Cap´ıtulo 5 Análisis frecuencial

5 Análisis frecuencial
se tiene que
y puesto que
∫ Fs/2
−F s/2
x a (t) = 1 ∫ [
Fs/2 ∑ ∞
F s
−F s/2
= 1 F s
∞
∑
n=−∞
n=−∞
∫ Fs/2
x(n)
x(n)e −j2πF n/Fs ]
e j2πF t dF
−F s/2
e j2πF(t− n Fs ) dF
n
e j2πF(t− n ) )
F s/2
Fs dF = ej2πF(t− Fs n
)
j2π
) − n = ejπFs(t− Fs − e −jπFs(t− n Fs
)
)
∣
F s
j2π
(t − n F
−F s s/2
))
))
sen
(πF s
(t − n F s
F s sen
(πF s
(t − n F s
=
) = ( )
π
(t − n F s
πF s t − n F s
= F s sa
(πF s
[t − n ])
F s
entonces
x a (t) =
=
∞∑
n=−∞
∞∑
n=−∞
x(n) sa
(πF s
[t − n ])
F s
x a (nT ) sa (πF s [t − nT ])
que es la interpolación de las muestras utilizando el interpolador ideal
g(t) = sen ( π t T
π t T
)
(
= sa π t )
. (5.5)
T
Nótese que g(t) es cero para t = kT , k ∈ Z \ 0. En otras palabras, si x a (t) es de
banda limitada B y x(n) = x a (nT ) es muestreada con F s ≥ 2B entonces x a (t) puede ser
reconstruida completamente y de forma única utilizando el interpolador g(t) dado en (5.5).
Debe advertirse, sin embargo, que g(t) tiene extensión infinita y no es causal, por lo que en
aplicaciones prácticas suele aproximarse con interpoladores finitos. La figura 5.10 muestra
un ejemplo de interpolación de una secuencia finita de muestras x(n) = {0, 3, 2, −1, 1, 0}.
Se aprecia que la función interpolada atraviesa todas las muestras, mientras que para
valores de t no enteros todas las muestras contribuyen al valor interpolado.
160 c○2005-2007 — P. Alvarado Uso exclusivo ITCR