Capítulo 4 - josé luis gonzález marí

Parte II.- Plan de formación
Capítulo 4
__________________________________________________________
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Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
4.1.- Introducción.
En este capítulo se aplica con detalle la estructura y la organización curricular que hemos analizado
en el capítulo anterior para las tres partes del diseño del plan de formación que proponemos,
es decir:
- la parte general o programa;
- los temas o unidades didácticas (parte teórica de la asignatura), tanto generales o comunes
como específicas;
- las Prácticas de Enseñanza y los Seminarios de Prácticas de Enseñanza.
En lo que respecta al Programa, sólo se incluyen aquí los resultados y las decisiones adoptadas
como consecuencia del análisis amplio que se expone en el capítulo anterior, al que nos remitimos
para una información completa sobre las fuentes, criterios y argumentos que hemos utilizado en la
elaboración del plan que presentamos. En lo que se refiere a las unidades didácticas o temas y a los
seminarios de prácticas, el desarrollo es un poco más detallado, pero también es necesario acudir al
capítulo anterior así como al apartado 2.7 del capítulo 2, dedicado a las prácticas de enseñanza,
para tener una panorámica más completa de algunos de sus aspectos. Podemos decir, en definitiva,
que el plan de formación se concreta en los capítulos 3 y 4; ambos contribuyen a poner de manifiesto
sus características y su globalidad como unidad de planificación y propuesta de acción.
4.2 Programa de la asignatura
4.2.1 OBJETIVOS
Se pretende que el alumno:
1.- Reconstruya el conocimiento vulgar e incompleto adquirido a través de la propia experiencia
sobre las matemáticas, su enseñanza y aprendizaje y consolide la formación necesaria tanto para
dominar los contenidos matemáticos que configuran el currículo de Educación Primaria como para
enseñarlos adecuadamente en dichos niveles;

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Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
2.- Conozca y sepa ejemplificar el carácter interdisciplinar, constructivo, formativo y de utilidad
de las matemáticas y desarrolle actitudes positivas con respecto a las características propias del
conocimiento matemático, tales como: abstracción, prueba, invención y aplicación, así como a los
valores que se consideran educativos en matemáticas, como por ejemplo: comprensión, comunicación,
iniciativa, búsqueda, cooperación, indagación crítica, investigación;
3.- Conozca las orientaciones oficiales para el área de matemáticas en Educación Primaria y adquiera
los conocimientos y destrezas así como la actitud crítica necesarias para analizar los programas,
los libros de texto y la enseñanza usual desde una perspectiva didáctica fundamentada;
4.- Conozca los principales recursos y materiales didácticos estructurados para la enseñanzaaprendizaje
de la Matemática en estos niveles y sea capaz de utilizarlos correctamente;
5.- Conozca los factores que intervienen y los métodos usuales para efectuar el análisis didáctico
de contenidos matemáticos como instrumentos útiles para la labor docente y sea capaz de seleccionar
y utilizar en casos concretos el material documental necesario para ello;
6.- Sea capaz de analizar la problemática específica de los procesos de enseñanza-aprendizaje de
la Matemática en los distintos niveles de Educación Primaria y realizar propuestas didácticas concretas
para aspectos puntuales del currículum;
7.- Conozca y sea capaz de utilizar procedimientos y técnicas para la observación, el diagnóstico
y la evaluación de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas;
8.- Conozca los procedimientos, técnicas, recursos y métodos didácticos habituales para el diseño
y el desarrollo del currículo de matemáticas y sea capaz de analizarlos desde un punto de vista
crítico, proponiendo en su caso alternativas viables.
9.- Realice una primera incursión de tipo experimental en las principales teorías, técnicas y
métodos actuales de enseñanza de las matemáticas y desarrolle capacidades didácticas de intervención
en la práctica, tales como: observación y análisis, flexibilidad, descentración, diseño, explicación,
comunicación, experimentación, evaluación;
10.- Conozca las características reales de la labor docente en matemáticas y adquiera conocimientos
profesionales sobre la naturaleza, factores y condiciones en las que se producen los complejos
y diversificados procesos de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas así como sobre los
modos didácticos de organizar los mismos;
11.- Desarrolle una actitud crítica hacia la tarea docente, fruto de la reflexión sobre la aplicación
práctica de los conocimientos adquiridos en Didáctica de la Matemática, y aprenda a concebir la
enseñanza de las matemáticas como un proceso de investigación permanente;
12.- Adquiera un conocimiento integrado sobre la teoría y la práctica y sea capaz de articular y
materializar las relaciones entre ambas en aplicaciones didácticas concretas.
13.- Adquiera un elevado grado de autonomía profesional traducida en el desarrollo de competencias
de autoformación, comunicación y trabajo cooperativo así como en una buena capacidad
para analizar y dar respuestas idóneas a los problemas didácticos que surgen cotidianamente en el
desarrollo de los procesos de enseñanza-aprendizaje en el aula.
4.2.2 CONTENIDOS
Se relacionan a continuación los contenidos generales agrupados en las tres partes en que hemos
dividido el plan: general, específica y prácticas de enseñanza y seminarios.
CONTENIDOS DIDÁCTICOS GENERALES
En este apartado se relacionan los temas generales de Didáctica de la Matemática que se van a
considerar. En torno a ellos se aglutinan los principales problemas, la terminología usual, una parte
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Didáctica de la Matemática y Prácticas de Enseñanza en Matemáticas en Educación Primaria
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de los fundamentos del resto del programa, los conceptos y procedimientos comunes a las unidades
didácticas y los marcos teóricos en los que se sitúa la Educación Matemática, su planificación y
desarrollo. En el presente proyecto serán tratados a nivel de iniciación, llegándose a la profundidad
que las circunstancias, interés y formación de los alumnos lo permitan.
Tema 1.- Fundamentos de la Educación Matemática
Tema 2.- El Currículum de Matemáticas en Educación Primaria.
Tema 3.- Análisis didáctico de contenidos matemáticos en Educación Primaria
El tema 1 se orienta a la iniciación en aspectos fundamentales de la Educación Matemática y de
la Didáctica de la Matemática, tales como: los fines, las características y las distintas concepciones
del conocimiento matemático, las matemáticas como elemento de cultura, las matemáticas en la
sociedad actual y en las ciencias, los factores y las relaciones que intevienen, las tendencias, el
aprendizaje matemático, la evaluación, la enseñanza y el currículo, etc.
La finalidad básica del tema 2 se centra en conocer los aspectos generales del diseño curricular
de matemáticas en Primaria, estudiar su estructura y elementos y analizar, dentro del marco establecido
en el capítulo 1, las orientaciones oficiales, los programas y los libros de texto.
El análisis más detallado de los factores que intervienen en la planificación y el desarrollo de la
Educación Matemática, la relaciones entre ellos así como las fuentes conceptuales, procedimentales
y documentales y los modos de aplicación concreta, constituyen uno de los pilares fundamentales
del conocimiento profesional que surge del marco general establecido en los temas anteriores y que
se desarrolla en el tema 3.
CONTENIDOS DIDÁCTICO-MATEMÁTICOS ESCOLARES O INSTRUMENTALES
En los diseños curriculares oficiales se reconocen cuatro bloques de contenidos: Números y
Operaciones, Magnitudes y Medida, Geometría y Estadística y Azar. Un análisis detallado de cada
bloque permite diferenciar contenidos en unidades de información más pequeñas (temas o unidades
didácticas específicas), que tienen entidad propia y permiten un tratamiento individualizado, a pesar
de lo cual, somos conscientes de las evidentes interconexiones existentes entre los cuatro bloques
mencionados y entre todo el conocimiento matemático en general. Las unidades didácticas específicas
que vamos a considerar y que se deducen del análisis mencionado, agrupadas por bloques
temáticos y organizadas en el orden que se expone a continuación, son las siguientes:
Bloque temático: Números y Operaciones
Tema 4.- El número natural y sistemas de numeración.
Tema 5.- Estructura aditiva. Adición y Sustracción.
Tema 6.- Relatividad aditivo-ordinal y números con signo.
Tema 7.- Estructura multiplicativa. Multiplicación y División.
Tema 8.- Relatividad multiplicativa. Fracciones.
Tema 9.- Números decimales.
El tema 4 está dedicado al concepto de número natural y a su representación mediante el Sistema
de Numeración Decimal. También se dan a conocer otros sistemas de representación históricos.
Las operaciones aritméticas con números naturales están recogidas en dos temas dedicados a la
Estructura Aditiva (tema 5) y a la Estructura Multiplicativa (tema 7), que tienen su prolongación
natural, respectivamente, en los campos de la relatividad aditivo-ordinal (tema 6) y de la relatividad
multiplicativa (tema 8), cuyas nociones numéricas correspondientes son los números naturales relativos
o números con signo y las fracciones. El último tema de este bloque está dedicado a los
números decimales (tema 9), que hemos considerado conveniente separar del tema anterior por su
importancia y especial dificultad.
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Bloque temático: Geometría
Tema 10.- Geometría del plano. Figuras planas.
Tema 11.- Geometría del espacio. Cuerpos geométricos.
Tema 12.- Transformaciones geométricas.
Los dos primeros temas están dedicados al estudio de la geometría del plano y del espacio, en
ese orden, si bien es necesario considerar también el paso del espacio al plano. Por último, el tema
de transformaciones geométricas trata los movimientos y las propiedades geométricas ante los
mismos, con la salvedad de la semejanza, que es tratada dentro del tema dedicado a la proporcionalidad.
Bloque temático: Magnitudes y Medida
Tema 13.- Magnitudes lineales y su medida.
Tema 14.- Superficie y Volumen.
Tema 15.- Proporcionalidad.
En el tema Magnitudes lineales y su medida se presentan los conceptos de magnitud y medida y
las magnitudes lineales longitud, amplitud, capacidad, masa, tiempo y dinero; el trabajo se centra
fundamentalmente en la magnitud longitud. En el tema Superficie y Volumen se estudian estas
magnitudes así como las medidas indirectas en base al empleo de fórmulas. Por último, en el tema
Proporcionalidad se abordan los dos aspectos, aritmético y geométrico, de la misma.
Bloque temático: Estadística y Azar
Tema 16.- Probabilidad
Tema 17.- Estadística
CONTENIDOS PRÁCTICO-TEÓRICOS (PRÁCTICAS DE ENSEÑANZA EN MATEMÁTICAS)
Se trata del tercer núcleo de la asignatura dedicado fundamentalmente a la intervención en el aula
de Primaria y a la reflexión práctico-teórica en seminarios planificados para ello. En esta parte se
considera la doble vertiente teórica y práctica como el único factor aglutinador que permite especificar
unos contenidos que puedan ir más allá de la mera práctica habitual como única práctica viable.
Los contenidos de esta parte no van a estar diversificados en temas como en los casos anteriores,
sino que se realizará un diseño conjunto, en un sólo bloque, que se expone al final del presente
capítulo. Adelantamos a continuación algunos de los aspectos en torno a los contenidos que centran
la atención de esta parte fundamental del plan de formación:
a).- El currículo de Matemáticas en Primaria: planificación, desarrollo y relaciones.
b).- La Didáctica de la Matemática y la práctica docente en matemáticas: análisis comparativo
teórico-práctico de las componentes curriculares (recursos, métodos, evaluación, contenidos, etc.);
la práctica habitual y la práctica posible a la luz de los conocimientos existentes sobre Didáctica de
la matemática.
c).- Diseño y desarrollo práctico de temas puntuales del currículo de Matemáticas de Primaria:
factores, relaciones, secuenciación, desajustes, evaluación, etc..
d).- La práctica docente en Matemáticas como actividad profesional: características, conocimientos,
capacidades y destrezas profesionales específicas; necesidades; diferencias con otras
prácticas docentes; etc.
4.2.3 METODOLOGÍA
La metodología del plan de formación se articula en torno a los siguientes elementos: orientaciones
generales, estrategias metodológicas y tipos de tareas y papel del profesor.
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Orientaciones generales
- Pluralismo metodológico y organización flexible;
- Interacción contínua entre la actividad práctica, entendida como “actividad interna”, la reflexión
y la indagación;
- Orientar la formación para que resulte un proceso social y dinámico de participación;
- Buscar la evolución del pensamiento matemático, didáctico y práctico de los alumnos
hacia cotas adecuadas a la labor profesional;
- Orientar la mayor parte del proceso sobre la base de los principios del constructivismo,
del aprendizaje significativo y del trabajo cooperativo;
- Dar prioridad al protagonismo de los alumnos;
Estrategias metodológicas y tipos de tareas
-Trabajar sobre:
-el diagnóstico y la planificación de la enseñanza, el aprendizaje matemático y el cu
rrículo de matemáticas de Primaria;
- la lectura de documentos y la reflexión sobre ella;
- el análisis y la valoración de unidades y materiales curriculares;
- la elaboración y preparación de actividades y unidades didácticas;
- las conexiones entre la teoría y la práctica;
- Proporcionar experiencias sobre:
- los elementos del análisis didáctico de los conocimientos matemáticos y las tareas
relacionadas con el currículo escolar (laboratorio y resolucón de problemas);
- la práctica docente;
- metacognición sobre las relaciones teoría-práctica;
- Utilizar:
- cuestiones y problemas sencillos para empezar;
- trabajo individual y en pequeño grupo;
- exposiciones, debates o puestas en común en el gran grupo;
- tareas motivadoras, creativas y curiosas;
- la negociación;
- el análisis y la valoración individual o en grupo acerca del desarrollo de cada tema;
- la reflexión sobre la práctica y la observación guiada;
- Favorecer:
- la explicitación de conocimientos y creencias previas y la reflexión sobre ellas;
- la participación;
- el aprendizaje significativo;
- la autonomía y la autoestima;
- la explicitación de puntos de vista y la discusión sobre ellos;
Los tipos de actividades a realizar en el desarrollo de la asignatura son:
1.- De explicitación de conocimientos y creencias previas;
2.- De iniciación: para motivar, organizar o enlazar con conocimientos anteriores;
3.- De exploración / experimentación: descubrimiento personal;
4.- De integración: organizar y relacionar diferentes informaciones;
5.- De creación: crear a partir de los conocimientos adquiridos;
6.- De comunicación de los conocimientos;
7.- De consolidación de lo aprendido / recursión;
8.- De aplicación: hacer uso de lo aprendido en situaciones concretas;
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Por su carácter específico, hemos de añadir los siguientes tipos de tareas a realizar en las prácticas
de enseñanza, algunos de los cuales se pueden integrar en los tipos anteriormente indicados:
9.- Observaciones;
10.- Intervenciones puntuales dirigidas;
11.- Intervenciones autónomas;
12.- Reflexiones práctico-teóricas;
13.- Elaboración de informes;
14.- Aplicaciones / investigaciones puntuales en el aula de Primaria.
Papel del profesor
1.- Introducir, proponer, negociar y organizar el trabajo;
2.- Exponer y explicar aquéllos contenidos que lo requieran;
3.- Proponer actividades y observar y controlar su ejecución;
4.- Orientar sobre los trabajos de documentación y el desarrollo de las actividades;
5.- Coordinar los debates y las exposiciones;
6.- Motivar y animar a la participación;
7.- Saber esperar y confiar en las posibilidades de los alumnos;
8.- Dar confianza, enseñar a tomar decisiones y favorecer la autonomía intelectual y profesional;
4.2.4 MATERIALES Y RECURSOS
Material escolar
- material didáctico estructurado propio de cada unidad didáctica;
- material no estructurado apropiado para cada unidad didáctica (palillos, botones, etc.);
- calculadora;
- papel cuadriculado;
- cartulinas de colores;
- regla y compás;
- papel;
- tijeras y pegamento; etc.
Documentación
- documentos oficiales sobre el diseño curricular de Matemáticas en Educación Primaria de
la Junta de Andalucía y del M.E.C.;
- colecciones de libros de texto de varias editoriales;
- guiones y documentos elaborados para cada uno de los temas para evitar la dinámica
clásica basada en la toma de apuntes y dedicar más tiempo a las tareas que se indican en el apartado
anterior;
- bibliografía comentada y clasificada: información básica, lecturas complementarias, libros
de consulta, etc.;
Otros materiales y recursos
- cuadernos, ejercicios, controles y producciones matemáticas escritas de los escolares;
- retroproyector; pizarra, transparencias; cámara de vídeo; televisor; reproductor de vídeo;
magnetófono; ordenador;
- secuencias videofilmadas de situaciones de enseñanza y aprendizaje escolar, actuaciones
docentes, uso de materiales y recursos particulares, etc.;
- grabaciones de entrevistas y experiencias clínicas individuales con alumnos de Primaria
sobre aspectos específicos del aprendizaje matemático.
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4.2.5 EVALUACIÓN
De los aprendizajes y el rendimiento de los alumnos:
- externa:
• Asistencia, iniciativa, interés y participación (frecuencia, calidad, razona
mientos, etc.);
• Trabajos individuales en cada unidad didáctica específica:
- completar / desarrollar un aspecto concreto de lo iniciado / propues
to en el Laboratorio de Matemáticas;
- completar un aspecto concreto de lo iniciado / propuesto en el La
boratorio de Didáctica de la Matemática;
- conexión teoría-práctica (propuestas y reflexiones);
• Trabajo de grupo sobre diseño en cada unidad didáctica específica;
• Informes de observación, aplicación / investigación e intervención en el aula
de Primaria (al menos un trabajo de cada tipo a desarrollar en 2º y/o en 3º);
• Exámen al finalizar el período correspondiente a 2º curso, obligatorio para
los alumnos que no hayan respondido satisfactoriamente a la parte mínima
de los aspectos anteriores que se decida mediante negociación;
• Memoria de Prácticas de Enseñanza;
• Valoración de los maestros tutores de prácticas;
- interna:
• Autoevaluación razonada;
- conjunta:
• Valoración global final del profesor al terminar cada unidad didáctica especí
fica; exposición y debate en gran grupo;
De la planificación de la asignatura:
• Valoración conjunta periódica;
• Encuestas a los alumnos al finalizar el 2º curso y el período de prácticas;
• Informe del profesor, exposición y debate final sobre el desarrollo del cur
so en ambos períodos;
De la gestión y el desarrollo del proceso:
• Valoración conjunta periódica;
• Encuesta a los alumnos al finalizar el curso en ambos períodos;
• Autoevaluación razonada del profesor: explicación y debate;
4.3 Unidades Didácticas generales
TEMA 1.- FUNDAMENTOS DE LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA
1.1.- INTRODUCCIÓN
El tema, de carácter introductorio general para enmarcar y dar paso a los aspectos más específicos
de la formación profesional, se orienta a la iniciación en aspectos básicos de la Educación Matemática
y de la Didáctica de la Matemática, tales como: los fines, las características y las distintas
concepciones del conocimiento matemático, las matemáticas como elemento de cultura, las ma-
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temáticas en la sociedad actual y en las ciencias, los factores y las relaciones que intevienen, las
tendencias en Educación Matemática, el aprendizaje matemático, la enseñanza y el currículo, la
evaluación, etc. El nivel debe ser apropiado hasta donde sea posible, el tratamiento sencillo y no
exhaustivo, utilizando ejemplos asequibles y elementales, y el objetivo fundamental debe consistir
en lograr una comprensión aceptable del marco general y sus elementos fundamentales así como
iniciar el proceso hacia un cierto dominio de la terminología básica.
1.2.- CONTENIDOS
1.- Consideraciones generales sobre las matemáticas y su enseñanza;
- Aspectos históricos, epistemológicos y fenomenológicos; distintas concepciones
- Aspectos sociales y culturales;
2.- Educación Matemática;
- Matemáticas y Educación Matemática;
- Fines de la Educación Matemática;
- Factores y componentes de la Educación Matemática;
- Tendencias actuales en Educación Matemática;
- El educador matemático;
3.- El aprendizaje matemático;
4.- El currículo de Matemáticas.
- Diferentes aproximaciones y concepto de currículo desde la educación matemática;
- Proyectos y documentos curriculares;
- Disciplinas que fundamentan el currículo;
5.- La enseñanza-aprendizaje de las matemáticas.
- Aspectos metodológicos; laboratorio de matemáticas y resolución de problemas;
- Los libros de texto;
- La evaluación en matemáticas;
6.- Didáctica de la Matemática.
Veamos algunas indicaciones sobre el contenido específico, la orientación, las fuentes y el desarrollo
de los apartados mencionados.
1.- Consideraciones generales sobre las matemáticas y su enseñanza
Tanto con este primer punto como con el resto del tema, que aunque figure al comienzo del
programa no significa que su tratamiento se agote aquí, se quiere empezar con una reflexión inicial
sobre las matemáticas y su enseñanza, partiendo de los conocimientos y experiencias de los alumnos
sobre la disciplina. Dicha reflexión está inspirada, básicamente, en las consideraciones que aparecen
directa o indirectamente en los diseños curriculares oficiales, en los conocidos informes
Cockcroft y del ICMI de Kuwait, en las consideraciones preliminares de Romberg (1991) sobre las
matemáticas, su enseñanza y el currículo de matemáticas, en algunas de las reflexiones sobre Epistemología
de la Matemática incluídas en Davis y Hersh (1988) (como, por ejemplo, su descripción
del trabajo del matemático profesional y las consecuencias que se deducen), en las reflexiones sobre
Epistemología y Educación Matemática (González y otros, 1994), en la organización cognitiva
del conocimiento matemático (Rico, L. y otros, 1997, págs. 30 y sigtes.), en las consideraciones de
Gómez (1992) sobre las matemáticas y el proceso educativo y en las que realiza Coriat, en Rico
(1997), sobre la Cultura, la Educación Matemática y el Currículo.
Las fuentes mencionadas no se tratan todas al mismo nivel. Algunas de ellas se utilizan directamente
como lecturas para la reflexión (informes, trabajo de Romberg, organización cognitiva de
conocimientos matemáticos y ejemplos), otras se utilizan como elemento motivador y para suscitar
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la discusión (los distintos enfoques de la enseñanza del cuadrado de un binomio (¿cómo crecen los
cuadrados?), según Gómez) y otras se interpretan, extractan y reelaboran para su adaptación al
nivel de los alumnos.
Las preguntas básicas que centran la reflexión son las siguientes: ¿qué son las matemáticas?;
¿qué características básicas tiene el conocimiento matemático?; ¿qué es enseñar matemáticas?;
¿cuál es la utilidad del conocimiento matemático?; ¿qué es aprender matemáticas?; ¿cómo se enseñan
y se aprenden en la actualidad?; ¿Por qué enseñar-aprender matemáticas?; ¿cómo se han considerado
las matemáticas y cómo se consideran en la actualidad?. No se pretende buscar una respuesta
cerrada a estas cuestiones, entre otras cosas por la extensión y complejidad que encierran,
sino iniciar la reflexión y tomar ciertas referencias que serán utilizadas en el desarrollo del resto de
las unidades didácticas.
La reflexión explícita que se hace sobre las cuestiones anteriores en los documentos curriculares
así como las consecuencias prácticas más evidentes que se pueden observar en dichos documentos
sobre otros aspectos y características del conocimiento matemático, no tratados explícitamente en
ellos (modo de organización, orientaciones metodológicas), constituyen puntos de arranque para el
tratamiento de las cuestiones planteadas así como las primeras incursiones en el análisis curricular
que se desarrolla en los restantes capítulos del programa.
2.- Educación Matemática
En este apartado se continuan las reflexiones iniciadas en el apartado anterior sobre la enseñanza
de las matemáticas para tratar las características generales del campo de la Educación Matemática
así como las diferencias y relaciones entre las Matemáticas y la Educación Matemática como campos
de características, actividades y problemas diferentes. Es de destacar aquí que el tratamiento de
este primer aspecto del apartado debe culminar en la consideración que hacen Rico, Sierra y Castro
(1999):
“Denominamos Educación Matemática al conjunto de procesos implicados en
la construcción, representación, transmisión y valoración del conocimiento matemático
que tienen lugar con carácter intencional. El sistema convencional de
enseñanza de las matemáticas y sus procesos de aprendizaje son parte relevante
de la educación en las sociedades contemporáneas avanzadas”. (pág. 2).
La reflexión y el análisis de los aspectos anteriores se debe completar con una atención especial
a los fines de la Educación Matemática, dirigida a reflexionar y dar respuestas a interrogantes como
los siguientes: ¿para qué enseñar-aprender matemáticas?; ¿de qué les sirve al individuo y a la sociedad
el estudio de las matemáticas?. Se trata, en nuestra opinión, de una cuestión crucial en la formación
inicial del profesorado, por lo que proponemos que se inicie aquí y se suscite con frecuencia
a lo largo de todo el programa. Utilizaremos los documentos del apartado anterior, prestando
atención especial al trabajo de Romberg (obra citada), a los documentos curriculares oficiales así
como a los informes citados. Asímismo, nos detendremos en la lectura, reflexión y elaboración de
conclusiones del artículo: Rico, L. (1997).- Reflexión sobre los fines de la Educación Matemática.
Suma nº 24, págs. 5-19, y utilizaremos la intervención de Niss en el CIDE de 1995 bajo el título
“¿por qué enseñamos matemáticas en la escuela?”.
Dos aspectos complementarios importantes para completar la visión general sobre el campo de
la Educación Matemática, son los que se refieren a los factores y componentes de la Educación
Matemática y a las tendencias actuales en Educación Matemática. Con respecto al primero de ellos,
es necesario realizar un análisis elemental, en gran grupo, de las actividades diversas que se producen
en torno a los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas así como de las personas
e instituciones que intervienen. Además de identificar los diferentes elementos, se tratará de
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Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
establecer las relaciones entre ellos y realizar una o varias clasificaciones empleando criterios diversos.
Adicionalmente, se realizará una reflexión sobre los campos de conocimientos y las disciplinas
relacionadas con la Educación Matemática, que se completará con el esquema debido a Steiner que
se incluye en Gutiérrez (1991). Aquí aprovecharemos para indicar brevemente las diferencias entre
Educación Matemática y Didáctica de la Matemática que se exponen en el capítulo 1.
Las tendencias actuales en Educación Matemática se tratarán a nivel operativo concreto escolar
(materialización en el aula), de iniciación y partiendo de un esquema de las orientaciones generales
de los diseños curriculares para Primaria. Después de establecer las principales características generales
del enfoque actual de las matemáticas escolares en España, pasaremos a analizar brevemente
otros enfoques sin ánimo de exhaustividad, como por ejemplo: la enseñanza por diagnóstico de
Alan Bell, el enfoque basado en la resolución de problemas y en el constructivismo, para lo que
utilizaremos la lectura de la parte primera de Arcavi (1995), y una sucinta revisión de las características
generales así como de los principales elementos (situación didáctica y a-didáctica, tipos
de situaciones, devolución, contrato didáctico, transposición didáctica, etc.) de la enseñanza de las
matemáticas bajo el enfoque sistémico de la teoría de situaciones didácticas de Brousseau.
El bloque que estamos tratando se completará con un análisis del educador matemático, su papel,
competencias, tipo de formación que necesita, conocimientos y destrezas profesionales que
debe dominar, etc.; todo ello referido al nivel de Primaria.
3.- El aprendizaje matemático
Iniciamos aquí la tarea, que se irá completando en las sucesivas unidades didácticas específicas
del programa, de adentrar al alumno futuro maestro en las características, modos de construcción y
evolución del pensamiento matemático y del aprendizaje y el desarrollo cognitivo de los alumnos
de Primaria como destinatarios inmediatos de las actividades escolares del campo de la Educación
Matemática. Aprovecharemos los conocimientos que deben tener sobre las grandes corrientes y
tendencias concretas en Psicología de la Educación, tales como el conductismo, las teorías cognitivas,
el constructivismo de Piaget, el aprendizaje significativo de Ausubel, etc.
Comenzaremos por estructurar y analizar de manera esquemática las principales tendencias para
pasar a las principales aportaciones en el campo de la Educación Matemática, de entre las que destacaremos
las de Piaget, Bruner, Dienes y Mialaret por su especial relevancia. Asímismo, utilizaremos
dos de los documentos señalados anteriormente para ejemplificar las diferencias entre distintas
tendencias: el capítulo de Gómez para examinar las diferentes implicaciones didácticas de las grandes
teorías del aprendizaje y el trabajo de Arcaví para ejemplificar el diseño instructivo basado en el
constructivismo. Por último, abordaremos la resolución de problemas (ver anexo 1) como proceso
de pensamiento básico en Educación Matemática, tratando de que los alumnos realicen un ejercicio
de reflexión metacognitiva sobre su actividad en la resolución de varios problemas adecuados a su
nivel. Algunas de las cuestiones fundamentales a las que se debe dar una respuesta lo más completa
posible son: ¿qué conocimientos y qué aspectos del pensamiento se activan ante la resolución de un
problema de matemáticas?; ¿en qué aspectos del aprendizaje influye la resolución de problemas?;
¿qué nuevos conocimientos, destrezas y actitudes pueden surgir de la resolución de problemas?;
etc.
4.- El currículo de Matemáticas
El tratamiento de este apartado se hará, al igual que los anteriores, a nivel general y de iniciación,
aprovechando siempre los conocimientos didácticos generales que deben poseer los alumnos.
La continuación de este punto se desarrolla con mucho más detalle en el capítulo siguiente a
propósito del currículo de Matemáticas de Primaria.
Comenzaremos por una selección de diferentes trabajos que han tenido o están teniendo alguna
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Didáctica de la Matemática y Prácticas de Enseñanza en Matemáticas en Educación Primaria
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influencia en el currículo actual. La primera idea que presentamos es la expuesta en el trabajo de
Tyler (1949), que establece una concepción propia del currículo en base a la reflexión sobre cuatro
cuestiones:
a) Qué fines desea alcanzar la escuela.
b) Qué experiencias educativas permiten alcanzar esos fines.
c) Cómo organizar eficazmente esas experiencias.
d) Cómo comprobar que se han cubierto los objetivos propuestos.
Este trabajo ha tenido influencia considerable en la organización conductista del currículo basada
en cuatro elementos: objetivos, contenidos, metodología y evaluación.
Por otra parte, Taba (1962) indica los criterios para la elaboración de un currículo: Diagnóstico
de necesidades; Formulación de objetivos; Selección de contenidos; Organización del contenido;
Selección de las actividades de aprendizaje; Organización de las actividades de aprendizaje; Determinación
de qué se va a evaluar y de las maneras y medios para hacerlo.
Stenhouse (1981) presenta la idea de currículo desde dos perspectivas: el currículo como plan
de actuación y el currículo como estado de las cosas que se realizan en la escuela. Asímismo, analiza
la respuesta a la pregunta ¿qué es y qué debe pretender un currículo?, a lo que responde que “es
una tentativa para comunicar los principios y rasgos esenciales de un propósito educativo, de forma
que permanezca abierto a la discusión y a la crítica y se pueda trasladar efectivamente a la práctica”.
Desde el punto de vista más específico de la Educación Matemática se han elaborado trabajos
acerca de la idea de currículo. Uno de los más importantes e influyentes es el debido a Howson,
Keitel y Kilpatrick (1981), que presentan una concepción dinámica del currículo basada en las cuatro
componentes clásicas. Asímismo, destacan los condicionamientos sociales que acompañan a los
cambios curriculares y que actúan como fuerzas de apoyo o de freno. Para los autores, las matemáticas
pueden presentar una variedad de formas de enseñanza y constituyen parte importante de la
formación de niños y jóvenes. En definitiva, se trata de un trabajo que presenta numerosos aspectos
a comentar y debatir en clase, especialmente los relacionados con el cambio curricular y el papel
del profesor.
El trabajo citado en el párrafo anterior es ya antiguo, por lo que proponemos continuar el tratamiento
de este punto con documentos curriculares más actuales como los que hemos referenciado
en apartados anteriores. Se trata de los informes Cockcroft, Kuwait y Simposio de Valencia, así
como los Estándares Curriculares y de Evaluación para la Educación Matemática del N.C.T.M.
(1991), con los que se plantearán y debatirán las cuestiones: ¿qué matemáticas deben aprender los
alumnos en la enseñanza obligatoria y cómo deben enseñarse estas matemáticas?; ¿deben permanecer
las matemáticas como una de las partes centrales del curriculumn escolar para todos?; ¿por qué
cambios en educación matemática?, ¿cuál es la influencia del entorno?, ¿cómo deben ser las aulas?,
¿qué papel deben jugar las matemáticas en el currículo?, etc.
Como reflexión teórica complementaria a la iniciada en apartados anteriores sobre la Educación
Matemática, se tratarán en este punto las fuentes disciplinares en las que se fundamenta el currículo
de matemáticas (MEC, 1989), que son:
1) La Epistemología e Historia de la Matemática y las propias ramas de las matemáticas, grupo
de disciplinas que permite conocer las cuestiones de fundamentación, metodología, estructura interna,
evolución histórica y estado actual del conocimiento matemático.
2) La Psicología; el conocimiento del desarrollo evolutivo y de las leyes que rigen el aprendizaje
y los procesos cognitivos.
3) La Pedagogía, que recoge la fundamentación teórica sobre educación y la organización de la
Univer-
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Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
experiencia acumulada en la práctica docente.
4) La Sociología, que hace referencia a las demandas sociales y culturales acerca del sistema
educativo así como de los conocimientos, procedimientos, normas y valores que contribuyen al
proceso de socialización de los escolares.
5.- Enseñanza-aprendizaje de las matemáticas
De la planificación en matemáticas y el marco en el que se produce, debemos pasar a considerar
algunos elementos del desarrollo práctico desde un punto de vista también general. Nos referimos a
los procesos de enseñanza-aprendizaje considerados como la materialización concreta de los diseños
curriculares. De estos procesos hay muchos factores a los que atender, si bien seleccionamos
aquí los tres que nos parecen más relevantes para la formación profesional de los futuros maestros:
- Aspectos metodológicos; laboratorio de matemáticas y resolución de problemas;
- Los libros de texto;
- La evaluación en matemáticas;
En relación con el primero de ellos, se exponen los aspectos generales de la propuesta metodológica
mencionada en el capítulo 6 (González y Gallego, 1997), en la que se organizan las tareas
a desarrollar en el aula de Primaria en dos grandes bloques y cinco tipos de actividades: fenomenológicas,
manipulativo-representativas, lúdicas (juegos y pasatiempos), institucionales (explicaciones
del profesor, definiciones, términos, etc.) y de consolidación y extensión (problemas de
enunciado verbal y ejercicios). Asímismo, se abordarán los fundamentos del esquema, para lo que
no habrá más que recordar algunos de los aspectos tratados anteriormente en relación con los fines,
el aprendizaje matemático y el enfoque constructivista, y las características particulares de cada
tipo de tarea así como de su implementación en el aula.
Como consecuencia de las consideraciones anteriores, teniendo en cuenta que se trata de uno de
los principales materiales escolares en las aulas de Primaria, dedicamos un apartado al análisis crítico
general del libro de texto de matemáticas. Para ello, utilizaremos el esquema mencionado para
elaborar una plantilla de análisis de un ejemplar actual de cada una de varias editoriales. Esta plantilla
contendrá las orientaciones fundamentales que ya se han tratado acerca de la metodología, tipos
de tareas, enfoques, etc., a los que añadiremos el estilo, las ilustraciones, el tipo de introducción a
las unidades y otros aspectos que se decidan de común acuerdo. El trabajo se puede realizar por
grupos que elaborarán sus conclusiones y se hará una puesta en común.
El tercer aspecto fundamental de esta parte lo constituye la evaluación, uno de los elementos
más olvidados y a la vez más complejos del proceso educativo. Después de realizar una síntesis de
los propósitos y componentes de la evaluación a nivel general, abordaremos distintos enfoques,
métodos y tipos de evaluación en educación matemática, para pasar a centrar la atención en la evaluación
del rendimiento escolar del estudiante, del proceso y del profesor; los tres aspectos esenciales
del conocimiento profesional en este aspecto. Utilizaremos para ello el trabajo de Giménez
(1997) así como una traducción resumida y comentada de Romberg (1988).
6.- Didáctica de la Matemática
Queremos concluir el capítulo con unas breves notas sobre el papel que tiene la Didáctica de la
Matemática como Área de Conocimientos sobre el campo de la Educación Matemática, incidiendo
en sus dos finalidades básicas: 1) Investigar los fenómenos relacionados con la enseñanza y el
aprendizaje de las matemáticas; 2) Proporcionar a los profesores en formación y en ejercicio, los
instrumentos necesarios para desarrollar y mejorar su trabajo como “educadores matemáticos”.
Asímismo, dedicaremos una reflexión a lo que Freudenthal (1981) consideraba como problemas
pendientes en Didáctica de la Matemática, muchos de los cuales continúan todavía como interrogantes
o se encuentran aún incompletos y necesitados de una mayor atención. Con todo ello se
González Marí, J. L.
Proyecto Docente

Didáctica de la Matemática y Prácticas de Enseñanza en Matemáticas en Educación Primaria
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pretende que los alumnos valoren la necesidad e importancia de esta disciplina y asuman, como
futuros educadores matemáticos, la obligación compartida de tratar de buscar respuestas idóneas a
los interrogantes y problemas de la Educación Matemática.
1.3.- METODOLOGÍA Y ACTIVIDADES
El trabajo en el aula, de discusión y debate, trabajo en grupo así como de exposición por parte
del profesor, se desarrolla sobre la base de los documentos de trabajo que se han citado. Dichos
documentos dan pie, en algunos de los temas, para que el alumno se sienta motivado: ¿deben ser
las matemáticas una asignatura obligatoria?, ¿son buenos los cambios que se han producido en la
enseñanza?, etc. En este punto se provocará, siempre que sea posible, la explicitación de los conocimientos
y creencias previas de los estudiantes, la metacognición, allí donde sea conveniente, y las
experiencias personales sobre algunos de los aspectos tratados, como por ejemplo sobre los tipos
de tareas en matemáticas.
1.4.- MATERIALES Y RECURSOS
Se utilizarán los materiales documentales que se han indicado en el apartado de contenidos así
como problemas de matemáticas y materiales didácticos estructurados que igualmente se han recomendado
para la realización de las tareas introductorias, motivadoras o aclaratorias de cada
apartado. Una colección de libros de texto de varias editoriales, las transparencias necesarias para
las exposiciones y la guía de trabajos o algunas producciones escritas de alumnos de primaria,
completan los materiales y recursos necesarios para el desarrollo del tema.
1.5.- EVALUACIÓN
Se observarán los distintos aspectos generales mencionados en el apartado 7.2.5. En particular
se atenderá a la asistencia y participación, al uso correcto de los términos y conceptos generales del
tema, a los trabajos de grupo sobre el análisis de libros de texto, a las intervenciones individuales y
a las reflexiones tanto orales como escritas que se soliciten durante el transcurso de la actividad.
Asímismo se tendrán en cuenta las valoraciones puntuales que se vayan haciendo sobre el desarrollo
del tema, su extensión y profundidad y su dificultad. Estas valoraciones podrán modificar de
forma consensuada el desarrollo del trabajo (regulación del proceso), tal y como se ha indicado en
la introducción al capítulo.
1.6.- BIBLIOGRAFÍA
Arcavi, A. (1995).- .. Y en matemática, los que instruimos ¿qué construimos?. Substratum, vol. II,
nº 6, pp. 77-94.
Cockcroft, W.H. (1982). Las matemáticas sí cuentan. MEC. Madrid.
Coriat, M. (1997).- Cultura, Educación Matemática y Currículo. Cap. 3 en: Rico, L. (ed.) (1997).-
Bases teóricas del Currículo de Matemáticas de Educación Secundaria. Madrid: Síntesis.
Davis, P.; Hersh, R. (1988).- Experiencia Matemática. Barcelona: Labor y MEC.
Giménez, J. (1997).- Evaluación en Matemáticas. Una integración de perspectivas. Madrid: Síntesis.
Gómez, B. (1992).- Las Matemáticas y el proceso educativo. Cap. 2 en: Gutiérrez, A. (ed.)
(1992).- Área de Conocimientos Didáctica de la Matemática. Madrid: Síntesis.
González, J. L.; Flores, P.; Pascual, J. R. (1994).- Epistemología y Educación Matemática. En:
Rico, L.; Gutiérrez, J., editores (1994).- Formación científico-didáctica del Profesor de
Matemáticas de Secundaria. Instituto de Ciencias de la Educación de la Universidad de
Granada. pp. 25-39.
González, J. L.: Gallego, M. (1997).- Un esquema metodológico para la Educación Matemática en
los primeros niveles. Utilidad en la formación inicial de profesores. II Simposio “El currículo
en la formación inicial de profesores de Primaria y Secundaria en el Área de Didácti-
Univer-
Didáctica de la Matemática
sidad de Málaga

180
Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
ca de las Matemáticas. Universidad de León. pp. 101-116.
Gutiérrez, A. (ed.) (1991).- Área de Conocimientos Didáctica de la Matemática. Madrid: Síntesis.
Howson, G. , Keitel, C. y Kilpatrik, J. (1981). Curriculum Developement in Mathematics. University
Press. Cambridge.
Howson, G. y Kahane, J. (1986). Las matemáticas en Primaria y Secundaria en la década de los 90.
Mestral. Valencia.
N.C.T.M. (1989). Estándares curriculares y de evaluación para la educación matemática. SAEM
Thales. Sevilla.
Niss, M. (1995).- ¿why do we teach mathematics in school?. Seminario de Investigación en Didáctica
de la Matemática. CIDE. Madrid.
Rico, L. (1997).- Reflexión sobre los fines de la Educación Matemática. Suma nº 24, págs. 5-19.
Rico, L. y otros, (1997).- La Educación Matemática en la Enseñanza Secundaria. Horsori-ICE
Universidad Autónoma de Barcelona.
Romberg, T. (1988).- Evaluation: a loat of many colours. En: Evaluation and assesment in Mathematics
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Romberg, T. (1991).- Características problemáticas del currículo escolar de Matemáticas. Revista
de Educación nº 294, págs. 323-406.
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Valencia.
Stenhouse, L. (1984). Investigación y desarrollo del currículo. Morata. Madrid.
SUMA (1990). (Monográfico sobre documentos curriculares relativos a la reforma). SUMA, nº 6.
Taba, H. (1975). Elaboración del curriculum. Troquel. Buenos Aires.
Tyler, R. (1986). Principios básicos del currículo. Troquel. Buenos Aires.
TEMA 2.- EL CURRÍCULO DE MATEMÁTICAS EN EDUCACIÓN PRIMARIA.
2.1.- INTRODUCCIÓN
La finalidad básica del tema se centra en conocer los aspectos generales del diseño curricular de
matemáticas en Primaria, estudiar su estructura, elementos, dimensiones y niveles, analizar las
orientaciones oficiales y sus distintos aspectos dentro del marco establecido en el capítulo 1 y continuar
y profundizar en el análisis crítico de los libros de texto, centrando la atención en su adecuación
al diseño oficial, a las consideraciones que se deducen de los análisis anteriores y a las determinaciones
adoptadas en el capítulo anterior. La utilización de las orientaciones oficiales del MEC
y de la Junta de Andalucía, creemos que puede contribuir a que los alumnos adquieran una visión
relativa de la planificación a dicho nivel, ejerciten su espíritu crítico y aumenten su capacidad para
tomar decisiones ante la elección y la valoración comparativa de ambos diseños.
2.2.- CONTENIDOS
1.- Dimensiones, niveles de concrección y elementos del currículo de Matemáticas de Educación
Primaria;
2.- El currículo oficial de Matemáticas para Educación Primaria;
3.- Los objetivos de la Educación Matemática en Primaria;
4.- Los contenidos de matemáticas en Primaria;
- Orientaciones oficiales
- Características generales;
González Marí, J. L.
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5.- Orientaciones metodológicas y para la evaluación;
6.- Diseño curricular y su desarrollo en los libros de texto;
7.- Estudio comparativo del currículo de matemáticas en España y en otros países de la Comunidad
Europea.
Veamos algunas indicaciones sobre el contenido específico, la orientación, las fuentes y el desarrollo
de los apartados mencionados.
1.- Dimensiones, niveles de concrección y elementos del currículo de Matemáticas de Educación
Primaria;
Un paso más en el estudio iniciado sobre el currículo en el capítulo anterior consiste en profundizar
en su estructura y elementos. Con el desarrollo del capítulo 1 los alumnos han adquirido un
conocimiento global que es todavía insuficiente desde el punto de vista de los objetivos planteados
en la asignatura. Es necesario ahora clarificar las dimensiones y los niveles de reflexión curricular e
identificar y delimitar los elementos que intervienen en cada uno de ellos. Utilizaremos las consideraciones
de Rico (1997, cap. 7) partiendo de los aspectos más generales para llegar a una descripción
de los diferentes niveles de reflexión y de sus componentes. Asímismo, se mencionará y describirá
el nivel más concreto o de planificación de unidades didácticas, aunque posponiendo su análisis
detallado al capítulo 3. Con esta información nos dispondremos a desarrollar el apartado siguiente,
como ejemplo de uno de los niveles estudiados y, a la vez, como guía básica orientadora
de la tarea docente en Educación Primaria.
2.- El currículo oficial de Matemáticas para Educación Primaria
Este apartado del tema va destinado a que el alumno futuro profesor conozca los documentos
oficiales que sirven de referencia para la tarea docente, se familiarice con su estructura, contenidos
y terminología e inicie una labor de reflexión crítica y análisis que se continuará en el resto de los
apartados.
Comenzaremos por abordar una breve síntesis de los procesos de reforma más recientes en España,
con la intención de contextualizar adecuadamente los diseños curriculares que se van a tratar
a continuación. El proceso arranca en 1983, con la publicación ministerial de un documento sobre
la reforma educativa, y culmina en las orientaciones actuales después de un período de debate y
experimentación. La primera versión de dichas orientaciones, conocida como “Diseño Curricular
Base”, fué publicada por el Ministerio de Educación y Ciencia en 1989.
En los documentos mencionados se establecían unas consideraciones generales sobre las matemáticas
escolares y se incluían objetivos, contenidos, unas consideraciones metodológicas y unas
orientaciones para la evaluación. Posteriormente, dichas consideraciones fueron publicadas mediante
Reales Decretos y Ordenes Ministeriales bajo la forma de enseñanzas mínimas para todas las
Comunidades Autónomas; en el caso de la Educación Primaria, este decreto de mínimos fué publicado
en el año 1991. A partir de aquí, las Comunidades Autónomas con competencias en educación,
como es el caso de Andalucía, realizaron sus propios diseños tomando como base dichas enseñanzas
mínimas. El Decreto del Ministerio de Educación y Ciencia consta de 12 artículos que
tienen carácter general y unos anexos en los que se concretan orientaciones para las diferentes áreas
de conocimientos. La parte específica de matemáticas se distribuye en: Objetivos Generales,
bloques de contenidos (Números y Operaciones, Medida, Formas geométricas y situación en el
espacio y Organización de la Información) y criterios de evaluación.
Por su parte, el Decreto de Educación Primaria de la Comunidad Autónoma Andaluza, publicado
en el año 1992, incluye los siguientes aspectos para el área de Matemáticas: Consideraciones
generales sobre la utilidad de la matemática y el procedimiento a seguir en su enseñanza; objetivos;
contenidos (Números; Sistemas de Numeración; Operaciones; Medidas; Magnitudes; Orientación y
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182
Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
Representación Espacial); orientaciones metodológicas; criterios de evaluación.
Con los documentos anteriores pediremos a los alumnos que desarrollen individualmente una
síntesis por escrito de la estructura de ambos así como de sus aspectos más importantes. A continuación,
propondremos la realización en grupo de un análisis comparativo entre las orientaciones
incluídas en ambos documentos. Una puesta en común y la subsiguiente valoración global dará fin
al tratamiento de este punto.
3.- Los objetivos de la Educación Matemática en Primaria;
Una vez trabajados los diseños oficiales en el sentido global establecido, procede prestar atención
a sus distintas componentes haciendo intervenir los conocimientos básicos del capítulo anterior.
Comenzaremos por analizar los objetivos que se proponen para estos niveles educativos y
realizar una reflexión sobre ellos a la luz de los aspectos ya tratados (fines, cacterísticas generales
de las matemáticas, la educación matemática, etc.). Para empezar, se indicarán los objetivos propuestos
por las administraciones educativas estatal y autonómica, de los que indicamos a continuación
los que propone la Junta de Andalucía (1992):
1.- Utilizar los códigos y conocimientos matemáticos para apreciar, interpretar y producir
in-formaciones sobre hechos o fenómeno conocidos, susceptibles de ser matematizados.
2.- Identificar, analizar y resolver situaciones y problemas de su medio, para cuyo tratamiento
se requieran la realización de operaciones elementales de cálculo, la utilización de fórmulas
sencillas y la realización de los algoritmos correspondientes.
3.- Utilizar instrumentos sencillos de calculo y medida, decidiendo, en cada caso, sobre la
posible pertinencia y ventajas que implica su uso y sometiendo los resultados a una revisión
sistemática.
4.- Elaborar estrategias personales de estimación, de cálculo y de orientación en el espacio y
aplicarlas a la resolución de problemas sencillos.
5.- Identificar formas geométricas en su entorno inmediato, utilizando el conocimiento de sus
elementos y propiedades para incrementar su comprensión y desarrollar nuevas posibilidades
de acción en dicho entorno.
6.- Utilizar técnicas elementales de recogida de datos para obtener información sobre fenómenos
y situaciones de su entorno; representarla de forma gráfica y numérica y formarse un
juicio sobre la misma.
7.- Apreciar la importancia de la actividad matemática en la vida cotidiana, disfrutar con su
uso y desarrollar actitudes y hábitos de confianza, perseverancia, orden, precisión, sistematicidad.
8.- Identificar en la vida cotidiana situaciones y problemas susceptibles de ser analizadas con
la ayuda de códigos y sistemas de numeración, utilizando las propiedades y características de
estos para lograr una mejor comprensión y resolución de dichos problemas.
9.- Comprender y valorar las nociones matemáticas básicas, establecer las oportunas relaciones
entre ellas y utilizar adecuadamente los términos, convenciones y notaciones más
usuales.
Estos objetivos, así como los que se incluyen en el Decreto de enseñanzas mínimas del MEC
(1991), serán objeto de análisis, comparación entre ellos y relación con los factores tratados hasta
aquí. De entre ellos, se realizará un debate en gran grupo sobre la adecuación de los mismos a los
fines de la Educación Matemática, a las características generales de las matemáticas y a las necesidades
individuales y socioculturales, indicándose sobre qué aspectos incide cada uno de ellos, a qué
cuestiones se presta mayor atención y a cuáles menos, etc.. Todo ello concluirá con una valoración
conjunta del planteamiento oficial de objetivos.
González Marí, J. L.
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4.- Los contenidos de matemáticas en Primaria;
Se tratan aquí dos aspectos diferentes aunque relacionados: las propuestas de contenidos incluídas
en los diseños curriculares oficiales y la organización, estructura y características de los mismos.
En relación con el primero de ellos, se describen y analizan los contenidos que propone la
Junta de Andalucía (1992) y el MEC (1991), sus estructuras, bloques y orientaciones concretas. A
continuación se realiza una comparación de ambas propuestas, de la que estractamos a continuación,
a modo de ejemplo, algunos de sus principales resultados:
El Decreto de la Junta de Andalucía propone una distribución en seis bloques:
Números (naturales, fracciones y decimales); Sistemas de Numeración (representación
de los números); Operaciones; Medidas (longitud, amplitud, capacidad,
masa, dinero, tiempo, superficie, iniciación al volumen); Magnitudes (percepción
de las magnitudes y medida); Conocimiento, Orientación y Representación
Espacial (geometría del plano y del espacio).
A diferencia del Decreto del MEC, en el que se incluye un bloque denominado
Organización de la Información, no existe un bloque relacionado con la Estadística
y la Probabilidad, si bien se hace referencia a la Probabilidad en el
bloque de Operaciones.
En cuanto a las características generales de las matemáticas en la Educación Primaria, tomaremos
como punto de partida los aspectos generales de la organización de los contenidos matemáticos
en la doble vertiente cognitiva - actitudinal y disciplinar. Desde la primera, se completará con
más detalle lo tratado a nivel de iniciación en el capítulo anterior, abordando el triple aspecto conceptual,
procedimental y actitudinal bajo el que se pueden organizar los conocimientos matemáticos.
Desde la segunda, tomaremos los bloques de contenidos y su secuenciación tal y como están
planteados en los diseños curriculares oficiales.
Para la primera parte (organización cognitiva) utilizaremos ejemplos concretos asequibles para
tratar los siguientes aspectos: El conocimiento conceptual, como una red en la que las relaciones
de conexión son tan importantes como las piezas de información y en el que un concepto tiene sentido
como tal si se conocen y dominan dichas relaciones; los siguientes elementos dentro de dicho
campo: los hechos o unidades de información, que comprenden los términos, notaciones, convenios
y resultados, los conceptos propiamente dichos, que describen una regularidad o relación entre
un grupo de hechos, y las estructuras conceptuales, constituidas por redes de conceptos o conceptos
de orden superior.
El conocimiento procedimental lo constituyen las reglas, algoritmos y procedimientos empleados
para resolver una tarea. En el campo procedimental se distinguen los siguientes elementos:
Destrezas, que suponen el empleo de hechos y procedimientos de carácter rutinario; razonamientos,
o procesamiento de relaciones entre conceptos que permiten establecer inferencias; estrategias
generales, que implican conceptos, procedimientos y relaciones entre conceptos.
El campo actitudinal, no menos importante que los anteriores en la medida en que condiciona
fuertemente los aprendizajes, se refiere al aprecio o buenas actitudes hacia las matemáticas, clasificadas
en las orientaciones oficiales del MEC en tres categorías: La curiosidad, el interés y la disposición
favorable; la confianza en la propia capacidad y la perseverancia; el gusto por la precisión, el
rigor y el orden; aspectos, todos ellos, estrechamente relacionados con el conocimiento matemático.
En el marco anterior, realizaremos un primer análisis general de los contenidos oficiales desde el
punto de vista de las características cognitivas y disciplinares del conocimiento matemático involu-
Univer-
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Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
crado, tratando de combinar ambas perspectivas y teniendo en cuenta el proceso gradual que va
desde lo estrictamente manipulativo, práctico y concreto hasta lo estrictamente simbólico, abstracto
y formal. Igualmente, haremos intervenir en dicho análisis consideraciones generales sobre:
- el nivel cognitivo y de experiencia de los alumnos;
- las exigencias del proceso de construcción del conocimiento matemático;
- el paso de la experiencia práctica a formas de representación más evolucionadas;
- el manejo adecuado de notaciones y operaciones simbólicas;
- la importancia del conocimiento situado;
- los distintos niveles de comprensión de un conocimiento (para lo que tomaremos una escala
hipotética muy simplificada) y su posible situación en los niveles de Primaria;
- el carácter instrumental de algunos conocimientos y la necesidad didáctica de su tratamiento
parcial en un sentido similar al del conocimiento social de Piaget;
5.- Orientaciones metodológicas y para la evaluación;
En los Decretos y documentos curriculares sobre la Educación Primaria, aparecen indicaciones
explícitas o implícitas sobre la metodología y la evaluación. Valgan como ejemplos los siguientes:
“.. durante toda la etapa debe proponerse a los alumnos y a las alumnas, la
comunicación verbal y gráfica de los procesos, nociones, ideas y descubrimientos
que vayan realizando.”; “el diálogo, el debate y la confrontación de ideas e
hipótesis, deberían constituir, en cada caso, los ejes de cualquier planteamiento
metodológico ..”; “.. el proceso evaluador debe ser primordialmente un proceso
cualitativo y explicativo ..” (J. de Andalucía).
“.. en la sociedad actual es imprescindible manejar conceptos matemáticos relacionados
con la vida diaria, en el ámbito del consumo, de la economía privada
y en muchas situaciones de la vida social.” (MEC, p. 31).
En este apartado, se dedicará una primera parte a que los alumnos, en grupo y con la ayuda del
profesor, identifiquen y formulen, por escrito y de manera resumida, un extracto de las orientaciones
oficiales sobre ambos organizadores. Posteriomente, se confrontarán los resultados y se elaborará
una síntesis conjunta sobre dichos aspectos.
6.- Diseño curricular y su desarrollo en los libros de texto;
El propósito de este apartado es el de continuar el análisis crítico ya iniciado a nivel general en
el capítulo anterior. Aquí, se utilizarán los conocimientos y las reflexiones realizadas en los apartados
anteriores para examinar el grado de adecuación de las planificaciones concretas de los libros
de texto a los aspectos tratados anteriormente, es decir, ¿se ajusta el planteamiento a los principios
y orientaciones metodológicas oficiales?; ¿se contemplan todos los aspectos de los contenidos?; ¿se
ajusta el planteamiento a los objetivos?; ¿es posible aplicar los criterios de evaluación recomendados
en los documentos oficiales?; ¿cómo se contempla la evaluación?; etc.
7.- Estudio comparativo del currículo de matemáticas en España y en otros países de la Comunidad
Europea.
Se utilizará lo realizado anteriormente así como el ejemplar de la revista de la SAEM Thales nº
8 (monográfico dedicado a los diseños y documentos currículares de las Comunidades Europeas y
Estados Unidos).
2.3.- METODOLOGÍA Y ACTIVIDADES
El trabajo en el aula se desarrolla en base a las explicaciones del profesor y lectura de los documentos
indicados; las exposiciones por parte del profesor se complementan con trabajos en grupo,
reflexión y debate a nivel de gran grupo.
2.4.- MATERIALES Y RECURSOS
González Marí, J. L.
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Documentos curriculares y Decretos oficiales. Libros de texto de varias editoriales. Bibliografía,
trabajos, apuntes y, en general, toda la información utilizada y producida en el desarrollo del tema
anterior.
2.5.- EVALUACIÓN
La evaluación, además de los aspectos generales indicados en el diseño, consistirá en la valoración
de los resultados de los trabajos individuales y de grupo así como la realización de una reflexión
breve escrita final sobre el desarrollo del tema y la intervención personal en el mismo.
2.6.- BIBLIOGRAFÍA
Cockcroft, W.H. (1982). Las matemáticas sí cuentan. MEC. Madrid.
Junta de Andalucía (1992). Decreto de Educación Primaria. Instituto Andaluz de Formación y Perfeccionamiento
del Profesorado. Sevilla.
M.E.C. (1989). Diseño curricular base. Educación Primaria. Madrid.
M.E.C. (1991). Real Decreto por el que se establecen las enseñanzas mínimas correspondientes a la
Educación Primaria. BOE 224. Madrid.
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N.C.T.M. (1989). Estándares curriculares y de evaluación para la educación matemática. SAEM
Thales. Sevilla.
Rico, L. (ed.) (1997).- Bases teóricas del currículo de matemáticas en Educación Secundaria. Madrid:
Síntesis.
Rico, L. y otros, (1997).- La Educación Matemática en la Enseñanza Secundaria. Horsori-ICE
Universidad Autónoma de Barcelona.
TEMA 3.- ANÁLISIS DIDÁCTICO DE CONTENIDOS MATEMÁTICOS EN EDU-
CACIÓN PRIMARIA
3.1.- INTRODUCCIÓN
El análisis más detallado de los factores que intervienen en la planificación y el desarrollo de la
Educación Matemática, la relaciones entre ellos así como las fuentes conceptuales y documentales
y los modos de aplicación concreta, constituyen uno de los pilares fundamentales del conocimiento
profesional que surge del marco general establecido en los dos temas anteriores. Con lo tratado
hasta aquí, el alumno debe disponer de los conocimientos e instrumentos básicos para interpretar y
reflexionar críticamente sobre los aspectos generales de la Educación Matemática en Primaria. Sin
embargo, todavía no ha descendido a todos los aspectos de los niveles de reflexión más concretos y
cercanos a la práctica escolar. Necesita adentrarse en el campo de la enseñanza y el aprendizaje
concretos, tanto a nivel de análisis como de experiencias, así como en el terreno de la planificación
educativa en matemáticas y en el diseño de unidades didácticas. El primero de dichos aspectos está
de algún modo subordinado al segundo, puesto que la enseñanza y el aprendizaje reglados se realizan
sobre la base de una planificación previa. De este modo, nos proponemos tratar en este capítulo
el marco teórico e instrumental que va a permitir la planificación detallada de unidades didácticas,
lo que será objeto de los capítulos siguientes. Asímismo, el primero de los aspectos señalados
se aboradará en dichos capítulos a nivel puntual así como en las prácticas de enseñanza y en los
seminarios correspondientes. Se trata, en definitiva, de un nivel de reflexión curricular superior a
los anteriores (Nivel de diseño de unidades didácticas (análisis)), para el que será necesario estable-
Univer-
Didáctica de la Matemática
sidad de Málaga

186
Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
cer las fuentes, la estructura, los elementos y las relaciones necesarias entre ellos así como los procedimientos
prácticos para su aplicación.
3.2.- CONTENIDOS
1.- Fuentes de la Educación Matemática en Primaria;
2.- Análisis didáctico de contenidos matemáticos;
- Factores y elementos;
- Fuentes de información;
- Procedimiento elemental;
3.- Niveles de concrección curricular: general y unidades didácticas; análisis y planificación;
4.- Los organizadores del currículo de matemáticas en primaria;
5.- estructura y proceso de planificación y desarrollo del currículo;
6.- Planificación de unidades didácticas de matemáticas de Primaria;
Veamos algunas indicaciones sobre el contenido específico, la orientación, las fuentes y el desarrollo
de los apartados mencionados.
1.- Fuentes de la Educación Matemática en Primaria
Retomamos aquí la reflexión realizada en el capítulo 1 sobre los factores que inciden en la Educación
Matemática y las disciplinas y campos de conocimientos que intervienen en la planificación
y desarrollo de sus actividades. Una breve reflexión sobre dichos campos y factores conduce a la
identificación de las Matemáticas, la Epistemología, la Pedagogía, la Psicología y la Sociología de
la Educación como dominios que sostienen, conjuntamente y en un entramado complejo, el conjunto
de fenómenos y actividades relacionadas con la Educación Matemática. En este sentido, comenzaremos
por plantear una situación sencilla de enseñanza-aprendizaje en el aula y proponer a los
alumnos que analicen con nuestra ayuda cuáles son los factores que se pueden distinguir en ella
desde un punto de vista intuitivo y elemental. El proceso continuará con la delimitación de los aspectos
analizados y con la elaboración de conclusiones en gran grupo. Una exposición teórica unificadora
por parte del profesor, en la que se utilizarán partes de Rico y otros (1997a y 1997b) así
como documentos de elaboración propia basados en González (1998), concluirá las consideraciones
de este apartado.
2.- Análisis didáctico de contenidos matemáticos
Lo que denominamos “análisis didáctico” se refiere a lo que algunos autores (Freudhental, H.,
1983; Puig, L., Cerdán, F., 1988, pág. 74) denominan “..el análisis de los contenidos de las matemáticas
que se realiza al servicio de la organización de su enseñanza en los sistemas educativos..”
(Puig, L., 1997, pág. 61). Tomaremos esta definción como base del trabajo que se ha de desarrollar
en este apartado, pero completada y matizada con las consideraciones que, a otro nivel (el análisis
didáctico como procedimiento metodológico no empírico para la investigación en Educación Matemática),
se incluyen en González (1998), en el que se dan pautas que pueden ser útiles para responder
a las preguntas: ¿por qué es importante el análisis didáctico en Educación Matemática?;
¿cuál es su utilidad?; ¿cómo se puede efectuar realmente?.
El esquema que surge del desarrollo del apartado anterior, sirve aquí como punto de partida para
continuar con el análisis de la situación concreta planteada entonces. Las primeras cuestiones
que surgen o se pueden proponer en este punto son: ¿afectan todos los factores por igual?; ¿cuáles
de ellos son fundamentales y cuáles secundarios?; ¿qué condiciona el aprendizaje matemático escolar?;
¿qué es necesario saber para planificar la enseñanza de un tópico?; etc.. El tratamiento del
punto debe conducir a establecer la necesidad de considerar las matemáticas, su epistemología y su
historia, la fenomenología del conocimiento matemático, el aprendizaje y el desarrollo cognitivo y
González Marí, J. L.
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187
la enseñanza y el currículo como fuentes básicas del análisis didáctico, todo ello mediante una
aproximación intuitiva y plagada de ejemplos concretos. Paralelamente, se puede elaborar una relación
de aspectos concretos de cada una de dichas fuentes generales, que pueden influir en el diseño
de la enseñanza y en el desarrollo del contenido específico en el aula, y analizar superficialmente
cómo pueden influir cada uno de ellos en el conocimiento didáctico de un tópico matemático concreto
de Primaria. Estos aspectos o elementos particulares son los que abordaremos más adelante
como organizadores del currículo de matemáticas, reservando para dicho apartado el tratamiento
completo de cada uno de ellos.
El último paso consiste en dar una guía para la realización de un análisis didáctico superficial de
un contenido matemático, para lo que se hablará de fuentes de información básica y de algunas de
las relaciones más claras entre ellas, como pueden ser las que se dan entre las características fenomenológicas
de un tópico y su consideración en el currículo, o entre las capacidades y el desarrollo
cognitivo del sujeto y las caracterìsticas de un concepto o procedimiento matemático o los medios
que se emplean en su enseñanza. Para finalizar este apartado, se propone la realización en grupo de
un estudio superficial de estas características, tomando como fuentes los libros de texto de Primaria
y los libros de la colección de la editorial Síntesis para los niveles de Primaria.
Hay que decir que somos conscientes de la dificultad que este aspecto fundamental de la Didáctica
de la Matemática puede tener para los estudiantes para maestro, por lo que se dedica una parte
importante de todas y cada una de las restantes unidades didácticas del programa a ejercitar, profundizar
y ampliar lo que aquí se plantea a nivel de iniciación como marco básico del trabajo en
este punto. Igualmente, hemos de decir que no se debe pretender aquí que los alumnos adquieran
toda la preparación necesaria para comprender, justificar y dominar el análisis didáctico, sino que
tomen contacto con la complejidad de la Educación Matemática y dispongan de un marco y un
procedimiento, aún parcialmente comprendido y justificado, para poder continuar su formación.
3.- Niveles de concrección curricular: general y unidades didácticas; análisis y planificación;
Este apartado es una continuación del trabajo iniciado en el apartado 1 del tema 2. Se comenzará
por revisar la estructura y elementos del currículo oficial estudiado en el capítulo anterior e
indicar que se trata de uno de los posibles niveles de reflexión curricular. A continuación se pasará
a establecer las características de los dos niveles (general y de unidades didácticas), las diferencias
entre ambos y la insuficiencia y limitaciones de la formulación genérica para la planificación de unidades
y tópicos puntuales. El nivel de diseño de unidades didácticas ocupará la mayor parte de este
apartado, en el que pondrán ejemplos de “programaciones”, se abordará su utilidad, su relación con
lo tratado en el apartado anterior, la diferenciación entre la faceta de análisis y la de planificación y
se realizará la introducción al apartado siguiente.
4.- Los organizadores del currículo de matemáticas en primaria;
Comenzaremos por incidir en la idea de que la organización de una unidad didáctica no se reduce
a una secuenciación de conceptos y procedimientos, sino que existen elementos llamados Organizadores
del Currículo o simplemente Organizadores (Rico, 1997) que se definen como aquellos
conocimientos que adoptamos como componentes fundamentales para articular el diseño, desarrollo
y evaluación de unidades didácticas. Estos organizadores están relacionados con los principales
factores de la Educación Matemática y con lo que hemos denominado y descrito como análisis
didáctico de contenidos matemáticos, cuyos principales elementos se constituyen también en organizadores
curriculares específicos para la planificación de la enseñanza de dichos contenidos matemáticos
(ver capítulo 6 de este proyecto).
Entre los organizadores más relevantes se encuentran: los errores, dificultades y obstáculos; los
diversos modos de representación de los conceptos y procedimientos establecidos mediante conve-
Univer-
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188
Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
nios o por propia decantación de carácter práctico a lo largo de la historia de la matemática; las
modelizaciones usuales de los conceptos; los fenómenos de los que han surgido los conceptos; los
materiales y recursos que puedan emplearse en la enseñanza; los aspectos históricos de interés relacionados
con cada uno de los tópicos del currículo de las matemáticas escolares; las orientaciones
establecidas en los documentos curriculares editados por el Ministerio de Educación y en nuestro
caso por la Consejería de Educación de la Comunidad Autónoma Andaluza; la estructura de los
contenidos y su secuenciación siguiendo una planificación de carácter cognitivo, etc.. Nos remitimos
al mencionado capítulo 6 para una información exhaustiva sobre ellos.
La presentación y el estudio de cada uno de ellos mediante ejemplos particulares concluye esta
parte de los contenidos.
5.- estructura y proceso de planificación y desarrollo del currículo
El apartado anterior se ha referido a la fase que hemos denominado de análisis o de reflexión
previa a la planificación; una fase dura y necesaria para realizar a continuación una labor distinta,
con elementos distintos y más delicada que la anterior, cual es la de planificación para el aula, es
decir, la materialización más concreta de todas las consideraciones que se han tratado hasta aquí y
una de las componentes fundamentales del conocimiento profesional del maestro de Primaria.
Iniciaremos el trabajo proponiendo a los alumnos que elaboren un listado de consideraciones
que hay que tener en cuenta a la hora de preparar el desarrollo efectivo de un aspecto muy concreto
de las matemáticas en Primaria (características de los alumnos y del entorno, tipos de actividades,
secuenciación, temporalización, etc.) y que hagan lo mismo, a continuación, con las semejanzas,
diferencias y relaciones que creen que existen entre las tareas de análisis didáctico y de planificación
de la enseñanza. El trabajo en este punto deberá concluir con la distinción clara entre las
fases de análisis, planificación y desarrollo, con las características de cada una de ellas, con los factores
“externos” que se han de tener en cuenta, con los elementos u organizadores específicos de
esta fase y con una descripción ejemplificada sobre el proceso a seguir
6.- Planificación de unidades didácticas de matemáticas de Primaria
Se hará una breve exposición de lo incluído en Marín (1997) y se examinarán varias planificaciones
concretas, como por ejemplo: a) realizadas por alumnos de cursos anteriores; b) las de los
propios libros de texto; c) propuestas publicadas en revistas o textos, como por ejemplo la que
realizan García y Sobrino (1997) sobre una parte del tratamiento del azar en Primaria o la que describen
Llinares y Sánchez (1988, pp. 96 y sigtes.) sobre una secuencia para la enseñanza del concepto
de fracción; d) experiencias desarrolladas en el aula, como por ejemplo la que describe Alcalá
(1986) sobre la introducción de las fracciones. El análisis se realizará en grupos bajo la óptica de lo
tratado en los puntos anteriores y se realizará a continuación una puesta en común de las conclusiones.
El tratamiento de este apartado culminará con un trabajo de grupo sobre la planificación
efectiva de un aspecto puntual de los contenidos matemáticos de Primaria (el mismo para todos los
grupos), que deberán entregar y realizar su puesta en común en la siguiente sesión.
3.3.- METODOLOGÍA Y ACTIVIDADES
Como se puede observar de lo expuesto en relación con los contenidos del tema, se utilizan varias
estrategias metodológicas y tipos de actividades de las que se exponen en el apartado 7.2.3
dedicado a la metodología general del programa. De entre ellas, podemos destacar las siguientes:
- la lectura de documentos y la reflexión sobre ella;
- el análisis y la valoración de unidades y materiales curriculares;
- la elaboración y preparación de actividades y unidades didácticas;
- la utilización de cuestiones y problemas sencillos para empezar;
- trabajo individual y en pequeño grupo;
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189
- exposiciones, debates o puestas en común en el gran grupo;
- empleo de la mayor parte de los tipos de tareas señalados con carácter general.
3.4.- MATERIALES Y RECURSOS
Son los mismos que los señalados en el capítulo anterior además de los documentos y programaciones
que se indican en el desarrollo de los contenidos.
3.5.- EVALUACIÓN
La evaluación, además de los aspectos generales indicados en el diseño, consistirá en la valoración
de los resultados de los trabajos individuales y de grupo así como la realización de una reflexión
breve escrita final sobre el desarrollo del tema y la intervención personal en el mismo.
3.6.- BIBLIOGRAFÍA
Alcalá, M. (1986).- Fracciones. Ed. Escuela Popular.
García y Sobrino (1997).- El azar en Primaria. Epsilon nº 37, vol. 13(1), pp. 91-98.
González, J. L. (1998).- Números naturales relativos. Granada: Comares.
Llinares, S.; Sánchez, M. V. (1988).- Fracciones. Madrid: Síntesis.
Marín, A. (1997).- Programación de unidades didácticas. Cap. VIII en: Rico, L. (coord.).- La Educación
Matemática en la Enseñanza Secundaria. ICE-Horsori. Barcelona
Rico, L. (1997a). Los Organizadores del Currículo de Matemáticas. En Rico, L. (coord.).- La
Educación Matemática en la Enseñanza Secundaria. ICE-Horsori. Barcelona
Rico, L. (1997b). Bases teóricas del Currículo de Matemáticas en Educación Secundaria. Síntesis.
Madrid.
4.4 Unidades Didácticas Específicas
La estructura y la exposición de los temas de este segundo bloque son distintas a las de los tres
temas anteriores. Además, debemos hacer las siguientes puntualizaciones: Todos los temas tienen
el mismo formato; la explicación del desarrollo efectivo de cada uno de ellos no se incluye, tal y
como se hace en los tres primeros temas, junto a los contenidos, sino que viene dada por la estructura
común del apartado dedicado a la metodología y las actividades; el nivel de detalle que hemos
querido dar a este apartado, para resaltar su importancia en el programa, nos impide incluir en todos
y cada uno de sus epígrafes ejemplos concretos para su desarrollo en clase, lo que no quiere
decir que no sean tratados del mismo modo que los demás.
TEMA 4.- EL NÚMERO NATURAL Y SISTEMAS DE NUMERACIÓN
4.1.- INTRODUCCIÓN
El conocimiento de los números naturales y de su escritura ocupan una parte muy significativa
de la enseñanza de las matemáticas en la Educación Primaria. Su carácter de concepto matemático
relevante, su tradición histórica, su utilidad fuera de toda duda así como su contribución significativa
al desarrollo cognitivo y al pensamiento matemático de los alumnos, hace que deba ser considerado
como un elemento singular dentro del currículo matemático en Educación Primaria. Por otra
parte, los futuros maestros no han tenido oportunidad a lo largo de sus procesos formativos de
conocer y reflexionar sobre los conceptos de número natural, sus utilidades y sus sistemas de representación,
lo que hace necesario, aún más si cabe, su inclusión como un elemento destacado del
proceso de formación que presentamos.
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Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
4.2.- CONTENIDOS
4.2.1.- Análisis didáctico
Ubicación en el Currículo de Primaria. Orientaciones oficiales
Decreto del MEC: Bloque “Números y Operaciones”.
Decreto de la Junta de Andalucía: Bloque “Números”.
Se hace mención a situaciones y problemas de la vida cotidiana susceptibles de ser analizados
con la ayuda de códigos y sistemas de numeración.
Conceptos, procedimientos y actitudes
- Conceptos: Número natural. Cardinal y Ordinal. Sistemas de numeración no posicionales y sistemas
de numeración posicionales. Sistema de Numeración Decimal. Conceptos y destrezas asociadas
al concepto de número natural: Clasificar, Seriar, Nombrar, Simbolizar, Secuencia numérica,
Contar, Cardinar, Ordenar. Sentido numérico (Segovia, Castro, Castro, Rico, 1989).
- Procedimientos: Representar números en los diferentes sistemas de numeración históricos.
Cambio de base en los sistemas de numeración posicionales; operaciones de suma, resta, multiplicación
y división en diferentes sistema posicionales.
- Actitudes: Interés por las informaciones y mensajes de naturaleza numérica; apreciación de la
utilidad de los números; curiosidad por indagar las regularidades numéricas; sensibilidad e interés
por descubrir distintas maneras de representar un número; rigor en la utilización de los simbolos
numéricos y de las reglas de los sistemas de numeración; claridad y orden en la escritura de los
números.
Consideraciones históricas
En Castro, Rico y Castro (1987) puede verse una extensa revisión histórica del concepto de
número natural y las teorías sobre el mismo en base al aspecto ordinal y al aspecto cardinal. Gómez
(1988) presenta una evolución inventada que reelabora la idea de número a lo largo de ocho pasos:
unicidad, coordinabilidad, registro, etiquetas, orden, sistema de numeración, contar y adjetivos. En
cuanto a los sistemas de numeración, son de destacar: Ifrah (1987), Rico, Castro y Castro (1985) y
Gómez (1988).
Fenomenología y aplicaciones
Castro y otros (op.cit) identifican los siguientes contextos: secuencia verbal, recuento, contexto
cardinal, contexto de medida, ordinal, el número como código y el número como tecla.
Otros sistemas de numeración asociados a aplicaciones actuales son: el romano, el sistema binario
y el hexadecimal (contextos informáticos).
Por otra parte, el sentido numérico (Segovia y otros, op. cit.) o intuición sobre números y sus
relaciones, tienen un amplio campo de fenómenos y situaciones cotidianas.
Cognición. Errores, dificultades y obstáculos
En Dickson, Brown y Gibson (1991) se describen lo que se conoce como estadios de Schaeffer
sobre el desarrollo del concepto de número. Igualmente son de destacar las investigaciones de Piaget
sobre la conservación de la cantidad y el orden. Se han observado dificultades en la comprensión
numérica asociadas con la irrelevancia del orden, el principio de biunivocidad y la regla de
cardinalidad.
En relación con el Sistema de Numeración Decimal se suelen presentar dificultades en el reconocimiento
del valor posicional (Ginsburg en: Dickson y otros, op.cit). Asímismo, son frecuentes
los errores debidos al paso de la numeración hablada a la escrita y viceversa. Kamii (1985) expone
los resultados de un estudio sobre la comprensión del valor de posición.
Representaciones y modelos
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Los modelos más usuales son: recta numérica (Resnick, 1983), el modelo cardinal y el modelo
de medidas (regletas de Cuisenaire). Para el Sistema de Numeración Decimal, tanto los bloques
multibase como el ábaco son a la vez modelos y materiales didácticos estructurados.
Materiales y recursos
Castro y otros (op.cit.) recogen una cantidad apreciable de materiales y recursos: los bloques
lógicos, las regletas, los puzzles numéricos, los dominós, parchís, oca, etc. Fernández y Rodríguez
(1989) presentan una colección de juegos. Una descripción del Ábaco, tipos de ábacos, bloques
multibase, regletas de Cuisenaire y actividades de construcción y aplicación se encuentran en Cascallana
(1988).
4.2.2.- Enseñanza y aprendizaje (análisis)
Pautas, propuestas, orientaciones y resultados
Castro y otros (op.cit) sugieren diferentes actividades: bloques Lógicos de Dienes para la clasificación;
regletas de Cuisenaire o regletas Montessori para la seriación; canciones infantiles; etc.
Kamii (1982; 1985) establece un modelo para la enseñanza del número en los primeros niveles.
Otras propuestas y orientaciones: contraste y valoración en grupo.
Resolución de problemas
Los problemas para la enseñanza y el aprendizaje de los contenidos matemáticos del tema son
fundamentalmente manipulativos. Los problemas de enunciado verbal suelen ser más bien ejercicios
y cuestiones de respuesta simple. Se hará una recopilación de problemas de este tipo que aparecen
en libros de texto y se analizarán posibles categorizaciones.
Observación de aprendizajes, producciones de los alumnos y prácticas educativas;
Observación y análisis de vídeos de entrevistas clínicas y análisis de tareas así como de alumnos
realizando actividades en el aula ordinaria (material didáctico, ejercicios en grupo, actividades específicas).
Exámen de cuadernos de trabajo.
Diagnóstico y evaluación: criterios, procedimientos y técnicas;
Los mismos recursos y actividades del apartado anterior se pueden utilizar para emitir juicios
razonados y su posterior discusión y valoración. Tareas y cuestionarios específicos para medir el
nivel de competencias. Controles realizados en aulas de Primaria.
Dificultades y problemas: identificación y tratamiento;
Aspectos particulares del tema en relación con los errores en matemáticas: naturaleza, orígen,
causas y posibles tratamientos (González, 1996).
Respuestas erróneas de alumnos de Primaria en relación con el tema. Análisis de sus posibles
causas y determinación del tratamiento pertinente.
Libros de texto;
Análisis del tema según varias editoriales (se utilizarán las consideraciones tratadas en los tres
primeros capítulos).
4.2.3.- Planificación de la Enseñanza
Propuestas y orientaciones;
Estudio de propuestas de planificación; síntesis de las orientaciones oficiales y los análisis anteriores
para establecer un esquema de planificación útil para el diseño de distintas partes del tema.
Tareas;
Aplicación de los cinco tipos de tareas del esquema metodológico. Ejemplos.
Elaboración, por parte de los alumnos, de al menos una tarea nueva de cada tipo.
Utilización de organizadores;
- Emplear los conocimientos previos.
- Emplear situaciones familiares y de los diferentes contextos.
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Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
- Utilizar los recursos específicos para el tema.
- Utilizar los sistemas de numeración históricos como medio de motivación.
Secuenciación y niveles;
Primer Ciclo: Coordinabilidad de conjuntos, cardinal y ordinal, acción de contar. Unidades, decenas
y centenas. Valor posicional.
Segundo Ciclo: Números de hasta cinco cifras.
Tercer Ciclo: Números Naturales.
Diseño;
Esquema y organizadores. Ejemplo desarrollado por el profesor con la participación del grupo.
Diseño de una parte específica en pequeño grupo y puesta en común.
4.2.4.- Conexiones teoría-práctica
Resúmen de lo tratado en el apartado de análisis de le enseñanza y el aprendizaje del tema;
Elaboración de una relación de aspectos del tema que tienen interés para la observación, la aplicación
y la investigación en el aula;
Resúmen de recomendaciones para la intervención.
4.3.- METODOLOGÍA Y ACTIVIDADES
Reflexión/debate Inicial: concepciones iniciales
- Haz una lista de números, lo más extensa posible, que se refiera a situaciones que te afecten
personalmente.
- Se plantea a los alumnos la cuestión ¿qué es un número?. Tras las respuestas y el debate
oportuno se sigue la secuencia establecida por los diferentes organizadores.
- Como introducción a los sistemas de numeración se puede plantear la cuestión, ¿cuantas
formas diferentes conocéis para representar el número 3?.
Análisis Didáctico
- Exposición del profesor y organización
- Documentación: lectura/reflexión/debate sobre una selección de los documentos y partes
de los mismos que se indican en el apartado del análisis didáctico.
- Laboratorio de Matemáticas (experiencias personales)
- resolución de problemas
Pueden plantearse algunos problemas relativos al sistema de representación, como por ejemplo
los conocidos criptogramas (sustituir letras por números). En Gómez (op.cit.) se presentan ejercicios
y actividades útiles para este aspecto.
- material didáctico, representaciones y modelos;
Se les propone a los alumnos cuestiones y problemas a su nivel con el material didáctico y los
modelos específicos, como por ejemplo representar un número en distintos ábacos o resolver problemas
utilizando los bloques multibase.
- fenomenología;
Ejercicio individual sobre los diferentes usos del número natural. Lista lo más completa posible
de fenómenos y situaciones relacionadas con los contextos numéricos.
- juegos y pasatiempos;
Se utilizarán las mismas actividades de este tipo que se recomiendan para el aula de Primaria así
como algunas variantes adaptadas al nivel de los estudiantes.
Aprendizaje y Enseñanza: Análisis
- Exposición del Profesor y organización;
- Documentación: lectura/reflexión/debate sobre una selección de los documentos y partes
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de los mismos que se indican en el apartado de análisis del aprendizaje y la enseñanza.
- Laboratorio de Didáctica de la Matemática (reflexión didáctica)
- organizadores y libros de texto;
Exámen de la incidencia de cada organizador en el tratamiento del tema en dos textos actuales
de editoriales diferentes.
En Castro y otros (op.cit) se proponen ejercicios como los siguientes: “Elabora una lista de 10
juegos infantiles en los que de algún modo se utilizan los números. Indica como se emplean y a qué
contexto corresponden.”. Tratamiento de las representaciones y modelos en los textos; etc.
- situaciones de enseñanza-aprendizaje;
Se utilizarán situaciones puntuales contadas, escritas o visionadas para realizar una reflexión
didáctica.
- análisis de problemas didácticos;
Como ejemplo de ejercicios, problemas y actividades de análisis didáctico se pueden plantear
problemas como el siguiente:
¿Qué conocimientos tratan de ponerse de manifiesto en el ejercicio: “Escribe el nombre del
número que contiene 14 decenas, 8 centenas y 2 unidades”?.
Planificación
- Exposición del Profesor y organización
- Documentación: lectura/reflexión/debate sobre una selección de los documentos y partes
de los mismos que se indican en el apartado.
- Laboratorio de Didáctica de la Matemática (reflexión didáctica)
- Trabajo en grupo: diseño de una parte de la unidad
- Exposición y debate sobre uno de los trabajos
Conexión teoría-práctica
- Propuesta individual razonada sobre qué aspectos de la unidad sería necesario/conveniente:
observar, aplicar, investigar y cuáles habría que tener en cuenta en una intervención
y cómo habría que hacerlo (se puede tomar como referencia el mismo diseño realizado en el
apartado anterior);
- Puesta en común (todo el grupo) y conclusiones.
Reflexión/debate final: evaluación conjunta y autoevaluación
4.4.- MATERIALES Y RECURSOS
Documentación indicada en los apartados anteriores
guiones de trabajo y documentos elaborados por el profesor
análisis didáctico: bibliografía recomendada.
análisis de la enseñanza y el aprendizaje: cuadernos, controles y producciones de los alumnos
de Primaria en torno al tema.
planificación: documentos curriculares; programaciones.
Materiales didácticos: los materiales escolares indicados a lo largo del tema
Libros de texto de varias editoriales
Videograbaciones: situaciones videofilmadas de enseñanza y aprendizaje sobre aspectos puntuales
del tema.
4.5.- BIBLIOGRAFÍA
Baroody, A. (1988).- El Pensamiento Matemático de los Niños. Visor. MEC. Madrid.
Bermejo, V. (1990).- El niño y la aritmética. Paidós. Barcelona.
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Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
Brissiaud, R. (1989).- El aprendizaje del cálculo. Más allá de Piaget y de la teoría de los conjuntos.
Apredizaje Visor. Madrid.
Cascallana, M. A. (1988).- Iniciación a la matemática. Materiales y recursos didácticos. Santillana,
Aula XXI. Bilbao.
Castro, E., Rico, L.; Castro, E. (1987).- Números y operaciones. Fundamentos para una aritmética
escolar. Síntesis. Madrid.
Dickson, L., Brown, M. y Gibson, O. (1991).- El aprendizaje de las matemáticas. Labor y MEC.
Barcelona.
Dienes, Z. P. (1978).- Cómo utilizar los bloques multibase. Barcelona: Teide.
Fernández, J.; Rodríguez, M.I. (1989).- Juegos y pasatiempos para la enseñanza de la matemática
elemental. Síntesis. Madrid.
Gattegno, C. (1963).- Introducción al método Cuisenaire-Gattegno de los números en color para la
enseñanza de la aritmética. Cuisenaire de España, Madrid.
Gattegno, C. (1967).- Al fin puede Pepito aprender aritmética. Ed. Cuisenaire de España, Madrid.
Gómez, B. (1988).- Numeración y cálculo. Síntesis. Madrid.
González, J. L. (1996).- Los errores en Matemáticas. Cursos impartidos dentro del ciclo “Evaluación
de los aprendizajes”. CEP de Sevilla, CEP de Linares y CEP de Córdoba. Autor.
Ifrah, G. (1987).- Las cifras. Historia de una gran invención. Alianza Editorial. Madrid.
Junta de Andalucía (1992).- Decreto de Educación Primaria. Instituto Andaluz de Formación y
Perfeccionamiento del Profesorado. Sevilla.
Kamii, C. (1982).- El número en la Educación Preescolar. Visor.
Kamii, C. (1985).- El niño reinventa la aritmética. Visor.
Resnick, L.B.; Ford, W.W. (1991).- La enseñanza de las matemáticas y sus fundamentos psicológicos.
M.E.C. Paidós. Barcelona.
Segovia, I. (1997).- Proyecto Docente. Departamento de Didáctica de la Matemática. U. Granada.
Segovia, Castro, Castro, Rico (1989).- Estimación en cálculo y medida. Madrid: Síntesis.
Torra, M.; Quintana, J. (1992).- Propuestas de secuencias Matemáticas. MEC y Editorial Escuela
Española. Madrid.
TEMA 5.- ESTRUCTURA ADITIVA. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
5.1.- INTRODUCCIÓN
El aspecto dinámico, operatorio, del número natural, complemento indisociable del aspecto
estático y representacional abordado en el tema anterior, está relacionado con acciones y relaciones
que se corresponden con las operaciones aritméticas básicas. El número natural y las operaciones
de suma y resta constituyen los fundamentos de la estructura conceptual aditiva. Se trata de una
estructura importante en matemáticas, de la que dependen numerosos conceptos y procedimientos
matemáticos posteriores. Su construcción por parte del niño se desarrolla durante un largo período
de tiempo, atravesando por etapas críticas y delicadas caracterizadas por la aparición de dificultades
que van a condicionar los aprendizajes matemáticos posteriores. La estructura aditiva se inicia
en este tema, pero tiene su continuación “natural” en el tema siguiente, en el que se trata la relatividad
aditiva y los números con signo como primera ampliación numérica intuitiva dentro de la
misma.
González Marí, J. L.
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Didáctica de la Matemática y Prácticas de Enseñanza en Matemáticas en Educación Primaria
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5.2.- CONTENIDOS
5.2.1.- Análisis didáctico
Ubicación en el Currículo de Primaria. Orientaciones oficiales;
En el Decreto del MEC: bloque “Números y Operaciones”; objetivos 2 y 8.
En el Decreto de la Junta de Andalucía: bloque 3 “Operaciones”; objetivos 2 y 8.
Se hace alusión a la resolución de situaciones y problemas para cuyo tratamiento se requiera la
realización de operaciones elementales de cálculo, la utilización de fórmulas sencillas y la realización
de los algoritmos correspondientes.
Conceptos, procedimientos y actitudes;
- Conceptos: Concepto de suma. Propiedades. Orden. Concepto de resta. Propiedades. Los
hechos numéricos aditivos (Gómez, 1988). El concepto de suma y sus propiedades se presentan a
partir del concepto de número cardinal; La relación de orden se define a partir del concepto de
suma; la resta, a partir de la suma (sumando desconocido), utilizando conjuntos (“quitar”) y a partir
de la comparación (correspondencia biunívoca); cada una de ellas responde a situaciones diferentes
(Krause, 1987). Estimación en cálculo. Características de la estimación. Truncamiento. Redondeo.
Errores. Porcentaje de Aproximación. Calculadoras. (Segovia, Castro, Castro, Rico,
1989).
- Procedimientos: Algoritmos para la suma y su justificación; Algoritmos para la resta y su justificación.
Cálculo mental, la estimación en el cálculo y el uso de la calculadora.
- Actitudes: Gusto por el descubrimiento y formulación de propiedades de las operaciones; curiosidad
por indagar sobre el significado de las operaciones aditivas; sensibilidad e interés por los
mensajes de naturaleza aditiva; apreciación de la utilidad de la suma y la resta en la vida cotidiana;
confianza en las propias capacidades para realizar cálculos y calcular mentalmente; confianza en el
uso de la calculadora.
Consideraciones históricas;
El desarrollo histórico de los conceptos de las operaciones aritméticas está ligado al del concepto
de número natural, así como los procedimientos de cálculo están ligados al desarrollo de los
sistemas de numeración (Gómez, op. cit.). En Grupo EGB de la APMA (1985) se realiza una revisión
histórica de la aritmética en Babilonia, Egipto, Grecia, Roma, Edad Media y Renacimiento así
como de la evolución de los algoritmos dentro del Sistema de Numeración Decimal. En Gómez y
Jaime (1982), Cajori (1980) y Smith (1958) pueden examinarse algunos de estos algoritmos. Para
la estimación y el cálculo mental se ha de consultar la obra de Segovia, Castro, Castro y Rico
(1989).
Fenomenología y aplicaciones;
Algunos de los fenómenos que dan sentido y se organizan en base a las operaciones de suma y
resta están relacionados con acciones y relaciones entre cantidades, tales como: Transformaciones,
combinaciones, comparaciones y procesos de igualación. En Castro y otros (op.cit) así como en
González (1998) y en Puig y Cerdán (1988) pueden verse ejemplos concretos de los fenómenos
mencionados. También en Grupo EGB de la APMA (op.cit) se presenta una ejemplificación de
usos asociados a diferentes magnitudes. Estos casos concretos vienen determinados también por la
terminología asociada: añadir, agregar, adicionar, quitar, reducir, perder, reunir, tomar, etc.
La estimación y el cálculo mental responden a un amplio abanico de fenómenos y situaciones
que pueden extraerse de Segovia y otros (op. cit.).
Cognición. Errores, dificultades y obstáculos;
Escalona y Noriega (1975) presentan los distintos tipos de errores: en las sumas y restas básicas;
contar para sumar o restar; en el proceso de “llevar”; procedimientos defectuosos; errores de aten-
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Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
ción, etc.. Dickson y otros (1991) indican que los errores más frecuentes se producen al restar el
dígito menor del mayor y al efectuar “llevadas”.
En la resolución de problemas aditivos destacamos que los problemas de sumar son mas sencillos
que los de restar y existen dificultades debidas al tipo de sentencia que subyace en el enunciado
del problema. Puig y Cerdán (op.cit) establecen también una clasificación en cuanto al nivel de dificultad.
Dellarosa y otros (1988) identifican seis tipos de errores de comprensión en problemas.
Un último grupo de errores y dificultades provienen de la escasa atención en el currículo al
cálculo mental y a la estimación.
Asímismo, es de destacar la escasa atención al razonamiento inductivo numérico (Ortiz, 1997),
cuando se trata de una de las vías más poderosas para establecer relaciones y descubrir propiedades.
Representaciones y modelos;
Los sistemas de representación más habituales para la suma y la resta son los simbólicos, donde
los datos y resultado pueden ser alineados horizontal o verticalmente, de manera que coinciden los
distintos órdenes de unidades. Maza (1991) clasifica las distintas formas de representación en: manipulativas,
gráficas, verbales informales, verbales formales y numéricas.
Los modelos para las operaciones aditivas son de varios tipos: Modelos lineales (semirrecta;
avances (suma) y retrocesos (resta)) (modelo mental según Resnik (1983)); modelos cardinales
(diagramas de Venn y acciones de añadir o quitar); modelos de medidas (ejemplos: regletas de Cuisenaire
y balanza); modelos funcionales (“máquinas de sumar y restar”). En Castro y otros (op.cit)
puede examinarse una descripción más detallada de los modelos.
Materiales y recursos;
Además de los citados en el tema anterior son también útiles en este tema: regletas de Cuisenaire,
regletas encajables, dominós de números y operaciones, bloques multibase, ábacos, puzzles de
suma y resta, juegos específicos, la calculadora (Udina (1989)), etc. En la bibliografía citada en
apartados anteriores se puede encontrar una extensa relación de materiales y recursos para el aula
5.2.2.- Enseñanza y aprendizaje (análisis)
Pautas, propuestas, orientaciones y resultados;
Investigaciones de Piaget sobre la comprensión y el desarrollo de las nociones de suma y resta.
Etapas de Mialaret (1977) y consideraciones de Dienes (1970) y de Bandet, Mialaret y Brandicourt
(1968) para las operaciones de suma y resta.
Maza (1991) presenta una propuesta de enseñanza basada en la resolución de problemas elementales
y en la construcción de los algoritmos correspondientes. Para el primer aspecto propone
actividades dirigidas a la comprensión y resolución de tareas relacionadas con las categorías semánticas
básicas (cambio, combinación, comparación e igualación). Para los algoritmos propone actividades
variadas basadas en el ábaco y los bloques multibase.
En Dickson y otros (op. cit.) se dan sugerencias para la enseñanza basadas en la comprensión
de los fundamentos de los algoritmos escritos.
En Udina (1989) se dan pautas para el uso de la calculadora en el aula.
Otras propuestas y orientaciones sobre operaciones, estimación y cálculo mental: contraste y valoración
en grupo.
Resolución de problemas
Aquí se iniciará el tratamiento de la resolución de problemas analizando en primer lugar las características
de los problemas de estructura aditiva (Puig y Cerdán, 1988) y haciendo un breve repaso
de: Variables que intervienen en un problema; clasificación semántica y sintáctica; clasificación
según la sentencia aditiva (Carpenter y Moser, 1982); estudio sobre las dificultades de los
González Marí, J. L.
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197
distintos tipos de problemas; estrategias utilizadas; fases en la resolución (lectura, comprensión,
traducción, cálculo, solución, revisión y comprobación); estimación y resolución de problemas.
En lo que respecta a las clasificaciones se tratarán brevemente las dos mencionadas. Según la
primera (semántica o según el significado global del enunciado), los problemas de suma y resta se
pueden clasificar en problemas de cambio (o transformación), de combinación (esquema parteparte-todo)
y de comparación (relación entre cantidades, medidas y números). Una cuarta categoría,
diferente a las anteriores (González, 1998), es la de igualación, en la que se dan una comparación
y una transformación combinadas. Según la segunda clasificación (sintáctica), los problemas
se puede clasificar por el tamaño de su enunciado, por la mayor o menor complejidad gramatical,
por la forma de presentación y el orden de aparición de los datos (números, palabras, símbolos o
gráficos), por la posición de la pregunta dentro del enunciado, etc.
Una información más detallada puede verse en Puig y Cerdán (1988), así como en Rico y otros
(1988) y en González (1997).
Observación de aprendizajes, producciones de los alumnos y prácticas educativas;
Observación y análisis de vídeos de entrevistas clínicas y análisis de tareas así como de alumnos
realizando actividades en el aula ordinaria (material didáctico, ejercicios en grupo, actividades específicas).
Exámen de cuadernos de trabajo.
Diagnóstico y evaluación: criterios, procedimientos y técnicas;
Los mismos recursos y actividades del apartado anterior se pueden utilizar para emitir juicios
razonados y su posterior discusión y valoración. Tareas y cuestionarios específicos para medir el
nivel de competencias. Controles realizados en aulas de Primaria.
Dificultades y problemas: identificación y tratamiento;
Aspectos particulares del tema en relación con los errores en matemáticas: naturaleza, orígen,
causas y posibles tratamientos (González, 1996).
Respuestas erróneas de alumnos de Primaria en relación con el tema. Análisis de sus posibles
causas y determinación del tratamiento pertinente.
Libros de texto;
Análisis del tema según varias editoriales (se utilizarán las consideraciones tratadas en los tres
primeros capítulos).
5.2.3.- Planificación de la Enseñanza
Propuestas y orientaciones;
Estudio de propuestas de planificación; síntesis de las orientaciones oficiales y los análisis anteriores
para establecer un esquema de planificación útil para el diseño de distintas partes del tema.
Tareas;
Aplicación de los cinco tipos de tareas del esquema metodológico. Ejemplos.
Elaboración, por parte de los alumnos, de al menos una tarea nueva de cada tipo.
Utilización de organizadores;
Además de las recomendaciones efectuadas en el tema anterior, es de destacar aquí la propuesta
que realizan Castro, Rico y Castro (1988) para la enseñanza en base a diferentes organizadores:
Etapa de acciones: familiarizar al niño con los fenómenos que organizan los conceptos de suma
y resta.
Etapa de modelos: etapa en la que las acciones tienen un primer nivel de abstracción mediante
su modelización.
Etapa de representación simbólica: un segundo nivel de abstracción es la simbolización mediante
los números y símbolos correspondientes.
Etapa de hechos y tablas: memorización de resultados relativos a números de un dígito.
Univer-
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198
Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
Etapa de algoritmos: dominio de los procedimientos de cálculo usuales.
Etapa de resolución de problemas.
Secuenciación y niveles;
Primer Ciclo: Suma y resta con números de hasta tres cifras. Restas sin “llevadas”. Resolución
de Problemas de sumar y restar.
Segundo Ciclo: Completar la suma y la resta. Resolución de Problemas de dos etapas. Estimación
y calculadora.
Tercer Ciclo: Problemas de tres etapas.
Diseño;
Esquema y organizadores. Ejemplo desarrollado por el profesor con la participación del grupo.
Diseño de una parte específica en pequeño grupo y puesta en común.
5.2.4.- Conexiones teoría-práctica
Resúmen de lo tratado en el apartado de análisis de le enseñanza y el aprendizaje del tema;
Elaboración de una relación de aspectos del tema que tienen interés para la observación, la aplicación
y la investigación en el aula;
Resúmen conjunto de recomendaciones para la intervención.
5.3.- METODOLOGÍA Y ACTIVIDADES
Reflexión/debate Inicial: concepciones iniciales
¿Qué es sumar?; ¿qué es restar?. ¿Sabes sumar y restar?. Se comenzará por interrogantes de este
tipo y se propondrá que un alumno vaya indicando a alguien que no sabe (el profesor) los pasos a
seguir. Este, intencionalmente, interpretará erróneamente las órdenes. Igualmente, se tratará de
organizar un debate sobre la pregunta ¿porqué se suma como se suma?.
Análisis Didáctico
- Exposición del profesor y organización
Las operaciones aritméticas se tratan desde tres puntos de vista: algebraico (ley interna) desde
un punto de vista elemental, conceptual-semántico (significados) y algorítmico. En base al conocimiento
del Sistema de Numeración Decimal se presentan al alumno diferentes algoritmos de cálculo
así como su justificación; con ello se pretende dar a conocer otros procedimientos, fundamentar
lo que ellos conocen como tareas rutinarias y modificar en consecuencia sus creencias y conocimientos
usuales.
- Documentación: lectura/reflexión/debate sobre una selección de los documentos y partes
de los mismos que se indican en el apartado de análisis didáctico.
- Laboratorio de Matemáticas (experiencias personales directas)
- resolución de problemas;
Se propondrán problemas como los siguientes: Estima el resultado de las siguientes operaciones
aritméticas y describe el proceso que has seguido para realizarlo:
2346+5672+8924+3567+1092 234 x 45 72568 : 23
¿cómo podemos averiguar cuántos dígitos utiliza la calculadora internamente?; calcula mediante
algoritmos no usuales de lápiz y papel: 3486+37276+6005; 700193-527691; con la tabla de sumar
averigua y justifica: ¿Cómo es la diagonal descendente?; ¿qué muestran las diagonales secundarias?;
busca otras regularidades.
- material didáctico, representaciones y modelos;
Se les propone a los alumnos cuestiones y problemas a su nivel con el material didáctico y los
modelos específicos, como por ejemplo: Representa la suma 3+6=9 y la diferencia 9-6=3 mediante
los diferentes modelos. Añade tu opinión sobre la conveniencia del uso de cada modelo.
González Marí, J. L.
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199
- fenomenología
Se realizarán actividades relacionadas con las situaciones, fenómenos y contextos tratados en el
apartado correspondiente de los contenidos.
- juegos y pasatiempos;
Se utilizarán las mismas actividades de este tipo que se recomiendan para el aula de Primaria así
como algunas variantes adaptadas al nivel de los estudiantes.
Aprendizaje y Enseñanza: Análisis
- Exposición del Profesor y organización;
Destacar la importancia de la resolución de problemas aritméticos aditivos tanto en la enseñanza
como en el aprendizaje así como hacer hincapié en las etapas en el aprendizaje de los conceptos de
suma, orden, resta y propiedades.
- Resolución de problemas
Redactar problemas de comparación adecuados a cada uno de los dos primeros ciclos de Primaria.
- Documentación: lectura/reflexión/debate sobre una selección de los documentos y partes
de los mismos que se indican en el apartado de análisis del aprendizaje y la enseñanza.
- Laboratorio de Didáctica de la Matemática (reflexión didáctica)
- organizadores y libros de texto;
Exámen de la incidencia de cada organizador en el tratamiento del tema en dos textos actuales
de editoriales diferentes.
¿Cuál de los recursos y materiales que se han visto es más adecuado para trabajar la sustracción
con llevadas?; etc. Tratamiento de las representaciones y modelos en los textos. Análisis de la resolución
de problemas aditivos en los libros de texto.
- situaciones de enseñanza-aprendizaje;
Se utilizarán situaciones puntuales contadas, escritas o visionadas para realizar una reflexión
didáctica.
- análisis de problemas didácticos;
Análisis de la sustracción con llevadas: aprendizaje y enseñanza. Análisis y discusión sobre la
conveniencia del uso de la calculadora y de los métodos de estimación en cálculo.
Planificación
- Exposición del Profesor y organización
- Documentación: lectura/reflexión/debate sobre una selección de los documentos y partes
de los mismos que se indican en el apartado.
- Laboratorio de Didáctica de la Matemática (reflexión didáctica)
- Trabajo en grupo: diseño de una parte de la unidad
- Exposición y debate sobre uno de los trabajos
Conexión teoría-práctica
- Propuesta individual razonada sobre qué aspectos de la unidad sería necesario/conveniente:
observar, aplicar, investigar y cuáles habría que tener en cuenta en una intervención
y cómo habría que hacerlo (se puede tomar como referencia el mismo diseño realizado en el
apartado anterior);
- Puesta en común (todo el grupo) y conclusiones.
Reflexión/debate final: evaluación conjunta y autoevaluación
5.4.- MATERIALES Y RECURSOS
Documentación indicada en los apartados anteriores
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guiones de trabajo y documentos elaborados por el profesor
análisis didáctico: bibliografía recomendada.
análisis de la enseñanza y el aprendizaje: cuadernos, controles y producciones de los alumnos
de Primaria en torno al tema.
planificación: documentos curriculares; programaciones.
Materiales didácticos: los materiales escolares indicados a lo largo del tema. Libros de texto de
varias editoriales.
Videograbaciones: situaciones videofilmadas de enseñanza y aprendizaje sobre aspectos puntuales
del tema.
5.5.- BIBLIOGRAFÍA
Bandet, J.; Mialaret, G.; Brandicourt, R. (1968).- Los comienzos del cálculo. Kapelusz.
Baroody, A. (1988).- El Pensamiento Matemático de los Niños. Visor. MEC. Madrid.
Bermejo, V. (1990).- El niño y la aritmética. Paidós. Barcelona.
Brissiaud, R. (1989).- El aprendizaje del cálculo. Más allá de Piaget y de la teoría de los conjuntos.
Apredizaje Visor. Madrid.
Cajori, F. (1980). History of Mathematics. Chelsea Publishing Comp. New York.
Carpenter, T.; Moser, J.; Romberg, T. (edit.) (1982).- Addition and subtraction: A cognitive perspective.
Hillsdale, New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates Publishers.
Cascallana, M. A. (1988).- Iniciación a la matemática. Materiales y recursos didácticos. Santillana,
Aula XXI. Bilbao.
Castro, E.; Rico, L.; Castro, E. (1987).- Números y operaciones. Fundamentos para una aritmética
escolar. Síntesis. Madrid.
Dickson, L., Brown, M. y Gibson, O. (1991).- El aprendizaje de las matemáticas. Labor y MEC.
Barcelona.
Dienes, Z. P. (1970).- La construcción de las Matemáticas. Vicens-Vives.
Dienes, Z. P. (1978).- Cómo utilizar los bloques multibase. Barcelona: Teide.
Escalona, F. y Noriega, M. (1975).- Didáctica de la matemática en la escuela primaria. Kapelusz.
Buenos Aires.
Fernández, J. y Rodríguez, M.I. (1989).- Juegos y pasatiempos para la enseñanza de la matemática
elemental. Síntesis. Madrid.
Fernández, F., Llopis, A. y Pablo, C. (1991).- Matemáticas básicas: dificultades de aprendizaje y
recuperación. Santillana. Madrid.
Gattegno, C. (1963).- Introducción al método Cuisenaire-Gattegno de los números en color para la
enseñanza de la aritmética. Cuisenaire de España. Madrid.
Gattegno, C. (1967).- Al fin puede Pepito aprender aritmética. Ed. Cuisenaire de España, Madrid.
Gómez, B. (1988).- Numeración y cálculo. Síntesis. Madrid.
Gomez, B.; Jaime, A. (1983).- El cálculo aritmético, los algoritmos. Albatros. Valencia.
González, J. L. (1996).- Los errores en Matemáticas. Cursos impartidos dentro del ciclo “Evaluación
de los aprendizajes”. CEP de Sevilla, CEP de Linares y CEP de Córdoba. Autor.
González, J. L. (1997).- Clasificación de problemas aditivos. I Simposio SEIEM. Zamora.
Grupo EGB de la APMA (1985).- Aritmética elemental para resolución de problemas en el tercer
ciclo de EGB 1ª y 2ª Partes. Epsilon nº 5 y nº 6.
Hernán, F.; Carrillo, E. (1989).- “Materiales y recursos en el aula de Matemáticas”. Síntesis.
Junta de Andalucía (1992).- Decreto de Educación Primaria. Instituto Andaluz de Formación y
González Marí, J. L.
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201
Perfeccionamiento del Profesorado. Sevilla.
Krause, F.E. (1987).- Mathematics for elementary teachers. Heath and Comp. Lexington, MA.
Maza, C. (1991).- Enseñanza de la suma y de la resta. Síntesis. Madrid.
Mialaret, G. (1977).- las Matemáticas: cómo se aprenden, cómo se enseñan. Pablo del Río.
Miller, C.D.; Heeren, V.E. (1979).- Introducción al pensamiento matemático. Trillas. México.
Ortiz, A. (1997).- Razonamiento Inductivo Numérico. Tesis Doctoral. Departamento de Didáctica
de la Matemática. Universidad de Granada.
Puig,L. y Cerdán F. (1988).- Problemas aritméticos escolares. Síntesis. Madrid.
Resnick, L.B. y Ford, W.W. (1991).- La enseñanza de las matemáticas y sus fundamentos psicológicos.
M.E.C. Paidós. Barcelona.
Segovia, I. (1997).- Proyecto Docente. Departamento de Didáctica de la Matemática. U. Granada.
Segovia, Castro, Castro, Rico (1989).- Estimación en cálculo y medida. madrid: Síntesis.
Smith, D. (1958). History of Mathematics. Vol. II. Dover Publications. New York.
Udina (1989).- Aritmética y calculadoras. Madrid: Síntesis.
TEMA 6.- RELATIVIDAD ADITIVO-ORDINAL. NÚMEROS CON SIGNO
6.1.- INTRODUCCIÓN
Lo que denominamos como relatividad aditivo-ordinal tiene su origen en una parte importante
del campo conceptual aditivo, en concreto, en la que intervienen comparaciones y transformaciones
cuantitativas, métricas y numéricas aditivas y ordinales. Frases tan familiares como “tengo 2 años
más que tú”, “ha llegado tres puestos por detrás de ..”, “tenía 2 entradas, me han regalado tres más
y he perdido una”, “he ingresado 5000 ptas.”, “5 es 3 menos que 8” o “faltan cinco duros”, involucran
números naturales asociados a una adjetivación dual (más-menos, antes-después, delantedetrás,
ingreso-reintegro, etc.), lo que introduce ciertas diferencias con respecto a las características
y usos comunes de los números naturales en sentido absoluto, en su doble faceta cardinal y
ordinal (“tengo 20 años”,“estoy en 2º lugar”,“en la rama hay 5 melocotones”, etc.). Esta parte del
campo conceptual aditivo enlaza, por tanto, con la resolución de problemas, pero tiene entidad
suficiente como para efectuar su tratamiento en un nuevo capítulo, en la medida en que intervienen
nuevas nociones numéricas (números con signo) que estructuran la primera ampliación “natural”
del campo numérico y que son importantes para la configuración posterior de los números enteros
y del pensamiento algebraico. Hablamos de números con signo y no de números enteros porque en
Primaria no se van a tratar estos últimos con todas sus propiedades, ni siquiera a nivel intuitivo o
informal, sino nociones numéricas que van desde los números naturales relativos, también conocidos
como adjetivados, dirigidos o relativos, hasta los propios números positivos y negativos con su
simbolización ordinaria, pero en contextos puramente ordinales (temperaturas, escalas) o, como
máximo, en aplicaciones en las que su funcionamiento se ajusta a la estructura aditiva y ordinal de
los números enteros. La multiplicación, la estructura global y propiedades así como la construcción
formal de los números enteros se deben posponer a niveles más avanzados del Sistema Educativo.
Ello no quiere decir que no vayamos a hablar de números enteros en este tema, puesto que nos
parece conveniente que los futuros maestros tengan una visión completa del proceso, aunque su
tratamiento será breve y supeditado siempre a la parte fundamental del tema, es decir, a la relatividad
aditivo-ordinal. Por último hemos de decir que, debido a su carácter novedoso para la formación
inicial de maestros, hemos creído conveniente desarrollar un diseño un poco más detallado
Univer-
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202
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que el que se expone para los restantes temas.
6.2.- CONTENIDOS
6.2.1.- Análisis didáctico
Ubicación en el Currículo de Primaria. Orientaciones oficiales;
La relatividad aditiva y los números positivos y negativos forman parte de un campo de conocimientos
estrechamente relacionado, en sus inicios, con el campo conceptual aditivo. Así, presentan
ciertas relaciones de dependencia con algunos aspectos de los números naturales (comparaciones,
transformaciones, significados duales, etc.) y comparten con ellos, con los deci-males y las
fracciones un núcleo fenomenológico común (relacionado con la relatividad aditivo-ordinal y con el
campo conceptual de los números naturales relativos). Se trata, por tanto, de un contenido matemático
cuyo desarrollo curricular se debe iniciar en la Educación Primaria y continuar en la Educación
Secundaria obligatoria, quedando su culminación formal, si es el caso, para cursos posteriores;
de hecho, su ubicación en el diseño curricular y las orientaciones para su tratamiento didáctico
varían de unas Comunidades a otras dentro del Estado español.
El Real Decreto 1344/1991 de 6 de septiembre (B.O.E. 13/9/91), por el que el Ministerio establece
el currículo para Educación Primaria, recoge los contenidos del Área de Matemáticas relacionados
con los números enteros en el bloque “números y operaciones”. Asímismo, en dicho apartado
se establecen los contenidos para el número natural y las operaciones con números naturales,
una parte de los cuales, aquélla en la que intervienen comparaciones y transformaciones de medidas
discretas y números naturales, son de especial importancia para el tema.
La Junta de Andalucía no contempla los números enteros ni los números con signo como tales
en el diseño curricular de Primaria, aunque sí contempla el mismo campo anterior en los bloques de
números y operaciones.
Conceptos, procedimientos y actitudes;
Conceptos: Transformación y comparación aditivas; opuestos aditivos; relatividad aditivo ordinal;
números naturales relativos (adjetivados o dirigidos); números positivos y negativos, números
enteros; orden; recta numérica.
Procedimientos: Operaciones aritméticas con números naturales relativos: adición natural relativa;
operaciones aritméticas con números enteros: suma y resta. Limitaciones de la multiplicación.
- Actitudes: Curiosidad por indagar sobre las relaciones aditivo-ordinales y su significado; gusto
por el descubrimiento de regularidades; interés por la formulación y comunicación de nociones
aditivo-ordinales; sensibilidad ante la utilidad de los números con signo; apreciación de la necesidad
de nuevos números.
Indicamos brevemente a continuación cuáles son las nociones y el alcance del tema.
El campo de la relatividad aditivo-ordinal surge de la ampliación “natural” a un contexto relativo
de la idea “el número representa una cantidad”, tiene su origen en la comparación natural y llega
hasta el grupo aditivo y ordenado (Z, +, ≤). Involucra nociones métricas y numéricas de varios
tipos, que se pueden caracterizar mediante tres elementos: número natural (cardinal u ordinal),
origen o referencia y doble sentido que da lugar al doble signo:
• medidas y números “naturales relativos” (González, 1998)), para las que no existe una construcción
matemática formal ni una simbolización específica (se suelen utilizar números naturales o
números con signo, dependiendo del caso), que no tienen una estructura de orden total sino parcial
(no tiene sentido comparar ganancias con pérdidas o bienes con deudas, si no es en valor absoluto),
con las que se puede operar aditivamente mediante la suma de números naturales, si se trata de
números y medidas del mismo “signo” (“ayer perdí 3 y hoy he perdido 4; entre los dos días he per-
González Marí, J. L.
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203
dido 7”), o mediante reglas familiares y naturales de anulación-compensación de opuestos (“si
avanzo 3 km y luego retrocedo 2 km., en total avanzo 1 km.”).
• magnitudes y medidas basadas en escalas ordinales (temperaturas, cronologías,, etc.), que se
representan mediante números con signo y entre los que no tienen sentido las operaciones.
• magnitudes y medidas que involucran la adición y el orden de los números enteros (grupo aditivo
y ordenado (Z, +, ≤)), que constituyen la culminación de esta “extensión natural”, son las situaciones
más “completas” dentro del campo, el modelo presenta una estructura de orden total sin
primer ni último elementos y es posible operar aditivamente sin ninguna restricción.
Consideraciones históricas;
La historia de los números positivos y negativos, desde la aparición de las primeras nociones
hasta su justificación y formalización matemática como números enteros en la segunda mitad del
siglo XIX, ha sido larga y controvertida (González y otros, 1990, págs. 21-58); un proceso de más
de 20 siglos caracterizado por la existencia de diferencias notables entre distintas civilizaciones en
lo que se refiere a su concepción y utilidad y a la dificultad para justificarlos e integrarlos en el conjunto
de conocimientos matemáticos. Así, mientras que los números negativos eran utilizados en
algunas culturas orientales (China, India) para resolver problemas comerciales, en las civilizaciones
griega, árabe y europea, aún siendo conocidos y utilizados como artificios de cálculo, eran rechazados
o ignorados porque no encajaban con la idea: “el número expresa cantidad”. Dos maneras de
negatividad (Lizcano, 1993) tales que la segunda culminó con la construcción formal adoptada hoy
día, “tapando” literalmente a la primera, en cuyo marco se sitúa la relatividad aditivo-ordinal.
Los primeros antecedentes de las cantidades negativas se remontan al capítulo octavo de los
“Nueve Capítulos del arte matemático” (Jiu zhang suanshu), cuya versión original es anterior a la
dinastía de los Primeros Han (202 a. de C.). Mediante el manejo de palillos que se disponían sobre
un tablero de cálculo o un tapete y utilizando un método (“fang cheng”) se resolvían manipulativamente
lo que hoy conocemos como sistemas de ecuaciones (Lizcano, op. cit.).
El modelo hindú de bienes y deudas consideraba los negativos como entidades aisladas con su
aritmética correspondiente. Los hindúes utilizaban e interpretaban las raíces negativas de las ecuaciones
y resolvían problemas de tipo práctico. Brahmagupta, en el 628 d. de C., establecía los algoritmos
para efectuar operaciones aritméticas con los “bienes”, las “deudas” y la “nada”.
La historia más reciente se puede encontrar en González (1990), de la que destacamos lo siguiente:
En los últimos años, había una preocupación especial por encontrar una justificación a lo
que hoy conocemos como “regla de los signos” para la multiplicación. Se sabía que dichas reglas
tenían que ser así porque aparecían en la resolución de problemas y en las manipulaciones algebraicas,
pero no se disponía de una explicación satisfactoria y menos aún de una demostración matemática.
Se dieron numerosos intentos de justificación, pero todas encerraban algún problema o
dependían de la suposición arbitraria o convencional de alguna propiedad. Posteriormente, con
motivo de la construcción formal, se vió que “no es posible una demostración .., resultando ser una
convención arbitraria para preservar el formalismo del cálculo”(Klein, 1927).
En el siglo XIX se entró en un terreno formal, puramente matemático, en el que fué posible la
admisión y legalización de los números negativos gracias al principio de permanencia de las leyes
formales (Peacok (1791-1858), Hankel (1867); citados y comentados en González y otros, 1990,
págs. 48-49). De forma simplificada y particular dice lo siguiente: todas las reglas que se verifican
para los números naturales deben seguir verificándose para los nuevos campos numéricos, de
manera que se conserven las definiciones en el campo menos amplio como casos particulares de
las nuevas definiciones en los campos ampliados sin que exista contradicción.
La ampliación requiere identificar los números naturales con los positivos, añadir los negativos
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204
Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
como opuestos para la adición en una estructura de orden total sin primer ni último elementos y
definir la multiplicación para que se conserven las propiedades. Sobre esta idea general se construyen
varias teorías a finales del siglo XIX. Una de ellas, la conocida como teoría de los pares ordenados
de Dedekind (1813-1916), es la que se suele utilizar hoy día (una exposición clara de esta
construcción se puede encontrar en Godement (1967), Condamine (1971), Richardson (1976, pp.
107-115), Colectivo Periódica Pura (1982, págs. 149-159), Nortes (1993, págs. 131-146) o
González y otros (1990, págs. 105-122)).
Fenomenología y aplicaciones;
La terminología es una de las cuestiones importantes en este punto. Hemos de distinguir entre
números enteros, para referirnos a los elementos del anillo Z con las operaciones y estructura usuales,
y la idea más general de números positivos y negativos o números con signo, para referirnos a
nociones numéricas representadas mediante los numerales positivos y negativos, sin especificar
operaciones, propiedades o estructuras. Cuando los números con signo se refieran a situaciones y
fenómenos en los que tienen sentido todas las propiedades de Z, hablaremos de números enteros.
El motivo de esta distinción es meramente didáctico.
Los números positivos y negativos o números con signo dan significado, son útiles u organizan:
1) fenómenos relacionados con magnitudes y cantidades relativas o “dirigidas” (campo de la relatividad
aditivo-ordinal); se pueden clasificar en los tres tipos siguientes:
- 1a) basados en la noción de opuestos aditivos (comparaciones y transformaciones aditivas,
situaciones duales y medidas naturales relativas (ganancias-pérdidas, ingresos-reintegros, etc);
- 1b) basados en la estructura de orden total sin primer ni último elementos (orden de los
números enteros) (temperaturas, números índices, cronología, otras escalas, etc.);
- 1c) basados en la estructura de grupo aditivo y ordenado de los números enteros (adición
y orden) (saldos bancarios, puntuaciones en el juego del golf, etc.);
2) fenómenos matemáticos, de entre los que podemos destacar una parte de la aritmética (extensión
de la sustracción en N), las manipulaciones algebraicas (ecuaciones, polinomios), el contexto
algebraico-geométricos (estudio y representación de funciones), cálculo (áreas negativas, integración),
geometría (coordenadas, recta numérica), funciones trigonométricas, estadística, etc.;
3) fenómenos de aplicación de las matemáticas a otros campos, tales como: mecánica, cinemática
(distancias, velocidad y tiempo, presiones), electricidad, magnetismo, óptica o economía.
Los números que caracterizan al tipo 1a son los naturales relativos, los que corresponden a los
restantes tipos de fenómenos son los números enteros, bien parcialmente (1b, 1c) o bien con su
estructura completa (2 y 3). Estos, serán objeto de atención para referenciar el tema.
La importancia social y cultural es evidente, como se deduce de lo incluído hasta aquí.
Cognición. Errores, dificultades y obstáculos;
Existen diferentes causas que pueden actuar conjunta o separadamente:
Origen epistemológico (debidos a la complejidad y limitaciones del conocimiento matemático):
- la amplitud y diversidad de puntos de vista en torno a los números con signo;
- la diferente naturaleza de los números positivos y negativos (naturales vs. números con
signo); el carácter especial del 0 y el 1 (a.0 = a; a+1= a; a+0=0; etc.); la no aceptación de 0 ni de
números negativos como soluciones válidas en los problemas;
- la dificultad especial de la sustracción (mezcla de signos y comprensión de la suma y la
resta como la misma operación), que se constata en situaciones como las siguientes: ignorar el signo
del primer entero y luego sumar los numerales sin signo si el segundo es positivo y restarlos si
es negativo; restar los numerales sin signo y determinar después el signo de la respuesta; (- (- )) es
+ aplicado a cualquier sustracción; confusión entre puntos y desplazamientos o espacios y puntos
González Marí, J. L.
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en la recta; dificultad para entender que “restar una deuda es lo mismo que añadir una cantidad”.
- la separación entre el conocimiento formal y el funcionamiento real.
- la insuficiencia de recursos intuitivos aislados, como la recta numérica.
- las limitaciones y contradicciones derivadas del principio de permanencia: ausencia de demostración
para la regla - x - = +; / a + b / = / a / + / b / no es válida para números negativos; 00
y 0/0 están indeterminados; si a < b entonces a.c < b.c no es válida para números enteros.
Origen curricular (determinaciones curriculares y proceso educativo anterior): la uniformidad
de las definiciones y ejercicios propuestos; la rigidez del currículo, los ejercicios repetitivos, la existencia
de respuesta y de respuesta única, la evitación de dificultades, la artificialidad, la algoritmización
excesiva así como la ausencia de revisión y análisis de la coherencia de las respuestas;
Origen cognitivo y sociocultural (capacidades, actitudes, valores, creencias, etc.): facilidad/dificultad
para la visualización; diferencias en el desarrollo de la memoria; heterogeneidad en la
capacidad de análisis y síntesis o de comprensión verbal; la motivación o la situación anímica, etc.
Causas debidas a la existencia de “obstáculos”. Glaeser (1981) encontró los seis obstáculos siguientes:
1.- Incapacidad para manipular cantidades negativas aisladas;
2.- Dificultad para dotar de significado a las cantidades negativas aisladas;
3.- Dificultad para unificar la recta numérica;
4.- Ambigüedad de los dos ceros (cero origen o relativo y cero absoluto o “natural”);
5.- Deseo de un modelo unificado;
6.- Dificultad para superar el sentido concreto atribuído a los números;
que se pueden reducir a uno sólo: “el número representa cantidad en sentido absoluto” (Bell
(1986); Iriarte y otros (1989); González y otros (1990, pp.152-165)), que afecta:
a) al propio concepto de número: el número representa cantidad (¿qué puede significar o
representar el número -(-2)?; ¿qué número sumado a 5 da 2?);
b) a la conceptualización y ejecución de las operaciones aritméticas: la suma como aumento,
la sustracción como disminución, la multiplicación hace más grande y la división más pequeño;
la sustracción de números enteros como operación separada de la adición;
c) al orden: traslado del orden natural a los negativos (-4 es mayor que -2); diferencias al
cruzar el cero en el manejo de temperaturas; la secuencia temporal como fuente de errores;
d) a la simbolización: identificación de los símbolos literales con números positivos (-a no
puede ser positivo); ignorar el signo; signo de-nota región;
e) otros: Errores en situaciones de listas y escalas: "subir es aumentar", "confundir posición
y movimiento"; errores en la combinación de movimientos y en la inversión de relaciones.
Representaciones y modelos;
En el campo de la relatividad aditivo-ordinal:
Opuestos aditivos (adición): Ganancias-pérdidas, haberes-deudas (tener-deber) o ingresosreintegros
bancarios, etc.; cubos fríos y calientes (Jencks y Peck (1977)); cargas positivas y negativas
o partículas cargadas (Battista (1983)); fichas de colores (Papy (1964) y Dienes (1970)), referenciados
en González y otros (1990, págs. 130 y sigtes.); ábaco de dos varillas (natural relativo).
Escala numérica (orden): Deplazamientos sobre la recta numérica; escalera (Grupo albuquería,
1989); “flipper” o saltador (Ettline y Smith, 1978); globo (Janvier (1985)); medidas en la naturaleza;
cronología; temperaturas; ascensores; bolsa; balanza de pagos, etc.
Grupo aditivo y ordenado (adición y orden): Saldos bancarios; puntuaciones en el juego del
golf.
En contextos matemáticos (González y otros (1990, caps. 4 y 6)): Modelo aritmético (extrapo-
Univer-
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206
Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
lación inductiva (Freudenthal, 1973, 1983)); modelo algebraico (ecuaciones); modelos geométricos
(ampliación de la escala numérica natural y vectores o números dirigidos).
Materiales y recursos;
• regletas transparentes y opacas, variante de las conocidas regletas encajables (“regletas opacas”
(números positivos) y “regletas transparentes” (números negativos);
• reglas deslizantes (dos reglas graduadas móviles para cálculos de adición y sustracción);
• algunos recursos: autobús escolar (subidas-bajadas); garaje (salidas y entradas de vehículos);
prensa: deportes, bolsa, etc. (Fernández, Rico (1989)); termómetro, planos, husos horarios, etc.;
• Recursos especiales: lenguaje Logo; calculadora gráfica; programas informáticos para representaciones
geométricas;
• Juegos y pasatiempos: ruletas de números y operaciones; “guiso” o “tejo” con números enteros;
cuadrados mágicos y cartas; dados de números naturales y dos colores; etc.
6.2.2.- Enseñanza y aprendizaje (análisis)
Pautas, propuestas, orientaciones y resultados;
Análisis de propuestas de Colectivo Periódica Pura ( y González y otros (op. cit.).
Otras propuestas y orientaciones: contraste y valoración en grupo.
Resolución de problemas
Problemas aditivos de enunciado verbal: cambio y comparación. Estructuras y variantes.
Observación de aprendizajes, producciones de los alumnos y prácticas educativas;
Observación y análisis de vídeos de entrevistas clínicas y análisis de tareas así como de alumnos
realizando actividades en el aula ordinaria (material didáctico, ejercicios en grupo, actividades específicas).
Exámen de cuadernos de trabajo.
Diagnóstico y evaluación: criterios, procedimientos y técnicas;
Los mismos recursos y actividades del apartado anterior se pueden utilizar para emitir juicios
razonados y su posterior discusión y valoración. Tareas y cuestionarios específicos para medir el
nivel de competencias. Controles realizados en aulas de Primaria.
Dificultades y problemas: identificación y tratamiento;
Aspectos particulares del tema en relación con los errores en matemáticas: naturaleza, orígen,
causas y posibles tratamientos (González, 1996).
Respuestas erróneas de alumnos de Primaria en relación con el tema. Análisis de sus posibles
causas y determinación del tratamiento pertinente.
Libros de texto;
Análisis del tema según varias editoriales (se utilizarán las consideraciones tratadas en los tres
primeros capítulos).
6.2.3.- Planificación de la Enseñanza
Propuestas y orientaciones;
La construcción o definición matemática formal es un recurso didáctico inviable para iniciar el
proceso de enseñanza y aprendizaje de los números enteros cuando es necesario hacerlo, entre
otros motivos porque los alumnos no tienen los conocimientos ni el nivel de reflexión matemática
formal necesarios para ello. Además, dicha construcción es el resultado final de un proceso complejo
en el que, por un lado, tienen cabida métodos y modelos no formales, semiconcretos o en
contextos matemáticos, que son más intuitivos que la construcción rigurosa para comprobar la
necesidad de la ampliación, y, por otro, han intervenido aplicaciones concretas que son buenos
modelos parciales del original y que tienen hoy día un uso extendido y una apreciable importancia
social y cultural. En definitiva, para iniciar la enseñanza de los números enteros en el momento
oportuno es prácticamente obligado utilizar, separadamente o de forma combinada, los dos tipos
González Marí, J. L.
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Didáctica de la Matemática y Prácticas de Enseñanza en Matemáticas en Educación Primaria
207
de modelos y representaciones como aproximaciones “informales” que culminarán, si es necesario,
en la construcción formal, de acuerdo con el siguiente proceso:
a) prolongación “natural”, aunque limitada, de N, abarcando sus principales aplicaciones concretas
(tipo 1) y/o ampliación no formal de N en contextos semiconcretos y matemáticos (tipo 2); los
primeros atienden a necesidades sociales, culturales y de motivación didáctica inicial y los segundos,
más abstractos, añaden coherencia y justificación matemática a los conceptos y procedimientos,
completan las aproximaciones parciales y facilitan el despegue hacia lo formal;
b) construcción formal motivada por el rigor y la validación matemática.
Estudio de otras propuestas de planificación; síntesis de las orientaciones oficiales y los análisis
anteriores para establecer un esquema útil para el diseño de las distintas partes del tema.
Tareas;
Aplicación de los cinco tipos de tareas del esquema metodológico. Ejemplos.
Elaboración, por parte de los alumnos, de al menos una tarea nueva de cada tipo.
Utilización de organizadores;
El modelo de palillos para representar cantidades positivas y negativas. Utilización para la enseñanza
del tema. Situaciones fenomenológicas iniciales y motivadoras.
Secuenciación y niveles;
Primer Ciclo: composición y descomposición de números y cantidades; reversibilidad de la suma
y la resta; comparaciones cuantitativas;
Segundo Ciclo: comparación, transformación; opuestos aditivos; números naturales relativos;
operaciones aditivas con números naturales relativos
Tercer Ciclo: números positivos y negativos; orden; recta numérica; escalas; operaciones aditivas
con números con signo.
Diseño;
Esquema y organizadores. Ejemplo desarrollado por el profesor con la participación del grupo.
Diseño de una parte específica en pequeño grupo y puesta en común.
6.2.4.- Conexiones teoría-práctica
Resúmen de lo tratado en el apartado de análisis de la enseñanza y el aprendizaje del tema;
Exposición-resúmen de las principales características de la enseñanza usual del tema. Semejanzas
y diferencias con las consideraciones teóricas.
Elaboración de una relación de aspectos del tema que tienen interés para la observación, la aplicación
y la investigación en el aula;
Resúmen conjunto de recomendaciones para la intervención.
6.3.- METODOLOGÍA Y ACTIVIDADES
Reflexión/debate Inicial: concepciones iniciales
¿A qué se puede referir el número -2?; ¿qué sabéis de los números positivos y negativos?;
¿cómo los aprendísteis?; en general, se pueden plantear otras cuestiones relacionadas con la dualidad,
el problema de los dos sentidos, la balanza, la compensación, etc.
Análisis Didáctico
- Exposición del profesor y organización
Propuesta de trabajo y resúmen de los contenidos de esta parte (a ampliar en el punto siguiente);
En la exposición/trabajo sobre los elementos del análisis didáctico, el profesor hará una breve exposición
sencilla sobre la construcción de los números enteros, en la que hará referencia al proceso
histórico y a las limitaciones de la multiplicación en relación con los contextos de aplicación concreta.
En relación con este aspecto indicamos lo siguiente a título orientativo:
Univer-
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208
Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
En ninguna de las aplicaciones concretas de Z tiene sentido la multiplicación como ley de composición
interna (en la que los dos factores y el resultado son de la misma naturaleza); ¿qué sentido
tienen las multilicaciones: año x año, deuda x bien, saldo x saldo, pérdida x pérdida = ganancia?.
Únicamente podemos encontrar ejemplos coherentes de la multiplicación como producto externo
(factores de distinta naturaleza o de magnitudes diferentes o con significados distintos: “deshacer 3
veces un retroceso de 5 pasos” ((-3)x(-5)) es lo mismo que “avanzar 15 pasos” (+15) o que “repetir
3 veces un avance de 5 pasos” ((+3)x(+5));
Tradicionalmente, los tipos de situaciones descritos son tratados, o bien en el proceso didáctico
usual de la aritmética con números naturales, o bien como ejemplos introductorios de los números
enteros, pero, en realidad, se trata de una vía que se agota en la estructura aditiva y ordinal, quedando
la justificación de la multiplicación y de la estructura completa de Z (anillo de integridad
totalmente ordenado) para el campo de los fenómenos matemáticos (aritmética, álgebra y geometría).
En este campo aparecían coeficientes, raíces y operaciones que no encajaban con lo conocido
hasta entonces y que, sin embargo, “funcionaban” y eran útiles, por lo que debían ser considerados
junto al resto de conocimientos matemáticos. Fueron “necesidades matemáticas” tales como: convertir
la sustracción en una ley de composición interna (hacerla posible en todos los casos), resolver
todo tipo de ecuaciones, representar geométricamente funciones en todo el plano sin ninguna
restricción o encontrar una justificación a la regla de los signos para la multiplicación, las que demandaron
durante mucho tiempo la ampliación de los naturales a los enteros. Los intentos basados
en la noción de cantidad no dieron resultado, por las dificultades de interpretación “real” de los
números negativos y por los problemas con la multiplicación y la regla de los signos. La única justificación
válida y completa vino por la vía estrictamente formal, es decir, para poder satisfacer las
necesidades matemáticas era necesario ampliar los números naturales con todas sus propiedades,
de manera que estas se conservaran intactas en el conjunto ampliado.
- Documentación: lectura/reflexión/debate sobre una selección de los documentos y partes
de los mismos que se indican en el apartado de análisis didáctico.
- Laboratorio de Matemáticas (experiencias personales directas)
Realizar una primera reflexión sobre los interrogantes siguientes, intentando dar una respuesta
provisional a los mismos:
1.- ¿Es lo mismo 2 que +2?; ¿y 2 y -2?; ¿qué es un número negativo?
2.- ¿Porqué “menos por menos es igual a más”?
3.- ¿A qué situaciones y contextos corresponden las parejas (a, b) de números naturales?; ¿qué
papel desempeñan estas situaciones en la construcción de los números enteros?
4.- ¿Porqué se define la multiplicación de pares de números naturales de la forma: (a, b) x (c, d)
= (ac + bd, ad + bc)?; ¿qué significado tiene la multiplicación de pares ordenados?
5.- ¿Qué tienen que ver los signos que anteceden a los números enteros con los signos de las
operaciones de adición y sustracción?; ¿significan lo mismo?, ¿son diferentes?
6.- ¿Sumar números naturales es la misma operación que sumar números enteros?
7.- ¿Porqué no tiene sentido en algunos casos sumar o multiplicar temperaturas?; ¿qué sentido
tiene que si multiplico dos deudas obtenga como resultado una fortuna?
8.- ¿Porqué es tan difícil encontrar un ejemplo práctico de la multiplicación de números enteros
como ley de composición interna?
9.- ¿Hay algún campo, algún modelo con significado concreto, alguna situación cotidiana y real
en la que se puedan ver claramente los números enteros con todas sus propiedades?;
- resolución de problemas;
Resuelve el problema: “El señor Ruiz tiene 56 años y su hijo 29. ¿Cuándo la edad del padre es
González Marí, J. L.
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Didáctica de la Matemática y Prácticas de Enseñanza en Matemáticas en Educación Primaria
209
doble de la del hijo?” (González y otros, 1990, pág. 161). Responde a las siguientes cuestiones:
¿cuál sería la resolución y la interpretación del resultado por distintos autores y en épocas y culturas
diferentes de la historia de los números negativos?; ¿cuál es la interpretación actual?; ¿a qué
pueden ser debidas las diferencias?.
Realizar un estudio comparativo entre las reglas de adición y sustracción chinas (zheng-fu) y el
método de cálculo en el tablero (fang-cheng) y la aritmética actual con números enteros.
- material didáctico, representaciones y modelos;
Se les propone a los alumnos cuestiones y problemas a su nivel con el material didáctico y los
modelos específicos.
- fenomenología
Se realizarán actividades relacionadas con las situaciones, fenómenos y contextos tratados en el
apartado correspondiente de los contenidos, como por ejemplo:
Elaborar una lista de las situaciones cotidianas que puedan servir como ejemplos de números
positivos y negativos. Analizar y discutir la posibilidad y variedad de expresiones alternativas en
lenguaje común para los distintos tipos de situaciones relacionadas con los números con signo
- juegos y pasatiempos;
Se utilizarán las mismas actividades de este tipo que se recomiendan para el aula de Primaria así
como algunas variantes adaptadas al nivel de los estudiantes.
Completar la relación de juegos y pasatiempos utilizando la bibliografía recomendada; en particular:
Colectivo Periódica pura (1982) y González y otros (1990, cap. 7). Por grupos, desarrollar
uno de ellos. Comentar en gran grupo posibles variantes así como el interésy la utilidad didáctica
Aprendizaje y Enseñanza: Análisis
- Exposición del Profesor y organización
Se harán notar los problemas que pueden aparecer con las interpretaciones tradicionales forzadas
de los números enteros y las ventajas de abordar el tema desde la óptica propuesta.
- Resolución de problemas
Análisis sobre la dificultad de los distintos tipos de problemas dentro del campo de la relatividad
aditiva: de comparación y transformación aditiva, de escalas, etc.
Reflexión sobre el papel de la resolución de problemas en la enseñanza del tema.
- Documentación: lectura/reflexión/debate sobre una selección de los documentos y partes
de los mismos que se indican en el apartado de análisis del aprendizaje y la enseñanza.
- Laboratorio de Didáctica de la Matemática (reflexión didáctica)
Trabajo individual: Llevar a cabo una reflexión sobre las dificultades personales con los números
con signo (tareas más difíciles, errores usuales, aspectos no comprendidos, etc.).
Realizar una reflexión sobre las siguientes cuestiones:
¿Construcción formal?; ¿situaciones concretas de aplicación?; ¿qué aspectos habría que considerar?;
¿cómo secuenciarlos?; ¿en qué niveles?;
¿Porqué cometen los alumnos errores sistemáticos en la resolución de problemas en los que intervienen
los números con signo?; ¿cuál es la naturaleza y el origen de dichos errores?
¿Son correctos los ejemplos y situaciones problemáticas que se utilizan en el tratamiento didáctico
usual de los números enteros?; ¿hay diferencias entre ellos?; ¿cuáles son esas diferencias?.
- organizadores y libros de texto
Exámen de la incidencia de cada organizador en el tratamiento del tema en dos textos actuales
de editoriales diferentes.
La prensa como recurso didáctico: construye una secuencia de actividades y trabajos individuales
y de grupo en los que se utilice el periódico (construcción de murales, lectura e interpretación
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210
Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
de gráficos, etc.)
- situaciones de enseñanza-aprendizaje;
Se utilizarán situaciones puntuales contadas, escritas o visionadas para realizar una reflexión,
como por ejemplo: Reflexión sobre el siguiente protocolo (Fuente: Bruno, Martinon (1994)):
Un edificio tiene 10 plantas por encima de la planta baja y 4 plantas de sótano. El ascensor estaba
en la planta 8 y se movió hasta la planta 3 del sótano. ¿cuál fué el movimiento del ascensor?.
Respuesta: -11
González Marí, J. L.
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¿cómo lo hiciste?: me imaginé el ascensor de mi bloque y utilicé la recta.
hazlo con operaciones: -3 - 8 = -11 (no sabe explicarlo) (busca la operación
que coincida con el resultado intuitivo).
- análisis de problemas didácticos;
¿Cuándo y cómo introducir el signo?; ¿utilizar el signo + para los positivos o sólo los naturales?.
Planificación
- Exposición del Profesor y organización
- Documentación: lectura/reflexión/debate sobre una selección de los documentos y partes
de los mismos que se indican en el apartado.
- Laboratorio de Didáctica de la Matemática (reflexión didáctica)
- Trabajo en grupo: diseño de una parte de la unidad
- Exposición y debate sobre uno de los trabajos
Conexión teoría-práctica
Trabajo de grupo; Tomar una muestra de ejercicios y problemas variados sobre números con
signo (se pueden utilizar varios libros de texto), proponer su realización a varios niños con edades
y conocimientos adecuados (entrevista individual) y analizar los resultados.
- Propuesta individual razonada sobre qué aspectos de la unidad sería necesario/conveniente:
observar, aplicar, investigar y cuáles habría que tener en cuenta en una intervención
y cómo habría que hacerlo (se puede tomar como referencia el mismo diseño realizado en el
apartado anterior);
- Puesta en común (todo el grupo) y conclusiones.
Reflexión/debate final: evaluación conjunta y autoevaluación
6.4.- MATERIALES Y RECURSOS
Documentación indicada en los apartados anteriores
guiones de trabajo y documentos elaborados por el profesor
análisis didáctico: bibliografía recomendada.
análisis de la enseñanza y el aprendizaje: cuadernos, controles y producciones de los alumnos
de Primaria en torno al tema.
planificación: documentos curriculares; programaciones.
Materiales didácticos: los materiales escolares indicados a lo largo del tema.
Libros de texto de varias editoriales.
Videograbaciones: situaciones videofilmadas de enseñanza y aprendizaje sobre aspectos puntuales
del tema.
6.5.- BIBLIOGRAFÍA
Bell, A. (1986).- Enseñanza por diagnóstico. Algunos problemas sobre números enteros. Enseñanza
de las Cien-cias; 4(3): pp. 199-208.
Boyer, C. B. (1986).- Historia de la Matemática. Madrid: Alianza Editorial.
Bruno, A.; Martinón, A. (1994).- Contextos y estructuras en el aprendizaje de los números negati-

Didáctica de la Matemática y Prácticas de Enseñanza en Matemáticas en Educación Primaria
211
vos. Suma 16/1994, págs. 9-18.
Bruno, A.; Martinón, A. (1994).- La recta en el aprendizaje de los números negativos. Suma
18/1994, págs. 39-48.
Colectivo Periódica Pura (1982).- Didáctica de los números enteros. Editorial Nuestra Cultura.
Madrid.
Condamine, M. (1971).- Álgebre. Colección P. Vissio. Delagrave: París.
Dienes, Z. P. (1970).- La construcción de las matemáticas. Vicens-Vives: Barcelona.
Fernández, Rico (1989).- Prensa y Matemáticas. Madrid: Síntesis.
Freudenthal, (1983).- Didactical phenomenology of Mathematical structures. Dordrecht. Ho-lland:
D. Reidel Publishing Company.
Glaeser, G. (1986).- Epistémologie des nombres relatifs. Recherches en Didactique des Mathémati-ques;
2(3): pp. 303-346.
Godement, R. (1967).- Algebra. Tecnos: Madrid.
González, J. L. y otros (1990).- Números enteros. Editorial Síntesis. Madrid.
González, J. L. (1998).- Números naturales relativos. Colección Mathema. Editorial Comares.
Granada.
Grupo albuquería (1989).- Aproximación a los números enteros a partir de una escalera. Suma, nº
2, pp. 29-33.
Iriarte y otros (1989).- Obstáculos en el aprendizaje de los números enteros. Actas Congreso Enseñanza
de las Ciencias. Santiago de Compostela; pp. 291-292.
Janvier, C. (1985).- Comparison of models aimed at teaching signed integers. En: 9 Confe-rence of
the international group for the Psychology of Mathematics; Jul. 1985; 1/22-6: pp. 135 -
140.
Klein, F. (1927).- Matemática elemental desde un punto de vista superior. Madrid.
Lizcano (1993).- Imaginario colectivo y creación matemática. Editorial Gedisa. Barcelona.
N.C.T.M. (1970). El sistema de los enteros (Colección Temas de Matemáticas). Trillas. México.
Nortes, A. (1993).- Matemáticas y su Didáctica. Autor: Tema DM. Madrid.
Richardson, M. (1976).- Fundamentos de Matemáticas. CECSA. Madrid.
Rossini, R. (1986).- A propos des nombres relatifs. Math. Ecole, 25(121), págs. 18 - 23.
TEMA 7.- ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
7.1.- INTRODUCCIÓN
En este tema abordamos las operaciones aritméticas multiplicación y división como elementos
fundamentales de lo que se denomina la estructura multiplicativa, una de las estructuras más ricas
de las matemáticas, tanto a nivel conceptual como por su extenso campo de aplicaciones. Desde el
punto de vista de la enseñanza, los conceptos de multiplicación y división son más complejos que
los de adición y sustracción y su aprendizaje requiere de un mayor nivel de abstracción por parte de
los alumnos. El planteamiento básico y el tratamiento de este tema son similares a los que hemos
adoptado para la estructura aditiva, cuya prolongación natural, siguiendo el mismo esquema utilizado
en los dos temas enteriores, será lo que denominamos el campo de la relatividad multiplicativa
y las nociones numéricas que lo organizan y le dan sentido: las fracciones.
7.2.- CONTENIDOS
Univer-
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Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
7.2.1.- Análisis didáctico
Ubicación en el Currículo de Primaria. Orientaciones oficiales;
En el Decreto del MEC: bloque “números y operaciones” (objetivos 2 y 8).
En el Decreto de la Junta de Andalucía, los contenidos se encuentran recogidos en el bloque 3
dedicado a las operaciones (objetivos 2 y 8), en el que se hace referencia a la realización de operaciones
elementales de cálculo, la utilización de fórmulas sencillas y la realización de los algoritmos
correspondientes.
Conceptos, procedimientos y actitudes;
Conceptos: Multiplicación (suma reiterada, producto cartesiano, comparación de aumento);
propiedades; división (partitiva y cuotitiva); comparación de disminución; división exacta y división
entera; propiedades.
Procedimientos: Algoritmos de multiplicación. Justificación del algoritmo usual. Algoritmos de
división. Justificación del algoritmo usual. Hechos; tablas; cálculo mental; estimación en cálculo. La
calculadora.
En el apartado dedicado a la metodología y actividades se exponen orientaciones para el tratamiento
didáctico de estos conceptos y procedimientos.
- Actitudes: Gusto por el descubrimiento y formulación de las propiedades de las operaciones de
multiplicación y división; actitud crítica ante los hechos y las relaciones multiplicativas; curiosidad
por indagar sobre el significado de las operaciones de multiplicación y división; sensibilidad e interés
por los mensajes de naturaleza multiplicativa; apreciación y actitud positiva hacia la utilidad
de la multiplicación y división en la realidad cotidiana; rigor en el uso de los algoritmos; confianza
en las propias capacidades para efectuar cálculos y emplear estrategias de cálculo mental; confianza
en el uso de la calculadora.
Consideraciones históricas;
El desarrollo histórico de los conceptos de multiplicación y división está ligado al del concepto
de número, mientras que el desarrollo histórico de los procedimientos de cálculo está ligado al desarrollo
de los sistemas de numeración. Los algoritmos de multiplicación y división, en particular
los de multiplicación por su nivel de dificultad, se han caracterizado por un desarrollo histórico
plagado de propuestas diferentes. Los algoritmos de “reja o celosía” o de la división “en galera”
son algunos de los que precedieron al algoritmo usual en la actualidad. Los procedimientos de multiplicación
mediante técnicas en las que se emplean los dedos de las manos (Gómez, 1988) ponen
también de manifiesto la dificultad que ha presentado y presenta esta operación aritmética.
Fenomenología y aplicaciones;
La variedad de situaciones y fenómenos que adquieren sentido y se organizan sobre la base de la
multiplicación y división es muy amplia. Castro (1994) clasifica las diferentes situaciones en tres
tipos de contextos:
a) Contextos de proporcionalidad simple;
b) Contextos de comparación;
c) Contextos de producto cartesiano;
En los problemas de estructura multiplicativa de proporcionalidad simple se identifican tres características:
forma de conceptualizar o expresar verbalmente la proporcionalidad, tipo de magnitudes
que intervienen (discreta o contínua) y cantidad desconocida. Las combinaciones de estas
características dan lugar a diferentes tipos de situaciones cuyo análisis proporciona información
sobre aspectos fenomenológicos particulares.
En los problemas de comparación multiplicativa, dichas características son: aumento o disminución,
tipo de comparación (“veces más”, “veces menos”, “veces tanto como” y “tanto como una de
González Marí, J. L.
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213
las partes”) y situación de la cantidad desconocida. De su combinación surgen 12 tipos de situaciones
distintas de comparación de multiplicar o dividir.
En las situaciones de producto cartesiano, dos conjuntos se componen para dar un tercero, apareciendo
dos tipos de situaciones (Vergnaud, 1983).
La terminología asociada a las situaciones de multiplicación y división está recogida en Grupo
EGB de la APMA (1985). Para el caso de la multiplicación: doble, triple, cuádruple, etc., así como
los verbos asociados: duplicar, doblar, triplicar, etc. Para el caso de la división: repartir, distribuir,
compartir, etc.
Cognición. Errores, dificultades y obstáculos;
Diversos autores han señalado que la comprensión de la multiplicación y división es bastante
más difícil que la de la adición y sustracción (Dickson y otros, 1991). Esta dificultad es debida a la
estructura de las operaciones, puesto que la suma y la resta involucran acciones sobre conjuntos de
objetos similares, mientras que la multiplicación y la división lo hacen sobre conjuntos de objetos
diferentes que requieren además que se establezca una asociación entre los elementos. Estos mismos
autores recogen también las dificultades asociadas a las propiedades de las operaciones, en
particular a la propiedad conmutativa, que los alumnos llegan a extender a la división. Un obstáculo
relacionado con el significado de las operaciones, que se consolida en el trabajo sobre este tema,
es el siguiente: la multiplicación hace más grande y la división más pequeño.
Con respecto a la clasificación de problemas multiplicativos, Puig y Cerdán (1988) recopilan los
resultados de diferentes investigaciones: la división es más fácil que la multiplicación y los problemas
de razón son más fáciles que los de producto de medidas. Igualmente, Maza (1991) recoge
también errores y dificultades de diversa tipología. Castro (1995), estudia los errores y niveles de
comprensión relativos a los problemas de Comparación Multiplicativa, indicando que una de las
fuentes de dificultad en la resolución de problemas aritméticos multiplicativos está en el enunciado
del problema.
En Escalona y Noriega (1975) se indican cuáles son los errores más frecuentes asociados a los
procesos algorítmicos. Son errores puntuales que se agrupan en torno a categorías como las siguientes:
errores en las combinaciones básicas; errores al llevarse; errores al emplear el cero; en la
división, no continuar cuando el resto es mayor que el divisor.
Representaciones y modelos;
Los sistemas de representación más habituales para la multiplicación y división son los simbólicos
o núméricos; los datos y resultado pueden ser colocados horizontalmente o en posición
vertical para la multiplicación y mediante el sistema de la caja para la división. Maza (1991) clasifica
las distintas formas de representación de las operaciones en: manipulativas, gráficas, verbales
informales, verbales formales y numéricas, que amplía las tres fases manipulativa, icónica y simbólica
que señalan otros autores.
Los modelos para las operaciones de multiplicación y división son similares a los señalados para
la suma y resta (Castro, Rico y Castro, 1988):
Modelos lineales: sobre una semirrecta se representan los números naturales. Se avanza
(multiplicación) o se retrocede (división) a saltos.
Modelos cardinales: se corresponden con el empleo de diagramas de Venn, modelo de flechas,
diagrama cartesiano, reparto, etc..
Modelos de medidas: regletas de Cuisenaire y balanza constituyen modelos físicos para ambas
operaciones.
Modelos numéricos: la multiplicación y la división como suma y resta reiteradas.
Modelos de razón aritmética: comparación entre dos conjuntos o cantidades en términos de
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Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
“cuántas veces más”; modelo de semejanza (teorema de Thales).
Modelos funcionales: la operación es representada mediante el funcionamiento de una
máquina (“máquinas de calcular”).
Materiales y recursos;
Son útiles los mismos materiales propuestos para la suma y la resta: regletas de Cuisenaire, bloques
multibase, ábacos, puzzles de multiplicación y división, juegos específicos, calculadora básica,
etc.
7.2.2.- Enseñanza y aprendizaje (análisis)
Pautas, propuestas, orientaciones y resultados;
Propuesta de Maza (op. cit.) para la enseñanza de la multiplicación y la división.
Dickson y otros (op. cit.) proponen sugerencias para la enseñanza basadas en la comprensión de
los fundamentos de los algoritmos escritos.
Otras propuestas y orientaciones: contraste y valoración en grupo.
Resolución de problemas
En relación con la componente semántica (significado global del enunciado), los problemas de
multiplicación y división se pueden clasificar en tres grandes categorías: Comparación, proporcionalidad
simple y producto cartesiano.
Los problemas de comparación multiplicativa se caracterizan por la intervención de los términos
“veces más” y “veces menos”. Combinando estos términos con la posición de la incógnita aparecen
6 tipos de problemas.
Los problemas de proporcionalidad simple se caracterizan por que en su enunciado intervienen
dos magnitudes extensivas y una intensiva, una de las cuales viene referida a la unidad. En este tipo
de problemas se distinguen dos casos: a) Reiteración de cantidades, en los que se presentan varios
conjuntos o cantidades iguales que se repiten en el proceso; también se denominan problemas de
grupos múltiples o de medidas reiteradas; b) Razón, en los que se presenta una proporcionalidad
simple directa entre dos magnitudes donde una de las cantidades es la unidad.
Los problemas de producto cartesiano están relacionados con la multiplicación de medidas de
magnitudes discretas o contínuas, cuyo resultado es una medida de una nueva magnitud (superficie
como producto de longitud por longitud).
En Puig y Cerdán (1988) se puede encontrar información adicional de interés.
Observación de aprendizajes, producciones de los alumnos y prácticas educativas;
Observación y análisis de vídeos de entrevistas clínicas y análisis de tareas así como de alumnos
realizando actividades en el aula ordinaria (material didáctico, ejercicios en grupo, actividades específicas).
Exámen de cuadernos de trabajo, ejercicios y controles realizados por alumnos de Primaria.
Diagnóstico y evaluación: criterios, procedimientos y técnicas;
Los mismos recursos y actividades del apartado anterior se pueden utilizar para emitir juicios
razonados y su posterior discusión y valoración. Tareas y cuestionarios específicos para medir el
nivel de competencias. Controles realizados en aulas de Primaria.
Dificultades y problemas: identificación y tratamiento;
Aspectos particulares del tema en relación con los errores en matemáticas: naturaleza, orígen,
causas y posibles tratamientos (González, 1996).
Respuestas erróneas de alumnos de Primaria en relación con el tema. Análisis de sus posibles
causas y determinación del tratamiento pertinente.
Libros de texto;
Análisis del tema según varias editoriales (se utilizarán las consideraciones tratadas en los tres
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215
primeros capítulos).
7.2.3.- Planificación de la Enseñanza
Propuestas y orientaciones;
Estudio de propuestas de planificación; síntesis de las orientaciones oficiales y los análisis anteriores
para establecer un esquema de planificación útil para el diseño de distintas partes del tema.
Tareas;
Aplicación de los cinco tipos de tareas del esquema metodológico. Ejemplos.
Tareas de razonamiento inductivo numérico: continuar series, completar series y tablas, extrapolar.
Se pueden tratar como problemas, ejercicios o juegos y pasatiempos.
Elaboración, por parte de los alumnos, de al menos una tarea nueva de cada tipo.
Utilización de organizadores;
Al igual que en el caso de la suma y la resta, la propuesta de enseñanza de Castro, Rico y Castro
(1988) basada en etapas implica a los diferentes organizadores:
Etapa de acciones: fenómenos que organizan los conceptos de multiplicación y división.
Etapa de modelos: las acciones se modelizan.
Etapa de representación simbólica: simbolización mediante números y símbolos.
Etapa de hechos y tablas: memorización de resultados; tablas de multiplicar.
Etapa de algoritmos: dominio de los procedimientos de cálculo usuales;
Etapa de resolución de problemas.
Secuenciación y niveles;
Primer Ciclo: Iniciación a la multiplicación.
Segundo Ciclo: Multiplicación y División con números de hasta dos cifras. Resolución de Problemas
de dos etapas.
Tercer Ciclo: Afianzar y completar la multiplicación y división. Problemas de tres etapas.
Diseño;
Esquema y organizadores. Ejemplo desarrollado por el profesor con la participación del grupo.
Diseño de una parte específica en pequeño grupo y puesta en común.
7.2.4.- Conexiones teoría-práctica
Resúmen de lo tratado en el apartado de análisis de le enseñanza y el aprendizaje del tema;
Elaboración de una relación de aspectos del tema que tienen interés para la observación, la aplicación
y la investigación en el aula;
Resúmen conjunto de recomendaciones para la intervención.
7.3.- METODOLOGÍA Y ACTIVIDADES
Reflexión/debate Inicial: concepciones iniciales
Se tratarán cuestiones similares a las indicadas en el tema 5 para la suma y la resta.
Análisis Didáctico
- Exposición del profesor y organización
Propuesta de trabajo y resúmen de los contenidos de esta parte (a ampliar en el punto siguiente).
En particular, proponemos lo siguiente:
Introducimos el concepto de multiplicación mediante la suma y el producto cartesiano de conjuntos,
correspondientes a las dos posibles situaciones que se presentan. La multiplicación a partir
de la suma reiterada es la forma más fácil para los alumnos de Primaria, pero la interpretación como
producto cartesiano también necesita ser trabajada como aplicación a cierta clase de problemas
reales (Krause, 1987).
La división exacta se establece a partir de la multiplicación, a partir de la idea de reparto equita-
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216
Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
tivo (división partitiva) o a partir de la idea de determinar cuántas veces está contenido un conjunto
en otro (división cuotitiva). La división con resto (división entera) se puede tratar como un proceso
reiterado de resta.
Al igual que en el caso de la suma y de la resta, se presentan diferentes algoritmos de cálculo incluídos
los algoritmos históricos y los que se basan en el empleo de los dedos de las manos (tabla
del nueve y números mayores que cinco). Este procedimiento, además de consolidar los conceptos,
permite plantear y debatir el uso de los diferentes algoritmos en Primaria.
- Documentación: lectura/reflexión/debate sobre una selección de los documentos y partes
de los mismos que se indican en el apartado de análisis didáctico.
- Laboratorio de Matemáticas (experiencias personales directas)
- resolución de problemas;
Se propondrá la realización de problemas de multiplicación y división al nivel de los alumnos futuros
maestros, como los siguientes:
Criptogramas
Redacta el proceso a seguir para dividir mentalmente en casos sencillos mediante un algoritmo
basado en la descomposición de los números en sus distintas unidades;
Para elevar al cuadrado un número que termina en cinco, se quita el cinco del final, se multiplica
lo que queda por él mismo más uno y al resultado se le añade detrás un 25. ¿Es válida la regla?.
Justifícala.
- material didáctico, representaciones y modelos;
Se les propone a los alumnos cuestiones y problemas a su nivel con el material didáctico y los
modelos específicos.
- fenomenología
Se realizarán actividades relacionadas con las situaciones, fenómenos y contextos tratados en el
apartado correspondiente de los contenidos.
- juegos y pasatiempos;
Se utilizarán las mismas actividades de este tipo que se recomiendan para el aula de Primaria así
como algunas variantes adaptadas al nivel de los estudiantes.
Aprendizaje y Enseñanza: Análisis
- Exposición del Profesor y organización
- Resolución de problemas
Clasifica el siguiente problema de acuerdo a su estructura semántica: Juan gana 3545 ptas.
Tendría que ganar tres veces más para ganar igual que José. ¿Cuánto gana José?;
Análisis sobre la dificultad de los distintos tipos de problemas.
Reflexión sobre el papel de la resolución de problemas en la enseñanza del tema.
- Documentación: lectura/reflexión/debate sobre una selección de los documentos y partes
de los mismos que se indican en el apartado de análisis del aprendizaje y la enseñanza.
- Laboratorio de Didáctica de la Matemática (reflexión didáctica)
- organizadores y libros de texto;
Exámen de la incidencia de cada organizador en el tratamiento del tema en dos textos actuales
de editoriales diferentes.
Por ejemplo: Estudio sobre la utilización de los diferentes modelos para la multiplicación y división.
Conclusiones.
- situaciones de enseñanza-aprendizaje;
Se utilizarán situaciones puntuales contadas, escritas o visionadas para realizar una reflexión
didáctica.
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217
- análisis de problemas didácticos;
Por ejemplo: Tratamiento de las tablas de multiplicar. Proceso a seguir para optimizar su aprendizaje
y dominio. El uso de la calculadora. Propuestas y debate.
Planificación
- Exposición del Profesor y organización
- Documentación: lectura/reflexión/debate sobre una selección de los documentos y partes
de los mismos que se indican en el apartado.
- Laboratorio de Didáctica de la Matemática (reflexión didáctica)
- Trabajo en grupo: diseño de una parte de la unidad
- Exposición y debate sobre uno de los trabajos
Conexión teoría-práctica
- Propuesta individual razonada sobre qué aspectos de la unidad sería necesario/conveniente:
observar, aplicar, investigar y cuáles habría que tener en cuenta en una intervención
y cómo habría que hacerlo (se puede tomar como referencia el mismo diseño realizado en el
apartado anterior);
- Puesta en común (todo el grupo) y conclusiones.
Reflexión/debate final: evaluación conjunta y autoevaluación
7.4.- MATERIALES Y RECURSOS
Documentación indicada en los apartados anteriores
guiones de trabajo y documentos elaborados por el profesor
análisis didáctico: bibliografía recomendada.
análisis de la enseñanza y el aprendizaje: cuadernos, controles y producciones de los alumnos
de Primaria en torno al tema.
planificación: documentos curriculares; programaciones.
Materiales didácticos: los materiales escolares indicados a lo largo del tema
Libros de texto de varias editoriales
Videograbaciones: situaciones videofilmadas de enseñanza y aprendizaje sobre aspectos puntuales
del tema.
7.5.- BIBLIOGRAFÍA
Baroody, A. (1988). El Pensamiento Matemático de los Niños. Visor. MEC. Madrid.
Boyer, C. B. (1986).- Historia de la Matemática. Madrid: Alianza Editorial.
Brissiaud, R. (1989). El aprendizaje del cálculo. Más allá de Piaget y de la teoría de los conjuntos.
Aprendizaje Visor. Madrid.
Cascallana, M. A. (1988). Iniciación a la matemática. Materiales y recursos didácticos. Santilla-na,
Aula XXI. Bilbao.
Castro, E. (1995). Niveles de comprensión en problemas verbales de comparación multiplicativa.
Mathema. Granada.
Castro, E., Rico, L. y Castro, E. (1987). Números y operaciones. Fundamentos para una aritmética
escolar. Síntesis. Madrid.
Dickson, L., Brown, M. y Gibson, O. (1991). El aprendizaje de las matemáticas. Labor y MEC.
Barcelona.
Dienes, Z. P. (1978).- Cómo utilizar los bloques multibase. Barcelona: Teide.
Escalona, F. y Noriega, M. (1975). Didáctica de la matemática en la escuela primaria. Kapeluz.
Buenos Aires.
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218
Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
Fernández, J. y Rodríguez, M.I. (1989). Juegos y pasatiempos para la enseñanza de la matemática
elemental. Síntesis. Madrid.
Fernández, F., Llopis, A. y Pablo, C. (1991). Matemáticas básicas: dificultades de aprendizaje y
recuperación. Santillana. Madrid.
Gattegno, C. (1967). Al fin puede Pepito aprender aritmética. Ed. Cuisenaire de España, Madrid.
Gómez, B. (1988). Numeración y cálculo. Síntesis. Madrid.
Gomez, B.; Jaime, A. (1983). El cálculo aritmético, los algoritmos. Albatros, Valencia.
González, J. L. (1996).- Los errores en Matemáticas. Cursos impartidos dentro del ciclo “Evaluación
de los aprendizajes”. CEP de Sevilla, CEP de Linares y CEP de Córdoba. Autor.
Grupo EGB de la APMA (1985). Aritmética elemental para resolución de problemas en el tercer
ciclo de EGB 1ª y 2ª Parte. Epsilon 5, 6/7.
Hernán, F.; Carrillo, E. (1989).- “Materiales y recursos en el aula de Matemáticas”. Síntesis.
Junta de Andalucía (1992). Decreto de Educación Primaria. Instituto Andaluz de Formación y Perfeccionamiento
del Profesorado. Sevilla.
Krause, F.E. (1987). Mathematics for elementary teachers. Heath and Comp. Lexington, MA.
Maza, C. (1991). Enseñanza de la Multiplicación y División. Síntesis. Madrid.
Puig,L. y Cerdán F. (1988). Problemas aritméticos escolares. Síntesis. Madrid.
Resnick, L.B. y Ford, W.W. (1991). La enseñanza de las matemáticas y sus fundamentos psicológicos.
M.E.C. Paidós. Barcelona.
Rico y otros (1988). Didáctica activa para la resolución de problemas. Departamento de Didáctica
de la Matemática. Universidad de Granada.
Segovia, I. (1997).- Proyecto Docente. Departamento de Didáctica de la Matemática. U. Granada.
Segovia, Castro, Castro, Rico (1989).- Estimación en cálculo y medida. madrid: Síntesis.
Udina (1989).- Aritmética y calculadoras. Madrid: Síntesis.
Vergnaud, G. (1983).- Multiplicative structures. En: Lesh, R.; Landau, M. (eds.).- Adquisitions of
mathematics concepts and processes. London: Academic Press.
TEMA 8.- RELATIVIDAD MULTIPLICATIVA. FRACCIONES
8.1.- INTRODUCCIÓN
Al igual que el concepto de número con signo se origina y adquiere sus primeros significados en
el campo de la relatividad aditiva y, en particular, en las comparaciones aditivas cuantitativas,
métricas y numéricas, el concepto de fracción creemos que se origina y adquiere sus primeros significados
en las comparaciones cuantitativas, métricas y numéricas de carácter multiplicativo que se
establecen en el contexto de las relaciones “parte-todo”. Todas las demás interpretaciones surgen
básicamente de dicho contexto; todas ellas forman parte, en sus aspectos más elementales, de un
campo de fenómenos, situaciones y problemas que, por analogía con la estructura aditiva, podría
ser denominado el campo de la relatividad multiplicativa.
No es nuestra intención establecer aquí la misma separación detallada que hemos propuesto para
el campo aditivo, entre otras cosas porque creemos que está aún pendiente en este campo un trabajo
de características similares al que hemos desarrollado en el campo aditivo, pero sí nos parece
conveniente llamar la atención en el sentido de la necesidad de contemplar las fracciones, salvando
las diferencias en cuanto a su antigüedad y nivel de desarrollo, desde el mismo enfoque adoptado
para los números positivos y negativos, es decir, como nociones numéricas que surgen de las
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219
comparaciones multiplicativas, que dan sentido y organizan un vasto campo de fenómenos y situaciones
concretas y que, posteriormente, se formalizarán bajo la estructura de los números racionales.
La analogía se justifica en base a las siguientes ideas intuitivas sujetas a matizaciones y estudios:
la comparación aditiva permite simetrizar el semigrupo aditivo de los números naturales,
haciendo posible la sustracción en todos los casos mediante la consideración del opuesto aditivo y
del cero como quicio, hueco o elemento central y reduciendo, consecuentemente, la suma y la resta
a una sóla operación: la adición entera o algebraico-aditiva. Del mismo modo, la comparación multiplicativa,
basada en las relaciones parte-todo, permite simetrizar el semigrupo multiplicativo de
los números naturales, haciendo posible la división en todos los casos mediante la consideración del
opueso multiplicativo y del 1 como quicio o elemento central y reduciendo la multiplicación y división
a una sóla operación: la multiplicación racional o algebraico-multiplicativa. Esto justifica lo
que nos parece que es, o debería ser, la mayor “naturalidad”, en el sentido de ser más intuitiva, de
la multiplicación de fracciones con respecto a la suma, al igual que ocurre en sentido inverso en el
campo aditivo. Se trata, evidentemente, de una interpretación surgida en el seno de la reflexión
didáctica y sujeta a estudios y desarrollos detallados.
Por último, hemos de indicar la dificultad que tiene el tema para niños y adultos. Incluso los
alumnos futuros maestros suelen tener dificultades con la conceptualización y la resolución de problemas
sobre fracciones, lo que nos obliga a dedicar una especial atención a la “reeducación” en los
aspectos más conflictivos, tales como: las interpretaciones del concepto de fracción y la comprensión
de los conceptos de equivalencia de fracciones, suma y resta de fracciones, producto y división,
la relación con el número racional, etc.
8.2.- CONTENIDOS
8.2.1.- Análisis didáctico
Ubicación en el Currículo de Primaria. Orientaciones oficiales;
En el Decreto de Mínimos del MEC el tema de fracciones está ubicado en el bloque Números y
Operaciones; en el Decreto de la Junta de Andalucía está ubicado en el bloque Números: Nociones,
funciones y usos de los números fraccionarios y decimales. En este último documento se insiste en
el concepto de fracción mediante sucesivas aproximaciones y no aborda el tratamiento de las operaciones
aritméticas con fracciones.
La propuesta de secuenciación por ciclos que hace el MEC (1992) es restrictiva con respecto a
las operaciones con fracciones. En el apartado dedicado a la planificación exponemos nuestro punto
de vista de acuerdo con lo incluído en la introducción.
Conceptos, procedimientos y actitudes;
Conceptos: Comparación multiplicativa de medidas y números naturales; fracción, numerador,
denominador, unidad fraccionaria; fracción propia e impropia; fracciones equivalentes; fracción
irreducible; fracciones opuestas para la multipicación; fracciones y porcentajes. Multiplicación y
división de fracciones; propiedades. Suma y resta de fracciones; propiedades. Número racional.
Orden en el conjunto de los racionales.
Procedimientos: Comparar multiplicativamente cantidades, medidas y números naturales. Obtener
una fracción de una unidad dada; obtener la unidad a partir de una fracción. Algoritmo de multiplicación.
División de fracciones. Algoritmos de suma. Algoritmos de resta. Comparar y ordenar
fracciones; fracciones en la recta numérica; estimación y cálculo mental con fracciones y porcentajes.
Uso de la calculadora.
- Actitudes: Interés por informaciones y mensajes relacionados con la relatividad multiplicativa y
las fracciones; reconocimiento de la utilidad de las fracciones en la vida cotidiana; curiosidad por
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220
Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
indagar las regularidades que aparecen en el campo de las fracciones; sensibilidad e interés por las
aplicaciones del campo de la relatividad multiplicativa; confianza en el propio pensamiento para
desarrollar y aplicar destrezas numéricas y realizar estimaciones en el campo de las fracciones; confianza
en el uso de los algoritmos de las operaciones con fracciones.
Consideraciones históricas;
Las fracciones son muy antiguas, al igual que los números con signo, pero fueron aceptadas y
legalizadas mucho antes que ellos debido a su carácter intuitivo basado en su estrecha relación con
el concepto de cantidad, lo que, en nuestra opinión, ha favorecido su inclusión en el currículo escolar
antes que los números con signo. El orden que hemos utilizado para los temas no contradice,
sin embargo, el desarrollo histórico de ambos tipos de nociones numéricas, puesto que, como
hemos puesto de manifiesto en el tema 6, los números con signo también son antiguos y también
poseen una estrecha relación con el concepto de cantidad. En ambos casos, sin embargo, la finalidad
del tratamiento didáctico no debe ser la profundización y el enraizamiento en torno a la noción
de cantidad en sus variadas manifestaciones, sino la utilización de dichos contextos intuitivos para
buscar cuanto antes el despegue hacia nuevos puntos de vista más evolucionados; en este caso, la
comprensión de la relatividad multiplicativa, de las limitaciones del concepto de número como expresión
de una cantidad “absoluta” y de la suma y el producto “naturales”, así como la necesidad
de nuevas nociones numéricas que atiendan a las cantidades “menores que la unidad”.
Las primeras refencias históricas de las fracciones se sitúan en torno a los 3000 años a. de C.
Los babilonios empleaban fracciones basadas en el sistema de numeración de base 60 (sexagesimal).
Asímismo, en la civilización egipcia (papiro Rhind o Ahmes (1700 años a. C.)), aparecen
problemas en los que se utilizan fracciones unitarias; así, el equivalente a 2/5 es 1/3 + 1/15; algunas
fracciones eran consideradas especiales por los egipcios, como ocurría con la fracción 2/3 y, en
general, con las fracciones del tipo n/(n+1).
En la civilización griega, Euclides da una definición de fracción en un contexto de razón y se intenta
establecer en vano un sistema de simbolización basado en las unidades fraccionarias. Brahmagupta
(s. VII) establece la regla para multiplicar fracciones. Por su parte, los árabes expresaban
las fracciones mediante una notación parecida a la actual, aunque sin conseguir establecer el sistema
buscado. Fué Leonardo de Pisa (Fibonacci) en su "Liber Abaci" (1202) el primero que empleó
la notación actual y que explicó los procedimientos de cálculo con fracciones.
Por último, ya en el siglo XVII, aparece la reducción de fracciones a común denominador y la
simplificación por medio del mínimo común múltiplo y del máximo común divisor.
Fenomenología y aplicaciones;
La necesidad de las fracciones surge, básicamente, en tres contextos: Aritmético (por ejemplo,
en los repartos), físico (medida) y algebraico (resolución de la ecuación ax = b, con a ≠ 0).
La fenomenología asociada al concepto de fracción es diversa y se puede analizar a partir de la
siguiente cuestión: ¿Que puede representar una fracción ?. Algunas de las principales respuestas
son las siguientes: una división indicada o el resultado de dividir el numerador entre el denominador;
un reparto; una medida; una razón o relación multiplicativa entre dos cantidades; un operador
que se aplica a una cantidad, medida o número; la relación de una parte con el todo o de una parte
con otra parte; la solución de una ecuación; un elemento de un conjunto Q que verifica una serie de
propiedades.
Las más usadas en la vida diaria son las interpretaciones de razón y relación parte todo; las restantes
son elementos del conocimiento matemático escolar y menos utilizadas fuera de dicho entorno.
Ambos usos, como herramienta matemática en contextos escolares y científicos y como instrumento
de uso cotidiano (relaciones multiplicativas, porcentajes, etc.), vienen a resumir el conjunto
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221
de aplicaciones de la noción de fracción. En lo que se refiere a la vida diaria el Grupo EGB de la
APMA (1984) establece las siguientes categorías: medidas (Sistema Métrico Decimal); fracciones
temporales (por su frecuencia y relevancia); situaciones de reparto; situaciones históricas o culturales.
Freudenthal (1983) desarrolla ampliamente este aspecto fenomenológico de las fracciones, indicando,
básicamente, los mismos aspectos a los que hemos hecho alusión en la breve revisión anterior.
Cognición. Errores, dificultades y obstáculos;
El aprendizaje de las fracciones presenta serias dificultades para los niños y para los adultos; estas
dificultades tienen que ver tanto con la comprensión de los conceptos como con los algoritmos
y son debidas a la propia naturaleza de las fracciones, a la escasa dedicación a las mismas y a un
tratamiento excesivamente centrado en algunas de sus interpretaciones o aspectos. Como señalan
acertadamente Llinares y Sánchez (1988), “la autentica comprensión solo puede producirse mediante
presentaciones plurales de dicho concepto”. Freudenthal (1983) opina, por su parte, que
sólo deben tratarse en la escuela elemental aquellas partes de las fracciones que sean accesibles
mediante métodos intuitivos, opinión que compartimos siempre que en dicho tratamiento se contemple
una mayor atención a la relatividad multiplicativa y a los inicios del proceso, de manera similar
a lo que hemos indicado para el campo de la relatividad aditiva y con las metas a las que
hemos aludido en anteriores apartados.
Se han constatado múltiples errores, algunos de los cuales son los siguientes:
- relacionados con el concepto de fracción; que pueden ser debidos a la excesiva atención a la
relación parte-todo en detrimento de otras interpretaciones, como por ejemplo la de número o la de
división. Alternativamente, si no se trata adecuadamente la interpretación en el contexto parte-todo
puede haber dificultades con la resolución de problemas.
- relacionados con la traducción entre diferentes reprresentaciones (diagrama, expresión verbal,
expresión simbólica, etc.).
- relacionados con las fracciones mayores que la unidad o números mixtos, que presentan dificultades
de comprensión en el contexto de las relaciones parte-todo
- relacionados con la equivalencia de fracciones (2/5 = (2+6)/(5+6); 4/9 = 2/3).
- relacionados con las operaciones; las reglas de las operaciones con fracciones a veces son
complejas y se memorizan (suma mediante la reducción a común denominador), lo que conduce a
la aparición de errores frecuentes asociados con la confusión o el olvido de dichas reglas. La división
de fracciones y su reducción directa a una única fracción mediante transformaciones es otra
fuente de errores.
- relacionados con la resolución de problemas; aquí, se añaden las dificultades propias de la resolución
de problemas (comprensión del enunciado, sintáxis, contextos, estructura semántica global,
etc.) a los errores anteriormente citados.
Representaciones y modelos;
Una fracción se puede representar de las siguientes formas:
- Como par ordenado de números enteros, con la segunda componente distinta de cero (2, 3);
- Como quebrado, numerador y denominador (2 / 3);
- Como expresión decimal (0,66..);
- En lenguaje usual (dos tercios);
- De forma gráfica (Krause, 1987)
- mediante diagramas que representan conjuntos de objetos;
- mediante diagramas basados en áreas descomponibles en unidades de área más pequeñas;
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Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
- mediante pictogramas (Ejemplo: áreas irregulares para su comparación global, no precisa);
- mediante la recta numérica, utilizando vectores o puntos sobre ella;
- Mediante modelos físicos, como por ejemplo: caja de quesitos, tarta, chocolate, etc.
Materiales y recursos;
Papel, dominós de fracciones, cartas de fracciones, tangrams de varios tipos (chino, Lloyd, etc.),
rompecabezas, transparencias y dibujos, regletas de Cuisenaire, geoplano, papel isométrico, envases
de productos comerciales, instrumentos de medida, calculadora.
8.2.2.- Enseñanza y aprendizaje (análisis)
Pautas, propuestas, orientaciones y resultados;
Una propuesta de actuación en el aula, muy completa, puede verse en Llinares y Sáchez (1988).
La introducción que proponen está basada en el empleo de hojas de papel que se doblan y cortan
para obtener diferentes fracciones. Asímismo, Alcalá (1986) expone el desarrollo de una experiencia
en el aula de Primaria siguiendo un procedimiento parecido.
Otras propuestas y orientaciones: contraste y valoración en grupo.
Resolución de problemas
Se puede hacer una extensión, con algunas limitaciones, de la clasificación de problemas realizada
para las estructuras aditiva y multiplicativa.
algunos ejemplos de problemas especialmente interesantes se pueden encontrar en las propuestas
de Alan Bell para la enseñanza por diagnóstico, en las que recomienda la invención de problemas
a partir de unas cantidades dadas y su posterior resolución: “Inventa un problema que se resuelva
con la operación 7/3 - 1/4”. Igualmente, son interesantes los problemas en los que es necesario
reconstruir el todo a partir de la información sobre una parte, como por ejemplo: “1/6 de un
queso pesa 230 grs., ¿cuánto pesa el queso entero?”.
Es conveniente plantear problemas en los que las operaciones implicadas sean la multiplicación
o la división, como por ejemplo: “si quedaban los 3/4 de una tarta y me como la mitad, ¿cuánta
tarta del total me he comido?”. (Llinares y Sánchez, op. cit.).
En muchas ocasiones, la dificultad mayor de un problema en el que intervienen fracciones lo
constituye la determinación de la fracción de una cantidad discreta o continua, o su inversa, la reconstrucción
de la unidad a partir de la fracción; ésta es pues una destreza que debe desarrollarse
para lo cual se deben proponer situaciones y contextos de aplicación variados.
En cualquier caso, la resolución de problemas de enunciado verbal deberá atender al paso de la
manipulación a los modelos y a la expresión simbólica; estas relaciones son importantes si se quieren
obtener resultados satisfactorios.
Observación de aprendizajes, producciones de los alumnos y prácticas educativas;
Observación y análisis de vídeos de entrevistas clínicas y análisis de tareas así como de alumnos
realizando actividades en el aula ordinaria (material didáctico, ejercicios en grupo, actividades específicas).
Exámen de cuadernos de trabajo.
Diagnóstico y evaluación: criterios, procedimientos y técnicas;
Los mismos recursos y actividades del apartado anterior se pueden utilizar para emitir juicios
razonados y su posterior discusión y valoración. Tareas y cuestionarios específicos para medir el
nivel de competencias. Controles realizados en aulas de Primaria.
Dificultades y problemas: identificación y tratamiento;
Aspectos particulares del tema en relación con los errores en matemáticas: naturaleza, orígen,
causas y posibles tratamientos (González, 1996).
Respuestas erróneas de alumnos de Primaria en relación con el tema. Análisis de sus posibles
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223
causas y determinación del tratamiento pertinente.
Como ejemplos, podemos utilizar un extracto de lo incluído en el capítulo 6 de Llinares y
Sánchez (op. cit.), proponiendo a los alumnos que interpreten varias de las secuencias para pasar a
continuación de cada una de ellas a un debate de grupo sobre las interpretaciones realizadas.
Libros de texto;
Análisis del tema según varias editoriales (se utilizarán las consideraciones tratadas en los tres
primeros capítulos así como los criterios empleados y las revisiones realizadas en otros temas).
8.2.3.- Planificación de la Enseñanza
Propuestas y orientaciones;
Estudio de propuestas de planificación; síntesis de las orientaciones oficiales y los análisis anteriores
para establecer un esquema de planificación útil para el diseño de distintas partes del tema.
Esquema del proceso usual (Llinares y Sánchez, op. cit., pág. 138); debate y conclusiones.
Tareas;
Aplicación de los cinco tipos de tareas del esquema metodológico. Ejemplos.
Elaboración, por parte de los alumnos, de al menos una tarea nueva de cada tipo.
Utilización de organizadores;
El desarrollo del trabajo en el aula debe incluir una variedad de recursos, modelos, materiales,
etc.; desde la presentación del concepto de fracción y las fracciones equivalentes hasta las operaciones
con fracciones es posible utilizar situaciones familiares, históricas, fenomenológicas variadas,
etc.. El paso a los gráficos y símbolos se debe iniciar también casi desde el principio, adquiriendo
protagonismo en etapas más avanzadas del proceso.
Los materiales y recursos, como el tangram, las regletas o el dominó de fracciones, permiten no
sólo añadir un aspecto lúdico al trabajo del tema, sino buscar la comprensión de los conceptos y
consolidar los procedimientos a través de las experiencias manipulativas.
Secuenciación y niveles;
Se propone para su discusión la siguiente secuencia:
2º Ciclo: Comparaciones multiplicativas; lenguaje comparativo (doble-mitad, triple-tercio, etc.);
Introducción del concepto de fracción en varios contextos: comparación, división y relaciones parte-todo
elementales. Las fracciones 1/2, 1/3, 1/4, 2/3, 2/4 y 3/4.
3º Ciclo: Conceptos de fracción: relación parte-todo, cociente indicado y operador. Fracciones
equivalentes. Suma y resta de fracciones de igual denominador. Multiplicación por un número natural.
Multiplicación de fracciones y algoritmo (completar). Iniciación a la suma y la resta de fracciones
con distinto denominador.
Diseño;
Esquema y organizadores. Ejemplo desarrollado por el profesor con la participación del grupo.
Diseño de una parte específica en pequeño grupo y puesta en común.
8.2.4.- Conexiones teoría-práctica
Resúmen de lo tratado en el apartado de análisis de le enseñanza y el aprendizaje del tema;
Elaboración de una relación de aspectos del tema que tienen interés para la observación, la aplicación
y la investigación en el aula;
Resúmen conjunto de recomendaciones para la intervención.
8.3.- METODOLOGÍA Y ACTIVIDADES
Reflexión/debate Inicial: concepciones iniciales
Para empezar, con la intención de motivar, iniciar y organizar el desarrollo del tema, se pide a
los alumnos que elaboren una lista lo más larga posible de ejemplos del uso de las fracciones en la
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Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
vida diaria. A continuación se discute una estructura de categorías para clasificar las respuestas y se
procede a su clasificación completando con otros ejemplos. Sobre el resultado de la actividad se
estudia cuáles son las más usuales y se les pide a los alumnos que digan cuáles son las que les resultan
más difíciles y porqué. A partir de aquí, se puede comenzar con el trabajo sobre los distintos
apartados del análisis didáctico, aprovechando las observaciones y los contextos a los que se han
referido los alumnos.
Análisis Didáctico
- Exposición del profesor y organización
Propuesta de trabajo y resúmen de los contenidos de esta parte (a ampliar en el punto siguiente);
aquí, debemos hacer las siguientes indicaciones:
Los conceptos de las operaciones con fracciones deben tener un peso importante en este tema,
por la confusión que suelen tener los alumnos con los algoritmos de cálculo y la justificación de los
mismos. El concepto de suma de fracciones de igual denominador se debe presentar de manera
similar al concepto de suma de naturales, a partir del concepto de fracción como relación partetodo.
Es importante también justificar manipulativamente y gráficamente la suma de fracciones de
distinto denominador; en particular, comprender el significado y la utilidad del mínimo común
múltiplo mediante enrejados de diferente densidad. La relación de orden entre fracciones es otro de
los aspectos clave que lleva a muchas confusiones.
El número racional se tratará brevemente y a nivel intuitivo para que los alumnos tomen las necesarias
referencias. Centeno (1988) expone un desarrollo sencillo en este aspecto. En este sentido
se hará un revisión global de todo el tema, desde la comparación multiplicativa hasta el concepto
matemático de número racional, estableciendo la conexión con el tema siguiente..
- Documentación: lectura/reflexión/debate sobre una selección de los documentos y partes
de los mismos que se indican en el apartado de análisis didáctico.
- Laboratorio de Matemáticas (experiencias personales directas)
- resolución de problemas;
El alumno futuro maestro, también suele tener problemas con el dominio de las fracciones, especialmente
en resolución de problemas. El trabajo con los modelos gráficos es un recurso interesante
con los alumnos que tienen dificultades con la resolución en un marco algebraico-simbólico.
En Krause (1987) se presentan una gran cantidad de ejercicios y problemas con diferentes niveles
de dificultad. El siguiente problema requiere del empleo de un modelo gráfico de representación:
Un grifo completamente abierto tarda 9/2 de hora en llenar un depósito. ¿Cuánto tardará en llenarlo
si sólo se abre hasta los 3/4 de su máximo caudal?
- material didáctico, representaciones y modelos;
Se les propone a los alumnos cuestiones y problemas a su nivel con el material didáctico y los
modelos específicos. Por ejemplo: con el tangram chino, averiguar qué fracción del área total representa
cada una de las piezas.
- fenomenología
Se realizarán actividades relacionadas con las situaciones, fenómenos y contextos tratados en el
apartado correspondiente de los contenidos.
- juegos y pasatiempos;
Se utilizarán las mismas actividades de este tipo que se recomiendan para el aula de Primaria así
como algunas variantes adaptadas al nivel de los estudiantes. Ejemplo: juegos de cartas con fracciones
o con papel recortado para formar la unidad.
Aprendizaje y Enseñanza: Análisis
- Exposición del Profesor y organización
González Marí, J. L.
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225
- Resolución de problemas
Análisis sobre la dificultad de los distintos tipos de problemas.
Reflexión sobre el papel de la resolución de problemas en la enseñanza del tema.
- Documentación: lectura/reflexión/debate sobre una selección de los documentos y partes
de los mismos que se indican en el apartado de análisis del aprendizaje y la enseñanza.
- Laboratorio de Didáctica de la Matemática (reflexión didáctica)
- organizadores y libros de texto;
Exámen de la incidencia de cada organizador en el tratamiento del tema en dos textos actuales
de editoriales diferentes.
- situaciones de enseñanza-aprendizaje;
Se utilizarán situaciones puntuales contadas, escritas o visionadas para realizar una reflexión
didáctica.
- análisis de problemas didácticos;
Una actividad de análisis didáctico podría ser la siguiente (Llinares y Sánchez (op.cit)):
Identifica los errores, analiza las causas y destaca qué aspectos de la enseñanza deben potenciarse
para evitarlos: a) 2/6=1/3; b) 2/3 + 1/3 = 3/6; c) 2/3 x 1/2 = 4/6 x 3/6; d) 4/9 : 2/3 = 2/3.
Planificación
- Exposición del Profesor y organización
- Documentación: lectura/reflexión/debate sobre una selección de los documentos y partes
de los mismos que se indican en el apartado.
- Laboratorio de Didáctica de la Matemática (reflexión didáctica)
- Trabajo en grupo: diseño de una parte de la unidad
- Exposición y debate sobre uno de los trabajos
Conexión teoría-práctica
- Propuesta individual razonada sobre qué aspectos de la unidad sería necesario/conveniente:
observar, aplicar, investigar y cuáles habría que tener en cuenta en una intervención
y cómo habría que hacerlo (se puede tomar como referencia el mismo diseño realizado en el
apartado anterior);
- Puesta en común (todo el grupo) y conclusiones.
Reflexión/debate final: evaluación conjunta y autoevaluación
8.4.- MATERIALES Y RECURSOS
Documentación indicada en los apartados anteriores
guiones de trabajo y documentos elaborados por el profesor
análisis didáctico: bibliografía recomendada.
análisis de la enseñanza y el aprendizaje: cuadernos, controles y producciones de los alumnos
de Primaria en torno al tema.
planificación: documentos curriculares; programaciones.
Materiales didácticos: los materiales escolares indicados a lo largo del tema
Libros de texto de varias editoriales
Videograbaciones: situaciones videofilmadas de enseñanza y aprendizaje sobre aspectos puntuales
del tema.
8.5.- BIBLIOGRAFÍA
Alcalá, M. (1986).- Fracciones. Ed. Escuela Popular.
Behr, M. y otros (1983). Rational number concept. R. Lesh y M. Landau (Eds), The adquisition of
Univer-
Didáctica de la Matemática
sidad de Málaga

226
Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
mathematics concepts and processes. Academic Press. New York.
Boyer, C.B. (1986). Historia de la Matemática. Madrid: Alianza Editorial.
Centeno, J. (1988).- Números decimales. Madrid: Síntesis.
Dickson, L., Brown, M. y Gibson, O. (1991). El aprendizaje de las matemáticas. Labor y MEC.
Barcelona.
Dienes, Z. P. (1972).- Fracciones. Barcelona: Teide.
Freudenthal, H. (1983). Didactical phenomenology of mathematical structures. D. Reidel. Dordrecht.
Gattegno, C. (1963).- Introducción al método Cuisenaire-Gattegno de los números en color para la
enseñanza de la aritmética. Cuisenaire de España, Madrid.
González, J. L. (1996). Los errores en Matemáticas. Cursos impartidos dentro del ciclo “Evaluación
de los aprendizajes”. CEP de Sevilla, CEP de Linares y CEP de Córdoba. Autor.
Grupo Cero (1996). Matemáticas. Materiales Curriculares para la Educación Primaria (Tomos I,
II, III y IV). MEC y Edelvides.
Grupo EGB de la APMA (1984). Estudio metodolgico del número fraccionario en el sexto nivel de
EGB. Epsilon núm. 3.
Krause, F.E. (1987). Mathematics for elementary teachers. Heath and Comp. Lexington, MA.
Liebech, P. (1985). Are fractions numbers?. Mathematics teacher núm. 111.
Llinares, S. y Sánchez, M.A. (1988). Fracciones. Síntesis. Madrid.
N.C.T.M. (1984). (Monográfico sobre fracciones). ArithmeticTeacher 31(6).
Rico, L.; Sáenz, O. (1982).- El concepto de fracción en el ciclo medio. Apuntes educación núm. 6.
Rico, L. y otros (1988).- Didáctica activa para la resolución de problemas. Departamento de
Didáctica de la Matemática. Universidad de Granada.
Segovia, I. (1997).- Proyecto Docente. Departamento de Didáctica de la Matemática. U. Granada.
Segovia, I.; Castro, E.; Castro, E.; Rico, L. (1989).- Estimación en cálculo y medida. Madrid:
Síntesis.
Udina (1989).- Aritmética y calculadoras. Madrid: Síntesis.
TEMA 9.- NÚMEROS DECIMALES
9.1.- INTRODUCCIÓN
Las expresiones decimales constituyen una forma de representar las fracciones y un sistema de
representación de los números racionales y reales. Las expresiones decimales finitas son importantes
en la vida diaria, habiendo llegado a sustituir a las fracciones en numerosos ámbitos de la actividad
cotidiana. El auge de las calculadoras y ordenadores ha venido a incrementar esa importancia,
que aún se verá favorecida por la inminente entrada del euro y los consiguientes cambios que ello
originará en el uso de los números decimales. Pero no son sólo los decimales finitos y su utilidad
los que agotan la importancia de esta forma de representación; los decimales periódicos y no periódicos
permiten adentrarnos en el mundo de los números reales, de la aproximación, del contínuo,
del infinito y de los infinitésimos; un aspecto cuyo tratamiento didáctico está fuera de los niveles de
Primaria pero sobre el que los alumnos tienen algunas intuiciones y experiencias que también convendría
tener en cuenta en este período.
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227
9.2.- CONTENIDOS
9.2.1.- Análisis didáctico
Ubicación en el Currículo de Primaria. Orientaciones oficiales;
En el Decreto del MEC, los decimales figuran en el bloque “Números y Operaciones”;
En el Decreto de la Junta de Andalucía, en el bloque “Operaciones”, en el que se hace alusión a
las nociones, funciones y usos de los números fraccionarios y decimales. Asímismo, se dan orientaciones
sobre su enseñanza en los términos siguientes:
“Los números decimales pueden introducirse como casos particulares de fracciones. Se establecerán
comparaciones y correspondencias entre fracciones sencillas y sus equivalentes decimales.
Gradualmente se trabajará la representación gráfica de estos valores y su ordenación y clasificación,
construyendo la serie de estos números de acuerdo con las reglas establecidas”.
Conceptos, procedimientos y actitudes;
- Conceptos: Fracción decimal. Expresión decimal finita. Fracciones no decimales: expresiones
decimales periódicas. Expresión decimal finita de un número racional. Otras expresiones decimales:
números irracionales. Operaciones con decimales. Orden en el conjunto de los decimales.
- Procedimientos: Expresar fracciones en forma decimal y viceversa. Lectura y escritura de
números decimales. Composición y descomposición. Estimación y aproximación en cálculo con
números decimales. Comparación de números decimales. Aproximar un número racional mediante
una fracción con un error determinado. Realizar operaciones con decimales y automatizar los algoritmos.
Los números decimales en la calculadora.
- Actitudes: Curiosidad por indagar sobre el significado de los códigos numéricos; rigor en la
utilización de los símbolos de los números decimales; gusto por la presentación clara de los cálculos
con decimales y sus resultados; sensibilidad e interés por las informaciones relacionadas con los
números decimales; apreciación de la utilidad de los números decimales en la vida cotidiana; confianza
en el propio pensamiento para realizar cálculos con números decimales; confianza en el uso
de la calculadora.
Consideraciones históricas;
Los decimales tiene poco más de cuatro siglos de existencia. En 1585, se publicó la obra “Le
disme” de Simon Stevin, en el que se explica la notación decimal y se establecen las reglas de
cálculo con decimales. Estas reglas, facilitaban enormemente la realización de cálculos con fracciones,
en la medida en que se podía operar utilizando el cálculo con números enteros. La notación de
Stevin, sin embargo, tuvo que ser mejorada posteriormente mediante la incorporación del punto o
la coma decimal, lo que hizo Napier en 1620. En Centeno (1988) así como en Castro y Segovia
(1985) se exponen desarrollos más extensos de la historia de los números decimales, cuyo mayor
impulso se debió a la adopción en el siglo XVIII del Sistema Métrico Decimal.
Fenomenología y aplicaciones;
El uso más importante de los decimales está relacionado con la expresión decimal de una división
entera, con la expresión de las medidas de cantidades en el Sistema Métrico Decimal: longitud,
superficie, volumen, capacidad, etc., con la aproximación de medidas, con el cálculo estimado, con
las expresiones decimales de raíces y funciones trigonométricas, con los porcentajes, etc. Pero, de
todas ellas, Centeno destaca la aproximación, tanto como queramos, de medidas para las que no
hay ningún número natural o fraccionario que nos dé el valor exacto. Tal es el caso de la proporción
de razón 2 que responde a las relaciones entre el lado mayor y el menor de los sucesivos
rectángulos que se generan mediante la división por la mitad de una hoja de papel A4, o a la medida
de la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1.
Parte de la terminología propia de las fracciones se utiliza también con los decimales: décimas,
Univer-
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228
Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
centésimas, milésimas, son términos usuales en el lenguaje ordinario.
Cognición. Errores, dificultades y obstáculos;
Las dificultades de los números decimales, desde que se inicia su tratamiento en Primaria (ocho
o nueve años) hasta que el alumno es capaz de reconocerlos en diferentes situaciones, comprender
su significado y operar con ellos (trece o catorce años), son numerosas (Centeno, 1988). Estas
dificultades, están estrechamente relacionadas con la fuerza y naturalidad de los conocimientos que
han adquirido los alumnos en los cursos anteriores (obstáculos) sobre los números naturales y la
noción de cantidad en su sentido absoluto.
Brown (1981) describe 6 niveles de comprensión para los decimales:
Nivel 1: Valor posicional de enteros mayores de 1000
Nivel 2: Decimales, décimas
Nivel 3: Decimales, centésimas y milésimas.
Nivel 4: Decimales, relación con los lugares de la izquierda.
Nivel 5: Relaciones más complejas de lugar.
Nivel 6: Decimales como resultado de una división. Número infinito de decimales.
Los errores más frecuentes relacionados con el concepto de número decimal, con su escritura y
con sus operaciones (Centeno, op.cit) son:
- relacionados con el valor posicional de las cifras: Por ejemplo, para representar tres centésimas
escriben 0.300; 3,00; 3,100; 00,3.
- relacionados con el cero; 1,457 es distinto de 1,4570.
- relacionados con el orden; es más grande el que más dígitos tiene.
- relacionados con las operaciones: Sumar, restar, multiplicar y dividir por separado la parte
entera y la parte decimal. Ejemplo, 0,70+0,40=0,110.
Representaciones y modelos;
Los números decimales constituyen un sistema de representación simbólico con sus propias reglas,
sintáxis y significados, lo que no quiere decir que no admitan otras formas de representación,
como ocurre con las fracciones o la representación geométrica, que admite las dos variantes siguientes
igualmente útiles para las fracciones:
- la recta numérica;
- el modelo de áreas.
Como modelos físicos, que a la vez son recursos para la enseñanza y el aprendizaje del tema, las
regletas de Cusenaire o números en color, los bloques multibase y los ábacos, constituyen buenos
contextos para ver y comprender el funcionamiento de los números decimales. Centeno (1988)
presenta un descripción detallada del empleo de estos modelos en la enseñanza.
Materiales y recursos;
Además de los señalados en el apartado anterior, podemos encontrar los siguientes materiales y
recursos para la enseñanza de los números decimales: reglas graduadas, escalas, calibradores, papel
cuadriculado, retroproyector, calculadora, juegos como los dominós de fracciones y decimales,
etc.. En Hernán y Carrillo (1988) se presentan juegos y actividades relacionados con el aprendizaje
de los decimales. Por su curiosidad debemos hacer mención al recurso que utiliza Brousseau (citado
en Centeno, op. cit.) para la introducción de los números decimales mediante el descubrimiento
de su necesidad; nos referimos al cálculo del espesor de una hoja de papel siguiendo un proceso
que se describe con detalle en la obra mencionada.
9.2.2.- Enseñanza y aprendizaje (análisis)
Pautas, propuestas, orientaciones y resultados;
La introducción de los números decimales es variada, como por ejemplo:
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- como extensión del Sistema de Numeración Decimal;
- a partir de la medida;
- mediante funciones numéricas.
Según Centeno, las diferentes formas de introducción corresponden a contextos diferentes, por
lo que, al igual que hemos comentado para las fracciones, son incompletas y pueden generar dificultades
y errores de diversos tipos. El procedimiento a seguir debe tener en cuenta los diferentes
contextos, modelos y representaciones que se han indicado en el apartado anterior. Así, se pueden
tratar en primer lugar como números con coma, para abordarlos posteriormente como números
decimales en los diferentes contextos y con todas sus propiedades.
Otras propuestas y orientaciones: contraste y valoración en grupo.
Resolución de problemas
Para la resolución de problemas con números decimales son de aplicación las consideraciones
que hemos realizado en temas anteriores. Los problemas que se utilicen aquí pueden estar conectados
con los problemas sobre fracciones y sobre el Sistema Métrico Decimal, pero recordamos la
recomendación realizada anteriormente acerca de la conveniencia de conjugar simultáneamente las
experiencias manipulativas (como pueden ser las que se refieren a medidas exactas y aproximadas)
con los problemas de enunciado verbal.
Son de aplicación aquí, las fases de resolución descritas por Puig y Cerdán (1988) para problemas
aritméticos.
Observación de aprendizajes, producciones de los alumnos y prácticas educativas;
Observación y análisis de vídeos de entrevistas clínicas y análisis de tareas así como de alumnos
realizando actividades en el aula ordinaria (material didáctico, ejercicios en grupo, actividades específicas).
Exámen de cuadernos de trabajo.
Diagnóstico y evaluación: criterios, procedimientos y técnicas;
Los mismos recursos y actividades del apartado anterior se pueden utilizar para emitir juicios
razonados y su posterior discusión y valoración. Tareas y cuestionarios específicos para medir el
nivel de competencias. Controles realizados en aulas de Primaria.
Dificultades y problemas: identificación y tratamiento;
Aspectos particulares del tema en relación con los errores en matemáticas: naturaleza, orígen,
causas y posibles tratamientos (González, 1996).
Respuestas erróneas de alumnos de Primaria en relación con el tema. Análisis de sus posibles
causas y determinación del tratamiento pertinente.
Se tratarán los errores más frecuentes con decimales y se examinarán cuestionarios sobre decimales
y sus operaciones. Criterios para elaborar un instrumento de diagnóstico.
Libros de texto;
Análisis del tema según varias editoriales (se utilizarán las consideraciones tratadas en los tres
primeros capítulos).
9.2.3.- Planificación de la Enseñanza
Propuestas y orientaciones;
Estudio de propuestas de planificación; síntesis de las orientaciones oficiales y los análisis anteriores
para establecer un esquema de planificación útil para el diseño de distintas partes del tema.
Tareas;
Aplicación de los cinco tipos de tareas del esquema metodológico. Ejemplos.
Elaboración, por parte de los alumnos, de al menos una tarea nueva de cada tipo.
Utilización de organizadores;
Para el diseño de las distintas partes del tema, es obligado tener en cuenta todos los organizado-
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Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
res analizados así como sus distintos aspectos específicos. Aquí se hará una revisión de las cuestiones
fundamentales de cada uno de ellos de cara a su utilización en la planificación de la enseñanza.
En particular, se hará una revisión de los modelos, representaciones, materiales y recursos para su
secuenciación global en el proceso. Se tendrán en cuenta las distintas formas de introducir los
números decimales que se describen en Centeno (1988) a partir de los materiales y recursos: regletas
de Cuisenaire, ábacos, bloques multibase, etc. así como las consideraciones sobre los modelos
de áreas o el papel cuadriculado. Tomaremos en consideración, igualmente, las recomendaciones
de Udina (1989) sobre la utilización de la calculadora.en el caso particular que estamos tratando.
Secuenciación y niveles;
Los aspectos a tratar en este tema se inician en el Tercer Ciclo para su continuación en niveles
posteriores.
Diseño;
Esquema y organizadores. Ejemplo desarrollado por el profesor con la participación del grupo.
Diseño de una parte específica en pequeño grupo y puesta en común.
9.2.4.- Conexiones teoría-práctica
Resúmen de lo tratado en el apartado de análisis de le enseñanza y el aprendizaje del tema;
Elaboración de una relación de aspectos del tema que tienen interés para la observación, la aplicación
y la investigación en el aula;
Resúmen conjunto de recomendaciones para la intervención.
9.3.- METODOLOGÍA Y ACTIVIDADES
Reflexión/debate Inicial: concepciones iniciales
Propondremos la actividad que incluye Centeno en el capítulo 1 de su obra sobre la utilización
cotidiana de los números decimales. Al mismo tiempo, propondremos a los alumnos, mediante preguntas
adecuadas, que expliciten lo que saben sobre lo decimales, las dudas que tienen o cómo se
lo enseñaron y cómo lo aprendieron.
Posteriormente, como situación de motivación inicial, se podría comenzar con la historia de los
decimales, haciendo alusión a los modos de representación antes de la invención del sistema actual.
Igualmente, es interesante tratar en este punto las relaciones entre los números decimales y las
fracciones.
Análisis Didáctico
- Exposición del profesor y organización
Propuesta de trabajo y resúmen de los contenidos de esta parte (a ampliar en el punto siguiente);
Desde el concepto de fracción decimal se presentan los números decimales como una forma diferente
de representación. El problema está en qué hacer con aquellas fracciones que no son decimales:
el algoritmo de la división proporciona una sucesión de fracciones decimales cada vez más
próximas al número racional correspondiente; podemos aproximarnos tanto como sea preciso y
este es el aspecto más importante a destacar.
Los algoritmos de las operaciones con decimales son procedimientos similares a los empleados
con los números naturales; basta añadirle algunas reglas sobre la colocación de los números, la
situación de la coma decimal en el resultado o sobre la realización de las divisiones entre números
decimales.
- Documentación: lectura/reflexión/debate sobre una selección de los documentos y partes
de los mismos que se indican en el apartado de análisis didáctico.
- Laboratorio de Matemáticas (experiencias personales directas)
- resolución de problemas;
González Marí, J. L.
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231
Ejemplos de actividades y problemas:
- Calcula la diferencia entre 1,53 - 0,716
- Encontrar un número con dos cifras decimales que esté a menos de una centésima del número
1/3.
- material didáctico, representaciones y modelos;
Se les propone a los alumnos cuestiones y problemas a su nivel con el material didáctico y los
modelos específicos.
- fenomenología
Se realizarán actividades relacionadas con las situaciones, fenómenos y contextos tratados en el
apartado correspondiente de los contenidos
- juegos y pasatiempos;
Se utilizarán las mismas actividades de este tipo que se recomiendan para el aula de Primaria así
como algunas variantes adaptadas al nivel de los estudiantes.
Aprendizaje y Enseñanza: Análisis
- Exposición del Profesor y organización
- Resolución de problemas
Análisis sobre la dificultad de los distintos tipos de problemas.
Reflexión sobre el papel de la resolución de problemas en la enseñanza del tema.
- Documentación: lectura/reflexión/debate sobre una selección de los documentos y partes
de los mismos que se indican en el apartado de análisis del aprendizaje y la enseñanza.
- Laboratorio de Didáctica de la Matemática (reflexión didáctica)
- organizadores y libros de texto;
Exámen de la incidencia de cada organizador en el tratamiento del tema en dos textos actuales
de editoriales diferentes.
- situaciones de enseñanza-aprendizaje;
Se utilizarán situaciones puntuales contadas, escritas o visionadas para realizar una reflexión
didáctica.
- análisis de problemas didácticos;
A un alumno de Primaria se le pide que ordene un conjunto de números decimales y su respuesta
es la siguiente:
23,4 23,37 223,036 23,127 2,3401 17,15671
Analiza los errores cometidos y la lógica interna de la ordenación. ¿Qué utilidad tiene este
tipo de análisis?.
Planificación
- Exposición del Profesor y organización
- Documentación: lectura/reflexión/debate sobre una selección de los documentos y partes
de los mismos que se indican en el apartado.
- Laboratorio de Didáctica de la Matemática (reflexión didáctica)
- Trabajo en grupo: diseño de una parte de la unidad
- Exposición y debate sobre uno de los trabajos
Conexión teoría-práctica
- Propuesta individual razonada sobre qué aspectos de la unidad sería necesario/conveniente:
observar, aplicar, investigar y cuáles habría que tener en cuenta en una intervención
y cómo habría que hacerlo (se puede tomar como referencia el mismo diseño realizado en el
apartado anterior);
- Puesta en común (todo el grupo) y conclusiones.
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Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
Reflexión/debate final: evaluación conjunta y autoevaluación
9.4.- MATERIALES Y RECURSOS
Documentación indicada en los apartados anteriores
guiones de trabajo y documentos elaborados por el profesor
análisis didáctico: bibliografía recomendada.
análisis de la enseñanza y el aprendizaje: cuadernos, controles y producciones de los alumnos
de Primaria en torno al tema.
planificación: documentos curriculares; programaciones.
Materiales didácticos: los materiales escolares indicados a lo largo del tema
Libros de texto de varias editoriales
Videograbaciones: situaciones videofilmadas de enseñanza y aprendizaje sobre aspectos puntuales
del tema.
9.5.- BIBLIOGRAFÍA
Boyer, C. B. (1986).- Historia de la Matemática. Madrid: Alianza Editorial.
Brousseau, G. (1980). Problemes de l'enseignement des decimaux. Recherches en Didactique des
mathematiques, 1(1), 11-58
Brousseau, G. (1981). Problemes de didactique des decimaux. Recherches en Didactique de mathematiques,
2(3), 37-127
Castro, E.; Segovia, I. (1985).- Simón Stevin. 4º Centenario de la invención de los decimales. Epsilon
4, pp.100-104.
Centeno, J. (1988). Números decimales. ¿Por qué? ¿Para qué? Síntesis. Madrid.
Dickson, L., Brown, M.; Gibson, O. (1991). El aprendizaje de las matemáticas. Labor y MEC.
Barcelona.
Dienes, Z. P. (1982).- Cómo utilizar los bloques multibase. Barcelona: Teide.
González, J. L. (1996).- Los errores en Matemáticas. Cursos impartidos dentro del ciclo “Evaluación
de los aprendizajes”. CEP de Sevilla, Linares y Córdoba. Autor.
Hernan, F.; Carrillo, E. (1988). Recursos en el aula de matemáticas. Sintesis. Madrid.
Krause, F.E. (1987). Mathematics for elementary teachers. Heath and Comp. Lexington, MA.
Llinares, S. y Sánchez, M.A. (1988). Fracciones. Síntesis. Madrid.
Puig, L. y Cerdán, F. (1988). Problemas aritméticos escolares. Madrid: Síntesis.
Segovia, I. (1997).- Proyecto Docente. Departamento de Didáctica de la Matemática. U. Granada.
Udina (1989).- Aritmética y calculadoras. Madrid: Síntesis.
TEMA 10.- GEOMETRÍA DEL PLANO. FIGURAS PLANAS.
10.1.- INTRODUCCIÓN
La enseñanza de la Geometría en Primaria debe pretender que los alumnos alcancen un dominio
sobre el espacio ordinario por medio de la adquisición de conocimientos y destrezas sobre un sistema
matemático que modeliza conceptos y relaciones espaciales así como a través del desarrollo
de capacidades que caracterizan lo que se denomina “pensamiento o razonamiento geométrico”.
Desgraciadamente, la escasa atención que la geometría ha recibido y recibe en el curriculo de matemáticas,
en favor de los aspectos aritméticos, algorítmicos y algebraicos, hace que los alumnos
González Marí, J. L.
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Didáctica de la Matemática y Prácticas de Enseñanza en Matemáticas en Educación Primaria
233
futuros maestros inicien sus estudios con una preparación muy baja en dicho campo. Este hecho
complica bastante el tratamiento de la geometría en el plan de formación que proponemos, puesto
que es necesario dedicar una atención especial a subsanar las carencias mencionadas, en detrimento
de los restantes aspectos del conocimiento profesional. Por tanto, la única manera en la que podemos
conjugar la formación básica no adquirida con anterioridad y la propia formación profesional,
es proceder como lo estamos haciendo con otros temas, es decir, proporcionando experiencias a
nuestros alumnos similares a las que se proponen para el aula de Primaria aunque adaptadas a su
nivel. Así, por ejemplo, el material didáctico no se trata sólo como un instrumento para el aula de
Primaria, sino que se utiliza directamente para proponer actividades adecuadas al nivel de los estudiantes
universitarios; con ello conocen el material, experimentan personalmente un método de
enseñanza-aprendizaje, hacen geometría, reflexionan sobre su propio aprendizaje y, a continuación,
reflexionan sobre su utilización en el aula de Primaria.
10.2.- CONTENIDOS
10.2.1.- Análisis didáctico
Ubicación en el Currículo de Primaria. Orientaciones oficiales;
En el Decreto del MEC la Geometría aparece ubicada en el bloque denominado: “Formas geométricas
y situaciones en el espacio”.
En el Decreto de Educación Primaria de la Junta de Anadalucía, el tema aparece ubicado en el
bloque denominado: “Conocimiento, orientación y representación espacial.
En relación a la orientación en el espacio podemos encontrar lo siguiente:
“La orientación, ubicación y movimiento de objetos en el espacio implica la existencia de determinados
elementos de referencia en función de los cuales puede localizarse la dirección y posición
de estos. Durante la etapa de Primaria se desarrollarán progresivamente en los alumnos la utilización
de la horizontalidad y verticalidad como ejes de referencia. Ello dará lugar a nociones como
derecha, izquierda, arriba, abajo, etc. y a la coordinación de las mismas.”.
Conceptos, procedimientos y actitudes;
Conceptos: Elementos geométricos en el plano. Relaciones entre elementos: incidencia, paralelismo
y perpendicularidad. Ángulos. Figuras en el plano: Elementos y propiedades; clasificación
de figuras; regularidades y simetrías. Polígonos. Circunferencia y círculo. Localización y orientación:
Sistemas de referencia; coordenadas cartesianas en el plano.
Se incluyen aquí los conceptos básicos de la geometría plana: recta, punto, plano, ángulo, polígono
y sus diferentes clases, etc. así como su representación en el sistema de coordenadas cartesianas.
Procedimientos: Reconocimiento de figuras y exploración de propiedades de los elementos en el
plano. Descripción de figuras y propiedades. Composición y descomposición de figuras. Representación
de figuras geométricas. Construcción de formas geométricas planas. Búsqueda de regularidades
y simetrías. Comparación y Clasificación de figuras planas de acuerdo a diversos criterios.
Situar y localizar una figura en el plano utilizando un sistema de referencia cartesiano. Razonar
inductiva y deductivamente para la demostración de algunas propiedades geométricas.
- Actitudes: Valoración, apreciación de las cualidades estéticas, gusto por las construcciones
geométricas, precisión con los instrumentos así como en la descripción y representación de formas
geométricas; interés en la búsqueda de soluciones a problemas geométricos.
Consideraciones históricas;
En babilonia y en el antiguo Egipto ya se empleaba una geometría empírica motivada por los
problemas de construcción y de medidas. Era una geometría de carácter práctico que tuvo una in-
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sidad de Málaga

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Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
fluencia importante en períodos y civilizaciones posteriores.
La geometría empírica de los egipcios, formada por conocimientos aislados, fué organizada posteriormente
por los griegos. El máximo exponente de esta época fué Euclides, que en sus “Elementos”
desarrolla una geometría deductiva utilizando el esquema clásico de axiomas y teoremas. Las
nociones básicas utilizadas eran las hoy conocidas como punto, línea, longitud, ángulo, triángulo,
etc., que han persistido en la escuela elemental hasta fechas recientes. Además de Euclides, se pueden
distinguir otros autores de esa época por la importancia de sus aportaciones; tal es el caso, por
citar algunos, de Thales, Pitágoras y Arquímedes.
En la cultura árabe hubo un desarrollo importante de la geometría plana, con los frisos y mosaicos.
Esta relación con el arte se aumentó y consagró definitivamente en el Renacimiento, con la
intervención de pintores, artistas, arquitectos y científicos tales como Leonardo da Vinci o Luca
Pacioli con su teoría de la proporción y el estudio de la divina proporción o “número áureo”.
En cuanto a los aspectos de orientación, posición y coordenadas, su desarrollo histórico es muy
amplio. Vera (1948) atribuye el nacimiento de la Geometría Analítica a la época griega. Apolonio
estudió las secciones cónicas con una metodología en la que subyace el empleo de coordenadas.
Nicolás de Oresme enseña a representar gráficamente la marcha de un fenómeno. Viète perfecciona
los métodos griegos para resolver las ecuaciones cuadráticas. Fermat (1601-1665) utiliza los métodos
que caracterizan a la Geometría Analítica, mientras que su contemporáneo, Descartes (1596-
165) los da a conocer en su Geometría Cartesiana con anterioridad a la obra de Fermat.
Fenomenología y aplicaciones;
En Alsina, Burgués y Fortuny (1987) se presentan diferentes contextos y fenómenos relacionados
con el empleo de la Geometría:
- Geometría en la Naturaleza: muchos fenómenos naturales requieren de la geometría: localización
geográfica, descripción y reproducción de modelos, el estudio de la forma, tamaño y crecimiento
de los seres vivos, la constitución de la materia, explicación del cosmos, etc.
- Geometría en la Ciencia y la Tecnología: constitución de la materia, funcionamiento de máquinas,
estructura tecnológica de las construcciones, topografía (fractales), técnicas elementales,
tales como las que se dan en carpintería, alfarería, albañilería, etc.
- Geometría en el arte: dimensiones geométricas, proporcionalidad, equilibrio de formas, arquitectura,
artes plásticas, etc.
Igualmente, los autores citados hacen una clasificación de los contextos geométricos en relación
con el tamaño del espacio:
- Micro-espacio: geometría relacionada con el mundo microscópico.
- Meso-espacio: geometría de los objetos de tamaño medio a escala humana.
- Macro-espacio: geometría de objetos de tamaño entre 0,5 y 50 veces el tamaño del sujeto.
- Cosmo-espacio: fenómenos geográficos, topográficos y astronómicos.
Sobre esta clasificación, Oliveras (1996) expone un estudio sobre la geometría del plano en la
artesanía.
Cognición. Errores, dificultades y obstáculos;
Son de destacar en primer lugar los estudios de Piaget y colaboradores (Holloway, 1982) en los
que se establecen las siguientes etapas en la construcción del espacio por parte del niño: espacio
sensoriomotor; espacio intuitivo, espacio concreto y espacio abstracto. Las dificultades y obstáculos
se deducen de las limitaciones correspondientes en cada una de las etapas.
Igualmente, es necesario hacer alusión, por su importancia actual, a la teoría de los niveles de
los esposos Van Hiele sobre el desarrollo del pensamiento geométrico del niño. Se trata de una
teoría que comprende cinco niveles en forma de escala, es decir, ningún nivel se desarrolla si no se
González Marí, J. L.
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235
ha afianzado previamente el nivel anterior. Dichos niveles son los siguientes:
- Nivel 0 (visualización): las figuras se distinguen por sus aspecto global, por sus formas y no
por sus propiedades;
- Nivel 1 (análisis): se reconocen las propiedades de las figuras;
- Nivel 2 (deducción informal): se relacionan las propiedades de distintas figuras y se establecen
definiciones;
- Niveles 3 y 4 (deducción formal): se realizan demostraciones y se comparan teorías.
En Dickson, Brown, y Gibson (1991) se proponen actividades para superar los diferentes niveles
y se indican algunos errores y dificultades motivados por el propio sistema de enseñanza. De
este tipo son, por ejemplo: la forma de colocar las figuras (típico error con las alturas de un triángulo),
la forma de definir el concepto de ángulo y sus tipos, etc.
En cuanto al desarrollo de sistemas de referencia, posición y orientación en el espacio, los estudios
de Piaget y colaboradores (Dickson y otros, op.cit) centran su orígen en la capacidad natural
para utilizar un marco de referencia. La noción de orientación horizontal tarda más en desarrollarse
que la vertical, a causa, al parecer, de la verticalidad del propio cuerpo; asímismo, las de izquierda
y derecha tardan más que las de delante y detrás. En la obra citada se incluyen más detalles de las
investigaciones de Piaget e Inhelder en relación con el empleo de referencias de carácter horizontal.
Representaciones y modelos;
Los diferentes modelos y sistemas de representación que trabaja el alumno de Primaria se reducen
a su representación verbal y a su representación gráfica o materializada con algún tipo de soporte
físico:
Modelos físicos:
- del plano: pizarra, suelo, mesa, hoja de papel, espejo, geoplanos, etc.;
- de la recta: cuerda, hilo, alambre, goma elástica;
- de figuras (manipulables): troquelados de cartón, figuras de plástico (polígonos regulares,
tangram, poliminós, etc.);
Modelos gráficos:
- de la recta: línea recta trazada con un regla o en el ordenador;
- de las figuras: dibujos realizados con lápiz, tiza, ordenador, etc.
Materiales y recursos;
Hay una amplia variedad de materiales y recursos que permiten realizar actividades útiles para
desarrollar las destrezas de reconocimiento, exploración, descripción, construcción, composición y
descomposición de figuras planas. Algunos de ellos son los siguientes:
- Juegos de figuras geométricas planas fabricadas en madera, plástico u otro material;
- Juegos de construcciones geométricas (pajitas y vértices o nodos);
- Fotografías, diapositivas, vídeos, etc.;
- frisos y mosaicos; puzles geométricos; poliminós; etc.;
- Tangrams, geoplanos, papel isométrico o con tramas impresas (cuadrada, triangular, rectangular,
etc), espejos, hilos y cuerdas;
- Instrumentos para dibujar, hojas de papel para múltiples utilidades, como por ejemplo la
geometría del plegado o la construcción de frisos divertidos, cartulinas, tijeras, etc.;
Alsina, Burgués y Fortuny (1988) exponen una amplia relación de materiales y recursos para la
enseñanza de la geometría.
También hemos de hacer mención al ordenador como recurso interesante en este campo. No
sólo por la utilidad demostrada del lenguaje Logo y la geometría de la tortuga, sino por numerosas
aplicaciones informáticas recientes, tanto comerciales y de uso cotidiano como son los programas
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236
Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
de dibujo, diseño gráfico y demás, como las aplicaciones orientadas a la enseñanza y el aprendizaje,
como es el caso del programa Cabri-Géometre. Este programa, además de dibujar y ser interactivo,
comprueba paralelismo, perpendicularidad, efectúa inversiones, calcula distancias y ángulos, etc.
10.2.2.- Enseñanza y aprendizaje (análisis)
Pautas, propuestas, orientaciones y resultados;
La enseñanza de la Geometría en Primaria se debe caracterizar por el paso de los procedimientos
a los conceptos y no a la inversa, potenciando la acción, experimentación y manipulación. Este
es pues el procedimiento a seguir también en Didáctica, aunque a veces se pueden dar ambos aspectos
simultáneamente.
Esquema general y orientaciones de la propuesta incluída en Martínez y otros (1989).
Otras propuestas y orientaciones (bibliografía recomendada): contraste y valoración en grupo.
Resolución de problemas
La resolución de problemas geométricos, al igual que ocurre en el resto de las matemáticas, tiene
un papel muy importante en la construcción de los conceptos geométricos, en la medida en que
el conocimiento matemático, y el conocimiento geométrico en particular, se construye a través de
la interacción personal con los objetos y el descubrimiento de las relaciones que forman parte del
mismo (Alsina y otros, 1987).
Se han de tener en cuenta aquí las mismas fases ya descritas para la resolución: Lectura y comprensión
del problema, traducción al lenguaje matemático, planificación de la acción, resolución y
revisión del proceso y resultados. Asímismo, se han de tener en cuenta los siguientes aspectos: la
selección de los problemas en función de los conceptos y destrezas, la secuenciación según el nivel
de aprendizaje de los alumnos, las variables, etc. Por ejemplo, las variables de presentación pueden
ser de varios tipos:
- relativas a la tarea del alumno: construir o reproducir, etc.;
- relativas al modelo: dimensiones, orientación, etc.;
- relativas a los conocimientos: visualización, propiedades y relaciones, etc.;
- relativas al material: tipo de material, forma de utilización, etc.
Un estudio detallado de la resolución de problemas sobre polígonos es el que se expone en Fielker
(1983).
Observación de aprendizajes, producciones de los alumnos y prácticas educativas;
Observación y análisis de vídeos de entrevistas clínicas y análisis de tareas así como de alumnos
realizando actividades en el aula ordinaria (material didáctico, ejercicios en grupo, actividades específicas).
Exámen de cuadernos de trabajo de matemáticas y de expresión plástica.
Diagnóstico y evaluación: criterios, procedimientos y técnicas;
Los mismos recursos y actividades del apartado anterior se pueden utilizar para emitir juicios
razonados y su posterior discusión y valoración. Tareas y cuestionarios específicos para medir el
nivel de competencias. Cuestionarios basados en los niveles de Van-Hiele. Controles realizados en
aulas de Primaria.
Dificultades y problemas: identificación y tratamiento;
Aspectos particulares del tema en relación con los errores en matemáticas: naturaleza, orígen,
causas y posibles tratamientos (González, 1996).
Respuestas erróneas de alumnos de Primaria en relación con el tema. Análisis de sus posibles
causas y determinación del tratamiento pertinente. Por ejemplo: cambios de posición en figuras
planas y cambios en los elementos.
Libros de texto;
Análisis del tema según varias editoriales (se utilizarán las consideraciones tratadas en los tres
González Marí, J. L.
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237
primeros capítulos).
10.2.3.- Planificación de la Enseñanza
Propuestas y orientaciones;
Estudio de propuestas de planificación; síntesis de las orientaciones oficiales y los análisis anteriores
para establecer un esquema de planificación útil para el diseño de distintas partes del tema.
Tareas;
Aplicación de los cinco tipos de tareas del esquema metodológico. Ejemplos.
Elaboración, por parte de los alumnos, de al menos una tarea nueva de cada tipo.
Utilización de organizadores;
La propuesta de instrucción descrita en Alsina y otros (1987) tiene en cuenta los distintos organizadores
del análisis didáctico. En particular, realizan las siguientes recomendaciones útiles para la
planificación de la enseñanza:
a) El estudio de la Geometría debe estar relacionado con el mundo real.
b) El currículo de Geometría tiene que desarrollarse según los modelos de conocimiento y
aprendizaje de los alumnos.
c) La presentación de la Geometría debe ser gradual y progresiva, partiendo de situaciones
cotidianas.
Igualmente recomiendan un desarrollo basado en el trabajo simultáneo en el laboratorio y sobre
resolución de problemas.
Secuenciación y niveles;
Primer Ciclo: Reconocimiento de formas: Líneas, ángulo como giro, triángulos y cuadriláte-ros.
Segundo Ciclo: Descripción y análisis de formas; composición y descomposición; ángulos;
polígonos y sus elementos; clasificación.
Tercer Ciclo: Paralelismo, intersección, propiedades de los polígonos, la circunferencia y el
círculo. Localización y orientación: Sistemas de referencia; coordenadas cartesianas.
Diseño;
Esquema y organizadores. Ejemplo desarrollado por el profesor con la participación del grupo.
Diseño de una parte específica en pequeño grupo y puesta en común.
10.2.4.- Conexiones teoría-práctica
Resúmen de lo tratado en el apartado de análisis de le enseñanza y el aprendizaje del tema;
Elaboración de una relación de aspectos del tema que tienen interés para la observación, la aplicación
y la investigación en el aula;
Resúmen conjunto de recomendaciones para la intervención.
10.3.- METODOLOGÍA Y ACTIVIDADES
Reflexión/debate Inicial: concepciones iniciales
Geometría y entorno. ¿Qué saben sobre las nociones geométricas elementales?, ¿cómo se las
han enseñado y cómo las han aprendido?. Ejemplos particulares.
Análisis Didáctico
- Exposición del profesor y organización
Propuesta de trabajo y resúmen de los contenidos de esta parte (a ampliar en el punto siguiente).
Como ya hemos indicado, el proceso idóneo a seguir es el de combinar las experiencias, la manipulación
y los procedimientos con los conceptos, en un enfoque similar, con las diferencias de nivel,
al que se propone para el desarrollo en Primaria y que hemos indicado brevemente en los apartados
anteriores. Los futuros maestros de Primaria necesitan reflexionar sobre esta forma de construir la
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238
Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
Geometría, para lo que necesitan, previa o simultáneamente, tener experiencias personales sobre
ella como sujetos del aprendizaje. También se concederá especial atención a la representación y
lectura de puntos en los sistemas de coordenadas cartesianas, así como a la elaboración e interpretación
de croquis e itinerarios.
En el proceso se puede dedicar un tiempo al tratamiento de la información (antes, durante y
después de las experiencias), otro tiempo al trabajo personal, otro a la explicitación de ideas y resultados
y otro a la reflexión y elaboración de conclusiones, en un esquema similar al que proponemos
para el desarrollo de los restantes temas.
- Documentación: lectura/reflexión/debate sobre una selección de los documentos y partes
de los mismos que se indican en el apartado de análisis didáctico.
- Laboratorio de Matemáticas (experiencias personales directas)
- resolución de problemas;
Ejemplo de actividad: Intenta dibujar tres rectas que se corten en 0, 1, 2, 3 ó 4 puntos. Discutir
las soluciones; hacer lo mismo con cuatro rectas.
- material didáctico, representaciones y modelos;
Se les propone a los alumnos cuestiones y problemas a su nivel con el material didáctico y los
modelos específicos. Ejemplos: Con un geoplano de 5x5 ¿cuántos cuadrados diferentes se pueden
formar?. Con el tangram chino, ¿cuántos cuadrados diferentes se pueden formar?; ¿cuántos triángulos?.
Clasifica los cuadriláteros por sus diagonales y discute los resultados.
- fenomenología
Se realizarán actividades relacionadas con las situaciones, fenómenos y contextos tratados en el
apartado correspondiente de los contenidos. Ejemplo: la geometría en la naturaleza (trabajo de
campo).
- juegos y pasatiempos;
Se utilizarán las mismas actividades de este tipo que se recomiendan para el aula de Primaria así
como algunas variantes adaptadas al nivel de los estudiantes.
Aprendizaje y Enseñanza: Análisis
- Exposición del Profesor y organización
- Resolución de problemas
Análisis sobre la dificultad de los distintos tipos de problemas.
Reflexión sobre el papel de la resolución de problemas en la enseñanza del tema.
- Documentación: lectura/reflexión/debate sobre una selección de los documentos y partes
de los mismos que se indican en el apartado de análisis del aprendizaje y la enseñanza.
- Laboratorio de Didáctica de la Matemática (reflexión didáctica)
- organizadores y libros de texto;
Exámen de la incidencia de cada organizador en el tratamiento del tema en dos textos actuales
de editoriales diferentes.
- situaciones de enseñanza-aprendizaje;
Se utilizarán situaciones puntuales contadas, escritas o visionadas para realizar una reflexión
didáctica.
- análisis de problemas didácticos;
Ejemplo (Irem d'Aquitania, 1995, referenciado en Segovia (1997)): A un alumno de Primaria se
le proponen las siguientes actividades:
1) Reproduce un rectángulo colocando un vértice en el punto A (en papel cuadriculado
aparece un rectángulo apoyado en uno de los lados);
2) Reproduce un rectángulo colocando un vértice en el punto A (en papel cuadriculado
González Marí, J. L.
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239
aparece un rectángulo apoyado en uno de los vértices);
3) Construye un rectángulo con vértice en A (en este caso el papel no es cuadriculado);
4) Termina de dibujar un rectángulo (se le dan dos vértices consecutivos y el centro en un
papel cuadriculado)
5) Construye un rectángulo de vértice A y centro O (se le da papel cuadriculado y los puntos
señalados)
6) Construye un rectángulo de centro O (se le da el punto O en papel no cuadriculado)
a) Describe un procedimiento de resolución en el cual un alumno de primaria podría pensar. En
cada procedimiento, indicar las ideas geométricas sobre las cuales se apoya y los instrumentos utilizados.
b) ¿Qué variables de presentación intervienen en los diferentes ejercicios?.
Planificación
- Exposición del Profesor y organización
Revisión de diseños y discusión sobre aspectos a modificar.
- Documentación: lectura/reflexión/debate sobre una selección de los documentos y partes
de los mismos que se indican en el apartado.
- Laboratorio de Didáctica de la Matemática (reflexión didáctica)
- Trabajo en grupo: diseño de una parte de la unidad
- Exposición y debate sobre uno de los trabajos
Conexión teoría-práctica
- Propuesta individual razonada sobre qué aspectos de la unidad sería necesario/conveniente:
observar, aplicar, investigar y cuáles habría que tener en cuenta en una intervención
y cómo habría que hacerlo (se puede tomar como referencia el mismo diseño realizado en el
apartado anterior);
- Puesta en común (todo el grupo) y conclusiones.
Reflexión/debate final: evaluación conjunta y autoevaluación
10.4.- MATERIALES Y RECURSOS
Documentación indicada en los apartados anteriores
guiones de trabajo y documentos elaborados por el profesor
análisis didáctico: bibliografía recomendada.
análisis de la enseñanza y el aprendizaje: cuadernos, controles y producciones de los alumnos
de Primaria en torno al tema.
planificación: documentos curriculares; programaciones.
Materiales didácticos: los materiales escolares indicados a lo largo del tema
Libros de texto de varias editoriales
Videograbaciones: situaciones videofilmadas de enseñanza y aprendizaje sobre aspectos puntuales
del tema.
10.5.- BIBLIOGRAFÍA
Alsina, C. y otros (1984). Bon día geometría. Generalitat de Catalunya. Barcelona.
Alsina, C., Burgués, C. y Fortuny, J.M. (1987). Invitación a la didáctica de la geometría. Madrid:
Síntesis.
Alsina, C., Burgués, C. y Fortuny, J.M. (1988). Materiales para construir la geometría. Madrid:
Síntesis.
Burger, W.; Shaughnessy, J. (1986). Characterizing the Van Hiele levels of development in geome-
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Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
try. Journal for research in mathematics education, vol. 17 num. 1.
Castelnuovo, E.; Gattegno, C. y otros (1964). El material para la enseñanza de las matemáticas.
Ed. Aguilar. Madrid.
Castelnuovo, E. (1970). Didáctica de la matemática moderna. Ed. Trillas, México.
Castelnuovo, E. (1979). La matemática/ La geometría. Ketres Editora, Barcelona.
Dickson, L., Brown, M.; Gibson, O. (1991). El aprendizaje de las matemáticas. Labor y MEC.
Barcelona.
Fernández, M. y otros (1996).- Circulando por el círculo. Madrid: Síntesis.
Fielker, D.S. (1983). Rompiendo las cadenas de Euclides. (Traducción y Comentarios de Pons, R.
y Giménez, J.). MEC. Madrid.
Fortuny, J.M.; Almató, A. (1983). La geometría a través de investigaciones de laboratorio. III Jornadas
sobre aprendizaje y enseñanza de las matemáticas.
Fortuny, J.M. y Jiménez, J. (1994). Geometría amb Cabri. PIE SINERA. Generalitat de Catalunya.
Barcelona.
Freudenthal, H. (1983). En todos los niveles: Geometría. III Jornadas sobre aprendizaje y enseñanza
de las matemáticas. Zaragoza.
García, J. y Bertrán, C. (1987). Geometría y experiencias. Biblioteca de Recursos didácticos. Alhambra.
Madrid.
González, J. L. (1996).- Los errores en Matemáticas. Cursos impartidos dentro del ciclo “Evaluación
de los aprendizajes”. CEP de Sevilla, Linares y Córdoba. Autor.
Holloway, G.E.T. (1986). Concepción de la geometría en el niño según Piaget. Ed. Paidos. Barcelona.
I.E.P.S. (1986). La geometría en el aprendizaje de las matemáticas. Narcea. Madrid.
Irem d'Aquitania (1995). Themes mathematiques pour la preparation du concurses CRPE. (40, rue
Lamartine. 33400 Talence; France).
Junta de Andalucía (1992). Decreto de Educación Primaria. Instituto Andaluz de Formación y Perfeccionamiento
del Profesorado. Sevilla.
M.E.C. (1989). Diseño curricular base. Educación Primaria.
Krause, F.E. (1987). Mathematics for elementary teachers. Heath and Comp. Lexington, MA.
Martínez, A. y otros (1989). Una metodología activa y lúdica para la enseñanza de la Geometría.
Síntesis. Madrid.
Segovia, I. (1997).- Proyecto Docente. Departamento de Didáctica de la Matemática. Universidad
de Granada.
TEMA 11.- GEOMETRÍA DEL ESPACIO. CUERPOS GEOMÉTRICOS.
11.1.- INTRODUCCIÓN
La enseñanza de la geometría puede ser caracterizada como el estudio de las experiencias espaciales
(Alsina y otros, 1987) desde un punto de vista particular 1 . Pero, estas experiencias son globales
en el amplio sentido de la palabra, es decir, no tiene sentido dividir las percepciones espaciales,
mediante las que adquirimos conocimientos del espacio real, en distintas partes y componentes.
Sin embargo, sí es posible efectuar una separación con intenciones analíticas entre los diversos as-
1 añadido del autor.
González Marí, J. L.
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241
pectos de lo que se conoce como estructuración geométrica del espacio, entendida como la forma
matemática de ver, entender o analizar el espacio. Desde este punto de vista, que es el que nos
interesa, tiene sentido la división que hemos realizado en el temario así como la organización que
hemos adoptado, de tal manera que el espacio geométrico tridimensional puede ser considerado
como un paso más en el estudio iniciado en el tema anterior. Además, por sus características, es
también el ámbito idóneo para consolidar, verificar y ampliar los conocimientos geométricos relativos
al plano, esta vez incardinados de forma natural en el campo más amplio de las experiencias
geométricas en tres dimensiones.
Los objetivos, aquí, no son diferentes a los del tema anterior, puesto que se trata de un paso
más en el acercamiento a la comprensión geométrica del espacio real iniciado con el estudio de la
geometría plana. Desgraciadamente, las condiciones y prácticas habituales en las aulas (limitadas a
la representación en el plano) dificultan y a veces impiden el tratamiento adecuado del tema, lo que
no es motivo para que dejemos de considerar esta parte como fundamental para la formación del
pensamiento geométrico de los niños y, consecuentemente, para la formación profesional de los
futuros maestros. En relación con esta última hemos de hacer las mismas consideraciones que en el
tema anterior, es decir, la experiencia nos dice que los conocimientos que tienen los alumnos al
comenzar sus estudios así como las reflexiones que sobre este tema han realizado durante el período
previo de formación, son claramente insuficientes para empezar a hablar de cómo enseñar y qué
resursos utilizar, lo que condiciona claramente la metodología a emplear.
11.2.- CONTENIDOS
11.2.1.- Análisis didáctico
Ubicación en el Currículo de Primaria. Orientaciones oficiales;
En el Decreto del MEC, la Geometría aparece ubicada en el bloque denominado “Formas geométricas
y situaciones en el espacio”.
En el Decreto de Educación Primaria de la Junta de Andalucía, el tema aparece ubicado en el
bloque denominado “Conocimiento, orientación y representación espacial”, en el que se alude a las
formas en el espacio, a la detección de regularidades y conocimientos de cuerpos y formas geométricas
sencillas y a la coordinación de las diversas perspectivas desde las que se puede contemplar
la realidad espacial.
Conceptos, procedimientos y actitudes;
Conceptos: Elementos en el espacio: relaciones y propiedades. Ángulos diedros y poliedros. Poliedros.
Poliedros regulares. Prisma, pirámide. Poliedros semirregulares. Poliedros estrellados.
Cuerpos de revolución. Regularidades y simetrías. Coordenadas cartesianas en el espacio; coordenadas
en la superficie esférica: longitud y latitud.
Procedimientos: Reconocimiento de poliedros y determinación de sus elementos y propiedades;
comparación de cuerpos geométricos; reconocimiento de regularidades; clasificaciones
de cuerpos geométricos; construcción de poliedros; generación de cuerpos de revolución; representación
plana del espacio; desarrollos planos de cuerpos geométricos. Reconocer los elementos
que caracterizan la posición y orientación en el espacio. Emplear sistemas de referencia para situar
una figura en el espacio. Identificar la situación de un figura en relación a un sistema de referencia
dado. Localización y orientación en el espacio tridimensional y sobre la superficie esférica.
- Actitudes: Valoración, apreciación de las cualidades estéticas, gusto por las construcciones
geométricas, precisión con los instrumentos así como en la descripción y representación de formas
geométricas; interés en la búsqueda de soluciones a problemas geométricos.
Consideraciones históricas;
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242
Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
Las consideraciones históricas para esta parte de la Geometría participan de los mismos períodos
y aspectos generales que se han expuesto en el tema anterior para la geometría plana. Aquí,
interesan especialmente aquéllos aspectos que atienden específicamente a los cuerpos geométricos,
es decir, a los poliedros y cuerpos de revolución, sus elementos y las relaciones entre el espacio y el
plano. La bibliografía sobre estos aspectos es abundante, pero nos parece suficiente acudir a las
publicaciones de la colección de la Editorial Síntesis para tomar las referencias básicas para el tema;
en particular, es de destacar en este aspecto lo incluído en Alsina y otros (1987), Guillén
(1997) y Baena y otros (1996). Tan sólo nos limitamos a exponer a continuación unas breves notas
sobre este aspecto importante del tema.
Los poliedros regulares y, en particular, los poliedros platónicos se conocían ya en épocas previas
al pitagorismo. En los “Elementos” de Euclides se formula una teoría general sobre estos poliedros,
se establece su construcción geométrica y se demuestra que sólo son cinco. El nombre de
sólidos platónicos se debe a Platón, que los considera como elementos constitutivos de la materia:
el cubo, que asocia a la tierra; el tetraedro, al fuego; el octaedro, al aire; el dodecaedro, al agua; el
icosaedro, al universo. Kepler (1571-1630), por su parte, construyó una teoría del cosmos en base
a los cinco sólidos platónicos.
Los poliedros arquimedianos o semirregulares son figuras cuyas caras son polígonos regulares y
cuyos vértices son todos iguales. Kepler demostró que sólo son trece.
A diferencia de los regulares y semirregulares que son convexos, los poliedros estrellados no
son convexos; se trata de un tipo particular de sólidos que deben su nombre a Kepler y de los que
Cauchy (1789-1875) demostró que sólo existen cinco regulares (Guillén, 1997).
Por otra parte, las pirámides y los prismas son poliedros con una larga historia. Los primeros ya
se utilizaron por los egipcios para construir sus monumentos funerarios.
Por último, la esfera, el cilindro y el cono son cuerpos de revolución especiales dentro del tema.
La esfera ya fué definida por los griegos como la superficie que se obtiene al hacer girar una circunferencia
sobre uno de sus diámetros; fué utilizada para explicar el universo y el movimiento de
los planetas, que se suponía que lo hacían en esferas concéntricas alrededor del sol. En Kline
(1994) se expone un desarrollo de esta teoría y en Baena y otros (1996) se aportan otros datos
históricos de interés.
Fenomenología y aplicaciones;
La fenomenología que hemos descrito en el tema anterior es la misma que la que corresponde a
este tema, es decir, son fenómenos geométricos relacionados con el entorno natural, la ciencia, la
tecnología y el arte, los que dan significado y se organizan en base a los conocimientos geométricos
del espacio (Alsina y otros, op. cit.).
Es cierto que los fenómenos geométricos se refieren a situaciones del entorno y este se encuentra
inmerso en un espacio de tres dimensiones. No obstante, existen fenómenos propios de la geometría
plana y fenómenos propios de la geometría del espacio, como ocurre en el caso de la arquitectura,
de la cosmología, la constitución interna de la materia, la química, la biología, la geología,
la construcción, la astronomía, la industria, el comercio (empaquetamiento y apilamiento), reproducción
del espacio, etc.
En todos los casos, se trata de situaciones y fenómenos en los que la geometría aporta modelos
estructurales que expresan una parte importante de su funcionamiento y constitución.
Cognición. Errores, dificultades y obstáculos;
Son de aplicación a este tema, tanto la teoría de Piaget sobre la construcción del espacio en el
niño, como el modelo de los niveles de comprensión geométrica de Van Hiele, descritos en el tema
anterior. En cuanto a la primera, son de destacar las conclusiones relativas al orden de aparicicón
González Marí, J. L.
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243
de las propiedades geométricas del espacio: primero las topológicas, despuès las proyectivas y por
último las euclídeas. Asímismo, la construccíon del espacio se realiza mediante un proceso cognitivo
que comienza por la creación de un espacio intuitivo o sensoriomotor, a través de la manipulación,
para pasar gradualmente a un espacio conceptual o representación interna del espacio. Este
proceso está condicionado por el desarrollo cognitivo de los individuos y por el entorno (Alsina y
otros, 1987), por lo que es necesario considerar ambos aspectos de cara a la planificación de las
experiencias educativas.
Lappan y Winter, citados en Dickson, Brown y Gibson (1991), identifican cuatro fases en la
construcción de objetos tridimensionales a partir de sus representaciones gráficas en dos dimensiones.
Los errores más frecuentes encontrados tenían que ver con la orientación de las figuras. Otras
investigaciones en el terreno de la representación gráfica han puesto de manifiesto que estas no son
innatas, sino que hay que practicarlas y analizarlas mediante múltiples ejemplos. Asímismo, algunas
dificultades están relacionadas con las percepciones y las relaciones entre estas y las descrpcipciones
verbales. El primer tipo de dificultades está relacionado con el problema cásico de la credibilidad
de la información que aportan los sentidos; es frecuente encontrar interpretaciones erróneas de
una situación geométrica sobre la base de una percepción equivocada. En cuanto al segundo tipo,
forma parte del campo de problemas que surgen en general de las siempre difíciles relaciones entre
el lenguaje común y las matemáticas, para lo que habría que realizar actividades tanto de seguir una
secuencia de instrucciones escritas como de interpretar y expresar verbalmente figuras, transformaciones
y características geométricas. Por ejemplo: un alumno sale a la pizarra y otro, desde su sitio,
le debe dar instrucciones para dibujar una figura que este tiene en un papel.
Representaciones y modelos;
Los modelos de poliedros y cuerpos de revolución, fabricados en madera, plástico u otro material,
son ya modelos clásicos en la escuela; también existen modelos de los desarrollos planos de
estos cuerpos.
El geoespacio, es la versión del geoplano en tres dimensiones. Se trata de un modelo sencillo,
del que existen versiones comerciales (geoplano con huecos a distancia regular en los que se insertan
varillas perpendiculares que permiten trabajar en la tercera dimensión), que se puede construir
fácilmente con una caja de cartón o madera a la que se le quitan varias caras para poder manipular
en su interior.
Otro modelo útil ya descrito en el tema anterior es el que permite construir figuras geométricas
tridimensionales mediante varillas de distintas longitudes y vértices de distinto tipo. Un aspecto
interesante de este material se refiere a la decisión previa o anticipación de las longitudes y de los
vértices que se han de utilizar para construir un poliedro determinado. Por ejemplo: queremos
construir un cubo; ¿cuántas varillas y de qué longitudes y cuántos vértices y con cuántos puntos de
enganche debemos utilizar?.
Para los cuerpos de revolución existen modelos de carácter dinámico que permiten su visualización
real mediante el efecto óptico oportuno. Estos modelos mecánicos, al igual que otras construcciones
geométricas pueden ser objeto de un trabajo de colaboración entre varias disciplinas.
Las representaciones gráficas en dos dimensiones constituyen modelos particulares de las figurs
en tres dimensiones. Tienen el inconveniente propio de las perspectivas, que pueden conducir a
errores como los que se exponen en Baena y otros (op. cit.) en el caso de la representación plana
de las distintas perspectivas de la esfera.
Materiales y recursos;
Son materiales útiles para el tema los siguientes: cartulinas, tijeras, pegamento, plastilina, polígonos
troquelados, porespán, gomillas, sierra, instrumentos de dibujo, etc.
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Igualmente, los que hemos mencionado como materiales didácticos estructurados: geoespacio,
construcción de poliedros y cuerpos geométricos, a los que podemos añadir los siguientes: los policubos
(colección de cubos encajables), el Polidrón (polígonos de plástico para construir poliedros),
juego de polígonos regulares troquelados en cartón y gomillas para la construcción de poliedros,
juegos de arquitectura, el cubo soma, polígonos unidos por sus vértices mediante gomillas
(para visualizar prismas, troncos de pirámides, etc.), etc.
El ordenador es un medio para el que se han elaborado programas que permiten una representación
plana del espacio así como perspectivas en tres dimensiones. Igualmente, la fotografía como
material didáctico es un recurso importante para el tema (Coriat, 1997).
11.2.2.- Enseñanza y aprendizaje (análisis)
Pautas, propuestas, orientaciones y resultados;
La enseñanza de la Geometría en Primaria se debe caracterizar por el paso de los procedimientos
a los conceptos y no a la inversa, potenciando la acción, experimentación y manipulación. Este
es pues el procedimiento a seguir también en Didáctica, aunque a veces se pueden dar ambos aspectos
simultáneamente.
Esquema general y orientaciones de la propuesta incluída en Martínez y otros (1989).
Otras propuestas y orientaciones (bibliografía recomendada): contraste y valoración en grupo.
Resolución de problemas
Ya se ha hablado en el tema anterior de la importancia de la resolución de problemas en la construcción
y adquisición de conceptos geométricos. También se ha hecho referencia a la forma en que
puede abordarse su resolución, desde la lectura del problema hasta la revisión de la solución y del
proceso desarrollado. Aspectos a tener en cuenta para la planificación y el desarrollo de la enseñanza
son la selección de los problemas y su secuenciación.
Se hará una revisión de los principales tipos de problemas geométricos que se pueden plantear a
los alumnos de Primaria en relación con este tema así como de las posibles dificultades que pueden
encontrar los alumnos en cada uno de ellos. Se atenderá en particular a los problemas de manipulación
y construcción así como a la representación bidimensional mediante tareas de dibujo y desarrollos
planos de poliedros en ambos sentidos.
Observación de aprendizajes, producciones de los alumnos y prácticas educativas;
Observación y análisis de vídeos de entrevistas clínicas y análisis de tareas así como de alumnos
realizando actividades en el aula ordinaria (material didáctico, ejercicios en grupo, actividades específicas).
Exámen de cuadernos de trabajo.
Diagnóstico y evaluación: criterios, procedimientos y técnicas;
El diagnóstico y la evaluación a partir de los niveles Van Hiele.
Los mismos recursos y actividades del apartado anterior se pueden utilizar para emitir juicios
razonados y su posterior discusión y valoración. Tareas y cuestionarios específicos para medir el
nivel de competencias. Controles realizados en aulas de Primaria.
Dificultades y problemas: identificación y tratamiento;
Aspectos particulares del tema en relación con los errores en matemáticas: naturaleza, orígen,
causas y posibles tratamientos (González, 1996).
Respuestas erróneas de alumnos de Primaria en relación con el tema. Análisis de sus posibles
causas y determinación del tratamiento pertinente.
Libros de texto;
Análisis del tema según varias editoriales (se utilizarán las consideraciones tratadas en los tres
primeros capítulos).
11.2.3.- Planificación de la Enseñanza
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245
Propuestas y orientaciones;
Estudio de propuestas de planificación; síntesis de las orientaciones oficiales y los análisis anteriores
para establecer un esquema de planificación útil para el diseño de distintas partes del tema.
Tareas;
Aplicación de los cinco tipos de tareas del esquema metodológico. Ejemplos.
Elaboración, por parte de los alumnos, de al menos una tarea nueva de cada tipo.
Utilización de organizadores;
En el Decreto de primaria de la Junta de Andalucía se hace una propuesta metodológica mediante
una secuencia de actividades en las que indicamos los diferentes organizadores que pueden
emplearse:
1) Localizar figuras en el entorno, detectar elementos, identificar formas y comparar (conceptos,
fenomenología, materiales y recursos)
2) Describir elementos, contarlos. Realizar clasificaciones y seriaciones mediante criterios
sencillos (empleo de modelos, sistemas de representación).
3) Construir figuras geométricas relacionadas con actividades de otras áreas (materiales y
re-cursos, fenomenología, historia).
4) Reconocer los elementos de las figuras y usar el vocabulario adecuado para expresarlos
(sistemas de representación, modelos, conceptos)
5) Detectar regularidades; reconocer y reproducir modelos sencillos; conocer relaciones de
igualdad, paralelismo, perpendicularidad, etc.(conceptos, destrezas, Resolución de Problemas, materiales
y Recursos)
Secuenciación y niveles;
Segundo Ciclo: Reconocimiento, descripción y análisis de cuerpos geométricos sencillos.
Tercer Ciclo: Clasificación, estudio y propiedades de los cuerpos geométricos y poliedros elementales.
Diseño;
Esquema y organizadores. Ejemplo desarrollado por el profesor con la participación del grupo.
Diseño de una parte específica en pequeño grupo y puesta en común.
11.2.4.- Conexiones teoría-práctica
Resúmen de lo tratado en el apartado de análisis de le enseñanza y el aprendizaje del tema;
Elaboración de una relación de aspectos del tema que tienen interés para la observación, la aplicación
y la investigación en el aula;
Resúmen conjunto de recomendaciones para la intervención.
11.3.- METODOLOGÍA Y ACTIVIDADES
Reflexión/debate Inicial: concepciones iniciales
Se conectará con las actividades realizadas en el tema anterior. En particular, se propndrá a los
alumnos que elaboren por escrito lo que recuerden sobre distintos aspectos de la geometría tridimensional,
su enseñanza y aprendizaje.
Análisis Didáctico
- Exposición del profesor y organización
Propuesta de trabajo y resúmen de los contenidos de esta parte (a ampliar en el punto siguiente).
Ya hemos referido en el tema anterior que la enseñanza de la Geometría en Primaria debe potenciar
la acción del alumno mediante la manipulación de objetos del entorno, uso de instrumentos, etc.
Para ello, el futuro Maestro de Primaria debe tener información además de adquirir una formación
adicional acerca de este tipo de actividades.
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246
Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
Repetimos aquí las ideas básicas expresadas en el tema anterior:
El tratamiento incompleto y poco satisfactorio de la Geometría en los niveles de Primaria y Secundaria;
la necesidad de fundamentar el trabajo en actividades y problemas de carácter manipulativo-representativo;
la necesidad de atender en el proceso a formas, tiempos de trabajo y orientaciones
diferentes.
- Documentación: lectura/reflexión/debate sobre una selección de los documentos y partes
de los mismos que se indican en el apartado de análisis didáctico.
- Laboratorio de Matemáticas (experiencias personales directas)
- resolución de problemas;
Ejemplos de problemas a realizar en este apartado:
- Investigación con material sobre las relaciones entre los polígonos regulares y los poliedros:
¿con qué clase de polígonos podemos construir poliedros?; ¿es posible combinar varios polígonos
regulares para construir un poliedro?; ¿cuáles y cuántos hacen falta en los casos más elementales?;
etc. Establecer una tabla que refleje dichas relaciones.
- Descubrir la relación de Euler.
- Mediante construcción gráfica, razonar porqué hay sólo cinco poliedros regulares convexos.
- Investigar que cuerpos rellenan el espacio sin dejar huecos.
- Ensayar distintos empaquetamientos con poliedros arquimedianos y con esferas; etc.
- material didáctico, representaciones y modelos;
Se les propone a los alumnos cuestiones y problemas a su nivel con el material didáctico y los
modelos específicos. Algunos de los ejemplos anteriores son adecuados para el desarrollo de esta
parte.
- fenomenología
Se realizarán actividades relacionadas con las situaciones, fenómenos y contextos tratados en el
apartado correspondiente de los contenidos
- juegos y pasatiempos;
Se utilizarán las mismas actividades de este tipo que se recomiendan para el aula de Primaria así
como algunas variantes adaptadas al nivel de los estudiantes.
Aprendizaje y Enseñanza: Análisis
- Exposición del Profesor y organización
- Resolución de problemas
Análisis sobre la dificultad de los distintos tipos de problemas.
Reflexión sobre el papel de la resolución de problemas en la enseñanza del tema.
- Documentación: lectura/reflexión/debate sobre una selección de los documentos y partes
de los mismos que se indican en el apartado de análisis del aprendizaje y la enseñanza.
- Laboratorio de Didáctica de la Matemática (reflexión didáctica)
- organizadores y libros de texto;
Exámen de la incidencia de cada organizador en el tratamiento del tema en dos textos actuales
de editoriales diferentes.
- situaciones de enseñanza-aprendizaje;
Se utilizarán situaciones puntuales contadas, escritas o visionadas para realizar una reflexión
didáctica.
- análisis de problemas didácticos;
Ejemplo: A un curso de alumnos de Primaria se le propone la actividad consistente en descubrir
que configuraciones de cinco cuadrados unidos por los lados permiten construir una caja sin tapadera.
Resuelve la tarea, indica qué competencias geométricas son necesarias, qué objetivos tienen
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este tipo de actividades y qué variaciones se pueden realizar sobre esta misma tarea.
Planificación
- Exposición del Profesor y organización
- Documentación: lectura/reflexión/debate sobre una selección de los documentos y partes
de los mismos que se indican en el apartado.
- Laboratorio de Didáctica de la Matemática (reflexión didáctica)
- Trabajo en grupo: diseño de una parte de la unidad
- Exposición y debate sobre uno de los trabajos
Conexión teoría-práctica
- Propuesta individual razonada sobre qué aspectos de la unidad sería necesario/conveniente:
observar, aplicar, investigar y cuáles habría que tener en cuenta en una intervención
y cómo habría que hacerlo (se puede tomar como referencia el mismo diseño realizado en el
apartado anterior);
- Puesta en común (todo el grupo) y conclusiones.
Reflexión/debate final: evaluación conjunta y autoevaluación
11.4.- MATERIALES Y RECURSOS
Documentación indicada en los apartados anteriores
guiones de trabajo y documentos elaborados por el profesor
análisis didáctico: bibliografía recomendada.
análisis de la enseñanza y el aprendizaje: cuadernos, controles y producciones de los alumnos
de Primaria en torno al tema.
planificación: documentos curriculares; programaciones.
Materiales didácticos: los materiales escolares indicados a lo largo del tema
Libros de texto de varias editoriales
Videograbaciones: situaciones videofilmadas de enseñanza y aprendizaje sobre aspectos puntuales
del tema.
11.5.- BIBLIOGRAFÍA
Alsina, C. y otros (1984). Bon día geometría. Generalitat de Catalunya. Barcelona.
Alsina, C., Burgués, C.; Fortuny, J. M. (1987). Invitación a la didáctica de la geometría. Madrid:
Síntesis.
Alsina, C., Burgués, C.; Fortuny, J. M. (1988). Materiales para construir la geometría. Madrid:
Síntesis.
Baena, J.; Coriat, M.; Marín, A.; Martínez, P. (1996). La esfera. Madrid: Síntesis.
Burger, W.; Shaughbessy, J. (1986). Characterizing the Van Hiele levels of development in geometry.
Journal for research in mathematics education, vol. 17 num. 1.
Castelnuovo, E. (1970). Didáctica de la matemática moderna, Ed. Trillas. México.
Castelnuovo, E. (1979). La matemática/ La geometría. Ketres Editora. Barcelona.
Castelnuovo, E.; Gattegno, C. y otros (1964). El material para la enseñanza de las matemáticas,
Ed. Aguilar, Madrid.
Coriat, M. (1997).- Materiales, recursos y actividades: un panorama. En: Rico, L. (coord.).- La
Educación Matemática en la enseñanza secundaria. Barcelona: ICE-Horsori.
Dickson, L., Brown, M. y Gibson, O. (1991). El aprendizaje de las matemáticas. Labor y MEC.
Barcelona.
Fortuny, J.M.; Almató, A. (1983). La geometría a través de investigaciones de laboratorio. III Jor-
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Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
nadas sobre aprendizaje y enseñanza de las matemáticas.
Freudenthal, H. (1983). En todos los niveles: Geometría. III Jornadas sobre aprendizaje y enseñanza
de las matemáticas. Zaragoza.
García, J.; Bertán, C. (1987). Geometría y experiencias. Biblioteca de Recursos didácticos. Alhambra.
Madrid.
González, J. L. (1996).- Los errores en Matemáticas. Cursos impartidos dentro del ciclo “Evaluación
de los aprendizajes”. CEP de Sevilla, Linares y Córdoba. Autor.
Guillén, G. (1997).- Poliedros. Madrid: Síntesis.
Holloway, G.E.T. (1986). Concepción de la geometría en el niño según Piaget. Ed. Paidos, Barcelona.
I.E.P.S. (1986). La geometría en el aprendizaje de las matemáticas. Narcea. Madrid.
Junta de Andalucía (1992). Decreto de Educación Primaria. Instituto Andaluz de Formación y Perfeccionamiento
del Profesorado. Sevilla.
Krause, F.E. (1987).- Mathematics for elementary teachers. Heath and Comp. Lexington, MA.
M.E.C. (1989). Diseño curricular base. Educación Primaria.
Martínez, A. y otros (1989). Una metodología activa y lúdica para la enseñanza de la Geometría.
Síntesis. Madrid.
M.E.C. (1989). Diseño curricular base. Educación Primaria.
Segovia, I. (1997).- Proyecto Docente. Departamento de Didáctica de la Matemática. U. Granada.
TEMA 12.- TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS
12.1.- INTRODUCCIÓN
La proyección, el movimiento y la transformación son aspectos dinámicos del mundo que nos
rodea y, en particular, del espacio ordinario. La geometría estudia una parte de dichas transformaciones,
aquélla que tiene que ver con los aspectos geométricas del espacio. Pero el tema no sólo es
interesante porque constituye un complemento de los aspectos tratados en los dos temas anteriores,
sino porque, además, es posible reestructurar todo lo anterior desde este nuevo punto de vista.
En efecto, todas las características “estáticas”, “clásicas”, de las figuras geométricas se pueden
ahora analizar bajo su comportamiento ante los tres tipos de transformaciones básicas a los que
hemos hecho alusión en el tema anterior: transformaciones topológicas, transformaciones proyectivas
y trasformaciones euclídeas; cada una de aquéllas propiedades, elementos y caracteristicas puede
ahora ser identificada en relación con los invariantes propios de cada uno de dichos tipos de
transformaciones. En este tema se van a tratar los tres tipos mencionados, dedicando una atención
especial a las transformaciones euclídeas y, dentro de estas, a las traslaciones, giros y simetrías. No
obstante, queremos llamar la atención sobre la escasa atención que se suele prestar en todos los
ámbitos, quizás por su dificultad, a las transformaciones topológicas, planteando desde aquí nuestra
intención de realizar en el desarrollo del tema un trabajo sobre ellas un poco más amplio de lo
habitual.
Desde el punto de vista de la formación profesional de los maestros, son de aplicación aquí las
mismas consideraciones que hemos realizado en los dos temas precedentes.
12.2.- CONTENIDOS
12.2.1.- Análisis didáctico
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Ubicación en el Currículo de Primaria. Orientaciones oficiales;
En el Decreto del MEC, el tema se sitúa en el bloque denominado “Formas geométricas y situación
en el espacio”.
En el Decreto de la Junta de Andalucía, se sitúa en el bloque “Conocimiento, orientación y representación
espacial”, en el que se incluyen las siguientes consideraciones:
“La construcción de figuras y la exploración de las transformaciones a que se someten si se deslizan,
giran o reflejan, acercará a los alumnos a la comprensión de nociones como simetría, igualdad
y congruencia”.
Conceptos, procedimientos y actitudes;
- Conceptos: Transformación; invariantes y propiedades geométricas. Transformaciones topológicas;
propiedades topológicas; recorridos y laberintos. Grafos y redes. Transformaciones proyectivas;
propiedades proyectivas. Transformaciones euclídeas; propiedades euclídeas. Traslación, giro
y simetría en el plano; propiedades. Composiciones de movimientos. La traslación y el giro como
composición de simetrías. Figura mínima, rosetones, frisos y mosaicos.
La proporcionalidad geométrica y la semejanza se incluyen en el tema de proporcionalidad.
- Procedimientos: Transformar objetos y analizar los invariantes. Determinar las transformaciones
que dejan invariante una figura. Construir caminos y laberintos. Trasladar, girar o simetrizar
una figura en el plano. Identificar el movimiento o la composición de movimientos de una figura en
el plano. Identificar ejes de simetría en las figuras. Construir rosetones, frisos y mosaicos en base a
movimientos de figuras en el plano. Identificar la figura mínima que genera a un mosaico, un friso o
un rosetón.
- Actitudes: Valoración de la utilidad, apreciación de cualidades estéticas, curiosidad por descubrir
los criterios para generar recorridos, laberintos, mosaicos y frisos, precisión con los instrumentos,
sensibilidad y gusto, interés y perseverancia por la presentación y la resolución de problemas
relacionados con las transformaciones geométricas.
Consideraciones históricas;
De los tres tipos de geometrías caracterizadas por los tres tipos de transformaciones geométricas
básicas, la geometría euclídea o geometría de los “cuerpos rígidos” es la más antigua. La geometría
proyectiva surgió a raíz de los problemas de perspectivas en la arquitectura y la pintura de la
época del Renacimiento y alcanzó su mayor auge en el siglo XIX con los trabajos de Poncelet (Collette,
1985). La Topología, o estudio de las propiedades del espacio que no están afectadas por
una deformación biyectiva y bicontínua (Courant y Robins, 1979), fué presentada por primera vez
por Leibniz, en lo que denominó la geometría de situación; a esta época se deben los famosos problemas
de los puentes de Königsberg, de los nudos y del coloreado de mapas. Sin embargo, fué
Riemann quien fundó verdaderamente esta nueva rama de las matemáticas, que alcanzó su máximo
nivel de desarrollo con la teoría de conjuntos de Cantor y con los progresos de la teoría de los
números reales y de las funciones de variable real.
En relación con las transformaciones euclídeas, es de destacar que todos los movimientos pueden
ser definidos en función de las simetrías. Su evolución histórica se expone con detalle en Boyer
(1986) y en Weyl (1956), que describe determinados aspectos de la historia de este concepto relacionados
con el arte, como por ejemplo: los sumerios ya utilizaban la simetría en la simbología de
sus dibujos; en el imperio bizantino se introducen nuevos elementos en la simetría; los árabes empleaban
magistralmente las transformaciones geométricas y, en particular, la simetría en la decoración;
el arte occidental introduce nuevas variaciones en la simetría.
A lo largo de la historia se han desarrollado otras geometrías que enfatizaban distintos aspectos:
geometría analítica (Descartes y Fermat), algebraica, diferencial, no euclídea, etc.. Félix
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Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
Klein (1849-1925) unifica diferentes geometrías y las caracteriza mediante las propiedades que se
conservan a través de las transformaciones; con ello da paso a una geometría dinámica basada en
los grupos de transformaciones, en lo que se conoce como el programa de Erlangen. Todo ello da
lugar a un cambio profundo en los contenidos y en el enfoque dado a la enseñanza de la Geometría
durante el último siglo.
Fenomenología y aplicaciones;
Los fenómenos relacionados con las transformaciones geométricas son tan variados como lo son
las transformaciones: sombra solar (afinidad), movimiento de rotación de la tierra (isometría (rotación)),
sombra de un foco (proyectividad), dilatación (semejanza), deformación (topológica) (Alsina
y otros, 1989).
Las nociones topológicas (interior, exterior, frontera, un sólo límite, región, orden topológico,
etc.) tienen muchas aplicaciones en la vida cotidiana, en el arte y en las ciencias. Su amplitud y grado
de generalidad hacen prácticamente imposible incluir aquí una relación. En su defecto, señalemos
que los esquemas topológicos, por ejemplo, son de utilización frecuente en señalizaciones,
dibujos, mapas, estructura de datos, etc.. Los conceptos de región y de frontera son igualmente de
uso cotidiano en múltiples situaciones relacionadas con superficies, ordenadores, etc. Coriat y
otros (1989) exponen numerosas situaciones de aplicación de estas nociones. En lo que respecta a
las transformaciones proyectivas y a las semejanzas, consideradas como transformaciones proyectivas
que conservan los ángulos y la proporcionalidad de segmentos, su utilidad y aplicaciones está
relacionada con las perspectivas, las proporciones, escalas, etc., una parte de las cuales se expone
en Fiol y Fortuny (1990) y en Luengo y otros (1997). Estos autores desarrollan una exposición
detallada sobre la proporcionalidad, a la que dedicamos el tema 15; aquí, simplemente, queremos
situar el tema en el contexto geométrico general de las transformaciones.
Por lo que respecta a las transformaciones euclídeas, Alsina, Pérez y Ruiz (1989) hacen una revisión
de fenómenos, situaciones y contextos relacionados con la simetría, como por ejemplo:
- En las ciencias naturales y experimentales: Reflejos del agua, movimientos de los planetas, trayectorias
de objetos y de los seres vivos. Determinados tipos de simetrías se encuentran en las estructuras
cristalinas y en el análisis morfológico de los seres vivos. En química, la simetría se encuentra
presente en las clasificaciones de moléculas y átomos.
- En el arte: La pintura y la escultura han usado la simetría como técnica de representación.
Asímismo, la arquitectura ha incorporado las formas simétricas o semejantes; la danza, la música, la
poesía, etc. presentan en sus composiciones algunas formas de simetría.
- En la industria, existen múltiples ejemplos de la utilidad de la simetría: mecanismos, tapaderas,
piezas de conexión, maquinarias con múltiples ejes de simetría, piezas asimétricas, etc.
Los autores citados dan, por último, un sugerente listado abierto de treinta temas a desarrollar y
que tienen relación con la simetría. Damos algunos ejemplos: Simetría y diseño, Simetría y física,
simetría y urbanismo, etc.
Gardner (1985) trata igualmente temas sugerentes en relación con la simetría que pueden ser
considerados desde un punto de vista fenomenológico y didáctico.
Cognición. Errores, dificultades y obstáculos;
Una de las dificultades que plantean a los niños los movimientos en el plano es el reconocimiento
de los aspectos que permanecen invariantes para cada una de las transformaciones. La mayor
dificultad corresponde a las propiedades proyectivas y euclídeas, mientras que los trabajos de
Piaget, Inhelder y Szeminska (1960) ponen de manifiesto que son las propiedades topológicas del
espacio las primeras que dominan los niños, con lo que parece que se da una inversión entre el proceso
histórico y el proceso lógico de construcción de las nociones geométricas.
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En relación con las propiedades euclídeas, Dickson, Brown, y Gibson (1991) ponen de manifiesto
que los niños conservan las longitudes en los giros y reflexiones pero no en las traslaciones, de
manera que no es hasta los 12 años cuando este invariante es aceptado y comprendido en su totalidad.
Igualmente, se ha detectado que la orientación de la figura influye en el orden en que los niños
aprenden las transformaciones y que es el siguiente: traslaciones, reflexiones y giros. La orientación
que presenta menos dificultad es la horizontal y la de mayor dificultad la oblícua, lo que también se
pone de manifiesto ante la inclinación de los ejes de simetría; en esta última situación los sujetos
ignoran los ejes y realizan la reflexión tomando ejes horizontales o verticales.
También plantean dificultades los tipos de tareas y los materiales empleados para realizar las
transformaciones: presencia o no de cuadrícula, tamaño del objeto, familiaridad con el material, etc.
La superación de estas y otras dificultades y errores requiere de la aplicación de recomendaciones
procedentes de fuentes diversas. Así, son interesantes a tener en cuenta las observaciones de
Dienes y Goldin (1969; 1982) sobre la geometría a través de las transformaciones y sobre la exploración
del espacio o las recomendaciones metodológicas que hacen Martínez, Rivaya y otros
(1989). Igualmente, en relación con la enseñanza y el aprendizaje, Alsina, Burgués y Fortuny
(1987) así como en Gutiérrez y Jaime (1996) exponen un modelo basado en los niveles de Van
Hiele y que consta de cinco fases para la enseñanza de la Geometría:
Fase 1: Discernimiento. Se presenta a los estudiantes situaciones de aprendizaje dando el
vocabulario y las observaciones necesarias para el trabajo;
Fase 2: Orientación dirigida. El profesor propone una secuencia graduada de actividades a
realizar y explorar. La ejecución y la reflexión propuestas servirán de motor para propiciar el avance
en los niveles de conocimiento.
Fase 3: Explicitación. Los estudiantes, una vez realizadas las experiencias, expresan sus resultados
y comentarios estructurando el sistema de relaciones exploradas.
Fase 4: Orientación libre. Con los conocimientos adquiridos los estudiantes aplican sus conocimientos
de forma significativa a otras situaciones distintas de las presentadas, pero con estructura
comparable.
Fase 5: Integración: Los objetos y las relaciones son unificadas e interiorizadas en su sistema
mental de conocimientos.
A modo de ejemplo, exponemos las fases a recorrer en el Nivel 0 de Van Hiele para transformaciones
euclídeas; el resto pueden verse en los textos citados.
Fase 1: Comparar las acciones de deslizar, girar y saltar con los movimientos de traslación
de rotación y reflexión.
Fase 2: Trasladar, girar y simetrizar una figura.
fase 3: Explicita todas las posibilidades de trasladar, girar o simetrizar una figura.
Fase 4: Resolver un problema por el método de las transformaciones geométricas.
Fase 5: Definiciones de los elementos básicos de las transformaciones geométricas.
Representaciones y modelos;
Los sistemas de representación para las transformaciones geométricas son de carácter manipulativo,
gráfico o simbólico. Entre los modelos manipulativos o físicos, podemos mencionar el asociado
a la deformación y a los objetos deformables (plastilina, gomillas, globos, etc.), el asociado a la
pintura y el dibujo realista así como el que proporciona el mundo de las escalas y proporciones
(fotocopiadoras, fotografía, etc.). Por último, es de destacar el asociado a los movimientos “rígidos”
(reloj, espejos, modelos físicos de generación de figuras de revolución, cambios de posición,
etc.). La representación simbólica es reducida, sin el empleo de coordenadas, puntos o vectores,
mientras que la representación y caracterización gráfica de los movimientos ha sido desarrollada
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Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
exhaustivamnete por Gutiérrez y Jaime (1996).
Modelos apropiados para el estudio de las simetrías son: el plegado de papel, los caleidoscopios
(simetría central) y los espejos como modelos de simetría axial. Asímismo, los motivos ornamentales
y diseños decorativos constituyen también representaciones de carácter físico o gráfico. Las
sombras, mapas y planos son modelos para la proporcionalidad y la semejanza.
Materiales y recursos;
Materiales y recursos: Papel, tinta, juegos de espejos, caleidoscopios, geoplano, mecanos, fotografías,
utensilios de dibujo, juegos como “mira” o el billar para actividades de reflexión, papel
cuadriculado, papel punteado, útiles de dibujo, maquetas, mapas y planos, papel para plegado, etc.
Alsina y Fortuny (1992) exponen una extensa colección de actividades relacionas con el empleo del
espejo.
El lenguaje LOGO es un recurso interesante para las traslaciones, giros y simetrías. Asímismo,
son de utilidad en este tema los materiales didácticos recomendados para los temas anteriores, tales
como los mosaicos, los juegos de construcciones geométricas o los poliminós.
12.2.2.- Enseñanza y aprendizaje (análisis)
Pautas, propuestas, orientaciones y resultados;
Propuestas y orientaciones para la enseñanza de la geometría: aspectos generales. Se tratarán
aquí las propuestas ya comentadas en los temas anteriores. Asímismo, son de utilidad las orientaciones
generales que se incluyen en Fiol y Fortuny (1990), en las que se recomienda una metodología
basada en la manipulación de materiales y la experimentación, complementada con la resolución
de problemas y situaciones de aplicación y ampliación. Este esquema de trabajo tipo laboratorio
o talleres nos parece que es idóneo para su aplicación a todos los temas de geometría y medida.
Esquema general y orientaciones de la propuesta incluída en Martínez y otros (1989).
Propuestas para la enseñanza de aspectos topológicos incluídas en Coriat y otros (1989).
Otras propuestas y orientaciones: contraste y valoración en grupo.
Resolución de problemas
Son muy variados los problemas que pueden plantearse relacionados con los movimientos en el
plano y las transformaciones geométricas. Por ejemplo: dado un mosaico, descubrir cuál es la figura
mínima que lo genera; investigar que polígonos regulares pueden servir como losetas para embaldosar
el suelo; descubrir ejes de simetría en una colección de figuras; dibujar figuras simétricas;
resolver recorridos y laberintos; construir frisos con papel mediante plegado y recorte, etc.
Ejemplo: Dado un cuadrado 4x4 se pide al niño que coloree cuatro cuadraditos de forma que
salga una figura simétrica e investiga las distintas posibilidades que pueden darse. ¿Y si el número
de cuadraditos fuese 4?, ¿Y si fuese 5?
Un problema con LOGO: Estudia cuáles son las órdenes necesarias para construir un triángulo
equilátero.
Se analizarán aquí algunas propuestas concretas de las que se incluyen en Alsina, Burgués y
Fortuny (1988), Alsina, Pérez y Ruiz (1989), otros libros de la misma colección y Dienes y Golding
(op. cit.), teniendo en cuenta que no sólo consideraremos problemas de enunciado verbal, sino que
se dará especial relevancia a problemas manipulativos, lúdicos, gráficos, etc.
Observación de aprendizajes, producciones de los alumnos y prácticas educativas;
Observación y análisis de vídeos de entrevistas clínicas y análisis de tareas así como de alumnos
realizando actividades en el aula ordinaria (material didáctico, ejercicios en grupo, actividades específicas).
Exámen de cuadernos de trabajo.
Diagnóstico y evaluación: criterios, procedimientos y técnicas;
El diagnóstico y la evaluación en el campo de las transformaciones geométricas a partir de los
González Marí, J. L.
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253
niveles Van Hiele: Análisis y propuestas generales.
Los mismos recursos y actividades del apartado anterior se pueden utilizar para emitir juicios
razonados y su posterior discusión y valoración. Tareas y cuestionarios específicos para medir el
nivel de competencias. Controles realizados en aulas de Primaria.
Dificultades y problemas: identificación y tratamiento;
Aspectos particulares del tema en relación con los errores en matemáticas: naturaleza, orígen,
causas y posibles tratamientos (González, 1996).
Respuestas erróneas de alumnos de Primaria en relación con el tema. Análisis de sus posibles
causas y del tratamiento pertinente.
Libros de texto;
Análisis del tema según varias editoriales (se utilizarán las consideraciones tratadas en los tres
primeros capítulos).
12.2.3.- Planificación de la Enseñanza
Propuestas y orientaciones;
Modelos de enseñanza, propuestas y orientaciones para el desarrollo en el aula de tareas relacionadas
con las transformaciones geométricas. Estudio de propuestas de planificación; síntesis de
las orientaciones oficiales y los análisis anteriores para establecer un esquema de planificación útil
para el diseño de distintas partes del tema.
Tareas;
Aplicación de los cinco tipos de tareas del esquema metodológico. Ejemplos.
Elaboración, por parte de los alumnos, de al menos una tarea nueva de cada tipo.
Utilización de organizadores;
La secuencia de enseñanza y aprendizaje dada por Alsina y otros (op.cit) integra a los diferentes
organizadores:
Fase de discernimiento: presentar situaciones en las que estén implicados los conceptos empleando
el lenguaje adecuado: noria, ascensor, etc
Fase de orientación dirigida: propuesta de actividades en base al empleo de materiales y recursos
(mosaicos, empleo del LOGO, etc.)
Fase de explicitación: debate entre los estudiantes
Fase de orientación libre: realizar actividades sugeridas por el profesor o por los alumnos (empleo
de materiales y recursos).
Secuenciación y niveles;
Primer Ciclo: Transformaciones y propiedades topológicas
Segundo Ciclo: Transformaciones y propiedades topológicas; invariantes topológicos; Inicio
a las transformaciones métricas: traslaciones y simetrías.
Tercer Ciclo: Transformaciones proyectivas; invariantes y propiedades. Sombras y dilataciones
Transformaciones métricas: giros, traslaciones y simetrías. Propiedades invariantes de las
figuras.
Diseño;
Esquema y organizadores. Ejemplo desarrollado por el profesor con la participación del grupo.
Diseño de una parte específica en pequeño grupo y puesta en común.
12.2.4.- Conexiones teoría-práctica
Resúmen de lo tratado en el apartado de análisis de le enseñanza y el aprendizaje del tema;
Elaboración de una relación de aspectos del tema que tienen interés para la observación, la aplicación
y la investigación en el aula;
Resúmen conjunto de recomendaciones para la intervención.
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12.3.- METODOLOGÍA Y ACTIVIDADES
Reflexión/debate Inicial: concepciones iniciales
Elaboración conjunta de tipos de acciones y transformaciones cotidianas; análisis de las propiedades
de los objetos que varían y que no varían ante ellas. Ordenar las acciones de mayor a menor
grado de cambio de las propiedades del objeto. Realizar un primer intento de clasificación.
Análisis Didáctico
- Exposición del profesor y organización
Propuesta de trabajo y resúmen de los contenidos de esta parte (a ampliar en el punto siguiente).
Partir de una actividad de investigación o reflexión en donde los alumnos recopilen situaciones en
las que están presentes las deformaciones, proyectividades, semejanzas, simetrías, giros o traslaciones.
A partir de ahí clasificar situaciones y descubrir los aspectos dinámicos y estáticos de los movimientos.
Los conceptos se presentan de una manera intuitiva: el giro de una noria, la bajada de un
ascensor, el reflejo de un espejo, son situaciones que ejemplifican los conceptos; después se representan
gráficamente; a continuación se verbalizan y por último se simbolizan.
- Documentación: lectura/reflexión/debate sobre una selección de los documentos y partes
de los mismos que se indican en el apartado de análisis didáctico.
- Laboratorio de Matemáticas (experiencias personales directas)
- resolución de problemas;
Construye varios laberintos. Con el ordenador y Logo, ¿qué estrategia se puede utilizar para que
la tortuga salga de cualquier laberinto?. Haz una tabla con polígonos de 3, 4, 5 y 6 lados que tengan
0, 1, 2, 3, 4, 5 y seis ejes de simetría (muchos no tienen solución).
- material didáctico, representaciones y modelos;
Se les propone a los alumnos cuestiones y problemas a su nivel con el material didáctico y los
modelos específicos. Ej.: reproducir con mira los polígonos regulares elementales e investigar sobre
el valor de los ángulos.
- fenomenología
Se realizarán actividades relacionadas con las situaciones, fenómenos y contextos tratados en el
apartado correspondiente de los contenidos. Ej.: Estudio de sombras de un foco puntual y distancias
para producir determinados efectos.
- juegos y pasatiempos;
Se utilizarán las mismas actividades de este tipo que se recomiendan para el aula de Primaria así
como algunas variantes adaptadas al nivel de los estudiantes. En particular, se puede desarrollar el
juego del tren de Coriat y otros (op. cit.).
Aprendizaje y Enseñanza: Análisis
- Exposición del Profesor y organización
- Resolución de problemas
Análisis sobre la dificultad de los distintos tipos de problemas.
Reflexión sobre el papel de la resolución de problemas en la enseñanza del tema.
- Documentación: lectura/reflexión/debate sobre una selección de los documentos y partes
de los mismos que se indican en el apartado de análisis del aprendizaje y la enseñanza.
- Laboratorio de Didáctica de la Matemática (reflexión didáctica)
- organizadores y libros de texto;
Exámen de la incidencia de cada organizador en el tratamiento del tema en dos textos actuales
de editoriales diferentes.
- situaciones de enseñanza-aprendizaje;
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Se utilizarán situaciones puntuales contadas, escritas o visionadas para realizar una reflexión
didáctica.
- análisis de problemas didácticos;
Construye una secuencia de instrucciones LOGO para dibujar un triángulo simétrico respecto
de un eje dado. ¿Qué conocimientos son necesarios para la elaboración de este programa?.
Planificación
- Exposición del Profesor y organización
- Documentación: lectura/reflexión/debate sobre una selección de los documentos y partes
de los mismos que se indican en el apartado.
- Laboratorio de Didáctica de la Matemática (reflexión didáctica)
- Trabajo en grupo: diseño de una parte de la unidad
- Exposición y debate sobre uno de los trabajos
Conexión teoría-práctica
- Propuesta individual razonada sobre qué aspectos de la unidad sería necesario/conveniente:
observar, aplicar, investigar y cuáles habría que tener en cuenta en una intervención
y cómo habría que hacerlo (se puede tomar como referencia el mismo diseño realizado en el
apartado anterior);
- Puesta en común (todo el grupo) y conclusiones.
Reflexión/debate final: evaluación conjunta y autoevaluación
12.4.- MATERIALES Y RECURSOS
Documentación indicada en los apartados anteriores
guiones de trabajo y documentos elaborados por el profesor
análisis didáctico: bibliografía recomendada.
análisis de la enseñanza y el aprendizaje: cuadernos, controles y producciones de los alumnos
de Primaria en torno al tema.
planificación: documentos curriculares; programaciones.
Materiales didácticos: los materiales escolares indicados a lo largo del tema
Libros de texto de varias editoriales
Videograbaciones: situaciones videofilmadas de enseñanza y aprendizaje sobre aspectos puntuales
del tema.
12.5.- BIBLIOGRAFÍA
Alsina, C. y Trillas, E. (1984). Lecciones de Algebra y Geometría. GG. Barcelona.
Alsina, C., Burgués, C. y Fortuny, J.M. (1987). Invitación a la didáctica de la geometría. Síntesis.
Madrid.
Alsina, C., Burgués, C. y Fortuny, J.M. (1988). Materiales para construir la geometría. Síntesis.
Madrid.
Alsina, C., Pérez, C. y Ruiz, C. (1989). Simetría dinámica. Síntesis. Madid.
Boyer, C.B. (1986). Historia de la matemática, Ed. Alianza, Madrid.
Castelnuovo, E. (1979). La matemática/ La geometría. Ketres Editora, Barcelona.
Collette, J. (1985).- Historia de las matemáticas. Madrid: Siglo XXI.
Coriat, M. y otros (1989).- Nudos y nexos. Madrid: Sintesis.
Courant, R.; Robins, H. (1979).- Topología. En: Newman, J. R. (ed.).- Sigma. El mundo de las
matemáticas. Tomo 4. Barcelona: Grijalbo.
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Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
Gardner, M. (1985). Izquierda y derecha en el cosmos. Salvat. Barcelona.
Dickson, L., Brown, M. y Gibson, O. (1991). El aprendizaje de las matemáticas. Labor y MEC.
Barcelona.
Dienes, Z. P.; Golding, E. W. (1969).- La geometría a través de las transformaciones. Teide.
Dienes, Z. P.; Golding, E. W. (1982).- Exploración del espacio y práctica de la medida. Teide.
Fiol, M. L.; Fortuny, J. M. (1990).- Proporcionalidad directa. La forma y el número. Madrid:
Síntesis.
González, J. L. (1996).- Los errores en Matemáticas. Cursos impartidos dentro del ciclo “Evaluación
de los aprendizajes”. CEP de Sevilla, CEP de Linares y CEP de Córdoba. Autor.
Gutierrez, A. y Jaime, A. (1985). Traslaciones, giros y simetrías en el plano. Universidad de Valencia.
Jaime, A. y Gutierrez, A. (1996). El grupo de las isometrías del plano. Síntesis. Madrid.
Junta de Andalucía (1992). Decreto de Educación Primaria. Instituto Andaluz de Formación y Perfeccionamiento
del Profesorado. Sevilla.
M.E.C. (1989). Diseño curricular base. Educación Primaria.
Segovia, I. (1997).- Proyecto Docente. Departamento de Didáctica de la Matemática. U. Granada.
Weyl, H. (1956). Simetría. En: Newman, J..- Sigma. El mundo de las Matemáticas. Tomo 4. Grijalbo.
Barcelona.
TEMA 13.- MAGNITUDES LINEALES Y SU MEDIDA
13.1.- INTRODUCCIÓN
El conocimiento de las diferentes magnitudes y su medida constituye una parte fundamental del
conocimiento matemático; por un lado está su valor funcional, debido a su aplicabilidad en diferentes
campos y situaciones, por otro lado, constituyen nociones organizadoras que ponen en relación
múltiples conocimientos y son, a su vez, elementos básicos de otros conocimientos matemáticos.
En este tema se dan dos aspectos complementarios y a cuál más importante: la cualidad o
magnitud, su apreciación, distinción y comparación global, y la medida de la cualidad, para lo que,
además del aspecto anterior, es necesario utilizar conocimientos y destrezas que proceden del campo
numérico y geométrico, entre otros. Por otra parte, se presta atención a ambos aspectos en el
caso de las magnitudes lineales longitud, amplitud, capacidad, masa, tiempo y dinero, mientras que
la superficie y el volúmen, por su especial dificultad, se tratan en el tema siguiente. Un tercer tema
dentro de este bloque dedicado a la medida, es el que atiende a la proporcionalidad, a la comparación
métrica relativa y a las medidas indirectas.
13.2.- CONTENIDOS
13.2.1.- Análisis didáctico
Ubicación en el Currículo de Primaria. Orientaciones oficiales;
En el Decreto del MEC, el tema se sitúa en el bloque dedicado a “La Medida” (bloque 2);
En el Decreto de la Junta de Andalucía, el tema se distribuye en dos bloques: “Medidas” (número
4) y “Magnitudes” (número 5).
En este último caso, la diferenciación en dos bloques pretende poner de manifiesto la distinción
entre las dos partes que hemos mencionado, la cual induce dos fases diferenciadas en el proceso de
aprendizaje y enseñanza: la percepción y el reconocimiento de la magnitud, cuya importancia estri-
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ba en “la consideración de las magnitudes como atributos o propiedades de colecciones de objetos
suceptibles de ser medidas, que el alumno debe conocer por su capacidad para organizar, estructurar
y generar otros conocimientos que pueden ser transferidos y generalizados" (Junta de Andalucía,
1992, p.112), y la noción de medida de magnitudes, de gran importancia por su valor funcional
y por que constituye un elemento de referencia en la construcción de nuevos conocimientos matemáticos.
Como muestra de la orientación oficial acerca del tema, citamos el siguiente objetivo: “Utilizar
instrumentos sencillos de cálculo y medida diciendo, en cada caso, sobre la posible pertinencia y
ventajas que implica su uso y sometiendo los resultados a una revisión sistemática”.
Conceptos, procedimientos y actitudes;
- Conceptos: Magnitud, cantidad y medida: aproximación a los conceptos matemáticos; la longitud
como ejemplo. Tipos de magnitudes (absoluta y relativa, discreta y contínua, escalar y vectorial).
Otras magnitudes: amplitud, capacidad, masa, tiempo y dinero. La medida y la unidad de medida
como nexo de unión entre cantidades y números. La medida de las magnitudes lineales. Sistema
métrico decimal; múltiplos y submúltiplos. Medidas aproximadas. Estimación de medidas.
- Procedimientos: Distinción entre cualidades cuantificables y no cuantificables. Comparación,
composición y ordenación de cantidades. Empleo de unidades de medida. Utilización de diferentes
sistemas de medición. Cambios de unidades de medida. Utilización de instrumentos de medida.
Medición directa. Estimación. Decisiones sobre la medida más adecuada.
- Actitudes: Valoración, precisión y cuidado en la utilización de instrumentos, gusto por la precisión,
interés en averiguar medidas, tendencia a manifestar las unidades, disposición favorable a
estimar.
Consideraciones históricas;
El desarrollo histórico de la medición está unido al desarrollo histórico de las nociones numéricas
y presenta un punto de interés particular en los aspectos históricos de la construcción y adopción
de los sistemas y unidades de medida. El Sistema Métrico Decimal será uno de los puntos de
atención de este organizador.
Los aspectos históricos de la medida de magnitudes que nos parecen más relevantes se centran
en torno a los siguientes hechos y períodos:
- Sistemas de medida de los egipcios, babilonios, hebreos, griegos y romanos. Los astrónomos
babilónicos; la medición de ángulos y el tiempo;
- Los pitagóricos y las longitudes inconmensurables;
- Las unidades de medida en la Edad Media y la búsqueda de patrones universales del Renacimiento;
- El Sistema Métrico Decimal y el Sistema Internacional; unidades y métodos.
En dichas etapas y hechos, son de destacar, entre otros aspectos, la historicidad del conocimiento
matemático (al igual que en el resto de los temas) y las consideraciones históricas en torno a las
relaciones entre la medición y la ampliación de los conjuntos numéricos, puesto que dicha necesidad
de ampliación tuvo su orígen, en algunos casos, en necesidades de medición (Chamorro y
Belmonte, 1994). Asímismo, hemos de resaltar la importancia de la evolución de las formas de
medición y de los sistemas de medidas hasta llegar al Sistema Métrico Decimal, así como las necesidades
de medición a lo largo de la historia (Dickson, Brown y Gibson, 1991). Especialmente,
constituyen una fuente de interés las unidades de medida antiguas, que aún persisten en muchos
lugares.
En lo que se refiere a la medida del tiempo son especialmente interesantes los intentos para elaborar
un calendario y los distintos tipos de calendarios surgidos a través de la historia.
Univer-
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Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
Fenomenología y aplicaciones;
Los fenómenos y las situaciones que dan sentido y se organizan sobre la base de las magnitudes
y su medida, abarcan un amplio campo que inunda la realidad cotidiana, las ciencias, el comercio, la
estética, los contextos temporales, la vida en general, etc. Los campos son también numerosos:
físico, geométrico, astronómico, etc. No hay más que hacer un breve repaso de las situaciones relacionadas
con la medida en textos como los de Kula (1980) o Hull (1978).
En el caso de la longitud, el lenguaje es un factor clarificador sobre los fenómenos y aplicaciones
Igualmente, un estudio fenomenológico de la longitud deberá tener en cuenta la invariancia
ante determinados movimientos y descomposiciones así como los tres contextos que intervienen:
dimensiones, distancias y trayectorias. En el primer caso, las dimensiones se perciben como propiedades
de los cuerpos y en los otros dos, más abstractos, se requieren dos puntos entre los que hay
que intercalar o imaginar un cuerpo; las distancias expresan ausencia de continuidad entre dos
cuerpos, mientras que las trayectorias incluyen un carácter dinámico.
En el caso de la magnitud tiempo, el lenguaje juega un papel esencial para establecer los distintos
contextos fenomenológicos. La distinción entre ellos permite identificar fenómenos horarios,
estacionales, cronológicos, etc. Los contextos y situaciones son también variados, abarcando situaciones
tan dispares como: duración de los sucesos (horario escolar, un partido de futbol, etc.); periodicidad
de ocurrencia de sucesos (horario de un determinado programa de TV); tiempo transcurrido
entre sucesos, etc.
Las magnitudes físicas, como la masa, el peso y otras, tienen sus propios contextos, fenómenos
y aplicaciones. Otras magnitudes geométricas, como la superficie y el volúmen, tienen una fenomenología
prácticamente ilimitada, como lo ponen de manifiesto Olmo, Moreno y Gil (1989), según
veremos en el tema siguiente.
Por último, el dinero está asociado a los precios, pagos, etc.; las aplicaciones son tan familiares
que no es necesario hacer ninguna consideración especial en relación con este apartado.
Cognición. Errores, dificultades y obstáculos;
En el proceso de aprendizaje de la magnitud longitud y su medida están implicadas una mezcla
de importantes destrezas perceptivas, aritméticas y geométricas junto al carácter eminentemente
práctico y utilitario. El proceso de aprendizaje va desde la percepción de la magnitud a la comparación
de cantidades y de esta a la estimación y a la medida mediante el empleo de unidades convencionales
y no convencionales. En este proceso intervienen de manera efectiva la conservación y la
transitividad (Piaget e Inhelder, 1982); (Chamorro y Belmonte, 1988); (Dickson, Brown y Gibson,
1991). Así, para Piaget existen varios estadios en el desarrollo del concepto de medida: estadio
inicial (no conservación y no transitividad), estadios de iniciación y consolidación de ambas capacidades,
estadio en que se identifica la unidad de medida y estadio final (medida operatoria).
Las dificultades y errores en el aprendizaje provienen en su mayor parte de las siguientes causas:
la confusión entre magnitudes, como es el caso del área y el perímetro o del peso y el volúmen, los
errores debidos al empleo de una metodología tradicional poco o nada manipulativa (Chamorro y
Belmonte, 1988), que da lugar al uso inadecuado de instrumentos o unidades de medida, y la carencia
de estrategias para realizar medidas de objetos comunes. En todas ellas se puede identificar
la ausencia de significado de las distintas unidades, lo que puede ser debido a la propia utilización
de instrumentos sofisticados de medida, que impide que los niños perciban la replicación de la unidad
y el recuento que la medida conlleva. Asímismo, el propio proceso educativo favorece la aparición
de estos errores y dificultades, en la medida en que se insiste con demasiada frecuencia en la
exactitud de la medición, en la utilización de números concretos en lugar de aproximados y en los
resultados “ad hoc”, lo que contrasta de forma importante con la realidad.
González Marí, J. L.
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Por otra parte, cada magnitud tiene asociadas sus propias dificultades, como es el caso del tiempo,
en el que se producen confusiones por la mezcla de mediadores poco fiables para su medición
(Grupo Cero, 1997). Asímismo, el dinero presenta la particularidad de las distintas monedas y la
equivalencia entre ellas; la comprensión de estas equivalencias es una cuestión difícil de aprender y
de abordar, a la vez que importante, ya que muchos problemas de enunciado verbal se refieren a
situaciones monetarias. En Dickson, Brown y Gibson (1991) se expone un desarrollo extenso de
estas cuestiones en relación con las diferentes magnitudes.
Representaciones y modelos;
Las representaciones y modelos para este tema estan claramente asociados a los materiales y
utensilios que se emplean para medir y los diferentes contextos en los que son útiles: metro de carpintero,
cinta métrica, calibre, pie de rey, regla graduada, rueda-metrocompás, escuadra, cartabón,
trasportador, reloj, recipientes, balanza, etc., además de las unidades naturales como el palmo, el
pie, el paso y los propios modelos construídos “ad hoc” (cuerdas con nudos, varas, relojes de arena,
etc.). También es evidente que los modelos para las magnitudes lineales se pueden condensar en
uno sólo: la recta numérica; es posible imaginar, e incluso representar, pesos, longitudes, tiempos,
cantidades monetarias, capacidades y masas en un diagrama lineal tomando como soporte la semirrecta
numérica. La superficie y el volúmen también admiten una ordenación de este tipo, aunque
esta linealización requiere de referencias a los modelos de dos y tres dimensiones, respectivamente,
para su adecuada representación/modelización. Sin embargo, este modelo lineal no ha dado resultado
en la enseñanza, como ponen de manifiesto Chamorro y Belmonte (op. cit.).
En realidad, los modelos anteriores son sólo una parte de los posibles. Además de la representación
gráfica, una forma de representar las medidas es la simbólica, que debe llegar a constituírse
con el tiempo en modelo preferente por su sencillez y viabilidad. En este sentido, conviene distinguir
entre reproducir una longitud (duración, capacidad, masa, etc.) y representar esa misma longitud,
lo que conlleva apreciar las ventajas de las notaciones simbólicas y gráficas además de la propia
reproducción. Por ello es importante trabajar simultáneamente los distintos sistemas de representación
(gráfico, numérico, escalas, otros) y emplear incluso unidades de otros sistemas, como en
el caso de la pulgada, yarda, pie y otras unidades propias de cada región, para tomar las necesarias
referencias de cara a la comprensión de la estructura y el proceso de la medida. Por último, las
consideraciones anteriores son también de aplicación a la amplitud, magnitud que utiliza en la actualidad
tres sistemas distintos de representación, sexagesimal, centesimal y circular.
Materiales y recursos;
Instrumentos de medida: metro de carpintero, cinta métrica, calibre, pie de rey, regla graduada,
rueda-metrocompás, escuadra, cartabón, trasportador, reloj, cronómetro, recipientes, balanza, etc.
material didáctico estructurado: regletas de Cuisenaire y el juego de medidas a utilizar con ellas;
Juegos de mesa relacionados con la medida de magnitudes particulares: La tienda, el monopoly,
etc.
Materiales y recursos del entorno: varillas, tiras de cartón, alambres, pastas, hilos y cuerdas, envases
desechables, velas de cera, etc.
13.2.2.- Enseñanza y aprendizaje (análisis)
Pautas, propuestas, orientaciones y resultados;
Propuestas y orientaciones de Chamorro y Belmonte (op. cit.) y de Prada (1990).
Otras propuestas y orientaciones: contraste y valoración en grupo.
Resolución de problemas
La resolución de problemas relacionados con los contenidos de este tema debe abarcar los distintos
tipos que hemos mencionado en otros temas y deben estar secuenciados de acuerdo con los
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conocimientos y el nivel de los alumnos, es decir: problemas prácticos relacionados con experiencias
sensoriales en relación con la cualidad, con la identificación de la magnitud y con la comparación
de cantidades; problemas prácticos relacionados con la unidad de medida, con la medición
directa e indirecta y con el empleo de instrumentos de medida; problemas de enunciado verbal
relacionados con las situaciones de medida, con las expresiones numéricas de las medidas y con el
sistema métrico decimal (equivalencia de unidades, etc.), en íntima relación con los problemas sobre
números y operaciones. Los problemas pueden ser, además de los de enunciado verbal, manipulativos,
lúdicos, sobre situaciones familiares o personales, de exploración e investigación, etc.
Como ejemplos de problemas prácticos del primer tipo podemos considerar a aquéllos problemas
relacionados con la búsqueda/identificación de situaciones de medida de una magnitud en un contexto
determinado, como por ejemplo en una casa, en la escuela, en el mercado, etc.
Los problemas de estimación en contextos poco usuales permiten especialmente el desarrollo de
estrategias sofisticadas y previenen contra el uso no controlado de la intuición. Por ejemplo:
¿Cuánto tiempo se tarda en contar hasta un millón?, ¿cuánto mide el grueso de un folio?.
Observación de aprendizajes, producciones de los alumnos y prácticas educativas;
Observación y análisis de vídeos de entrevistas clínicas y análisis de tareas así como de alumnos
realizando actividades en el aula ordinaria (material didáctico, ejercicios en grupo, actividades específicas).
Exámen de cuadernos de trabajo.
Diagnóstico y evaluación: criterios, procedimientos y técnicas;
Los mismos recursos y actividades del apartado anterior se pueden utilizar para emitir juicios
razonados y su posterior discusión y valoración. Tareas y cuestionarios específicos para medir el
nivel de competencias. Controles realizados en aulas de Primaria.
Dificultades y problemas: identificación y tratamiento;
Reflexión de Chamorro y Belmonte (op. cit.) sobre la situación actual de la enseñanza de la medida
en Primaria y sus consecuencias. Análisis crítico.
Aspectos particulares del tema en relación con los errores en matemáticas: naturaleza, orígen,
causas y posibles tratamientos (González, 1996).
Respuestas erróneas de alumnos de Primaria en relación con el tema. Análisis de sus posibles
causas y determinación del tratamiento pertinente.
Libros de texto;
Análisis del tema según varias editoriales (se utilizarán las consideraciones tratadas en los tres
primeros capítulos).
13.2.3.- Planificación de la Enseñanza
Propuestas y orientaciones;
Estudio de propuestas de planificación; síntesis de las orientaciones oficiales y los análisis anteriores
para establecer un esquema de planificación útil para el diseño de distintas partes del tema.
En particular, tendremos en cuenta:
Orientaciones de Dienes y Golding (1982) y de Chamorro y Belmonte (op. cit.).
Esquema de Olmo, Moreno y Gil (1989) para el tratamiento didáctico del área y del volúmen:
percepción, comparación, medida, aritmetización y estimación.
Tareas;
Aplicación de los cinco tipos de tareas del esquema metodológico. Ejemplos.
Elaboración, por parte de los alumnos, de al menos una tarea nueva de cada tipo.
Brigth (1976) propone la realización de actividades de estimación de cantidades que combinen
la presencia o ausencia del objeto a medir y la presencia o ausencia de la unidad de medida; por
ejemplo: estimar el área del tablero de una mesa estando presente o no la unidad de medida. Otro
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grupo de actividades consiste en asociar objetos, ausentes o presentes a una medida dada, estando
presente o ausente la unidad de medida, como por ejemplo: buscar longitudes y objetos que tengan
una medida aproximada de 2 metros (Segovia, 1997).
Utilización de organizadores;
- Estructurar el diseño del proceso de enseñanza aprendizaje de acuerdo con las fases de
aprendizaje descritas.
- En las fases de percepción y comparación, tener en cuenta las diferentes situaciones que se
pueden presentar en relación con el entorno particular así como el uso adecuado de la terminología;
siempre que sea posible, emplear algún tipo de juego; las actividades de comparación deben
graduarse en función de su dificultad y deben tenerse en cuenta los errores que se han indicado.
- En la planificación de la fase de medida mediante el empleo de unidades no convencionales
(incluidas las corporales) incluir algunos aspectos de caracter histórico así como actividades
sobre las unidades propias de la localidad; preveer la realización de prácticas de medida en los distintos
contextos y empleando la terminología apropiada.
- En la fase de medida con unidades del S.I. es conveniente contemplar los siguientes aspectos:
el carácter convencional del sistema, la necesidad del mismo, para lo que se pueden preparar
actividades que simulen la situación, y la dificultad de su elaboración. Presentar los diferentes sistemas
de medida y unidades y preveer la realización de prácticas de medida en una gran variadad
de situaciones y con distintos instrumentos.
- En la fase de aritmetización establecer una secuenciación de las actividades hasta llegar a
los problemas de enunciado verbal.
- En la fase de estimación, tener en cuenta la necesidad de la misma, las unidades de medida
y la realización de prácticas de acuerdo con los criterios establecidos.
Secuenciación y niveles;
Primer Ciclo: longitud, tiempo y peso: comparar, ordenar y clasificar. Aspectos elementales.
Segundo Ciclo: longitud, tiempo y peso: medida. Unidades Sistema métrico decimal. La capacidad
y la masa.
Tercer Ciclo: Longitud, tiempo, capacidad, masa y peso: múltiplos y submúltiplos; la superficie
y la amplitud: medida, unidades, múltiplos y submúltiplos. Equivalencia de unidades. Estimación.
Diseño;
Esquema y organizadores. Ejemplo desarrollado por el profesor con la participación del grupo.
Diseño de una parte específica en pequeño grupo y puesta en común.
13.2.4.- Conexiones teoría-práctica
Resúmen de lo tratado en el apartado de análisis de le enseñanza y el aprendizaje del tema;
Elaboración de una relación de aspectos del tema que tienen interés para la observación, la aplicación
y la investigación en el aula;
Resúmen conjunto de recomendaciones para la intervención.
13.3.- METODOLOGÍA Y ACTIVIDADES
Reflexión/debate Inicial: concepciones iniciales
Se puede comenzar planteando interrogantes y proponiendo a los alumnos que den respuestas
concretas: ¿Qué sabes de las magnitudes y las medidas?; ¿cómo lo has aprendido y cómo te lo han
enseñado?; ¿todo se puede medir?; elabora una lista lo más completa posible de lo que se puede
medir y lo que no se puede medir, justificando cada caso; ¿de cuántas maneras diferentes podemos
representar una cantidad de tiempo?; ¿qué diferencia crees que hay entre magnitud, cantidad y medida?;
etc.
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Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
Análisis Didáctico
- Exposición del profesor y organización
Propuesta de trabajo y resúmen de los contenidos de esta parte (a ampliar en el punto siguiente).
En esta parte, hacemos las siguientes observaciones:
En relación con los conceptos matemáticos de magnitud, cantidad y medida no creemos que
haya necesidad de su formalización rigurosa. Puede hacerse una aproximación semiformalizada que
tenga en cuenta la diferenciación entre propiedades medibles (magnitudes) y no medibles, establecer
definiciones informales (históricas) y por último presentar el concepto matemático de magnitud
ejemplificado detalladamente para el caso de la longitud y con menos detalle para las restantes
magnitudes. Roanes (1969) y de Prada (1990) desarrollan la mayor parte de los conceptos de las
diferentes magnitudes.
La necesidad de contemplar la actividad práctica en el aula de Primaria hace que también se deba
considerar del mismo modo para la formación de maestros. Además de los ejercicios tradicionales
para cambios de unidades y resolución de problemas, se deben contemplar actividades dirigidas
a tomar conciencia de la necesidad de la medición en sus vertientes de precisión, aproximación y
estimación. La historia debe ser completada con algún estudio sobre las unidades de medida aún
vigentes; para ello se puede utilizar el trabajo desarrollado por Casas, Luengo y Sánchez (1997)
sobre unidades e instrumentos de medida tradicionales en Extremadura.
Para las magnitudes amplitud y tiempo es necesario contemplar la práctica mediante actividades
y ejercicios en los tres sistemas. Por otra parte, la estimación en medida se debe abordar por su
utilidad en la vida diaria y por su necesidad didáctica para la comprensión del proceso de medida
(Segovia y Rico, 1996).
La estructuración y desarrollo del tema puede seguir el orden establecido en la presentación
de los diferentes organizadores.
- Documentación: lectura/reflexión/debate sobre una selección de los documentos y partes
de los mismos que se indican en el apartado de análisis didáctico.
- Laboratorio de Matemáticas (experiencias personales directas)
- resolución de problemas;
Ejemplo: Medir diferentes cantidades (litros, metros, kilogramos) con sólo algunos patrones no
unitarios (recipientes, segmentos, masas).
- material didáctico, representaciones y modelos;
Se les propone a los alumnos cuestiones y problemas a su nivel con el material didáctico y los
modelos específicos. Por ejemplo: ¿Cuáles son las figuras de mayor y de menor perímetro que se
pueden construir con todos los pentaminós?.
Son de interés las prácticas de medida con los instrumentos usuales y menos usuales, como puede
ser el pie de rey, el micrómetro, el ruedámetro, los diferentes tipos de relojes, etc.. En el ICME-
8 celebrado en Sevilla en 1996 se presentó una exposición de instrumentos de medida (Casas,
Luengo y Sánchez, 1997).
- fenomenología
Se realizarán actividades relacionadas con las situaciones, fenómenos y contextos tratados en el
apartado correspondiente de los contenidos. La perpectiva fenoménológica podría ser completada
mediante una pequeña investigación sobre los usos y modos de medida más frecuentes, que será
posteriormente expuesta en clase y debatida en gran grupo.
- juegos y pasatiempos;
Se utilizarán las mismas actividades de este tipo que se recomiendan para el aula de Primaria así
como algunas variantes adaptadas al nivel de los estudiantes.
González Marí, J. L.
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Aprendizaje y Enseñanza: Análisis
- Exposición del Profesor y organización
- Resolución de problemas
Análisis sobre la dificultad de los distintos tipos de problemas.
Reflexión sobre el papel de la resolución de problemas en la enseñanza del tema.
- Documentación: lectura/reflexión/debate sobre una selección de los documentos y partes
de los mismos que se indican en el apartado de análisis del aprendizaje y la enseñanza.
- Laboratorio de Didáctica de la Matemática (reflexión didáctica)
- organizadores y libros de texto;
Exámen de la incidencia de cada organizador en el tratamiento del tema en dos textos actuales
de editoriales diferentes.
- situaciones de enseñanza-aprendizaje;
Se utilizarán situaciones puntuales contadas, escritas o visionadas para realizar una reflexión
didáctica.
- análisis de problemas didácticos;
A un curso de alumnos de primaria se les pide que midan las dimensiones de la clase en la que se
encuentran; no disponen de ningún instrumento de medida.
a) ¿Qué posibles estrategias de solución cabe esperar?.
b) ¿Qué conocimientos son necesarios?.
c) ¿En que niveles puede plantearse esta actividad?.
d) ¿Qué variables didácticas hay implicadas en la tarea?
Planificación
- Exposición del Profesor y organización
- Documentación: lectura/reflexión/debate sobre una selección de los documentos y partes
de los mismos que se indican en el apartado.
- Laboratorio de Didáctica de la Matemática (reflexión didáctica)
- Trabajo en grupo: diseño de una parte de la unidad
- Exposición y debate sobre uno de los trabajos
Conexión teoría-práctica
- Propuesta individual razonada sobre qué aspectos de la unidad sería necesario/conveniente:
observar, aplicar, investigar y cuáles habría que tener en cuenta en una intervención
y cómo habría que hacerlo (se puede tomar como referencia el mismo diseño realizado en el
apartado anterior);
- Puesta en común (todo el grupo) y conclusiones.
Reflexión/debate final: evaluación conjunta y autoevaluación
13.4.- MATERIALES Y RECURSOS
Documentación indicada en los apartados anteriores
guiones de trabajo y documentos elaborados por el profesor
análisis didáctico: bibliografía recomendada.
análisis de la enseñanza y el aprendizaje: cuadernos, controles y producciones de los alumnos
de Primaria en torno al tema.
planificación: documentos curriculares; programaciones.
Materiales didácticos: los materiales escolares indicados a lo largo del tema
Libros de texto de varias editoriales
Videograbaciones: situaciones videofilmadas de enseñanza y aprendizaje sobre aspectos puntua-
Univer-
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sidad de Málaga

264
Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
les del tema.
13.5.- BIBLIOGRAFÍA
Campbell, N. R. (1921).- Medición. En Newman, J. (1956).- El mundo de las matemáticas. Grijalbo.
Barcelona.
Chamorro, C.; Belmonte, J. M. (1988).- El problema de la medida. Didáctica de las magnitudes
lineales. Síntesis. Madrid.
Dickson, L.; Brown, M.; Gibson, O. (1991).- El aprendizaje de las matematicas. MEC-Labor. Madrid.
Dienes, Z. P.; Golding, E. W. (1982).- Exploración del espacio y práctica de la medida. Barcelona:
Teide.
García, J. y Bertrán, C.(1987). Geometría y experiencias. Alhambra. Madrid.
González, J. L. (1996).- Los errores en Matemáticas. Cursos impartidos dentro del ciclo “Evaluación
de los aprendizajes”. CEP de Sevilla, CEP de Linares y CEP de Córdoba. Autor.
Hull, L. W. H. (1978).- Historia y filosofía de la ciencia. Barcelona: Ariel.
Inskeep, J.E.(1976): Teaching measurement to elementary school children. En NCTM Measurement
in school mathematics. 1976 Yearbook. Reston VA.
Junta de Andalucía (1992). Decreto de Educación Primaria. Instituto Andaluz de Formación y Perfeccionamiento
del Profesorado. Sevilla.
Krause, F.E. (1987). Mathematics for elementary teachers. D. C. Heath and Comp. Lexington.
MA.
Kula, W. (1980). Las medidas y los hombres, Ed. Siglo XXI, Madrid.
M.E.C. (1989). Diseño curricular base. Educación Primaria.
Olmo, M. A.; Moreno, M. F.; Gil, F. (1989). Superficie y volumen. Madrid: Síntesis.
Piaget, J.; Inhelder, B. (1982). El desarrollo de las cantidades en el niño. Hogar del niño. Barcelona.
Prada (de), M. D. (1990). Cómo enseñar las magnitudes, la medida y la proporcionalidad. Cuadernos
de matemáticas 1. Ágora. Málaga.
Resnick, L.B. y Ford, W.W. (1991). La enseñanza de las matemáticas y sus fundamentos psicológicos.
M.E.C. Paidós. Barcelona.
Segovia, I., Castro, E., Castro, E. y Rico, L. (1989). Estimación en cálculo y medida. Síntesis.
Madrid.
Segovia, I., Castro, E. y Flores, P. (1996). El área del rectángulo. UNO. nº 10. p. 63-78.
Segovia, I. y Rico, L. (1996). La estimación en medida. UNO n.10 p. 29-42.
Segovia, I. (1997).- Proyecto Docente. Universidad de Granada.
TEMA 14.- SUPERFICIE Y VOLÚMEN
14.1.- INTRODUCCIÓN
Aunque muchos aspectos de los tratados en el tema anterior son también de aplicación a este
tema de magnitudes no lineales, en lo que se refiere a los principios generales de la medida de magnitudes
así como a las líneas básicas de su enseñanza y aprendizaje, creemos que debe diferenciarse
del tema anterior por varia razones. Por una parte, la no linealidad de estas magnitudes implica una
consideración diferenciada en el tratamiento de las unidades de medida. Por otra parte, se trata de
González Marí, J. L.
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magnitudes y medidas más complejas y difíciles de comprender y dominar que las magnitudes lineales,
por lo que reciben un tratamiento menos profundo que aquéllas en los niveles superiores de
Primaria. En este sentido, conviene recordar que el volúmen y su medida forman parte en la actualidad
del currículo de enseñanza secundaria, a pesar de lo cual creemos que es posible iniciar las
primeras fases del desarrollo de dichas nociones en el último nivel de Primaria. Hemos de tener en
cuenta que las nociones de superficie y volúmen no aparecen por arte de magia en el orden lógico
que aquí proponemos, sino que arrancan en el propio corazón de las propiedades topológicas del
plano y del espacio; la apreciación de huecos y regiones o el cubrimiento o llenado del plano y el
espacio se constituyen en ideas intuitivas mucho antes de su tratamiento matemático en el currículo
escolar. Por estos motivos, y por que además estamos convencidos de que los futuros maestros
deben alcanzar una formación lo más completa posible que no tiene por que estar restringida única
y exclusivamente a los conocimientos que deben impartir, creemos que es acertado dedicar una
parte de la asignatura a estas cuestiones. Así lo hemos considerado con los números enteros y racionales,
por ejemplo, y así lo vamos a considerar con el volúmen y su medida, cuyo tratamiento en
la asignatura va a servir para que los futuros maestros adquieran una visión completa sobre las
magnitudes y medidas elementales, lineales y no lineales, así como para que tomen las referencias
necesarias acerca de los conocimientos, capacidades y destrezas que se han de trabajar formalmente
en los niveles inmediatamente siguientes a aquéllos en los que tienen que realizar su labor docente.
14.2.- CONTENIDOS
14.2.1.- Análisis didáctico
Ubicación en el Currículo de Primaria. Orientaciones oficiales;
En el Decreto de enseñanzas mínimas del Ministerio, el tema se recogen en parte del bloque de
contenidos número 3, titulado “Formas geométricas y situación en el espacio”.
En el Decreto de la Junta de Andalucía el contenido del tema aparece en el bloque 5 titulado
“Magnitudes”.
Conceptos, procedimientos y actitudes;
- Conceptos: Concepto de superficie; polígono general, su adición y extensión a superficies cualesquiera.
Medida de superficie; necesidad; recubrimiento del plano; unidad de medida; propiedades
de la medida de superficies. Área; áreas de polígonos. Longitud de la circunferencia y área del
círculo. Área lateral y total de cuerpos geométricos. Aproximación al área de figuras irregulares.
Estimación de áreas.
Concepto de volúmen. Medida y su necesidad; unidad y sistemas; instrumentos. Aritmetización
del volúmen; fórmulas de cálculo. Estimación de volúmenes.
- Procedimientos: Cubrimiento de superficies. Comparación de superficies por descomposición,
superposición, cubrimiento con la misma unidad, transformaciones planas, cambios de unidad. Medición
de áreas y volúmenes. Medición directa e indirecta mediante el empleo de fórmulas. Teselación
del espacio. Comparación de volúmenes. Utilización de algoritmos, aritmetización del área y
del volumen. Cálculo de perímetros. Estimación de perímetros, áreas y volúmenes. Resolución de
problemas y utilización de recursos.
- Actitudes: Disposición favorable a identificar, calcular y estimar perímetros, áreas y volúmenes;
interés por justificar los procedimientos para averiguar el área y el volúmen; reconocimiento
de la utilidad de la medida del perímetro, del área y del volúmen; cuidado y precisión en el manejo
de recursos y fórmulas; confianza en el propio pensamiento para estimar áreas y volúmenes.
Consideraciones históricas;
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266
Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
Las primera referencias sobre la medición del área y del volúmen hacen referencia a las necesidades
de almacenamiento de granos, alimentos y líquidos así como a la fabricación de vasijas y
recipientes de cerámica. En Babilonia y en el antiguo Egipto, el área y el volúmen estaban asociados
a problemas reales (movimientos de tierras, cosechas, construcciones, etc.). Conocían las áreas
de varias figuras geométricas así como el volúmen de prismas y cilindros; sin embargo, daban a la
longitud de la circunferencia el valor de tres diámetros y al área del círculo el triple del valor del
radio. En cuanto a las unidades que utilizaban, se relacionan con detalle en Olmo, Moreno y Gil
(1989). En la matemática china, se utilizaban reglas para el cálculo de distintas figuras planas. Asímismo,
plantean y resuelven problemas prácticos relacionados con el volúmen de paredes y presas,
en las que intervenían piezas de distintas formas (prismas y pirámides). En la civilización hindú se
daban reglas de cálculo y relaciones entre diagonales y lados y entre radio y longitud en el rectángulo,
el cuadrado y el círculo. En Grecia, surgieron dos de los problemas relacionados con el tema:
la cuadratura del círculo y la duplicación del cubo (Collette, 1985). Igualmente corresponden a esta
época numerosas aportaciones relacionadas con la superficie y el volúmen, como son las fórmulas
del volúmen de un cono o de una pirámide, del área de la esfera, etc.
La evolución hasta nuestros días ha estado plagada de hechos y conocimientos matemáticos
destacados. Queremos resaltar aquí el interés didáctico del desarrollo histórico de la medida de
superficie obtenida a partir de las medidas de longitud o de la medida del volúmen obtenida a partir
de las medidas de superficie. Desde las aproximaciones realizadas por egipcios y babilonios, a las
cuadraturas de los griegos, y de aquí, al establecimiento de fórmulas en base a la proporcionalidad
(Segovia, Castro y Flores, 1986) hay un proceso interesante que pone de manifiesto la necesidad
práctica de encontrar la relación entre la superficie y la longitud o entre la superficie y el volumen.
Además de la cuadratura del círculo y la duplicación del cubo como problemas clásicos asociados a
estas magnitudes, el número “pi” y su relación con el área resultan de gran interés en la enseñanza
y aprendizaje del tema.
Fenomenología y aplicaciones;
La terminología asociada a la superficie y el volúmen es muy extensa: amplio, holgado, ancho,
etc y sus antónimos respectivos, reducido, ajustado, estrecho, etc. También se emplean términos
propios de la longitud: largo, bajo, estrecho, etc.
Las situaciones que dan significado a la noción de superficie son prácticamente ilimitadas; se
pueden clasificar, por similitud con la clasificación realizada para longitudes, en los siguientes contextos
(Olmo, Moreno y Gil, 1989):
- contextos en los que el área representa la extensión de un cuerpo; por ejemplo superficie
de la pared de una habitación.
- contextos en los que el área representa un hueco o espacio vacío; por ejemplo, hueco de
una ventana.
- contextos en los que el área se corresponde con la huella barrida en el desplazamiento de
un móvil; por ejemplo, superficie barrida por una brocha pintando.
De manera similar puede hacerse una clasificación para las situaciones en las que se presenta el
volumen: espacio ocupado por un cuerpo; hueco dejado por un cuerpo; espacio barrido por una
superficie.
Desde el punto de vista de la relación con fenómenos más amplios, que da una idea de la extensión
y profundidad de los conceptos, Freudhental (1983) (citado por Olmo, Moreno y Gil (op.
cit.)) indica las siguientes aproximaciones al concepto de área: repartir equitativamente (utilizando
regularidades, por estimación y por medida), comparar y reproducir (por inclusión, por transformaciones,
por estimación, por medida y por medio de funciones), medir (proceso de medida por
González Marí, J. L.
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267
diferentes métodos). Estas aproximaciones son igulamente válidas para el concepto de volúmen.
Sin embargo, gracias a las relaciones entre el volúmen y la capacidad, Freudhental señala la superior
riqueza fenomenológica del volúmen con respecto a la superficie.
Cognición. Errores, dificultades y obstáculos;
Los estudios sobre el aprendizaje y el desarrollo cognitivo de las nociones de superficie y volúmen
son escasos. Olmo, Moreno y Gil (op. cit.) exponen una síntesis de los principales trabajos en
este sentido, de los que citamos los siguientes: los trabajos de Piaget y colaboradores sobre la conservación,
medición y aritmetización de las nociones de área y volúmen así como las críticas a dichos
trabajos; los estudios de Rogalski a partir de las semejanzas; los estudios de Vergnaud sobre
el volúmen, etc.
Las dificultades y errores relacionados con las nociones de perímetro, área y volúmen son diversas
y abundantes: Confusión entre el perímetro y el área, errores en la medida, errores en la determinación
del número de cubos unidad incluídos en un volúmen, etc. Dificultades asociadas a la
medida del área aparecen cuando: las figuras son más complicadas que el rectángulo, las figuras no
aparecen pavimentadas, se da una proporcionalidad inversa entre el tamaño de la unidad de medida
y la medida o cuando se han de contar unidades no enteras.
La magnitud superficie es fácil de percibir visualmente (Grupo Cero, 1996) pero presenta dificultades
para la estimación directa. Tambien suelen existir dificultades con las relaciones ante reproducciones
a escala. Por otra parte, la determinación del área es difícil cuando la figura presenta
cierta complejidad geométrica, como se pone de manifiesto en la tarea de determinar el área de un
triángulo a partir del área de un rectángulo (Dickson, Brown y Gibson, 1991, p.124).
Representaciones y modelos;
Las superficies se clasifican según diferentes modelos:
- Superficies planas: polígonos y de contorno no poligonal o curvo;
- Superficies no planas: desarrollables y no desarrollables
Los sistemas de representación simbólicos usuales asociados a la magnitud superficie toman el
cuadrado como medida unidad, variando la longitud del lado para dar lugar a distintas unidades del
sistema métrico. En otros sistemas de representación antiguos, relacionados con el trabajo agrario,
las unidades de medida se establecían en función del tiempo de trabajo que se empleaba en labrar
una superficie: día, jornal, etc.
Los sistemas de representación simbólicos usuales asociados al volúmen toman el cubo como
unidad de medida, mientras que los modelos para esta magnitud están relacionados con los cuerpos
geométricos: cubo, paralelepípedo recto, pirámide, prisma, cilindro, cono y esfera.
Materiales y recursos;
Instrumentos para medir longitudes, tramas cuadradas de distintos tamaños, instrumentos de dibujo,
tramas de puntos, papel cuadriculado, papel normal para plegado y recortado, papel milimetrado,
cartulinas, tijeras;
- poliminós, tangrams, papel isométrico, cuerpos geométricos, policubos, polidiamantes, cuerpos
geométricos huecos, unidades cúbicas, mosaicos y frisos;
- arena para rellenado, recipientes, balanza, imprenta, juegos de huellas, etc.
14.2.2.- Enseñanza y aprendizaje (análisis)
Pautas, propuestas, orientaciones y resultados;
Al igual que las magnitudes no lineales la enseñanza del área y el volumen pueden seguir el proceso
que ya se ha descrito y que se recoge con detalle en Olmo, Moreno y Gil (op. cit.):
a) percepción de la magnitud mediante la idea de recubrir / rellenar superficies / volúmenes;
los poliminós, polidiamantes, tangram, pueden emplearse para realizar actividades de este tipo;
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Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
b) Comparación directa o indirecta de cantidades mediante superposición, recortado y añadido,
descomposición en partes elementales, mediante el uso de mallas, etc.;
c) Medida y estimación de cantidades; poner de manifiesto la necesidad de la medida cuando
la comparación no es suficiente; elegir y establecer unidades de medida; presentar las unidades
del S.I. y emplear instrumentos de medida.
El proceso se completaría con otras dos fases:
d) Poner de manifiesto la dificultad de la medida directa en la mayoría de las situaciones;
e) Obtención de la medida de manera aproximada y mediante el empleo de fórmulas.
Otras propuestas y orientaciones: contraste y valoración en grupo.
Resolución de problemas
Se empearán aquí las mismas recomendacione y orientaciones del capítulo anterior, distinguiendo
entre los problemas constructivos, manipulativos, etc. y los problemas de enunciado verbal. A
su vez, dentro de estos distinguiremos entre problemas de carácter aritmético (cálculo de áreas y
volúmenes) y otros. Los problemas aritméticos, en los que se han de emplear fórmulas y estrategias
de este tipo para resolver, están estrechamente ligados a los problemas multiplicativos, por lo que
les son de aplicación las mismas consideraciones tratadas en los temas 7 y 8.
La determinación de cantidades a partir del empleo de formulas tiene interés si ello implica un
análisis que involucre la percepción y comprensión de las magnitudes y medidas, como por ejemplo
la determinación del área de un polígono irregular por descomposición en triángulos. También tiene
interés la resolución de problemas de áreas de figuras construidas sobre una malla cuadriculada;
en estos casos el alumno tiene dos opciones, el empleo de una fórmula o la determinación exacta o
aproximada del número de cuadrados por descomposición y recomposición de la superficie.
Observación de aprendizajes, producciones de los alumnos y prácticas educativas;
Observación y análisis de vídeos de entrevistas clínicas y análisis de tareas así como de alumnos
realizando actividades en el aula ordinaria (material didáctico, ejercicios en grupo, actividades específicas).
Exámen de cuadernos de trabajo.
Diagnóstico y evaluación: criterios, procedimientos y técnicas;
Los mismos recursos y actividades del apartado anterior se pueden utilizar para emitir juicios
razonados y su posterior discusión y valoración. Tareas y cuestionarios específicos para medir el
nivel de competencias. Controles realizados en aulas de Primaria.
Ejemplo: determinar las áreas de las distintas figuras del tangram en función de una de ellas como
unidad; ¿cómo lo haría un alumno de primaria?.
Dificultades y problemas: identificación y tratamiento;
Aspectos particulares del tema en relación con los errores en matemáticas: naturaleza, orígen,
causas y posibles tratamientos (González, 1996).
Respuestas erróneas de alumnos de Primaria en relación con el tema. Análisis de sus posibles
causas y determinación del tratamiento pertinente.
Libros de texto;
Análisis del tema según varias editoriales (se utilizarán las consideraciones tratadas en los tres
primeros capítulos).
14.2.3.- Planificación de la Enseñanza
Propuestas y orientaciones;
Estudio de propuestas de planificación; síntesis de las orientaciones oficiales y los análisis anteriores
para establecer un esquema de planificación útil para el diseño de distintas partes del tema.
En particular, se tratará el esquema de secuenciación de tipos de tareas de Olmo, Moreno y Gil
(op. cit.).
González Marí, J. L.
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269
Tareas;
Aplicación de los cinco tipos de tareas del esquema metodológico. Ejemplos. Adaptación al caso
particular del tema.
Elaboración, por parte de los alumnos, de al menos una tarea nueva de cada tipo.
Utilización de organizadores;
Destacamos las ideas más importantes del tema anterior aplicadas al caso de la superficie y volumen:
- Estructurar el diseño del proceso de enseñanza aprendizaje de acuerdo con las fases de
aprendizaje descritas.
- En las fases de percepción y comparación, tener en cuenta las diferentes situaciones que se
pueden presentar en relación con el entorno particular así como el uso adecuado de la terminología;
siempre que sea posible, emplear algún tipo de juego; las actividades de comparación deben
graduarse en función de su dificultad y deben tenerse en cuenta los errores que se han indicado.
- En la planificación de la fase de medida mediante el empleo de unidades no convencionales
(incluidas las corporales) incluir algunos aspectos de caracter histórico así como actividades
sobre las unidades propias de la localidad; preveer la realización de prácticas de medida en los distintos
contextos y empleando la terminología apropiada.
- En la fase de medida con unidades del S.I. es conveniente contemplar los siguientes aspectos:
el carácter convencional del sistema, la necesidad del mismo, para lo que se pueden preparar
actividades que simulen la situación, y la dificultad de su elaboración. Presentar los diferentes sistemas
de medida y unidades y preveer la realización de prácticas de medida en una gran variadad
de situaciones y con distintos instrumentos.
- En la fase de aritmetización establecer una secuenciación de las actividades hasta llegar a
los problemas de enunciado verbal.
- En la fase de estimación, tener en cuenta la necesidad de la misma, las unidades de medida
y la realización de prácticas de acuerdo con los criterios establecidos.
Secuenciación y niveles;
El trabajo se desarrollará en el tercer ciclo, si bien se puede comenzar con algunos aspectos de
la percepción grosera y de la comparación en el segundo ciclo.
Diseño;
Esquema y organizadores. Ejemplo desarrollado por el profesor con la participación del grupo.
Diseño de una parte específica en pequeño grupo y puesta en común.
14.2.4.- Conexiones teoría-práctica
Resúmen de lo tratado en el apartado de análisis de le enseñanza y el aprendizaje del tema;
Elaboración de una relación de aspectos del tema que tienen interés para la observación, la aplicación
y la investigación en el aula;
Resúmen conjunto de recomendaciones para la intervención.
14.3.- METODOLOGÍA Y ACTIVIDADES
Reflexión/debate Inicial: concepciones iniciales
Se puede comenzar planteando interrogantes y proponiendo a los alumnos que den respuestas
concretas: ¿Qué sabes de la superficie y el volúmen?; ¿cómo lo has aprendido y cómo te lo han
enseñado?; ¿todas las superficies y volúmenes se pueden medir?; ¿de cuántas maneras diferentes
podemos representar un volúmen?; ¿qué diferencia crees que hay entre capacidad y volúmen?; ¿qué
es el volúmen?; etc.
Análisis Didáctico
Univer-
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270
Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
- Exposición del profesor y organización
Propuesta de trabajo y resúmen de los contenidos de esta parte (a ampliar en el punto siguiente).
La estructuración y desarrollo del tema puede seguir el orden establecido en la presentación de los
diferentes organizadores. Además, se han de tener en cuenta las siguientes consideraciones:
Los conceptos de superficie y el volumen son complejos y difíciles de enseñar/hacer aprender.
Es necesario mantener escrupulosamente las pautas y orientaciones mencionadas y estar atentos a
la evolución de los conocimientos y destrezas de los alumnos de Primaria, para lo que se ha de
plantear el trabajo procurando que los futuros maestros experimenten por sí mismos los aspectos
fundamentales del proceso. La construcción formal sólo es útil si aporta al futuro maestro algún
elemento para una mejor comprensión de los conceptos, lo que se puede encontrar en la equivalencia
y descomposición de figuras. En este sentido, el planteamiento seguido en el tema anterior para
las magnitudes lineales se puede repetir aquí, es decir, una aproximación intuitiva a los conceptos
de superficie y volúmen mediante ejemplos, una reflexión sobre las definiciones usuales y sobre la
necesidad de una definición matemática general y plantear los esquemas de las construcciones utilizando
el caso ya tratado de la longitud. Interesa resaltar el empleo de los polígonos para la superficie
y de los poliedros para el caso del volumen. Para la superficie, se ha de dedicar una atención
especial al rectángulo como generador de procedimientos para el cálculo
Es importante atender a la necesidad de la medición en sus vertientes de precisión, aproximación
y estimación. Las perspectivas histórica y fenoménológica pueden ser completadas mediante trabajos
sobre las unidades de medida antiguas y sobre los usos y modos de medida más frecuentes.
Las ideas expresadas en el tema anterior en relación a los cambios de unidades de medida y a la
estimación pueden ser aplicadas al caso del área y del volúmen, con la particularidad de que en este
caso la medición directa sólo es posible en situaciones escasas y señaladas. Esto significa que el
procedimiento usual de medida mediante la aplicación de fórmulas, debe ser completado con otros
procedimientos que utilicen la descomposición y recomposición a partir de elementos más simples,
es decir, en el caso de la superficie, con la práctica de medidas directas mediante el recubrimiento o
indirectas mediante la longitud. No olvidemos que es frecuente asociar las medidas a meras fórmulas
de aplicación, lo que se puede corregir mediante la medición directa con materiales que recubren
el plano, mallas, etc.(Olmo, Moreno y Gil, 1989).
Por último, la estimación debe desarrollarse desde dos perpectivas: la de la comparación con
cantidades de la misma magnitud mediante el empleo de cantidades de referencia y mediante la
estimación en cálculo con el uso de fórmulas (Segovia, Castro, Castro y Rico, 1989).
- Documentación: lectura/reflexión/debate sobre una selección de los documentos y partes
de los mismos que se indican en el apartado de análisis didáctico.
- Laboratorio de Matemáticas (experiencias personales directas)
- resolución de problemas;
Utilizando la definición clasica de metro estimar la superfie y el volumen de la Tierra (Segovia,
Castro, Castro y Rico, 1989). Descomponer distintas figuras planas en rectángulos y determinar
sus áreas. Aproximar el área de figuras irregulares mediante mallas cuadriculadas. Inducir la fórmula
del teorema de Pick (área en función del número de puntos encerrados) a partir de figuras construidas
sobre una malla o un geoplano. Determinar del volumen que genera una figura cuando gira
sobre un determinado eje. Estudiar cómo varía el área de un rectángulo o las relaciones entre área
y perímetro constituyen también situaciones generadoras de problemas interesantes.
- material didáctico, representaciones y modelos;
Se les propone a los alumnos cuestiones y problemas a su nivel con el material didáctico y los
modelos específicos. Ejemplo: ¿Qué poliedros regulares empaquetan el espacio?; formar cubos con
González Marí, J. L.
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271
todas las piezas del soma.
- fenomenología
Se realizarán actividades relacionadas con las situaciones, fenómenos y contextos tratados en el
apartado correspondiente de los contenidos. Por ejemplo, un estudio elemental sobre la pavimentación
de las calles cercanas y los modelos de polígonos que se utilizan.
- juegos y pasatiempos;
Se utilizarán las mismas actividades de este tipo que se recomiendan para el aula de Primaria así
como algunas variantes adaptadas al nivel de los estudiantes.
Aprendizaje y Enseñanza: Análisis
- Exposición del Profesor y organización.
Se realizará una síntesis sobre lo tratado en el apartado.
- Resolución de problemas
Análisis sobre la dificultad de los distintos tipos de problemas.
Reflexión sobre el papel de la resolución de problemas en la enseñanza del tema.
- Documentación: lectura/reflexión/debate sobre una selección de los documentos y partes
de los mismos que se indican en el apartado de análisis del aprendizaje y la enseñanza.
- Laboratorio de Didáctica de la Matemática (reflexión didáctica)
- organizadores y libros de texto;
Exámen de la incidencia de cada organizador en el tratamiento del tema en dos textos actuales
de editoriales diferentes.
- situaciones de enseñanza-aprendizaje;
Se utilizarán situaciones puntuales contadas, escritas o visionadas para realizar una reflexión
didáctica.
- análisis de problemas didácticos;
Ejemplo: Construir figuras de igual área y diferente perímetro. ¿Qué utilidad tiene esta actividad
en Primaria?. ¿A partir de qué nivel podemos esperar que la hagan bien?; etc.
Planificación
- Exposición del Profesor y organización.
Recapitulación de los aspectos clave del tema para la planificación de unidades y partes.
- Documentación: lectura/reflexión/debate sobre una selección de los documentos y partes
de los mismos que se indican en el apartado.
- Laboratorio de Didáctica de la Matemática (reflexión didáctica)
- Trabajo en grupo: diseño de una parte de la unidad
- Exposición y debate sobre uno de los trabajos
Conexión teoría-práctica
- Propuesta individual razonada sobre qué aspectos de la unidad sería necesario/conveniente:
observar, aplicar, investigar y cuáles habría que tener en cuenta en una intervención
y cómo habría que hacerlo (se puede tomar como referencia el mismo diseño realizado en el
apartado anterior);
- Puesta en común (todo el grupo) y conclusiones.
Reflexión/debate final: evaluación conjunta y autoevaluación
14.4.- MATERIALES Y RECURSOS
Documentación indicada en los apartados anteriores
guiones de trabajo y documentos elaborados por el profesor
análisis didáctico: bibliografía recomendada.
Univer-
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sidad de Málaga

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Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
análisis de la enseñanza y el aprendizaje: cuadernos, controles y producciones de los alumnos
de Primaria en torno al tema.
planificación: documentos curriculares; programaciones.
Materiales didácticos: los materiales escolares indicados a lo largo del tema
Libros de texto de varias editoriales
Videograbaciones: situaciones videofilmadas de enseñanza y aprendizaje sobre aspectos puntuales
del tema.
14.5.- BIBLIOGRAFÍA
Campbell, N. R. (1921).- Medición. En Newman, J. (1956).- El mundo de las matemáticas. 6 tomos.
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TEMA 15.- PROPORCIONALIDAD
González Marí, J. L.
Proyecto Docente

Didáctica de la Matemática y Prácticas de Enseñanza en Matemáticas en Educación Primaria
273
15.1.- INTRODUCCIÓN
El razonamiento proporcional es un instrumento intelectual usado, normalmente con éxito, en
contextos y situaciones sencillas relacionadas con las escalas, los cambios de moneda, los índices y
porcentajes, etc.. Sin embargo, el esquema operativo de la proporcionalidad, que exige el conocimiento
de la igualdad de dos razones y una estrategia compensatoria entre sus términos, es difícil y
no se completa hasta la etapa de las operaciones formales, dándose el caso que muchos adultos no
llegan a dominarlo satisfactoriamente en toda su vida.
Para empezar, conviene recordar que el desarrollo didáctico más completo de este tema corresponde
a la enseñanza secundaria, a pesar de lo cual creemos que es posible iniciar las primeras fases
de dicho desarrollo en el último nivel de Primaria. Hemos de tener en cuenta las siguientes consideraciones:
en Primaria ya se tratan algunos aspectos de la proporcionalidad; es una de las estructuras
conceptuales más importantes de la matemática elemental; el razonamiento proporcional no
aparece por arte de magia, como un tema aislado y en el orden lógico que aquí proponemos, sino
que arranca en el propio corazón de la estructura multiplicativa y posee fuertes lazos con las nociones
geométricas elementales, en cuyo marco se dan numerosas manifestaciones intuitivas que
van a servir posteriormente para un tratamiento más profundo. Por estos motivos, y por que
además estamos convencidos de que los futuros maestros deben alcanzar una formación lo más
completa posible y no sólo restringida a los conocimientos que deben impartir, creemos que es
acertado dedicar una parte de la asignatura a estas cuestiones. Así lo hemos considerado con los
números enteros y racionales o con el concepto de volúmen, por ejemplo, y así lo vamos a considerar
con la proporcioanlidad, cuyo tratamiento en la asignatura va a servir para que los futuros maestros
adquieran una visión completa del tema, tanto en contextos numéricos como geométricos,
así como para que tomen las referencias necesarias acerca de los conocimientos, capacidades y
destrezas que se han de trabajar formalmente en los niveles inmediatamente siguientes a aquéllos en
los que tienen que realizar su labor docente.
En este tema se pretende hacer partícipe al alumno de Magisterio sobre la importancia de la proporcionalidad
en tres frentes (Almató y otros, 1986):
1) Como instrumento de trabajo científico: velocidad, densidad, etc.
2) Como desarrollo de la inteligencia: la epistemología genética lo considera como uno de
los esquemas fundamentales en el desarrollo del pensamiento.
3) Como estructura conceptual que unifica y relaciona gran diversidad de nociones básicas.
15.2.- CONTENIDOS
15.2.1.- Análisis didáctico
Ubicación en el Currículo de Primaria. Orientaciones oficiales;
En el decreto de mínimos del MEC (1989) no aparece la proporcionalidad en ninguno de los
bloques de contenidos; sin embargo, se dan indicaciones en los bloques de geometría y de organización
de la información sobre la representación elemental del espacio (planos, mapas y maquetas),
la representación gráfica y las tablas de datos.
En el decreto de la Consejería de la Junta de Andalucía, el tema aparece relacionado con el bloque
de Números y, en particular, con las fracciones y decimales, en donde se hace referencia a los
porcentajes y se indica que “se abordará la fracción como relación numérica, aproximándose, tras
detectar regularidades en las distintas relaciones, a nociones de proporcionalidad: doble, triple,
cuádruple, mitad, tercio,...”.
Conceptos, procedimientos y actitudes;
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274
Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
- Conceptos: Preconceptos relacionados con la proporcionalidad (multiplicación, escalas, movimiento-velocidad,
densidad, tanto por ciento, geometría, medida). Relación entre dos magnitudes:
igualdad, razón. Función lineal. Proporcionalidad directa entre dos magnitudes. Constante de proporcionalidad.
Razón. Propiedades. Porcentaje. Proporcionalidad entre segmentos. Teorema de
Thales. Sección áurea. Teorema de Pitágoras. Escalas.
- Procedimientos: Reconocimiento de la proporcionalidad directa entre magnitudes. Cambio de
sistema de representación. Medida indirecta de magnitudes; regla de tres. Porcentajes. Repartos
proporcionales. División de un segmento en partes iguales. Resolución de triángulos en posición de
Thales. Resolución de triángulos rectángulos. Representaciones a escala.
- Actitudes: Valoración de la utilidad de la proporcionalidad, curiosidad por descubrir regularidades
numéricas y métricas y predisposición a utilizarlas para múltiples propósitos, sensibilidad y
gusto por la resolución de problemas relacionados con la proporcionalidad numérica y geométrica,
interés y perseverancia en el estudio de la relatividad de cantidades, magnitudes y medidas, curiosidad
e interés en la resolución de problemas clásicos y apreciación por la elegancia de sus soluciones,
disposición favorable a investigar sobre las aplicaciones de la proporcionalidad.
Consideraciones históricas;
El concepto de proporción es conocido desde la antiguedad asociado a la necesidad de precisar
cuantitativamente la idea de semejanza. Hay ya referencias sobre la proporción en el papiro Rhind,
en los textos matemáticos de Babilonia, en los documentos de la antigua China, de la India (Lilavati),
de Grecia, del mundo árabe, de Europa a finales de la Edad Media y del Renacimiento. Quizás
sea el matemático y filósofo Thales de Mileto (640 a de C.), con su conocido teorema que aún es
de utilidad hoy día, la personalidad que puede destacarse en relación con esta noción. A este matemático
se le atribuyen también las soluciones de ciertos problemas como la forma de medir la
altura de las pirámides o la distancia a la que se encontraban los barcos de la costa.
Por otra parte, la idea de razón es expuesta por Euclides en el libro V de Los Elementos, en el
que se expone una definición, en la que no se utilizan los números racionales e irracionales ni la
noción geométrica de semejanza (Boyer, 1986), que ha perdurado hasta el siglo XIX. De la época
griega, proceden también el interés acentuado por los estudios sobre el valor numérico de pi (Arquímedes
(237-218 a. de C.) y sobre la astronomía y las medidas y cálculos numéricos sobre la
naturaleza, como por ejemplo el cálculo del diámetro de la tierra y de la distancia de la tierra al sol
y a la luna (Fiol y Fortuny, 1990) (Grupo Beta, 1997).
Ya en el Renacimiento, es de destacar a Luca Pacioli y su libro La Divina Proporción, en el que
se recoge la teoría de las proporciones de Euclides y se ejemplifica la utilización de la Sección
Áurea y el Número de Oro en arquitectura, en la pintura y en la naturaleza, como por ejemplo en
las relaciones entre las partes del cuerpo humano. De esta misma época, son los estudios de consolidación
en astronomía iniciados por los chinos y los griegos. La época más reciente se caracteriza
por el empleo de nuevos conceptos y herramientas matemáticas, como las cortaduras de Dedekind
o la moderna teoría de funciones y de la medida para terminar de formular y justificar matemáticamente
las aproximaciones anteriores.
Fenomenología y aplicaciones;
Fiol y Fortuny (1990) hacen una clasificación de las situaciones en las que se emplea la proporcionalidad:
- En el cálculo de medidas indirectas (medir la longitud de un arco de circunferencia en función
del ángulo; el cálculo de que relaciona diámetro y longitud de la circunferencia);
- En cálculo comercial (precio de los productos en función de la unidad; tanto por ciento;
re-partos proporcionales);
González Marí, J. L.
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Didáctica de la Matemática y Prácticas de Enseñanza en Matemáticas en Educación Primaria
275
- En el arte y arquitectura (divina proporción);
- En la ciencia, en relación con las constantes físicas (relación entre dos magnitudes; espacio-tiempo
en el movimiento uniforme; velocidad-tiempo en el movimiento uniformemente acelerado;
aceleración-fuerza, masa-volumen, etc.);
- En ciencias sociales (densidad de población, distribución de la población por edades, etc.);
- En cálculos numéricos aproximados en el macrocosmos y en el microcosmos (tamaño relativo
de los objetos con la distancia de observación, astronomía, medidas de organismos microscópicos,
etc.);
- En topografía, escalas, medidas en la naturaleza, etc.;
- En Matemáticas (duplicación del cubo, número de oro y una extensa relación de temas
que tienen un soporte importante en la proporcionalidad).
Coincidimos con Freudhental (1983) en que una de las principales motivaciones para la proporcionalidad
es averiguar medidas a las que no se puede acceder directamente, de manera que esta
puede ser una de las características de la mayor parte de los fenómenos para los que la proporcionalidad
sirve como elemento organizador. Por otra parte, para Puig (1997), la razón ha de describirse,
desde un punto de vista fenomenológico, en términos de relación de equivalencia que organiza
una propiedad intensiva y no una propiedad extensiva de objetos o conjuntos de objetos. Asímismo,
en la variedad de propiedades intensivas de objetos organizadas por la razón se puede establecer
una gran división: la razón como relación en una magnitud o como relación entre magnitudes.
En cuanto a la terminología asociada, Fiol y Fortuny desarrollan ampliamente esta cuestión:
proporción, razón, relación, desproporción son los términos más usuales en el lenguaje cotidiano;
el significado de proporción puede ir desde uno muy próximo al concepto matemático a otro muy
alejado, como ocurre por ejemplo cuando se habla de “un incendio de enormes proporciones”. Puig
destaca asímismo el término “relativamente” como objeto mental precursor de los objetos mentales
razón y proporción.
Como ya hemos indicado anteriormente, la fenomenología matemática es extensa. Fiol y Fortuny
proporcionan el siguiente listado de nociones relacionadas: Razón y proporción; Fracción y
número racional; Números decimales y problemas de medida; Cambio de unidades, Cambio de escala;
Problemas de repartos proporcionales; Problemas de “regla de tres”; Porcentajes; Probabilidad;
Gráficos y funciones lineales; Teorema de Thales; Semejanza de figuras; Mezclas y aleaciones;
Escalas, mapas y maquetas; Funciones trigonométricas; El número .
Cognición. Errores, dificultades y obstáculos;
Piaget sitúa la edad en la que el niño puede hacer un uso correcto de la proporcionalidad en el
período entre los 11 y los 14 años; en torno a los 11 años termina el período de las operaciones
concretas y comienza el de las operaciones formales, que culminará a partir de los 14 años. De
acuerdo con Piaget, el niño no puede construir la proporción como relación entre relaciones en el
estadio de las operaciones concretas, lo que no quiere decir, como afirman Fiol y Fortuny (op. cit.),
que no puedan acceder gradualmente en dicho período a determinados aspectos concretos o previos
del concepto, como: comparar por diferencias, emplear fracciones y la igualdad de fracciones,
iniciar el uso de compensaciones multiplicativas, etc.
Las fases de la construcción de la proporcionalidad según los estudios de Piaget y sus colaboradores
son: emisión de respuestas en base al uso de una parte de los datos; relacionar datos de forma
cualitativa; utilizar relaciones aditivas (igualdad de diferencias); emplear estrategias aditivas que
varían según el tamaño de los números y emplear la proporcionalidad de forma correcta mediante
el uso de estrategias aditivas o multiplicativas. Siguiendo estos trabajos, Case (1989) sitúa en el
Univer-
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276
Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
subestadio cero (9-11 años) del estadio que denomina vectorial, el comienzo del desarrollo del
concepto de razón como “operación que juega un papel muy importante en el desarrollo del pensamiento
abstracto”, similar a la operación de contar en el desarrollo del pensamiento concreto.
En el subestadio uno, o de coordinación operacional del estadio vectorial (11-13 años), el niño
deja de considerar las dimensiones de primer orden para tomar decisiones empleando la equivalencia
de proporciones. En los casos en los que la comparación de razones sea más complicada, emplean
estrategias del subestadio anterior. Dicho subestadio uno se puede considerar como de transición
del pensamiento concreto al pensamiento abstracto, aunque limitado a problemas simples.
Por tanto, los comienzos del razonamiento proporcional pueden situarse al final de la enseñanza
primaria, si bien la proporcionalidad aritmética en la que intervienen números naturales aparece a
partir de la consolidación de la estructura multiplicativa. Por el contrario, la proporcionalidad con
números no naturales y la proporcionalidad geométrica en toda su extensión deben situarse ya en
los niveles de secundaria, pudiendo resultar contraproducente intentar adelantar estos aspectos de
un modo no adecuado. Así lo manifiestan (Fiol y Fortuny, p.113): “la precipitación de extender la
noción de proporcionalidad a casos nuevos, como puede ser la comparación de números no naturales,
.., favorece a la larga la realización de errores de cálculo”.
Entre los errores más frecuentes asociados al razonamiento proporcional se encuentran: el empleo
incorrecto de la regla “a más, más” o “a menos, menos” para detectar relaciones de proporcionalidad,
aplicación de la proporcionalidad a magnitudes que no están relacionadas de manera proporcional
y el empleo de estrategias aditivas erróneas para resolver problemas de proporcionalidad
(Fiol, 1992).
Representaciones y modelos;
La relación de proporcionalidad puede expresarse mediante cuatro formas de representación diferentes
(Rico y otros, 1994):
a) Mediante un enunciado verbal
b) Mediante una tabla de valores
c) Mediante una gráfica
d) Mediante una expresión simbólica
En el caso de la proporcionalidad geométrica destaca más el sistema de representación gráfico y
menos el de la tabla de valores. Modelos de proporcionalidad se pueden encontrar en las ampliaciones
y reducciones, en el mundo de las proyecciones y las sombras, en las mediciones inaccesibles
directamente o, para la proporcionalidad aritmética, en los sistemas de poleas o de engranajes
de ruedas dentadas, en los que se da una relación de proporcionalidad entre el número de vueltas
de cada rueda con respecto a las demás. No obstante, al tratarse de conocimientos y relaciones que
se sitúan ya en un plano más abstracto que la mayoría de los conocimientos matemáticos que se
han expuesto en los temas anteriores, no tiene mucho sentido hablar de modelos concretos sino de
aplicaciones; las nociones de razón y proporción son en sí mismas objetos matemáticos que dan
sentido y organizan un número importante de fenómenos matemáticos.
Materiales y recursos;
Un listado de materiales para realizar actividades de proporcionalidad geométrica: regla graduada,
escuadra, cartabón, papel milimetrado, cinta métrica, pantógrafo, plomada o nivel, varilla de
madera de diferentes tamaños, transportador de ángulos, fotografías de estatuas y edificios, etc.
Materiales estructurados: prop, geoplanos, papel isométrico, juegos de construcciones geometricas,
mosaicos, policubos, etc.
Otros materiales: palillos de distinto tamaño, papel para plegado y recortado, etc.
En cuanto a los recursos, la fotografía, en general, puede resultar interesante para el tema (Co-
González Marí, J. L.
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277
riat, 1997) así como el contexto de los precios, descuentos, rebajas, etc..
15.2.2.- Enseñanza y aprendizaje (análisis)
Pautas, propuestas, orientaciones y resultados;
Fiol y Fortuny (op.cit.) presentan una gran cantidad de actividades organizadas en fichas de trabajo,
muchas de las cuales no son apropiadas para alumnos de primaria. Sin embargo, es posible
que muchas de ellas se puedan adaptar al currículo de Primaria. Veamos algunas de ellas:
- Construir cuadrados y triángulos con palillos de igual longitud para descubrir la relación
de proporcionalidad entre el número de palillos del lado y el perímetro.
- Proyectar sombras de varillas de diferentes longitudes para descubrir la relación de proporcionalidad
entre la longitud de las varillas y su proyección sobre una pantalla.
- Explorar distancias mediante una regla graduada en Mapas y planos.
- Explorar tamaños apropiados en el relato de Gulliver.
Otras propuestas y orientaciones: contraste y valoración en grupo.
Resolución de problemas
La resolución de problemas relacionados con el tema debe abarcar los distintos tipos que hemos
mencionado en otros temas y deben estar secuenciados de acuerdo con los conocimientos y el nivel
de los alumnos, es decir: problemas prácticos relacionados con experiencias geométricas relacionadas
con la proporcionalidad, problemas manipulativos con material, problemas lúdicos, sobre situaciones
familiares o personales, de exploración e investigación, sobre mediciones y cálculos y problemas
de enunciado verbal en los diferentes contextos. Como ejemplos de problemas prácticos del
primer tipo podemos considerar a los relacionados, por ejemplo, con la búsqueda/identificación de
situaciones de proporcionalidad en un contexto determinado, como puede ser el de las ampliaciones
y reducciones o de las escalas. Problemas sobre mezclas y preparación de recetas o sobre precios
y descuentos, por ejemplo, forman parte de las situaciones que hemos denominado fenomenológicas
socioculturales.
Observación de aprendizajes, producciones de los alumnos y prácticas educativas;
Observación y análisis de vídeos de entrevistas clínicas y análisis de tareas así como de alumnos
realizando actividades en el aula ordinaria (material didáctico, ejercicios en grupo, actividades específicas).
Exámen de cuadernos de trabajo.
Diagnóstico y evaluación: criterios, procedimientos y técnicas;
Los mismos recursos y actividades del apartado anterior se pueden utilizar para emitir juicios
razonados y su posterior discusión y valoración. Tareas y cuestionarios específicos para medir el
nivel de competencias (Fiol y Fortuny, op. cit., págs. 180 y sigtes.). Controles realizados en aulas
de Primaria.
Dificultades y problemas: identificación y tratamiento;
Aspectos particulares del tema en relación con los errores en matemáticas: naturaleza, orígen,
causas y posibles tratamientos (González, 1996) (Socas, 1997).
Respuestas erróneas de alumnos de Primaria en relación con el tema. Análisis de sus posibles
causas y determinación del tratamiento pertinente.
Libros de texto;
Análisis del tema según varias editoriales (se utilizarán las consideraciones tratadas en los tres
primeros capítulos).
15.2.3.- Planificación de la Enseñanza
Propuestas y orientaciones;
Estudio de propuestas de planificación; síntesis de las orientaciones oficiales y los análisis anteriores
para establecer un esquema de planificación útil para el diseño de distintas partes del tema.
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Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
Son de consideración aquí las propuestas, orientaciones y esquemas para el diseño que se han tratado
en otros temas de geometría y medida. A dichas consideraciones añadiremos aquí las propuestas
y esquemas de trabajo en el aula del grupo Beta (op. cit., cap. 4) y de Fiol y Fortuny (op. cit.,
ágs. 121 y sigtes.).
Tareas;
Aplicación de los cinco tipos de tareas del esquema metodológico. Ejemplos.
Elaboración, por parte de los alumnos, de al menos una tarea nueva de cada tipo.
Utilización de organizadores;
En este punto se han de hacer indicaciones sobre la situación y las orientaciones para la planificación
de la enseñanza en relación con los distintos organizadores, propuestas y tipos de tareas. En
este sentido, hemos de señalar lo siguiente:
El desarrollo de este tema en primaria se denominaría Introducción al razonamiento proporcional,
puesto que tendría su continuación en su mayor parte en los niveles de secundaria. El proceso
arrancaría tanto en el campo de la estructura multiplicativa y las fracciones como en el campo de la
geometría. En el primero de ellos, a partir de la multiplicación y la división de números naturales se
pueden presentar situaciones reales en las que el alumno de primaria trabajase con los sistemas de
representación verbal, tabular y gráfico. Se le pueden plantear cuestiones como las que suelen realizar
en el tercer ciclo sobre problemas de multiplicación y división, que se completarían con la elaboración
de tablas de proporcionalidad. Este tipo de situaciones se extenderían en este contexto
aritmético a situaciones familiares donde intervengan relaciones entre magnitudes tales como la
edad y el peso o los precios y rebajas, empleando los mismos sistemas de representación que en el
caso anterior.
En el contexto geométrico se pueden seguir las recomendaciones de Fiol y Fortuny y las que
presenta el grupo Beta (op. cit) sobre papel milimetrado o Gulliver.
Secuenciación y niveles;
Parece claro que el trabajo que se desarrolle debe iniciarse a partir de una cierta consolidación
de la multiplicación y las fracciones así como de las nociones geométricas elmentales, por lo que
debe situarse en el Tercer Ciclo de Primaria. Sin embargo hay una serie de actividades que propician
el aprendizaje de la proporcionalidad y que pueden practicarse desde los primeros niveles de
primaria y que son: describir, comparar, etc. En este sentido, al igual que en el resto de temas del
programa, se han de hacer recomendaciones para lo que entendemos que debe ser el trabajo preparatorio
previo, que debe consistir en fomentar el desarrollo de las capacidades y destrezas que son
básicas para el tema y que se pueden tratar desde los primeros momentos de la escolaridad.
Diseño;
Esquema y organizadores. Ejemplo desarrollado por el profesor con la participación del grupo.
Diseño de una parte específica en pequeño grupo y puesta en común.
15.2.4.- Conexiones teoría-práctica
Resúmen de lo tratado en el apartado de análisis de le enseñanza y el aprendizaje del tema;
Elaboración de una relación de aspectos del tema que tienen interés para la observación, la aplicación
y la investigación en el aula;
Resúmen conjunto de recomendaciones para la intervención.
15.3.- METODOLOGÍA Y ACTIVIDADES
Reflexión/debate Inicial: concepciones iniciales
Se puede iniciar el trabajo mediante una reflexión y posterior intercambio de opiniones y experiencias
sobre las nociones fundamentales implicadas, su enseñanza y aprendizaje. Asímismo, se
González Marí, J. L.
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279
propondrá la explicitación de usos cotidianos y otras utilidades de la razón, proporción, regla de
tres, medidas indirectas, etc.. Una exposición conjunta de los resultados elaborados por grupos,
conducirá a la presentación del tema y a la discusión sobre el procedimiento a seguir. El campo de
aplicación práctica de este tema es muy amplio y variado, por lo que es necesario solicitar o proponer
la colaboración de los alumnos para completar la información que se proporciona.
Análisis Didáctico
- Exposición del profesor y organización
Propuesta de trabajo y resúmen de los contenidos de esta parte (a ampliar en el punto siguiente).
Hemos de hacer aquí las siguientes observaciones:
El uso fundamental de la proporcionalidad está en la obtención de la medida de una cantidad,
discreta o continua, a partir del conocimiento de la medida de otra cantidad; identificada la relación
de proporcionalidad entre dos magnitudes, la resolución de las tareas y problemas se puede hacer
mediante el empleo de la conocida regla de tres. De igual manera, el teorema de Thales, proporciona
un método para la determinación de la longitud de un segmento cuando los segmentos se corresponden
con triángulos en posición de Thales; puede hacerse ver también que ambos procedimientos
tienen la misma estructura.
El concepto de proporcionalidad directa entre magnitudes se puede basar en el concepto de función
lineal (y = kx), sin necesidad de que haya que hacer uso del concepto de isomorfismo, si bien
el tratamiento más formal de la medida ya se debe haber abordado en los temas anteriores. El teorema
de Thales se puede presentar de forma experimental como una situación particular de proporcionalidad
con la longitud como magnitud. Del mismo modo, el teorema de Pitágoras se puede
abordar como forma de medida indirecta de longitudes y superficies asociadas a triángulos rectángulos
para pasar posteriormente a un trabajo manipulativo a partir del geoplano o utilizando la
trama cuadrada para construir simultáneamente ternas pitagóricas y los cuadrados correspondientes.
- Documentación: lectura/reflexión/debate sobre una selección de los documentos y partes
de los mismos que se indican en el apartado de análisis didáctico.
- Laboratorio de Matemáticas (experiencias personales directas)
- resolución de problemas;
El cálculo de distancias inaccesibles aplicando la proporcionalidad geométrica es una fuente de
problemas interesantes para los alumnos: anchura de un río, altura de una montaña o de un edificio
a partir de la sombra que proyecta, etc. En Grupo Beta (1990) y Rico (1985) se proponen gran
cantidad de problemas y actividades. Ejemplo:
Un avión de 12 metros de envergadura fué fotografiado desde el suelo en el momento de pasar
por la vertical. La cámara tiene 12 centímetros de profundidad. En la foto, el avión presentaba una
envergadura de 8 mm. ¿A qué altura volaba en el momento de ser fotografiado?.
- material didáctico, representaciones y modelos;
Se les propone a los alumnos cuestiones y problemas a su nivel con el material didáctico y los
modelos específicos. Ejemplo: utilizando papel milimetrado y papel normal, construye familias de
rectángulos semejantes a varios dados y encuentra la razón de semejanza en cada caso.
- fenomenología
Se realizarán actividades relacionadas con las situaciones, fenómenos y contextos tratados en el
apartado correspondiente de los contenidos. Ejemplo de tarea de investigación con el uso de la
documentación recomendada: ¿Cómo se puede medir de una manera aproximada el radio de la
tierra?.
- juegos y pasatiempos;
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Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
Se utilizarán las mismas actividades de este tipo que se recomiendan para el aula de Primaria así
como algunas variantes adaptadas al nivel de los estudiantes.
Aprendizaje y Enseñanza: Análisis
- Exposición del Profesor y organización
- Resolución de problemas
Análisis sobre la dificultad de los distintos tipos de problemas.
Reflexión sobre el papel de la resolución de problemas en la enseñanza del tema.
- Documentación: lectura/reflexión/debate sobre una selección de los documentos y partes
de los mismos que se indican en el apartado de análisis del aprendizaje y la enseñanza.
- Laboratorio de Didáctica de la Matemática (reflexión didáctica)
- organizadores y libros de texto;
Exámen de la incidencia de cada organizador en el tratamiento del tema en dos textos actuales
de editoriales diferentes.
- situaciones de enseñanza-aprendizaje;
Se utilizarán situaciones puntuales contadas, escritas o visionadas para realizar una reflexión
didáctica.
- análisis de problemas didácticos;
análisis de las diferentes tareas de exploración de preconceptos que propone Fiol y Fortuny (op.
cit., p. 180). Cualquiera de las trece tareas pueden ser útiles para plantear una tareas de análisis
didáctico. Por ejemplo la tarea 12, dice: A 4 de cada 10 alumnos de una clase les gusta el baloncesto.
Si en esta clase hay 8 aficionados a este deporte, ¿cuántos alumnos hay en total?. ¿Y si
hubiese 10?. Algunas de las cuestiones que pueden plantearse son:
- Qué posibles estrategias de solución cabe esperar de los alumnos?.
- Qué conocimientos matemáticos hay que emplear en los distintos procedimientos de resolución?.
- En qué nivel escolar se puede plantear esta tarea y qué objetivos puede cubrir?.
- Que variables didácticas de la tarea se pueden modificar para variar su complejidad?.
Planificación
- Exposición del Profesor y organización.
Recapitulación de los aspectos clave del tema para la planificación de unidades y partes.
- Documentación: lectura/reflexión/debate sobre una selección de los documentos y partes
de los mismos que se indican en el apartado.
- Laboratorio de Didáctica de la Matemática (reflexión didáctica)
- Trabajo en grupo: diseño de una parte de la unidad
- Exposición y debate sobre uno de los trabajos
Conexión teoría-práctica
- Propuesta individual razonada sobre qué aspectos de la unidad sería necesario/conveniente:
observar, aplicar, investigar y cuáles habría que tener en cuenta en una intervención
y cómo habría que hacerlo (se puede tomar como referencia el mismo diseño realizado en el
apartado anterior);
- Puesta en común (todo el grupo) y conclusiones.
Reflexión/debate final: evaluación conjunta y autoevaluación
15.4.- MATERIALES Y RECURSOS
Documentación indicada en los apartados anteriores
guiones de trabajo y documentos elaborados por el profesor
González Marí, J. L.
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análisis didáctico: bibliografía recomendada.
análisis de la enseñanza y el aprendizaje: cuadernos, controles y producciones de los alumnos
de Primaria en torno al tema.
planificación: documentos curriculares; programaciones.
Materiales didácticos: los materiales escolares indicados a lo largo del tema
Libros de texto de varias editoriales
Videograbaciones: situaciones videofilmadas de enseñanza y aprendizaje sobre aspectos puntuales
del tema.
15.5.- BIBLIOGRAFÍA
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Didáctica de la Matemática
sidad de Málaga

282
Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
TEMA 16.- PROBABILIDAD
16.1.- INTRODUCCIÓN
El azar y la probabilidad han sido durante mucho tiempo temas olvidados en el currículo de matemáticas
de los niveles elementales de la enseñanza obligatoria, cuando se refieren a fenómenos
cotidianos en los que la estimación juega un papel importante y en los que se han de tomar decisiones
de las que dependen aspectos importantes del futuro de las personas. No sólo es importante
por su relación con los juegos de azar, sino porque el concepto de probabilidad es fundamental
para la introducción de elementos y criterios de racionalidad en relación con los fenómenos relacionados
con el azar y con la predicción, tan habituales en la sociedad actual. Su incorporación al
currículo de Primaria es reciente y es también “probable” que los futuros maestros no hayan tratado
el tema con el suficiente detenimiento para asegurar que no es necesario partir prácticamente de
cero en el tema que presentamos.
16.2.- CONTENIDOS
16.2.1.- Análisis didáctico
Ubicación en el Currículo de Primaria. Orientaciones oficiales;
En el Decreto del MEC, la probabilidad aparece en el bloque número 4 titulado “Organización
de la Información”, con respecto a la que se hace alusión en los siguientes términos: “Expresión
sencilla del grado de probabilidad de un suceso experimentado por el alumno”.
En el Decreto de la Junta de Andalucía, encontramos referencias a la probabilidad dentro del
bloque “Operaciones”, en el que se dice: “En casos sencillos se pondrá a los alumnos en situaciones
de exploración de las nociones de casualidad, pretendiendo el descubrimiento del carácter aleatorio
de algunas experiencias y la representación sencilla del grado de probabilidad de un suceso experimentado”.
Conceptos, procedimientos y actitudes;
- Conceptos: Fenómenos deterministas y aleatorios. Experimento y suceso aleatorio. Suceso seguro
y suceso imposible. Espacio muestral. Frecuencia absoluta y relativa de un suceso. Noción de
probabilidad. Probabilidad subjetiva. Sucesos elementales equiprobables: regla de Laplace. Dependencia
e independencia de sucesos. Probabilidad condicional
- Procedimientos: Diferenciar experimentos aleatorios de los deterministas. Simular experimentos
aleatorios. Cálculo de probabilidades. Asignación de probabilidades a sucesos aleatorios.
Asignación de probabilidades en el caso de sucesos elementales equiprobables. Estimación a partir
de las frecuencias relativas. Asignación subjetiva de probabilidad.
- Actitudes: Valoración de las matemáticas para predecir resultados inciertos; disposición favorable
a la utilización de informaciones probabilísticas para la toma de decisiones; sentido crítico
ante la toma de decisiones sobre fenómenos aleatorios; curiosidad e interés por indagar fenómenos
aleatorios; disposición favorable y crítica ante informaciones basadas en la probabilidad.
Consideraciones históricas;
El cálculo de probabilidades está ligado históricamente a los juegos de azar, aunque su desarrollo
sistemático no se lleva a cabo hasta el siglo XVI, al parecer por prejuicios y problemas relacionados
con la religión y la adivinación. La Taba o Astrágalo es un hueso con el que se han realizado
juegos de azar desde hace 40.000 años. El dado, o cubo con números en sus caras, se conoce desde
hace unos 3000 años a. de C., mientras que el juego de cartas data del siglo XV.
González Marí, J. L.
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283
Se le atribuye a Cardano (1526) el primer documento escrito sobre teoría de la probabilidad. En
su libro de los juegos de azar se expone un razonamiento sobre la equiprobabilidad de las distintas
caras del dado. Algunos investigadores, sin embargo, atribuyen a Pascal y Fermat (1654) la iniciación
de la teoría a través de la correspondencia que mantenían para la discusión sobre los problemas
planteados por el caballero de Mère sobre los juegos de azar.
Otros autores con importancia en el desarrollo de los conocimientos sobre probabilidad son:
Bernouilli (1654-1705), con su obra “Ars conjectandi”, De Moivre (1667-1754), Bayes (1702-
1761) y Laplace, con su tratado “Théorie analytique des probabilités” (1812).
En Díaz, Batanero y Cañizares (1987) y en Azcárate (1995) hay sendos resúmenes del desarrollo
histórico además de información bibliográfica suficiente para esta parte. En Newman (tomo 3,
1956) se incluyen seis capítulos de carácter histórico con textos elaborados por autores tan sugerentes
como Laplace y Poincaré. En Boyer (1986) puede hacerse una revisión histórica, ampliamente
comentada, de la probabilidad.
Fenomenología y aplicaciones;
Batanero y Díaz (1996) clasifican en cuatro grupos o dominios los fenómenos y situaciones reales
relacionadas con sucesos de carácter aleatorio:
- El mundo de la biología: con los fenómenos de predicción de sexo, color de pelo, cociente intelectual,
posibilidad de contagio de enfermedades, etc.
- El mundo físico: fenómenos meteorológicos, errores en la medida de magnitudes, etc.
- El mundo social: juegos de azar como la lotería, bingo, bolsa, fenómenos de tráfico, preferencias
comerciales, etc.
- El mundo político: índice de precios, encuestas, tasas de población, emigración, demografía,
etc.
Pero el campo de aplicaciones de la probabilidad no queda limitado a estos cuatro dominios. El
aparato conceptual de la probabilidad se aplica con éxito creciente a la casi totalidad de las disciplinas
del conocimiento.
En cuanto a terminología asociada a los fenómenos de azar, son de uso cotidiano los siguientes
términos: casual, probable, casualidad, accidental, eventual, fortuito, impensado, seguro, excepcional,
etc.
Cognición. Errores, dificultades y obstáculos;
Díaz y otros (op.cit.), siguiendo a Fischbein (1975), incluyen un resúmen de los principales resultados
encontrados acerca de la génesis de las nociones de azar y probabilidad, de los que citamos
a continuación algunos de ellos correspondientes al período de las operaciones concretas:
- El niño adquiere la capacidad de distinguir entre el azar y lo deducible; la representación del
azar, que en etapas anteriores es una intuición primaria, se convierte en esta etapa en una estructura
conceptual organizada.
- La intuición de la frecuencia relativa de sucesos mejora sustancialmente.
- Los niños pueden resolver problemas que impliquen comparación de probabilidades de un
mismo suceso en experimentos diferente en donde el número de casos favorables sea el mismo.
- Con ayuda de la instrucción emplean procedimientos enumerativos mediante el uso de diagramas
de árbol.
- La instrucción permite mejorar significativamente las respuestas de los niños; pueden llegar a
resolver tareas que no pueden ser reducidas a comparaciones binarias.
En cuanto a errores y dificultades Kahneman, Slovic y Tversky (1982) han identificado dos tipos
de estrategias erróneas:
- Representatividad, consistente en asignar probabilidad a un suceso basándose en la seme-
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Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
janza del mismo con la población de la cual se extrae o el parecido de éste con el proceso por medio
del cual se generan los resultados.
- Disponibilidad, consistente en predecir la posibilidad de ocurrencia de un suceso basada
en la mayor o menos facilidad con la que es posible recordar o construir ejemplos de ese suceso.
Otros errores y sesgos son (citados por Segovia (1997)):
- No considerar la información proporcionada por los experimentos aleatorios anteriores.
- Dependencia de modelos deterministas y sistemas de creencias arraigados.
Representaciones y modelos;
En el estudio de la probabilidad se utilizan varios tipos de representaciones: diagramas de árbol,
circuitos, figuras geométricas, etc.
La medida de la probabilidad de un suceso se suele expresar de varias formas:
- de manera verbal y cualitativa: “es seguro que va a llover”
- de forma verbal y cuantitativa: “se producen 3 casos de cada 1.000”
- mediante una tabla de frecuencias
- en forma de porcentaje: “las posibilidades son de un 68 por 100”
- en forma de fracción: “la probabilidad es 2/3”
- en forma decimal: “la probabilidad es 0,75”
El modelo que puede representar cualquier experimento aleatorio es una tabla de números aleatorios.
Este tipo de tablas pueden encontrarse en libros de texto o puede ser generada mediante la
calculadora científica o el ordenador.
Materiales y recursos;
Entre los materiales y recursos que pueden ser utilizados en el desarrollo del tema podemos citar
los siguientes:
- los juegos de azar: dados de varios tipos, monedas, fichas, bolas o cualquier tipo de objetos en
una urna, ruletas, cartas, etc.
- material estructurado: aparato para ejemplificar la distribución normal, máquina de Dalton, etc.
Díaz, Batanero y Cañizares (op.cit.) presentan una gran variedad de actividades en el capítulo
segundo del libro.
16.2.2.- Enseñanza y aprendizaje (análisis)
Pautas, propuestas, orientaciones y resultados;
En los Estándares curriculares del N.C.T.M. (1989) para los niveles de Primaria, se indica la necesidad
de incluir la exploración de la probabilidad en el mundo real para que los estudiantes sean
capaces de:
- elaborar modelos de situaciones diseñando y llevando a cabo experimentos o simulaciones
para estimar probabilidades;
- elaborar modelos de situaciones construyendo un espacio muestral para determinar probabilidades;
- apreciar las posibilidades de usar un modelo de probabilidad comparando los resultados
experimentales con soluciones matemáticas esperadas;
- realizar predicciones que se basen en probabilidades experimentales o teóricas;
- llegar a reconocer el uso constante que se hace de la probabilidad en el mundo real.
Otras propuestas y orientaciones: contraste y valoración en grupo.
Resolución de problemas
Observación de aprendizajes, producciones de los alumnos y prácticas educativas;
Observación y análisis de vídeos de entrevistas clínicas y análisis de tareas así como de alumnos
realizando actividades en el aula ordinaria (material didáctico, ejercicios en grupo, actividades es-
González Marí, J. L.
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pecíficas). Exámen de cuadernos de trabajo.
Diagnóstico y evaluación: criterios, procedimientos y técnicas;
Los mismos recursos y actividades del apartado anterior se pueden utilizar para emitir juicios
razonados y su posterior discusión y valoración. Tareas y cuestionarios específicos para medir el
nivel de competencias. Controles realizados en aulas de Primaria.
Dificultades y problemas: identificación y tratamiento;
Aspectos particulares del tema en relación con los errores en matemáticas: naturaleza, orígen,
causas y posibles tratamientos (González, 1996).
Respuestas erróneas de alumnos de Primaria en relación con el tema. Análisis de sus posibles
causas y determinación del tratamiento pertinente.
Para evitar los errores, Díaz y otros (op. cit.) recogen, entre otras, las siguientes recomendaciones
para la enseñanza: Introducir la probabilidad de modo experimental; confrontar las creencia
personales; sensibilizar a los estudiantes sobre los usos incorrectos de la probabilidad; dar oportunidad
de resolver problemas de carácter experimental.
Libros de texto;
Análisis del tema según varias editoriales (se utilizarán las consideraciones tratadas en los tres
primeros capítulos).
16.2.3.- Planificación de la Enseñanza
Propuestas y orientaciones;
Estudio de propuestas de planificación; síntesis de las orientaciones oficiales y los análisis anteriores
para establecer un esquema de planificación útil para el diseño de distintas partes del tema.
Tareas;
Aplicación de los cinco tipos de tareas del esquema metodológico. Ejemplos.
Elaboración, por parte de los alumnos, de al menos una tarea nueva de cada tipo.
Utilización de organizadores;
Incluímos aquí las siguientes orientaciones para la planificación de la enseñanza de la probabilidad
en Primaria:
- Partir de actividades basadas en la propia experiencia del niño; informarse previamente el
tipo de juegos de azar que son propios de la zona.
- Emplear el lenguaje apropiado en cada situación: más, menos, igualmente probable, imposible,
etc.
- Buscar la toma de conciencia de la imposibilidad de predecir con certeza el resultado de
un experimento aleatorio.
- Buscar la toma de conciencia de que el comportamiento del azar. presenta regularidades,
lo que permite hacer predicciones.
- Procurar la elección de las estrategias con mayor posibilidad de éxito (estrategias ganadoras).
- Representar la información de diferentes formas.
- Conectar las distintas fases y resultados de los juegos con otras situaciones de la vida real
así como con algún aspecto de carácter histórico.
- Fomentar la realización de conjeturas y su discusión.
- Recoger datos y asignar probabilidades en base a los datos; comparar con las conjeturas y
establecer conclusiones.
- Plantear y resolver problemas.
En Díaz Godino y otros (op.cit) se presentan diferentes actividades para todos los niveles de enseñanza
obligatoria además de diferentes propuestas didácticas; también en Glaymann y Varga
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Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
(1975) y en Grupo Cero (1996) hay una gran número de actividades que puede ser empleadas siguiendo
las orientaciones anteriores.
Secuenciación y niveles;
Algunas propuestas relegan la introducción de la probabilidad al último ciclo de primaria. Sin
embargo, es posible adelantar algunos aspectos elementales al segundo ciclo, tal y como recomienda
el Grupo Cero (1996). La propuesta de secuenciación, a discutir con los alumnos sería:
Segundo ciclo: juegos de azar, recuentos, distinguir situaciones deterministas y de azar, introducción
el lenguaje, comparar posibilidades y asignar probabilidades a sucesos sencillos;
Tercer ciclo: identificar sucesos equiprobables, asignar probabilidades a partir de frecuencias absolutas
y compararlas.
En Díaz y otros (op.cit.) se hace una propuesta de secuenciación para toda la enseñanza obligatoria.
Diseño;
Esquema y organizadores. Ejemplo desarrollado por el profesor con la participación del grupo.
Diseño de una parte específica en pequeño grupo y puesta en común.
16.2.4.- Conexiones teoría-práctica
Resúmen de lo tratado en el apartado de análisis de le enseñanza y el aprendizaje del tema;
Elaboración de una relación de aspectos del tema que tienen interés para la observación, la aplicación
y la investigación en el aula;
Resúmen conjunto de recomendaciones para la intervención.
16.3.- METODOLOGÍA Y ACTIVIDADES
Reflexión/debate Inicial: concepciones iniciales
Prueba inicial sobre aspectos elementales de la probabilidad (Díaz y otros, op. cit.).
La importancia de la probabilidad y de la toma de decisiones. Fenómenos y situaciones cotidianas
en las que intervienen
Análisis Didáctico
- Exposición del profesor y organización
Propuesta de trabajo y resúmen de los contenidos de esta parte (a ampliar en el punto siguiente).
Hacemos aquí las siguientes reflexiones:
Con el tema se trata de introducir elementos de racionalidad en el tratamiento de los fenómenos
de azar, siendo este el enfoque que debemos dar al tema. Comenzamos por distinguir experimentos
aleatorios de los que no lo son (deterministas) así como entre situaciones en las que se puede dar
un valor concreto y situaciones en las que sólo se puede hacer una aproximación, incluyendo aquí
la asignación subjetiva. En relación con las primeras, el proceso debe continuar con experiencias
concretas y la determinación de frecuencias, para finalizar con la regla de Laplace. Asímismo, para
la realización de algunos experimentos aleatorios se utilizarán Tablas de Números Aleatorios.
El desarrollo de cada sección del tema se puede acompañar de una colección de actividades que
un maestro podría proponer para la enseñanza de la probabilidad. Sobre ellas se analizan los objetivos
que se pretenden y las respuestas que se esperan. El estudio se puede iniciar con una actividad
relacionada con el pronóstico del tiempo, elecciones, esperanza de vida, accidentes u otros contextos
sobre los cuales apreciar las características de los fenómenos para los que son per-tinentes los
modelos y nociones probabilisticas que se van definiendo a medida que se avanza en el desarrollo
del tema.
En lo que se refiere a la combinatoria, como elemento imprescindible para la determinación de
sucesos complejos, utilizaremos los conocimientos que tienen los alumnos y procuraremos plantear
González Marí, J. L.
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287
situaciones que no requieran del empleo de métodos complicados.
- Documentación: lectura/reflexión/debate sobre una selección de los documentos y partes
de los mismos que se indican en el apartado de análisis didáctico.
- Laboratorio de Matemáticas (experiencias personales directas)
- resolución de problemas;
Díaz y otros (op.cit.) presentan una amplia colección de actividades útiles para los futuros maestros,
como por ejemplo:
¿Cómo se puede usar una tabla de números aleatorios para simular la extracción de bolas numeradas
del 1 al 100 de una bolsa?.
En Rico y otros (1994) se presenta una gran variedad de ejercicios y problemas que pueden ser
utilizados en esta parte.
- material didáctico, representaciones y modelos;
Se les propone a los alumnos cuestiones y problemas a su nivel con el material didáctico y los
modelos específicos, como por ejemplo: construir máquinas de Dalton y comprobar y discutir las
diferencias entre ellas (según la forma de colocar los clavos).
- fenomenología
Se realizarán actividades relacionadas con las situaciones, fenómenos y contextos tratados en el
apartado correspondiente de los contenidos. Por ejemplo: estudio sobre los juegos de azar actuales
(lotería, cupón de la once, primitiva, etc.).
- juegos y pasatiempos;
Se utilizarán las mismas actividades de este tipo que se recomiendan para el aula de Primaria así
como algunas variantes adaptadas al nivel de los estudiantes.
Aprendizaje y Enseñanza: Análisis
- Exposición del Profesor y organización
- Resolución de problemas
Análisis sobre la dificultad de los distintos tipos de problemas.
Reflexión sobre el papel de la resolución de problemas en la enseñanza del tema.
- Documentación: lectura/reflexión/debate sobre una selección de los documentos y partes
de los mismos que se indican en el apartado de análisis del aprendizaje y la enseñanza.
- Laboratorio de Didáctica de la Matemática (reflexión didáctica)
- organizadores y libros de texto;
Exámen de la incidencia de cada organizador en el tratamiento del tema en dos textos actuales
de editoriales diferentes.
- situaciones de enseñanza-aprendizaje;
Se utilizarán situaciones puntuales contadas, escritas o visionadas para realizar una reflexión
didáctica.
- análisis de problemas didácticos;
Cuestión planteada a un curso de Primaria: Imagina que estás jugando al parchís con un amigo.
Para poder comenzar a mover ficha es preciso obtener un cinco, pero tu amigo prefiere que se le
exija obtener un tres, porque piensa que de este modo tiene ventaja. ¿Tú que opinas? ¿Puedes dejarle
que comience a mover ficha cuando le salga el 3, o es preciso que los dos juguéis a obtener el
mismo número? (Segovia, 1997).
a) Qué objetivos se pretenden con esta actividad
b) Qué esperas que conteste el niño.
c) Como se pueden encauzar las respuestas de los niños en orden a conseguir los objetivos
propuestos.
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Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
Planificación
- Exposición del Profesor y organización
- Documentación: lectura/reflexión/debate sobre una selección de los documentos y partes
de los mismos que se indican en el apartado.
- Laboratorio de Didáctica de la Matemática (reflexión didáctica)
- Trabajo en grupo: diseño de una parte de la unidad
- Exposición y debate sobre uno de los trabajos
Conexión teoría-práctica
- Propuesta individual razonada sobre qué aspectos de la unidad sería necesario/conveniente:
observar, aplicar, investigar y cuáles habría que tener en cuenta en una intervención
y cómo habría que hacerlo (se puede tomar como referencia el mismo diseño realizado en el
apartado anterior);
- Puesta en común (todo el grupo) y conclusiones.
Reflexión/debate final: evaluación conjunta y autoevaluación
16.4.- MATERIALES Y RECURSOS
Documentación indicada en los apartados anteriores
guiones de trabajo y documentos elaborados por el profesor
análisis didáctico: bibliografía recomendada.
análisis de la enseñanza y el aprendizaje: cuadernos, controles y producciones de los alumnos
de Primaria en torno al tema.
planificación: documentos curriculares; programaciones.
Materiales didácticos: los materiales escolares indicados a lo largo del tema
Libros de texto de varias editoriales
Videograbaciones: situaciones videofilmadas de enseñanza y aprendizaje sobre aspectos puntuales
del tema.
16.5.- BIBLIOGRAFÍA
Azcárate, P. (1995). El conocimiento profesional de los profesores sobre las nociones de aleatoriedad
y probabilidad. Su estudio en el caso de la Educación Primaria. Tesis Doctoral.
Universidad de Cádiz.
Batanero, C. y Serrano, L. (1995). La aleatoriedad, sus significados e implicaciones educativas.
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Grupo Cero (1996). Matemáticas. Materiales Curriculares para la Educación Primaria (Tomos I,
II, III y IV). MEC y Edelvides.
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Thales. Sevilla.
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Didáctica de la Matemática y Prácticas de Enseñanza en Matemáticas en Educación Primaria
289
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Penalva, M.C. y otros (1994). Matemáticas en Primaria. Guía curricular. Universidad de Alicante.
Rico, L. y otros (1994). Matemáticas. ESO 3º. Proyecto 2000. Algaida. Sevilla.
Segovia, I. (1997).- Proyecto Docente. Departamento de Didáctica de la Matemática. U. Granada.
TEMA 17.- ESTADÍSTICA
17.1.- INTRODUCCIÓN
Al igual que ocurre con el tema anterior, la estadística está teniendo un enorme desarrollo en
todos los ámbitos relacionados con la economía, el comercio, la política o la ciencia y el conocimiento
en general, fundamentado en su utilidad y favorecido por el empleo generalizado de la informática.
Sin embargo, su papel dentro de la enseñanza obligatoria no ha tenido especial relevancia
hasta el momento, cuando, además de su utilidad fuera de toda duda, la selección, organización
y representación de datos cuantitativos constituye un recurso muy utilizado en las propuestas para
el desarrollo en el aula de muchos de los temas de este programa. Valgan como ejemplos los trabajos
de tipo inductivo para encontrar regularidades o las numerosas experiencias que se recomiendan
y en las que juega un papel importante la simulación, las aproximaciones y pruebas en distintos
casos y la anotación de resultados.
La incorporación de este tema en el programa que presentamos, cuya inclusión aquí no obedece
a ningún motivo especial ya que se podría incluir a continuación del bloque numérico, tiene como
objetivo completar el aspecto que hemos comentado sobre el análisis y representación de datos así
como poner de manifiesto la importancia que tiene la estadística en la sociedad actual y la necesidad
de que sea contemplada en todo currículo orientado a proporcionar una formación matemática
básica. La mera necesidad que existe hoy día de interpretar gráficas y datos estadísticos, es decir,
de estar bien informados, es motivo más que suficiente para justificar su inclusión en el currículo.
17.2.- CONTENIDOS
17.2.1.- Análisis didáctico
Ubicación en el Currículo de Primaria. Orientaciones oficiales;
En el Decreto del MEC, el tema está contemplado en el bloque específico titulado “Organización
de la Información”.
En el Decreto de la Junta de Andalucía, el tema no está asignado a ningún bloque en particular.
En ambos Decretos, el objetivo general número 6 dice:
“Utilizar técnicas elementales de recogida de datos para obtener información sobre fenómenos y
situaciones de su entorno, representarla de forma gráfica y numérica y formarse un juicio sobre la
misma”. Asímismo, los conceptos y procedimientos se centran en la interpretación de gráficas y en
la representación de fenómenos relacionados con el entorno del alumno.
Conceptos, procedimientos y actitudes;
- Conceptos: Población, muestra, individuo, carácter; variable estadística; frecuencias, tabla de
frecuencias; gráficos estadísticos; tipos de gráficos; medidas de tendencia central: media, moda y
mediana; medidas de dispersión: recorrido, desviación típica y varianza. Distribución normal.
Aproximación elemental a la correlación y regresión.
- Procedimientos: Recogida y registro de datos. Interpretación y elaboración de tablas de frecuencias.
Interpretación y elaboración de gráficas estadísticas. Interpretación y obtención de me-
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Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
didas de tendencia central y dispersión. Interpretación de la curva normal. Manejo de la calculadora
en el cálculo de parámetros estadísticos.
- Actitudes: Disposición favorable para la interpretación y producción de gráficas; tendencia a
explorar representaciones gráficas de datos y a no emitir juicios precipitados; apreciación de la
utilidad de la organización y representación de datos; sensibilidad por la precisión en el uso de las
técnicas elementales de recogida y análisis de datos; disposición favorable a condensar informaciones
por medio de los estadísticos elementales.
Consideraciones históricas;
La historia de la Estadística tiene sus antecedentes en los censos y encuestas y empieza a adquirir
cuerpo como tal ante las necesidades predictivas de las compañias de seguros. En Nortes
(1987), se destaca que hasta el siglo XVII las estadísticas que se conocían eran en realidad censos
de población que algunos datan de más de 2000 años a. de C. Según el autor, John Graunt (1620-
1674) se puede considerar como el precursor de la estadística pues a partir de datos demográficos
de las parroquias de Londres elaboró estudios que permitieron descubrir leyes generales. Una descripción
detallada de este trabajo, hecha por el propio John Graunt en el trabajo “Fundamentos de
las estadísticas de vida” y desarrollada por Edmund Halley en “Las primeras tablas de seguros de
vida”, pueden verse en Newman (v.3, 1956).
En el siglo XVIII el término estadística se asocia a “fenómenos que pueden favorecer o defender
la prosperidad del Estado”, época en la que se empezó a aplicar el concepto de probabilidad al
estudio de las poblaciones. Con ello, surgió la idea de curva normal, cuya primera descripción se
debió a de Moivre, y con la aparición de las primeras aportaciones de la teoría de la probabilidad
(Bernouilli, Lagrange, etc.), surgieron sus aplicaciones a las distribuciones matemáticas (Gauss,
Bernouilli, Poisson). Los científicos Bernouilli, Laplace, Gauss y Bessel desarrollan de manera conjunta
el Cálculo de Probabilidades y la Estadística. Una colección de trabajos originales pueden
verse en Newman (op.cit.); también en Bell (1985) puede verse algunas consideraciones adicionales
de carácter histórico.
Ya en los siglos XIX y XX la estadística adquirió un impulso importante gracias a su utilización
en otras ciencias. En este sentido, destacamos las siguientes aportaciones: Galton (1822-1911)
estudió la correlación y la regresión, Pearson (1857-1936) creó el área biométrica, Wiener (1894-
1964) creó la cibernética, etc.
Fenomenología y aplicaciones;
En nuestra opinión, hay dos grandes tipos de fenómenos para los que la estadística es un medio
de organización: fenómenos de descripción de información y fenómenos de predicción de comportamientos
o hechos por medio de la inferencia estadística. Ambos tipos de estudios a veces van
unidos, si bien es posible delimitarlos claramente en función de las finalidades y las herramientas
matemáticas que utilizan.
El campo de fenómenos, por tanto, es muy amplio, abarcando todas aquéllas situaciones en las
que hay una gran cantidad de elementos de los que se obtienen diferentes informaciones con el fin
de explicar su comportamiento, mejorar su control, regulación o rendimiento o predecir su comportamiento
futuro. Nortes (op.cit.) destaca los siguientes campos de aplicación:
En la Administración Pública: censos de población, datos agrícolas, ganaderos, precios, salarios,
etc. En Economía: Empresas, bancos, bolsa, etc. En Sociología: encuestas para conocer la realidad
social. En Psicología: investigación sobre el comportamiento de los individuos. En Ciencias de la
Salud: control de epidemias. En meteorología: predicción del tiempo. En industria y empresas:
control de calidad; etc.
La terminología asociada está constituida por una colección de términos no muy amplia: media,
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promedio, frecuencia, población, muestra, porcentaje, regresión, correlación, gráfico estadístico,
etc.
Cognición. Errores, dificultades y obstáculos;
Los errores sobre el tema están relacionados con la comprensión e interpretación de los gráficos,
de las medidas y de la correlación y regresión. En relación con los gráficos, las principales
dificultades aparecen ante los diferentes tipos de lectura de los datos, incluidas las interpretaciones
globales y las predicciones a partir de ellos, y ante la elección de una representación gráfica adecuada.
Un aspecto fundamental en este punto, consiste en la vigilancia de las proporcionalidades,
rangos, intervalos, valores de las variables y cortes de gráfica, que llevan a no pocos errores y distorsiones
de la información.
Con respecto a la comprensión de los aspectos conceptuales de la media y otras medidas de
tendencia central, Strauss y Bichler (1988) (citado en Batanero y Díaz (1993)), investigaron su
desarrollo evolutivo en alumnos de 8 a 12 años, obteniendo resultados que sugieren una mejora de
la comprensión con la edad y diferencias de dificultad en la comprensión de las propiedades. Por
otra parte, citados por los mismos autores, Rusell y Mokros (1991) pusieron de manifiesto que la
comprensión de “valor típico” o representativo asignado a la media requiere de tres tipos de capacidades:
la de entender la necesidad de emplear un valor central y elegir el más adecuado, la de
construir un conjunto de datos que tengan un promedio dado y la de comprender el efecto que un
cambio en los datos tiene sobre los promedios. Asímismo, estudiaron las concepciones de los
alumnos de 4 a 8 años, encontrando las cuatro categorías siguientes (la media es): el valor más
frecuente; el valor razonable; el punto medio; una fórmula de cálculo.
En relación a las medidas de dispersión, un error frecuente es el de ignorarlas, es decir, realizar
una interpretación a partir de la media y no tener en cuenta la dispersión. Al parecer, resulta difícil
realizar interpretaciones basadas en la consideración conjunta los dos tipos de medidas (centrales y
de dispersión).
Por último, la regresión y correlación llevan asociados los mismos errores y las mismas dificultades
del álgebra y de la noción de función.
Representaciones y modelos;
Los sistemas de representación usuales en Estadística Descriptiva, son de cuatro tipos: Verbal:
información escrita o hablada; tabular: los datos se presentan organizados mediante una tabla que
indica al menos los valores o modalidades de la variable y las frecuencias absolutas; gráfica: información
perceptible de manera visual que nos transmite rápidamente los valores más representativos
de la información; estadística: mediante los parámetros de la distribución; la información se presenta
con unos pocos datos que resumen la globalidad de la distribución; estos datos suelen representarse
mediante una simbolización específica.
Todos los sistemas anteriores reciben un apoyo importante en el ámbito de la informática, en el
que es posible operar y construir tablas y gráficos cada vez más precisos, completos y atractivos y
en el menor tiempo posible.
Materiales y recursos;
En cuanto a materiales y recursos, las encuestas elaboradas por los propios alumnos o la información
estadística de periódicos, revistas, publicaciones oficiales o de empresas, etc. constituyen
un material que cumple dos funciones, la de servir como forma de presentar y trabajar la estadística
y la de aproximar a los alumnos este aspecto particular y a veces desconocido de los medios
de comunicación habituales.
Modelos de cuestionarios de recogida de datos; papel milimetrado, calculadora, etc.
Las nuevas tecnologías, el ordenador especialmente, es un recurso que en todos los casos re-
Univer-
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sidad de Málaga

292
Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
sulta atractivo y motivante para el niño.
17.2.2.- Enseñanza y aprendizaje (análisis)
Pautas, propuestas, orientaciones y resultados;
En los Estándares Curriculares del NCTM la estadística tiene un tratamiento similar al de los
decretos del MEC y de la Junta de Andalucía; añaden, además, una alusión a la resolución de problemas:
“formular y resolver problemas que impliquen la recogida y análisis de datos”.
Otras propuestas y orientaciones: contraste y valoración en grupo.
Resolución de problemas
Los ejercicios y problemas de construcción de tablas, representación gráfica y cálculo de parámetros
estadísticos no suelen plantear dificultades. Es necesario insistir en los aspectos relacionados
con la interpretación de datos en forma de tabla o gráfico y con la elección de la representación
más adecuada a cada tipo de información; en este sentido, se recomendará el planteamiento de
problemas como los siguientes:
¿Qué se puede decir del resultado de un exámen, si la distribución de las puntuaciones de los
alumnos verifican lo siguiente?: La desviación típica es cero; el rango es grande, pero la desviación
típica es pequeña; el rango es pequeño, pero la desviación típica es grande; la media es 6 y la desviación
cero; la media es cinco y la desviación grande.
¿Qué tipo de gráfica utilizarías para representar los siguientes datos: edades de personas, longitudes
de cereal, producción de coches de una marca a lo largo de varios años?.
Observación de aprendizajes, producciones de los alumnos y prácticas educativas;
Observación y análisis de vídeos de entrevistas clínicas y análisis de tareas así como de alumnos
realizando actividades en el aula ordinaria (material didáctico, ejercicios en grupo, actividades específicas).
Exámen de cuadernos de trabajo.
Diagnóstico y evaluación: criterios, procedimientos y técnicas;
Los mismos recursos y actividades del apartado anterior se pueden utilizar para emitir juicios
razonados y su posterior discusión y valoración. Tareas y cuestionarios específicos para medir el
nivel de competencias. Controles realizados en aulas de Primaria.
Dificultades y problemas: identificación y tratamiento;
Aspectos particulares del tema en relación con los errores en matemáticas: naturaleza, orígen,
causas y posibles tratamientos (González, 1996).
Respuestas erróneas de alumnos de Primaria en relación con el tema. Análisis de sus posibles
causas y determinación del tratamiento pertinente.
Libros de texto;
Análisis del tema según varias editoriales (se utilizarán las consideraciones tratadas en los tres
primeros capítulos).
17.2.3.- Planificación de la Enseñanza
Propuestas y orientaciones;
Estudio de propuestas de planificación; síntesis de las orientaciones oficiales y los análisis anteriores
para establecer un esquema de planificación útil para el diseño de distintas partes del tema.
Tareas;
Aplicación de los cinco tipos de tareas del esquema metodológico. Ejemplos.
Elaboración, por parte de los alumnos, de al menos una tarea nueva de cada tipo.
Utilización de organizadores;
Como ejemplo del uso de una parte de los organizadores en la planificación de la enseñanza del
tema, se expone la propuesta metodológica que realiza Segovia (1997) y que se desarrolla en tres
sesiones:
González Marí, J. L.
Proyecto Docente

Didáctica de la Matemática y Prácticas de Enseñanza en Matemáticas en Educación Primaria
293
En la primera se habla de los medios de comunicación, de su importancia, del papel de la matemática
en los medios de comunicación y se concluye con la propuesta de determinar cuanto
tiempo dedican los alumnos de la clase a ver la TV así como cuáles son los programas que más
ven.
En la segunda sesión se elabora la encuesta con las sugerencias dadas por los alumnos; se debe
procurar que con las preguntas de la encuesta se obtenga información relativa al tiempo de visión
(media), tiempo que el mayor número de alumnos dedica a ver la TV (moda), tiempo mínimo y
tiempo máximo.
En la tercera sesión se recogen los datos de la encuesta, se elaboran tablas, se representan gráficamente,
se discuten las representaciones y se plantean preguntas y problemas relativos al tema
tratado.
Los temas de Estadística y Probabilidad deben estar integrados en la medida de lo posible; para
ello en las diferentes actividades que se propongan, algunas de las cuestiones deben referirse también
a la probabilidad; en la actividad anterior, las conjeturas previas expresadas en términos probabilísticos,
o las conjeturas en relación al total de la población de alumnos del colegio a partir de
los resultados de la encuesta son una forma de conexión.
Discusión sobre el papel de los organizadores utilizados en la propuesta así como sobre la inclusión
de aspectos relacionados con otros no utilizados, como puede ser la historia.
Secuenciación y niveles;
Una propuesta de secuenciación por ciclos del MEC para el bloque Organización de la Información
comienza con la lectura, representación y comprensión de tablas y gráficos sencillos en
el primer ciclo, iniciación de la media y la moda en el segundo ciclo y el cálculo de media y moda
en el tercer ciclo; el tratamiento de tablas y gráficos se va haciendo más complejo a medida que se
avanza en los ciclos.
Diseño;
Esquema y organizadores. Ejemplo desarrollado por el profesor con la participación del grupo.
Diseño de una parte específica en pequeño grupo y puesta en común.
17.2.4.- Conexiones teoría-práctica
Resúmen de lo tratado en el apartado de análisis de le enseñanza y el aprendizaje del tema;
Elaboración de una relación de aspectos del tema que tienen interés para la observación, la aplicación
y la investigación en el aula;
Resúmen conjunto de recomendaciones para la intervención.
17.3.- METODOLOGÍA Y ACTIVIDADES
Reflexión/debate Inicial: concepciones iniciales
Este tema lo desarrollamos partiendo de una encuesta previa que hacemos a los alumnos sobre
algunos datos familiares, es decir, aficiones, altura aproximada, color del pelo, edad, sexo, etc.
Disponer de una información global sobre el grupo es una actividad que nos va a permitir ir presentando
ejemplos de cada uno de los conceptos estadísticos necesarios para el desarrollo del tema.
Análisis Didáctico
- Exposición del profesor y organización
Propuesta de trabajo y resúmen de los contenidos de esta parte (a ampliar en el punto siguiente).
Debemos hacer las siguientes indicaciones para el desarrollo de este apartado:
Los conceptos y procedimientos corresponden a la estadística descriptiva, si bien se hará referencia
a la inferencia estadística en relación con el concepto de muestra. De esta manera, el futuro
maestro conocerá las dos utilidades básicas de la Estadística.
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294
Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
La recogida y registro de datos a través de una encuesta o de cualquier otro medio constituye
una actividad interesante cuyo proceso puede verse en Nortes (op.cit.).
La destreza en la lectura crítica de datos es una componente de la alfabetización cuantitativa y
una necesidad en nuestra sociedad tecnológica. En consecuencia, la interpretación e integración de
los datos así como la predicción / inferencia a partir de ellos, son dos de los aspectos sobre los que
se debe centrar el trabajo.
En cuanto a las medidas o estadísticos, el estudio se centrará en el análisis de la media como
medida de tendencia central y en la desviación típica como medida de dispersión, insistiéndose sobre
todo en los significados y aplicaciones de los conceptos.
Por último, la calculadora es una herramienta que el futuro maestro de Primaria debe ser capaz
de aplicar en el cálculo de los parámetros estadísticos. También debe conocer que el recurso más
potente para el cálculo estadístico y la representación gráfica es el ordenador.
- Documentación: lectura/reflexión/debate sobre una selección de los documentos y partes
de los mismos que se indican en el apartado de análisis didáctico.
- Laboratorio de Matemáticas (experiencias personales directas)
- resolución de problemas;
Un ejemplo de problema que puede plantearse es el siguiente (Segovia (op. cit): se propone un
mensaje escrito mediante símbolos desconocidos indicando a los alumnos que cada símbolo representa
una letra del alfabeto. Si los alumnos no descubren la forma de resolverlo, se les sugiere que
hagan una tabla con los diferentes signos y sus frecuencias correspondientes; también se les sugiere
que comparen estas frecuencias con las de un texto escrito en castellano.
- material didáctico, representaciones y modelos;
Se les propone a los alumnos cuestiones y problemas a su nivel con el material didáctico y los
modelos específicos.
- fenomenología
Se realizarán actividades relacionadas con las situaciones, fenómenos y contextos tratados en el
apartado correspondiente de los contenidos. Aquí, se puede proponer un trabajo sobre la estadística
en la prensa: situaciones, aplicaciones, tipos de gráficos y tablas, interpretaciones, etc.
- juegos y pasatiempos;
Se utilizarán las mismas actividades de este tipo que se recomiendan para el aula de Primaria así
como algunas variantes adaptadas al nivel de los estudiantes. Los juegos y paasatiempos pueden
estar relacionados con experimentos aleatorios y la formulación de la ley general que siguen en su
caso.
Aprendizaje y Enseñanza: Análisis
- Exposición del Profesor y organización
- Resolución de problemas
Análisis sobre la dificultad de los distintos tipos de problemas.
Reflexión sobre el papel de la resolución de problemas en la enseñanza del tema.
- Documentación: lectura/reflexión/debate sobre una selección de los documentos y partes
de los mismos que se indican en el apartado de análisis del aprendizaje y la enseñanza.
- Laboratorio de Didáctica de la Matemática (reflexión didáctica)
- organizadores y libros de texto;
Exámen de la incidencia de cada organizador en el tratamiento del tema en dos textos actuales
de editoriales diferentes.
- situaciones de enseñanza-aprendizaje;
Se utilizarán situaciones puntuales contadas, escritas o visionadas para realizar una reflexión
González Marí, J. L.
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Didáctica de la Matemática y Prácticas de Enseñanza en Matemáticas en Educación Primaria
295
didáctica.
- análisis de problemas didácticos;
Por ejemplo, se pide al alumno una reflexión didáctica sobre la siguiente actividad propuesta en
sexto curso de Primaria: “Es una opinión generalizada que el número de hijos que tienen las familias
españolas ha disminuido en los últimos años. ¿Crees que esto es cierto?. Para tener una opinión
más fecunda te proponemos que estudies lo que ocurre en tu familia y en las de tus compañeros de
colegio: compara el número de hijos que han tenido tus padres y los que tuvieron tus abuelos.”
(Grupo Cero, 1996). Preguntas:
a) ¿Qué contenidos están implicados en esta actividad?
b) ¿Qué objetivos?
c) ¿Qué dificultades puede encontrarse el alumno de primaria?
d) ¿Cómo debe ser el papel del profesor en el desarrollo de esta actividad?.
Planificación
- Exposición del Profesor y organización
- Documentación: lectura/reflexión/debate sobre una selección de los documentos y partes
de los mismos que se indican en el apartado.
- Laboratorio de Didáctica de la Matemática (reflexión didáctica)
- Trabajo en grupo: diseño de una parte de la unidad
- Exposición y debate sobre uno de los trabajos
Conexión teoría-práctica
- Propuesta individual razonada sobre qué aspectos de la unidad sería necesario/conveniente:
observar, aplicar, investigar y cuáles habría que tener en cuenta en una intervención
y cómo habría que hacerlo (se puede tomar como referencia el mismo diseño realizado en el
apartado anterior);
- Puesta en común (todo el grupo) y conclusiones.
Reflexión/debate final: evaluación conjunta y autoevaluación
17.4.- MATERIALES Y RECURSOS
Documentación indicada en los apartados anteriores
guiones de trabajo y documentos elaborados por el profesor
análisis didáctico: bibliografía recomendada.
análisis de la enseñanza y el aprendizaje: cuadernos, controles y producciones de los alumnos
de Primaria en torno al tema.
planificación: documentos curriculares; programaciones.
Materiales didácticos: los materiales escolares indicados a lo largo del tema
Libros de texto de varias editoriales
Videograbaciones: situaciones videofilmadas de enseñanza y aprendizaje sobre aspectos puntuales
del tema.
17.5.- BIBLIOGRAFÍA
Batanero, C.; Díaz, J.; Green, D.; Holmes, P.; Vallecillos, A. (1993). Errors and difficulties in understanding
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Nortes, A. (1987). Encuestas y precios. Síntesis. Madrid.
4.5 Seminarios de Prácticas de Enseñanza en Matemáticas
4.5.1 OBJETIVOS
Se pretende que los alumnos:
- Adquieran conocimientos profesionales sobre la naturaleza, factores y condiciones en las que
se producen los complejos y diversificados procesos de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas
en Educación Primaria así como sobre los modos didácticos de organizar los mismos;
- Desarrollen capacidades didácticas de intervención en los procesos de enseñanza-aprendizaje
de las matemáticas en Educación Primaria, tales como: observación y análisis, flexibilidad, descentración,
diseño, explicación, comunicación, experimentación, evaluación;
- Tomen conciencia de las limitaciones de sus concepciones y de la necesidad de la integración
en el pensamiento práctico de los conocimientos teóricos para detectar y subsanar las lagunas que
aparecen en sus actuaciones prácticas;
- Reconstruyan de forma adecuada el conocimiento vulgar adquirido a través de la propia experiencia
sobre las matemáticas, su enseñanza y aprendizaje;
- Elaboren un pensamiento pedagógico-matemático capaz de interpretar la diversidad y complejidad
de la realidad escolar en torno a las matemáticas y de orientar racionalmente la actuación
práctica en esta disciplina mediante el diseño y el desarrollo de acciones de enseñanza-aprendizaje
alternativas;
- Desarrollen actitudes positivas con respecto a las características propias del conocimiento matemático,
tales como: abstracción, prueba, invención y aplicación, así como a los valores que se
consideran educativos en matemáticas, como por ejemplo: comprensión, comunicación, iniciativa,
búsqueda, cooperación, indagación crítica, investigación;
- Desarrollen actitudes de comunicación y cooperación abiertas en torno a las tareas profesionales
propias de la planificación y desarrollo de las matemáticas escolares;
- Aprendan a concebir la enseñanza de las matemáticas como un proceso de investigación permanente
y adquieran la capacidad de analizar los problemas de la enseñanza de las matemáticas en
el marco escolar a partir de los problemas detectados y vividos;
4.5.2 CONTENIDOS
a.- Análisis y contraste de las preconcepciones pedagógicas en relación con la enseñanzaaprendizaje
de las matemáticas;
González Marí, J. L.
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297
b.- Tareas y conocimientos profesionales del maestro de Educación Primaria ante los procesos
de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas;
c.- Tipos de prácticas: características, elementos y preparación;
- prácticas de observación;
- prácticas de investigación / aplicación;
- prácticas de intervención;
d.- Análisis y contraste de las diferentes experiencias en los Colegios;
e.- Análisis y discusión de experiencias pedagógicas alternativas y ejemplares (presentadas a
través de diferentes medios y recursos: audiovisuales, lecturas, comunicación directa de profesores,
etc.), al objeto de comprobar la potencialidad de los distintos modelos;
f.- Análisis de intervenciones simuladas.
4.5.3 METODOLOGÍA Y ACTIVIDADES
a.- Nos basaremos en dos aspectos: experiencias que han adquirido los alumnos en sus contactos
con el aula de Primara y los trabajos de observación y de investigación/aplicación puntuales ya
realizados; experiencias y conocimientos adquiridos en el curso anterior en torno a la Didáctica de
la Matemática y materializados en los estudios, planificaciones, reflexiones sobre las relaciones
entre la teoría y la práctica así como las conclusiones desarrolladas en el curso anterior. Para ello,
se hará una recapitulación de lo realizado y una primera reflexión escrita que puede atender a cuestiones
como las siguientes:
- Con lo realizado hasta ahora en el período de formación específica, ¿estoy preparado para intervenir
autónomamente en una aula normal?;
- ¿En qué aspectos me puedo encontrar con dificultades?; ¿cuáles creo que son mis carencias
básicas de car al desarrollo de la profesión?;
- ¿Qué necesitaría aún para sentirme seguro ante un trabajo continuado en el aula de matemáticas?;
- ¿Sé distinguir entre limitaciones del conocimiento profesional disponible y carencias de mi
formación?; ¿donde están las diferencias?;
- De las tareas propias del docente en relación con la Educación Matemática, ¿en cuáles me
siento más seguro y en cuáles menos?;
b.- Conectando con el apartado anterior, en el momento oportuno, el profesor hará una exposición
del perfil del maestro como educador matemático y de sus principales funciones y tareas. Se
retomarán entonces algunas de las cuestiones anteriores para un análisis más profundo.
a y b.- Análisis de las respuestas y discusión en grupo.
c.- El profesor hará una exposición de los tipos de prácticas recordando las orientaciones realizadas
en el curso anterior y sintetizando las características de cada uno de ellos. Se considerarán de
nuevo las cuestiones iniciales en relación con las prácticas de intervención; en particular, se dedicará
especial atención a las tareas que se han de realizar en este tipo de prácticas, al problema de la
elección y adecuación del tema o tópicos, a los aspectos temporales, a la organización del trabajo,
etc.
A partir de aquí, los seminarios se dedicarán a los contenidos de los apartados d, e y f: En particular:
- A las experiencias alternativas (contadas, visionadas o discutidas con maestros en ejercicio);
- A las intervenciones simuladas que se puedan realizar;
- A la preparación de las observaciones y aplicaciones puntuales así como de al menos una
Univer-
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sidad de Málaga

298
Parte II.- Plan de formación Capítulo 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios
intervención autónoma, teniendo en cuenta las observaciones del maestro tutor y del profesor de la
asignatura.
- Al seguimiento del desarrollo de las intervenciones y al análisis y discusión en grupo de las
incidencias;
- Al análisis de las observaciones, investigaciones, aplicaciones e intervenciones puntuales
dirigidas por el maestro tutor dentro del desarrollo normal del trabajo en clase. Este análisis irá
acompañado en su caso de propuestas alternativas creadas por el alumno o por el grupo con la
ayuda del profesor.
- Al análisis de la práctica docente observada y desarrollada;
- A la valoración / evaluación de las intervenciones;
- A la elaboración de la Memoria de prácticas, consistente en:
- un proyecto docente que refleje los criterios personales sobre el modo de ordenar el proceso
de enseñanza-aprendizaje, los objetivos genéricos que se propone con su intervención, la etapa,
ciclo y materia a tratar, los valores, actitudes, contenidos, destrezas y comportamientos que se
quieren desarrollar, los principios metodológicos en los que prioritariamente se va a apoyar, la organización
que se va a establecer, en cuanto a los alumnos, actividades, espacio y tiempo así como
las determinaciones sobre la evaluación;
- un informe de las actuaciones junto a las reflexiones didácticas correspondientes relacionadas
con la intervención y con los seminarios desarrollados en la Facultad;
- el diseño y descripción del desarrollo de las unidades didácticas en las que haya intervenido;
- Otras intervenciones;
- Los procesos de investigación en la acción realizados;
- una reflexión y valoración personal del desarrollo del período de prácticas, del desarrollo de la
asignatura y de la preparación teórico-práctica recibida, incluyendo una autoevaluación razonada.
Opcionalmente, se podrán añadir otras cuestiones que los tutores estimen convenientes o las
circunstancias en cada caso así lo aconsejen.
4.5.4 MATERIALES Y RECURSOS
Documentación:
guiones de trabajo y documentos elaborados por el profesor;
extractos de los contenidos correspondientes incluídos en este Proyecto;
análisis didáctico: bibliografía recomendada para cada tópico en las unidades didácticas;
análisis de la enseñanza y el aprendizaje: cuadernos, controles y producciones de los alumnos
de Primaria en torno al tema, utiizados en el curso anterior;
planificación: documentos curriculares; programaciones y orientaciones establecidas en la
parte teórico-práctica de la asignatura;
Materiales didácticos: los materiales escolares indicados a lo largo del tema;
Libros de texto de varias editoriales;
Videograbaciones: situaciones videofilmadas de enseñanza y aprendizaje;
Debates opcionales con maestros en ejercicio.
4.5.5 EVALUACIÓN
Se realizará una valoración periódica de la marcha de las prácticas en cada caso, a través de los
seminarios, adoptándose los cambios oportunos que de común acuerdo parezcan convenientes.
Esta valoración periódica se verá reflejada en una calificación final individual, emitida por el Profesor,
que recojerá, además del proceso seguido, los siguientes aspectos puntuales:
González Marí, J. L.
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299
- la participación en los seminarios;
- informe y valoración final del Maestro tutor;
- valoración de la Memoria de prácticas;
- reflexión personal justificada y autoevaluación razonada.
4.5.6 BIBLIOGRAFÍA
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otros.- Investigación en el aula de matemáticas. La tarea docente. Departamento de
Didáctica de la Matemática de la Universidad de Granada. Sociedad Thales. pp. 51-63.
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Investigación en el aula de matemáticas. La tarea docente. Departamento de Didáctica de
la Matemática de la Universidad de Granada. Sociedad Thales. pp. 13-27.
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del Profesorado. Sevilla.
Libros de texto recientes de varias editoriales: Anaya, Santillana, SM, Edebé, etc.
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Didáctica de la Matemática
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