2ª parte
2ª parte 2ª parte
48 Didáctica de la relatividad aditivo-ordinal y de los números enteros - Números positivos y negativos. - Reglas de uso de la calculadora cuando intervienen números enteros. - Correspondencia entre lenguaje verbal, representación gráfica y notación numérica. - Utilzación de diferentes estrategias para resolver problemas con números positivos y negativos. - Explicación oral del proceso seguido en la resolución de problemas con números positivos y negativos. - Representación de situaciones mediante diferentes lenguajes (verbal, gráfico y numérico) y estableciendo correspondencias entre los mismos. - Estimación del resultado de un cálculo con números enteros y valoración de si la respuesta es razonable o no. - Perseverancia en la búsqueda de soluciones a un problema. - Confianza en el uso de la calculadora. 3. Conceptos y representaciones 3.1. Algunas consideraciones sobre la historia de los números con signo La historia de los números positivos y negativos, desde la aparición de las primeras nociones hasta su justificación y formalización matemática como números enteros en la segunda mitad del siglo XIX, ha sido larga y controvertida (González y otros, 1990, págs. 21-58); un proceso de más de 20 siglos caracterizado por la existencia de diferencias notables entre distintas civilizaciones en lo que se refiere a su concepción y utilidad y a la dificultad para justificarlos e integrarlos en el conjunto de conocimientos matemáticos. Así, mientras que los números negativos eran utilizados en algunas culturas orientales (China, India) para resolver problemas comerciales, en las civilizaciones griega, árabe y europea, aún siendo conocidos y utilizados como artificios de cálculo, eran rechazados o ignorados porque no encajaban con la idea: “el número expresa cantidad”. Distinguimos por tanto, al igual que hace Lizcano (1993), dos maneras de negatividad: la oriental, cuyo origen se encuentra en la civilización china, y la occidental, cuyo orígen se encuentra en la civilización griega y cuya evolución culminó con la construcción formal. 3.1.1.- los números positivos y negativos en la matemática china China es, posiblemente, la primera civilización que usó cantidades negativas. Los primeros antecedentes se remontan al capítulo octavo de los “Nueve Capítulos del arte matemático” (“Jiu zhang suanshu”), cuya versión original es anterior a la dinastía de los Primeros Han (202 a. de C.). El origen se encuentra en prácticas antiguas de contabilidad y adivinación basadas en el manejo de palillos que se disponían sobre un tablero de cálculo o, simplemente, sobre un tapete. Uno de los propósitos de este tablero y del método de cálculo correspondiente (“fang cheng”) era la resolución manipulativa, mediante unas reglas de adición y sustracción basadas en las ideas de opuestos y de anulación, de lo que nosotros conocemos como sistemas de ecuaciones. González Marí, J. L. Segunda Prueba
Didáctica de la relatividad aditivo-ordinal y de los números enteros 49 • Palillos para representar cantidades Los nueve signos básicos se representaban disponiendo los palillos de la siguiente manera: | || ||| |||| ||||| | || ||| |||| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Las disposiciones de la fila superior se utilizaban para representar las unidades, las centenas y las posiciones impares, mientras que las de la fila inferior, se empleaban para las decenas, millares y posiciones pares; el cero se representaba mediante un hueco o espacio en blanco. Con este sistema posicional se podía expresar cualquier número o cantidad, como por ejemplo: 18 ||| 27 || 1029 |||| 516 ||||| Igualmente se utilizaban palillos de dos colores: rojos para los números o cantidades positivas (zheng) y negros para los números o cantidades negativas (fu), aunque a veces eran de un sólo color y la cantidad negativa se diferenciaba de la positiva mediante un palillo cruzado encima de la cantidad positiva correspondiente. • Planteamiento de un problema Mediante el sistema descrito y utilizando unas reglas y un método se resolvían problemas de varias ecuaciones con varias incógnitas. Para ello se establecían en el tablero tantas columnas de derecha a izquierda como relaciones lineales (ecuaciones) y tantas filas como “cosas” (incógnitas). En cada fila, de arriba a abajo, se situaban ordenadamente las cantidades (palillos) de cada cosa, siendo la última fila la que correspondía al total o término independiente de cada ecuación (shi). Veamos cómo se plantea el problema 1 del capítulo octavo. “Hay 3 manojos de cereal de calidad superior, 2 manojos de calidad media y 1 manojo de calidad inferior, resultando 39 como medida de grano (shi) ; 2 manojos de calidad superior, 3 manojos de calidad media y 1 manojo de calidad inferior dan 34 (shi); 1 manojo de calidad superior, 2 manojos de calidad media y 3 manojos de calidad inferior dan 26 (shi). Encontrar la medida de grano contenida en un manojo de cada una de las tres calidades de cereal.”. que se resuelve mediante el sistema de ecuaciones: 3x + 2y + z = 39; 2x + 3y + z = 34; x + 2y + 3z = 26, cuya disposición de palillos en el tablero es la siguiente: . C3 C2 C1 Univer- Didáctica de la Matemática sidad de Málaga
- Page 1 and 2: Didáctica de la relatividad aditiv
- Page 3 and 4: Didáctica de la relatividad aditiv
- Page 5 and 6: Didáctica de la relatividad aditiv
- Page 7: Didáctica de la relatividad aditiv
- Page 11 and 12: Didáctica de la relatividad aditiv
- Page 13 and 14: Didáctica de la relatividad aditiv
- Page 15 and 16: Didáctica de la relatividad aditiv
- Page 17 and 18: Didáctica de la relatividad aditiv
- Page 19 and 20: Didáctica de la relatividad aditiv
- Page 21 and 22: Didáctica de la relatividad aditiv
- Page 23 and 24: Didáctica de la relatividad aditiv
- Page 25 and 26: Didáctica de la relatividad aditiv
- Page 27 and 28: Didáctica de la relatividad aditiv
- Page 29 and 30: Didáctica de la relatividad aditiv
- Page 31 and 32: Didáctica de la relatividad aditiv
- Page 33 and 34: Didáctica de la relatividad aditiv
- Page 35 and 36: Didáctica de la relatividad aditiv
- Page 37: Didáctica de la relatividad aditiv
Didáctica de la relatividad aditivo-ordinal y de los números enteros<br />
49<br />
• Palillos para representar cantidades<br />
Los nueve signos básicos se representaban disponiendo los palillos de la siguiente manera:<br />
| || ||| |||| ||||| | || ||| ||||<br />
1 2 3 4 5 6 7 8 9<br />
Las disposiciones de la fila superior se utilizaban para representar las unidades, las centenas y<br />
las posiciones impares, mientras que las de la fila inferior, se empleaban para las decenas, millares y<br />
posiciones pares; el cero se representaba mediante un hueco o espacio en blanco. Con este sistema<br />
posicional se podía expresar cualquier número o cantidad, como por ejemplo:<br />
18 ||| 27 ||<br />
1029 |||| 516 |||||<br />
Igualmente se utilizaban palillos de dos colores: rojos para los números o cantidades positivas<br />
(zheng) y negros para los números o cantidades negativas (fu), aunque a veces eran de un sólo<br />
color y la cantidad negativa se diferenciaba de la positiva mediante un palillo cruzado encima de la<br />
cantidad positiva correspondiente.<br />
• Planteamiento de un problema<br />
Mediante el sistema descrito y utilizando unas reglas y un método se resolvían problemas de varias<br />
ecuaciones con varias incógnitas. Para ello se establecían en el tablero tantas columnas de derecha<br />
a izquierda como relaciones lineales (ecuaciones) y tantas filas como “cosas” (incógnitas). En<br />
cada fila, de arriba a abajo, se situaban ordenadamente las cantidades (palillos) de cada cosa, siendo<br />
la última fila la que correspondía al total o término independiente de cada ecuación (shi). Veamos<br />
cómo se plantea el problema 1 del capítulo octavo.<br />
“Hay 3 manojos de cereal de calidad superior, 2 manojos de calidad media y 1 manojo<br />
de calidad inferior, resultando 39 como medida de grano (shi) ; 2 manojos de<br />
calidad superior, 3 manojos de calidad media y 1 manojo de calidad inferior dan 34<br />
(shi); 1 manojo de calidad superior, 2 manojos de calidad media y 3 manojos de calidad<br />
inferior dan 26 (shi). Encontrar la medida de grano contenida en un manojo de<br />
cada una de las tres calidades de cereal.”.<br />
que se resuelve mediante el sistema de ecuaciones: 3x + 2y + z = 39; 2x + 3y + z = 34; x + 2y +<br />
3z = 26, cuya disposición de palillos en el tablero es la siguiente:<br />
. C3 C2 C1<br />
Univer-<br />
Didáctica de la Matemática<br />
sidad de Málaga
Change language