

cos( ωu−ω l 

2 ) 

K = cot ωu−ω l 

2 

tan ω P 

2 

a 1 = −2α 1 

K+1 

ω u , ω l 

a 2 = 1−K 

1+K 

α = cos( ωu+ω l 

2 ) 

cos( ωu−ω l 

2 ) 

K = tan ωu−ω l 

tan ω P 

2 2 

frecuencia de corte normalizada del prototipo 

frecuencia de corte normalizada inferior 

frecuencia de corte normalizada superior

CapÂ´Ä±tulo 6 IntroducciÃ³n al diseËno de filtros digitales

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