PID K s K K s K s = = + + ( ) KP

El regulador PID
Principio de funcionamiento
El regulador PID tiene una función de transferencia dada por:
KI
PID = K() s = K
P
+ + KDs
s
(57)
la cual es la suma de tres términos como se muestra en el esquema a continuación.
K P
KI
s
+
+
+
K s
D
Figura 54: Esquema del regulador PID
Su funcionamiento puede explicarse en el dominio del tiempo como la suma
de tres acciones de control. Como se muestra en la figura 55, la acción del
regulador PID hará que sobre la planta actúe una señal u(t) compuesta por: a) una
señal proporcional al error, b) una señal proporcional a la integral del error y c) una
señal proporcional a la derivada del error. Ec. (58).
D(s)
d(t)
R(s)
r(t) +
E(s)
e(t)
-
PID
U(s)
u(t)
Planta
G(s)
+
+
Y(s)
y(t)
Figura 55: Sistema de control con regulador PID
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t
ut () = K et K e d K d dt et
P
() +
I∫ ( τ) τ +
D
()
0
(58)
A partir del regulador PID se pueden derivar los siguientes casos especiales
por eliminación de algunos de los términos en la ecuación (57).
Tabla 1: Los diferentes casos del regulador PID
Regulador
P
Función de transferencia Función de transferencia práctica
teórica
K ()= s K
K ()= s K
P
P
P
P
I
K
I
KI
()= s
KI
()= s
s
K
s
I
PI
K ()= s K +
PI
P
K
s
I
K ()= s K
PI
P
⎛ K
⎜ s +
⎝ K
s
I
P
⎞
⎟
⎠
K
P
PD KPD ()= s KP + KDs
( s + )
KD
KPD
() s = KD
( s+
pO
)
KI
(
PID
PID = K() s = K
P
+ + KDs
K s K s + z s z 1)( +
0)
PD
() =
s
ss ( + p )
O
El regulador I coloca exactamente un polo en el origen, aumentando en uno el
tipo de sistema y haciendo que efectivamente el error de estado estacionario sea
cero para ciertos tipos de entradas y disminuyendo el error para las entradas de
orden superior en el tiempo. Tiene la desventaja que desmejora la respuesta en el
tiempo haciéndola más lenta.
El regulador PI añade un polo en s = 0 y un cero en s = -K I /K P , siendo un caso
particular del compensador de atraso visto antes, con el polo exactamente en el
origen. Esta configuración aumenta también en uno el tipo de sistema como el
regulador I; pero tiene la ventaja que el cero se puede colocar adecuadamente para
mejorar el tiempo de respuesta del sistema.
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Debido a limitaciones técnicas, el regulador PD real, que agrega un cero en el
punto s = - K P /K D , no puede ser implementado sin un polo parásito en s = -p 0 ; el
cual se coloca a la izquierda del cero y bien alejado del origen. Por ello la
realización práctica del regulador PD es exactamente igual a la del compensador de
adelanto de fase visto antes. Debido a esto no entraremos en más detalles respecto a
este controlador.
El regulador PID completo también adolece en la práctica de los mismos
problemas que el regulador PD; por lo cual solamente puede implementarse con un
polo parásito en s = -p 0 . Este regulador agrega entonces dos ceros y dos polos, con
uno de estos exactamente en el origen, aumentando el tipo de sistema. El regulador
PID práctico puede interpretarse como la conexión en cascada de dos
compensadores uno de adelanto y uno de atraso con el polo en el origen.
De todas estas variantes la forma PI o proporcional-integral es la más utilizada
en electrotecnia.
Ejemplo 6: Hacer que el error de estado estacionario sea cero.
Sea el sistema con función de transferencia de lazo abierto
Gs ()
=
5
( s+ 1)( s+
3)
dadas las especificaciones
t 5% ≤ 1.1 s
M% ≤ 5 %
e SS = 0
realizar la síntesis del compensador.
• Realizamos los pasos calculando primero la sección del regulador PD o
compensador de adelanto hasta obtener regulador PD siguiente.
( s + 325 . )
Ks () = 273 .
( s + 6)
El compensador anterior sobrecompensa un poco previniendo el efecto de
agregar la parte PI, la cual hará que el lugar de las raíces se mueva finalmente hacia
la derecha.
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El error normalizado de estado estacionario es e SS = 0.29, para lograr hacerlo
cero colocamos el regulador PI o compensador de atraso con el polo en el origen.
• Ubicamos el cero del regulador PI a la derecha y muy cerca del polo de lazo
abierto de la planta en s = -1. Por facilidad omitimos la ganancia Kp puesto que
se puede resumir junto a las otras ganancias proporcionales.
KPI () s =
( s + 095 . )
s
• Graficamos el nuevo lugar de las raíces para el sistema con el regulador PID
completo
Figura 56: Lugar de las raíces para el sistema con regulador PID
• Graficamos la respuesta al escalón del nuevo sistema con el regulador PID
Como se observa en la figura 57, el error de estado estacionario alcanza el
valor cero.
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h(t)
Figura 57: Respuesta ante un escalón del sistema con regulador PID
La respuesta es la esperada por lo que podemos dar por concluido el
diseño.
Conclusiones:
• El regulador PID puede descomponerse en partes para su aplicación de
acuerdo a las necesidades.
• El regulador PID puede usarse como si fuera un compensador de adelanto
en cascada con un compensador de atraso con el polo en el origen.
• Los resultados obtenidos del regulador PID práctico son los mismos que
pueden obtenerse con el compensador de adelanto-atraso con un error de
estado estacionario cero o mejorado en el caso de entradas del orden
superior del tiempo.
• Por limitaciones técnicas los reguladores PD y PID no pueden ser
implementados sin un polo parásito; por lo que se pueden asimilar a otros
tipos de compensadores existentes.
t [s]
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El compensador de filtro de muesca o ranura (notch filter)
El compensador de filtro de muesca tiene dos ceros y dos polos. Se puede
jugar con el amortiguamiento del par de polos y ceros para lograr los efectos
deseados. El compensador de filtro de muesca típico posee dos polos bastante
amortiguados y dos ceros poco amortiguados.
La función de transferencia del compensador de filtro de muesca se muestra en
la ecuación (59) a continuación. Este tipo de compensador puede concebirse
también como dos compensadores de adelanto puestos en cascada.
s
s
2
2
+ 2ξ
ω s + ω
Z
P
nZ
+ 2ξ
ω s + ω
nP
2
nZ
2
nP
(59)
Generalmente el compensador de filtro de muesca se utiliza en aquellos casos
en los que la planta tiene un par de polos poco amortiguados y cerca del eje
imaginario. Con los ceros del filtro se compensan los polos de la planta (se atraen
hacia la izquierda). Los polos del filtro se colocan lejos del eje imaginario en una
posición más adecuada.
La cancelación exacta de los polos no puede ser obtenida ni debe ser
intentada, el efecto de la cancelación aproximada que se puede lograr es
satisfactorio en la mayoría de los casos.
Ejemplo 7: Compensación usando el filtro de muesca.
Sea el sistema con función de transferencia de lazo abierto
Gs () =
1
2
( s + s+ 10)( s+
3)
realizar el cálculo del compensador.
• Graficamos el lugar de las raíces para G(s).
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Im
Re
Figura 58: Lugar de las raíces para la planta del ejemplo 7.
Como puede observarse en la figura 58, el sistema es estable únicamente para
valores pequeños de ganancia (0< K < 23).
Para los valores de ganancia para los cuales el sistema es estable en lazo
cerrado, los polos complejos conjugados tienen una amortiguación muy pequeña.
• Graficaremos la respuesta al escalón en lazo cerrado para una ganancia K =1.
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h(t)
t [s]
Figura 59: Respuesta de lazo cerrado al escalón de la planta del ejemplo 7 con K=1
Se observa en la figura 59 que la respuesta de lazo cerrado al escalón para la
planta, con ganancia K =1 tiene un sobreimpulso muy grande (41%) producto del
pobre amortiguamiento de los polos. También tiene un tiempo de estabilización
muy largo y un gran error de estado estacionario. Como sabemos al aumentar la
ganancia, la respuesta transitoria empeorará; así que un simple control proporcional
no es el indicado.
Para mejorar la respuesta agregamos entonces un compensador de filtro de
muesca con la función de transferencia siguiente:
Gnotch () s =
s
2
s
2
+ 15 . s+
10
+ 20s+
100
el cual tiene los dos polos en s = -10 y un par de ceros complejos conjugados en s =
-3 +/- j3.072; los cuales son casi iguales que el par de polos complejos conjugados
de la planta; pero, están a la izquierda de éstos.
La ubicación de los ceros del filtro está determinada por los polos de la planta.
Los polos del filtro se colocan de tal manera que el lugar de las raíces se desplace
hacia la izquierda, se puede aplicar la misma técnica que con el compensador de
adelanto. Se deja al lector el desarrollo de una ecuación para ello.
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• Graficamos el nuevo lugar de las raíces para el sistema compensado G notch (s)G(s)
Im
Figura 60: Lugar de las raíces para el sistema con compensador de filtro de muesca
Se puede observar en el nuevo lugar de las raíces, que el par de polos
complejos conjugados de la planta ha sido casi completamente cancelado por el par
de ceros del compensador. También es posible observar que el lugar de las raíces se
encuentra más hacia la izquierda que antes y que ahora los polos dominantes son
los del compensador de filtro de muesca. Por ello, es posible utilizar ahora valores
mayores de ganancia antes de que el sistema se vuelva inestable y ubicar mejor los
polos de lazo cerrado del sistema para obtener un mayor amortiguamiento.
• Escogemos un punto en el lugar de las raíces y calculamos la ganancia para éste.
Se obtiene un valor de K = 200 para el punto escogido, el cual se muestra en la
figura 60.
Para observar el efecto del compensador de filtro de muesca en el sistema,
graficaremos la respuesta de lazo cerrado al escalón para el valor de K = 200
encontrado antes.
• Graficamos la respuesta de lazo cerrado del sistema compensado ante un escalón,
con K = 200.
Re
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h(t)
t [s]
Figura 61: Respuesta al escalón del sistema compensado con filtro, con K=200
Se aprecia en la figura 61 que con una ganancia K = 200, la respuesta
transitoria es mejor, obteniéndose un sobreimpulso de aproximadamente un 10% y
un tiempo de estabilización de menos de 4 segundos.
El error de estado estacionario es menor que antes; aunque no es satisfactorio
aun; pero, puede mejorarse agregando un compensador de atraso o un regulador PI,
lo cual se deja como ejercicio para la casa.
Conclusiones:
• El compensador de filtro de muesca puede ayudar en aquellos casos en los
cuales los otros tipos de compensadores no sirven; especialmente cuando
hay polos complejos cerca del eje imaginario.
• El compensador de filtro de muesca no mejora notablemente ni elimina el
error de estado estacionario.
• El efecto del filtro de muesca consiste en cancelar (aproximadamente) los
polos poco amortiguados de la planta y reemplazarlos por sus propios polos
desplazando el lugar de las raíces hacia la izquierda.
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