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2. Implementación de compensadores y reguladores analógicos

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,PSOHPHQWDFLyQGHFRPSHQVDGRUHV\UHJXODGRUHVDQDOyJLFRV<br />

(OUHJXODGRUSURSRUFLRQDO<br />

Existen tres formas básicas <strong>de</strong> realizar <strong>reguladores</strong> proporcionales con<br />

operacionales: a) en modo inversor, b) en modo no inversor y c) en modo<br />

diferencial. La tabla <strong>2.</strong>1 y las figuras <strong>2.</strong>1 a <strong>2.</strong>3 nos muestran la forma <strong>de</strong><br />

implementar estos <strong>reguladores</strong>.<br />

Tabla <strong>2.</strong>1: Formas <strong>de</strong> implementación <strong>de</strong> <strong>reguladores</strong> proporcionales<br />

0RGR<br />

Inversor<br />

No inversor<br />

Diferencial<br />

*DQDQFLD<br />

SURSRUFLRQDO<br />

. = −<br />

. = 1 +<br />

. =<br />

5<br />

5<br />

5<br />

5<br />

5<br />

5<br />

I<br />

2<br />

I<br />

2<br />

I<br />

0<br />

*DQDQFLDYDULDEOH <br />

0 ≤<br />

5<br />

máx.<br />

I<br />

≤ .<br />

(<strong>2.</strong>1)<br />

1 ≤<br />

5<br />

5<br />

2<br />

I<br />

≤ .<br />

(<strong>2.</strong>2)<br />

0 ≤<br />

5<br />

5<br />

máx.<br />

0<br />

máx.<br />

I<br />

≤ .<br />

(<strong>2.</strong>3)<br />

5<br />

2<br />

Rf<br />

,I<br />

,L<br />

Ro<br />

-<br />

+<br />

8L<br />

,P<br />

Rm<br />

8R<br />

Figura <strong>2.</strong>1: Regulador proporcional inversor<br />

Si se <strong>de</strong>sea ganancia proporcional ajustable se pue<strong>de</strong> sustituir la<br />

resistencia fija R f por una resistencia variable o reóstato.<br />

Implementación <strong>de</strong> <strong>reguladores</strong> analógicos<br />

Pág.88


Rf<br />

,I<br />

8L<br />

Ro<br />

,L<br />

,P<br />

Rm<br />

-<br />

+<br />

8R<br />

Figura <strong>2.</strong>2: Regulador proporcional no inversor<br />

Rf<br />

,I<br />

8<br />

Ro1<br />

Ro2<br />

8<br />

,L<br />

,L<br />

,P<br />

Rm<br />

-<br />

+<br />

8R<br />

Figura <strong>2.</strong>3: Regulador proporcional diferencial<br />

Existe otra forma <strong>de</strong> obtener ganancia proporcional variable y ajustable.<br />

El procedimiento se emplea por lo general únicamente con amplificadores<br />

inversores. Como se muestra en la figura <strong>2.</strong>4, se dispone un potenciómetro en<br />

paralelo con la salida <strong>de</strong>l operacional y la referencia, y se toma la<br />

realimentación <strong>de</strong>l cursor <strong>de</strong>l potenciómetro. Si llamamos α a la relación <strong>de</strong><br />

tensiones ajustada por el potenciómetro, po<strong>de</strong>mos escribir la ganancia<br />

proporcional como:<br />

.<br />

1<br />

5<br />

I<br />

= −<br />

(<strong>2.</strong>4)<br />

α 52<br />

Implementación <strong>de</strong> <strong>reguladores</strong> analógicos<br />

Pág.89


Rf<br />

Ro<br />

-<br />

+<br />

8L<br />

Rm<br />

D8R<br />

Rq<br />

8R<br />

Figura <strong>2.</strong>4: Regulador inversor proporcional <strong>de</strong> ganancia ajustable<br />

La ganancia aumenta al disminuir la relación α, por ello, para evitar<br />

ganancias excesivas se coloca una resistencia entre el potenciómetro y<br />

referencia. A<strong>de</strong>más cuando la resistencia <strong>de</strong> realimentación R f es igual o<br />

menor que la resistencia R q <strong>de</strong>l potenciómetro se hace necesario incorporar un<br />

factor <strong>de</strong> corrección.<br />

El factor <strong>de</strong> corrección es máximo para α = 0.5, sin embargo sólo tiene<br />

importancia para los casos en los que la resistencia <strong>de</strong> realimentación R f es<br />

igual o menor que la resistencia R q <strong>de</strong>l potenciómetro.<br />

5 ⎡ 5<br />

I<br />

. = −<br />

1 ⎢1<br />

+ ( α −α<br />

2 )<br />

α 52<br />

⎢⎣<br />

5<br />

<br />

(OUHJXODGRUGHDFFLyQLQWHJUDO<br />

T<br />

I<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥⎦<br />

(<strong>2.</strong>5)<br />

El montaje inversor es el más usado para este tipo <strong>de</strong> regulador, tiene una<br />

función <strong>de</strong> transferencia dada por la siguiente ecuación:<br />

.<br />

,<br />

1 1 1<br />

( V)<br />

= = = .<br />

V5 & V7<br />

,<br />

V<br />

2<br />

I<br />

,<br />

(<strong>2.</strong>6)<br />

Implementación <strong>de</strong> <strong>reguladores</strong> analógicos<br />

Pág.90


Cf<br />

,I<br />

,L<br />

Ro<br />

-<br />

+<br />

8L<br />

,P<br />

Rm<br />

8R<br />

Figura <strong>2.</strong>5: Regulador inversor <strong>de</strong> acción integral<br />

Si se <strong>de</strong>sea variar la constante <strong>de</strong> tiempo <strong>de</strong> acción integral, esto pue<strong>de</strong><br />

hacerse <strong>de</strong> la misma forma que para el regulador proporcional, simplemente<br />

colocando un potenciómetro en <strong>de</strong>rivación con la salida <strong>de</strong>l amplificador<br />

operacional.<br />

Cf<br />

Ro<br />

-<br />

+<br />

8L<br />

Rm<br />

D8R<br />

Rq<br />

8R<br />

Figura <strong>2.</strong>6: Regulador inversor <strong>de</strong> acción integral con constante ajustable<br />

Tomando en cuenta el factor <strong>de</strong> corrección, la función <strong>de</strong> transferencia<br />

viene dada por:<br />

2<br />

[ 1+<br />

( α −α<br />

V5 ]<br />

1<br />

. )<br />

Vα5<br />

&<br />

( V)<br />

=<br />

&<br />

, T I<br />

2<br />

I<br />

(<strong>2.</strong>7)<br />

Implementación <strong>de</strong> <strong>reguladores</strong> analógicos<br />

Pág.91


El factor <strong>de</strong> corrección expresado entre paréntesis rectangulares<br />

correspon<strong>de</strong> a una componente <strong>de</strong> acción <strong>de</strong>rivada, con un tiempo <strong>de</strong> acción<br />

<strong>de</strong>rivada dado por:<br />

2<br />

[(<br />

α ]<br />

α − )5 T<br />

& I<br />

(<strong>2.</strong>8)<br />

Para que esto no cause problemas <strong>de</strong>be cumplirse que: la resistencia R q<br />

<strong>de</strong>l potenciómetro <strong>de</strong>be ser pequeña comparada con la resistencia <strong>de</strong> entrada<br />

R O .<br />

De todas formas, el controlador <strong>de</strong> acción integral sencillo no se utiliza<br />

muy a menudo. El montaje con acción integral variable se emplea aún con<br />

menos frecuencia como controlador in<strong>de</strong>pendiente.<br />

(OFRQWURODGRU3,<br />

Rf<br />

Cf<br />

Ro<br />

-<br />

+<br />

8L<br />

Rm<br />

8R<br />

Figura <strong>2.</strong>7: Regulador inversor <strong>de</strong> acción proporcional integral<br />

Este tipo <strong>de</strong> controlador se utiliza con mucha frecuencia en los<br />

accionamientos y en el campo <strong>de</strong> la energía eléctrica.<br />

Consi<strong>de</strong>remos primero el montaje con amplificador inversor mostrado<br />

en la figura <strong>2.</strong>7 y cuya función <strong>de</strong> transferencia está dada por la ecuación <strong>2.</strong>9.<br />

.<br />

3,<br />

⎛ ⎞<br />

⎜<br />

1<br />

V ⎟ ⎛ 1 ⎞<br />

+<br />

V<br />

5 V5 &<br />

5 &<br />

⎜ +<br />

I I<br />

7<br />

⎟<br />

⎛ 1+<br />

⎞<br />

I<br />

I I<br />

,<br />

( V)<br />

= − ⎜ ⎟ = .<br />

⎝ ⎠<br />

= .<br />

⎝ ⎠ (<strong>2.</strong>9)<br />

3<br />

3<br />

5<br />

V5 &<br />

V<br />

V<br />

2 ⎝ I I ⎠<br />

Implementación <strong>de</strong> <strong>reguladores</strong> analógicos<br />

Pág.92


Si interesa po<strong>de</strong>r ajustar la ganancia proporcional <strong>de</strong>l controlador PI<br />

mediante un potenciómetro, <strong>de</strong>be emplearse el montaje <strong>de</strong> la figura <strong>2.</strong>8 en<br />

don<strong>de</strong> la ganancia proporcional ajustable K Pα y el tiempo <strong>de</strong> acción integral<br />

ajustable T Iβ se calculan <strong>de</strong> la siguiente forma:<br />

5 ⎡ 5 ⎤<br />

I<br />

T<br />

. = −<br />

1 ⎢1<br />

+ ( −<br />

2<br />

3α α α ) ⎥<br />

(<strong>2.</strong>10)<br />

5 α<br />

2 ⎢⎣<br />

5<br />

I ⎥⎦<br />

5 ⎡<br />

⎤<br />

I<br />

⋅ β5<br />

S<br />

5<br />

2 T<br />

β<br />

=<br />

I ⎢1<br />

+ ( α −α<br />

) ⎥<br />

(<strong>2.</strong>11)<br />

5<br />

I<br />

+ β5<br />

S ⎢⎣<br />

5<br />

I ⎥⎦<br />

,<br />

Rf<br />

Cf<br />

Ro<br />

-<br />

+<br />

8L<br />

Rm<br />

E5S<br />

Rp<br />

D8R<br />

Rq<br />

8R<br />

Figura <strong>2.</strong>8: Regulador inversor <strong>de</strong> acción proporcional integral ajustable<br />

El reóstato R P <strong>de</strong>be tener una relación <strong>de</strong> división β comprendida entre<br />

0.01 y 1. Si la resistencia fija <strong>de</strong>l reóstato R p es aproximadamente 0.1 R f y su<br />

resistencia global máxima <strong>de</strong> 10 R f , el tiempo <strong>de</strong> acción integral T Iβ pue<strong>de</strong><br />

ajustarse en la relación 1 a 10. Los ajustes son casi in<strong>de</strong>pendientes y un ajuste<br />

erróneo <strong>de</strong> la ganancia proporcional se corrige mediante una variación <strong>de</strong> la<br />

relación <strong>de</strong> división α y un ajuste erróneo <strong>de</strong>l tiempo <strong>de</strong> acción integral,<br />

<strong>de</strong>bido a la influencia <strong>de</strong>l ajuste <strong>de</strong> la ganancia proporcional K pα , se elimina<br />

con una pequeña modificación <strong>de</strong> la relación <strong>de</strong> división β.<br />

<br />

(OFRPSHQVDGRUGHDGHODQWR3'<br />

Realizado con un operacional inversor, el compensador <strong>de</strong> a<strong>de</strong>lanto o<br />

PD tiene la función <strong>de</strong> transferencia dada en la ecuación <strong>2.</strong>1<strong>2.</strong><br />

Implementación <strong>de</strong> <strong>reguladores</strong> analógicos<br />

Pág.93


Rf1<br />

Rf2<br />

Ro<br />

-<br />

+<br />

Cq<br />

8L<br />

Rm<br />

Rd<br />

8R<br />

Figura <strong>2.</strong>9: Regulador inversor <strong>de</strong> acción proporcional <strong>de</strong>rivada o PD<br />

.<br />

3'<br />

5<br />

( V)<br />

= −<br />

⎛<br />

⎜<br />

5<br />

⋅ 5<br />

⎞<br />

⎟<br />

I 1 I 2<br />

1+<br />

V + 5G<br />

&<br />

T<br />

I<br />

5 ⎜ 5<br />

I<br />

I<br />

5 ⎟<br />

⎝ +<br />

1<br />

+<br />

2<br />

1 I 2 ⎠ 1+<br />

V(<br />

'<br />

+ WG<br />

)<br />

= −.<br />

(<strong>2.</strong>12)<br />

3<br />

52<br />

1+<br />

V5G&<br />

T<br />

1+<br />

VWG<br />

La resistencia <strong>de</strong> amortiguamiento R d evita la entrada en oscilación <strong>de</strong>l<br />

circuito y da lugar a la constante <strong>de</strong> tiempo parásita t d .<br />

Si se <strong>de</strong>sea un regulador PD ajustable, se pue<strong>de</strong> usar el circuito usado en<br />

el regulador PID ajustable mostrado en la figura <strong>2.</strong>11. El regulador PD<br />

ajustable correspon<strong>de</strong> al circuito más a la <strong>de</strong>recha en esa figura y es un<br />

circuito no inversor con ganancia proporcional igual a uno. La función <strong>de</strong><br />

transferencia para este regulador se muestra en la ecuación <strong>2.</strong>13.<br />

(OUHJXODGRU3,'<br />

.<br />

3'<br />

( V)<br />

=<br />

(1 + V7<br />

(1 + VW<br />

'<br />

G<br />

γ<br />

)<br />

)<br />

(<strong>2.</strong>13)<br />

La combinación <strong>de</strong> las acciones PI y PD da lugar a la acción PID o<br />

acción proporcional, integral y <strong>de</strong>rivada.<br />

.<br />

3,'<br />

( V)<br />

= −<br />

[ 1+<br />

V(<br />

5 + 5 )&<br />

]<br />

I<br />

1<br />

I<br />

V5<br />

2<br />

2<br />

&<br />

I<br />

⎡ 5<br />

I<br />

⋅ 1<br />

I ⎢ + V<br />

⎢⎣<br />

5<br />

I<br />

(1 + V5 & )<br />

G<br />

T<br />

1<br />

1<br />

⋅ 5<br />

I<br />

+ 5<br />

I<br />

2<br />

2<br />

&<br />

T<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥⎦<br />

(<strong>2.</strong>14)<br />

Implementación <strong>de</strong> <strong>reguladores</strong> analógicos<br />

Pág.94


Empleando un amplificador inversor se obtiene el PID mostrado en la<br />

figura <strong>2.</strong>10; po<strong>de</strong>mos escribir la función <strong>de</strong> transferencia siguiente para el<br />

circuito PID:<br />

Rf1<br />

Cf<br />

Rf2<br />

Ro<br />

-<br />

+<br />

Cq<br />

8L<br />

Rm<br />

Rd<br />

8R<br />

Figura <strong>2.</strong>10: Regulador inversor <strong>de</strong> acción PID<br />

Existen a<strong>de</strong>más circuitos como <strong>de</strong>l <strong>de</strong> la figura <strong>2.</strong>11 que permiten variar<br />

todos los parámetros <strong>de</strong>l PID y está formado por tres amplificadores<br />

operacionales. La función <strong>de</strong> transferencia <strong>de</strong> este circuito se encuentra en la<br />

ecuación <strong>2.</strong>15 con los parámetros dados por las ecuaciones siguientes:<br />

7<br />

5<br />

1 ⎡<br />

5 ⎤<br />

2 T<br />

⋅ ⎢1<br />

+ ( α −α<br />

) ⎥<br />

α ⎢⎣<br />

5<br />

I 1 ⎥⎦<br />

⋅ 53<br />

50<br />

& 7 = α ⋅ β ⋅ ⋅ 5 ⋅<br />

P<br />

P<br />

+ 5<br />

5<br />

I 1<br />

3α =<br />

, β<br />

= β ⋅ ⋅ &<br />

P I<br />

50<br />

5<br />

I 2<br />

= γ<br />

&<br />

' γ ,<br />

γ ⋅ 5<br />

I<br />

I<br />

I 1<br />

2<br />

.<br />

3,'<br />

3<br />

( V)<br />

= −.<br />

3<br />

= ε ⋅7<br />

G<br />

αβ ' γ<br />

[ 1+<br />

V7 ] ⋅[ 1+<br />

V7 ]<br />

α (<strong>2.</strong>15)<br />

V7 (1 + VW )<br />

,<br />

,<br />

β<br />

αβ<br />

G<br />

'<br />

γ<br />

Cf<br />

Rf1<br />

J 5I<br />

Ro<br />

-<br />

+<br />

8<br />

R1<br />

-<br />

+<br />

8<br />

H 5<br />

H 5<br />

8L<br />

Rm1<br />

D8<br />

Rq<br />

5P<br />

R2<br />

Cm<br />

-<br />

+<br />

8R<br />

Figura <strong>2.</strong>11: Regulador PID ajustable<br />

Implementación <strong>de</strong> <strong>reguladores</strong> analógicos<br />

Pág.95

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