2ª parte

Didáctica de la relatividad aditivo-ordinal y de los números enteros
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Se trata de un campo de aplicación parcial de los números enteros porque en ninguno de los tres
tipos de situaciones descritas tiene sentido la multiplicación como ley de composición interna (en la
que los dos factores y el resultado son de la misma naturaleza); ¿qué sentido tienen las multilicaciones:
año x año, deuda x bien, saldo x saldo, pérdida x pérdida = ganancia?.
Únicamente podemos encontrar ejemplos coherentes de la multiplicación como producto externo
(factores de distinta naturaleza o de magnitudes diferentes o con significados distintos: “deshacer
3 veces un retroceso de 5 pasos” ((-3)x(-5)) es lo mismo que “avanzar 15 pasos” (+15) o
que “repetir 3 veces un avance de 5 pasos” ((+3)x(+5)); en un depósito se pueden plantear problemas
en los que tienen sentido las multiplicaciones, pero siempre que los factores sean de distinta
naturaleza: grifo (+) y desagüe (-), tiempo antes (-) y tiempo después (+); “quitar dos veces un
saldo de -6” ((-2)x(-6)) es lo mismo que “añadir un saldo de +12”; etc.).
Tradicionalmente, los tipos de situaciones descritos son tratados, o bien en el proceso didáctico
usual de la aritmética con números naturales, o bien como ejemplos introductorios de los números
enteros, pero, en realidad se trata de una vía de aplicación que se agota en la estructura aditiva y
ordinal, quedando la justificación de la multiplicación y de la estructura completa de Z (anillo de
integridad totalmente ordenado) para el campo de los fenómenos del apartado 2, el campo que
realmente motivó la construcción formal del conjunto de los números enteros.
1.3.2 Aritmética, Álgebra y Geometría: Origen histórico y campos de aplicación matemática
de los números enteros
Cuando aún no se conocían los números enteros (aunque sí los negativos), ya se resolvían, por
medio de ecuaciones, problemas relacionados con algunas de las situaciones anteriores; también se
resolvían ecuaciones en abstracto y se realizaban todo tipo de manipulaciones algebraicas.
lo que motivó la ampliación de los naturales a los enteros
En el campo de la actividad matemática, desligada con frecuencia de las magnitudes y de los
significados concretos, aparecían coeficientes, raíces y operaciones que no encajaban con lo conocido
hasta entonces y que, sin embargo, “funcionaban” y eran útiles, por lo que debían ser considerados,
justificados, relacionados con el resto de conocimientos matemáticos e integrados junto a
ellos en un todo coherente. Fueron“necesidades matemáticas” tales como: convertir la sustracción
en una ley de composición interna (hacerla posible en todos los casos), resolver todo tipo de ecuaciones,
representar geométricamente funciones en todo el plano sin ninguna restricción o encontrar
una justificación a la regla de los signos para la multiplicación, conocida y aceptada por su utilidad
en la resolución de ecuaciones, las que, entre otras, demandaron durante mucho tiempo la ampliación
de los números naturales a los números enteros.
fué necesario abandonar los intentos basados en la noción de cantidad
Al mismo tiempo se pensaba que la ampliación debía constituir un modelo para el campo de la
relatividad aditivo-ordinal, de acuerdo con la concepción de que el número expresa cantidad. Pero
ninguno de los intentos de justificación en el terreno de las cantidades y magnitudes dió resultado;
en primer lugar por las dificultades para dar una interpretación “real” a los números negativos como
cantidades en todas las situaciones y, en segundo lugar, por los problemas mencionados con la
multiplicación y la regla de los signos.
los números enteros: objetos útiles para fenómenos matemáticos y sus aplicaciones
La única justificación válida y completa vino por la vía estrictamente formal, es decir, para poder
satisfacer las necesidades matemáticas indicadas era necesario ampliar los números naturales
con todas sus propiedades, de manera que estas se conservaran intactas en el conjunto ampliado
(ver apartado 3.2). Con estas condiciones, los números enteros y, en general, el doble signo dan
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